Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 11. Az érthetõ matematika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST

/ xi = x1 + x2 + f + x8 i =1

Matematika 11 az érthető matematika megoldások

Mai 1178
Heti 9172
Havi 31588
Összes 4003254
IP: 104.28.222.237 Chrome – Windows 2022. október 14. péntek, 09:18

Ki van itt?

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium


Óbudai Árpád Gimnázium


Szent István Gimnázium

A gondolkodás öröme

Érthető matematika tankönyv. 11. osztály, 208. oldal

Hány háromjegyű páros természetes szám van, amelyik tartalmazza az 1-es számjegyet?

Megoldások

Megtekint	Letölt
Szerzők megoldásai (3 megoldás)

Keresés

Honlapok

Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok

Wolfram Alpha

Wolfram MathWorld

Art of Problem Solving

Kvant

IMO

EGMO

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 11. Az érthetõ matematika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST

3 TARTALOM Fontosabb jelölések 6 A tankönyv használatáról 7 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS 8 Vegyes algebrai feladatok ismétlés 9 Egészkitevõjû hatványok, azonosságok Az nedik gyök és azonosságai Racionális kitevõjû hatvány, permanencia elv 7 Az eponenciális függvény 0 Eponenciális egyenletek 6 Eponenciális egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek 7 7 A logaritmus fogalma 0 O A természetes alapú logaritmus és egyéb matematikatörténeti érdekességek (olvasmány) 8 A logaritmusfüggvény 9 A logaritmus azonosságai 9 0 Logaritmusos egyenletek Logaritmusos egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek 8 Gyakorlati alkalmazások O Közelítõ értékek (olvasmány) II TRIGONOMETRIA 60 Skalárszorzás 6 Skalárszorzással megoldható feladatok a koordinátarendszerben 6 A szinusz és koszinusztétel alkalmazása 68 6 A szinusz és koszinusztétel alkalmazása 7 O Addíciós tételek (olvasmány, emelt szint) 76 7 Trigonometrikus egyenletek 8 8 Trigonometrikus egyenletek 88 9 Trigonometrikus egyenlõtlenségek (emelt szint) 9 O Skaláris szorzat geometriai alkalmazásai (olvasmány) 99 Válogatás érettségi elõkészítõ feladatsorokból 0 III FÜGGVÉNYEK 06 0 Az inverz függvény fogalma, elsõfokú függvény inverze (ismétlés) 07 Gyakrabban elõforduló függvények és inverzeik (ismétlés) 0 Trigonometrikus alapfüggvények jellemzése Függvénytranszformációk általános vizsgálata 8 Összetett trigonometrikus függvények ábrázolása és jellemzésük 6 Egyenletek grafikus megoldása 9 7 Egyenlõtlenségek grafikus megoldása (emelt szint) 8 Gyakorlati problémák vizsgálata

4 TARTALOM IV KOORDINÁTAGEOMETRIA 8 Bevezetés Egyértelmû vektorfelbontási tétel 9 Felezõpont, súlypont, osztópont koordinátái (ismétlés) Skaláris szorzat koordinátákkal 6 O A beírt kör középpontjának koordinátái (olvasmány, nem érettségi tananyag) 0 Az egyenes normálvektoros egyenlete 6 Egyenes irányvektoros egyenlete, két ponton átmenõ egyenes egyenlete 7 Irányszög, iránytangens, iránytényezõs egyenlet 6 8 Metszéspont meghatározása 9 9 A párhuzamosság és a merõlegesség koordinátageometriai feltétele 6 O Geometriai transzformációk és koordináták (olvasmány) 6 0 Pont és egyenes távolsága (két párhuzamos egyenes távolsága) 67 Adott középpontú és sugarú kör egyenlete 69 Kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet 7 Egyenes és kör kölcsönös helyzete 7 Adott pontban húzott és adott irányú érintõk meghatározása 77 Két kör kölcsönös helyzete, érintkezõ körök (emelt szint) 79 6 Ponthalmazok a koordinátasíkon (egyenlet, egyenlõtlenség, mértani hely) 8 O Parabola és a másodfokú egyenlet (olvasmány, emelt szint) 87 O Kúpszeletek (olvasmány, nem érettségi tananyag) 9 7 Alkalmazások 96 V KOMBINATORIKA, GRÁFOK 0 8 Ismétlés 0 9 Binomiális együtthatók 08 O Binomiálistétel, Pascalháromszög (olvasmány) 6 0 Gyakorlófeladatok 0 O A kombinatorika leggyakoribb leszámolási struktúrái (olvasmány) 6 A gráfmodell 9 A gráfmodell alkalmazása; gráfok egyenlõsége 6 Gráfok jellemzõi Vegyes feladatok (gráfok) 0 O Néhány érdekes gráfelméleti probléma (olvasmány) 6 Kombinatorikai és gráfelméleti alkalmazások 60

5 TARTALOM VI VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS, STATISZTIKA 66 Bevezetés 67 6 Független események (emelt szint) 68 7 Binomiális eloszlás 7 8 Statisztikai mintavétel (visszatevéssel vagy visszatevés nélkül) 76 O Játékok elemzése (olvasmány) 80 9 Statisztika körülöttünk 8 FOGALOMTÁR 9

6 FONTOSABB JELÖLÉSEK 6 Az A pont és az e egyenes távolsága: d(a; e) vagy Ae vagy Ae Az A és B pont távolsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pont összekötõ egyenese: e(a; B) Az f és f egyenesek szöge: B (; f f) vagy (; f f) B A B csúcspontú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a C pont található: ABCB A C csúcspontú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcsokkal rendelkezõ háromszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c oldalú háromszög fél kerülete: s a b c + + A derékszög jele: * Az e egyenes merõleges az f egyenesre: e f Az e egyenes párhuzamos az f egyenessel: e f Egybevágóság:,; ABCO, AlBlCO l Hasonlóság: + ; ABCO + AlBlCO l A hasonlóság aránya: m Az A pontból a B pontba mutató vektor: AB Az A pontba mutató helyvektor: a vagy A v vektor: v vagy v vagy v A természetes számok halmaza: N; Az egész számok halmaza: Z < ; ; ; 0; ; ; >A pozitív, a negatív egész számok halmaza: Z +, Z , < ; ; ; >A racionális, az irracionális számok halmaza: Q, Q* A pozitív, a negatív racionális számok halmaza: Q +, Q A valós számok halmaza: R A pozitív, a negatív valós számok halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak. “;! N, g Z Részhalmaz, valódi részhalmaz:, ; A R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q A + + Halmazok uniója, metszete. +; Halmazok különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, <> Az A halmaz komplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; ” 0;;, Végtelen: ; N Az szám abszolút értéke: ;,, Az f függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f, R f Az f függvény hozzárendelési szabálya: f: 7 f]g ; f: 7 + f]g y; f ] g + Az f függvény helyettesítési értéke az 0 helyen: f0 ( ); f(), ha 0 Az f függvény inverze: f n faktoriális: n!;! Az X sokaság átlaga: X Az összegzés jele: ; 8 / i i A, B, A+ B + + f + 8 Permutációk: P n ; P n n!, P! klm Ismétléses permutációk: P,, n, (k + l + m # n); klm. P n! ; P! n 0 k! $ l! $ m!! $! k k Variációk: V n ; V n n (n ) (n ) (n k + ); V $ $ 60 ki ki Ismétléses variációk: ; n k,i V, V, n n ; V k n Kombinációk: C n vagy d n; k n n n k C $ ^ h $ f $ ^ + h k ; C $ n 0 k! $ n Binomiális együttható: ; $ d n d n 0 k $ Állítások tagadása (negációja): J Állítások diszjunkciója, konjunkciója:, Állítások implikációja, ekvivalenciája:, vagy, Univerzális kvantor (minden ) Egzisztenciális kvantor (létezik )

7 A TANKÖNYV HASZNÁLATÁRÓL A tankönyv elsõsorban a középszintû érettségi vizsga tananyagát tartalmazza, de megtalálható benne néhány olyan kiegészítés is, amely az emelt szintû érettségi vizsga követelményrendszeréhez tartozik A tankönyv nem tartalmazza az emelt szintû érettségi vizsga követelményeit A tankönyvben a matematikai szemlélet fejlesztése a definíciókhoz és a fogalmakhoz kapcsolódó tananyagelemek kidolgozásával történik A matematika megértéséhez, sikeres tanulásához feltétlenül hozzátartozik a bizonyítási készség kialakítása és fejlesztése Minden lecke végén összegyûjtöttük a fontosabb új fogalmakat Kiegészítõ anyagként ajánljuk az olvasmányok és matematikatörténeti ismertetések, érdekességek elolvasását A tankönyvben Emelt szint tel (és apró betûvel), jól elkülönítve jelöltük azokat a kiegészítéseket, amelyek csak az emelt szintû érettségi vizsgán kérhetõk számon Számos kidolgozott példa található a könyv minden leckéjében, amelyek fokozatosan vezetik be a tanulókat az elsajátítandó tananyagba A tananyag gyakorlását, elmélyítését, az otthoni tanulást és az érettségi vizsgára való felkészülést a leckék végén kitûzött feladatok segítik Ezeket a nehézségi szintjük szerint is csoportosítottuk: K K E E középszint, könnyebb; középszint, nehezebb; emelt szint, könnyebb; emelt szint, nehezebb feladat A leckék végén lévõ feladatok részletes megoldása megtalálható az interneten, a wwwntkhu weboldalon Az érdeklõdõk vagy gyakorolni vágyók számára a leckék végén még további feladatokat is ajánlunk, amelyeket a Nemzeti Tankönyvkiadó MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény családjából jelöltünk ki Segíteni kívánjuk a diákok pályaorientációját, ezért néhány pályaképpel szeretnénk felhívni a figyelmet a matematikatanulás hasznosságára A pályaképekben megjelenõ fiataloktól megtudhatjuk, hogy jelenlegi munkájuk során hogyan hasznosítják, amit korábban a középiskolában megtanultak A felkészüléshez ajánlott példatárak: Gerõcs László Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr Simon Judit: 6/I (+CDn a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I 6/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I, ok 66/I (+CDn a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II 6/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II, ok Czapáry Endre Czapáry Endréné Csete Lajos Hegyi Györgyné Iványiné Harró Ágota Morvai Éva Reiman István: 67/I (+CDn a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény III, Geometriai feladatok gyûjteménye 67/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény III, Geometriai feladatok gyûjteménye, ok 7

8 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS A középkor végének Európájában egyre fontosabbá vált a hajózás, csillagászat, kereskedelem,és az ipar fejlesztése Ezt a felgyorsult fejlõdést elsõsorban mûszaki és matematikai vívmányoknak köszönhették A pénzforgalomban érdekelt szakemberek számára a kamatos kamat gyors kiszámítása érdekében táblázatokat készítettek A megfeleltetést a görög logosz, arány és arithmosz, szám összevonásából latinosan logaritmusnak nevezték el 8

9 VEGYES ALGEBRA FELADATOK ISMÉTLÉS VEGYES ALGEBRA FELADATOK ISMÉTLÉS A 9 és 0 osztályban elsajátított algebrai módszerek és eszközök már sokféle feladat megoldását teszik lehetõvé Ismétlésképpen a hatványozás, gyökvonás és a nevezetes azonosságok témakörébõl válogattunk össze néhány feladatot Ezek megoldásához néha valamilyen ötlet kell de a megoldás leírása elegánsan, néhány sorban megadható Az alábbi feladatsorban az A, B,, F számértékeket kell meghatározni Próbáljuk ügyes számolással, a számológép használata nélkül megoldani a feladatot! példa (számválaszos verseny) A ; B ; C + ; D ; b + lb + lfb + 00 l E ; 6 $ 7 F Segítség: A: Az + y y ( y) azonosságot alkalmazhatjuk B: Segít az y ( + y)( y) azonosság C: Az + y z kifejezés tagjait érdemes z + y sorrendbe csoportosítani D: Alakítsuk át a tényezõket közönséges törtté! E: Legyen például 6, ekkor a tört alakú ^ h^+ h F: Észrevehetjük, hogy a két négyzetgyök alatt teljes négyzetek szerepelnek Eredmények: A ( ) B ( )( ) ( ) (8 darab ös) C ( + )( ) D $ $ $ f $ 00 $ 0 0 (A. 00 tényezõkkel egyszerûsíthetünk) E, így a tört ^ h^ + h ^ h alakú F: 0 6 ^ 6 h és ^ 6 + h, így F ^ 6 h ^ 6 + h ^ 6 + h Másképpen is eljárhatunk: F ^0 6h^0 + 6h $ 6 6, s mivel F < 0, ebbõl F következik A következõ két példa egyegy matematikai alkalmazás Most is elõször önállóan próbáljuk megoldani a feladatokat 9

10 VEGYES ALGEBRAI FELADATOK ISMÉTLÉS Megfigyelhetjük, hogy ; ; Vajon folytatódik ez a szabályosság? példa Azt kell igazolnunk, hogy S f S f SS f$ f minden pozitív egész k számra teljesül Helyettesítsük a k darab esbõl álló kdarab kdarab kdarab kdarab S f számot aval! Ekkor az S f szám a 0 k + a, és az igazolandó k darab k darab állítás a 0 k + a a a a alakú Átrendezés és aval való egyszerûsítés után 0 k 9a egyenlet adódik, és ez minden a fenti ara igaz: 0 k éppen k darab 9esbõl áll Az észrevett szabályosság tehát folytatódik példa A darts nevû ügyességi játékban a céltábla egyes mezõire dobónyíllal célzunk A megfelelõ. 0 mezõket eltalálva ennyi pontot ér egyegy dobás A külsõ vékony körgyûrût eltalálva a dobásérték duplázódik, a beljebb lévõ körgyûrû eltalálása pedig háromszorozza az értéket Még két speciális mezõ van: a céltábla piros közepe (Bull) 0 pontot, a körülötte levõ zöld külsõ Bull pedig pontot ér Három dobásból legfeljebb 80 pont érhetõ el, ha három tripla 0ast dob a játékos (T0 + T0 + T0 80) Feladat: mutassuk meg, hogy a 7 pont nem érhetõ el három dobásból! Dupla szektor Szimpla szektor külsõ Bull Bull Tripla szektor 6 0 Ha az egyik dobás 0es Bull (vagy kisebb értékû), akkor a maradék pont túl sok, két dobásból nem érhetõ el Minden dobásnak tehát 0nél nagyobbnak, azaz triplának kell lennie De a tripla találatok, valamint összegük is mind oszthatók mal, míg a 7ra ez nem igaz Ezért a 7 pont valóban nem állítható elõ 0 K K FELADATOK Mennyi az alábbi kifejezések kiszámított értékében a számjegyek összege? 0 ^0 a) ; b) 0 h ^0 h 7 7; c) S 99f9 0darab Mennyi az + + f + kifejezés pontos értéke? (Segítség: gyöktelenítsük a törteket!)

11 EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK Elõzõ évi tanulmányainkban értelmeztük a valós számok egész kitevõjû hatványát Természetes a kérdés: bõvíthetõe a hatványozás fogalma tetszõleges racionális, esetleg irracionális kitevõkre is Ezt a kérdést fogjuk vizsgálni, elõtte ismételjük át a hatványozás azonosságait Azonos alapú hatványok szorzata: m n m n a $ a a +, a! R, a! 0, m, n! Z példa $ $ ; ; 7 $ b l b l b l b l 7 p $ p $ p p a b + ab Szorzat hatványozása: n n n ^a$ bh a $ b, ab,! R, a! 0, b! 0, n! Z példa ^$ 7h $ 7 ; b b b b ^k$ l$ nh k $ l $ n Azonos alapú hatványok hányadosa: a a m m n n a, a! R, a! 0, m, n! Z példa a $ a a ^ h ; a + a, a! R, a! 0 Tört (hányados) hatványozása: a a k b n n a n, ab,! R, a! 0, b! 0, n! Z b

12 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS példa ; 6 b l 8 9 b l 6 Hatvány hatványozása ^a h n m nm a $, a! R, a! 0, m, n! Z példa 6 ^7 h 7 6 ; 7 k c l m k l 6, kl,! R, k! 0, l! 0 Nézzünk néhány példát az azonosságok összetettebb használatára, ezek segítségével kifejezések egyszerûbb alakját keressük 6 példa Határozzuk meg az a b a b kifejezés értékét, ha a, b 8 8 a b a b ab $ b 8 l $ 8 b l 7 példa Hozzuk egyszerûbb alakra az alábbi kifejezéseket: a) m $ n n 7 $ : m $ n, mn,! R, mn! 0; c m ^ h m$ n m b) pq^p + q h^q p h, pq,! R, pq! 0, q! p Fogalmak a hatványozás azonosságai a) m $ n n $ : m $ n m $ n $ n $ m $ m $ n m $ n ; c m ^ h m$ n m b) pq^p + q h^q p h pqc q p p + q mc q p q p q p q m ^ + hc ^ + h^ h m p

13 EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK FELADATOK K K K Számítsuk ki az alábbi hatványok értékét! ^7 h $ 9 a) 8, 8, ^h 8 ; d) ; 7 ^7 h $ b) ^ $ 6 h: 9 ; e) ; $ 8 c) $ ; f) 7 8 $ ^ h + Döntsük el, hogy igazake az alábbi egyenlõségek! Ahol az egyenlõség nem igaz, javítsuk ki úgy, hogy igaz legyen! a) $ ; d) ; 6 b) 9$ ; e) $ 8 ; 6 c) ^9$ h 7 ; f) $ 8 Írjuk fel egyetlen hatványként az alábbi mûveletek eredményét! a) $ 9 $ 8 ; b) $ $ $ ^6 h $ K K 6 K Írjuk fel negatív kitevõ nélkül az alábbi hatványokat! a) ; b) ; c) ; d) ; e) b l Írjuk fel egyetlen hatványként az alábbi kifejezéseket! 6 9 $ $ ^ h a) ^a $ a h$ ^a h ; d) 0 ; 8 ^y h $ ^y h b) $ ; e) $ ^ h ^y h $ y ^y h $ ^y h c) ; 7 ^y h $ y Írjuk egyszerûbb alakba az alábbi kifejezéseket! a) a $ b a 8 $ : a $ b, c m ^ h b$ a b ab,! R, ab,! 0; b) a + a + a a 7 $ a a + a+ Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I 86 8, 87 88, 8 80 Franciaországban 79ben elfogadott prefiumok: A prefium A prefium A prefium neve értéke jele eredete jelentése kilo 0 k görög ezer hekto 0 h görög száz deka 0 da görög tíz deci 0 d latin tíz centi 0 c latin száz milli 0 m latin ezer

14 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS AZ nedik GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI Ismételjük át az nedik gyök fogalmát és azonosságait! Definíció n Az a definíciója: eset Ha n pozitív páros szám, azaz n k, k! N +, akkor az a nemnegatív szám kadik gyökén azt a nemnegatív számot értjük, melynek kadik hatványa a k k ^ ah a, ahol a $ 0, és n k, k! N + eset Ha n $ pozitív páratlan szám, azaz n k +, k! N +, akkor az a valós szám (k + )edik gyökén azt a valós számot értjük, melynek (k + )edik hatványa a ^ k + k + ah a, ahol a! R, és n k +, k! N + Megjegyzés Nemnegatív valós szám nedik gyökén azt a nemnegatív valós számot értjük, melynek nedik hatványa az számmal egyezik meg, ahol n! N, n $ n n A definíció szerint: ^ h, $ 0, n! N, n $ A TANULT AZONOSSÁGOK I Szorzat nedik gyöke egyenlõ a tényezõk nedik gyökének szorzatával n Ha a $ 0, b $ 0, és n! N, n $, akkor n ab n a $ b (Ha n páratlan, a és b negatív is lehet) példa 7 $ ; 8 $ ^ h II Tört (hányados) nedik gyöke, egyenlõ a számláló és a nevezõ nedik gyökének hányadosával n Ha a $ 0, b > 0, és n! N, n $, akkor n a a b n b

15 AZ nedik GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI példa ; nem értelmezett, mert 6 0 III Egy nemnegatív valós szám nedik gyökének kadik, egész kitevõjû hatványa egyenlõ a szám ugyanazon kitevõjû hatványának nedik gyökével Ha a $ 0, n! N, n $, és k! Z, akkor n a k n ^ h a k példa ^ h ; a a a a a a 6 ^ h $ ^ h $ a $ a a IV Az nedik gyök kadik gyökét felírhatjuk úgy is, hogy a gyök alatti kifejezés (n k)adik gyökét vesszük n k nk Ha a $ 0, n! N, n $, és k! N, k $, akkor a a $ példa Ha a, b pozitív valós számok: 6 a a ^ ah; a b 6 b ab a 6 b ab a 6 b a b a b a b a 6 $ b a a b V Hatvány alakú kifejezés gyökénél a hatványkitevõ és a gyökkitevõ egyszerûsíthetõ, bõvíthetõ nk $ mk $ n m Ha a > 0, n! N, n $, k! N, k $, m! Z, akkor a a példa a a 8 6 ; ^ h^ + h ^ 6 7h^ h Fogalmak gyökvonás; nedik gyök

16 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS FELADATOK K K K K K Döntsük el melyik szám nagyobb! a) vagy ; b) vagy ; c) 0, vagy 0, ; d) 7 vagy 6 Állítsuk nagyság szerint csökkenõ sorrendbe az alábbi számokat! 6 ; 8 ; 0 Számítsuk ki az alábbi gyökök értékét! a) ; c) $ 0, 6 $ 6 0 $ ; e) 00, b) 8 $ ; d) 96 ; $ Végezzük el az alábbi mûveleteket! a) ; b) ; c) 6 $ 0 c m $ $ Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével az alábbi mûveletek eredményét! a) $ $ ; c) ; e) a $ $ a$ a 8 b) ; d) ; $ $ 6 Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladat gyûj te mény I , 90 9,

17 RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV Az elõzõekben az egész kitevõjû hatványokat értelmeztük, a hatványozás és az nedik gyök azonosságait ismételtük át Nyilvánvalóan felmerül a kérdés, kiterjeszthetõe a hatványozás fogalma tetszõleges racionális kitevõkre Ha ez lehetséges, akkor úgy járjunk el, hogy az eddig megismert azonosságok érvényben maradjanak Ezt az igényt fejezi ki a permanencia elv Vegyük figyelembe a következõ azonosságot: k l ^a h a kl, ahol k, l! Z Tehát ha racionális kitevõre szeretnénk értelmezni a hatványozást, akkor legyen igaz: m n _ a n i a m, ahol a! 0, n! 0, m, n! Z Ha mindkét oldalból nedik gyököt vonunk: m n n m a a Még vizsgáljuk meg, hogy ha ezt az összefüggést definíciónak fogadjuk el, akkor az értelmezési tartomány milyen alap esetén felel meg elvárásainknak Három probléma merülhet fel probléma Ha az alap negatív szám, akkor ellentmondásba juthatnánk, például: ^ h ^h nem értelmezhetõ a valós számok halmazán, ezért a negatív alapot ki kell zárnunk probléma m k Ha m k, akkor a n a l teljesüle? n l Az igazoláshoz alakítsuk át a feltételt Ha m k, akkor m$ l k$ n n l Induljunk ki az igazolandó egyenlõség bal ldalából m n k l n m nl ml nl kn l k a a a a a a Az egyenlõség sorozat harmadik lépésénél használtuk ki a feltételt, és igazoltuk az állítást, azaz a törtkitevõ más alakban történõ felírásától nem függ a hatvány értéke probléma A permanencia elv vizsgálata: Bizonyítható, hogy a hatványozás azonosságai is érvényben maradnak m k m n Példaként vizsgáljunk meg az a a l n $ a l + k azonosság érvényese? 7

18 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS m n k l ml nl kn ln nl ml nl kn nl ml+ kn Egyrészt: a $ a a $ a a $ a a m k + ml+ kn Másrészt: a n l a nl nl ml+ kn a Az egyenlõségek jobb oldalai megegyeznek, tehát a bal oldalak is egyenlõk m k m n Ezzel beláttuk, hogy a a a l n $ a l + k régebben ismert azonosság érvényben maradt Hasonlóan igazolható a többi azonosság megmaradása is Definíció Egy tetszõleges pozitív szám m edik hatványa az szám medik hatványából vont nedik gyök, n azaz m n n m, ahol > 0, m! Z, n! N, n 0, n példa Számítsuk ki a következõ hatványok pontos értékét! a) ; b) ; c) b ; d) ; e) 8 l 00,, 8 0 a) 8 8 ; b) 0 0 0; 0 c) 6 8 b ; 8 l b 6 l 0 b l, d) 0,0 b ; 00 l 6 e) 6 ^ h $ példa Hozzuk egyszerûbb alakra a kifejezéseket! a) ; b) a a a k $ $ ^ ah 8 a) a k $ $ ; + b) a a $ a $ a + a a a, ha a > 0 ^ ah a

19 RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV példa Végezzük el a mûveleteket, a hatványok alapja pozitív valós szám! a) a a b k ; b) aa + b k a) a a b k 0 0 a b a b a b ; b) aa + b k a + ^abh + b a + $ ab + b Fogalmak permanenciaelv; racionális kitevõjû hatványozás FELADATOK K K K K K 6 K Számítsuk ki az alábbi hatványok értékét! a) ; b) 0 ; c) 7 b ; 8 l d) 0, 0000, ; e) ; f) 6, ; g), ; 0 h) 7 6 6, ; i) b ; j) 8 l 06, Írjuk át az alábbi kifejezéseket gyökös alakba! a) ; b) ; c) ; d) ; e) Írjuk át az alábbi kifejezéseket egyetlen szám hatványaként! a) 8 ; b) 8 b ; c) ; d) l $ 8 $ $ 6 Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével az alábbi mûveletek eredményét! a) a ; b) ; c) a a k $ $ $ _ i $ a ; d) b $ b $ b 6 ^ h ^ bh Végezzük el az alábbi hatványozásokat! 0, 0 a) a $ k ; b) $ 6 ; c) aa b k 0 7 Írjuk a lehetõ legegyszerûbb alakba az alábbi kifejezéseket! a) a $ b $ ab ; b) a a b ab + k $ ^a+ bh a a + b k 6, Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I

20 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY Az elõzõ leckében értelmeztük a pozitív alapú, racionális kitevõjû hatványt Magasabb matematikai módszerekkel bizonyítható, hogy az értelmezés kiterjeszthetõ irracionális kitevõkre is Ez a kiterjesztés a permanencia elvnek megfelelõen, megtartja az eddig megismert hatványozás azonosságokat, valamint teljesül a következõ tulajdonság: ha a > valós szám, p, r racionális számok, q irracionális szám és p < q < r, akkor a p < a q < a r ; ha 0 < a < valós szám, p, r racionális számok, q irracionális szám és p < q < r, akkor a p >a q > a r Az eponenciális kifejezések vizsgálatát, egyenletek, egyenlõtlenségek megoldását segíti, ha megismerjük az eponenciális függvényeket és legfontosabb tulajdonságaikat Azokat a függvényeket, amelyekben a változó a kitevõben szerepel, eponenciális függvényeknek nevezzük, azaz f : R R +, f () a, ahol a > 0 függvény az a alapú eponenciális függvény Vizsgáljuk meg az f : R R +, f () a függvényt, ahol a > 0! Tekintsük elõször az f : R R +, f () függvényt (Legegyszerûbben úgy fogalmazhatnánk, hogy a vizsgált eponenciális függvény állandó mértékben többszörözõdik, például egy baktériumkultúra, amely minden órában megduplázódik ) Az egész, illetve a racionális kitevõjû hatvány értelmezése, tulajdonságai alapján kijelenthetjük, hogy az eponenciális függvény szigorúan monoton növekvõ A bevezetõ alapján is láttuk, hogy bizonyítható, hogy ha az értelmezési tartományt kiterjesztjük a valós számok halmazára, akkor a függvény monotonitása nem változik A függvény grafikonja: y A függvény legfontosabb tulajdonságai: D f R R f R + (minden pozitív értékeket felvesz) Szigorúan monoton növekvõ Zérushelye nincs Az ordináta tengelyt a grafikon a (0; ) pontban metszi 0 Felmerül a kérdés: milyen lényeges tulajdonságok változnak meg, ha az alapot módosítjuk? 0

21 AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY eset Legyen az alap: a > Tekintsük a következõ függvényeket: f : R R +, f^h ; g : R R +, g^h b ; h : R R +, l h^h ^ h y y y ( ) ( ) Megállapíthatjuk, hogy az elõzõ tulajdonságok mindegyike érvényes ezekre a függvényekre is eset y Legyen az alap: a ; f : R R +, f^h Ebben az esetben a függvény konstans függvény, grafikonja az tengellyel párhuzamos egyenes (Megjegyzés: Sok esetben az a alapot nem engedik meg) 0 eset Legyen az alap 0 < a < Tekintsük a következõ függvényeket: f : R R +, f^h b ; l y y g : R R +, g^h b l Látható, hogy lényeges változás csak a monotonitásban történt! D f R R f R +, azaz csak pozitív értékeket vesz fel Szigorúan monoton csökkenõ Zérushelye nincs Az ordináta tengelyt a grafikon a (0;) pontban metszi ( ) 0 ( ) 0

22 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Összegezzük megfigyeléseinket! (Természetesen ezek a tulajdonságok magasabb matematikai módszerekkel bizonyíthatók) a < y a>Az f : R R +, f^h a függvényt, ahol a > 0 eponenciális függvénynek nevezzük Ha az alap, a, akkor a függvény konstans függvény Ha az alap, 0 < a , akkor a függvény szigorúan monoton növekvõ Mindhárom függvény csak pozitív értékeket vesz fel és minden pozitív értéket felvesz, valamint az ordináta tengelyt a (0; ) pontban metszi a 0 példa Ábrázoljuk és jellemezzük a függvényeket! a) f : R R, f^h ; b) g: R R +, g^h ; c) h: R R +, h ^ h $ b ; l a) Az f : R R, f^h szigorúan monoton növekvõ, mert az alap nél nagyobb A függvény grafikonja eltolással kapható a k : R R +, k^h v(0; ) függvény grafikonjából, az eltolás vektora: y y 0 0 b) Az g: R R +, g^h szigorúan monoton növekvõ, mert az alap nél nagyobb A függvény grafikonja eltolással kapható a k : R R +, k^h vény grafikonjából, az eltolás vektora: v(; 0) függ

23 AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY c) A h: R R +, h ^ h $ b szigorúan monoton csökkenõ, mert az alap nél l kisebb A függvény grafikonja a k: R R +, szeres nyújtással kapható k^h b l függvény grafikonjából Fogalom eponenciális függvény FELADATOK K K K K Ábrázoljuk az f : 7 0 függvényt! Válasszuk ki az alábbi függvények közül azokat, amelyek monoton csökkenõek! ; ; ; d: 7 ; e: 7 ; a: 7 b: 7 b f: 7 0, l c: 7 b l Vázoljuk fel a megadott függvények grafikonjait Határozzuk meg hol és mennyi az f függvény minimuma és maimuma! f : [ ; ] R, 7 ; g : [ ; ] R, 7 ; h : [0; ] R, Az eddig tanult függvénytranszformációk felhasználásával ábrázoljuk az alábbi függvényeket! f: 7 ; g: 7 ; h: 7 $ b ; l k: 7 ; f: 7 6 K Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! K a) 7 ; K c) 7 ; K e) 7 ; K g) 7 K b) 7 b ; K d) 7 ; K f) 7 ; l b l Keressük meg grafikus úton az egyenletek megoldásait! a) + 6; b) ; c) Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II 7 70

24 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Oldjuk meg a következõ alapegyenleteket a valós számok halmazán! példa a) ; b) ; c) ; d) 8 7 Ötlet: az alapegyenletekben szereplõ számokat, kifejezéseket írjuk fel azonos alapú hatványokkal a) ; b) ; c) ; d) ; 8 7 ; 7 7 ; ; 0 Értelmezzük az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket, mint egyegy eponenciális függvényt Mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton (kölcsönösen egyértelmû), így a megoldások a kitevõk egyenlõségébõl következnek: a) ; b) ; c) ; d) 0; ; ; ; 6 ainkat ellenõrizzük! Például: a) ; b) 7 Összetettebb egyenletek esetén elõször törekedjünk arra, hogy ekvivalens átalakításokkal az példában látott alapegyenlethez jussunk példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! , mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton, így + 8 0; ^+ 6h^ h 0; 6, Ellenõrzéssel megállapíthatjuk, hogy a kapott gyökök kielégítik az egyenletet

25 EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Ha az egyenletben azonos alapú hatványok összege szerepel: példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát: + $ 70; 0 $ 70; 7; Mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton, így a kitevõkre: ; Végezzünk ellenõrzést! $ $ + 7; ; Tudode, hogyan kell kiolvasni ezt a számot:? Segítségül használhatod a táblázatot 0 6 millió 0 9 milliárd (0 6 ) billió 0 billiárd (0 6 ) trillió (0 6 ) quadrillió Ha az egyenletben különbözõ alapú hatványok szerepelnek: példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! $ 0 0 Azonos alapú hatványokká alakítva: $ 0 0, most re nézve másodfokú egyenlethez jutottunk: ^ h $ 0 0; ^ h! 9 0! 7, + Tehát, vagy Ennek az egyenletnek nincs megoldása, mivel csak pozitív értékeket vesz fel Ellenõrzéssel megállapíthatjuk, hogy a kapott gyök kielégíti az egyenletet

26 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! + + Ekvivalens átalakításokkal: + + ; ; 9 + $ $ 8 $ $ ; 9 ; b l b l Mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton, így Ellenõrzés: + 8+ ; példa Mutassuk meg, hogy az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán! b l + ^ h 0 Az eponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel, így ^ h 0, ezért összegük nem lehet 0 b l 0, és Fogalom eponenciális egyenlet FELADATOK Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! K a) ; K e) ; K i) 8; 8 K b) ; K f) ; K j) $ 9; K c) ; K g) ; K k) $ $ ; K d) + ^ h ; K h) 7 0; K l) ^ h $ b l $ Vane az alábbi egyenleteknek megoldása az egész számok halmazán? K a) + $ ; K c) $ $ ; + E e) 9 $ 7 $ 9 $ K b) 68; K d) 6 ; 6

27 6 EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK K K Új ismeretlen bevezetésével oldjuk meg az alábbi egyenleteket! + a) + 9; b) + $ + 0; + + c) Hány megoldása van az alábbi egyenleteknek az egész számok halmazán? a) $ 9 ; c) 9$ 8; + e) 0 ; + b) $ ; + d) ; f) Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I , 6 6, 66 6 EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK Az egyenletrendszerek megoldásakor alkalmazzuk a már jól ismert módszerek valamelyikét, célszerû elõször ekvivalens átalakításokkal egyszerûbb alakú egyenleteket keresni Az új ismeretlen bevezetése gyakran egyszerûsítheti a feladatmegoldást Megjegyzés A témakör nincs a szigorúan vett érettségi tananyagban, ugyanakkor nagyon egyszerû függvényeket használ, amelyek a függvények témakörben is szereplõ kérdéseket vezetnek be Az egyenletrendszerek részben ötletet mutatunk az új változó bevezetésére példa Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán! y+ () + ; () y $ $ Vezessünk be új ismeretleneket, legyen a, y b, ahol a, b pozitív számok Ekkor: () a+ b a b () a b Behelyettesítve: ^ bh b b b b a 7

28 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Visszatérve az eredeti ismeretlenekre: y, y, mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton Az egyenletrendszer megoldása: ^y ; h ^ ; h Ellenõrzés: + () ; () $ $ példa Oldjuk meg az egyenlõtlenségeket a valós számok halmazán! a) $ 8 ; b) ; b l # c) ; d) $ # b l b l a) $ 8; $ Mivel a hatvány alapja nél nagyobb, az f^h függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz fel nél nem kisebb értéket, ha $ (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt) b) b ; l # 0 b l # b l Mivel a hatvány alapja nél kisebb, az f^h b l vesz fel b nál nem nagyobb értéket, ha l 0 $ 0 (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változott) függvény szigorúan monoton csökken, így akkor c) $ ; $ Mivel a hatvány alapja nél nagyobb, az f ^ h fel nél nem kisebb értéket, ha $ ; $ ; $ (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt!) függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz 8

29 6 EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK d) b l b l b l b l b l ; # b l # b ; l # ; # b l Mivel a hatvány alapja nél nagyobb, az f^h b függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz l 0 fel b nél nem nagyobb értéket, ha l 6 # 0; # 6 (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt!) Mint a példákban láttuk, az egyenlõtlenségek megoldása során figyelnünk kell a reláció jel állására Célszerû úgy átalakítani az egyenlõtlenséget, hogy annak egyik oldalán konstans, másik oldalán olyan eponenciális kifejezés legyen, melynek kitevõjében az ismeretlen együtthatója pozitív A reláció jel állása így az eponenciális függvény monotonitása miatt biztonságosabban megállapítható Fogalmak eponenciális egyenletrendszer; eponenciális egyenlõtlenség FELADATOK K K E Ismételjük át, mikor mondjuk azt egy függvényrõl, hogy a) szigorúan monoton növekedõ; b) szigorúan monoton csökkenõ! Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az f: 7 és a g: 7 b függvényeket! l a) Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából! b) Általánosan milyen esetekben szigorúan monoton növekedõ; szigorúan monoton csökkenõ egy eponenciális függvény? Oldjuk meg az alábbi egyenlõtlenségeket! + K a) 8; K b) + $ ; K c) 0, 000, ; E d) $ # Ábrázoljuk számegyenesen az alábbi egyenlõtlenségek megoldásait! a) ; b) ; c) + # 08, ; d) 0, 0 $ 000 b l b l $ 6 b l 9

30 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Oldjuk meg az egyenlõtlenségeket a valós számok halmazán! + K a) ; K b) ; K c) ; E d) , 0 # + b l $ Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I 69 6, A LOGARITMUS FOGALMA példa Vizsgáljuk Ft lekötését, évi,%os kamat esetén Mennyi idõre kell lekötni pénzünket ahhoz, hogy millió Ft követelésünk legyen a bankkal szemben? év múlva , Ftot, év múlva , ,0 6 Ftot, n év múlva ,0 n Ftot követelhetnénk Tehát a következõ egyenlet megoldását keressük: ,0 n , ahol n a keresett évek számát jelöli Rendezve,0 n , o Nyilvánvaló a kérdés: létezike olyan valós szám, amelyre,0 n,6 o? Mivel n pozitív egész szám (évek száma), ezért próbálgatással, számológéppel számolva:,0,6,,0,696 Tehát minimum évre kellene lekötnünk a Ftot, év elteltével követelésünk: 07 9 Ft Az egyenletnek ennél pontosabb megoldásra most a feladat szövege miatt nyilván nincs szükségünk 0 Általánosan nézve a problémát az a b ^! Rh alakú egyenletnek keressük a megoldását, ahol a hatvány alapja (a) pozitív, a hatvány értéke (b) szintén pozitív Úgy is fogalmazhatunk: olyan () kitevõt keresünk, amelyre a pozitív alapot (at) emelve a hatvány értéke a pozitív (b) szám A keresett kitevõt a továbbiakban logaritmusnak fogjuk nevezni

31 7 A LOGARITMUS FOGALMA Definíció A b pozitív szám a alapú (a > 0, és a ) logaritmusának nevezzük azt a kitevõt, amelyre at emelve bt kapunk A kitevõ jelölése: log a b log Tehát a definíció szerint: a a b b Ha a logaritmus alapja 0, akkor rövidebb jelölést használunk: log 0 b helyett lg bt Megjegyzés A matematikában fontos egy speciális alapú logaritmus használata, ez az e alapú logaritmus, melynek jelölése log e helyett az ln Errõl többet a következõ olvasmányban olvashatunk példa Definíció egyszerû használata: a) log 6, mert 6 b) lg 000, mert c) log, 9 mert 9 d), mert log b l e), mert log 8 b l 8 f) log6 0, mert 6 g) log 7, mert 7 példa Hozzuk egyszerûbb alakra a kifejezést! a + log a, ha a > 0, a Radioaktív kormeghatározáskor az eponenciális bomlási törvényt használjuk A hatványozás, négyzetgyök és a logaritmus tulajdonságai, definíciója alapján + loga a a $ loga a a $ a példa + log lg Számítsuk ki a kifejezés pontos értékét: 0! log 9 + log lg log lg $ + ^0 h 9$ a9 k log 9 9, $ ^ h + $ + $ + Fogalmak b pozitív szám a alapú logaritmusa; 0es alapú logaritmus

32 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS FELADATOK K K K K K Írjuk át a logaritmus fogalmának felhasználásával az alábbi hatványokat logaritmusos alakba! a),, 0 0, 9, 0 0, 0; b). 8 9 b 0 0 l Írjuk át hatványalakba az alábbi egyenlõségeket! a) log,, log, log ; 6 log9 8 9 b) log, log, log, lg 0, Számítsuk ki az alábbi logaritmus értékeket! a) log. log 8 log 8 log 0, log log7 ^h ; 8 b) log 0, log, log, log, log 8, log 6 Számítsuk ki az alábbi logaritmusos kifejezések értékét! log9 + a) ; b) ; c) ; d) log 9 6 log log log 6 ; e) Számítsuk ki az alábbi kifejezések értékét! K a) + ; 0 lg log 9 K b) ; log6 8 K c) 6 ; log6 log log96 K d) + 9 ; K e) log6 8+ log 6 log Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I 9 98

33 A TERMÉSZETES ALAPÚ LOGARITMUS ÉS EGYÉB (OLVASMÁNY) A TERMÉSZETES ALAPÚ LOGARITMUS ÉS EGYÉB MATEMATIKATÖRTÉNETI ÉRDEKESSÉGEK (OLVASMÁNY) A középkor végének Európájában egyre fontosabbá vált a hajózás, csillagászat, kereskedelem, és az ipar fejlesztése Ezt a felgyorsult fejlõdést elsõsorban mûszaki és matematikai vívmányoknak köszönhették A pénzforgalomban érdekelt szakemberek számára a kamatos kamat gyors kiszámítása érdekében táblázatokat készítettek Az elsõ táblázatot Joost Bürgi svájci mûszerkészítõ készítette A táblázat megjelenése elõtt John Napier skót matematikus egy speciális mozgás leírását vizsgálta A vizsgált mozgás lényege, hogy valaki egy d hoszszúságú úton úgy mozog, hogy sebességének mérõszáma minden pillanatban a hátralevõ út hosszával egyezzen meg Az idõt rövid, m hosszúságú szeletekre vágta, és a sebességet minden szeletben állandónak vette Az eredményekbõl útidõ táblázatot készített A megfeleltetést a görög logosz, arány és arithmosz, szám összevonásából latinosan logaritmusnak nevezte el Napier munkáját az Ofordi Egyetem professzora, Henry Briggs (6 60) fejlesztette tovább, ez jelentette a logaritmus alapjának megfogalmazását, egyben a tízes alapú logaritmus megszületését is A gyakorlati életben a különbözõ fizikai mennyiségek által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel logaritmusával arányos Erre épülnek bizonyos logaritmussal arányos skálák elkészítései, ezek közül talán a legismertebbek a decibelskálák (hangtanban és akusztikában használatos), illetve a Richterskála (földrengés erôsség mérésénél használják) (Charles Francis Richter amerikai szeizmológus (900 98)) Amikor az eponenciális függvényt, logaritmus fogalmát tanuljuk, talán a es alap használata a legtermészetesebb, mivel a kis pozitív számok között sok olyan van, aminek es alapú logaritmusa egész (Pl. 8,, ) 8 A tízes alap elõnye, hogy ehhez az alapszámhoz készültek táblázatok, illetve a mai számológépek is ezt használják Joost Bürgi (6 6) Elég meglepõ ezért, hogy a logaritmus használatában mégsem ezen számok valamelyikét nevezik a természetes alapú logaritmus alapszámának n Ezt az alapszámot a legtöbb tankönyv az a n b + sorozat határértékeként definiálja Ez leegyszerûsítve azt jelenti, hogy ha n helyére egyre nagyobb számokat írunk, akkor a sorozat tagjai egyre n l jobban közelítenek egyetlen valós számhoz Eulerhez hasonlóan, néhány tankönyv ezt a számot egy végtelen tagú összegként definiálja: f+ + f. n! Az így elõállított szám: e, ben számítógép segítségével enek már 0 9 nagyságrendû tizedes jegyét állapítottak meg A log e jelölés helyett bevezették a ln jelölést, az ln a logarithmus naturalis kifejezés rövidítése John Napier (0 67) Miért éppen az e szimbólumot választották? Erre nincs pontos adatunk Egyesek szerint az eponenciális szó kezdõbetûjébõl, mások az addig gyakran használt a, b, c, d betûk sorozatában egyszerûen a következõ betût látják benne Ismert az a vélekedés is, miszerint Euler önmagáról nevezte a számot enek (Leonhard Euler svájci matematikus (707 78)) Az e számról már Euler bizonyította, hogy irracionális szám, Liouville belátta, hogy egyetlen egész együtthatós másodfokú polinomnak sem gyöke, Hermite azt is igazolta 87ban, hogy transzcendens szám (Joseph Liouville (809 88) és Charles Hermite (8 90) francia matematikusok voltak)

34 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Miért éppen ezt a számot választották a természetes alapú logaritmus alapszámának, hiszen ezzel a számmal igen körülményes számolni? Erre már tudunk kézenfekvõ magyarázatot adni A gyakorlati életben megfigyelt összefüggések adnak erre magyarázatot példa Egy radioaktív izotóp bomlásánál az izotópok számát az idõben csökkenõ eponenciális függvény írja le: mt N^th N^0he, ahol N(t) az izotópok száma a t idõpillanatban, N(0) pedig az N értéke t 0 pillanatban, m pedig egy magtól függõ állandó, amit bomlási állandónak nevezünk Mivel a felezési idõ azt az idõtartamot adja meg, amely alatt a kezdeti érték felére csökken N, ez a következõképp számolható: mt 0, N^0h N^0he /, ahol a felezési idõt jelöli, ezt szeretnénk T / kifejezni az egyenletbõl A felezési idõ független a kezdeti értéktõl, az N(0) kiesik az egyenletbõl, és a felezési idõt a következõképp kapjuk: mt / 0, e, ln 0, mt / Mivel ln 0, ln, írhatjuk, hogy ln mt / Innen T ln az izotóp felezési ideje / m példa Mutathatunk példát a bankszektorból Elõfordulhat az, hogy egy bank a lekötött betétek után nem éves, féléves, havi lekötést, hanem úgynevezett folyamatos tõkésítést alkalmaz Ez esetben a tõkésítések száma végtelen A képlet az alábbiak szerint alakul: A A $ np $ n 0 e, ahol: A n : az n év végén (idõszak végén) esedékes pénzösszeg, A 0 : a jelenlegi pénzösszeg, p: a kamatláb, n: az évek száma (idõszakok száma), e: a természetes logaritmus alapja (e,78) Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a betett pénzösszeg mennyi idõ alatt növekedik egy adott értékre, akkor A n n $ ln képlet segítségével határozhatjuk meg p A 0

35 8 A LOGARITMUSFÜGGVÉNY Végül még egy példa a logaritmus használatára: példa (0es alapú logaritmus használatára) A hangintenzitás Ha a hang merõlegesen esik egy A nagyságú felületre, az erre a felületre a hang által szállított teljesítmény legyen: P Ekkor hangintenzitásnak nevezzük az I P mennyiséget A khz esetén az emberi fül már I 0 W 0 intenzitást is érzékel Ezt nevezzük az emberi fül küszöbintenzitásának m A hangnyomásszint Az ember hangérzete nem a hangintenzitással (I) arányos A pontos összefüggés bonyolult Közelítése a hangérzet, amely lg Ivel arányos Hangnyomásszint: n lg I 0 $ I0 Történeti elnevezés: decibelskála Az emberi hallás szélsõértékei 0 db, illetve 0 db Fogalmak természetes alapú logaritmus alapszáma; e alapú logaritmus (Forrás: Kós RitaKós Géza: Miért természetes az e? KÖMAL; Sain Márton: Nincs királyi út; Wikipédia) 8 A LOGARITMUSFÜGGVÉNY A logaritmus definíciója alapján értelmezhetjük a logaritmusfüggvényt: Azt a függvényt, amely minden pozitív valós számon értelmezve van, és minden számhoz annak az a alapú (a > 0, a ) logaritmusát rendeli hozzá, az a alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük f : R + R, f^h log, ahol a > 0, és a a példa Ábrázoljuk, jellemezzük az f : R + R, f^h log Készítsünk értéktáblázatot: függvényt y log 8 8 log 0 A függvény grafikonja: 0

36 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Tulajdonságok: A vizsgált logaritmusfüggvény minden valós értéket felvesz, ez következik az eponenciális függvény tulajdonságaiból, hiszen bármilyen valós számra igaz: log A f : R + R, f^h log függvény szigorúan monoton növekvõ, hiszen ha 0, vagy más log log alakban, akkor az eponenciális függvény monotonitása miatt az állítás igaz A szigorúan monoton tulajdonságból következik, hogy kölcsönösen egyértelmû Zérus helye az A függvénynek se minimuma, se maimuma nincs y Az eponenciális függvény és a logaritmusfüggvény értel me zé sébõl következik, hogy szoros kapcsolat van a két függvény között Ha az elõbbi táblázat két sorát megcseréljük, log akkor az értéktáblázatunk a g^h függvény értéktáblázatának egy részlete Az f logaritmusfüggvény értelmezési tartománya a g eponenciális függvény értékkészletével egyezik meg, míg a g eponenciális függvény értelmezési tartománya az f logaritmusfüggvény értékkészletével azonos és az f tetszõleges hez f()et rendel, akkor a g az f()hez et rendel Ezen tulajdonságok miatt, a két függvény egymás inverze, grafikonjaik egymás tükörképei a h : R R, h^h függvény grafikonjára (egyenesére) Belátható az elõbb megállapított kapcsolat a következõ függvények esetében is: Adott a > 0, és a alap esetén, az 7 a és a 7 log függvények egymás inverzei a Amennyiben 0 < a , akkor a két függvény szigorúan monoton növekvõ: y y a a log a 0 0 log a 6

38 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS K K Ábrázoljuk függvénytranszformációk felhasználásával az alábbi függvényeket! Határozzuk meg a függvények értelmezési tartományát! a) f: 7 log ^+ h; b) g: 7 log ; c) h: 7 $ log Ábrázoljuk az R + R, 7 log grafikonjának felhasználásával az alábbi függvényeket! Határozzuk meg a függvények értelmezési tartományát! K a) f: 7log ; K b) g: 7 log ^ h; K c) h: 7 log ; K d) k: 7 log Oldjuk meg grafikusan az alábbi egyenleteket! a) log ; b) log ^+ h, Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II 7 7, Pályakép Név: Réka Lakhely: Budapest Végzettség: Nemzetközi gazdálkodás angolul (Budapesti Corvinus Egyetem) és Pszichológia (ELTE) Jelenlegi beosztás: hallgató Milyen tantárgyakból felvételizett, tanult emelt szinten? Matematika, történelem Sziasztok! Mindig is szerettem a szöveges feladatokat Titkon reméltem, hogy majd az én nevem is felbukkan a szereplők között Bár az Ádám, Béla és Cili keresztnevek népszerűbbek voltak a Rékánál, a történeteket mégis sokszor magaménak éreztem, hiszen én is vásárolok a zöldségesnél, kártyázom, moziba járok, néha még lottózom is Rájöttem, hogy körül vagyok véve matek példákkal, éppen úgy, mint Ádám, Béla és Cili Ahhoz, hogy boldoguljak, és helyes döntéseket hozzak, napról napra szembe kell néznem a saját szöveges feladataimmal Sokat ezek közül a mateknak hála mára gondolkodás nélkül megoldok, akár anélkül, hogy egyáltalán észlelném a problémát Olyan eszköztáram fejlődött ki az évek során, ami felvértez a legbonyolultabb szituációk ellen is Megtanultam rendszerben gondolkodni, leképezni a környezetem egyenletek, modellek, koordinátarendszer vagy akár halmazok segítségével E képességekre mind közgazdászként, mind pszichológusként nagy szükségem lesz, hiszen a gazdasági folyamatok megértéséhez nélkülözhetetlen a modellezés, a mentális és viselkedéses folyamatok működésére és kapcsolatára pedig statisztikák, vizsgálatok alapján következtethetünk (pl a vizsgált személyek reakcióinak átlagát, bizonyos változók korrelálását figyeljük meg) Egy szó, mint száz, a matekos kapaszkodók még sosem hagytak cserben! 8

39 9 A LOGARITMUS AZONOSSÁGAI 9 A LOGARITMUS AZONOSSÁGAI Feladatmegoldásokban, egyenletmegoldások esetén gyakran kell átalakítanunk logaritmusos kifejezéseket Ehhez ismernünk kell az átalakítások szabályait, azaz a logaritmus azonosságait Ezek megfogalmazásához felhasználjuk a definíciót, valamint a logaritmusfüggvény megismert tulajdonságait Szorzat logaritmusa loga^bch loga b + loga c, ha a > 0, a, b > 0, c > 0, azaz szorzat logaritmusa egyenlõ a tényezõk logaritmusának összegével Bizonyítás loga b Egyrészt: a b, és loga c loga b $ loga c loga b+ loga c a c bc a a a log ^bch Másrészt: bc a loga b+ loga c loga^bch Összevetve a két egyenlõséget: bc a a log ^bch log b + log c a a a Hányados logaritmusa log b ab log log, ha a > 0, a, b > 0, c > 0, azaz c l a b a c hányados logaritmusa egyenlõ a számláló és a nevezõ logaritmusának különbségével Bizonyítás loga b log Egyrészt:, és b a a b loga c loga b loga c a b a c c a log c a a Másrészt: b a log b a b c l c Összevetve a két egyenlõséget: b log b log c log a a b c log b a a a b l ab log b log c c c l a a Hatvány logaritmusa k loga ^b h k$ loga b, ha a > 0, a, b > 0, k! R, azaz hatvány logaritmusa egyenlõ az alap logaritmusának és a kitevõnek a szorzatával Egyrészt: b k a log b k a ^ h k log b k a k loga b Másrészt: b ^a h a $ k k loga b k loga b Összevetve a két egyenlõséget: b a a log k ^b h k$ log b a a 9

40 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Az elõzõ eset speciálisan, k esetén, n! N, n $ : n nedik gyök logaritmusa n loga b loga b, azaz n nedik gyök logaritmusa egyenlõ a gyök alatti kifejezés logaritmusának és a gyökkitevõnek a hányadosával Áttérés más alapú (c alapú) logaritmusra loga b logc b, ha a > 0, a, b > 0, c > 0, c azaz loga c egy szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szám régi alapú logaritmusát elosztjuk az új alap régi alapú logaritmusával példa Számítsuk ki a kifejezés pontos értékét! log 6 + log log 0 log log 6 log log 0 log log 6 $ log log 9 0 $ 80 példa Adjuk meg a kifejezés értelmezési tartományának legbõvebb halmazát Fejezzük ki értékét, a, b, c, d segítségével! log log b log c log d a a + a a A kifejezés értelmezhetõ, ha a, és a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 log log b log c log d log b c log $ + d a a a a a a bc d bc d ; 0

41 9 A LOGARITMUS AZONOSSÁGAI példa Határozzuk meg a kifejezés pontos értékét! lg lg sin r lg cos r lg sin r + a 6 k+ a 6 k a k sin r cos r lg lg sin r lg cos r lg sin r + a lg 6 k+ a 6 k a k 6 6 sin r (Felhasználjuk, hogy sin r cos r $ $ sin ) 6 6 r sin r lg lg 0 sin r példa Határozzuk meg lg 6 értékét a és b segítségével, ha a lg 8, és b lg 7! Célszerû a számok prímfelbontásából kiindulni: 8 $ 7 $ 6 $ Célunk meghatározni lg t és lg at, a és b segítségével, mert lg + lg lg 6 a lg 8 lg + lg, b lg + lg Azt próbáljuk meg elérni, hogy lg együtthatói azonosak legyenek, ekkor különbségükben nem szerepel lg : a b 8lg + lg ^lg + lg h lg ; a b lg Most fejezzük ki lg at: a $ a b lg ; + lg a 8a b b a ; lg 6 lg lg a b b a b a + +

42 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS példa Igaze a következõ egyenlõség: log 0 $ log log 0 $ log? 7 7 Térjünk át azonos alapú logaritmusokra log7 0 log7 Mivel log 0, és log, ezért log7 log7 Fogalom log0 $ log7 log70 $ log, az egyenlõség átalakítva: a logaritmus log 0 log azonosságai 7 7 $ log7 log70 $ log7 log7 Mind a két oldalon azonos tényezõk szerepelnek, tehát az egyenlõség igaz FELADATOK K K K K 6 K Számítsuk ki az értékét! a) log + log log ; c) lg lg + lg 9 lg ; b) lg 8 lg lg ; d) log log 60 Számítsuk ki az alábbi kifejezések értékét! a) lg + lg + lg lg ; b) log 7 log log 0 log 6 log ; + + c) lg lg lg lg lg Számítsuk ki az alábbi kifejezés értékét! $ log sin r log sin r log tg r log cos r log tg r log cos r a 6 k+ a k a k+ a k+ a k a 6 k Hozzuk egyszerûbb alakra! K a) ^lg + lg 9h; K b) loga a $ a lg Írjuk át az alábbiakat tízes alapú logaritmus alakra! a) a log ; b) b log ; c) c log ; d) d log 7 Számítsuk ki számológép használata nélkül az alábbi mûveletek eredményét! a) log $ log ; b) log 7 + log 7; c) log + log 8 0, 9 0, 0, Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I , 96, 96

43 0 LOGARITMUSOS EGYENLETEK 0 LOGARITMUSOS EGYENLETEK Példákon keresztül mutatjuk be a logaritmusos egyenletek megoldásának néhány alapötletét A feladatmegoldások során gyakran hivatkozunk a logaritmusfüggvény és az eponenciális függvény tulajdonságaira, a logaritmus azonosságaira Fontos az egyenletek értelmezési tartományának vizsgálata, valamint a megoldás ellenõrzése, hogy kiszûrjük a fellépõ hamis gyököket! Ha az egyenlet egyik oldalán konstans érték szerepel: példa Oldjuk meg az egyenletet! log ^ h A hamis gyök fellépése elkerülhetõ a következõ módon: log ^ h ; log ^ h ; log^ h log; ; 8 Ellenõrzés: log 8 b $ log $ l Megjegyzés Az egyenlet akkor értelmezhetõ, ha log ^ h A hatvány logaritmusa azonossága alapján: log ^ h A definíció alapján: ^ h 9 A másodfokú egyenletet megoldva: ^h^ + h 0; 8, Az értelmezési tartománynak csak 8 felel meg Csillagvizsgáló példa Adjuk meg az egyenlet pozitív megoldásait! log log log