2005 matematika felvételi megoldások

Segítség!

2005 matematika felvételi megoldások

6 osztályos feladatlapok matematika

Az alábbiakban egészen 2005-ig visszamenőleg megtalálod a 6 osztályos feladatlapokat matematikából! Ezek a feladatsorok 6. osztályos tanulók számára lettek összeállítva a középiskolai és gimnáziumi központi felvételi vizsgára. A címben láthatod, hogy az egyes feladatlapok mely évben szerepeltek a matematika felvételi vizsgán.

A feladatlapok áttanulmányozásával kapsz egy képet arról, hogy milyen típusfeladatok szerepelnek a vizsgadolgozatban. Ezek a feladatok teljesen másfajta gondolkodást igényelnek, mint az iskolai dolgozatok vagy feleletek. Ezért tartjuk fontosnak a gyerekek célirányos felkészítését a központi írásbeli felvételire matematikából.

Középiskolai felvételi előkészítő tanfolyamainkon olyan gondolkodásmódot sajátítanak el a résztvevő gyerekek, melynek alkalmazásával könnyebben és sikeresebben veszik az írásbeli és a szóbeli felvételi vizsga kihívásait.

Kattints a megfelelő évszámra, és olvasd el vagy töltsd le a 6 osztályos feladatlapokat matematikából!

8, 6 és 4 osztályos középiskolai felvételi előkészítő tanfolyamokat szervezünk, melyek 4. , 6. és 8. osztályos tanulóknak szólnak. A középiskolai felvételi előkészítő tanfolyamon a gyerekek olyan egyedi feladatokkal készülnek fel az írásbeli, illetve a szóbeli középiskolai felvételi vizsgára is, melyeket a tanáraink tapasztalatai alapján állítottunk össze. A 8, 6 és 4 osztályos középiskolai felvételi előkészítő tanfolyam írásbeli része összesen 15 alkalomból áll, amely tartalmazza az írásbeli tesztek kitöltését is. Ezt a 8. és a 15. alkalmon töltik ki a gyerekek. A szóbeli felvételi tanfolyam pedig 5 alkalomból áll. Az utolsó alkalom különleges, hiszen a gyerekek a középiskolai felvételi vizsgához hasonló szóbeli vizsgát tesznek számukra idegen tanárok előtt.

Még nem találtad meg a megfelelő felvételi előkészítőt, pedig küszöbön a gimnáziumi felvételi?

Jó lenne, ha a te gyermekedet is egy tapasztalt tanári gárda készítené fel a sikeres középiskolai felvételire?

Tudtad, hogy a felvételi 8 osztályos gimnázium egyre népszerűbb, mert egyre több szülő választja ezt a megoldást?

Ha 8, 6 vagy 4 osztályos középiskolai felvételire készültök, akkor nálunk a legjobb helyen jártok.
Miért?
Azért, mert nálunk, a Középiskolai Felvételi Előkészítőben minden körülmények között zavartalanul készülhetnek a gyerekek az előttük álló megmérettetésre. Még egy esetleges karantén esetén is, hiszen a felvételiket akkor is megtartják, ha újra bevezetik a digitális oktatást.

Megtartva – megújulva

Közel kilencéves fejlesztési folyamat eredményeként született meg a matematikaérettségi reformkoncepciójának jelenlegi, 2005-ben bevezetett változata. Az érettségi követelmények és a vizsgaleírás elkészítését – a többi vizsgatárgyhoz hasonlóan – hosszú, az éles vitákat sem nélkülöző, a hazai hagyományokat és a nemzetközi tendenciákat egyaránt figyelembe vevő egyeztetések sorozata kísérte. Írásunkban kísérletet teszünk arra, hogy ezen folyamat legfontosabb állomásait, lényeges elemeit összefoglaljuk. Bár tanulmányunk alapvetően a matematikaérettségi megújulását szeretné bemutatni, nem kerülhetjük el, hogy ezzel egyidejűleg a magyar matematikaoktatás egyes kérdéseiről is szót ejtsünk (Lukács, 2004).

A matematikatanítás és -vizsga nemzetközi áttekintése

A matematikatanítás a 20. században különböző mértékben, de szinte mindenütt a világon nagy változásokon ment át. A század első felében „a matematikatanítás jellemzője a formalizmus volt, a matematika tanulása fegyelemre, rendszerességre, egységes gondolkodásra kívánt nevelni. Ezt az ismeretek pontos reprodukálásával gondolták elérni, nagy hangsúlyt kapott a műveletek precíz, megbízható elvégzésének követelménye.” A későbbiekben „a tanításban fontos szerepet kapott a matematikai szaknyelv precíz használata, a tananyag a matematika deduktív jellegét tükrözte, előtérbe került a halmazokra épülő felépítés, a halmazelméleti definíciók.” (Somfai, 2002) A század második felében a matematikatanítás középpontjába a problémamegoldás került, oly módon, hogy a matematikai tudást tapasztalati úton, konkrét szituációkon keresztül szükséges megszerezni, majd ezt követheti az általánosítás és az absztrakció. A problémamegoldás során fontos, hogy a tanulók minél több valós szituációval találkozzanak, és e valós élethelyzetből adódó problémák megoldása során ismerkedjenek meg a matematikai fogalmakkal, algoritmusokkal, tételekkel.

Ha azt vizsgáljuk, hogy az elmúlt évtizedekben milyen tananyagtartalmak jelentek meg a középiskolai matematikaoktatásban szerte a világon, megállapíthatjuk, hogy megjelennek az analízis bizonyos elemei; a lineáris algebra alapjai, a diszkrét matematika elemei; a valószínűségszámítás és a statisztika egyes részei. Ezen tartalmak a magyar oktatásban ugyan hellyel-közzel szintén helyet kaptak (leginkább az analízis a tagozatos osztályokban, valamint egyes fakultációkon), az érettségi vizsgán azonban nem voltak számon kérhetőek.

A matematikaérettségi igen sokféle módon jelenik meg az egyes országokban, alkalmazkodva az adott országok érettségivizsga-filozófiájához, illetve a matematikatanítás tartalmi és módszertani struktúrájához. Jellemzően kötelező vizsgatárgy (bár ez alól is vannak kivételek) és jellemzően írásbeli vizsga. A feladattartalmak és -típusok igen változatosak, ugyanakkor elmondhatjuk, hogy általában nyílt végű feladatok jelennek meg a vizsgákon. Tartalmilag többnyire szűkebb tematikájú, mint a magyarországi érettségi, nemigen törekszik a teljes iskolai matematika-tananyag számonkérésére, miközben az iskolai tananyag is bizonyos elemeiben más, mint a hazai. Hogy miben több, arról már volt szó, de meg kell említeni, hogy egyes témakörök, amelyek nálunk igen fontos részei a tananyagnak, máshol lényegesen kisebb hangsúlyt kapnak (a legjellemzőbb példa erre az elemi geometria).

Gillian Hatch angol matematikatanár, aki hosszan tanulmányozta a hazai matematikaoktatást, az erről szóló összefoglalójában írja a következőt:

„Amikor egy magyar geometriaóráról készült videofelvételt mutattam be, melyet tizenegy éveseknek tartottak, szomorúan tapasztaltam, hogy az óra matematikai tartalmát el kellett magyaráznom a mi másodéves egyetemi hallgatóinknak. Annyira nem volt semmilyen ötletük egy 75°-os szög megszerkesztésére, hogy meg kellett állítanom a videót, hogy elmagyarázzam azt az eljárást, amelyet a gyerekek teljes magabiztossággal alkalmaztak.” (Hatch, 1999)

A matematikaérettségikre általánosságban jellemző, hogy elsősorban a felsőoktatásban szükséges (alkalmazott) matematikai tartalmak jelennek meg a feladatokban, valamint néhány országban a gyakorlati élet problémáinak matematikai feladatokban való megjelenítése a vizsga hangsúlyos célja.

Az összehasonlítást segítendő álljon itt egy magyarországi érettségi feladatsor 2005 előttről, illetve néhány kiragadott feladat más európai országból.

1. Írja fel a következő egyenlet megoldáshalmazát!

2. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(–2; –1), B(4; –3), C(4; 5). Számítsa ki a B csúcsból induló magasságvonal és az AC oldal metszéspontjának koordinátáit!

3. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a pozitív számok halmazán!

4. Egységnyi befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög egyik befogóján felvett pontból az átfogóra merőleges és egy, az átfogóval párhuzamos egyenest húzzon! Hol kell felvenni a pontot, hogy a keletkező trapéz területe maximális legyen?

5. Hány 4-re végződő olyan ötjegyű szám van, amelyik osztható 4-gyel?

6. Állítsa növekvő sorrendbe a következő számokat!

a)

b) sin 240°

c)

7. Egy számtani sorozat első eleme a₁, különbsége d. Bizonyítsa be, hogy

an=a1+(n–1)d

és

Egy erdőben a tűlevelű fákat a savas eső károsítja. Egy közeli erőmű sok kéndioxidot (SO₂) bocsát ki. Ez az erőmű hetente 450 tonna szenet éget el, hogy elektromos áramot termeljen (1 tonna = 1000 kg). Az energia előállításához 4%-os kénes szenet használunk (a szén 4% ként tartalmaz), mert ez a széntípus olcsó. Egy tonna szén égésekor 1% kén 19 kg SO₂-gázt bocsát ki. A kormány követelése az, hogy az SO₂-gáz kibocsátása 15 200 kg SO₂-re csökkenjen hetente.

a) Számolással bizonyítsd, hogy a jelenlegi SO₂-gáz kibocsátását hozzávetőlegesen 56%-kal kell csökkenteni!

Két lehetőség kínálkozik arra, hogy az SO₂ kibocsátására vonatkozó 15 200 kg-ot előíró szabályozást teljesítsék.

Kicserélik a hetente használt 450 tonna szenet 1 és 2%-os kéntartalmú szén keverékére. Ez többletköltséget fog okozni.

1% kén	2% kén	4% kén
Tonnánkénti ár	400 gulden	280 gulden	200 gulden

A keveréket úgy készítik el, hogy a többletkiadás a lehető legkevesebb legyen.

b) Számítsd ki, hogy hetente mekkora többletkiadást fog okozni a kormány rendelkezése!

Egy olyan szerkezetet építenek a rendszerbe, mely az SO2-hányadot kivonja a kibocsátott gázokból. A kéntelenítés hetenkénti költsége (W) mindkét esetben függ a 450 tonna szén kéntartalmának százalékától. A következő képletet alkalmazzák:

W (tízezer guldenben kifejezve).

c) Rajzold meg azt a grafikont, amely megmutatja, hogy p növekedésével hogyan változik W, abban az esetben, ha kizárólag 4%-os kéntartalmú szenet használnak! A kéntelenítés következményeként keletkező gipsz melléktermék eladható az építőiparnak. E termelésnek a heti jövedelmét (G) az alábbi képlet mutatja:

G = 0,01 · p · z

G (tízezer guldenben kifejezve).

d) Számítsd ki a kormány rendelete következtében keletkező többletköltséget (W – G) 450 tonna 4%-os szén elégetésekor! Egy vezetőségi tag azt javasolta, hogy égessenek el hetenként 450 tonna 2%-os kéntartalmú szenet, a kéntelenítő szerkezet használatával.

e) Vizsgáld meg, vajon keletkezik-e pénzmegtakarítás e javaslat hatására, a már említett két lehetőséghez képest!

Egy meteorológiai állomáson a csapadékos napok alakulását vizsgálva a következő megfigyelést tették:

• annak az esélye, hogy egy csapadékos nap egy „szárazat” követ, 0,1;
• annak az esélye, hogy egy csapadékos nap egy csapadékos után következik, 0,2.

A következőkben A_n jelölje azt az eseményt, hogy a mától számított n-edik napon van csapadék. Ma esett, tehát P(A₁) = 1

1. Adjuk meg a következő valószínűségértékeket!
   P(A_n| A_n-1 )-et és P( A_n |A_n-1)-et, ahol n ≥ 2
2. Bizonyítsuk be, hogy ha n ≥ 2, akkor P(A_n) = 0,7 · P (A_n-1) + 0,1!
3. Vezessük be a következő jelöléseket: p_n = P(A_n), u_n = p_n – 1/3
   Mutassuk meg, hogy u_n egy mértani sorozat!
4. Bizonyítsuk be, hogy u_n konvergens, és határozzuk meg a határértékét!

Természetesen az egyes országok érettségi feladatai között találhatók szép számmal a magyarországi feladatokhoz hasonlóak is, sőt nem ritka az sem, hogy nagyon formalizált, a szöveget teljesen mellőző, sok témakörből álló feladatsor az érettségi írásbeli vizsga. Jellemző példa erre Szlovákia vagy Románia. Az alábbiakban erre is mutatunk egy-egy példát.

Oldja meg a következő egyenleteket:

a)	b) 2 x + 2 x+1 – 3 · 2 x+2 = 18

Oldjuk meg az (ln x) 3 – 2(ln x) 2 – 5ln x + 6 = 0, x > 0 egyenletet!

Matematikaoktatás Magyarországon

Ha a magyar matematikaoktatást a nemzetközi megítélés felől értékeljük, rendkívül ellentmondásos eredményre juthatunk. A tehetséggondozás; a sokféle, szinte minden korosztályt megmozgató széles körű versenyeztetés; a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (közismert rövidítése KÖMAL) imponáló hagyománya és magas színvonala; a Magyarországról külföldön (1–2 félévet) tanuló diákok matematikai ismereteinek a befogadó ország hasonló korú diákjaihoz képest gyakran sokkal magasabb szintje méltán arat elismerést Európában és gyakran Európán kívül is. Nem ritkák a külföldről hazánkba érkező matematikatanár-csoportok, akik tanulni jönnek Magyarországra, meg akarják ismerni azokat a módszereket, amelyekkel a fenti eredmények elérhetőek. Hosszú ideig a nemzetközi megmérettetéseken is jól szerepeltek a magyar diákok (lásd a diákolimpiák, illetve a TIMSS-mérések [nemzetközi matematikai és természettudományos vizsgálat] eredményeit). Mégis, az utóbbi évtizedben egyre több kritika is érte matematikaoktatásunkat. Csak jelzésszerűen említsünk meg néhányat. A középiskola expanziójával a középiskolai matematika-tananyag tartalma nemigen változott, és nem változott jelentősen az oktatás módszertana sem. Azok a tartalmak, azok a módszerek, azok a motivációs eljárások, amelyek még néhány évtizede megfelelőek voltak a középiskolákban, az adott korosztály 70%-a esetében már nem működnek (Hogyan válhatnak…, 2002). A 2003-as, alapvetően a matematikateljesítmény mérésére hivatott PISA-vizsgálat eredményei, a korábbi (2000-ben történt) PISA-méréshez hasonlóan, már nem adott okot a büszkélkedésre a magyar matematikaoktatás eredményeit illetően. Az elemzők szerint „a magyar diákoknak a különböző tudásterületeken nincs megfelelő gyakorlatuk a valós szituációkban megjelenő feladatok megoldásában (noha egyébként rendelkeznek a hozzájuk szükséges ismeretekkel, ahogyan azt a szintén 2003-as TIMSS-mérés eredményei is bizonyítják)”. (Balázsi-Szabó-Szalay, 2005) Egy, a matematikatehetség szerkezetével foglalkozó tanulmány szerzői a következőkben összegezték kritikájukat. „A magyar oktatás még mindig ismeretcentrikus, elsősorban a tananyag tartalmára, a megfelelő szaktudomány szempontjából fontos tudásra helyezi a hangsúlyt. A természettudományos tárgyak oktatásában, így a matematika oktatásában a tanulókat passzivitásra kényszerítjük, azt várjuk tőlük, hogy olvassák el a tankönyvet, és az olvasottak alapján válaszoljanak a kérdésekre, oldjanak meg feladatokat stb. Megelégszünk a konvergens gondolkodást igénylő feladatok gyakoroltatásával, és az értékelésnél is ez kap hangsúlyos szerepet. Lehet, hogy a deduktív forma a cél, de a hajtóerő akkor is az intuíció és az alkotókedv kell hogy legyen. Nem szabad megragadni azon a szinten, hogy a matematikát definíciókból és posztulátumokból levezetett tételek rendszerének tekintsük. Ha ez ugyanis igaz lenne, és a matematikaoktatásban erre helyeznénk a hangsúlyt, akkor a matematika definíciókkal, szabályokkal és szillogizmusokkal való játék lenne minden cél és értelem nélkül. A matematika azonban az emberi gondolkodás egy olyan jellegzetes terméke, amelyben a legtisztábban fejeződik ki a megfigyelő értelme, vállalkozó kedve és esztétikai érzéke.” (Vincze-Márton, 2004)

A magyarországi matematikaérettségi rövid története

Az 1950-es évek végéig Magyarországon a matematikaérettségi iskolai (belső) érettségi volt, az írásbeli vizsga feladatsorait minden iskola maga állította össze, saját elképzeléseik szerint választva meg annak feladatait és nehézségi szintjét.

A központi matematikaérettségi bevezetésének első szakasza az 1959–1966 közötti időre tehető, amelynek jellemző meghatározói a következők voltak:

• az érettségi kötelező írásbeli és szóbeli részből állt;
• a humán- és a reáltagozatos osztályok különböző, bár egymáshoz mégis igen hasonló feladatsorból érettségiztek;
• az írásbeli érettségi időtartama öt óra volt, amely alatt három összetett, sok numerikus számolást igénylő feladatot kellett a vizsgázóknak megoldaniuk;
• a feladatok tematikája meglehetősen kötött volt: az első feladat szinte mindig szöveges egyenlet vagy egyenletrendszer, a második terepméréssel kapcsolatos trigonometriai számítás, a harmadik valamilyen felszín- vagy térfogatszámításra vezető feladat volt (néha előfordult, hogy a második vagy a harmadik feladat helyett egy termeléssel kapcsolatos, sorozatra visszavezethető feladat szerepelt);
• a szóbeli vizsgán egy feladatot kellett megoldani, valamint egy tanult bizonyítást kellett reprodukálni.

A második szakasz 1967–1972 közé tehető. E szakasz fő jellemzői a következők:

• az érettségi kötelező írásbeli és szóbeli részből áll;
• különböző feladatsorból érettségiztek az alaptanterv, illetve az emelt matematika-óraszámban tanuló diákok, s ez utóbbi feladatsor valamivel nehezebb volt;
• az írásbeli időtartama négy óra, amely alatt négy, fokozatosan nehezülő feladatot kellett megoldani, amely közül egyik sem kívánt túl sok numerikus számolást;
• a feladatsorok tematikája sokkal változatosabb volt, mint a korábbi időszakban;
• a szóbeli vizsgán két feladatot kellett megoldani, valamint egy tanult bizonyítást és egy definíciót kellett reprodukálni.

Harmadik szakasznak tekinthetjük az 1973–1984 közötti időszakot, amelynek fő jellemzői a következők voltak:

• a matematikaérettségi írásbeli vizsga, a szóbeli vizsga csak az elégtelen írásbeli vizsga javítására szolgált;
• 1973-ban vezették be a felvételizők számára a közös felvételi-érettségi írásbeli vizsgát, amely azóta is mind szerkezetében, mind pedig nehézségi szintjében különbözik a „csak” érettségizni szándékozók érettségi vizsgájától;
• 1975-től megjelent a szakközépiskolában is a központi írásbeli érettségi, amely szerkezetében azonos a gimnáziuméval, de más feladatokból áll;
• az írásbeli időtartama három óra, szerkezete lényegében kétféle:
• 1. az iskolai írásbeli feladatsor négy, fokozatosan nehezedő, különböző témakörű feladatból, két közvetlen vagy közvetett fogalmi jellegű kérdésből és egy tanult bizonyításból állt, ugyanakkor fontos megjegyezni, hogy 1980-ban megjelent az Összefoglaló feladatgyűjtemény első változata, és ettől kezdve az iskolai érettségi vizsgák feladatsorait egy előre meghatározott feladatgyűjtemény feladatanyagából válogatták;
  2. a közös felvételi-érettségi nyolc feladat megoldását kívánta; az egyes feladatok rövidebbek, mint a korábbi időszakokban, a nehezebb feladatok több ötletet és kevesebb rutint igényeltek, a feladatsorok fokozatosan nehezülő feladatokat tartalmaztak;
• a javító szóbeli vizsga tétellapja két különböző témakörű és nehézségű feladatot, két fogalmi kérdést és egy tanult bizonyítást tartalmazott, melyeket az említett feladatgyűjteményből kellett kiválasztani. A tétellapokon szereplő feladatokat és kérdéseket a tanulók előre nem ismerhették.

A negyedik szakasz az 1985–2004 közötti időszak. Igazából kérdéses, hogy lehet-e, illetve kell-e egy negyedik szakaszról beszélni, mivel ebben a szakaszban csak az az új, hogy megjelent az Összefoglaló feladatgyűjtemény második változata, amely húsz évig volt érvényes. Az a tény tehát, hogy ilyen hosszú ideig ugyanabból a feladatgyűjteményből válogatták az iskolai érettségi feladatokat, önmagában korszakhatárrá emeli (emelheti) az 1985-ös évet. Ezen időszak matematikaérettségije Magyarországon tehát – az apró változtatásokat nem számítva – 20 évig azonos szerkezetű és azonos elvek alapján készült. A matematikaérettségi változásának főbb állomásait összefoglalóan az 1. táblázat tartalmazza.

1. táblázat
A matematikaérettségi magyarországi változásai

A bevezetés időpontja	A változás tartalma
1959	Központi feladatsor.
1967	Kétféle nehézségű feladatsor készül a különböző szinten tanuló diákok számára.
1973	A vizsga írásbeli, a szóbeli vizsga csak az elégtelen írásbeli vizsga javítására szolgál, az időtartam három óra.
1973	A felvételizők számára bevezetik a közös felvételi-érettségi írásbeli vizsgát, és ekkortól alapvetően más feladatsorból érettségiznek azok, akiknek ez „csak” érettségi vizsga, és másból azok, akiknek ez egyben a központi felvételi írásbeli vizsgát is jelenti. A felvételi-érettségi írásbeli vizsga nyolc, fokozatosan nehezülő feladat megoldásából áll.
1975	A szakközépiskolai érettségi is központi, szerkezetileg megegyezik a gimnáziuméval, de más (2001-ig) feladatokból áll össze.
1981	Megjelenik az Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából (Tankönyvkiadó, Bp., 1980) első változata, és ettől kezdve az iskolai érettségi vizsgák (a gimnáziumban és a szakközépiskolában egyaránt) feladatsorai egy előre meghatározott, mindenki számára ismert és hozzáférhető feladatgyűjtemény feladatanyagából való válogatás alapján kerülnek összeállításra.
1985	Megjelenik az Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából (Tankönyvkiadó, Bp., 1985.) második változata. Ekkortól az iskolai érettségi hat valódi feladatból áll (egy közülük egy definíció megfogalmazása vagy közvetlen alkalmazása), a hetedik feladat pedig egy tanult bizonyítás reprodukálását jelenti.

A matematika tehát 1985-re lényegében már minden érettségizőnek kötelező tantárgy, és alapvetően két fajtáját különböztettük meg: az iskolai érettségit és a közös érettségi-felvételi vizsgát. A következőkben ezt az érettségit mutatjuk be részletesebben.

A 2005 előtti érettségi jellemzői

Az iskolai érettségi vizsga

Az iskolai érettségi központi, háromórás, a fent ismertetett szerkezetű írásbeli vizsga volt (szóbeli vizsgát csak az elégtelen írásbeli vizsgát írt tanulóknak kellett tenniük). Az elérhető maximális pontszám 80 pont. Az osztályzatra váltás a következő szabályok szerint történt: 0–17 elégtelen, 60 pont felett jeles. A 17 és 60 pont között a közepes és a jó osztályzatok határait az iskolák matematika-munkaközösségei határozhatták meg. A jeles, illetve az elégséges osztályzat alsó határától alapos indokkal, egyes esetekben legfeljebb ± 3 ponttal el lehetett térni.

A feladatsorok összeállításánál jól nyomon követhető az a törekvés, hogy lehetőleg a teljes tanított matematika-tananyag megjelenjék bennük, amelynek azonban természetes határt szabott a feladatgyűjteményben lévő feladatok véges száma.

Közös érettségi-felvételi vizsga

A közös érettségi-felvételi vizsga szintén háromórás írásbeli vizsga volt. Szóbeli érettségit ebben az esetben is csak elégtelen írásbeli vizsga után kellett tenniük a tanulóknak. (Nem vonatkozott ez természetesen a szóbeli felvételi vizsgára, amelynek feltételeit, esetleges kötelező voltát az egyes felsőoktatási intézmények írták elő vagy engedték el a felvételizőiknek.) A feladatsor nyolc, fokozatosan nehezülő feladatból állt, tanult bizonyítás nem volt a feladatok között. Tartalmilag csak abból a törzsanyagból állíthatta össze az erre a célra létrehozott bizottság, amely mind a gimnáziumokban, mind pedig a szakközépiskolákban kötelező volt, de az egyes feladatsorok lényegesen nehezebb feladatokat tartalmaztak, mint az iskolai érettségire összeállítottak. A megoldást a tanulók két példányban írták. Az eredeti példányt a felsőoktatási intézményben, a másodpéldányt pedig a középiskolában javították, központi útmutató alapján. A maximális pontszám 100 pont volt. E vizsga esetében is minimum 18 pontot kellett elérni az elégséges osztályzathoz, míg a jeles osztályzathoz minimum 55 pont, tehát 55%-os teljesítmény volt szükséges.

A matematikaérettségi vitatható pontjai

Mint az már az előzőekből kiderült, a matematikaérettségi 1973 óta két, egymástól jelentős mértékben (elsősorban a feladatok nehézségi fokát illetően) különböző feladatsor alapján történt. Bevezetését a következő tények indokolták, illetve tették lehetővé. A hetvenes évek oktatásirányítói úgy döntöttek, hogy fölösleges a tanulókat egymás után kitenni két hasonlóan nehéz vizsgának, és a tantárgyak közül elsőként matematikából bevezették a közös érettségi-felvételi vizsgát. Segítette ezt egyrészt az a már korábban meglévő gyakorlat, mely szerint más feladatsorból érettségiztek a reál és másból a humán gimnázium tanulói, másrészt hogy az évek során különböző módon (tagozat, fakultáció, emelt szintű matematika stb.) nagyon sok iskolában lehetőség volt arra, hogy a tanulók egy (tehetségesebb, érdeklődőbb, matematikaigényes felsőoktatásba készülő) része magasabb óraszámban, mélyebben tanulja a tantárgyat társainál.

A kezdetben mindenképpen pozitívnak számító döntés az évek során – a változó körülmények hatására is – számos negatív következménnyel járt.

a) Az egyik legfontosabb az a matematikatanárok által minden lehetséges fórumon megfogalmazott anomália, hogy a kétféle nehézségű feladatsor eredményeképpen egyes osztályokban gyakran előfordult, hogy a matematikából nyilvánvalóan jobb képességű és teljesítményű tanulók kaptak rosszabb osztályzatot az érettségin. Az érettségi bizonyítvány ugyanis nem tartalmazta, hogy különböző nehézségi szintű érettségi vizsga alapján osztályozták a tanulókat. (Ezen próbált korrigálni az a már említett osztályozási rendszer, mely szerint a közös érettségi-felvételi esetében már 55% elég volt a jeles és 18% az elégséges osztályzathoz, majd pedig az a döntés, amely 2001-től lehetővé tette, hogy mindkét vizsgát letehesse az azt igénylő tanuló, és az érettségi jegyét az iskolai dolgozat alapján számítsák.) Ezzel tulajdonképpen az eredeti indok – a két vizsga – vált alaptalanná.

b) Az utóbbi években egyre több felsőoktatási intézményben vált gyakorlattá, hogy felvételi vizsga nélkül be lehetett kerülni bizonyos feltételek teljesítése esetén. Ez különösen nagy arányú éppen az egyébként matematikafelvételihez kötött felsőoktatási intézmények egyes karainál, illetve bizonyos szakok esetében volt. Így gyakran azoknak a tanulóknak egy része is az iskolai érettségin vizsgázott, aki képességeinél és előképzettségénél fogva annál lényegesen többre lett volna képes. S mivel matematikából az utolsó félév csaknem mindenütt az érettségire való felkészülés jegyében telt, számukra gyakran ez az időszak a matematika számára elveszett, hiszen nem volt már megfelelő motivációjuk arra, hogy a mélyebb, nehezebb képzési formát válasszák. (Sőt, bizonyos feltételek mellett ellenérdekeltek lettek, hiszen az alacsonyabb követelményű csoportban könnyebb volt jó jegyet szerezni, amely nem ritkán elegendő volt a bejutáshoz a felsőoktatásba, az iskolából vitt pontszám alapján.)

c) Gyakran súlyos konfliktushoz vezetett az a matematikatanárok által joggal kifogásolt gyakorlat, hogy a matematika felvételi-érettségit két nap, két különböző feladatsor alapján kellett megírni. Addig, amíg ezt meg lehetett osztani aszerint, hogy az egy helyre jelentkezők azonos napon, azonos feladatok alapján írták meg a dolgozatot, a konfliktus kisebb volt, hiszen ha nem is volt egyforma nehézségű a két feladatsor, de az azonos helyre jelentkezők nem kerülhettek előnyös vagy hátrányos helyzetbe. Az utóbbi évek szabályozása alapján azonban már nem volt korlátozva a jelentkezési helyek száma, már nem volt lehetséges teljesen szétválogatni a különböző felsőoktatási intézménybe jelentkező tanulókat, és így sokszor nem volt mindegy, hogy valaki az egyik vagy a másik feladatsor alapján felvételizett/érettségizett. Ez a konfliktus természetesen visszavezethető arra az általánosabb problémára, miszerint nem volt megoldott, hogy a vizsga évről évre (sőt, mint láttuk, ugyanabban az évben) azonos nehézségű feladatsorok alapján történjék.

A közös érettségi-felvételi vizsgán kívül az iskolai érettségi vizsgának is számos vitatható eleme volt. Az iskolai érettségi – mint említettük – az Összefoglaló feladatgyűjtemény feladataiból került kiválasztásra. S bár a feladatgyűjtemény igen nagy mennyiségű (4193 db) feladatból állt, azok adatai, szövegezése, tematikája elavult, jelentős átdolgozásra, megújításra szorult. Az érettségi a matematika-tantervek korrekciói dacára bizonyos matematikai tartalmakat (differenciálszámítás, integrálszámítás, matematikai statisztika, valószínűségszámítás stb.) nem kért számon, annak ellenére, hogy ezek egy része mind a hétköznapi élet matematikai műveltségének, mind pedig a különböző (nem is feltétlenül szakirányúnak számító) felsőoktatás matematikaoktatásának fontos része (Lukács-Vancsó, 1997). Ez persze nem kizárólag és nem is elsősorban az érettségi feladatsorainak a hibája, sokkal inkább tantervi probléma volt a NAT és a kerettantervek elkészültéig.

Az érettségin kitűzött és a tanítás során alkalmazott feladataink között igen kevés gyakorlati probléma volt, amely részben erősítette a matematikát amúgy is gyakran életidegen, steril tudománynak kikiáltó nézeteket, részben pedig egyre nagyobb szakadékot hozott létre a magyar és a nemzetközi matematikaoktatás fejlődési irányai között.

A feladatsorok ismertetett szerkezete nem tette lehetővé, hogy a matematika azonos tartalmi elemeit könnyebb és nehezebb feladatokon egyaránt számon kérjük, így gyakran egy-egy nehéz feladatot, amelynek legnehezebb eleme éppen a probléma megértése és a modell elkészítése volt, el sem tudtak kezdeni a tanulók, s így nem derülhetett ki, milyen teljesítményre képesek egyáltalán az adott témakörben.

Az érettségi feladatsorai mögött nem volt megfogalmazott követelményrendszer és vizsgaleírás, amelynek hiányában szinte lehetetlen volt biztosítani évről évre az azonos nehézségű feladatsorokat (Tompa, 1998). A feladatok előzetes kipróbálására, bemérésére nem volt lehetőség, és sajnos az érettségi vizsgák teljesítményének utólagos kiértékelése sem történhetett meg. Kivételt képezett ez alól az OKÉV vizsgálata a 2001. évi gimnáziumi matematikaérettségi-dolgozatok javításáról szóló elemzése (Összefoglaló…, 2002). Ez utóbbi lényegesen olcsóbb megoldás, hiszen ebben az esetben „csak” az adatfeldolgozást és a kiértékelést kell finanszírozni, míg az előzetes bemérésnél ez a felmérés költségeivel növekszik. Természetesen a haszna is kisebb, hiszen ez esetben nincs lehetőség a vizsgafeladatok kipróbálására, az értékelési útmutatók pontosítására, bővítésére, a feladatok szövegezésének javítására, a félreérthető szövegrészek korrigálására stb. Ugyanakkor az eredmények utólagos elemzése is számtalan olyan tanulsággal szolgál, amely minden következő vizsgafeladatsor minőségét javítani képes. Több országban, például Hollandiában sikerrel alkalmazzák ezt a módszert.

A feladatsorok értékelési útmutatói nem voltak elég részletesek, így szinte lehetetlen volt biztosítani az egységes pontozást (Lukács, 1997). Jól mutatta a helyzet megoldatlanságát az az ismert tény, hogy az érettségi-felvételi közös dolgozatokat a felsőoktatási szakemberek és az iskolai matematikatanárok egymástól függetlenül értékelték, s az így kapott pontszámok csak igen ritkán voltak azonosak (s gyakran nem az iskolai pontszám volt a magasabb).

Az érettségi követelmények összeállításának felelőssége

Azzal, hogy az érettségi követelmények és a hozzátartozó vizsgaleírás összeállítása mekkora felelősség, az ezzel foglalkozó szakemberek végig tisztában voltak. Igaz ez nyilván minden műveltségi területre, hiszen pontosan tudtuk, hogy a kimeneti szabályozás a vizsga révén lényegesen nagyobb hatással van az iskolában folyó munkára, mint a bemeneti (tantervi) szabályozás. A tantárgy iránti kis elfogultsággal azonban azt mondhatom, hogy fokozott ez a felelősség a matematika területén. Ez az a tudományág, amelyben hazánk híre a kiváló matematikusok révén igen jó az egész világon, és ez az a tantárgy, amelynek iskolai tagozatos tanításának nagyon nagy hagyományai és vitathatatlan eredményei vannak. A matematikai tehetséggondozást szolgálják azok a versenyek, amelyek a teljes közoktatást végigkísérik, és igen sok tanulónak adnak lehetőséget a megmérettetésre, illetve ezen keresztül (is) a matematika megszeretésére, magasabb szintű művelésére. És bár mindezen eredmények mellett mindnyájan tudjuk, a PISA-mérések óta pedig számszerűsítve is szembesülünk vele, hogy tanulóink igen nagy többsége számára a középiskolai matematika elsajátítása reménytelen, illetve az alkalmazásképes tudásszintet igen keveseknek sikerül elérni, mégis arra kellett törekedni, úgy szolgáljuk a többség érdekeit, hogy a kisebbség lehetőségeit ne csorbítsuk. Túl azon, hogy természetes igény, hogy erre a tehetséges, érdeklődő kisebbségre figyelni kell, az országnak is elemi érdeke ez, hiszen nem kis részben a matematikai (informatikai) és a természettudományos műveltség adhatja az országnak a 21. században a szellemi tőkét a gazdasági megkapaszkodásra. Kroó Norbert írja A Magyar Tudomány májusi számában:

„…tehát kijelenthető, hogy a matematika fejlődése az egyén gondolkodásának fejlődésén keresztül párhuzamos a társadalmak fejlődésével. Ez áttételesen azt is jelenti, hogy a tények előbb vagy utóbb, de mindig győznek, hiszen a tények mögött számok rejtőznek. Az új tudományos felfedezések is csak akkor győzhetnek, ha számokká redukálhatók. […] a felfelé ívelő társadalmak fejlesztik, használják és magas szinten oktatják a matematikát, a lefelé ívelők pedig elhanyagolják az oktatást, különösen a matematika (és az ehhez szorosan kapcsolódó természettudományok) területén. […] De hadd hivatkozzam a múlt század arculatát alapvetően befolyásoló világhírű magyar tudósok példájára. A néha „marslakóként” emlegetett Wigner Jenő, Teller Ede, Neumann János, Szilárd Leó, Gábor Dénes és a többiek tevékenységét a matematika és a természettudomány (esetükben elsősorban a fizika) szoros kapcsolata jellemezte. Eredményeik bizonyítják, hogy a matematika minden tudomány gyökere – Pitagorasztól Wigner Jenőig –, a nagy felfedezések alapja. Mivel a technológia és fejlődése a tudományon alapul, a tudomány pedig a matematikán, közvetve a technológiai (és gazdasági) fejlődés alapja is a matematika fejlődése és alkalmazása. Ezért Napóleon azon kijelentése, hogy a matematika fejlődése és tökéletesítése végeredményben az államok prosperitásával hozható kapcsolatba, talán még soha sem volt olyan fontos és időszerű, mint napjainkban, amikor a gazdasági fejlődés a technológiai megújuláson, újabb, a kutatásban gyökerező technológiák megjelenésén és bevezetésén, az innovációs lánc lerövidülésén és az innovációs folyamat felgyorsulásán dől el. […] nálunk is a felemelkedés és így a versenyképesség kulcsa csak a matematikai és természettudományos oktatás és természetesen kutatás erősítése lehet. Kell, hogy fiatalajaink újra érdeklődéssel forduljanak e területek felé, hogy újra hangadók legyenek a nemzetközi versenyeken, hogy megbecsüljük a felkészítést végző tanárokat, és vonzóvá tegyük a hazai kutatói pályát. És az is kell, hogy minél több honfitársunk sajátítsa el a matematikai gondolkodás azon szintjét, amely választott szakmája művelését magasabb színvonalon teszi lehetővé.” (Kroó, 2006)

Vagy álljon itt egy másik idézet, amely a második Nemzeti Fejlesztési Tervvel kapcsolatos tanácskozások egyikén hangzott el:

„Magyarország kiugrási lehetőségeivel kapcsolatban: az elmúlt 15 évben nagyon sok helyen dicsekedtem azzal – amivel mások is –, hogy nekünk kitűnő kulturális hagyományaink vannak a matematikai képzésben. Állítom, hogy kulturális előnyeink miatt épp az informatika lehet egy kitörési pont Magyarország számára. A nyugati országokban a természettudományos oktatás nem fejlődött annyira, szemben a marketinggel. Mi, akik kiestünk a gyarmatosításból, sokkal inkább az elvontabb tudományok felé fordultunk. Ezen belül elsősorban a matematika nyert teret, és jóval magasabb szintre jutott, mint a világban másutt. Ezért ma a világon úgy tartják Magyarországról, hogy itt a matematikaoktatás magas szintű. Akkor is ezt hiszik, ha ma már sajnos nincs így. […] De külföldön ezt még nem tudják, úgyhogy az államnak az lenne az első számú feladata, hogy az informatikai oktatásnak adja a prímet azért, hogy csendben újra felzárkózzunk ehhez a hiedelemhez. Finnország és Írország azzal tört ki, hogy az oktatásba nagyon sok pénzt tettek mindenki máshoz képest. Mi azonban sokkal eredményesebben tudnánk az oktatásba több pénzt tenni, mint Írország és Finnország, hiszen nekünk hagyományaink vannak, amire építeni lehetne. […] Kedvenc példám a magyarok logikai gondolkodására a pénztári fizetés: ha az ember vásárol, és 625 forintot fizet, tiszta sor, hogy az ezres mellé letesz még 25 forintot, hogy könnyebb legyen visszaadni. Ezt itt mindenki érti, a pénztáros is. Külföldön meg senki. Még soha, senki nem vette a lapot elsőre, elmagyaráznom is csak nehezen sikerült.”

A fenti idézetek is jól bizonyítják, hogy a követelmények összeállításánál végig a szemünk előtt kellett lebegjen a „megtartva-megújulva” paradoxona.

A vizsgafejlesztés legfontosabb állomásai

A vizsgafejlesztéshez kapcsolódó kutató-fejlesztő munka első szakaszában egy szakértőkből, gyakorló tanárokból, illetve felsőoktatási szakemberekből álló munkabizottság – a hazai hagyományok és a nemzetközi tapasztalatok figyelembevételével – elkészítette az érettségi vizsga általános, majd részletes követelményrendszerét. Az utóbbi szintenként rögzítette az érettségi vizsgán elvárható tudás tartalmát és mélységét. Az összeállított követelményrendszer első változata 1997-ben a szakmai közvélemény elé került, lehetőséget teremtve a munkaanyag véleményezésére. Az észrevételek vélemények figyelembevételével készült el a részletes vizsgakövetelmények második változata.

A munka következő szakaszában a követelményekhez kapcsolódva a munkabizottság elkészítette az új érettségi vizsga modelljét. A modell kialakításával egyidejűleg elkezdődött az adott vizsgarészekhez kapcsolódó konkrét vizsgafeladatok fejlesztése is. Az elkészült feladatok felhasználásával kétszer volt lehetőségünk az írásbeli vizsgamodell kipróbálására, 1998-ban és 2000-ben. Mindkét alkalommal szintenként kb. 250 12. évfolyamos (szakközépiskolai és gimnáziumi) tanuló oldotta meg a vizsgamodell alapján összeállított vizsgafeladatsorokat. A mérések legfontosabb célja a követelményekre épülő feladattípusok, valamint a vizsgamodell kipróbálása volt.

A többéves fejlesztő munka következő állomása a vizsgakövetelmények és a vizsgaleírás átdolgozása volt a próbamérések eredményei, valamint a közben elkészült kerettanterv figyelembevételével. Mivel a kerettanterv (a NAT-tal ellentétben) már a 12. évfolyamig tartalmazza a tantervi anyagot, ily módon a vizsgakövetelmények átdolgozása során elkerülhetetlenné vált a két dokumentum egyeztetése. A középszintű vizsgakövetelmények nem haladhatták meg a kerettanterv tartalmát, az emelt szintnél pedig a tartalmi és mélységi többlet tervezésekor a 11. és 12. évfolyamon heti 2–2 órával számolhattunk. Így a vizsgakövetelmények szakmai megvitatásra alkalmas változata, 2001 végére készült el (A matematika…, 2001). Az ismételt véleményezés hatására kialakult követelményrendszert az Oktatási Minisztérium utasítására tovább csökkentettük, a 2002-ben történt óraszámcsökkentéssel összhangban. Mindez középszinten elsősorban azt jelentette, hogy a kerettantervben nem szereplő ismeretelemeket kihagytuk a követelményekből, emelt szinten pedig elsősorban az új témákból maradtak el bizonyos részek (például matematikai statisztika), illetve elhagytunk egy összetett feladattípust. Így született meg a jelenleg is érvényes változat, mely miniszteri rendelet formájában szabályozza az érettségi vizsgát.

2003-ban 42 iskola részvételével próbaérettségit tartottunk, valamint az év végén egy 60 órás képzés keretében felkészítettünk 30 matematika szakos kollégát a vizsga értékelésével kapcsolatos elméleti és gyakorlati tudnivalókra. Ők – egy akkreditált 30 órás tanfolyam keretében – elkezdték az ország középiskolai matematikatanárainak továbbképzését e témakörben. A próbaérettségi és a 60 órás tanfolyam tanulságai alapján a vizsgaleírás tovább finomodott, különösen a szóbeli vizsga leírása lett részletesebb. Minden tapasztalatot felhasználva 2004-ben került sor a végleges vizsgaleírás írásbeli részének országos próbájára, amelyet a 2004-es próbaérettségi néven ismerünk.

A felmérések tanulságai

A mérések körülményei

Az első mérésre 1998/99 fordulóján került sor. Ebben az időszakban az oktatási törvény módosításának, valamint a kerettantervek elkészítésének előkészületei folytak. Már és még érvényben volt az érettségiről szóló kormányrendelet, melyet azóta többször módosítottak, így az eredeti változat igen nagy része megváltozott. Az 1997-es év végére tíz tantárgyból (köztük matematikából) elkészültek a részletes érettségi követelmények tervezetei, majd 1998-ban a vizsgamodell-tervezetek. A tanulók többsége az 1978-as tanterv szerint tanulta a matematikát, de a hat-, illetve a nyolcosztályos gimnáziumok saját tanterveik szerint haladtak. A mérés az iskolákban az 1998/99-es tanév első félévének zárása előtt történt. A tanulócsoportok többségében még nem kezdődött meg az érettségire való felkészülés, a rendszerező ismétlés.

A második mérésre 2000-ben került sor. Szintén olyan tanulók körében, akik még nem a NAT, illetve a kerettanterv szerint tanultak, és a felmérés időpontjában a rendszerező ismétlés előtt voltak.

A mérések célja, a feladatsorok összeállításának szempontjai

A mérések elsődleges célja a vizsgamodell szerkezetének, a beválogatott feladattípus fajtáinak, a javítási útmutatóknak, a kettős javításnak és a feladatsor (a feladatok) időigényének a kipróbálása volt.

A feladatsor összeállításának szempontjait a mérés körülményei és a mérés céljai határozták meg. Ennek megfelelően mind a közép-, mind pedig az emelt szintű feladatsorok szerkezetükben és az időkeretben megegyeztek a vizsgamodellel. Tartalmilag azonban szűkebbek voltak, hiszen azokat az elemeket, amelyeket az akkori középiskolások többsége nem tanult, nem tartalmaz(hat)ta. Az emelt szintű feladatsorok összeállításával az volt a szándékunk, hogy „kitapogassuk”, mi az emelt szintű feladatsorba beválogatható feladatok legmagasabb nehézségi szintje. A tanári és a tanulói vélemények megismerésére nem készítettünk külön kérdőívet, hanem a tanárokat egy rövid értékelésre kértük, amely a tanulói véleményeket is tartalmazta. A feladatsorok javítására a kettős javítási módszert választottuk. Az első javító mindenütt a csoportot tanító tanár volt, a második pedig a feladatsorokat összeállító tanárok csoportjának egy tagja.

A feladatsorok tanári és tanulói fogadtatása

A feladatsorok szerkezete és a feladatok többsége igen pozitív visszhangra talált a tanárok körében. Többségük a feladatanyag kiválasztását a mérésre (középszintű érettségire) alkalmasnak tartotta mind a feladatok tartalmi kiválasztását, mind pedig annak nehézségi szintjét illetően, bár 1egy-két feladatot néhányan túl könnyűnek ítéltek. A legtöbben úgy fogalmaztak, hogy körülbelül ez az a nehézségi szint, amely alapján még nagy eséllyel le tudnak érettségizni a gyengébb képességű diákok is. Sikeresnek tűnt a középszintű feladatsor két részre bontása is. Ugyanakkor a tanárok többsége az emelt szintű feladatsorokat (különösen az első mérés alkalmával) túl nehéznek tartotta. Jelezték, hogy az utolsó összetett feladat a tanulók döntő többségét elbizonytalanította.

A tanárok többsége a választhatóság lehetőségét is örömmel fogadta, és úgy ítélte meg, hogy ez segítette a tanulók munkáját. Ugyanakkor néhányuknak voltak fenntartásaik. Szerintük ez a lehetőség szokatlan helyzet elé állította a diákokat, és sokuk esetében nem volt valódi választás, hanem egyszerűen az utolsó feladatot hagyták el a sorból.

Általában kedvező fogadtatást kaptak a gyakorlatias feladatok, szakközépiskolai tanárok részéről még az a vélemény is megfogalmazódott, hogy ezekben a feladatokban eredményesebbek voltak a diákjaik, mint a hagyományosakban. Ezen feladatok kritikájaként jellemző volt, hogy a tanulóknak nehéz volt a szokatlanul hosszú szöveget megérteniük, valamint hogy a jelenlegi (értsd alatta a mérés időszakában) tanítási gyakorlat alapján nincsenek ehhez szokva. Többen jelezték a tanulók szövegértési hiányosságait, valamint azt, hogy a máshol (más tantárgyakban) szerzett ismereteiket nem tudják alkalmazni a matematikai feladatok megoldása közben. Ezen vélemények azonban nem tértek ki arra, hogy vajon ennek következtében a tanítási gyakorlatban vagy a feladatsorok összeállításában javasolnak változtatásokat. Gyanítható azonban, hogy az utóbbira gondoltak. E véleményektől függetlenül nyilvánvaló annak tarthatatlansága, hogy a matematikát csak a saját diszciplinaritás keretein belül tudják alkalmazni az érettségi előtt álló tanulók.

A megszokott érettségi feladatsor tételbizonyításának elmaradása megosztotta a tanárokat. Igen sokan örömmel üdvözölték, de néhányan kimondottan nehezményezték e tényt, mivel véleményük szerint e feladatnak a matematikai gondolkodás kialakításában igen fontos szerepe van, s ha ennek számonkérése az érettségin nem történik meg, akkor az iskolai oktatásban is fokozatosan veszíteni fog jelentőségéből.

A mérés körülményei szempontjából szinte egységes volt az a megítélés, hogy jobb eredmények születtek volna egy, az érettségihez közelebbi időpontban, valamint sokan hiányolták, hogy a javítási útmutató nem tartalmazta az osztályzatra válthatóság szabályait. A feladatsorok a rendelkezésre álló időkeretben a tanárok véleménye szerint nyugodtan megoldhatónak bizonyultak.

A középszintű feladatsorok szokatlan eleme volt az első, 45 perc alatt megírandó, rövid kérdésekből álló része. (A felmérések idejében ez a rész még 15 feladatot tartalmazott.) A tanárok véleménye erről a részről is több pozitív, mint negatív megjegyzést tartalmazott. Többségük változatos, a tananyagot elég jól lefedő feladatsornak tartotta, amely a matematikai fogalmak számonkérésére, az alapismeretek és az alapkészségek mérésére megfelelő volt. Kiemelték, hogy ezek megoldásakor a gyengébb tanulók is bebizonyíthatják, hogy bizonyos ismereteket és készségeket elsajátítottak. A nehezebb, összetettebb feladatokban, ahol már a kezdő lépésekhez is gyakran komoly ötlet kell, nekik erre gyakran nincs lehetőségük. Véleményük szerint ez a kevésbé jó tanulók közti differenciálást segíti. Azok, akik egyetértettek a tételbizonyítás elmaradásával, úgy gondolták, hasznos lenne, ha a „bemagolt” tételek és definíciók „kikérdezése” helyett a számonkérésnek ez a formája honosodna meg. Véleményük szerint ily módon is ellenőrizhetőek az egyszerű elméleti ismeretek, és a tanulók szívesebben adnak számot ilyen formán az elméleti ismereteikről. Többen úgy érezték, ez a vizsgarész alig kíván az általános iskolai tudásnál többet, de abban már megoszlottak a vélemények, hogy ez helyes vagy helytelen. Azzal sem mindenki értett egyet, hogy a válaszokat ebben a részben többnyire nem kell indokolni.

A tanárok jelentős része összességében dicsérte a javítási értékelési útmutatót. Úgy gondolták, nagyon pontosan, alaposan, részletesen kidolgozott, jobban tájékoztatja a javító tanárt, mint a korábbiak, egyértelmű, kellemesen körültekintő, könnyítette az értékelési munkát. Külön dicsérték az egyes feladatokra adott többféle megoldást. Ugyanakkor voltak olyan kollégák, akik a kevésbé részletes útmutatót igényelték, és úgy vélték, hogy ezzel az értékelési formával csorbul a tanár szabadsága.

A középszintű feladatsor megírása után a felmérésben részt vevő tanulók közül többen örültek volna, ha már a felmérés évében a kipróbálthoz hasonló feladatsorokból érettségizhettek volna. A feladatokat egyszerűnek, érthetőnek, egyértelműen megfogalmazottaknak tartották. Alapvetően könnyűnek érezték a feladatsort, sokkal nehezebbre számítottak. A tanulóknak tetszett az I. rész, ez jóval egyszerűbb volt, mintha az indoklást is le kellett volna írniuk, segített ráhangolódni a munkára. A feladatok közötti választhatóság lehetősége a tanulók körében gyakorlatilag egyértelműen pozitív visszhangra talált. Előnyösnek tartották, hogy a választható feladatokat nagyon különböző témakörökből állították össze, így akkor is lehet 100%-os eredményt elérni, ha valamelyik témakörből nem megfelelőek az ismereteik. Sokaknak tetszettek a gyakorlati életből vett feladatok: „kézzelfoghatóbb közelségbe hozta a matematikát”, véleményük szerint azok megoldása nem okozott gondot. A kevésbé lelkesek a gyakorlati feladatokat szokatlannak, de szükségesnek érezték, a leggyengébb eredményt elérők azonban panaszkodtak arra, hogy a sok szöveg összezavarta őket.

A felmérések hasznosítása a vizsgafejlesztés folyamatában

A felmérések eredményeit feldolgoztuk (Lukács Vancsó, 1999; Lukács, 2001) – különös tekintettel az egyes feladatok itemszintű elemzésére –, ennek részleteit azonban természetesen itt nincs mód közölni. Ugyanakkor fontos elmondani, hogy a követelmények és még inkább a vizsgamodellek és a javítási-értékelési útmutatók változtatását elsősorban a felmérések eredményei alapján végeztük. Néhány ezek közül:

• csökkentettük a középszintű feladatsor I. részében a feladatok számát;
• csökkentettük a választható feladatok számát (mindkét szinten csak egy részben lehet választani, és csak egy feladat elhagyására van mód);
• a bevezetés éveiben csökkentettük a gyakorlati feladatok arányát (elsősorban a középszinten);
• elhagytuk az emelt szint utolsó, nagyon összetett feladattípusát;
• pontosítottuk a javítási útmutatókat, egyes területeken tovább részletezve azt, máshol viszont nagyobb szabadságot biztosítottunk (lehetővé tettük például a részpontszámok további bontását).

A közvélemény-kutatás eredményei

A próbamérések és a tantervi átalakulások miatt 2001-ben szükségessé vált a részletes követelmények, illetve a vizsgaleírás átdolgozása. Az átdolgozott teljes vizsgadokumentum 2001 őszén széles körű szakmai véleményezésre került. Reprezentatív minta alapján összeállított középiskolai kör, szakmai szervezetek, pedagógiai intézmények, az érintett felsőoktatási intézmények és szakmai lektorok kapták meg a dokumentumot. A véleményezett anyag tartalmazta az érettségi vizsga részletes követelményeit, a vizsgaleírást, valamint két közép- és két emelt szintű írásbeli mintafeladatsort javítási-értékelési útmutatóval. A feladatsorokat megkülönböztettük aszerint, hogy a bevezetés pillanatában vagy a bevezetés eltelte után néhány évvel feladható feladatsor.

A középiskolák számára elküldött 320 darab kérdőívből matematikából 254 érkezett vissza, ami igen jó eredménynek tekinthető. A középiskolai tanárok – az összesített vélemények szerint – ezen felmérés alapján is alapvetően elfogadták a tervezett új tantárgyi követelményeket, vizsgaszerkezetet és értékelési eljárást. A követelmények felépítésével 89%-uk egyetértett, logikusnak, szerkezetileg jól felépítettnek tartva azt. Döntő többségük (90%-uk) szerint a középszintű követelmények nem haladták meg a kerettantervben megfogalmazott követelményeket. Bár a válaszadók tekintélyes része egyetértett a követelményekkel, ugyanakkor az emelt szintű követelményekre való felkészítést az adott órakeretben a válaszadók 32%-a nehezen megvalósíthatónak tartotta. A középszintű írásbeli vizsga felépítésével 62%, az emeltével 67% értett egyet. Meg kell jegyezni, hogy mindkét esetben igen magas (21, illetve 24%) volt azok aránya, akik a rendelkezésre álló információk alapján a kérdést nem tudták eldönteni. A feladatok közötti választhatóságot a középszinten 69, az emelt szinten a válaszadók 74%-a támogatta.

Erre a felmérésre is igaz, hogy míg általánosságban az elfogadottság mértéke igen jó volt, addig a részletes szöveges megjegyzésekben sok olyan kisebb-nagyobb észrevétel jelent meg, amely a követelmények egyes részleteit, illetve a mintafeladatsorokat bírálták. Ezek tekintélyes részét az átdolgozásnál figyelembe vettük.

A közvélemény-kutatás eredményeképpen visszaérkezett észrevételek azt mutatták, hogy a felsőoktatás szakmai szempontból elfogadta az új vizsgakoncepciót. Megfelelőnek tartotta a két vizsgaszint közötti különbséget, és egyetértett a vizsga szerkezetével is. A válaszadók egy része az emelt szint egyes elemeit (például analízis) szükségtelennek érezte, és megtartotta volna azt a jelenlegi gyakorlatot, hogy ezeket a felsőoktatás keretében oktassák. (Ellentmond ennek az a középiskolai tanári vélemény, amely szerint a felsőoktatásban nincs elég idő ezen tartalmak részletes elsajátítására.) A részletes véleményekből, különösen a feladatsorok értékelésével kapcsolatban, igen sokat beépítettünk az átdolgozott változatba.

A próbaérettségik eredményei és hasznosulásuk a fejlesztés folyamatában

A próbaérettségikre összeállított feladatsorok – közép- és emelt szinten egyaránt – a matematika vizsgakövetelményeire épültek, és a vizsgaleírásoknak megfelelően készültek. Az összeállításnál azonban figyelembe vettük azokat az anyagrészeket, amelyeket többnyire a 12. évfolyamon tanítanak, és ezek az ismeretek (a térgeometria, illetve az analízis egy része, sorozatok) nem kerültek a feladatsorokba. Az erre az alkalomra csökkentett vizsgakövetelmények nyilvánosak és mindenki számára egyértelműek voltak. Ugyanakkor az összeállításnál természetszerűleg nem lehetett figyelembe venni azt, hogy az érettségi előtti, többnyire három-négy hónapos, rendszerező ismétlés még nem történhetett meg.

A 2003-as próbaérettségi alapvetően arra volt alkalmas, hogy az elkészült vizsgamodellt teszteljük, és végső formába öntsük. Az itt készült megoldások adták a tanártovábbképzések értékelendő gyerekmunkáit is.

A 2004-es feladatsorok (A 2004-es próbaérettségi …, 2005) összeállításánál feltételeztük, hogy a próbaérettségin részt vevő 11. évfolyamos tanulók a 2001-es központi kerettantervre épülő helyi tantervek alapján készültek, vagyis a korábban a matematika-tantervekben nem vagy csak kisebb hangsúllyal szereplő ismeretelemek (kombinatorika, valószínűség-számítás, statisztika, gráfok) tanítása, valamint az érettségi követelményekben megfogalmazott kompetenciák fejlesztése a tanórán megtörtént.

2004-ben matematikából középszinten 18 631, emelt szinten 6 911 tanuló írt dolgozatot. Ezzel mindkét szinten az első helyen szerepeltek a kötelező tantárgyak közül. Ebből azonban nem azt a következtetést vontuk le, hogy a tanulók ezt a tantárgyat választották a legszívesebben, sokkal inkább azt, hogy ettől a tantárgytól féltek a leginkább, és minél többen szerettek volna matematikából némi tapasztalatot szerezni az „éles” vizsga előtt.

2. táblázat
A 2004-es próbaérettségin részt vevő tanulók összetétele

Középszint	Emelt szint
Az elemzett dolgozatok száma	1600	859
A nemek aránya (%)	Nő: 48,1	Nő: 36,8
	Férfi: 51,9	Férfi: 63,2
A vizsgázók félévi érdemjegyei (%)	Elégtelen: 0,8	Elégtelen: 0,1
	Elégséges: 37,9	Elégséges: 5,7
	Közepes: 33,2	Közepes: 18,9
	Jó: 20,3	Jó: 38,1
	Jeles: 7,8	Jeles: 37,2
A félévi érdemjegyek átlaga	2,97	4,06

A 2. táblázat jól mutatja, hogy mindkét szinten inkább a fiúk választották a matematikát, de igazán ez az emelt szinten feltűnő, ahol a fiúk száma 1,7-szerese a lányokénak. A középszintű dolgozatokat írók 11. évfolyambeli féléves eredményeinek átlaga nem éri el a hármast, az emelt szintűek azonban gyakorlatilag négyes átlageredménnyel rendelkeztek. Ezzel együtt is soknak tűnik az egyes-hármas érdemjeggyel emelt szintű dolgozatot írók aránya, majdnem eléri a tanulók egynegyedét.

Az eredmények átlaga középszinten 36,82% volt (szórás 17,35), s bár csak a tanulók 1,5%-a teljesített 10% alatt, vagyis 1,5 százalékuk bukott volna úgy, hogy szóbeli vizsgára sem mehetett volna, az összteljesítmény és a viszonylag jól teljesítők aránya rendkívül alacsony. Ugyanakkor feltétlenül meg kell jegyezni, hogy ha összehasonlítjuk a „hagyományos”, tisztán matematikai ismereteket számon kérő feladatokban, valamint a szöveges, szövegértésre épülő, modellalkotást is kívánó feladatokban mutatott teljesítményeket, megállapíthatjuk, hogy ez utóbbi teljesítettsége mintegy 30%-kal magasabb. Ez még akkor is váratlan, ugyanakkor bizonyos szempontból örömteli eredmény, ha mindenképpen figyelembe kell venni, hogy ebből a feladattípusból a „bevezető időszakban” könnyebb feladatok válogatását tartjuk helyesnek, és ezt követtük a próbaérettségi feladatsorának összeállításakor is. Ahhoz, hogy ezt az eredményt értelmezhessük, további vizsgálatokra van szükség, néhány hipotézist azonban megfogalmazhatunk. A próbaérettségi egészére jellemző volt a motiválatlanság, és láthatóan a tanulók többsége csak azokkal a feladatokkal foglalkozott elmélyülten, amelyek valamiért érdekesebbek voltak a többinél vagy nagyobb erőfeszítés nélkül megoldhatóak voltak.

Az eredmények – különösen a középszinten – jól mutatták, hogy a hosszabb szövegű feladatok, a sok részkérdést tartalmazó problémák nem ijesztik el feltétlenül a tanulókat, igazi problémát csak abban az esetben jelentenek, ha túl bonyolult modellalkotást kívánnak, és/vagy nehéz a matematikai tartalmuk. Az emelt szint teljesítettsége alig volt alacsonyabb, mint a középszinté, de sokkal nagyobb az eredmények szórása, és a gyengébb dolgozatok száma is magasabb volt, a teljes minta 12%-a. Ez még akkor is magas arány, ha a minta adataiból láttuk, hogy nem kevés gyenge eredményű tanuló is megpróbálkozott az emelt szinttel. Az emelt szinten a jegyek és a teljesítmények korrelációja gyakorlatilag megegyezik a középszintű korrelációval (0,49), ugyanakkor a teljesítmények ezen a szinten sokkal jobban elmaradnak a jegyek alapján elvárhatótól, mint a középszinten.

Emelt szinten sem okozott a tanulóknak problémát a választhatóság, néhány vizsgázót leszámítva, a nem választott feladatokat mindenki megfelelően jelölte. A választható feladatok között nem volt olyan, amelyiket feltűnően sokan nem választottak, a választás aránya 68–96 százalék között mozgott. A választások gyakorisága és a feladatok megoldottságának eredményessége között nem volt szoros összefüggés.

A 2004-es próbaérettségi elemzése után ismételten megállapíthattuk, hogy – az előzetes várakozásokkal összhangban – a 12. évfolyamos rendszerező ismétlés előtt a tanulók többsége még nem alkalmas egy összefoglaló, a teljes 12 évet átfogó záró dolgozat megírására. Jól látható az is, hogy megfelelő motiváltság híján a tanulók jelentős hányada csak a rutinból előjövő képességeit és ismereteit mozgósítja. S bár nullapontos összeredményű dolgozattal nem találkoztunk, a sok el sem kezdett feladat azt jelezte, hogy gyakran a feladat elolvasása után a vizsgán szinte „kötelező” „megpróbálom, hátha sikerül valami jó részmegoldást leírnom” reflexek gyakran nem működtek.

A próbaérettségi fontos tanulságokkal szolgált a feladatsor összeállításához, a javítási útmutató elkészítéséhez és az értékelés-javítás megszervezéséhez egyaránt. A próbaérettségi tanulságai a tanártovábbképzések tematikájának átdolgozásában is megjelentek. A feladatok kiválasztása, a megoldásban megjelenő részismeretek értékelési aránya – a vizsgaleírás megtartásával – finomult és kissé átalakult az eredmények ismeretében. Bár a javítási-értékelési útmutató igen részletes általános és konkrét utasításokat tartalmazott a dolgozatok értékeléséhez, a próbaérettségi tapasztalatai (és a tanártovábbképzésén kapott megerősítések) után döntöttünk úgy, hogy az összetett feladatok értékelésében megjelenítjük az egyes gondolati egység határait, biztosítva ezzel, hogy az általános útmutatóban megjelenő fogalmat minden javító azonosan értse.

A tapasztalatok ismételten megerősítették, hogy további minőségi javulást az értékelési eljárásokban csak a kipróbált-bemért feladatállomány hozhat. A mérés arra is rávilágított, hogy fokozatosan újra kell gondolni a vizsga szerkezetét, s a további eredmények alapján egyes (a gyakorlat során feleslegesnek bizonyuló) kötöttségeket fel kell oldani, más részleteket pedig esetleg pontosabban kell szabályozni.

A próbaérettségi azt is jól bebizonyította, hogy az emelt szinten javítók esetében – a képzéstől függetlenül – feltétlenül szükség van a konkrét feladatsorhoz kötődő értékelési képzésre, és igen megfontolandó, hogy (mindaddig, amíg nem előzetesen kipróbált-bemért feladatállománnyal történik a vizsgáztatás) nem szükséges-e egy félnapos javítás után a felmerülő problémák összegyűjtése és tisztázása.

Az új matematikaérettségi jellemzői

A fejlesztés folyamatának eredményeképpen végül is a következő matematikaérettségit vezettük be 2005-ben. Az oktatási törvény és az érettségiről szóló kormányrendelet szerint a matematika kötelező érettségi tantárgy közép- vagy emelt szinten. Középszinten írásbeli (ha az eredmény az elégségest jelentő 20% és az egyes vizsgarészek esetében külön előírt 10% közé esik, akkor szóbeli is), emelt szinten pedig írásbeli és szóbeli vizsgát kell tenniük a vizsgázóknak. A jellemzők összefoglalását a 3. táblázat tartalmazza.

3. táblázat
A matematikaérettségi szerkezete

Középszint	Emelt szint
Írásbeli vizsga	Írásbeli vizsga	Szóbeli vizsga
17–20 feladat	9 feladat	1 tétel
180 perc	240 perc	20 perc
100 pont	115 pont	35 pont
20%-tól a vizsga elégséges. 10–19% között szóbeli vizsga tehető, amelynek maximális pontszáma 50 pont. Ekkor a két vizsgarész együttes pontszámának 20%-ától elégséges a vizsga.	A két vizsgarész együttes pontszámának 20%-ától elégséges a vizsga, azzal a megszorítással, hogy az egyes vizsgarészek 10%-át külön-külön is el kell érni. Ez az írásbeli vizsga esetén 12 pont, a szóbeli vizsga esetén 4 pont.

A két vizsgaszint viszonya

Az emelt szintű érettségi vizsga követelményei tartalmazzák a középszintű vizsga vizsgakövetelményeit, helyenként változatlan tartalommal, magasabb műveleti szinten, nehezebb feladatokon számon kérve. A középszintű követelmények összeállításakor az akkor még kötelezően előírt kerettantervhez igazodtunk, és alapvetően a matematikából tovább nem tanulók érdekeit vettük figyelembe. Az emelt szint követelményei készültek a matematikát igénylő felsőoktatási intézményekbe készülő diákok számára. S bár 2005-ben a felsőoktatási intézmények nem írták elő az emelt szintet felvételi követelményként, a felsőoktatás jelenlegi gyakorlatát ismerve az intézményekben való bennmaradást igen nagy mértékben segítheti az emelt szintű követelmények megfelelő színvonalú elsajátítása.

Ugyanakkor igen felelősségteljes döntést igényel a tanulók vizsgaszint választása, hiszen az emelt szintű vizsgán elért eredmény nem konvertálható középszintű vizsgaeredménnyé.

Az emelt szintű feladatsor első négy feladata többnyire olyan nehézségi szintű, amely a középszintű feladatsor második felében is feladható lehetne. Ugyanakkor ezek között a feladatok között is előfordulhat olyan, amelynek ismeretelemei nem részei a középszintű követelményeknek. (Ilyen lehet például egy analízisfeladat.) Az emelt szint második fele (öt feladat) tartalmilag és/vagy nehézségi szintjében egyértelműen túlmutat a középszinten.

Az emelt szinten megjelenő szóbeli vizsga a matematikával később magasabb szinten foglalkozó tanulók számára lehetővé teszi a szóbeli kommunikáció lehetőségét, az egy témában való összefüggések, logikai láncok összefoglalásának megjelenítését, és nem utolsósorban azt, hogy a középszintű vizsgából kikerült elméleti tudás is megfelelő hangsúlyt kapjon a korrekt definíciók és a tételek kimondásával, illetve a tételek bizonyítása révén. A szóbeli vizsgára – a tételcímek nyilvánossága segítségével – előre lehet készülni, és a feleletek felépítését meg lehet tervezni.

Az új matematikaérettségi célja

A matematikaérettségi célja annak vizsgálata, hogy a vizsgázó

• tud-e logikusan gondolkodni, rendelkezik-e megfelelő matematikai probléma- és feladatmegoldó, valamint absztrakciós, analizáló és szintetizáló képességgel;
• tud-e állításokat, egyszerűbb gondolatmenetű bizonyításokat szabatosan megfogalmazni, áttekinthető formában leírni;
• elsajátította-e a mindennapi életben használatos számolási technikákat, rendelkezik-e biztos becslési készséggel, az önellenőrzés igényével;
• képes-e statisztikai gondolatok megértésére, intelligens felhasználására, a függvény- vagy függvényszerű kapcsolatok felismerésére és értékelésére;
• képes-e a leírt síkbeli és térbeli szituációk elképzelésére, tud-e ezekhez ábrát készíteni, s ennek segítségével az adott konstrukcióban gondolkodni, számolni;
• képes-e a tanult ismereteket más tantárgyakhoz kapcsolódó feladatokban alkotó módon alkalmazni;
• képes-e hétköznapi szövegekben rejlő matematikai problémákat észrevenni, egy-egy gyakorlati kérdés megoldásához matematikai modellt alkotni, különböző problémamegoldó stratégiákat alkalmazni;
• képes-e a különböző matematikai segédeszközök (függvénytáblázat, zsebszámológép) célszerű alkalmazására.

Emelt szinten a felsoroltakon túl az érettségi vizsga célja annak mérése, hogy a tanuló

• rendelkezik-e a felsőfokú matematikai tanulmányokhoz szükséges alapokkal;
• képes-e hipotéziseket megfogalmazni, és sejtéseit bizonyított állításaitól megkülönböztetni;
• milyen szintű kombinatív készséggel rendelkezik, mennyire kreatív a gondolkodása;
• képes-e gondolatmenetében érthetően, világosan alkalmazni a matematikai modellalkotás lépéseit (a probléma megfogalmazása, matematikai formába öntése, összefüggések keresése, az eredmények matematikai módszerekkel történő kiszámítása, igazolása, értelmezése).

Összefoglalás

Ismét visszautalva a címben foglaltakra, meg kell állapítanunk, hogy az új matematika-érettségi úgy változott, hogy közben (szándékai szerint) megtartotta azokat az elemeket, amelynek segítségével hagyományait is megőrizhette. Átalakult a követelményrendszer tartalma (kiegészült és szűkült egyszerre), megváltozott a vizsga felépítése, a számonkérés filozófiája. Jelentősen bővültek a vizsgán megjelenő feladattípusok, és igen nagy arányban megjelentek a gyakorlati életben előforduló matematikai problémák a feladatokban.

Az első két év eredményei alapján elmondható, hogy a vizsgák mindkét szinten teljesíthetőek voltak, nem következtek be a tömeges bukást jóslók előrejelzései. Ugyanakkor nagyon fontos, hogy az eltérő szintek eltérő funkcióinak teljesülése erősödhessen az elkövetkező években, mert ezzel biztosíthatjuk azt a már korábban megfogalmazott igényt, hogy a matematikatanítás hagyományai, a tehetséggondozás fontossága megmaradjon a középiskola jelenlegi tömegoktatást megvalósító keretei között is.

Feltétlenül szükségesnek tartjuk a vizsga folyamatos monitorozását és korrigálását az eredmények, a tapasztalatok és a gyorsan változó igények mindenkori figyelembevételével úgy, hogy a megtartva-megújítva kettősséget ne hagyjuk figyelmen kívül a jövőben sem.

Irodalom

A 2004-es próbaérettségi tapasztalatai. Matematika (2005): (Lukács Judit) Új Pedagógiai Szemle, 2. sz.

A matematika vizsga részletes követelményei és vizsgaleírása (2001): Szerk.: Lukács Judit. Munkaanyag. Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ.

Az érettségiről tanároknak 2005. Matematika (2004): Szerk.: Lukács Judit.
[online]

Balázsi Ildikó – Szabó Vilmos – Szalay Balázs (2005): A matematikaoktatás minősége, hatékonysága és az esélyegyenlőség. A PISA 2003 nemzetközi tudásmérés magyar eredményei. Új Pedagógiai Szemle, 11. sz.

Csapodi Csaba (2001): Magyarország és négy európai ország matematikaérettségijének összehasonlítása. Szakdolgozat. ELTE TTK, Budapest.

Hatch, G. (1999): Itt nem ugyanolyan! – Néhány megjegyzés a magyar iskolákról és a magyarországi matematikatanításról. (Fordította: Török Judit.) Új Pedagógiai Szemle, 10. sz.

Hogyan válhatnak hasznossá és használhatóvá a matematikai ismeretek – Beszélgetés Vancsó Ödön kutatóval (2002): A beszélgetést vezette és szerkesztette: Földes Petra. Új Pedagógiai Szemle, 10. sz.

I. Kerekasztal-beszélgetés. Résztvevők: Bajnai Gordon, Beke Martos Gábor, Bojár Gábor, Jaksity György, Karvalits Ferenc. A beszélgetést Lantos Gabriella vezette.
[online]

Kroó Róbert (2006): Néhány gondolat a matematikáról. Magyar Tudomány, 5. sz.

Lukács Judit – Vancsó Ödön (1997): Új oktatási törekvések a megújuló matematikaérettségi követelményeiben. Módszertani Lapok, Matematika, OKSZI, 3. évf. 4. sz.

Lukács Judit (1997): Matematika. In: Mátrai Zsuzsa (szerk.): Középiskolai tantárgyi feladatbankok I. Biológia – Matematika – Angol nyelv. Mérés – értékelés – vizsga 2. Országos Közoktatási Intézet, Budapest.

Lukács Judit (2001): Próbamérés matematikából, az új matematikaérettségi modelljének kipróbálása. Kézirat. Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ, Budapest.

Lukács Judit – Vancsó Ödön (1999): Jelentés a matematikaérettségi vizsgamodelljének méréséről. Kézirat. Országos Közoktatási Intézet Értékelési és Érettségi Vizsgaközpont, Budapest.

Némethy Katalin (1996): A matematikaérettségi története Magyarországon. Kézirat. Országos Közoktatási Intézet, Budapest.

Összefoglaló a 2001. évi gimnáziumi matematika érettségi dolgozatok vizsgálatáról (2002): OKÉV-OM, Budapest.

Somfai Zsuzsa (2002): A matematika tantárgy helyzete a felső tagozaton és a középiskolában. Új Pedagógia Szemle, 12. sz.

Tompa Klára (1998): Érettségi feladatbank – Matematika. Kutatási beszámoló. Kézirat. Országos Közoktatási Intézet, Budapest.

Vincze Szilvia – Márton Sándor (2004): A kreatív gondolkodás megjelenése a matematikai teljesítményben. Új Pedagógia Szemle, 4–5. sz.