Sokszínű Mozaik matematika tankönyv 11. megoldások

KOSZTOLÁNYI-KOVÁCS-PINTÉR-: MS-2312 Sokszínű matematika tankönyv 12.o. (Digitális hozzáféréssel) 5% kedvezménnyel csak 1890 Ft a lira.hu-nál.

mozaik matematika tankönyv 5 osztály megoldások

Sokszínű matematika tankönyv 7. 1380 matematika. Mozaik. MS-2308. Sokszínű matematika tankönyv 8. 1390 fizika. Nemzeti. NT-00715/1. Dr. Zátonyi Sándor:.

Tankönyv. Matematika [O. első és második kötet. OFI tankönyvek: FI-503011001/1 és F1-503011002/1 rakt.szám letölthető. 1.kötet https://www.tankonyvkatalogus .

Pintér Klára. Vincze Istvánné. Hetedik, javított kiadás. Mozaik Kiadó – Szeged, 2013. 6 tankönyv . 6. További oszthatósági szabályok . . Gondolkodni jó!

7. Matematika. ÚJGENERÁCIÓS tankönyv. 7 hatvány grafikon súlyvonal . hogy az osztály néhány tagja a kirándulás alkalmával szabadon mozogjon a térben és az .

13 Lencsi és Zita frissítő koktélokat kevertek maguknak. . b) Melyik baba testméretei a legátlagosabbak ezen adatok alapján? Megoldás: Átlagok 4083.

12 мар. 2014 г. . Ha felírjuk az N pontnak az ABCD négyszög köré írt körre vonatkozó hatványát (vagy direkt hasonlóságból), a (2) és (3) összefüggések alapján .

Mézgedi-cseppkőbarlang. Szelek-barlangja. Vlegyásza-hegység. Medve- barlang. Csodavár. 1849 m. Gajna-tető. 1486 m. 1836 m. Vertop-hágó1160 m.

Alapvetöo fogalmak. Halmazok, elemek, halmazok megadása. Idézzük fel a halmaz, az elem és a hozzátartozás fogalmakat, amelyek alap&.

9.kny osztály angol csoport RMI. Tankönyv: Pioneer Pre-Intermediate & Intermediate. 1. félév. Pioneer Pre-Intermediate. Module One – Social media, .

Keresés (szekvenciális, bináris), rendezés (kiválasztásos, . alkalmazunk, hiszen nem tudjuk hány eleme lesz az összefésült sorozatnak (az ismétlődő .

MATEMATIKA 9. osztályos tankönyv végeredményei. 1. témakör: Kombinatorika, halmazok. Bevezető lecke. Feladatok. 1. a) 2022-ben majd 2042-ben. b) 2034-ben.

MATEMATIKA 9. osztályos tankönyv végeredményei, megoldásai. 2. témakör: A számok világa (12–27. leckék). 12. lecke. Feladatok.

Lotz János egyik tanára a Pázmány Péter Tudományegyetemen Gombocz Zoltán nyelvészprofesszor volt. Gombocz hamar felfedezte Lotz tehetségét, s kétéves svéd .

26 апр. 2017 г. . MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ. FELADATGYŰJTEMÉNY 10 – 14 ÉVESEKNEK. MEGOLDÁSOK. (I. KÖTET) . 8 9 10 11 12 13 14 15.

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné -. Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva. AP-082003. Nyolcadik daloskönyvem.

Szegedi László. DI-ATLASZ/KT. Földrajzi atlasz . Dr. Szegedi László. DS-002. Krisztus Urunk barátkozik velünk . Szabadi László-dr. Vancsó Ödön. NT-11172.

17 Az ábrán egy 4×4-es sudoku darabjait látod. Rakd ki a darabokból a sudokut! Számítsd ki, milyen számok kerülnek az a, b, c, d betűk helyére, .

A kiskakas gyémánt félkrajcárja (Magyar népmese, földolgozta Arany László) . . . . . . . . . . . 132. A találós kérdések megfejtése .

*Húsvéti mondókák. Zöld erdőben jártam . Népköltés. *Húsvéti mondókák. Birka, barka, berkenye . Sarkady Sándor . 71.

Nemes Nagy Ágnes. Nyári rajz. Hogy mit láttam? Elmondhatom. De jobb lesz, ha lerajzolom. Megláthatod te is velem, csak nézd, csak nézd a jobb kezem.

elôször 1000-es, majd 10 000-es számkörben. . tok várnak rátok, és a füzetben található feladatok megoldását is . 1000-es számkör, fejszámolás.

Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociati- . Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai . A hatványozási azonosságok.

cikke is: Mumusunk — a mértékegység átváltás . tékegység átváltás tanítása az alsó tagozaton . münk elől, és mondjuk játékosan egy nagyítót.

FIZIKA. 7. osztály. Mechanika, Hőtan. MOZAIK KIADÓ – SZEGED, 2003 . Ez a tanmenet a 2003/2004 tanévben életbe lépő fizika kerettanterv alapján készült az .

DEFINÍCIÓ: Két vagy több halmaz metszete vagy közös része pontosan azoknak az elemeknek . Legkisebb közös többszörös: törtek közös nevezőre hozása.

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 2020 . Az ő jelölésrendszerét finomította később Venn (1834–1923) angol matematikus, ez a jelö-.

A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését és a kitűzött feladat megoldását várják el a vizsgázóktól. A tétel címében megjelölt témát .

elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásában és bizonyításában . . Descartes francia matematikus 1637-ben már minden előítélet nélkül .

A tizedes törtek összeadása, kivonása. Tizedes törtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel. Tizedes törtek szorzása természetes számmal.

17 сент. 2020 г. . Matematika 8. osztály. 1. 8. évfolyam . Függvények, sorozatok. 7. 7 . A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok.

Gyakorló feladatok a témakörhöz: Sokszínű Matematika Feladatgyűjtemény 9-10: 2018, 2019,. 2029,2030, 2036, 2041, 2056, 2086, 2740, 2748, 2759, 2777, 2785.

Hasonló síkidomok területének aránya. 58. Hasonló testek térfogatának aránya. 59. Feladatok megoldása. 60–61. III. témazáró írása és javítása.

5. osztály pótvizsga matematika. A természetes számok. 9. 1. A természetes számok. 10. 2. A tízes számrendszer. 12. 3. A számegyenes.

Az osztás értelmezése a tanult szorzótáblákhoz kapcsolódóan: az osztás a szorzás fordított művelete, mint bennfoglalás, mint részekre osztás.

15 окт. 2020 г. . 9. 20. Vegyes feladatok . . ¬K : ∃ kutya, amelyik nem ugat. . 9. Feladat. Igazoljuk, hogy az alábbi állítások tautológiák, .

Ottlik Géza Iskola a határon című, 379 oldalas könyvét szeretnénk elolvasni. Ha az első napon 19 oldalt, majd minden nap az előző napinál 18 oldallal többet .

11 июл. 2018 г. . Magyar irodalom. FI-501021101/1. Irodalom 11. tankönyv (2018, újgenerációs) https://player.nkp.hu/play/234469/false/undefined.

9. osztály. Magyar irodalom. FI-501020901/1. Irodalom 9. tankönyv (2018, újgenerációs) . Történelem 9. (Száray Miklós). Matematika. MS-2309.

17 сент. 2020 г. . arányossági szemlélet kialakítása, az egyenes arányosság, a törtrész-számítás, ezen alapulva a . Szöveges feladatok megoldása.

16 янв. 2009 г. . több bor vagy pedig a borban több víz. Mi a megfejtés? 2. Miután megfejtették a feladványt kaptak egy zsák fémpénzt, melyek látszólag.

Egy szám hatványa egy szorzat. A hatványkitevő mutatja meg, hogy hányszor szorozzuk meg a számot saját magával. A számot magát hatványalapnak hív-.

Arány, arányos osztás . Prímszámok, összetett számok, legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó . Szöveges feladatok grafikus megoldása.

22 мар. 2021 г. . http://www.ementor.hu/kviz/kompetenciameres-2014-matematika-6-osztaly. 64., 66., 67., 70., 71., 72., 74., 76., 82., 85., 88. feladatok.

Év eleji felmérés – 5. osztály Matematika. Név: 1. Szorzótábla – számolási készség (fejben). /15 pont. 12 + 37 = 41 – 15 = 24 + 28 = 33 – 19 = 38 + 25 =.

1. Matematika tanmenet 12. osztály. (heti 4 óra). Tankönyv: Ábrahám Gábor – Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet – Tóth Julianna: Matematika 12. középszint.

Távoktatás 5. osztály matematika. Kedves tanulók! Természetesen, azt a feladatot, melyet szülői segítséggel sem tudtok megoldani, kihagyhatjátok.

Modulszámok a programterv matematika „A” 6. évfolyam tanmenetből valók . Feladatok a kombinatorika, a sorozatok, függvények.

Feladatok a skatulya-elv alkalmazására. Sorba rendezési problémák. Kiválasztási problémák. Vegyes feladatok sorba rendezésekre, kiválasztásokra.

Matematika tanmenet 3. osztály (heti 4 óra). Készítette: Dobos Emília. Óraszám. Téma. Célok, feladatok. Ismeretanyag. 1. Ismételünk.

HAJDU SÁNDOR-NOVÁK LÁSZLÓNÉ. WS. HR. : FELMÉRŐ FELADATSOROK. MATEMATIKA 4. OSZTÁLY . 1. PE. : WWW . MATEMATIKA 4. SZERKESZTETTE HAJDU SÁNDOR.

A két egyenest egyenlet- rendszerként megoldva megkapod a keresett koordinátákat. Válasz: K = (-2;-3). 10. Feladat. Határozd meg az e : 4x – 3y = 2 egyenes .

14 мая 2020 г. . A tanulás-tanítási egység cél- és feladatrendszere: A tanult 10-es, 2-es és 5-ös szorzótábla gyakorlása, szinten tartása, összeadás-kivonás .

Ajánlott irodalom: Sokszínű matematika 11. osztály (Mozaik Kiadó). Hatvány, gyök, logaritmus fejezet. 1. Hatványozás azonosságai: egész kitevőre, .

Összetett százalékszámítási feladatok. Kamatos kamatszámítás. A matematikai szövegértés, a logikus gondolkodás következtetési kompetencia fejlesztése.

20 окт. 2020 г. . Fontosabb számhalmazok, melyekkel gyakran találkozunk: • Üres halmaz, melynek nincs eleme1. Jele: ∅ vagy <> . Jelölése: A△B.

Matematika 7. osztály . Témazáró dolgozat megbeszélése . . 81. óra Feladatok. 5. Feladat. Oldjuk meg az alábbi elsőfokú egyenleteket az racionális .

Matematika 9. osztály . Ekkor az x0, y0 megoldáson kívül végtelen sok megoldás van: . [1] Nagy András: Számelméleti feladatgyűjtemény 2009.

4. óra Szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok. 5. Feladat. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket kiemeléssel! a.) 3a + 3b = b.) 5ab – 10ac =.

Gondolkodási módszerek: gondolatok szóbeli és írásbeli kifejezése, . kifejezések: algebrai egész kifejezések, egyszerű átalakítások, szorzattá alakítás.

2. osztály – Matematika. Tanítás helyszíne: Rákospalotai Meixner Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola. Tanítás Ideje: 2017. március 29.

Sokszínű Mozaik matematika tankönyv 11. megoldások?

2/5 Tom Benko válasza:

Azert hogy megertsem hogy mit kene csinalnom es hogyan. Nem esz nelkul hogy azt se tudjam milyen fajta feladatot csinalok.

5/5 Tom Benko válasza:

Javaslatom: próbáld levezetni, aztán, ha úgy gondolod, tedd ki ide a megoldásod, szívesen ellenőrizzük. Én legalábbis biztosan.

Kapcsolódó kérdések:

Sötét mód bekapcsolása

Minden jog fenntartva © 2022, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: infogyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

4 Gondolkodási módszerek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel. ) H vizes z úttest, kkor esik z esõ városbn. Nem feltétlenül igz. b) H bezárom z jtót, kkor elmegyek otthonról. Nem biztos. c) H õ medve, kkor õ Micimckó. Nem biztos. d) H felvesznek z egyetemre, kkor megnyerem z OKTV-t. Nem igz. e) H bemehetek színházi elõdásr, kkor vn jegyem. Igz.. ) H egy szám oszthtó -vel, kkor oszthtó -gyel. Nem igz. b) H egy szám rcionális szám, kkor véges tizedes tört. Nem igz. c) H egy háromszög leghosszbb oldlánk négyzete egyenlõ másik két oldl négyzetének összegével, kkor derékszögû. Igz. d) H két szám szorzt 0, kkor közülük leglább z egyik 0. Igz.. ) Szükséges, de nem elegendõ. b) Szükséges, de nem elegendõ. c) Szükséges, de nem elegendõ. d) Szükséges, de nem elegendõ. e) Elegendõ, de nem szükséges.. ) Elegendõ, de nem szükséges. b) Szükséges és elegendõ. c) Szükséges, de nem elegendõ. d) Elegendõ, de nem szükséges. e) Nem szükséges, nem elegendõ.. ) Szükséges, de nem elegendõ. b) Elegendõ, de nem szükséges. c) Elegendõ, de nem szükséges. d) Szükséges és elegendõ. e) Nem elegendõ és nem szükséges. f) Nem szükséges, nem elegendõ. 6. Szükséges, de nem elégséges leglább 0 ontot elérni. Elégséges, de nem szükséges 00 ontot elérni. Szükséges és elégséges 0 ontot elérni. Nem szükséges és nem elégséges legfeljebb 0 ontot elérni. 7. ) Szükséges, de nem elégséges: átlók felezik egymást. Elégséges, de nem szükséges: négyzet legyen. Szükséges és elégséges: oldli egyenlõek. b) Szükséges, de nem elégséges: oszthtó -vel. Elégséges, de nem szükséges: oszthtó -vel. Szükséges és elégséges: oszthtó -vel és -ml.

5 c) Szükséges, de nem elégséges: z egyik áros. Elégséges, de nem szükséges: mindkét szám áros. Szükséges és elégséges: h vlmelyik ártln, másik -gyel oszthtó vgy mindkét szám áros. d) Szükséges, de nem elégséges: átlóik egyenlõek. Elégséges, de nem szükséges: mindkét deltoid oldli egységnyiek, szögei 90º-osk. Szükséges és elégséges: három oldluk és z áltluk meghtározott két szögük egyenlõek. 9. Mivel 9 mezõ vn, z egyik színbõl több vn. Az átmászáskor minden csig másik színû mezõre kerül. A több mezõt meghtározó színû mezõkrõl induló csig mezõ közül válsztht, így biztos lesz olyn mezõ, melyikre kettõ kerül közülük. 0. Egy elégséges feltétel, hogy egy srokmezõt hgyjunk ki. Ezt z egyik srokmezõt kihgyó triminó-fedés megdásávl indokolhtjuk. Ilyet tlálhtunk egyszerûen. A szükséges és elégséges feltételhez mezõket (i, j) koordinátároknk gondoljuk, hol i, j 7. Az (i, j) mezõbe írjuk bele z i + j szám -ml vló mrdékos osztásánál kott mrdékot. Így mezõket megszámoztuk úgy, hogy h sorbn blról jobbr, vgy oszlobn lulról felfelé hldunk, kkor 0,, számokt látjuk eriodikusn ismételve. (Ez számozás számelméleti leírás nélkül is könnyen megdhtó.) Azz minden triminó áltl lefedett mezõkben számok összege Az összes lefedett szám összege 6 8. Ebbõl kiszámolhtó, hogy le nem fedett mezõben -esnek kell állni. Ez srok, oldl-közésõ és tábl-közésõ ozíciókbn lesz. Tehát egy szükséges feltétel, hogy egyetlen fedetlen mezõ legyen fenti kilenc közül. Ez elégséges is, mit z egyes lehetõségekhez trtozó fedésekkel igzolhtunk.. Nem lehetséges. Szükséges és elégséges feltétel, hogy z koordináták különbsége lusz z y koordináták különbsége áros legyen.. Mivel egy él két csúcshoz trtozik, z egy csúcshoz írt számok összege ( ). 8 8 Ez nem egész szám, így ez számozás nem lehetséges. A számozás szükséges feltétele, hogy z élekre írt számok összege többszöröse legyen. Ez nem elégséges feltétel. Elégséges feltétel: legyen ; ; ; ; ; 9 tetszõleges számok. Az élekre írt számok legyenek: Számozzuk z oszlookt blról és sorokt lulról. ) 6. sor vált,. oszlo vált, 6. oszlo vált. b). oszlo vált. sor vált.

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) Nem érhetõ el. Legyen egy sorbn vgy oszlobn kékek szám k, váltáskor kékek számánk változás ( k), zz áros. Tehát szükséges feltétel, hogy kékek szám kezdetben áros legyen. d) Nem érhetõ el. A szükséges és elégséges feltétel egy másik megfoglmzás: Vegyünk ki tetszõlegesen négy mezõt úgy, hogy zok két sorbn és két oszlobn legyenek. Ekkor köztük áros sok kék mezõ vn. Egy átlkítás ezt tuljdonságot nem változttj meg, és mivel végén minden ilyen mezõnégyesben null (zz áros) kék mezõnek kell lenni, ezért feltételünk szükséges. Másrészt elégséges is, mert h teljesül, kkor néhány átlkítássl érjük el, hogy z elsõ oszlobn és sorbn is csk sárg mezõk legyenek (ezt könnyen el tudjuk érni). A feltételünk z átlkítások során megmrdt, így többi mezõ is sárg lesz. Vlóbn, hiszen többi mezõ mindegyike benne vn egy olyn mezõnégyesben, mely három mezõje z elsõ sor vgy elsõ oszlo eleme (így már sárg), és összesen áros sok kék mezõ vn köztük (feltételünk szerint). Ez többi mezõ közül tetszõlegesen kiválsztott mezõ sárg színét is jelenti. Rejtvény: Kettõt. A bl felsõt és jobb lsót.. Sktuly-elv. A: nem B: igz C: igz D: igz ) Vn közöttük két egyform fjt állt. b) hetet c) ötöt d) hármt e) négyet f) hetet g) hetet. Angolos és németes csoortról.. Mivel 6 +, biztosn vn olyn osztályzt, mely leglább 7-szer fordul elõ.. A: igz (6 < 7) B: igz (7 0 < 7) C: nem D: nem E: igz ( < ). ) b) 9 c) d) 0 6. A: nem B: nem C: igen D: igen 7. ) 6 b) lmát kell kivenni, hogy vlmelyikbõl leglább 0 legyen. 76 lmát kell kivenni, hogy mindegyikbõl legyen leglább. 9. ) b) 0. Legyen n kék és m iros zokni. húzás kell, hogy legyen biztosn egyform színû ár és m+ húzás kell, hogy legyen két különbözõ színû. Tehát ³ m + ³ m + iros és kék, vgy iros és kék, vgy kék és iros zokni vn lemezt. 6

8 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE b) Nem igz. Például h mindegyiknek mrdék, kkor bármelyik kettõ összegének mrdék. c) Akkor nem lesz két szám különbsége oszthtó -tel, h mrdékuk különbözõ. Így legfeljebb drb szám írhtó fel. Akkor nem lesz két szám összege oszthtó -tel, h mrdékik összege nem. Így legfeljebb 8 drb szám írhtó fel. A feldtnk legfeljebb 8 drb, különbözõ mrdékú szám felel meg.. A legkisebb szám, mit khtunk A legngyobb szám nem ngyobb nél. Így legfeljebb különbözõ szám lehet z eredmény. egyfélekéen értelmezhetõ/zárójelezhetõ. H ezt kifejezést bõvítjük kifejezéssel, kkor eddigi zárójelezésünkbõl kettõt is készíthetünk: Az eddigi kifejezéshez egyesével vesszük hozzá -t és -et, illetve két tg együttesen zárójelezve kerül hozzá. Más lehetõségek is vnnk, de z biztos, hogy lehetõségeink leglább megkétszerezõdnek. Gondoltmenetünk folytthtó: két újbb tg zárójelezések lehetõségeinek számát mindig leglább megkétszerezi. Összesen több mint 999 zárójelezés vn, mi sokkl ngyobb szám, mint lehetséges végeredmények szám. Így biztos lesz két különbözõ zárójelezés zonos végeredménnyel.. Legyen z öt szám:, b, c, d, e. Kéezzük következõ összegeket:, + b, + b + c, + b + c + d, + b + c + d + e. Az. számok -tel osztv különbözõ mrdék lehet, ezért vgy különbözõ mrdék, és kkor vn közöttük egy -tel oszthtó, vgy vn két zonos mrdékú, és kkor zok különbsége oszthtó -tel. Ez különbség z eredeti, b, c, d, e számok közül néhánynk z összege. Az helyett bármilyen ngyobb egészet írhtunk. szám esetén már nem biztos, hogy kiválszthtó megfelelõ részhlmz. Ezt éldául z. számnégyes muttj. 6. Az elõzõ lján z. léésben biztos véget ér játék. A kezdõnek kkor lehet nyerõ strtégiáj, h eléri, hogy. léésre vége legyen játéknk. Legyen l i z i-edik léésben felírt szám ötös mrdék. Nyerõ strtégi: l. Mivel l nem lehet, illetve, l, vgy. H l, kkor l. H l, kkor l. H l, kkor l. Bármi is z l, kezdõ játékos nyer. 7. Legyen i olyn szám, melyben i-szer vn egymás után leírv 00. Tehát 00, 0000. Ez 8 drb szám, melyeknek 7-tel osztv 7- féle mrdék lehet. Így biztos vn kettõ zonos mrdékú közöttük. Ezek különbsége oszthtó 7-tel, és 00-gyel kezdõdik. Ilyen szám még is Az elõzõ lján. A két zonos 7-es mrdékú különbsége oszthtó 7-tel, és csk, illetve 0 jegybõl áll. Ilyen szám még z 00 is zel osztv 0-féle mrdék lehet, így z szám között biztosn vn 6 drb, melyek mrdék zonos, ugynz z utolsó jegyük. Legyenek ezek 0 < < <. < H bármely két szomszédos különbsége ngyobb lenne, mint 0, kkor 6 00-nál ngyobb lenne. Így kell lennie két szomszédosnk, melyek különbsége 0. -hez 6 drb számot kell húzni, -höz 6 drbot. 8

9 Rejtvény. 6. 7. 7,, 6,, 6. 7. 6,, 7. 6. 7 6. 7. 7. 6. 6, 7. 6, 7. Sorb rendezési roblémák. ) 8! b)!, mivel négy árbn sorrend dott. c)-d) Tisztázni kell, hogy egy kör lkú sztl mellé ültetések közt kettõt mikor tekintünk különbözõnek. Két lehetõség vn: I) H két ülésrend esetén mindenkit mindkét esetben ugynzon két ember fogj közre, kkor két ülésrendet zonosnk tekintjük. II) H két ülésrend esetén mindenkinek mindkét esetben ugynz bl és ugynz jobb oldli szomszédj, kkor két ülesrendet zonosnk tekintjük. A két szemléletmód bbn különbözik, hogy h egy ülésrendet egy tükörben tekintünk, kkor z I) szemlélet mellett ugynzon ülésrendet látjuk, mint tükör nélkül tekintett eredetit. Míg II) szemlélet szerint (feltéve, hogy leglább hármn ülnek z sztlnál) másik ülésrendhez jutottunk, mert z eredeti bl szomszédok most jobb szomszédok lettek. A II) szemlélet szerint c)-re válsz 7!, hiszen nyolc résztvevõ közül z egyik leírj, hogy tõle blr ki ült, és továbbmenve blr milyen sorrendben követte egymást rjt kívüli hét részvevõ, kkor teljes ülésrend egyértelmûen tisztázv lesz. A hét résztvevõ sorrendjére 7! lehetõség vn. Az I) szemléletben lehetõségek szám felezõdik. A d) kérdésre II) szemléletben válsz. hiszen z egyik férfink z ülésrend leírásához el kell mondni, melyik oldlon ült felesége, rrfelé hldv milyen sorrendben ült másik három házsár, és mindegyik házsár esetén tisztázni kell, hogy férj és feleség két lehetõség közül milyen sorrendben ült. Az I) szemléletben lehetõségek számát felezni kell.. H nem vesznek össze, kkor!-félekéen ülhetnek le. H Be és Cili egymás mellé krnk ülni, kkor! -félekéen ülhetnek. Így h nem krnk egymás mellé ülni, kkor. ( )! -félekéen ülhetnek le. 6!. )! b) c)! 7!. mivel z zonos jelek sorrendje nem számít. 7! 6! 6! 6! 6! 7!. A7 betûs szvk szám A6 betûs szvk szám + +. A két szám egyenlõ. 9

10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 6! nl zért kell szorozni, mert bármelyiket megfordítv új rendezést kunk. 6, 0! 7., fejek, ill. írások egymás közti sorrendje nem számít. 6!! 8. A sorrendhez le kell írnunk mi hldt z oel mögött, kettõvel z oel mögött és háromml z oel mögött (mi egyben z oel elott hldó utó). Ez éen másik három utó egy sorrendje. Erre! 6 lehetõség vn. 9.! félekéen. Az egyik felsõ lyuknál kezdve hátul ismeretlen úton 0 lehetõség vn felbukknásár. Ezután elöl dott, hogy melyik lyukt kell válsztni. A következõnél már csk 8 lehetõség vn és így tovább.. )! b) 8-félekéen. Elõször kiválsztjuk, hogy melyik kerüljön helyére, zután többit rendezhetjük úgy, hogy egy se kerüljön helyére (ez lehetõség). c) Arr nincs lehetõség, hisz ekkor negyediket is csk helyére rkhtjuk.. )! b) A )-es feldt borítékokkl is elmondhtó. Ebbõl kiderül, hogy borítékolás! módon lehetséges. Ebbõl egyszer minden helyére kerül, nyolcszor ontosn egy levél kerül helyére. Könnyen meggondolhtó, hogy htszor lesz olyn elrendezés, hogy ontosn két levél kerül helyére. Azz szer lesz z, hogy egy levél sem kerül helyére. Az eredeti roblémár vissztérve: öt levél esetén ötfélekéen válszthtjuk ki zt z egyetlen levelet, melyik helyére kerül, mjd 9-félekéen rendezhetjük el mrdék négy levelet úgy, hogy további helyrekerülés már ne legyen. Összesen 9 lehetõség vn. c) válszthtó ki, melyik három legyen helyén. A fennmrdó kettõ helye már egyértelmû.. András megoldás helyes.. A leglcsonybbnk sor szélén kell állni, és következõ mgsságúnk vgy mellette, vgy sor másik végén. A többiek sorrendje mindkét esetben -féle lehet. Így z összes esetek szám 6 ( + ). A -es szorzó zért kell, mert egy jó sorrendet megfordítv is jó sorrendet kunk. Egy másik érvelés: A sort úgy lkítsuk ki, hogy játékosok mgsság szerint csökkenõ sorrendben menjenek fel ályár és álljnk be z eddigi sorb. A legmgsbb játékos után további négy játékos mindegyike két válsztás elõtt áll: vgy sor elejére, vgy sor végére áll. Összesen lehetõség vn sor teljes kilkításár. 0

11 . Kiválsztási roblémák. -féle zászló. Elõször kiválsztjuk színt, mjd ezek sorrendje tetszõleges. Másként: -féle, mivel tetszõlegesen sorbrendezzük z színt, de z utolsó sorrendje! nem fontos, hisz z elsõ dj zászló színét. Egy hrmdik érvelési mód: Legfelülre öt lehetõségbõl válszthtunk. Alá már egy új színnek kell kerülni, mire négy lehetõség vn. Alulr mrdék három színbõl válsztunk egyet. Összesen 60 lehetõség vn.. -féle zászló. Az elsõ szín válsztásár lehetõség vn, következõ színekre csk, hisz z elõzõ színt nem válszthtjuk. 9!. )! b) 9 -félekéen, hisz minden húzásnál 9 lehetõség vn.. ) 6 eset lehet, kiválsztjuk számot, mjd ezeket tetszõleges sorrendben! rendezhetjük. b) 7-szer.. ) 6 b) 6 6. ). b). c) ( ) Külön számoljuk z eseteket ttól függõen, hogy mi z elsõ szám. d), mivel z elsõ szám nem lehet. e), mivel z utolsó két jegy -féle lehet. 7. ) 6. b) 6 6. c) 6, mivel z utolsó két jegy -féle lehet. 8. -félekéen. 9. A megfoglmzás kétértelmû! H úgy értjük, hogy minden szín csk egyszer szereelhet: n(n )(n )(n )(n ) ³ 6 n ³ 6 Leglább 6 szín kell. H úgy értjük, hogy színek ismétlõdhetnek, kkor n szín esetén n színezési lehetõség vn. Így olyn n-et kell válsztni, melyre n ³ 6. n minimális értéke szám írhtó fel. 8 z összes, ezen számjegyekbõl álló 8 jegyû szám, és, melyekben csk z egyik számjegy szereel.

12 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE féle, mivel 6 betû és 0 számjegy hsználhtó féle szám, mivel 0 6 legfeljebb 6 jegyû természetes szám vn, és ezek között 9 6 olyn, melyben nincs számjegy.. ) ; b) ;;. jegyû jelsorozt -féle, jegyû -féle, jegyû -féle lehet. Ez lehetõség kevés.. 0 -féle 0. lkú, féle 0. lkú (hol ³ ) és 0 7 -féle 0. ; 0. ; 0. lkú szám vn. Ez összesen 7 0 drb szám. 6. ) b) c) Az elsõ helyi értéken nem állht 0 z egyik esetben sem különbözõ kód. Rejtvény: Jobbról. ohár trtlmát átöntjük z.-be, mjd.-ét 7.-be.

13 A gyökvonás. Rcionális számok, irrcionális számok. ) 0,6. b),8. 7. c) 0, d) 0, ) b) c) d) Indirekt bizonyítást lklmzunk. ) Tegyük fel, hogy 7 rcionális q, hol (; q),, q ÎZ +. Innen 7q. A bl oldlon 7 kitevõje ártln szám, míg jobb oldlon áros szám, mi ellentmond számelmélet ltételének, így ez lehetetlen. Tehát 7 irrcionális. b) Az elõzõhöz hsonlón: Tegyük fel, hogy (; q) és, q ÎZ +. q, Innen q. A kitevõje eltér két oldlon, mi ellentmond számelmélet ltételének. Így irrcionális, tehát + is. c) Beláthtó, hogy irrcionális, így is. d) Tegyük fel, hogy + 7 (; q) és, q ÎZ +. q, ( ) Innen 9+ q, mi csk kkor lehet igz, h rcionális. Ezt hsonlón vizsgáljuk: Tegyük fel, hogy m (m; n) és m, n ÎZ +. n, Innen n m. A 7 kitevõje két oldlon különbözõ, mi lehetetlen, így + 7 is. ( ) irrcionális, tehát. Pitgorsz tételét lklmzzuk többször egymás után. ) b) c) d) vgy d) Az 96-ik léésben kjuk 96 hosszúságú szkszt.

14 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Például,. Rejtvény: 9 8,. 9. A négyzetgyökvonás zonossági. ) b) 0 c) d) e) f) 9 g) h) 9. ) b) c) d) > > < < < 8 ( ) < 7 0 >> ( ) 6. ) b) c) d) e) f) ) b) 6 c) 6 d) e) 8 f) 0 8 Rejtvény: 6 Tehát ngyobb.. A négyzetgyökvonás zonosságink lklmzási. ) b) c) d) < 0 < 8 >7 7 > < 8 < 8 e) < < 7 7 f) 8 >96 9 > > 7 6

16 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Az n-edik gyökvonás zonossági. ) b) c) d) e) f). ) b) c) 6 6 > 8 6 > 7 > 6 7 > 6 8 > 7 > 7. ) b) 6 c) R d) e) 0 f) 0 g) b b> h). ) 0 b) > 0 c) d) e) f) b( + b b) b b + b b b b ; b 0 n ( ) n + 0, h n áros ) b) c) d) > 0 e) 7 0 Rejtvény:. 6 > 0 6

17 A másodfokú egyenlet. A másodfokú egyenlet és függvény. ) ( ) b) ( ) c) ( +) 8 d) ( +) e) ( ) + f) ( ) +. ) b) c) f( ) f( ) y f( ) f( ) f( ) f( ) y f( ) f( ) y f( ) f( ) f( ) 6 7 f( ) ) f () ( ) y D f R R f [ ; [ minimum vn, helye: minimum vn, értéke: y mimum nincs zérushely: ; ] ; ] szig. mon. csökkenõ [; [ szig. mon. növõ lulról korlátos, legngyobb lsó korlát b) f () ( +) y +7 8 D f R 7 R f ] ; 7] 6 mimum vn, helye: mimum vn, értéke: y 7 minimum nincs zérushely: + 7; 7 ] ; ] szig. mon. növõ [ ; [ szig. mon. csökkenõ felülrõl korlátos, legkisebb felsõ korlát 7 7

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) f () ( ) + y D f R R f [; [ minimum vn, helye: minimum vn, értéke: y mimum nincs zérushely nincs ] ; ] szig. mon. csökkenõ [; [ szig. mon. növõ lulról korlátos, legngyobb lsó korlát meredekség kétszeres. ) D 6 q b) D 6 + q c) D 6 8q 0 zh.: q > 0 zh.: q < 0 zh.: q >zh.: q zh.: q zh.: q zh.: q < zh.: q >zh.: q <. f() + + q minimum helye: minimum értéke: y +q ) ; q b) ; q c) 8; q 6. Minden érték ozitív, h D < 0. ) 9 < q b) < q c) 8 < q 7. Minden érték negtív, h D < 0. ) q < b) q < c) q <. A másodfokú egyenlet megoldókélete. ) ; b) ; c) 6; 6 d) nincs megoldás. ) ; b) ; c) ; d) nincs megoldás. ) ( ) b) ( +) 9 ; ; c) ( ), ± d) ( +) nincs megoldás. ) ; b) ; c) ; d) 8

19 . ) 0, 0 b) y, y c) v, v d) u 8, u 6. ) b) c) > > 7. ) b) c) b < vgy b>b vgy b < b < 8. ) >c b) c c) c >. A gyöktényezõs lk. Gyökök és együtthtók közötti összefüggés. ) ; b) ; c) ; d) ;. ) ( )( ) 0 b) ( + )( ) 0 c) ( )( + ) 0 d) ( ) ( ) 0 e) ( b)( + b) 0. ) ( )( ) b) ( )( ) c) ( )( +) d) ( + )( +) +. ) ; b) ( ) c) ; d) + + ; ;. ) + ( + ) b) c) d) + ( + ) 6. ) + b) q c) q d) + q e) q 9

21 c) ( ) ± 0; ( ) nincs megoldás. ) Legyen + y, így y(y + ) 0. Innen + vgy + nincs megoldás, ± b) Legyen + y, így y(y ) 6. Innen + vgy + ; nincs megoldás c) Legyen + y, így y(y ) 0. Innen + vgy + ; nincs megoldás. ) ( )( )( ) 0 b) ( + )( + )( + )( + ) c) ( + )( )( + )( ) ) ( )( + )( ) 0 b) ( )( + )( + ) 0 ; ; ; c) ( + )( )( + ) 0 ; 7. ) b) vgy c) vgy vgy 8. ) vgy b) nincs vlós megoldás c) vgy. Másodfokú egyenlõtlenségek. ) < < b) < vgy < c) 8 8. ) < >+ vgy b) c) < <. ) < >+ vgy b) c) ÎR

23 d) 0: lineáris egyenlet, egy gyök, ( h b 0, nincs megoldás b b 0), ¹ 0: másodfokú, D b ( +) b b ( + ): egy gyök, b < ( + ): nincs gyök, b b b ( ) >( + ): két gyök,, ± +. ) 0: ¹ 0:, ± + b) 0: ¹ 0:, ± + c) Kikötés: ¹ ; ; 0. Szorzunk nevezõkkel: ( ) + ( + ) ; innen: + 0; tehát: 0. Ez z eredeti egyenletnek nem megoldás, tehát nincs megoldás.. Nincs vlós megoldás Û D < 0. ) 6 < 0 b) ( ) < 0 0 < < < 0 ( ) + < 0 nincs ilyen c) ¹ 0 és D < 0 ¹ 0 és ( ) 0 < 0 innen 0 < < + 0. m < 0 és D < 0 m < 0 és (m ) m < 0 m < 0 és < m < + Tehát nincs ilyen m. 6. m >0 és D < 0 m >0 és m +0m < 0 m >0 és m(m + 0) < 0 Tehát nincs ilyen m. 7. m < 0 és D < 0 m >0 és (m ) +m(m + ) < 0 m >0 és < m < Tehát nincs ilyen m.

24 7. Négyzetgyökös egyenletek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) 6 b) c) nincs vlós megoldás. ) b) c) + 8 Kikötés: ³ 0 és Nincs ilyen. 0.. Nem negtív tgok összege csk kkor 0, h minden tg 0. ) nincs megoldás b) nincs megoldás c) nincs megoldás. ) 7 b) 6 c) + 7. ) nincs megoldás (½ +½ +) b) nincs megoldás (½ ½½ ½+) c) (½ +½½ ½+) 6. ) ; Legyen 9, így z + 0 egyenletet kjuk. b) Legyen + + 9, így z egyenletet kjuk. Így 9 ±,. c) Legyen +, így z egyenletet kjuk. Innen + ;. 8. A számtni és mértni közé. ) A( 78 ; ) G( 7; 8) 6 7, 8 b) G 7 A 7 8 ; ; 6 c) A(; ) 6 G(; )

25 . ) b). tláltr. 99%-os. 600., km z átlgsebesség. h 6. Az egyik oldl legyen. Ekkor kerület k Ez kkor minimális, h 0, zz négyzetrõl vn szó Nincs vlós megoldás, hisz, így A másik befogó hossz, így + >. 9. Szélsõérték-feldtok. ) minimum helye: 0 b) mimum helye: 0 c) minimum helye: minimum értéke: y mimum értéke: y minimum értéke: y. ) mimum helye: b) mimum helye: c) minimum helye: mimum értéke: y mimum értéke: y minimum értéke: y. ) minimum helye: b) minimum helye: c) minimum helye: minimum értéke: y 8 minimum értéke: y 6 minimum értéke: y 8 mimum nincs mimum helye: mimum helye: mimum értéke: y 0 mimum értéke: y 0. ) f () ( ) b) f () ( +) + c) f () ( ). ) f () 0 b) f () ( ) c) f () ( ) 6. Ekkor négyzetösszeg (0 ) + ( ) + 0. Ez kkor legkisebb, h. Két egyenlõ szám összegére kell osztni.

26 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 7. A háromszögek hsonlóság mitt: Innen A terület: y 0 y. t 0 ( y). 0 ( yy ). 0 y y Ez kkor mimális, h y cm és cm. 8. Legyen z egyik rész hossz. Ekkor félkörök területeinek összege: Ez kkor legkisebb, h 0 cm, és ekkor terület cm. 9. Legen z eltelt idõ s. Ekkor távolság t 0 + (( 0 ) + 00 ). s ( 0 ) + ( 0 ) 0( ) Ez kkor legkisebb, h. Azz s múlv lesznek legközelebb. Rejtvény: Mivel félkörök szám mindig dulázódik, átmérõjük hossz edig felezõdik, ezért vonlk hossz állndó,. 0. Másodfokú egyenletre vezethetõ roblémák. A hsonlóság mitt b +. b b Innen b 0. b b +, mivel > 0. b. A szöveg lján ( + ) +. Innen vgy. nn ( ). Legyen z oldlk szám n. Ekkor z átlók szám, belsõ szögek összege (n ) 80º. A szöveg lján nn ( ) ( n ) 80º n. 90º Innen n 8 vgy n. 8 oldlú sokszög. 6

27 . Az egyik konve sokszög legyen oldlú, másik y oldlú. Így Innen 6; y. Az egyik konve sokszög 6, másik oldlú.. Legyen sebesség. A szöveg lján ( ) Innen + 7, mivel > 0. Az utó sebessége kb. 78, Legyen z egyik befogó. A terület lján másik A Pitgorsz-tétel lján. Innen 0 vgy. Az egyik befogó 0 cm, másik cm. 7. Legyen z egy n ltt megoldott tesztek szám. A szöveg lján Innen 60 ( > 0). nig trtott. ( ) yy ( ) + 8 ( ) 80º + ( y ) 80º 0º km h. 8. A mélység legyen m. A szbdon esõ test gyorsulás lján s g t. A hng terjedése lján s v h t. Tudjuk, hogy t + t 0 s. Így Innen» 8,6. A szkdék mélysége 8,6 m. Rejtvény: H kisebb és ngyobb. + 0, g vh + 9,

28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Geometri A KÖRREL KAPCSOLATOS ISMERETEK BÕVÍTÉSE. Közéonti és kerületi szögek tétele. ) 0º b) 69º c) d) e) 68º f) 8 b. ) 0º b) 68º c) d) 6 e) nem lehet ekkor kerületi szög f). ) 60º; 0º b) 70º; 0º c) 7 d) ; e) 7º; 7º f) 6 w ; ; w. ) 60º b) 0º c) 08º d) 0º e) 80º m n. ) 0º; 60º; 90º b) º; 60º; 7º c) 0º; 0º; 00º d) º; º; 00º e) 80º 80º q 80º r ; ; + q+ r + q+ r + q+ r 6. cm 7. 0 cm 8. 60º. Kerületi szögek tétele. ) b) c) O O A B A 0 0 B A O B O O 8

30 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény: Rjzoljunk 90º-os szöget úgy, hogy szári érintsék kört, mjd ezen szárkr illeszkedve ezt ismételjük meg mindkét száron. A kott szemközti érintési ontokt összekötõ húrok metszésontj közéont. E E O E E Más megoldás: Úgy rjzoljuk meg 90º-ot, hogy csúcs körvonlon legyen, és szári egy-egy húrt metszenek ki körbõl. A két új ontot összekötõ szksz átmérõ lesz. O. A húrnégyszögek tétele. ) igz b) igz c) hmis d) igz e) hmis f) igz g) igz. ) 0º; 70º b) 60º; 0º c) 0º; 8º d) ez nem lehet e) 80º ; 80º b;. Ezek húrnégyszögek, mivel két szemközti szögük összege 80º.. Mivel külsõ szög mellette fekvõ belsõ szög mellékszöge, z állítás ekvivlens zzl, hogy szemközti szögek összege 80º, tehát húrnégyszög.. Mivel DE árhuzmos z érintõvel EDB + b. Így EDB + ECB ( + b) + g 80º, tehát EDBC húrnégyszög. 6. Kettõ. 7. Mivel BM ^ AC, CBM 90º g. Mivel CM ^ BA, BCM 90º b. Így CMB 80º (b + g), tehát CM B 80º (b + g). Ekkor CM B + CAB 80º, tehát CABM húrnégyszög. + d 8. Az f és f d áltl meghtározott belsõ szög, z f b és f g áltl meghtározott belsõ szög b + g edig. Ezek szemközti szögek, és összegük + d b + g + 80º, mivel konve négyszög belsõ szögeinek összege 60º. Tehát keletkezett négyszög húrnégyszög. 0

31 A HASONLÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓ ÉS ALKALMAZÁSAI. Párhuzmos szelõk és szelõszkszok. b c d y A rövidebb l 80 9 cm.. ) A P B A többi hsonlón szerkeszthetõ.. ) b) c) d) b b b b. AE , zz. BE Innen 6. BE 6 cm.

32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 6. Legyen tréz két szár ; b, kiegészítõ háromszög oldli edig ; y. b FE ª DC Û b Û ÛAB ª CD, y y ez edig igz. A szelõszkszok tétele lján FE és. Innen FE 8 cm. F b A D b y 0 C E B 7. Húzzunk árhuzmost tljjl m mgsságbn. A torony mgsság legyen. Így, 0, 7. A torony, m mgs. 8. Legyen BB ; AB és BC b. A árhuzmos szelõszkszok tétele lján b b + és +. b Innen 0 7, A BB szksz így 0 7 b. cm, és B : ránybn osztj z AC szkszt. 9. A árhuzmos szelõszkszok tétele mitt: PM DM DM AB DB DM + MB MB + DM CQ CQ MQ, QB + CQ + QB CB AB CQ A P D M C Q B tehát PM MQ. 0. F F z ABD è közévonl, tehát F F ª BD és FF BD. B F A BD F F BCD è közévonl, tehát F F ª BD és FF. Tehát F F F F és F F ª F F, így F F F F rlelogrmm. C F F F D

33 . A szögfelezõtétel. ) b) c) A szögfelezõ osztásrány, és F felezése mitt DC CF AD CF CE AF FB EB. Tehát DE ª AB b +c bc +c bc +b b b+c c +b c b+c. AQ QC AB 8, innen AQ. BC P B QR AQ RB AB A szögfelezõ : ránybn osztj másik szögfelezõt. C Q R A. Készítsünk ábrát. Adott:, c, f b. H > c, tükrözzük háromszöget f b -r: A K; C D. Legyen f b Ç b Q. Állítsunk merõlegest Q-b f b -r, így kjuk P, ill. L ontokt. A árhuzmos szelõk tétele lján AP AQ AK c ( KQAè QCDè) PD QC DC B f b P A D Q K L C AP Mivel PD c AP, kjuk, hogy Így megszerkeszthetõ z AP szksz, c c + c. tehát BP szksz is. Vegyük fel f b szkszt, mjd egyik végontjábn (Q) állítsunk rá merõlegest. A másik végontjából (B) körzõzzünk PB hosszávl. A merõlegesbõl ez kimetszi P és L ontokt. B-bõl BP szárr felmérjük c oldlt, BL szárr edig z oldlt. Így háromszöget megszerkesztettük. H c, kkor PB eleve c hosszúságú, így zt nem kell megszerkeszteni. c A szerkesztés feltétele, hogy PB > fb + c.. Rjzoljunk ábrát! Legyen AB AB. Vizsgáljuk szögeket: b + g CDA 80º DBA BAD 80º ( + g) b g, B D 80º b CBB b ABB b b + g b g. C B’ A