Matematika tankönyv online

Business development comprises a number of tasks and processes generally aiming at developing and implementing growth opportunities between multiple organizations. It is a subset of the fields of business, commerce and organizational theory. Business development is the creation of long-term value for an organization from customers, markets, and relationships
Please write my paper for me because I don’t have time.

Kalandtúra 7. Matematika-tankönyv 7. osztályos tanulók számára

2 KALANDTÚRA 7. Matematika-tankönyv 7. osztályos tanulók számára Szerzők: Makara Ágnes, Bankáné Mező Katalin, Vépy-Benyhe Judit, Argayné Magyar Bernadette Lektorok: Berkes Klára, Nagyné Ardai Éva Vezető szerkesztő: Barna Beáta Szerkesztő: Cséplő Noémi Tördelés: Vareg Produkció ( Kiadásért felelős: Tomaž Racic Fényképek, illusztrációk: Dani László Attila, Makara Ágnes, Cséplő Ildikó, Vépy-Benyhe Judit, Bankáné Mező Katalin, Argayné Magyar Bernadette, Wikimedia Commons ( Miha Macek, Dela, Vasja Kožuh, Rok Kvaternik, NASA, Založbe Rokus-Klett archívum A kiadvány megfelel a 17/2004 (V. 20.) OM rendelet 3. számú melléklet Kerettantervének. -étől tankönyvvé nyilvánítási engedélyt kapott a. számú határozattal. A tankönyv megfelel a NAT követelményeinek. A tankkönyvvé nyilvánítási eljárásban kirendelt szakértők neve: kiadás K 4321 / Kiadói azonosító: RK Klett Kiadó Kft., Budapest, Minden jog fenntartva! 1116 Budapest, Temesvár utca 20. Tel.: ISBN A könyv tömege: 733 gramm Terjedelme: 37,9 ív Nem tartós tankönyv Köszönetnyilvánítás A Klett Kiadó ezúton mond köszönetet az alább felsoroltaknak, akik részvételükkel, tanácsaikkal és véleményükkel segítséget nyújtottak a tankönyv és a munkafüzet összeállításában: Szűcs István, Abtalné Kótner Tünde, Ondecs Ferencné, Kriston Zoltán, Zilahiné Krausz Rita, Antal Lajosné, Derzsi József, Csányi Molnár Erika, Horváthné Nagy Mária, Keresztesné Katona Mária, Pámer Mátyás, Agócsné Horváth Andrea, Szőllősy Éva, Czékus Marianna, Sándorné Nagy Vera, Kerepesi Kovács Mónika, Juhász Anna, Horváthné Nagy Erzsébet, Petőházi Gabriella, Kiss Gáborné, Fekete Tamás, Tóthné Siger Klára, Zámbóné Rakóczi Anikó,Számel Erika, Bódiné Bakos Katalin, Alberti Gabriella, Petikné Dénes Valéria, Kovács Anita, Szilmicsek Erzsébet, Walzer Gábor, Borsa Jolán, Páncélné Kovács Ágnes, Aranyos Judit, Dudás Béláné, Lévainé Kovács Róza, Palotás Zoltán, Springelné Szabó Erzsébet,Tóth Mariann Szlovén nyelvű kiadás Skrivnosti števil in oblik 8 Ucbenik za matematiko v 8 razredu osnovne šole Založba Rokus Klett d.o.o., Ljubljana, 2010 Szerzők: Jože Berk, Jana Darksler, Marjana Robic Illusztrációk: Iztok Sitar Képregény: Vasja Kožuh, Iztok Sitar

3 ELŐSZÓ Van-e még valami új, amit megtanulhatsz? Sok mindent megtanultál már eddig matematikából. Műveleteket tudsz végezni a racionális számkörben, hatványozni tudod a természetes számokat. Megismertél és használsz oszthatósági szabályokat, ábrázolni tudod az egymással összefüggő mennyiségeket, kördiagramot készítesz. Már nem titok számodra a százalékszámítás, a tengelyes tükrözés és a tengelyes szimmetria. A képregények és a matematikatörténeti érdekességek megmutatták, hogy amit tanulsz, azt sok ember, hosszú idő alatt gondolta ki. Ebben a tanévben is van még mit tanulnod! Anna és Bence is végigjárja veled ezt az utat. A tankönyv szerkezete, jelölései megegyeznek az előző két évfolyam matematika-tankönyvével. Van benne képregény, matematikatörténet, bevezető feladatok, magyarázatok és gyakorlófeladatok. Tudásmérő feladatsorok segítségével magad is lemérheted, hogy mennyire sikerült elsajátítanod az új ismereteket. A tankönyv végén pedig megtalálod a Tudástárat a legfontosabb tudnivalókkal. Vágj bele! Sok sikert kívánunk a tanuláshoz! A szerzők és a Klett Kiadó Pi-vers (3, ) Itt a mező a határ, Pi-vers (3, ) Nem a régi s durva közelítés, Mi szótól szóig így kijön 8 9 Betűiket számlálva Ludolph eredménye már, Ha itt végezzük húsz jegyen De rendre kijő még tíz pontosan, Azt is bízvást ígérhetem. Szász Pál ( ) magyar matematikus, egyetemi tanár Sárgállnak és dőlnek búzák, Kis virág piroslik. (Sallay István: Játékgyűjtemény) Téli pi-vers (3, ) Fúj a szél, a hideg csontomig ér, nagyon fázik kis cicám, kutyusom Dideregve elbújik hótakarók alá az élő anyaföld Nézi, közelg az éledés? (Makara Ágnes) 3

4 TARTALOMJEGYZÉK 4 BEMELEGÍTŐ GONDOLKODÁS 7 1. Szórakoztató feladványok Észtorna MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL Racionális számok Racionális számok összeadása Racionális számok kivonása Racionális számok szorzása Racionális számok osztása Zárójelek használata, zárójelfelbontás A hatványozás A hatványozás tulajdonságai Számok normálalakja Anna és Bence próbára teszi tudását SZÖGEK ÉS SOKSZÖGEK Szögpárok Szögek szerkesztése Háromszögek Háromszögek belső szögeinek összege Háromszögek külső szögeinek összege Háromszögek szerkesztése Háromszögek egybevágósága Négyszögek Négyszögek belső és külső szögeinek összege Sokszögek. 79 Anna és Bence próbára teszi tudását OSZTHATÓSÁG, PRÍMSZÁMOK Az oszthatóság szabályai Osztási maradékok vizsgálata Oszthatóság 3-mal, 6-tal, 9-cel Számok osztói Összetett számok, prímszámok Prímszámok keresése Összetett számok prímtényezős felbontása A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó Összetett számok előállítása prímtényezők szorzataként Anna és Bence próbára teszi tudását SÍKBELI ALAKZATOK KERÜLETE, TERÜLETE A háromszög magasságvonala, magassága A háromszög területe A sokszög kerülete, területe A kör kerülete A kör területe Anna és Bence próbára teszi tudását ALGEBRA Összefüggések leírása a matematika nyelvén Műveletek tulajdonságai, zárójelek használata Egynemű algebrai kifejezések Algebrai kifejezések helyettesítési értéke Egyenletek megoldása Egyenlőtlenségek megoldása Szöveges feladatok megoldása Anna és Bence próbára teszi tudását

5 TARTALOMJEGYZÉK ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉK Arány Aránypár Arányos osztás Egyenes arányosság Fordított arányosság Százalékszámítás Anna és Bence próbára teszi tudását KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS A középpontos tükrözés A középpontos tükrözés tulajdonságai Középpontos szimmetria Térbeli alakzatok Anna és Bence próbára teszi tudását FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Hozzárendelések Hozzárendelések fajtái Függvények Lineáris függvény Sorozatok A számtani sorozat Anna és Bence próbára teszi tudását HASÁBOK, HENGEREK Hasábok Hasábok élváza és testhálója Az egyenes hasáb felszíne Hengerek Az egyenes körhenger felszíne Az egyenes hasáb térfogata Az egyenes körhenger térfogata Anna és Bence próbára teszi tudását STATISZTIKA, ESÉLYEK Adatok gyűjtése, ábrázolása A számtani átlag Minek nagyobb az esélye? ANNA ÉS BENCE A CÉLBAN IS PRÓBÁRA TESZI TUDÁSÁT 259 TUDÁSTÁR 261 mellékletek 271 5

6 A KÖNYV- BELI HAJÓRA KERÜLTÜNK. A SZELLEMHAJÓ LÁTHATÓVÁ VÁLIK, HA A REJTÉLY MEGOLDÓDIK! ÁÁÁÁÁ! NEM BÍROM ELENGEDNI A KÖNYVET! MI AZ AZ ARGÓ? HOGY LEHET FENN EGY HAJÓ? TALÁN EGY CSILLAGKÉP? HA IGEN, AKKOR VAJON HOL LEHET A SOK MILLIÁRD CSILLAG KÖZÖTT? 3 JELÖLÉSEK KÉPMAGYARÁZATOK MINTA- FELADATOK GYAKORLÓ- FELADATOK FIGYELEM! EMLÉKEZTETŐ MEGJEGYZÉS MEGHATÁROZÁSOK ÉS SZABÁLYOK FEJEZETEK FELÉPÍTÉSE KÉPREGÉNY RÉGEN ÉS MOST ALFEJEZETEK FELMÉRŐ FELADATSOR MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL MI AZ A NAGYON FONTOS, AMIÉRT IDE- CIBÁLTÁL A PADLÁSRA? NÉZD CSAK EZT A HAJÓS FELADVÁNYT! JAJ! MEGMOZDULT A KÉP! TALÁLTAM EGY NAGYON ÉRDEKES, RÉGI KÖNYVET. NAHÁT! EZ TÉNYLEG JÓ RÉGI! NÉZZ CSAK BELE! ÉRDEKES FELADVÁNYOKAT LÁTTAM BENNE! A MINDENIT! TÉNYLEG TELE VAN FURFANGOS ÉS NEHÉZ FEJTÖRÔKKEL! SEGÍTSÉG! SEGÍTSÉG! RÉGEN ÉS MOST A negatív számokkal való számolás első nyomait a kínai matematikában találjuk Kr. e. a 2. században, amikor a negatív számok az adósságot szimbolizálták, a pozitív számok pedig a tulajdont. A számokat pálcikákkal ábrázolták, a pozitív számok pirosak, a negatív számok pedig feketék voltak. A számfogalom csak fokozatosan, a matematikai művele tekkel együtt fejlődött ki. Kezdetben csak az egy, kettő és kettőnél több ( sok ) megkülönböztetése alakult ki. A 17. században René Descartes Eukleidész volt a történelem határozta meg a negatív számok során az első ismert tudós, tudományos fogalmát. aki definíciót, meghatározást adott a természetes illetve szoroztak ezekkel a szá- Ám még akkor sem osztottak, számokra. mokkal. Csak 200 évvel később, a 19. század elején sok vitát követően váltak ezek a számok egyenrangúvá a többivel. Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük, melyet Mezopotámiában (mai Irak területe) használtak a korai suméroktól a hellenisztikus kor kezdetéig. A sumérok a kissé különleges, 10-es, 12-es és 60-as alapú számrendszerek kombinációját használták. Innen ered a mai időmérésben az, hogy 1 perc egyenlő 60 másodperccel, 1 óra egyenlő 60 perccel és az, hogy a teljesszög 360. A babiloniak valódi helyiértékes rendszert használtak, ahol a bal oszlopba írt számjegyek nagyobb értéket képviseltek a tízes számrendszerhez hasonlóan. De nem használták a tizedesvessző megfelelőjét, ezért a helyi értéket gyakran a szövegből kellett kikövetkeztetni. RÉGEN RÉGEN RÉGEN ÉS RÉGEN ÉS MOST ÉS MOST ÉS MOST MOST ANNA ÉS BENCE PRÓBÁRA TESZI TUDÁSÁT Elérhető pontszám: 70 4 pont 1. Állítsd növekvő sorba a következő számokat! J = -8; Ó = a 4,2 ellentettje; T = +12; Á = a 6 abszolút értéke; A negatív A számokkal negatív K = a 2 A számokkal negatív való számolás A számokkal negatív való számolás első számokkal való nyomait számolás első való a nyomait számolás első a nyomait első a nyomait 3 reciprok értéke; N = a legkisebb természetes szám; U = – 3 a kínai matematikában kínai matematikában kínai találjuk matematikában kínai Kr. találjuk matematikában e. a 2. Kr. században, találjuk e. a 2. Kr. században, találjuk e. a 2. Kr. században, e. a 2. században, 5 ; amikor a M negatív amikor = a legnagyobb a számok negatív amikor az a negatív számok negatív amikor adósságot egész az a számok negatív adósságot szám szimbolizálták, az számok adósságot szimbolizálták, az adósságot szimbolizálták, szimbolizálták, a pozitív számok a pozitív pedig számok a pozitív a tulajdont. pedig számok a pozitív a tulajdont. A pedig számokat a tulajdont. A pedig számokat pálcikákkal a tulajdont. A számokat pálcikákkal A számokat pálcikákkal pálcikákkal pozitív ábrázolták, pirosak, számok a pozitív a pirosak, negatív számok a pozitív a pirosak, negatív számok a pirosak, negatív a negatív 13 pont 2. ábrázolták, Végezd el ábrázolták, a kijelölt pozitív ábrázolták, műveleteket! számok a számok a) pedig számok 1,6150 feketék + pedig számok (-3) voltak. = feketék pedig számok voltak. feketék b) (-48,04) pedig voltak. feketék (-3,2) voltak. = c) 109,02 : 3,1 = d) ( ,8) : 13 = e) ( 3 4 )2 = f) ( ) : (- 8 15) = f) ( 1 3 )6 ( 1 3 )8 A számfogalom A számfogalom csak A számfogalom fokozatosan, csak A számfogalom fokoza- csak fokoza- 1 csak 2 fokoza pont 3. A szorzatokat át hatványalakba, a 8 hatványokat írd szorzatalakba! Számold 9 ki a matematikai tosan, a matematikai tosan, művele- a matematikai tosan, művele- a matematikai művele-a hatványértékeket! művele- tekkel együtt tekkel fejlődött együtt tekkel fejlődött ki. együtt tekkel fejlődött ki. együtt fejlődött ki. a) 5 ki b) (-3) 4 c) 2,4 1 d) 0,34 0 e) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) f) Kezdetben Kezdetben csak az Kezdetben egy, csak kettő az Kezdetben egy, csak kettő az egy, csak kettő az egy, kettő és kettőnél és kettőnél több ( sok ) és kettőnél több megkülönböztetéskülönböztetése ( sok ) és kettőnél több meg- 6 ( sok ) pont több meg- 4. ( sok ) Melyik meg- a nagyobb? Tedd a megfelelő reláció jelet! ki alakult különböztetése ki. alakult különböztetése ki. alakult A 17. ki. alakult században a) A 617. ki. 5 3 században René A (6 17. Descartes 5) században 3 René A 17. Descartes században b) René (-2) 4 Descartes René 2 4 c) 0,01 2 0,001 2 Descartes Eukleidész Eukleidész volt a Eukleidész történelem volt a Eukleidész történelem volt a történelem volt a történelem határozta határozta meg a negatív határozta meg a számok negatív határozta meg a számok negatív során az során első ismert az első tudós, ismert tudós, tudományos d) (-1) fogalmát. -1 e) ( 2 meg a számok negatív 3 )3 2 számok során az során első ismert az első tudós, ismert tudós, tudományos tudományos fogalmát. tudományos fogalmát. fogalmát. 3 aki definíciót, aki definíciót, meghatározást aki definíciót, meghatáro- aki definíciót, meghatáro- Ám meghatáro- még akkor Ám még sem akkor Ám osztottak, még sem akkor Ám osztottak, még sem akkor osztottak, sem osztottak, adott zást a természetes adott zást a természetes adott zást a természetes adott 6 pont a 5. Írd át a következő számokat normálalakba! illetve természetes szoroztak illetve szoroztak ezekkel illetve szoroztak a ezekkel számokkal. illetve szoroztak a ezekkel szá- a ezekkel szá- a szá- a) b) 42 millió c) 654,012 d) 8 e) 1,48 f) számokra. számokra. számokra. számokra. Csak mokkal. 200 Csak mokkal. évvel 200 később, Csak mokkal. évvel 200 később, Csak évvel 200 később, évvel később, 6 pont a század Számítsd a 19. elején század ki a annak 19. sok elején század a vitát a téglatestnek 19. sok elején század vitát sok a elején felszínét vitát sok és vitát térfogatát, amelynek egy csúcsba követően követően váltak követően ezek váltak a számok követően ezek váltak a futó élei: 324 cm; 5 m és 3 számok egyenrangúvá egyenrangúvá a többivel. a többivel. 4 m! ezek váltak a számok ezek a számok egyenrangúvá egyenrangúvá a többivel. a többivel. 12 pont 7. Bontsd fel a zárójeleket, majd végezd el a műveleteket! a) 14,5 (6, ,42) b) (36 42,7) c) ( ) 6 d) 12 (62,4 12,3) 4 pont 8. Oldd meg az egyenleteket! Babilóniai Babilóniai matematika Babilóniai matematika alatt Babilóniai azt matematika alatt a rendszert azt matematika alatt a rendszert értjük, azt alatt a melyet rendszert értjük, azt Mezopotámiában a melyet rendszert értjük, Mezopotámiában melyet értjük, (mai Mezopotámiában melyet Irak területe) használtak te) használtak a korai te) használtak suméroktól a korai te) használtak suméroktól a korai hellenisztikus suméroktól a korai hellenisztikus suméroktól kor a kezdetéig. hellenisztikus kor a kezdetéig. hellenisztikus kor kezdetéig. kor kezdetéig. 24 (mai Mezopotámiában a) a 6,49 = 0,365 b) (65,4 + b) 5 6 = Irak 10 terüle- (mai Irak terüle- (mai Irak terüle- A sumérok A a sumérok kissé A különleges, a sumérok kissé A különleges, a sumérok 10-es, kissé különleges, 12-es a 10-es, kissé és különleges, 12-es 60-as 10-es, és alapú 12-es 60-as 10-es, számrendszerek és alapú 12-es 60-as számrendszerek és alapú 60-as kombinációját számrendszerek alapú kombinációját számrendszerek kombinációját kombinációját 4 pont 9. Végezd el a mértékváltásokat! Használd a 10 hatványokat! használták. használták. Innen ered használták. Innen a mai ered használták. időmérésben Innen a mai ered időmérésben Innen a az, mai hogy ered időmérésben 1 a az, mai perc hogy időmérésben egyenlő 1 az, perc hogy 60 egyenlő 1 másodperccel, az, hogy 60 egyenlő 1 másodperccel, 60 1 egyenlő óra másodperccel, 60 1 óra másodperccel, 1 óra 1 óra a) 34,1 km = dm b) 0,00065 l = ml egyenlő 60 egyenlő perccel 60 egyenlő és perccel az, hogy 60 egyenlő és perccel a az, teljesszög hogy 60 és perccel a az, teljesszög 360. hogy és c) a az, 984 teljesszög 360. hogy g = a teljesszög kg d) m 2 = dm 2 A babiloniak A babiloniak valódi A helyiértékes babiloniak valódi A helyiértékes babiloniak valódi rendszert helyiértékes valódi rendszert használtak, helyiértékes rendszert használtak, ahol rendszert a használtak, bal ahol oszlopba a használtak, bal ahol oszlopba írt számjegyek a bal ahol oszlopba írt számjegyek a bal oszlopba írt számjegyek írt számjegyek nagyobb értéket nagyobb képviseltek értéket nagyobb képviseltek értéket nagyobb a tízes képviseltek 9 értéket számrendszerhez pont a tízes képviseltek 10. számrendszerhez Írd a tízes le a matematika hasonlóan. számrendszerhez a tízes hasonlóan. számrendszerhez De nyelvén, nem hasonlóan. használták De majd nem számold hasonlóan. használták De a nem ki! használták De a nem használták a a tizedesvessző tizedesvessző megfelelőjét, tizedesvessző megfelelőjét, tizedesvessző ezért megfelelőjét, a helyi ezért értéket megfelelőjét, a helyi ezért a) gyakran értéket 65 a és helyi ezért 24 a gyakran összegének szövegből értéket a helyi a gyakran szövegből értéket kellett a 4,2-szerese; a kikövetkeztetni. gyakran szövegből kellett a kikövetkeztetni. b) szövegből kellett 658-nak kikövetkeztetni. kellett és a 15 kikövetkeztetni. és (-7) összegének a hányadosa; c) (-124) és a (-46) összegének és különbségének a szorzata. VAJON NEKÜNK KELL MEGFEJTENI A REJTÉLYT? 16 Negatív számokkal a hőmérséklet mérésénél is találkozhatunk. A Celsius skálán az olvadó jég hőmérséklete jelenti a 0 C értéket. A 0 C alatti hőmérséklet kimutatására negatív értékeket használunk. A Kelvin-skálán negatív értékek nincsenek, kiindulópontként (0 K) a lehető legalacsonyabb űrhőmérsékletet határozták meg (ez az abszolút nulla fok), amely 273 fokkal van a fagypont alatt (-273 C). 16 Anna és Bence tündököl Anna és Bence a csúcs felé halad pont pont Negatív számokkal Negatív számokkal a Negatív hőmérséklet számokkal a Negatív hőmérséklet mérésénél számokkal a hőmérséklet mérésénél is találkozhatunk. a hőmérséklet mérésénél is találkozhatunk. A mérésénél is Celsius találkozhatunk. A skálán is Celsius találkozhatunk. az A skálán olvadó Celsius az jég A skálán olvadó Celsius az jég skálán olvadó az jég olvadó jég hőmérséklete hőmérséklete jelenti hőmérséklete a 0 jelenti C értéket. hőmérséklete a 0 jelenti C A értéket. 0 a C 0 alatti jelenti C A értéket. 0 hőmérséklet a C 0 alatti C A értéket. 0 hőmérséklet C kimutatására alatti A 0 hőmérséklet C kimutatására alatti negatív hőmérséklet kimutatására értékeket negatív kimutatására értékeket negatív értékeket negatív értékeket használunk. használunk. használunk. használunk. Anna és Bence jó úton halad Anna és Bence többet gyakorol A Kelvin-skálán A Kelvin-skálán negatív A Kelvin-skálán értékek negatív A Kelvin-skálán nincsenek, értékek negatív nincsenek, kiindulópontként értékek negatív nincsenek, kiindulópontként értékek 42 nincsenek, kiindulópontként 55 kiindulópontként pont (0 K) a lehető (0 K) legalacsonyabb a lehető (0 K) legalacsonyabb a lehető (0 űrhőmérsékletet K) legalacsonyabb a lehető űrhőmérsékletet legalacsonyabb határozták meg (ez ták az meg abszolút (ez ták az meg nulla abszolút (ez ták fok), az meg nulla amely abszolút (ez fok), 273 az nulla amely abszolút fok- fok), 273 nulla amely fok- fok), 273 amely fok- 273 fok- űrhőmérsékletet határoz- űrhőmérsékletet határoz- határoz- Anna és Bence segítséget kér kal van a fagypont kal van a fagypont alatt kal van (-273 a fagypont alatt kal C). van (-273 a fagypont alatt C). (-273 alatt C). (-273 C). kevesebb mint 35 pont ALFEJEZETEK FELÉPÍTÉSE AMIT MEGTANULSZ KÉPEK MINTAFELADATOK GYAKORLÓ- FELADATOK EZT IS MEG TUDOM OLDANI TÖRTÉNET GONDOLKOZZ! 8. A HATVÁNYOZÁS TULAJDONSÁGAI Megtanulod, hogy hogyan kell hatványozni a racionális számokat, milyen tulajdonságai vannak a hatványozásnak. Anna szülei betettek az egyik bankba t. A bank ajánlatában az állt, hogy évi 8% kamatot fizetnek. GONDOLKOZZ! Mennyit ér a pénzük négy év múlva? Az évi 8%-os kamat azt jelenti, hogy egy év múlva a pénzük már 8%-kal többet ér. Ha az eredeti összeget 100%-nak tekintjük, akkor a kamattal növelt összeg 100% + 8% = 108%-nak felel meg. Az első év végére a 108%-át kapnák meg a pénzüknek: ,08; MEGJEGYZÉS a második év végére ,08 1,08; A hatványozás alapja nem a harmadik év végére ,08 1,08 1,08; csak természetes szám a negyedik év végére ,08 1,08 1,08 1,08 forintot ér a pénzük, lehet! Bármilyen racionális azaz ha itt is alkalmazzuk a rövidített írásmódot: ,08 4 euró. szám önmagával való , , ,7335 szorzásakor alkalmazhatjuk Tehát a 4. év végére az 1500 már majdnem 2041 eurót ér. a hatványozást. RACIONÁLIS SZÁMOK MINTAFELADATOK 1. Képezz különböző számokat a következő számkártyákkal! Egy számot csak egyszer használj! a) Csak természetes számokat képezz! b) Tört alakú számokat képezz! a) Először nézzük az egyjegyű számokat: 0; 1; 3 Kétjegyűek: 10; 13; 30; 31 Figyelj! Nulla nem állhat a tízesek helyén! Háromjegyűek: 103; 130; 301; 310 Figyelj! Nulla nem állhat a százasok helyén! b) 0 = 0; 0 = 0; 1 = 1 ; 3 = 3; Figyeld meg, hogy a kapott számok közül csak FIGYELEM! A nevező nem lehet nulla! az 1 törtszám, a többi valójában egész szám! 3 Nullával nem lehet osztani! A HATVÁNYOZÁS 3. Írd fel a következő számokat 2 hatványaként! 64; 128; 256; 512; 1024 FIGYELEM! Ha a műveletek között 64 = 2 6 ; 128 = 2 7 ; 256 = 2 8 ; 512 = 2 9 ; 1024 = 2 10 van hatványozás is, akkor a zárójeles műveletek 4. Számold ki a következő műveletsorok eredményét! elvégzése után a hatványozás következik! a) : 9 = b) 45 ( ) 2 3 A zárójelben lévő műveletek elvégzése után (ahol van ilyen) a hatványozást kell elvégezni, majd a szorzás, illetve az osztás következik, MEGJEGYZÉS és végül az összeadások, kivonások. A tankönyv végén, az 1. és 2. számú mellékletben a) : 9 = : 9 = = = -17 találsz egy hatvány- és egy Az eredmény: -17 négyzetszámtáblázatot, b) 45 ( ) 2 3 = 45 ( ) 8 = melyet igénybe vehetsz a = 45 ( ) 8 = = = -291 feladatok megoldása során. Az eredmény: Számológép használata hatványozásnál Hatványozásnál, ha az alap tizedes tört, az írásbeli műveletvégzés sokszor hosszadalmas lehet. Ilyenkor érdemes igénybe venni a számológép segítségét! A számológépek sokfélék lehetnek. Az egyszerűbbeknél a hatványozást csak ismételt tényezőjű szorzásként tudod elvégezni. A kalkulátorokon azonban már találhatsz hatványozás funkciót is. Pl.: Egy online elérhető tudományos számológép vagy egy megvásárolható, iskolában is használható készülék: x y vagy y x jelöli a hatványozást A hatványozás azonosságai (1) Írd fel hatványalakban a következő szorzatot: ! Azonos alapú hatványokat Azonos alapú úgy szorzunk, hogy az hatványok Alkalmazzuk a hatványozás értelmezését! azonos alapot szorzata a kitevők összegére emeljük. 3 2 = 3 3 a 3 4 = b a c = a b + c = = = 3 6 (2) Írd fel hatványalakban a következő hányadost: 4 7 : 4 4! Most is alkalmazzuk a definíciót, és írjuk át szorzat Azonos alapú hatványokat Azonos alapú alakba! Az osztás helyett írjunk tört vonalat! úgy osztunk, hogy az azonos hatványok Végezzük el a lehetséges egyszerűsítést! alapot a kitevők különbségére hányadosa 4 7 : 4 4 = emeljük. a b : a c = a b c = = 4 3 Azonos alapú hatványok osztásánál előfordulhat, hogy az osztó nagyobb, mint az osztandó. Pl.: 3 4 : 3 6 Hogyan gondolkozzunk? 3 4 : 3 6 = , végezzük el az egyszerűsítést az előbbi módon: 34 3 = = Válaszolj a számpárokra vonatkozó kérdésekre! (-4; 4) (6; -6) (-9; 9) (a; -a) a) Mennyi az egyes számpárokban a számok összege? EMLÉKEZTETŐ b) Mekkora az összetartozó számok 0-tól való távolsága Két különböző előjelű szám a számegyenesen? egymás ellentettje, ha a 0-tól való távolságuk a számegyenesen megegyezik. a) = (-6) = = 0 a + (-a) = 0 Az összeg minden esetben nulla. Ezek a számok egymás ellentettjei. b) Könnyebben válaszolhatunk a kérdésre, ha számegyenesen ábrázoljuk a számokat: EMLÉKEZTETŐ Egy szám abszolút értéke azt mutatja meg, hogy a számegyenesen hány egységre van a 0-tól Az abszolút érték mindig pozitív, kivétel a nulla. A 0 abszolút értéke 0, vagyis önmaga. Az összetartozó számok 0-tól való távolsága a számegyenesen megegyezik, azaz egy számnak és az Az abszolút érték jelölése: pl. -2 = 2 ellentettjének az abszolút értéke megegyezik. 3. Írd fel törtként a következő hányadosokat! a) 32 : 8 = b) 65 : 12 = c) 15 : 27 = a) 32 : 8 = 32 EMLÉKEZTETŐ 8 = 4 A végtelen szakaszos tizedes tört jelölése: Ha egyetlen számjegy ismétlődik, akkor az elsőként előforduló ismétlődő számjegy fölé teszünk egy pontot. b) 65 : 12 = = 5,416. Ha egy számjegyekből álló szakasz ismétlődik, c) 15 : 27 = = 5 9 = 0,5. akkor az elsőként előforduló ismétlődő szakasz első és utolsó számjegye fölé teszünk egy-egy pontot. 19 GYAKORLÓFELADATOK 1. Írd le a következő szorzatokat hatványalakban! a) b) c) d) e) 6 f) f f f f f 2. Írd a hatványokat szorzatalakban! a) 2 5 b) 7 3 c) 9 2 d) 12 2 e) f) Számold ki! Használhatod a mellékletben található hatványtáblázatot! a) 2 8 b) 6 5 c) 3 9 d) Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelelő relációs jelet! a) 3 4 vagy 4 3 b) 2 4 vagy 4 2 c) 10 5 vagy d) 9 2 vagy Határozd meg az ismeretlenek értékét! a) 2 a = 32 b) 5 b = 125 c) c 4 = 16 d) d 2 = Írd fel a számokat hatványként! a) 36 b) 49 c) 125 d) 32 e) 8 f) 27 EZT IS MEG TUDOM OLDANI 7. Figyeld meg a tanköny 1. számú mellékletében szereplő hatványtáblázatban az egyes számok hatványainak utolsó számjegyeit! Milyen számra végződnek a következő hatványok? a) 3 12 b) c) 3 42 d) SZÁMÚ MELLÉKLET 8. Végezd el a műveleteket! a) b) ( ) 13 c) (12 9) 5 8 d) Petra szülei új gázkonvektort szeretnének venni a szobájukba. A szoba szélessége, hossza és magassága is 4 m. Az üzletben a következő típusokat találták: I. konvektor: a fűthető légtér: m 3 ; II. konvektor: a fűthető légtér: m 3 ; III. konvektor: a fűthető légtér: m 3? 10. Állítsd növekvő sorba a következő hatványokat! a) 2 4 ; 3 4 ; 1 4 ; 6 4 ; 0 4 ; 9 4 b) 3 2 ; 3 4 ; 1 15 ; 32 0 ; 9 2 ; Folytasd a sorozatokat 3-3 elemmel! a) 7 2 ; 7 5 ; 7 8 ; ; ; ; b) 6; 216; 7776; ; ; ; 37 6 MEGHATÁROZÁSOK ÉS SZABÁLYOK MEGJEGYZÉSEK, FIGYELMEZTETÉSEK, EMLÉKEZTETŐK MELLÉKLET HIVATKOZÁS

7 BEMELEGÍTŐ GONDOLKODÁS JÓ, HOGY MÉG NINCS ITT SENKI! HOZTAM NÉHÁNY ÉRDEKES FELADATOT A NYÁRI ÉSZMESTER TÁBORBÓL. GONDOLTAM, MEGMUTATJUK A TÖBBIEKNEK. NEKEM AZ IS TETSZETT A TÁBORBAN, HOGY NEMCSAK AZ AGYUNKAT EDZETTÜK, HANEM A TESTÜNKET IS! EZT A TÁBORT IGAZÁN JÓL K ITALÁLTÁK A MATEKTANÁROK! DE A LEG- KLASSZABB AZ VOLT, HOGY MI IS MEHETTÜNK! HŰ, DE JÓ ÖTLET! NÁLAM IS VAN NÉHÁNY JÓ FELADVÁNY. RAGASSZUK KI A PAPÍROKAT KÖRBEN A FALRA. ÉS MILYEN JÓL ÉREZTÜK MAGUNKAT A VITORLÁS HAJÓN. ÉN NEM CSODÁLKOZTAM, HOGY K IVÁLASZTOTTAK MINKET IS. MINDKETTEN ÖTÖST KAPTUNK ÉV VÉGÉN MATEMATIKÁBÓL. HÁT ELÉG VICCES VOLT, AMIKOR PÉTER ANNYIRA GONDOLKODOTT A LOGIKAI FEJTÖRŐN, HOGY NEM VETTE ÉSZRE, HOGY JÖN EGY NAGY HULLÁM AZ ÉN PAPÁM ELÉGGÉ CSODÁLKOZOTT, HOGY ÖTÖSÖM LETT! LEESETT AZ ÁLLA! DE NAGYON ÖRÜLT JÓK EZEK A FELADATOK EMLÉKSZEL A GOLYÓS FELADATRA? AMIKOR 10 SZÍNES GOLYÓT KELLETT 5 SZÍNES DOBOZBA BETENNI AZT NAGYON NEHEZEN TUDTAM MEGOLDANI. A KIOLVASÓS FELADATOKNÁL ÉN ELŐSZÖR NEM IS ÉRTETTEM, HOGY PÉTER ÉS TE HOGYAN TUDTÁTOK OLYAN GYORSAN MEGMONDANI AZ EREDMÉNYT! KÉSZEN IS VAGYUNK! MÁR HALLOM, HOGY JÖNNEK A TÖBBIEK

8 RÉGEN ÉS MOST Az emberek már az ókorban is szívesen találtak ki és oldottak meg rejtvényeket, és válaszoltak találós kérdésekre. Mi a különbség a rejtvény és a találós kérdés között? A rejtvény bonyolult, szövevényes történetbe rejt el egyszerű kérdéseket. Ennek megoldásához általában kemény gondolkodás, néha matematikai ismeret is szükséges. A találós kérdés a szavakat, fogalmakat a szokásostól eltérően használja, mondatai nehezebben érthetőek, ezért megfejtéséhez jó ötletre, nézőpontunk megváltoztatására van szükség. Az ókori kínai Matematika kilenc fejezetben című könyvet a 3. században Liu Huj kiegészítette egy tizedik fejezettel. Ebben található ez a feladvány: 2 bivalyt, 5 bárányt eladtak, és vettek 13 disznót. Ekkor maradt 1000 jüan pénzük. Ha pedig eladtak 3 bivalyt, 3 disznót, és vettek 9 bárányt, akkor éppen elég volt a pénzük. Ha viszont eladtak 6 bárányt, 8 disznót, és vettek 5 bivalyt, akkor adósok maradtak 600 jüannal. Mennyi egy-egy állat ára? (Lévárdi Sain: Matematikatörténeti feladatok) Talán a legrégebbi, írásban fennmaradt találós kérdést az egyiptomi Rhind-papiruszon olvashatjuk: Hét házban van hét macska, azok megettek hét egeret, azok meg hét szem árpát. Mindegyik szemből hét hekatnyi lehetett volna. Ez mennyi összesen? De innen való a következő rejtvény is: Háromszor férek az edénybe. Ha ehhez hozzáadom nagyságom harmadát és harmadának harmadát, majd nagyságom kilencedét, akkor 1-et kapok. Szerinted mit kérdezhetnénk? (Lévárdi Sain: Matematikatörténeti feladatok) A Kr. e. 10. évszázadban uralkodó, mesésen gazdag és híresen bölcs Salamon királyról a következőket írja a Biblia: Amikor Sába királynője. értesült Salamon hírnevéről, eljött, hogy találós kérdésekkel próbára tegye. 8 A görög Arkhimédész (Kr. e ) adta fel az alábbi tréfás feladatot barátjának, Eratoszthenész (Kr. e ) alexandriai csillagásznak. A feladat problema bovinum (a marhák problémája) néven ismert. Héliosz napisten csordája Szicília szigetén legelt. A csordában négyféle színű marha volt: fehér, fekete, barna és tarka. A fehér bikák száma a fekete bikák számának felével meg harmadával több volt, mint a barna bikáké. A fekete bikák száma a tarka bikák számának negyedével meg ötödével múlta felül a barnákét. A tarka bikák száma pedig a fehérek számának hatodával meg hetedével volt több a barnákénál. A fehér tehenek száma a fekete marhák (bika+tehén) számának harmada meg negyede volt. A fekete tehenek száma a tarka marhák számának negyede meg ötöde, a tarka tehenek száma a barna marhák számának ötöde meg hatoda, végül a barna tehenek száma a fehér marhák számának hatoda meg hetede volt. Hány különböző színű bika, illetve tehén volt a csordában? (A feladat megoldása nehéz!)

9 BEMELEGÍTŐ GONDOLKODÁS 1. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK 2. ÉSZTORNA Sokféle játék és kiadvány van, amivel megtornáztathatjuk az elménket. Ilyen például a szudoku (szu = szám, doku = egy van belőle). A rejtvény lényege, hogy egy kilencszer kilences négyzetrácsba, amelyet háromszor hármas kisebb négyzetekre osztanak, egytől kilencig kell számokat beírni. Egy szám csak egyszer szerepelhet minden sorban és oszlopban, illetve a kisebb négyzetekben. A népszerű játék története kalandos. Eredetileg Leonhard Euler svájci matematikus találta ki kvadrát néven ben egy japán újságkiadó kiadta a feladványokat könyvalakban. Ezt a könyvet egy Wayne Gould (született 1945-ben) nevű új-zélandi bíró megvette, és a feladványokat továbbfejlesztette. Az egész világon ismert logikai játék, a Bűvös kocka feltalálója ifj. Rubik Ernő (Budapest, július 13.) Kossuth-díjas magyar építész és játéktervező. Nevéhez több logikai játék (pl. Bűvös négyzetek, Kígyó, Bűvös dominó, Sudokube, Rubik-óra, Rubik-gömb) megalkotása fűződik, de a legnépszerűbb az 1975-ben készített Bűvös kocka. Ezt külföldön Rubikkocka néven ismerik. Rubik Ernőt 1995-ben életművéért Gábor Dénes-díjjal tüntették ki óta rendszeresen megrendezik a Rubikkocka világbajnokságot. A 2007-es bajnokságot Budapesten rendezték. Óriási magyar siker született, négy kategóriában is első lett a 14 éves Kuti Mátyás. A VI. Rubik-kocka világbajnokságon 2011-ben több magyar versenyző is érmet kapott. Bodor Bálint aranyérmet szerzett egy versenyszámban, Endrey Marcell pedig világrekordot állított fel, 19 kockából 19-et rakott ki vakon. Egy másik érdekes játék a nálunk 15-ös játék néven ismert tologatós feladvány, amit Samuel Loyd ( ) amerikai sakkozó tett híressé. 4×4 mezőt tartalmazó keretben eredetileg 1-15-ig sorban számozott négyzetlapok vannak. A 16. hely üres, ez biztosítja, hogy a lapocskák mozgathatók legyenek. A négyzetlapokat nem lehet kiemelni a keretből. A játék elején valaki összekeveri (tologatással) a négyzetlapokat. A feladat: a helyes sorrend visszaállítása. Az eredeti játék számozott négyzetei helyett ma szétvágott képek vannak

10 1. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK Ebben a fejezetben olyan feladványokkal találkozol, amelyek megtornáztatják az elmédet, amelyeknek a kitalálásához néha elég egy jó ötlet. Anna és Bence izgatottan lapozgatták a könyveket. Egyszer csak Bence felnevetett. Na, erre válaszolj, ha tudsz! mondta, és már olvasta is a feladványt. Károly egy fotót tart a kezében. Ki van ezen a képen? kérdezi tőle a barátja. Tudod, hogy nincsen testvérem, de a képen látható embernek az apja az apám fia. szolja vála- Károly. GONDOLKOZZ! Kinek a képét nézi Károly? A kép Károly gyerekét ábrázolja. A szöveg szerint a gyerek apja Károly apjának a fia. Mivel Károlynak nincsen testvére, ezért csak ő lehet az apja fia. Anna és Bence sok érdekes feladatot talált a könyvekben. Ezekből leírtunk néhányat. Próbáld te is megfejteni a rejtvényeket! A megoldást úgy indokold, hogy mások is megértsék a gondolkodásodat! Segíthet a megoldás megtalálásában, ellenőrzésében, ha párban vagy csoportban dolgoztok. GYAKORLÓFELADATOK 1. Találd ki, kinek a képét nézegeti Károly, ha a barátja kérdésére ezt válaszolta: Tudod, hogy nincsen testvérem, de a képen látható embernek a fia az apám fia. 2. Egy dobozban 100 darab kék és 100 darab sárga golyó van. A golyók mérete és anyaga teljesen egyforma. Bekötött szemmel kell a golyók közül valamennyit kivenned. a) Hány darab golyót kell kivenned, hogy biztosan legyen a kivettek között legalább két megegyező színű? b) Hány darab golyót kell kivenned, hogy biztosan legyen a kivettek között legalább két darab sárga? c) Egy fiókban ugyanannyi darab kék és sárga golyó van. De most nem tudjuk, hogy mennyi. Hány darab kék és hány darab sárga golyó van, ha találomra kiveszünk hármat, és biztosan van a kivettek között mind a két színű golyóból? A játszótéri padon egymás mellett ül egy felnőtt és egy gyerek. A gyerek fia a felnőttnek, de a felnőtt nem apja a gyereknek. Hogy lehet ez? Magyarázd meg!

11 SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK 4. Egy tálcán 10 darab szaloncukor van. Hogyan tudjuk 10 ember között úgy elosztani a cukrokat, hogy mindenki ugyanannyit kapjon, és a tálcán is maradjon egy darab? 5. A nagymama sütött egy tál lekváros fánkot. Annyit készített, hogy az ebédnél mindenkinek pontosan kettő jusson. A tálat betette az ebédlő asztalára. Az ebédlőben játszott a négy unoka: Aranka, Bendegúz, Csaba és Dóra. Az ebédnél kiderült, hogy egy fánk eltűnt a tálról. A nagymama megkérdezte a gyerekeket, hogy melyikük evett a fánkból. Ezeket a válaszokat kapta: Aranka: Bendegúz volt. Csaba: Azt tudom, hogy nem én voltam. Bendegúz: Dóra ette meg a fánkot. Dóra: Bendegúz hazudik. A végén kiderült, hogy ki ette meg a hiányzó süteményt. Találd ki te is! (Annyit elárulok, hogy csak három unoka mondott igazat.) 6. Három öreg bölcs azon vitatkozott, hogy hármuk közül ki a legokosabb. Egy negyedik bölcs elővett három fekete és két piros sapkát. Megmutatta a három bölcsnek. Kendővel bekötötte a három öreg szemét, és egy-egy sapkát a fejükre tett. Majd levette a kendőket, és azt mondta: Az a legbölcsebb köztetek, aki megmondja, hogy az ő fején milyen színű sapka van. Az öregek nézegették egymást, majd az egyikük megszólalt: Az én fejemen fekete sapka van. A válasz jó volt. Magyarázd meg, hogy honnan tudhatta? Rajzold le a füzetedbe a bölcseket, és színezd ki a sapkáikat! 7. Az iskolában atlétikaverseny volt. Anna, Bence, Mariann és Péter így beszélnek az elért eredményeikről: Anna: Nem én lettem az első. Bence: Péter nyert. Mariann: Anna nyert. Péter: Nem Anna nyert. A gyerekek elárulták, hogy csak egyikük mondott igazat. Ki lett az első helyezett az atlétikaversenyen? 11

12 SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK 8. Az egyik szomszédunk, Sanyi bácsi hosszú ideig tanított matematikát. Ma már nyugdíjas, de a rejtvényeket ma is nagyon szereti. A nyáron öt gyerek jött hozzánk látogatóba. Sanyi bácsi megkérdezte, hogy ki kinek a testvére. A gyerekek a következő igaz állításokat mondták egymásról: Anna: A lánytestvérem gitározik. Bence: Pontosan két lánytestvérem van. Cili: Nekem nincsen lánytestvérem. Dénes: A lánytestvérem zongorázik. Erika: A fiútestvérem dobol. 11. Andi és Bandi ikertestvérek. Megegyeztek, hogy Andi hétfőn, kedden és szerdán hazudik, csütörtökön, pénteken, szombaton és vasárnap igazat mond. Bandi viszont csütörtökön, pénteken és szombaton hazudik, de a hét többi napján igazat mond. a) Egyik nap ezt mondták: Andi: Tegnap hazudtam. Bandi: Tegnap én is hazudtam. A hét melyik napján történhetett ez? b) A hét melyik napján mondhatta Andi a következő két állítást? Tegnap hazudtam. és Holnap hazudok. Állapítsd meg, hogy a) kinek a testvére Cili, b) milyen hangszeren játszik Cili, c) kik a testvérei Bencének, d) milyen hangszeren játszik Erika és Bence! 9. Az osztályban két fiú és egy lány üldögélt. A családnevük: Sovány, Kövér, Izmos. A lány megszólalt: Ugyanolyan a termetünk, mint a nevünk. A kövér fiú azt mondta: Ez igaz, de egyenként egyikünknek sem olyan a termete, mint a neve. Tényleg így van válaszolta az, akinek a neve Sovány. Azt tudjuk, hogy a lány nem izmos. Találd ki, milyen termetű a lány és a két fiú! EZT IS MEG TUDOM OLDANI 10. A borospincében van két teljesen egyforma hordó. Az egyiket teletöltötték borral, a másik pontosan félig van. Mennyi az üres boroshordó tömege, ha a teli hordó tömegét 54 kg-nak, a másik hordó tömegét 32 kg-nak mérték? 12. Egy mesében a Királylány gyűrűjét egy ládikában rejtették el. Az asztalon van három ládika: egy arany, egy ezüst és egy réz. A szegénylegénynek ki kell találnia, hogy a három ládika közül melyikben található a gyűrű. Találd ki te is! 12