Egyenletek feladatok megoldással 9 osztály

Szorzat értéke akkor és csak lesz 0, ha valamelyik eleme nullával egyenlő. Ezt a törvényt használjuk fel egyenletek megoldásánál: az algebrai kifejezést nullára redukáljuk, szorzattá alakítjuk, és a fentiek szerint járunk el.

Függvények a matek érettségiben

A matek érettségiben számos függvény előfordul, ha jól számolom 11 függvény az, ami szokott lenni, van egy pár, amivel még nem találkozattál (harmadfokú függvény, Haranggörbe, előjelfüggvény, egészrész, törtrész). S nézzük mi az, ami szokott lenni. Elsőfokú polinomfüggvény, azaz egyenes. Másodfokú függvény (parabola) Reciprok függvény Gyök Exponenciális Logaritmus Szinusz, Koszinusz, Tangens, Kotangens Abszolútérték (V) FELADAT: Keresd […]

Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Az elsőfokú egyenlet rendezés mindennek az alapja, enélkül sajnos az kell mondanom, hogy az összes többi egyenlet rendezéssel gondjaid lesznek, így ha nem elég stabilak az alapok, akkor ezt át kell ismételned, de sürgősen! Már alsóban is rendeztünk egyenleteket, de igazából 7. osztályban foglalkozunk vele először olyan szinten, amire szükséged lesz a gimiben, amikor is […]

Törtes egyenlőtlenség

Törtes egyenlőtlenség megoldása Megvizsgálod, hogy milyen számokat keresünk (kacsacsőr) nagyobb, mint 0 nagyon vagy egyenlő, mint 0 kisebb , mint 0 kisebb vagy egyenlő, mint 0 Ha ezt eldöntötted, írd a kacsacsőr felé, hogy pozitív vagy negatív számokat keresel Tedd fel magadnak a kérdést: Egy tört mikor pozitív? /Egy tört mikor negatív? Vizsgáld meg […]

Otthoni tanulás 1.0

Rengeteg cikket olvastam mostanában az otthoni tanulásról, azon belül is az onlineról, mivel nagyon érdekel hogy ki mit gondol ebben a témában. Most én is megosztom veletek észrevételeimet, tanácsaimat. 1. Használd a könyvedet. Tudom-tudom. Órán se használjátok. A diákjaim 80%-ára igaz ez. Van egy könyvük, és ki se nyitották egész évben. Hogy miért, azt magam […]

Függvények jelölése

Azt tapasztalom, hogy sok mindenkinek gondja van a függvényekkel, ezért egy kis szösszenet keretében átfutnánk rajta. Először is, hogyan nézhet ki , vagyis hogyan adhatunk meg egy függvényt: Leggyakoribb függvénymegadás y= y = 2x amikor a bal oldalon y van. Ezzel az alakkal találkozhattál legtöbbet az általános iskolában. Érdemes ezt megjegyezned, mert így a legegyszerűbb, […]

Részhalmaz

Halmaz témaköréhez tartozik. A halmaz részhalmaza a B-nek, ha A minden eleme B halmaznak is az eleme. Pl.: A= < Kutyák>, B= < Négylábú állatok>vagy A= < 0,1,2,3,>, B=

Egyenletrendszer megoldása egyenlő együtthatók módszerével 2. módszer

Szerintem ez a legegyszerűbb módszer a 3 közül. Ezt szoktam javasolni, ha érted. Ha nem, akkor maradj a behelyettesítő módszernél. Mielőtt kipróbálod, beszéljük meg, mi az az együttható. Az együttható az ismeretlen (x vagy y) előtt álló szám. Pl. 3x – 4y = 5 A 3 az x együtthatója, az y-nak – 4 ! Tehát […]

Egyenletrendszerek megoldása, 1. módszer: behelyettesítés

Elég sokaknak van problémája az egyenletrendszerek megoldásával, így nézzük át, hogy mi is a a 3 módszer, ami közül válogathatsz! Egyenletrendszer megoldása behelyettesítő módszerrel Kifejezem az egyik ismeretlent valamelyik egyenletből. TIPP: azt fejezd ki, amelyiknek az együtthatója egész szám, abból az egyenletből, amiben +/- van stb. Behelyettesítem a másik egyenletbe Megoldom az egyenletet Kijön egy […]

Kisérettségi témakörök

Hamarosan itt a kisérettségizés ideje, általában 10. osztályban van, február környékén. Ahány iskola, annyi szokás, így sajnos nem tudok tippet adni arra vonatkozólag, hogy milyen hosszú lesz, s milyen feladatok lesznek benne. Többnyire régebbi érettségikből válogatnak össze ezekbe a témákba eső feladatokat. Valahol segítik a felkészülést, valamelyik iskolában megkapod a listád, s magad kell felkészülnöd… […]

Pitagorasz tétele

Ez az egyik kedvenc videóm, ami nagyon szemléletesen bemutatja a pitagorasz tételét! Pitagorasz tétele: a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével. Azaz: a befogókra állított négyzetek területének összege (azaz a két kis négyzetben lévő folyadék) megegyezik az átfogóra állított négyzet területével ( azaz a 3. legnagyobb négyzetbe belefér az összes víz)

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

1 EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával rendezzük az egyenletet a mérlegelv vagy a lebontogatás alkalmazásával megoldjuk az egyenletet; ellenőrizzük a megoldást. Részletesebb leírás: ) Oldja meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán! a) ( + ) ( ) ( ) = b) ( + ) ( + ) ( + ) = 0 c) ( + ) ( ) ( ) = 0 d) (0 ) = 6 ( ) e) + ( 5) = 6 f) ( ) + = 6 ( + ) Oldja meg az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) 5( ) + < 5( + ) b) ( + 5) ( + 6) + c) (8 0) 5( 0) 0 d) ( 0) >6(5 0) e) < ( 0) 6( ) f) 9( + 5) ( + 5).) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) c) = b) e) = d) + 5 = 9 f) = = 5 5 = ) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 6 = 0 b) c) e) + = + = d) 6 9 = = f) = 9

2 Abszolútértékes egyenletek 5.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) + = b) = 0 c) = 5 d) 5 = 9 e) = 5 f) + = + g) + + = 8 h) = 0 Két ismeretlenes egyenletrendszerek 6.) Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket a valós számok halmazán! a) y = 5 y = 8 d) 0 + 8y = + y = 0 g) y = 5y = b) = + y y = 9 e) + y = 5 + y = 0 h) 5 + y = 9 y = c) + 5y = y = f) 0 + 8y = + y = 0 i) 0,5 0,5y = 0,5 y = Szöveges egyenletek Szöveges feladatok megoldásának menete Olvassa végig a feladat szövegét, és becsülje meg az eredményt! o Azt is gondolja végig, hogy milyen szám lehet, vagy nem lehet a megoldás (pl. fél ember, vagy hosszúság negatív nem lehet, stb.) Jelölje valamilyen betűvel az ismeretlent, és ezt írja is le! o Általában – de nem mindig – azt a mennyiséget célszerű ismeretlennek választani, amit válaszban meg kell adni. o Készítsen ábrát! egy jó ábra sokszor megkönnyíti a feladat megoldását. Fordítsa le a szöveget a matematika nyelvére!

3 o Érdemes a feladatban szereplő adatokat kigyűjteni és közöttük számszerű összefüggéseket keresni. Gondolja végig, hogy hogyan lehet egyenlőséghez jutni (ebből lesz az egyenlet)! o Vigyázzon, ha a szöveg azt mondja, hogy egy mennyiség öttel kevesebb a másiknál, akkor nem kivonni, hanem hozzáadni kell ötöt, hogy fennálljon az egyenlőség! Írja fel az egyenletet és oldja meg! Az eredményt vizsgálja meg: vesse össze a becsléssel, ellenőrizze a feladat szövege alapján! Mindenképp írjon szöveges választ! Forrás: Gergőnek és Zsuzsinak összesen Ft-ja van. Ha Zsuzsi kapna még Ft-ot, akkor mindkettőnek ugyanannyi pénze lenne. Hány forintja van Gergőnek, hány forintja van Zsuzsinak? 8.) Két raktárban összesen tégla volt. Amikor az első raktárba még 6 00 tégla érkezett, a másikból pedig téglát elszállítottak, akkor a két raktárban ugyanannyi tégla maradt. Hány tégla volt eredetileg a raktárakban? 9.) Iskolánkban általános iskola és gimnázium is működik. A beiratkozáskor összesen 6 tanulót vettek fel. Később az általános iskolába még 6-an, a gimnáziumba 8-an iratkoztak be. Ezzel ugyanannyi lett az általános iskolások és a gimnazisták létszáma. Hány általános iskolás és hány gimnazista iratkozott be eredetileg hozzánk? 0.) Két könyvszekrényben együtt 660 könyv volt. Amikor az egyik szekrényből kivettek 5 könyvet, és a másikból háromszor annyit, akkor mindegyik szekrényben ugyanannyi könyv maradt. Hány könyv volt eredetileg az egyes szekrényekben?.) Gergő és Bea egyszerre indulnak el otthonról a szomszéd faluba. Bea kerékpárral, Gergő motorral indul útnak. Bea egyenletesen megy km/h sebességgel, Gergő ugyancsak egyenletesen motorozik 8 km/h sebességgel. Bea,5 órával később ér a szomszéd faluba. Milyen messze van a falu?.) Reggel 6 órakor indul egy tehervonat Szegedről 5 km/h sebességgel, fél 9-kor indul utána egy személyszállító vonat 60 km/h átlagsebességgel. Mikor éri utol a személyvonat a tehervonatot? Milyen messze lesznek ekkor Szegedtől?.) km-es távolság két végpontjából egyszerre indul egy 56 km/h átlagsebességű tehergépkocsi és egy 8 km/h átlagsebességű személygépkocsi egymással szembe. Hány óra múlva találkoznak? Hány km-t tesznek meg ez alatt?

4 Másodfokú egyenletek Oldja meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán!. = 00. = 6. = 6. y 5 = 0 5. e + = 0 6. a = 0 5.) Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán. a) + = 0 b) 8 = 0 c) + 6 = 0 d) 8 = 0 e) y y = 0 f) y + 0y = 0 g) y y = 0 h) 6y 60y = 0 i) = 0 Definíció: A másodfokú egyenlet általános alakja: a + b + c = 0, ahol a, b, c valós számok és a 0. Példa: + 6 = 0 (ebben az egyenletben a = ; b = ; c = 6) A másodfokú egyenlet megoldó képlete:, b b ac. a Definíció: A b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük. Jele: D A másodfokú egyenletnek: két valós gyöke van, ha D > 0; egy valós gyöke van, ha D = 0; nincs valós gyöke, ha D < 0. 6.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Használjuk a megoldó képletet! Figyeljünk az előjelekre!) a) + = 0 h) + = 0 b) + 5 = 0 i) y + y 6 = 0 c) = 0 j) 5y + 0y + = 0 d) + 6 = 0 k) 5y 5y + 0 = 0 e) 8 + = 0 l) y + y + = 0 f) = 0 m) y + 6y + 08 = 0 g) = 0 n) y + 8y 60 = 0 o) y y 0 = 0 p) y 8y + = 0 q) a a = 0 r) a 5 a = 0 s) 5a 0a = 0 t) 6a 6a + = 0 u) a + a 8 = 0

5 5.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Rendezzük az egyenletet nullára és használjuk a megoldó képletet! Figyeljünk az előjelekre!) a) = + b) = c) + 0 = d) = e) = f) + = 5 g) = + 6 h) = 8.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Bontsuk fel a zárójelet, rendezzük az egyenletet nullára és használjuk a megoldó képletet! Figyeljünk az előjelekre!) a) = ( )( ) b) ( + ) = ( ) 6 c) 0( ) + 9 = (5 )( + 5) d) 6 = 0 e) ( )( + ) + ( )( + 5) = 0 f) = + 8 g) y y + = y 6 h) v + v + v + v = 0 9.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Szorozzunk be a közös nevezővel, rendezzük az egyenletet nullára és használjuk a megoldó képletet!) a) b) 5 c) 9 50 d) ) )( ( e) ) )( ( f) ) )( ( g) h)

6 Másodfokú Szöveges feladatok Területtel kapcsolatos feladatok: 0.) Két négyzet oldalának a különbsége m, területüknek a különbsége 0 m. Mekkora mindegyik négyzet oldala?.) 60 facsemetét két négyzet alakú parcellába akartak ültetni. Az egyik négyzet oldala mentén 5 fával kevesebbet ültettek, mint a másik mentén, és így 5 csemete megmaradt. Hány fát ültettek egy-egy parcellába?.) Egy négyzet oldala 0 cm. Mennyivel növeljük az egyik oldalt, és csökkentsük ugyanannyival a másikat, ha azt akarjuk, hogy az így kapott téglalap területe 60 cm legyen?.) Egy 8 cm-es méretű fényképnek körben egyforma szélességű kerete van. Határozzuk meg a keret szélességét, ha területe egyenlő a kép területének 5%-ával. Sebességgel kapcsolatos feladatok.) Két állomás közötti távolság 96 km. A személyvonat, amelynek átlagsebessége km/h-val nagyobb, mint a tehervonaté, 0 perccel rövidebb idő alatt teszi meg az utat, mint a tehervonat. Mekkora a személyés a tehervonat sebessége? 5.) Egy repülőgép 0 perc késéssel érkezett az A városból a tőle 500 km-re levő B városba, mert 50 km/h sebességű ellenszéllel szemben repült. Mekkora a repülőgép saját sebessége? 6.) Egy vonatnak 00 km-es utat kellett volna megtennie. Az út felének megtétele után hóakadály miatt egy órát vesztegelt, és ezért, hogy időre érkezzék, átlagsebességét km/h-val megnövelte. Mekkora volt az eredeti átlagsebessége, és hány óra alatt ért a kiindulási állomásról a célállomásra?.) Az A városból két gépkocsi megy a B város felé. Az első gépkocsi sebessége 0 km/h-val nagyobb a másodikénál, és így egy órával hamarabb ér célhoz. Határozzuk meg a gépkocsik sebességét, ha a két város közti távolság 500 km! Közös munkavégzéssel kapcsolatos feladatok* 8.) Egy szakmunkás nappal előbb végez egy munkával, mint egy betanított munkás. Ha együtt dolgoznak, akkor két nap alatt készen vannak. Hány nap alatt végzi el a munkát a két munkás egyedül? 9.) Két kőműves együttes munkával 6 nap alatt épít fel egy falat. Hány nap alatt építenék fel a falat különkülön, ha az egyiknek az egész munka 5 nappal tovább tartana, mint a másiknak? 0.) Egy medence az első befolyó csövön át órával hamarabb telik meg, mint a másodikon. Egy alkalommal, hogy a medencét megtöltsék, mind a két csövet megnyitották. 0 óra múlva az elsőt elzárták; ezután 5 óra 5 perc múlva a medence megtelt. Mennyi idő alatt tölti meg a medencét külön az egyik, külön a másik cső? 6

7 Másodfokúra visszavezethető egyenletek Új ismeretlen bevezetésének módszere: 5 + = = 0 y: = y 5y + = 0 Új ismeretlen bevezetése y, = 5 ± 5 6 = y = y = = = = = = = Tétel: Egy n-ed fokú egyenletnek legfeljebb n valós megoldása létezik..) Oldja meg az alábbi negyedfokú egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Vezessen be új változót!) a) = 0 b) = 0 c) d) = 0 e) = 0 f) 6 + = 0 g) = 0 h) 9y + 8y = 0.) Oldja meg az alábbi hatod fokú egyenleteket a valós számok halmazán. a) 6 = 0 b) y 6 y = 0 c) y 6 89y 58 = 0 d) y 6 8y = 0 e) y 6 686y + 65 = 0 f) y 6 0y 0 = 0.) Oldja meg az alábbi négyzetgyökös egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Vizsgáljunk alaphalmazt!) a) b) 6 0 c) d) 6 0

8 Másodfokú egyenlőtlenségek Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása grafikus módszerrel + < 0 Az egyenlőtlenség bal oldalán a másodfokú kifejezéshez kapcsolódó függvénynek minimuma van (hiszen a = >0) ). A függvény zérushelyei:, = ± = = = Ez a két zéruspont az tengelyt (a számegyenest) három intervallumra bontja. A másodfokú függvény tulajdonságaiból és az eddigi megállapításokból következik, hogy a függvényértékek előjele az ; intervallumon negatív. Forrás: Oldja meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán. a) > 00 b) < 6 c) y d) a 5 0 e) b + < 0 f) d >0 g) > 0 h) 5 > 0 5.) Oldja meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán. a) + < 0 b) 8 >0 c) 8 < 0 d) e) y y < 0 f) y + 0y >0 g) y y 0 h) 6y 60y 0 6.) Oldja meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán. a) 0 0 b) c) 0 d) 8 0 e) f) 0 g) 5 0 h) 0 i) j) 8 0 k) l)

9 Megoldókulcs:. oldal:.) a) = b) = 5 c) = 5 d) = e) = f) =.) a) = b) = c) = d) = e) = 5 f) = 5.) a) < b) c) 5 d) < e) >f). oldal 5.) a) = 8; = 6 b) = 6; = c) = ; = 9 d) = ; = e) = ; = f) = ; = g) = ; = 5 h) = 9; =.) a) nincs megoldás b) = c) = 0 d) = e) nincs megoldás f) = 0,5 6.) a) (; y) = (; ) b) ; y = (5; ) c) ; y = (; ) d) (; y) = ( ; ) e) ; y = (9; ) f) ; y = ( 6,9; 8,56 ) g) (; y) = (; ) h) ; y = (0; ) i) ; y = ( ; 6). oldal.) Gergőnek 5 Ft-ja van, Zsuzsinak 6 Ft-ja. 8.) Az egyik raktárban 8 800, a másik raktárban 6 00 tégla volt. 9.) 8 általános iskolás és 86 gimnazista iratkozott be eredetileg. 0.) Az egyikben 85 könyv, a másikban 85 könyv volt..) A falu km-re van..),5 óra múlva (vagyis órakor) Szegedtől 0 km-re..) óra múlva találkoznak, a teherautó 68 km-t a személyautó 6 km-t tesz meg.. oldal ) a) = 0; = 0 c) nincs megoldás e) nincs megoldás b) = 8; = 8 d) y = 5; y = 5 f) a = ; a = 5) a) = 0; = d) = 0; = 6 g) y = 0; y = b) = 0; = 8 e) y = 0; y = h) y = 0; y = 0 c) = 0; = f) y = 0; y = 5 i) = 0; = 0 6) a) = ; = h) = 8; = o) y = 6; y = 5 b) = ; = 5 i) y = ; y = p) y = c) = 5 j) nincs megoldás q) a = d) nincs megoldás k) y = 8; y = r) a = ; a = e) = 6; = l) nincs megoldás s) nincs megoldás f) = m) y = 6 t) a = 9; a = 8 g) = ; = n) y = ; y = 5 u) a = 9

10 5. oldal ) a) = ; = b) = ; = c) = 5; = d) = e) = ; = f) = ; = 5 g) = ; = h) nincs megoldás 8) a) azonosság b) = 5; = 5 c) = 0; = 0. d) = ; = 9 e) = 8; = 8 f) = 0; = 0 g) y = 5; y = 5 h) v = ; v = 9) a) = ; = b) = ; = 0.5 c) = 5; = 5 d) = e) = f) nincs megoldás g) nincs megoldás h) =.5; = 6. oldal 0) Az oldalak m és 6 m. ) 0 és 5 fát ültettek ) Körülbelül 6. cm-rel. ) 0,96 dm ) 6 és 8 km/h 5) 00 km/h 6) kb. 59 km/h és,9 óra ) kb. 66 és 6 km/h 8) és 6 nap 9) 0 és 5 nap 0) kb. óra és 0 óra. oldal ) a) / = ± b) nincs megoldás c) / = ± d) nincs megoldás e) / = ± g) / = ± h) y / = ± f) / = ± 6 6 ) a), = b) y = 5; y = c) y = ; y = 6 d) y = e) nincs megoldás f) nincs megoldás ) a) = ; = 5 b) = 9 c) nincs megoldás d) = 6 8. oldal ) a) < 0 vagy >0 b) < 8 vagy >8 c) azonosság d) 5 a 5 e) nincs megoldás f) d < vagy d >g) azonosság h) < 5 vagy >5 5) a) < < 0 b) < 0 vagy >8 c) 0 < < 6 d) 0 e) y < vagy y >0 f) 0 < y < 5 g) y 0 h) y 0 vagy y 0 0

Egyenletek 9. osztály

Szeretettel köszöntelek az online matek korrepetálás kurzuson. Az online oktató videok használata a 21. század egyre népszerűbb tanulási módszere, hiszen az eredményes (matek!) tanulás talán még soha nem volt annyira fontos a diákok életében, mint manapság.

Ebben a kurzusban az alábbi témakörrel ismerkedhetsz meg:

Egyenletek

• Egész együtthatós egyenletek
• Törtegyütthatós egyenletek
• Szöveges feladatok megoldása egyenlettel
• Számok, mennyiségek közötti összefüggések felírása egyenlettel
• Számok helyiértéke
• Fizikai számítások
• Együttes munkavégzéssel kapcsolatos feladatok

Ezeket a leckéket Magyarországon már több mint 6 ezer tanuló kapta vagy kapja meg, de nem lesz tőle automatikusan mindenki matekzseni.

Amit itt látsz majd, az nem a megszokott matematika oktatás, hanem kipróbált, tesztelt és bizonyítottan sikeres módszer – megtanítunk megérteni a matekot.

Az oldalt azért hoztuk létre, hogy segítsünk Neked a matematika tanulásban, hiszen nekünk fontos, hogy

– ne izgulj, amikor matek dolgozatot vagy témazárót írsz, mert módszerünkkel teljesen felkészült leszel,- érezd magad biztonságban az órákon, mert segítségünkkel érteni fogod a feladatokat,- legyen valaki melletted, akire számíthatsz és, akitől bármikor kérdezhetsz, ha nem értesz egy-egy feladatot, vagy nem tudod egyedül megoldani a házidat.

Mit szólnál hozzá, ha minden délután hazavihetnéd a matektanárod? Akkor segítene neked, amikor szeretnéd, egy gombnyomással ki/be kapcsolhatnád, újra és újra elmagyarázná a feladatokat, segítene a házi megoldásában, felkészülni a dolgozatra és mindezt akkor, amikor neked van rá időd és nem fordítva. 🙂

A leckéket bármikor megállíthatod, visszatekerheted, akár 1000-szer is megnézheted.

A videokban látott feladatokat az általatok használt tankönyvekből, feladatgyűjteményekből vettük (ezért is kérjük a tankönyv ISBN számát, hogy be tudjuk azonosítani, te melyikből tanulsz pontosan), tehát biztosan azt kapod, amiről órán is szó van.

Leckéinket lépésről-lépésre építettük fel, tehát biztos, hogy az is megérti, aki abszolút kezdőként ül le a gép elé.