GEOMATECH tananyagok

Az egyenletek megoldásánál gyakran nehéz megtenni az első lépéseket. A számítógép többféle megoldási módszert kínál fel, amelyekből ki kell választanod, hogy melyik a helyes. A felkínált lehetőségek közül minden esetben csak az egyik választást jelölheted meg. Jó válasz esetén a gép automatikusan továbblép, de a rossz választ ki kell javítanod. Az egyenlet megoldása során találkozol majd üresen hagyott részekkel. Itt neked kell pótolnod a hiányzó tartalmakat. A beviteli mezőbe csak számokat írj! Időnként geometriai ábrákon is kell dolgoznod. Az egér bal gombját nyomva tartva, mozgatható pontokkal állíthatod majd be az általad helyesnek gondolt helyzetet.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Most felhasználjuk azt, hogy egy szorzat csak akkor lehet egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla, ezért a fenti kifejezés két esetben lehet nulla.

Az egyenlet egyik gyöke:

Az egyenlet másik gyöke:

Az egyenlet két gyökét összevonva egy kifejezésbe a következő alakot kapjuk:
Ezt nevezzük a másodfokú egyenlet megoldóképletének.

A másodfokú egyenlet szorzat alakban tehát:

Az így kapott szorzat alakot az egyenlet gyökeivel, az x₁ és x₂ bevezetésével a következő alakba is írhatjuk: a⋅(x-x₁)⋅(x-x₂)=0.

Ezt az alakot nevezzük a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának.

Az egyenlet megoldhatósága tehát a négyzetgyök alatti kifejezésen, a b 2 -4ac≥0. feltételen múlik.

Ezt a b 2 -4ac kifejezést hívjuk a másodfokú egyenlet diszkriminánsának.

Feladat:

Oldja meg a 2x 2 -x-3=0 egyenletet a pozitív számok halmazán!

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 683. feladat.)

Megoldás:

Ennek az egyenletnek a megoldása a megoldóképlet alapján igen könnyű, hiszen csak be kell helyettesíteni a megoldóképletbe a megfelelő értékeket. (a=2; b=-1; c=-3)

Mivel az egyenlet diszkriminánsa 25, ezért az egyenlet két különböző megoldása van.
Ebből az x₁=1,5 jó megoldás, míg a másik gyök, az x₂=-1 nem megoldás a pozitív számok halmazán.
Úgy is mondjuk, hamis gyök vagy álgyök.

Talán nem érdektelen azonban ezen a konkrét példán is megmutatni megoldóképlet levezetését.

Teljes négyzetté alakítás:

Egyenlet egyik gyöke tehát: x+1=0, azaz x₁=-1. De ez nem pozitív szám.

Egyenlet másik gyöke pedig x+3/2=0, azaz x₂=1,5. Ez jó megoldás.

Az i.e. 2000-ből való Mezopotámiában talált leletek igazolják, hogy már ekkor is meg tudtak oldani másodfokú egyenletet is.

A középkorból elsősorban a francia Viete nevét említhetjük, aki már szimbólumok segítségével igyekezett dolgozni, és az együtthatók helyett betűket használva formulát tudott felírni a másodfokú egyenletek megoldására.

Ugyancsak a középkorban az olasz Cardano is sokat foglalkozott az egyenletek megoldhatóságával. A másodfokú egyenletek gyökeire vonatkozó kutatásai elősegítették a komplex számok elméletének későbbi kialakulását. Igaz, az ő neve elsősorban a harmadfokú egyenletek megoldóképletével forrt össze. (Cardano képlet)