Hogyan készítsünk 2D sugárzást

Algebra 9 osztály Tutorial Makarychev Mindyuk

x ^ vl k> 0. Az x2> x ^ egyenlőtlenség mindkét részét egy pozitív számon, és add hozzá az ebből eredő egyenlőtlenségi szám mindkét részéhez Kommersant. Ezután a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai szerint a kxi> kx ^ és a kx2 b> kx ^ + b hűséges egyenlőtlenségeket kapjuk. Így, f (x2)> f (xi) y t. E. k> 0 funkció f – növekvő. Hasonló érvelés segítségével megmutathatja, hogy mikor < О функция f является убывающей. Степенная функция f(x) = х"' с натуральным показателем п при четном п возрастает на промежутке [0; +00) и убывает на промежутке (-оо; 0]. При нечетном п функция f(x) = л:'* возрастает на всей области определения, т. е. на промежутке (; +00) (рис. 3, 4). § 1 ■ Свойства функций Рис. 2 i с 1 О г S' ■о i 4 1- "4 о 1 О Ri о i \ .1 J I* V 1 II \ / 2- "Г" -1 о 1 7 X 1 Рис. 3 Рис. 4 Глава 1. Функции, их свойства и графики Рассмотрим сначала функцию f(x) = л:'* с четным показателем п. Пусть Х2 > > 0. Mozgassa az azonos nem-egyenlőtlenségek tagját x2> x ^. Kapunk x1> x [. Következésképpen f {x ^> f {x ^) y t. E. A SET [0; +00) F funkció nő. Most megismerjük az F (x) = L: ‘funkció monotónia karakterét, ahol n egyenletes szám, az intervallumon (-OO; 0). Hagyja xi < Х2 ^ 0. Тогда -Xi > -X2> 0. Mivel a számok -Xi és -h2 pozitív, akkor a fenti bizonyítottan> (-H2, de N egyenletes szám, ezért (-ltx) ‘* = x ^ és (-h2au = x2, majd xi> x2, t. E. ^ Az így kapott egyenlőtlenség azt jelenti, hogy a dlgg) ^ t. E. F funkció az intervallumban (-oo; 0) is csökken. Fontolja meg most az f (x) = x ^ funkciót, páratlan jelzővel. Ha X2> XJ> Ó, akkor az érv az egyenletes P-tartósok és a páratlan mutató. Ez azt jelenti, hogy az F függvény páratlan jelzővel rendelkezik az intervallumon [0; ) Megakadályozza. Ha xi < Х2 < О, то -Xi > -X2> 0. Ezenkívül (■ “• ^ 1)” = x ^, i ~ x2y -> óta n egy páratlan szám. A fent említett F tulajdonságfüggvénynek a furcsa indikátor, az intervallum [0; +00) egyenlőtlenség (-x ^ ^> (-x2y. Innen van: Ez azt jelenti, hogy a F funkció páratlan n az intervallumon (0) növekszik. Ha xi < О, Х2> O és p egy páratlan szám, x ^ < О и ^ т. е. и в этом случае из неравенства Х2 > X ^ Az egyenlőtlenség az X2> X ^. Így egy furcsa N funkcióval f (x) = x ^, növeli az egész meghatározási területet. k inverz arányosság, t. E. F funkció f (x) = ^ mindegyik hiányosságok (-oo; 0) és (0; +00) k> a csökkenés, és mikor < О возрастает (рис. 5). Рассмотрим разность /(лга) ~ f(x^)^ где х^ Ф 0^ Х2 Ф 0^ и преобразуем ее: Нх\ - НхЛ= ^ ~ ^ ~ = -k ■ ^ ^ /у, /у, iyt /у» /у, /у, /yt * Л>2 ^ 2 rizs. 5 Ha X2> XI> O vagy XI < Х2 < О, то в любом из этих случаев ^2 ” ^ О и Х1Х2 > 0. Ez azt jelenti, hogy a frakció egy fél -1×2 zsíros, és az expresszió X1-X2 X, X2 jelentése negatív szám K> Kb < 0. Следовательно, f(^2) - f(Xi) < о при k> O és f (x2) – f (xi)> o, amikor k < Оу т. е. f(x2) < f(Xi) при k > O és f (x2)> f (xi) k < 0. Значит, функция f при k > Ó, mindegyik intervallum (-OO, 0) és (0; N-OO) csökken, és mikor < о в каждом из этих промежутков возрастает. k Однако функция f(x) = — не является монотонной на всей области определения. Докажите это. Функция f{x) - yfx возрастающая (рис. 6). Выражение 4х имеет смысл лишь при х > 0. Ezért D (f) – [0; -ÉN). Rizs. 6 10 1. fejezet. Funkciók, tulajdonságaik és grafikonjai Legyen XG> XI> 0. Tekintsük a különbséget / (LGA) “f (^ i) és átalakítsuk: i?/ Szia./ h II (v ^ “v ^) (v ^ v ^) ^ 2 – i ^ 2) – / (^ l) – – A – + + Numerátor és denominátor frakció -7 ^ – v ^ 2 + v ^ l Számok. Ez abból a tényből következik, hogy x2 >> Ó,> O és> 0. Így, f (x2) – f (xi)> Ó, t. E. F (x2)> Fix ^). Ezért az F függvény növekszik. 1. A funkciók közül melyik növekszik, valamilyen veszteség – pozitív, ha: a) y = 5x – 8; H6. c) y = d) y = x ^ b) y = -zh + 7; , d) y = e) y = x ^ 2. Bizonyítsuk be, hogy az Y = X \ az intervallum (-OO; 0) függvénye csökken, és növekszik az intervallumban [0; +00). 3. A G funkció grafikonja a törött ABC, ahol A (-1, -2), B (2; 5), C (6; 2). Építsen egy grafikonot ennek a funkciónak, és keresse meg azokat a hiányosságokat, amelyeken a G funkció növekszik, és amelyen csökken. 4. A függvénytáblázat létrehozása -2 javítás) = • -X, ha -2 < л: < О, 1, если О < л: < 1, х^у если 1 < л: < 2, -X + 6, если 2 < л: < 6. Укажите область определения и область значений функции. Найдите промежутки, на которых функция f а) убывает; б) возрастает; в) сохраняет постоянное значение. 5. При каких значениях а функция У = “ 2)л: -h 16 является возрастающей; 6) у = (1 - За)х - 21 является убывающей; § 1. Свойства функций 11 ч 7 - 2а „ в) у = —— является возрастающей на промежутке (0; т) у = — является убывающей на промежутке (0; +оо)? 6. Докажите, что функция {-2х + 1, если X < -1, g(x) = -X + 2, если X > -1 monoton. 7. Bizonyítsuk be, hogy az 5 a) f (x) = ^ ^ funkció növeli az intervallumot (4; + oo); b) g (x) = a 8 intervallumban csökken. Find a nullákat a funkciók, rések a igazítás, a réseket a növekvő és csökken a funkció: a) y = \ x – 3 \ – 1; c) y = x ^ – 4; b) y = 4 – \ x 2 \; d) g / = x ~ ^. kilenc. Egy növekvő vagy csökkenő funkció: a) F (L 🙂 = L / JTTT – YJX – 1; b) g (x) = 6x – \ 3x – 2 \ – \ 2x + 5 |? Ismeretes, hogy az Y = F (x) függvény egyre inkább az intervallumban [a; B]. Bizonyítsuk be, hogy az Y = F (X) + N funkció növekszik ezen az intervallumon. A számok számának egy részében a legnagyobb egész szám nem haladja meg az X-t (jelöli [l:]), és az X szám frakcionális része az x szám és az egész szám közötti különbség (jelöli {jc}). Például [5, 3] = 5, {5, 3} = 0,3; [-5, 3] = -6, {-5, 3} = 0,7. 7. és 8. ábra: – [X] és Y = {X} funkciók grafikonjai. Melyek a funkciók meghatározásának területei? Tekintsük ezeket a funkciókat az intervallumon és megtalálják mindegyiküket: a funkciók nullája, rések, amelyekben < о, г/ > o, a növekvő és csökkenő rések, az intervallumok, amelyeken a funkció megtartja az állandó értéket. Képzeljünk el egy vázlatos diagram egy funkció határozniuk terület és a funkció a függvény értékeit, és megtudja, hogy a funkció növelésével vagy csökkentésével: a) g / = yjx – 4 +2; b) y = y / x \ 3 – 1. Kép olyan vázlatos grafikon, a függvény az y = 0 ^. Határozza meg a intervallumokban monotónia az ezt a funkciót és meghatározza a jellegét monotónia minden intervallumban. 12 1. fejezet. Funkciók, azok tulajdonságait és grafikonok I / I K 4 “4 O” O – 3- – 5- – 4- – 3- – 2- – 1 O 1 ■) 1 9 I x 1 4 || • 1 ^ rizs. 7 ábra. 8 Ismétlés gyakorlatok végre egy részlege polinom, hogy ugrál: a) (x ^ – – x + 10): (x + 2); b) (2lg “+ zlg® – 6x ” -4x +5): (2x + 3). Bizonyítsuk be, hogy az AI nem negatív értékekkel, az egyenlőtlenség (A + 1) (B + 1) (AB + 1)> 8A. Az egyenlőtlenség megoldása: a) 28 – 6L: < х; б) < 5 + 2у/б. § 1. Свойства функций 13 2. V Свойства монотонных функций Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций. 1. Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента. Доказательство. Пусть у = f{x) — произвольная монотонная функция (возрастающая или убывающая). Тогда при любых jCi и Х2У принадлежащих области определения функции /, и таких, что Х2> X ^ y az egyenlőtlenségi f (x ^> f (xi) y, ha a funkció növekszik, vagy az egyenlőtlenség f (x ^ < f(Xi)y если функция убывающая. Поэтому равенство f{x^) = /(Xg), где х^ ^ JCg, невозможно. Это легко увидеть на графике любой монотонной функции у = f(x). Любая прямая может пересечь график функции у = f(x) лишь в одной точке. Отсюда следует, что уравнение f(x) = а, где f — монотонная функция и а — произвольное число, имеет не более одного корня. 2. Если функция у = f(x) является возрастающей (убывающей), то функция у = —f(x) является убывающей (возрастающей). Доказательство. Пусть f — возрастающая функция и Х2 > x ^. Majd dlgz) ^ Ezután következik, hogy -f (x ^ < -f(x^, т. е. функция у - -f(x) убывающая. Аналогично можно доказать, что если функция у = f(x) убывающая, то функция у = -f(x) возрастающая. 3. Сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, а сумма двух убывающих функций является убывающей функцией. Доказательство. Пусть ц>(x) = f (x) -HG (x), ahol 1) (f) = d (f) nd (g), és hagyja, hogy az x és az x2 az F, az x2 funkció definíciós területéhez tartozik x ^. Fontolja meg a különbséget az fslgg) “fs ^ x) és átalakítása között. Kapunk f (^ 2) –

Fix ^) és g (x2) >> so, / (lgg) ~ fix ^)> o és g (x2) – g (xi)> 0. Ebből következik, hogy ^ x ^ – fslg ^)> o, t. E. F (L: 2)> FSLH) és f – növekvő funkció. Ha F és G csökken a funkciók, akkor f (x2) < ((х^) и g(x2) < < g{Xi). Значит, fiXi) - f(Xi) < о и gixz) - gix^) < 0. 14 Глава 1. Функции, их свойства и графики Следовательно, ср(л:2) - cp(^:i) < О и < cp(^:i), т. е. ф — убывающая функция. Из свойств 1—3 следует, что если одна из функций f или g является возрастающей, а другая — убывающей, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня, (Докажите это сами.) Иногда приходится рассматривать функции, у которых аргумент, в свою очередь, является функцией. Такие функции называют сложными функциями (или композицией функций). Пусть, например, f(u) = Vw, з. и = g{x) = х^ - 1. Тогда, подставляя в формулу f(u) = у/й вместо аргумента и функцию ^(jc), получим f(g(x)) = yjx?' - 1. 4. Если обе функции fug возрастающие или обе убывающие, то функция Xi. Если f и g — возрастающие функции, то верно неравенство ё(х2) > g {XI), és ezért egyenlőtlenség / (^^ 2))> tch)), t. E. F – Növekvő funkció. Ha F és G csökkenő funkciók, akkor az egyenlőtlen G (x2) igaz < g(Xi) и, значит, верным является также неравенство тх,)) < fig{x2)), а это означает, что и в этом случае функция ф также является возрастающей. Свойство 4 иногда формулируют так: композиция двух функций одинакового характера монотонности является возрастающей функцией. 5. Если функция у = f(x) монотонна на множестве X и сохраняет на этом множестве знак, то функция g(x) = на множестве X имеет противоположный характер монотонности. Доказательство. Пусть х^ е X, Х2 ^ X и Х2 > Xi. Tekintsük a G (x2) – G (XI) különbséget, és átalakítjuk: ____ 1 _____ i ___- f (x2) g (x,) g {xo – j . A kapott frakció nevezője pozitív szám, mivel mind az f (xi) és az f (x2), egy jele. A fluster numerátor negatív szám, ha az F függvény növekszik, és pozitív szám, ha az F § 1. A funkciók tulajdonságai 15 Csökkenő. Innen következik, hogy g (x2) < gix^), если f — возрастающая функция, и gixz) > g {xi) y Ha f csökkenő funkció. Példákat adunk a monoton funkciók tulajdonságainak használatára. 1. példa. Dobd ki, hogy hány pont egyenes Y = 9 keresztezi az f (x) = y / x -h 1 +> / l: + 6 + YJX + funkciók Y = YJX + 1, Y = 7L: + 6 és y = y / x + 13 – növekvő funkciók (ingatlan 4). A növekvő funkciók mennyisége egyre növekvő funkció (3). És a növekvő funkció mindegyikét csak az argumentum egyik értékével veszi át (ingatlan 1). Ezért, ha a közvetlen közös pontja van egy függvénytáblával /, akkor csak egy pont. Kiválasztás Az f (x) = 9 x = 3-at. Tehát a közvetlen keresztezi az F grafikon funkciót m (3; 9). 2. példa. Ismerje meg a funkció monotóniájának karakterét a funkció meghatározásának funkciójának funkciójával: W = (-OO; -3) és (-3; 3) és (3; + OO). Mindegyik időközönként (-o; -3), (-3; 3) és (3; +00) függvények y = x – \ – ziu = x- 3 mentse el a jelet, és növekszik. Következésképpen az 5-ös tulajdonság szerint az Y = ^ \ ^ és a g / = ^ funkciók csökkennek. A csökkenő funkciók összege (2. tulajdonság) csökkenő funkció. Ezért az F függvény az egyes intervallumokban (-OO; -3), (-3; 3) és (3; +00) csökken. A 9. ábra egy példakénti grafikonfunkciót mutat. P Rymer 3. Bizonyítjuk, hogy az F (x) = x ^ –x – 1 függvény mindegyik intervallumon (-oo, 0) és (0; N-OO). Az F funkció az érvényes számok sorában van meghatározva, kivéve a nullát. A kifejezést – X ^ – SQ – 1 _ X ^ SQ – 1. X Зх _ x_OH _ ^ x xxx x ‘jelentése f (x) = x – 3 – – • Az F függvény két funkciónak tekinthető y = x-3yu = mindegyik egyre növekvő funkció a megadott időközönként. 16 1. fejezet. Funkciók, tulajdonságaik és grafikus rizs. 9 A Tulajdonságon 3, a definíciós területen két növekvő funkció összege növekvő funkció. Ezért mindegyik időközönként (-oo; 0) és (0; + oo) az F függvény növekszik. 4. példa. Az egyenlet megoldása – – ■ ¥ 4x = 0. X Könnyű látni, hogy l: = 1 – az egyenlet gyökere. Megmutatjuk, hogy más gyökereknek ez az egyenlet nincs. Valójában a régió 2 g-os definíciók r / = l: ^ – – + – a számok halmaza. Ezen a beállításnál a funkció növekszik, mivel az Y = x ^, y = és g / = \ [x az intervallumon (0; +00) növekszik. Ennek következtében ez a többi gyökér egyenlete, kivéve az L: = 1, nincs. Bizonyítsuk be, hogy a G funkció csökkenő funkció, ha: 1__________ 1. = Db ‘”” d® ^> “2’ c) g (x) = v2 – x; b) g (x) = ahol l:> 0; d) g (x) = -7 =. § 1. A 17 funkciók tulajdonságai Bizonyítsuk be, hogy az F függvény egy növekvő funkció, ha; a) = 7 ^ “Ahol L: < 7; б) fix) = ix - 2)^ где х> 2; c) javítás) = L: | D: |; 1 g) javítás) = Bizonyítsuk be, hogy az F függvény növekszik, ha: a) javítás) = VX – UL: C) javítás) = x ^ + 4x; b) javítás) = 2L; – 1 – ahol x> -2; d) javítás) = ahol l:> 2. Javítások megadása) = L: ^ és ^ L 🙂 = 2L: – 1. Állítsa be a képlet funkciót: Δ = {x) y, b) p = gifix)). Az Y – FI ^ X funkciót a képlet határozza meg. Adja meg a funkciók y = javítás) és y = GIX), ha: a) p = | l; 2 – 2L; – 3 |; c) y = – | l; |; b) y = x + 2!X – 3; T) y = (2L; – 1) ^ – 1. Bizonyítsuk be, hogy ha f csökkenő funkció, g. G – növekvő funkció, majd g / = f (g (x)) – csökkenő funkció. Mi lehet ebben az esetben elmondható az F (L 🙂 = g (f (x)) függvényről két funkció tulajdonságait különböző monoton jellegű. Az f (x) = 4x és g (x) = 2 – x funkciók. Állítsa be a képlet funkciót: a) I / = F (g (x)); b) y = g (f (x)). Határozza meg az egyes funkciók monotónia természetét. Határozza meg a funkció monotónia természetét: a) y = b) j / = -h1x – 5; c) 1 / = x ■ ¥ 2 – 4x; , ___ ^ yl; – 4 l; + 4 ‘Bizonyítsuk be, hogy a G egy növekvő funkció, ha: x ^ + 2x – & a) g (l;) = – ahol l; ahol l; > 0; b) g (l;) = – 4L – 5 L – 2, ahol l; > 2. 18 1. fejezet. Funkciók, tulajdonságok és grafikák bizonyítják, hogy az f csökkenő funkció, ha: a) javítás) = 1 + kerékpár “, ahol L:> 0; ■ FI ^ \ _ 10 BDS 2DS T1TTL -V C) HIIX) = 2x-1 . 4W4 X? + 1 b) Hix) = _ 3. d) cc) = -jry- 22 1. fejezet. Funkciók, tulajdonságaik és grafikonai egyenletes vagy páratlan függvény, amelyet a következők: a) f (l 🙂 = 2 ^? d) f (l 🙂 = ahol -1 < х < 2; X — о б) ф(л:) = в) ф(л;) = 1х- 2|; д) (р(л:) = + X, где -3 < д: < 1; е) ф(д;) = x‘^, где X е (-5; -1] U [1; 5)? Известно, что f(x) = х^ + ах* + 1 и f(2) = Найдите f(~2) и значение коэффициента а. 15 Зная, что g(x) = ^5 ^ и ^3) = 16, найдите ^(-3) и значе- ние коэффициента Ь. Существуют ли такие значения коэффициентов k и Ь, при которых линейная функция у = kx Ь является а) четной; б) нечетной; в) четной и нечетной? Постройте график функции /, зная, что f — четная функ- ция и ее значения при х> 0 a következő képletben található: &) f {x) =: ^; e) f (x) = 4x; c) / (x) = | d; – 3 |; v) f (x) = x Építsük meg a Gyisfunkciós grafikát, ha ismert, hogy a G funkció a páratlan és az X> 0 értéke a következő képletben található 😕 g (x) = x ”; 6) g (x) = ^ / x; c) ^ (d 🙂 = | D: – 2 | – 2; d) ^ d;) = D: – 3. Ismeretes, hogy az F függvény egyenletes, és l: = -2 és l: = 3. Vannak-e más értékek az érv, amelyben (p (l 🙂 = 0? Tudva, hogy az f egy páratlan funkció, és a nullák száma -5 és 2 szám, adja meg a funkció bármely más nulláját, ha körülbelül 6 d (f), tudva, hogy az F grafikon funkció az A (2; 9) pontokon áthalad b (3; 5), adja meg a funkció grafikonjának más pontját, ha: a) / – akár funkció; b) / – páratlan funkció. Ismeretes, hogy az egyenlet F (L 🙂 = 0, ahol F páratlan funkció területén a meghatározás D, két pozitív gyök, 8, és megtalálja a nem-pozitív gyökerei ennek az egyenletnek. Bizonyítsuk be, hogy ha f – egy tetszőleges funkció, ahol B (f) egy szett, szimmetrikus, nulla, akkor: a) f (x) = – akár funkció; b) t = _ (p (x) – (^ -x) páratlan funkció. § 1. A funkciók tulajdonságai 23 Bizonyítsuk be, hogy: a) Ha az egyenletes funkció Monotonne a definíciós terület pozitív részén, akkor a definíciós terület negatív részén ellentétes jelleggel rendelkezik a monotonia ellen; b) Ha a monotonne páratlan jellemzője a definíciós terület pozitív részén, akkor ugyanaz a karaktere van a monotonia a definíciós terület negatív részén. 0 Bizonyítsuk be, hogy a G (x) = | ^ | funkció 2 csökken a szimulátor [0; +00) és növeli az intervallumot (-OO; 0). Bizonyítsuk be, hogy az F (x) függvény az egyes x + x-ről csökken a hiányosságokról (-OO, 0) és (0; + OO). HHFH- gyakorol ismétlést a tulajdonságok használatával a monoton függvények, az egyenlet megoldásához: a) x ^ + 2x ^ + ЗХ ^ = 6; b) + 5 + = 6. 2x ^ + 6x ^ – 8x + 3 Jelölje ki a frakció egész részét – PZ • X + ZX – ® Számítsa ki YJLA + 6> / 5 – – 4> / 5. Bizonyítsuk be, hogy ha n e n és p> 3, az yjn ^ + / i + 4 + ■ / p ^ 9 “gib expresszió értéke természetes ^ numerical ^. 4. V Korlátozott és korlátlan funkciók 12. ábra A g (x) = yfx – 1 funkció grafikonja. Ezt a funkciót nem negatív számok, t. E. D (g) = [0; +00). F funkció növekszik. A legkisebb érték -1, a funkció az X = 0-ra kerül. A legnagyobb érték nem rendelkezik ezzel a funkcióval: rizs. 12 24 1. fejezet. Funkciók, tulajdonságaik és grafikus rizs. 13. ábra. 14 Ha X -> +00, majd g (x) -> + a grafikon összes pontja, kivéve a (0, -1) pontot, a közvetlen Y = azt mondja, hogy a G funkció az alábbiakra korlátozódik. Általánosságban elmondható, hogy a funkció / az alábbiakra korlátozódik, ha bármilyen X € d {f) az F {x) egyenlőtlenség történik> és ahol A szám. F funkció f (l 🙂 = 4 – (rizs). 13) a. Az intervallumon (-oo; 0) növekszik, az intervallumban [0; +00) – csökken. Legnagyobb értéke l: = 0-val 4-vel. A legkisebb funkció nem rendelkezik: X -> +00 (vagy X – >O) (P (x) -> -OO. A F funkció grafikonja, kivéve a (0, 4) pontot, a közvetlen g / = 4 alatt található. Azt mondják, hogy az F függvény a fentiektől korlátozódik. Általánosságban elmondható, hogy az F függvény felülről van korlátozva, ha bármilyen X € d (f) egyenlőtlenség f (x) < Ь, где Ь — некоторое число. На рисунке 14 изображен график функции f{x) = — > Az X = (-OO; -1) beállítása. Bármely argumentum értékével az F függvény negatív értékeket vesz igénybe. Funkció csökkenése. A funkció nem rendelkezik a legnagyobb értékkel: x -> -o f (x) -> 0 (x tengely – aszimptotte grafikus funkció). Az X = -1 funkció legkisebb értéke megegyezik, az F függvény valamennyi értéke az intervallumban lezárul [-2; 0), t. E. -2 < f(x) < 0. Поэтому ее график расположен внутри полосы, ограниченной прямыми у = ~2 и у = 0. В таких случаях говорят, что функция f является ограниченной на множестве X = (-оо; -1]. Определение. Функция называется ограниченной, если существуют два числа а ix. Ь такие, что для любого аргумента х выполняется неравенство а < f{x) < Ъ. Если условие, о котором говорится в определении ограниченной функции (а < Кх) < &), не выполняется, то функция не является ограниченной. § 1. Свойства функций 25 Рис. 15 Приведем примеры ограниченных функций и функций, которые не являются ограниченными. 9 Функция h{x) - 2 ■ о (рис. 15) определена на множестве R. X т о При любом значении аргумента она принимает только положительные значения. Наибольшее значение функции при х = 0 равно 3. Наименьшего значения функция не имеет: при х —> +00 (vagy X -> -OO) H (x) -> 0. Ez azt jelenti, hogy bármelyik x esetében egyenlőtlenséget végeznek < h{x) < 3. Поэтому функция h ограниченная. Функция ^jc) = х^ -^х (рис. 16) определена на множестве действительных чисел. Функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если х —> +00, majd g {x) -> -i; Ha X jelentése> -OO, akkor g (x) -> következésképpen sem a legkisebb, sem a legnagyobb értékek nem működnek. Ezért a G grafikon nem korlátozódik semmilyen egyenes, párhuzamos tengelyre x. Ez azt jelenti, hogy nincsenek számok A és &, mely egyenlőtlenséget végeztek < g(x) < &, т. е. функция g является неограниченной. Чтобы выяснить, является ли данная функция ограниченной или неограниченной, используют разные приемы. Пример 1. Выясним, является ли функция ограниченной или неограниченной, если: х^ + 6х + 9 б) g(x) = + Зх^ ’ в) ф(х) = 3 - + 1. Рис. 16 26 Глава 1. Функции, их свойства и графики а) Представим дробь — + 6х + 9 х^ + 6х + 11 в виде (X + 3)^ {X + 3)2 + 2’ При X = -S дробь равна нулю. При любом X Ф -S числитель и знаменатель дроби — положительные числа, причем знаменатель больше числителя. (Х + 3^2 Поэтому о < г“2—< 1, т. е. О < f(x) < 1. Значит, f — (jc + о) +2 ограниченная функция. б) Разделим почленно числитель дроби ^ 3^2^^ на знаменатель. Имеем: х^ + 15 _ 1 . 5 3jc2 3^^2- Функция у = -^ (или у = 5х~^) степенная с четным отрицательным показателем. При х —> +00 (vagy X -> -O) g / -> o, és l: -> o (balra vagy jobbra nulla) Y -> + a G funkció grafikonja a Y = grafikon funkcióból származik Shift to ^ a tengely mentén. Ezért a g (x) = ^ 3 ^ 2 ^ ^ funkció korlátlan. Az alábbiakban korlátozott: alsó határ a C) expresszió + 1 a legkisebb értéke 1-nek felel meg, L: = O-vel, és nincs legnagyobb értéke (X -> N-OO -> N- OO). Szóval, hűséges egyenlőtlenség + 1> 1. Ezért a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai felhasználásával következetesen kapunk < -1, 3 - + 1 < 2. Следовательно, ф(л:) < 2 при любом X е R, т, е. функция ф является неограниченной. Она ограничена сверху: ее верхней границей является число 2. 5д.2 Пример 2. Покажем, что функция f(x) = -2 ~^ является ограниченной функцией. 5^2 Дробь ^2 при любом X принимает неотрицательное значение. Значит, функция f ограничена снизу. § 1. Свойства функций 27 5х^ Выделим из дроби ^2 целую часть: 5:с^ ^ 5:^ + _ + 4) 20 + 4 + 4 дг^ + 4 х^ + 4 5х^ = 5- 20 х^ + 4' 20 Отсюда ясно, что + 4 при любом л:, так как дробь ~2~^ является положительным числом при любом значении х. Она принимает наибольшее значение, равное 5, при х = 0. Значит, 20 о < х^ + 4 < 5. Следовательно, при любом х е R выполняется неравенство о < т < 5, т. е. функция f является ограниченной. Ограниченность или неограниченность функции можно определить, если найти область ее значений. Действительно, если, например, область значений функции f есть промежуток [-8; 12], то это означает, что верно неравенство —8 < fix) < 12, т. е. функция f является ограниченной. Если же, например, E(f) = [1; +оо), то функция f является неограниченной функцией (она ограничена снизу). Пример 3. Выясним, является ли ограниченной или неограниченной функция: + 16 2х ' а) g(x) = б) fix) = а) Рассуждать будем так. Пусть т — произвольное значение функции g. Тогда равенство +J9 - \х\ = т окажется верным при тех значениях т, при которых уравнение yj9 - \х\ относительно х имеет корни. Найдем множество значений т, при которых это уравнение имеет корни. Тем самым мы найдем область значений функции g. Возведем обе части уравнения +J9 - \х\ = т в квадрат и выразим |jc| через т: 9 -\х\ = |л:| = 9 - Так как |л:| > 0, majd 9 -> 0. Innen < 9, |т| < 3. Но т — это значение функции g{x) = yj9 - \х\, которая может принимать лишь неотрицательные значения. Поэтому 0 < m < 3 или 0 < g{x) < 3. Отсюда E(g) = [0; 3]. Следовательно, функция ограниченная. 28 Глава 1. Функции, их свойства и графики б) Пусть т — произвольное значение функции /. Найдем мно- + 16 жество значений т, при которых уравнение ~ ^ относи- тельно X имеет корни. Имеем: -h 16 = 2тх, х^ - 2тх + 16 = 0. Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения и потребуем, чтобы он был неотрицательным: /71^ - 16 > Ó,> 16, | / p | > 4, / 71 < -4 или 7П > 4, T. E. 6 (; -4] és [4; +00). Ez az e (f) = (; -4] és [4; +00) és az F függvény korlátlan. Bizonyítsuk be, hogy az F függvény korlátozott, és megadja a felső és alsó határait, ha: a) f (x) = 2x – 3, ahol x 6 [5; 6]; b) javítás) = X \ hova: C6 (-2; 3]; c) fix) = x *, ahol x e [-2; 2); d) javítás) = ahol x € [1; 6). A grafikus ábrázolások, magyarázza, amely a funkciók korlátozott, ami korlátlan (korlátozott felülről, korlátozott alulról): a) y = -5x + 4; d) y = – 2, ahol x < 10; б) у = х^; в) У = -х^у где -3 < л: < 3; т) у = у[х; 12 е) у = —» где -6 < д: < -1; ж) у = х~^, где -4 < д; < 4; з) J/ = |д: + 3|. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции. Укажите верхнюю и нижнюю границы функции: а) у = 0,1х - 5, где х 6 [; 10]; б) I/ = где X 6 [-3; 1]; в) у=^, где X € [2; 8]; г) у = у/х - 3, где X е [4; 19]. § 1. Свойства функций 29 Найдите область значений функции и определите, является ли функция ограниченной: г) у - •lx’ - 16; б) У = “8^’ в) у = Vl6 - х^; д) I/ = |д: - 6| - 1; е) I/ = 5 - |л: + 3|. Докажите, что функция g ограниченная, если: б) g(,x) = а) g(x) = V-л:^ + 4л: + 3; Докажите, что функция у = + 5 6 1 + ограниченная, но не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. Найдите наибольшее значение функции и значение аргумента, при котором функция это значение принимает: а)/(д:) = 3 - |л; - 1|; в) Дд:) = ~г ® б) f(x) = х . 3 + л/д - 1’ г) f(x) = х^ -2х + 3 5 |д - 7| + 1* Найдите наименьшее значение функции и значение аргумента, при котором функция это значение принимает: а) g(x) = |д - 3| - 2; в) g(x) = • б) g(x) = д - 3 г) е(х) = -J д'' - 2д + 2 2д^ - 3 д2 + 1 • л/д - 2 + 1 Докажите, что область значений функции ф(ж) = |д:- 3| + |д:- 1|, где 1 < л: < 3, состоит из одного числа. Существует ли такая линейная функция, которая является ограниченной? ♦> Az ismétlésre vonatkozó gyakorlatok azt bizonyítják, hogy: a) az F (x) = x ^ -h 2x függvény az intervallumon (-OO -2) csökken, és az intervallumban [0, N-OO) – növekszik; b) a g (x) = x ^ -h x – 7 funkció növeli az r készleten. 30 1. fejezet. Funkciók, tulajdonságaik és grafikonai bizonyítják, hogy az a) f (x) = + 1 + l: “4 funkció is; b) g (x) = x ^ – páratlan. X – X lebomlanak a négyzet három-foszlányok a szorzók: a) 7A2 + 44A – 35; b) 40 ^ 2, a funkciók monotóniájának tulajdonságai, az egyenlet megoldása: a) x ^ + 6x- 12 24 Ellenőrizze a kérdéseket és feladatokat 1. Szó a növekvő és csökkenő funkciók meghatározására x. Milyen funkciót hívnak monoton az x? Adjon példákat a növekvő és csökkenő funkciókra. 2. Milyen funkciót neveznek, páratlan? Mi az egyenletes funkció, páratlan funkció számának jellemzője? Adjon példákat egyenletes és páratlan funkciókra. 3. Milyen funkciót hívnak korlátozottnak, korlátlannak? Adjon példákat korlátozott funkcióval, a funkció korlátozott felülről, korlátozva az alján. tizennégy. Keresse meg az y = – x ^ + 1 §2 függvény értékét. R4 másodfokú függvény függvény az y = ah®, y = ah® + n és y = a (x – W) ® egyik fontos műveleti osztályok figyelembe vett matematika a osztály műveleteit, hogy lehet által meghatározott FIX képletű) = AX ‘* + L. “^ ~ ^ + kx I, (1), ahol az fh n egy természetes szám. Az ilyen funkciókat teljes racionális funkcióknak nevezik. Egy teljes racionális funkció különleges esete az a lineáris függvény, amelyet az adagolással ismertetünk, és talán 2. §. A Quadratic funkció 31 és egyenlő nulla. Ebben az esetben a lineáris funkciót meghatározó (1) jobb oldali oldala az első vagy nulla fokú polinom. Most fogunk megismerkedni más típusú egész racionális függvény, ahol a jobb oldalon az (1) egy másodfokú polinom, vagy más szóval, a tér három. Meghatározás. A funkció, amely lehet beállítani, mint egy általános képletű a y = ah ^ + BZH + C, ahol a ^ o nevezzük másodfokú függvény. Mikor és = c = o képlet, amely meghatározza az 1 O 1 1 1 kvadratikus funkcióit ■ A – O 1 1 F “M I O O 1 C -A 1 1, O -O O Z 1, X 2- 1O 1 1_ () x _l _l _l_ _1_ rizs. 17, az y = ah ^ megjelenése. Néhány tulajdonság a függvény Y = ah ^ a = 1 a 7. osztályban tanult. Az Y = X ^ funkció egyéb tulajdonságai (növekvő és csökkenés; a függvény értékeinek területe) A G / = L: ‘* * N = 2-ben 1. A mezőmeghatározási terület sok érvényes szám, t. E. D (y) = r. Sorolja fel az y = x ^ funkció tulajdonságait. Grafikonja az 1. ábrán látható. Is. 2. y = o x = oo y> az l:> o és l: l: < 0. 3. Область значений функции Е(у) = [0; +00). 4. Функция убывает на промежутке (-оо; 0] и возрастает на промежутке [0; +00). функция имеет наименьшее значение у = 0 при X = 0. График функции у = х^ называют параболой. Вершина параболы у = х^ — точка (0; 0) а ось симметрии параболы — ось у. Ветви параболы направлены вверх. Вы знаете, что график функции у = kf(x) при k> Az 1. ábrát az y = f {x függvény grafikonjából kapjuk a K-es X tengelyről, és mikor < ft < 1 — сжатием к оси л: в ^ раз. Следовательно, график функции у = 2х^ есть парабола, полученная из графика функции у = х^ 32 Глава 1. Функции, их свойства и графики Рис. 18 Рис. 19 растяжением от оси х в 2 раза, а график функции у = — парабола, полученная из графика функции у = х^ сжатием к оси х в 2 раза (рис. 18 и 19). Свойства функции у = ах^ при а > Ó, ugyanaz, mint az y = x ^ funkció tulajdonságai. Grafikon funkció y = ah ^, hol és < О, получается из графика функции с противоположным (положительным) значением а в результате симметрии относительно оси х. На рисунках 20 и 21 изображены графики функций у = и У = 2 Зная, какой вид имеет график функции у = ах^, при а < О, легко установить свойства этой функции. Известно, что график функции у = f(x) + п можно получить из графика функции у = f(x) с помощью сдвига вдоль оси г/ на п еди- Рис. 20 Рис. 22 Рис. 23 ниц вверх, если п > Ó, vagy | p | egységek le, ha < О, а график функции у = f{x - т) можно получить из графика функции у = f{x) с помощью сдвига графика функции у = f(x) на т единиц вправо, если m > O, vagy a \ t \ t \ t \ t < 0. Поэтому графиком функции вида у = ах^ + п является парабола с вершиной в точке (0; п), а графиком функции у = а(х - тУ — парабола с вершиной в точке (т; 0). На рисунках 22 и 23 изображены графики функций у = -0,5л:^ + + 2и у = 2(х- 3)2. Постройте в одной системе координат графики функций у = и г/ = -^х^. Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания для каждой функции. Изобразите схематически график функции у = ал:^, где а < 0, и перечислите свойства этой функции. Найдите координаты точек пересечения прямой у = 1 и графика функции: 16* а) у = IQx^; б) 1/ = Задайте формулой зависимость площади S круга от его радиуса R. Изобразите схематически график этой зависимости. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = ах^ и I/ = ах, где а Ф 0, 2 Ю. Макарычев «Алгебра. 9 кл.» 34 Глава 1. Функции, их свойства и графики Постройте в одной системе координат графики функций: а) г/ = 0,5л:^, у - 0,5л:^ + 2, г/ = 0,5л:^ - 4; = у = ОМх-г)\ I/= 0,5(:с + 2)2. Опишите свойства функции: а) I/ = 3:с2 - 12; в) г/ = 2(:с - б)^; б) г/ = -Зл:2 -h 12; г) г/ = -2{х + 5)^. При каком значении п областью значений функции у = 1х^ + + п является промежуток: а) [-8; +00); б) [10; +оо)? Найдите значение т, зная, что функция у = 0,5(л: - тУ а) убывает на промежутке (-оо; 6] и возрастает на промежутке [6; +00); б) убывает на промежутке (-оо; -4] и возрастает на промежутке [-4; +00). Постройте график функции г/ = (л: - 3)^ + 2. Укажите координаты вершины параболы и напишите уравнение ее оси симметрии. График функции у = 0,5л:2 сдвинули на 4 единицы вправо (вдоль оси л:) и на 2 единицы вверх (вдоль оси у). Напишите формулу, которой задается эта функция. При каком значении а график функции у = ах^ - 5 проходит через точку: а) А(3; 11); б) Б(-4; ); в) С(6; 2,2)? Найдите точки пересечения графиков функций: а) г/ = 2х^ -h 1 и г/ = 3(х - 2f; б) г/ = -х^ -I- 4 и г/ = 7(х - If. Постройте график функции: а) fix) = л:|л;|; в) fix) = X- - X б) fix) = Х^~ ч .. ч X - Х\х\ г) fix) = Постройте график функции: X + 2, если X < -2, &) у = \ х^ - А, если -2 < д: < 2, б) i/ = -д: + 2, если д: > 2; -Ha D: < о, X - \ - А, если д: > 0. §2. Négyzetfunkció 35 Keresse meg a G (x) = – ^ ^ -I funkció meghatározásának funkcióját, és építsen az ütemtervét. F gyakorol ismétlést Jelölje ki a négyzet a csavart a tér három decar: a) – 6l: + 14; c) gonosz: ^ – 12L: – 5; b) jc ^ + 8l: – 2; d) 0,5 l: ^ + rossz: + 7. Döntse egyenlet: a) L: – VJC = 6; b) rossz: – Ay [X = 4. Készítsünk formájában racionális frakció – 1 _ 1 – a + 2 A ^ + for + 2 6. V A kvadratikus funkció grafikonja és tulajdonságai. Ezt bizonyítjuk. Miután elválasztották a négyzet három csökkenését ah ^ l egy négyzet alakú bouncer, kapunk y = ah ^ lh c = a \ x -h – ^ | – -, ^ 2a / 4a, ahol d = b ^ – AAS. Kijelölt ^ betű t, a – ^ – a P betű, kapunk y = ah ^ – \ – y s = a (x – tu n. Következésképpen, a grafikon a függvény az y = ah ^ LC lehet beszerezni a grafikont a funkció segítségével két párhuzamos műszakban – eltolás az x tengely mentén és nyíró tengelye mentén. Ütemezés funkció y = ah ^ – parabola. Ez azt jelenti, hogy az y = ah ^ l с funkció grafikonja egy parabola, amelynek csúcspontja (t; n), ahol t = n = a parabola szimmetriája tengelye egyenes X = T. Rizs. 24. Figyelembe véve ezt a kimenetet, lehetőség van vázlatosan ábrázolják egy grafikon, egy kvadratikus függvény. A 24. ábra, amely faj ezeket grafikonok függően jele a diszkrimináns d egy> 0. Sorolja fel a funkció tulajdonságait f {x) = ah ^ – \ – lh + with> 0. 1. Funkciómeghatározási terület – sok érvényes szám. _ -b-yjp 2a és ho = 2. Ha d> Ó, akkor a funkció nullára utal xi = -th + -. Ha D = Ó, akkor nulla lesz az x = ha d < о, то функция нулей не имеет. 3. Если D > Ó, a függvény pozitív értékek az egyes intervallumok (-o; X ^) és (x2; és negatív értékeket intervallumban (x ^; x2). Ha d = 0, a funkció pozitív értékeket vesz igénybe bármely X E-nél, kivéve x = ha d < о, то функция положительна на всей области определения. 4. Функция убывает на промежутке и возрастает —+ooj. При X = ^ функция принимает на промежутке наи- D меньшее значение, равное Рис. 25 5. Область значений функции — множество На рисунке 25 показано, какой вид имеют графики квадратичной функции при а < О и в зависимости от знака D. Перечислите свойства функции f{x) = ах^ Ьх -\- с при а < 0. При построении графика квадратичной функции, заданной формулой f(x) = ах^ Ьх Су целесообразно найти нули функции, координаты вершины параболы, координаты точки пересечения параболы с осью у и точки, симметричной ей относительно оси симметрии параболы. Затем следует отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них плавную непрерывную линию. Заметим, что в тех случаях, когда парабола не имеет общих точек с осью х или пересекает ось у в точке, достаточно удаленной от начала координат, для построения параболы используют другие точки, симметричные относительно ее оси. Пример 1. Построим график функции f(x) = 0,5л:2 -2х Найдем нули функции. Решив уравнение 0,5л:^ - 2л: - 1 = 0, получим, что х^ ~ -0,5, Х2 ~ 4,5. Значит, парабола пересекает ось х в точках, абсциссы которых приближенно равны -0,5 и 4,5. Вычислим координаты тип вершины параболы. Абсциссу т найдем по формуле т = а ординату п найдем, подставив в формулу f(x) = 0,5л:^ - 2л: - 1 вместо х значение т. Имеем: -2 т = - 2 0,5 = 2; п = /(2) = 0,5 • 22 - 2 2 - 1 = 38 Глава 1. Функции, их свойства и графики Рис. 26 Положив X = Оу найдем координаты точки пересечения параболы с осью у. Получим точку (0; -1). Симметричная ей точка относительно оси симметрии параболы имеет координаты (4; -1). Построим эти точки и, учитывая направление ветвей параболы, проведем через них непрерывную линию. Получим график функции f(x) = 0,5л:^ - 2л: - 1 (рис. 26). Пример 2. Построим график функции ^(л:) = л:^ - л: -h 2. 4 Решив уравнение ~х^ - X 2 = Оу найдем нули функции: 4 Xi « -5,5, Х2 « 1,5. Значит, график пересекает ось х в точках, абсциссы которых приближенно равны -5,5 и 1,5. Вычислим координаты пыл. п вершины параболы: -1 /71 = — (4) = -2; п = ^-2) = . (-2)2 - (-2) + 2 = 3. Найдем координаты точки пересечения параболы с осью у и точки, симметричной ей относительно оси симметрии параболы: (0; 2) и (-4; 2). Построим эти точки и проведем через них непрерывную ли- нию. Получим график функции ^л:) = у2 _ X + 2 (рис. 27). §2. Квадратичная функция 39 Рис. 27 Остановимся теперь на одном важном свойстве параболы. При вращении вокруг оси симметрии парабола описывает фигуру, называемую параболоидом. Если внутреннюю поверхность параболоида сделать зеркальной и направить на нее пучок лучей, параллельных оси, то отраженные лучи соберутся в одной точке — фокусе. Если параболическое зеркало направить на Солнце, то температура в фокусе окажется такой высокой, что можно будет расплавить металл. Это свойство, согласно легенде, использовал Архимед (— гг. до н. э.), чтобы помочь защитникам Сиракуз в войне против римлян. Он построил систему параболических зеркал, позволившую сфокусировать отраженные солнечные лучи на кораблях римлян. В результате на кораблях вспыхнул пожар, и они превратились в пепел. Если источник света поместить в фокусе, то отраженные от зеркальной поверхности параболоида лучи оказываются направленными параллельно его оси и не рассеиваются. Это свойство используется при изготовлении прожекторов и автомобильных фар. Найдите координаты вершины параболы и уравнение ее оси симметрии, если функция задана формулой: а) I/ = - 6л: -h 8; в) г/ = 2х^ - 5л: И- 6; б) у = -х^ Ч- 8л: - 10; г) г/ = -4л:^ -I- 2л: - 5. Постройте график функции и перечислите свойства этой функции, если а) I/ = 0,25л:2 - 1,5л: - 1,75; б) у = -0,бх^ - 2л: + 2. Изобразите схематически график функции: а) у = Зх^ - 2х 1; в) i/ = 0,1л:^ - 5jc - 8; б) у = -5jc^ -h 6л: + 7; г) i/ = -0,2л:^ -I- 6л: -I- 1. 40 Глава 1. Функции, их свойства и графики Найдите координаты вершины параболы у = (х- 3)(х + 5). Докажите, что нули х^ и Х2 функции у = ах^ + + с, где а > O és Z)> O, Található: a) az egyenes X = O és X = ha < 0; б) внутри полосы, ограниченной прямыми л: = О и л: = если О 0. Проиллюстрируйте это на графиках. Зная, что (т; п) — координаты вершины параболыа х^ + Ьх с, г. х^ 1Л. Х2 — нули функции /, докажите, что верны формулы: а) лгх = m - Х2 = т + г-ч -h Х2 (х^ + Х2^ б) т= - 2~> ^ 2 ~ –J • A képletek használata (93., B), B), Keresse meg a Vertex parabola koordinátáit: a) y = (x- 2) (x + 4); b) y = (x + 6) (X – 10). Funkció grafikon létrehozása: a) y = (x- 1) (: C-5); b) y = (x + 2) (X – 4). Keresse meg azokat a hiányosságokat, amelyekben a funkció pozitív értékeket, negatív értékeket vesz igénybe. A Parabola Y = X ^ – 8X-H értéke alatt a közvetlen: a) y = 8; b) y = ? Milyen értékű a parabola y = x ^ – 6x + С egyenes: a) y = 0; b) y = 3; c) y = -3? Parabola áthalad az a pontokon. Keresse meg a p és q, ha a) a (-3; 7) és az (1; 5); b) a (5; 2) és (-2; 3). A kvadratikus funkció diagramja egy parabola, az F (-2;) csúcscal, az M ponton áthaladva (4; 11). Állítsa be ezt a funkciót. §2. Négyzetes függvény 41 A testet függőlegesen felfelé dobja a VQ (m / s) kezdeti sebességével Ho Magasságból (méterben). A H magasság (méterben), a t időtartamától függően (másodpercben) a képlet a H = -H V ^ T-H LOB. Mi ’35 1 1 21> LO T -10 P- – “hee to. O 1 1 _ t i _l_ t lc _1_ _1_ _1_ _1__ 1. 28 A 28. ábrán egy grafikon, a függőség H, ez látható az esetet, amikor Lo = 20, = 15, ^ = Find ütemezés szerint: 1) mennyi időt test felemelkedett? 2) Mennyi időt csökkent? 3) Mi a legnagyobb magasság elérte a testet? 4) hány másodpercig esett a földre? A téglalap kerülete 40 cm. Mi legyen a téglalap oldalának, hogy területe a legnagyobb legyen? A téglalap alakú háromszög katéterek összege 12 cm. Keresse meg a háromszög katétrök hosszát, amelyben a háromszögnek van a legnagyobb területe. Az ismétlési gyakorlatok egyszerűsítik az 1 1 (x – 1) {x -2) “{x- 2) {x – 3) {X – 3) {X – 4) {X – 4) {X – 4) (X – 5) Bizonyítsuk be , hogy a vl2 – 6l / s + ^ 28 + yul / h expresszió értéke természetes szám. Döntse el az 1 / + tu + 6 _ = 2h / y egyenletet. Ismerje meg a funkció monotónia természetét: a) javítás) b) g (x) = x * -5x-8, ahol l: < 0. 42 Глава 1. Функции, их свойства и графики f Контрольные вопросы и задания 1. Какую функцию называют квадратичной функцией? 2. Сформулируйте свойства функции у = ах^ для случая а > O és az a < 0. 3. Изобразите схематически график функции у = аос^ -\-Ьх-\- с для случая, когда а>0 és £)> 0, és sorolja fel a funkció tulajdonságait. 4. Mi a különbség és hasonlóság a funkciók tulajdonságai G / = 4L: + 1 és I / = L: 2 + 4L: – 1? §3. 4 átalakítása grafikonok a funkciók Stretching és tömörítési grafikonok a funkciók az ordináta tengelyen. Ennek során a 8. évfolyam algebra, konvertáló grafikonok a funkciók által végzett húzódó az abszcissza tengely és a tömörítés, hogy az abszcissza tengely és a párhuzamos Portes tengelye mentén figyelembe vették a koordinátákat. Itt más típusú grafikon-átalakításokat fogunk megnézni. Tudod, hogy az y = f {x) és az y = -f (x) funkciók grafikonjai szimmetrikusak az L tengelyhez képest:. E. Az Y = -f (x) funkció grafikonját az Y = F (x) funkció grafikonjából nyerhetjük az X tengelyhez képest szimmetria alkalmazásával. A 29. ábra egy ilyen konverzió példáját mutatja. A grafikon a függvény y = – (x ^ – 4x) nyerik a függvény grafikonját y = x ^ -4xcs Symmetry képest az x tengelyre. Megtudom most, hogyan lehet létrehozni egy grafikonot az y = f {-x \ ha a grafikon az y = f (x) függvényen ismert. Legyen (x ^; g / i) – a koordináta sík tetszőleges pontja. Majd szimmetrikus a rizsre. 29 §3. A 43 funkciók grafikonjainak átalakítása az Y tengelyhez viszonyítva koordinátákat (S ^ \ y ^). Ha az y ^) pont az y = f (x) y funkció grafikonjához tartozik, akkor az egyenlőség y ^ = f (x ^). Nyilvánvaló, hogy a pont (-kh ^; y ^) koordinátáinak helyettesítése a y = f (-x) y képletben is, szintén megkapjuk a megfelelő egyenlőséget WOW = FI) is. Ez azt jelenti, hogy minden egyes pont (x ^ y ^) az y = f (x) függvény funkciója megfelel a {-x ^ \ y ^) egyetlen pontnak a y = f {x funkció függvényének. Jobb és inverz. Ha a pont (x2 \ y ^ az y = f (-x) y t funkció grafikonjához tartozik. E. Ha ez a valódi egyenlőség g / 2 = f {~ x ^ y, akkor a pont (-lga; y ^ a y = f (x) grafikonjához tartozik. Valójában, annak koordinátáit az Y = / (L 🙂 képletben helyettesítjük, ugyanazt az egyenlőséget kapjuk g / 2 = f {-x ^. Ennek következtében az y = f (x) és y = f (-x) funkciók grafikonjai szimmetrikusak a tengelyhez képest. Tehát, a függvény grafikonját y = f (-x) lehet beszerezni a függvény grafikonját y = f {x) segítségével a szimmetria képest az ordináta tengelyre. A 30. ábra az y = y / x – 1 funkció grafikonját mutatja. A szimmetria végrehajtása után a g /, az Y = -J-X – 1 funkció grafikonját kapjuk. Az y = f (x) funkció grafikonjának ismerete az y = -f (-x) funkció grafikonját készítheti. Ehhez egymás után két átalakulást kell végrehajtania: az első szimmetria a g /, majd szimmetria az X tengelyhez képest. A kapott ütemterv szimmetrikus lesz az y = f (x) funkció grafikájához képest a koordináták megkezdéséhez képest. Valójában, ha a (xi, g / i) a koordináta sík tetszőleges pontja (rizs). 31) Ezután először szimmetrikusan rizset jelenít meg. 30 44 1. fejezet. Funkciók, tulajdonságaik és grafikonjai a g /, majd a kapott g / i pontot érintő gráfok – szimmetrikusan a tengelyhez képest: az a2 (-xi, -g / i) pontot kapjuk, ami szimmetrikus a koordináták megkezdéséhez képest. Ha az (x ^; g / i) pont az y = f (x) függvény grafikájához tartozik (ez azt jelenti, hogy az egyenlőség = dltx)), akkor a pont (s ^; -u ^) szimmetrikus a koordináták kezdete. -f (-x) (egyenlőség -u ^ = -d – (- l:,)) is igaz). Így a függvény grafikonját y = -f (-x) lehet beszerezni a függvény grafikonját y = f (x) segítségével szimmetria kezdetéhez viszonyítva, a koordináták. A 32. ábra az Y = \ \ 1x – 2 + 1 funkció grafikonját és az Y = -U1-X – 2 – 1 funkció grafikonját. Ezek a grafikonok szimmetrikusak a koordináták kezdetén. A 8. osztályban rájöttünk, hogy mi a kapcsolat az y = f (x) és y = k • f (x) y funkciók közötti kapcsolat között, ahol k egy olyan szám, amely nem egyenlő rizs. Ábra. 32 §3. A funkciók grafikonjainak átalakítása 45 rizs. 33 nulla. Ismerje meg most, hogy milyen kommunikáció létezik a funkciók grafikonjai között y = f (x) és y = f {kx), ahol k f 0. Vegye figyelembe az ügyet, ha k> 1. Hagyja, hogy a pont (xq; uo) a y = f (x), t függvény grafikájához tartozik. E. valódi egyenlőség g / o = fixo) (rizs. 33). Ezután az I / OJ Point a Y = F (kx) y t függvénytáblához tartozik. Nak nek. f ^ k ‘= f (kxo) = g / o. Tehát minden pont (xq; uo) az y = f (x) funkció grafikája megfelel az y = f (kx) függvény g / oh grafikájának. Jobb és inverz. Ha a G / IJ pont a Y = F (KX) funkció grafikonjához tartozik, akkor a (xii I / i) pont a y = f (x) funkció grafikonjához tartozik. Ez abból a tényből következik, hogy f {k • = f (x ^) – y ^. Tehát minden R / IJ grafikus funkció Y = F (KX) megfelel az y = f (x) függvény funkciójának (xi \ y ^) pontjának. Ne feledje, hogy a g / ij és a (jc ^, y ^) pont egyenes vonalon, az abszcissza párhuzamos tengelyén fekszik, és a g / ij pont a k-hez közelebb áll az ordinát tengelyhez, mint a pont (x ^; y) ^). Ebből következik, hogy a Y = F (KX) függvény grafikonja a k> 1-es funkcióban az Y = F (x) függvény funkciójából származhat, a k-t tengellyel az ordinát tengelyre. 46 1. fejezet. Funkciók, tulajdonságaik és grafikus rizs. 34 A 34. ábra mutatja a Y => / B – X funkció grafikonját. Miután összenyomta az ordinát tengely 2-szer, megkapjuk a Y = L / B – 2X funkció grafikonját. Fontolja meg most az esetet, ha körülbelül