Gazdasági ​matematika 0 csillagozás

Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2006

Gazdasági matematika könyv – Természettudomány

Mi befolyásolhatja a hirdetések sorrendjét a listaoldalon?

A hirdetések sorrendjét a listaoldalak tetején található rendezési lehetőségek közül választhatod ki, azonban bármilyen rendezési módot választasz ki, a lista elején mindig azok a szponzorált hirdetések jelennek meg, amelyek rendelkeznek a Listázások elejére vagy a Maximum csomag termékkiemeléssel. Ezeket a lista elején található Kiemelt ajánlatok sáv jelöli.

Termékkiemeléseinket termékfeltöltés során, a Hirdetés kiemelése oldalon tudod megrendelni, de természetesen arra is lehetőség van, hogy már futó hirdetéseidhez add hozzá azokat.

A kiemelésekről ITT, a rendezési lehetőségekről ITT olvashatsz részletesebben.

Gazdasági ​matematika 0 csillagozás

A tankönyv nagyrészt a Felsőfokú Szakképzés egy félévének gazdasági matematika anyagát tartalmazza. Sokéves tapasztalat, hogy a középiskolát – különösen középszinten – végzetteknél a függvényekkel kapcsolatos ismeretek elég felszínesek. Ugyanakkor a szakmai tárgyaknál is fontos az ilyen szemléletben való gondolkodás. Nem beszélve arról, hogy annak, aki később olyan síkon kíván felsőfokú tanulmányokat folytatni, ahol matematikaoktatás is van, biztosan szüksége lesz megfelelően mély függvényfogalmakra. Ezért ezt a 2. fejezetben az alapoktól indítva részletesen tárgyaljuk. Valójában ezt a célt szolgálják a további 3. és 5-7. fejezetek is.

Ma már nemcsak a gazdasági szakembernek, hanem az átlagembernek is szüksége van bizonyos pénzügyi alapismeretekre. Ezek elsajátítására nyújt remek lehetőséget a 4. fejezet. Az adatfeldolgozás, elemzés során gyakran fordulnak elő táblázatok, ún. mátrixok. Az ezekkel kapcsolatos alapismereteket tartalmazza a 8. fejezet.

Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2006

Gazdasági matematika online tankönyv

Gazdasági matematika online tankönyv. EVML e-könyvek . Ha A 2 B 0 0, akkor A és B idegen (diszjunkt) halmazok. 3. A tulajdonságok viszonyíthatók az .

Gazdasági matematika online tankönyv – kapcsolódó dokumentumok

Gazdasági matematika online tankönyv. EVML e-könyvek . Ha A 2 B 0 0, akkor A és B idegen (diszjunkt) halmazok. 3. A tulajdonságok viszonyíthatók az .

történelem. Műszaki MK-VD-0038. Balla Á.:Történelem 8. 1285 fizika. Nemzeti NT-00835/1. Dr. Zátonyi: Fizika 8. 1355 kémia. Mozaik. MS-2612. Kémia 8.

Háromszög középvonalai és súlyvonalai . Háromszög területének kiszámítása, ha adott két oldal és az általuk közbezárt szög. Szögftiggvények kiterjesztése .

5 A turistautak hosszát mutatja a tábla. Rendezd az útvonalakat növekvő sorrendbe . Egy horogelőke megkötéséhez 25 cm-es damil kell, ha ügye-.

Page 1. Érthető matematika tankönyv, 9. o, 174. oldal:

OOP/objektumorientált programozási módszerek a C++, . A feladat megoldása előtt szükséges tudni, hogy mely érték felel meg a bemeneti adatok.

a) Közel derékszögű (a Pitagorasz-tétel megfordítása segítségével). . a) A Thalész-tétel és az egyenlő szárú derékszögű háromszög tulajdonságainak.

A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amely ingyenesen letölthető . 5. Exponenciális egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek .

Elég az f(x) = c, x, ex, sin x függvények folytonosságát igazolni (ezekb®l az inverz függvény . [konvex/konkáv függvények jellemzése].

(4. feladatlap/5) Egy közlekedés gazdaságossági vizsgálat a. T φ 0,4K! & összefüggést használja, ahol K az útépítés költsége, T pedig a forgalom nagyságát.

26 янв. 2020 г. . ért. kr. EA GY L. Gazdasági matematika 1. gyj 5. 2. 2. 0. Informatika gyj 2. 1. 1. 0. Közgazdaságtan 1. v. 5. 1. 2. 0. Vállalatgazdaságtan.

A gazdasági és hétköznapi életből vett szélsőérték problémák megoldása. • Két- és többváltozós függvények fogalma. • Kétváltozós függvények határértéke .

Irodalom tankönyv. • 3 db vonalas (normál méretű) füzet . Toll, ceruza, színes ceruza (6 darabos), radír. • Vonalzó, körző. • 10 db A/4-es fehér lap.

A tárgy keretében a hallgatók a matematikai analízis alapvető . Kozma László: Matematika alapok (közgazdászoknak); Egyetemi kiadó, Debrecen 2004.

Denkinger Géza-Gyurkó Lajos: Analízis Gyakorlatok, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest. 2003. Denkinger Géza: Valószínűségszámítási gyakorlatok, .

A tanuló a támogatásként kapott ingyenes tankönyvet (tartós tankönyvet, oktatási . kártérítés módjáról és mértékéről jogszabály nem rendelkezik, .

változó várható értéke és szórása. Matematikai statisztika alapjai. Kétváltozós valós függvények fogalma, fontosabb tulajdonságai, parciális deriváltja.

rögzítése, kódolás technikájának elsajátítása, területszámítás lefedéssel . Feladat 4. osztály: A játéktáblán a korongok által határolt rész egy tó a .

A gazdasági világválság hatása egyes jogintézményekre. Magyarországon és az. Európai Unióban. (Interdiszciplináris és jog-összehasonlító elemzés).

A gazdaság makroökonómiai fogalma a legtágabb kategória, ma- gában foglalja a gazdasági rendszert is, amelynek két legfontosabb ideál-.

Dawes-terv. • Amerika nagy összegű kölcsönt adott a németeknek az országuk talpra állításához. • a németek ebből a kölcsönből fizették a jóvátételeket az .

1929-1933. I. Gazdasági fellendülés a háború után. 1.) Az USA gazdasági megerősödése. – az 1. világháború hadianyag eladásaiból nagy haszonra tett szert →.

Absztrakct: Az üzleti élet, a gazdasági társaságok, vállalkozások élete, viszonyrendszere természetszerűen magában hordozza a konfliktus lehetőségét.

Vác, Szent Miklós tér 1-3. Helyben fogyasztás: Váci Bartók- Pikéthy Zeneművészeti. Szakgimnázium és Zeneiskola AMI. VSZC I. Géza Király Közgazdasági.

Megnyílik az út Horvátország számára az ERM II-be való belépéshez . Azt is megállapítja, hogy az EU-támogatások növelése szintén kevesebb.

I. A gazdasági válság hatása. A gazdaság helyreállítása két pilléren nyugodott: + rendkívül kedvező világpiaci agrárárak. + nagyarányú hitelek.

Amióta Horvátország az EU tagja, 28,3 milliárd . regionális fejlesztési és EU alapokért felelős miniszter rámutatott, hogy a projektek 103,5%-kára.

rendelkezéseket havonta meg kell küldeni Magyar Államkincstár területileg illetékes szervéhez. A Gazdálkodónál kifizetett béreket szintén a Kincstár KIRA .

Hátrább az agarakkal! Csak ne olyan hevesen!), míg egy másikhoz egy bizonyos kérdésre adott válaszokat soroljuk, amelyek közeli rokonságban állnak a .

Véleményezésre megkapta: Matkovich Ilona polgármester . A Vác Város Önkormányzat Gazdasági Hivatala Szervezeti Működési Szabályzatának.

4. környezetismeret magyar nyelv testnevelés magyar nyelv technika . 16.00-16.45 sakk szakkör. A 4.b osztály órarendje is ezen a lapon található! 4.a. 4.b.

Arthur király és 30 lovagja letelepszik a kerekasztal köré. Hányféle sorrend alakulhat ki? (A forgatással egymásba vihet® ülésrendeket nem különböztetjük .

növekedés, az úgynevezett japán gazdasági csoda, majd a növekedési ütem nagyon . A mezőgazdaság részaránya mindössze 0,3 százalékot tett ki, a bányászaté.

Matematika vizsga – 9. osztály. Minta feladatsor. A feladatok elkészítésére 90 perc áll rendelkezésre. Számológép, körző, vonalzó, függvénytábla használata .

1.1. definíció: Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, . A mínusz végtelenben vett határérték definícióját könnyen megadhatjuk a 4.1. definíció.

21 дек. 2017 г. . Az összeolvadás és a beolvadás csak nem független vállalkozások által történő . a tranzakció sorozat egyes lépései önmagukban nem, .

helyébe lépő – közleménybe beépítésre kerültek a 2019. január 1-jét . gyakorlására szervezhető „alkalmi koalíciók” alakítása a vállalkozásra irányadó és.

AP-010121 Az én ábécém 1. AP-010122 Első olvasókönyvem 1. . AP-020123 Hétszínvarázs olvasókönyv 2. AP-020124 Hétszínvarázs munkafüzet 2.

A geometriai modelle- zéshez kapcsolódó ismeretek segítik továbbá a felhasználói kézikönyvek, segédletek megérté- sét, csökkentik a modellezés során elkövetett .

maradt katolikus s protestáns tankönyv: ezek használati aránya a nagy fenntartók . kezők: a tankönyvengedélyeztetés rendjének változásai; a tankönyvek .

Gazdasági Matematika 1

Ezt a nagyon laza Gazdasági Matematika 1 kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.

Ez nekem is kell

Halmazok, rendezett párok, leképezések

Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

Két halmaz szimmetrikus differenciája a halmazok kétféle különbségének uniója.

Függvények

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

Globális és lokális maximumok és minimumok.

Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Az inverzfüggvény

A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

Pénzügyi számítások

Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

A kamatos kamat számításának képlete.

Küszöbindex és monotonitás

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

Sorozatok

Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.

Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.

Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.

Exponenciális kifejezések határértéke.

Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.

A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe

Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.

Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrőrsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrőrsre..

Egy sorozat limesz inferiorja a torlódási pontjainak infinuma. A limesz szuperiorja a torlódási pontjainak szuprémuma.

Egy sorozatnak torlódási pontja az A szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.

Függvények határértéke

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.

Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.

Deriválás

Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Differenciálhatóság és az érintő egyenlete

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom

A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.

Néhány exponenciális, logaritmusos és végtelenhez, nullához tartó nevezetes sorozatok határértékei.

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi – tényleg.

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi – tényleg.

Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.

Teljes függvényvizsgálat

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.

Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.

A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.

Határozatlan integrálás, primitív függvény

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan< \frac > $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin$ és $\cos$ is csak első fokon szerepel.

A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.

Határozott integrálás

A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.

Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.

Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.

Többváltozós függvények

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.

másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.

A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.

Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.

A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.

Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.

Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.

A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.

Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.

Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.

Gazdasági matematika online tankönyv

2 Függvény fogalmának áttekintése A függvény fogalma már a középiskolai oktatásban is jelen van, de a fogalom pontos ismerete helyett az egyetemi, f½oiskolai tanulmányaik megkezdésekor a hallgatók a függvényt a valós függvény fogalmával azonosítják, s½ot sokan annak is csak a gra kus képével, azon belül az els½o és másodfokú függvényekr½ol és esetleg az alapvet½o trigonometriai függvényekr½ol tudnak. A függvény fogalmának az áttekintése és az alapvet½o fogalmak tisztázása az egyetemeken azért is fontos, mert azt a hallgatók nagyon sokféle formában és sokszor eltér½o megközelítésben látják viszont kés½obbi tanulmányaik során. Alapvet½o fogalmak Halmazok, elemek, halmazok megadása Idézzük fel a halmaz, az elem és a hozzátartozás fogalmakat, amelyek alapfogalmak, nem meghatározással, hanem példákon keresztül, induktív úton ismerhet½ok meg. Az alapfogalmak a tanulás során intuitív fogalom-képzetek formájában jelennek meg, és nagyon fontos a megfelel½o számú példa, amelyek lehet½oleg minél szélesebb körben szemléltetik a fogalom terjedelmét. A halmazok és elemeik közti összefüggést a hozzátartozás reláció fejezi ki, egy adott e elemre és egy adott H halmazra pontosan az egyik igaz a következ½o két állítás közül: (a) e H; ekkor azt mondjuk, hogy az e elem hozzátartozik a H halmazhoz, rövidebben e eleme H-nak (b) e = H; ekkor azt mondjuk, hogy az e elem nem tartozik a H halmazhoz, röviden e nem eleme H-nak A halmazok megadhatók: – tulajdonságaik leírásával, pl.: Legyen D a tízes számrendszer számjegyeinek halmaza. Ugyanezt szokás még D = fxjx a tízes számrendszer számjegyeg alakban írni. – elemeik felsorolásával általában a kevés elemet tartalmazó véges halmazok adhatók meg, pl. D = f0; 1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g, de ez utóbbi lehet½oséget néhány egyszer½u végtelen halmaz megadására is szokás alkalmazni, például. N = f1; ; 3; 4; 5; . g ; Z = f. ; 4; 3; ; 1; 0; 1; ; 3; 4; . g Néhány halmaznak külön neve is van, az el½obbi N a természetes számok halmaza, Z az egész számok halmaza. Külön gyelmet érdemel az üres halmaz, jele? vagy f g, a számítástudományban a [ ] is ezt jelöli. A további fogalmak és a legfontosabb halmazm½uveletek már deduktív úton is megadhatók, az addig kialakított intuitív fogalmakra támaszkodva. Részhalmaz Meghatározás. Azt mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza B halmaznak, ha A minden eleme egyben B-nek is eleme. Jelölése A B. Érdekes megjegyezni, hogy az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, és egy halmaz önmagának is részhalmaza, vagyis bármely A halmazra igaz, hogy 1

3 ? A; valamint A A: Ezek a nem valódi részhalmazok, a többi (ha van ilyen) valódi részhalmaz. Halmazok metszete, egyesítése és különbsége Az egyszer½uség kedvéért ezeket a m½uveleteket adott A és B halmazok esetén adjuk meg a következ½ok szerint: – az A és B halmazok metszetét A \ B jelöli, A \ B = fxjx A és x Bg ; – az A és B halmazok egyesítését A[B jelöli, A[B = fxjx A vagy x Bg ; – az A és B halmazok különbségét AnB jelöli, AnB = fxjx A és x = Bg : Példa. Adottak az A ésb halmazok A = f; 3; 5g; B = f1; 3; 7g: Ekkor A \ B = f3g ; A [ B = f; 3; 5; 7g ; és A n B = f; 5g ; :B n A = f1; 7g Megjegyzések. 1. Ezeknek a fogalmaknak a rögzítését, elmélyítését szolgálhatják a halmazm½uveletek tulajdonságainak tanulmányozása: A \ B = B \ A; A [ B = B [ A; de A n B 6= B n A; A \ A = A; A [ A = A; de A n A =?; A \? =?; A [? = A; A n? = A;? n A =?; A \ (B \ C) = (A \ B) \ C; A [ (B [ C) = (A [ B) [ C; A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) ; A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) :. Ez a tanulmányozás új fogalmak bevezetését is megkönnyíti: – Ha A \ B =?; akkor A és B idegen (diszjunkt) halmazok. 3. A tulajdonságok viszonyíthatók az el½oz½oekben megadott részhalmaz fogalomhoz: – Ha A B; akkor A \ B = A és A [ B = B; de ez a három állítás tulajdonképpen egyenérték½u egymással, azaz bármelyikb½ol következik a másik kett½o. Descartes szorzat Fogalmak. Bizonyos esetekben használjuk a rendezett elempár fogalmát, az a és b elemek rendezett elempárjának a jele (a; b). Jegyezzük meg, hogy (a; b) 6= (b; a) kivéve ha a = b. Hasonlóan vezethet½o be a rendezett elem-hármas, és a rendezett elem n-es fogalma, az a; b; c elemek rendezett elem-hármasát (a; b; c), az a i (i = 1; ; . ; n) elemek rendezett elem n-esét (a 1 ; a ; . ; a n ) jelöli.

4 Meghatározás. Az A és B halmazok Descartes szorzata az A B; ahol A B = f(a; b) j a A; b Bg : Hasonlóan három, vagy több halmaz Descartes szorzata illetve A B C = f(a; b; c)ja A; b B; c Cg, A 1 A . A n = f(a 1 ; a ; . ; a n )ja i A i ; i = 1; ; . ; ng : Megjegyzés. Ha az adott halmazok nem különböznek, akkor használatosak a következ½o jelölések: A A = A ; Példa. A A A = A 3 ; valamint A A . A n Adottak az A, B és C halmazok = A n : ekkor A = f; 3; 5g; B = f1; 7g; C = f0; 4g; A B = f(; 1); (; 7); (3; 1); (3; 7); (5; 1); (5; 7)g ; B A = f(1; ); (7; ); (1; 3); (7; 3); (1; 5); (7; 5)g ; B = f(1; 1); (1; 7); (7; 1); (7; 7)g ; A B C = f(; 1; 0); (; 7; 0); (3; 1; 0); (3; 7; 0); (5; 1; 0); (5; 7; 0); (; 1; 4); (; 7; 4); (3; 1; 4); (3; 7; 4); (5; 1; 4); (5; 7; 4)g Nyilván A B 6= B A A sík pontjai például az RR = R Descartes-szorzat elemei R R = f(x; y) j x R; y Rg és a középiskolában tanult elemi függvények gra kus képe mind az R sík részhalmazai. Az el½obbi példában látott AB és BA Descartes szorzatok is ábrázolhatók a síkban. Ha a szóban forgó halmazok mind egy úgynevezett teljes halmaz részei (Pl.: a valós számok R halmazának részei, vagy az R sík részei), akkor értelmezett a kiegészítõ (komplementer) halmaz. C T A = T n A = A Pl.: T = f0; 1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g ; A = f1; 3; 5; 7; 9g ; 3

5 C T A = A = f0; ; 4; 6; 8g Ezekre teljesülnek a de Morgan szabályok: A [ B = A \ B; és A \ B = A [ B SZÁMHALMAZOK: A leggyakrabban elõforduló számhalmazok: N = f0; 1; ; 3; . g természetes számok Z = f. ; 3; ; 1; 0; 1; ; 3; . g egész számok Q = f m n j m Z; n Z; n 6= 0g törtek (racionális számok) R = fx j x abrazolhato szamtengelyeng valós számok (számegyenes egy irányított egyenes kezd½oponttal és egységgel, és részhalmazai pl. a páros számok halmaza, vagy az irracionális számok halmaza). Nyilván, mint azt a = N; 3 = Z; p = Q összefüggések is mutatják, ezek a számhalmazok egyre bõvebbek, azaz: N Z Q R Használjuk még a következ½o jelöléseket is: N = N n f0g ; Z = Z n f0g ; Q = Q n f0g ; R = R n f0g A valós számok rendezése: A valós számok R halmaza teljesen rendezett a reláció által, ami a számegyenes irányításával adható meg. Az xy azt jelenti, hogy y nem elõzi meg x-et a számtengely növekvõ irányában. A rendezés tulajdonságai: x x (re exív) ha xy és yz, akkor xz (tranzitív) ha xy és yx, akkor x=y (antiszimmetrikus) bármely x és y valós számra vagy xy vagy yx (a reláció teljes) A rendezés nem teljes az x 0g vagy R = ( 1; 0), de szokás használni a Q + ; ill. Q jelöléseket és a pozitív ill. negatív törtek (racionális számok) esetén. 4

7 Figyeljük meg, hogy pl. (Q,+,) is kommutatív test, de pl. (Z,+,) nem, mivel (Z, ) nem kommutatív csoport, ugyanis nem minden z Z egésznek van fordítottja a Z-ben.( fordítottja 1 = Z). Így (Z, ) csak kommutatív, egységelemes félcsoport, és így (Z, +, ) kommutatív, egységelemes gyûrû. Ezek a leggyakrabban elõforduló struktúrák. A valós számok két alapmûveletének hasonlóságát fokozza az ismételt mûveletekre használt jelölés, bár ez eléggé eltérõ: a + a + a + . + a = n a (együttható) a a a . a = a n (hatványkitevõ) és végig gondolhatjuk ezek hasonló tulajdonságait, pl.: n a + m a = (n + m) a a n a m = a n+m n a m a = (n m) a a n a m = a n m ezeknek az ellenõrzését az olvasó is elvégezheti. Ennek a hasonlóságnak az oka az az izomor a, ami az (R, +) és (R +, ) között felfedezhetõ. Izomor a áll fenn két algebrai struktúra között, ha olyan nagyfokú a hasonlóság, hogy az egyik struktúra bármilyen mûveletsora modellezhetõ a másikkal. Ennek egy nagyon szép régi példája a logarléc: – itt az összeadás mûveleteivel a szorzást modellezzük. A logarléc sok évtizeden keresztül a mérnökök egyik legfontosabb eszköze volt a gyors számítások elvégzésére, ma már a zsebszámológépek helyettesítik és a logarléc csak mint tudománytörténeti eszköz maradt fenn. A logarléc, a logaritmus skála a 10-es alapú (log 10 x=lgx) hatványkitevõt mutatja és pl 4=8 szorzás helyett a -nek és 4-nek megfelelõ hatványkitevõk összegénél a 8 hatványkitevõjére mutat, azaz a leolvasáshoz és 4-es összege helyett és 4 szorzata, 8 áll. Így bátran tekinthetjük a logarlécet az analóg számítógépek õsének. Természetesen a logarléc használata nem csak a szorzás és osztás, hanem a hatványozás, gyökvonás és sok más számítás elvégzését is lehetõvé teszi, ezekre meglehetõsen gyors és a logarléc méretétõl függõen elég pontos közelítõ számításokat tesz lehetõvé (minél nagyobb méretû, annál pontosabb a leolvasás). Hatványozás, gyökvonás, logaritmus A középiskolás anyagban fontos helyet foglalnak el a hatványozás és gyökvonás tulajdonságai, és ezeket az elõbb említett izomor a révén könnyen beláthatjuk. A továbbiakban a > 0 valós számot jelöl. m, n, k természetes számok a n a m = an m, a 0=1 ; s~ot 1 a n = a n A gyökvonás sem több, mint a tört kitevõ használata: np a = a 1 n np ak = a k n -re is érvényes. 6

8 Vegyük észre, hogy a kitevõk szintjén eggyel alacsonyabb rendû mûvelet tükrözi a hatványmennyiségek közti mûveletet. a m a n = a m+n, kitev½oben: összeadás (szorzat kitevõje a kitevõk összege) a m a n = a m n ; kitev½oben: kivonás (hányados kitev½oje a kitev½ok különbsége) (a m ) n = a mn ; kitev½oben: szorzás (hatvány hatványa a kitev½ok szorzata) np am = a m n, kitev½oben: osztás (gyökmennyiség hatványa a kitev½ok hányadosa) A törtkitev½ok használata megkönnyíti az irracionális kifejezések számolását: Pl.: q 6 3p a p q a 3 3 6p p a a = a a a a = = a 1 9 a 1 4 a 1 18 a 1 36 = a = a = a 4 9 = 9 p a 4 Ezt a logaritmus tulajdonságai is kifejezik. Idézzük fel a logaritmus meghatározását: Ha a x = A akkor log a A = x; a > 0; a 6= 1: Külön jele van a = 10 és a = e esetén log 10 A = lg A; log e A = ln e; az e számról kés½obb. Azt is mondhatnánk, hogy a log a A megmutatja azt az x hatványkitevõt, amelyre a x = A: Az el½obb megfogalmazott négy tulajdonság, a logaritmus jelöléssel: log a A B = log a A + log a B (szorzat kitevõje a kitevõk összege) A log a B = log a A log a B (hányados kitevõje a kitevõk különbsége) log a A n = n log a A (hatvány hatványa a kitevõ szorzata) log p n a A = log a A n (gyökmennyiség hatványa a kitevõk hányadosa) A logaritmus alapvetõ tulajdonságai még: x = log a a x és x = a log a x és log a A = log b A log a b Használhatjuk ezeket a tulajdonságokat például a logaritmus egyenletek megoldása során: log x + log 4 = 6 vagy log x = log 6 log log x + = 6 log x = log 4 log x = 4 x = 4 x = 4 x = 16 x = 16 x = 4 x = 4 de hasznosak lesznek a deriválás (logaritmikus deriválás) vagy határérték számításnál is, ahol f (x) g(x) helyett e ln f(x)g(x) e log e f(x)g(x) -et veszünk. 7

9 lg Más felhasználásúak pl az alábbi irracionális kifejezés kezelése: q 6 3p p r q a a a p! q 3p a = lg p r q 6 a a 3 + lg 3 6 a p a = = 1 6 lg 3p a + lg p a (lg a + lg p a) = = lg a + 3 lg a lg a lg a = lg a = lg a = lg a p = lg a 4 Feladatok 1. Adott A = f1; ; 3; 4; 5g, B = f; 4; 6; 8g, C = f1; 3; 5; 7; 9g. Számítsa ki: a.) A [ B; A [ C; A \ B; A \ C; B [ C; B \ C b.) (A [ B) \ C; (A \ C) [ (B \ C); (A \ B) [ C; (A [ C) \ (B [ C): Ezek között melyek egyenlõek és miért? c.) A n B; B n A; A n C; C n A; B n C; C n B d.) A B; B A; C C; ezeket ábrázolja a sík ponthalmazaiként.. Értelmezzük egy T teljes halmaz A; B; C;. halmazok karakterisztikus függvényét a következõ módon: 0; x = A f A : T! f0; 1g f A (x) = 1; x A Ennek a legfontosabb tulajdonsága az, hogy pontosan leírja az A halmaz elemeit. Ha A = B, akkor f A (x) = f B (x) minden x-re, tehát alkalmas halmazok egyenlõségének vizsgálatára. Igazolja, hogy a karaketrisztikus függvények rendelkeznek a következ½o tulajdonságokkal, amelyek jellemzik a halmazokkal végzett m½uveleteket: a. f A (x) f A (x) = f A (x) b. f A (x) = 1 f A (x) c. f A\B (x) = f A (x) f B (x) d. f A[B (x) = f A (x) + f B (x) f A (x) f B (x) e. f AnB (x) = f A (x) f A (x) f B (x) Alkalmazásként bebizonyítjuk a De Morgan azonosságokat: A [ B = A \ B; és A \ B = A [ B f A[B (x) = 1 f A[B (x) = 1 [f A (x) + f B (x) f A (x) f B (x)] = = 1 f A (x) f B (x)+f A (x)f B (x) = (1 f A (x)) (1 f B (x)) = f A\B (x) ; tehát: f A[B (x) = f A\B (x) f A\B (x) = 1 f A\B (x) = 1 f A (x) f B (x) ugyanakkor f A[B (x) = f A (x) + f B (x) f A (x) f B (x) = 8

10 = 1 f A (x) + 1 f B (x) (1 f A (x)) (1 f B (x)) = 1 f A (x) f B (x) ; vagyis: f A\B (x) = f A[B (x) : Mindkét esetben azt kaptuk, hogy az adott halmazok karakterisztikus függvényei egyenl½ok, tehát maguk a halmazok is egyenl½ok. 3. Igazolja (pl.: a. feladatot felhasználva) (A [ B) \ C = (A \ C) [ (B \ C) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C (A \ B) [ C = (A [ C) \ (B [ C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ B \ C = (A \ B) [ (A \ C) = A [ B [ A [ C A \ B \ C = A [ B [ C 4. Adja meg a következõ intervallumokat: [ ; 3] \ [ 1; 4] = [ ; 3] [ [ 1; 4] = ( ; 3) \ ( 1; 4) = ( ; 0) [ (0; 1) = ( 1; 0) \ [0; ) = ( 1; 1] \ ( 1; 8) = fx Rj jx j 1g = fx Rj jx + 4j < 4g = fx Rj jx + 1j >3g = fx Rj jx 3j 1g = fx Rj jx 1j g = 5. Írja fel az abszolut érték felhasználásával a következõ intervallumokat! ( ; ) = fx j x R; . g [ 1; 1] = [5; 7] = [ 4; 0) = (0:99; 1:01) = Relációk Meghatározás. Legyen A és B két halmaz. Jelölje ab azt, hogy az a A és b B elemek relációban vannak. Az A és B halmaz elemei között egy reláció akkor ismert, ha pontosan tudjuk, hogy melyek azok az elemek, amelyek relációban vannak, vagyis ha pontosan tudjuk, hogy melyek azok az összetartozó (a; b) elempárok, amelyekre ab. Ezeknek az elempároknak az S halmaza, az A B egy részhalmaza lesz a reláció tartóhalmaza, az S = f(a; b)ja A; b B; abg A B: Az A és B halmazok elemei közti, S tartóhalmaz által leírt, relációt röviden (A; B; S ), vagy (A; B; ) jelöli. 9

11 Függvények Meghatározás. Két halmaz, az értelmezési tartomány (az els½o halmaz) és az értéktartomány (a második halmaz), valamint az elemeik közti reláció, a megfeleltetés, pontosan akkor függvény, ha az alábbi két feltétel egyidej½uleg teljesül: (i) Az értelmezési tartomány minden elemének megfelel az értéktartománynak legalább egy eleme. (ii) Az értelmezési tartomány minden elemének legfeljebb egy elem felel meg az értéktartományból. Megjegyzés. Az el½obbi két pont, (i) és (ii) helyett azt is mondhatnánk röviden, hogy az értelmezési tartomány minden elemének pontosan egy elem felel meg az értéktartományban, de mint látni fogjuk érdemes megkülönböztetni a megfeleltetés két tulajdonságát, mintegy alulról és felülr½ol is behatárolni azt, mert ez két feltétel a szürjektív és injektív függvények meghatározásának alapja. Ez a két feltétel nem azt a tartalmat fedi le, ami a deduktív fogalomalkotás esetén genus proximum és di erentia speci ca néven ismert. A függvények fogalma, pontosabban a megfeleltetés körülírása sokféleképpen közelíthet½o meg, de ezek közül a legelterjedtebb, és talán a leghasznosabb a relációkon, és a Descartes szorzaton alapszik. Különböz½o jelölések, elnevezések Az alábbiakban felsoroljuk a függvények esetén leggyakrabban használt jelöléseket, elnevezéseket. Általában az A értelmezési tartomány elemeinek az f megfeleltetéssel a B értéktartomány elemeit hozzárendel½o függvényt f : A! B, vagy A f 7! B jelöli. Ha az x A független változónak a megfelel½oje az y B, akkor ezt x f 7! y, vagy x 7! y, jelöli és azt mondjuk, hogy x-nek a képe y, vagy y az x képe (képeleme). Egyes szerz½ok az y = f(x) jelöléssel fejezik ki ugyanezt a tényt, és azt mondják, hogy y a függvénynek az x változóban felvett értéke, röviden a függvény értéke x-ben. Példa. Az vagy az f : R! R; f(x) = x ; R f 7! R; x f 7! x ugyanazt a függvényt jelöli, de szokás, az értelmezési tartomány és az értéktartomány megadása után, egyszer½uen csak az f(x) = x, vagy az x 7! x függvényr½ol beszélni, bár ez utóbbi maga a megfeleltetés. Gyakori fogalomzavar a függvény gráfja és a függvény gra kus képe, a függvényábra körül, ezt a két fogalmat a hallgatók gyakran felcserélik, nem használják megfelel½oképpen. Az itt használt függvény gráfja kifejezés a függvényreláció tartóhalmazának szokásos elnevezése, és nem tévesztend½o össze a gráfokkal, mint csúcsokból és irányított, vagy irányítatlan élekb½ol álló alakzatokkal, amelyeknek 10

12 a meghatározása a függvények segítségével a szokásosnál pontosabban is megadható, lásd kés½obbiekben a Függvények néhány további alkalmazása c. fejezetet. Meghatározás. A függvény gráfja az értelmezési és értéktartomány Descartes szorzatának az a része, G f AB; amely az összes, a függvény megfeleltetés szerint egymáshoz rendelt x független változót és y képelemet rendezett (x; y) elempárként tartalmazza. Az y = f(x) jelöléssel élve: G f = f(x; f(x)) j x Ag : Azoknak a függvényeknek az esetében, amelyeknek értelmezési és értéktartománya is a valós számok részhalmaza, ez a függvénygráf sok esetben szemléltethet½o egy függvényábrával (ez a függvény gra kus képe), rendszerint egy görbével, amely vázlatosan ugyan, de lehet½oséget adhat arra, hogy a függvényre jellemz½o független változó- képelem megfeleltetést vizuálisan is el tudjuk képzelni. Ennek a függvényábrának többféle elnevezése használatos (függvény gra kus képe, függvény képe, rajza, görbéje stb.), és az analízis oktatása során gyakran felmerül a függvény tanulmányozása (függvény menete, függvény-diszkusszió), és a függvényábra vázlatos elkészítésének ígénye. Példák 1. Példa. Az el½obbiekben megadott f : R! R; f(x) = x ; röviden x 7! x gráfja: G f = (x; x ) j x R R R = R és ennek a függvénynek az ábrája a csak egy véges részt hivatott szemléltetni : x 7! x. Példa. Ez a szemléltetés, f½oleg ha számítógépi programot használunk, nem biztos, hogy a függvénynek a természetét a legjellegzetesebb pontokban ábrázolja. Például az x 7! (x 10) függvényábrát a program a következ½onek látja : 11

13 x 7! (x 10) ami nyilván nem hibás, csak semmitmondó, hiszen ez a második függvény az el½oz½onek a jobbratolása, és így nyilván az program a függvénynek egy monoton szakaszát ábrázolja, ami nem jellemz½o a parabola – amúgy ismertnek mondható – alakjára. A hallgató számára viszont, aki esetleg nem ismeri ezt, azzal a veszéllyel járhat egy ilyen beépített funkció használata, hogy téves következtetésre juthat. Ráadásként ez a függvényábra még a valós változójú valós függvények esetében sem mindig készíthet½o el. 3. Példa. A 1 ha az x Q : R! R; (x) = 0 ha az x = Q ún. Dirichlet függvény képének csak bizonyos pontjait tudjuk megrajzolni, hiszen a függvényértékek s½ur½un lefedik az y = 0 és y = 1 egyeneseket. 4. Példa. Az f : R! R; f(x) = sin 1 x ha az x 6= 0 0 ha az x = 0 képe csak az origó környezetében nem rajzolható meg, még a gép igyekezete ellenére sem, a számítógép diszkrét aritmetikája miatt: sin 1 x 5. Példa. Az el½obbi két példában a függvényábra elkészítésének lehetetlensége abból is adódik, hogy ezek a függvények nem folytonosak (az egyik sehol 1

14 sem az, a másik csak az origóban), de ha az el½oz½o példának a mintájára az origóban is folytonos x sin 1 f : R! R; f(x) = x ha az x 6= 0 0 ha az x = 0 függvényt tekintjük, akkor a számítógép által megrajzolt ábrákon az origó környékén az egyre pontosabb függvényábrán azt látjuk, hogy minél apróbb részleteket nagyítunk ki, a függvényábra annál kaotikusabban viselkedik. x sin 1 x A Plotting curves c. MT- projekt alkalmazása során a hallgatók kifejezetten ezeket a kérdéseket tanulmányozhatják a MacInstosh számítógépeken alkalmazható Mathematical MacTutor szoftver segítségével, lásd a CD-mellékletben a MacTutor projects könyvtárat. A függvény fogalmának pontosítása Meghatározás. Az (A; B; G f ) relációt, az A halmazbeli változójú B halmazbeli értékekkel rendelkez½o f függvénynek nevezzük, ha egyid½oben teljesül a következ½o két feltétel: (i) Bármely x A független változó esetén létezik legalább egy y B, a- melyre (x; y) G f. (ii) Bármely x A független változó esetén legfeljebb egy olyan y B létezik, amelyre (x; y) G f. Megjegyzés. Az (A; B; G f ) jelölés helyett szokás még a következ½o jelölések egyikét használni: 13

15 (A; B; f); f : A! B; vagy A f 7! B: Példa. Vegyük az A = f1; ; 3g, B = f0; 1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g halmazokat, valamint az A B Descartes szorzatuknak egy részhalmazát, a G f = f(1; 1); (; 4); (3; 9)g A B Az (A; B; G f ) hármas egy függvény, aminek az értelmezési tartománya A, értéktartománya B. Ugyanez a függvény még megadható az (A; B; f); f : A! B, vagy A 7! f B alakok egyikével, ahol f(x) = x, x 7! f x, vagy csak egyszer½uen x 7! x. Megjegyzés. A függvények megadására használt különböz½o alakok más és más szemléletet hivatottak hangsúlyozni, ezért alkalmazásuk a félreérthet½oség és a hibák elkerülése végett fokozott körültekintést igényel, lásd Kósa András: Vírusok a matematikában c. könyvét. A függvényfogalom mélyebb megértéséhez célszer½u a függvények egyenl½oségét, kiterjesztését, és lesz½ukítését tanulmányozni. Függvények egyenl½osége, kiterjesztése, és lesz½ukítése Meghatározás. Két függvény, az (A 1 ; B 1 ; G f1 ) és (A ; B ; G f ); pontosan akkor egyenl½ok, ha A 1 = A, B 1 = B, és G f1 = G f. Jelölése másképp: (A 1 ; B 1 ; f 1 ) = (A ; B ; f ). Példa. Vegyük ismét az A = f1; ; 3g és B = f0; 1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g halmazokat, és a függvény gráfja legyen 14

16 G f = f(1; 1); (; 4); (3; 9)g A B Vegyük továbbá a C = f1; ; 3g és D = f0; 1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) halmazokat. és a g : C! D függvényt, ahol g(x) = x : Az (A; B; G f ) függvény egyenl½o lesz a (C; D; g) függvénnyel a különböz½oképpen alkalmazott jelölések ellenére, hiszen értelmezési tartományaik, értéktartományaik rendre megegyeznek, és a megfeleltetés során az értelmezési tartomány minden x elemének pontosan ugyanazt az y képelemet rendelik hozzá. Ugyanakkor az (A; E; h); ahol h(x) = x, E = f1; 4; 9g ; esetén (A; B; G f ) 6= (A; E; h) annak dacára, hogy f(x) = h(x) minden x A esetén; mivel az értéktartományuk különböz½o, s½ot, mint azt kés½obb látni fogjuk (A; E; h) bijektív, miközben (A; B; G f ) nem az. Ugyanakkor az (A; B; G f ) az (A; E; h)-nek egy kiterjesztése, és (A; E; h) az (A; B; G f ) egy lesz½ukítése. A függvénykiterjesztés, és a függvénylesz½ukítés érintheti a függvény értelmezésében szerepel½o bármely elemet, nem csak az értéktartományt. Meghatározás. Ha az (A; B; G f ) és (C; D; G g ) függvények esetén A C, vagy B D vagy G f G g, akkor (A; B; G f ) egy lesz½ukítése a (C; D; G g ) nek, illetve (C; D; G g ) egy kiterjesztése az (A; B; G f )-nek: Függvény inverze, szürjektív, injektív és bijektív függvények Meghatározás. Legyen (A; B; G f ) egy függvény, és tekintsük a G f = f(y; x) j (x; y) G f g halmazt. Ha (B; A; G f ) szintén függvény, akkor ez az (A; B; G f ) függvény inverze: Megjegyzés. Általában (B; A; G f ) nem függvény, (csak az inverz reláció). Példa. Vegyük az A = f 1; 1; ; 3g, és B = f0; 1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g halmazokat és a G f = f( 1; 1); (1; 1); (; 4); (3; 9)g A B Nyilvánvalóan (A; B; G f ) függvény, de (B; A; G f ), ahol G f = f(1; 1); (1; 1); (4; ); (9; 3)g B A már nem függvény, hiszen a függvény meghatározásában szerepl½o feltételek egyikét sem teljesíti, 3 B elemnek egyáltalán nincs visszafele képe, nincs olyan a A amire (3; a) G f, ugyanakkor például az 1 B elemnek egynél több képe van visszafele, hiszen (1; 1) G f ;mellett (1; 1) G f. Ez az ellenpélda arra is jó, hogy világossá váljon az a két feltétel, ami az inverz függvény létezéséhez szükséges, vagyis az inverz függvény csak akkor létezhet, ha a a függvényben minden értéktartománybeli elemnek van visszafele is legalább egy képe és egyik értéktartománybeli elemnek sincs egynél több képe visszafele. Ezt a két tulajdonságot egy függvény külön-külön is teljesítheti, ez vezethet el a szürjektív és injektív függvények fogalmához. 15

17 Meghatározás. Legyen egy (A; B; G f ) függvény. Ha bármely y B elem esetén létezik legalább egy x A, amelyre (x; y) G f, akkor (A; B; G f ) egy szürjektív függvény. Meghatározás Legyen egy (A; B; G f ) függvény. Ha bármely y B elem esetén legfeljebb egy olyan x A létezik, amelyre (x; y) G f, akkor (A; B; G f ) egy injektív függvény. Meghatározás. Az (A; B; G f ) függvény bijektív, ha egyidej½uleg szürjektív és injektív. Megjegyzés. A bijektív függvényeknek van inverze, hiszen teljesítik az inverz függvény létezésének feltételeit, az (A; B; G f ) függvény inverze a (B; A; G f ); ahol G f = f(y; x) j (x; y) G f g. Az (A; B; G f ) inverz függvényét rendszerint (B; A; G f 1) jelöli, ahol f 1 az inverz reláció jele. Másként jelölve: Az (A; B; f) bijektív függvény inverze a (B; A; f 1 ). 1. példa. Az A = f 1; 1; ; 3g, B = f1; 4; 9g, valamint a G f = f( 1; 1); (1; 1); (; 4); (3; 9)g A B esetén (A; B; G f ) szürjektív függvény (de nem injektív).. példa. Az A = f 1; ; 3g, B = f0; 1; 4; 7; 9g, valamint a G f = f( 1; 1); (; 4); (3; 9)g A B esetén (A; B; G f ) injektív függvény (de nem szürjektív). 3. példa. Az A = f 1; ; 3g, B = f1; 4; 9g, valamint a G f = f( 1; 1); (; 4); (3; 9)g A B esetén (A; B; G f ) bijektív függvény (szürjektív és injektív egyidej½uleg). Ennek a bijektív függvénynek van inverze, és ez az inverz a (B; A; G f 1); ahol G f 1 = f(1; 1); (4; ); (9; 3)g : Érdekes megjegyezni azt, hogy az (A; B; G f ) függvény egy más jelöléssel az f(x) = x alakban is megadható, ugyanakkor ennek a függvénynek az inverze nem írható f 1 (x) = p x alakban, mivel ez az 1-hez az 1-et és nem 1-et rendelné. Értelemszerûen, ha egy függvény injektív és szürjektív, akkor megfordítható (bijektív), azaz van inverze. Az f 1 jelû inverz függvényre f 1 : B! A Ennek egyik nagyon szép példája a középiskolában tanult exponenciális és logaritmus függvény. Pl. ha f : R! (0; 1) ; f(x) = x akkor f 1 : (0; 1)! R; f 1 (x) = log x egymás inverzei. A számhalmazokon értelmezett elemi függvények (Pl.: f : R! R a valos f uggvenyek) az R =R R Descartes koordináta rendszerben ábrázolhatók. Pl.: f : R! R f(x) = x jólismert ábrája a parabola. Azt, hogy egy függvény injektív, a függvényábra is elárulhatja. Ez esetben ugyanis bármilyen y = b vízszintes legfeljebb egyszer metszi a függvénygörbét. 16

18 A függvény szürjektív, ha minden y = b (b B) metszi (legalább egyszer) a görbét.(pl.: az adott f : R! R f(x) = x nem injektív, mert (f( 1) = f(1) = 1) Az adott példa f : R! R, f(x) = x nem is szürjektív, hiszen y = 1 nem metszi az ábrát.. Tehát az f : R! R, f(x) = x nem injektív, sem szürjektív. Ennek a függvénynek lehet olyan leszûkítését venni, ami viszont bijektív. Lásd például az f : [0; 1)! [0; 1) f(x) = x -et. Az inverz függvények ábrája szimmetrikus a koordináta rendszer I. negyedének szögfelezõjére nézve, ezt érdemes megjegyezni az ábrák elkészítésénél. Függvény és inverzének gra kus képe Érdekes kapcsolat van a függvény és inverzének gra kus képe között, ha ugyanabban a koordinátarendszerben, egymás mellett ábrázoljuk ½oket. Az el½obbi 3. példában említett függvényhez hasonlóan, ha tekintjük az A = [0; 1), a B = [0; 1) halmazokat és az (A; B; f) függvényt, amelyre f(x) = x, valamint a (B; A; f 1 ) inverz függvényt, amelyre f 1 (x) = p x és mindkett½ot egyidej½uleg ábrázoljuk a koordinátarendszerben, akkor a következ½o függvényábrákat kapjuk. Észrevehet½o, hogy a két függvényábra az els½o negyed szögfelelz½ojére, másképp az y = x egyenesre (vagy f(x) = x, els½ofokú függvényre) szimmetrikus: Az inverz függvény megkeresése Ismét az el½obbi 3. példában említett függvényre hagyatkozunk, ha tekintjük az A = [0; 1), a B = [0; 1) halmazokat és az (A; B; f) függvényt, amelyre f(x) = x, valamint a (B; A; f 1 ) inverz függvényt, amelyre f 1 (x) = p x: A kérdés az, hogy miként juthatunk el általában egy függvény inverz függvényének a kifejezéséhez, ha az adott függvényr½ol tudjuk, hogy bijektív, tehát van inverze? Az említett példában tekinthetjük az adott függvénykapcsolatot kifejez½o y = x kétváltozós egyenletet. Ha ezt “megoldjuk” x-re, vagyis ha most nem az y 17

19 függ½o változót fejezzük ki az x független változóval, hanem fordítva, akkor az x = p y, és x = p y értékek adódnak. Az inverz függvényhez vezet½o inverz relációt egyszer½u “változócsere” adja, ugyanis az inverz függvényben a független változó az eredeti függvény függvényértéke, illetve, a függvényértéke az eredti függvény független változója lesz. Valóban ez a két lehet½oség, ami közül választhatunk. Ha az els½ot választjuk, akkor az x = p y relációban az y = p x “változócsere”, elvezet a (B; A; f 1 ) inverz függvényhez, amely a B = [0; 1) halmazt képezi le az A = [0; 1) halmazra, amelyre f 1 (x) = p x. Érdemes tudni azt is, hogy egy másik inverzet is értelmezhetünk, ha az eredeti függvény helyett tekintjük az A = ( 1; 0], a B = [0; 1) halmazokat és az (A; B; f) függvényt, amelyre f(x) = x, és a második lehet½oséget választjuk az inverz relációban, azaz ha az x = p y relációban végezzük el a “változócserét, és így y = p x vezet el a(b; A; f 1 ) inverz függvényhez, amely a B = [0; 1) halmazt képezi le az A = ( 1; 0] halmazra, amelyre f 1 (x) = p x. Ekkor az eredeti függvény az f : ( 1; 0]! [0; 1); f(x) = x és ábrája: ugyanakkor az inverz függvény az f : [0; 1)! ( 1; 0]; f(x) = p x és ábrája: A függvények megnevezése Az oktatás során gyakran kell megemlíteni bizonyos függvényeket, és gyakran használjuk bizonyos függvények gy½ujt½onevét, ezekben is sok tévedési lehet½oség rejlik. A valós függvény, a kétváltozós függvény, vagy a vektorfüggvény elnevezések helyett talán az a járható út, ha a függvényeket hosszú nevükön nevezzük, egy szövegkörnyezetben legalább az els½o alkalommal. Helyes tehát a valós változójú valós függvény (a valós függvény helyett), továbbá nyugodtan használhatók a két- (valós) változós valós függvény, a komplex változójú valós függvény és a dimenziós vektor változójú valós függvény 18