NT Az érthető matematika 10. Tanmenetjavaslat

Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

Matematika 10. Az érthető matematika

A matematikai tudás sokfajta élethelyzetben jelenthet hasznos segítséget. Az érthető matematika tankönyvsorozatban – az alkotók szándéka szerint – a matematikai ismeretek megérthetők, és az első pillanatban bonyolultnak tűnő problémák is megoldhatók. A tankönyv elsősorban a középszintű érettségi tananyagát tartalmazza, de kiegészítő anyagként megtalálható benne mindaz, ami a 10. évfolyamon megérthető s az emelt szintű érettségi vizsgán kérdezhető. Fokozatosan nehezedő, jól kidolgozott példák vezetik be a tanulókat az elsajátítandó tananyagba. A gyakorlást, az otthoni tanulást és az érettségi vizsgára való felkészülést a leckék végén található feladatok segítik.

Illusztrátorok: Urmai László Borító tervezők: Bajtai Zoltán Kiadó: Nemzeti Tankönyvkiadó Kiadás éve: 2011 Kiadás helye: Budapest Nyomda: Alföldi Nyomda ISBN: 9789631961041 Kötés típusa: ragasztott papír Terjedelem: 288 Nyelv: magyar Méret: Szélesség: 21.00cm, Magasság: 25.00cm Kategória:

Juhász István, Orosz Gyula, Paróczay József, Szászné Dr. Simon Judit – Matematika 10.

Fontosabb jelölések 6
A tankönyv használatáról 7
I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA 8
1. Vegyes kombinatorikai feladatok 9
2. A skatulya-elv 14
3. Sorba rendezési és kiválasztási problémák 1 19
4. Sorba rendezési és kiválasztási problémák II 24
Egy kis logika (olvasmány) 30
11. ALGEBRA 36
5. Irracionális számok 37
6. Számok n-edik gyöke 41
7-8. A négyzetgyökvonás azonosságai 45
9. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása 1 48
10. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása II 51
11 A n-edik gyökvonás azonosságai (emelt szint) 54
12. A n-edik gyökvonás azonosságainak alkalmazása (emelt szint) 57
13. A négyzetgyökfüggvény 59
14. Az inverz függvény fogalma 65
III. MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 70
15. Másodfokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással 71
16. Másodfokú egyenletek megoldása teljes négyzetté kiegészítéssel 74
17. A másodfokú egyenlet megoldóképlete 78
18. Az egyenletmegoldás gyakorlása 81
19. Nem kell mindig megoldóképlet! 84
20. A másodfokú függvények és másodfokú egyenletek kapcsolata 87
21. Másodfokú egyenlőtlenségek I. 90
22. Másodfokú egyenlőtlenségek II. 93
23. Másodfokúra visszavezethető egyenletek 96
24. Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenlőtlenségek (Nem érettségi tananyag) 98
25. Gyökök és együtthatók közötti összefüggések 101
26. Viéte-formulák használata feladatmegoldásokban 104
27. Paraméteres egyenletek 106
28. Paraméteres egyenlőtlenségek 109
29. Szöveges, gyakorlati feladatok 1 112
30. Szöveges, gyakorlati feladatok II 116
31. Másodfokú egyenletrendszerek 119
32. Szélsőérték-problémák, nevezetes közepek 122
33. Négyzetgyökös egyenletek I. 127
34. Négyzetgyökös egyenletek II. 130
35. Négyzetgyökös egyenlőtlenségek 134
Magasabb fokú egyenletek megoldása (olvasmány) (emelt szint) 136
36-37. Új statisztikai jellemzők 141
Adatok feldolgozása (olvasmány) 145
IV. HASONLÓSÁG 146
38-39. Középpontos nagyítás és kicsinyítés, középpontos hasonlósági transzformáció 147
40-41. Szerkesztések középpontos hasonlóság alkalmazásával 151
42-43. A hasonlósági transzformáció fogalma 155
44-45. Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek 160
46. Szögfelezőtétel 162
47-48. Hasonló síkidomok területének aránya; hasonló testek térfogatának aránya 165
Gulliver geometriája (olvasmány) 170
A háromszög területe és a háromszög oldalait érintő körök (olvasmány) 171
V. A VEKTOROKRÓL 172
49. Vektor szorzása számmal 173
50. Egyértelmű vektorfelbontási tétel 176
51. Vektorok a koordinátasíkon. Helyvektorok 178
52. Felezőpont, osztópont 180
53. A háromszög súlypontjába mutató vektor 184
A tetraéder súlypontja (olvasmány) 185
54. Vektor elforgatása ± 90°-kal 187
VI. TRIGONOMETRIA 190
55. Hegyesszögek szögfüggvényei 191
56. Derékszögű háromszögek adatainak meghatározása 198
57. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között 205
58. Háromszögek adatainak meghatározása 208
59. Síkbeli és térbeli számítások szögfüggvények segítségével 213
Hogyan határozta meg Sherlock Holmes az elpusztult szilfa árnyékának
hosszát? (olvasmány) 217
VII. FÜGGVÉNYEK 222
60-61. Szögfüggvények általánosítása 223
62-63. Szögfüggvények ábrázolása 232
VIII. VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS 246
64. Ismerkedés a véletlennel 247
65. Valószínűség-számítási alapfogalmak 249
66. Műveletek eseményekkel 253
67-68. Események valószínűsége 258
A három kocka problémája (olvasmány) 262
69. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje 263
70. Néhány érdekes probléma 268
IX. KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK 272
71. Középponti és kerületi szögek 273
72. Érintőszárú kerületi szög 276
73. Látószöggel kapcsolatos mértani hely 279
74-75. Húrnégyszög 282
A körhöz húzott szelőszakaszok tétele (olvasmány) 286
FOGALOMTÁR 288

NT Az érthető matematika 10. Tanmenetjavaslat

1 NT Az érthető matematika 10. Tanmenetjavaslat A segédanyag Az érthető matematika tankönyvsorozat átdolgozott kiadásának második könyvéhez (17212) készült. A tízedik osztályos tananyag egy lehetséges feldolgozását 111 órára (37 tanítási hét, heti 3 óra) készítettük el. A táblázat első oszlopában a tanítási óra sorszámát, a másodikban az óra anyagát (általában a megfelelő tankönyvi lecke címe) tüntettük fel, míg a harmadik oszlopban az órához kapcsolódó fontosabb módszerek, fogalmak, tételek olvashatók. A második oszlopban dőlt betűvel szedtük a tankönyvi leckék címétől eltérő órákat (például Gyakorlás, Dolgozat). Általános elvként 3 6 óránként egy-egy gyakorló órát szúrtunk be, a javasolt nyolc témazáró dolgozatot pedig igyekeztünk (max. 15) óránként elhelyezni. A tanmenetjavaslat elsősorban a középszintű érettségi vizsgához tartalmazza a tananyagot. Az emelt szintű anyagrészeket, valamint a kiegészítő olvasmányokat külön (piros) színnel jelöltük. A tervezetünk csak alapot adó, iránymutató javaslat. A konkrét osztály összetételétől a tanulók képességei, motiválási lehetőségek, az osztály irányultsága (reál, humán) függően bátran eltérhetünk az alábbi tanmenettől. Érdeklődőbb gyerekekkel az olvasmányokat is elemezhetjük (ezek egy részét a diákok akár önállóan is feldolgozhatják), erősebb csoportban egyes emelt szintű részeket is megemlíthetünk az órán. (Időt nyerhetünk például a dolgozatok megbeszélésekor vagy az év végi ismétlő feladatokra szánt idő csökkentésével.) 36 tanítási hét esetén 108 tanítási órával számolhatunk. A három óratöbbletet több helyről is elvehetjük: ez lehet valamelyik gyakorló óra (elsősorban akkor, ha több Gyakorlás szerepel viszonylag közel egymáshoz); időnyerés céljából átütemezhetjük és ritkíthatjuk a gyakorló órákat; kihagyható valamelyik, a tanmenetben azonos címmel szereplő duplázó óra (ilyet akkor érdemes választani, ha a megfelelő témakör alaposabb vagy mélyebb gyakorlására nincs szükség); végül elhagyhatunk az év végi ismétlő órákból is. Ugyanakkor a tanmenetjavaslat 3-nál magasabb heti óraszám esetén is alkalmazható, a kiegészítő és emelt szintű részek arányos bevonásával. Budapest, augusztus Orosz Gyula

2 Halmazok, kombinatorika A tanítandó tananyag, fogalmak, tételek 1. Vegyes kombinatorikai feladatok Algoritmusok, invariáns tulajdonság (módszer), szimmetria 2. A skatulya-elv Skatulya-elv (alakjai) 3. Gyakorlás 4. Sorba rendezési és kiválasztási problémák I. Sorba rendezési és kiválasztási feladatok (permutációk, variációk) 5. Sorba rendezési és kiválasztási problémák II. Kombinációk, részhalmazok száma Játékok, gráfok (olvasmány) Egy kis logika (olvasmány) 6. Összefoglalás dolgozat 8. A dolgozat feladatainak a megbeszélése Algebra Egyszerű gráfelméleti játékok. Állítások, tagadásuk, szükséges és elégséges feltételek. 9. Irracionális számok Irracionális számok, műveleti tulajdonságok 10. Számok n-edik gyöke n-edik gyök definíciók 11. A négyzetgyökvonás azonosságai A négyzetgyökvonás azonosságai 12. A négyzetgyökvonás azonosságai 13. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása I. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása (műveletek, alaphalmaz) 14. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása II. Bevitel a gyökjel alá, kihozatal a gyökjel alól, gyöktelenítés 15. Gyakorlás Az n-edik gyökvonás azonosságai (emelt szint) Az n-edik gyökvonás azonosságai Az n-edik gyökvonás azonosságainak alkalmazása (emelt szint) Műveletek, bevitel a gyökjel alá, kihozatal a gyökjel alól, gyöktelenítés 16. A négyzetgyökfüggvény Négyzetgyökfüggvény, transzformációi 17. Az inverz függvény fogalma Inverz függvény, egyszerűbb esetek 18. Összefoglalás dolgozat 20. A dolgozat feladatainak a megbeszélése Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek 21. Másodfokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással Csoportosítás módszere; gyöktényezős alak 22. Másodfokú egyenletek megoldása teljes négyzetté kiegészítéssel Teljes négyzetté kiegészítés

3 23. Gyakorlás 24. A másodfokú egyenlet megoldóképlete Egyenletmegoldás lépései; diszkrimináns, megoldóképlet 25. Az egyenletmegoldás gyakorlása 26. Nem kell mindig megoldóképlet! Speciális másodfokú egyenletek megoldása 27. A másodfokú függvények és másodfokú egyenletek kapcsolata Másodfokú függvény, transzformációs alak, diszkrimináns 28. Gyakorlás 29. Másodfokú egyenlőtlenségek I. Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása grafikus módszerrel 30. Másodfokú egyenlőtlenségek II. Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása algebrai módszerrel 31. Gyakorlás 32. Másodfokúra visszavezethető egyenletek Helyettesítés módszere Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenlőtlenségek (nem érettségi tananyag) 33. Összefoglalás dolgozat 35. A dolgozat feladatainak a megbeszélése Szimmetrikus egyenlet, reciprok egyenlet 36. Gyökök és együtthatók közötti összefüggések Viète-formulák 37. Viète-formulák használata feladatmegoldásokban Gyökökben szimmetrikus kifejezések 38. Gyakorlás Paraméteres egyenletek (emelt szint) Megoldhatósági feltétel, gyökök előjele Paraméteres egyenlőtlenségek (emelt szint) 39. Szöveges, gyakorlati feladatok I. Másodfokú kifejezések alkalmazása (vegyes feladatok) 40. Szöveges, gyakorlati feladatok II. 41. Gyakorlás 42. Másodfokú egyenletrendszerek Másodfokú egyenletrendszerek megoldási módszerei Diofantoszi egyenletek (olvasmány) (Csak heti 3-nál magasabb óraszám esetén. Tanév közben, folyamatosan is feldolgozható.) 43. Szélsőérték-problémák, nevezetes közepek Hatványközepek, nagyságrendi viszonaik 44. Gyakorlás 45. Négyzetgyökös egyenletek I. Négyzetgyökös egyenletek megoldási módszerei Négyzetgyökös egyenletek II. (emelt szint) Négyzetgyökös egyenlőtlenségek (emelt szint) Magasabb fokú egyenletek megoldása (olvasmány) (emelt szint) 46. Összefoglalás dolgozat Többlépcsős négyzetgyökös egyenletek; az alaphalmaz szerepe Nehezebb négyzetgyökös egyenlőtlenségek; az alaphalmaz szerepe

4 48. A dolgozat feladatainak a megbeszélése 49. Új statisztikai jellemzők Terjedelem, eltérések, szórás 50. Új statisztikai jellemzők 51. Gyakorlás Adatok feldolgozása (olvasmány) Hasonlóság 52. Középpontos nagyítás és kicsinyítés, középpontos hasonlósági Nagyítás, kicsinyítés, középpontos hasonlósági transzformáció fogalma transzformáció 53. Középpontos nagyítás és kicsinyítés, középpontos hasonlósági Negyedik arányos szerkesztése transzformáció 54. Szerkesztések középpontos hasonlóság alkalmazásával Körök hasonlósági pontjai 55. Szerkesztések középpontos hasonlóság alkalmazásával 56. Gyakorlás 57. A hasonlósági transzformáció fogalma A hasonlósági transzformáció fogalma, a transzformáció aránya 58. A hasonlósági transzformáció fogalma Alakzatok hasonlósága, háromszögek hasonlósági kritériumai 59. Gyakorlás 60. Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek Magasságtétel, befogótétel 61. Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek A számtani és a mértani közép összehasonlítása 62. Szögfelezőtétel A szögfelezőtétel (hasonlósággal) 63. Gyakorlás 64. Hasonló síkidomok területének aránya; hasonló testek térfogatának aránya Hasonló alakzatok területi és térfogati aránya 65. Hasonló síkidomok területének aránya; hasonló testek térfogatának aránya A gúla alappal párhuzamos síkmetszetei (Heti 3-nál magasabb óraszám esetén.) Gulliver geometriája (olvasmány) (Heti 3-nál magasabb óraszám esetén. Év közben folyamatosan is feldolgozható.) Párhuzamos szelők tétele (emelt szint) A háromszög területe és a háromszög oldalait érintő körök (olvasmány) (Heti 3-nál magasabb óraszám esetén. Tanév közben, folyamatosan is feldolgozható.) 66. Összefoglalás dolgozat 68. A dolgozat feladatainak a megbeszélése A vektorokról 69. Vektor szorzása számmal Vektorok műveleti tulajdonságai, skalármennyiség

5 70. Egyértelmű vektorfelbontási tétel Bázisvektor, koordináták, egyértelmű vektorfelbontási tétel 71. Vektorok a koordinátasíkon. Helyvektorok Helyvektorok; műveletek és koordináták 72. Gyakorlás 73. Felezőpont, osztópont Adott arányú osztópont koordinátái 74. A háromszög súlypontjába mutató vektor Háromszög súlypontjába mutató vektor A tetraéder súlypontja (olvasmány) 75. Vektor elforgatása 90 -kal 90 -kal elforgatott vektor koordinátái 76. Összefoglalás dolgozat 78. A dolgozat feladatainak a megbeszélése Trigonometria 79. Hegyesszögek szögfüggvényei Hegyesszögű szögfüggvény definíciók: szinusz, koszinusz, tangens, kotangens 80. Derékszögű háromszögek adatainak meghatározása Derékszögű háromszögek adatainak meghatározása 81. Gyakorlás 82. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között Speciális hegyesszögek pontos értékei; pótszögek; trigonometriai alapegyenlet 83. Háromszögek adatainak meghatározása Emelkedési, lehajlási szög; területképlet 84. Gyakorlás 85. Síkbeli és térbeli számítások szögfüggvények segítségével Alkalmazások 86. Gyakorlás Hogyan határozta meg Sherlock Holmes az elpusztult szilfa árnyékának hosszát? (olvasmány) Egy feladat több megoldás (olvasmány) 87. Összefoglalás dolgozat 89. A dolgozat feladatainak a megbeszélése Függvények (Heti 3-nál magasabb óraszám esetén. Tanév közben, folyamatosan is feldolgozható.) 90. Szögfüggvények általánosítása Forgásszög; forgásszög szögfüggvényei 91. Szögfüggvények általánosítása Trigonometriai alapegyenlete 92. Gyakorlás 93. Szögfüggvények ábrázolása Szögfüggvények ábrázolása; 94. Szögfüggvények ábrázolása Függvénytulajdonságok (szélsőérték, monotonitás) Trigonometrikus inverzek

6 95. Gyakorlás Valószínűség-számítás 96. Ismerkedés a véletlennel Eseményalgebra alapjai 97. Valószínűség-számítási alapfogalmak Események (kedvező, biztos, lehetetlen) 98. Gyakorlás 99. Műveletek eseményekkel Események összege, különbsége, szorzata; kizáró események 100. Események valószínűsége Gyakoriság, relatív gyakoriság; a valószínűség fogalma 101. Események valószínűsége 102. Gyakorlás A három kocka problémája (olvasmány) 103. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje Kombinatorikus modell; az alkalmazás feltételei 104. Néhány érdekes probléma 105. Összefoglalás dolgozat 107. A dolgozat feladatainak a megbeszélése Kerületi és középponti szögek (emelt szint) Kerületi és középponti szögek Érintőszárú kerületi szög Látószöggel kapcsolatos mértani hely Gyakorlás Húrnégyszög Húrnégyszög A körhöz húzott szelőszakaszok tétele (olvasmány) Gyakorlás Összefoglalás Grafikus számítógépprogramok (olvasmány) Kerületi szög, középponti szög; a kerületi szögek tétele Érintőszárú kerületi szög; a kerületi és középponti szögek tétele A látókör 3-féle alakja Húrnégyszög Húrnégyszögek tétele A körhöz húzott szelőszakaszok tétele Tanév közben, folyamatosan is feldolgozható. Év végi ismétlés 108. Vegyes feladatok 109. Vegyes feladatok 110. Vegyes feladatok 111. Vegyes feladatok

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára

Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

Matematika Az Érthető Matematika 11 Megoldások Pdf | Érthető Matematika Tankönyv. 11O, 210O

felhasználása, másolása, terjesztése, továbbítása – akár részben, vagy egészben – kizárólag a Jófogás előzetes, írásos beleegyezésével lehetséges. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai A feladatokat nehézségük szerint szinteztük: K1 = középszint,. ez a szám pedig a 11. May 03, · A nemzetközileg is elismerést arató Varga- féle módszert alkalmazó, elsősöknek szóló matematika könyvének, a NAT előírásainak megfelelően megújult változ. NT Matematika 11. ( Heuréka) Tanmenetjavaslat. NT- 17302 Matematika 11. ( Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka- sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag. salvar Salvar 16112_ Matematika 9_ Megoldások. pdf para ler mais tarde. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amely ingyenesen letölthetõ az internetrõl ( például: adobe. hu weboldalról). A feladatokat fejezetenként külön- külön fájlba tettük.

• Matematika az érthető matematika 11 megoldások pdf 2017
• Delhusa Gjon-Egyszer rájössz – YouTube
• Matematika az érthető matematika 11 megoldások pdf full
• Matematika az érthető matematika 11 megoldások pdf version
• Vámpírnaplók 6 évad 15 res publica
• Matematika az érthető matematika 11 megoldások pdf 4
• Matematika az érthető matematika 11 megoldások pdf to word

Kombinatorika, gráfok, Hatvány, gyök, logaritmus, A trigonometria alkalmazásai, Függvények, Koordinátageometria, Valószínűségszámítás, statisztika. Matematika érettségire felkészítő tankönyv a szakmunkásképző iskolát végzettek vagy felnőttoktatásban részt vevők számára. V F O L Y A M MATEMATIKA 5 Jelmagyarzat 16102_ Metematika9_ 0_ cimnegyed_ m1_ a2. V F O L Y A M MATEMATIKA 6 Bevezets A tanknyv clja a kzpszint rettsgire trtn felkszts. A matematikai szemllet fejlesz- tse a dencikhoz s fogalmakhoz kapcsold tananyagelemek kidolgozsval trtnik. Az érthető matematika tankönyvsorozatban – az alkotók szándéka szerint – a matematikai ismeretek megérthetők, és az első pillanatban bonyolultnak tűnő problémák is megoldhatók. A tankönyv elsősorban a középszintű érettségi tananyagát tartalmazza, de kiegészítő anyagként megtalálható benne mindaz, ami a 10. osztályos feladatgyűjtemény ( több mint 800 feladat) tartalmazza a feladatok megoldását is, ezért ideális az érettségire való felkészüléshez. A feladatgyűjtemény másik változatban is megvásárolható: a 9- 10. osztályos összevont kötet a két évfolyamnak csak a feladatait tartalmazza ( több mint 1600 feladat), amelyhez a megoldások CD- mellékleten találhatók.

11 érthető matematika megoldásai

TARTALOM Fontosabb jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tankönyv használatáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. O 8. 9. 10. 11. 12. O

Vegyes algebrai feladatok – ismétlés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egészkitevõjû hatványok, azonosságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az n-edik gyök és azonosságai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racionális kitevõjû hatvány, permanencia elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az exponenciális függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponenciális egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponenciális egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A logaritmus fogalma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A természetes alapú logaritmus és egyéb matematikatörténeti érdekességek (olvasmány) . . . A logaritmusfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A logaritmus azonosságai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmusos egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmusos egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlati alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Közelítõ értékek (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 11 14 17 20 24 27 30 33 35 39 43 48 51 55

13. 14. 15. 16. O 17. 18. 19. O

Skalárszorzás. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalárszorzással megoldható feladatok a koordináta-rendszerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A szinusz- és koszinusztétel alkalmazása 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A szinusz- és koszinusztétel alkalmazása 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addíciós tételek (olvasmány, emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrikus egyenletek 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrikus egyenletek 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrikus egyenlõtlenségek (emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skaláris szorzat geometriai alkalmazásai (olvasmány). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Válogatás érettségi elõkészítõ feladatsorokból . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 65 68 73 76 82 88 94 99 104

20. 21. 22. 23. 24–25. 26. 27. 28.

Az inverz függvény fogalma, elsõfokú függvény inverze (ismétlés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakrabban elõforduló függvények és inverzeik (ismétlés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrikus alapfüggvények jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Függvénytranszformációk általános vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Összetett trigonometrikus függvények ábrázolása és jellemzésük . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenletek grafikus megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenlõtlenségek grafikus megoldása (emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlati problémák vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 110 113 118 124 129 132 134

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29–30. Egyértelmû vektorfelbontási tétel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31–32. Felezõpont, súlypont, osztópont koordinátái (ismétlés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–34. Skaláris szorzat koordinátákkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O A beírt kör középpontjának koordinátái (olvasmány, nem érettségi tananyag) . . . . . . . . . . . 35. Az egyenes normálvektoros egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. Egyenes irányvektoros egyenlete, két ponton átmenõ egyenes egyenlete . . . . . . . . . . . . . . 37. Irányszög, iránytangens, iránytényezõs egyenlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. Metszéspont meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. A párhuzamosság és a merõlegesség koordináta-geometriai feltétele . . . . . . . . . . . . . . . . . O Geometriai transzformációk és koordináták (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. Pont és egyenes távolsága (két párhuzamos egyenes távolsága) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Adott középpontú és sugarú kör egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Egyenes és kör kölcsönös helyzete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. Adott pontban húzott és adott irányú érintõk meghatározása. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. Két kör kölcsönös helyzete, érintkezõ körök (emelt szint). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. Ponthalmazok a koordinátasíkon (egyenlet, egyenlõtlenség, mértani hely) . . . . . . . . . . . . . O Parabola és a másodfokú egyenlet (olvasmány, emelt szint). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Kúpszeletek (olvasmány, nem érettségi tananyag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. Alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139 139 142 146 150 151 154 156 159 161 165 167 169 173 175 177 179 181 187 191 196

48. 49. O 50. O 51. 52. 53. 54. O 55.

Ismétlés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomiális együtthatók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomiális-tétel, Pascal-háromszög (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlófeladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kombinatorika leggyakoribb leszámolási struktúrái (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A gráfmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A gráfmodell alkalmazása; gráfok egyenlõsége. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfok jellemzõi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vegyes feladatok (gráfok). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Néhány érdekes gráfelméleti probléma (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorikai és gráfelméleti alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203 208 216 220 226 229 236 244 250 256 260

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Független események (emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomiális eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statisztikai mintavétel (visszatevéssel vagy visszatevés nélkül) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Játékok elemzése (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statisztika körülöttünk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267 268 272 276 280 283

FONTOSABB JELÖLÉSEK Az A pont és az e egyenes távolsága: d(A; e) vagy Ae vagy Ae Az A és B pont távolsága: AB vagy AB vagy d(A; B) Az A és B pont összekötõ egyenese: e(A; B)

Halmazok különbsége: \; Üres halmaz: Q, <>

Az A halmaz komplementere: A

A B csúcspontú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a C pont található: ABCB

Az A halmaz elemszáma: A ;

Végtelen: 3; N = 3 Az x szám abszolút értéke: x ;

Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcsokkal rendelkezõ háromszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy TABC Az a, b és c oldalú háromszög fél kerülete: s = a+b+c 2

Az f1 és f2 egyenesek szöge: B (f1; f2) vagy (f1; f2) B

A C csúcspontú szög: CB

Az f függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: Df , Rf Az f függvény hozzárendelési szabálya: f: x 7 f] xg ; f: x 7 2x + 3 f] xg = y ; f] x g = 2x + 3 Az f függvény helyettesítési értéke az x0 helyen: f (x0) ; f (5), ha x0 = 5

A derékszög jele: *

Az f függvény inverze: f –1

Az e egyenes merõleges az f egyenesre: e = f

n faktoriális: n!; 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

Az e egyenes párhuzamos az f egyenessel: e || f Egybevágóság: ,; ABCO , Al Bl ClO

Az X sokaság átlaga: X

Hasonlóság: + ; ABCO + Al Bl ClO

Az összegzés jele: ∑;

/ xi = x1 + x2 + f + x8 i =1

A hasonlóság aránya: m

Permutációk: Pn; Pn = n!, P4 = 4! = 24

Az A pontból a B pontba mutató vektor: AB

Ismétléses permutációk: P nk, l, m , (k + l + m # n); P nk, l, m =

Az A pontba mutató helyvektor: a vagy A A v vektor: v vagy v vagy v A természetes számok halmaza: N;

n! ; P 2, 2 = 5! = 30 2! $ 2! k ! $ l! $ m ! 5

Variációk: V nk ; V nk = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ … ⋅ (n – k + 1);

Az egész számok halmaza: Z

V53 = 5 $ 4 $ 3 = 60 Ismétléses variációk: V nk, i ; V nk, i = nk; V53,i = 53 = 125

A pozitív, a negatív egész számok halmaza: Z+, Z– , A racionális, az irracionális számok halmaza: Q, Q* A pozitív, a negatív racionális számok halmaza: Q+, Q–

n Kombinációk: C nk vagy d n ; k C nk =

n $ ^n – 1h $ f $ ^n – k + 1h ; C52 = 5 $ 4 = 10 2$1 k!

A valós számok halmaza: R

n 5 Binomiális együttható: d n ; d n = 5 $ 4 = 10 2$1 k 2

A pozitív, a negatív valós számok halmaza: R+, R–

Állítások tagadása (negációja): J

Eleme, nem eleme a halmaznak: !, “; 5 ! N , -2 g Z+ Részhalmaz, valódi részhalmaz: 3, 1; A 3 R , N 1 Q +

Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y 1Q

Halmazok uniója, metszete: ,, +;

Állítások diszjunkciója, konjunkciója: ∨, ∧ Állítások implikációja, ekvivalenciája: ⇒, ⇔ vagy →, ↔ Univerzális kvantor (minden …) ∀ Egzisztenciális kvantor (létezik …) ∃

A TANKÖNYV HASZNÁLATÁRÓL A tankönyv elsõsorban a középszintû érettségi vizsga tananyagát tartalmazza, de megtalálható benne néhány olyan kiegészítés is, amely az emelt szintû érettségi vizsga követelményrendszeréhez tartozik. A tankönyv nem tartalmazza az emelt szintû érettségi vizsga követelményeit. A tankönyvben a matematikai szemlélet fejlesztése a definíciókhoz és a fogalmakhoz kapcsolódó tananyagelemek kidolgozásával történik. A matematika megértéséhez, sikeres tanulásához feltétlenül hozzátartozik a bizonyítási készség kialakítása és fejlesztése. Minden lecke végén összegyûjtöttük a fontosabb új fogalmakat. Kiegészítõ anyagként ajánljuk az olvasmányok és matematikatörténeti ismertetések, érdekességek elolvasását. A tankönyvben Emelt szint -tel (és apró betûvel), jól elkülönítve jelöltük azokat a kiegészítéseket, amelyek csak az emelt szintû érettségi vizsgán kérhetõk számon. Számos kidolgozott példa található a könyv minden leckéjében, amelyek fokozatosan vezetik be a tanulókat az elsajátítandó tananyagba. A tananyag gyakorlását, elmélyítését, az otthoni tanulást és az érettségi vizsgára való felkészülést a leckék végén kitûzött feladatok segítik. Ezeket a nehézségi szintjük szerint is csoportosítottuk: K1

= emelt szint, könnyebb;

= emelt szint, nehezebb feladat.

A leckék végén lévõ feladatok részletes megoldása megtalálható az interneten, a www.ntk.hu weboldalon. Az érdeklõdõk vagy gyakorolni vágyók számára a leckék végén még további feladatokat is ajánlunk, amelyeket a Nemzeti Tankönyvkiadó MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény családjából jelöltünk ki. Segíteni kívánjuk a diákok pályaorientációját, ezért néhány pályaképpel szeretnénk felhívni a figyelmet a matematikatanulás hasznosságára. A pályaképekben megjelenõ fiataloktól megtudhatjuk, hogy jelenlegi munkájuk során hogyan hasznosítják, amit korábban a középiskolában megtanultak.

A felkészüléshez ajánlott példatárak: Gerõcs László – Orosz Gyula – Paróczay József – Szászné Dr. Simon Judit: 16125/I (+CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I. 16125/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I., Megoldások 16126/I (+CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II. 12126/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II., Megoldások Czapáry Endre – Czapáry Endréné – Csete Lajos – Hegyi Györgyné – Iványiné Harró Ágota – Morvai Éva – Reiman István: 16127/I (+CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény III., Geometriai feladatok gyûjteménye 16127/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény III., Geometriai feladatok gyûjteménye, Megoldások

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

A középkor végének Európájában egyre fontosabbá vált a hajózás, csillagászat, kereskedelem,és az ipar fejlesztése. Ezt a felgyorsult fejlõdést elsõsorban mûszaki és matematikai vívmányoknak köszönhették. A pénzforgalomban érdekelt szakemberek számára a kamatos kamat gyors kiszámítása érdekében táblázatokat készítettek. A megfeleltetést a görög logosz, arány és arithmosz, szám összevonásából latinosan logaritmusnak nevezték el.

VEGYES ALGEBRA FELADATOK – ISMÉTLÉS

VEGYES ALGEBRA FELADATOK – ISMÉTLÉS A 9. és 10. osztályban elsajátított algebrai módszerek és eszközök már sokféle feladat megoldását teszik lehetõvé. Ismétlésképpen a hatványozás, gyökvonás és a nevezetes azonosságok témakörébõl válogattunk össze néhány feladatot. Ezek megoldásához néha valamilyen ötlet kell – de a megoldás leírása elegánsan, néhány sorban megadható. Az alábbi feladatsorban az A, B, …, F számértékeket kell meghatározni. Próbáljuk ügyes számolással, a számológép használata nélkül megoldani a feladatot!

1. példa (számválaszos verseny) A = 312 4212 + 212 4212 – 624 842 ⋅ 212 421; C = 444 444 4452 + 111 111 111 – 444 444 4442; E=

12 343 212 345 ; 12 343 212 3462 – 12 343 212 345 $ 12 343 212 347

B = 777 777 7782 – 222 222 2232; D = b1 + 1lb1 + 1l f b1 + 1 l ; 2 3 100 F=

10 – 4 6 – 10 + 4 6 .

Segítség: A: Az x2 + y2 – 2xy = (x – y)2 azonosságot alkalmazhatjuk. B: Segít az x2 – y2 = (x + y)(x – y) azonosság. C: Az x2 + y – z2 kifejezés tagjait érdemes x2 – z2 + y sorrendbe csoportosítani. D: Alakítsuk át a tényezõket közönséges törtté! x -1 E: Legyen például x = 12 343 212 346, ekkor a tört 2 alakú. x – ^ x – 1h^ x + 1h F: Észrevehetjük, hogy a két négyzetgyök alatt teljes négyzetek szerepelnek. Eredmények: A = (312 421 – 212 421)2 = 100 0002 = 1010. B = (777 777 778 + 222 222 223)(777 777 778 – 222 222 223) = 1 000 000 001 ⋅ 555 555 555 = = (1 000 000 000 + 1) ⋅ 555 555 555 = 555 555 555 000 000 000 + 555 555 555 = 555 555 555 555 555 555 (18 darab 5-ös). C = (444 444 445 + 444 444 444)(444 444 445 – 444 444 444) + 111 111 111 = 888 888 889 + + 111 111 111 = 1 000 000 000 = 109. D = 3 $ 4 $ 5 $ f $ 100 $ 101 = 101. (A 3, 4, …, 100 tényezõkkel egyszerûsíthetünk.) 2 3 4 99 100 2 E = x2 – ^ x – 1h^ x + 1h = x2 – ^ x2 – 1h = 1, így a tört x – 1 = 12 343 212 345 alakú. 1 1 F: 10 – 4 6 = ^ 6 – 2h és 10 + 4 6 = ^ 6 + 2h , így 2

^ 6 – 2h – ^ 6 + 2h = 2

6 + 2 = 6 – 2 – ^ 6 + 2h = -4 .

Másképpen is eljárhatunk:

F2 = 10 – 4 6 + 10 + 4 6 – 2 ^10 – 4 6 h^10 + 4 6 h = 20 – 2 100 – 16 $ 6 = 16 , s mivel F 0, és n ! N, n $ 2, akkor

2. AZ n-EDIK GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI 2. példa 1 8 =

64 64 – 3 nem értelmezett, mert – 3 1 0 .

III. Egy nemnegatív valós szám n-edik gyökének k-adik, egész kitevõjû hatványa egyenlõ a szám ugyanazon kitevõjû hatványának n-edik gyökével. Ha a $ 0, n ! N, n $ 2, és k ! Z, akkor ^n a h = n a k . k

3. példa ^3 4 h = 3 43 = 4 ; 3

^a 5 a h = a5 $ ^5 a h = a5 $ 5 a5 = a5 $ a = a6 . 5

IV. Az n-edik gyök k-adik gyökét felírhatjuk úgy is, hogy a gyök alatti kifejezés (n ⋅ k)-adik gyökét vesszük. Ha a $ 0, n ! N, n $ 2, és k ! N, k $ 2, akkor

4. példa Ha a, b pozitív valós számok: 3

a2 = 6 a2 ^= 3 a h ;

a6 $ b3 24 = b6 a

V. Hatvány alakú kifejezés gyökénél a hatványkitevõ és a gyökkitevõ egyszerûsíthetõ, bõvíthetõ. Ha a > 0, n ! N, n $ 2, k ! N, k $ 2, m ! Z, akkor

^ 2 – 3 h^ 2 + 3 h = ^ 64 – 27 h^ 16 + = 12 1024 + 12 46 656 – 12 432 – 12 19 683 . 4

Fogalmak gyökvonás; n-edik gyök.

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS FELADATOK 1. K1

Döntsük el melyik szám nagyobb! a)

Állítsuk nagyság szerint csökkenõ sorrendbe az alábbi számokat! 3

Számítsuk ki az alábbi gyökök értékét! a)

Végezzük el az alábbi mûveleteket! 3

Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével az alábbi mûveletek eredményét! a)

5 $ 5 125 $ 4 5 ; 2$ 3

Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I. 895–900, 902–911, 916–919.

3. RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV

3. RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV Az elõzõekben az egész kitevõjû hatványokat értelmeztük, a hatványozás és az n-edik gyök azonosságait ismételtük át. Nyilvánvalóan felmerül a kérdés, kiterjeszthetõ-e a hatványozás fogalma tetszõleges racionális kitevõkre. Ha ez lehetséges, akkor úgy járjunk el, hogy az eddig megismert azonosságok érvényben maradjanak. Ezt az igényt fejezi ki a permanencia elv. Vegyük figyelembe a következõ azonosságot:

^a khl = a kl , ahol k, l ! Z. Tehát ha racionális kitevõre szeretnénk értelmezni a hatványozást, akkor legyen igaz:

_ a n i = a m , ahol a ! 0, n ! 0, m, n ! Z . m n

Ha mindkét oldalból n-edik gyököt vonunk: m

a n = n am . Még vizsgáljuk meg, hogy ha ezt az összefüggést definíciónak fogadjuk el, akkor az értelmezési tartomány milyen alap esetén felel meg elvárásainknak. Három probléma merülhet fel. 1. probléma Ha az alap negatív szám, akkor ellentmondásba juthatnánk, például: 3

4 ^-3h = 4 ^-3h3 nem értelmezhetõ a valós számok halmazán, ezért a negatív alapot ki kell zárnunk.

2. probléma m k Ha m = k , akkor a n = a l teljesül-e? n l Az igazoláshoz alakítsuk át a feltételt. Ha m = k , akkor m $ l = k $ n. n l Induljunk ki az igazolandó egyenlõség bal ldalából. m

a n = n a m = nl a ml = nl a kn = l a k = a l . Az egyenlõség sorozat harmadik lépésénél használtuk ki a feltételt, és igazoltuk az állítást, azaz a törtkitevõ más alakban történõ felírásától nem függ a hatvány értéke. 3. probléma A permanencia elv vizsgálata: Bizonyítható, hogy a hatványozás azonosságai is érvényben maradnak. m

Példaként vizsgáljunk meg az a n $ a l = a n

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS m

Egyrészt: a n $ a l = a nl $ a ln = nl a ml $ nl a kn = nl a ml + kn . m

Másrészt: a n l = a nl = nl a ml + kn . Az egyenlõségek jobb oldalai megegyeznek, tehát a bal oldalak is egyenlõk. m

Ezzel beláttuk, hogy a a n $ a l = a n l régebben ismert azonosság érvényben maradt. Hasonlóan igazolható a többi azonosság megmaradása is.

Definíció Egy tetszõleges pozitív x szám m -edik hatványa az x szám m-edik hatványából vont n-edik gyök, n azaz m

x n = n x m , ahol x > 0, m ! Z, n ! N, n ≠ 0, n ≠ 1.

1. példa Számítsuk ki a következõ hatványok pontos értékét! 1

a) 8 3 = 3 8 = 2; 5

5 c) b 16 l 4 = 4 b 81l = 4 81 16

320 35 20 = b 2 l ; 2

d) 0,01-2,5 = b 1 l 2 = 1005 = 105 = 100 000 ; 100

e) 625 3 = ^5 4h3 = 5 3 = 3 516 = 55 $ 3 5 . 4

2. példa Hozzuk egyszerûbb alakra a kifejezéseket! a) a2 3 k $ 3 22 ; 1 -4

2 2 b) 4a $ a3 . ^ ah

Megoldás a) a2 3 k $ 3 22 = 2 3 $ 2 3 = 2 1 -4

a2 $ a 2 a 3 $ a 2 a 32 + 21 – 34 a 125 12 a5 , ha a > 0. = = = 3 = 3 4 ^ ah a4

3. RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV 3. példa Végezzük el a mûveleteket, a hatványok alapja pozitív valós szám! 2

3 a) a a 7 b 5 k ; 2

Megoldás 2 1 3 5

a) a a b k = a b 2 7

Fogalmak permanencia-elv; racionális kitevõjû hatványozás.

b) a a 3 + b 3 k = a 3 + 2^ abh3 + b 3 = 3 a2 + 2 $ 3 ab + 3 b2 . 1 2

Számítsuk ki az alábbi hatványok értékét! 1

d) 8 3 $ 5 28 $ 3 16 .

Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével az alábbi mûveletek eredményét! 1 -5

2 2 b) 45 $ 53 ; ^ 5h

a $ _a 2i $ 3 a4 ; 1 -5

b3 $ 4 b 2 $ b 3 . 5 ^6 b h

Végezzük el az alábbi hatványozásokat! 3

4 a) a2 5 $ 3 3 k ; 1

a) a3 3 k $ 3 32 ; 5. K2

Írjuk át az alábbi kifejezéseket egyetlen szám hatványaként! a)

Írjuk át az alábbi kifejezéseket gyökös alakba! a) 5 3 ;

21 3,2 4 10 ; b) 5 $ 26 10 5

c) a a 2 – b 2 k . 1

Írjuk a lehetõ legegyszerûbb alakba az alábbi kifejezéseket! –

b) a a 2 + b 2 k $ 1

Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I. 927–937.

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

4. AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY Az elõzõ leckében értelmeztük a pozitív alapú, racionális kitevõjû hatványt. Magasabb matematikai módszerekkel bizonyítható, hogy az értelmezés kiterjeszthetõ irracionális kitevõkre is. Ez a kiterjesztés a permanencia elvnek megfelelõen, megtartja az eddig megismert hatványozás azonosságokat, valamint teljesül a következõ tulajdonság: – ha a > 1 valós szám, p, r racionális számok, q irracionális szám és p aq > ar. Az exponenciális kifejezések vizsgálatát, egyenletek, egyenlõtlenségek megoldását segíti, ha megismerjük az exponenciális függvényeket és legfontosabb tulajdonságaikat. Azokat a függvényeket, amelyekben a változó a kitevõben szerepel, exponenciális függvényeknek nevezzük, azaz f : R → R+, f (x) = ax, ahol a > 0 függvény az a alapú exponenciális függvény. Vizsgáljuk meg az f : R → R+, f (x) = a x függvényt, ahol a > 0! Tekintsük elõször az f : R → R+, f (x ) = 2 x függvényt. (Legegyszerûbben úgy fogalmazhatnánk, hogy a vizsgált exponenciális függvény „állandó mértékben többszörözõdik”, például egy baktériumkultúra, amely „minden órában megduplázódik”.) Az egész-, illetve a racionális kitevõjû hatvány értelmezése, tulajdonságai alapján kijelenthetjük, hogy az exponenciális függvény szigorúan monoton növekvõ. A bevezetõ alapján is láttuk, hogy bizonyítható, hogy ha az értelmezési tartományt kiterjesztjük a valós számok halmazára, akkor a függvény monotonitása nem változik. A függvény grafikonja: y

A függvény legfontosabb tulajdonságai: 1. Df = R 2. Rf = R+ (minden pozitív értékeket felvesz). 3. Szigorúan monoton növekvõ. 4. Zérushelye nincs. 5. Az ordináta tengelyt a grafikon a (0; 1) pontban metszi.

Felmerül a kérdés: milyen lényeges tulajdonságok változnak meg, ha az alapot módosítjuk?

4. AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 1. eset Legyen az alap: a > 1. Tekintsük a következõ függvényeket: x x g : R → R+, g^ x h = b 3 l ; h : R → R+, h^ x h = ^ 2 h . f : R → R+, f^ x h = 3 x ; 2 y

Megállapíthatjuk, hogy az elõzõ tulajdonságok mindegyike érvényes ezekre a függvényekre is.

Legyen az alap: a = 1; f : R → R+, f^ x h = 1 x . Ebben az esetben a függvény konstans függvény, grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes. (Megjegyzés: Sok esetben az a = 1 alapot nem engedik meg.)

3. eset Legyen az alap 0 1

a 0 exponenciális függvénynek nevezzük. Ha az alap, a = 1, akkor a függvény konstans függvény. Ha az alap, 0 1, akkor a függvény szigorúan monoton növekvõ. Mindhárom függvény csak pozitív értékeket vesz fel és minden pozitív értéket felvesz, valamint az ordináta tengelyt a (0; 1) pontban metszi.

1. példa Ábrázoljuk és jellemezzük a függvényeket! a) f : R → R, f^ x h = 2 x – 5;

b) g: R → R+, g^ x h = 2 x – 5 ;

c) h: R → R+, h^ x h = 2 $ b 1l ; 3 x

Megoldás a) Az f : R → R, f^ x h = 2 x – 5 szigorúan monoton növekvõ, mert az alap 1-nél nagyobb. A függvény grafikonja eltolással kapható a k : R → R+, k^ x h = 2 x függvény grafikonjából, az eltolás vektora: v(0; –5).

b) Az g: R → R+, g^ x h = 2 x – 5 szigorúan monoton növekvõ, mert az alap 1-nél na-

gyobb. A függvény grafikonja eltolással kapható a k : R → R+, k^ x h = 2 x függvény grafikonjából, az eltolás vektora: v(5; 0).

4. AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY c) A h: R → R+, h^ x h = 2 $ b 1l szigorúan monoton csökkenõ, mert az alap 1-nél 3 x kisebb. A függvény grafikonja a k: R → R+, k^ x h = b 1l függvény grafikonjából 3 2-szeres nyújtással kapható. x

Fogalom exponenciális függvény.

Ábrázoljuk az f : x 7 10x függvényt!

Válasszuk ki az alábbi függvények közül azokat, amelyek monoton csökkenõek! x x x c : x 7 b 4l ; a: x 7 5x; b : x 7 b 3l ; d:x 7 2 ; e : x 7 4-x ; f : x 7 0,1-x . 5 5 2

Vázoljuk fel a megadott függvények grafikonjait. Határozzuk meg hol és mennyi az f függvény minimuma és maximuma! f : [–1; 3] → R, x 7 4x;

Az eddig tanult függvénytranszformációk felhasználásával ábrázoljuk az alábbi függvényeket! x f : x 7 3x- 2; g : x 7 3x+4; h : x 7 4 $ b 1l ; 2 k : x 7-3 x ;

Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! K1 a) x 7 3-x ; K1 c) x 7-3-x ; K2 e) x 7 3 x ; x -x K1 b) x 7 b 1l ; K1 d) x 7- b 1l ; K2 f) x 7 3- x ; 3 3

Keressük meg grafikus úton az egyenletek megoldásait! a) 2 x = – x + 6 ; b) 3 x – 1 = 5 – 2x ; c) 2 x = 2 x .

Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II. 723–730.

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

5. EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Oldjuk meg a következõ „alapegyenleteket” a valós számok halmazán!

1. példa b) 343 x = 1 ; c) 4x = 2 ; d) 52x – 3 = 1. 7 2 8 Ötlet: az „alapegyenletekben” szereplõ számokat, kifejezéseket írjuk fel azonos alapú hatványokkal. a) 3 x = 243;

Megoldás a) 3 x = 243;

22 – 3x = 2 2 ; 3 x = 35 ; 73x = 7-1; 52x – 3 = 50 . Értelmezzük az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket, mint egy-egy exponenciális függvényt. Mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton (kölcsönösen egyértelmû), így a megoldások a kitevõk egyenlõségébõl következnek: a) x = 5; b) 3x = –1; c) 2 – 3x = – 1 ; d) 2x – 3 = 0 ; 2 5 3x ; x = – 1; x = 3. 3 2= 2 5 x; 6= Megoldásainkat ellenõrizzük! Például:

Összetettebb egyenletek esetén elõször törekedjünk arra, hogy ekvivalens átalakításokkal az 1. példában látott „alapegyenlethez” jussunk.

2. példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! 2

13 x + 3x – 18 = 1.

13 x + 3x – 18 = 130 , mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton, így x2 + 3x – 18 = 0; ^ x + 6h^ x – 3h = 0; x1 = -6, x2 = 3. Ellenõrzéssel megállapíthatjuk, hogy a kapott gyökök kielégítik az egyenletet.

5. EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Ha az egyenletben azonos alapú hatványok összege szerepel:

3. példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! 32x + 32x + 2 = 270 .

Megoldás Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát: 32x + 32 $ 32x = 270; 10 $ 32x = 270; 32x = 27; 32x = 33 . Mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton, így a kitevõkre: 2x = 3; x = 3. 2 Végezzünk ellenõrzést! 3

Tudod-e, hogyan kell kiolvasni ezt a számot: 123 132 213 231 312 321 124? Segítségül használhatod a táblázatot. 106 – millió 109 – milliárd (106)2 – billió 1015 – billiárd (106)3 – trillió (106)4 – quadrillió

Ha az egyenletben különbözõ alapú hatványok szerepelnek:

4. példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! 25 x – 3 $ 5 x – 10 = 0 .

Megoldás Azonos alapú hatványokká alakítva: 52x – 3 $ 5 x – 10 = 0 , most 5x-re nézve másodfokú egyenlethez jutottunk:

^5 xh2 – 3 $ 5 x – 10 = 0 ;

^5 xh1, 2 = 3 ! 9 + 40 = 3 ! 7 . 2 2 Tehát 5x = 5 ⇒ x = 1, vagy 5x = –2. Ennek az egyenletnek nincs megoldása, mivel 5x csak pozitív értékeket vesz fel. Ellenõrzéssel megállapíthatjuk, hogy a kapott gyök kielégíti az egyenletet.

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS 5. példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! 2 x + 3 x – 2 = 3 x – 2 x + 1.

Megoldás Ekvivalens átalakításokkal: 2 x + 3 x – 2 = 3 x – 2 x + 1; 2 x + 2 $ 2 x = 3 x – 1 $ 3 x; 9 8 x x 3$2 = $3 ; 9 2 x 23 ; = 3 x 33 x 2 23 b 3l = b 3l . Mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton, így x = 3. Ellenõrzés: 23 + 33 – 2 = 8 + 3 = 11; 33 – 23 + 1 = 27 – 16 = 11.

6. példa Mutassuk meg, hogy az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán! 2x 1x b 2l + ^ 3 h = 0.

Megoldás Fogalom exponenciális egyenlet.

x Az exponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel, így b 1l 2 0 , és 2

^ 3 h 2 0 , ezért összegük nem lehet 0. 2x

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! x K1 a) 5 x = 125; K1 e) 3 = 3-2 ; K1 i) 81 3 K1 b) 3 x – 2 = 243; x

K1 f) 25x – 8 = 2; 20

K1 c) 11 = 11 $ 11 ;

K1 d) ^2 xh12 = 415 ;

K2 j) 3 $ 3 K2 k) 4

K2 l) ^52x + 1h2 $ 25 x – 2 = b 1l 5

Van-e az alábbi egyenleteknek megoldása az egész számok halmazán? K1 a) 2 x + 2 x + 1 = 3 $ 215 ;

K2 c) 62x $ 9 x – 1 = 4 x $ 27 x + 30 ;

K1 b) 3 x – 3 x – 2 = 648 ;

E1 e) 9 x $ 27 x $ 3-4 = 93 + x $ 243.

6. EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK 3. K2

Új ismeretlen bevezetésével oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) 2 x + 2 x + 1 = 192; b) 5 x + 1 – 4 $ 5 x + 5 x – 1 = 150 ; c) 32x – 1 + 9 x + 1 = 9

Hány megoldása van az alábbi egyenleteknek az egész számok halmazán? 2

a) 32x $ 3 x = 92x + 1;

c) 4 x = 9 $ 2 x – 8 ;

b) 4 x = 3 $ 2 x + 1 – 5;

e) 2 x + 1 = 10 – 23 – x ; f) 7 x + 1 – 71 – x = 48 .

Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I. 1603–1609, 1612–1613, 1616.

6. EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK Az egyenletrendszerek megoldásakor alkalmazzuk a már jól ismert módszerek valamelyikét, célszerû elõször ekvivalens átalakításokkal egyszerûbb alakú egyenleteket keresni. Az új ismeretlen bevezetése gyakran egyszerûsítheti a feladatmegoldást. Megjegyzés A témakör nincs a szigorúan vett érettségi tananyagban, ugyanakkor nagyon egyszerû függvényeket használ, amelyek a függvények témakörben is szereplõ kérdéseket vezetnek be. Az egyenletrendszerek részben ötletet mutatunk az új változó bevezetésére.

1. példa Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán! (1) 3 x + 2 y + 1 = 11; (2) 5 $ 3 x – 3 $ 2 y = 3.

Megoldás Vezessünk be új ismeretleneket, legyen 3 x = a , 2 y = b , ahol a, b pozitív számok. Ekkor: (1) a + 2b = 11 ⇒ a = 11 – 2b (2) 5a – 3b = 3 Behelyettesítve: 5^11 – 2bh – 3b = 3 55 – 13b = 3 52 = 13b 4 = b ⇒ a = 3.

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Visszatérve az eredeti ismeretlenekre: 3 x = 3 ⇒ x = 1, 2 y = 4 = 22 ⇒ y = 2, mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton. Az egyenletrendszer megoldása: ^ x; yh = ^1; 2h . Ellenõrzés: (1) 31 + 22 + 1 = 3 + 8 = 11; (2) 5 $ 31 – 3 $ 22 = 15 – 12 = 3.

2. példa Oldjuk meg az egyenlõtlenségeket a valós számok halmazán! x x 5x – 1 a) 3 x $ 81; b) b 2 l # 1; c) 53x – 4 $ 1 ; d) b 5 l # b 2l . 5 3 25 2

Megoldás a) 3 x $ 81; 3 x $ 34 .

Mivel a hatvány alapja 1-nél nagyobb, az f^ x h = 3 x függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz fel 34-nél nem kisebb értéket, ha x $ 4. (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt.) 2 x b) b 3 l # 1; 2 x 20 b 3l # b 3l . Mivel a hatvány alapja 1-nél kisebb, az f^ x h = b 2 l függvény szigorúan monoton csökken, így akkor 3 0 vesz fel b 2 l -nál nem nagyobb értéket, ha 3 x $ 0. (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változott.) x

c) 53x – 4 $ 1 ; 25 3x – 4 5 $ 5-2 .

Mivel a hatvány alapja 1-nél nagyobb, az f^ x h = 53x – 4 függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz fel 5-2 -nél nem kisebb értéket, ha 3 x – 4 $ – 2; 3x $ 2; x $ 2. 3 (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt!)

6. EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK x 5x – 1 d) b 5 l # b 2l ; 5 2 5 5x – 1 # 5 -x; b 2l b 2l 5x – 1 5 b 2l # 1; 5 -x b 2l 5 6x – 1 # 5 0 . b 2l b 2l

Mivel a hatvány alapja 1-nél nagyobb, az f^ x h = b 5 l függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz 2 0 fel b 5 l = 1-nél nem nagyobb értéket, ha 2 6 x – 1 # 0; x # 1. 6 (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt!) 6x – 1

Mint a példákban láttuk, az egyenlõtlenségek megoldása során figyelnünk kell a reláció jel állására. Célszerû úgy átalakítani az egyenlõtlenséget, hogy annak egyik oldalán konstans, másik oldalán olyan exponenciális kifejezés legyen, melynek kitevõjében az ismeretlen együtthatója pozitív. A reláció jel állása így az exponenciális függvény monotonitása miatt biztonságosabban megállapítható.

Fogalmak exponenciális egyenletrendszer; exponenciális egyenlõtlenség.

Ismételjük át, mikor mondjuk azt egy függvényrõl, hogy a) szigorúan monoton növekedõ; b) szigorúan monoton csökkenõ! Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f : x 7 2 x és a g : x 7 b 1l függvényeket! 2 a) Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából! b) Általánosan milyen esetekben – szigorúan monoton növekedõ; – szigorúan monoton csökkenõ egy exponenciális függvény? x

Oldjuk meg az alábbi egyenlõtlenségeket! K1 a) 2 x 1 8 ;

K1 c) 0,1 x 1 0,001;

Ábrázoljuk számegyenesen az alábbi egyenlõtlenségek megoldásait! x x x+2 a) b 1 l $ 1 ; b) b 2 l 1 3 ; c) b 5 l # 0,8 ; 4 3 2 4 16

E1 d) 3 $ 5 # 15. 25

d) 0,011 – x $ 1000 .

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS 5.

Oldjuk meg az egyenlõtlenségeket a valós számok halmazán! K2 a) 4 x + 3 1 21 – 2x ;

K2 b) b 1l x + 2 $ 1; 2

K2 c) 0,01 x – 1 1 102x – 3 ;

E1 d) 2 x + 5x – 9 # 1 . 8 2

Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I. 1619–1622, 1626–1628.

7. A LOGARITMUS FOGALMA 1. példa Vizsgáljuk 600 000 Ft lekötését, évi 4,5%-os kamat esetén. Mennyi idõre kell lekötni pénzünket ahhoz, hogy 1 millió Ft követelésünk legyen a bankkal szemben?

Megoldás 1 év múlva 600 000 ⋅ 1,045 = 627 000 Ft-ot, 2 év múlva 627 000 ⋅ 1,045 = 600 000 ⋅ 1,0452 = = 655 215 Ft-ot, . . . n év múlva 600 000 ⋅ 1,045n Ft-ot követelhetnénk. Tehát a következõ egyenlet megoldását keressük: 600 000 ⋅ 1,045n = 1 000 000, ahol n a keresett évek számát jelöli. Rendezve 1,045 n = 1000 000 = 1,6o . 600 000 Nyilvánvaló a kérdés: létezik-e olyan valós szám, amelyre 1,045 n = 1,6o ? Mivel n pozitív egész szám (évek száma), ezért próbálgatással, számológéppel számolva: 1,04511 ≈ 1,62, 1,04512 ≈ 1,696. Tehát minimum 12 évre kellene lekötnünk a 600 000 Ft-ot, 12 év elteltével követelésünk: ≈ 1 017 529 Ft. Az egyenletnek ennél pontosabb megoldásra most a feladat szövege miatt nyilván nincs szükségünk. Általánosan nézve a problémát az ax = b ^ x ! Rh alakú egyenletnek keressük a megoldását, ahol a hatvány alapja (a) pozitív, a hatvány értéke (b) szintén pozitív. Úgy is fogalmazhatunk: olyan (x) kitevõt keresünk, amelyre a pozitív alapot (a-t) emelve a hatvány értéke a pozitív (b) szám. A keresett kitevõt a továbbiakban logaritmusnak fogjuk nevezni.

7. A LOGARITMUS FOGALMA Definíció A b pozitív szám a alapú (a > 0, és a ≠ 1) logaritmusának nevezzük azt a kitevõt, amelyre a-t emelve b-t kapunk. A kitevõ jelölése: log a b. Tehát a definíció szerint: alog b = b . Ha a logaritmus alapja 10, akkor rövidebb jelölést használunk: log 10 b helyett lg b-t . a

Megjegyzés A matematikában fontos egy speciális alapú logaritmus használata, ez az „e” alapú logaritmus, melynek jelölése log e x helyett az ln x. Errõl többet a következõ olvasmányban olvashatunk.

2. példa Definíció egyszerû használata: a) log2 16 = 4 , mert 2 4 = 16 . b) lg 1000 = 3, c) log3 1 = -2, 9 d) log 1 1 = 3, 5 125 e) log 1 8 = -3, 2

mert 103 = 1000 . mert 3-2 = 1 . 9 3 mert b 1l = 1 . 5 125 -3 mert b 1l = 23 = 8 . 2

g) log3 5 27 = 3 , 5

mert 3 5 = 5 33 = 5 27 .

3. példa Hozzuk egyszerûbb alakra a kifejezést! a 4 + log

Radioaktív kormeghatározáskor az exponenciális bomlási törvényt használjuk

Megoldás A hatványozás, négyzetgyök és a logaritmus tulajdonságai, definíciója alapján a 4 + log

4. példa Számítsuk ki a kifejezés pontos értékét: 32 + log

Megoldás 32 + log

+ 10- lg 4 = 32 $ 3log

+ ^10lg 4h = 9 $ a9 2 k -1

h + 1 = 9 $ 25 + 1 = 9 $ 5 + 1 = 45,25. 4 4 4

Fogalmak b pozitív szám a alapú logaritmusa; 10-es alapú logaritmus.

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS FELADATOK 1. K1

Írjuk át a logaritmus fogalmának felhasználásával az alábbi hatványokat logaritmusos alakba! a) 35 = 243,

Írjuk át hatványalakba az alábbi egyenlõségeket! a) log2 16 = 4 , log9 81 = 2, log9 3 = 1 , 2 b) log 1 4 = -2, log 3 1 = -6 , log 49 1 = – 1 , 7 27 2 2

1 -5 5 b 10 l = 10 .

Számítsuk ki az alábbi logaritmus értékeket! a) log2 8 ,

Számítsuk ki az alábbi logaritmusos kifejezések értékét! a) 2log 6 ; b) 4log 5 ; c) 16log 3 ; d) 2log 9 ; 2

Számítsuk ki az alábbi kifejezések értékét! K1 a) 102 lg 3 + 1; 1 log 49 1 5

Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I. 942–948.

A TERMÉSZETES ALAPÚ LOGARITMUS ÉS EGYÉB … (OLVASMÁNY)

A TERMÉSZETES ALAPÚ LOGARITMUS ÉS EGYÉB MATEMATIKATÖRTÉNETI ÉRDEKESSÉGEK (OLVASMÁNY) A középkor végének Európájában egyre fontosabbá vált a hajózás, csillagászat, kereskedelem, és az ipar fejlesztése. Ezt a felgyorsult fejlõdést elsõsorban mûszaki és matematikai vívmányoknak köszönhették. A pénzforgalomban érdekelt szakemberek számára a kamatos kamat gyors kiszámítása érdekében táblázatokat készítettek. Az elsõ táblázatot Joost Bürgi svájci mûszerkészítõ készítette. A táblázat megjelenése elõtt John Napier skót matematikus egy speciális mozgás leírását vizsgálta. A vizsgált mozgás lényege, hogy valaki egy d hoszszúságú úton úgy mozog, hogy sebességének mérõszáma minden pillanatban a hátralevõ út hosszával egyezzen meg. Az idõt rövid, m hosszúságú szeletekre vágta, és a sebességet minden szeletben állandónak vette. Az eredményekbõl út-idõ táblázatot készített. A megfeleltetést a görög logosz, arány és arithmosz, szám összevonásából latinosan logaritmusnak nevezte el. Napier munkáját az Oxfordi Egyetem professzora, Henry Briggs (1561–1630) fejlesztette tovább, ez jelentette a logaritmus alapjának megfogalmazását, egyben a tízes alapú logaritmus megszületését is. A gyakorlati életben a különbözõ fizikai mennyiségek által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel logaritmusával arányos. Erre épülnek bizonyos logaritmussal arányos skálák elkészítései, ezek közül talán a legismertebbek a decibel-skálák (hangtanban és akusztikában használatos), illetve a Richter-skála (földrengés erôsség mérésénél használják) (Charles Francis Richter amerikai szeizmológus (1900–1985)). Amikor az exponenciális függvényt, logaritmus fogalmát tanuljuk, talán a 2-es alap használata a „legtermészetesebb”, mivel a kis pozitív számok között sok olyan van, aminek 2-es alapú logaritmusa egész. (Pl. 2, 1 , 4, 1 , 8, 1 , …) 4 2 8 A tízes alap elõnye, hogy ehhez az alapszámhoz készültek táblázatok, illetve a mai számológépek is ezt használják.

Elég meglepõ ezért, hogy a logaritmus használatában mégsem ezen számok valamelyikét nevezik a természetes alapú logaritmus alapszámának. n Ezt az alapszámot a legtöbb tankönyv az an = b1 + 1l sorozat határértékeként definiálja. Ez leegyn szerûsítve azt jelenti, hogy ha n helyére egyre nagyobb számokat írunk, akkor a sorozat tagjai egyre jobban közelítenek egyetlen valós számhoz. Eulerhez hasonlóan, néhány tankönyv ezt a számot egy végtelen tagú összegként definiálja: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + f + 1 + f. 1! 2! 3! 4! n! Az így elõállított szám: e ≈ 2,718281…. 2000-ben számítógép segítségével e-nek már 109 nagyságrendû tizedes jegyét állapítottak meg. A loge x jelölés helyett bevezették a ln x jelölést, az ln a logarithmus naturalis kifejezés rövidítése.

Joost Bürgi (1556–1632)

John Napier (1550–1617)

Miért éppen az e szimbólumot választották? Erre nincs pontos adatunk. Egyesek szerint az exponenciális szó kezdõbetûjébõl, mások az addig gyakran használt a, b, c, d betûk sorozatában egyszerûen a következõ betût látják benne. Ismert az a vélekedés is, miszerint Euler önmagáról nevezte a számot e-nek. (Leonhard Euler svájci matematikus (1707–1783).) Az e számról már Euler bizonyította, hogy irracionális szám, Liouville belátta, hogy egyetlen egész együtthatós másodfokú polinomnak sem gyöke, Hermite azt is igazolta 1873-ban, hogy transzcendens szám. (Joseph Liouville (1809– 1882) és Charles Hermite (1822–1901) francia matematikusok voltak.)

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Miért éppen ezt a számot választották a „természetes alapú logaritmus” alapszámának, hiszen ezzel a számmal igen körülményes számolni? Erre már tudunk kézenfekvõ magyarázatot adni. A gyakorlati életben megfigyelt összefüggések adnak erre magyarázatot.

1. példa Egy radioaktív izotóp bomlásánál az izotópok számát az idõben csökkenõ exponenciális függvény írja le: N^ t h = N^0h e- mt ,

ahol N(t) az izotópok száma a t idõpillanatban, N(0) pedig az N értéke t = 0 pillanatban, m pedig egy magtól függõ állandó, amit bomlási állandónak nevezünk. Mivel a felezési idõ azt az idõtartamot adja meg, amely alatt a kezdeti érték felére csökken N, ez a következõképp számolható: 0,5N^0h = N^0h e- mT , 1/2

ahol T1/2 a felezési idõt jelöli, ezt szeretnénk kifejezni az egyenletbõl. A felezési idõ független a kezdeti értéktõl, az N(0) kiesik az egyenletbõl, és a felezési idõt a következõképp kapjuk: 0,5 = e- mT , – ln 0,5 = mT1/2 . 1/2

Mivel –ln 0,5 = ln 2, írhatjuk, hogy ln 2 = mT1/2 . Innen T1/2 = ln 2 az izotóp felezési ideje. m

2. példa Mutathatunk példát a bankszektorból. Elõfordulhat az, hogy egy bank a lekötött betétek után nem éves, féléves, havi lekötést, hanem úgynevezett folyamatos tõkésítést alkalmaz. Ez esetben a tõkésítések száma végtelen. A képlet az alábbiak szerint alakul: An = A0 $ e n $ p , ahol: An : az n. év végén (idõszak végén) esedékes pénzösszeg, A0 : a jelenlegi pénzösszeg, p: a kamatláb, n: az évek száma (idõszakok száma), e: a természetes logaritmus alapja (e ≈ 2,718). Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a betett pénzösszeg mennyi idõ alatt növekedik egy adott értékre, akkor A n = 1 $ ln n képlet segítségével határozhatjuk meg. p A0

8. A LOGARITMUSFÜGGVÉNY Végül még egy példa a logaritmus használatára:

3. példa (10-es alapú logaritmus használatára) A hangintenzitás Ha a hang merõlegesen esik egy A nagyságú felületre, az erre a felületre a hang által szállított teljesítmény legyen: P. Ekkor hangintenzitásnak nevezzük az I = P mennyiséget. A -12 W 1 kHz esetén az emberi fül már I0 = 10 intenzitást is érzékel. Ezt nevezzük az emm2 beri fül küszöbintenzitásának. A hangnyomásszint Az ember hangérzete nem a hangintenzitással (I) arányos. A pontos összefüggés bonyolult. Közelítése a hangérzet, amely lg I-vel arányos. Hangnyomásszint: n = 10 $ lg I . I0

Fogalmak természetes alapú logaritmus alapszáma; e alapú logaritmus.

Történeti elnevezés: decibel-skála. Az emberi hallás szélsõértékei 0 dB, illetve 130 dB. (Forrás: Kós Rita-Kós Géza: Miért természetes az „e”? KÖMAL; Sain Márton: Nincs királyi út; Wikipédia)

8. A LOGARITMUSFÜGGVÉNY A logaritmus definíciója alapján értelmezhetjük a logaritmusfüggvényt: Azt a függvényt, amely minden pozitív valós számon értelmezve van, és minden számhoz annak az a alapú (a > 0, a ≠ 1) logaritmusát rendeli hozzá, az a alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük. f : R+ → R, f^ x h = log a x , ahol a > 0, és a ≠ 1.

1. példa Ábrázoljuk, jellemezzük az f : R+ → R, f^ x h = log2 x függvényt. y