Országos kompetenciamérés 2011 Feladatok és jellemzőik

Zedfalva folyójának vízszintjét folyamatosan mérik. Egyik nyáron a sok csapadék miatt a folyó vízszintje emelkedni kezdett. Június 20-án 320 cm-es vízmagasságot mértek. A következő két hétben viszonylag egyenletesen, naponta átlagosan 37 cm-rel emelkedett a folyó vízszintje.

Országos kompetenciamérés 2011 Feladatok és jellemzőik. matematika 8. évfolyam

5 8. ÉVFOLYAM A KOMPETENCIAMÉRÉSEKRŐL 2011 májusában immár kilencedik alkalommal került sor az Országos kompetenciamérésre, amelyen minden 6., 8. és 10. évfolyamos tanuló részt vett, és amelynek célja a diákok szövegértési képességeinek és matematikai eszköztudásának a feltérképezése. A kompetenciamérés eredményeiről minden telephely, iskola és fenntartó jelentést kap, amelynek segítségével elhelyezheti magát az országos képességskálán, és összehasonlíthatja eredményeit a hozzá hasonló telephelyeken, iskolákban és fenntartónál tanuló diákok eredményeivel. Emellett az iskolák egyéni elemzéseket is készíthetnek, ennek segítségével kérdésenként is elemezhetik az eredményeket. Az Országos kompetenciamérés 2011 Feladatok és jellemzőik kötetek célja Az a szándékunk, hogy az iskola eredményeit bemutató grafikonok mellett a lehető legteljesebb mértékben megismertessük a tanárokat, intézményvezetőket és oktatáspolitikusokat a mérésben rejlő lehetőségekkel, és az eredmények helyes interpretálásához minél alaposabb segítséget biztosítsunk. E célt szolgálja a kompetenciamérés 2007 elején megjelent Tartalmi kerete, 1 valamint az Országos kompetenciamérés 2011 fenntartói, iskolai és telephelyi jelentései, amelyek megtekinthetők a illetve a hu/okmfit honlapon. A feladatokat bemutató kötetek célja az, hogy megismertessék a tanárokat az egyes feladatok mérési céljaival és statisztikai paramétereivel. A diákok feladatonkénti eredményeit elemezve a tanárok képet kaphatnak arról, hogy diákjaik milyen problémákkal, hiányosságokkal küzdenek, melyek azok a területek, amelyekre nagyobb figyelmet kell fordítaniuk a jövőben, és milyen fejlesztési feladatokkal kell megbirkózniuk. A feladatokat tartalmazó kötetek az országos eredmények bemutatásával mindehhez keretet és viszonyítási pontokat nyújtanak. A kötetből kiderül, hogy mely feladatok okozták a legtöbb gondot a diákoknak, melyek esetében választottak sokan valamilyen tipikusan rossz választ, és melyek nem okoztak problémát a diákok többségének. A kötet felépítése Ez a kötet a évi Országos kompetenciamérés 8. évfolyamos tesztfüzetének matematikafeladatait (itemeit) tartalmazza. Az itemek olyan sorrendben találhatók a kötetben, ahogyan az A) tesztfüzetben szerepeltek. A kötet végén található mellékletben táblázatos formában is feltüntettük az itemek jellemzőit. A kötetben minden egyes itemről a következő információk szerepelnek: A kérdés (item), ahogyan a tesztfüzetben szerepelt. Az item javítókulcsa. A mérési cél: az item besorolása a Tartalmi keretben rögzített csoportosítási szempontok alapján; rövid leírás arról, hogy pontosan milyen műveleteket kell a diáknak elvégeznie az item helyes megválaszolásához. 1 Balázsi Ildikó Felvégi Emese Rábainé Szabó Annamária Szepesi Ildikó: OKM 2006 Tartalmi keret. sulinova Kht., Budapest,

6 MATEMATIKA Az item statisztikai jellemzői: 2 az item tesztelméleti paraméterei (a kérdés nehézsége és meredeksége, valamint kétpontos item esetén a lépésnehézségek); feleletválasztásos feladatok tippelési paramétere; az item nehézségi szintje; a lehetséges kódok és az egyes kódokra adott pontszámok; az egyes kódok előfordulási aránya; az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja; az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes tanulói képességszinteken. Képességszintek a 8. évfolyamos matematikateszt esetében Az adatok elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és statisztikai szempontok alapján meghatározott képességszintek. Ezek segítségével a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva képet tudunk adni arról, hogy milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmaradnak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességszintek kialakításának statisztikai hátterét az 1. melléklet mutatja be. Képességszint A képességszint alsó határa A szintet elérő tanulók képességei újszerű és/vagy többszörösen összetett szituációban megjelenő, önálló megoldási stratégiát igénylő, gyakran többlépéses feladatok megoldása összetett problémák vizsgálatából és modellezéséből nyert információk értelmezése, általánosítása és alkalmazása különböző információforrások és reprezentációk összekapcsolása és egymásnak való megfeleltetése fejlett matematikai gondolkodás és érvelés a szimbolikus és formális matematikai műveletek és kapcsolatok magas színvonalú alkalmazásával újszerű problémaszituációk megoldása új megoldási módok és stratégiák megalkotása műveleti lépések, az eredmények és azok értelmezésével kapcsolatos gondolatok pontos megfogalmazása az eredményeknek az eredeti probléma szempontjából való vizsgálata, értelmezése újszerű, komolyabb értelmezést igénylő szövegkörnyezetben megjelenő, önálló stratégiával megoldható többlépéses feladatok megoldása modellalkotás összetett problémaszituációra, a modell alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása, majd annak helyes alkalmazása modellekhez kapcsolódó összetett problémák lehetséges megoldási módjainak kiválasztása, összehasonlítása és értékelése a kiválasztott megoldási stratégia és matematikai módszer értékelése, az elvégzett lépések végrehajtása széles körű és jó színvonalú gondolkodási és érvelési képességek, készségek különböző adatmegjelenítések, szimbolikus és formális leírások és problémamegjelenítések nagy biztonsággal való értelmezése és kezelése 2 A statisztikai jellemzők képzési szabályait az 1. melléklet ismerteti. 4

7 8. ÉVFOLYAM Képességszint A képességszint alsó határa A szintet elérő tanulók képességei újszerű szituációban megjelenő többlépéses, önálló stratégia kidolgozását igénylő, különböző módon megjelenített összefüggéseket tartalmazó feladatok megoldása problémákhoz egyszerű modell önálló megalkotása, majd annak helyes alkalmazása rugalmas érvelés és reflektálás az elvégzett lépésekre értelmezés és gondolatmenet megalkotása és megfogalmazása összetettebb vagy kevésbé ismerős, újszerű szituációjú, több lépéses feladatok megoldása konkrét problémaszituációkat egyértelműen leíró modellek hatékony alkalmazása, a modellek alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása. különböző, akár szimbolikus adatmegjelenítések kiválasztása és egyesítése, azok közvetlen összekapcsolása a valóságos szituációk különböző aspektusaival értelmezés és gondolatmenet röviden leírása ismerős kontextusban megjelenő egy-két lépéses problémák megoldása egyértelműen leírt matematikai eljárások elvégzése, amelyek szekvenciális döntési pontokat is magukban foglalhatnak egyszerű problémamegoldási stratégiák kiválasztása és alkalmazása különböző információforrásokon alapuló adatmegjelenítések értelmezése és alkalmazása, majd ezek alapján érvek megalkotása a legalapvetőbb, közismert matematikai fogalmak és eljárások ismerete a kontextus alapján közvetlenül megérthető problémaszituációk értelmezése egyetlen információforrásból a szükséges információk megszerzése egyszerű vagy szimplán matematikai kontextusban megjelenő, jól körülírt, egylépéses problémák megoldása egyszerű, jól begyakorolt algoritmusok, képletek, eljárások és megoldási technikák alkalmazása egyszerűen érvelés és az eredmények szó szerint értelmezése ismerős, főként matematikai szituációban, gyakran kontextus nélküli helyzetben feltett matematikai kérdések megválaszolása egyértelmű, jól körülírt és minden szükséges információt tartalmazó feladatok megoldása közvetlen utasításokat követve rutinszerű eljárások végrehajtása a feladat kontextusából nyilvánvalóan következő lépések végrehajtása 5

8 MATEMATIKA A 8. évfolyamos matematikateszt általános jellemzése A teszt általános jellemzői A felmérés tesztfüzeteit a Tartalmi keretben megfogalmazott szempontok szerint állítottuk össze. A felmérést minden 6., 8. és 10. évfolyamos diák megírta, majd 8. évfolyamon a központi elemzés elkészítéséhez minden intézmény minden tanulójától összegyűjtöttük a kitöltött tesztfüzeteket. Az 1. táblázat azt ismerteti, hogy a tesztfüzetben milyen arányban szerepelnek a tartalmi keretben definiált gondolkodási műveletekhez és tartalmi területekhez tartozó feladatok. A 2. táblázat a teszt értékelése során kapott néhány alapvető jellemzőjét mutatja be (a 2. táblázatban az értékelés során törölt feladatok nem jelennek meg). Gondolkodási műveletek Tartalmi területek Mennyiségek és műveletek Hozzárendelések és összefüggések Alakzatok síkban és térben Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Műveletcsoport összesen Tényismeret és műveletek Modellalkotás, integráció Komplex megoldások és kommunikáció Tartalmi terület összesen táblázat: A feladatok megoszlása a gondolkodási műveletek és tartalmi területek szerint a 8. évfolyamos matematikatesztben Az értékelésbe vont itemek száma 60 A központi elemzésbe bevont kitöltött tesztfüzettel rendelkező tanulók száma Cronbach-alfa 0,913 Országos átlag (standard hiba) 1601 (0,6) Országos szórás (standard hiba) 205 (0,4) 2. táblázat: A 8. évfolyamos matematikateszt néhány jellemzője 6

9 A feladatok megoszlása a képességskálán 8. ÉVFOLYAM Az 1. ábra az itemek és a diákok megoszlását mutatja a képességskálán. Az ábrán a feladatok nehézségi szintjeit és a diákok képességszintjeit is feltüntettük. Láthatjuk, hogy a mérésben könnyű és nehéz feladatok egyaránt találhatók, az itemekkel igyekeztünk minél szélesebb tartományban lefedni a képességskálát. Ily módon a kiemelkedően tehetséges és a gyenge diákokat is megbízhatóbban tudjuk elhelyezni a képességskálán. Standardizált képességpont 2200 MD06701 MH26703 MH MH34702 MH31401 MH01601 MH16601 MH09702 MH21101 MH MH34701 MH19301 MH10801 MH04801 MH35701 MH40501 MH13602 MH10601 MH08401 MH13302 MH23102 MH20301 MH MH05201 MH31001 MH11001 MH42301 MH23301 MH41001 MH15001 MH MH34501 MH14001 MH35002 MH23101 MH MH11801 MH36403 MH32701 MH26701 MH08101 MH MH43701 MH10102 MH18601 MH13301 MH MH41002 MH34101 MH12302 MH31301 MH02401 MH MH09201 MH40301 MH MH35001 MH03301 MH MH Adott nehézségű feladatok Adott képességpontot elért diákok száma 1. ábra: Az itemek és diákok megoszlása a képességskálán, 8. évfolyam, matematika 7

10 MATEMATIKA 8

11 8. ÉVFOLYAM A FELADATOK ISMERTETÉSE 9

12 MATEMATIKA 1/94. FELADAT: VENTILÁTOR MH03301 Egy ventilátor minden lapátján fekete pötty található az ábrán látható módon. Milyen alakzatot formál a pöttyök útja, ha a lapátok forogni kezdenek? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 10

13 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Tényismeret és rutinműveletek Pont körüli elforgatás A FELADAT LEÍRÁSA: Négy pontnak egy adott pont körüli elforgatás során leírt pályájának a rajzát kell kiválasztani a megadott válaszlehetőségek közül. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00009 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,30-0,06-0,04-0,05-0,17-0,22 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 87,9 0,10 1. szint alatt 45,9 1,17 Főváros 91,0 0,27 1. szint 65,3 0,62 Megyeszékhely 90,0 0,21 2. szint 79,2 0,37 Város 87,5 0,16 3. szint 87,1 0,25 Község 85,6 0,21 4. szint 92,0 0,18 5. szint 95,4 0,15 6. szint 98,2 0,16 7. szint 99,5 0,16 11

14 MATEMATIKA 2/95. FELADAT: DÍSZBURKOLAT MH02401 Az ábrán világosszürke és sötétszürke színű alakzatokból kirakott díszburkolat egy része látható. = területegység Határozd meg, hány területegység a négyzet alakú területet lefedő díszburkolat világosszürke része! Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 6 B 8 C 10 D 12 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 12

15 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció Szabálytalan sokszög, területmeghatározás, összeszámolás A FELADAT LEÍRÁSA: Négyzetrácson kijelölt, nem csak rácsvonalakat tartalmazó alakzat egységekben kifejezett területét kell meghatározni. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0025 0,00009 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás , ,3 0,0-0,3-0,6 0,35-0,01-0,06-0,16-0,16-0,25 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 76,0 0,13 1. szint alatt 27,0 0,97 Főváros 80,4 0,30 1. szint 44,1 0,63 Megyeszékhely 78,9 0,31 2. szint 59,5 0,43 Város 74,8 0,20 3. szint 72,6 0,33 Község 73,4 0,24 4. szint 82,0 0,24 5. szint 88,7 0,22 6. szint 93,6 0,27 7. szint 96,3 0,41 13

16 MATEMATIKA 3/96. FELADAT: FÉKTÁVOLSÁG MH09701 Az autók féktávolsága az az úthossz, amelyet a mozgó gépkocsi a fékek működésbe lépésétől a megállásáig megtesz. A következő grafikon egy gépkocsi féktávolságát szemlélteti a sebesség függvényében. Körülbelül mekkora a féktávolsága egy 50 km/h sebességgel haladó gépkocsinak? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D kb. 18 méter kb. 24 méter kb. 35 méter kb. 40 méter JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 14

17 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek Diagramértelmezés, vonaldiagram, értékleolvasás A FELADAT LEÍRÁSA: Egy vonaldiagramról kell olyan értéket leolvasni, mely a skálabeosztás két értéke közé esik. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00020 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,33-0,01-0,07-0,16-0,18-0,19 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 90,4 0,09 1. szint alatt 40,1 1,10 Főváros 92,3 0,23 1. szint 66,4 0,55 Megyeszékhely 92,9 0,17 2. szint 82,4 0,32 Város 90,2 0,15 3. szint 90,8 0,21 Község 87,7 0,21 4. szint 95,0 0,14 5. szint 97,5 0,12 6. szint 98,9 0,12 7. szint 99,8 0,09 15

18 MATEMATIKA 4/97. FELADAT: FÉKTÁVOLSÁG MH09702 Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld (Igaz/Hamis)! Igaz A gépkocsi sebességének 10 km/óránkénti növekedésével a féktávolság is mindig állandó értékkel nő. I Kétszer akkora sebesség kétszer akkora féktávolságot eredményez. I A 60 km/h sebességgel haladó gépkocsi féktávolsága az 50 km/h sebességgel haladó gépkocsi féktávolságának körülbelül 133 százaléka. I A gépkocsi sebessége fordítottan arányos a féktávolsággal. I Hamis H H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: HAMIS, HAMIS, IGAZ, HAMIS ebben a sorrendben. 16

19 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Diagramértelmezés, vonaldiagram, értékleolvasás, százalékszámítás, arányszámítás, mennyiségek összehasonlítása A FELADAT LEÍRÁSA: Egy vonaldiagram tengelyeivel és a felvett értékekkel kapcsolatos állítások igazságtartalmát kell vizsgálni. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0046 0,00020 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 x 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,45-0,06-0,43 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 20,6 0,12 1. szint alatt 1,0 0,23 Főváros 27,7 0,43 1. szint 1,9 0,16 Megyeszékhely 25,1 0,26 2. szint 3,4 0,16 Város 19,0 0,19 3. szint 6,9 0,16 Község 15,8 0,22 4. szint 16,9 0,22 5. szint 35,3 0,36 6. szint 59,7 0,55 7. szint 86,6 0,73 17

20 MATEMATIKA 5/98. FELADAT: KUTYAKOR II. MH16301 Egy kutyákkal foglalkozó könyv szerint a kutyaéveket a következő táblázat segítségével lehet átszámítani emberi évekre. A táblázatban látható szabályszerűségek alapján melyik képlettel számítható át helyesen egy n éves (n 2) kutya életkora emberi évekre? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A n 8 24 B n 2 8 C n D n JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D Kutya Ember 6 hónap 10 év 8 hónap 13 év 1 év 15 év 2 év 24 év 4 év 32 év 6 év 40 év 8 év 48 év 18

21 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Táblázatkezelés, szabályalkotás, paraméterezés A FELADAT LEÍRÁSA: Egy táblázat oszlopai között fennálló matematikai kapcsolat paraméteres megfogalmazását kell kiválasztani a megadott lehetőségek közül. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0041 0,00034 Standard nehézség ,8 Tippelési paraméter 0,15 0,023 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,43-0,01-0,05-0,14-0,20-0,21 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 45,1 0,17 1. szint alatt 15,2 0,83 Főváros 50,5 0,47 1. szint 15,2 0,43 Megyeszékhely 49,8 0,34 2. szint 21,1 0,38 Város 43,1 0,22 3. szint 31,3 0,35 Község 41,7 0,28 4. szint 46,3 0,30 5. szint 65,3 0,35 6. szint 82,7 0,43 7. szint 95,8 0,41 19

22 MATEMATIKA 6/99. FELADAT: KVÍZ MH31301 Egy kvízjátékban a játékosoknak 18 kérdésre kell választ adniuk. A játék szabályai szerint a játékosoknak minden kérdésre válaszolniuk kell. Minden helyes válaszért 1 pontot kapnak, ugyanakkor minden hibás vagy kihagyott válaszért 1 pontot levonnak a már elért pontszámból. Hány pontot ért el Lili ebben a kvízjátékban, ha 13 kérdésre helyes választ adott, a többit viszont elhibázta? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 6 pontot B 8 pontot C 10 pontot D 13 pontot JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 20

23 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Szabályértelmezés, alapművelet A FELADAT LEÍRÁSA: Szövegesen megfogalmazott szabály alapján kell felírni és megoldani egy műveletsort. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0035 0,00012 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,42-0,02-0,06-0,21-0,18-0,28 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 80,7 0,11 1. szint alatt 19,9 0,91 Főváros 85,3 0,30 1. szint 40,1 0,62 Megyeszékhely 84,6 0,27 2. szint 62,8 0,44 Város 80,2 0,20 3. szint 79,1 0,24 Község 76,3 0,25 4. szint 88,7 0,19 5. szint 94,7 0,18 6. szint 97,3 0,16 7. szint 98,6 0,32 21

24 MATEMATIKA 7/100. FELADAT: KIRÁNDULÁS MH31001 Szabó úr a családjával egy 650 kilométernyi távolságra fekvő üdülőhelyre utazik autójával. Szabó úr autója 100 kilométeren átlagosan 5,25 liter benzint fogyaszt. Induláskor az autó 42 literes benzintankja csak a háromnegyed részéig van tele. Elegendő üzemanyag van-e a az autó benzintankjában, hogy odaérjenek az üdülőhelyre? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold is! I N Igen, elegendő üzemanyag van a benzintankban. Nem, nincs elegendő üzemanyag a benzintankban, tankolniuk kell útközben. Indoklás: 22

25 8. ÉVFOLYAM A FELADATHOZ TARTOZÓ ADATOK A KÖVETKEZŐ OLDALAKON TALÁLHATÓK. 23

26 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS A tanuló a Nem, nincs elegendő üzemanyag a benzintankban válaszlehetőséget jelölte meg (vagy válaszából egértelműen ez derül ki) és meghatározta azt a távolságot (600 km), amelyhez a tankban lévő benzin (31,5 liter) elegendő, VAGY azt a benzinmennyiséget (34,125 liter), amely 650 kilométer út megtételéhez szükséges, és azt a megfelelő mennyiséggel hasonlította össze. Tanulói példaválasz(ok): A tankban 42 3 = 31,5 liter benzin van, km-en 5,25 litert fogyaszt, akkor x km-en 31,5 litert, amiből x = 31,5 100 : 5,25 = 600 Tehát csak 600 kilométerre elég a benzin. 50 km-rel a cél előtt elfogyna a benzin. 600 km-nél elfogy az üzemanyag. 42 liter 3 4 = 31,5 liter 31,5 : 5,25 = km 100 km 5,25 liter 650 km-en x liter szükséges, x = 5,25 6,5 = 34,125 liter kellene. A tartályban 42 3 : 4 = 31,5 liter van, tehát még 34,125 31,5 = 2,625 liter kellene. Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a tanuló a 650 kilométeres út megtételéhez szükséges benzin mennyiségét helyesen meghatározta (34,125 liter) de ezt nem a megfelelő mennyiséggel hasonlította össze vagy nem hasonlította össze semmivel, VAGY a tartályban levő benzin mennyiségét határozta meg helyesen (31,5 liter), de ezt nem a megfelelő mennyiséggel hasonlította össze vagy nem hasonlította össze semmivel, VAGY amikor a tanuló helyesen határozta meg a kérdéses értékeket, de összekeverte a menynyiségeket. Tanulói példaválasz(ok): 100 km 5,25 liter 650 km-en x liter szükséges, x = 5,25 6,5 = 34,125 liter kellene, de a tartályba 42 liter fér. Tehát elég lesz. 650 km-hez 5,25 6,5 = 34,125 liter 34 liter benzin szükséges. A tartályban 42 3 : 4 = 31,5 liter benzin van. Igen, mert 34,125 litert használ el. Rossz válasz. X és 9-es kód. 24

27 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Mennyiségek és műveletek Gondolkodási művelet: Modellalkotás, integráció Kulcsszavak: Elsőfokú egyenlet, arányszámítás, mennyiségek összehasonlítása A FELADAT LEÍRÁSA: Arányszámítással kapott értéket kell egy adott értékkel összehasonlítani. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00007 Standard nehézség ,4 1. lépésnehézség lépésnehézség Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,59 0,08-0,16-0,54 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 42,9 0,14 1. szint alatt 0,4 0,11 Főváros 52,4 0,34 1. szint 1,7 0,13 Megyeszékhely 50,6 0,32 2. szint 6,4 0,18 Város 41,3 0,23 3. szint 21,0 0,23 Község 34,8 0,24 4. szint 48,8 0,30 5. szint 75,5 0,29 6. szint 89,5 0,26 7. szint 95,9 0,31 25

28 MATEMATIKA 8/101. FELADAT: PILLANGÓ MH23901 Nekeresdfalva általános iskolájába ellátogat az óvoda 20 nagycsoportosa. Az óvodásoknak egy-egy színes pillangót készítenek a kézművesszakkör tagjai. Minden pillangó alapja barna színű lesz, a köröket négyféle színű kartonból vágják ki: piros, kék, zöld és sárga. Tudnak-e mind a 20 óvodásnak más-más díszítésű pillangót készíteni úgy, hogy a négy kör különböző színű legyen a pillangón? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat indokold! I N Igen, tudnak 20 különböző pillangót készíteni. Nem, nem tudnak 20 különböző pillangót készíteni. Indoklás: JAVÍTÓKULCS 1-es kód: A tanuló az Igen, tudnak 20 különböző pillangót készíteni válaszlehetőséget jelölte meg (vagy válaszából egyértelműen ez derül ki), ÉS indoklása helyes. Helyes indoklásnak tekintjük azt is, ha a 24 lehetőséget felsorolta a tanuló, vagy felsorolt legalább 20 különböző pillangót úgy, hogy közben nem megfelelőt nem adott meg. Indoklás (pl.): 4 helyre kell 4 különböző színű kört elhelyezni az összes lehetséges módon. Ennek a lehetőségei: = 24 > 20 Tanulói példaválasz(ok): Mert ha egy szín a helyén marad és a másik hármat cserélgetjük, akkor 6 különböző fajta pillangó jön ki, és ezt meg lehet csinálni mind a 4 színnel = 24 > 20 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló válaszából az derül ki, hogy 4 4 = 16 különböző pillangó készíthető. Tanulói példaválasz(ok): 4 4 = 16 a négy szín miatt. 4 2 Nem, mert csak 4 2 lehetőség van s kód: Más rossz válasz = 256 Mert helyes színcserével lehetséges. Mert mind a 4 helyen lehet 4 fajta szín, ezért = Lásd még: X és 9-es kód. 26

29 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Gondolkodási művelet: Modellalkotás, integráció Kulcsszavak: Kombinatorika, ismétlés nélküli permutáció A FELADAT LEÍRÁSA: Adott elemek ismétlés nélküli permutációinak a számát kell meghatározni. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0045 0,00015 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0, ,42-0,6 0,48 0,08-0,07 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 23,4 0,14 1. szint alatt 0,2 0,12 Főváros 33,2 0,36 1. szint 0,7 0,10 Megyeszékhely 28,5 0,32 2. szint 2,6 0,12 Város 20,8 0,20 3. szint 8,8 0,19 Község 18,4 0,21 4. szint 20,8 0,29 5. szint 40,9 0,38 6. szint 65,9 0,54 7. szint 86,9 0,64 27

30 MATEMATIKA 9/102. FELADAT: MH18901 Dénes ben szeretne elküldeni egy 85 MB méretű videofájlt. A fájl mérete tovább már nem csökkenthető. Mivel egy ben legfeljebb 15 MB-nyi adatot lehet elküldeni, Dénesnek több részre kell darabolnia a videofájlt. Legkevesebb hány részre kell darabolnia Dénesnek a fájlt, hogy ben el tudja küldeni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 5 részre B 6 részre C 15 részre D 20 részre JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 28

31 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Maradékos osztás, kerekítés egészre A FELADAT LEÍRÁSA: Két számot kell egymással elosztani és az eredményt felfelé kerekíteni a legközelebbi egészre. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00008 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,43-0,02-0,11-0,07-0,20-0,34 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 76,9 0,13 1. szint alatt 25,7 1,01 Főváros 81,4 0,34 1. szint 38,0 0,63 Megyeszékhely 80,9 0,30 2. szint 54,9 0,45 Város 76,5 0,21 3. szint 71,3 0,31 Község 72,4 0,26 4. szint 85,3 0,25 5. szint 93,7 0,17 6. szint 97,3 0,17 7. szint 98,9 0,21 29

32 MATEMATIKA 10/103. FELADAT: BAKTÉRIUM MH31701 Egy biológus megfigyelte, hogyan növekszik egy baktériumtenyészet felülete. A megfigyelés kezdetekor 10 cm 2 volt a felület nagysága. Feljegyezte a baktériumtenyészet méretét az első öt óra során. Baktériumtenyészet felülete (cm 2 ) Eltelt idő (óra) ,5 1 21, , ,2 4 64,09 5 Ábrázold grafikonon a táblázat adatait, azaz a baktériumtenyészet méretének változását az eltelt idő függvényében! Nevezd el a tengelyeket, és jelöld az egységeket! 30

33 8. ÉVFOLYAM A FELADATHOZ TARTOZÓ ADATOK A KÖVETKEZŐ OLDALAKON TALÁLHATÓK. 31

34 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS A tanuló a táblázatban szereplő hat értékpár közül legalább 5-öt helyesen ábrázolt az idő függvényében. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem nevezte el a tengelyeket, de a beosztásból egyértelműen kiderült melyik tengelyen melyik mennyiséget ábrázolta. Elfogadható pontdiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram is. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló felcserélte a tengelyeket. Tanulói példaválasz(ok): 32

35 8. ÉVFOLYAM A FELADATHOZ TARTOZÓ ADATOK A KÖVETKEZŐ OLDALAKON TALÁLHATÓK. 33

36 MATEMATIKA Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló 2-3 adatot rosszul vagy nem ábrázolt, a többi érték ábrázolása helyes. Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló nem egyenletes skálabeosztást alkalmazott: a táblázatban szereplő értékeket úgy ábrázolta, hogy az összetartozó értékpárok egy egyenesre illeszkednek. Tanulói példaválasz(ok): Más rossz válasz. X és 9-es kód. 34

37 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció Adatábrázolás, egységmeghatározás A FELADAT LEÍRÁSA: Egy táblázat adatait kell grafikonon ábrázolni, a feladat része a tengelyek elnevezése és a beosztások meghatározása is. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0025 0,00007 Standard nehézség ,7 1. lépésnehézség lépésnehézség Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x 9 Pontozás ,6 0, ,3 0,0-0,3-0,6-0,01-0,09-0,27-0,34 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 52,5 0,14 1. szint alatt 2,0 0,26 Főváros 60,6 0,31 1. szint 6,3 0,27 Megyeszékhely 58,9 0,34 2. szint 19,7 0,33 Város 51,8 0,23 3. szint 40,5 0,32 Község 44,7 0,27 4. szint 61,4 0,29 5. szint 76,7 0,28 6. szint 87,7 0,32 7. szint 94,1 0,38 35

38 MATEMATIKA 11/104. FELADAT: EGYIPTOMI TEKERCS MH39301 Az ókori Egyiptom híres volt matematikusairól, az eredményeiket papirusztekercsek őrizték meg. Az egyik tekercsen egy olyan összefüggés leírása olvasható, amely alapján egy 9 egység átmérőjű, 10 egység magasságú, henger alakú gazdasági épület (csűr) térfogata határozható meg. Az egyiptomi leírás szerint melyik képlet írja le helyesen egy d átmérőjű és m magasságú henger alakú test térfogatát har -ban? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A d 1 9 d2 m 1,5 B C 1 9 d2 m 1,5 8 9 d2 m + 1,5 D 8 9 d 2 m 1,5 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 36

39 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció Paraméterezés A FELADAT LEÍRÁSA: Konkrét adatokkal megadott szövegesen megfogalmazott műveletsort kell paraméteres formába átírni. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0052 0,00060 Standard nehézség ,5 Tippelési paraméter 0,14 0,011 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás , ,3 0,0-0,3-0,6 0,26 0,00-0,01-0,06-0,03-0,18 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 22,7 0,13 1. szint alatt 12,6 0,75 Főváros 26,8 0,40 1. szint 12,6 0,48 Megyeszékhely 25,0 0,28 2. szint 13,3 0,26 Város 21,3 0,22 3. szint 15,2 0,27 Község 21,0 0,23 4. szint 19,4 0,24 5. szint 29,0 0,32 6. szint 46,8 0,53 7. szint 78,6 0,85 37

40 MATEMATIKA 12/105. FELADAT: POHARAK MH40301 Négy különböző formájú pohárba azonos mennyiségű folyadékot töltünk. Melyik ábra mutatja HELYESEN a folyadékok magasságát az egyes poharakban? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 38

41 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Tényismeret és rutinműveletek Térfogat, forgásszimmetria A FELADAT LEÍRÁSA: Azt kell megállapítani, hogy forgásszimmetrikus testeknél a sugár nagysága hogyan függ össze a térfogattal. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0035 0,00018 Standard nehézség ,9 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,36 0,42-0,13-0,03-0,11-0,07 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 83,1 0,12 1. szint alatt 19,9 0,90 Főváros 86,9 0,27 1. szint 42,6 0,61 Megyeszékhely 87,1 0,23 2. szint 66,0 0,46 Város 82,6 0,19 3. szint 83,0 0,26 Község 78,9 0,26 4. szint 91,6 0,20 5. szint 95,4 0,16 6. szint 97,6 0,17 7. szint 98,8 0,27 39

42 MATEMATIKA 13/106. FELADAT: FORMA-1 MH11801 A kanadai Forma-1-es futam helyi idő szerint kor kezdődik Montrealban, ahol az időeltolódás miatt 6 órával korábban van, mint Magyarországon. Egy futam maximum 2 órán keresztül tart. Végig tudja-e nézni Péter az élő tévéközvetítést Budapesten, ha legkésőbb kor le kell feküdnie aludni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold! I N Igen, végig tudja nézni. Nem, nem tudja végignézni. Indoklás: JAVÍTÓKULCS A tanuló az Igen, végig tudja nézni válaszlehetőséget jelölte meg (vagy válaszából egyértelműen ez derül ki), ÉS indoklásában megállapítja, hogy a futam budapesti idő szerint legkésőbb órakor befejeződik VAGY hogy Péternek montreali idő szerint kor kell lefeküdnie, a futam pedig legkésőbb kor befejeződik. Tanulói példaválasz(ok): Igen, mert kor a futam már 30 perce véget ért. Igen, = 20 óra + 2 óra futam = Igen, = = 22 Igen, Montreal = Magyarország 22:30 2:30 Egy futam pedig csak 2 óra. Igen, mert montreali idő szerint kor fekszik le, a futam pedig ig tart. A tanuló válaszából, gondolatmenetéből nem derül ki, hogy este vagy reggel 10 órára gondolt a futam befejezési időpontjának megadásakor, VAGY a tanuló csak arra utalt, hogy Péternek még marad fél órája a lefekvésig. Tanulói példaválasz(ok): Igen, mert a futam legkésőbb 10 órakor véget ér. Igen, mert ő csak fél óra múlva fekszik le a verseny vége után. Igen, mert még marad 30 perce is. Rossz válasz. Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló az Igen, végig tudja nézni válaszlehetőséget jelölte meg, de indoklása nem megfelelő vagy hiányzik Montreal Bp = Végig tudja nézni. Nem, mert 24:30-ig tart a Forma1 és Péter akkor már rég alszik. Igen, mert 14 6 = 8 és = 10 [Az időeltolódást rossz irányban számolja.] Igen, mert ha csak kor kell lefeküdnie, van ideje mindenre. Igen, mert 20-kor kezdődik. X és 9-es kód. 40

43 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Óra, időeltolódás, elsőfokú egyenlet A FELADAT LEÍRÁSA: Egy elsőfokú egyenletet kell felállítani és megoldani, majd a kapott eredményt öszszehasonlítani egy adott értékkel. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00010 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0, ,45-0,6 0,51-0,05-0,15 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 58,4 0,17 1. szint alatt 2,5 0,43 Főváros 67,7 0,36 1. szint 10,9 0,42 Megyeszékhely 65,9 0,40 2. szint 26,1 0,37 Város 57,4 0,22 3. szint 48,1 0,37 Község 49,4 0,35 4. szint 67,4 0,31 5. szint 82,3 0,26 6. szint 91,2 0,28 7. szint 96,6 0,38 41

44 MATEMATIKA 14/107. FELADAT: ISKOLAÉPÜLET MH14001 Az alábbi rajz egy iskola kétemeletes épületét mutatja oldalnézetből. Középen található a lépcsőház, jobbra és balra a különböző termek. Az iskolában a helyiségek azonosítója egy betű és két számjegy. A betű az épületszárnyat, az első számjegy a szintet (földszint: 0, első emelet: 1, ) jelzi, a második számjegy pedig azt, hogy az adott helyiség a szürke színnel jelölt lépcsőháztól számítva hányadik a folyosón. Például: a B szárnyban az első emeleten a 3. helyiség a B13 jelzésű kémia-előadó. Add meg a rajz alapján a következő helyiségek azonosítóját! Tanári szoba. Fizikaszertár. Énekterem. JAVÍTÓKULCS Mindhárom helyiség azonosítója helyes: Tanári szoba A02; Fizikaszertár B24; Énekterem A11 Tanulói példaválasz(ok): A2, B24, A11 Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha két helyiség azonosítója helyes, a harmadik rossz vagy hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): A02, B24, A10 A12, B24, A11 A02, B34, A11 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az A szárny számozását nem a lépcsőháztól, hanem az épület bal szélétől kezdte, de ettől eltekintve a válasza helyes. Tanulói példaválasz(ok): A03, B24, A14 A3, B24, A14 Más rossz válasz. A3, B18, A5 A szárny, B szárny, A szárny. 42 X és 9-es kód.

45 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció Koordináta-rendszer A FELADAT LEÍRÁSA: Egy nem hagyományos koordináta-rendszerben kell megadni bizonyos pontok helyzetét. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0017 0,00005 Standard nehézség ,5 1. lépésnehézség lépésnehézség Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,43 0,09 0,01-0,30-0,32 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 50,5 0,14 1. szint alatt 1,6 0,27 Főváros 58,9 0,40 1. szint 7,1 0,32 Megyeszékhely 56,3 0,33 2. szint 21,2 0,32 Város 49,6 0,23 3. szint 41,0 0,34 Község 43,1 0,30 4. szint 58,9 0,31 5. szint 71,9 0,29 6. szint 80,1 0,43 7. szint 86,0 0,64 43

46 MATEMATIKA 15/108. FELADAT: VALUTA MH05201 Zoli és Peti nyáron külföldön járt. Zoli Franciaországba utazott, és 70 euró készpénzt vitt magával, Peti Japánba ment, és jent vitt magával. A következő táblázat az egyes valuták árfolyamát mutatja. A vételi ár azt jelenti, hogy a váltóhely hány forintért vesz meg egy egységet az adott valutából, az eladási ár pedig azt, hogy hány forintért ad el belőle egy egységet. Valutakód A valuta neve Egység Vételi ár Eladási ár EUR euró 1 265,00 272,00 JPY japán jen ,00 200,00 Hány forintot váltott be a két fiú az utazás előtt? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! Zoli. Ft-ot váltott be. Peti. Ft-ot váltott be. 44

47 8. ÉVFOLYAM A FELADATHOZ TARTOZÓ ADATOK A KÖVETKEZŐ OLDALAKON TALÁLHATÓK. 45

48 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 1-es kód: Mindkét érték helyes: Zoli: Ft, Peti: Ft. A helyes értékek látható számítások nélkül is elfogadhatók. Számítás: 70 euró 272 = = Tanulói példaválasz(ok): , Zoli forint, Peti forint Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a következő három hibalehetőség egyikét követte el. (1) helyesen kiszámította a Zoli által beváltott pénzt ( Ft), de Péter esetében nem vette figyelembe, hogy a valuta ára 100 jenre vonatkozott (nem pedig 1 jenre), ezért válasza Ft (2) ha a tanuló mindkét esetben a vételi árral számolt (az eladási ár helyett) helyes gondolatmenetet követve, ezért válasza és forint, (3) ha a tanuló vegyes árakkal számolt, azaz egyik pénznem esetében eladási árral, a másik esetben vételi árral. Tanulói példaválasz(ok): Zoli: , Peti: , Zoli = forint, Peti = forint 1 euró 265 Ft 70 euró Ft 100 jen 192 Ft jen Zoli: , Peti: [vegyes árakkal számolt] = = [vegyes árakkal számolt] 7-es kód: A tanuló helyesen kiszámította a Zoli által beváltott pénzt ( Ft), és Péter esetében törekedett arra, hogy figyelembe vegye, azt hogy a valuta ára 100 jenre vonatkozik, de válasza Ft-tól és Ft-tól eltér 10 hatványainak megfelelő nagyságrendben. Tanulói példaválasz(ok): Zoli forint, Peti forint 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló az 1-es kódnál leírt hibázási lehetőségek közül többet is elkövetett = : 192 = Z: 1904, P: Z: , P: [az euró eladási és az euró vételi árfolyamával számolt] Lásd még: X és 9-es kód. Megj.: A 2-es kód 2 pontot ér, az 1-es és 7-es kód 1 pontot ér. 46

49 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció Táblázatkezelés, arányszámítás A FELADAT LEÍRÁSA: Egy táblázat megfelelően kiválasztott adataival kell két arányszámítást végrehajtani. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00010 Standard nehézség ,3 1. lépésnehézség lépésnehézség Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x 9 Pontozás ,6 0,3 0, ,25 2-0,3 0,42 0,21 0,04-0,36-0,6 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 33,9 0,12 1. szint alatt 0,8 0,19 Főváros 41,0 0,33 1. szint 3,1 0,17 Megyeszékhely 40,2 0,29 2. szint 8,6 0,17 Város 32,4 0,19 3. szint 19,7 0,22 Község 27,8 0,23 4. szint 36,6 0,24 5. szint 54,6 0,29 6. szint 70,7 0,38 7. szint 84,8 0,53 47

50 MATEMATIKA 16/109. FELADAT: KÖNYVESPOLC MH08101 Egy könyvtárban a következő könyvespolc-összeállítás található a bejárati ajtó körül. A könyvek függőlegesen állnak egymás mellett az egyes polcokon. Körülbelül hány könyv fér el összesen az ábrán látható könyvespolcokon, ha egy könyv átlagos vastagsága 2 cm? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 230. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: 1 polcon körülbelül 46 cm : 2 = 23 könyv fér el. Összesen 10 polc van, tehát kb. 230 könyv. Tanulói példaválasz(ok): 10 x 46 cm polc van 460 centi 1 könyv 2 cm 460 cm-en 230 könyv fér el. 46 : 2 = 23 könyv egy kis fiók 10 fiók van = 230 könyv. 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): :2 = = 368 [Az ajtó helyét is polcnak vette.] Lásd még: X és 9-es kód. 48

51 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Összeszámolás, arányszámítás A FELADAT LEÍRÁSA: Grafikus megjelenítés segítségével végrehajtott összeszámolás eredményével kell elvégezni egy arányszámítást. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0040 0,00016 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok 0 1 x 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3 21-0,26 0,53-0,39-0,6 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 61,6 0,16 1. szint alatt 3,0 0,40 Főváros 68,9 0,38 1. szint 9,9 0,39 Megyeszékhely 67,1 0,33 2. szint 28,3 0,45 Város 61,2 0,24 3. szint 51,8 0,34 Község 54,4 0,30 4. szint 72,2 0,30 5. szint 86,1 0,26 6. szint 93,6 0,29 7. szint 98,0 0,28 49

52 MATEMATIKA 17/110. FELADAT: DIOPTRIA MH10601 A dioptria a geometriai optika lencsékre jellemző mennyisége, főként szemüveglencsék jellemzésére használják. A dioptria értéke a következő képlettel számítható ki: D = 1 f, ahol D a dioptria, f a fókuszpont lencsétől számított távolsága méterben. Ha a fókusztávolság kétszeresére nő, hogyan változik a dioptria értéke? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D kettővel csökken kettővel nő felére csökken kétszeresére nő JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 50

53 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Törtek, műveletek törtekkel A FELADAT LEÍRÁSA: Azt kell felismerni, hogyan változik egy tört értéke, ha a nevezőjét a kétszeresére növeljük. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0067 0,00064 Standard nehézség ,7 Tippelési paraméter 0,33 0,015 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás , ,3 0,0-0,3-0,6 0,35-0,01-0,01-0,12-0,12-0,27 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 47,3 0,15 1. szint alatt 24,5 0,88 Főváros 52,4 0,41 1. szint 26,8 0,55 Megyeszékhely 50,3 0,33 2. szint 30,3 0,43 Város 45,9 0,26 3. szint 35,2 0,31 Község 44,6 0,26 4. szint 44,8 0,34 5. szint 63,0 0,33 6. szint 83,5 0,42 7. szint 97,1 0,39 51

54 MATEMATIKA 18/111. FELADAT: VIRÁGÜZLET MH15001 A Margaréta virágüzletben nagyon sok cserepes virág kapható. Az üzlet tulajdonosa előre bejegyzi a naptárába, hogy melyik növényt mikor kell meglocsolni. A vízipálmát kétnaponta, az orchideákat ötnaponta, a kaktuszféléket hetente kell megöntözni. A naptárban április 17-ére az van bejegyezve, hogy mindhárom növényt locsolni kell aznap. Legközelebb hány nap múlva szerepel ugyanilyen bejegyzés a naptárban? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 140 B 70 C 35 D 14 E 10 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 52

55 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Mennyiségek és műveletek Gondolkodási művelet: Modellalkotás, integráció Kulcsszavak: Legkisebb közös többszörös A FELADAT LEÍRÁSA: A feladatban 3 szám legkisebb közös többszörösét kell meghatározni. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0049 0,00029 Standard nehézség ,1 Tippelési paraméter 0,21 0,014 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x 8 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,47-0,02-0,08-0,11-0,10-0,21-0,25 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 50,5 0,17 1. szint alatt 16,8 0,81 Főváros 58,4 0,40 1. szint 18,1 0,54 Megyeszékhely 55,4 0,35 2. szint 23,0 0,39 Város 48,7 0,26 3. szint 33,9 0,39 Község 45,3 0,30 4. szint 53,5 0,31 5. szint 74,8 0,32 6. szint 89,7 0,35 7. szint 97,3 0,35 53

56 MATEMATIKA 19/112. FELADAT: FOGASKERÉK MH20301 A következő ábrán két fogaskerék vázlatos rajza látható. A nagyobbik fogaskerék sugara 60 cm, a kisebbé 20 cm. Mennyit fordul a kisebbik fogaskerék egy perc alatt, ha a nagyobbik fordulatszáma 200 fordulat/perc? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 600. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: 60 : 20 = = 600 (A tanuló helyesen felismerte, hogy a kerekek kerületével fordítottan arányos a fordulatszám. ) VAGY K (kicsi) = 2rπ = ,14 = 125,6 K (nagy) = ,14 = 376,8 s (nagy) = 376,8 200 = A kicsi is ennyi utat meg, ezért : 125,6 = 600-at fordul a kicsi. (Kiszámította a nagyobb kerék által megtett utat, és ennek alapján számolta ki a kisebbik kerék fordulatszámát.) Tanulói példaválasz(ok): fordulat/perc Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló egyenes arányosságot feltételezett a fogaskerekek kerülete és a fordulatszám között, ezért válasza 200 : 3 = 66,67 vagy ennek kerekítése 66-ra vagy 67-re. Tanulói példaválasz(ok): Mivel a sugár a harmada, ezért a fordulatszám is a harmada lesz, tehát ,7 66,6 Más rossz válasz. X és 9-es kód. 54

57 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Kör kerülete, fordított arányosság A FELADAT LEÍRÁSA: Azt kell felismerni és alkalmazni, hogy két kerék sugara és fordulatszáma fordítottan arányos. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00014 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x 9 Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,46 0,08-0,19-0,35 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 33,3 0,16 1. szint alatt 1,1 0,23 Főváros 38,5 0,38 1. szint 3,4 0,23 Megyeszékhely 37,8 0,37 2. szint 8,6 0,26 Város 32,3 0,23 3. szint 19,1 0,28 Község 28,9 0,28 4. szint 34,5 0,30 5. szint 53,9 0,37 6. szint 72,4 0,54 7. szint 86,4 0,77 55

58 MATEMATIKA 20/113. FELADAT: SZÓTÁR MH21101 Kati szeretné megtudni, hány szót tartalmaz egy szótár. Elkezdte összeszámolni, hány szó található egy-egy oldalon. Eredményeit a következő táblázatban foglalta össze. 1. oldal 25 szó 2. oldal 32 szó 3. oldal 18 szó 4. oldal 27 szó 5. oldal 30 szó Hogyan tudná Kati megbecsülni a szótárban szereplő szavak számát anélkül, hogy megszámolná a többi oldalon lévő szavakat is? Írd le az általad javasolt MATEMATIKAI MÓDSZERT, és azt, hogy milyen információra lenne még szükség a becsléshez! A módszer leírása: A módszerhez szükséges információ: 56

59 8. ÉVFOLYAM 57

60 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS A tanuló válaszából egyértelműen kiderül, hogy a szükséges információ az oldalszám lenne, (akár úgy, hogy az oldalszám függvényében írja fel a paraméteres kifejezést) ÉS a módszer leírása is helyes. A módszer például: a feljegyzett adatokból átlagot számítana, majd ezt szorozná a szótár oldalainak számával, VAGY egy tartományt adott meg a táblázat adatai alapján, 1 oldalon kb szó szerepel, ezért egy n oldalas könyv esetében 18n 32n a szótárban lévő szavak száma, VAGY az egy oldalon található szavak minimális és maximális értékének átlagával számolt, ezért válasza 25n, ahol n az oldalak száma. Tanulói példaválasz(ok): 1 oldalon átlagosan 132 : 5 = 26,4 szó szerepel, tehát ha x oldalas a szótár, akkor 26,4x (vagy 26x) szót tartalmaz. 5 oldalon összesen 132 szó szerepel, akkor n oldalon 132n szó szerepel. 5 Ennek az 5 oldalnak kell venni a szavak átlagát, majd ezt az átlagot az oldalakkal megszorozzuk. 18n 32n, ha n oldalas a könyv. [tartományt ad meg] 25 oldalak száma [a szavak minimális és maximális értékének átlagával számol] Az összoldalszámot elosztom 3-mal és az első 3 oldal összegével szorzom. A tanuló helyesen felismerte, hogy a becsléshez az egy oldalon található átlagos szószám ismerete szükséges, de nem derül ki a válaszából, hogy ismerni kellene még az oldalak számát is, vagy ha az oldalszámot is megadta az átlagos szószám mellett, akkor a velük végzendő művelet megadása hiányzik vagy nem megfelelő. Tanulói példaválasz(ok): Tudnunk kellene, hogy egy oldalon átlagosan hány szó szerepel. Egy oldalon a szavak átlaga, és az oldalszám [A módszer leírása hiányzik, a szükséges információk megadása jó.] 5 oldal átlaga, oldalszám [Nem írta oda, hogy össze kell szorozni őket.] Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló csak a szükséges információt (oldalszám) adta meg helyesen, a módszer leírása hiányzik vagy nem megfelelő. Az oldalszámnak nem kell feltéltenül A módszerhez szükséges információ -nál szerepelnie, ha a módszer leírásánál szerepel ez a kifejezés, akkor azt már értékeljük. Tanulói példaválasz(ok): Oldalszám Úgy, hogy átlagot számol és beszorozza az összes oldallal. [Az átlagot számol kifejezés nem elég konrkét.] Az oldalszám, és hogy a többi oldalon hány szó szerepel. [A tanuló a megadott táblá zatot folytatná az összes oldalra vonatkozóan.] Más rossz válasz. X és 9-es kód. 58

61 8. ÉVFOLYAM A KÉRDÉS BESOROLÁSA Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Komplex megoldások és kommunikáció Statisztikai módszer megadása, átlagszámítás A FELADAT LEÍRÁSA: A tanulónak arra kell módszert adnia, hogy részek (nem az összes) számosságának ismeretében hogyan lehet meghatározni az egész számosságát. A módszeren kívül meg kell adnia a módszer alkalmazásához szükséges hiányzó adatot is. A FELADAT STATISZTIKAI PARAMÉTEREI Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0025 0,00005 Standard nehézség ,0 1. lépésnehézség lépésnehézség Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x 9 Pontozás , ,3 0,0-0,3-0,6 0,35 0,22 0,15-0,09-0,37 SZÁZALÉKOS MEGOLDOTTSÁG Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 13,6 0,10 1. szint alatt 0,2 0,08 Főváros 19,1 0,30 1. szint 0,6 0,08 Megyeszékhely 16,6 0,26 2. szint 1,6 0,10 Város 12,6 0,15 3. szint 3,9 0,13 Község 10,0 0,17 4. szint 10,3 0,17 5. szint 23,2 0,28 6. szint 42,7 0,56 7. szint 66,2 0,91 59