Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet

21 Az egyenlet megoldása x = 8 7 ÉT és x = a feladat megoldása x = g x 8 > 0 < x és x + >0 – < x ÉT: x lg x 8 + lg (x + ) = lg 6 lg ( x 8)(x + ) = lg 6 7 ÉT, tehát A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( x 8)(x + ) = 6 Az egyenlet megoldása x = - ÉT és x = ÉT, tehát a feladat megoldása x = h x + >0 – < x és log (x + ) 0 x - és x 7 >0 7 < x ÉT: x ]7 [ log = log (x 7) 0 = log (x 7) log (x + ) log( x + ) log (x 7) = 0 x = 8 ÉT vagy log (x + ) = 0 x = - ÉT A feladat megoldása x = 8 logb c 9) Használjuk fel, hogy log a c =, ahol a, b, c R + \<>logb a a 0 < x ÉT: x R + log log x + log 4 x = log x + x = log x + log x = 6 log 4 Az egyenlet megoldása x = 4 ÉT, más megoldás nincs b x + >0 – < x ÉT: x ]- [ log ( x + ) log (x + ) + log (x + ) =, log (x + ) + =, log log (x + ) + log (x + ) = Az egyenlet megoldása x = 4 ÉT, más megoldás nincs c 0 < x ÉT: x R + log log x log x = x log log x = log x log x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs d x >0 és x ÉT: x ]0[U ] [ log log x + log x = + log x = + (log x) = log x log x Vezessünk be új ismeretlent: a = log x Így az egyenlet + a = a a =

Logaritmus feladatok megoldással 11 osztály

Oldjuk meg a következő logaritmusos egyenletet:

lg(x- 6) + lg(2x – 14) = 3 – lg 25.

Megoldás: alkalmazzuk az azonosságokat

Az egyenletalaphalmaza a 7-nél nagyobb valós számok halmaza (x – 6 > 0 és 2x – 14 > 0). A 3-at ajánlatos lg 1000-nek tekintenünk. Ezután a logaritmusazonosságai alapján:

Azonos alapú logaritmusértékekegyenlőségéből következik a számok egyenlősége:

Elvégezzük a beszorzást, összevonást, majd rendezzük az egyenletet:

2-vel oszthatunk is. A másodfokú egyenletnek a gyökei:

A 2 nem eleme az egyenletalaphalmazának, ezért az eredeti egyenletnek a gyöke:

Számolásaink helyességét behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, az x = 11 valóban gyöke az eredeti egyenletnek.

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

1 Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3) 0x (x + ) = lg (4) 0x x + x + = lg (5) 0x = x + 4x + (6) 0 = x 6x + 4 (7) 0 = x 3x + (8) x = x = (9). feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! log 3 x log3 (x 5) + log 3 = 0 () Kikötések: x > (gyök miatt!), x > 5. x log 3 = log 3 () x 5 x = (3) x 5 x = x 5 (4) 4 (x ) = x 0x + 5 (5) 4x 8 = x 0x + 5 (6) 0 = x 4x + 33 (7) x = 3 x = (8) A kikötés miatt csak az x = a jó megoldás.

2 3. feladat. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert! Legyen a = lgx és b = lgy. 5 lgx + 3 lgy = () lgx lgy = 3 5a + 3b = () a b = 3 A második egyenletb l b-t kifejezve: b = a 3, ezt behelyettesítve az els egyenletbe: 5a + 3 (a 3) = (3) a = (4) a = b = (5) lgx = lgy = (6) x = 0 y = 0 (7) Ellen rzéssel kapjuk, hogy a ( 0; 0) számpár valóban jó megoldás. 4. feladat. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert! lg(x + ) + lg(y 3) = () lg(y ) lgx = 0 Kikötések: x >, y > 3. lg[(x + )(y 3)] = lg0 () lg y x = lg (x + )(y 3) = 0 (3) y x = A második egyenletb l x = y következik, így az els egyenlet behelyettesítés után a következ képpen alakul: y(y 3) = 0 (4) y 3y 0 = 0 (5) y = 5 y = (6)

3 A kikötések miatt y = nem lehet megoldás. A (4; 5) számpár megoldás. 5. feladat. Számítsa ki az ismeretlen értékét! lgb = lg4 3 lg9 () lgb = lg4 3 lg9 () lgb = lg 4 lg( 9) 3 (3) lgb = lg lg7 (4) b = 7 (5) 6. feladat. Számítsa ki az ismeretlen értékét! lgw = lgq lgr lgs lgt + lgu () lgw = lg q lgs lgt + lgu () r lgw = lg q lgt + lgu (3) rs lgw = lg q + lgu (4) rst lgw = lg qu rst w = qu rst Természetesen a kikötéseket meg kell tennünk: w > 0, q > 0, r > 0, s > 0, t > 0, u > 0. (5) (6) 3

4 7. feladat. Oldja meg a következ egyenl tlenséget a valós számok halmazán! 3 > log (x + ) () log 8 > log (x + ) () 8 < x + (3) 7 8 < x (4) 7 6 < x (5) A kikötés (x >) nem jelent megszorítást a megoldásra nézve. 8. feladat. Oldja meg a következ egyenl tlenséget a valós számok halmazán! log 4 (4x + 4x ) > 0 () log 4 (4x + 4x ) > log 4 () 4x + 4x > (3) 4x + 4x 3 > 0 (4) A másodfokú egyenl tlenséget egyenletként megoldva kapjuk az x = és x = 3 megoldásokat. Mivel a másodfokú kifejezés normál állású parabolát 4 határoz meg, így a megoldáshalmaz: M = 9. feladat. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán. (5) 5 x+ = 5 x () log 5 5 x+ = log 5 5 x () x + = (x ) log 5 5 (3) x + = (x ) 3 (4) x + = 3x 3 (5) 4 = x (6) x = (7) 4

5 0. feladat. Oldja meg az egyenl tlenséget a valós számok halmazán! log x (x + x 4) < () log x (x + x 4) < log x x () Kikötés:. eset: x >x + x 4 > 0 x < 7 x >+ 7 x + x 4 < x (3) x 4 < 0 (4) x = + x = (5) Itt a megoldáshalmaz (a kikötések gyelembe vételével): 7 < x <. eset: (0 <)x < x + x 4 >x (6) x 4 > 0 (7) x = + x = (8) Itt nem találunk megoldást. A feladat megoldáshalmaza tehát: 7 < x <. 5

6 . feladat. Oldja meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! Legyen y = lgx. lg x = 3 lgx () (lgx) = 3 lgx () y = 3 y (3) y = 4 3y (4) y + 3y 4 = 0 (5) y = y = 4 (6) lgx = lgx = 4 (7) x = 0 x = = 0, 000 (8) 000 Az x > 0 kikötés nem jelent megszorítást a megoldásokra nézve. Megjegyzés. Ahogyan a sin, cos, stb. függvényeknél is, úgy itt is a következ jelölés van érvényben: lg x = (lgx). feladat. Oldja meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! 3 lgx + lg x = () 3 lgx ( ) + lg = () x 3 lgx + lg x = (3) 3 lgx + lgx = (4) 3 lgx lgx = (5) (6) 6

7 Legyen most y = lgx. Ekkor lgx = y. 3y y = (7) 0 = y 3y + (8) y = y = (9) lgx = lgx = (0) lgx = 4 lgx = () x = 0000 x = 0 () Az x > 0 kikötéssel egyik megoldás sem ütközik. 3. feladat. Oldja meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! 0, 5 lg(x ) + lg x 9 = () lg x + lg x 9 = () lg (x )(x 9) = lg0 (3) (x )(x 9) = 0 (4) (x )(x 9) = 00 (5) x 9x + 9 = 00 (6) x 9x 9 = 0 (7) x = 3 x = 7 (8) A kikötések: x > és x > 9, így csak az x = 3 jó megoldás. 4. feladat. Oldja meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! log (log 4 (log 5 x)) = () log 4 (log 5 x) = () log 5 x = 6 (3) x = 5 6 (4) Az egyenlet értelmezési tartománya x > 0, amelynek megfelel a megoldás, tehát jó. 5. feladat. Számítsa ki zsebszámológép segítségével a következ logaritmus értékét. Az eredményt adja meg tizedesjegyre kerekítve! log 4 7 = lg7 lg4 = 0, 85 0, 6 =, 4037, 4 7

8 6. feladat. Egy diagnosztikai m szer újkori ára Ft. A m szer minden évben 5%-ot veszít értékéb l (avul). A m szert ki kell selejtezni, ha értéke Ft. alá csökken. Hány év múlva következik be ez? , 85 n < () 0, 85 n < 0, () lg 0, 85 n < lg 0, (3) n lg 0, 85 < lg 0, (4) n ( 0, 0706) < ( 0, 699) (5) Válasz: Tehát a m szert 0 év után kell leselejtezni. n >9, 9 (6) 7. feladat. Egy múmiából vett mintában 0 g szénb l, g volt a radioaktív 4 C izotóp. Hány éves lehet a múmia? A radioaktív bomlástörvény: N = N 0 t T, ahol N: a még el nem bomlott atommagok száma, N 0 : a kezdeti atommagok száma, t: az eltelt id a bomlás kezdete óta, T : a felezési id. A 4 C felezési ideje 5736 év, ennyi id alatt a 4 C atommagok fele bétabomlással nitrogén atommagokká alakul. Amíg a szervezet él, az izotóparány állandó, a szervezet anyagcseréjének leállásával a radioaktív izotóp aránya exponenciálisan csökken a radioaktív bomlás miatt. Az egyszer ség kedvéért a 4 C izotóp el fordulási aránya : nak, azaz : 0 -nek vehet. Természetesen, mivel arányokról van szó, a bomlástörvénybe a tömeget is behelyettesíthetjük: m = m 0 t T. 8

9 Megoldás. A múmia halálakor a testében lév 0 g szénb l 0 0 = 0 g 4 C van. Behelyettesítéssel a következ exponenciális egyenletet kapjuk, melyet logaritmálás segítségével tudunk megoldani:, = 0 x 5736 (), 334 = x 5736 () 0, 667 = x 5736 (3) lg 0, 667 = lg x 5736 (4) lg 0, 667 = x lg 5736 (5) Válasz: A múmia ezek szerint 4000 éves lg 0, 667 x = (6) lg x 4000, 0565 (7) 8. feladat. Egy tóba honosítás céljából 500 darab csíkos sügért telepítettek 005 márciusában. A halbiológusok gyelemmel kísérték az állomány gyarapodását és azt találták, hogy a halak száma h(t) = 500 log 3 (t + 3) függvénnyel írható le, ahol t a telepítést l eltelt évek számát jelenti. a) Mennyi csíkos sügér élt a tóban 006 márciusában? b) Hány százalékkal n tt a halak száma 007 és 009 márciusa között? c) Várhatóan mikor éri el a halpopuláció az 500 darabot? 9. feladat. Egy biológiai kísérlet során baktériumokat szaporítanak. Azt tapasztalják, hogy megfelel körülmények között a baktériumállomány 6 óra alatt megduplázódik. A kísérlet kezdetén 000 baktérium volt. a) Mennyi baktérium volt a kísérlet kezdete után nappal? b) A kísérlet addig tart, amíg a baktériumok száma el nem éri a 0 9 darabot. Mennyi ideig folyik a kísérlet? 9

10 0. feladat. Oldjuk meg a következ egyenletrendszert a valós számok halmazán! log 3 (y x) = () x 3 y = 97 () Mivel 97 = 3 5, ezért x = és y = 5 megoldás, ha kielégítik az () egyenletet is. Mivel log 3 3 =, ezért a fenti megoldáspár jó.. feladat. Oldjuk meg a következ egyenletrendszert a valós számok halmazán! Az () egyenletet rendezve: Ezt a () egyenletbe behelyettesítve: x + y x y = () lg(x + y) + lg(x y) = lg () x + y = x y (3) x = 3y (4) lg(3y + y) + lg(3y y) = lg (5) lg 8y = lg (6) y, = ± x, = ± 3 (7) (8). feladat. Oldjuk meg a következ egyenletrendszert a valós számok halmazán! 3 x y = 0 () log 3 xy = () 3. feladat. Oldjuk meg a következ egyenletrendszert a valós számok halmazán! log x log y = 3 log 3 () 0, 5 y x = () 0

12 a) 40 évr l 50 évre; 40 = 75, 5 5, G 06 () 7, =, G 06 () lg 7, = lg, G 06 (3) 0, 85 = 6000 G 0, 03 (4) , = 6000 G (5) G = 85, 8 (6) 50 = 75, 5 5, G 06 (7) 5, =, G 06 (8) lg 5, = lg, G 06 (9) 0, 7 = 6000 G 0, 03 (0) , 3 = 6000 G () G = 690, 87 () b) 50 évr l 60 évre; c) 60 évr l 70 évre történik? 60 = 75, 5 5, G 06 (3) =, G 06 (4) lg 3, = lg, G 06 (5) 99, 4 = 6000 G (6) G = 3007, 59 (7) 70 = 75, 5 5, G 06 (8), =, G 06 (9) lg, = lg, G 06 (0) G = 5747, 9 ()

13 7. feladat. Ha D összeget heti p%-os kamatozással befektetünk, akkor ( D + p ) n 00 n hét elteltével összeget vehetünk fel. a) Mennyi id múlva lesz befektetésünk értéke D, ha p = 4, 5? D = ( D + 4, 5 ) n 00 () =, 045 n () lg = n lg, 045 (3) n = 5, 75 (4) a) Mennyi id múlva lesz befektetésünk értéke D, ha p = 6? D = ( D + 6 ) n 00 (5) =, 06 n (6) lg = n lg, 06 (7) n =, 9 (8) 3

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

1 TÁMOP-4-08/ A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy András

2 Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = – c) log 7 = d) lg 0 = e) lg 0 = – f) log 0,04 = – g) log 7 9 = h) log = – ) Írd fel a következő egyenlőségeket logaritmus segítségével! a) 7 = 49 b) = 4 c) – = 8 d) e) 4 f) g) 7 = 9 4 = 64 = 9 = h) = 0, ) Számítsd ki a következő kifejezések értékét! a) lg 000 b) lg 00 c) log d) log e) log (-4) f) log 49 7 g) log 0 h) log

3 4) Oldd meg az egyenleteket! a) log a = 4 b) lg b = – c) log c = d) log 7 d = 4 e) log e = – f) log 0, f = – g) log g = h) log h = ) Határozd meg a logaritmus alapját! a) log a 7 = b) log b 4 = c) log c 7 = – d) log d = e) log e 0, = f) log f = 0 g) log g = h) log h = 6) Számítsd ki a következő kifejezések számértékét log 4 a) b) 0 lg 8 log ( ) c) d) 4 7 e) log f) g) 9 h) 7 log 4 7 log log log 49 7) Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! a) log (x 7) b) lg (x + 6) + lg ( x) c) log x d) log x

4 e) lg (x 4) f) log x 7 g) log 7 (x 8x + ) x 4 h) lg x 8) Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f(x) = log x b) f(x) = log x + c) f(x) = log (x + ) d) f(x) = log x e) f(x) = -log (x + ) f) f(x) = log (x) g) f(x) = log (x + ) + h) f(x) = log (x ), ha x [-9] 9) Melyik nagyobb? a) log vagy log 6 b) log vagy log c) log 0, 4 vagy log 0, d) log 7 4 vagy log7 9 e) log 4 vagy log f) log vagy log 0) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log x = b) log x = -x + c) log x = – x + d) log x + = x e) log 4 x = x + f) log (x + ) = x g) log x = x h) log x = log (x ) + ) Írd fel a következő kifejezések logaritmusát, a benne szereplő változók és számok logaritmusainak segítségével! a) x = bc b) x = a b 4

5 ab c) x = abc d) x = 4T a ab e) x = bc 4r π f) x = g) x = a b a h) x = b ) Fejezd ki x-et a következő egyenlőségekből! a) lg x = lg,4 + lg b) lg x = lg + lg + lg + lg 4 + lg c) lg x = lg lg 8 d) lg x = – lg 7 + lg e) lg x = lg 0 lg f) lg x = lg 9 lg lg 8 g) lg x = lg 8 lg 7 + lg h) lg x = lg + lg 4 lg 4 + lg ) Fejezd ki x-et a következő egyenlőségekből! a) lg x = lg a + lg b b) lg x = lg a + lg b lg c c) lg x = lg a lg b lg c lg d d) lg x = lg a + lg b e) lg x = lg a + lg b f) lg x = 0, lg a lg b g) lg x = (lg a lg b) h) lg x = lg (a b) 4) Határozd meg a következő kifejezések számértékét! a) lg + lg 4 b) log 7 log 7 c) log 6 + log 6 7 log 6 d) log log 7 e) lg lg lg f) lg + 6 lg + lg 8 lg

6 g) log 4 + log log 9 log 6 + log h) log 7 log 04 ) Határozd meg a következő hatványok számértékét! a) 0 -lg + log b) c) 0 -lg lg d) 00 log + log e) log 4 log 7 f) log log 4 g) 0, h) log log + 6) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg b) log (x + ) = log (x ) c) log x = log (0x 4) d) log( x + ) = log (x + ) e) log x = log x f) lg( x ) = lg( x ) g) log x + = log (x + ) h) lg x + = lg (x + ) 7) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x = b) log 7 (x 4) = c) log 9 x = d) log (x + ) = – e) log (x 6x + 8) = f) log 8 x = – g) log x+ (x + 8) = h) log log log 4 x = 0 8) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg + lg 6 b) log x = log + log 4 + log c) log 7 (x ) + = log 7 ( x) log 7 x d) log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 e) lg (x 4) + lg (x + ) = lg (x + 4) 6

7 f) log (x + ) = log (x + 8x + 6) g) lg x 8 + lg (x + ) = lg 6 h) log log ( x + ) = log (x 7) 9) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x + log 4 x = b) log (x + ) + log (x + ) =, c) log x log x = d) log x + log x = 0) Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) log 7 (x + ) > log 7 (x + ) b) log (x ) log (6 x) c) log (7 + x) + log (x ) log (x + ) d) log 7 (7x ) < e) log x < 0 x + ) Oldd meg az alábbi feladatokat! a) Egy bankba forintot helyezünk el 6%-os éves kamatra Változatlan kamat mellett legalább hány év telik el, mire 0000 forintunk lesz? b) Egy fénymásoló beszerzési ára forint A gép értéke 0%-kal csökken évente A gép értéke hány év múlva éri az új árának csupán 60 %-át? 7

8 Megoldások ) a = 9 b = 4 c 7 = d 0 = 0 e 0 – = 0 f – = 0,04 (0,04 = ) g 7 = 9 h = ) a log 7 49 = b log 4 = c log 8 = – 4 d log = 9 e log 64 = – 4 f log 9 = g log 7 = h log 0, = (0, = ) 8 ) a lg 000 =, mert 0 = 000 b lg 00 =, mert 0 = 00 = 0 c log = 0, mert 0 = d log nem értelmezhető, mert x = (x R) e log (-4) nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) f log 49 = -, mert = g log 0 nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) h log =, mert = 8

9 4) a a = 4 = 6 b b = 0 – = 000 = 0,00 c c = d d = e e = = = 49 f f = 0, = g g = h h = = = = = 9 = = ) a a = 7 a = b b = 4 b = c c – = 7 c = d d = d = e e = 0, e = 7 f nem értelmezhető, mert f 0 = (f R\) g g = g = = = 8 h h 4 = h = 6) log 4 a = 4 b 0 lg 8 = 8 log ( ) c nem értelmezhető, mert a logaritmus csak pozitív számokra értelmezett d e f g log 4 7 log log = log = ( ) = ( ) log = ( ) log log log = ( ) = = = ( ) log = = 4 = = 9

11 8) a f(x) = log x ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs b f(x) = log x + ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log x +, a grafikonjának eltolása + egységgel az y tengely mentén v(0) ÉT: x R + Zérushely: x = 4 Szélsőérték: nincs c f(x) = log (x + ) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása – egységgel az x tengely mentén v(-0) ÉT: x ]- [ Zérushely: x = – Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan

12 d f(x) = log x Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log, a grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs e f(x) = -log (x + ) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása – egységgel az x tengely mentén v(-0) f(x) = -log (x + ), b grafikonjának tükrözése az x tengelyre ÉT: x ]- [ Zérushely: x = 0 Szélsőérték: nincs f f(x) = log (x) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x), a grafikonjának -szeres zsugorítása az x tengely mentén ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan

13 g f(x) = log (x + ) + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikon eltolása – egységgel az x tengely mentén v(-0) c(x) = log (x + ), b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén f(x) = log (x + ) +, c grafikonjának eltolása az y tengely mentén + egységgel v(0) ÉT: x ]- [ Zérushely: x -,8 Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan h f(x) = log (x ), ha x [-9] Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x ), a grafikonjának eltolása egységgel az x tengely mentén v(0) f(x) = log (x ), b grafikonjának eltolása – egységgel az y tengely mentén v(0-) ÉT: x ]9] ÉK: y ]- ] Zérushely: x = Monotonitás: szig monoton növő Szélsőérték: minimum nincs Paritás: nem páros, nem páratlan maximum hely: x = 9 maximum érték: y = 9) a A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szigorúan monoton növő < 6 log < log 6 b A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő >log < log c A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő 4 < log 0, 4 >log 0, d A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szigorúan monoton növő > log7 > log7 4 4

15 e log 4 x = x + A grafikonoknak nincs közös pontja, tehát az egyenletnek nincs megoldása f log (x + ) = x Az ábráról leolvasható megoldások: x = -, x =, más megoldás nincs g log x = x Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs h log x = log (x ) + Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs

16 ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, és a logaritmus alapja k R + \<> a log k x = log k + log k b + log k c b log k x = log k a + log k b c log k x = log k + log k a + log k b log k d log k x = log k a + log k b + log k c log k 4 log k T e log k x = log k a + log k (a b) log k log k b log k c f log k x = log k 4 + log k r + log k π log k g log k x = log k a + logk b h log k x = logk a log k b ) a lg x = lg (,4 ) = lg 6 x = 6 b lg x = lg ( 4 ) = lg! = lg 0 x = 0 44 c lg x = lg = lg = lg 8 x = d lg x = lg (7-8 8 ) = lg x = e lg x = lg f lg x = lg g lg x = lg h lg x = lg 0 0 = lg = lg 4 = lg x = = lg = lg = lg x = 9 4 = lg x = = lg x = ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, a lg x = lg ab x = ab ab ab b lg x = lg x = c c a a c lg x = lg x = bcd bcd d lg x = lg a b x = a b e lg x = lg a b x = a b f lg x = lg a a a = lg x = b b b g lg x = lg a lg b = lg a lg a b = lg b h lg x = lg (a b) x = a b, (a > b) = lg a b x = a b 6

20 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + 8 = (x + ) Az egyenlet megoldása x = – 7 ÉT és x = 7 ÉT, tehát a feladat megoldása x = 7 h Az ÉT meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük A logaritmus definícióját alkalmazzuk: log log log 4 x = 0 log log 4 x = 0 log 4 x = x = 4 x = 64 Az ellenőrzést elvégezve megállapítható, hogy x = 64 valóban gyöke az egyenletnek 8) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait! a x > 0 ÉT: x R + lg x = lg + lg 6 lg x = lg 6 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs b x > 0 ÉT: x R + log x = log + log 4 + log log = log ( 4 ) x A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: = 40 x 9 Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs 40 c x > 0 < x és x >0 x < és 0 < x ÉT=<>, azaz az egyenlet egyetlen valós számra sem értelmezhető, megoldása nincs d x > 0 < x és x + >0 – < x és x >0 < x ÉT: x ] [ log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 log [(x )(x + )] = log [(x ) 8] A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x )(x + ) = (x ) 8 Az egyenlet megoldása x = és x =, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek e x 4 >0 4 < x és x + >0 – < x és x + 4 >0-4 < x ÉT: x ]4 [ lg (x 4) + lg (x + ) = lg (x + 4) lg [(x 4)(x + )] = lg (x + 4) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x 4)(x + ) = x + 4 Az egyenlet megoldása x = - ÉT és x = 8 ÉT, tehát a feladat megoldása x = 8 f x + >0 – < x és x + 8x + 6 >0 x -4 ÉT: x (Megjegyzés: az ÉT meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük) log (x + ) = log (x + 8x + 6) log (x + ) = log x + 8x + 6 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x + ) = x + 8x + 6 0

21 Az egyenlet megoldása x = 8 7 ÉT és x = a feladat megoldása x = g x 8 > 0 < x és x + >0 – < x ÉT: x lg x 8 + lg (x + ) = lg 6 lg ( x 8)(x + ) = lg 6 7 ÉT, tehát A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( x 8)(x + ) = 6 Az egyenlet megoldása x = - ÉT és x = ÉT, tehát a feladat megoldása x = h x + >0 – < x és log (x + ) 0 x - és x 7 >0 7 < x ÉT: x ]7 [ log = log (x 7) 0 = log (x 7) log (x + ) log( x + ) log (x 7) = 0 x = 8 ÉT vagy log (x + ) = 0 x = - ÉT A feladat megoldása x = 8 logb c 9) Használjuk fel, hogy log a c =, ahol a, b, c R + \<>logb a a 0 < x ÉT: x R + log log x + log 4 x = log x + x = log x + log x = 6 log 4 Az egyenlet megoldása x = 4 ÉT, más megoldás nincs b x + >0 – < x ÉT: x ]- [ log ( x + ) log (x + ) + log (x + ) =, log (x + ) + =, log log (x + ) + log (x + ) = Az egyenlet megoldása x = 4 ÉT, más megoldás nincs c 0 < x ÉT: x R + log log x log x = x log log x = log x log x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs d x >0 és x ÉT: x ]0[U ] [ log log x + log x = + log x = + (log x) = log x log x Vezessünk be új ismeretlent: a = log x Így az egyenlet + a = a a =

Gyakorló feladatsor 11. osztály

1 Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 .

Recommend Documents

Gyakorló feladatsor 11. osztály Hatvány, gyök, logaritmus 1. Számológép használata nélkül add meg az alábbi kifejezések pontos értékét! 2 a) 31  2 e)    3 b) 5 3  1 c)   4

2. Számológép használata nélkül döntsd el, hogy melyik szám nagyobb! Válaszod indokold! 4

3. Számítsd ki! a) (2√75 + √147 − √48) ∙ 5√2=

4. Hozd egyszerűbb alakra! 5

b  b c) b   b  b  3

453  27 3  4053 3

27 4  3 3  3 81

Gyakorló feladatsor 11. osztály 5. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

6. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét! 14 lg 3

2  lg 2  lg 18  3  lg 5  2  lg 3 

7. Határozd meg x értékét! a) ������8 �� = −

2 1 log 7 x  log 7 8  2  log 7 5  log 7 27 3 3

8. Hol értelmezhető a következő kifejezés?

Exponenciális- és logaritmus függvények 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: x 

2. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: x  6  3 x1  2 3. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: x  log 3 ( x  2)  1 4. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: x  log 2 ( x  3)  1

Gyakorló feladatsor 11. osztály Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Alapegyenletek (közös alapra hozás)

Gyakorló feladatsor 11. osztály Közös kitevőre hozás:

Gyakorló feladatsor 11. osztály Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 1) 2  lg x  lg 16  lg 4 2) l g(x-3)+lg(x-2)=1-lg5 3) lg(x-9)+lg(2x-1)=2 2 4) lg  x  15   lg  3 x  5   lg 20 5) 2 ∙ l��(�� + 15) − ����(3�� + 5) = ����20 6) log3log4log2X=1

2 ∙ ������2 3 + ������2 �� ≥ 1 5

Oldd meg az alábbi egyenletrendszereket! a) 5 ∙ ������2 �� − 3 ∙ ������3 �� = 9 2 ∙ ������2 �� + 3 ∙ ������3 �� = 8 b) lg(x+1)+lg(y-3)=1 lg(y-1)-lgx=0

Gyakorló feladatsor 11. osztály Trigonometria

Egy háromszögben adott: b=14 cm, α=63◦, γ=80◦. Mekkorák a hiányzó oldalak és a háromszög területe?

Gyakorló feladatsor 11. osztály 9. Milyen hosszú az 5, 7, 10 cm oldalú háromszögben a 7cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal hossza? 10. Egy háromszög két oldalának különbsége 10 cm, ezekkel szemközti szögek nagysága 60◦ és 50◦. Határozzuk meg a háromszög oldalait!

11. Egy paralelogramma átlóinak hossza 15 és 20 cm, az általuk bezárt szög 50◦. Mekkorák a paralelogramma oldalai?

12. Egy háromszög két oldalának aránya 3:2, az általuk bezárt szög 60◦, a harmadik oldal 10 cm. Mekkorák a háromszög oldalai?

Trigonometrikus egyenletek és függvények ��

1. Ábrázold az ��(��) = �� ∙ ������ (�� − �� ) − �� függvényt és jellemezd! ��

2. Ábrázold az ��(��) = �� ∙ ������ (�� + �� ) − �� függvényt és jellemezd! 3. Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) �������� =

f) 2 ∙ sin (5�� + 12) = √2 i)

Koordináta-geometria 1. Adott a következő három vektor: a(1;-5), b(2;-3) és c(4;0). Add meg a következőket:

a) b) c) d) e) f) g) h)

a+b a-b b-c 3a+4c 3a+2b-5c b-2c a hossza b

i) a  b j) a és b vektorok által bezárt szög k) a és c vektorok által bezárt szög 2. Adottak az a(6;4) és az a-b=(11;5) vektorok. Add meg a b vektort! 3. Adottak az a(10;2) és a+b=(-5;9) vektorok. Add meg a b vektort!

Gyakorló feladatsor 11. osztály 4. Adott a következő két vektor: a(4;-8) és b(1;x). Mennyi x értéke, ha tudjuk, hogy a két vektor merőleges egymásra?

5. feladat a) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek normálvektora: n(3;-5) és egy pontja: P0(2;9)! b) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek irányvektora: v(-1;-4) és egy pontja: P0(-2;0)! c) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek meredeksége: m=1 és egy pontja: P0(3;2)! d) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek iránytangense: m= e) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek irányszöge: f)

2 és egy pontja: P0(4;-2)! 5

  45 és egy pontja: P0(4;-2)!

Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az A(2;-8) és B(1;0) pontokon!

g) Rajta van-e a 2x-5y=7 egyenletű egyenesen a P(6;2) pont? Válaszod számítással igazold! h) Adott az alábbi egyenes: 3x-y=2

i) Add meg a következőket: n, v, m,  , és egy pont ami rajta van az egyenesen! j)

Egy egyenes egyenlete: 3y=5-4x

k) Add meg az egyenes normálvektorát, irányvektorát, meredekségét, irányszögét! 6. feladat Tekintsük a koordinátarendszerben adott A(6; 1), B(-5; 3), C(-2; 0) pontokat! a) Mekkora az AC szakasz hossza? b) Írja fel az AB oldalegyenes egyenletét! c) Mekkora szög van a C csúcsnál? d) Irja fel az A csúcsból induló magasságvonal egyenletét! e) Irja fel a C csúcsból kiinduló súlyvonal egyenletét! f) Számolja ki az AB oldallal párhuzamos középvonal hosszát! g) Számítsa ki a háromszög területét! h) Adja meg a háromszög súlypontját!

7. feladat Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P(2;7) ponton és párhuzamos a 2x-8y=5 egyenletű egyenessel! 8. feladat Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P(2;7) ponton és merőleges a 2x-8y=5 egyenletű egyenesre! 9. feladat Írd fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét, ha A(4;5) és B(-3;1)! 10. feladat

Gyakorló feladatsor 11. osztály 11. feladat

Adott két kör: az egyik középpontja: K1(2;0) és sugara: r1=√20. A másik kör középpontja: K2(-7;-3) és sugara: r2=√50. Add meg a két kör metszéspontját (ha van)!