MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 06. KÖZÉPSZINT I

Íme a részletes érettségi feladatok és megoldásaik!

Nem sokkal a középszintű matematika érettségi vizsgák lezárulta után lapunk hozzájutott a feladatosorokhoz, s némi tanári segítséggel a – nem hivatalos – megoldásokat is eljuttatták hozzánk. A hivatalos megoldásokat s az emelt szintű vizsgák feladatait az oktatási tárca szerdán teszi majd közzé. Elmondjuk azt is, milyen kompetenciákat követel az érettségi.

A középszintű matematika érettségi feladatsorokat oktatási oldalunkon, az eduline.hu-n nézhetik meg.

A középszintű érettségi vizsga nem hivatalos megoldását itt olvashatják.

Az emelt szintű érettségi vizsga feladatait, illetve a középszintű és az emelt szintű vizsga hivatalos megoldásait az oktatási tárca szerdán teszi közzé.

A matematika középszintű írásbeli vizsga 180 percig tartott. A vizsgázók először az I. feladatlapot oldották meg, amelyre 45 percük volt, majd a II. feladatlap következett, erre 135 percet adtak. A feladatlapokon belül a diákok a rendelkezésükre álló időt tetszésük szerint oszthatták meg az egyes feladatok között, és a megoldás sorrendjét is meghatározhatták.

Az I. feladatlap, amely 10-12 feladatot tartalmaz, az alapfogalmak, definíciók, egyszerű összefüggések ismeretét hivatott ellenőrizni. A II. feladatlap két részre oszlik: egyik felében a feladatok egy vagy több kérdésből állnak, míg a második rész három, egyenként 17 pontos feladatot tartalmaz, ezek közül a vizsgázó választása szerint kettőt kell megoldani, és csak ez a kettő értékelhető.

A matematika emelt szintű írásbeli vizsga 240 percig tartott, délben ennek is vége lett. Az írásbeli két részből állt, a vizsgázó a rendelkezésére álló időt tetszése szerint oszthatta meg a két rész, illetve az egyes feladatok között, és a megoldás sorrendjét is meghatározhatta.

A vizsgázók közép- és emelt szinten egyaránt használhattak függvénytáblázatot (egyidejűleg akár többfélét is), szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet, körzőt, vonalzót, szögmérőt; ezekről nekik kellett gondoskodniuk. Az eszközöket az érettségizők a vizsga során egymás között nem cserélgethették.

Az oktatási tárca matematika érettségire vonatkozó tájékoztatója szerint a középszintű vizsgához a „társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell megkövetelni”, ami elsősorban a matematikai fogalmak, tételek gyakorlati helyzetekben való ismeretét és alkalmazását jelenti. Az emelt szintű vizsga ugyanakkor a középszinthez is megkövetelt tudást nehezebb feladatokkal teszik próbára, ezen túlmenően pedig a követelmények között olyan speciális anyagrészek is találhatók (melyek ezek?), amelyekre a felsőoktatásban matematikát használó, illetve tanuló diákoknak van szükségük elsősorban.

A feladatok megoldásához elsősorban „matekos” gondolkodásra van szükség, vagyis arra, hogy a feladat szövegében a diák meglássa a matematikai problémát, majd képes legyen matematikai modellt alkotni rá, a kapott eredményeket pedig értelmezni tudja. Szövegértés nélkül tehát nem működik a matematikai problémamegoldás sem. A tanulóktól megkövetelik a „betűs kifejezések” értelmezését, valamint azt, hogy egy adott problémát képes legyen egyenlettel felvázolni, s persze az egyenlet megoldási módszereit is ismerje. Jó, ha képes előre becsülni, így azt is képes a végeredményről megállapítani, hogy reális-e.

Míg középszintű érettséginél alapkövetelmény, hogy a tanuló képes legyen a körülötte levő világ egyszerűbb összefüggéseinek függvényszerű megjelenítésére, emelt szinten az analízis néhány alapelemének ismeretét is elvárják tőle, ezekkel tudnia kell függvényvizsgálatokat végezni, szélsőértéket, görbe alatti területet számolni. Az emelt szintű vizsgához szükséges kompetenciák között említik még a halmazelmélet megfelelő ismeretét, illetve az összetettebb algebrai átalakításokat igénylő feladatok megoldásában való jártasságot is.

A középszinthez elvárás az is, hogy a diák síkban is jól tájékozódjon, illetve térbeli viszonyokat is jól képzeljen el, vegye észre a szimmetriákat, a feladatokhoz illő ábrákat készítsen, tudjon mérni és számolni hosszúságot, területet, felszínt és térfogatot. Sőt, a geometria szerepét érdemes felismernie a műszaki életben és bizonyos képzőművészeti alkotásokban. A valószínűség-számítás és a statisztika ismerete ugyancsak követelmény, emelt szinten pedig már a véletlen szerepét is ismernie kell az egyszerű statisztikai mintavételi eljárásokban.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 06. KÖZÉPSZINT I.

1 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Hány kézfogás történt? ( pont) 1 kézfogás történt. ( pont) ) Péter egy 100-nál nem nagyobb pozitív egész számra gondolt. Ezen kívül azt is megmondta Pálnak, hogy a gondolt szám 0-szal osztható. Mekkora valószínűséggel találja ki Pál elsőre a gondolt számot, ha jól tudja a matematikát? ( pont) kedvező esetek száma P összes eset ( pont) 4) Ha fél kilogramm narancs 75 Ft-ba kerül, akkor hány kilogramm narancsot kapunk 00 Ft-ért? ( pont) kilogrammot. ( pont) 5 5) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett az másodfokú függvény zérushelyeit! Számítsa ki a függvény helyettesítési értékét az 1, helyen! ( pont) Zérushelyek: 0 és 5. A helyettesítési érték 4, 56 ( pont). Összesen: pont

2 6) Az ABCD négyzet középpontja K, az AB oldal felezőpontja F. Legyen a KA és b KB. Fejezze ki az a és b vektorok segítségével a vektort! ( pont) a b KF KF ( pont) 7) Adja meg az alábbi állítások igazságértékét (igaz vagy hamis), majd döntse el, hogy a b) és a c) jelű állítások közül melyik az a) jelű állítás megfordítása! (4 pont) a) Ha az ABCD négyszög téglalap, akkor átlói felezik egymást. b) Ha az ABCD négyszög átlói felezik egymást, akkor ez a négyszög téglalap. c) Ha az ABCD négyszög nem téglalap, akkor átlói nem felezik egymást. a) igaz b) hamis c) hamis Az a) megfordítása a b). 8) Írja fel két egész szám hányadosaként a Összesen: 4 pont szám reciprokának értékét! A reciproka: ( pont) 1 A reciprok értéke: ) Mennyi az veszi fel ezt az értéket? 10 f Összesen: 4 pont függvény legnagyobb értéke, és hol ( pont) A legnagyobb érték: 10. Ezt az 0 helyen veszi fel. Összesen: pont

3 10) Egy számtani sorozat első tagja, differenciája 17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! ( pont) a1 d 17 a ( pont) A sorozat 100-adik tagja: ) Egyszerűsítse az Az egyszerűsített tört: algebrai törtet! Tudjuk, hogy Összesen: pont 80 ;. ( pont) ( pont) 1) Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik mindkét nyelven? Válaszát indokolja! (4 pont) Mindkét nyelven a dolgozók 0%-a fordít. A mindkét nyelven fordítók száma: 10. ( pont) Összesen: 4 pont

4 II/A. 1) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) lg 15 lg 5 lg (6 pont) (6 pont) 5 a) Értelmezési tartomány: A logaritmus azonosságának helyes alkalmazása. (A lg függvény kölcsönösen egyértelmű.) b) és 5 Mindkét megoldás megfelel ( pont) 1 A négyzetgyök értéke nemnegatív szám, ezért nincs valós megoldás. Összesen: 1 pont 14) Adott a koordináta-rendszerben az középpontú, 10 egység sugarú kör. a) Számítsa ki az y 16 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit! (8 pont) b) Írja fel a kör pontjában húzható érintőjének egyenletét! Adja P 1; A 9; 8 meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)! 9 y a) A kör egyenlete Ebbe behelyettesítve az 9 6 Az egyenlet megoldva: A közös pontok: ; y 16-ot: 15 vagy és ; (4 pont) ( pont) ( pont) ( pont) 16 ( pont) b) Az érintő normálvektora az AP vektor. AP 8;6 Az érintő egyenlete 4 y 10 Az érintő iránytangense 4 Összesen: 1 pont

5 15) Az 1. 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával ötjegyű számokat készítünk az összes lehetséges módon (egy számjegyet többször is felhasználhatunk). Ezek között hány olyan szám van, a) amely öt azonos számjegyből áll; ( pont) b) amelyik páros; (4 pont) c) amelyik 4-gyel osztható? (5 pont) a) 6 ilyen szám van. ( pont) b) Az utolsó számjegy páros szám (, 4, vagy 6), az első 4 számjegy féleképpen alakulhat. ( pont) -féle páros szám lehet. c) (A 4-gyel való oszthatósági szabály értelmében) a két utolsó helyen 1, 16, 4,, 6, 44, 5, 56, 64 állhat, ( pont) az első számjegy pedig Tehát féleképpen alakulhat. féle 4-gyel osztható szám lehet. ( pont) Összesen: 1 pont

6 II/B. 16) Egy facölöp egyik végét csonka kúp alakúra, másik végét forgáskúp alakúra formálták. (Így egy forgástestet kaptunk.) A középső, forgáshenger alakú rész hossza 60 cm és átmérője 1 cm. A csonka kúp alakú rész magassága 4 cm, a csonka kúp fedőlapja pedig 8 cm átmérőjű. Az elkészült cölöp teljes hossza 80 cm. a) Hány m fára volt szükség 5000 darab cölöp gyártásához, ha a gyártáskor a felhasznált alapanyag 18%-a a hulladék? (Válaszát egész m -re kerekítve adja meg!) (8 pont) Az elkészült cölöpök felületét vékony lakkréteggel vonják be. b) Hány m felületet kell belakkozni, ha 5000 cölöpöt gyártottak? (Válaszát egész m -re kerekítve adja meg!) (9 pont) a) Az adatok helyes értelmezése (pl. ábra). A csonka kúp alakú rész térfogatának kiszámítása A henger alakú rész térfogatának kiszámítása 6786 cm A kúp alakú rész térfogatának kiszámítása 60 cm Egy cölöp térfogatának kiszámítása Egy cölöp elkészítéséhez 5000 cölöp elkészítéséhez 7707 cm ,8 999 cm cm, azaz b) A csonka kúp fedőköre területének kiszámítása: A csonka kúp alkotójának kiszámítása: palást területének kiszámítása: 141 cm A hengerpalást területének kiszámítása: A kúp alkotójának kiszámítása: a kúppalást területének kiszámítása: 1 cölöp felszíne 775 cm cm 9 17,09 0 4,47 18 cm 47 m 50 cm 6 cm cm (1 pont) fára van szükség cölöp felszíne, ami. Összesen: 17 pont 188 m

7 17) A Kis család Ft megtakarított pénzét éves lekötésű takarékban helyezte el az A Bankban, kamatos kamatra. A pénz két évig kamatozott, évi 6%-os kamatos kamattal. (A kamatláb tehát ebben a bankban 6% volt.) a) Legfeljebb mekkora összeget vehettek fel a két év elteltével, ha a kamatláb a két év során nem változott? ( pont) A Nagy család a B Bankban Ft-ot helyezett el, szintén két évre, kamatos kamatra. b) Hány százalékos volt a B Bankban az első év folyamán a kamatláb, ha a bank ezt a kamatlábat a második évre %-kal növelte, és így a második év végén a Nagy család Ft-ot vehetett fel? (10 pont) c) A Nagy család a bankból felvett Ft-ért különféle tartós fogyasztási cikkeket vásárolt. Hány forintot kellett volna fizetniük ugyanezekért a fogyasztási cikkekért két évvel korábban, ha a vásárolt termékek ára az eltelt két év során csak a 4%-os átlagos éves inflációnak megfelelően változott? (A 4%-os átlagos éves infláció szemléletesen azt jelenti, hogy az előző évben 100 Ft-ért vásárolt javakért idén 104 Ft-ot kell fizetni.) (4 pont) ,06 a) A felvehető összeg: ( pont) ami Ft. b) (Az első évben %-os volt a kamat.) Az első év végén a számlán lévő összeg: ( pont) A második év végén a felvehető összeg: ( pont) ( pont) a másik gyök negatív ( 08), nem felel meg. Az első évben 5%-os volt a kamat. A feladat megoldható mértani sorozat felhasználásával is. c) Ha a két évvel ezelőtti ár y forint, akkor egy év múlva 1,04 y, két év múlva y 1,04 1,04 y Két évvel korábban forint az ár Ft -ot kellett volna fizetniük. Összesen: 17 pont

8 18) Egy szerencsejáték a következőképpen zajlik: A játékos befizet 7 forintot, ezután a játékvezető feldob egy szabályos dobókockát. A dobás eredményének ismeretében a játékos abbahagyhatja a játékot; ez esetben annyi Ft-ot kap, amennyi a dobott szám volt. Dönthet azonban úgy is, hogy nem kéri a dobott számnak megfelelő pénzt, hanem újabb 7 forintért még egy dobást kér. A játékvezető ekkor újra feldobja a kockát. A két dobás eredményének ismeretében annyi forintot fizet ki a játékosnak, amennyi az első és a második dobás eredményének szorzata. Ezzel a játék véget ér. Zsófi úgy dönt, hogy ha -nál kisebb az első dobás eredménye, akkor abbahagyja, különben pedig folytatja a játékot. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Zsófi tovább játszik? (4 pont) b) Zsófi játékának megkezdése előtt számítsuk ki, mekkora valószínűséggel fizet majd neki a játékvezető pontosan 1 forintot? (6 pont) Barnabás úgy dönt, hogy mindenképpen két dobást kér majd. Áttekinti a két dobás utáni lehetséges egyenlegeket: a neki kifizetett és az általa befizetett pénz különbségét. c) Írja be a táblázat üres mezőibe a két dobás utáni egyenlegeket!(4 pont) második dobás eredménye első dobás eredménye d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Barnabás egy (két dobásból álló) játszmában nyer? ( pont) a) A kedvező esetek száma 4. (Zsófi akkor folytatja a játékot, ha a dobott szám, 4, 5 vagy 6.) ( pont) Az összes eset száma 6. 4 A valószínűség: 6

9 b) Összesen 6 (egyenlően valószínű) lehetőség van. Egy játékos 1 forintot kap, ha a következő dobáspárok lépnek fel: c) ;6, ;4, 4;, 6;. ( pont) Az első eset nem lehet, mert akkor Zsófi nem játszik tovább. Tehát a kedvező esetek száma. A 1 forint kifizetésének valószínűsége: második dobás eredménye első dobás eredménye (4 pont) Barnabás akkor nyer, ha egyenlege pozitív. 1 esetben pozitív az eredmény. Barnabás 1 6 valószínűséggel nyer. Összesen: 17 pont