Matematika 11. osztály

b) ^n -1h! $ n^n +1h^n + 2h ; ^n + 4h! d) ; ^n +1h!

Matematika 11. Az érthető matematika

A matematikai tudás sokfajta élethelyzetben jelenthet hasznos segítséget. Az érthető matematika tankönyvsorozatban – az alkotók szándéka szerint – a matematikai ismeretek megérthetők, és az első pillanatban bonyolultnak tűnő problémák is megoldhatók. A tankönyv elsősorban a középszintű érettségi vizsga tananyagát tartalmazza, de megtalálható benne néhány olyan kiegészítés is, amely az emelt szintű érettségi vizsga követelményrendszeréhez tartozik. Fokozatosan nehezedő, jól kidolgozott példák vezetik be a tanulókat az elsajátítandó tananyagba. A gyakorlást, az otthoni tanulást és az érettségi vizsgára való felkészülést a leckék végén található feladatok segítik.

Illusztrátorok: Urmai László Borító tervezők: Bajtai Zoltán Kiadó: Nemzeti Tankönykiadó Kiadás éve: 2011 Kiadás helye: Budapest Nyomda: Gyomai Kner Nyomda ISBN: 9789631961058 Kötés típusa: ragasztott papír Terjedelem: 292 Nyelv: magyar Méret: Szélesség: 21.00cm, Magasság: 25.00cm Kategória:

Juhász István, Orosz Gyula, Paróczay József, Szászné Dr. Simon Judit – Matematika 11.

Fontosabb jelölések 6
A tankönyv használatáról 7

I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS VM19Mitqa8
Vegyes algebrai feladatok — ismétlés 9
1. Egészkitevőjű hatványok, azonosságok 11
2. Az n-edik gyök és azonosságai 14
3. Racionális kitevőjű hatvány, permanencia elv 17
4. Az exponenciális függvény 20
5. Exponenciális egyenletek 24
6. Exponenciális egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek 27
7. A logaritmus fogalma 30
O A természetes alapú logaritmus és egyéb matematikatörténeti érdekességek (olvasmány). . 33
8. A logaritmusfüggvény 35
9. A logaritmus azonosságai 39
10. Logaritmusos egyenletek 43
11. Logaritmusos egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek 48
12. Gyakorlati alkalmazások 51
O Közelítő értékek (olvasmány) 55

II. TRIGONOMETRIA 60
13. Skalárszorzás 61
14. Skalárszorzással megoldható feladatok a koordináta-rendszerben 65
15. A szinusz- és koszinusztétel alkalmazása 1 68
16. A szinusz- és koszinusztétel alkalmazása 2 . 73
O Addíciós tételek (olvasmány, emelt szint) 76
17. Trigonometrikus egyenletek 1. 82
18. Trigonometrikus egyenletek 2. 88
19. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (emelt szint) 94
O Skaláris szorzat geometriai alkalmazásai (olvasmány) 99
Válogatás érettségi előkészítő feladatsorokból. 104

FÜGGVÉNYEK 106
20. Az inverz függvény fogalma, elsőfokú függvény inverze (ismétlés) 107
21. Gyakrabban előforduló függvények és inverzeik (ismétlés) 110
22. Trigonometrikus alapfüggvények jellemzése 113
23. Függvénytranszformációk általános vizsgálata 118
24-25. Összetett trigonometrikus függvények ábrázolása és jellemzésük 124
26. Egyenletek grafikus megoldása 129
27. Egyenlőtlenségek grafikus megoldása (emelt szint) 132
28. Gyakorlati problémák vizsgálata 134

iltÉNY44~~0 138
Bevezetés 139
29-30. Egyértelmű vektorfelbontási tétel 139
31-32. Felezőpont, súlypont, osztópont koordinátái (ismétlés) 142
33-34. Skaláris szorzat koordinátákkal 146
O A beírt kör középpontjának koordinátái (olvasmány, nem érettségi tananyag) 150
35. Az egyenes normálvektoros egyenlete 151
36. Egyenes irányvektoros egyenlete, két ponton átmenő egyenes egyenlete 154
37. Irányszög, iránytangens, iránytényezős egyenlet 156
38. Metszéspont meghatározása 159
39. A párhuzamosság és a merőlegesség koordináta-geometriai feltétele 161
O Geometriai transzformációk és koordináták (olvasmány) 165
40. Pont és egyenes távolsága (két párhuzamos egyenes távolsága) 167
41. Adott középpontú és sugarú kör egyenlete 169
42. Kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet 173
43. Egyenes és kör kölcsönös helyzete 175
44. Adott pontban húzott és adott irányú érintők meghatározása 177
45. Két kör kölcsönös helyzete, érintkező körök (emelt szint) 179
46. Ponthalmazok a koordinátasíkon (egyenlet, egyenlőtlenség, mértani hely) 181
O Parabola és a másodfokú egyenlet (olvasmány, emelt szint) 187
O Kúpszeletek (olvasmány, nem érettségi tananyag) 191
47. Alkalmazások 196

«EiM*000WPK 202
48. Ismétlés 203
49. Binomiális együtthatók 208
O Binomiális-tétel, Pascal-háromszög (olvasmány) 216
50. Gyakorlófeladatok 220
• A kombinatorika leggyakoribb leszámolási struktúrái (olvasmány) 226
51. A gráfmodell 229
52. A gráfmodell alkalmazása; gráfok egyenlősége 236
53. Gráfok jellemzői 244
54. Vegyes feladatok (gráfok) 250
O Néhány érdekes gráfelméleti probléma (olvasmány) 256
55. Kombinatorikai és gráfelméleti alkalmazások 260

Matematika 11. osztály

Ha jól tudod a hatványozás azonosságait, akkor az exponenciális egyenletek megoldása is menni fog. Nézzük meg ennek lépéseit, a típusfeladatokat, és gyakoroljuk ezek megoldását! Sok gyakorló példa vár.

PÓTOLD A HIÁNYOSSÁGAIDAT

11.-es pótold a hiányosságaidat

Útmutató

Ha vannak esetleges korábbi hiányosságaid, akkor először azokat pótold, hogy ne okozzon úja és újra gondot az új tananyag megértésében.

HOGYAN HASZNÁLD?

Neked is lehetnek jobb eredményeid matekból!

Útmutató

Próbáld ki, mennyire világos és érthető velünk a matek! Megmutatjuk, hogyan működik nálunk a matek felkészítés. Garantáljuk, hogy velünk megérted és még emlékezni is fogsz rá. Ezt szeretnénk itt bemutatni.

A hiányosságok pótlása

Útmutató

Ha vannak elmaradásaid az előző évekből, azokat gyorsabban és könnyebben pótolhatod, mint gondolnád! A “Pótold a hiányosságaidat” modul segít, ha szeretnél jobb eredményeket matekból.

5 lépéses Matek Oázis-módszer

Útmutató

Megmutatjuk, miért különleges, és mitől működik olyan jól az 5 lépéses Matek Oázis módszer. Tutti, hogy velünk megérted a matekot, és valódi, alkalmazható tudásra tehetsz szert.

Hogyan használd a Matek Oázist?

Útmutató

Hogyan érdemes használni a matek videókat, hogy a legjobb eredményt érjétek el matekból szórakoztató módon tanulva? Velünk nem csak a matekot gyakorolhatod, hanem csillagokat, érmeket, kupákat is gyűjthetsz. Lépésről lépésre elmondjuk, hogyan kezdj hozzá, és hogyan folytasd. Célunk, hogy mindent érts, és a feladatokat is meg tudd oldani. Akár 4-szer gyorsabban haladhatsz, mint a suliban, mivel interaktívan, az alapoktól kezdve és szemléltetve magyarázunk.

A Tanulási naplóról diákoknak

Útmutató

A Tanulási naplóból nyomon követheted a haladásodat a matek videókkal. Megmutatjuk, hol találod, és mit láthatsz belőle: mikor és mennyit foglalkoztál a tananyaggal, milyen eredményt értél el, milyen sorrendben nyitottad meg a videókat.

HOL IS KEZDJEM?

3 alfejezet / 7 tananyag

01. A hét legnépszerűbb videója (hétfőnként cseréljük)

• Exponenciális egyenletek

Ha jól tudod a hatványozás azonosságait, akkor az exponenciális egyenletek megoldása is menni fog. Nézzük meg ennek lépéseit, a típusfeladatokat, és gyakoroljuk ezek megoldását! Sok gyakorló példa vár.

02. PÓTOLD A HIÁNYOSSÁGAIDAT

• 11.-es pótold a hiányosságaidat

Ha vannak esetleges korábbi hiányosságaid, akkor először azokat pótold, hogy ne okozzon úja és újra gondot az új tananyag megértésében.

03. HOGYAN HASZNÁLD?

• Neked is lehetnek jobb eredményeid matekból!

Próbáld ki, mennyire világos és érthető velünk a matek! Megmutatjuk, hogyan működik nálunk a matek felkészítés. Garantáljuk, hogy velünk megérted és még emlékezni is fogsz rá. Ezt szeretnénk itt bemutatni.

Ha vannak elmaradásaid az előző évekből, azokat gyorsabban és könnyebben pótolhatod, mint gondolnád! A “Pótold a hiányosságaidat” modul segít, ha szeretnél jobb eredményeket matekból.

Megmutatjuk, miért különleges, és mitől működik olyan jól az 5 lépéses Matek Oázis módszer. Tutti, hogy velünk megérted a matekot, és valódi, alkalmazható tudásra tehetsz szert.

Hogyan érdemes használni a matek videókat, hogy a legjobb eredményt érjétek el matekból szórakoztató módon tanulva? Velünk nem csak a matekot gyakorolhatod, hanem csillagokat, érmeket, kupákat is gyűjthetsz. Lépésről lépésre elmondjuk, hogyan kezdj hozzá, és hogyan folytasd. Célunk, hogy mindent érts, és a feladatokat is meg tudd oldani. Akár 4-szer gyorsabban haladhatsz, mint a suliban, mivel interaktívan, az alapoktól kezdve és szemléltetve magyarázunk.

A Tanulási naplóból nyomon követheted a haladásodat a matek videókkal. Megmutatjuk, hol találod, és mit láthatsz belőle: mikor és mennyit foglalkoztál a tananyaggal, milyen eredményt értél el, milyen sorrendben nyitottad meg a videókat.

Trigonometria

Tangens

Tangens : az alapok röviden

Tananyag

Mi is az a tangens? Ezt fogjuk ezen a videón megtanulni.

Teszt: Tangens alapok

Teszt

TESZT! Gyakorold a tangens szögfüggvényt! Oldd meg egyedül a feladatokat, és ha készen vagy, az értékelésnél láthatod az ereményedet és a részletes magyarázatokat is.

Tangens szögfüggvény gyakorlása

Tananyag

Gyakoroljuk feladatokban a tangens szögfüggvényt.

Hegyesszögek szögfüggvényei

Csillagaim: 0 /18

Szögfüggvények derékszögű háromszögekben

Tananyag

A szögfüggvények ismerete nagyon fontos a geometriai számításokban. Derékszögű háromszögek hiányzó adatait a szinusz (sin), koszinusz (cos), tangens (tg), kotangens (ctg) szögfüggvények segítségével könnyedén kiszámíthatjuk. Nézd át mindezt ezen az interaktív oktatóvideón, és gyakorold velünk a sin, cos, tg, ctg szögfüggvények használatát!

Hegyesszögek szögfüggvényei

Játék

JÁTÉK! Telepítsd be a tengeri akváriumot! Derékszögű háromszögekben keressük az alfa vagy a béta szög szögfüggvényeit. El kell döntened, hogy a felírt tört a megadott szög szinuszával, koszinuszával, vagy épp tangensével-kotangensével egyezik meg. Látni fogod utána a magyarázatot is, így a végére már magabiztosan fogod tudni használni a szögfüggvényeket.

Szögfüggvények derékszögű háromszögekben

Teszt

TESZT! Hét feladat megoldásával gyakorolhatod a szögfüggvények használatát derékszögű háromszögekben. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Szögfüggvények alkalmazása

Tananyag

Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. Sorra vesszük a nevezetes (30, 45, 60 fokos) szögek szögfüggvényeit. Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

Szögfüggvények és alkalmazásuk

Teszt

TESZT! Feladatok segítségével tedd próbára tudásod, mennyire sikerült elsajátítanod a szögfüggvényekről tanultakat. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Hegyesszögek szögfüggvényei

Teszt

TESZT! Keresd a derékszögű háromszögeket, és a szögfüggvények segítségével határozd meg a hiányzó oldalakat, szögeket! Dolgozz önállóan, majd ellenőrizd a magad! Kiértékelés után láthatod a részletes megoldásokat!

Szinusz- és koszinusz-tétel

Szinusz- és koszinusz-tétel

Tananyag

Ez a matematikai oktatóvideó a szinusz és koszinusz-tétel használatára tanít meg téged. Fontosak ezek a tételek, hisz minden háromszögben alkalmazhatók. Ha a háromszög oldalai és szögei közül hiányzó adatokat kell kiszámolnunk, bizonyos esetekben a szinusztételt, máskor a koszinusz-tételt kell használni. Azt is megtanulhatod a videóról, mikor melyik tételt kell használni. Kattints és nézz körül az évfolyam videói között!

Gyakorlás – szinusz- és koszinusz-tétel

Tananyag

Geometriai feladatokat oldunk meg, melyek megoldásával gyakorolhatod a szinusz-, és a koszinusz-tétel alkalmazását. Figyelj, mikor melyiket kell alkalmazni, melyik adat hiányzik a háromszögben.

Szinusz- és koszinusztételes feladatok

Teszt

TESZT! További hét feladatot oldhatsz meg önállóan a szinusz-, és a koszinusz tétel alkalmazásának gyakorlására. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Trigonometria

3 alfejezet / 12 tananyag

01. Tangens

• Tangens : az alapok röviden

Mi is az a tangens? Ezt fogjuk ezen a videón megtanulni.

TESZT! Gyakorold a tangens szögfüggvényt! Oldd meg egyedül a feladatokat, és ha készen vagy, az értékelésnél láthatod az ereményedet és a részletes magyarázatokat is.

Gyakoroljuk feladatokban a tangens szögfüggvényt.

02. Hegyesszögek szögfüggvényei

• Szögfüggvények derékszögű háromszögekben

A szögfüggvények ismerete nagyon fontos a geometriai számításokban. Derékszögű háromszögek hiányzó adatait a szinusz (sin), koszinusz (cos), tangens (tg), kotangens (ctg) szögfüggvények segítségével könnyedén kiszámíthatjuk. Nézd át mindezt ezen az interaktív oktatóvideón, és gyakorold velünk a sin, cos, tg, ctg szögfüggvények használatát!

JÁTÉK! Telepítsd be a tengeri akváriumot! Derékszögű háromszögekben keressük az alfa vagy a béta szög szögfüggvényeit. El kell döntened, hogy a felírt tört a megadott szög szinuszával, koszinuszával, vagy épp tangensével-kotangensével egyezik meg. Látni fogod utána a magyarázatot is, így a végére már magabiztosan fogod tudni használni a szögfüggvényeket.

TESZT! Hét feladat megoldásával gyakorolhatod a szögfüggvények használatát derékszögű háromszögekben. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. Sorra vesszük a nevezetes (30, 45, 60 fokos) szögek szögfüggvényeit. Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

TESZT! Feladatok segítségével tedd próbára tudásod, mennyire sikerült elsajátítanod a szögfüggvényekről tanultakat. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Keresd a derékszögű háromszögeket, és a szögfüggvények segítségével határozd meg a hiányzó oldalakat, szögeket! Dolgozz önállóan, majd ellenőrizd a magad! Kiértékelés után láthatod a részletes megoldásokat!

03. Szinusz- és koszinusz-tétel

• Szinusz- és koszinusz-tétel

Ez a matematikai oktatóvideó a szinusz és koszinusz-tétel használatára tanít meg téged. Fontosak ezek a tételek, hisz minden háromszögben alkalmazhatók. Ha a háromszög oldalai és szögei közül hiányzó adatokat kell kiszámolnunk, bizonyos esetekben a szinusztételt, máskor a koszinusz-tételt kell használni. Azt is megtanulhatod a videóról, mikor melyik tételt kell használni. Kattints és nézz körül az évfolyam videói között!

Geometriai feladatokat oldunk meg, melyek megoldásával gyakorolhatod a szinusz-, és a koszinusz-tétel alkalmazását. Figyelj, mikor melyiket kell alkalmazni, melyik adat hiányzik a háromszögben.

TESZT! További hét feladatot oldhatsz meg önállóan a szinusz-, és a koszinusz tétel alkalmazásának gyakorlására. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Számelmélet, számrendszerek

Oszthatóság, lnko, lkkt, számrendszerek

Számelmélet (1)

Tananyag

Összefoglaljuk a számelmélet alapjait: Osztó, oszthatóság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Beszélünk a prímszámokról, prímtényezős felbontásról, relatív prímekről. Felelevenítjük az oszthatósági szabályokat: Mikor osztható egy szám kettővel (néggyel, öttel, hárommal, nyolccal, kilenccel)? Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

Számrendszerek

Tananyag

A számelmélet alapjai után a számrendszerekről tanulunk (pl.: tizes-, kettes-, ötös alapú számrendszer). Megvizsgáljuk a számok értékét más számrendszerben. Megtanuljuk felírni a számokat különböző számrendszerekben. Megmutatjuk, milyen számokat használhatunk, melyek azok, amik nem léteznek bizonyos számrendszerekben. Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

Gyakorlás Számelmélet

Teszt

TESZT! Önálló munkára hívunk a számelmélet témában: legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó, Oszthatóság, osztási maradékok, számok átírása adott számrendszerbe. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Számelmélet, számrendszerek

1 alfejezet / 3 tananyag

01. Oszthatóság, lnko, lkkt, számrendszerek

• Számelmélet (1)

Összefoglaljuk a számelmélet alapjait: Osztó, oszthatóság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Beszélünk a prímszámokról, prímtényezős felbontásról, relatív prímekről. Felelevenítjük az oszthatósági szabályokat: Mikor osztható egy szám kettővel (néggyel, öttel, hárommal, nyolccal, kilenccel)? Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

A számelmélet alapjai után a számrendszerekről tanulunk (pl.: tizes-, kettes-, ötös alapú számrendszer). Megvizsgáljuk a számok értékét más számrendszerben. Megtanuljuk felírni a számokat különböző számrendszerekben. Megmutatjuk, milyen számokat használhatunk, melyek azok, amik nem léteznek bizonyos számrendszerekben. Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

TESZT! Önálló munkára hívunk a számelmélet témában: legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó, Oszthatóság, osztási maradékok, számok átírása adott számrendszerbe. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Exp. és logaritm.

Hatvány, gyök

Csillagaim: 0 /21

Hatványozás (ismétlés)

Tananyag

A hatványozás, a gyökvonás és a logaritmus összefüggenek egymással. A hatványozás az alapja mindennek, tehát nagyon fontos, hogy tisztában legyél ezek azonosságaival, és alkalmazni is tudd őket. Átismételjük a hatványozást egész kitevővel. Meghatározzuk a hatványozás definícióját, a hatványozás azonosságait. Feladatokat oldunk meg együtt a hatványozás gyakorlására.

Négyzetgyök (ismétlés)

Tananyag

A négyzetgyök fogalmával már korábban is találkozhattál. Sorra vesszük a négyzetgyök átalakítás azonosságait. Megvizsgáljuk, mit lehet “kihozni”, kiemelni a gyökjel alól, vagy mi lehet bevinni a gyökjel alá. A törtek (nevező) gyöktelenítéséről is tanulunk. Példákat, feladatokat oldunk meg gyökvonással kapcsolatban. Ismételjük át mindezt a 10.-es anyagból!

n-edik gyök

Tananyag

A gyökvonás nemcsak négyzetgyököt jelenthet. Megvizsgáljuk, mit is jelent a 3., 4., stb. gyök, hogyan lehet számolni vele. Mi történik páros és páratlan n szám esetén, megnézzük, milyen feltételeknek kell megfelelni. Az n-dik gyökvonás azonosságaival is foglalkozunk. Hozzuk közös gyökjel alá! A gyökök kitevőit is össze lehet szorozni, mint a hatványkitevőket.

n-edik gyök, törtkitevős hatvány

Tananyag

A mostani matekvideóban először is az n-edik gyök fogalmát ismételjük át, példákkal, foglalkozunk a páros és páratlan gyök közötti különbségekkel. Aztán megnézzük, mit jelent az, ha a hatvány kitevőjében egy törtszám áll. Majd megmutatjuk, hogy így egyesítve a gyökvonást a hatványozással, mennyivel könnyebb a törtkitevőkkel műveleteket végezni.

n-edik gyök, törtkitevős hatvány – gyakorlás

Tananyag

Gyakoroljuk a gyökös és törtkitevős hatványok átalakítását. Alkalmazd a hatványozás és a gyökvonás azonosságait és hozd egyszerűbb alakra a kifejezéseket!

Törtkitevős hatvány

Játék

JÁTÉK! Építs fel és rendezz be egy modern családi házat! A törtkitevős hatványok értelmezését, átalakítását gyakorolhatod a feladatokkal. Döntsd el, hogy helyes-e a számolás vagy átalakítás eredménye. Utána látni fogod a magyarázatot is. Mire elkészül a ház, profin fogsz bánni a törtkitevős hatványokkal.

Törtkitevős hatvány

Teszt

TESZT! A hatványozásról és a gyökvonásról tanultakat gyakorolhatod a feladatok megoldásával. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Exponenciális egyenletek

Csillagaim: 0 /12

Exponenciális egyenletek

Tananyag

Ha jól tudod a hatványozás azonosságait, akkor az exponenciális egyenletek megoldása is menni fog. Nézzük meg ennek lépéseit, a típusfeladatokat, és gyakoroljuk ezek megoldását! Sok gyakorló példa vár.

Exponenciális szöveges feladatok

Tananyag

Megoldunk néhány szöveges feladatot, amiből exponenciális egyenletet írhatunk fel, esetleg még a logaritmusra is szükségünk lehet.

Exponenciális egyenletek

Játék

JÁTÉK! Oldd meg az exponenciális egyenleteket, és szerezd meg az elsüllyedt hajók kincseit! Vizsgáld meg minden lépésben, hogy jó-e a levezetés, helyes-e az átalakítás.

Exponenciális egyenletek

Teszt

TESZT! Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Dolgozz önállóan, kiderül, elsajátítottad-e az exponenciális egyenletekről szóló tudnivalókat. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Logaritmus

Logaritmus

Tananyag

A logaritmus művelete sok szempontból a legnehezebb fogalmak közé tartozik a középszintű matematikában. Ez a videó úgy mutatja be a logaritmus definícióját, és az ehhez kapcsolódó feladatokat, hogy az emészthető legyen bárki számára. Hogyan kell “levarázsolni” a hatvány kitevőjét, aztán hogyan kell áttérni más alapra, ilyeneket is begyakorolhatsz ezzel a videóval.

Logaritmus alapjai

Teszt

TESZT! Tesztelt a tudásod az alábbi feladatokkal: Határozd meg a logaritmusok értékeit!; Oldd meg a logaritmusos egyenleteket!; Számítsd ki a közelítő értékét! Sok sikert! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Exp. és logaritm.

3 alfejezet / 13 tananyag

01. Hatvány, gyök

• Hatványozás (ismétlés)

A hatványozás, a gyökvonás és a logaritmus összefüggenek egymással. A hatványozás az alapja mindennek, tehát nagyon fontos, hogy tisztában legyél ezek azonosságaival, és alkalmazni is tudd őket. Átismételjük a hatványozást egész kitevővel. Meghatározzuk a hatványozás definícióját, a hatványozás azonosságait. Feladatokat oldunk meg együtt a hatványozás gyakorlására.

A négyzetgyök fogalmával már korábban is találkozhattál. Sorra vesszük a négyzetgyök átalakítás azonosságait. Megvizsgáljuk, mit lehet “kihozni”, kiemelni a gyökjel alól, vagy mi lehet bevinni a gyökjel alá. A törtek (nevező) gyöktelenítéséről is tanulunk. Példákat, feladatokat oldunk meg gyökvonással kapcsolatban. Ismételjük át mindezt a 10.-es anyagból!

A gyökvonás nemcsak négyzetgyököt jelenthet. Megvizsgáljuk, mit is jelent a 3., 4., stb. gyök, hogyan lehet számolni vele. Mi történik páros és páratlan n szám esetén, megnézzük, milyen feltételeknek kell megfelelni. Az n-dik gyökvonás azonosságaival is foglalkozunk. Hozzuk közös gyökjel alá! A gyökök kitevőit is össze lehet szorozni, mint a hatványkitevőket.

A mostani matekvideóban először is az n-edik gyök fogalmát ismételjük át, példákkal, foglalkozunk a páros és páratlan gyök közötti különbségekkel. Aztán megnézzük, mit jelent az, ha a hatvány kitevőjében egy törtszám áll. Majd megmutatjuk, hogy így egyesítve a gyökvonást a hatványozással, mennyivel könnyebb a törtkitevőkkel műveleteket végezni.

Gyakoroljuk a gyökös és törtkitevős hatványok átalakítását. Alkalmazd a hatványozás és a gyökvonás azonosságait és hozd egyszerűbb alakra a kifejezéseket!

JÁTÉK! Építs fel és rendezz be egy modern családi házat! A törtkitevős hatványok értelmezését, átalakítását gyakorolhatod a feladatokkal. Döntsd el, hogy helyes-e a számolás vagy átalakítás eredménye. Utána látni fogod a magyarázatot is. Mire elkészül a ház, profin fogsz bánni a törtkitevős hatványokkal.

TESZT! A hatványozásról és a gyökvonásról tanultakat gyakorolhatod a feladatok megoldásával. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

02. Exponenciális egyenletek

• Exponenciális egyenletek

Ha jól tudod a hatványozás azonosságait, akkor az exponenciális egyenletek megoldása is menni fog. Nézzük meg ennek lépéseit, a típusfeladatokat, és gyakoroljuk ezek megoldását! Sok gyakorló példa vár.

Megoldunk néhány szöveges feladatot, amiből exponenciális egyenletet írhatunk fel, esetleg még a logaritmusra is szükségünk lehet.

JÁTÉK! Oldd meg az exponenciális egyenleteket, és szerezd meg az elsüllyedt hajók kincseit! Vizsgáld meg minden lépésben, hogy jó-e a levezetés, helyes-e az átalakítás.

TESZT! Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Dolgozz önállóan, kiderül, elsajátítottad-e az exponenciális egyenletekről szóló tudnivalókat. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

03. Logaritmus

A logaritmus művelete sok szempontból a legnehezebb fogalmak közé tartozik a középszintű matematikában. Ez a videó úgy mutatja be a logaritmus definícióját, és az ehhez kapcsolódó feladatokat, hogy az emészthető legyen bárki számára. Hogyan kell “levarázsolni” a hatvány kitevőjét, aztán hogyan kell áttérni más alapra, ilyeneket is begyakorolhatsz ezzel a videóval.

TESZT! Tesztelt a tudásod az alábbi feladatokkal: Határozd meg a logaritmusok értékeit!; Oldd meg a logaritmusos egyenleteket!; Számítsd ki a közelítő értékét! Sok sikert! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.