Algebrai törtek feladatok és megoldások
Számok helyett írhatunk betűket, ha a mennyiség sokféle értéket vehet fel, vagy a konkrét értékét nem ismerjük, esetleg általános összefüggést szeretnénk felírni. A betűk ennek megfelelően lehetnek változók, ismeretlenek, paraméterek.
Algebrai törtek feladatok és megoldások
Ahogy egész számok segítségével törtszámokat írtunk fel (például , ) úgy betűs egész kifejezésekkel törtkifejezéseket is írhatunk fel. Ilyenek:
Ezeknél betűs kifejezéssel történő osztás van kijelölve.
felírható alakban is, azaz a-t egy számmal szorozzuk, és hozzáadjuk a b-t. Emiatt -re nem mondjuk, hogy törtkifejezés, hiszen benne betűs kifejezéssel történő osztás nincs kijelölve.
és az olyanok, amelyek nevezőjében nincs betű, egész kifejezések.
Törtkifejezés betűi helyére is helyettesíthetünk számokat.
Például helyettesítési értéke a = 5-nél , a = 2-nél 8.
Törtkifejezésnek nincs értelme, ha a nevező helyettesítési értéke 0.
Az törtkifejezésnek nincs értelme a = 1-nél.
Műveletek algebrai törtekkel
A számokkal felírt törtek átalakítását, a törtekkel végzett műveleteket már régebben megismertük. Ezekre egy-egy példát mutatunk:
Bővítés: Egyszerűsítés:
Összeadás: , ;
Szorzás: ,
Osztás: , , .
Betűkkel egyszerűen írhatjuk fel azokat az azonosságokat, amelyek a törtszámok bővítésére, egyszerűsítésére, összeadására, szorzására, osztására vonatkoznak.
Feladat: törtkifejezés értelmezési tartománya
Megoldás: törtkifejezés értelmezési tartománya
A tört nevezője, az (a – 5)(2b + 1) szorzat akkor 0, ha a – 5 = 0 vagy 2b + 1 = 0.
Ha a = 5 és b bármely valós szám, vagy és a bármely valós szám, akkor a törtnek nincs értelme. Minden más a, b számpárnál a törtnek van értelme.
A törtes egyenletek megoldásának trükkjei
A törtes egyenletek általában jelentős fejtörést okoznak. Ha megérted az egyenletek alapvető összefüggéseit és elsajátítod a törtekkel elvégezhető műveleteket, akkor a törtes egyenletek megoldása is könnyebbé válik. Valójában a legegyszerűbb egyenletekhez képest a törtes egyenletek alig tartalmaznak újdonságot, elegendő néhány trükköt alkalmazni.
Mit kell tudnod a törtes egyenletek sikeres megoldásához?
Amint fent már leírtam, a törtes egyenletek megoldása nem sokban különbözik az egyszerűbb egyenletekétől. Nézzük meg átfogóan, hogyan kell megoldani egy törtes egyenletet:
- Mérlegelv: a törtes egyenletekre is igaz, hogy az egyenlőségjel mindkét oldala egyenlő, ezért úgy rendezzük az egyenleteket, hogy mindkét oldal egyformán változzon. Az egyenletek ismertetésénél részletesen olvashatod, hogyan rendezzük az egyenleteket.
- Műveletek törtekkel: ahhoz, hogy hibátlanul tudd megoldani a törtes egyenleteket, a következő törtes műveleteket fontos ismerned:
- Törtek közös nevezőre hozása
- Törtek bővítése
- Törtek egyszerűsítése
- Törtek összeadása
- Törtek kivonása
- Tört szorzása egész számmal
- Tört szorzása törttel
- Tört osztása egész számmal
- Egész szám vagy tört osztása törttel
- Törtek eltüntetése: általában mindenki könnyebben dolgozik egy olyan egyenlettel, amelyben nincsenek törtek. Ezt a törtes egyenleteknél is el tudjuk érni. Miután közös nevezőre hoztuk a törteket, az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk a nevezővel, így eltűnnek a törtek. Ne feledd, az egyenlet minden tagját (az egészeket is) be kell szoroznod!
Ha rendszeresen elfelejted az egész számot is beszorozni, akkor egyszerűbb, ha azt is törtté alakítod:
Például, ha az egyenletben az tört szerepel, akkor az x nem lehet 3, ugyanis, ha a 3-at behelyettesítjük az x helyére, akkor 0-t kapunk (3-3=0). Ennek megfelelően az egyenlet végeredménye sem lehet 0.
- Reciprok: Ha a törtes egyenletben a nevezőben szerepel az ismeretlen, akkor az első lépések egyike, hogy minden tag reciprokát vesszük, így az ismeretlen a számlálóba kerül. Ne felejtsd el, hogy az egész számok reciprokát is kell venni!
Az eredmény meghatározásánál vedd figyelembe azt, amelyet a 0-val való osztásról olvastál.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.