2014 október matek érettségi megoldás

Készülj az érettségire a Reftantárral!

A Református Tananyagtárban elérhetővé váltak az elmúlt évek közép- és emelt szintű feladatlapjai interaktív változatban. Ez most hasznos segítség az értettségire felkészülő diákok számára az egyéni gyakorláshoz és önellenőrzéshez.

Kojanitz László a Magyar Történelmi Társulat Tanári Tagozatának 2021. április 16. és 17. között megrendezett online nemzetközi tudományos konferenciáján részleteiben is bemutatta a Református Tananyagtár azon tananyagszerkesztőjét, mely segítségével az érettségi feladatokat is feldolgozták. A rendszerben rejlő lehetőségekről szóló előadást ide kattintva érheti el.

#érettségi 2014 október

Folytatódik az őszi érettségi: íme, a menetrend

Néhány nap múlva kezdődnek az őszi szóbeli vizsgák – az írásbeli érettségi a francia- és a fizikavizsgákkal zárul.

Jövő hétfőn mindenki megtudja, hány pontot kapott az őszi érettségire

November 3-án nézhetik meg kijavított dolgozatukat azok az érettségizők, akik valamelyik kormányhivatal oktatási főosztályán jelentkeztek az őszi vizsgára.

Átmennétek az érettségin, ha ma lenne? Friss feladatsorok és megoldások

Október 10-én a nemzetiségi nyelvi és irodalmi vizsgákkal kezdődött meg az idei őszi érettségi – itt megtaláljátok az összes feladatsort és megoldókulcsot. Az anyagot folyamatosan frissítjük.

Ötperces teszt: most kideríthetitek, átmennétek-e a matekérettségin

Évekkel ezelőtt érettségiztetek? Nem tudjátok, hány pontot szereznétek, ha ma lenne a vizsga? Kedden a matekvizsgákkal folytatódott az idei őszi érettségi – kiválasztottunk öt feladatot a középszintű tesztből. Próbáljátok ki, meg tudnátok-e oldani a példákat. A megoldásokat a cikk alján találjátok.

Mennyire vagytok jók földrajzból? Itt vannak az idei érettségi feladatai

Kedd délután a földrajzvizsgákkal folytatódott az idei őszi érettségi, az Oktatási Hivatal pedig már nyilvánosságra is hozta a feladatsorokat és a megoldásokat.

Itt vannak az őszi matekérettségi feladatai és megoldásai

Nyilvánosságra hozta az Oktatási Hivatal a keddi matematikaérettségi közép- és emelt szintű feladatsorait, illetve hivatalos megoldásait. Szerdán a történelem- és a latin nyelvi vizsgákkal folytatódik az őszi érettségi.

angol érettségi 2014 október

27 окт. 2006 г. . classic, adapted Brothers Grimm fairy tale with a vain, evil Wicked Queen . megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész.

5 мая 2014 г. . Mór: Az arany ember; Ottlik Géza: Iskola a határon) . a kihagyásos szerkesztés – a tragikus cselekménnyel összefonódva – balladai.

7 окт. 2014 г. . Tatabánya, Dózsakerti Váci Mihály Ált. Isk. Testnevelő, felkészítő: Salamonné Visy Gabriella és Salamon Zoltán.

22 нояб. 2014 г. . 01.13.34 Paradicsom . Műanyagból készült lap, lemez, film, fólia és szalag más . 22.29.21 Öntapadó szalag, lap, csík, lemez, film, .

14 окт. 2019 г. . 2019. október 14. 14:00. Földrajz. I. feladatlap: segédeszköz NEM használható; II. feladatlap: a vizsgázó biztosítja: használható.

9 мая 2019 г. . 27) Among Britons, seaside resorts are very popular in January. . You are going to read an article about fairy tales.

ANGOL NYELV. KÖZÉPSZINTŰ. ÍRÁSBELI VIZSGA. 2019. október 17. 8:00. I. Olvasott szöveg értése. Időtartam: 60 perc. Pótlapok száma. Tisztázati. Piszkozati.

KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ANGOL NYELVBŐL. A kisérettségi vizsga tartalmi részét az alább felsorolt témakörök képezik, . természet megóvásáért? • Időjárás .

fax: 313-3182, Honlap: www.jelky.hu. Szóbeli érettségi témakörök. ANGOL NYELVBŐL. (2020/2021). 1. Személyes vonatkozások, család – Personal World , Family.

Közép szint, angol szóbeli érettségi vizsga: szóbeli feladatsorok. https://www.felvi.hu/bin/content/mintafeladatok/angol/509_szobeli_minta_fe.

A felsoroltak közül melyik amerikai elnök tűnt fel a Laugh-in című sorozatban: Lyndon. B Johnson, Richard Nixon, Jimmy Carter vagy Gerald Ford?

személyesen valamelyik kijelölt, érettségi vizsgát szervező középiskolához (a kijelölt intézmények listája megtalálható a www.oktatas.hu honlapon).

Az érettségi jelentkezési lapot 2019. szeptember 5-éig kell benyújtani . Érettségi bizonyítvánnyal még nem rendelkező vizsgázó javító vagy pótló érettségi .

nemzetiségi / két tanítási nyelvi előkészítő nyelvi előkészítő érettségi bizonyítvány sorszáma ér. biz.-t kiállította: iskola OM kódja nyelvű képzés.

20 окт. 2020 г. . Matematika emelt szint — írásbeli vizsga 2013 . Pótlapok száma. Tisztázati. Piszkozati. ÉRETTSÉGI VIZSGA • 2020. október 20.

eszito érettségi bizonyítvány sorszáma érettségi bizonyítvány iskolájának OM kódja iskolájának FEH kódja évfolyamra jár(t) évfolyam nyelve.

Az érettségi jelentkezési lapot 2018. szeptember 5-éig kell benyújtani személyesen valamelyik . a középiskolai bizonyítvány utolsó tanévre vonatkozó, .

Atomfizika, magfizika. 18. Tétel: Az atommodellek kialakulása. 19. Tétel: Radioaktív bomlástörvény vizsgálata szimulációval. 20. Tétel: Az atomreaktor .

szakban vizsgáztatott angol nyelv vizsgatárgyból emelt szinten (akár javító . Véleményem szerint a középszintű nyelvi érettségi szintjének (A2-B1) …

ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK ANGOL NYELVBŐL. 2021. JÚNIUS. Az érettségi vizsga tartalmi részét az alább felsorolt témakörök képezik,.

16 окт. 2018 г. . „Minden egér szereti a sajtot.” Válassza ki az alábbiak közül annak az állításnak a betűjelét, amelyik tagadása a fenti kijelentésnek!

18 окт. 2013 г. . emelt szint — gyakorlati vizsga 1121. Azonosító jel: INFORMATIKA . 2013. október 18. 8:00 . Informatika — emelt szint. Azonosító.

Angol érettségi tételek. Hasznos tanácsok. 1. ÍRÁSBELI (WRITING) (120 perc):. • 1. tétel: szövegértés (right/wrong): egy adott szöveg alapján a diáknak el .

az emelt szintű angol szóbeli érettségi tételek használatához. A honlapunkon található tételeket alapvetően tanárral való gyakorlásra szántuk, aki.

Félúton: az agyatlan em- bertervezők kíméletlen antropológiája és az élhető . közt, ágyásokat készít, megmetszi a fákat, kerítést épít a kidőlt helyére és.

Lavylites termékek – Szabó Gábor. 17 órától – Gerinctorna Kószó- né Javi Ivettel. *. 2014. október 17. péntek, 17 óra: Élô emlékezet – múltunk értékei:.

Angol nyelv közép- és emelt szintű szóbeli érettségi témakörök. 2018. Az érettségi vizsga tartalmi részét az alább felsorolt témakörök képezik, .

Választás – 2014. október 12. Polgármester választáson induló jelöltek : Jelölt neve. Jelölő szervezet. Kapott érvényes szavazat. 1. Pocsai Enikő független.

31 окт. 2014 г. . Borítólapunk második oldalán: A földi poszméh és ro onai . ROVARTAN. Réti poszméh (Bombus pratorum) (Deli Tamás felvétele) .

3 окт. 2014 г. . Citroen 2CV, letnik 1975. Ogledamo . z neoprensko obleko, ~evlji, ~elado in re

gazdasági épület, udvar. 0,0798. Pacsirta utca 6. 12203 beépítetlen terület. 0,0782. Nyár utca 7. 8757 beépítetlen terület. 0,0782. Pacsirta utca 7.

26 окт. 2014 г. . nárné Erzsi, Komlós Juli, Eszenyi . Húsz éves kép: Eszenyi Katalin, Zaveczky Ilona, Ganev Katalin, Komlós Júlia, . Hát, húzós volt.

1 окт. 2014 г. . bekapcsolódva fenntarthatjuk a vakációs lendületet. Az ôsz sokszínűségét adja vissza a . a cappella dalok alkotják.

MERCEDES C-KLASSE W205 2013- HECKSCHEIBE GRÜN SOLAR HEIZUNG ANTENNE TV ANTENNE 3. BREMSLEUCHTE. 420015855. 5385BYPSABJZ.

1 июн. 2016 г. . Kusumawati, U. D. (2014, Oktober 29). Tercatat Angka Aborsi Meningkat diperkotaan. Dipetik April 19, 2016, dari www.cnnindonesia.com:.

6 окт. 2014 г. . 23. Oktober 2014. Formålet med nyhedsbrevet fra DMRI Hygiejne og . stemmelse af holdbarheden af fersk kød, samt 2 posters om optimal .

továbbítására, jelentés készítésére vagy vezérlésre használnak. . A szoftver verifikálása jelenti azt, hogy a szoftver megfelel a specifikációnak a .

Borrkärneskanning vid SGU. Bakgrund. Status. Planerade aktiviteter. Helge Reginiussen 16/10-2014 . Officiell invigning av projektet 10 oktober .

31 окт. 2014 г. . A MINTEL tanulmánya Szaúd-Arábia gazdaságának és turizmusának jelenlegi helyzetéről tájékoztat, valamint a kiutazó turizmus összetételét és .

ffy István társszerzőknek A debreceni angol tanszék története (1938–2014) című köny- ve a magyar anglisztika és amerikanisztika jelentős vállalkozása, .

1 дек. 2014 г. . Tudakozó hívás. A Szolgáltató biztosítja, hogy az Előfizető igénybe vehessen bármely országos tudakozó szolgáltatást.

13 окт. 2014 г. . Bazsalikomos kelkáposzta főzelék. Bakonyi csirkeleves. Francia rakott karfiol. Májgaluska leves. Magyaros babfőzelék, pörkölttel.

20 окт. 2015 г. . emelt szint — írásbeli vizsga 1512. I. Olvasott szöveg értése. Azonosító jel: OLASZ NYELV. EMELT SZINTŰ. ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 20.

24 окт. 2019 г. . Olasz nyelv emelt szint. 1912 írásbeli vizsga, I. vizsgarész. 3 / 12. 2019. október 24. Azonosító jel: Fontos tudnivalók.

11. és 12. évfolyamon osztályozó vizsgát szervezünk. – azoknak a tanulóknak javasolt az előre hozott érettségi vizsga angol nyelvből, akik.

8 мая 2014 г. . Angol nyelv középszint. Javítási-értékelési útmutató 1212. ANGOL NYELV. KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA. JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI.

8 мая 2014 г. . Read this article about different types of tea and then read the sentences (1-8) following it. • Mark a sentence A if it is true according .

7 мая 2014 г. . T Szakszerűen használja a következő konkrét történelmi fogalmakat: pl. ispán / várnépek, regálé, harmincad, kapuadó, rendkívüli hadiadó.

A 2014-es felsőoktatási felvételi eljárások során a jelenleg hatályos, a felsőoktatási . Korm. rendelet 4. számú melléklete alapján emelt szintű érettségi .

A termelő munkát végző szabad köznép, azaz a közrendűek csoportja vagyonát tekintve heterogén lehetett. A szolganépek helyzete és szerepe nem változott.

1951 májusában hat ország – Franciaország, Németország, Olaszország és a három Benelux- . A Montánunióban részt vevő államok 1957-ben aláírták.

József Attila (1905-1937) költészetének egyik legjellemzőbb motívuma a gyermek. Különösen kései költészetében, az 1936-1937-ben született művekben válnak .

Az 1930-as évek során Babits Mihály (1883-1941) olyan befolyásos irodalmi intézménnyé vált, mint korábban Kazinczy Ferenc vagy. Vörösmarty Mihály.

A kiegyezés tartalma és értékelése. Bevezető gondolatok. Az ún. Schmerling-provizórium (1861-1865) ideje alatt pénzügyi csőd következett be, miközben.

A groteszk ábrázolásmód Örkény István . Örkény István (1912-1979) neve elválaszthatatlanul összeforrt a groteszk stílusértékkel, . A tétel kifejtése.

Bevezető gondolatok. Az árforradalom következtében már a XVI. századtól kibontakozott a tőkés ipar és mezőgazdaság, ami az új üzemformák és szervezési .

Kertész Imre (1929-) legismertebb regénye, a Sorstalanság (1975) a világ holokausztirodalmának egyik kiemelkedő darabja, amely egyedi, .

A magyar romantika legnagyobb alakja – a reformkor második felének elsőszámú magyar költője – irodalmi intézmény és viszonyítási pont – az első modern költő .

A peresztrojka, azaz átalakítás, a. “glasznoszty”, azaz a nyíltság, ami a korlátozások feloldását jelentette az általános üzleti és politikai.

A magyarok valamennyi rétegéből kerültek ki a végvári vitézek: főúri családokból éppúgy, mint nemesekből, parasztokból. Zsoldosok voltak, de az udvar nem .

Halott angol szöveg értése 2014.október/3.a

1193 Budapest, Csokonai u. 9.
+36-1-280-5616
vass@iskola.kispest.hu
vassl.hu
OM azonosító: 035148

Honlap
Facebook

2020-ban ismét elnyertük az Oktatási Hivataltól a Bázisintézmény címeit:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 14. EMELT SZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a)

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 014. október 14. EMELT SZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi.

Recommend Documents

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2014. október 14. EMELT SZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 2 sin x  2 sin2 x  cos2 x b) 25lg x  5  4  5lg x

Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítva: 2sin x  2sin2 x  1  sin2 x . sin2 x  2sin x  1  0 , Innen sin x  1 ,  x   2k  , ahol k  . 2 Ellenőrzés b) A logaritmus függvény értelmezése miatt x  0 . Mivel 25lg x  5lg x  , ezért az egyenlet 2

 4  5lg x  5  0 alakban is írható.

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)

Az 5lg x -re nézve másodfokú egyenlet megoldásai: 5lg x  1 és 5lg x  5 . Mivel 5lg x  0 , ezért 5lg x  1 nem lehetséges. Ha 5lg x  5 , akkor x  10 . Ellenőrzés

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont 2) Egy 2 cm sugarú, 20 cm széles festőhengerrel dolgozva egy fordulattal körülbelül 3 ml festéket viszünk fel a falra. (A festőhenger csúszás nélkül gördül a falon.) a) Elegendő-e 4 liter falfestéket vásárolnunk, ha a szobánkban 40 m2 nyi falfelületet egy rétegben, egyszer akarunk lefesteni? (6 pont) b) Milyen magasan állna 4 liter falfesték a 16 cm átmérőjű, forgáshenger alakú festékes vödörben? Válaszát cm-ben, egészre kerekítve adja meg! (5 pont) Megoldás: a)

Az egy fordulattal lefestett falfelület nagysága a (festő)henger palástjának területével egyenlő. (1 pont) 3 Tpalást  2  2  20    80   251,3 cm  (1 pont) 40 m2  400000 cm2 ,

tehát a teljes falfelület befestéséhez 400000  1592 fordulatra van szükség a festőhengerrel. kb. 251,3 Ennyi fordulattal kb. 1592  3  4776 ml festéket viszünk fel a falra. 4 liter festék megvásárlása tehát nem elegendő. b) 4 liter   4 dm3   4000 cm3

r  8 cm 4000 cm3  82    m 4000  19,9  cm  . Ebből m  64 A festék tehát kb. 20 cm magasan állna a vödörben.

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)

(1 pont) Összesen: 11 pont 3) Egy kereskedőcég bevételei két forrásból származnak: bolti árusításból és internetes eladásból. Ebben az évben az internetes árbevétel 70%-a volt a bolti árbevételnek. A cég vezetői arra számítanak, hogy a következő években az internetes eladásokból származó árbevétel évente az előző évi internetes árbevétel 4%-ával nő, a bolti eladásokból származó árbevétel viszont évente az előző évi bolti árbevétel 2%-ával csökken. a) Számítsa ki, hány év múlva lesz a két forrásból származó árbevétel egyenlő! (8 pont) A cég ügyfélszolgálatának hosszú időszakra vonatkozó adataiból az derült ki, hogy átlagosan minden nyolcvanadik vásárló tér vissza később valamilyen minőségi kifogással. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 100 vásárló közül legfeljebb kettőnek lesz később minőségi kifogása! (6 pont) Megoldás: a)

Ha a bolti eladásokból származó idei árbevétel b (Ft), akkor az internetes eladásokból származó árbevétel jelenleg 0,7b (Ft). b  0  (1 pont)

Ha a bevételek egyenlősége x év múlva következik de, akkor x x (1 pont) 1,04  0,7  0,98  b , x x amiből (a pozitív b -vel való osztás után) 1,04  0,7  0,98 . (1 pont) Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát véve és a logaritmus azonosságait felhasználva: x lg1,04  lg 0,7  x lg 0,98 (2 pont) lg 0,7 Ebből x  (1 pont)   6 lg 0,98  lg1,04 A két forrásból származó árbevétel 6 év múlva lesz (1 pont) (körülbelül) egyenlő. Ellenőrzés (1 pont) 1 b) Annak a valószínűsége, hogy egy vevő reklamál: , 80

1 79 P  legfeljebb 2 reklamál   P senki nem reklamál  

annak a valószínűsége, hogy nem reklamál:

P 1 reklamál   P 2 reklamál   100

100   1   79  100   1   79   79            2   80   80   80      1   80   80      0, 2843  0, 3598  0, 2255  0, 87

Összesen: 14 pont koordináta-rendszerben az y  3x 2  x 3

4) Adott síkbeli derékszögű egyenletű görbe. a) Igazolja, hogy ha x  0; 3 , akkor y  0 .

b) Írja fel a görbe 3 abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) (5 pont) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az x tengely fog közre! (5 pont) Megoldás: a)

3x 2  x 3  x 2  3  x 

Az x tényező pozitív, mert x  0 . A 3  x tényező is pozitív, mert x  3 , Így a két tényező szorzata is pozitív, ha x  0; 3 . b) (A megadott görbe az f  x   3x 2  x 3, x 

(1 pont) (1 pont) (1 pont)

Ekkor f   x   6x  3x 2 ,

Az érintő meredeksége tehát 9 (és átmegy a  3;0  ponton).

Az érintő egyenlete: y  9x  27 .

Az y  3x  x egyenletű görbének az x  0 helyen van közös pontja az x tengellyel. (1 pont) (Tudjuk, hogy ha x  0;3 , akkor y  0 , ezért) a kérdezett terület 2

 3 x4  3 x  x dx   x  4   0   0 81     27    0  0   6, 75 . 4   2

Összesen: 14 pont

5) A tavaszi idény utolsó bajnoki mérkőzésén a Magas Fiúk Kosárlabda Klubjának (MAFKK) teljes csapatából heten léptek pályára. A mérkőzés után az edző elkészítette a hét játékos egyéni statisztikáját. Az alábbi táblázat mutatja a játékosok dobási kísérleteinek számát és az egyes játékosok dobószázalékát egészre kerekítve. (A dobószázalék megmutatja, hogy a dobási kísérleteknek hány százaléka volt sikeres.) Dobási Játékos kísérletek Dobószázalék mezszáma száma 4 2 50 5

15 14 57 a) Számítsa ki, hogy mennyi volt a csapat dobószázaléka ezen a mérkőzésen! (5 pont) Az őszi idény kezdete előtt egy hónappal a MAFKK csapatához csatlakozott egy 195 cm magas játékos, így a csapattagok magasságának átlaga a korábbi átlagnál 0,5 cm-rel nagyobb lett. Pár nap múlva egy 202 cm magas játékos is a csapat tagja lett, emiatt a csapattagok magasságának átlaga újabb 1 cm-rel nőtt. b) Hány tagja volt a MAFKK-nak, és mekkora volt a játékosok magasságának átlaga a két új játékos csatlakozása előtt? (11 pont) Megoldás: a)

Az egyes játékosok sikeres dobásainak száma rendre: 1, 0, 6, 2, 3, 2 és 8. (2 pont) A csapat dobási kísérleteinek a száma a mérkőzésen 50, (1 pont) a sikeres dobások száma 22 volt. (1 pont) A csapat dobószázaléka 44. (1 pont) b) A két új játékos csatlakozása előtt a csapat tagjainak száma x a tagok magasságának átlaga pedig y cm volt  x  , y  0  . (1 pont) (Az első játékos belépése előtt a csapattagok magasságának összege xy volt, xy  195  y  0,5 . az új játékos után xy  195 lett, tehát) (2 pont) x 1 Az előzőhöz hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy a második új játékos xy  195  202  y  1,5 . belépését követően (2 pont) x 2 Az egyenletek rendezése után a

0,5x  y  194,5  (2 pont)  egyenletrendszerhez jutunk. 1,5x  2y  394  (2 pont) x  10 és y  189,5 . A csapat tagjainak száma 10, az átlagos magasságuk pedig 189,5 cm volt. (1 pont) Ellenőrzés. (1 pont) Összesen: 16 pont 6) Megadtunk három egyenest, és mindegyiken megadtunk öt-öt pontot az ábra szerint. a) Hány olyan szakasz van, amelynek mindkét végpontja az ábrán megadott 15 pont valamelyike, de a szakasz nem tartalmaz további pontot a megadott 15 pont körül? (6 pont) Az egyenlő oldalú ABC háromszög 18 egység hosszúságú oldalait hat-hat egyenlő részre osztottuk, és az ábra szerinti osztópontok összekötésével megrajzoltuk a PQR háromszöget. b) Számítsa ki a PQR háromszög területének pontos értékét! (10 pont) Megoldás:

15  A megadott 15 pont összesen   szakaszt határoz meg. 2 Egy-egy megadott egyenesen a nem megfelelő szakaszok száma 6, tehát összesen 18 nem megfelelő szakasz van. 15  A megfelelő szakaszok száma    18  87  2 b) Az ábra jelöléseit használjuk. A CNM háromszög egy 6 egység oldalú szabályos háromszög. (2 pont) a)

(2 pont) (2 pont) (1 pont) (1 pont)

A CNM szabályos háromszög magassága az ABC szabályos 1   háromszög magasságának a harmada  CG   CF  : (1 pont) 3   1 3  CG    18  3 3 , (1 pont) 2  3 a PQMN trapéz magassága pedig ennek a kétszerese: FG  6 3 (1 pont) A PQR háromszög hasonló az MNR háromszöghöz, mert szögeik páronként egyenlők (csúcsszögek, illetve váltószögek). (1 pont)

A két háromszög hasonlóságának aránya 2 :1 , (1 pont) így a megfelelő oldalaikhoz tartozó magasságainak aránya is ennyi. (1 pont) Ezért FR  4 3 , (1 pont)  12  4 3    24 3 (területegység). és a PQR háromszög területe  (1 pont) 2   Összesen: 16 pont 7) Egy üzemben egyforma, nagyméretű fémdobozok gyártását tervezik. A téglatest alakú doboz hálózatát egy 2 méter  1 méteres téglalapból vágják ki az ábrán látható módon. A kivágott idom felhajtott lapjait az élek mentén összeforrasztják. (A forrasztási eljárás nem jár anyagveszteséggel.) a) Hogyan válasszák meg a doboz méreteit, hogy a térfogata maximális legyen? Válaszát centiméterben, egészre kerekítve adja meg!(11 pont) A dobozokat egy öt karakterből álló kóddal jelölik meg. Minden kódban két számjegy és három nagybetű szerepel úgy, hogy a két számjegy nincs egymás mellett. Mindkét számjegy eleme a 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 halmaznak, a betűket pedig a 26 betűs (angol) ábécéből választják ki (például 7WA3A egy lehetséges kód). b) Hány különböző kód lehetséges? (5 pont) Megoldás: a)

(Az ábra jelöléseit használva) a téglatest méretei méterben: x , 1  x , 1  2x ,

a téglatest térfogata m -ben: x 1  x 1  2x  (ahol 0  x  0,5 ).

Keressük a V : 0; 0,5 

V  x   x 1  x 1  2x   2x 3  3x 2  x függvény

maximumát. V   x   6x 2  6x  1 .

(A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy) V   x   0 .

A másodfokú egyenlet (valós) megoldásai:

3 3   0,211 és 6

3 3 (2 pont)   0,789 . 6 Ez utóbbi nem eleme a V értelmezési tartományának, ezért ez nem jöhet szóba. (1 pont) 3 3 A V  függvény a   0,211 helyen előjelet vált (pozitívból negatívba 6 megy át), ezért ez a V függvénynek az egyetlen szélsőértékhelye, mégpedig a maximumhelye. (1 pont)

A maximális térfogatú doboz méretei (a kért kerekítéssel): 21, 79 és 58 (cm). (2 pont) 5 b) Az ötkarakteres kódban    4   6  különböző módon lehet két számjegy  2 helyét kijelölni. (2 pont) A két helyre 10  10   100  különböző módon lehet két számjegyet választani úgy, hogy a sorrendjük is számít, a másik három helyre pedig 263   17576

(1 pont) különböző módon három

nagybetűt. A különböző kódok száma tehát  6  100  17 576   10 545 600 .

Összesen: 16 pont 8) a) Határozza meg az alábbi kijelentések logikai értékét (igaz-hamis)! Válaszait indokolja! (8 pont) I. Van olyan hatpontú fagráf, amelynek minden csúcsa páratlan fokszámú II. Ha egy hétpontú egyszerű gráfnak 15 éle van, akkor a gráf összefüggő. III. Van olyan fagráf amelyben a csúcsok számának és az élek számának összege páros. A, B, C , D, E és F . Egy hatfős társaság tagjai Mindenkit megkérdeztünk, hogy hány ismerőse van a többiek között (az ismeretség kölcsönös). A válaszként kapott hat természetes szám szorzata 180. Az is kiderült, hogy A -nak legalább annyi ismerőse van, mint B -nek, B -nek legalább annyi ismerőse van, mint C -nek, és így tovább, E -nek legalább annyi ismerőse van, mint F -nek. b) Szemléltesse egy-egy gráffal a lehetséges ismeretségi rendszereket! (8 pont) Megoldás: a)

Az I. állítás igaz. Megfelelő konstrukció (lásd az alábbi két példát) vagy szöveges indoklás. (2 pont) A II. állításra ellenpélda az a hétpontú gráf, amelynek van egy hatpontú teljes részgráfja és egy izolált pontja. (2 pont) A II. állítás tehát hamis. (1 pont) Az n pontú gráfnak n  1 éle van, (1 pont) ezért a csúcsok és az élek számának összege 2n  1 , ami páratlan. (1 pont) A III. állítás tehát hamis. (1 pont) b) (Ha az ismeretségek száma rendre a, b, c, d, e és f , akkor a  b  c  d  e  f  )

180  22  32  5 . (1 pont) Mivel az ismeretségi gráfban a pontok száma legfeljebb 5 (és a  b  c  d  e  f ), (1 pont) ezért a csúcsok fokszámai a következők lehetnek (az ismeretségek számát a névsornak megfelelően rendezve): 5, 3, 3, 2, 2, 1 (1 pont)

vagy 5, 4, 3, 3, 1, 1. (1 pont) A második esethez nem tartozik gráf, (1 pont) mert nincs olyan gráf, amelyben a páratlan fokszámú csúcsok száma páratlan. (1 pont) Két lehetséges ismeretségi gráf van (például azért, mert B -nek és C -nek is van ismerőse D és E között, ezért D és E nem ismerheti egymást, így D az A -n kívül vagy C -t vagy B t ismerheti). (2 pont) Összesen: 16 pont 9) Éva egy 7  7 -es táblázat bal felső mezőjétől kezdve, balról jobbra haladva, sorról sorra beírta egy számtani sorozat első 49 tagját úgy, hogy a tagok sorrendjét nem változtatta meg. (A sorozat 1. tagja a bal felső sarokba került, a 8. tag a második sor első mezőjébe, a 49. tag pedig a jobb alsó sarokban áll.) a) Mennyi a táblázatba írt 49 szám összege, ha Éva a harmadik sor harmadik mezőjébe 91-et, az ötödik sor ötödik mezőjébe pedig a 11-et írta? (5 pont) Péter a táblázat minden sorából kiválasztja a számtani sorozat egy-egy tagját úgy, hogy a hét kiválasztott szám közül semelyik kettő ne legyen egy oszlopban. b) Igazolja, hogy akárhogyan is választja ki Péter így a számokat, a hét szám összege minden esetben ugyanannyi lesz! (6 pont) c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a 91 és a 11 is a Péter által kiválasztott számok között lesz! (5 pont) Megoldás: a)

a17  91 és a33  11 Ebből d  5 , majd a1  171 .

2  171   49  1   5   49 S49    2  2499

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)

b) Adjuk össze a sorozat főátlóban álló tagjait! (Ezek összege 357.) (1 pont) Ha a táblázat két kiválasztott sorában felcseréljük, hogy melyik sorban melyik oszlopból választottuk ki a sorozat tagját, (1 pont) akkor (ha az érintett oszlop sorszáma között k a különbség) az egyik oszlopban k  d -vel nő, a másik oszlopban k  d -vel csökken a kiválasztott tag értéke. (2 pont) Tehát a sorozat hét kiválasztott tagjának összege a két tag cseréje után ugyanannyi marad, mint amennyi a csere előtt volt. (1 pont) Mivel a sorozat főátlóban álló tagjaiból kiindulva, két-két tag cserélgetésével bármelyik kiválasztott számheteshez eljuthatunk, a tagok összege bármely hét tag (leírtak szerinti) kiválasztása esetén ugyanannyi (357). (1 pont) c) Péter összesen 7!  5040 -féleképpen választhat ki a táblázatból számokat a megadott szabály szerint. (1 pont) Ha a 91 és a 11 is a kiválasztott számok közt van, akkor az első sorból 5féleképpen választhat, ezután a másodikból 4-féleképpen, a negyedikből 3féleképpen, a hatodikból 2-féleképpen, a hetedikből pedig1-féleképpen. (1 pont) Ez 5!  120 lehetőség. (1 pont) 120  A kérdéses valószínűség így (1 pont) 5040 (1 pont)  0, 024 Összesen: 16 pont