Kísérleti tankönyv MATEMATIKA 8. MUNKAFÜZET. Matematika. munkafüzet. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Matematika kategória termékei

Matematika 6. – Kalandozások a matematikában

1 650 Ft – 1 690 Ft

Matematika – Érettségi közép és emelt szinten

Elmélet áttekintés a 25 szóbeli tétel alapján.

1 830 Ft – 1 890 Ft

Matematika 12. – középszint

1 540 Ft – 1 890 Ft

Algebrai feladatok gyűjteménye a középiskolák számára

Könyvtársaság Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

Felvételi feladatok matematikából nyolcadik osztályosok számára

2 500 Ft – 3 990 Ft

MATEMATIKA II.;A középiskolák 2. osztálya számára CA 0912

Mike és Tsa Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

Mind a négy kötet három fő részből áll. Az első a szigorúan vett tankönyvi rész, melyben az új anyag található. Ezután tanulásirányító fe.

Készüljünk az érettségire matematikából – Emelt szinten – Megoldások + Feladatgyűjtemény I-II.

Eiffel Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

Feladatmegoldó tréning matematikából nem csak felvételizőknek

tantárgy:Matematika évfolyam:12. A tankönyvjegyzéken nem szerepel. Öt éven keresztül láthattuk a Magyar Televízióban a Repeta-Matek című .

2 200 Ft – 2 890 Ft

Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika II. KT-0321

Szerzők:Hortobágyi István – Marosvári Péter – Pálmay Lóránt – Pósfai Péter -Siposs András – Vancsó Ödön évfolyam:9.-12.

840 Ft – 1 390 Ft

Geometriai feladatok gyűjteménye II.

840 Ft – 1 490 Ft

Matematika I. – A hat évfolyamos gimnázium első osztálya számára

Mike és Tsa Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

Becsengő – Játékos matematikai gyakorlatok 4. osztályosok részére

Számolást segítő foglalkoztató munkafüzet 4. osztályosok részére, amelyben lehetőség nyílik arra, hogy játékos feladatokon keresztül gya.

1 490 Ft – 1 990 Ft

Matematika 7. Feladatgyűjtemény

Használható: Általános iskola felső tagozat – matematika – 7. évfolyam

1 200 Ft – 1 830 Ft

Matematika 12.

940 Ft – 1 690 Ft

Studium Generale Matematika Szekció – Elméleti összefoglaló

2 580 Ft – 2 690 Ft

Matematika – Középiskola 9.évfolyam, nyelvi előkészítő tagozat

A Műszaki Kiadó Hajdu Sándor szerkesztésében matematikakönyvet jelentet meg a középiskolák nyelvi előkészítő osztályai számára. Ez a mate.

1 960 Ft – 2 490 Ft

Matematikaérettségi 1. – Gyakorló feladatsorok a középszintű írásbeli érettségire

Atticus

jó állapotú antikvár könyv

Középiskolára előkészítő tanfolyamok anyaga – Matematika (Msz:8059/2)

Matematikai feladatgyűjtemény II. – A gimnázium és a szakközépiskola II. osztálya számára

1 440 Ft – 1 490 Ft

Érettségi tételek emelt szintű érettségihez – Matematika

950 Ft – 1 490 Ft

Zrínyi 2010

A könyv a 2010. évi Zrínyi Ilona Matematikaverseny megyei és országos fordulójának feladatait, a feladatok részletes megoldásait, az egyé.

4 790 Ft – 6 990 Ft

Dolgo[z]zatok matematikából kilencedikeseknek CD melléklettel

Atticus

hibátlan, olvasatlan példány

Készüljünk a kompetenciamérésre!

Könyvbogár Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

A kompetenciamérésre készülő diákok, valamint felkészítő tanáraik munkáját kiadónk egy olyan kiadvánnyal szeretné segíteni, amelyben a hi.

Algebrai feladatok gyűjteménye a középiskolák I-IV. osztálya számára II. kötet (16. kiadás)

Antikvár Könyvkínáló

jó állapotú antikvár könyv

Ismertető: R.sz. 2033/II. – Laricsev: Algebrai feladatok gyűjteménye c. munkája alapján szerkesztette: Varga Tamás – További ismertető. “.

Matematika GyakorlóI-III

Mike és Tsa Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

Matematika Munkatankönyv II. (Gimnázium)

Mike és Tsa Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

Matematika munkatankönyv III.

Vonnegut Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

Analízis II. a gimnázium speciális matematika osztályai számára

1 930 Ft – 2 490 Ft

Matematika gyakorló IV. (Általános iskola 7-8. osztály, nyolcosztályos gimnázium 3-4. osztály, hatosztályos gimnázium 1-2. osztály)

1 440 Ft – 1 690 Ft

Matematika II. osztály

1 500 Ft – 1 840 Ft

Matek – Könnyű és egyszerű gyakorlatok a matematika játékos tanulásához

Németvölgyi Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

Matematika tételek (Új érettségi)

840 Ft – 1 190 Ft

Matematika tesztkönyv I. /15 éveseknek/

2 990 Ft – 3 990 Ft

Matematika tesztkönyv II. /16 éveseknek/

21 matek teszt – Matematikai tesztsorozatok felvételizőknek

Fiume Antikvárium

hibátlan, olvasatlan példány

Az egyetemi, főiskolai felvételizőknek ajánlott kötetünk 21-felépítésében és nehézségi fokában is a felvételi feladatsoroknak megfelelő -.

Abituraufgabensammlung Mathematik II.

Fiume Antikvárium

hibátlan, olvasatlan példány

Hortobágyi István – Marosvári Péter – Pálmay Lóránt – Pósfai Péter – Siposs András – Vancsó Ödön

Abituraufgabensammlung Mathematik I.

Fiume Antikvárium

hibátlan, olvasatlan példány

Hortobágyi István – Marosvári Péter – Pálmay Lóránt – Pósfai Péter – Siposs András – Vancsó Ödön

Batch-teszt- Matematika 7. osztály

Fiume Antikvárium

hibátlan, olvasatlan példány

Matematika III. ( fakultatív B változat )

840 Ft – 2 290 Ft

Matematika témazáró feladatlapok 7.

Matematika III.

Fiume Antikvárium

jó állapotú antikvár könyv

MATEMATIKA I. (NT-17800)

A tankönyvcsalád legfontosabb jellemzői A kiadványokat neves, sokéves tankönyvírási tapasztalattal rendelkező szaktanár írta. A tankö.

4 790 Ft – 5 990 Ft

Matematika tankönyv hetedikeseknek

Évfolyam: 7. Segédanyagok: KT-0308, KT-0309 (témazáró)

1 950 Ft – 1 990 Ft

Matematika Feladatgyűjtemény 8.

A matematika tanítása nagyon fontos tanulóink képességfejlesztésében. Olyan készségek, képességek fejlődnek általa, amelyek meghatározóak.

Matematikai feladatsorozatok /Egyenl.,Trig.,Logar/

Fiume Antikvárium

hibátlan, olvasatlan példány

Matematika témazáró feladatlapok 8.

Nevezetes egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek

Országos kompetenciamérés tesztgyűjtemény 8. osztályosoknak II.

Fiume Antikvárium

hibátlan, olvasatlan példány

Kiadónk második alkalommal jelentkezik az éves kompetenciamérésre felkészítő kiadvánnyal, mely tartalmilag és formailag is igazodik a köz.

MATEMATIKAI LOGIKA

Az utóbbi évtizedekben a számítógépek és a számítástudomány elterjedésének köszönhetően a matematikai logika alkalmazott tudománnyá vált.

Néhány tipikus problémaszituáció matematikából

Fiume Antikvárium

hibátlan, olvasatlan példány

Matematika gyakorlókönyv nyolcadikosoknak

Évfolyam: 8. Segédanyag: KT-0312 (témazáró)

1 190 Ft – 2 150 Ft

Matematika tankönyv hatodikosoknak

évfolyam:6. segédanyagok: KT-0305, KT-0306 (témazáró)

2 150 Ft – 2 790 Ft

Matematika tankönyv nyolcadikosoknak

Évfolyam: 8. Segédanyagok: KT-0311, KT-0312 (témazáró)

Matematika gyakorlókönyv hetedikeseknek

Érettségi témakörök és feladatok matematikából

Kompetencia alapú munkafüzet matematikából 7. és 8. osztályosoknak

Az utóbbi időben az oktatás előterébe a kompetenciafejlesztés került. Kötetünk kiválóan alkalmas a matematikai kulcskompetencia minden te.

2 490 Ft – 5 490 Ft

Kapcsolj 5.-be!

Kiadónk új, kompetenciafejlesztő sorozat fejlesztését kezdte, Kapcsolj! címmel. A kiadvány szórakoztatva gyakoroltatja a mindennapi élet .

Kapcsolj 7.-be!

Fiume Antikvárium

hibátlan, olvasatlan példány

Kiadónk új, kompetenciafejlesztő sorozat fejlesztését kezdte, Kapcsolj! címmel. A kiadvány szórakoztatva gyakoroltatja a mindennapi élet .

Kapcsolj 8.-ba!

Szórakoztató és fejtörő feladatok a matematikai készségek és a problémamegoldás fejlesztésére 8. osztályba lépőknek.

Iskolai gyakorlófüzetek – matematika 5. osztály (kisgondolkodó 1.)

1 280 Ft – 1 590 Ft

Elérhetőségek

Cégünk

Mit kínálunk

Így vásárolhatsz

Közösségi média

Oldalaink bármely tartalmi és grafikai elemének felhasználásához a Libri-Bookline Zrt. előzetes írásbeli engedélye szükséges.
SSL tanúsítvány

Kísérleti tankönyv MATEMATIKA 8. MUNKAFÜZET. Matematika. munkafüzet. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

2 A kiadvány megfelel az 5/0. (XII..) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5 8. évfolyama számára..03. előírásainak. Tananyagfejlesztő: GEDEON VERONIKA, PARÓCZAY ESZTER, SZÁMADÓ LÁSZLÓ, TAMÁS BEÁTA, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA Tudományos szakmai szakértő: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai szakértő: ILLÉS JÁNOS Olvasószerkesztő: DARCSINÉ MOLNÁR EDINA Fedélterv: OROSZ ADÉL Látvány- és tipográfiai terv: GADOS LÁSZLÓ, OROSZ ADÉL IIlusztráció: LÉTAI MÁRTON Szakábra: SZALÓKI DEZSŐ Fotók: Pixabay; WikimediaCommons; Wikipedia; Kováts Borbála; Márton Tünde A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József főigazgató Raktári szám: FI Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Márton Tünde Nyomdai előkészítés: Ruskóné Lőrinczi Krisztina Terjedelem: 6,48(A/5 ív), tömeg: 36,8 gramm. kiadás, 06 A kísérleti tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program 3..-B/ számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte: Felelős vezető: A nyomdai megrendelés törzsszáma: Európai Szociális Alap

3 Tartalom I. SZÁMOK ÉS BETŰK. Mit tudunk a racionális számokról? Racionális számok úton-útfélen A racionalis számokon túl, a négyzetgyök fogalma Számok négyzetgyöke Hatványozás nemnegatív kitevő esetén Hatványozás egész kitevővel Pozitív számok normálalakja Algebrai alapfogalmak Egytagú kifejezések szorzása Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés. Többtagú kifejezések szorzata. Összefoglalás. 6 III. A PITAGORASZ-TÉTEL. Szerkesztések, mérések A Pitagorasz-tétel Számítások síkban Számítások térben Szabályos háromszög, négyzet, kocka Nevezetes derékszögű háromszögek A kör és a derékszögű háromszög Összefoglalás. 6 II. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK. Egybevágósági transzformációk Vektorok Eltolás Forgassuk el! Középpontos hasonlóság Szerkesztések Hasonlóság Összefoglalás

4 Tartalom V. FÜGGVÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉGEK, SOROZATOK IV. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. Egyenletek Egyenlőtlenségek Szöveges feladatok számokról, életkorokról Szöveges feladatok összekeverésről Szöveges feladatok mozgásról, munkáról Szöveges feladatok a geometria köréből Vegyes feladatok Pénzügyi feladatok Összefoglalás Egyenes arányosság Lineáris függvények Lineáris függvények vizsgálata Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Fordított arányosság Példák nem lineáris függvényekre Olvassunk a grafikonról! Készítsünk grafikont szabály alapján! Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag Játék Valószínűség Valószinűségszámítási feladatok Keressünk összefüggéseket! Sorozatok Számtani sorozat Összefoglalás. 6 VI. FELSZÍN, TÉRFOGAT. Mit tanultunk eddig? Gúlák Kúpok A gömb Alkalmazások Összefoglalás

5 Mit tudunk a racionális számokról? I/. a) Írd a pontozott vonalra, mely számokat jelöltük a számegyenesen! a b c d e a). b). c). d). e). b) Jelöld a fenti számegyenesen a felsorolt számok helyét a lehető legpontosabban! 5 ;,4; 4 ; 5 6 ; 8 3 Húzd át azokat a számokat, amelyekre nem igaz az egyenlőtlenség! a) < a

6 I/. Mit tudunk a racionális számokról? 5 Igaz vagy hamis? Hamis állítás esetén adj ellenpéldát! a) A negatív számok abszolút értéke és ellentettje megegyezik. b) A nullának nincs reciproka. c) Egy számnak és az ellentettjének a szorzata nulla. d) A nulla kivételével minden szám abszolút értéke pozitív szám. e) Egy szám és a reciproka egyenlő távolságra van a 0-tól. f) Van olyan szám, mely egyenlő a reciprokával. 6 Végezd el a műveleteket! a) 9 (3 7)+5=. b) 4+( )+5 ( 6+0)=. c) 6: 3 9=. d) 7+( ) 8 3=. e) 4 [( 4):7] 3=. 7 Végezd el a műveleteket! a),4+3,5,09 7,=. b) 3,5:0,7,4 0,=. c) ( 6,3):( 9) 5,:( 0,4)=. d) [5,5 4,8:(,)]=. 8 Végezd el a műveleteket! a) b) c) d) 3 + = : : =. 6 SZÁMOK ÉS BETÛK

7 Racionális számok úton, útfélen I/. Írd be a hiányzó mérőszámokat! a) 900 m +,3 km =. dm b). dl 36 dl = 8,4 l c) 30 g + 7 dkg =. kg d) m + dm + cm =. mm e) 3 dm cm 3 =. m 3 f) 336 óra +. nap = 8 nap Töltsd ki a táblázatot a megadott szabály alapján! a) +3 = 36 6,5 9 4, b) 5 4 = 0 7, , 3 3 a) Hányadrésze a 9-nek az,5. b) Hányadrésze a 5 -nek az 5. c) Melyik az a szám, amely 9 negyedénél 0,5-dal kisebb szám. d) Melyik az a szám, amely 7,5-nál 3,6-dal nagyobb szám kétharmada. e) Melyik az a szám, amely 7,36 -nak az 5 része. 3 f) Melyik az a szám, amely 0,8 -nek a 3 része. 4 SZÁMOK ÉS BETÛK 7

8 I/. Racionális számok úton-útfélen 4 A számítások elvégzése után válaszolj a kérdésekre! a) Lénának forintra van szüksége, és a kétharmadát már összegyűjtötte dicsekszik Nagyi a felnőtt unokájáról. Mennyi pénzt kell még Lénának összespórolnia? b) A nyári táborban a vizitúra negyedén Dani kormányzott, aztán a táv felére Julcsi vette át. A maradék felét Ottó vállalta, így csak 5 km maradt Levinek. Hány km volt a túra összesen? c) A táborozók 3 része lekéste a vacsorát, mert 5 a délutáni túrán eltévedtek az erdőben, így csak 38 gyerek ült aznap este asztalhoz. Hányan vettek részt a délutáni túrán? Számolás: 5 Az iskolában 85 nyolcadikos tanuló van. Az évfolyam 40%-a médiaszakkört választott, 3 5 része sportszakkört. A médiára járók fele sportszakkörre is jár. Az évfolyamból hét diák választotta a latinszakkört, ők nem járnak sem média- sem sportszakkörre. a) Hány nyolcadikos jár médiaszakkörre? b) Hányan járnak sportszakkörre az évfolyamról? c) Hány nyolcadikos jár média- és sportszakkörre is? d) Hány olyan diák van a nyolcadikosok között, aki nem jár a fent említett szakkörök egyikére sem? 8 SZÁMOK ÉS BETÛK

9 A racionalis számokon túl, a négyzetgyök fogalma I/3. Karikázd be az irracionális számokat az alábbi számok közül! Húzd alá kékkel a véges, pirossal a végtelen szakaszos tizedes törteket! Melyik szám esetén nem tudtál dönteni? 0,76; 0,; 00 ; 0,3333 ; 0, ; 5 ; 5,37; 0, Írj – példát az alábbiakra! a) véges tizedes tört. b) végtelen szakaszos tizedes tört. c) végtelen nem szakaszos tizedes tört. 3 Keresd meg, egy-egy négyzetszám melyik számmal egyenlő, majd írd a szám fölé a körbe! Ne hagyd magad becsapni! ( 5) ; ; 33 ; 3 ; ( ) ; ; ; ( ) ; ( 4) ; 5 ; 0 ; ( 8) ; ( ) ; 9 ; ( 3) ; ; 8 ; 0,6 64 3, Írd fel növekvő sorrendben a felsorolt számok négyzetét! 5; 3;,; ; 0,5; SZÁMOK ÉS BETÛK 9

10 I/3. A racionalis számokon túl, a négyzetgyök fogalma 5 Kösd össze az egyenlő számokat! Adva van egy négyzet területe. I. Számítsd ki a négyzet oldalának hosszát! II. Add meg olyan téglalapok oldalhosszait, amelyek területe megegyezik a négyzet területével, de oldalai különböző egész számok! Keress több megoldást! a) T = 64 cm. b) T = 96 dm c) T = mm. d) T = 500 m Rajzolj olyan négyzeteket, amelyek területe 8, illetve 8 terület-egység! 0 SZÁMOK ÉS BETÛK

11 Számok négyzetgyöke I/4. Párosítsd az egyenlőket! 0000,5, 0, ,6,44, 36 0,0 6, , 3 0, 6 70 Állítsd növekvő sorrendbe az alábbi számokat! a) 7; ; 3; ; 9. b) ; 6 ; 4 ; 4 9 ; c) ; ; ; ;. 3 Add meg az alábbi számok egészre, illetve egy, két és három tizedesjegyre kerekített szomszédját a mintafeladat szerint! A feladatmegoldáshoz használjatok számológépet! 4< 0 < 5 < 3 < < 5 < < < 4,4 < 0 < 4,5 < 3 < < 5 < < < 4,47 < 0 < 4,48 < 3 < < 5 < < < 4,47 < 0

12 I/4. Számok négyzetgyöke 4 Keresd meg az egyenlőket! 7 a) 49; 7 ; ; 7 7; 49 b) 000; 00; 0; 0 ; 00 3 c) 6; 8; 64; ; ( 6) 5 Az alábbi szakaszok egy-egy négyzet oldalai. a) Egészítsd ki a szakaszokat négyzetekké a mintának megfelelően! b) Határozd meg a négyzetek területét! c) Számítsd ki a négyzetek oldalainak hosszát számológéppel! a b a =. b =. c =. d =. c d 6 Számítsd ki a négyzetek oldalának hosszát és területét! a) b) c) SZÁMOK ÉS BETÛK

13 Hatványozás nem negatív kitevő esetén I/5. Írd fel hatvány alakban az alábbi számok prímtényezős felbontását! a) b) 78 c) a) =. b) 78 =. c) =. Keresd meg, és kösd össze az egyenlőket! 6 ( ) ( 4) ( 8) Írd fel egyetlen szám hatványaként a kifejezéseket! 6 6 a) 5 = b) 3 8 = c) = d) =. e) 5 6 = 6. f) = 7. g) = 37 h) = 0. SZÁMOK ÉS BETÛK 3

14 I/5. Hatványozás nem negatív kitevő esetén 4 Végezd el a műveleteket! 5 8 a) 3 3 =. b) 7 7 = c) 9 9 = d) 3 3 =. e) =. f) = g) : =. h) 4 :4 =. i) ( ) = j) 4 7 : 4 7 = k) 3 = 0. l) = m) (6 ) =. n) =. o) : 4 =. 5 Kisebb, nagyobb, egyenlő? Tedd ki a megfelelő relációs jelet! a) (3 7) b) c) (8 : 3) d) 8 (3 ) 3 (3)6 (3) 4 6 Végezd el a műveleteket és számítsd ki a hatványok értékét! 3 a) 3 3 =. b) =. c) (5 ) =. d) ( ) 4 ( ) 3 = e) 3. f) = Az alábbi kifejezések egy kivételével azonosak. Húzd alá a kakukktojást! 5 a) ; 5 ; ( ) 3 36 ; ; (3 4)5 5 3 b) ; ; 3 6 ; (3 ) 3 ; (3 3) c) 5 8 ; (54) 4 ; 8 ; (3 5) 8 ; SZÁMOK ÉS BETÛK

15 Hatványozás egész kitevővel I/6. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Negatív kitevőjű hatvány Negatív kitevő nélküli hatvány Hatványérték A feladatban szereplő alapok és kitevők szétestek különálló számokra. Állítsd össze a megfelelő hatványokat, és párosítsd az értékükkel! Segítségként megadtunk egy megoldást. 5; 3; ; 0; 4; ; 3; -6; 8; 5; a) = 5 3 b) 5 64 =. c) 3 = d) =. e) 8 =. 3 Kösd össze a kör közepén álló kifejezéseket a vele egyenlőkkel! SZÁMOK ÉS BETÛK 5

16 I/6. Hatványozás egész kitevővel 4 Tedd ki a megfelelő relációs jelet (; =)! a) b) c) ( 7) d) 4 ( 7) 0 e) ( 7) 5 ( 8) 9 ( 8) 4 f) 4 ( 8) Írd egyszerűbb alakba az alábbi hányadosokat, majd állítsd őket növekvő sorrendbe! a) b) c) d) e) f) Növekvő sorrend. 4 I/7. Pozitív számok normálalakja Keresd a párját! 9, , ,95 9, ,5 0 9,5 0,0095 9, ,5 0 0,095 Csoportosítsd a következő számokat úgy, hogy a normálalakjukban a tízhatványok kitevői megegyezzenek! Van-e köztük kakukktojás? ; 53 0 ; 0,0064; 85 0 ; ; 358,8 0 3 ; 0, ; 5,7 0; 0, a) 0 3 . b) 0 5 . c) 0 3 . d) 0 5 . 6 SZÁMOK ÉS BETÛK

17 Pozitív számok normálalakja I/7. 3 A legtöbb atom magja protonokból és neutronokból áll. Az atommag körül számos elektron kering. Írd fel normálalakban az alábbi adatokat! a) Egy proton átmérője 0, méter. 0, m =. m b) Egy neutron átmérője 0, méter. 0, m =. m b) Egy elektron átmérője kisebb, mint 0, méter. 0, m =. m 4 Végezd el a számításokat normálalakban, és ellenőrizd az eredmények helyességét! Javítsd ki a hibás műveleteket! a) = b) = c) : = d) : = 0, Húzd alá azokat a számokat, amelyek egyenlők 8, nal! a) 89,6 0 b) 0, c) 896, d) 0,00896 e) 89,6 0 f) g) 0, Írd fel a számokat normálalakban, majd állítsd csökkenő sorrendbe őket! a = 79, =. b = 0, =. c = =. d = 796, =. e = 0, =. f = 0, =. g = 7963,8 0 8 =. h = 796, =. Csökkenő sorrend. 7 Számold ki annak a négyzetnek a kerületét és területét, melynek oldala a) 5,78 0 m; b) 9,6 0 3 m! K =. T =. K =. T =. SZÁMOK ÉS BETÛK 7

18 I/8. Algebrai alapfogalmak Karikázd be a helyes megoldást! a) Egy téglalap b oldala másfélszerese az a oldalnak. Melyik kifejezés mutatja helyesen a téglalap kerületének kiszámítását? a) (a + b) b) (a +,5b) c) (a + 0,5a) d) (a +,5a) b) Melyik képlet mutatja helyesen, hogy a torta felének már a negyede elfogyott? a) t 4 b) t 4 c) t 4 3 d) t 4 c) Nagyi x éves, az unokája negyedannyi. Melyik képlet mutatja helyesen a köztük lévő korkülönbséget? a) x 4x b) x x 4 c) 4x x 3 d) 4 x x e) x 4 Gyűjtsd össze az egynemű algebrai kifejezéseket, és végezd el az összevonásukat! a b ; 3ab ; 5a b ; ab a ; 7,8abab; 3 ba ; a b 3 ; a b ; 0 ab 3 Írd fel algebrai kifejezésekkel! Mit jelöltél ismeretlennel? a) Kétszer annyi macskám van, mint kutyám. Ennyien vannak összesen. b) A barátom telefonján háromszor annyi tárhely van, mint az enyémen. Ennyi tárhely van az én telefonomon. Ennyi tárhely van a barátomén. c) Az én fényképem 4 lájk híján kétszer annyit kapott, mint a barátnőmé. Ha a barátnőm l db lájkot kapott, akkor én ennyi lájkot kaptam. 8 SZÁMOK ÉS BETÛK

19 Algebrai alapfogalmak I/8. 4 Töltsd ki az üres helyeket! b 5a 3a 4 a 7a 7b ab 3a 4b 5 b 5 Keresd meg a hibát, és írd le helyesen az alábbi zárójelfelbontásokat! a) 3(x 4) = 3x +. b) 4(x 7) = 4x 8. c) 5(x 3) = d) 6(x + 8) = 6 + x Számítsd ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét az a és b megadott értékeivel! a) 7a 8b + 86a + b 57a + 43b, ahol a = 7,4; b = 3, b) + a 5 3 b + 3 ab, ahol a = ; b = 0,6. c) 6(a + 4) 4(5 3b) (b 3a), ahol a = 5 6 ; b =. d) 3ab 4a b 3ab a b, ahol a = 6 5 ; b = 0. SZÁMOK ÉS BETÛK 9

20 I/9. Egytagú kifejezések szorzása A minisakktábla minden mezőjén algebrai kifejezések vannak. Minden mezőnek van egy neve, például a c3 mező a c oszlop harmadik négyzete. Az alábbi feladatokat ezekkel a mezőkkel kell elvégezned. Írd fel a műveleteket, és végezd el a szorzásokat! a) a c3 = b) d e4 = c) a3 b c =. d) d4 e5 e3 b4 =. Szorozd össze az átlóban lévő kifejezéseket! a) a b c3 d4 e5 =. b) e d c3 b4 a5 =. 3 Írd fel a műveleteket, és végezd el a szorzásokat! a) a3 e d b3 =. b) b4 c e5 b5 =. c) a4 d b d5 =. d) ( b) c5 ( e4) e =. 4 Írd fel, és végezd el a műveleteket! Add meg a legegyszerűbb alakot! a3 a) a. b5 b) d. b e3 c) c3 e. d d5 d) e4 b. 5 Végezd el a műveleteket! Add meg, melyik mezőn találod a megoldást! 5 4xy 5x a) 0 y xy 7 y b) 4 4 y x x y 9x y c) xy 5x y. 0 SZÁMOK ÉS BETÛK

21 Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés I/0. Írd fel kétféleképp az alábbi téglalapok területét! a b 7 a) 7(a + b) = 7a + 7b c 8 d b). f f e c). g h h i i i d). 5k 3l m j e). p 8 7q r r f). Rajzolj téglalapokat az alábbi összeg alakokhoz! Illeszd össze a téglalapokat a megfelelő oldaluknál, hogy egy nagyobb téglalapot kapj belőlük! Olvasd le a nagy téglalapról a szorzat alakot! Dolgozz a füzetedben! a) a + b b) 4a + 0 c) 5a + 5b d) 3a + 3ab e) 6a + 0b f) ab + ac 3 Bontsd fel a zárójeleket, ahol lehet, végezd el az összevonást! a) 3a (5 4b) =. b) x (6 y) =. c) 5x (3x 4) =. d) 3 y (y + 8) =. e) 7xy (3x + y) =. f) 6a b (a 5b) =. g) a (5 3b) + 3a (4 + 7b) =. SZÁMOK ÉS BETÛK

22 I/0. Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés 4 Az alábbi két téglalapból egy nagyobb téglalapot tudsz összeragasztani a következő módon: Párosítsd össze a megadott téglalapokat, majd rajzold le az összeillesztett téglalapokat! Írd fel a területüket külön-külön és az összeragasztás után is! b a c A d B b e C e D c f 8 E e F Írd be a téglalapok hiányzó adatait! Add meg a területeket szorzat és összeg alakban is! a) b ab c b) 6 8c d c) n d) c 4h hm a ad e) h 7b f) c c 5eh a ab SZÁMOK ÉS BETÛK

23 Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés I/0. 6 Írd a négyzetbe a hiányzó algebrai kifejezéseket! a) 5a + = 5(a + b) b) + 8d = d(7 + 8) c) 6ef + = 3e( + 5) d) 9c + = 3c( + d) e) + 4gh = h(j + ) f) + 5m n = 5mn(n + ) 7 Húzd alá azokat a kifejezéseket, amelyekben a kiemelés után a + 3b áll a zárójelben! a) 4a + b =. b) a + 36b =. c) 8a + 4b =. d) 0ab + 5b =. e) 8a + b =. f) 6ac + 9bc =. g) a b + 8ab =. h) 0a b + 30a b =. 8 Már épp úgy tűnt, hogy a gyerekek értik a törtek egyszerűsítését, amikor Móricka a következőket kérdezte: 8x xy a) A törtet csak 4-gyel tudjuk egyszerűsíteni? 4xy 3x 5y b) A tört egyszerűsítés után x + 5y alakban írható fel? 3xy c) A 8 a tört egyszerűsítés után felírható a alakban? 8 A többi tanuló és a tanár csak a fejét csóválta. Javítsd ki a hibákat te is! a). b). c). SZÁMOK ÉS BETÛK 3

24 I/. Többtagú kifejezések szorzata Írd fel kétféleképpen az ábrán látható téglalapok területét! a) b 3 T =. a b) 5 c 5 T = c. Egy téglalap oldalai a és b egység hosszúak. A rövidebbik oldalát 4 cm-rel növeltük, a hosszabbikat cm-rel csökkentettük, így egy négyzetet kaptunk. Dolgozz a füzetedben! a) Szemléltesd egy ábrán az oldalhosszak változását! b) Írd fel a négyzet területét a téglalap oldalainak segítségével! 3 Írd fel kétféleképpen az ábrán látható téglalapok területét! a) a ab T = ab. b) 6 e T = f. c) g k T=. m. pg. 4 SZÁMOK ÉS BETÛK

25 Többtagú kifejezések szorzata I/. 4 Végezd el az alábbi kifejezések szorzását! Vonj össze, ahol tudsz! a) (x + )(x + 3) =. b) (x )(x + ) =. c) (3x + )(x + ) =. d) (x + )(x 3) =. e) (x + )(x ) =. f) (x + 3y)(x + 3y) =. g) (5x 4y)(4x + 5y) =. h) (x y )(x y) =. 5 Az alábbi feladatmegoldások mindegyike helytelen. Javítsd ki a hibákat pirossal! a) (x + 4)(x 5) = x + 5x + 4x 0 = x + 9x 0 b) (x )(x ) = x 4x x = x 5x c) (3x + y)(x y) = 9x 3x + y + y 6 Töltsd ki a táblázatot úgy, hogy az X Y = Z igaz legyen! X (a + ) (a ) ( a) Y (a 5) (a ) Z a + a 3 a 6a + 3 a SZÁMOK ÉS BETÛK 5

26 I/. Összefoglalás Töltsd ki a táblázatot! x 4 0,4 3 y 0, 5 x + y 5 x y 7 5 x y 6 Húzd alá azokat a kifejezéseket, melyek egyenlők -del! a) 3 5 = 3 b) =. c) 0,0 =. d) 0,4 0,75 0, =. e) =. 4 g) =. f) = h) =. 3 Melyik az a szám, amely a) 4 és 3 b) 5 7 és 0 3 összegénél -del kisebb? különbségénél -del nagyobb? c) 7 és 5 szorzatának a harmada. d) 5 és 44 hányadosának az 5-szöröse. 6 SZÁMOK ÉS BETÛK

27 Összefoglalás I/. 4 Mekkora a négyzet oldala, ha a területe a) 44 m ;. b) 65 mm ;. c),69 dm ;. d) m ;. e) 0,0 cm ;. f) 6 8 mm. 5 Keresd meg és javítsd ki a hibát az alábbi feladatokban! Pipáld ki a hibátlanokat! a) = b) 5 5 = c) 4. d) 8 = 4 6 : e) (3 6 ) = f) 3 5 = g) f) Keresd a párját! 6 8 ( 3) 4 ( 4) 3 SZÁMOK ÉS BETÛK 7

28 I/. Összefoglalás 7 Végezd el a számításokat, és az eredményeket add meg normálalakban! a) =. b) : =. c) (4,7 0 5 ) (,3 0 4 ) =. d) (,5 0 4 ) (,3 0 7 ) =. e) (3,6 0 8 ) : (4 0 ) =. f) (0,3 0 5 ) : (,9 0 ) =. 8 Töltsd ki a táblázatot! Add meg a legegyszerűbb alakot! A xy 8x y 3 4,8x 4 y x3 y B 3y 4xy 3,x 3 y 5 4 x3 y A B A : B 9 Írd át a szorzatokat összeg alakba, az összegeket szorzat alakba! a) 3a(a + 5) =. b) 5a(3 b) =. c) 7ab(a 3b) =. d) 8ab 6a =. e) a 8ab =. f) 8ab 4a b =. 0 Töltsd ki az üres négyzeteket úgy, hogy igaz legyen az egyenlőség! a) (x + )(x 3) = x + x b) ( )(x + 5) = x + 9x 5 c) (3x )( 3) = x 7x + 6 d) (6 )(x + ) = x + 8x SZÁMOK ÉS BETÛK

29 Egybevágósági transzformációk II/. Csoportosítsd az ábrán látható háromszögeket egybevágóságuk alapján! A B C D E F G H I J Csoportok. Add meg az ABCD négyszög tengelyes tükörképét, ha megadtuk egy-egy pontjának a képét! a) b) D C B A C A B A D A 3 Add meg az ABCD négyszög középpontos tükörképét, ha megadtuk egy-egy pontjának a képét! a) b) D B A C C A B A D A 4 Fogalmazd meg, hogyan kaphatsz tükrözéssel egy háromszögből deltoidot. 5 Fogalmazd meg, hogyan kaphatsz tükrözéssel egy háromszögből paralelogrammát. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 9

30 II/. Egybevágósági transzformációk 6 Tükrözd a koordináta-rendszerben látható ötszöget a megadott t tengelyre! Add meg az eredeti és a képként kapott ötszög csúcsainak koordinátáit! t y C A(.;. ); B(.;. ); C(.;. ); D(.;. ); E(.;. ); D E B A'(.;. ); B'(.;. ); C'(.;. ); D'(.;. ); E'(.;. ). A 0 x 7 Tükrözd a koordináta-rendszerben látható ötszöget a megadott K pontra! Add meg az eredeti és a képként kapott ötszög csúcsainak koordinátáit! A y E A(.;. ); B(.;. ); C(.;. ); D(.;. ); E(.;. ); B A'(.;. ); B'(.;. ); C'(.;. ); D'(.;. ); E'(.;. ). C K D 0 x 8 A képen két terítőt látsz. Fejezd be a rajzot úgy, hogy a bal oldalin tengelyesen szimmetrikus, a jobb oldalin középpontosan szimmetrikus mintát kapj! 30 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

31 Vektorok II/. Használd a földrajzi atlaszodat! Add meg a megfelelő települések nevét! a) Salgótarjántól 70 km-re keletre található. b) Kalocsától 00 km-re északra van. a). b). a b c d e f g h j a) Add meg az egyenlő vektorokat. b) Add meg az ellentett vektorokat. 3 Add meg! a) a + b b) a + c b c c) a + b + c d) b a e) c f) c b g) a c h) a c 4 Add meg az összegeket! a) AB BK. B C b) AF FE ED. c) AK FK CD. A K D d) AK KD. e) FK BK. f) AD DE CB. F E GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 3

32 II/. Vektorok 5 Add meg a műveletek eredményét! a) AB AK. b) AF AB. c) AB AF AC. d) AC AE. e) BF CE. f) BA BK BD. A B F K C E D 6 Igaz? Hamis? Húzd alá a megfelelőt! Ha két vektor azonos hosszúságú, akkor az összegük a) biztosan hosszabb náluk; Igaz Hamis b) nem lehet, hogy egyenlő velük; Igaz Hamis c) lehet, hogy rövidebb náluk; Igaz Hamis d) lehet nullvektor. Igaz Hamis 7 Rajzolj két vektort, amelyek összege és különbsége merőleges egymásra! Milyen vektorokat rajzoltál. 8 A tankönyvben megismert autóverseny szabályai szerint jelöld a megadott ábrán, hogy hol lehet az autód a) az első; b) a második lépés után! 3 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

33 Eltolás II/3. Készíts mintát eltolással! Az eltolás vektorát megadtuk az ábrán Told el a háromszöget úgy, hogy egyik csúcsa a kitűzött pont legyen! Hányféle megoldást találtál? P 3 Add meg az eltolás vektorát, és told el a téglalapot úgy, hogy a középpontja a kör középpontjában legyen! 4 Add meg az eltolás vektorát, és told a szakaszt olyan helyzetbe, hogy húrja legyen a körnek! Hány helyre tudtad tolni. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 33

34 II/3. Eltolás 5 Pál a legrövidebb úton szeretne eljutni Péterhez. Az úttesten szabályosan, az út szélére merőlegesen szeretne átmenni. Rajzold be a megfelelő utat! Pál Péter 6 Igaz? Hamis? Húzd alá a megfelelőt! a) Ha egy egybevágósági transzformációban az egyenes és a képe párhuzamos egymással, akkor az a transzformáció az eltolás. Igaz Hamis b) Ha az eltolás vektora nem a nullvektor, akkor az eltolásnak nincs fixpontja. Igaz Hamis c) Ha egy eltolásnál az egyenes és a képe egybeesik, akkor az egyenes párhuzamos az eltolás vektorával. Igaz Hamis d) Egy szög és az eltoltja egyállású szögpárt alkot. Igaz Hamis e) A váltószögeket nem lehet eltolással egymásba transzformálni. Igaz Hamis f) Két egyenlő oldalú négyzethez megadható egy vektor, amellyel az egyik négyzet a másikba tolható. Igaz Hamis II/4. Forgassuk el! Forgasd el az ABCD négyzetet a) a B csúcsa körül 90 -kal; b) a K középpontja körül 45 -kal! C C D B D K B A A 34 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

35 Forgassuk el! II/4. Forgasd el az ABCD téglalapot 90 -kal az átlóinak metszéspontja körül! Milyen síkidom lett az eredeti és a képként kapott téglalap közös része. D C B A 3 Fejezd be az ábrákat úgy, hogy forgásszimmetrikusak legyenek! a) b) c) d) 4 Forgasd el a síkidomokat a négyzetrács segítségével a K pont körül +90 -kal és 90 -kal! a) b) K K Milyen transzformáció vinné az elsőként kapott képet a másodikként kapott képbe? A transzformáció neve: GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 35

36 II/4. Forgassuk el! 5 A négyzetben egy titkos üzenet van elrejtve! A mellékelt ábra és a 90 -os forgatás elvezet a megfejtéshez. A S M E E K Z T O A E T M E T R A titkos üzenet. Rejts el te is egy titkos üzenetet! A megoldás kulcsa egy másféle ábra legyen! II/5. Középpontos hasonlóság Szerkeszd meg az ABCD négyszög kétszeres nagyítását az O középpontból! D C A B O 36 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

37 Középpontos hasonlóság II/5. Készíts céltáblát! A megadott kört a kör középpontjából nagyítsd a kétszeresére, másfélszeresére, majd kicsinyítsd a felére! 3 Add meg a középpontos hasonlóság középpontját a következő ábrákon, ha az arányszám a) pozitív; b) negatív! 4 Melyik igaz (I), melyik hamis (H) állítás az alábbiak közül? Ha két háromszög középpontosan hasonló, és a) az egyik egyenlő szárú, akkor a másik is az. b) az egyiknek van 84 -os szöge, akkor a másiknak van 4 -os. c) az egyiknek van 6 cm hosszúságú oldala, akkor a másiknak van 3 cm-es. d) az egyik szabályos, akkor a másik is az. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 37

38 II/5. Középpontos hasonlóság 5 Másold át a nagyított képet! A másolást segíti a megadott négyzetháló. 6 Nagyítsd az origóból a kétszeresére az A( ; ), B(3; ), C(; 3), D( ; ) csúcsokkal megadott négyszöget! Add meg a képként kapott négyszög csúcsainak koordinátáit! y A'(.;. ); B'(.;. ); C'(.;. ); D'(.;. ). 0 x II/6. Szerkesztések Végezd el a kicsinyítést! Végezd el a nagyítást! K C A D C B A K A A B 38 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

39 Szerkesztések II/6. 3 Szerkeszd meg a C pont képét, ha A képe A’, B képe B’! C A A’ B B’ 4 Szerkeszd meg az AB szakasz képét, ha a középpontos hasonlóság középpontja K, és a) 4; b) 7 4 ; A A K B K B c) 8; d) 3 8! A A K B B K GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 39

40 II/6. Szerkesztések 5 Szerkeszd meg az ABC háromszög képét, ha a középpontos hasonlóság középpontja K, és a) 3 ; b) 7 3 ; A C B K C B K A c) 5 ; d) 9 5! K C C B B K A A 6 Vágd két részre az adott AB szakaszt egy C ponttal úgy, hogy a) AC : CB = : 5; b) AC : CB = 5 : ; A B A B c) AC : CB = : 8; d) AC : CB = 3 : 7 arányú legyen! A B A B 7 Színezd az ábrán látható szalagot a bal oldalától kezdve pirosra, a jobb oldalától kezdve pedig zöldre! A szalag 3 -ad része legyen piros, -öd része pedig zöld! 5 40 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

41 Szerkesztések II/6. 8 Az ábra egy szabályos hatszög alakú parkot szemléltet. A határvonalon van egy sétaút. Az A csúcsnál elhelyeztek egy pihenőpadot. Tervezd meg még további négy pad helyét úgy, hogy a park körbesétálásakor a padok közötti távolság egyenlő legyen! E D F C A B Hasonlóság II/7. Egy háromszög oldalhosszai, cm, cm és,7 cm. Egy hozzá hasonló háromszög leghosszabb oldalának hossza 8,5 cm. Mekkora a háromszög hiányzó oldalainak hossza? Az egyik oldal hossza. A másik oldal hossza. Rajzolj egy derékszögű háromszöget! Rajzold meg az átfogóhoz tartozó magasságot! Mutasd meg, hogy az így kapott két háromszög hasonló az eredetihez! GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 4

42 II/7. Hasonlóság 3 Rajzold körbe az ábrán látható derékszögű vonalzót kívül és belül is! Indokold, hogy a két háromszög miért lesz hasonló! Az ábra egy egyenlő szárú derékszögű háromszög alakú ház homlokzatát mutatja. A fal egy részét kibontották, mert egy ablakot szeretnének beépíteni. Hányad részét foglalja el a falnak ez a háromszög alakú ablak? Először tippelj, aztán mérj és számolj! Tipp. A mérés és a számolás szerint: Egy magas fától vízszintes talajon ugyanabban az irányban távolodva függőlegesen leszúrtunk két botot. Az első bot a fától 0 méterre van, a magassága pedig, méter. A második bot a fától 3 méterre van, és a magassága 80 centiméter. A fa és a két bot teteje egy egyenesre illeszkedik. Milyen magas a fa? Készíts vázlatrajzot, és számolj a füzetedben! 6 Végy egy téglalap alakú papírlapot! Hozd létre félbehajtással a hosszabb középvonalát és az egyik átlóját! Hajtsd meg a félbehajtáskor kapott egyik téglalapnak azt az átlóját, amelyik a nagy téglalap belsejében metszi a nagy téglalap meghajtott átlóját! a) Készíts vázlatrajzot a hajtogatásról! b) Mutasd meg, hogy a két meghajtott átló metszéspontjából a téglalap hosszabb oldalára állított merőleges harmadolja az oldalt! GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

43 Hasonlóság II/7. 7 Egy méter széles út szemben lévő oldalán két közlekedési tábla áll. Hogyan határoznád meg a közöttük lévő távolságot, ha nem mehetsz át a másik oldalra? Készíts rajzot, és fogalmazd meg a tervedet! Egymásra tettünk egy A3-as, egy A4-es és egy A5-ös papírlapot az ábrán látható módon. Indokold, hogy az A, B és C csúcsok miért illeszkednek egy egyenesre! Segítségként használd a tankönyvi leckében található Tudtad? részt! A B C Összefoglalás II/8. Az ábrán látható szakaszok hossza egyenlő, a hajlásszögük 60. Add meg azokat a forgatásokat, amelyek az egyik szakaszt a másikba viszik! Rajzold meg az eltolás vektorát, ha az egyenlő szárú háromszöget úgy kell eltolnod, hogy az alapja egybeessen a téglalap felső oldalával! Rajzold meg a háromszög eltolt képét is! GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 43

44 II/8. Összefoglalás 3 Mekkora a piros négyszög területe az ábrán látható paralelogrammában, ha a zöld háromszög 3 cm, a sárga négyszög pedig 0 cm területű? Válaszodat indokold! A piros négyszög területe. Indoklás: Kicsinyítsd az ábrán látható ötszöget úgy, hogy az AB oldal az A’B’ szakaszba kerüljön! A A E D B B C 5 Egy ötszög oldalainak hossza cm,,3 cm, 3 cm,,4 cm és 3,6 cm. Egy hozzá hasonló ötszögben a legrövidebb és a leghosszabb oldal hosszának összege 4 cm lesz. Mekkora az új ötszög kerülete? A legrövidebb oldal hossza. A leghosszabb oldal hossza. A többi oldal hossza. Vagyis az új ötszög kerülete. 6 Az ábrákon feltüntetett szaggatott vonal mindkét esetben a két folytonos vonal közötti távolság közepén fut. Mekkora a szaggatott vonal hossza? (A nagy és a kis síkidom kerületét az ábra alatt láthatod.) K k K k K = 6,4 cm, k = 0,8 cm K = 4,7 cm, k = 3,9 cm A szaggatott vonal hossza: x =. A szaggatott vonal hossza: x =. Milyen arányú hasonlóság viszi a kicsi síkidomot a szaggatott vonallal rajzolt síkidomba? Arány. Arány. Milyen arányú hasonlóság viszi a szaggatott vonallal rajzolt síkidomot a nagy síkidomba? Arány. Arány: GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

45 Összefoglalás II/8. 7 Vágd szét a téglalap rövidebb oldalát : 3 arányban, hosszabb oldalát pedig 3 : 4 arányban! Az osztópontokban állíts merőlegest az oldalakra! Mekkora területű részeket kaptál, ha az eredeti téglalap területe 40 cm? A kapott részek területe. 8 Milyen magas a ház, ha egy 80 centiméteres bot árnyéka,4 méter, a házé pedig 45 méter? A ház magassága. 9 Milyen magas a ház? A lámpaoszlop 4 méter, a közlekedési tábla méter magas, és egymástól 6 méterre vannak. A lámpa és a ház távolsága 60 méter. A ház magassága. 0 Három település egymástól való távolságát megmértük egy : arányú térképen. Helyüket a térképen az A, B és C pont jelöli. Ekkor AB =,4 cm, BC = 3,3 cm, AC = 4,8 cm. Milyen messze vannak a települések egymástól a valóságban? Az AB valódi hossza. A BC valódi hossza. Az AC valódi hossza. A D település az A-tól a valóságban 45 kilométerre található. Milyen messze vannak egymástól a térképen? AD távolság a térképen. Egy másik térképen az AD távolságot 3 cm-nek mértük. Mekkora ennek a térképnek a méretaránya? A térkép méretaránya. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 45

46 III/. Szerkesztések, mérések Egy négyzet átlója 3 cm hosszú. Hány milliméter hosszú az oldala? Szerkessz és mérj! Az oldalhossz. Egy négyzet átlója 0 cm hosszú. Szerkessz, mérj, számolj! Mekkora a területe? Milyen hosszú az oldala? A négyzet területe. A négyzet oldalhossza. 3 Egy szabályos háromszög magassága 3 cm hoszszú. Szerkeszd meg a háromszöget! Mekkora a háromszög kerülete, területe? A háromszög oldalának hossza. A háromszög kerülete. A háromszög területe. 4 Egy rombusz átlóinak hossza: 3 cm és 5 cm. Szerkessz, mérj, számolj! Mekkora a rombusz kerülete? A rombusz oldalának hossza. A rombusz kerülete: A PITAGORASZ-TÉTEL

47 Szerkesztések, mérések III/. 5 Egy téglatest alakú terem egyik alsó sarkában rögzítettünk egy zsinórt, amelyet kifeszítettünk előbb a padló, majd a terem legtávolabbi csúcsáig. Az első esetben 0 méter, a második esetben 0,6 méter zsinórra volt szükségünk. Milyen magas a terem? A terem magassága. 6 Az ábra egy a szobában mászkáló bogár útját mutatja: vízszintesen 8 dm-t, aztán függőlegesen 6 dm-t, végül ismét vízszintesen 4 dm-t mászott. Mekkora utat tett volna meg, ha a kezdőpontból egy szakasz mentén egyenesen a végpontba repül? Az út hossza repülés esetén. A PITAGORASZ-TÉTEL 47

48 III/. A Pitagorasz-tétel Töltsd ki a táblázatot! Az a, b, c a derékszögű háromszög oldalhosszait jelenti, azonos hosszúsági mértékegységben megadva (c az átfogó). a 7 0,6 7 6 b 4 0,8 3,6 7,5 40 c 5 3,9 44,5 3 3 Számításaimhoz a. -tételt használtam. Egy háromszög oldalainak hossza 8 cm, 5 cm és 7 cm. Derékszögű-e a háromszög? A leghosszabb oldal hosszának négyzete. A másik két oldal hosszának négyzetösszege. Ez a háromszög. mert A döntéshez a. használtam. 3 Döntsd el számítással, hogy milyen típusúak a négyzetrácsra rajzolt háromszögek! a) b) c) a) Az oldalak hossza. A leghosszabb oldal hosszának négyzete. A másik két oldal hosszának négyzetösszege. Ez a háromszög. mert b) Az oldalak hossza. A leghosszabb oldal hosszának négyzete. A másik két oldal hosszának négyzetösszege. Ez a háromszög. mert c) Az oldalak hossza. A leghosszabb oldal hosszának négyzete. A másik két oldal hosszának négyzetösszege. Ez a háromszög. mert 48 A PITAGORASZ-TÉTEL

49 A Pitagorasz-tétel III/. 4 Ábrázold a következő pontokat a megadott koordináta-rendszerben! A(; ), B(; 5), K(3; 8), L(4; 8), M(; 8), N(3; 9) Számítással döntsd el, hogy milyen típusú szög az AKB, ALB, AMB, ANB! Az AB oldal hosszának négyzete. Az AKB háromszögben a másik két oldal hosszának négyzetösszege. y 0 x Vagyis az AKB szög. mert. Az ALB háromszögben a másik két oldal hosszának négyzetösszege. Vagyis az ALB szög. mert. Az AMB háromszögben a másik két oldal hosszának négyzetösszege. Vagyis az AMB szög. mert. Az ANB háromszögben a másik két oldal hosszának négyzetösszege. Vagyis az ANB szög. mert. 5 Egy 3, méter magas fal tetejéhez egy 3,8 méter magas létrát támasztottunk. Milyen messze van a létra alja a fal tövétől? A keresett távolság a Pitagorasz-tétel segítségével: Vázlatrajz: 6 Egy függőlegesen álló oszlopot a tetejéhez kötött 4,5 méteres kötelekkel a vízszintes talajhoz rögzítettek. A kötelek másik vége az oszlop aljától, méter távolságra van. Milyen magas az oszlop? Vázlatrajz: Az oszlop magassága a Pitagorasz-tétel segítségével: A PITAGORASZ-TÉTEL 49

50 III/. A Pitagorasz-tétel 7 Mekkora az ábrán látható trapéz hiányzó oldalhossza? Az ábra fontos pontjainak nevet adtam. A(z). derékszögű háromszögre a. -tételt alkalmazom. 5 x A hiányzó oldalhossz. 8 Melyik síknegyedben van az a megadott pont, amelyik legközelebb található az origóhoz? A(6,5; 4), B( 8; 38,5), C(9,5; 40); D( 9; 40) Az OA, OB, OC és OD távolságok meghatározásához a. -tételt használom. Az OA távolság. Az OB távolság. Az OC távolság. Az OD távolság. Vagyis a megadottak közül a(z). pont van a legközelebb az origóhoz, és ez a pont a. síknegyedben található. 9 A Balaton északi partjától elindult egy csónak, amely a déli irányban megtett 30 métert, majd keletre fordult, és így még 44 métert haladt. Mennyivel lesz rövidebb a csónak visszaútja, ha innen egyenesen a kiinduló helyre megy? A visszaút hossza a. -tétel alkalmazásával. Vagyis a visszaút hossza. méterrel rövidebb. 50 A PITAGORASZ-TÉTEL

51 Számítások síkban III/3. Egy téglalap alakú parkot sétány övez. A gyalogosok a sarkoknál már teljesen kitaposták a füvet csak azért, hogy pár méterrel rövidebb legyen az út. Számold ki, hogy a megadott adatok alapján, mennyivel kell kevesebbet gyalogolni a park körbesétálásakor! A téglalap alakú park rövid oldalának hossza. A téglalap alakú park hosszú oldalának hossza. A téglalap alakú park kerülete. A park sarkaiban lévő derékszögű háromszög átfogójának hossza. A nyolcszög alakú füves rész kerülete. Tehát, ha a sarkokat levágják, akkor az útvonal. méterrel rövidebb. Az építkezéseken a téglák továbbítására lejtős csúszdát használnak. A csúszda egyik végét 6 m, a másik végét 4,5 m magasságban rögzítették két, egymással szemben lévő, függőleges falhoz. Milyen messze van egymástól a két fal, ha a csúszda 4 méter hosszú? Vázlatrajz: A derékszögű háromszög egyik befogójának hossza. A derékszögű háromszög átfogójának hossza. A hiányzó befogó hossza a Pitagorasz-tétel alapján: Vagyis a két fal kb. centiméterre van egymástól. 3 Egy méteres rúd egyik végét rögzítettük a folyosó padlójához, majd nekidöntöttük a folyosó egyik falának. Ekkor a rúd vége,8 méter magasan támaszkodott a falhoz. Ha ebben a helyzetben a másik falhoz döntöttük volna, akkor ez a pont csak, méter magasan lenne. Milyen széles a folyosó? A folyosó szélessége. Vázlatrajz: A PITAGORASZ-TÉTEL 5

52 III/3. Számítások síkban 4 Egy 60, cm átmérőjű festmény oldalainak aránya 5 : 7. Mekkora a festmény oldalainak hossza? Legyen az egyik oldal hossza 5x, ekkor a másik oldal hossza. A Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögre. Mivel x. ezért az oldalak hossza. 5 Megmértük egy szabályos ötszög beírt és köré írt körének sugarát, és milliméter pontossággal 0,5 cm-t, illetve cm-t kaptunk. Mekkora az ötszög kerülete? Vázlatrajz: Az ötszög kerülete. 6 A Pitagorasz-tételt nagyon sokféleképpen lehet bizonyítani. Töltsd ki a hiányzó részeket, és megismerheted a tétel egy újabb bizonyítását! Az ábrán egy tetszőleges ABC derékszögű háromszöget látunk az átfogójához tartozó magassággal. Az ábrán p + q = c. B p a C T b q A Az ABCΔ ~ ATCΔ, mert a szögei páronként. q Ha hasonlók, akkor a megfelelő oldalaik aránya egyenlő:. Vagyis: b = c b A BCTΔ ~ ABCΔ, mert a szögei páronként. Ha hasonlók, akkor a megfelelő oldalaik aránya egyenlő: a p. Vagyis: a = c A kapott két összefüggés alapján: a + b = =. ( ) =. Vagyis igazoltuk a Pitagorasz-tételt. 5 A PITAGORASZ-TÉTEL

53 Számítások térben III/4. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit egész számokkal! Az a, b, c a téglatest élhosszát, a d a testátló hosszát jelenti, ugyanolyan mértékegységben. a b c d 3 Figyeld meg a táblázat szerkezetét! Sejtésed alapján mit írnál az n-edik oszlopba? a =. b =. c =. d =. Egy 3 méter élű, kocka alakú kamra mennyezetének közepén van egy lámpa. Milyen messze van a lámpa a kamra legtávolabbi csúcsaitól? Vázlatrajz: A keresett távolság. 3 Az eladó egy téglatest alakú sajttömbből az ábrán látható téglalap alakú vágásfelület mentén levágta a sajt hatod részét. Mekkora a vágásfelület területe? A vágásfelület ismeretlen oldala a tétellel meghatározható. Ehhez az ábrába berajzolt. derékszögű háromszöget használom, melynek két oldalhossza. cm és. cm. Vagyis a vágásfelület ismeretlen oldalának hossza: A vágásfelület területe. A PITAGORASZ-TÉTEL 53

54 III/4. Számítások térben 4 Milyen hosszú a kockában látható színes szakasz? A színes szakasz vége mindig csúcs, élfelező vagy lapközéppont. a) b) c) d) a) A zöld szakasz hossza. b) A piros szakasz hossza. c) A lila szakasz hossza. d) A sárga szakasz hossza. 5 Egy téglatest három lapjának területe: 48 cm, 44 cm, 9 cm. Mekkora a testátlója? A téglatest élei legyenek a, b és c hosszúságúak. Ekkor. = 48 cm. = 44 cm. = 9 cm. Hogyan kapható meg a téglatest térfogata a három mennyiség szorzatából? V = abc =. Az ab, ac és bc ismeretében megadhatók az élhosszak: a =. b =. c =. Ekkor a téglatest testátlójának hossza: d =. 6 A lyukas Rubik-kocka éleit 5,7 cm-nek vesszük. Számold ki a megadott pontpárok távolságát! Sárga-zöld. Sárga-piros. Piros-zöld. Sárga-kék. Melyik szakaszok vannak teljes egészében a kocka üregében? 54 A PITAGORASZ-TÉTEL

55 Szabályos háromszög, négyzet, kocka III/5. Mekkora a szabályos háromszög oldalhossza és területe, ha a magasságának hossza a) 5 cm; b) 5 cm; c) 3 cm; d) 48 cm? a) Az oldal hossza. a magasság hossza. b) Az oldal hossza. a területe. c) Az oldal hossza. a magasság hossza. d) Az oldal hossza. a területe. Mekkora annak a szabályos háromszögnek a területe, amelynek 3 cm-rel hosszabb az oldala, mint a magassága? A szabályos háromszög területe. 3 Mekkora annak az egyenlő szárú derékszögű háromszögnek a területe, amelynek 5 cm-rel rövidebb a befogója, mint az átfogója? Az egyenlő szárú derékszögű háromszög területe: 4 Mekkora a felszíne annak a kockának, amelyben a lapátló és a testátló hosszának a különbsége cm? A kocka felszíne: A PITAGORASZ-TÉTEL 55

56 III/5. Szabályos háromszög, négyzet, kocka 5 Megadtuk az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának a hosszát. Mekkora a befogó hossza? a) 50 m b) 8 m c) m d) 7 m a) A befogó hossza. b) A befogó hossza. c) A befogó hossza. d) A befogó hossza. 6 Ha egy kocka lapátlója 5 cm-rel hosszabb, mint az éle, akkor mennyivel hosszabb a testátlója, mint a lapátlója? A testátló és a lapátló hosszának eltérése. 7 Júlia szabályos hatszög alapú járókájának két szemközti oldala cm-re van egymástól. Mekkora területen mozoghat a járókában Júlia? A járóka alapterülete. 8 A hatszögletű kerti pavilon telepítése előtt egy, méter oldalhosszúságú, szabályos hatszög alakú részt kellett lebetonozni. a) Milyen messze van egymástól a betonalapzat két párhuzamos széle? b) Mekkora a betonozott rész területe? a) A két párhuzamos szél távolsága. b) A betonozott rész területe: A PITAGORASZ-TÉTEL

57 Nevezetes derékszögű háromszögek III/6. Megadtuk a derékszögű háromszög egyik befogójának és az átfogójának a hosszát! Pitagorasz-féle számhármast alkotnak a háromszög oldalai? a) a = 65, c = 97 b) b = 80, c = 89 c) a = 37, c = 69 d) b = 4, c = 57 a) b =. vagyis. b) a =. vagyis. c) b =. vagyis. d) a =. vagyis. Használd a tankönyvben található pitagoraszi számhármasokat, és add meg az ábrán látható ABC háromszög oldalhosszait úgy, hogy a BCD is Pitagorasz-féle háromszög legyen! B 5 4 A 7 C D CD CB AC AB 3 Rajzolj egy origó középpontú, 5 egység sugarú kört a koordináta-rendszerben! Add meg a körvonalra illeszkedő rácspontok koordinátáit! y A körvonalra illeszkedő rácspontok koordinátái: x. A PITAGORASZ-TÉTEL 57

58 III/6. Nevezetes derékszögű háromszögek 4 A 3, 4, 5 olyan pitagoraszi számhármas, amelyben a három egész szám egymást követi. Van-e még ilyen pitagoraszi számhármas? (a + ) =. a + (a ) =. A Pitagorasz-tétel alapján. Vagyis. 5 Újabb érdekességet fedezhetsz fel a 3, 4, 5 számhármasra vonatkozóan, ha megválaszolod a következő kérdést: Mekkora élű kocka térfogatával egyenlő a 3, 4 és 5 egység élű kockák együttes térfogata? A három kocka térfogatának összege. a a a Vagyis az új kocka élének hossza. 6 Az ABC háromszög a 3, 4, 5 egység oldalhosszúságú Pitagorasz-féle háromszög. a) Rajzold meg az ACFG és BCDE négyzeteket a befogóira kifelé, és kösd össze az F és D pontokat! b) Tükrözted a D és az F pontokat az ABEDFG hatszög GE átlójának felezőmerőlegesére, s így a P, illetve a Q pontot kaptad. Rajzold le az ABEQPG hatszöget az üres négyzethálóra! c) Milyen négyszög az AP és BQ átlók berajzolásával kapott ABQP négyszög? Ez egy. d) Hasonlítsd össze a két hatszög területét! Az első hatszöget két derékszögű háromszög és két négyzet, a másik hatszöget két háromszög és egy négyszög alkotja. Milyen összefüggést kapnál a látottak alapján, ha a kiinduló ABC háromszög egy tetszőleges derékszögű háromszög lenne? A két ábráról leolvasható a. B A C 58 A PITAGORASZ-TÉTEL

59 A kör és a derékszögű háromszög III/7. Mérd meg, és hasonlítsd össze az ábrán látható két színes szakasz hosszát! Megállapításodat indokold! A két szakasz. A megállapítás indoklása: Adva van egy téglalap d átlója és az az m szakasz, amelyik a másik két csúcs és a d átló távolságát mutatja. Szerkeszd meg a téglalapot! Adatok: Vázlat: d m A szerkesztés menete. Kivitelezés: 3 Milyen háromszögre igaz az állítás? a) Ha bármelyik oldalára mint átmérőre kört rajzolsz, akkor a harmadik csúcs a körön kívül lesz. b) Van olyan oldala, amelyikre ha mint átmérőre kört rajzolsz, akkor a harmadik csúcs a körön belül lesz. c) Nincs olyan oldala, amelyikre ha mint átmérőre kört rajzolsz, akkor a harmadik csúcs a körön belül lesz. d) Van olyan oldala, amelyikre ha mint átmérőre kört rajzolsz, akkor a harmadik csúcs a körön kívül lesz. A PITAGORASZ-TÉTEL 59

60 III/7. A kör és a derékszögű háromszög 4 Az ABCD trapéz 4 cm-es AB alapjára mint átmérőre kört rajzolunk, amelyre a C és a D csúcs is illeszkedik. A trapéz átlói az AB oldallal 30 -os szöget zárnak be. Készíts vázlatrajzot, és válaszolj a következő kérdésekre! a) Mekkorák a trapéz oldalai? b) Mekkora az AC és BD átló hossza? c) Mekkora az AMD háromszög kerülete, ha M az átlók metszéspontja? d) Mekkora a trapéz területe? a) A trapéz oldalainak hossza. b) Az átlók hossza. c) Az AMD háromszög kerülete. d) A trapéz területe. 5 Thalész nevéhez főződik sok, ma már egyszerűnek mondható feladvány megoldása. Ilyen például az egyiptomi piramisok magasságának kiszámítása is. A számításhoz nem a róla elnevezett tételt, hanem a hasonlóságot használta. A piramis alaplapja négyzet alakú. Meg tudta mérni a piramis alsó élének hosszát, és hogy milyen messzire nyúlik a piramis árnyéka a piramis aljától. Ebben a pillanatban a napsugarak éppen merőlegesek voltak az alapélre, ahogyan ezt az ábra is szemlélteti. Ugyanekkor mérte meg egy méteres bot árnyékának hosszát is. Fogalmazd meg röviden, hogy te hogyan számolnál ezen adatok ismeretében! GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

61 Összefoglalás III/8. Melyik sokszög kerülete nagyobb? Először tippelj, aztán számolj! A négyzetek oldalainak hosszát vedd egységnek! Tipp. A számítások szerint. Milyen hosszúságú vonalakkal rajzolhatók meg a következő betűk? A négyzetek oldalainak hosszát vedd egységnek! Számolj a füzetedben! Az A betű vonalának hossza. Az K betű vonalának hossza. Az M betű vonalának hossza. Az N betű vonalának hossza. Az V betű vonalának hossza. Az X betű vonalának hossza. Az Y betű vonalának hossza. 3 Rajzolj a négyzethálóra a a), 3, 4; b),, 5 egység élhosszúságú téglatest testátlójával azonos hosszúságú szakaszt! a). b). 4 Egy derékszögű háromszögben az átfogó 65 cm hosszúságú, a befogók aránya 8 : 45. Mekkora a háromszög kerülete, területe? Fogalmazd meg röviden, hogy te hogyan számolnál ezen adatok ismeretében! A rövid befogó hossza. A hosszú befogó hossza. A kerület. A terület. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 6

62 III/8. Összefoglalás 5 Rajzolj a négyzethálóra egy a) 3; b) 4; c) 7; d) egység hosszúságú szakaszt! a) b) c) d) 6 A 7-szer 8 méteres, téglalap alakú parkot az arra sétálók nem a járdán kerülik meg, hanem a hosszú oldal mentén haladva már 5 méterrel a merőleges forduló előtt bekanyarodnak, és így jutnak el a következő csúcshoz. Ezt az útvonalat a vázlatrajz mutatja. Hány méterrel rövidebb így az út? 7 m 8 m A ferde szakasz hossza. A vízszintes szakasz hossza. Vagyis az eltérés. 5 m 7 Egy 5 méter sugarú kör alakú teret egy 48 méter hosszú egyenes út keresztez. Milyen messze halad ez az út a kör középpontjától? Készíts vázlatrajzot és számolj a füzetedben! A keresett távolság. 8 Mekkora a rombusz oldalának hossza, ha az egyik átlója 78 cm, a másik átlója 60 cm hosszú? Készíts vázlatrajzot és számolj a füzetedben! A rombusz oldalának hossza. 9 Mekkora a területe a 84 méter kerületű szabályos hatszögnek? Készíts vázlatrajzot és számolj a füzetedben! A szabályos hatszög területe. 0 A könyvtár olvasótermében a trapéz alakú asztallapok oldalhosszai: 0 cm, 60 cm, 60 cm és 60 cm. Mekkora egy ilyen asztallap területe? Készíts vázlatrajzot és számolj a füzetedben! A rombusz oldalának hossza. 6 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

63 Egyenletek IV/. a) Adél hatszor annyi idős, mint fia Kristóf. Ketten együtt 8 évesek. Hány évesek külön-külön? b) Réka hat évvel idősebb, mint Rebeka. Ketten együtt 8 évesek. Hány éves Réka és Rebeka? c) Matyi három évvel fiatalabb, mint Gazsi. Ketten együtt 5 évesek. Hány évesek? MF_4_0grafika Oldd meg az egyenleteket a racionális számok halmazán! Dolgozz a füzetedben! a) (9x ) 7 35 c) (8 3 x),7 9 7 e) x 9 5 = b) 4x = 5 :3 3 (6,4,6 x) 5 d) 3,5 4,8 f) x 3,5 : 6 9 = Oldd meg az egyenleteket a racionális számok halmazán! Dolgozz a füzetedben! a) 4 (x + 5) 3 = 7 + (3x ) c) (6 3x) = 9(x 5) e) b) 5 3(x + 4) = 7(3 x) + 5 d) x,5(6x 8) = (,5 5x),4 + f) (5x 4) 7 = x Anna hatszor annyi idős, mint Benedek. A köztük lévő korkülönbség 40 év. Hány évesek? EGYENLETEK, EGYENLÔTLENSÉGEK 63

64 IV/. Egyenletek 5 Sanyi és Sári együtt 8 évesek. 8 év múlva Sári annyi idős lesz, mint Sanyi most. a) Ki a fiatalabb. b) Hány év köztük a korkülönbség. c) Hány évesek külön-külön. Sári Sanyi Most 8 év múlva 6 Julcsi most háromszor annyi idős, mint Berta. 5 év múlva már csak kétszer annyi idős lesz. a) Ki az idősebb. b) Hány évesek most. c) Hány éve volt Julcsi hatszor annyi idős, mint Berta. Berta Julcsi Most 5 év múlva 7 Angi és Jancsi együtt 30 évesek, Jancsi és Dorka pedig 35. Hármójuk életkora együttesen 48 év. a) Hány éves Dorka. b) Hány éves Angi és Dorka együtt. c) Hány évvel idősebb Jancsi Anginál. 8 a) Panni gyűrűje és karkötője 650 forintba kerül. A karkötő 350 forinttal drágább, mint a gyűrű. Mennyibe kerül a gyűrű, és mennyibe a karkötő. b) Dávid focimeze és sípcsontvédője együtt 400 forintba kerül. A sípcsontvédő fele annyiba kerül, mint a mez. Mennyibe kerül a sípcsontvédő, menynyibe a mez? EGYENLETEK, EGYENLÔTLENSÉGEK