Emelt szintű matek érettségi

Egy szám abszolútértékén a nullától való távolságát értjük.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához! a ) Egy számsorozatról a következőket tudjuk: – a harmadik tagtól kezdve mide tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: ; – az a, a és a 9a a a a egymást követő tagja; sorozat első öt tagjáak összege 68. a – az ebbe a sorredbe egy számtai sorozat Mekkora eek a számsorozatak a hatodik tagja? A megadott feltételeket a következő alakba haszáljuk: () a a a, ha a a a 9a () (6 pot) () a a a a4 a5 68 ( pot) A sorozat harmadik tagja az () alapjá: a a a Behelyettesítve a () összefüggésbe ezt az a helyére, redezés utá kapjuk, hogy ( pot) a 4a a a a 4a a 6a Ebből A egyedik tagot felírva az () alapjá: a a a 4 A jobb oldalo behelyettesítve az kapjuk, hogy a a 6a 4a 64a 4 Hasolóa fejezhetjük ki 5 4 és az a 5 a az értékét a -gyel kifejezett értéket ( pot) a segítségével: a a a 64a 6a 56a ( pot) Összevoás utá 4a 68 Ebből a A hatodik tagot felírva () alapjá: a6 a5 a 4. Az és az a -gyel kifejezve kapjuk, hogy a 5 6 a 4 értékét a 56a 64a 04a ( pot) A kapott ;8;;8;5;048; számsorozat elemei kielégítik az elemiről megadott összes feltételt. A sorozat hatodik tagja 048 a sorozat Összese: 6 pot

2 ) a a) Legye egy mértai sorozat, melyek első tagja 5, háyadosa. Meyi a valószíűsége, hogy ha eek a mértai sorozatak az első 0 tagjából egyet véletleszerűe kiválasztuk, akkor a kiválasztott tag -gyel osztva maradékot ad? (6 pot) b) Legye egy számtai sorozat, amelyek az első tagja 5, és b differeciája. Mekkora a valószíűsége, hogy ha eek a számtai sorozatak az első 0 tagjából egye kiválasztuk, akkor a kiválasztott tag -gyel osztva maradékot ad? (7 pot) a) Az első sorozatba az első tagtól kezdve felírjuk a tagok -gyel való osztás maradékát: 5; 4; ; ; 9; 5; A maradékok ciklikusa ismétlődek (midig -mal szorzuk) Mide ötödik tag -es maradékot ad ( pot) tehát a valószíűség 5 ( pot) b) A számtai sorozatba az első tagtól kezdve felírjuk a tagok -gyel való osztás maradékát: 5; 8; 0; ; 6; 9; ; 4; 7; 0; ; Ettől kezdve ismétlődik: 5; 8; 0; tehát a ciklushossz Egy ciklusba egy kedvező eset va Mivel 0 ciklus va a 0. tagig, és midegyikbe egy darab -es va így a keresett valószíűség 0 0 ( pot) Összese: pot ) Egy pozitív tagokból álló mértai sorozat első három tagjáak összege 6. Ha az első taghoz egyet, a másodikhoz hatot, a harmadikhoz hármat aduk, akkor ebbe a sorredbe egy számtai sorozat első három tagját kapjuk. Adja meg eek a számtai sorozatak az első három tagját! (4 pot) A számtai sorozat első három tagjáak összege: Számtai közép miatt a második tagja. ( pot) jelöljük a számtai sorozat külöbségét d-vel, ekkor a sorozat első három tagja d; ; d A mértai sorozat tagjai: ; 6; ( pot) d d Mértai közép miatt 6 d 9 d ( pot) ahoa d d 6 0 d 9 vagy Tehát a keresett számtai sorozat első három tagja ; ; illetve 9; ; 5 Ezek megfelelek a feladat feltételeiek, a mértai sorozat megfelelő tagjai: ;6;8 illetve 8;6; ( pot) Összese: 4 pot d 7

3 4) Legye pozitív egész. Adottak az alábbi sorozatok: a b c, ahol a, ahol b 0 ;, ahol c si cos ; Vizsgálja meg midhárom sorozat korlátosság és mootoitás szempotjából! Válaszoljo midhárom esetbe, hogy a sorozat korlátos vagy em, illetve mooto vagy em! (Válaszát idokolja!) Korlátos esetbe adjo meg egy alsó és egy felső korlátot! (6 pot) a, ahol a Ha páros, akkor Ha páratla, akkor a Az A b ; a a 0 sorozat tehát em korlátos, em mooto sorozatot itervallumo kell vizsgáli 0; 0 ; b, ahol b 0 Az abszolútérték értelmezése alapjá, Ha 0, akkor Ha 0, akkor Eze a tartomáyo b 0 b 0 b. Ha b 0 A b sorozat tehát korlátos és mooto csökkeő Alsó korlátja:, felső korlátja:, akkor c, ahol c si cos Haszáljuk az jelölést! Ekkor a égyzetre emelés, Pitagoraszi összefüggés és a kétszeres szögfüggvéy képletéek alkalmazásával: c si cos si si cos cos si Visszaírva si c A eredeti jeletését kapjuk, hogy értéke mide egész eseté 0 sorozat mooto, és korlátos Alsó korlátja felső korlátja is c si ( pot), mivel Összese: 6 pot

4 5) Egy bak a Godoskodás evű megtakarítási formáját ajálja újszülöttek családjáak. A megtakarításra vállalkozó családok a gyermek születését követő év első baki apjá számlát yithatak forit összeggel. Mide következő év első baki apjá szité foritot kell befizetiük a számlára. Az utolsó befizetés aak az évek az első apjá törtéhet, amely évbe a gyermekük betölti 8. életévét. A bak év végé a számlá lévő összeg utá évi 8%-os kamatot ad, amit a következő év első baki apjá ír jóvá. A gyermek a 8. születésapját követő év első baki apjá férhet hozzá a számlához. a) Mekkora összeg va ekkor a számlá? A válaszát egész foritra kerekítse! (8 pot) A gyermek a 8. születésapját követő év első baki apjá felveheti a számlájá lévő teljes összeget. Ha em veszi, választhatja a következő lehetőséget is: Hat éve keresztül mide év első baki apjá azoos összeget vehet fel. Az első részletet a 8. születésapját követő év első baki apjá veheti fel. A hatodik pézfelvétellel a számla kiürül. Ha ezt a lehetőséget választja, akkor a bak az első pézfelvételtől számítva mide év végé a számlá lévő összeg utá évi 5%-os kamatot garatál, amit a következő év első baki apjá jóváír. b) Ebbe az esetbe mekkora összeget vehet fel alkalmakét? A válaszát egész foritra kerekítse! (8 pot) a) A számlayitás összege: a A következő év első baki apjá a számlá lévő péz a a,08 a A következő év első baki apjá a számlá lévő péz: a a a a,08,08, Összese 8 alkalommal fizettek be a számlára, így az utolsó befizetéskor a számlá lévő összeg: ( pot) a a 7 6 8,08,08. 08 Ez az összeg még egy évig kamatozik, így a számlához való hozzáférés időpotjába a számlá lévő összeg c a 8 7,08,08. 08 A zárójelbe lévő összeg egy mértai sorozat első 8 tagjáak összege. A sorozat első tagja,08 és a háyadosa is,08. 8,08 c a, ,08 A számlá lévő összeg kerekítve Ft.

5 b) Az iduló tőke Jelölje y az évekét felvehető összeget. Az első kivét utá a számlá lévő péz A második kivét utá a számlá lévő péz: b b,05 y c,05 y,05 b c y c Ft A harmadik kivét utá a számlá lévő péz: b b,05 y c,05 y,05,05 b b y c y ,05,05,05. 05 Ugyaekkor a számla kiürül: A zárójelbe lévő összeg egy mértai sorozat első 6 tagjáak összege. A sorozat első tagja és a háyadosa,05 Így 6) Az y c,05 5 6,05,05 b6 0 Az alkalmakét felvehető összeg kerekítve Ft. a mértai és b midkét orozat hatodik tagja Összese: 6 pot számtai sorozatak is az első tagja, és. a) Sorolja fel midkét sorozat első öt tagját! (4 pot) b) Milye pozitív egész -ekre lesz a két sorozat első tagjáak összege ugyaakkora? (9 pot) a) Felírva a hatodik elemeket az első elem és a kvócies (q), illetve a differecia (d) segítségével kapjuk, hogy d 5 A mértai sorozat első öt eleme: A számtai sorozat első öt eleme: q. ; ;; ; ; ; ; ; b) A mértai sorozat első tagjáak összege: 0, ha páros S, ha páratla ( pot) A számtai sorozat -edik tagja: b 5 A számtai sorozat első tagjáak összege: s 5, azaz 6 s 5 5

6 s 0, azaz a megoldása va, az 6 s, tehát, azaz 5 5 egyeletek potosa egy pozitív egész 6 ( pot) egyelet megoldásai és 5. ( pot) Tehát a két sorozat első, vagy első 5, vagy első 6 tagjáak összege ugyaakkora Összese: pot 7) Egy mértai sorozat első három tagjáak összege 9. A hatodik, hetedik és a yolcadik tag összege 9. Háy tizehárom-jegyű tagja va a sorozatak? ( pot) Legye a sorozat első tagja a, háyadosa q. a aq aq aq aq aq 9 q 5 a aq aq 9 q Ebből q Visszahelyettesítve az első egyeletbe: 7 9, ahoa a mértai sorozat: a, q, a A kérdés: háy -re igaz, hogy Az lg x függvéyszigorú mooto ő lg lg 7,6 40,48 a 0 0 Eek egész megoldása a 8, a 9 és a 40. A sorozat tagja jegyű a, ezek szerit ( pot) Összese: pot 8) A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredméyel zárult. A verseye iduló égy csapatból a győztes csapat potszáma 4 -szorosa a második helye végzett csapat potszámáak. A egyedik, harmadik és második helyezett potjaiak száma egy mértai sorozat három egymást követő tagja, és a egyedik helyezettek 5 potja va. A égy csapat között kiosztott potszámok összege 9. a) Határozza meg az egyes csapatok által elért potszámot! (8 pot) Mid a égy csapatak öt-öt tagja va. A vetélkedő utá az iduló csapatok tagjai között három egyforma értékű köyvutalváyt sorsolak ki(mideki legfeljebb egy utalváyt yerhet). b) Mekkora a valószíűsége aak, hogy az utalváyokat három olya főiskolás yeri, akik midhárma más-más csapat tagjai? (5 pot)

7 a) második helyezett x, az első x 4 x potot ért el. A második, a egyedik 5 potot ért el, így a mértai sorozat miatt a harmadik helyezett potszáma. A szöveg szerit: Redezve 5x x x x x -re másodfokú: x 6 és x 7 5 x 4 0 Két gyöke 57 x, ebből a egatív gyök em lehetséges 7 így Tehát a. helyezett potszáma 6, a harmadiké 0, az első helyezetté pedig 48. Elleőrzés Alteratív megoldás: x 6 a) (Legye q a mértai sorozat háyadosa.) A egyedik helyezett 5, a harmadik, a második potot ért el. 5q 5q Az első helyezett potszáma Szöveg szerit Redezés utá: Két megoldása: 00q 4 00q 5q 75q 5q 5q q 75q q 5 és 57 q 5 Ebből az utóbbi em felel meg a szövegek tehát a harmadik helyezett potszáma 0, másodiké 6, az első helyezetté pedig 48. Elleőrzés b) Lehetséges (egyelő valószíű) kimeetelek száma Kedvező kimeetelek száma: ( pot) ( pot) A kérdezett valószíűség: ,49 Összese: pot

8 9) Két egyees hasábot építük, H-et és H-t. AZ építéshez haszált égyzetes oszlopok (égyzet alapú egyees hasábok) egybevágok, magasságuk kétszer akkora, mit az alapélük. A H hasáb építésekor a szomszédos égyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H hasáb építésekor pedig a égyzet alaplapjukkal- az ábra szerit. a) A H és H egyees hasábok felszíéek háyadosa A A H H 08,. Háy égyzetes oszlopot haszáltuk az egyes hasábok építéséhez, ha H- et és H-t ugyaayi égyzetes oszlopból építettük fel? (8 pot) b) Igazolja, hogy korlátos! 4 sorozat szigorú mooto övekvő és (8 pot) a) Ha a jelöli a égyzetes oszlop alapéléek hosszát, és k darabból készítjük a hasábokat, akkor H felszíe: ( pot) b) A a k a k a a k H H felszíe: Az A A H H 0,8 A a k a a k H 4 4 feltételből k 0,8 4k Az egyelet megoldása tehát 6-6 égyzetes oszlopot haszáltuk fel az építéshez a 5 4 a ( pot) ( pot) k 6 A feti háyados mide pozitív egész eseté -él kisebb a sorozat mide tagja pozitív ezért a sorozat szigorú mooto csökkeő Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos Mivel a sorozat mide tagja pozitív, így alulról is korlátos tehát a sorozat korlátos Összese 6 pot

9 0) a) Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Számítsa ki a háromszög másik két oldaláak hosszát! (5 pot) b) Egy háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög em szabályos. Igazolja, hogy a háromszögek ics 60 os szöge! ( pot) a) Ha d a számtai sorozat differeciája, akkor a háromszög oldalhosszai 4 (és 0 d ) 4 d 4 d, A háromszög derékszögű, így Négyzetre emelve, redezve: A gyökök d 4 és d d 4 d d 8d 6 0 A egatív gyök em megoldás, a háromszög oldalai tehát 6 0 4,, egység hosszúak b) Idirekt módo bizoyítuk. Tegyük fel, hogy va 60 -os szöge a háromszögek. Mivel az oldalak párokét külöböző hosszúságúak, és a agyobb oldallal szembe agyobb szög va, ezért ha va 60 -os szöge, akkor az a 4+d hosszúságú oldallal szembe va ( pot) Erre az oldalra felírva a kosziusztételt: 4 d 4 4 d 4 4 d cos 60 ( pot) Ebből Ebből Ez viszot elletmod aak, hogy a háromszög em szabályos ( pot) Az eredeti feltételezésük tehát hamis, azaz a háromszögek valóba ics 60 -os szöge. Összese 6 pot 6 8d d 6 8d 4d d 0, tehát d 0

10 ) Egy övekvő számtai sorozat első három tagjáak összege 60. Az első tagot 64-gyel övelve, a másik két tagot változatlaul hagyva, egy mértai sorozat első három tagjához jutuk. Meyi a két sorozat első három tagja? ( pot) Ha a számtai sorozat második tagja a d a a d 60 ahoa A mértai sorozat első három tagja: 84 ; 0; 0 a 0 A mértai közép miatt d d Redezve az egyeletet Ie vagy d 6 d 80 d 6 d a és differeciája d, akkor d ( pot) ( pot) d d 80 64d 80 0 em megoldás, mert a számtai sorozat övekvő. 60; 0; 00 ( pot) ( pot) eseté a számtai sorozat első három tagja, ami valóba megoldás Ekkor a mértai sorozat 4; 0; 00 Összese: pot

11 ) Péter agypapája mide évbe félretett émi pézösszeget egy perselybe uokája számára Ft-tal kezdte a takarékoskodást 996. jauár -jé. Ezutá mide év első apjá hozzátett az addig összegyűlt összeghez, mégpedig az előző évbe félretettél 000 Ft-tal többet jauár -jé a agypapa bele tette a perselybe a megfelelő összeget, majd úgy dötött, hogy a perselyt most uokájáak most adja át. a) Mekkora összeget kapott Péter? (5 pot) b) Péter agypapája ajádékából vett éháy apróságot, de elhatározta, hogy a kapott összeg agyobb részét 005. jauár -jé bakszámlára teszi. Be is tett Ft-ot évi 4%-os kamatos kamatra (a kamatok mide évbe, év végé hozzáadódak a tőkéhez). Legalább háy évig kell Péterek vária, hogy a számlájá legalább Ft legye úgy, hogy közbe em fizet be erre a számlára? (9 pot) a) A agypapa kilec alkalommal tett pézt a perselybe. A Péter által kapott összeg egy olya számtai sorozat első kilec eleméek összege, amelyek első eleme 5000, differeciája 000. ( pot) b) A kérdéses összeg: Péter 8000 Ft-ot kapott t 60000, t t, ,04, ahol ( pot) ( pot) A feltétel szerit 60000, ( pot) Osszuk midkét oldalt rel, majd vegyük midkét oldal 0-es alapú logaritmusát: Ie Péterek 5 lg,04 lg 5 lg,04 lg,04 ( pot), ami azt jeleti, hogy 4 évet kell vária ( pot) Összese: 4 pot

12 ) A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Verseyé a verseyzők akkumulátorral hajtott modellekkel idulak. A magyar verseyautó az első órába 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítméyéek csökkeése miatt az autó a második órába kevesebb utat tesz meg, mit az első órába, a harmadik órába kevesebbet, mit a másodikba, és így tovább: az idulás utái -edik órába megtett útja -edik órába megtett útjáak ( ). midig 95,5%-a az és a) Háy kilométert tesz meg a 0. órába a magyarok verseyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg! (4 pot) A verseye több kategóriába lehet iduli. Az egyik kategória verseyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét versey közbe is. A magyar csapat mérökei kiszámították, hogy abba az órába még em érdemes akkumulátort cseréli, amelyikbe az autó legalább 0 kmt megtesz. b) Az idulástól számítva legkorábba háyadik órába érdemes akkumulátort cseréli? (6 pot) A Végkimerülés kategóriába a résztvevők azo verseyezek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés élkül mekkora utat tudak megtei az autók. A világrekordot egy japá csapat járműve tartja 00 km-rel. c) Képes-e megdötei a magyar verseyautó a világrekordot a Végkimerülés kategóriába? (6 pot) a) Egy óra alatt megtett úthosszak km-be mérve egy olya mértai soroz egymást követő tagjai, amelyek első tagja 45, háyadosa pedig 0,955 A magyar autó 0. órába megtett útja kb 0 km b) Addig em érdemes akkumulátort cseréli, amíg a0 a q 9, ,955 0 teljesül és Mivel a tízes alapú logaritmus függvéy szigorú mooto ő, ezért 0 lg 0,955 lg 45 lg 0, lg 45 8,6 lg 0,955, ebből adódik, hogy Legkorábba a 9. órába érdemes akkumulátort cseréli.

13 c) Ha a versey kezdetétől eltelt egész órák száma, akkor eyi idő alatt a magyar autó által megtett út a mértai sorozat első tagjáak összege S 45 0,955 0,955 Megoldadó a ,955 0, egyelőtleség Redezve a 0,955 0, egyelőtleséget kapjuk Eek icse megoldása Tehát a világrekordot em dötheti meg a magyar autó Összese: 6 pot 4) a) Egy bak olya hitelkostrukciót ajál, amelybe api kamatlábat számolak úgy, hogy az adott hitelre megállapított éves kamatlábat 65-tel elosztják. Egy adott évbe a hitelfelvételt követőe mide apra kiszámolják a api kamat értékét, majd ezeket december – é összeadják, és csak ekkor tőkésítik (azaz a felvett hitel értékéhez adják). Ez a bak egy adott évbe évi 8%-os kamatlábat állapított meg. Éva abba az évbe a március -jé felvett Ft utá október -jé újabb Ft hitelt vett fel. A két kölcsö felvétele utá meyi kamatot tőkésít a bak december -é? (A hitelfelvétel apjá és az év utolsó apjá is számítaak api kamatot.) (5 pot) b) Ádám is vett fel hiteleket ettől a baktól évi 8%-os kamatos kamatra. Az egyik év jauár -jé éppe Ft tartozása volt. Több hitelt em vett fel, és attól kezdve 0 éve keresztül mide év végé befizette az azoos összegű törlesztőrészletet. (A törlesztőrészlet összegét a bak már az éves kamattal megövelt tartozásból voja le.) Mekkora volt ez a törlesztőrészlet, ha Ádám a 0 befizetés utá teljese visszafizette a felvett hitelt? Válaszát ezer foritra kerekítve adja meg! (9 pot) a) A március -jé felvett hitel 65–8=06 apig, Az október -jé felvett hitel pedig +0+=9 apig kamatozik A api kamatláb Az első hitel kamata 8 % 65 A második hitel kamata pedig Ft Ft Összese 490 Ft kamatot tőkésít a bak december -é

14 b) Ha x Ft volt az évi törlesztőrészlet, akkor ,08 x,08 x. 08 x 0 Redezve ,08 x,08, A zárójelbe egy mértai sorozat első 0 tagjáak összege va S 0 0,08 4,487,08 Az egyeletből ,08 x S 0 0 ( pot) ( pot) x 4905 Tehát ezresekre kerekítve az éves törlesztőrészlet Összese: 4 pot 5) Egy méter oldalú égyzetbe egy második égyzetet rajzoltuk úgy, hogy a belsőégyzet mide csúcsa illeszkedje a külső égyzet egy-egy oldalára. A belső és a külső égyzet oldalaiak aráya 5:7. a) Milye aráyba osztja két részre a belső égyzet csúcsa a külső égyzet oldalát? Az aráy potos értékét adja meg! (0 pot) A belső égyzetbe egy újabb, harmadik égyzetet rajzoluk úgy, hogy a harmadik és a második égyzet oldalaiak aráya is 5:7. Ezt az eljárást aztá godolatba végtele sokszor megismételjük. b) Mekkora lesz a kapott égyzetek kerületeiek az összege, ha a kiidulási égyzet kerülete is tagja a (végtele sok tagú) összegek? (6 pot) a) Jó ábra felrajzolása A belső égyzet oldala 5/7 méter A belső égyzet a külső égyzet oldalait x és x-re botja A felosztás mid a 4 oldalo ismétlődik Pitagorasz-tétel szerit Ahoa x 4 x x 0 49 Eek megoldásai Ahoa x 5 x 7 4 x x x 7 7 A belső égyzet a külső égyzet oldalait :4 aráyba osztja ( pot)

15 b) Jó ábra felrajzolása K 5 4, K 4 7 mide további égyzet 5/7 szerese a megelőzőek A égyzetek kerületéek összege egy végtele mértai sor összege, melyek háyadosa Mivel 5 q 7 q ezért a sor koverges A végtele mértai sor összege: S K K. K q Tehát a égyzetek kerületéek összege 4 méter Összese: 6 pot 6) Az ABCDEF szabályos hatszögbe a rövidebb átló hossza 5. a) Számolja ki a hatszög területéek potos értékét! (6 pot) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező potjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje, a területű hatszög oldalfelező potjai által meghatározott szabályos hatszög területét képezve ezzel a t t t sorozatot. Számítsa ki a határértékét! (Potos értékkel számoljo!) t, és így tovább, lim t t. t (0 pot) a) Ha a hatszög oldaláak hossza a, a rövidebb átló az a oldalú szabályos háromszög magasságáak kétszerese, így a 5, ahoa a. A szabályos hatszög területe 6 darab a oldalú szabályos háromszög területéek összege, így a T ( pot) b) A t területű szabályos hatszög oldala az ABC háromszög AC oldalához (mely az eredeti hatszög rövidebb átlója) tartozó középvoala, 5 hossza a, a 75 t 6 4 4

16 A következő szabályos hatszög t t területét megkaphatjuk például úgy, hogy a területű hatszög szomszédos oldalfelező potjait összekötő szakaszok által a hatszögből levágott háromszögek területéek összegét levojuk t a si t A t sorozat mértai sorozat, t -ből.. ( pot) t amelyek háyadosa q. t 4 A kérdéses határérték aak a mértai sorak az összege, amelyek első tagja Így t 75 4, háyadosa pedig t lim t t. t q 75 q 4.. Összese: 6 pot 7) Kiga 0. születésapja óta kap havi zsebpézt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésapjá adták a szülők, és mide hóapba 50 Fttal többet adak, mit az azt megelőző hóapba. Egy bizoyos hóapba, amikor éppe 850 Ft volt a havi zsebpéze, összeadta az addig kapott összes zsebpézét. Az összeg 500 Ft lett. Meyi volt Kiga iduló zsebpéze, és háy hóap telt el a 0. születésapja óta? ( pot) A havi zsebpézek értékei egy számtai sorozat tagja ahol d 50, a 850, S a 50 azaz a a a S 500 ( pot) redezve: ( pot) Megoldva: =6 vagy 9 =9 em megoldás mert akkor a egatív Ha =6, akkor a Kiga iduló zsebpéze 00 Ft volt, és a 0. születésapja óta 5 hóap telt el Összese: pot

17 8) Egy dolgozó az év végi prémiumkét kapott kamatoztati a következő yárig, hat hóapo át. Két kedvező ajálatot kapott. Vagy kéthavi lekötést választ kéthavi,7%-os kamatra, kéthavokéti tőkésítés mellett, vagy foritot átváltja euróra, és az összeget havi 0,5%-os kamattal köti le hat hóapra, havi tőkésítés mellett. a) Meyi péze lee hat hóap utá a foritszámlá az első esetbe? (Az eredméyt Ft-ra kerekítve adja meg!) ( pot) b) Ha ekkor éppe 5 foritot ért egy euró, akkor háy eurót vehete fel hat hóap múlva a második ajálat választása eseté? (Az eredméyt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (4 pot) c) Legalább háy százalékkal kellee változia a 5 forit/euró árfolyamak a félév alatt, hogy a második választás legye kedvezőbb? (Az eredméyt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (5 pot) a) Kéthavota,7 %-kal lesz több péze, ami három ciklusba jelet. Hat hóap utá tehát a péze , Ft-ját akarja,07 -es szorzót ( pot) 0587 Ft lee b) A megadott árfolyamo foritért ,5 eurót kap. 5 Ez az összeg hat hóap alatt, havi tőkésítés mellett hatszor kamatozik, tehát -szorosára övekszik. ( pot), Hat hóap múlva 968,5, ,5 eurója lee. c) Legye euró a yáro x Ft. Ha jobba jár, az azt jeleti, hogy ( pot) amiből 408,5 x 0587 x 6, Ebből az árfolyamaráy 6,,06, tehát legalább kb.,6%-kal 5 kellee őie a forit/euró árfolyamak. ( pot) Összese: pot

18 9) Adrás edzőtáborba készül egy úszóverseyre, 0 apo át. Azt tervezte, apota 0000 métert úszik. De az első apo a tervezettél 0%-kal többet, a második apo pedig az előző apiál 0%-kal kevesebbet teljesített. A. apo ismét 0%-kal övelte előző api adagját, a 4. apo 0%-kal kevesebbet edzett, mit az előző apo és így folytatta, páratla sorszámú apo 0%-kal többet, pároso 0%-kal kevesebbet teljesített, mit a megelőző apo. a) Háy métert úszott le Adrás a 6. apo? (4 pot) b) Háy métert úszott le összese a 0 ap alatt? (6 pot) c) Az edzőtáborozás 0 apjából véletleszerűe kiválasztuk két szomszédos apot. Mekkora a valószíűsége, hogy Adrás e két apo együttese legalább 0000 métert teljesített? (6 pot) a) Jelölje a a a a a a a az -edik apo leúszott hosszat, méterbe mérve. 0000, 000 a 0,9 0000, 0, a 4, 0000, 0, a ,9 0000, 0,9 980 a, 0000, 0,9 078 a 0,9 0000, 0,9 970 A hatodik apo tehát kb. 970 métert úszott b) A páratla és páros sorszámú apoko leúszott hosszak is egy-egy mértai sorozat első 0 tagját alkotják. A páratla sorszámúakak az elő tagja 000, háyadosa 0,99, a páros sorszámúak első tagja 9900, háyadosa 0,99. A páratla sorszámú apoko: S a a a 9 ptl , ,99 0 0, ,7 0,99 A páros sorszámú apoko: 9 S a a. a , ,99 ps , ,7 0,99 Az első húsz apo kb métert úszott összese

19 c) Az edzések 0 apja közül két szomszédos ap 9-féleképpe választható ki Ha két szomszédos ap sorá összességébe em teljesül a tervezett 0000 méter, később se fog, mert az összteljesítméy csökke apok száma () apota leúszott táv kétapi össztáv a méterbe b a a a táblázat kedvező esetek száma 9 A keresett valószíűség ( pot) 9 P 0,474 9 Összese: 6 pot 0) Egy övekvő számtai sorozat első három tagjából álló adathalmaz szóráségyzete 6. a) Igazolja, hogy a sorozat differeciája -mal egyelő! (4 pot) Adrás, Barbara, Cili, Dezső és Edit rokook. Cili évvel idősebb Barbaráál, Dezső 6 évvel fiatalabb Barbaráál, Edit pedig 9 évvel idősebb Ciliél. Dezső, Barbara és Edit életkora (ebbe a sorredbe) egy mértai sorozat három egymást követő tagja, Adrás, Barbara és Cili életkora (ebbe a sorredbe) egy számtai sorozat három szomszédos tagja. b) Háy éves Adrás? (6 pot) Adrás, Barbara, Cili, Dezső, Edit és Feri moziba meek. c) Háyféleképpe foglalhatak helyet hat egymás melletti széke úgy, hogy a három láy e három egymás melletti széke üljö? (6 pot) a) Ha a sorozat második tagját a-ek jelöljük, akkor az első három tag átlaga is a. Ha a számtai sorozat differeciáját d-ek jelöljük, akkor a szóráségyzet: a d a 0 a d a 6. Ie adódik, hogy d 9, azaz, mivel a sorozatuk övekedő d. Ezzel az állítást beláttuk. b) Ha Barbara x éves, akkor Cili x éves, és így Dezső, Barbara és Edit életkora redre x 6, x, illetve x év.

20 Mivel ez a három szám egy mértai sorozat három szomszédos tagja, ezért: x 6 x x. A zárójeleket felbotva:, ahoa. Elleőrzés: Dezső, Barbara és Edit életkora 6,, illetve 4 év, ez a három szám pedig valóba egy mértai sorozat három szomszédos tagja. Adrás tehát 9 éves. c) Komplemeter eseméyt felhaszálva: em felelek meg azok az esetek, amelyekbe a három láy három egymás melletti széke ül. A három egymás melletti széket égyféleképpe lehet kiválasztai a hat közül. A három egymás melletti széke!, azaz hatféleképpe foglalhat helyet a három láy, a megmaradt három helye szité hatféleképpe foglalhat helyet a három fiú. A em megfelelő elhelyezkedések száma tehát: Hata a hat egymás melletti székre 6!, azaz 70-féleképpe ülhetéek le. A megfelelő elhelyezkedések száma tehát:. Összese: 6 pot x 6x 7 x x ) Állítsuk a pozitív egész számokat övekvő sorredbe, majd botsuk redre -gyel övekvő elemszámú csoportokra, az alábbi módo kezdve:, ;, 4;5;6, 7;8;9;0. a) A 00-adik csoportak melyik szám az első eleme? (5 pot) b) Az 85 háyadik csoport háyadik eleme? (9 pot) a) A csoportokba lévő számok számát megadó sorozat: ;;;4;. ; ;. A 99-edik csoportba lévő utolsó szám: ( pot) amely ( pot) Tehát a 00. csoport első eleme 495 b) Ha az 85 az 85, ahol pozitív egész ( pot) Tehát azt a pozitív egész -t keressük, amelyre és Az első egyelőtleség pozitív egész megoldásai a 60-ál em agyobb pozitív egész számok A második egyelőtleség pozitív megoldásai a 60-ál em kisebb pozitív egész számok Az egyeletredszerek egyetle egész megoldása va, a 60 A 60-adik csoport utolsó eleme edik csoportba va, akkor 70 0

21 A 6. csoport első eleme 8. Mivel eek a csoportak 6 eleme va, így eek eleme az 85 is, mégpedig a -edik eleme. Tehát az 85 a 6. csoport. eleme. Összese: 4 pot