11-12 FELADATGYÛJTEMÉNY. sokszínû. Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatokkal. Letölthetõ megoldásokkal. Tizedik kiadás

HelpWire is the ultimate one-stop shop for people of all expertise levels looking for help on all kind of topics — tech, shopping and more.

Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 11-12. (Letölthető megoldásokkal)

A feladatgyűjtemény egyedülálló a középiskolai matematika feladatgyűjtemények között. A szokásos tematikus felépítésen túl ugyanis ebben a kötetben évfolyamonként, kisebb fejezetekre bontva találjuk a feladatokat. A könyv felépítése pontosan követi a Sokszínű matematika tankönyvcsalád köteteinek szerkezetét, így akik ebből a tankönyvből tanulnak, közvetlenül alkalmazhatják az órai munka és az önálló gyakorlás, sőt az érettségi felkészülés során is. Ugyanakkor – mivel a feladatgyűjtemény felépítése természetesen megfelel a tantárgy belső logikájának és az iskolákban általánosan alkalmazott kerettanterveknek – minden nehézség nélkül használhatják azok is, akik más tankönyvekből tanulják, illetve tanítják a matematikát.

Leírás

A feladatgyűjtemény egyedülálló a középiskolai matematika feladatgyűjtemények között. A szokásos tematikus felépítésen túl ugyanis ebben a kötetben évfolyamonként, kisebb fejezetekre bontva találjuk a feladatokat. A könyv felépítése pontosan követi a Sokszínű matematika tankönyvcsalád köteteinek szerkezetét, így akik ebből a tankönyvből tanulnak, közvetlenül alkalmazhatják az órai munka és az önálló gyakorlás, sőt az érettségi felkészülés során is. Ugyanakkor – mivel a feladatgyűjtemény felépítése természetesen megfelel a tantárgy belső logikájának és az iskolákban általánosan alkalmazott kerettanterveknek – minden nehézség nélkül használhatják azok is, akik más tankönyvekből tanulják, illetve tanítják a matematikát. A feladatok nagy száma és változatossága miatt a tanulók bőségesen találnak a maguk számára kitűzött szintnek megfelelő gyakorlási lehetőséget. Így a tankönyveket és a feladatgyűjteményt együtt használva kellő jártasságot szerezhetnek a feladatmegoldásban. Az egyes fejezetek végén található vegyes feladatok áttekintést adnak az adott fejezet anyagából, ezért jól segíthetik az átfogóbb számonkérés előtti felkészülést.

A feladatgyűjtemény minden feladatának megoldását tartalmazza a letölthető melléklet. A gyakorló feladatok esetén csak a végeredményt közöljük, más esetekben pedig annyira részletezzük a megoldásokat, amennyire azt pedagógiai szempontból szükségesnek tartottuk.

A kiadvány 2022-ben átdolgozásra került a NAT2020 és a 2024-től érvényes új érettségi követelmény-rendszer alapján. Az új kötetben a 11. és a 12. osztályos új tananyagot feldolgozó részekben a jobb használhatóság érdekében, hacsak lehetett, megtartottuk a korábbi feladatokat is és azok eredeti sorszámát is; minden feladatot felülvizsgáltunk, és a sorszámát aszerint színeztük át, hogy az adott feladat az új érettségi követelményrendszer szerint gyakorló alapfeladat (sárga), középszintű (kék), emelt szintű (piros), vagy kiegészítő, az érettségi követelményeket meghaladó anyag (lila); ha az adott fejezetben jelentős tananyagcsökkentés vagy változás volt, akkor a korábbi feladatok helyett vagy mellett a tanterv által bevezetett új típusú feladatokat tettünk be. A 12.‐es Rendszerező összefoglalás fejezetet teljesen megújítottuk, ebben már csak az érettségi követelményeknek megfelelő feladatok maradtak. Felülvizsgáltuk és megújítottuk az érettségi mintafeladatsorokat is.

11-12 FELADATGYÛJTEMÉNY. sokszínû. Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatokkal. Letölthetõ megoldásokkal. Tizedik kiadás

2 rki Tamás Konfárné Nag Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY Gakorló és érettségire felkészítõ feladatokkal Letölthetõ megoldásokkal – Tizedik kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 09

3 Tisztelt Olvasó! A feladatgûjtemén, amelet a kezében tart, egedülálló a középiskolai matematika feladatgûjtemének között. A szokásos tematikus felépítésen túl uganis ebben a kötetben évfolamonként, kisebb fejezetekre bontva találjuk a feladatokat. A könv felépítése pontosan követi a Sokszínû matematika tankönvcsalád köteteinek szerkezetét, íg akik ebbõl a tankönvbõl tanulnak, közvetlenül alkalmazhatják az órai munka és az önálló gakorlás, sõt az érettségi felkészülés során is. Uganakkor mivel a feladatgûjtemén felépítése természetesen megfelel a tantárg belsõ logikájának és az iskolákban általánosan alkalmazott kerettanterveknek minden nehézség nélkül használhatják azok is, akik más tankönvekbõl tanulják, illetve tanítják a matematikát. A feladatok nag száma és változatossága miatt a tanulók bõségesen találnak a maguk számára kitûzött szintnek megfelelõ gakorlási lehetõséget. Íg a tankönveket és a feladatgûjtemént egütt használva kellõ jártasságot szerezhetnek a feladatmegoldásban. Az eges fejezetek végén található Veges feladatok áttekintést adnak az adott fejezet anagából, ezért jól segíthetik az átfogóbb számonkérés elõtti felkészülést. A feladatok nehézségének jelölése Minden fejezetben három különbözõ szintre bontva találjuk a feladatokat: w 4 Gakorló feladatok: olan feladatok, amelek akár a tanórákon, akár házi feladatként elõsegítik a megtanult ismeretek elmélítését. (narancssárga színû feladatsorszám) w 476 w 8 Középszintû feladatok: az adott témakörben más témákhoz is kapcsolódó problémák, melek megoldása elõsegíti a tantárg komple ismeretanagának ismétlését, a matematikai kompetenciák elsajátítása mellett azok alkalmazását. (kék színû feladatsorszám) Emelt szintû feladatok: az emelt szintû érettségire való felkészülést segítõ problémák, melek nemcsak megoldásuk nehézségében különböznek az elõzõektõl, hanem felvillantják a matematika szépségét is. (bordó színû feladatsorszám) A feladatok sorszámozása A feladatgûjtemének feladatainak sorszámozása a tankönvcsalád eges köteteire utal. A 9. évfolam feladatai az 00-es, a 0. évfolam feladatai a 00-es, a. évfolamé a 00-es, a. évfolamé pedig a 400-es sorszámtól kezdõdnek. A.-es kötetben a nég év anagát áttekintõ rendszerezõ összefoglalás feladatai az 00-es sorszámtól indulnak, ezáltal segíti a feladatok közötti válogatást az érettségire történõ felkészüléskor. Megoldások A feladatok megoldásai letölthetõk a oldalról. (Részletes információ a könv 87. oldalán olvasható.) A gakorló feladatok esetén csak a végeredmént közöljük, más esetekben pedig annira részletezzük a megoldásokat, amennire azt pedagógiai szempontból szükségesnek tartottuk. A kitûzött feladatok megoldásához jó munkát és jó tanulást kívánunk! A szerzõk

4 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK Bevezetõ. A feladatgûjteménben használt matematikai jelölések. 0 A. évfolam feladatai.. Kombinatorika, gráfok (00-60) Fibonacci-számok. Permutációk, variációk. Ismétlés nélküli kombinációk, Pascal-háromszög. 4 Binomiális egütthatók, ismétléses kombináció. 6 Veges összeszámlálási feladatok (kiegészítõ anag). 8 GRFOK pontok, élek, fokszám. 9 GRFOK út, vonal, séta, kör, Euler-vonal (kiegészítõ anag). Fagráfok (kiegészítõ anag). 4 A kombinatorika gakorlati alkalmazásai. Veges feladatok Hatván, gök, logaritmus (6-4) Hatvánozás és gökvonás (emlékeztetõ). 9 Hatvánfüggvének és gökfüggvének. 0 Törtkitevõjû hatván. Irracionális kitevõjû hatván, eponenciális függvén. Eponenciális egenletek, egenletrendszerek, egenlõtlenségek. A logaritmus fogalma. 7 A logaritmusfüggvén. 8 A logaritmus azonosságai Logaritmikus egenletek, egenletrendszerek, egenlõtlenségek. 4 Veges feladatok A trigonometria alkalmazásai (4-49) Vektormûveletek rendszerezése, alkalmazások (emlékeztetõ) A skaláris szorzat Skaláris szorzat a koordináta-rendszerben. 0 A szinusztétel. A koszinusztétel. 4 Trigonometrikus összefüggések alkalmazásai. Összegzési képletek

5 TARTALOMJEGYZÉK Az összegzési képletek alkalmazásai. 8 Trigonometrikus egenletek, egenletrendszerek Trigonometrikus egenlõtlenségek. 6 Veges feladatok Függvének (460-4) Az eponenciális és logaritmusfüggvén Egenletek és függvének Trigonometrikus függvének Trigonometrikus egenletek, egenlõtlenségek (kiegészítõ anag). 7 Veges feladatok Inverz függvének (kiegészítõ anag) Koordináta-geometria (-776) Vektorok a koordináta-rendszerben. Mûveletek koordinátáikkal adott vektorokkal (emlékeztetõ) Két pont távolsága. Két vektor hajlásszöge. Területszámítási alkalmazások Szakasz osztópontjának koordinátái. A háromszög súlpontjának koordinátái. 8 Az egenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben. 8 Az egenes egenletei Két egenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge. 9 A kör egenlete A kör és az egenes kölcsönös helzete két kör közös pontjai A parabola Veges feladatok Valószínûség-számítás, statisztika (777-89) Klasszikus valószínûségi modell Visszatevéses mintavétel Mintavétel visszatevés nélkül (kiegészítõ anag). Valószínûségi játékok gráfokon (kiegészítõ anag). Valóság és statisztika. 4 Veges feladatok. A feladatok megoldásai letölthetõk a oldalról. 7

6 TARTALOMJEGYZÉK A. évfolam feladatai.. Logika, bizonítási módszerek ( ) Logikai feladatok, kijelentések. 8 Logikai mûveletek negáció, konjunkció, diszjunkció. Logikai mûveletek implikáció, ekvivalencia. Teljes indukció (emelt szintû tananag). Veges feladatok Számsorozatok ( ) A sorozat fogalma, példák sorozatokra. 8 Példák rekurzív sorozatokra. 9 Számtani sorozatok. 9 Mértani sorozatok. Kamatszámítás, törlesztõrészletek kiszámítása. Veges feladatok Térgeometria (466-4) Térelemek. 7 Testek osztálozása, szabálos testek. 4 A terület fogalma, a sokszögek területe. 4 A kör és részeinek területe A térfogat fogalma, a hasáb és a henger térfogata. A gúla és a kúp térfogata. 7 A csonka gúla és a csonka kúp A gömb térfogata és felszíne. 6 Egmásba írt testek (kiegészítõ anag). 6 Veges feladatok I Veges feladatok II Valószínûség-számítás, statisztika (4-477) Geometriai valószínûség. 7 Várható érték (emelt szintû tananag) Statisztika. 7 Veges feladatok

7 TARTALOMJEGYZÉK Készüljünk az érettségire. Rendszerezõ összefoglalás (00-60) Gondolkodási módszerek (00 ) Halmazok. 8 Kijelentések, esemének. 8 Kombinatorika Valószínûség-számítás Algebra és számelmélet (4 77) Számok és mûveletek Számelmélet, oszthatóság Hatván, gök, logaritmus Mûveletek racionális kifejezésekkel Egenletek, egenlõtlenségek Egenletrendszerek. 4 Függvének (78 40) A függvén fogalma, grafikonja, egszerû tulajdonságai. 7 Mûveletek függvénekkel (kiegészítõ anag). 6 Függvéntulajdonságok. 7 Geometria (40 60) Alapvetõ fogalmak. Geometriai transzformációk. 7 Vektorok. Szögfüggvének. 4 Nevezetes síkidomok tulajdonságai Koordináta-geometria Érettségi gakorló feladatsorok Középszintû feladatsorok. 8 Emelt szintû feladatsorok A feladatok megoldásai letölthetõk a oldalról. 9

8 A feladatgûjteménben használt matematikai jelölések Jelölés N Z Z + Z Magarázat a természetes számok halmaza az egész számok halmaza a pozitív egész számok halmaza a negatív egész számok halmaza Q Q * a racionális számok halmaza az irracionális számok halmaza Q + Q R R + R a Î A b Ï A A Í B C Ì D E F A È B C Ç D E \F Æ, <> üres halmaz A ½A½ A Þ B C Û D [a b] [a b[ ]a b] ]a b[ a pozitív racionális számok halmaza a negatív racionális számok halmaza a valós számok halmaza a pozitív valós számok halmaza a negatív valós számok halmaza a eleme az A halmaznak b nem eleme az A halmaznak A halmaz részhalmaza B halmaznak C halmaz valódi részhalmaza D halmaznak E halmaz nem részhalmaza F halmaznak A és B halmaz uniója C és D halmaz metszete E és F halmaz különbsége az A halmaz komplementere az A halmaz elemszáma ha A, akkor B C akkor és csak akkor, ha D a, b zárt intervallum a, b balról zárt, jobbról nitott intervallum a, b balról nitott, jobbról zárt intervallum a, b nitott intervallum n! n faktoriális: n! = n (n ) (n ) f : f ( 0 ) ½½ [] <> n a½b (a, b) az f függvén hozzárendelési szabála az f függvén helettesítési értéke az 0 helen az szám abszolút értéke az szám egészrésze az szám törtrésze az szám négzetgöke az szám n-edik göke az a szám osztója a b számnak az a és b szám legnagobb közös osztója [a, b] az a és b szám legkisebb közös többszöröse AB az A pontból B pontba mutató vektor a, 0 a vektor, nullvektor szög

10 . ÉVFOLYAM Irracionális kitevõjû hatván, eponenciális függvén w 7 A következõ függvének értelmezési tartomána a valós számok halmaza. brázoljuk és jellemezzük (értékkészlet, növekedés, csökkenés, zérushel) a függvéneket. a) a() = 8 b) b() = + c) c() = d) d() = + Ê Ê e) e ( ) = f ) f () = g) g() = 4 h) h() = ˆ ˆ i) i() = j) j() = + + k) k() = 4 l) l () = Ê ˆ + Ê m) n) n() = o) p) p () = m () = o () = +. ˆ 4 w 76 A következõ ábrákon az f ()= függvénbõl kapott grafikonokat látunk. A grafikonok alapján adjuk meg az eponenciális függvének hozzárendelési szabálát. a) b) c) a( ) b () c () d) e) f ) d () e () f () g) h) i) g () h () i () 4

11 HATVNY, GYÖK, LOGARITMUS j) j () 6 w 77 Az autóversen pálákon óránként mérik az aszfalt hõmérsékletét. Eg nári napon azt tapasztalták, hog 0 órától délután óráig az aszfalt hõmérséklete jó közelítéssel megadható a t () = 0 4, függvénnel, ahol a 0 órától eltelt idõt jelenti órában mérve, a hõmérsékletet pedig ºC-ban kapjuk. a) Menni volt az aszfalt hõmérséklete 0 órakor, illetve reggel 6 órakor? b) Délután háromkor elérte-e az aszfalt hõmérséklete a kritikus 60 ºC-ot? c) Hán százalékkal nõt az aszfalt hõmérséklete reggel 8 és déli óra között? w 78 brázoljuk a következõ, valós számok halmazán értelmezett függvéneket: a) f () = sgn( ) b) g() = sgn[( + ) ( )] c) h() =½ 4½ d) i() =½ + 8½. w 79 Oldjuk meg grafikusan a következõ egenleteket: a) +4 + = ( + ) b) + = Eponenciális egenletek, egenletrendszerek, egenlõtlenségek w 80 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) 4 = 4 b) = 7 c) 44 = 6 d) 8 7 = e) = 6 f) = 9 g) + = 4 h) 49 7 = i) = j) k) l) = 6 + = 8 + = + m) + = 4 n) = o) 4 4 = p) + = 4 q) 7 = r) 7 + = 0 s) 0 00 = 0 t) 4 = 0 u) 7 =.

12 . ÉVFOLYAM w 8 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) 7 = 9 4 Ê ˆ b) 6 c) 0, + = 6 = 7 Ê 9 d) e) f ) 00 = 0,00000 ˆ + Ê ˆ 6½½ = 4 = g) 49 Ê ˆ Ê00ˆ = 7 h) i) 7 0, = 9 w 8 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) = 7 7 b) 6 = 9 c) 9 = 00 d) = e) +4 = f) + 4 = w 8 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) = 0 b) +4 + = 4 c) + + = 8 d) 7 = e) + = 0 f) = 70 g) 4 + = 8 h) = 6. w 84 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) 4 + = 0 b) = 0 c) 0 + = 0 d) = 0 e) = 0 f) = 0 g) = 0 h) = 0 4 i) = 0 j) 0, = + 0 k) = l) =. w 8 Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következõ egenletrendszereket: + = = 4 a) b) 7 + = = = 4 7 c) d) + + = = = = = 0 e) f ) = = 7+ = 49 9= + g) h) = 64 = + = + 9+ = 4 i) j). 6 + = = ½ ½ 4+ 4 =

13 HATVNY, GYÖK, LOGARITMUS w 86 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenlõtlenségeket: a) 4 < 7 b) 6 ³ 4 + Ê Ê c) d) ˆ ˆ 64 e) + >f ) g) h) 4 8 Ê > ˆ Ê ˆ i) > 7 + j) w 87 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) 4 + = 4 b) 9 4 c) 4 d) + = e) = 4 f ) g) = 7 h) i) + + = 9 j) = 0 Ê k) l) ˆ + = 0, 0 Ê ˆ 6 + m) 0 n) = 7, Ê ˆ – =, 8 o) p) Ê ˆ Ê ˆ = = 79 w 88 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: = a) b) 9 = 9 ½½ c) = d) = ½½ = ½½ + e) 4 f ) = = = ½ ½ + = g) 0 = 00 h) i) cos = j) 00 sin = 0, 4 k) 4 ( ) = 6 6 l) 64 6 = 6 Ê ˆ < +. + = 8 >7 7 = + ʈ : =

14 . ÉVFOLYAM 4 7 m) 7 + = 8 n) = Ê o) 0 p) ( 00 ) = 4. ˆ 8 ( ) = 00 w 89 Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következõ egenletrendszereket: = 7 = a) b) = 7 + = ( ) = 8 = 4 c) d). 4 = 8 = 6+ 8 = () + = e) 8 f). () 7 + = = 0 6 w 90 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenlõtlenségeket: + a) 7 + > 49 b) 4 + ³ 8 + c) 4 < d) >6 + e) f ) Ê ˆ < Ê 8³ 64 ˆ 9 g) ½½ h) ½ ½>i) + ³ j) + 6 ½½ Ê ˆ k) 0, 06 < ( 0, ) ( ¹ 0) l) 6 >. 6 w 9 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenleteket: a) ( + ) = b) 6 = + + c) 4tg + cos 80 = 0. w 9 Milen p valós paraméter értékek esetén van két különbözõ valós megoldása az alábbi egenletnek: 9 + (p ) + p 4 = 0. w 9 Mel ( ) számpárok elégítik ki a következõ egenletrendszert: = + 6. = w 94 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egenlõtlenségeket: Ê a) b) 8 0 ˆ Ê 4 ˆ 4 >

15 FÜGGVÉNYEK.4. FÜGGVÉNYEK Az eponenciális és logaritmusfüggvén w 460 Van-e közös pontja a következõ függvéneknek? a) a() = log ( ), b() = log b) f () = log g() =., w 46 Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját. Határozzuk meg az értelmezési tartománukat, értékkészletüket és tengelmetszeteiket. a) f () = log 4 ( + ) b) g() = c) h() = +. w 46 Tekintsük a következõ függvént: f: log ( ) + ( > ). Határozzuk meg az f () + f () értékét. w 46 Fejezzük ki az f () = függvén esetén az f (a +) f (a ) helettesítési értékét, ha a ÎR. w 464 Toljuk el az f () = log,( > 0) függvént a ( ) vektorral. a) Írjuk fel az íg kapott függvén hozzárendelési szabálát. b) Hogan változik ekkor az értelmezési tartomán, értékkészlet, zérushel? w 46 brázoljuk a következõ függvéneket: a) +, ÎR b), ÎR c) 9, ÎR d) 4, ÎR e) +, ÎR f) log, ÎR + g) log ( 4), ÎR, > 4 h) log 4 ½ ½, ÎR, ¹. w 466 brázoljuk a következõ függvéneket: a) ] +µ[ R, f () = log ( ) b) R R, g() = c) R R, h() = ½ ½ d) R\<> R, k() = log ½ ½. w 467 talakítások után ábrázoljuk a következõ függvéneket: ( ) a) b) c) d) e) 4 f ) 4 g) + h) i) 64 j), Ê. ˆ 67

16 . ÉVFOLYAM w 468 Az alábbi ábrán [ 9]-on értelmezett f függvén eg egenes, eg eponenciális és eg logaritmusfüggvén íveibõl tevõdik össze, balról jobbra haladva az ábrán. a) Adjuk meg az f függvént az alábbi módon: f: [ 9] R, ha < 0, f () =, ha 0 0 f) log 0, ( ), ÎR, ¹. w 470 brázoljuk és jellemezzük a következõ függvéneket: a) log ( + ), ÎR, ¹ b) log ½ ½, ÎR, ¹ c) +½½ +, ÎR d), ÎR. w 47 brázoljuk és jellemezzük a következõ függvéneket:, ha ½½, p a) lg tg + lg ctg, 0 < < b) f () = + log ½½, ha ½½ >½½, ha, c) g() = log, ÎR, ¹ 0 d) h() = log +, ha > 4 4 +, ha ³ 0, log ( + ), ha . w 47 brázoljuk és jellemezzük a következõ függvéneket, majd rajzoljuk meg vázlatosan a grafikonjukat: a) log sin, 0 < < p b) log, >c) log ( + 4), ½½> f

18 . ÉVFOLYAM.. SZMSOROZATOK A sorozat fogalma, példák sorozatokra w 4068 Számítsuk ki a következõ sorozatok ötödik és huszadik elemét: a) a n = n b) b n = 00 n c) c n = n 0n d) d n = n n + e) e n = n + 4 f ) n g) g n h) hn = n = n + n. w 4069 Foltassuk az alábbi sorozatokat, adjuk meg a sorozat általános tagját: a) b) c) d) e) 4 f ) g) 0 log log h) w 4070 brázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben és számegenesen a következõ sorozatok elsõ hat tagját: a) a n b) b n = ( ) n n c) cn = + n = n + n d) d e) en = n = f ) f n = ( ) n +. n + n w 407 Határozzuk meg a következõ sorozatok elsõ hat tagját: a) a n = 64 b) b n = 00 4n c) cn = 4 n 4 n. w 407 Határozzuk meg az a n = ( ) n sorozat 00. tagját és az elsõ 00 tag összegét. w 407 Döntsük el, hog melik szám a nagobb az alábbi esetekben: a) az a n = 9 + ( ) n sorozat 0. tagja vag a bn = n +7 sorozat. tagja n b) az an = sorozat. tagja vag a b n = ( ) n +6 + sorozat 99. tagja n + 8 c) az a n = sorozat 60. tagja vag a tizedes tört alakjában a tizedes vesszõ utáni 67. jeg 7 n n d) az sorozat 4. tagja vag a bn = 7 7 an =cos7 p sorozat 0. tagja n + 88 n+ e) Az a n = lg(n ) sorozat 77. tagja vag a b = 46 n + sorozat 7. tagja? w 4074 Hánadik tagja az alábbi sorozatoknak a 0? n a) a n = 8n 8 b) bn = c) c n =½47 7n½ n 6 d) d n = n n n + 8 e) e n = log n f) fn =60 p sin. 6 n fn = 4 n + n

19 SZMSOROZATOK Példák rekurzív sorozatokra w 407 Eg számsorozat elsõ eleme. Számítsuk ki a sorozat elsõ öt tagját, ha a második tagtól kezdve igaz, hog an a) a n = a n 6 b) a n = a n + c) d) an = an = an. n w 4076 Hánféleképpen juthatunk fel eg 0 lépcsõbõl álló lépcsõsoron, ha egszerre eget, kettõt vag három lépcsõfokot lépünk? w 4077 Eg sorozat tagjaira a harmadiktól kezdve teljesül, hog a n = a n a n. Menni a sorozat 00. eleme és az elsõ 00 elem összege, ha a = a =? w 4078 Eg sorozat elemeire a harmadiktól kezdve teljesül, hog a n = a n a n. Menni a sorozat 009. eleme és az elsõ 009 tag összege, ha a = a =? w 4079 Az a n sorozatban a = p, a = q, adott pozitív számok, a sorozat tagjaira igaz, hog: an + + an + =. an Adjuk meg a sorozat 04. tagját p és q segítségével. w 4080 Eg sorozat elemei pozitív egész számok, a harmadiktól kezdve mindegik elem az összes õt megelõzõ elem összege. A sorozat elsõ eleme. a) Lehet-e eleme a sorozatnak a 00? b) Mekkora lehet a sorozat második eleme, ha a sorozat n-edik eleme 000, és n a lehetõ legnagobb? Számtani sorozatok w 408 Eg számtani sorozat elsõ tagja 7, differenciája. Adjuk meg a sorozat következõ tagjait: a) a b) a 6 c) a 7 d) a 00. w 408 Eg számtani sorozat huszadik tagja 4, differenciája. Menni a sorozat a) -edik b) 0-adik c) 96-odik tagja? w 408 Eg számtani sorozat elsõ tagja, differenciája Hánadik tagja a sorozatnak az. a) 849 b) 0 c) 000? w 4084 Eg számtani sorozat negvenedik tagja -tel kevesebb, mint a tizenötödik tag. Menni a sorozat differenciája? w 408 Kvarc Laci éve gûjti az értékes ásvánokat. Az elsõ évben 7 darabot gûjtött, majd a következõ évek során minden évben 9-cel többet, mint az elõzõ évben. a) Hán darab ásvánt gûjtött Laci a. évben? b) Menni ásvánt gûjtött a év alatt összesen? 9

20 . ÉVFOLYAM w 4086 A Menõ Manók Társasága hétnapos galogtúrát szervezett. A túra elsõ napján km-t galogoltak, minden további napon pedig km-rel többet, mint az elõzõ napon. a) Hán kilométer tettek meg a hatodik napon? b) Hán kilométer volt a túra teljes hossza? w 4087 Frédi részt vett a kõemelõ-bajnokságon. Az elsõ edzésen eg 7 kg-os követ emelt fel. Az edzések során napról napra kg-mal sikerül emelnie a felemelt legnagobb kõ tömegét. Az edzések 0 napig tartottak. A kõemelõ-bajnokságon minden versenzõ ötször próbálkozhat, az ner, aki a legnehezebb követ felemeli. Frédi elsõ kísérletére 0 kg-mal kevesebbet emelt, mint a versent megelõzõ utolsó edzésen, de minden további emeléskor 4 kg-mal tudott többet emelni, mint az elõzõ emeléskor. A versent Frédi világcsúccsal nerte. Mekkora tömegû kõ felemelése jelentette a világcsúcsot? w 4088 Eg számtani sorozat harmadik tagja, hetedik tagja pedig. a) Menni a sorozat elsõ eleme és különbsége? b) Menni a sorozat elsõ negven elemének összege? w 4089 Eg számtani sorozat hatodik tagja 0, tizenegedik tagja 0. a) Számítsuk ki a sorozat elsõ tagját és differenciáját. b) Menni a sorozat elsõ 0 tagjának összege? w 4090 Van-e olan számtani sorozat, amelnek elsõ három eleme: + 8? w 409 Az a n számtani sorozat esetén ismert a következõ tagok összege: a + a 8 = 4 és a + a = 46. a) Menni a sorozat elsõ eleme és differenciája? b) Tagja-e a sorozatnak a 0? w 409 Eg számtani sorozat elsõ és negedik tagjának összege 8, a hetedik és harmadik tag különbsége 6. a) Menni a 40. és 7. tag különbsége? b) Menni a sorozat. tagja? c) Menni a sorozat elsõ 60 tagjának összege? w 409 Eg számtani sorozat tagjaira teljesül, hog a a 0 = és a + a 8 = 0. Adjuk meg a sorozat elsõ tagját és differenciáját. w 4094 Eg számtani sorozat elsõ három tagjának összege 9, a harmadik, negedik és ötödik tag összege pedig 9. Melik ez a sorozat? w 409 Eg számtani sorozat elsõ nolc tagjának összege 4, a hatodik, hetedik, nolcadik és kilencedik tag összege pedig. Határozzuk meg a sorozatot. w 4096 Eg számtani sorozat elsõ nég tagjának összege harmada a következõ nég tag összegének. Határozzuk meg az elsõ tíz tag és a következõ tíz tag aránát. w 4097 Eg számtani sorozat ötödik tagja 0. Az elsõ öt tag összege ötöde a következõ öt tag összegének. Menni a sorozat differenciája? 0

21 SZMSOROZATOK w 4098 a) A Long Street páratlan oldalán egtõl 0-ig vannak számozva a házak. Eg napon a postás az utca páratlan oldalán végighaladva elõször a -as számú, majd minden negedik házhoz kézbesített levelet. Hán házhoz hozott levelet ezen a napon a postás az utca páratlan oldalán? b) A Long Street páros oldalán kettõtõl 00-ig vannak számozva a házak. Eg napon a postás az utca páros oldalán végighaladva elõször a 6-os számú, majd minden ötödik házhoz kézbesített levelet. Hán házhoz hozott levelet ezen a napon a postás az utca páros oldalán? w 4099 Az a n számtani sorozatból ismert tagok: a =8ésa k = 99. Menni a k értéke, ha az elsõ k tag összege 68? w 400 A 7-tõl kezdve a pozitív egész számok sorában összeadtunk minden tizedik számot. Hán darab számot adtunk össze, ha a kapott összeg 47? w 40 Eg számtani sorozat differenciája. Az elsõ n elem összege 00, az elsõ n + 0 elem összege pedig 689. Menni a sorozat elsõ tagjának és az n-nek az értéke? w 40 Eg diáknak 8 oldalas kötelezõ olvasmánt kell elolvasnia. Az elsõ napon oldalt olvas és úg dönt, hog minden nap oldallal többet olvas el, mint az elõzõ napon. a) Hán nap alatt tudja befejezni a kötelezõ olvasmán elolvasását? b) Hán oldal marad az utolsó napra? w 40 Eg nomdában 0 papírlap közül néhánat 0 részre vágtak, majd az íg kapott részek közül néhánat ismét 0 részre vágtak szét és íg tovább. Eg ilen munkaszakasz után valaki azt mondta: Most 00 papírdarabunk van. Jól számolt-e az illetõ? w 404 Eg számtani sorozat elsõ eleme, a sorozatra jellemzõ különbség pedig 7. Hán olan tagja van a sorozatnak, amel ötjegû szám? w 40 Eg derékszögû háromszög oldalainak mérõszáma eg számtani sorozat három szomszédos eleme. Mekkorák a háromszög szögei? w 406 Eg háromszög oldalhosszai eg számtani sorozat szomszédos elemei. A háromszög kerülete 0 cm. A legrövidebb és leghosszabb oldal szorzata 4 cm. Adjuk meg a háromszög területét eg tizedesjegre kerekítve. w 407 Eg konve sokszög belsõ szögeinek mérõszámai eg számtani sorozat egmást követõ elemei. Hán oldalú a sokszög, ha a legkisebb szög 4º0′, a legnagobb szög pedig 7º0′? w 408 Az elsõ 0 természetes szám összegében akárhánnak az elõjelét megváltoztatjuk. El lehet-e érni, hog a kapott összeg 00 legen? w 409 Adjunk meg különbözõ pozitív egész számokból álló számtani sorozatot, amelnek elemei között nincs négzetszám. w 40 Eg számtani sorozat elsõ három elemérõl a következõket tudjuk: az elsõ tag kétjegû szám, a második tag az elsõ jegeinek felcserélésével jön létre, a harmadik pedig az elsõbõl úg kapható, hog a jegei közé eg 0-t írunk. Határozzuk meg a számokat.

22 . ÉVFOLYAM w 4 Az a n számtani sorozatról tudjuk, hog a k = m és a m = k (k ¹ m). Adjuk meg az a n sorozatot k, m és n függvéneként. w 4 Az a n számtani sorozat differenciája d. Elsõ elemének összege legen b, a következõ öt elem összege b, a következõ öt elem összege b, és íg tovább. Igazoljuk, hog b n számtani sorozat. Adjuk meg a -gel és d-vel a b n sorozat elsõ tagját és differenciáját. Mértani sorozatok w 4 Eg mértani sorozat elsõ tagja, hánadosa q =. 8 Számítsuk ki a sorozat elsõ hat tagját. w 44 Eg mértani sorozat negedik tagja, hánadosa. Menni a sorozat elsõ, hatodik, illetve kilencedik tagja? w 4 Eg mértani sorozat elsõ tagja 0, a negedik tag,. Menni a sorozat hánadosa? Adjuk meg a tizedik elemet és az elsõ 0 tag összegét. w 46 Eg mértani sorozat elsõ tagja, az ötödik tag 48. Adjuk meg a sorozat hánadosát, számítsuk ki a nolcadik elemét, és az elsõ nolc tag összegét. w 47 Eg mértani sorozat hatodik eleme 8, a nolcadik eleme pedig 7. Menni a sorozat elsõ tagja? Számítsuk ki az elsõ hat tag összegét. w 48 Eg mértani sorozat ötödik és nolcadik tagja is. Menni az elsõ kilenc tag összege? w 49 Eg mértani sorozat hetedik tagja 7, a tizedik tagja pedig 7. Menni az elsõ 00 tag összege? w 40 Az, a 8 és a számokhoz uganazt a valós számot adva eg mértani sorozat három szomszédos elemét kapjuk. Menni a mértani sorozat hánadosa? w 4 Eg lián hossza minden nap az elõzõ napi hosszánál %-kal több. Az elsõ napon méteres volt. Hánadik napon éri el a méteres hosszúságot? w 4 Eg mértani sorozat elsõ eleme, a hánadosa. Hán ötjegû tagja van a sorozatnak? w 4 Eg mértani sorozat harmadik és negedik tagjának összege 80, az ötödik és harmadik tag különbsége 40. Melik ez a sorozat? w 44 Eg-eg mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következõ összefüggések. Számítsuk ki az eges sorozatok elsõ tagját és hánadosát. a+ a = a+ a + a= 6 a+ a + a= 7 a+ a = 60 a) b) c) d) a a a a a6 + a7=. = 6 + a4 = 60 = w 4 Eg mértani sorozat elsõ nég tagjának összege 468, az ötödik, hatodik, hetedik és nolcadik tag összege Melik ez a sorozat? w 46 Igaz-e, hog a következõ számok eg mértani sorozat egmást követõ tagjai: ? w 47 Eg számtani sorozat negedik tagja 0. A sorozat második, harmadik és hatodik eleme eg mértani sorozat három szomszédos tagja. Menni a számtani sorozat elsõ tagja, a sorozatra jellemzõ differencia és a mértani sorozat hánadosa?

23 FÜGGVÉNYEK ÖSSZEFOGLALS FÜGGVÉNYEK ÖSSZEFOGLALS A függvén fogalma, grafikonja, egszerû tulajdonságai w 78 Rajzoljuk meg a következõ lineáris függvének grafikonjait: a) b) + c) d) 7 6 e) f). w 79 Válasszuk ki az elõzõ feladat lineáris függvénei közül a) az egenes aránosság b) konstans c) egmással párhuzamos d) nulladfokú függvéneket. w 80 Írjuk fel annak a lineáris függvénnek a hozzárendelési szabálát, melnek képe illeszkedik az adott két pontra: a) A( ) és B( ) b) A(0 ) és B( ) c) A( ) és B(7 ) d) A(0 0) és B( ). Melik függvén e) konstans f) egenes aránosság g) növekvõ h) szigorúan monoton csökkenõ? w 8 Adjuk meg az f lineáris függvén hozzárendelési szabálát, ha a) m = és illeszkedik a P( 7) pontra b) m = és illeszkedik a P( 0) pontra 4 c) m = 0, és illeszkedik a P(8 ) pontra d) m = 0 és illeszkedik a P(7 ) pontra. w 8 brázoljuk a [ 6]-on a következõ lineáris függvéneket, és jellemezzük értékkészlet, zérushel és monotonitás szerint. a) + b) c) d). w 8 Az alábbi ábrán eg f lineáris függvén grafikonjának részlete látható. a) Írjuk fel a függvén hozzárendelési szabálát. b) Határozzuk meg a következõ értéket: f( ) + f( 6). f() 6 c) Számoljuk ki a függvén zérushelét. f

24 . ÉVFOLYAM w 84 brázoljuk a következõ függvént: 4 6 f () =, ÎR. Határozzuk meg a függvén tengelmetszeteit. w 8 Tekintsük az alábbi függvéneket: f () = és g () = +. A következõ pontok közül melek illeszkednek f, valamint g függvén grafikonjára? A( ), B(4 0), C(6 ), D( ), E(0 ), F( ). w 86 brázoljuk a következõ függvéneket a ] 4 [-on: f () = Adjuk meg az eges függvéneknél, hol pozitívak az adott intervallumon. w 87 Határozzuk meg a valós számok halmazának azt a legbõvebb részhalmazát, amelen az alábbi kifejezések értelmezhetõek: a) b). 4 brázoljuk az ezen a halmazon értelmezett c) d) 4 4 6, g ( ) = és h () = + 4 függvént a [ [-on. llapítsuk meg a függvének értékkészletét w 88 Rajzoljuk meg a következõ függvének grafikonjait:, ha ³, +, ha 0, f () = g () = +, ha 0. w 89 brázoljuk a következõ függvéneket a valós számok halmazán: a) ½½ b) ½ ½+ c) ½ ½ d) ½ ½+ e) ½ + ½ f) ½ ½. w 90 Az alábbi ábrán eg f abszolútérték-függvén grafikonja látható a [ [-on ábrázolva. a) Adjuk meg a függvén hozzárendelési szabálát az adott intervallumon. b) Hol vesz fel a függvén negatív értékeket? c) Határozzuk meg, mel részeken növekszik a függvén. d) Hán zérushele van a függvénnek az adott intervallumon? Adjuk meg ezek helét is. 4 f 8

26 . ÉVFOLYAM b) () ½ ½ () ½ ½ () ½ ½+ (4) ½ +½. g c) () () + + () (4) +. h w 98 Adjunk meg olan értékpárt, amel eleget tesz a hozzárendelésnek: a) f: Z N, b) g: N N, ( ¹ ) c) h: Z N, + d) i: N Z, ( ³ ). 7 w 99 Adjuk meg a következõ függvének grafikonjairól kijelölt pontok hiánzó koordinátáit, és rajzoljuk meg a grafikonokat. a) b) c) d) f () = 4 Ê ˆ Ê 6 ˆ, A, B, C 0 ( ) g () = ( ) 7 Ê ˆ Ê 9ˆ, A, B, C 4 4 ( ) Ê ˆ h () =½ ½+, A, B, C ( ) ( ) Ê ˆ i () =, A, B7, C 4. ( ) ( ) w 00 A következõ függvéneket ábrázoltuk az ábrán: a), Î[ ] b), Î[ 4] c), Î[ ] d) Î[ ]., Az ábrán ezeket íg neveztük el: f, g, h, i. llapítsuk meg, melik név melik függvénhez tartozik. f i g h 4 0

27 A FELADATOK MEGOLDSAI A kötet feladatainak megoldásai letölthetõk pdf-ben a oldalról. A letölthetõ állománok megegeznek a feladatgûjtemén korábbi kiadásaihoz mellékelt CD-n lévõ tartalommal. A megoldások megtekintéséhez az Acrobat Reader program használata szükséges. A program ingenesen letölthetõ az internetrõl. (Pl. MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM Az összes. évfolamos feladat megoldását az alábbi állomán tartalmazza: _00_89 evfolam.pdf Az eges fejezetek külön-külön (kisebb méretû) állománban is elérhetõk (a feladatsorszámra és a fejezetre utaló elnevezéssel): 00-60_kombinatorika-grafok.pdf 6-4_hatvan-gok-logaritmus.pdf 4-49_trigonometria.pdf 460-4_fuggvenek.pdf -776_koordinata-geometria.pdf _valoszinuseg-szamitas-statisztika.pdf MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM Az összes. évfolamos feladat és a rendszerezõ összefoglalás megoldásait az alábbi állomán tartalmazza: _400_60 evfolam.pdf Az eges fejezetek külön-külön (kisebb méretû) állománban is elérhetõk (a feladatsorszámra és a fejezetre utaló elnevezéssel): _logika-bizonitasi-modszerek.pdf _szamsorozatok.pdf 466-4_tergeometria.pdf 4-477_valoszinuseg-szamitas-statisztika.pdf 00-60_rendszerezo-osszefoglalas.pdf _kozepszintu-feladatsorok.pdf _emelt-szintu-feladatsorok.pdf EGY KONKRÉT FELADAT MEGOLDSNAK KERESÉSE A pdf állománokban a keresõ funkciót (Ctrl+f) használva az +feladatsorszám begépelésével közvetlenül az adott sorszámú feladat megoldásához ugorhatunk (pl. az 48 szöveg keresésével a 48-as feladat megoldásához). 87