Érthető matematika 12 osztály tankönyv pdf

Mai 626
Heti 9625
Havi 66713
Összes 3971272
IP: 46.98.125.206 Chrome – Windows 2022. szeptember 30. péntek, 13:57

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 12. Az érthető matematika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST

3 A könyv megfelel az Oktatási Minisztérium kerettantervének [7/004. (V. 0.) 3. számú melléklet] és az érettségi vizsga követelményeinek [7/004. (V. 4.)]. Lektor: Pálmay Lóránt Szakábra: Szalóki Dezső Illusztráció: Urmai László Fedélterv és tipográfia: Bajtai Zoltán A borítón a Széchenyi Lánchíd látható. Fotók: NTK-archívum, valamint: andreas.hopf, forrás: flickr.com (. o.); Athantor, forrás: wikipedia.en (93. o.); avlxyz, forrás: flickr.com (4. o.); Dr Graham Beards, forrás: wikipedia.en (08. o.); Chiot s Run, forrás: flickr.com (44. o.); evilpeacock, forrás: flickr.com (56. o.); Filzstift, forrás: wikipedia.hu (5. o.); frmorais, forrás: flickr.com (8. o.); Leonard G., forrás: wikipedia.en (30. o.); Kevin M. Gill, forrás: flickr.com (6. o.); Gregsi, forrás: dreamstime.com (5. o.); Simon Greig (xrrr), forrás: flickr.com (59. o.); George M. Groutas, forrás: flickr.com (04. o.); ironmanixs, forrás: flickr.com (80. o.); Julia Janßen, forrás: flickr.com (borító); Just_acex3, forrás: flickr.com (9. o.); Kevglobal, forrás: flickr.com (03. o.); laszlo-photo, forrás: flickr.com (36. o. középen balra); leonelponce, forrás: flickr.com (6. o.); Lilkar, forrás: dreamstime.com (35. o.); NASA, forrás: wikipedia.en (43. o.); Jon Ovington, forrás: flickr.com (6. o.); Premier Packaging, forrás: flickr.com (48. o.); oema Pérez, forrás: flickr.com (36. o. fent); public-sector-lists.com nature images, forrás: flickr.com (3. o.); Raini4, forrás: flickr.com (09. o.); robo374, forrás: flickr.com (84. o.); roolrool, forrás: flickr.com (3. o.); salendron, forrás: flickr.com (6. o.); SamwiseGamgee69, forrás: flickr.com (63. o.); schmidtgergely, forrás: flickr.com (36. o. középen jobbra); shyb, forrás: flickr.com (69. o.); Sie, forrás: wikipedia.hu (38. o.); Takkk, forrás: wikipedia.hu (44. o.); TaraYeats, forrás: flickr.com (. o.); Tgellan, forrás: dreamstime.com (56. o.); Trois Tetes (TT), forrás: flickr.com (0. o.); Váradi Zsolt, forrás: wikipedia.hu (37. o.); visitflanders, forrás: flickr.com (40. o.); Mark A. Wilson, forrás: wikipedia.en (4. o. jobbra); woodleywonderworks, forrás: flickr.com (5. o.); forrás: flickr.com (9. o.); zigazou76, forrás: flickr.com (5. o.); Eurico Zimbres, forrás: wikipedia.en (4. o. balra); zoetnet, forrás: flickr.com (3. o.); ЕленАндреа, forrás: flickr.com (36. o.) Felelős szerkesztő: Tóthné Szalontay Anna A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Juhász István, Orosz Gyula, Paróczay József, Szászné Dr. Simon Judit, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 0 ISBN Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt. a Sanoma company Vevőszolgálat: Telefon: A kiadásért felel: Kiss János Tamás vezérigazgató Raktári szám: 64 Műszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Műszaki szerkesztő: Orlai Márton Grafikai szerkesztő: Görög Istvánné, Mikes Vivien Terjedelem: 38, (A/5) ív Tömeg: gramm. kiadás, 0 Nyomdai előkészítés: PGL Grafika Bt. Készült a Gyomai Kner Nyomda Zrt.-ben, a nyomda alapításának 30. esztendejében Felelős vezető: Fazekas Péter vezérigazgató Tel.: 66/

4 TARTALOM TARTALOM Fontosabb jelölések A tankönyv használatáról I. MATEMATIKAI LOGIKA 8. Vegyes feladatok Ítéletek. Logikai műveletek Kétváltozós logikai műveletek I Kétváltozós logikai műveletek II Következtetési szabályok Gyakorlati alkalmazások O Az ókori filozófusoktól a digitális számítógépekig (olvasmány) II. SOROZATOK 36. A sorozat. Számsorozat fogalma Számtani sorozat Mértani sorozat A mértani sorozat első n elemének összege Példák mértani sorozatra Vegyes feladatok Kamatos kamat számítás III. TÉRGEOMETRIA 6. Térelemek hajlásszöge Térelemek távolsága Sokszögek területe A kör és részeinek területe A területszámítás néhány alkalmazása A felszín és a térfogat; a hasáb és a henger A gúla és a kúp A csonkagúla és a csonkakúp O Testek csoportosítása (olvasmány) A gömb Alakzatokba írt alakzatok O Analóg feladatok síkban és térben (olvasmány) Összetett feladatok O Matematikán kívüli térgeometriai alkalmazások (olvasmány) Fogalomtár

5 TARTALOM IV. RENDSZEREZŐ ÖSSZEFOGLALÁS 40 Gondolkodási módszerek Halmazok Kombinatorika, gráfok Algebra Számhalmazok, műveletek és tulajdonságaik Számelméleti alapfogalmak, oszthatósági szabályok Számelméleti feladatok Hatvány, gyök, logaritmus Algebrai kifejezések, azonosságok Algebrai kifejezések értelmezési tartományának, értékkészletének vizsgálata Műveletek algebrai kifejezésekkel Egyenletek megoldási módszerei Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Szöveges feladatok Másodfokú és másodfokúra visszavezethető egyenletek Másodfokú egyenlőtlenségek Szélsőérték feladatok, nevezetes közepek Szöveges feladatok Első- és másodfokú egyenletrendszerek Négyzetgyökös egyenletek Exponenciális egyenletek Logaritmusos egyenletek Gyakorlati feladatok Geometria Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok A geometriai transzformációkról Alakzatok egybevágósága Hasonlóság A háromszögekről Tételek, amelyek minden háromszögre érvényesek Négyszög, sokszög Kör és részei, ívhossz Vektorok Trigonometria Trigonometriai alapismeretek Koordináta-geometria Pont koordináta-geometriája Egyenes koordináta-geometriája Kör koordináta-geometriája

6 TARTALOM Függvények Alapfogalmak. A lineáris függvény Számhalmazon értelmezett nem lineáris alapfüggvények és grafikonjaik Függvénytranszformációk Függvény abszolút értéke, összetett függvények jellemzése, ábrázolása Gyakorlati feladatok Statisztika; valószínűség-számítás Leíró statisztika, középértékek Valószínűség-számítási alapismeretek V. KÖZÉPSZINTŰ GYAKORLÓ ÉRETTSÉGI FELADATSOROK 87. feladatsor feladatsor feladatsor feladatsor feladatsor feladatsor

7 FONTOSABB JELÖLÉSEK 6 Az A pont és az e egyenes távolsága: d(a; e) vagy Ae vagy Ae Az A és B pont távolsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pont összekötő egyenese: e(a; B) Az f és f egyenesek szöge: B(f ; f ) vagy (f ; f )B A B csúcspontú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a C pont található: ABCB A C csúcspontú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, Az A, B és C csúcsokkal rendelkező háromszög: ABCi Az ABCi területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c oldalú háromszög fél kerülete: s = a + b c + A derékszög jele: * Az e egyenes merőleges az f egyenesre: e 9 f Az e egyenes párhuzamos az f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ABC i, AlBlCl i Hasonlóság: +; ABC i + AlBlCl i A hasonlóság aránya: m Az A pontból a B pontba mutató vektor: AB Az A pontba mutató helyvektor: a, a vagy A A v vektor: v vagy v vagy v A v vektor hossza: v A természetes számok halmaza: N; Az egész számok halmaza: Z < ; -; -; 0; ; ; >A pozitív, a negatív egész számok halmaza: Z +, Z – , A racionális, az irracionális számok halmaza: Q, Q* A pozitív, a negatív racionális számok halmaza: Q +, Q – A valós számok halmaza: R A pozitív, a negatív valós számok halmaza: R +, R – Eleme, nem eleme a halmaznak. “; 5! N, – ” Z + Részhalmaz, valódi részhalmaz: 3, ; A 3 R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z j Q + Halmazok uniója, metszete. +; A, B, A + B Halmazok különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, <> Intervallumok: 6a; a; b66, a; a; x! 6a; b6, ha a # x b Az A halmaz komplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; ” 0 ; ;, = 3 Végtelen: ; N = 3 Az x szám abszolút értéke: x ; – 3, = 3, Az f függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f, R f Az f függvény hozzárendelési szabálya: fx : 7 fx ^ h; fx : 7 x+ 3 fx ^ h = y; f^xh= x+ 3 Az f függvény helyettesítési értéke az x 0 helyen: fx ^ 0 h; f^5h, ha x 0 = 5 Az f függvény inverze: f – Az a osztója b-nek, b többszöröse a-nak: a b; 8 Az a és b legnagyobb közös osztója (LNKO): ^ab, h; ^46, h= Az a és b legkisebb közös többszöröse (LKKT): 6 64, = n faktoriális: n!; 4! = 4 3 = 4 Az X sokaság átlaga: X Az X sokaság szórása: vx 8 / i i = Az összegzés jele: /; x = x + x + f + x 8 Permutációk: P n ; P n = n!, P 4 = 4! = 4 Ismétléses permutációk: P klm,, n, (k + l + m # n); klm,, P n!, n = ; P 5! 5 = = 30 k! $ l! $ m!! $! Variációk: V k k n ; Vn = n$ ^n-h$ ^n-h$ f $ ^n- k+ h; 3 V5 = 5$ 4$ 3 = 60 Ismétléses variációk: V ki, ki, k 3, i 3 n ; Vn = n ; V5 = 5 = 5 Kombinációk: C k n vagy e n k o; C k n $ ^n-h $ f $ ^n- k+ h n = ; C = $ = 0 k! $ Binomiális együttható: e n k o; e 5 o= 5$ 4 = 0 $ Állítások tagadása (negációja): J Állítások diszjunkciója, konjunkciója: 0, / Állítások implikációja, ekvivalenciája: &, vagy, Univerzális kvantor (minden ) 6 Egzisztenciális kvantor (létezik ) 7 Kizáró vagy művelet: + Következmény: t

8 A TANKÖNYV HASZNÁLATÁRÓL A tankönyv elsősorban a középszintű érettségi vizsga tananyagát tartalmazza, de megtalálható benne néhány olyan kiegészítés is, amely az emelt szintű érettségi vizsga követelményrendszeréhez tartozik. A tankönyvben a matematikai szemlélet fejlesztése a definíciókhoz és a fogalmakhoz kapcsolódó tananyagelemek kidolgozásával történik. A matematika megértéséhez, sikeres tanulásához feltétlenül hozzátartozik a bizonyítási készség kialakítása és fejlesztése. Minden lecke végén összegyűjtöttük a fontosabb új fogalmakat. Kiegészítő anyagként ajánljuk az olvasmányok és matematikatörténeti ismertetések, érdekességek elolvasását. A tankönyvben Emelt szint -tel (és apró betűvel), jól elkülönítve jelöltük azokat a kiegészítéseket, amelyek csak az emelt szintű érettségi vizsgán kérhetők számon. Számos kidolgozott példa található a könyv minden leckéjében, amelyek fokozatosan vezetik be a tanulókat az elsajátítandó tananyagba. A tananyag gyakorlását, elmélyítését, az otthoni tanulást és az érettségi vizsgára való felkészülést a leckék végén kitűzött feladatok segítik. Ezeket a nehézségi szintjük szerint is csoportosítottuk: K = középszint, könnyebb; K = középszint, nehezebb; E = emelt szint, könnyebb; E = emelt szint, nehezebb feladat. A leckék végén lévő feladatok részletes megoldása megtalálható az interneten, a weboldalon. Az érdeklődők vagy gyakorolni vágyók számára a leckék végén még további feladatokat is ajánlunk, amelyeket a Nemzeti Tankönyvkiadó MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény családjából jelöltünk ki. Segíteni kívánjuk a diákok pályaorientációját, ezért néhány pályaképpel szeretnénk felhívni a figyelmet a matematikatanulás hasznosságára. A pályaképekben megjelenő fiataloktól megtudhatjuk, hogy jelenlegi munkájuk során hogyan hasznosítják, amit korábban a középiskolában megtanultak. A tankönyv végén középszintű gyakorló érettségi feladatsorok találhatók. A felkészüléshez ajánlott példatárak: Gerőcs László Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit: 65/I (+CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I. 65/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I., ok 66/I (+CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény II. 6/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény II., ok Czapáry Endre Czapáry Endréné Csete Lajos Hegyi Györgyné Iványiné Harró Ágota Morvai Éva Reiman István: 67/I (+CD-n a megoldás ok) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III., Geometriai feladatok gyűjteménye 67/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III., Geometriai feladatok gyűjteménye, ok 7

9 I. MATEMATIKAI LOGIKA Ohó álljunk csak meg. Ön azt mondja, a rögeszmém, hogy őrült vagyok. De hiszen tényleg az vagyok, az imént mondta. De hiszen akkor ez nem rögeszme, akkor az egy logikus gondolat. Tehát nincs rögeszmém. Tehát mégse vagyok őrült. Tehát csak rögeszme, hogy őrült vagyok, tehát rögeszmém van, tehát őrült vagyok, tehát igazam van, tehát nem vagyok őrült. Mégiscsak gyönyörű dolog a tudomány! (Karinthy Frigyes: Betegek és bolondok) Az emberek gondolkodásmódjában, kommunikációs kultúrájában mindig is meghatározó elem volt a logika. A következtetési szabályok alkalmazásai éppúgy fellelhetők az ókori görög filozófusok írásaiban és a középkori teológiai hitvitákban, mint a későbbi korok tudományos munkáiban. A matematikai logika karrierje napjainkig tart; jelentős alkalmazási területei például a filozófia, a szimbolikus nyelvészet és az informatika. 8

10 . VEGYES FELADATOK. VEGYES FELADATOK. Vegyes feladatok A 0. osztályban megismerkedtünk néhány egyszerű logikai alkalmazással. Megvizsgáltuk a matematikai állítások tulajdonságait, az állítások megfordítását és tagadását, és elemeztük a szükséges és elégséges feltételek kapcsolatát. Idén elmélyítjük ismereteinket. A következő leckékben pontosan rögzítjük a matematikai logika objektumait, ezek tulajdonságait és a közöttük ható műveleteket, valamint formalizáljuk az eddigi tapasztalatainkat is. Ebben a leckében vegyes feladatokat válogattunk a tágabb értelemben vett logika témaköréből. Nagy Károly német-római császár udvarában élt Alcuin ( ), korának híres tudósa. Ő volt a császár környezetében élő ifjú nemesek nevelője, és a lovagi erények tanítása mellett a gondolkodás művelését is fontosnak tartotta. Egyszerű, józan ésszel megoldható problémákat tűzött ki, amelyek szerinte élesítik az ifjak elméjét. A feladatok közül jónéhány a mai napig friss maradt, s része lett a matematikai folklórnak; másokkal pedig a rejtvényirodalomban találkozhatunk, leginkább a találós kérdések műfajában.. példa Alcuin egy közismert feladata a farkas, a kecske és a káposzta áthajózásáról szól. Egy révésznek kis csónakján át kell szállítania a folyón egy farkast, egy kecskét és egy kosár káposztát. Sem a farkas és a kecske, sem a kecske és a káposzta nem maradhat együtt őrizetlenül. A csónakban pedig egyszerre csak egyikük vagy a farkas, vagy a kecske, vagy csak a káposzta fér el a révész mellett. Mit tegyen a révész? Az egyszerű algoritmus első lépése adódik: először a kecskét kell átszállítani. (Egyébként a parton maradók valamelyike megenné a másikat.) Ezután viszont úgy tűnik, megakadtunk: akár a káposztát, akár a farkast viszi át a révész, a túlparton összeférhetetlenség alakul ki. A trükk az az észrevétel, hogy a révész visszafelé is szállíthat a csónakján. A kecske átszállítása után két lehetősége van a révésznek. I. Átviheti a farkast, visszahozza a kecskét, átviszi a káposztát, majd visszatér a kecskéért. II. Vagy az előző eset szimmetrikus párját hajtja végre: átviszi a káposztát, visszahozza a kecskét, átviszi a farkast, majd visszatér a kecskéért. Megjegyzés Az algoritmust szimbólumokkal is leírhatjuk. Ha F, K, k jelöli rendre a farkast, a kecskét és a kosár káposztát, és a és nyilak a csónak két mozgásirányát, akkor a megoldások a következőképpen formalizálhatók: I. (K ), ( ), (F ), (K ), (k ), ( ), (K ). II. (K ), ( ), (k ), (K ), (F ), ( ), (K ). (Itt természetesen ( ) az üres járatot jelenti.) Alcuin Angol származású egyházi matematikus, korának kiemelkedő tudósa. 775 körül latin nyelven megírt könyvének a címe Problémák az ifjú elméjének frissítésére. A feladatok egy része keleti származású, már korábban ismert volt. A mű sokáig mintaként szolgált a későbbi tankönyvíróknak. 9

11 I. MATEMATIKAI LOGIKA Egy kicsit nehezebb Alcuin következő feladata.. példa Három féltékeny férj, mindegyik a feleségével, át akar kelni egy folyón, ahol az átkeléshez egyetlen kétszemélyes csónak áll rendelkezésükre. Hogyan keljenek át a túlsó partra, ha a férjek ragaszkodnak ahhoz, hogy feleségük ne maradjon nélkülük férfi társaságában? Jelölje A, B és C a férjeket, a, b, c a megfelelő feleségeket; valamint a csónak mozgásának két irányát a és nyilak. Néhány sikertelen próbálkozás után most is nyilvánvalóvá válik, hogy a feladat csak úgy oldható meg, ha a visszaúton alkalmanként két személyt utaztatunk a csónakkal. Többféle megoldás van, egy lehetséges eljárás a következő: (A, a ), ( A), (b, c ), ( a), (B, C ), ( B, b), (A, B ), ( c), (a, b ), ( C), (C, c ). Érdemes az algoritmus lépéseit papíron, ceruzával végigkövetni, s ellenőrizni, hogy a két parton valóban teljesülnek a személyekre vonatkozó feltételek. Két tipikus logikai feladat következik, egy ún. elemi összetartozásos probléma, valamint egy számítógépes játék elemzése. 3. példa Egy Pécsről Budapestre tartó vonat fülkéjében négy lány ül: Anna, Bea, Cili és Dóri. A négy utas lakhelye valamilyen sorrendben Pécs, Budapest, Mohács és Szekszárd. Az alábbi () (4) kijelentések alapján állapítsuk meg, hogy ki hol lakik! () Dóri már többször járt látogatóban Pécsett. () Bea idősebb a Pécsett lakó lánynál. (3) Annát a végállomáson várja a barátja, aki betegség miatt otthon maradt. (4) Dóri a busójárásról jön haza. Az egyszerű feladatra többféle megoldás adható. Ezek közös jellemzője, hogy a közölt információk segítségével folyamatosan szűkítjük a lehetőségeket. Az alábbiakban a jól használható táblázatos módszert alkalmazzuk. Ennek az a lényege, hogy az adatokat és összefüggéseket egy 4 4-es táblázatba foglaljuk úgy, hogy az összetartozó elempárokat valamilyen jellel, mondjuk egy -essel jelöljük. Például megtehetjük, hogy a táblázat soraiban a lányokat, az oszlopokban pedig a városokat soroljuk fel (kezdőbetűikkel); s a táblázat A sorába és Bp oszlopába írt -es jel azt jelenti, hogy az A lány a Bp városban lakik. Ekkor tehát a táblázatban összesen négy -es jel lesz: minden sorban és minden oszlopban pontosan egy darab. A maradék mezőket pedig kitölthetjük 0-val, ami arra utal, hogy a megfelelő személy és város között nincs kapcsolat. Először megállapítjuk, hogy a vasútvonalon az állomások sorrendje Pécs, Szekszárd, Budapest; s erre a vonalra csatlakozik a mohácsi utas. Ezután az () (4) információk segítségével folyamatosan növeljük a kizárások számát. 0

12 . VEGYES FELADATOK () miatt Dóri, () miatt Bea nem lakik Pécsett, (3) miatt Anna budapesti. Ezen információkat jelöltük az. táblázatban. P Sz Bp M P Sz Bp M P Sz Bp M A A A B 0 B 0 0 B 0 0 C C 0 C D 0 D 0 0 D 0 0. táblázat. táblázat 3. táblázat Mivel Anna budapesti, az A sor és Bp oszlop további celláit 0-ákkal tölthetjük ki. Így kapjuk a. táblázatot. (Anna már nem lakhat máshol, és más nem lakhat Budapesten. Általában is igaz, hogy ha valamelyik sorban vagy oszlopban szerepel -es, akkor a további sor- és oszlopmezők nullákkal tölthetők ki.) Most észrevehetjük, hogy Cili Pécsett lakik, mert a P oszlopban kell lennie -esnek, és eddig három 0 szerepel. Ebben az esetben az elemi kizárások tehát eldöntő információvá álltak össze. A 3. táblázatban jelöltük az eldöntő információ miatti kizárásokat. A B P 0 0 Sz 0 0 Bp 0 M 0 Végül (4) miatt Dóri nem mohácsi, így a befejezés egyértelmű: Dóri C szekszárdi, Bea mohácsi (4. táblázat). Az összetartozó lány-város értékpárok tehát (A, Bp), (B, M), (C, P) D és (D, Sz). 4. táblázat 4. példa Az ismert számítógépes játék, az Aknakereső egyik részállása a következő: Itt az és számok azt mutatják, hogy az adott mezőnek hány olyan szomszédja van, amely aknát (bombát) tartalmaz. (A csúcsbeli szomszédság is számít, tehát a tábla közepén egy mezőnek nyolc szomszédja van.) A szürke szín pedig már a biztonságos mezőket jelzi, azaz azt, hogy ezeken nincsen akna. A feladat annak meghatározása, hogy a maradék nyolc mezők melyike tartalmazhat még bombát. Matematikai szempontból például a következőképpen formalizálhatjuk a feladatot. Bevezetjük az ábra szerinti a, b, c, d, e, f, g, h változókat; ezek értéke, ha a mezőjükön akna található, egyébként 0.

13 I. MATEMATIKAI LOGIKA Az alulról első sorban, az első -es miatt felírhatjuk, hogy () a + b =. Az egyenlet jelentése: mivel az első -es mező pontosan egy bombával szomszédos, ezért a vagy b közül pontosan az egyiken van bomba; így összegük pontosan. g h e f c d a b Ugyanezt az egyenletet kapjuk a sorban második -es miatt is, de a harmadik -es új információt ad: () b =. (Hiszen ez a mező aknás cellával szomszédos, és csak a b jöhet szóba.) A harmadik oszlopban, lentről fölfelé haladva további négy összefüggés írható fel, így az alábbi egyenletrendszert kapjuk: () a + b =, () b =, (3) b + d =, (4) b + d + f =, (5) d + f + h =, (6) f + h =. Az egyenletrendszer megoldása a halmazon egészen könnyű. ()-t felhasználva ()-ből és (3)- ból a = d = 0, (4) és (5) különbségéből h = 0, végül (6)-ból f = adódik. Első közelítésben bombák tehát a b és f mezőkön vannak, az a, d és h mezőkön pedig nincsenek. g e B c B Ha további információnk nincs, akkor a c, e és g mezők mindegyike két-két állapotú lehet (vagy tartalmaznak aknát, vagy nem), így a bombák elhelyezésére a kezdőállásban összesen 3 = 8-féle lehetőség van. Persze a kezdőállásban lehetnek segítő információk. Ha például a játék végén tartunk, akkor tudjuk, összesen hány aknát kell még megtalálnunk. Ha ez a szám vagy 5, akkor készen vagyunk: a további c, e, g mezők állapota egyértelműen ismert. A játék folytatása során a jobb egérgombbal elhelyeztük a b és f helyre az aknát (bombát: B), valamint a bal egérgombbal rákattintottunk az a, d és h mezőkre. Ekkor a gép kiírta, a játékszabálynak megfelelően, hogy a kérdezett mezőkkel hány bomba szomszédos, és a következő ábrát kaptuk:

14 . VEGYES FELADATOK g e B c B Innen a játék könnyen befejezhető. A két bomba közötti mező ezt korábban d-vel jelöltük -es jelzésű, tehát két bombával szomszédos. Ezeket a bombákat már meg is találtuk, a mező alatt és fölött, ezért (7) c + e = 0, azaz c = e = 0. A másik észrevétel, hogy a korábban h-val jelölt mező is két aknával szomszédos, s ezekből csak egy ismert, az alatta levő. Így (8) e + g =. A két egyenletből c = e = 0, g = adódik, készen vagyunk. B B B 5. példa András, Béla és Csaba játék közben betört egy ablakot. Keresték a tettest, és ezért mindegyiküket megkérdezték, hogy kinek a lelkén szárad az ablak betörése. A következő () (3) válaszokat kapták: () András: Béla volt. () Béla: Csaba törte be az ablakot. (3) Csaba: Nem én törtem be az ablakot. Ki volt a tettes, ha tudjuk, hogy az ártatlanok igazat mondanak? (A bűnös igazat is mondhat, de hazudhat is.) ok Ebben az egyszerű példában áttekintjük azokat a megoldási módszereket, amelyeket a hasonló feladatokban alkalmazhatunk. A megoldások leírása előtt talán érdemes bevezetni a következő, az állításokat egyszerűbben rögzítő formulákat: () A: B = b; () B: C = b; (3) C: C! b. Ezek jelentése szemléletes. Például () fordítása : András azt mondja, hogy Béla bűnös. Hasonló rövidítéseket alkalmazhatunk az állítások tartalmára vonatkozóan. Például () = i vagy () = h jelentése: az () állítás igaz, a () pedig hamis. S végül a személyek állításának valódiságát is jelölhetjük ugyanígy (feltéve, hogy nem okoz félreértést): Például A = i vagy B = h jelentése: András igazat mondott, Béla hazudott. Első megoldás (hipotézis felállítása, esetszétválasztás) Ebben a frontális megoldásban két esetet különböztetünk meg például A állításától függően.. eset: Tegyük fel, hogy A igazat mond, azaz szerinte B a bűnös. Ekkor a () állítással B hazudik (ez nem mond ellent a feltevésünknek), és a (3) állítás is (C ártatlansága) megerősíti a feltevést. Tehát egy lehetséges megoldás, hogy B törte be az ablakot. 3

16 . VEGYES FELADATOK Rejtvény Egy ismert magyar szépirodalmi műből való az alábbi részlet. Melyikből? [ ] A második kérője Rózsikának egy nagyvállalkozó volt Brünnből, aki mint üzletember, azt a mellékjogot se tagadta, hogy a Rózsika hozományával egész Közép-Európára kiterjeszti a vállalatát. Az öregúrnak tetszett a nyílt beszéd, és azt mondta szokott mókázó modorával: Igen helyes, nagyon helyes, és szívesen adom a leányomat vállalkozónak, mert magam is az voltam. Hanem talán hallotta is ön, hogy én bizonyos fokig bolond ember vagyok. Sohase tessék ellenkezni. Tudom, hogy mondták önnek, és igazuk volt. Én csakugyan bolond vagyok. De ez nem veszedelmes őrültség, ne féljen tőlem. Ez csak egy rögeszme. Én ugyanis egy kérdést szoktam föltenni ahhoz, aki a lányomat ajánlatával megtiszteli. És ettől függ aztán a további. Tudom, hogy ez bolondság, eszeveszettség, de nem tehetek róla. Igen, hallottam már ilyesmit. Nos, hát mondja meg nekem, hogy ha Pozsonyból Brassóba mindennap két postakocsi közlekednék, Brassóból Pozsonyba pedig ugyanannyi, ha mármost föltesszük, hogy az út tíz napig tart, mennyi kocsival találkozik ön útközben, míg Pozsonyból egy postakocsin ülve Brassóba ér? Nevek A rejtvény megoldása a fejezet végén, a 34. oldalon található. Alcuin; Fibonacci. FELADATOK. K. K 3. K Egy napon két vándor közösen nekilátott a falatozásnak, egyiküknek, a másiknak 3 cipója volt. Arra jött egy harmadik utazó is, így hármasban fogyasztották el a cipókat. Amikor végeztek, a harmadik utazó fizetségül otthagyott 5 krajcárt. Hogyan tud a két vándor igazságosan megosztozni a pénzen, ha mindenki ugyanannyit evett a cipókból? (Ezt a szép feladatot már a középkori matematikus, Leonardo Pisano (75? 50) (ismertebb nevén Fibonacci) is kitűzte. Idén még fogunk találkozni a nevével.) Seholsincs szigeten egy szobában összegyűlt lakos. (Ezen a szigeten mindenki vagy igazmondó, vagy hazudós, tehát mindig vagy igazat mond, vagy hazudik.) A lakókat egyesével megkérdezték, hány igazmondó van közöttük. A következő válaszokat adták: a) 5, 3, 9, 4, 3, 6, 5, 3,, 5, 7; b), 5, 8, 3, 7, 4,, 0, 6 (most ketten nem válaszoltak). Hány igazmondó lehet a szobában? (A lakók ismerik egymást.) Egy osztályban a matematikát, kémiát, fizikát, biológiát, magyart és németet Kovács, Novák és Varró tanár urak tanítják. a) Mindegyik tanár pontosan két tantárgyat tanít. b) A kémiatanár ugyanabban a házban lakik, mint a matematikatanár. c) Kovács tanár úr a legfiatalabb. d) A matematikatanár és Varró tanár úr gyakran biliárdoznak. e) A fi zikatanár idősebb a biológiatanárnál, de fiatalabb Novák tanár úrnál. f) A legidősebb távolabb lakik az iskolától, mint két kollégája. Melyik tanár melyik tantárgyakat tanítja? 5

17 I. MATEMATIKAI LOGIKA E Az [3000; 9000[ intervallumban hány olyan egész szám van, amelyik K a) osztható 3-mal és 5-tel; K b) osztható 3-mal vagy 5-tel; E c) 3 és 5 közül pontosan az egyik számmal osztható; E d) 3 és 5 közül legfeljebb az egyik számmal osztható; E e) ha osztható 3-mal, akkor osztható 5-tel is? A következő feladat is csakúgy, mint az első kultúrtörténeti érdekességű. (Arany Dániel verseny, 964.) Fogadjuk el igaznak a következő állításokat: a) Vannak Beatles-frizurás huligánok. b) Minden huligánnak nyegle a modora. Döntsük el és indokoljuk meg, hogy következnek-e ebből az alábbiak: c) Van olyan nyegle modorú huligán, akinek Beatles-frizurája van. d) Minden nyegle modorú huligánnak Beatlesfrizurája van. Old Shatterhand logikai levezetése Azt még megértem, hogy a szeme jobb, mint az enyém, hiszen fiatalabb mondta Sam Hawkins. De hogy tudta kitalálni, mit csináltak ezek az indiánok? Logikai levezetés útján feleltem mosolyogva. Hát az micsoda? Megmagyarázom egy példával. Hawk annyit tesz, mint sólyom. A sólyom mezei egereket eszik. Hawkins sólyomfajta. Tehát Sam Hawkins mezei egereket eszik. (Karl May: Winnetou) Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I. 4. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény II. 3 7, 36 39, 45 46, ÍTÉLETEK. LOGIKAI MŰVELETEK 3. Ítéletek. Logikai műveletek A hétköznapi életben sokféle összefüggésben használjuk a logika szót. Elvárjuk másoktól, hogy bizonyos helyzetekben logikusan cselekedjenek. Szeretnénk a rendelkezésünkre álló információk ismeretében a számunkra fontos kérdésekben logikusan dönteni. Mások kiszámíthatatlan cselekedeteiben megpróbálunk valamilyen rendszert, vagy logikát felfedezni. Bizonyos okfejtésekről úgy gondoljuk, hogy azok teljesen logikusnak tűnnek, mégis hamis következtetésre vezetnek, és így tovább. Mi most megpróbálunk egy kis rendet rakni ezekben a kérdésekben. Először is nézzük meg, mit gondoltak erről a több ezer éves tudományról az emberiség nagy gondolkodói. 6

18 3. ÍTÉLETEK. LOGIKAI MŰVELETEK A logika alapjait Arisztotelész (Kr.e ) fektette le munkáiban. Ő a mai értelemben vett logikát analitikának nevezi, vagyis a tudományos gondolkodás módszertani eszközének, illetve előfeltételének tekinti azt. Az arisztotelészi hagyomány szerint a logikát a helyes gondolkodás formáit, műveleteit és alapelveit kutató és meghatározó tudománynak tekinthetjük. William Ockham (85 348) ferences rendi szerzetes és filozófus híres borotvájával levágja a logika tudományáról a fölösleges szőrszálhasogatás gyakorlatát. Szerinte a létezőkről szóló magyarázatok közül a legkézenfekvőbbet, a legkevesebb bizonyításra szoruló elméleti föltevést (hipotézist) tartalmazót kell elfogadni, az okok számát fölöslegesen nem kell gyarapítani. Ha egy adott jelenségre két magyarázat is adott, az egyszerűbbet, a kevesebb okot tartalmazó értelmezést kell elfogadni. Ockham józan és reális, a tapasztalathoz kötődő filozófiájával kezdődik a logika tudományának átértékelése: arra való a logika, hogy a valóság egyszerű és áttekinthető megismerésében biztos eszközként (lásd Arisztotelészt) szolgálja a megismerésre törekvő értelmet. Ez a szemlélet már átmenetet jelent az újkori gondolkodás felé, amikor a logika visszanyeri a megismerés megalapozásában betöltött vitathatatlan szerepét, amit Arisztotelész számtalan félreértelmezése óta mintha elfelejtettek volna. Descartes ( ) néhány egyszerű és világos, a józan, ész (azaz hétköznapi gondolkodás) számára fölfogható alapelvre próbálta visszavezetni a filozofálás logikáját. Értekezésében ezeket az alapelveket a következőképp fogalmazta meg: minden előítéletet kerülve csak azt kell igaznak elismerni, ami tisztán és világosan felfogható, a problémákat részekre kell bontani, amennyire csak lehetséges, a legegyszerűbb tárgytól fokozatosan kell a bonyolultabb felé haladni, a rendszer teljességét felsorolással kell biztosítani. René Descartes Íme, a Descartes-nál egyszerűnek és egyértelműnek tűnő út ahhoz, hogy eljuthassunk az evidenciákhoz, vagyis a világos, tiszta és határozott ismeretekhez. E módszer hatástörténete fölmérhetetlen, még a 0. századi logikai analízis (analitikus filozófia) képviselőinél is föllehető. Leibniz (646 76) arra gondolt, hogy létre lehet hozni egy abszolút pontos jelentésű fogalmakból álló tudományos nyelvet, melyet aztán a matematikai szabályokhoz hasonló, rögzített logikai szabályok szerint használhatnánk az észigazságok megfogalmazásában. Joggal tekintik tehát Leibniz-t a matematikai logika megálmodójának. A legegyszerűbb általános fogalmak lehetnének azok a nyelvi atomok, amelyeknek logikai szabályok szerinti összekeveréséből nyernénk a tudományos (matematikai természetű) alapigazságokat. Mindezekből világosan kitűnik, hogy az újkor nagy gondolkodói a logikát minden egyéb szellemi tevékenység alapjának és előfeltételének tekintették, a matematikához hasonló, de annál általánosabb, egyetemesebb tudománynak. Descartes és Leibniz ugyanakkor zseniális matematikusok is voltak, így munkásságukban töretlenül egybeolvadt matematikai és logikai gondolkodás, mint logikus gondolkodás. Arisztotelész Gottfried Wilhelm Leibniz Nietzsche ( ) szerint a gondolkodás eredendően alogikus, tehát nem más logika szerint működik, hanem logikán innen, az ösztönökből meríti indítékait. Ám kritikusabb pillanataiban az emberi szellem mégis bizonyosságot keres, és leghamarabb a logikában, illetve annak adott szellemi területre való alkalmazásában véli meglelni e bizonyosságot. Elmondhatjuk, hogy a. században minden komolyabb szakterület nélkülözhetetlen eszköze a logika, és bár egyetlen logikatudomány van, többféle logikai alrendszer (irányzat, elmélet) létezik. A logika a helyes következtetések matematikai alapjait fogalmazza meg. A logika segítségével a már ismert állításokból újabb összetett állításokat fogalmazhatunk meg és azok igazságtartamát is megvizsgálhatjuk. 7

19 I. MATEMATIKAI LOGIKA ÍTÉLETEK Nagyon fontos, hogy a logika állításokkal foglalkozik ugyan, de nem vizsgálja azok igazságtartalmát. A konkrét állítások igazságtartalmát az adott szakterületen jártas embereknek kell eldöntenie. Ez a jellemzője teszi lehetővé, hogy a logikát a megismerés egyik legfontosabb eszközének tekintsük. Tehát számunkra csak az fontos, hogy egy állítás vagy igaz, vagy hamis. Az állításokat ítéleteknek is nevezzük. Definíció Ítélet: Olyan állítás, amelyről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy igaz, vagy hamis. Tehát egy állítás vagy igaz, vagy hamis. Harmadik lehetőség nincs. Az állításokat az ábécé nagybetűivel jelöljük.. példa Igazak vagy hamisak az alábbi állítások? A = , B = , C = , D = , E = , F = , G = , H = . Egy matematikai állítás igazságtartamát az abszolút értékhez hasonlóan jelöljük. Tehát A = i azt jelenti, hogy az A állítás igaz. Ugyanígy a B és a D állítás is igaz. A C viszont hamis, hiszen nem minden szám négyzete pozitív, van egy kivétel a nulla. Ezt így jelöljük, C = h. A G állítás is hamis, tehát G = h. Az E és F állítások igazságtartalma az adott szituációban egyértelműen eldönthető. A H nem tekinthető a logika szempontjából állításnak, mert szubjektív vélemény, hogy kinek mi a szép idő. Minden állításnak megfogalmazhatjuk a tagadását, vagy ahogyan gyakran mondjuk, az ellentettjét. Definíció Egy állítás tagadásán (negációján, ellentettjén, angolul NOT ) azt az állítást értjük, ami igaz, ha az eredeti állítás hamis és hamis, ha az eredeti állítás igaz. Jele: JA. A logikában a tagadást egyváltozós műveletnek tekintjük, aminek igazságtartalma csak az eredeti állítás igazságtartalmától függ. Mindezt egyszerűen kifejezhetjük egy táblázattal, ami minden esetet tartalmaz.. példa Fogalmazzuk meg az. példa állításainak tagadásait! A i h JA h i 8

20 3. ÍTÉLETEK. LOGIKAI MŰVELETEK JA = , JB = , JD = , JE = , JF = . A C és G állítás tagadása nem olyan egyszerűen történik, mint a többi példánkban, ahol egy megfelelően elhelyezett nem szócska elegendő. Ha egy állításban egy halmaz minden eleméről állítunk valamit, akkor ahhoz, hogy az hamis legyen, elegendő találni a halmaznak egyetlen elemét, amire az állítás nem igaz. JC = . Máskor egy állítás azt mondja, hogy egy halmazban találunk legalább egy elemet, amire igaz az állításunk. Ennek a tagadása azt mondja ki, hogy az állítás a halmaz minden elemére hamis. JG = . Az A állítás ellentettjének ellentettje maga az eredeti állítás: J(JA) = A. Állításunkat legegyszerűbben az előbbi táblázat segítségével indokolhatjuk. A JA J(JA) i h i h i h Fogalmak, nevek Arisztotelész; Ockham; Descartes; Leibniz; Nietzsche; ítélet; tagadás; ellentett (állításé). FELADATOK. K Fogalmazzuk meg a következő állítások tagadását! Melyik igaz, melyik hamis az állítások közül? a) A = b) B = c) C = d) D = e) E = f) F = g) G = h) H = i) I = j) J = Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I., 9, 0. 9

21 I. MATEMATIKAI LOGIKA 4 5. KÉTVÁLTOZÓS LOGIKAI MŰVELETEK I Kétváltozós logikai műveletek I. Az előző órán már megismerkedtünk egy fontos logikai művelettel, a negációval, ami az eredeti állítás logikai értékét az ellenkezőjére változtatta. A gondolkodás szempontjából nagyon fontos két állítás összekapcsolása. Így egy új összetett állítás jön létre. Természetesen nem mindegy, hogy milyen logikai művelettel kapcsoljuk össze a két állítást. A hétköznapi beszédben is sokat használjuk az és, vagy, semsem, akkor és csak akkor kifejezéseket. Most megismerkedünk ezek pontos matematikai definíciójával. Például:. Hoztam a boltból tejet és kenyeret. Mikor füllentettem?. Hozok a boltból vajat vagy margarint. Mikor mondhatják nekem, hogy nem mondtam igazat? Az egyik leggyakrabban használt logikai művelet az és. Ha két állítást és kötőszóval kapcsolunk össze, akkor az így kapott összetett állítás akkor lesz igaz, ha mindkét állítás igaz. Nézzünk néhány egyszerű példát!. A = . B = 3. C = 4. D = 5. E = Elemezzük az A állítás szerkezetét! Legyen P = , Q = . Ez után A = P és Q. Hasonlóan megkereshetjük a többi esetben is az összetett állításunkban szereplő egyszerű állításokat. Az előbbi összetett állításokat csak akkor tekintjük igaznak, ha mindkét benne szereplő állítás igaz. Nagyon lényeges, hogy ha csak az egyik állítás igaz, akkor az összetett állítás mindenképpen hamis. Ha mindkét állítás hamis, akkor is hamis lesz az összetett állítás. Definíció A logikai és (konjunkció, angolul AND ) olyan kétváltozós logikai művelet, ami csak akkor igaz, ha a benne szereplő mindkét állítás igaz. Jelölése: A / B, vagy A & B. (Ha két kijelentést az és logikai művelettel kapcsolunk össze, akkor az így kapott összetett állítás csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz. Ezt fejezi ki a táblázat.) A B A / B i i i i h h h i h h h h A kétváltozós műveleteket is egyszerűen tudjuk definiálni táblázat segítségével. A táblázatban feltüntetjük a két változó igazságértékének összes lehetséges variációját, és megadjuk minden esetben, hogy mi lesz az összetett állítás logikai értéke. Mivel mindkét állítás lehet igaz vagy hamis, ezért = 4 eset lehetséges. 0 Másodikként tekintsük a vagy kötőszót. Itt már kicsit bonyolultabb a kép. A magyar nyelv legalább háromféle értelemben használja a vagy kötőszót.. A következő tenisztornán Federer vagy Nadal fog indulni. Itt nyilván megengedő értelemben használjuk a vagy kötőszót, hiszen lehet, hogy mindketten elindulnak.

22 4 5. KÉTVÁLTOZÓS LOGIKAI MŰVELETEK I.. A tenisztornát Federer, vagy Nadal nyeri. Itt nyílván kizáró értelemben használjuk a vagy kötőszót, mert mindketten nem nyerhetnek, de lehet, hogy egy harmadik játékos nyer. 3. Tudjuk, hogy a döntőbe Féderer és Nadal jutott, tehát a tornát Federer, vagy Nadal nyeri. Itt kiegészítő értelemben használjuk a vagyot. Egyikük biztosan nyer. A logikában megállapodás, hogy ha egyszerűen a vagy kötőszót használjuk, azt mindig megengedő értelemben tesszük.. A = . B = 3. C = Észrevehetjük, hogy ezekben az összetett állításokban két állítást kapcsoltunk össze a vagy kötőszó segítségével. Ezeket az összetett állításokat akkor tekintjük igaznak, ha legalább az egyik állítás igaz. Úgy is mondhatjuk, hogy ezek az állítások akkor hamisak, ha mindkét állítás hamis. Itt a vagy szót megengedő értelemben használjuk. Ez azt jelenti, hogy az összetett állítást akkor is igaznak tekintjük, ha mindkét állítás igaz.. Például legyen az első állításban a szám az -es, vagyis A, = Mindkét állítás igaz, tehát az összetett állítást is igaznak tekintjük.. A B állítást is igaznak tekintjük, ha reggel pirítós evés közben tejet iszogattam. 3. A C is igaz, ha Eszter vonatozás közben szunyókál. Definíció A logikai vagy (diszjunkció, angolul OR ) olyan kétváltozós logikai művelet, ami akkor hamis, ha a benne szereplő mindkét állítás hamis. Jele: A 0 B. A B A 0 B i i i i h i h i i h h h A leggyakrabban az eddig megismert három logikai műveletet használjuk. A tanulmányaink során végeztünk műveleteket számokkal, vektorokkal, halmazokkal, most pedig a műveleteket a logika keretein belül a kijelentésekkel végezzük. A műveleteknek néhány alapvető tulajdonságát itt is megvizsgálhatjuk. II. Kommutativitás (felcserélhetőség) A / B = B / A, A 0 B = B 0 A. Indoklás: Ha a táblázatainkban az A és B oszlopát felcseréljük, a harmadik oszlop értékei nem változnak. II. Asszociativitás (csoportosíthatóság) (A / B) / C = A / (B / C) (A 0 B) 0 C = A 0 (B 0 C) Indoklás: Az első esetben mindkét oldalon csak akkor lesz igaz az összetett állítás, ha mindhárom állítás igaz. A második esetben pedig csak akkor lesz hamis mindkét állítás, ha a benne szereplő mindhárom állítás hamis.

23 I. MATEMATIKAI LOGIKA Táblázat segítségével is ellenőrizhetjük állításainkat. A B C A / B (A / B) / C B / C A / (B / C) A 0 B (A 0 B) 0 C B 0 C A 0 (B 0 C) i i i i i i i i i i i i i h i h h h i i i i i h i h h h h i i i i i h h h h h h i i h i h i i h h i h i i i i h i h h h h h i i i i h h i h h h h h i i i h h h h h h h h h h h Logikai műveleteket tulajdonképpen eddig is alkalmaztunk, például amikor megoldottuk a következő típusú feladatot:. példa Keressük meg az összes olyan x valós számot, amelyre (x – )(3 – x) = 0! Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Legyen A = , B = . A logika nyelvén fogalmazva a feladat megoldása A 0 B. Tehát x = 0 x =,5. Egészen más a helyzet, ha az (x – ) + (3 – x) = 0 egyenlettel van dolgunk. Ennek a megoldása az előző jelöléseket használva A / B. Hiszen két négyzetszám összege csak úgy lehet nulla, ha mindkét szám nulla. Tehát x = / x =,5, ami egyszerre nem teljesülhet, vagyis a feladatnak nincs megoldása. Ahhoz, hogy a feladatot megoldjuk, ismernünk kellett a matematikai alapokat és helyesen használni a logikai műveleteket. Hasonló példákat hozhatunk a tudomány más területeiről is. Az eddig megismert három művelet kapcsolatát jól mutatja a következő néhány példa.. példa A = Az alábbi állítások közül melyik lesz az A állítás tagadása? B = , C = , D = .

24 4 5. KÉTVÁLTOZÓS LOGIKAI MŰVELETEK I. Az előző összetett állításokat elemzésük érdekében először bontsuk részeikre. P = , Q = . Ez után A = P / Q, JA = J(P / Q) =? B = (JP) / (JQ), a B állítás a hétköznapi életben is gyakran használt sem, sem logikai műveletet használja. Definíció A sem, sem olyan kétváltozós logikai művelet, amely csak akkor igaz, amikor mindkét változó hamis. P Q sem P sem Q i i h i h h h i h h h i A táblázat is jól mutatja, hogy ez a művelet nem az és művelet tagadása. C = J(P / Q), ez szó szerint az A állítás tagadása. D = (JP) 0 (JQ). Erről az állításról első pillanatban nem látszik, hogy szintén az A állítás tagadása. Ha meggondoljuk, hogy az és művelet csak akkor igaz, amikor mindkét tagja igaz, akkor már világos, hogy ennek ellentettje az, hogy legalább az egyik hamis. Az összes esetet jól mutatja a táblázat. P Q P / Q C = J(P / Q) JP JQ B = (JP) / (JQ) D = (JP) 0 (JQ) i i i h h h i h i h h i h i h i h i h i i h h i h h h i i i h i Egy igen fontos logikai azonossághoz jutottunk: J(P / Q) = (JP) 0 (JQ). A következő példa is egy hasonló esetet mutat be. 3. példa A = Fogalmazzuk meg az A állítás tagadását! Először nézzük meg az állítás szerkezetét. Legyen P = < Ma délután alszom egyet.>, Q = . Az A állítást egy kétváltozós logikai művelettel képeztük. A = P 0 Q. 3