Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Oktatási Hivatal

Mozaik Sokszínű Matematika 8 Tankönyv Megoldókulcs – Sokszínű Matematika 8. Munkafüzet – – Mozaik Digitális Oktatás

SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 – A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) munka, erõ, az erõ irányába esõ elmozdulás W = F. Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai. Egységes érettségi feladatgyűjtemény I. Szerintem amit kerestek az két kötetes, csak a megoldások lett három kötetes. Beszkenneltem, de így tömörítve is több, mint 400 M, a datára tettem, de nem vagyok prémium tag, 60 napig elérhető. 100 lépés az érettségihez – Matematika – Rendszerező feladatsorok megoldásokkal. Sokszínű matematika 12. Sokszínű magyar nyelv 12. Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n- edik. Kár, hogy nincs levezetve a feladat, mert nem mindenki tudja. Régikönyvek, Csordás Mihály, Konfár László, Kothencz Jánosné, Kozmáné Jakab Ágnes, Pintér Klára, Vincze Istvánné – Sokszínű Matematika munkafüzet 5.

Sokszínű matematika tankönyv megoldások

A teljes kulcsszavak számát ( plsokszínű matematika 11 megoldások, sokszínű matematika 9 megoldások) az 149 és ezen a honlapon megjelenik a keresési eredmények 151. Nem érteni a matekot nem menő! Csak időt kell szánni rá! MateklaboR ÉS Túl a matekon – Életórák – Karrierbázis Filo Café – Önindító és Jövőkép – Önismeret és Karrier – Fiataloknak. Sokszínű Matematika 9- 10. feladatgyűjtemény ( MS- 2323). amelyhez a megoldások CD- mellékleten találhatók. Tankönyv ( NT- 56440/ NAT). 1 Gondolat, vélemény a Hajdú matematika és Sokszínű Matematika tankönyvről Sokszínű Matematika 9 Szerzők: Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István Mozaik Kiadó – Szeged, A tankönyv legjellemzőbb vonásai: Viszonylag nagy tananyag feldolgozását a rendelkezésre álló szűk órakeretben. Sokszínű Mozaik matematika tankönyv 11. – Válaszok a kérdésre. A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.

A tankönyv első tíz fejezete anyagának áttekintése) A tananyag ” spirális” felépítését követve célszerű a tízes számrendszerről és az írás- beli műveletekről tanultakat bővebb számkörben és magasabb szinten felelevenítenünk, tudatosítanunk, gyakoroltatnunk. Ezért javasoljuk, hogy a tanultak aprólékos ismétlé-. tudjon egyensúlyt teremteni a tradicionális és a modern matematika tanítási irányzatok között, képviselje a letisztult, didaktikailag kidolgozott matematika oktatást, • nyújtson segítséget a tantárgyközi kapcsolódások módszertani kidolgozásában,. A kiadvány tartalmazza az MKMatematika 8. feladatainak megoldása és az MK/ UJ Matematika 8. kiegészítő feladatok megoldása köteteket. Segíti a tanulók munkájának gyors ellenőrzését, lerövidíti a tanórákra való felkészülés idejét. Bontsuk két következtetésre: elõször képzeljük el, milyen az, amikor van mindent megtanuló diák. Nyilvánvaló, hogy õ mindent megtanul, tehát nincs megtanulhatatlan. Ha van mindent megtanuló diák, akkor nincs megtanulhatatlan matematika ( sem).

Most fordítsuk meg a dolgot. Induljunk ki abból, hogy a matematika. A Géniusz Könyváruház weboldala sütiket ( cookie- k) használ a weboldal működtetése, használatának megkönnyítése, a weboldalon végzett tevékenység nyomon követése érdekében. Sokszínű matematika 7 munkafüzet – megoldások Pintér Klára – Kothencz Jánosn. Sokszínű matematika 7 munkafüzet – megoldások. matematika tankönyv. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 11 – A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 4 Kombinatorika, gráfok 1.

exe programletöltése innen. Kombinatorika, gráfok, Hatvány, gyök, logaritmus, A trigonometria alkalmazásai, Függvények, Koordinátageometria, Valószínűségszámítás, statisztika. A Sokszínű matematika tankönyvcsalád évek óta kedvelt tankönyv az iskolák és a pedagó- gusok körében, hiszen áttekinthető, szellős elrendezésének, esztétikus megjelenésének köszönhetően könnyű belőlük tanítani. Évfolyamonként egy első és egy második félévre szóló munkatankönyv, mellettük egy számolófüzet. Mozaik sokszínű matematika megoldókulcs a tankönyvhöz és a munkafüzethez PDF formátumban. Sokszínű matematika – munkafüzet 5. ( Megoldások) MS- 2315M könyv – Csordás Mihály, Konfár László, Pintér Klára – Sokszínű matematika – munkafüzet 5. A Sokszínű matematika tankönyvcsalád 5. osztályos kötete törekszik rá, hogy a matematikai gondolkodást minél változatosabban fejlessze, ezért: – A matematikai ` felfedeztetés` és a fogalmak kialakítása a tanulók gyakorlati tapasztalataiból indul ki, illetve feladatokhoz kapcsolódóan történik.

– A tartalmilag eltérő fejezeteket is összekapcsolja a feladatanyag azonos. A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA ( M ozaik, ) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY ( M ozaik, ) feladataira épül. Kidolgozott gyakorló feladatok az adott oldalszámon találhatóak! Az elméleti anyag értelmezéséhez a Tankönyv és a Négyjegyű Függvénytáblázat ( K onsept- h. Az ODR- kereső az alábbi forrásokban keres: Corvinus Kutatások, DEA, EPA, HUMANUS, MATARKA, MOKKA, NDA. Hol találom meg a neten a mozaik tankönyvkiadó sokszínű matematika 7. oszt tankönyv és munkafüzet megoldásait? hu, ez téma ( sokszínű matematika 12 megoldások, mozaik matematika feladatgyűjtemény megoldások, sokszínű matematika 11 megoldások. Van egy FIBiológia mf, fizika mf és Tk megoldás, A tobbi fizika: Hangtan, homérséklet, fénytan, kolcsonhatás, mozgás, energia doc. + hozzá a megoldások. Akkor mit tegyek? 31 db anyag van ebben a rar- ban. Egyesével tegyem ide mind a 31- et, vagy ismét tegyem fel a datára? osztályos feladatgyűjtemény ( több mint 800 feladat) tartalmazza a feladatok megoldását is, ezért ideális az érettségire való felkészüléshez.

Sokszínű matematika 9. Feladatgyűjtemény. Mozaik Kiadó MS- 2323M09 – 1. kiadás, 200 oldal Szerzők: Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Urbán János. A 10- 14 éves korosztály körében korábban a legnagyobb példányszámban használt matematika feladatgyűjtemény több mint 3000 feladatot tartalmaz. A feladatok megoldásai a kiadó honlapján érhetők el. A kötet hasznos lehet a középiskolába készülő diákok, illetve a középiskolák alsóbb évfolyamain tanulók számára is. Ezek a színkódok megfelelnek a Mozaik Kiadó Sokszínű matematika feladatgyűjteményeiben alkalmazott jelöléseknek. A feladatgyűjtemény- sorozat több mint 3000, a gyakorláshoz, az órai munkához és az érettségi felkészüléshez is alkalmas feladatot tartalmaz. Sokszínű matematika mf – 8. Megoldások – MS- 2318M, Géniusz Napok februárban is! FEBRUÁR 6- 7- 8., AMIKOR – 20% KEDVEZMÉNNYEL VÁSÁROLHATTOK MEG MINDEN KÖNYVET A GÉNIUSZ KÖNYVÁRUHÁZBAN! A SOKSZÍNŰ MATEMATIKA tankönyv feladatainak megoldásai. Halmazok, kombinatorika.

1. Autórádió kód kiolvasás
2. Mozaik sokszínű matematika 8 tankönyv megoldókulcs 2016
3. Hortobágyi nemzeti park belépő
4. Budapesti karácsonyi vásár
5. Sokszínű matematika 8. munkafüzet – – Mozaik Digitális Oktatás
6. Mozaik sokszínű matematika 8 tankönyv megoldókulcs 2
7. Szigethalom dunasor 190
8. Sokszínű matematika tankönyv megoldások
9. Mozaik sokszínű matematika 8 tankönyv megoldókulcs de
10. Afrika vászonképek – akciós ár
11. Mozaik sokszínű matematika 8 tankönyv megoldókulcs free
12. Mozaik sokszínű matematika 8 tankönyv megoldókulcs en

A tartalom el lett távolítva a MOZAIK KIADÓ Kft. kérésére.

MS-2318 0 Sokszínű matematika – felsős Sokszínű matematika 8. mf. Munkafüzet Mozaik Kiadó MS-2318 – 9. kiadás, 2018 – 120 oldal Szerzők: Csordás M. -Kosztolányi J. -Pintér K. -dr. Urbán J. -Vincze I. INGYENES elérés Tartalomjegyzék Kapcsolódó kiadványok Sokszínű matematika 8. A tankönyvcsalád felsőbb évfolyamos köteteire is jellemző, hogy a tananyag feldolgozásmódja tekintettel van a tanulók életkori sajátosságaira. Ezért bár nem siettetik az absztrakt eszközök bevezetését, a 7. és 8. osztályos tananyagban már sor kerül a definíciók alkalmazására, a bizonyítási igény kialakítására is. A kidolgozott példák segítik az önálló tanulást és megértést.

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

1 Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint, nehezebb; E emelt szint, könnyebb; E emelt szint, nehezebb feldt Lektorok: dr Jeliti Árpád, Pálmy Lóránt, Tmás eát Szkábr: Szlóki Dezsõ Tipográfi: jti Zoltán Felelõs szerkesztõ: Tóthné Szlonty Ann, Szelindiné Glánti Melind Juhász István, Orosz Gyul, Próczy József, Szászné Dr Simon Judit, Nemzedékek Tudás Tnkönyvkidó Zrt, 0 Nemzedékek Tudás Tnkönyvkidó Zrt wwwntkhu Vevõszolgált: Telefon: A kidásért felel: Kiss János Tmás vezérigzgtó Rktári szám: RE 7 Mûszki igzgtó: bicsné Vsvári Etelk Mûszki szerkesztõ: Orli Márton Grfiki szerkesztõ: Mikes Vivien Terjedelem: 0,6 (A/) ív kidás, 0

2 TARTALOM I HALMAZOK, KOMINATORIKA Vegyes kombintoriki feldtok A sktuly-elv 8 Sorbrendezési és kiválsztási problémák I 0 Sorbrendezési és kiválsztási problémák II II ALGERA Irrcionális számok 9 6 Számok n-edik gyöke 7 8 A négyzetgyökvonás zonossági 9 A négyzetgyökvonás zonosságink lklmzás I 0 A négyzetgyökvonás zonosságink lklmzás II 8 A n-edik gyökvonás zonossági (emelt szint) A n-edik gyökvonás zonosságink lklmzás (emelt szint) A négyzetgyökfüggvény Az inverz függvény foglm 9 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK Másodfokú egyenletek megoldás szorzttá lkítássl 6 Másodfokú egyenletek megoldás teljes négyzetté kiegészítéssel 7 A másodfokú egyenlet megoldóképlete 8 Az egyenletmegoldás gykorlás 9 9 Nem kell mindig megoldóképlet! 0 A másodfokú függvények és másodfokú egyenletek kpcsolt Másodfokú egyenlõtlenségek I 9 Másodfokú egyenlõtlenségek II 6 Másodfokúr visszvezethetõ egyenletek 6 Másodfokúr visszvezethetõ egyenletek, egyenlõtlenségek (nem érettségi tnnyg) 6 Gyökök és együtthtók közötti összefüggések 67 6 Viète-formulák hsznált feldtmegoldásokbn 70 7 Prméteres egyenletek (emelt szint) 7 8 Prméteres egyenlõtlenségek (emelt szint) 7 9 Szöveges, gykorlti feldtok I 77 0 Szöveges, gykorlti feldtok II 78 Másodfokú egyenletrendszerek 80 O Diofntoszi egyenletek (olvsmány) 8 Szélsõérték-problémák, nevezetes közepek 86 Négyzetgyökös egyenletek I 88 Négyzetgyökös egyenletek II (emelt szint) 9 Négyzetgyökös egyenlõtlenségek (emelt szint) 97 O Mgsbb fokú egyenletek megoldás (olvsmány) (emelt szint) Új sttisztiki jellemzõk 0

3 TARTALOM IV HASONLÓSÁG 8 9 Középpontos ngyítás és kicsinyítés, középpontos hsonlósági trnszformáció 0 0 Szerkesztések középpontos hsonlóság lklmzásávl 0 A hsonlósági trnszformáció foglm 06 Derékszögû háromszögre vontkozó tételek 07 6 Szögfelezõtétel 08 7 Hsonló síkidomok területének rány; hsonló testek térfogtánk rány 0 O A háromszög területe és háromszög oldlit érintõ körök (olvsmány) V A VEKTOROKRÓL 9 Vektor szorzás számml 0 Egyértelmû vektorfelbontási tétel 6 Vektorok koordinátsíkon Helyvektorok 7 Felezõpont, osztópont 8 A háromszög súlypontjáb muttó vektor 0 O A tetréder súlypontj (olvsmány) (emelt szint) Vektor elforgtás! 90 -kl VI TRIGONOMETRIA Hegyesszögek szögfüggvényei 6 Derékszögû háromszögek dtink meghtározás 7 7 Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között 8 Háromszögek dtink meghtározás 9 Síkbeli és térbeli számítások szögfüggvények segítségével 8 VII FÜGGVÉNYEK 60 6 Szögfüggvények áltlánosítás 6 6 Szögfüggvények ábrázolás VIII VALÓSZÍNÛSÉG-SZÁMÍTÁS 6 Vlószínûség-számítási lpfoglmk 66 Mûveletek eseményekkel Események vlószínûsége 69 A vlószínûség kiszámításánk kombintorikus modellje 70 Néhány érdekes problém IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK 7 Középponti és kerületi szögek 7 7 Érintõszárú kerületi szög 60 7 Látószöggel kpcsoltos mértni hely Húrnégyszög 6 O A körhöz húzott szelõszkszok tétele (olvsmány) 70

4 FONTOSA JELÖLÉSEK Az A pont és z e egyenes távolság: d(a; e) vgy Ae vgy Ae Az A és pont távolság: A vgy A vgy d(a; ) Az A és pont összekötõ egyenese: e(a; ) Az f és f egyenesek szöge: vgy A csúcspontú szög, melynek egyik szárán z A, másik szárán C pont tlálhtó: AC A C csúcspontú szög: C Szög jelölése:, b, c, f Az A, és C csúcsokkl rendelkezõ háromszög: AC9 Az AC9 területe: T(AC) vgy T AC Az, b és c oldlú háromszög fél kerülete: s b c + + A derékszög jele: * (; f f) (; f f) A pozitív, negtív egész számok hlmz: Z +, Z , < ; ; ; >A rcionális, z irrcionális számok hlmz: Q, Q* A pozitív, negtív rcionális számok hlmz: Q +, Q A vlós számok hlmz: R A pozitív, negtív vlós számok hlmz: R +, R Eleme, nem eleme hlmznk. “;! N, – g Z Részhlmz, vlódi részhlmz:, ; A R, N Q Nem részhlmz hlmznk: j; Z Y Q Hlmzok uniój, metszete. +; Hlmzok különbsége: \; A \ Üres hlmz: Q, <> Az A hlmz komplementere: A + A,, A+ + Az e egyenes merõleges z f egyenesre: e f Az A hlmz elemszám: A ; ” 0;;, Az e egyenes párhuzmos z f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ACO, AllCO l A hsonlóság rány: m Az A pontból pontb muttó vektor: A A v vektor: v vgy v vgy Egyenlõ, nem egyenlõ. ; Azonosn egyenlõ: /; Közelítõleg egyenlõ: ;,; Kisebb, kisebb vgy egyenlõ: , $; 6 >, $ A természetes számok hlmz: N; Az egész számok hlmz: Z < ; ; ; 0; ; ; >v ” + b /, b! 8, 8, Zárt intervllum: [; b] lról zárt, jobbról nyílt intervllum: [; b[ lról nyílt, jobbról zárt intervllum: ]; b] Nyílt intervllum: ]; b[ Az szám bszolút értéke: ; -,, Az szám egész része, tört része: [], <>; [,], 0, Az osztój b-nek, b többszöröse -nk: b; Az és b legngyobb közös osztój: (, b); (, 6) Az és b legkisebb közös többszöröse: [, b]; [, 6] Az f függvény hozzárendelési szbály: f: 7 f]g ; f: 7 + f]g y; f ] g + Az f függvény helyettesítési értéke z 0 helyen: f0 ( ); f(), h 0 8

5 I HALMAZOK, KOMINATORIKA VEGYES KOMINATORIKAI FELADATOK Adott 9 külsõre egyform érme Az érmék közül z egyik hmis, tömege könnyebb többinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni K ) Legkevesebb hány mérésbõl lehet biztosn megtlálni hmis érmét? E b) Legkevesebb hány mérésre vn szükség kkor, h hmis érme tömegérõl csk zt tudjuk, hogy eltér többiétõl? (Tehát nem ismert, hogy könnyebb vgy nehezebb, mint többi) Sorszámozzuk z érméket. 9-cel ) ármelyik érme könnyebb lehet többinél, így hmis érmére kezdetben 9 lehetõség dódik Egy mérésnek háromféle kimenetele lehet ( mérleg blr vgy jobbr billen ki, illetve egyensúlybn mrd), így méréssel legfeljebb, méréssel legfeljebb 9 lehetõséget tudunk megkülönböztetni Vgyis mérésre biztosn szükség vn H érme között egy könnyebb vn, kkor ezt egyetlen méréssel meg tudjuk htározni Ugynis felteszünk egy-egy érmét mérlegre H ez kibillen, megtudjuk, melyik érme könynyebb; míg h egyensúlybn mrd, mérlegre fel nem tett hrmdik érme hmis Így célszerû három drb hárms csoportr osztni z érméket (ez z ún hrmdolásos technik), s z elsõ mérésként két csoportot összehsonlítni H z és érmék összehsonlításkor mérleg kibillen jobbr (ezt továbbikbn így jelöljük: < ), kkor könnyebb érme z között tlálhtó H blr billen, kkor között vn; míg h egyensúlybn mrd, kkor között Most már csk három érme közül kell kiválsztni z egy könnyebbet, s ehhez elég egy további mérés, mint fentebb láttuk b) Kezdetben 8 eset lehetséges (minden érme kétféle lehet, könnyebb vgy nehezebb, mint többi), méréssel 7 lehetõséget tudunk megkülönböztetni Elvileg mérés elegendõ Az elsõ mérést úgy kell megtervezni, hogy következõ két méréssel legfeljebb 9 eset szétválsztását végezzük el H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén mrdék érme lehet könnyebb vgy nehezebb, mint többi Ez 0 eset, mérés befejezéshez áltlábn nem elegendõ H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén mrdék érme lehet könnyebb vgy nehezebb, mint többi Ez 6 eset, további mérés elegendõ lehet H pedig mérleg kibillen, kkor szintén 6 esetet kell tovább vizsgálni ( érme mindegyike lehet könnyebb vgy nehezebb, mint többi) H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén eset mrd, h mérleg kibillen, kkor pedig 8 Elvileg méréssel befejezhetjük z eljárást, de kényelmesebb kezdõmérés, mert ekkor kevesebb eset megkülönböztetésére vn szükség Legyen z () kezdõmérés és összehsonlítás H (): < , kkor 6 lehetséges eset. könnyebb vgy,, 6 nehezebb Alklmzzuk z ún átpkolási technikát, legyen (): és összehsonlítás (, helyben mrdt;, átkerült;, 6 lekerült mérlegrõl) H most (): < , kkor könnyebb, vgy nehezebb; (b): > , kkor könnyebb, vgy nehezebb;

6 I HALMAZOK, KOMINATORIKA (c): , kkor könnyebb, vgy 6 nehezebb Mindhárom esetben elég egyetlen további mérés H (): > , kkor szimmetrikus helyzet z elõzõhöz hsonlón tárgylhtó H pedig (): , kkor 7, 8, 9 vlmelyike lehet könnyebb vgy nehezebb, mint többi érme Egy lehetséges folyttás például (): 7 és 8 összehsonlítás Ez mérés hrmdolj z eseteket; egy további mérés elegendõ Megjegyzés: Elég ngy szbdsági fokkl dolgoztunk Az igzi kérdés 9 helyett érme vizsgált Ekkor 6 lehetõség elvileg méréssel szétválszthtó; kérdés, hogy ez technikilg megoldhtó-e E Ann és él brkochb játékukt kissé módosítják Ann gondol egy 6-nál nem ngyobb pozitív egész számr, él pedig lehetõ legkevesebb eldöntendõ kérdéssel megpróbálj számot kitlálni ( Rákérdeznie már nem kell) Most zonbn él csk elõre rögzített kérdéseket tehet fel, z egyes válszok eredményétõl függetlenül Azz például leír egy ppírr néhány kérdést, mjd Ann ezekre sorbn válszol, s válszok meghllgtás után kell élánk kitlálni gondolt számot Legkevesebb hány kérdésre vn szüksége ehhez? H él klsszikus feldtbn A gondolt szám ngyobb, mint 8? elsõ kérdésre nem válszt kpott, kkor z, 6, 7, 8 számokkl folyttt kérdezést; míg h z elsõ kérdésre válsz igen volt, kkor. 6 számokkl De két kérdés kár össze is kombinálhtó, vgyis egyszerre feltehetõ z, 6, 7, 8. 6 kérdéssel Az lábbi táblázt muttj, hogy ezt z ötletet további kérdésekre lklmzv kérdés most is elegendõ () () () () 6 K A kérdéseket () () jelöli Minden kérdéssel z 6 számok egy részhlmzár kérdezünk rá; z egyes kérdéseknél jelet írtunk nnk számnk z oszlopáb, melyik z éppen kérdezett hlmzb trtozik Például h egy konkrét játékbn él négy kérdésére rendre z igen, nem, igen, nem válszokt kpt, kkor gondolt szám z () és () részhlmzokbn tlálhtó; ez szám pedig Tekintsük következõ -ös méretû számtábláztot! Válsszunk ki minden sorból és minden oszlopból egy-egy számot (összesen ötöt) úgy, hogy számok összege lehetõ ) legkisebb; b) legngyobb legyen! A kiválsztott számok összege mindig ugynnnyi Elsõ bizonyítás: Az egyes sorokbn, illetve oszlopokbn lévõ szomszédos számok különbsége megegyezik Ezért h z ábr szerinti A és mezõk szerepelnek egy kiválsztásbn, kkor A A helyettük z A és mezõket is válszthtjuk A + A +, z öt szám összege nem változott Hsonló mozgtásokkl pedig bármelyik számötösbõl bármelyikbe eljuthtunk Második bizonyítás: Szorozzunk meg minden számot -vel! A kiválsztott számötösök ngyságrendi viszonyi nem változtk Most bármelyik öt lehetséges számot válsztjuk, tízesek helyiértékén. ; z egyesek helyiértékén pedig 0. 6, 8 fog szerepelni A számok összege tehát állndó

7 VEGYES KOMINATORIKAI FELADATOK Hrmdik bizonyítás: A számokt írjuk fel -ös számrendszerbeli lkjukbn! Most is igz, hogy z öt szám kiválsztáskor mind két helyiértéken mind z öt számjegy szerepelni fog K E 6 K 7 K 8 E Mivel egyenlõ z. 000 számok számjegyeinek összege? A párbállítás módszerét lklmzzuk ; ,, A számok összedáskor nincs átvitel, így számpárok számjegyeinek összege mindig 7 A teljes összeg A bergengócii Sárkánynk 77 feje vn, Királyfink pedig olyn Vrázskrdj, mellyel egy cspásr 7, 9 vgy fejét tudj levágni Sárkánynk Igen ám, de z elsõ esetben Sárkánynk új feje nõ ki, másodikbn 8, hrmdik esetben pedig 0 H Sárkány összes feje lehullott, nem nõ ki több Le tudj-e gyõzni Királyfi Sárkányt? A fejek számánk változás vágásonként +6, +9, Láthtó, hogy Sárkány fejei számánk -s mrdék állndó Kezdetben volt mrdék, s ez z egész küzdelem ltt megmrd A Királyfi kkor tudná legyõzni Sárkányt, h nnk z utolsó vágás elõtt 7, 9 vgy feje lenne; ezek számok zonbn -ml osztv rendre, 0, mrdékot dnk A Királyfi nem gyõzhet Két kupcbn érmék vnnk, z egyikben 6, másikbn 7 drb Ann és él felváltv vehet el vlmelyik (de csk z egyik) kupcból tetszõleges számú, de leglább érmét Az játékos nyer, ki z utolsó érmét elveszi ) Hogyn játsszon Ann? b) Hogyn játsszon Ann, h kezdéskor három kupcbn rendre,, érme vn? ) Annánk szimmetrikus állásokr kell törekednie A szimmetriát él sját lépésével elrontj, Ann pedig ismét elõállítj A végállpot szimmetrikus (0, 0), így Ann nyer b) él állíthtj elõ szimmetriát, neki vn nyerõ strtégiáj H Ann vlmelyik kupcot megszünteti, él másik kettõt szimmetrikusr állítj ármilyen más lépésével Ann két szimmetrikus kupcot hoz létre, ezért élánk elég elvennie hrmdik kupcot A 8 8-s skktábl bl lsó srkábn egy básty áll ejárhtó-e skktábl (bástylépésekkel) úgy, hogy básty minden mezõt pontosn egyszer érint, s jobb felsõ srokbn ér véget z útj? Lépései során básty felváltv érint fekete és fehér mezõket Tegyük fel, hogy bl lsó mezõ fekete Mivel fekete mezõrõl indul básty, és 6 mezõn kell áthldni, ezért útj csk fehér mezõn végzõdhet A jobb felsõ srok fekete, így bejárás nem lehetséges Egy -s kockát z oldllpokkl párhuzmos síkokkl 7 drb egybevágó kis kockár vágtunk Elvehetjük-e ezeket kis kockákt sorbn egymás után úgy, hogy mindegyik elvett kock z elõzõvel lpszomszédos, s hámozás végén középsõ kis kock megmrd? A hámozás nem vlósíthtó meg A kis kockákt skktáblszerûen feketére és fehérre színezzük úgy, hogy például srokkockák feketék legyenek Ekkor drb fekete és drb fehér kockából áll burok; hámozás során pedig felváltv veszünk el fekete és fehér kis kockákt 7

8 I HALMAZOK, KOMINATORIKA 9 E Az szám jegyû, és 6 pozitív osztój vn Szorozzuk össze ezeket z osztókt; mit kpunk eredményül? H d egy osztój -nek, kkor d egy társosztó, és d$ d Így z 6 pozitív osztót 8 olyn osztópárr d bonthtjuk fel, melyek szorzt páronként -et d Ezért z eredmény: 8 A SKATULYA-ELV K K ember együttes életkor év Igz-e, hogy kiválszthtó közülük 0 ember úgy, hogy életkoruk öszszege leglább 00 év legyen? Az emberek átlgéletkor év H z összes ember éves, kkor bármelyik 0 kiválsztás megfelelõ H pedig z emberek között vn évnél fitlbb, kkor vn idõsebb is, így 0 legidõsebb ember életkoránk összege több, mint 00 év Egy szbályos háromszög lkú céltábl oldl méter A céltáblát 0 lövés érte Igzoljuk, hogy vn két olyn tlált, melyek cm-nél közelebb vnnk egymáshoz! A szbályos háromszöget z ábrán láthtó módon 9 egybevágó, szbályos részháromszögre bontjuk fel A sktuly-elv mitt vn olyn részháromszög, melyben vn lövés Mivel egy kis háromszög oldl cm-nél kisebb, ezen két lövés távolság is kisebb, mint cm K K K Adott 9 áltlános helyzetû pont síkon (A pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen) Két egyenest húzunk úgy, hogy ezek 9 pont egyikén sem mennek át Tekintsük zokt háromszögeket, melyek csúcsit z dott pontok közül válsztjuk ki izonyítsuk be, hogy bárhogyn is húztuk két egyenest, mindig lesz olyn háromszög, melynek oldlit egyik egyenes sem metszi! A két egyenes síkot legfeljebb négy trtományr osztj A sktuly-elv mitt lesz olyn trtomány, melybe (leglább) pont kerül, s ennek háromszögnek z egyenesek nem metszik z oldlit Az. 7 számok egy sorrendje. 7 Igzoljuk, hogy z S ( )( ) ( 7 7) szorzt páros! Tegyük fel, hogy szorzt és így minden tényezõ pártln Az,, és 7 tényezõben,, és 7 -nek párosnk kellene lennie, de csk három páros szám vn A tovább már nem egyszerûsíthetõ lkú rcionális szám tizedestört-lkjábn legfeljebb milyen hosszú b lehet periódus? (, b pozitív egész számok) 8

9 A SKATULYA-ELV Az osztás elvégzésekor vgy vlmikor fellép 0 mrdék (ekkor tizedestört véges lesz), vgy b z osztási mrdékok rendre z. (b ) számok közül kerülnek ki Ekkor tizedesvesszõ leírás után legkésõbb b lépésben z osztási mrdék ismétlõdni fog (sktuly-elv), és innentõl kezdve hánydos számjegyei periodikusn ismétlõdnek Vgyis periódus hossz legfeljebb (b ) lehet 6 E 7 K 8 E 9 E 0 E Adott síkon végtelen sok pont Igzoljuk, hogy végtelen sok különbözõ távolság lép fel közöttük! Tegyük fel, hogy z egyik ponttól, A-tól, véges sok különbözõ távolságr helyezkedik el többi pont Ez zt jelenti, hogy pontok z A középpontú, koncentrikus körökön vnnk, s ezen körök szám véges Ekkor sktuly-elv mitt vlmelyik körön lesz végtelen sok pont; ezek között pedig már végtelen sok különbözõ távolság lép fel Hét teherutóvl melyek teherbírás egyenként tonn 0 drb követ szeretnénk elszállítni A kövek rendre 70, 7, 7,, 68 kg súlyúk El lehet-e egy fordulóvl szállítni köveket? Leglább egy teherutór leglább 8 követ kell tenni A 8 legkönnyebb kõ tömege 06 kg; köveket nem lehet egy fordulóvl elszállítni különbözõ pozitív egész szám összege 087 Leglább hány páros szám vn z összedndók között? A legkisebb pártln szám összege , tehát számok között vn leglább egy páros Mivel pártln és páros szám összege páros, ezért z is igz, hogy számok között leglább két páros szám vn Ennyi elég is: z összegben két pártln számot kicserélünk náluk eggyel kisebb párosr ergengóciábn négy híres klub mûködik, jelöljük ezeket A,, C és D-vel Egy 9 fõs bráti társság tgjiról kiderül, hogy mind négy klubnk éppen 7-7 közülük tgj Amikor ezt egyikük meghllj, így szól: Milyen érdekes! Akkor biztosn vn közöttünk olyn, ki tgj mind négy klubnk! Vjon igz vn? Jelöljük z embereket. 9 módon, s hogy ki melyik klubnk tgj, zt például egy táblázttl dhtjuk meg Az A,, C, D sorokbn z egyes i személyeknél -et írunk, h i tgj klubnk, 0-t pedig, h nem tg Például tgj z A klubnk, de nem tgj C-nek A feldt feltétele lpján tábláztbn 8 drb szerepel, s kérdés, hogy vn-e olyn oszlop, melyben drb vn Ez pedig sktulyelv mitt nyilvánvló: h minden oszlopbn csk drb lenne, kkor összesen csk 9 7 drb lenne tábláztbn A klubtgnk igz vn 9 A C 0 0 D izonyítsuk be, hogy h z. n számokból kiválsztunk (n + ) drbot, kkor ezek között lesz kettõ, melyek reltív prímek! A szomszédos számokból lkotott (, ), (, ), (, 6),, (n, n) n drb számpárból sktuly-elv mitt vn olyn, melynek mindkét elemét kiválsztottuk Ez két szám reltív prím (A közös osztójuk két szám különbségét is osztj) 9

11 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK I K A lpos mgyr kártycsomgból vissztevés nélkül húzunk lpokt Hányféleképpen húzhtunk ) ászt; b) pirost; c) különbözõ figurát (figur z ász, király, felsõ, lsó); d) egyform színt? Oldjuk meg feldtokt bbn z esetben is, h lpokt vissztevéssel húzzuk ki, zz húzás után lejegyezzük, hogy mit húztunk, és lpot vissztesszük csomgb! (Mindkét esetben számít kihúzott lpok sorrendje) ) Egy pklibn ász vn, ezért lehetõségek szám b) Egy pklibn 8 piros vn, így lehetõségek szám c) 6 figur vn csomgbn Az elsõ húzás 6-féle lehet; második már csk (z elõzõ figurát nem húzhtjuk), hrmdik 8, negyedik -féle A szorzási szbály mitt eset vn d) Az elsõ lp bármi lehet, következõ három pedig ugynolyn színû kell, hogy legyen A lehetõségek szám H vissztevéssel húzunk, z esetek szám: ) 6; b) 8 ; c) (nem számít, hogy vissztettük kihúzott figurát, mert még egyszer nem húzhtjuk ki); d) K 6 Adott síkon z A hlmzbn, hlmzbn és C hlmzbn drb pont oly módon, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen K ) Hány olyn háromszög vn, melynek három csúcs rendre z A,, C hlmzok pontji közül kerül ki? K b) És olyn hány vn, melynek két csúcs z A hlmzbn, hrmdik pedig vgy C hlmzbn vn? ) Az A hlmzbn lévõ pontok ( lehetõség) bármelyikét összeköthetjük hlmzbn lévõ pont és C hlmzbn lévõ pont bármelyikével A szorzási szbály mitt háromszögek szám 60 b) Az A hlmzból két csúcsot -féleképpen válszthtjuk ki (mindig z egyik pont mrd ki) Ehhez két ponthoz többi + 9 pont bármelyikét válszthtjuk Eredmény: 9 7 A -s számrendszerben hány ) legfeljebb jegyû; b) pontosn jegyû természetes szám vn? ) Az számnál kisebb természetes számok szám b) A legngyobb helyiértéken vgy áll, többi számjegy -féle lehet, 0, vgy Eredmény: 6 A számegyenes 0 pontjábn áll egy bolh, mely minden másodpercben jobbr vgy blr ugrik egy egységnyit Hányféleképpen érkezhet meg 6 koordinátájú pontb K ) 6 másodperc ltt; K c) 0 másodperc ltt; K b) 0 másodperc ltt; K d) 009 másodperc ltt? ) Minden lépést jobbr kell tennie; lehetõség b) 8 lépést tesz jobbr és lépést blr Minden megfelelõ ugrássoroztot modellezhetünk egy 8 drb j és drb b betûbõl álló szóvl A megfeleltetés kölcsönösen egyértelmû, így nnyi

12 I HALMAZOK, KOMINATORIKA ugrássorozt vn, hány sorrend készíthetõ j, j, j, j, j, j, j, j, b, b betûkbõl Eredmény: 0! 8! $! c) 7-et ugrik blr és -t jobbr, tetszõleges sorrendben: 0! 77 0 lehetõség 7! $! d) Ilyen ugrássorozt nincs Páros koordinátájú pontb csk páros számú ugrás után érkezhet bolh 7 E 8 E Hány szám készíthetõ z lábbi számjegyekbõl? (0-vl nem kezdõdhet szám) Ahol külön nem jelezzük, minden megdott számjegyet fel kell hsználni ) 0. ; b) 0. és szám -tel oszthtó; c) 0. és -s és -es nem szomszédos számjegyek; d) 0. és hétjegyû számot készítünk; e) 0. és olyn hétjegyû számot készítünk, melyben vn -es ) H minden szám különbözõ lenne,! sorrendet kpnánk (A 0 nem lehet z elsõ helyiértéken) Mivel vn két egyform elem, sorrendek szám $! 8! b) H z utolsó helyiértéken 0 áll, kkor sorrendek szám 7! ; h -ös áll, kkor 6$ 6! Összesen!! 7$ 6! 6$ 6! + $ 6 $ $ 60 lehetõség!! c) Összesen 8$ 8! -féle szám készíthetõ A rossz esetek zok, mikor és szomszédos számjegyek Tekintsük két jegyet egyetlen objektumnk, és jelöljük -szel Ekkor 0. elemekbõl kell! $! számokt készítenünk, ezt 7$ 7! -féleképpen tehetjük meg Arr kell még figyelni, hogy kétféle lehet! $! ( és különbözik), ezért rossz esetek szám 7$ 7! $ Az összes lehetõségbõl kivonv rossz eseteket, megkpjuk z eredményt:! $! 8$ 8! 7$ 7! 6 $ 7! $ 7! 0 $ 7! $ 7! – $ – 000! $!! $!! $!! $!! $! 6 d) H 0 mrd ki, 7! ; h -es mrd ki, 6$ 6! ; h -es, kkor 6$ 6! ; végül h -s vgy -es, 6$ 6!! $!! $. $! lehetõségek szám Összesen 7! 6$ 6! 6$ 6! $ 6$ 6! 6! $ ^ h 90! $!! $. $!! $! szám készíthetõ e) Az elõzõ feldt lpján összesen 90 drb hétjegyû szám készíthetõ, s ezek közül 6$ 6! 60 olyn! $! vn, melyben nincs -es Ezek szerint esetben lesz számjegyek között -es Hányféleképpen lehet ht embert (A,, C, D, E, F) egy kör lkú sztl köré leültetni? És h további megkötés, hogy A és egymás mellé kerüljön? (Két ültetés nem különbözik, h mindenkinek ugynz jobb és bl szomszédj) Elsõ megoldás A ht embernek 6! permutációj vn Mivel körben ülnek, ugynzt kört 6 sorozt is elõállítj, ezért különbözõ körök szám 6!! 0 6 Második megoldás Válsszuk ki például A-t, így kört megszkítottuk A többi embert A-hoz képest!-féle sorrendben ülhet le H A és egymás mellett ül, kkor õket egy objektumnk tekintve!!-féle ültetési sorrend lehetséges Mivel szomszédságok szempontjából A és A különbözik, z eredmény! 8

13 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK I 9 K Hányféleképpen olvshtó ki DERECEN szó z lábbi két tábláztból, h minden lépésben jobbr vgy lefelé lehet hldni? D E R E C E N E R E C E N R E C E N R E C E N E C E N C E N E N N D E R E R E R E C R E C E E C E N Az elsõ tábláztbn 7 lépés egymástól függetlenül -értékû lehet (jobbr vgy lefelé), így kiolvsások szám 7 8 A második tábláztbn 7 lépésbõl -et teszünk jobbr és -t le, tetszõleges sorrendben Jelöljük jobbr lépéseket J, lefelé történõ lépéseket L betûkkel, ekkor drb J és drb L betû lehetséges sorrendjeinek számát kell meghtároznunk Összesen: 7! kiolvsás vn! $! 0 Feldobunk egyszerre egy sárg, egy kék és egy zöld dobókockát K ) Hányféle eredménye lehet dobásnk? K b) Hány esetben kphtunk leglább egy htost? K c) Hány esetben lesz dobott számok összege leglább 7? K d) Hány esetben lesz dobott számok összege pártln? K e) Hány esetben lesz dobott számok szorzt páros? K f) Hány esetben lesz dobott számok szorzt -ml oszthtó? E g) Hány esetben lesz dobott számok között -ös és 6-os is? ) Mindhárom dobókock 6-féle értéket muttht Ezek egymástól függetlenek, ezért szorzási szbály lpján dobásnk féle eredménye lehet b) A komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk Az összes lehetõség szám 6 A 6-os nélküli dobások szám Összes rossz jó : 6 9 esetben vn dobott számok között 6-os c) Vgy minden dobás 6-os ( eset), vgy két drb 6-ost és egy -öst dobunk ( eset) Összesen + lehetõség d) A piros és fehér dobás tetszõleges lehet: eset A zöld kockán z elsõ két dobás eredményétõl függõen mindig -féle szám esetén lesz z összeg pártln Így 6 08 megfelelõ esetek szám e) A komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk Az összes lehetõség szám 6 Mindhárom kockán pártln számot 7-féleképpen dobhtunk A számok szorzt esetben lesz páros f) A komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk A szorzt nem lesz -ml oszthtó, h egyik kockán sem dobunk -st vgy 6-ost A rossz esetek szám tehát esetben oszthtó -ml szorzt g) A szit-formulát lklmzzuk Nincs -ös: lehetõség Nincs 6-os: szintén lehetõség Az összes esetbõl kivonjuk zt, mikor nincs -ös, mjd kivonjuk, mikor nincs 6-os: 6 De ekkor kétszer vontuk ki zokt z eseteket, mikor sem -öst, sem 6-ost nem dobtunk; ezek számát tehát egyszer hozzá kell dni z összeghez Nincs sem -ös, sem 6-os: 6 eset Eredmény:

14 I HALMAZOK, KOMINATORIKA 0 diák között szeretnénk 6 jutlomtárgyt kiosztni Hányféleképpen tehetjük ezt meg, h tárgyk különbözõk, és K ) egy diák legfeljebb egy tárgyt kpht; K b) egy diák több tárgyt is kpht; K c) egy diák legfeljebb egy tárgyt kpht, de egy elõre kijelölt diáknk jándékot kell kpni; K d) egy diák legfeljebb egy tárgyt kpht, de három elõre kijelölt diáknk jándékot kell kpni; E e) egy diák több tárgyt is kpht, de nem kell minden jándékot kiosztni? ) Az elsõ tárgy 0, második 9,, htodik tnulónk oszthtó ki Összesen lehetséges kiosztások szám b) Mindegyik tárgy 0-féleképpen oszthtó ki, így lehetõségek szám c) A kijelölt diák 6-féle jándékot kpht A mrdék tárgyt 9 ember között kell szétosztni A szorzási szbály mitt z eredmény d) e) Most minden jándékkl dolgot tehetünk: vgy kiosztjuk 0 diák vlmelyikének, vgy egyáltlán nem osztjuk ki A lehetõségek szám (Azt is egy esetnek számítottuk, mikor senki semmit nem kpott) SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK II K K K Hány mérkõzést játszik cspt összesen, h mindegyik mindegyikkel játszik? ármely két cspt egy mérkõzést játszik, tehát mérkõzések szám nnyi, hányféleképpen csptból -t kiválszthtunk A kiválsztás sorrendje nem számít, így z eredmény e o 66 Egy skkegyesület játékosiból négyfõs csptot 0-féleképpen lehet kiállítni Hány tgú z egyesület? n H n tgú z egyesület, kkor e o 0; innen n 0 Hányféleképpen lehet egyform méretû golyókt sorb rendezni, h ) piros és kék golyó dott; b) piros, kék és zöld golyó dott? ) Úgy képzeljük, hogy golyók számár dott hét rögzített hely H ezek közül kiválsztunk piros golyók 7 számár -t, kkor kék golyó helye egyértelmûen dódik A 7 helybõl -t e o -féleképpen válszthtunk ki (A kiválsztás sorrendje nem számít) b) Hsonló okoskodássl piros golyók számár e o-féle, kék golyók számár mrdék 9 helybõl 9 9 e o-féle elhelyezés lehetséges, s ekkor z zöld golyó helye egyértelmû Eredmény: e o$ e o 7 70 (Ezt z eredményt kpjuk kkor is, h golyókt más színsorrendben például kék, piros, zöld helyezzük el

15 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK II K K 6 K 7 K Az. számjegyekbõl hány 7 jegyû számot készíthetünk? 7 e o szám készíthetõ A számjegyeket modellezhetjük z elõzõ ) feldt piros és kék golyóivl Megjegyzés: Mint korábbn már láttuk, feldtot ismétléses permutáció lklmzásávl is megoldhtjuk: 7! 7 e o! $! Hozzuk egyszerûbb lkr következõ kifejezéseket! )! ] ; b) n + g! ] ; c) n + g! ; d) ] ; e) n + g! ] $ n + g! 7$ 6! $ 8 ] n -g! ] n+ g] n+ g ] n -g! – n! ] n + g! ] n -g! )! 0 9 8! ^n+ h^n+ h^n+ hn^n- h! b) ^n + h^n + h^n + hn ^n -h! ^n+ h^n+ hn! c) n! ^n+ h^n+ h d) A közös nevezõ n! n n (vgy ) n -! – n! n! – n! n – ^ h! nn ^ – h! e) Egyszerûsíthetünk z (n + )! és (n )! tényezõkkel: ^n + h! ^n + h! n + ^n+ hn $ $ (n + )(n + )n ^n + h! ^n -h! Adott síkon z A hlmzbn 6, hlmzbn 7 drb pont úgy, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen Hány olyn háromszög vn, melynek leglább egyik csúcs z A hlmz pontji közül kerül ki? Elsõ megoldás 6 7 Olyn háromszög, melynek z A hlmzbn, hlmzbn csúcs vn, e o$ e o 6 drb vn Az A hlmzbn csúcs e o$ e o 0, z A hlmzbn csúcs pedig e o$ e o 0 háromszögnek vn Összesen megfelelõ háromszög vn 0 Második megoldás A pontból összesen e o 86 háromszög készíthetõ Ezek közül kihgyjuk zokt, 7 melyek mindhárom csúcs hlmzból kerül ki Összesen tehát e o- e o 86 megfelelõ háromszög vn Hányféleképpen jöhetett létre egy 6 : végeredményû teniszjátszm? Ez végeredmény csk :-es állás után lkulhtott ki H meghtározzuk, hogy z elsõ 9 játékból melyik -et nyerte meg késõbbi vesztes fél, kkor egyértelmûen megdtuk játszmsoroztot Ez e o 6-féleképpen történhetett 9

16 I HALMAZOK, KOMINATORIKA 8 K 9 E 0 E Egy kmionbn 60 termék között % selejtes Az ellenõr terméket válszt ki Hány esetben lesz kivett termékek között ) 0 selejtes; b) selejtes; c) selejtes? A termékek között összesen selejtes vn 7 ) Az 7 hibátln termék közül válszt ki -öt: e o b) A selejtes termék közül válszt ki egyet, és z 7 hibátln közül -et: e o$ e o c) A selejtes termék közül válszt ki -t, és z 7 hibátln közül -t: e o$ e o 96 Hány ötjegyû szám vn, melynek számjegyei ) növekvõ; b) csökkenõ sorrendben következnek egymás után? (Egyenlõség nem lehet számjegyek között) ) Az. 9 számjegyek közül válsszunk ki ötöt! Minden kiválsztás egyúttl egyetlen növekvõ sorrendet is d; ez e o 6 lehetõség (A 0-t nem válszthttuk ki, mert 0-vl nem kezdõdhet szám) 9 b) Most 9, 8,, 0 számjegyek közül válsztunk ki ötöt Minden kiválsztás egyúttl egyetlen csökkenõ 0 sorrendet is meghtároz, ezért e o lehetõségek szám Hányféleképpen olvshtó ki ALATONOGLÁR szó z lábbi három tábláztból, h minden lépésben lefelé, jobbr vgy blr lehet hldni? A b) feldtbn egy, c) feldtbn két mezõ tiltott, ezeken nem hldhtunk át ) b) c) A A L L L A A A A T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R A A L L L A A A A T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R A A L L L A A A A T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R ) ármely kiolvsásnál 6 lépést kell jobbr és 6 lépést blr tenni H lépésbõl kiválsztjuk jobbr történõket, kkor teljes kiolvsást megdtuk lépésbõl 6-ot kiválsztni z elemek sorrendjére vló tekintet nélkül e o 9-féleképpen lehet 6 Egy lehetséges modell: 6 drb J és 6 drb betûbõl álló szvk számát htározzuk meg b) Az összes kiolvsásból ki kell hgynunk zokt, melyek érintik O-t A O útvonlon lépést teszünk, -t jobbr és -t blr; z útvonlt ezért e o-féleképpen tehetjük meg Az OR útvonl + lépésbõl 7 7 áll, ez e o-féleképpen járhtó be A R teljes útvonl, tiltott O mezõn áthldv, O $ OR e o$ e o 7 -féleképp tehetõ meg A tiltott mezõt elkerülõ kiolvsások szám így R – O $ OR e o- e o$ e o 6 7 6

17 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK II c) Az összes kiolvsásból kivonjuk tiltott O-n áthldókt és tiltott G mezõn áthldókt Ez 9 utóbbik szám G $ GR e o$ e o Ekkor zonbn kétszer vontuk ki zokt z utkt, melyek O-t és G-t is érintik Ezek szám O $ OG $ GR e o$ e o$ e o 7 9 Eredmény: e o-e o$ e o- e o$ e o+ e o$ e o$ e o

19 II ALGERA IRRACIONÁLIS SZÁMOK K E ecsüljük meg, hogy z lábbi rcionális számok közül ) melyik véges, és melyik végtelen, szkszos tizedestört-lkú; b) vlmint hogy milyen hosszú lehet z ismétlõdõ szksz tizedestört-lkjukbn! c) A becslés után htározzuk meg számok tizedestört-lkját! (Vigyázt: zsebszámológép nem mindig ír ki pontos értéket!) A 9 ; 87 ; C 67 ; D 7 ; E 7 ; F 9 ; G 99 ; H ) A és tizedestört-lkj véges, mert 0-nek osztój, és 000 oszthtó 8-cl (H például törtet -tel bõvítjük, kkor 87 $ törtet kpjuk, s ennek tizedestört-lkj nyilván 000 véges) A többi törtrõl kpásból nem látni, hogy milyen típusú tizedestört-lkj b) Az osztás elvégzésekor vgy vlmikor fellép 0 mrdék (ekkor tizedestört véges lesz), b vgy z osztási mrdékok rendre z. (b ) számok közül kerülnek ki Ekkor tizedesvesszõ leírás után legkésõbb b lépésben z osztási mrdék ismétlõdni fog (sktulyelv), és innentõl kezdve hánydos számjegyei periodikusn ismétlõdnek Vgyis periódus hossz legfeljebb (b ) lehet c) A 8,6; 77,; C 0, 6 o ; D 60, 08 o ; E, 86 ( számológép,86 hánydost írt ki); F, 0769 ( számológép áltl kiírt szám,0769 (!)); G ; H 0, (Ugynz számológép most 0,76708-t írt ki, zz nem kerekített (!) A forglombn lévõ zsebszámológépek többsége szerencsére kerekít, és 0,76709-et ír ki) Adjuk meg következõ számokt közönséges tört lkbn! ) A 0, o ; b) 0, ; c) C 0, ; d) D, 6 ; e) E 9, o ) 0A, o A két egyenlet kivonásából 9A, A 9 b) 00, A két egyenlet kivonásából 99, 99 b l, c) 00C, ; 99C,; C b 9 l, d) 000D, 66; 999D,, D b 00 l e) 0E 9, 9 o ; 9E 8, E (!) (A véges rcionális számok tizedestört-lkj nem egyértelmû) 9

20 II ALGERA K Az ókori Mezopotámi tudósi szerint Négy tizedesjeggyel számolv, mennyire voltk pontosk tudósok? r 8 r esetén h r-t hosszú intervllum közepére helyezzük, kkor legfeljebb :, lehet becslés hibáj (Ekkor r-nek tuljdonított érték és átlg, 9, (A pontosbb érték r,9; z eltérés r,06 0,079) E Az lábbi számok rcionálisk vgy irrcionálisk? ) ; b) ; c) ; d) + ; e) – ; f) + + ) Mivel 6 irrcionális, így 6, s ezért is irrcionális 6 – b) Tegyük fel indirekt módon, hogy rcionális Ekkor, hol, b pozitív egész számok Innen 8 8 b, zz b 8 Ellentmondást kptunk: bl oldl prímfelbontásábn kitevõje pártln, 8 b jobb oldlon páros c) 8, így 8 rcionális szám d) Tegyük fel indirekt módon, hogy + r! Q Négyzetre emelés és rendezés után r, s ez ellentmondás: bl oldl irrcionális e) A d) feldthoz hsonlón járunk el A – r egyenletbõl r, s innen 60 7 r ellentmondást kpjuk f) Az indirekt feltevést átlkítv + r -, s négyzetre emelés után 6 r – r Ismét négyzetre emelünk: r – r + 0r Ellentmondás: jobb oldl irrcionális K 0 6 K Láttuk leckében, hogy 7 megszerkeszthetõ úgy, hogy sorbn megszerkesztjük. 7 értékeket, mjd z és 7 befogójú derékszögû háromszög átfogój 7 lesz Ez elég hosszdlms munk Nem járhtunk el ügyesebben? 7 8 Vn gyorsbb eljárás Például Megszerkesztjük z és befogójú derékszögû háromszög átfogóját (ennek hossz 0 ), ezután 0 és 8 befogójú derékszögû háromszög átfogój 7 lesz (ábr) Még gyorsbbn célhoz érünk, h észrevesszük, hogy ; keresett szksz tehát z és 7 befogójú derékszögû háromszög átfogój Vn-e, y rcionális megoldás ( ) + ( )y 7 0 egyenletnek? Tegyük fel, hogy vn megoldás Az egyenlet átlkítv ^ + y- 7h + y-0lkú A jobb oldlon rcionális szám áll, bl oldlon pedig rcionális többese A bl oldlon csk kkor állht rcionális szám, h + y 7 0, s ekkor jobb oldlon teljesülnie kell, hogy + y 0 0 Az egyenletrendszer megoldás, y, s ezek rcionális számok 0

22 II ALGERA 6 SZÁMOK N-EDIK GYÖKE K Htározzuk meg következõ gyökök értékét! ; 8 ; -8 ; ] g 7 ; ; 8 ; – 8 -; ]- g -; K Htározzuk meg következõ gyökök értékét! 9 ; ; 7 ; ; ; ; 7 ; -, ; K Keressük meg mûveletsorok eredményét! ) ; b) 8 ; c) 0, , ) ^ h+ – ; b) 8 ; b- l+ c) 0, 00-0, 0 0, 0, 0, 0, E Adjuk meg kifejezések értelmezési trtományát! 7 6 ; b ; c – ; d – ; e b c – d – e -0 értelmezett, h! R; értelmezett, h b $ 0; értelmezett, h c! R; értelmezett, h d $ ; értelmezett, h e $ E Adjuk meg kifejezések értelmezési trtományát, mjd htározzuk meg következõ gyökök értékét! ; ; ; y z w 6 y z w, h $ 0; y, h y! R; z, h z! R; w, h w! R 6

23 7 8 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI 7 8 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI K K Keressünk egyenlõket kifejezések között! ; $ ; ]-g ; ; ; 8 – b l ^ h A kifejezések mindegyike, tehát egyenlõk Számológép hsznált nélkül válsszuk ki zokt kifejezéseket, melyek pontos értékét megállpíthtjuk! Írjuk fel pontos értékeket! 0 6 ; 0 ; 9 ; 000 ; 6 ; 6, ; ; 0 0 nem rcionális szám négyzete, pontos értékét gyökvonás hsznált nélkül nem tudjuk megállpítni; 9 ; 000 z 000 nem rcionális szám négyzete, pontos értékét gyökvonás hsznált nélkül nem tudjuk megállpítni; 6 ; 6, 6, ; 00 K Állpítsuk meg, hogy két szám közül melyik ngyobb! ) 60 vgy 0 Egyenlõk, mert b) $ vgy $ 0 Egyenlõk, mert $ $ 60 $ 0 $ 0 c) ^ h vgy ^ h > b + l d) $ 9 vgy Egyenlõk, mert $ 9 $ 9 $ 7

24 II ALGERA K Végezzük el mûveleteket! ) ^ 8 – h ^ 8 – h $ 8 – $ 6$ 6 $ 8 b) ^ + 7- h ^ + 7- h $ + $ 7- $ c) ^ + 7 h^ – 7 h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ + 7h^ – 7h ^ h – ^ 7h d) ^ + h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ + h e) ^ 7 – h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ 7 – h f) ^ – + h^- + h ^ – + h^- + h K 6 K Igz-e bármely és y vlós szám esetén:? y y Nem igz, csk h $ 0, és y 0 Végezzük el mûveleteket! ) ^ + bh H $ 0, és b $ 0, kkor ^ + bh + b+ b b) ^ c – dh H c $ 0, és d $ 0, kkor ^ c – dh c+ d- cd

25 9 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA I c) _ – y + zi H $ 0, y $ 0, és z $ 0 kkor _ – y + z i + y + z – y + z – yz 7 K Mely egyenlõségek zonosságok? ) ] + g + Nem zonosság, csk h + $ 0, zz h $- b) Nem zonosság, csk h + $ 0, zz h $- c) ] b- g b- Azonosság d) y – 6y+ 9+ y- ^y- h Nem zonosság, csk h y $ e) c – 0c+ c c + – Nem zonosság, c – 0c+ ^c – h c – c – c -, h c 9 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA I K Végezzük el mûveleteket! ) ^ – h- ^ + h ^ – h- ^ + h 8^ – h- ^ + h ^- h- b) ^ 7 – h – ^ 7 + h ^ 7 – h – ^ 7 + h

26 II ALGERA c) ^ 8 – h + ^ 8 + h ^ 8 – h + ^ 8 + h d) ^ – h+ ^ – h ^ – h+ ^ – h , 7 K Végezzük el mûveleteket! ) – – (gyöktelenítsük számlálót) – – ^ – + h^ – h + b) (gyöktelenítsük számlálót) ^ h^ 0-8h 0-8 c) : : $ 0 0 K Állpítsuk meg kifejezések értelmezési trtományát! ) – 8 Értelmezett, h 8 $ 0, $ 8 – b) 9k + k + 9k + k+ ^k+ h, ezért minden k! R esetén értelmezett c) ] b+ g] c+ g Értelmezett, h ^b- h^c+ h$ 0, vgyis h b # és c #-, vgy b $ és c $- 6

27 9 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA I d) + Értelmezett, h $ 0, zz h $- + y + e) y – 8 y + Értelmezett, h $ 0, zz, h y #-, vgy y 8 y – 8 Alkítsuk szorzttá kifejezéseket! Ahol szükséges, szorzt lkhoz djuk meg z értelmezési trtományt is! K ) ^ + h K b) ^ h K c) ^ h E d) b – c + d b – c + d ^ b – c + dh, h bcd. $ 0 E e) – + y – + y _ – + yi, h y, $ 0 E f) bc – b c + bc bc- bc+ bc bc^ – b+ ch, h bc,, $ 0 E g) pq – rs + qr – ps pq – rs+ qr – ps p_ q – si+ r_ q – si _ q – si_ p+ ri 7

28 II ALGERA E A szorztokt írjuk összeg lkbn, h lehet, végezzünk összevonásokt! ) ^ + bh^ – bh+ ^ – bh ^ + bh^ – bh+ ^ – bh – b+ + b- b – b, h b, $ 0 b) ^ + b – bh^ + b + bh- ^ + bh H b, $ 0, kkor ^ + b – bh^ + b + bh- ^ + bh ^+ bh -b– b – b – b -b c) – y $ + y H $ y, y $ 0 – y $ + y _ – yi_ + yi – y 0 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA II K Függvénytáblázt és számológép hsznált nélkül állpítsuk meg kifejezések ngyságviszonyát! Hozzuk egyszerûbb lkr kifejezéseket, lklmzzuk bevitel gyökjel lá módszert! ; ; $ 0 $ 8 $ ; 8 ; Írjuk egyszerûbb lkb kifejezéseket! Alklmzzuk bevitel gyökjel lá módszert! Adjuk meg z értelmezési trtományokt! p q K ) $ q p p q p q $ q p c m $ q p p p, h 0 q q K b) mn m n mn m mn m mn m mn, h, n ^ h $ n mn $ 0 n! 0 8

29 0 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA II K c) y + y H y, 0, kkor y y y+ y + y c^ h c + y mm ^ h y y ^ + y h K d) + b – b+ b – b – b H, és + b – $ 0, kkor – b – K e) ] b – g – b b b H b, kkor b – – b ^ – h ^ – h ] g ^+ bh^- bh + b K Írjuk egyszerûbb lkb kifejezéseket! Alklmzzuk kihoztl gyökjel lól módszert! Adjuk meg z értelmezési trtományokt! ) 0 ; b) 8 ; c) ; d) ; e) b ; f) c ) 0 ; d), h $ 0; b) 8 ; e) b b b, h b $ 0; c) 9 ; f) ^ 7 7, h c $ Végezzük el mûveleteket! K ) K b) K c) 6 6b – b + b b – b 8 b H $ 0, b $ 0, kkor 6 6b – b + b b – b 8 b 8b 7b – b 7b + b 7b – 0b 7b 0b b 9

30 II ALGERA Gyöktelenítsük törtek nevezõit, végezzük el mûveleteket! K ) 7 ; K b) ; K c) ; K d) ; K e) ; 7 y ) 7 7 ; b) ; c), h 0; d) ; e) y, h y 0; y y K f) ; K g) ; K h) n ; K i) k ; + – m – t – s f) $ – ; g) – $ + – ^ + h ; h) H, és, kkor n m n m $ + ^ + h m $ 0 m! 6 ; m – m + m – 6 i) H, és, kkor k t s k t s $ + ^ + h t $ 0 t! s ; t – s t + s t- s K j) 7 – ; K k) – ; K l) + b – -b ; b + – b j) 7 – $ $ 8 $ 9 0 $ ; k) – $ ; – + l) b b b b b b b $ ^ + h- – + ^ – h b – – ; + b + – b + b – -b ^+ bh-^-bh b E m) ; E n) ; m) n) ; ^- 6 – h $ $ ; ^ h E o) ; E p) ; + b+ c ^ + h – $ + – $ + + ^ + h o) $ $ ; p) H b c $ 0, kkor $ b+ c b c b + $ – b+ c b+ c b+ c b- c c b b c bc c c b – c 0

31 AZ n-edik GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI 6 E 7 E Oldjuk meg z egyenletet! Értelmezési trtomány: $- Alkítsuk át z egyenlet bl oldlát: , tehát A kpott gyök megfelel feltételeknek Állpítsuk meg z -6y-y ; y + -! – + kifejezés értékét, h , y 9-0 6, y, tehát -6y- y ^ h-6 -^9-0 6h E Hogyn tudnánk ügyesen kiszámolni z lábbi kifejezést: f +? Gyöktelenítünk: $ – -, $ – -,, $ Összedáskor közbülsõ tgok kiesnek, z eredmény: 00-9 AZ n-edik GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI Emelt szint E Számítsuk ki kifejezések értékét! ) 6 ; b) -6 ; c) 6 ; d) 8 ; e) 8 ) 6 ; b) – 6 -; c) 6 ; d) ; e) E Adjuk meg kifejezések értelmezési trtományát! ) ; értelmezhetõ, h! R;

32 II ALGERA b) b ; b értelmezhetõ, h b $ 0; c) c – ; c – értelmezhetõ, h c! R; 6 d) d – 8; 6 d – 8 értelmezhetõ, h d $ E Számítsuk ki kifejezések értékét! ) $ $ 9; $ $ b) 6 $ 6 $ ; 6 $ 6 $ 7 $ $ 7 $ $ 7 $ ; c) ; 0 $ $ $ ; $ d) 6 8: ; 8: 8: ; E Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével kifejezéseket, mjd számítsuk ki számológép nélkül z értéküket, h lehet! ) ; 6 6; b) ; ;

33 AZ n-edik GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI c) ; ; 0 d) $ 9; $ $ ; e) $ $ ; 6 $ $ $ $ E Adjuk meg kifejezés értelmezési trtományát és legegyszerûbb lkját! ) $ 8 ; $ 8 értelmezhetõ, h $ 0; $ ; 6 b) b $ b $ b ; 6 b $ b $ b értelmezhetõ, h b $ 0; b b 6 b b 8 b 9 b 0 b 7 $ $ $ $ b $ b c) c $ c $ c; c $ c $ c értelmezhetõ, h c $ 0; c c c c 6 c c $ $ $ $ $ c c c; d) ^ d : d h ; ^ d : d h értelmezhetõ, h d $ 0; d : d d ^ h e 9 o ^ d h d d; d 0 60 e) b ; 0 60 b értelmezhetõ, h! R, b! R; 0 60 b b b 0 60 ;

34 II ALGERA Emelt szint AZ n-edik GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA E Vigyük be gyökjel elõtti szorzótényezõt gyökjel lá! ) 8; b) ; c) ; d) 7 8 ) 8 ; b) 86 ; c) ; d) E E E E Vigyük be gyökjel elõtti szorzótényezõt gyökjel lá! ) b b ; b) c 6 d ; c) ] e f + g ; d) ] m n mn + g d c e+ f ] m+ ng ) b ; b) 6 c ; c) e f ; d) mn ^ + h d ] m+ ng Vigyük gyökjel elé lehetséges szorzótényezõket! ) 8; b) 6 ; c) 6 ; d) $ 7 ; e) 8 ) $ ; b) $ $ ; c) $ ; d) $ 8 ; e) Vigyük gyökjel elé lehetséges szorzótényezõt! ) $ b ; b) c $ d $ e ; c) k k+ k+ p $ q ; d) n+ n+ n+ $ y ) b $ ; b) cd e $ cde ; c) pq $ k pq ; d) y$ n+ y Végezzük el mûveleteket! ) ^ h$ 6 – $ + $ b) ^ – + h + $ + – $ + $ – $ 6 c) ^ 9 6 b – b h$ ^ b + bh 6 b b 6 b b b $ + – $ -b $ b d) k k b b $ – l $ b $ k k b b – l k – k $ k – k $ k + kb $ b 6 k

35 A NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY 6 E Válsszuk ki z állítások közül z zonosságokt! ) n n, $ 0; Azonosság 6 b) b $ b 9 0 b 6 Nem zonosság: b $ b 9 b c) c $ c $ 0 c 7 c Nem zonosság: c $ c $ 0 c 9 c d) d + 9 d d Nem zonosság A NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY K Rjzoljuk meg következõ függvények képét értéktáblázt segítségével! ) 7 – ; c) 7 – -; b) 7- + ; d) 7 – Vizsgáljuk meg, hogy milyen trnszformációt kell végrehjtnunk z 7 hogy megkpjuk végeredményt! függvény képén, ) Készítsünk tábláztot! Mivel függvény értékkészlete nemnegtív számok hlmz, és gyökvonást végezzük el elõször, ezért négyzetszámokt fogjuk behelyettesíteni y R f 0 D f A négyzetgyök függvény képét egységgel eltoltuk z y tengely mentén negtív irányb + ÉT R 0, ÉK [ ; [

36 II ALGERA b) Készítsünk tábláztot! Mivel függvény értékkészlete nemnegtív számok hlmz,és gyökvonást végezzük el elõször, ezért négyzetszámokt fogjuk behelyettesíteni y 0 + ÉT R 0, ÉK ] ; ] A négyzetgyök függvényünket elõször megnyújtottuk kétszeresére, után tükröztük z tengelyre, mjd feljebb toltuk ( z y tengely mentén pozitív irányb) egységgel c) Mivel csk -et, vgy nnál ngyobb számot lehet behelyettesíteni képletbe, ezért csk ezeket írjuk tábláztb y 0 ÉT [; [, ÉK ] ; ] A négyzetgyök függvényünket elõször eltoltuk jobbr egységgel (z tengely mentén pozitív irányb), után tükröztük z tengelyre, mjd feljebb toltuk (z y tengely mentén pozitív irányb) egységgel d) A négyzetgyök jel ltt csk nemnegtív szám állht, tehát – $ 0 /+ $, vgyis képletbe csk négyet vgy nnál kisebb számot lehet behelyettesíteni 0 6-0

37 A NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY y 0 ÉT ] ; ], ÉK [0; +[ A négyzetgyök függvényünket elõször tükröztük z y tengelyre, után eltoltuk jobbr egységgel (z tengely mentén pozitív irányb) K Oldjuk meg következõ egyenleteket grfikus módszerrel! ) ; c) ; b) + + ; d) ) Elõször átlkítjuk z egyenletet /+ ; – 0 Az egyenlet értelmezési trtomány nemnegtív számok hlmz Itt fogjuk ábrázolni két függvényt A metszéspontok M (0; 0), M (; ) Ez z jelenti, hogy megoldások z 0, Ezeket z eredeti egyenletbe történõ behelyettesítéssel ellenõrizni kell b) Elõször átlkítjuk z egyenletet + + / ; + Az egyenlet értelmezési trtomány [ ; [ intervllum Itt fogjuk ábrázolni két függvényt A metszéspont M(; ) Ez z jelenti, hogy megoldás lesz Ezt z eredeti egyenletbe történõ behelyettesítéssel ellenõrizni kell y 0 M (0;0) y + M(;) M (;) + c) Elõször átlkítjuk z egyenletet – + / ; – – Az egyenlet értelmezési trtomány [0,; [ Itt fogjuk ábrázolni két függvényt A metszéspont M(; ) Ez z jelenti, hogy megoldás z Ezt z eredeti egyenletbe történõ behelyettesítéssel ellenõrizni kell y M(;) 0 7