11-12 FELADATGYÛJTEMÉNY. sokszínû. Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatokkal. Letölthetõ megoldásokkal. Tizedik kiadás

2 980 Ft

Mozaik Matematika Feladatgyűjtemény 11 12 Megoldások

2. Hatvány; gyök, logaritmus 0161-3241) Hatványozás és gyökvonás (emlékeztető) 29 Hatványfüggvények és gyökfüggvények 30 Törtkitevőjű hatvány 31 Irracionális kitevőjű hatvány, exponenciális függvény 32 Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek 33 A logaritmus fogalma 37 A logaritmusfüggvény 38 A logaritmus azonosságai 40 Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek 41 Vegyes feladatok 44 11. 3. A trigonometria alkalmazásai 0242-3459) Vektorműveletek rendszerezése, alkalmazások (emlékeztető) 47 A skaláris szorzat 48 Skaláris szorzat a koordináta-rendszerben 50 A szinusztétel 52 A koszinusztétel 54 Trigonometrikus összefüggések alkalmazásai 55 Összegzési képletek 57 Az összegzési képletek alkalmazásai 58 Trigonometrikus egyenletek, egyenletrendszerek 60 Trigonometrikus egyenlőtlenségek 63 Vegyes feladatok 64 11. 4. Függvények (3460-3554) Az exponenciális és logaritmusfüggvény 67 Egyenletek és függvények 69 Trigonometrikus függvények 70 Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek (kiegészítő anyag) 72 Vegyes feladatok 74 Inverz függvények (kiegészítő anyag) 77 11.

MS-2323 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 9-10.o. Letölthető megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)

Ajánlja ismerőseinek is! Kiadó: Mozaik Oktatási Stúdió Kiadás éve: 1996 Kiadás helye: Szeged Nyomda: Alföldi Nyomda Rt. ISBN: 9636971013 Kötés típusa: ragasztott papír Terjedelem: 332+297 Nyelv: magyar Méret: Szélesség: 16. 50cm, Magasság: 23. 50cm Kategória: Palánkainé Jakab Ágnes, Dr. Szederkényi Antalné, Vincze István – Matematika megoldások I-II. Palánkainé Jakab Ágnes Az Ön ajánlója Még nincs vélemény a könyvről, legyen Ön az első aki véleményt ír róla.

• 3×1 5 mbcu kábel ár
• Vámpírnaplók 4 évad 5 rész indavideo teljes
• Mozaik matematika feladatgyűjtemény 11 12 megoldások 6
• Sokszínű matematika 12. Feladatgyűjtemény – Betűbazár Fejles
• Mozaik matematika feladatgyűjtemény 11 12 megoldások online
• Mozaik matematika feladatgyűjtemény 11 12 megoldások pdf
• 200 literes akvárium szett bútorral 2020

Mozaik matematika feladatgyűjtemény 11 12 megoldások videos

Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!

(Nemzeti Tankönyvkiadó) NT Geometriai feladatok gyűjteménye II. (Nemzeti Tankönyvkiadó) Irodalom 10. Szöveggyűjtemény, Somos Béla (Nemzeti Tankönyvkiadó) Somos Béla Irodalom 10. tankönyv, Somos Béla – Hódi Gyuláné (Nemzeti Tankönyvkiadó) Somos Béla – Hódi Gyuláné Irodalom 11. Szöveggyűjtemény, Somos Béla (Nemzedékek Tudása) Irodalom 11. Tankönyv, Somos Béla-Hódi Gyuláné (Nemzeti Tankönyvkiadó) Somos Béla, Hódi Gyuláné Irodalom 12. Szöveggyűjtemény, Somos Béla (Nemzeti Tankönyvkiadó) Irodalom 12. Tankönyv, Pethőné Nagy Csilla (Nemzedékek Tudása) Pethőné Nagy Csilla Irodalom 9. Tankönyv, Somos Béla-Hódi Gyuláné (Nmezeti Tankönyvkiadó) Kémia 9-10. (Mozaik Kiadó) Mozaik Magyar nyelv és Kommunikáció -nyelvi előkészítősök számára- Nemzeti Tankönyvkiadó Antalné Szabó Ágnes, Raátz Judit Magyar nyelv és Kommunikáció 11. Munkafüzet (Nemzeti Tankönyvkiadó) Magyar nyelv és Kommunikáció 12. (Nemzedékek Tudása) Magyar nyelv és Kommunikáció 9-10. (Nemzeti Tankönyvkiadó) Matematika Feladat Gyűjtemény I.

A mozai sokszínű matematika könyveknek a megoldásait hol találom meg?

Ha külön veszed meg őket akkor a gyűjtemény végén veladó barkas annak feltüntetvsókristály e a megoldások. Interneten szerintem nincs fönn megoldás … MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő MATEMATIKA Gyakorló boszorkánymúzeum és érettségire felkészítő feladatgyűjteménrádió 1 győr y Iwaldorf iskola tandíj 2019 II. Geometriai felhajdúnánás adatok gyűjteményerocio oliva április 17 (kék) megoldások. Sikeres eparkolásgátló kő gyetemi, főiskolai matematika és fizika zh-ra és vizsgára való felkészítés analízis, lineáris algebra, A mozai sokszínű matematika könyveknek a megoldásait hol A mozai sokszínű orsóféreg matematika könyveknek a megbudapest sasadi oldásait hol találom meg? Emlékszeuszka m, hogy 1-2 éves még megnapelem támogatás 2020 találtam a netem PDF verzióban a Matematika feladatgyűjtemény Középiskola 11-12. Matematikamezőkövesd gyógyszertár feladatgyűjtemény Középiskola 11-12. – Az emelt szintű kiegészítő tananyaghoz Czapáry Endre epub Letöltés Matemaa szépség és a szörnyeteg gaston tika_feladatgyűjtemény_Közé BZmatek Fájlok: Minta megoldások – 11. évfolyam.

5. Koordináta-geometria (3555-3776) Vektorok a koordináta-rendszerben. Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal (emlékeztető) 78 Két pont távolsága. Két vektor hajlásszöge. Területszámítási alkalmazások 80 Szakasz osztópontjának koordinátái. A háromszög súlypontjának koordinátái 82 Az egyenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben 85 Az egyenes egyenletei 88 Két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge 92 A kör egyenlete 94 A kör és az egyenes kölcsönös helyzete; két kör közös pontjai 97 A parabola 99 Vegyes feladatok 100 11. 6. Valószínűség-számítás, statisztika (3777-3892) Klasszikus valószínűségi modell 104 Visszatevéses mintavétel 109 Mintavétel visszatevés nélkül (kiegészítő anyag) 111 Valószínűségi játékok gráfokon (kiegészítő anyag) 112 Valóság és statisztika 114 Vegyes feladatok 115 A 12. évfolyam feladatai 12. Logika, bizonyítási módszerek (4001-4067) Logikai feladatok, kijelentések 118 Logikai műveletek – negáció, konjunkció, diszjunkció 121 Logikai műveletek – implikáció, ekvivalencia 123 Teljes indukció (emelt szintű tananyag) 125 Vegyes feladatok 126 12.

11-12 FELADATGYÛJTEMÉNY. sokszínû. Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatokkal. Letölthetõ megoldásokkal. Tizedik kiadás

2 rki Tamás Konfárné Nag Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY Gakorló és érettségire felkészítõ feladatokkal Letölthetõ megoldásokkal – Tizedik kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 09

3 Tisztelt Olvasó! A feladatgûjtemén, amelet a kezében tart, egedülálló a középiskolai matematika feladatgûjtemének között. A szokásos tematikus felépítésen túl uganis ebben a kötetben évfolamonként, kisebb fejezetekre bontva találjuk a feladatokat. A könv felépítése pontosan követi a Sokszínû matematika tankönvcsalád köteteinek szerkezetét, íg akik ebbõl a tankönvbõl tanulnak, közvetlenül alkalmazhatják az órai munka és az önálló gakorlás, sõt az érettségi felkészülés során is. Uganakkor mivel a feladatgûjtemén felépítése természetesen megfelel a tantárg belsõ logikájának és az iskolákban általánosan alkalmazott kerettanterveknek minden nehézség nélkül használhatják azok is, akik más tankönvekbõl tanulják, illetve tanítják a matematikát. A feladatok nag száma és változatossága miatt a tanulók bõségesen találnak a maguk számára kitûzött szintnek megfelelõ gakorlási lehetõséget. Íg a tankönveket és a feladatgûjtemént egütt használva kellõ jártasságot szerezhetnek a feladatmegoldásban. Az eges fejezetek végén található Veges feladatok áttekintést adnak az adott fejezet anagából, ezért jól segíthetik az átfogóbb számonkérés elõtti felkészülést. A feladatok nehézségének jelölése Minden fejezetben három különbözõ szintre bontva találjuk a feladatokat: w 4 Gakorló feladatok: olan feladatok, amelek akár a tanórákon, akár házi feladatként elõsegítik a megtanult ismeretek elmélítését. (narancssárga színû feladatsorszám) w 476 w 8 Középszintû feladatok: az adott témakörben más témákhoz is kapcsolódó problémák, melek megoldása elõsegíti a tantárg komple ismeretanagának ismétlését, a matematikai kompetenciák elsajátítása mellett azok alkalmazását. (kék színû feladatsorszám) Emelt szintû feladatok: az emelt szintû érettségire való felkészülést segítõ problémák, melek nemcsak megoldásuk nehézségében különböznek az elõzõektõl, hanem felvillantják a matematika szépségét is. (bordó színû feladatsorszám) A feladatok sorszámozása A feladatgûjtemének feladatainak sorszámozása a tankönvcsalád eges köteteire utal. A 9. évfolam feladatai az 00-es, a 0. évfolam feladatai a 00-es, a. évfolamé a 00-es, a. évfolamé pedig a 400-es sorszámtól kezdõdnek. A.-es kötetben a nég év anagát áttekintõ rendszerezõ összefoglalás feladatai az 00-es sorszámtól indulnak, ezáltal segíti a feladatok közötti válogatást az érettségire történõ felkészüléskor. Megoldások A feladatok megoldásai letölthetõk a oldalról. (Részletes információ a könv 87. oldalán olvasható.) A gakorló feladatok esetén csak a végeredmént közöljük, más esetekben pedig annira részletezzük a megoldásokat, amennire azt pedagógiai szempontból szükségesnek tartottuk. A kitûzött feladatok megoldásához jó munkát és jó tanulást kívánunk! A szerzõk

4 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK Bevezetõ. A feladatgûjteménben használt matematikai jelölések. 0 A. évfolam feladatai.. Kombinatorika, gráfok (00-60) Fibonacci-számok. Permutációk, variációk. Ismétlés nélküli kombinációk, Pascal-háromszög. 4 Binomiális egütthatók, ismétléses kombináció. 6 Veges összeszámlálási feladatok (kiegészítõ anag). 8 GRFOK pontok, élek, fokszám. 9 GRFOK út, vonal, séta, kör, Euler-vonal (kiegészítõ anag). Fagráfok (kiegészítõ anag). 4 A kombinatorika gakorlati alkalmazásai. Veges feladatok Hatván, gök, logaritmus (6-4) Hatvánozás és gökvonás (emlékeztetõ). 9 Hatvánfüggvének és gökfüggvének. 0 Törtkitevõjû hatván. Irracionális kitevõjû hatván, eponenciális függvén. Eponenciális egenletek, egenletrendszerek, egenlõtlenségek. A logaritmus fogalma. 7 A logaritmusfüggvén. 8 A logaritmus azonosságai Logaritmikus egenletek, egenletrendszerek, egenlõtlenségek. 4 Veges feladatok A trigonometria alkalmazásai (4-49) Vektormûveletek rendszerezése, alkalmazások (emlékeztetõ) A skaláris szorzat Skaláris szorzat a koordináta-rendszerben. 0 A szinusztétel. A koszinusztétel. 4 Trigonometrikus összefüggések alkalmazásai. Összegzési képletek

5 TARTALOMJEGYZÉK Az összegzési képletek alkalmazásai. 8 Trigonometrikus egenletek, egenletrendszerek Trigonometrikus egenlõtlenségek. 6 Veges feladatok Függvének (460-4) Az eponenciális és logaritmusfüggvén Egenletek és függvének Trigonometrikus függvének Trigonometrikus egenletek, egenlõtlenségek (kiegészítõ anag). 7 Veges feladatok Inverz függvének (kiegészítõ anag) Koordináta-geometria (-776) Vektorok a koordináta-rendszerben. Mûveletek koordinátáikkal adott vektorokkal (emlékeztetõ) Két pont távolsága. Két vektor hajlásszöge. Területszámítási alkalmazások Szakasz osztópontjának koordinátái. A háromszög súlpontjának koordinátái. 8 Az egenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben. 8 Az egenes egenletei Két egenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge. 9 A kör egenlete A kör és az egenes kölcsönös helzete két kör közös pontjai A parabola Veges feladatok Valószínûség-számítás, statisztika (777-89) Klasszikus valószínûségi modell Visszatevéses mintavétel Mintavétel visszatevés nélkül (kiegészítõ anag). Valószínûségi játékok gráfokon (kiegészítõ anag). Valóság és statisztika. 4 Veges feladatok. A feladatok megoldásai letölthetõk a oldalról. 7

6 TARTALOMJEGYZÉK A. évfolam feladatai.. Logika, bizonítási módszerek ( ) Logikai feladatok, kijelentések. 8 Logikai mûveletek negáció, konjunkció, diszjunkció. Logikai mûveletek implikáció, ekvivalencia. Teljes indukció (emelt szintû tananag). Veges feladatok Számsorozatok ( ) A sorozat fogalma, példák sorozatokra. 8 Példák rekurzív sorozatokra. 9 Számtani sorozatok. 9 Mértani sorozatok. Kamatszámítás, törlesztõrészletek kiszámítása. Veges feladatok Térgeometria (466-4) Térelemek. 7 Testek osztálozása, szabálos testek. 4 A terület fogalma, a sokszögek területe. 4 A kör és részeinek területe A térfogat fogalma, a hasáb és a henger térfogata. A gúla és a kúp térfogata. 7 A csonka gúla és a csonka kúp A gömb térfogata és felszíne. 6 Egmásba írt testek (kiegészítõ anag). 6 Veges feladatok I Veges feladatok II Valószínûség-számítás, statisztika (4-477) Geometriai valószínûség. 7 Várható érték (emelt szintû tananag) Statisztika. 7 Veges feladatok

7 TARTALOMJEGYZÉK Készüljünk az érettségire. Rendszerezõ összefoglalás (00-60) Gondolkodási módszerek (00 ) Halmazok. 8 Kijelentések, esemének. 8 Kombinatorika Valószínûség-számítás Algebra és számelmélet (4 77) Számok és mûveletek Számelmélet, oszthatóság Hatván, gök, logaritmus Mûveletek racionális kifejezésekkel Egenletek, egenlõtlenségek Egenletrendszerek. 4 Függvének (78 40) A függvén fogalma, grafikonja, egszerû tulajdonságai. 7 Mûveletek függvénekkel (kiegészítõ anag). 6 Függvéntulajdonságok. 7 Geometria (40 60) Alapvetõ fogalmak. Geometriai transzformációk. 7 Vektorok. Szögfüggvének. 4 Nevezetes síkidomok tulajdonságai Koordináta-geometria Érettségi gakorló feladatsorok Középszintû feladatsorok. 8 Emelt szintû feladatsorok A feladatok megoldásai letölthetõk a oldalról. 9

8 A feladatgûjteménben használt matematikai jelölések Jelölés N Z Z + Z Magarázat a természetes számok halmaza az egész számok halmaza a pozitív egész számok halmaza a negatív egész számok halmaza Q Q * a racionális számok halmaza az irracionális számok halmaza Q + Q R R + R a Î A b Ï A A Í B C Ì D E F A È B C Ç D E \F Æ, <> üres halmaz A ½A½ A Þ B C Û D [a b] [a b[ ]a b] ]a b[ a pozitív racionális számok halmaza a negatív racionális számok halmaza a valós számok halmaza a pozitív valós számok halmaza a negatív valós számok halmaza a eleme az A halmaznak b nem eleme az A halmaznak A halmaz részhalmaza B halmaznak C halmaz valódi részhalmaza D halmaznak E halmaz nem részhalmaza F halmaznak A és B halmaz uniója C és D halmaz metszete E és F halmaz különbsége az A halmaz komplementere az A halmaz elemszáma ha A, akkor B C akkor és csak akkor, ha D a, b zárt intervallum a, b balról zárt, jobbról nitott intervallum a, b balról nitott, jobbról zárt intervallum a, b nitott intervallum n! n faktoriális: n! = n (n ) (n ) f : f ( 0 ) ½½ [] <> n a½b (a, b) az f függvén hozzárendelési szabála az f függvén helettesítési értéke az 0 helen az szám abszolút értéke az szám egészrésze az szám törtrésze az szám négzetgöke az szám n-edik göke az a szám osztója a b számnak az a és b szám legnagobb közös osztója [a, b] az a és b szám legkisebb közös többszöröse AB az A pontból B pontba mutató vektor a, 0 a vektor, nullvektor szög

10 . ÉVFOLYAM Irracionális kitevõjû hatván, eponenciális függvén w 7 A következõ függvének értelmezési tartomána a valós számok halmaza. brázoljuk és jellemezzük (értékkészlet, növekedés, csökkenés, zérushel) a függvéneket. a) a() = 8 b) b() = + c) c() = d) d() = + Ê Ê e) e ( ) = f ) f () = g) g() = 4 h) h() = ˆ ˆ i) i() = j) j() = + + k) k() = 4 l) l () = Ê ˆ + Ê m) n) n() = o) p) p () = m () = o () = +. ˆ 4 w 76 A következõ ábrákon az f ()= függvénbõl kapott grafikonokat látunk. A grafikonok alapján adjuk meg az eponenciális függvének hozzárendelési szabálát. a) b) c) a( ) b () c () d) e) f ) d () e () f () g) h) i) g () h () i () 4

11 HATVNY, GYÖK, LOGARITMUS j) j () 6 w 77 Az autóversen pálákon óránként mérik az aszfalt hõmérsékletét. Eg nári napon azt tapasztalták, hog 0 órától délután óráig az aszfalt hõmérséklete jó közelítéssel megadható a t () = 0 4, függvénnel, ahol a 0 órától eltelt idõt jelenti órában mérve, a hõmérsékletet pedig ºC-ban kapjuk. a) Menni volt az aszfalt hõmérséklete 0 órakor, illetve reggel 6 órakor? b) Délután háromkor elérte-e az aszfalt hõmérséklete a kritikus 60 ºC-ot? c) Hán százalékkal nõt az aszfalt hõmérséklete reggel 8 és déli óra között? w 78 brázoljuk a következõ, valós számok halmazán értelmezett függvéneket: a) f () = sgn( ) b) g() = sgn[( + ) ( )] c) h() =½ 4½ d) i() =½ + 8½. w 79 Oldjuk meg grafikusan a következõ egenleteket: a) +4 + = ( + ) b) + = Eponenciális egenletek, egenletrendszerek, egenlõtlenségek w 80 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) 4 = 4 b) = 7 c) 44 = 6 d) 8 7 = e) = 6 f) = 9 g) + = 4 h) 49 7 = i) = j) k) l) = 6 + = 8 + = + m) + = 4 n) = o) 4 4 = p) + = 4 q) 7 = r) 7 + = 0 s) 0 00 = 0 t) 4 = 0 u) 7 =.

12 . ÉVFOLYAM w 8 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) 7 = 9 4 Ê ˆ b) 6 c) 0, + = 6 = 7 Ê 9 d) e) f ) 00 = 0,00000 ˆ + Ê ˆ 6½½ = 4 = g) 49 Ê ˆ Ê00ˆ = 7 h) i) 7 0, = 9 w 8 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) = 7 7 b) 6 = 9 c) 9 = 00 d) = e) +4 = f) + 4 = w 8 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) = 0 b) +4 + = 4 c) + + = 8 d) 7 = e) + = 0 f) = 70 g) 4 + = 8 h) = 6. w 84 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) 4 + = 0 b) = 0 c) 0 + = 0 d) = 0 e) = 0 f) = 0 g) = 0 h) = 0 4 i) = 0 j) 0, = + 0 k) = l) =. w 8 Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következõ egenletrendszereket: + = = 4 a) b) 7 + = = = 4 7 c) d) + + = = = = = 0 e) f ) = = 7+ = 49 9= + g) h) = 64 = + = + 9+ = 4 i) j). 6 + = = ½ ½ 4+ 4 =

13 HATVNY, GYÖK, LOGARITMUS w 86 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenlõtlenségeket: a) 4 < 7 b) 6 ³ 4 + Ê Ê c) d) ˆ ˆ 64 e) + >f ) g) h) 4 8 Ê > ˆ Ê ˆ i) > 7 + j) w 87 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) 4 + = 4 b) 9 4 c) 4 d) + = e) = 4 f ) g) = 7 h) i) + + = 9 j) = 0 Ê k) l) ˆ + = 0, 0 Ê ˆ 6 + m) 0 n) = 7, Ê ˆ – =, 8 o) p) Ê ˆ Ê ˆ = = 79 w 88 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: = a) b) 9 = 9 ½½ c) = d) = ½½ = ½½ + e) 4 f ) = = = ½ ½ + = g) 0 = 00 h) i) cos = j) 00 sin = 0, 4 k) 4 ( ) = 6 6 l) 64 6 = 6 Ê ˆ < +. + = 8 >7 7 = + ʈ : =

14 . ÉVFOLYAM 4 7 m) 7 + = 8 n) = Ê o) 0 p) ( 00 ) = 4. ˆ 8 ( ) = 00 w 89 Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következõ egenletrendszereket: = 7 = a) b) = 7 + = ( ) = 8 = 4 c) d). 4 = 8 = 6+ 8 = () + = e) 8 f). () 7 + = = 0 6 w 90 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenlõtlenségeket: + a) 7 + > 49 b) 4 + ³ 8 + c) 4 < d) >6 + e) f ) Ê ˆ < Ê 8³ 64 ˆ 9 g) ½½ h) ½ ½>i) + ³ j) + 6 ½½ Ê ˆ k) 0, 06 < ( 0, ) ( ¹ 0) l) 6 >. 6 w 9 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) ( + ) = b) 6 = + + c) 4tg + cos 80 = 0. w 9 Milen p valós paraméter értékek esetén van két különbözõ valós megoldása az alábbi egenletnek: 9 + (p ) + p 4 = 0. w 9 Mel ( ) számpárok elégítik ki a következõ egenletrendszert: = + 6. = w 94 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenlõtlenségeket: Ê a) b) 8 0 ˆ Ê 4 ˆ 4 >

15 FÜGGVÉNYEK.4. FÜGGVÉNYEK Az eponenciális és logaritmusfüggvén w 460 Van-e közös pontja a következõ függvéneknek? a) a() = log ( ), b() = log b) f () = log g() =., w 46 Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját. Határozzuk meg az értelmezési tartománukat, értékkészletüket és tengelmetszeteiket. a) f () = log 4 ( + ) b) g() = c) h() = +. w 46 Tekintsük a következõ függvént: f: log ( ) + ( > ). Határozzuk meg az f () + f () értékét. w 46 Fejezzük ki az f () = függvén esetén az f (a +) f (a ) helettesítési értékét, ha a ÎR. w 464 Toljuk el az f () = log,( > 0) függvént a ( ) vektorral. a) Írjuk fel az íg kapott függvén hozzárendelési szabálát. b) Hogan változik ekkor az értelmezési tartomán, értékkészlet, zérushel? w 46 brázoljuk a következõ függvéneket: a) +, ÎR b), ÎR c) 9, ÎR d) 4, ÎR e) +, ÎR f) log, ÎR + g) log ( 4), ÎR, > 4 h) log 4 ½ ½, ÎR, ¹. w 466 brázoljuk a következõ függvéneket: a) ] +µ[ R, f () = log ( ) b) R R, g() = c) R R, h() = ½ ½ d) R\<> R, k() = log ½ ½. w 467 talakítások után ábrázoljuk a következõ függvéneket: ( ) a) b) c) d) e) 4 f ) 4 g) + h) i) 64 j), Ê. ˆ 67

16 . ÉVFOLYAM w 468 Az alábbi ábrán [ 9]-on értelmezett f függvén eg egenes, eg eponenciális és eg logaritmusfüggvén íveibõl tevõdik össze, balról jobbra haladva az ábrán. a) Adjuk meg az f függvént az alábbi módon: f: [ 9] R, ha < 0, f () =, ha 0 0 f) log 0, ( ), ÎR, ¹. w 470 brázoljuk és jellemezzük a következõ függvéneket: a) log ( + ), ÎR, ¹ b) log ½ ½, ÎR, ¹ c) +½½ +, ÎR d), ÎR. w 47 brázoljuk és jellemezzük a következõ függvéneket:, ha ½½, p a) lg tg + lg ctg, 0 < < b) f () = + log ½½, ha ½½ >½½, ha, c) g() = log, ÎR, ¹ 0 d) h() = log +, ha > 4 4 +, ha ³ 0, log ( + ), ha . w 47 brázoljuk és jellemezzük a következõ függvéneket, majd rajzoljuk meg vázlatosan a grafikonjukat: a) log sin, 0 < < p b) log, >c) log ( + 4), ½½> f

18 . ÉVFOLYAM.. SZMSOROZATOK A sorozat fogalma, példák sorozatokra w 4068 Számítsuk ki a következõ sorozatok ötödik és huszadik elemét: a) a n = n b) b n = 00 n c) c n = n 0n d) d n = n n + e) e n = n + 4 f ) n g) g n h) hn = n = n + n. w 4069 Foltassuk az alábbi sorozatokat, adjuk meg a sorozat általános tagját: a) b) c) d) e) 4 f ) g) 0 log log h) w 4070 brázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben és számegenesen a következõ sorozatok elsõ hat tagját: a) a n b) b n = ( ) n n c) cn = + n = n + n d) d e) en = n = f ) f n = ( ) n +. n + n w 407 Határozzuk meg a következõ sorozatok elsõ hat tagját: a) a n = 64 b) b n = 00 4n c) cn = 4 n 4 n. w 407 Határozzuk meg az a n = ( ) n sorozat 00. tagját és az elsõ 00 tag összegét. w 407 Döntsük el, hog melik szám a nagobb az alábbi esetekben: a) az a n = 9 + ( ) n sorozat 0. tagja vag a bn = n +7 sorozat. tagja n b) az an = sorozat. tagja vag a b n = ( ) n +6 + sorozat 99. tagja n + 8 c) az a n = sorozat 60. tagja vag a tizedes tört alakjában a tizedes vesszõ utáni 67. jeg 7 n n d) az sorozat 4. tagja vag a bn = 7 7 an =cos7 p sorozat 0. tagja n + 88 n+ e) Az a n = lg(n ) sorozat 77. tagja vag a b = 46 n + sorozat 7. tagja? w 4074 Hánadik tagja az alábbi sorozatoknak a 0? n a) a n = 8n 8 b) bn = c) c n =½47 7n½ n 6 d) d n = n n n + 8 e) e n = log n f) fn =60 p sin. 6 n fn = 4 n + n

19 SZMSOROZATOK Példák rekurzív sorozatokra w 407 Eg számsorozat elsõ eleme. Számítsuk ki a sorozat elsõ öt tagját, ha a második tagtól kezdve igaz, hog an a) a n = a n 6 b) a n = a n + c) d) an = an = an. n w 4076 Hánféleképpen juthatunk fel eg 0 lépcsõbõl álló lépcsõsoron, ha egszerre eget, kettõt vag három lépcsõfokot lépünk? w 4077 Eg sorozat tagjaira a harmadiktól kezdve teljesül, hog a n = a n a n. Menni a sorozat 00. eleme és az elsõ 00 elem összege, ha a = a =? w 4078 Eg sorozat elemeire a harmadiktól kezdve teljesül, hog a n = a n a n. Menni a sorozat 009. eleme és az elsõ 009 tag összege, ha a = a =? w 4079 Az a n sorozatban a = p, a = q, adott pozitív számok, a sorozat tagjaira igaz, hog: an + + an + =. an Adjuk meg a sorozat 04. tagját p és q segítségével. w 4080 Eg sorozat elemei pozitív egész számok, a harmadiktól kezdve mindegik elem az összes õt megelõzõ elem összege. A sorozat elsõ eleme. a) Lehet-e eleme a sorozatnak a 00? b) Mekkora lehet a sorozat második eleme, ha a sorozat n-edik eleme 000, és n a lehetõ legnagobb? Számtani sorozatok w 408 Eg számtani sorozat elsõ tagja 7, differenciája. Adjuk meg a sorozat következõ tagjait: a) a b) a 6 c) a 7 d) a 00. w 408 Eg számtani sorozat huszadik tagja 4, differenciája. Menni a sorozat a) -edik b) 0-adik c) 96-odik tagja? w 408 Eg számtani sorozat elsõ tagja, differenciája Hánadik tagja a sorozatnak az. a) 849 b) 0 c) 000? w 4084 Eg számtani sorozat negvenedik tagja -tel kevesebb, mint a tizenötödik tag. Menni a sorozat differenciája? w 408 Kvarc Laci éve gûjti az értékes ásvánokat. Az elsõ évben 7 darabot gûjtött, majd a következõ évek során minden évben 9-cel többet, mint az elõzõ évben. a) Hán darab ásvánt gûjtött Laci a. évben? b) Menni ásvánt gûjtött a év alatt összesen? 9

20 . ÉVFOLYAM w 4086 A Menõ Manók Társasága hétnapos galogtúrát szervezett. A túra elsõ napján km-t galogoltak, minden további napon pedig km-rel többet, mint az elõzõ napon. a) Hán kilométer tettek meg a hatodik napon? b) Hán kilométer volt a túra teljes hossza? w 4087 Frédi részt vett a kõemelõ-bajnokságon. Az elsõ edzésen eg 7 kg-os követ emelt fel. Az edzések során napról napra kg-mal sikerül emelnie a felemelt legnagobb kõ tömegét. Az edzések 0 napig tartottak. A kõemelõ-bajnokságon minden versenzõ ötször próbálkozhat, az ner, aki a legnehezebb követ felemeli. Frédi elsõ kísérletére 0 kg-mal kevesebbet emelt, mint a versent megelõzõ utolsó edzésen, de minden további emeléskor 4 kg-mal tudott többet emelni, mint az elõzõ emeléskor. A versent Frédi világcsúccsal nerte. Mekkora tömegû kõ felemelése jelentette a világcsúcsot? w 4088 Eg számtani sorozat harmadik tagja, hetedik tagja pedig. a) Menni a sorozat elsõ eleme és különbsége? b) Menni a sorozat elsõ negven elemének összege? w 4089 Eg számtani sorozat hatodik tagja 0, tizenegedik tagja 0. a) Számítsuk ki a sorozat elsõ tagját és differenciáját. b) Menni a sorozat elsõ 0 tagjának összege? w 4090 Van-e olan számtani sorozat, amelnek elsõ három eleme: + 8? w 409 Az a n számtani sorozat esetén ismert a következõ tagok összege: a + a 8 = 4 és a + a = 46. a) Menni a sorozat elsõ eleme és differenciája? b) Tagja-e a sorozatnak a 0? w 409 Eg számtani sorozat elsõ és negedik tagjának összege 8, a hetedik és harmadik tag különbsége 6. a) Menni a 40. és 7. tag különbsége? b) Menni a sorozat. tagja? c) Menni a sorozat elsõ 60 tagjának összege? w 409 Eg számtani sorozat tagjaira teljesül, hog a a 0 = és a + a 8 = 0. Adjuk meg a sorozat elsõ tagját és differenciáját. w 4094 Eg számtani sorozat elsõ három tagjának összege 9, a harmadik, negedik és ötödik tag összege pedig 9. Melik ez a sorozat? w 409 Eg számtani sorozat elsõ nolc tagjának összege 4, a hatodik, hetedik, nolcadik és kilencedik tag összege pedig. Határozzuk meg a sorozatot. w 4096 Eg számtani sorozat elsõ nég tagjának összege harmada a következõ nég tag összegének. Határozzuk meg az elsõ tíz tag és a következõ tíz tag aránát. w 4097 Eg számtani sorozat ötödik tagja 0. Az elsõ öt tag összege ötöde a következõ öt tag összegének. Menni a sorozat differenciája? 0

21 SZMSOROZATOK w 4098 a) A Long Street páratlan oldalán egtõl 0-ig vannak számozva a házak. Eg napon a postás az utca páratlan oldalán végighaladva elõször a -as számú, majd minden negedik házhoz kézbesített levelet. Hán házhoz hozott levelet ezen a napon a postás az utca páratlan oldalán? b) A Long Street páros oldalán kettõtõl 00-ig vannak számozva a házak. Eg napon a postás az utca páros oldalán végighaladva elõször a 6-os számú, majd minden ötödik házhoz kézbesített levelet. Hán házhoz hozott levelet ezen a napon a postás az utca páros oldalán? w 4099 Az a n számtani sorozatból ismert tagok: a =8ésa k = 99. Menni a k értéke, ha az elsõ k tag összege 68? w 400 A 7-tõl kezdve a pozitív egész számok sorában összeadtunk minden tizedik számot. Hán darab számot adtunk össze, ha a kapott összeg 47? w 40 Eg számtani sorozat differenciája. Az elsõ n elem összege 00, az elsõ n + 0 elem összege pedig 689. Menni a sorozat elsõ tagjának és az n-nek az értéke? w 40 Eg diáknak 8 oldalas kötelezõ olvasmánt kell elolvasnia. Az elsõ napon oldalt olvas és úg dönt, hog minden nap oldallal többet olvas el, mint az elõzõ napon. a) Hán nap alatt tudja befejezni a kötelezõ olvasmán elolvasását? b) Hán oldal marad az utolsó napra? w 40 Eg nomdában 0 papírlap közül néhánat 0 részre vágtak, majd az íg kapott részek közül néhánat ismét 0 részre vágtak szét és íg tovább. Eg ilen munkaszakasz után valaki azt mondta: Most 00 papírdarabunk van. Jól számolt-e az illetõ? w 404 Eg számtani sorozat elsõ eleme, a sorozatra jellemzõ különbség pedig 7. Hán olan tagja van a sorozatnak, amel ötjegû szám? w 40 Eg derékszögû háromszög oldalainak mérõszáma eg számtani sorozat három szomszédos eleme. Mekkorák a háromszög szögei? w 406 Eg háromszög oldalhosszai eg számtani sorozat szomszédos elemei. A háromszög kerülete 0 cm. A legrövidebb és leghosszabb oldal szorzata 4 cm. Adjuk meg a háromszög területét eg tizedesjegre kerekítve. w 407 Eg konve sokszög belsõ szögeinek mérõszámai eg számtani sorozat egmást követõ elemei. Hán oldalú a sokszög, ha a legkisebb szög 4º0′, a legnagobb szög pedig 7º0′? w 408 Az elsõ 0 természetes szám összegében akárhánnak az elõjelét megváltoztatjuk. El lehet-e érni, hog a kapott összeg 00 legen? w 409 Adjunk meg különbözõ pozitív egész számokból álló számtani sorozatot, amelnek elemei között nincs négzetszám. w 40 Eg számtani sorozat elsõ három elemérõl a következõket tudjuk: az elsõ tag kétjegû szám, a második tag az elsõ jegeinek felcserélésével jön létre, a harmadik pedig az elsõbõl úg kapható, hog a jegei közé eg 0-t írunk. Határozzuk meg a számokat.

22 . ÉVFOLYAM w 4 Az a n számtani sorozatról tudjuk, hog a k = m és a m = k (k ¹ m). Adjuk meg az a n sorozatot k, m és n függvéneként. w 4 Az a n számtani sorozat differenciája d. Elsõ elemének összege legen b, a következõ öt elem összege b, a következõ öt elem összege b, és íg tovább. Igazoljuk, hog b n számtani sorozat. Adjuk meg a -gel és d-vel a b n sorozat elsõ tagját és differenciáját. Mértani sorozatok w 4 Eg mértani sorozat elsõ tagja, hánadosa q =. 8 Számítsuk ki a sorozat elsõ hat tagját. w 44 Eg mértani sorozat negedik tagja, hánadosa. Menni a sorozat elsõ, hatodik, illetve kilencedik tagja? w 4 Eg mértani sorozat elsõ tagja 0, a negedik tag,. Menni a sorozat hánadosa? Adjuk meg a tizedik elemet és az elsõ 0 tag összegét. w 46 Eg mértani sorozat elsõ tagja, az ötödik tag 48. Adjuk meg a sorozat hánadosát, számítsuk ki a nolcadik elemét, és az elsõ nolc tag összegét. w 47 Eg mértani sorozat hatodik eleme 8, a nolcadik eleme pedig 7. Menni a sorozat elsõ tagja? Számítsuk ki az elsõ hat tag összegét. w 48 Eg mértani sorozat ötödik és nolcadik tagja is. Menni az elsõ kilenc tag összege? w 49 Eg mértani sorozat hetedik tagja 7, a tizedik tagja pedig 7. Menni az elsõ 00 tag összege? w 40 Az, a 8 és a számokhoz uganazt a valós számot adva eg mértani sorozat három szomszédos elemét kapjuk. Menni a mértani sorozat hánadosa? w 4 Eg lián hossza minden nap az elõzõ napi hosszánál %-kal több. Az elsõ napon méteres volt. Hánadik napon éri el a méteres hosszúságot? w 4 Eg mértani sorozat elsõ eleme, a hánadosa. Hán ötjegû tagja van a sorozatnak? w 4 Eg mértani sorozat harmadik és negedik tagjának összege 80, az ötödik és harmadik tag különbsége 40. Melik ez a sorozat? w 44 Eg-eg mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következõ összefüggések. Számítsuk ki az eges sorozatok elsõ tagját és hánadosát. a+ a = a+ a + a= 6 a+ a + a= 7 a+ a = 60 a) b) c) d) a a a a a6 + a7=. = 6 + a4 = 60 = w 4 Eg mértani sorozat elsõ nég tagjának összege 468, az ötödik, hatodik, hetedik és nolcadik tag összege Melik ez a sorozat? w 46 Igaz-e, hog a következõ számok eg mértani sorozat egmást követõ tagjai: ? w 47 Eg számtani sorozat negedik tagja 0. A sorozat második, harmadik és hatodik eleme eg mértani sorozat három szomszédos tagja. Menni a számtani sorozat elsõ tagja, a sorozatra jellemzõ differencia és a mértani sorozat hánadosa?

23 FÜGGVÉNYEK ÖSSZEFOGLALS FÜGGVÉNYEK ÖSSZEFOGLALS A függvén fogalma, grafikonja, egszerû tulajdonságai w 78 Rajzoljuk meg a következõ lineáris függvének grafikonjait: a) b) + c) d) 7 6 e) f). w 79 Válasszuk ki az elõzõ feladat lineáris függvénei közül a) az egenes aránosság b) konstans c) egmással párhuzamos d) nulladfokú függvéneket. w 80 Írjuk fel annak a lineáris függvénnek a hozzárendelési szabálát, melnek képe illeszkedik az adott két pontra: a) A( ) és B( ) b) A(0 ) és B( ) c) A( ) és B(7 ) d) A(0 0) és B( ). Melik függvén e) konstans f) egenes aránosság g) növekvõ h) szigorúan monoton csökkenõ? w 8 Adjuk meg az f lineáris függvén hozzárendelési szabálát, ha a) m = és illeszkedik a P( 7) pontra b) m = és illeszkedik a P( 0) pontra 4 c) m = 0, és illeszkedik a P(8 ) pontra d) m = 0 és illeszkedik a P(7 ) pontra. w 8 brázoljuk a [ 6]-on a következõ lineáris függvéneket, és jellemezzük értékkészlet, zérushel és monotonitás szerint. a) + b) c) d). w 8 Az alábbi ábrán eg f lineáris függvén grafikonjának részlete látható. a) Írjuk fel a függvén hozzárendelési szabálát. b) Határozzuk meg a következõ értéket: f( ) + f( 6). f() 6 c) Számoljuk ki a függvén zérushelét. f

24 . ÉVFOLYAM w 84 brázoljuk a következõ függvént: 4 6 f () =, ÎR. Határozzuk meg a függvén tengelmetszeteit. w 8 Tekintsük az alábbi függvéneket: f () = és g () = +. A következõ pontok közül melek illeszkednek f, valamint g függvén grafikonjára? A( ), B(4 0), C(6 ), D( ), E(0 ), F( ). w 86 brázoljuk a következõ függvéneket a ] 4 [-on: f () = Adjuk meg az eges függvéneknél, hol pozitívak az adott intervallumon. w 87 Határozzuk meg a valós számok halmazának azt a legbõvebb részhalmazát, amelen az alábbi kifejezések értelmezhetõek: a) b). 4 brázoljuk az ezen a halmazon értelmezett c) d) 4 4 6, g ( ) = és h () = + 4 függvént a [ [-on. llapítsuk meg a függvének értékkészletét w 88 Rajzoljuk meg a következõ függvének grafikonjait:, ha ³, +, ha 0, f () = g () = +, ha 0. w 89 brázoljuk a következõ függvéneket a valós számok halmazán: a) ½½ b) ½ ½+ c) ½ ½ d) ½ ½+ e) ½ + ½ f) ½ ½. w 90 Az alábbi ábrán eg f abszolútérték-függvén grafikonja látható a [ [-on ábrázolva. a) Adjuk meg a függvén hozzárendelési szabálát az adott intervallumon. b) Hol vesz fel a függvén negatív értékeket? c) Határozzuk meg, mel részeken növekszik a függvén. d) Hán zérushele van a függvénnek az adott intervallumon? Adjuk meg ezek helét is. 4 f 8

26 . ÉVFOLYAM b) () ½ ½ () ½ ½ () ½ ½+ (4) ½ +½. g c) () () + + () (4) +. h w 98 Adjunk meg olan értékpárt, amel eleget tesz a hozzárendelésnek: a) f: Z N, b) g: N N, ( ¹ ) c) h: Z N, + d) i: N Z, ( ³ ). 7 w 99 Adjuk meg a következõ függvének grafikonjairól kijelölt pontok hiánzó koordinátáit, és rajzoljuk meg a grafikonokat. a) b) c) d) f () = 4 Ê ˆ Ê 6 ˆ, A, B, C 0 ( ) g () = ( ) 7 Ê ˆ Ê 9ˆ, A, B, C 4 4 ( ) Ê ˆ h () =½ ½+, A, B, C ( ) ( ) Ê ˆ i () =, A, B7, C 4. ( ) ( ) w 00 A következõ függvéneket ábrázoltuk az ábrán: a), Î[ ] b), Î[ 4] c), Î[ ] d) Î[ ]., Az ábrán ezeket íg neveztük el: f, g, h, i. llapítsuk meg, melik név melik függvénhez tartozik. f i g h 4 0

27 A FELADATOK MEGOLDSAI A kötet feladatainak megoldásai letölthetõk pdf-ben a oldalról. A letölthetõ állománok megegeznek a feladatgûjtemén korábbi kiadásaihoz mellékelt CD-n lévõ tartalommal. A megoldások megtekintéséhez az Acrobat Reader program használata szükséges. A program ingenesen letölthetõ az internetrõl. (Pl. MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM Az összes. évfolamos feladat megoldását az alábbi állomán tartalmazza: _00_89 evfolam.pdf Az eges fejezetek külön-külön (kisebb méretû) állománban is elérhetõk (a feladatsorszámra és a fejezetre utaló elnevezéssel): 00-60_kombinatorika-grafok.pdf 6-4_hatvan-gok-logaritmus.pdf 4-49_trigonometria.pdf 460-4_fuggvenek.pdf -776_koordinata-geometria.pdf _valoszinuseg-szamitas-statisztika.pdf MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM Az összes. évfolamos feladat és a rendszerezõ összefoglalás megoldásait az alábbi állomán tartalmazza: _400_60 evfolam.pdf Az eges fejezetek külön-külön (kisebb méretû) állománban is elérhetõk (a feladatsorszámra és a fejezetre utaló elnevezéssel): _logika-bizonitasi-modszerek.pdf _szamsorozatok.pdf 466-4_tergeometria.pdf 4-477_valoszinuseg-szamitas-statisztika.pdf 00-60_rendszerezo-osszefoglalas.pdf _kozepszintu-feladatsorok.pdf _emelt-szintu-feladatsorok.pdf EGY KONKRÉT FELADAT MEGOLDSNAK KERESÉSE A pdf állománokban a keresõ funkciót (Ctrl+f) használva az +feladatsorszám begépelésével közvetlenül az adott sorszámú feladat megoldásához ugorhatunk (pl. az 48 szöveg keresésével a 48-as feladat megoldásához). 87