KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény 10 14 Éveseknek Megoldások

Hány év múlva lesz az apa háromszor annyi idős, mint a fia? Fizikás 1380 Két falu között 18 km a távolság. Déli 12 órakor indul mindkét faluból a másik felé egy- egy gyalogos. Mikor lesznek egymástól 2 km távolságra az egyik 4, 5 km/h, a másik 3, 5km/h sebességgel halad? Hány megoldás van? 1383 Két falu 12km-re van egymástól. Délután 2 órakor indul az A faluból egy gyalogos 4km/h sebességgel B-be és ugyan akkor indul B-ből A felé egy sétáló ember 2km/h sebességgel. Mikor találkoznak? Találkozásukig ki mennyi utat tesz meg? 1387 Egy 27 km-es túra útvonal egyik végéről 8 órakor indult el András, a másikról 10 órakor Béla. Mikor találkoznak, ha András 3 km-et tesz meg egy óra alatt, Béla pedig 4km-et? 1388 Gergő és Bea egyszerre indulnak el otthonról a szomszéd faluba. Bea kerékpárral, Gergő motorral indult útnak. Bea egyenletesen megy 12km/h sebességgel, Gergő pedig ugyancsak egyenletesen motorozik 48km/h sebességgel. Bea 2, 5 órával később ér a szomszéd faluba. Milyen messze van egymástól a két falú?

Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek használt tankönyv eladó

MATEMATIKA Összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek (MS-2204)

Palánkainé Jakab Ágnes: Matematika megoldások I. (töredék) (Mozaik Oktatási Stúdió, 1996) – Összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek megoldások I. kötet Kiadó: Mozaik Oktatási Stúdió Kiadás helye: Szeged Kiadás éve: 1996 Kötés típusa: Ragasztott papírkötés Oldalszám: 332 oldal Sorozatcím: Kötetszám: Nyelv: Magyar Méret: 24 cm x 17 cm ISBN: 963-697-101-3 Megjegyzés: Töredék kötet. Fekete-fehér ábrákkal. Értesítőt kérek a kiadóról A beállítást mentettük, naponta értesítjük a beérkező friss kiadványokról Tartalom Műveletek természetes számokkal 5 Számok írása, olvasása a tízes számrendszerben 5 Természetes számok összeadása, kivonása 8 Természetes számok szorzása 14 Természetes számok osztása 21 Műveletek egész számokkal 28 Egész számok értelmezése 28 Egész számok összeadása, kivonása 38 Egész számok szorzása, osztása 47 Műveletek törtszámokkal 68 Törtek összehasonlítása.

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

4 SZERZÕK: Kosztolányi József középiskolai tanár Mike János középiskolai tanár Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bõvített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része semmiféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható. ISBN Copyright MOZAIK Oktatási Stúdió Szeged, 1996

5 GEOMETRIA Ponthalmazok a) b) c) d) e) 5

6 GEOMETRIA a) A P ponttól 3 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) A P ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) A P ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek a P ponttól mért távolsága nem 3 cm. e) A P ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. f) A P ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban a) A P ponttól 2 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) A P ponttól 2 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) A P ponttól 2 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) A P ponttól 2 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. e) A P ponttól 2 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban a) b) c) d) a) b) 6

7 PONTHALMAZOK c) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont. d) e) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont. f) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont a) b) c) A sík minden pontja megfelel a feltételnek. d) a) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nem kisebb és 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nem kisebb és 4 cm-nél kisebb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nagyobb és 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak a) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél nem nagyobb vagy 6 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél kisebb vagy 6 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél kisebb vagy 6 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél nem nagyobb vagy 6 cm-nél nagyobb távolságra vannak. 7

8 GEOMETRIA a) b) c) d) e) a) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél kisebb távolságra vannak A feladat szövegezése a korábbi kiadásokban sajnos technikai okokból hiányos, ebbõl adódóan értelmetlen. Helyesen a feladat szövege: Szerkesszük meg azon pontok halmazát, melyek egy adott e egyenestõl a) 1 cm-nél nagyobb és 2 cm-nél kisebb; 8

9 PONTHALMAZOK b) 1 cm-nél nem kisebb és 2 cm-nél kisebb; c) 1 cm-nél nagyobb és 2 cm-nél nem nagyobb; d) 1 cm-nél nem kisebb és 2 cm-nél nem nagyobb; e) 1 cm-nél nem nagyobb és 2 cm-nél nem kisebb távolságra vannak! a) b) c) d) e) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont a) b) c) d) 9

10 GEOMETRIA e) f) g) a) Az A ponttól 2 cm-nél kisebb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 2 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 2 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. e) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. f) Az A ponttól 2 cm-nél nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. g) Az A ponttól 2 cm-nél nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. h) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban a) b) 10

11 PONTHALMAZOK c) d) e) f) a) Az A ponttól 3 cm vagy a B ponttól 4 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 3 cm-nél kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 3 cm-nél nem nagyobb vagy a B ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 3 cm-nél nem kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. e) Az A ponttól 3 cm-nél nem nagyobb vagy a B ponttól 4 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. f) Az A ponttól 3 cm-nél nem kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban a) Az A ponttól 4 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 5 cm-nél nem nagyobb és a C ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 4 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 5 cm-nél nem nagyobb és a C ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 4 cm-nél kisebb és a B ponttól 5 cm-nél nem kisebb és a C ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 4 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 5 cm-nél nem kisebb és a C ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban a) b) c) d) e) a) b) 11

12 GEOMETRIA c) d) e) a) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm távolságra vannak. b) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra vannak. c) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. d) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nagyobb távolságra vannak. e) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nem kisebb távolságra vannak a) b) c) d) 12

13 PONTHALMAZOK e) f) a) b) c) d) a) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól 4 cm és az e egyenestõl 2 cm távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm és az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm és az e egyenestõl 2 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól 4 cmnél nagyobb és az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak. e) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legalább 4 cm és az e egyenestõl legalább 2 cm távolságra vannak. f) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm vagy az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak A vastagon húzott CD és EF szakaszok bármely pontjába tûzhetjük Bobi cölöpjét. 13

14 GEOMETRIA a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) 14

15 PONTHALMAZOK a) b) c) d) e) Az e egyenes és a kör O középpontjának távolságát tekintve 7 esetet különböztetünk meg. 1. Ha e és O távolsága kisebb 1 cm-nél, akkor 4 megfelelõ pont van. 15

16 GEOMETRIA 2. Ha e és O távolsága 1 cm, akkor 5 megfelelõ pont van. 3. Ha e és O távolsága 1 cm-nél nagyobb, de 3 cm-nél kisebb, akkor 6 megfelelõ pont van. 4. Ha e és O távolsága 3 cm, akkor 2 megfelelõ pont van. 5. Ha e és O távolsága 3 cm-nél nagyobb, de 7 cm-nél kisebb, akkor is 2 megfelelõ pont van. 16

17 PONTHALMAZOK 6. Ha e és O távolsága 7 cm, akkor 1 megfelelõ pont van. 7. Ha e és O távolsága nagyobb 7 cm-nél, akkor nincs megfelelõ pont a) b) c) d) e) a) b) 17

18 GEOMETRIA c) d) e) a) b) 18

19 PONTHALMAZOK c) d) e) a) b) 19

20 GEOMETRIA a) b) 20

21 PONTHALMAZOK c) a) b) A keresett ponthalmaz egy, az eredeti egyenesekkel párhuzamos egyenes, amely felezi az eredeti egyenesek közötti távolságot. A keresett ponthalmaz két egymásra merõleges egyenes, amelyek a két adott egyenes által meghatározott szögek felezõ egyenesei Az elõzõ feladat alapján két olyan pont van az egyenesek síkjában, amelyek kielégítik a feltételt. Ezek a pontok a középpontjai a mindhárom egyenest érintõ két körnek A kívánt tulajdonsággal csak az egyenesek M metszéspontja rendelkezik. 21

22 GEOMETRIA olyan pont van (O; O 1 ; O 2 ; O 3 ), amelyek mindhárom egyenestõl egyenlõ távolságra vannak. Ezek a pontok a középpontjai annak a 4 körnek, amelyek mindhárom adott egyenest érintik A keresett kör középpontja A-tól és B- tõl egyenlõ távolságra van, ezért illeszkedik az AB szakasz felezõmerõlegesére. Másrészt ez a kör A-ban érinti az e egyenest, ezért középpontjának rajta kell lennie az e egyenesre A-ban emelt merõlegesen is. Így a szerkesztés menete: 1. AB felezõmerõlegesének szerkesztése. 2. A-ban e-re merõleges szerkesztése. 3. A két egyenes metszéspontja, O a kör középpontja, OA = OB a kör sugara A szerkesztendõ kör középpontja illeszkedik a szögfelezõre, és a szögszáraktól 2 cm távolságra levõ, a szögszárakkal párhuzamos egyenesekre. A szerkesztés menete: 1. Az adott szög szögfelezõjének szerkesztése. 2. Az egyik szögszártól 2 cm-re a szögszárral párhuzamos szerkesztése. 3. A kapott O metszéspont körül 2 cm sugarú kör rajzolása. 22

23 PONTHALMAZOK A feladatnak két megoldása van, mindkét kör sugara 2 cm, középpontjaikat pedig a P középpontú 2 cm sugarú kör metszi ki a két egyenes sávfelezõ egyenesébõl A szerkesztendõ kör(ök) középpontja illeszkedik a P körüli 3 cm sugarú körre és az e egyenessel párhuzamos, tõle 3 cm távolságban a P-t tartalmazó félsíkben fekvõ egyenesre. Ha a P pont és az e egyenes távolsága kisebb, mint 6 cm, akkor két megoldása van a feladatnak, ha a távolság 6 cm, akkor 1 megoldása van, ha pedig 6 cm-nél nagyobb, akkor nincs megoldása a) b) c) Az AB szakasz felezõ- AB felezõmerõlegese AB felezõmerõlegese merõlegese. által meghatározott, B-t által meghatározott, tartalmazó nyílt félsík. A-t tartalmazó nyílt félsík A keresett pontot az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki e-bõl. Nem kapunk megoldást, ha az AB egyenes merõleges az e egyenesre A keresett pont a feladat módszerével kapható meg. Ha az AB egyenes merõleges e-re és e nem felezõmerõlegese az AB szakasznak, akkor nincs megoldás, ha e felezõmerõlegese AB-nek, akkor e minden pontja megoldás A keresett háromszögek alapokkal szemközti csúcsát az AB és CD szakaszok felezõmerõlegeseinek metszéspontja szolgáltatja. Nincs megoldás, ha az AB és a CD egyenesek párhuzamosak (egybe is eshetnek) és felezõmerõlegeseik nem esnek egybe. Ha a két szakasz felezõmerõlegese egybeesik, akkor a közös felezõmerõleges minden pontja megfelelõ, kivéve a szakaszok felezõpontjait. Más esetben egyértelmû megoldása van a feladatnak. 23

24 GEOMETRIA A keresett pontokat az adott átmérõre merõleges átmérõ metszi ki a körbõl A keresett pontokat a húr felezõmerõlegese metszi ki a körbõl A keresett pontokat az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki a körbõl. Ha az AB egyenes illeszkedik a kör középpontjára, akkor két megoldás van, ha az AB szakasz felezõpontja a kör belsejében van; egy megoldás, ha a felezõpont a kör pontja; nincs megoldás, ha a felezõpont a körön kívül van. Ha az AB egyenes nem illeszkedik a kör középpontjára, akkor is a fent leírt esetek valósulhatnak meg attól függõen, hogy AB felezõmerõlegese metszi a kört, érinti a kört vagy nincs közös pontja a körrel A keresett pontokat a feladat módszerével kaphatjuk meg. Attól függõen, hogy az AB szakasz felezõmerõlegesének hány közös pontja van a körrel, lehet 0, 1, 2 megoldás. Például, ha az AB egyenes illeszkedik a kör középpontjára, akkor nincs megoldás Az AB és az AC oldalegyenesektõl egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a feladat b) pontjában leírt egymásra merõleges egyenespár. a) Az AB oldal felezõmerõlegesének az elõbb említett szögfelezõ egyenesekkel alkotott metszéspontjai adják a megoldást. A feltételeknek 2 pont tesz eleget. b) Most a keresett pontok a BC oldal felezõmerõlegesének és a szögfelezõ egyeneseknek a közös pontjai lesznek. A BC felezõmerõlegese akkor és csak akkor illeszkedik az A csúcsra, ha az ABC háromszög egyenlõ szárú (AB = AC). Ekkor BC felezõmerõlegesének pontjai alkotják a keresett ponthalmazt. Ha AB π AC, akkor ebben az esetben is 2 pont lesz a 24

25 PONTHALMAZOK megoldás A keresett háromszögek alappal szemközti csúcsait az AC átló felezõmerõlegese metszi ki a téglalap kerületébõl. Két egybevágó háromszöget kapunk A keresett kör középpontja a pontok által meghatározott szakaszok felezõmerõlegeseinek közös pontja. A kapott kör a három pont által meghatározott háromszög köréírt köre Az elõzõ feladatban kapott kör bármely, az adott három ponttól különbözõ pontja megfelel Kiválasztva egy kör hét pontját, azok a kör középpontjától egyenlõ távolságra vannak A feladat megoldása két kör lesz, melyek középpontja a háromszög köré írható kör középpontja (az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontja), a sugarak pedik (r + 2) cm, illetve (r – 2) cm, ahol r a köré írható kör sugara centiméterben kifejezve Az elõzõ feladat megoldásához hasonlóan kapható meg a két kör a) b) 25

26 GEOMETRIA c) Elõbb szerkesszünk egy P-re illeszkedõ, e-vel 60 -os szöget bezáró egyenest, majd szerkesszünk ezzel az egyenessel párhuzamos egyeneseket P-tõl 4 cm távolságban! Ebben az esetben is két egyenes a megoldás. Megjegyzés: P-re illeszkedõ, e-vel 60 -os szöget bezáró egyenes például a következõ módon szerkeszthetõ: 1. P-bõl merõlegest állítunk e-re. 2. P-ben a merõlegesre 30 -os szöget szerkesztünk A keresett körök középpontjait az adott kör középpontja körüli 2 cm, illetve 6 cm sugarú körök és az adott egyenessel párhuzamos, tõle 2 cm távolságban levõ egyenesek metszéspontjai adják. A megoldásoknak az adott kör és az adott egyenes kölcsönös helyzetétõl függõ vizsgálata lényegében megegyezik a feladat kapcsán leírtakkal A keresett körök középpontjai az átmérõ egyenesétõl n cm (n = 1; 2; 3; 4) távolságra levõ párhuzamos egyenesek és az eredeti körrel koncentrikus (n + 3) cm és (3 – n) cm sugarú körök metszéspontjaiként, illetve érintési pontjaiként adódnak. (n = 3 és n = 4 esetben csak egy, az eredetivel koncentrikus kört tudunk felvenni.) a) 8 megfelelõ kört kapunk. b-d) 4 megfelelõ kört kapunk, az eredeti kör belsejében nem jönnek létre metszéspontok A megoldás az elõzõ feladathoz hasonlóan történik. Az a) esetben 7, a b) esetben 5, a c) és d) esetben 4 megfelelõ kör van. 26

27 PONTHALMAZOK A keresett pontokat az adott szög szögfelezõ egyenese metszi ki a P középpontú, 3 cm sugarú körbõl. 2, 1 illetve 0 megfelelõ pontot kapunk attól függõen, hogy P távolsága a szögfelezõtõl kisebb, mint 3 cm; 3 cm; illetve nagyobb, mint 3 cm. (Ha a távolság 3 cm, akkor az érintési pont a megoldás.) Megjegyzés: Elõállhat olyan eset is, hogy az egyik keresett pont a szög csúcsában, vagy a szögtartományon kívül van A keresett pontot az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki az adott szög szögfelezõ egyenesébõl. Nem kapunk megoldást, ha az AB egyenes merõleges a szögfelezõre és az AB szakasz felezõpontja nincs rajta a szögfelezõn. Ha AB felezõmerõlegese és a szögfelezõ egyenese egybeesik, akkor ennek az egyenesnek minden pontja eleget tesz a feladat feltételeinek A keresett pontokat az adott körrel koncentrikus (1 + ) cm, illetve az a) esetben az (1 – ) cm ( = 0,5; 1; 2) sugarú körök metszik ki az adott szög szögfelezõ egyenesébõl. Attól függõen, hogy hány metszéspont jön létre, az a) esetben a megoldások száma lehet 0, 1, 2, 3, 4, a b) és a c) esetben 0, 1, 2. (Ha páratlan számú pontot kapunk, akkor az egyik pont érintési pont.) Az adott feltétellel egy olyan négyzet kerületének pontjai rendelkeznek, amelynek 6 cm hosszú átlói illeszkednek az adott egyenesekre. Az ábráról leolvasható, hogy a négyzet oldalának bármely P pontja rendelkezik a feladatban megkövetelt tulajdonsággal A feladat feltételének megfelelõ ponthalmaz egy ellipszis. (Ellipszis: A sík azon pontjainak halmaza, amelyeknek két adott ponttól mért távolságösszege állandó, és ez az állandó nagyobb a két adott pont távolságánál. A két adott pont az ellipszis fókuszpontja.) Körzõvel és vonalzóval az ellipszisnek csak véges sok pontja szerkeszthetõ meg. 27

28 GEOMETRIA A feladat feltételének az ábrán látható ponthalmaz felel meg, amely 8 félegyenesbõl áll, amelyek kezdõpontjai az adott egyeneseken vannak, metszéspontjuktól 1 cm távolságra. Az ábráról leolvasható az is, hogy a tekintett félegyenesek minden pontja rendelkezik a kívánt tulajdonsággal. (Lásd még a feladat j) pontját!) A feladat feltételének megfelelõ ponthalmaz egy hiperbola. (Hiperbola: A sík azon pontjainak halmaza, amelyek két adott ponttól mért távolságkülönbségének abszolútértéke állandó, és ez az állandó olyan pozitív szám, amely kisebb a két adott pont távolságánál. A két adott pont a hiperbola fókuszpontja.) Körzõvel és vonalzóval a hiperbolának csak véges sok pontja szerkeszthetõ meg A feltételt kielégítõ ponthalmaz az adott félegyenessel közös kezdõpontú, vele 45 -os szöget bezáró félegyenes A feltételt kielégítõ ponthalmaz az adott szög szögfelezõje. a 2 a 2 28

29 PONTHALMAZOK Thalész tételének megfordításából adódóan a merõlegesek talppontjai által meghatározott ponthalmaz az AB átmérõjû körvonal Az ABC háromszögek C csúcsai az AB egyenessel párhuzamos, tõle az adott magasság hosszával megegyezõ távolságban található egyeneseken helyezkednek el. Ezen egyenesek bármely pontja megfelel a feltételnek Az ABC háromszögek C csúcsai két, az AB egyenesére szimmetrikus, adott sugarú körön helyezkednek el, amely körök közös húrja AB. Az A és a B pontok kivételével a két kör minden egyes pontja kielégíti a feladat feltételét. A körök középpontjai az A (vagy B) középpontú, az adott sugárral megegyezõ sugarú kör metszi ki az AB szakasz felezõmerõlegesébõl. A tekintett körök szerkeszthetõségének feltétele, hogy az AB adott r sugárra teljesüljön az r > 2 egyenlõtlenség. 29

30 GEOMETRIA Jelölje az adott két csúcsot A és B, az adott magasságot m c, az adott egyenest e. A C csúcsok az AB egyenessel párhuzamos, tõle m c távolságban levõ egyenesek e-vel vett metszéspontjaiban lesznek. Ha e nem párhuzamos az AB egyenessel, akkor két megfelelõ háromszöget kapunk. Ha e párhuzamos az AB egyenessel és attól vett távolsága m c -tõl különbözik, akkor nincs megoldás, ha a távolság éppen m c, akkor e minden pontja megfelel C csúcsnak Jelölje c az adott oldalegyenest, m c az adott magasságot, a és b pedig az adott oldalakat. A C csúcs szerkesztése az elõzõ feladat módszerével történik, szerkeszthetõségének feltételei is azonosak. Az A és a B csúcsot a c egyenesbõl a C középpontú, b, illetve a sugarú körívek metszik ki. A szerkeszthetõséghez szükséges még, hogy a m c és b m c teljesüljön, és legalább az egyik egyenlõtlenség éles legyen A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. a egyik végpontjába 45 -os szög szerkesztése. 3. a-tól m a távolságban a-val párhuzamos szerkesztése a 45 -os szöget tartalmazó félsíkban. 4. A párhuzamos egyenes és a szögszár metszéspontjaként adódik a háromszög harmadik csúcsa. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû A szerkesztés menete: 1. A b oldal felvétele. 2. b egyenesével, tõle m b távolságban párhuzamos szerkesztése. 3. b egyik végpontjából egy a sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhuzamos egyenesbõl. A feladatnak az egybevágó esetektõl eltekintve két megoldása van. 30

31 PONTHALMAZOK A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. a egyik végpontjába 30 -os szög szerkesztése. 3. Az a oldal felezõpontjából s a sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a szerkesztett szögszárból. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. Az a oldal egyenesével, tõle m a távolságban párhuzamos szerkesztése. 3. Az a oldal felezõpontjából s a sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhuzamos egyenesbõl. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû Jelölje az adott magasságot m a, az adott szögfelezõt f a. A szerkeszthetõséghez szükséges, hogy f a m a legyen. Ha m a = f a, akkor a háromszög egyenlõ szárú, és ekkor akár a (0 < a < 180 ), akár b (0 < b < 90 ) adott, a megoldás egyértelmû. (2062/1. ábra) Tegyük fel a továbbiakban, hogy f a >m a, és bontsuk három részre a feladatot aszerint, hogy melyik szög adott (2062/2. ábra). m f a = a m a f a 2062/1. ábra 2062/2. ábra I. a adott (0 < a < 180 ) Ekkor az ATF derékszögû háromszög Thalész tételének felhasználásával szerkeszthetõ, amelynek TF oldala kijelöli az a oldal egyenesét. A szerkesztés menete: 1. f a mint átmérõ fölé Thalész-kör szerkesztése. 2. A-ból m a sugárral a T pont kimetszése a Thalész-körbõl. 3. f a mindkét oldalára A-ból a 2 nagyságú szög szerkesztése. 4. A TF egyenesbõl a szerkesztett szögszárak kimetszik a B és a C csúcsot. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 31

33 PONTHALMAZOK A feladat szövege alapján a P pont a szögtartományon kívül van. Ekkor viszont a PA = PB feltételnek csak a szög csúcsa felel meg (A = B). Megjegyzés: Ha a feladat szövegébõl kivesszük a közelebbi szót, akkor P a szögtartományba is eshet, és ekkor van olyan megfelelõ A és B pont, hogy P felezi az AB szakaszt. (Lásd a feladatot!) Ha M jelöli a háromszög belsõ szögfelezõinek metszéspontját, akkor az ABM háromszög szerkeszthetõ. Ezután az MAB és MBA szögek megkétszerezésével kapjuk az AC és BC oldalakat Ha M jelöli az A és a D csúcsból induló belsõ szögfelezõk metszéspontját, akkor az ABM háromszög szerkeszthetõ. Az AMD szög derékszög, mivel a trapéz szárakon fekvõ szögeinek öszszege 180, ezért a D csúcs az AM-re M-ben állított merõleges és az MAB szög megkétszerezésével kapott félegyenes metszéspontjaként adódik. C megszerkesztéséhez használjuk ki, hogy a trapéz derékszögû A magasság egyik végpontjába merõlegest, a másik végpontjába 30 -os szöget kell szerkesztenünk Az adott csúcsból állítsunk merõlegest az adott egyenesre. Ezzel megkaptuk a háromszög magasságát, ahonnan az elõzõ feladat alapján szerkeszthetõ a háromszög. 33

34 GEOMETRIA Mivel az adott pont a háromszög súlypontja is egyben, ezért az adott pontból az adott egyenesre szerkesztett merõlegesen a pont és az egyenes távolságát a ponton túl kétszer felmérve megkapjuk a háromszög magasságát. Innen a háromszög a feladat módszerével szerkeszthetõ I. Ha mindkét adott pont az egyenesen van, akkor a háromszög szára adott, így a feladatnak végtelen sok megoldása van. II. Ha az egyik pont az egyenesen van, a másik rajta kívül, akkor két eset lehetséges. 1. Az egyenesen levõ pont a szárak metszéspontja. Ekkor a két adott pont távolságát az egyenesen levõ pontból mindkét irányba felmérve az egyenesre, két megfelelõ háromszöget kapunk. Ezek pontosan akkor egybevágók, ha a két adott pontra illeszkedõ egyenes merõleges az adott száregyenesre. 2. Ha az egyenesen levõ pont az alap egyik végpontja, akkor a két adott pont által meghatározott szakasz felezõmerõlegese metszi ki az adott egyenesbõl a harmadik csúcsot. Ha ez a felezõmerõleges párhuzamos az adott egyenessel, akkor nincs megoldás Az alap mindkét végpontjába 75 -os szöget szerkesztve a kapott szögszárak metszéspontja adja a harmadik csúcsot Az alap felezõmerõlegesén a felezõpontból 2 cm-t felmérve adódik a harmadik csúcs Az adott magasság talppontja az alap mint átmérõ fölé szerkesztett Thalészkörön van. A kapott tompaszögû háromszög az ábrán látható. Egybevágóság erejéig egyértelmû megoldást kapunk. T 1 T A derékszögû csúcs az átfogó fölé szerkesztett Thalész-körön van, az átfogó egyik végpontjától 4 cm-re. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. Pitagorasz tétele alapján a másik befogó 3 cm hosszú Mivel a szárakhoz tartozó magasságok egyenlõ hosszúak, ezért az egyik szár mint átmérõ fölé írt Thalész-körön az átmérõ egyik végpontjától 2 cm távolságra megkapjuk a másik szár egyenesének egy pontját. Ezt az átmérõ másik végpontjával összekötve a másik szár egyenese adódik. Erre felmérve 6 cm-t az átmérõ másik végpontjából, kapjuk a háromszög harmadik csúcsát. A feltételnek két, nem egybevágó háromszög tesz eleget, az egyik tompaszögû, a másik hegyesszögû. 34

35 PONTHALMAZOK B 1 B A másik szárhoz tartozó súlyvonal is 5 cm, így az AF 1 C háromszög mindhárom oldala ismert, tehát szerkeszthetõ. (Lásd az ábrát!) A CF 1 egyenesre F 1 -bõl felmérve 3 cm-t adódik a B csúcs. A megoldás egyértelmû. F Az átfogó mint átmérõ fölé szerkesztett Thalész-körbõl az átfogó felezõmerõlegese metszi ki a derékszögû csúcsot a) Jelölje C a derékszögû csúcsot, és legyen T a C-bõl az átfogó egyenesére szerkesztett merõleges talppontja. A CT távolságot T-bõl mindkét irányban felmérve az átfogó egyenesére, adódnak az átfogó végpontjai. b) Jelölje A az átfogó egyik végpontját. A derékszögû csúcs az A-ból a befogó egyenesére bocsátott merõleges talppontja, jelölje C. Az AC távolságot C-bõl felmérve a befogó egyenesére, adódik a harmadik csúcs Az alaphoz tartozó magasság felezi az alappal szemközti szöget, így annak végpontjában mindkét oldalra 60 -os szög, a másik végpontba pedig merõleges szerkesztésével adódik a kívánt háromszög A feladat állítása szerint az egyenlõ szárú háromszög alapján felvett bármely pontnak a száraktól vett együttes távolsága egy állandó érték (a bizonyítást lásd ott), amely éppen a szárhoz tartozó magasság hossza. Ezt a tényt felhasználva a keresett ponthalmaz egy szakasz lesz, egy olyan szabályos háromszög egyik oldala, amelynek magassága 4 cm. A szakasz végpontjait az egyes szögszárakkal párhuzamos, tõlük 4 cm távolságra levõ egyenesek metszik ki a másik szögszárakból. 35

36 GEOMETRIA Az elõzõ feladat eredményét alkalmazva a négy szögtartományra, kapjuk, hogy a keresett ponthalmaz egy téglalap lesz, amelynek átlói az adott egyenesekre illeszkednek A kérdésnek természetesen csak akkor van értelme, ha a T-vel jelölt talppontra teljesül, hogy AT merõleges a BT-re. A C csúcs rajta van a BT egyenesen, és annak minden B-tõl különbözõ pontja megfelel. C 1 C Mivel O 1 AP és O 2 BP egyenlõ szárú derékszögû háromszögek, ezért AT 1 = T 1 O 1 = T 1 P és PT 2 = T 2 O 2 = T 2 B. Az O 1 T 1 T 2 O 2 derékszögû trapéz O 1 O 2 szárának felezõpontja F, TO 1 1+ TO 2 2 így FC a trapéz középvonala, amibõl adódóan FC = = 15, cm. Kaptuk tehát, hogy F távolsága az AB egyenestõl 1,5 cm, függetlenül a P helyzetétõl. Másrészt 2 viszont a 2083/1. ábrán látható, hogy F mindig az ABO egyenlõ szárú derékszögû háromszög átfogóval párhuzamos A’B’ középvonalának belsõ pontja. Ezek után azt kell még belátnunk, hogy az A’B’ szakasz minden belsõ pontja benne van a feladatban definiált ponthalmazban, azaz létezik hozzá az AB szakasznak egy megfelelõ P belsõ pontja. Ez viszont teljesül, ugyanis F az OO 1 PO 2 téglalap átlóinak metszéspontja, így felezi az OP szakaszt. Így ha adott az ABO egyenlõ szárú derékszögû háromszög A’B’ középvonalának egy F pontja, akkor az OF félegyenes kimetszi az AB szakaszból a megfelelõ P pontot (2083/2. ábra). O 1 O 2 T 1 T /1. ábra 2083/2. ábra 36

37 PONTHALMAZOK Lásd az elõzõ feladatot! Azon pontok halmaza, amelyekbõl a háromszög derékszögben látszik, az oldalakra mint átmérõkre kifelé szerkesztett félkörívek, kivéve a háromszög csúcsait Az elõzõ feladathoz hasonlóan itt is az oldalak fölé szerkesztett félkörívek pontjai felelnek meg a feltételnek, csak itt a négyzet csúcsai is elemei a ponthalmaznak A kör azon pontokból látszik derékszögben, amelyekbõl a körhöz húzott érintõk derékszöget zárnak be. Ezek a pontok egy, az adott körrel koncentrikus, 3 2 sugarú kör pontjai, amint az az ábrán látható. 3 2 cm 37

38 GEOMETRIA A létra felezõpontja, lévén az AOB háromszög derékszögû (lásd az ábrát) minden helyzetben 2 m távolságra van az O ponttól. Így a felezõpont pályája egy O középpontú 2 m sugarú negyedkörív Mivel a kör középpontját a húr felezõpontjával összekötõ szakasz merõleges a húrra, ezért Thalész tételének megfordítása értelmében a P pontot az adott kör középpontjával összekötõ szakasz mint átmérõ fölé írt körnek az eredeti körbe esõ íve lesz a keresett ponthalmaz. (Az ív végpontjai a P-bõl húzott érintõk érintési pontjai lesznek.) A téglalap köré írható kör középpontja az átlók metszéspontja. Jelölje A’ a BC oldal, M pedig az AT magasság felezõpontját. Ha F és F’ a téglalap két, BCvel párhuzamos oldalának felezõpontja, akkor a téglalap K középpontja felezi az FF’ szakaszt. Ebbõl adódóan K illeszkedik az A’TA háromszög A’M súlyvonalára. Másrészt, ha K az A’TA háromszög A’M súlyvonalának tetszõleges belsõ pontja, akkor a K-ra illeszkedõ AT-vel párhuzamos egyenes és az ABC háromszög AA’ súlyvonalának F metszéspontja kijelöli a téglalap BC-vel párhuzamos oldalát. Kaptuk tehát, hogy a keresett ponthalmaz az A’M nyílt szakasz A feladat szövege túl általános, ezért a következõ egyszerûsítésekkel élünk: 1. A, B és C az e egyenes ugyanazon oldalán legyenek. 2. A négyszög csúcsai pozitív irányításban A, B, C, D sorrendben legyenek. 3. Tekintsük négyszögnek azt is, amikor három csúcs (D és az adottakból valamelyik kettõ) egy egyenesbe esik, vagy a négyszög hurkolt helyzetû (lásd 2091/1. ábrát). Ezek a feltevések a megoldás lényegén nem változtatnak, viszont áttekinthetõbbé teszik azt. 38

39 F 1 F 2 PONTHALMAZOK a) (A korábbi kiadásokban a feladat szövegében oldal szerepel, természetesen átló kellene.) A BD átlók felezõpontjainak halmaza egy az e-vel párhuzamos egyenes, amelyik felezi a B-bõl az e-re állított merõleges szakaszt. b) A válasz hasonló az a) pont válaszához. c) Bármely síknégyszög oldalfelezõ pontjai paralelogrammát határoznak meg (vagy esetünkben egy egyenesre is eshetnek). (Lásd a feladatot!). A paralelogramma átlói felezik egymást, így egy az e-vel párhuzamos, az AB felezõpontjából a b) pontban kapott egyenesre állított merõleges szakaszt felezõ egyenest kapunk. F 4 F /1. ábra 2091/2. ábra 2091/3. ábra Az A pont az elsõ forgatásnál egy B középpontú, AB sugarú 120 -os középponti szöghöz tartozó körívet ír le, a második forgatásnál egy C középpontú, szintén AB sugarú és 120 -os középponti szöghöz tartozó körívet, a harmadik forgatásnál pedig fien marad. Ha a jelöli a háromszög oldalának hosszát, akkor az A pont az a sugarú kör kerületének 2 részét tette meg. Így p = 3 2a p, amibõl a = Ha a jelöli a négyzet oldalának hosszát, akkor az A pont útja: 1. forgatás: B körüli a sugarú negyedkörív; 2. forgatás: C körüli a 2 (a négyzet átlója) sugarú negyedkörív; 3. forgatás: D körüli a sugarú negyedkörív; 4. forgatás: A fien marad. A pálya hossza összesen: a 4p = ap p, 39

40 GEOMETRIA ahonnan ( ) 8 a = = 42-2 ª 234, A C csúcsot megkapjuk, ha a B csúcsot A körül 60 -kal elforgatjuk. Így a C csúcsok halmaza az adott négyzet A körüli 60 -os elforgatottja. Mivel a feladat a csúcsok betûzésének irányítását nem rögzítette, ezért a négyzet A körüli mindkét irányú elforgatottja megfelel Mivel a feladat nem rögzítette a csúcsok betûzésének irányát, ezért két, az eredetihez hasonló, egymással egybevágó szabályos háromszög (a belsejével együtt) alkotja a lehetséges C csúcsok halmazát. Ezen háromszögek csúcsait megkapjuk, ha az A-t az eredeti háromszög csúcsaival összekötõ szakaszok felezõmerõlegeseire a felezõpontokból felmérjük a felezõpont és A távolságát. Megjegyzés: Az eredeti és a kapott háromszögek hasonlóságának aránya 1 ª 0, 707, lévén a derékszögû háromszög befogója 2 -ed része az átfo- 2 gónak. 40

41 PONTHALMAZOK Legyen a kiválasztott két szemközti csúcs A és C. A feladat feltétele alapján P illeszkedik a BD átlóra. A feladat szövege alapján P egyidejûleg nem lehet összekötve a B és a D csúccsal, ugyanis ellenkezõ esetben nem teljesülhetne a három egyenlõ területû részre osztás. Ha P az A, B és C pontokkal van összekötve, és a kapott három rész területe egyenlõ, akkor P D-hez van közelebb. Legyen a P pont és az AD oldal távolsága. Ekkor P az AB oldaltól a – távolságra van, ahol a a négyzet oldalát jelöli. (Lásd az ábrát!) A feladat feltétele alapján TAPD + TCDP = TABP = TBCP. Felírva a megfelelõ területeket és kihasználva az ábra szimmetriáját aa ( – ) a =, 2 a ahonnan =. 3 Ez azt jelenti, hogy P a BD átló D-hez közelebbi harmadolópontja A BD átló P felezõpontja megfelel, ugyanis m 2 TABCP = TABP + TPBC, m valamint 1 TADCP = TAPD + TPCD, teljesül továbbá, hogy TABP = TAPD és TPBC = TPCD. Ez utóbbi azért teljesül, mert a tekintett háromszögek egyik oldala és a hozzá tartozó magasság megegyezik. 2. Húzzunk P-n keresztül párhuzamost az AC átlóval! Az így kapott EF szakasz valamennyi P’ belsõ pontja megfelel, ugyanis TACP = TACP’ és TAP’ CD = TACD + TACP’. Az EF szakasz belsõ pontjaitól különbözõ Q pontokra T π T Ha lenne a négyszög belsejében olyan pont, amely mindegyik körön kívül van, akkor Thalész tételének következtében ebbõl a pontból mind a négy oldal 90 -nál kisebb szög alatt látszana. Ez pedig azt jelentené, hogy ebbõl a pontból nézve az oldalak látószögeinek összege 360 -nál kisebb, ami nyilvánvaló ellentmondás. AQC APC 41

42 GEOMETRIA A 2017/b) feladat alapján a keresett ponthalmaz két egymásra merõleges egyenes, amelyek egyenletei: y =, illetve y = -. A két egyenes pontjainak koordinátái közötti kapcsolat összefoglalva így írható: ΩyΩ = ΩΩ a) b) y = 2 y = 3 2 c) d) y = 4 y = 3 e) y =

43 PONTHALMAZOK y > a) Lásd a feladatot! + y =6 b) Lásd a feladatot! – y =3 43

44 GEOMETRIA A keresett pontok az origó körüli 4 egység sugarú kör és az y =, valamint 3 az y =- 3 egyenesek metszéspontjaiként adódnak. Megjegyzés: Az origó körüli 4 egység sugarú kör pontjainak koordinátáira (és csak azokra!) Pitagorasz tételébõl adódóan 2 + y 2 = 16. M 2 y = M 1 3 M y =- 3 3 M A feladat alapján a feladat feltételének csak a P 1 (4; 0); P 2 (0; 4); P 3 (-4; 0); P 4 (0; -4) pontok tesznek eleget. P 2 P 3 P 1 P a) y = b) = 2y 44

45 PONTHALMAZOK c) d) y = 3 y = 5 e) f) + y =2 + y =2 g) y- =2 h) y- 2 = a) b) y = = y 45

46 GEOMETRIA c) d) y = 2 = y e) + y = 4 f) – y =1 g) h) + y =3 – y =2 i) j) – y =-1 – y =1 46

47 PONTHALMAZOK a) b) y = 2 y 2 = c) 2 2 = y d) y =1 2 2 = y akkor és csak akkor, ha Lásd a feladat megjegyzését! = y. e) y 2 2 = 4-47

48 GEOMETRIA a) > y b) y c) d) 2y + y1 h) 3y

49 PONTHALMAZOK i) + y a) y b) y < c) d) y >y e) f) + y < 4 2 3y 49

50 GEOMETRIA g) h) y 2 y- y 50

51 PONTHALMAZOK c) d) 2 2 > y y 2 e) y 9 f) 2 2 > y akkor és csak akkor, ha > y y > a) b) < 0 és < y 0 és = y c) d) + y = 0 és y = y és y< 0 51

53 PONTHALMAZOK a) Egész koordinátájú pontok: P 1 (1; 0), P 2 (0; 1), P 3 (-1; 0), P 4 (0; -1). Ezek egyenlõ távol vannak az origótól. b) Az egész koordinátájú pontok az ábrán láthatók. Az origóhoz legközelebbi négy pont: P 1 (2; 2), P 2 (-2; 2), P 3 (-2; -2), P 4 (2; -2). P 2 P 1 P 3 P 4 c) Végtelen sok egész koordinátájú pont van, közülük kettõ van az origóhoz legközelebb: P 1 (3; 3), P 2 (-3; -3). P 1 P 2 53

54 GEOMETRIA d) A megoldás ugyanaz, mint az a) pontban. e) Végtelen sok megfelelõ pont van, az origóhoz legközelebbiek: P 1 (2; 0), P 2 (-2; 0). P 2 P 1 f) A megfelelõ pontok az ábrán láthatók, az origóhoz legközelebbiek: P 1 (1; 0), P 2 (0; 1), P 3 (-1; 0), P 4 (0; -1). P 1 P 2 P 3 P 4 g) A megfelelõ pontok az ábrán láthatók. Az origóhoz legközelebbiek ugyanazok, min az elõzõ pontban. 54

55 PONTHALMAZOK A közös rész egy zárt síkidom, az ábrán vonalkázással jelöltük A közös részt az ábrán vonalkázással jelöltük. (Két közös pont nélküli síkidom, az egyik nagyon pici.) a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz a) hamis b) igaz c) igaz d) hamis e) igaz f) igaz a) hamis b) hamis c) hamis d) igaz e) igaz a) hamis b) hamis c) igaz d) igaz a) hamis b) hamis c) hamis d) igaz e) igaz f) igaz a) hamis b) igaz c) igaz d) hamis a) AB 4 cm b) AB 10 cm 55

56 GEOMETRIA a) b) c) Nincs ilyen pont. Ha PB < 4 cm, akkor PA < 1 cm. d) e) Ha PA < 1 cm, akkor PB >2 cm. f) Az AB szakasz A-hoz közelebbi harmadolópontja kivételével a sík minden pontja megfelel a) Adott középpontú, adott sugarú gömbfelületen. b) Egy olyan végtelen hengerpaláston, amelynek tengelye az adott egyenes, keresztmetszetének sugara pedig az adott távolság. c) Az eredeti félsík által meghatározott mindkét féltérben egy-egy, az eredetivel párhuzamos sík, tõle adott távolságban a) A két adott pont által meghatározott szakasz felezõmerõleges síkjában. Ezen sík minden pontja rendelkezik az adott tulajdonsággal, a tér más pontjai viszont nem. b) A két adott egyenes által meghatározott sáv felezõegyenesére illeszkedõ, a két egyenes által meghatározott síkra merõleges síkban. c) A két metszõ egyenes szögfelezõ egyeneseire illeszkedõ, az egyenesek által meghatározott síkra merõleges síkokban. Ez a két sík egymásra is merõleges. d) A két egyenest egymástól elválasztó, mindkettõvel párhuzamos és a távolságukat felezõ síkban a) A két síkot egymástól elválasztó, velük párhuzamos és a távolságukat felezõ síkban. b) A két metszõ sík által meghatározott szögek szögfelezõ síkjaiban. Ezen két sík illeszkedik az eredeti síkok metszésvonalára és merõleges egymásra Az eredetivel koncentrikus 1 cm, illetve 5 cm sugarú gömbfelületek a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz e) hamis f) hamis g) igaz h) hamis i) hamis j) igaz a) hamis b) hamis c) igaz d) hamis e) igaz f) igaz a) hamis b) hamis c) hamis d) igaz e) hamis f) igaz 56

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: – Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van – A háromszög belső szögeinek összege 180 o – A háromszög külső szögeinek összege 360 o – A

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

10. Koordinátageometria

I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 – (-2); 3-4)=(9; – 1) Valós számmal való

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Koordináta – geometria I.

Koordináta – geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Koordinátageometria Megoldások

005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

A kör. A kör egyenlete

A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x – ) + (y – ) 9, rendezve x + y – 8x – y + b) x + y – 6x – 6y + c) x +

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk I. Egybevágósági transzformációk 58. a) Eltolás az y tengely mentén -vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -) vektorral.) b) Tükrözés az x = 10 egyenesre. c) A körüli -90 -os

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

2. Síkmértani szerkesztések

2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések.

Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 13. Alapszerkesztések. 133. Alapszerkesztések. 134. Alapszerkesztések. a b 135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x – y = b. Így x = + ; a b y

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Bevezetés a síkgeometriába

a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló – megoldások. 1 pont Ekkor

Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló – megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

15. Koordinátageometria

I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

15. Koordinátageometria

I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila

2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

= 7, a 3. = 7; x – 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ – 6i& n( ) x + y = b) x – y =- c) 6x – y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x – y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Matematika 7. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

A 004

Matematika 8. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,