Valaki leírná ezeket a feladatokat a MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III. Geometriai feladatok gyűjteményéből (kék-fehér könyv)
De, nyugodtan, elmehetsz helyettem is érettségizni.
Matematika Gyakorlo Es Erettsegire Felkeszito Feladatgyujtemeny III Kek Small ocr
Szgek tvltsa fokrl radinra s fordtva . . ..185Hegyesszg trigonometriai alapfeladatok . . . i . 185Hegyesszg megszerkesztse valamely szgfggvnynek rtkbl. 188Nevezetes hegyesszgek szgfggvnyei . ..189Hegyesszg trigonometriai feladatok . .190
Egyenl szr hrom szgek . 190Tglalapok, rombuszok, paralelogrammk . .191Szablyos sokszgek . .191Krk rinti, krvek, krcikkek, krszeletek, h ro k . 192Trapzok. .194Trelemek hajlsszge . 195Vegyes, illetve sszetettebb hegyesszg trigonometriai feladatok . .197
Vegyes feladatok . 197Tornyok, hegycscsok s egyb magasan lev trgyak . .198Krvek, krcikkek, krszeletek . 200Egyenl szr hromszgek, derkszg hromszgek, ngyszgek. 201Trigonometrikus kifejezsek . 202
Szgfggvnyek ltalnostsa. 204Trigonometrikus fggvnyek grafikonjai . 206Trigonometrikus egyenletek I. r s z . 209
Bevezet alapfeladatok . 209Alapvet feladatok . 209sszetettebb fe lada tok . 212
Trigonometrikus egyenltlensgek I. r s z . 214Bevezet alapfeladatok. 214Alapvet feladatok . 214sszetettebb fe lada tok . . . 215Szls rtkfeladatok . 217
A szinuszttel alkalm azsa. 218Bevezet alapfeladatok. 218Alapvet feladatok . 218sszetettebb fe ladatok . 219Nehezebb feladatok . 221
A koszinuszttel alkalmazsa. 222Alapvet feladatok . 222sszetettebb fe ladatok . 223Nehezebb feladatok . 226
K1 14 . A 42 cm hossz AB szakaszt a C pont A-tl kezdve 2:5 arnyban, a D pont pedig 3:4 arnyban osztja. Szmtsuk ki a C s D pont tvolsgt.
E1 15 .Az A, B, C, D pontok ebben a sorrendben egy egyenesen vannak. Bizonytsuk be, hogy az AB, BC, CD, AC s AD irnytott szakaszok eljeles hosszra a kvetkez sz- szefggs rvnyes: AB CD + AC DB+ AD BC = 0.
E2 16 .Az A, B, C, D pontok egy egyenesen vannak (ilyen sorrendben). Bizonytsuk be, hogy AC2 BD + CD2 AB = BC2 AD +AB BD AD.
K1 17. Adjunk meg a skon pontokat gy, hogy kzlk semelyik hrom ne legyen egy egyenesen. Hny egyenest hatroz meg a) 4 pont; b) 5 pont; c) 212 pont; d) n pont?
K1 18. Hny tl hzhat egy konvex a) tszg; b) tizenhatszg; c) n-szg egyik cscsbl?
K1 19. Hny hromszgre bontjk a konvex a) tszget; b) tizenktszget; c) n-szget az egyik cscsbl kiindul tlk?
K1 20. Hny oldal a konvex sokszg, ha egy cscsbl 12 tl hzhat?
K1 21. Hny oldal a konvex sokszg, ha az egy cscsbl kiindul tlk 18 hromszgre bontjk?
K1 22. Egy konvex sokszg oldalainak s egy cscsbl kiindul tlinak szmt sz- szeadva 17-et kapunk. Hny oldal a sokszg?
K1 23. Hny oldal a sokszg, ha 27 tlja van?
K1.GY 24. Egy jtsztren ht fa ll, mindegyik mellett l egy-egy gyerek. Jtkukban idnknt helyet cserlnek egymssal. (24. bra)a) Hny cserepartnere lehet egy jtkosnak?b) Hny helycsere lehetsges sszesen ?
K1 25. Hny oldal az a konvex sokszg, aminek hatszor annyi tlja van, mint ahny oldala?
K1 26. Hny oldal konvex sokszgnek van ugyanannyi tlja, mint ahny oldala?
K1 27. Szerkessznk szgeket, amelyeknek mrtke: 45; 60; 30; 22,5; 15.
K1 28. Szerkessznk szgeket, amelyeknek mrtke: 105; 52,5; 75; 67,5; 135.
K1 29. Adjuk meg az a s [3 hegyesszgeket gy, hogy a> fi legyen! Szerkesszk meg az
a) a + P \b ) a – H \ c ) a – ^ ; d ) ; e) 1 8 0 -(a + /?) ; / ) 1 8 0 -a + /3 szgeket.
K1 30 . Adott kt klnbz nagysg konvex szg sszege s klnbsge. Szerkesszk meg a szgeket.
K1 31 . Adott egy hegyesszg ktszeresnek s egy msik hegyesszgnek az sszege s klnbsge. Szerkesszk meg a szgeket.
K1 32. Kt szg arnya 7:3. A kt szg kzl az egyik 72-kal nagyobb a msiknl. Bizonytsuk be, hogy a kt szg sszege 180.
KI 33. Kt szg klnbsge 54, ugyanezen kt szg arnya 5:2. Hny fokosak ezek a szgek?
K1 34. a s P egyik szra kzs, s egyik sem tartalmazza a msikat. sszegk 216, tovbb az a szg (/3-val nem kzs) szrnak meghosszabbtsa a [i szget felezi. Hatrozzuk meg az a s (3 szgek nagysgt.
K1 35. Ngy szg egytt egyenesszget alkot, tovbb mindegyik szg az elznl 10-kal nagyobb. Szmtsuk ki a szgek nagysgt.
K1 36. Egy krbe ngy sugarat rajzoltunk. Az els a msodikkal feleakkora szget zr be, mint a msodik a harmadikkal, az utbbi kt sugr szge feleakkora, mint a harmadik s a negyedik ltal bezrt szg, ez pedig fele a negyedik s az els sugr szgnek. Mekkork ezek a szgek?
K1.GY 37. Hny fokos szget zrnak be az ramutatk 0 ra s 12 ra kztt minden egsz rakor?
K2,GY 38. Hny fokos szget zr be a kt ramutat a) negyed htkor; b) fl tzkor; c) hromnegyed tkor ?
K2,GY 39. Mekkora szget zr be a kt ramutat a) 2 ra 20 perckor; b) 3 ra 32 perckor?
K1,GY 40. Egy replgp szak-szakkelet fel, egy msik dlnyugat fel halad. Mekkora szget zr be egymssal a kt kondenzcsk?
K1,GY 41. Egy haj szaki irnyban halad egy pontig, majd itt 67,5-kal elfordul pozitv irnyba. A szlrzsa milyen irnyban halad ekkor?
K1,GY 42. Egy replgp keleti irnyban hagyja el a replteret, majd szakkeletnek fordul. Ezutn egy clpontot elhagyva, az elz irnybl 90-kal dl fel fordul. Milyen gtj fel halad ekkor? (42. bra)
K1 43. Fejezzk ki fokokkal a kvetkez szgek nagysgt:a) 2136/; b) 499′; c) 5124’18”; d) 1727’45”.
K1 44. Fejezzk ki fokokban, percekben, msodpercekben a kvetkez szgeket:a) 108,5; b) 20,7; c) 18,3; d) 59,7; e) 100,01.
K1 45. A 45. brn az a szg 3242′. Mekkora a tbbi jellt szg? Indokoljuk meg lltsainkat.
K1 46 .Mekkora az a szg, amely a ptszgnl 1628′-cel nagyobb?
K1 47 . Mekkora az a szg, amely a mellkszgnek tdrsze?
K1 48. Melyik az a szg, amely egyenl a mellkszgvel?
K1 49 . Lehet-e egy szg a trsszgvel egyenl?
2 3K1 50. Mekkora az a szg, amely a mellkszgnek a) -val \ b) -vel;3 3 7
3 5K1 51 .Mekkora az a szg, amely kt mellkszgvel egytt aj 1 ; b) 1 rsze az egyenesszgnek? 16 9
K1 52 .Kt merleges szr szg kzl az egyik a) hromszorosa; b) ngyszerese; c) tszrse a msik szgnek. Mekkora a kt szg?
K1 53 . Az a s p merleges szr szgek. Hatrozzuk meg az a s [3 szgek nagysgt, ha a) a f3 szg 11-szerese az a-nak; b) a /3 szg harmadrsze az a-nak; c) a [3 szg
1 rsze az a-nak.2K1 54. Egy ABC hromszg C cscsnl derkszg van. Bocsssunk merlegest ebbl a cscsbl az AB oldalra. A merleges A-vel val metszspontja legyen T. Bizonytsuk be, hogy TCB4. = a s TCA 4. = f3-
K1 55. Az a s /3 konvex szgek szrai prhuzamosak, tovbb tudjuk, hogy a 90-kal nagyobb /3-nl. Hatrozzuk meg az a s [3 szgek nagysgt.
K1 56. Kt konvex szg szrai prhuzamosak. Az egyik a) 90-kal; b) 120-kal;c) 75-kal nagyobb, mint a msik. Mekkork az egyes szgek?
K1 57. Kt prhuzamos egyenest egy harmadik metsz. A bels szgek kzl az egyik 3a derkszg 1 rsze. Mekkora szgben metszi ennek a szgnek a szgfelezje a msik
K1 58 . Mutassuk meg, hogy egy szgnek s a mellkszgnek szgfelezi merlegesek egymsra.
K1 59. Bizonytsuk be, hogy ha kt konvex szg egyik szra kzs, egyik sem tartalmazza a msikat, s a szgek felezi merlegesek egymsra, akkor a msik kt szgszr egy egyenesbe esik.
K2 60 . Messnk el kt prhuzamos egyenest egy harmadikkal, s szerkesszk meg a metszspontokban keletkezett szgek szgfelezit. Mutassuk meg, hogy a kapott ngy szgfelez kzl brmely kett vagy prhuzamos egymssal, vagy merleges egymsra.
K1 61 . a s f i egyik szra kzs, s egyik sem tartalmazza a msikat. A (3 szg az a-nl 130-kal nagyobb, s a kt szg szgfelezje merleges egymsra. Hatrozzuk meg az a s P szgek nagysgt.
K1 62. Az ABC hegyesszg hromszg a oldalnak vgpontjaibl bocsssunk merlegeseket a hromszg msik kt oldalra. A merlegesek metszsnl keletkezett egyik szg nagysga 127 17′. Szmtsuk ki a hromszg A cscsnl lev szgt.
K2 63 .Az ABC tompaszg hromszg a oldalnak vgpontjaibl bocsssunk merlegeseket a hromszg msik kt oldalegyenesre. A merlegesek metszsnl keletkezett egyik szg nagysga 476’42”. Szmtsuk ki a hromszg A cscsnl lev szgt.
K1 64. Egy n oldal konvex sokszg belsejben tzznk ki egy pontot, s kssk ssze a sokszg cscsaival. A keletkezett hromszgek segtsgvel bizonytsuk be, hogy a sokszg bels szgeinek sszege (n – 2) 180.
K1 65 .Mekkora a a) 4; b) 8; c) 13; d) 96; e) n oldal konvex sokszg szgeinek sszege?
K1 66. Bizonytsuk be, hogy konkv ngyszgben is 360 a bels szgek sszege.
K1 67. Hny oldal az a konvex sokszg, melyben a szgsszeg a) 1620; b) 18 540?
K1 68 . Mekkora az egyenl szg a) tszg; b) hatszg; c) htszg; d) tzszg; e) n-szg egy szge?
K1 69. Igazoljuk, hogy egy ngyszgnek nem lehet minden szge hegyesszg.
K1 70. Rajzoljunk fel olyan a) hatszget; b) nyolcszget, amelyben brmely kt szomszdos oldal merleges egymsra.
E1 71. Bizonytsuk be, hogy ha egy sokszgben brmely kt szomszdos oldal merleges egymsra, akkor az oldalszm pros.
K1 72. Hogyan vltozik meg egy sokszg szgeinek sszege, ha az oldalak szmt ngygyei nveljk?
K1 73. Egy sokszg szgsszege s. Hogyan vltozik a szgsszeg, ha az oldalak szmt ktszeresre nveljk?
K1 74. Mekkora a a) hromszg; b) konvex tszg; c) konvex n-szg kls szgeinek sszege?
K1 75 .Ha egy konvex sokszg bels szgeinek sszeghez hozzadjuk egyik kls szgt, 1846-ot kapunk. Hny oldal a sokszg, s mekkora a kls szg?
K2 76 .Mekkork az tszg bels szgei, ha azok gy arnylanak egymshoz, mint 1:2:3:4:5?
K1 77. Igazoljuk, hogy egy konvex ngyszg egyik oldalegyenesn lev kt kls szg sszege a szemkzti oldalegyenesen lev kt bels szg sszegvel egyenl.
K1 78. Hny oldal a konvex sokszg, ha bels szgeinek sszege hromszor akkora, mint a kls szgek sszege ?
K1 79. Egy ngyszgben a =12, fi =122, y =68. Mekkora szget zrnak be aza) A s C cscsokhoz; b) A s B cscsokhoz tartoz szgfelezk?
E1 80. Mutassuk meg, hogy egy hromszg kls szgei kztt legfeljebb egy hegyesszg lehet, de mindig van legalbb kt tompaszg.
E1 81. Melyik az a legkisebb oldalszm konvex sokszg, amelynek a kls szgei kztt mr biztosan van hegyesszg?
K1 82. Igazoljuk, hogy az egyenl szr hromszgben az alappal szemkzti cscsban szerkesztett kls szgfelez prhuzamos az alappal.
K1 83. Bizonytsuk be, hogy ha a hromszg egyik kls szgnek felezje prhuzamos a szemkzti oldallal, akkor a hromszg egyenl szr.
K1 84. Igazoljuk, hogy az egyenl szr hromszg egyik szrhoz tartoz magassgnak az alappal bezrt szge mindig fele a szrszgnek.
K1 85. Egy hromszg /szge a) 32,6; b) 90; c) 150 14′. Hatrozzuk meg a msik kt szg szgfelezje ltal alkotott szg nagysgt.
K1 86. Mutassuk meg, hogy ha egy hromszg egyik kls szge az egyik nem szomszdos bels szg ktszerese, akkor a hromszg egyenl szr.
K1 87. Mutassuk meg, hogy ha egy egyenl szr hromszg egyik szge 60, akkor a hromszg egyenl oldal.
H rom szgek bels s k ls szgei
K1 88. Egy hromszg kt szgnek arnya 5:7. A hromszg harmadik szge egyenesszggel nagyobb az elsnl. Mekkork a hromszg szgei?
K1 89. Egy hromszg egyik szge 70, a msik kt szg arnya 5:6. Mekkork a hromszg szgei?
K1 90. Egy hromszg szgei gy arnylanak egymshoz, mint a) 1:2:3; b) 3:4:5;c) 3:7:8. Hatrozzuk meg a hromszg szgeinek nagysgt.
K1 91. Egy hromszg egyik szge 4224′. A msik kt szg kzl az egyik 27,l-kal nagyobb a msiknl. Hatrozzuk meg a hromszg szgeinek nagysgt.
K2 92. Mutassuk meg, hogy egy egyenesre egy kls pontbl csak egy merleges bocsthat.
K1 93. Egy hromszg egyik kls szge 87, egyik bels szge pedig 21. Mekkork a hromszg szgei?
K1 94 . Van-e olyan hromszg, amelyben az egyik szg ktszer akkora, a msik szg pedig hromszor akkora, mint a harmadik cscsnl lev kls szg?
K1 95. Egy hromszg kt kls szge 128 s 116. Mekkork a hromszg szgei?
K1 96. Egy egyenl szr hromszg egyik kls szge 87. Mekkork a hromszg szgei?
K1 97. Egy egyenl szr hromszg egyik kls szge a) 96; b) 64. Mekkork a szgei ?
K1 98. Igazoljuk, hogy a hromszg kt bels szgfelezjnek hajlsszge 90-nl a harmadik szg felvel kisebb.
E1 99 . Szmtsuk ki az ABC hromszg A s fi cscsbl indul magassgvonalainak hajlsszgt, ha a) a =22,5 s f3 =15; b) a =15 s /3 =105; c) a =30 s /3 =45;d ) a = 90s/3=20.
K2 100. Az ABC hromszgben a = 4742/, fi =7310′. Mekkora szget zrnak be egymssal az A s B cscsokhoz tartoz a) szgfelezk; b) magassgvonalak ?
K1 101 . Mekkora szget zr be az ABC hromszgben az A cscshoz tartoz szgfelez a szemkzti oldallal, ha a =2142′ s p =83 10′?
K1 102. Egy egyenl szr hromszg szrszge 30. Mekkora szget zr be az egyik szrhoz tartoz magassgvonal a) az alappal; b) a msik szrral?
K2 103. Egy egyenl szr hromszg egyik szrhoz tartoz magassga a msik szrral 13-kal kisebb szget alkot, mint az alapon lev szg. Mekkork a hromszg szgei?
K1 104. A derkszg hromszg egyik szge 21. Mekkora szgekre bontja az tfoghoz tartoz magassg a derkszget?
E1 105. Igazoljuk, hogy brmely hromszgben az a oldal s az mb magassg ltal bezrt szg egyenl a b oldal s az magassg ltal bezrt szggel.
K2 106 . Mutassuk meg, hogy derkszg hromszgben a derkszg szgfelezje s az tfoghoz tartoz magassg 45-kal kisebb szget zr be, mint a hromszg egyik hegyesszge.
K1 107 . Mekkora szget zrnak be egymssal az ABC hromszg A s B cscshoz tartoz kls szgfelezi?
K2 108. Egy hromszg szgei a, fi, y. Bizonytsuk be, hogy a kls szgfelezk ltalcc B yalkotott hromszg szgei s az I -L szgek ptszgek.2 2 2
K1 109. Egy hromszg kt szge 67 s 33. Mekkora szget zr be egymssal a harmadik cscshoz tartoz magassg s a bels szgfelez?
E1 110. Egy hromszg kt szge a s /3, a > fi. Mekkora szget zr be egymssal a harmadik cscshoz tartoz magassg s a bels szgfelez?
K2 111. Bizonytsuk be, hogy a hromszg egy cscshoz tartoz szgfelez a szemkzti oldallal olyan kt szget zr be, amelyeknek klnbsge a hromszg msik kt szgnek klnbsgvel egyenl.
K1 112. Egy egyenl szr hromszg szrszgnek szgfelezje olyan kt hromszgre bontja a hromszget, amelyeknek a szgei ugyanakkork, mint az eredeti hromszg szgei. Mekkork az egyenl szr hromszg szgei?
KI 113. Egy egyenl szr hromszg szrszge 36. Bizonytsuk be, hogy az alapon lev szg szgfelezje a hromszget kt egyenl szr hromszgre bontja.
K1 114. Egy egyenl szr hromszg alapon fekv szgnek szgfelezje s alapja egyenl hossz. Mekkork a szgei?
K1 115 . A 115. brn sznessel hzott szakaszok egyenlk. Mekkora a /? szg, ha a = 15?
E1 116. A 115. brn hat egyenl szakaszbl ll a sznes trttvonal.a) Bizonytsuk be, hogy ez a trttvonal mr nem folytathat tovbb az brn lthat mdon, ha a = 15.b) Hogyan kellene megvlasztani az a-1, hogy a trttvonal tz egyenl szakaszt tartalmazzon?c) Mutassuk meg, hogy ha a trttvonal n + 1 szm szakaszbl ll, akkor a kisebb 90 -ed rsznl.
K1 117 . Az ABC egyenl szr derkszg hromszg AB tfogjn vegyk fel az E s D pontokat gy, hogy BE = BC s AD = AC legyen. Bizonytsuk be, hogy az gy keletkezett CDE hromszg egyenl szr, s szrszge 45.
K2 118 . Az ABC hromszg leghosszabb oldala AC. Ezen vegyk fel a D s E pontokat gy, hogy AD = AB s CE = CB legyen. Fejezzk ki a DBE hromszg szgeit az eredeti hromszg szgeivel.
E2 119 . Az ABC hromszg A cscsbl kiindul bels szgfelez messe a BC oldalt a D pontban, a kls szgfelez pedig ugyanennek az oldalnak a meghosszabbtst messe az E pontban.a) Milyen sszefggs van az ABC hromszg szgei kztt, ha AD = AElb) Mekkork a hromszg szgei, ha y= 34?
K1 120 . Az ABC hromszgben AB = AC. Hosszabbtsuk meg a BA oldalt A-n tl egy D pontig gy, hogy BA = AD legyen. Igazoljuk, hogy a DBC hromszg derkszg.
E1 121. Legyen BC az ABC hromszg leghosszabb oldala! Mrjk r BC-re -bl kiindulva AB-1 s C-bl kiindulva AC-t. A felmrt szakaszok vgpontja E, illetve F. Mekkora az EAF^, ha a hromszg szgei a , j3 s f i
KI 122 . Hzzunk az ABC hromszg A cscsbl prhuzamost a C cscsbeli bels szgfelezvel. Igazoljuk, hogy ez a BC oldal meghosszabbtsbl az AC oldallal egyenl szakaszt vg le.
K1 123. Hosszabbtsuk meg az ABC hromszg BC oldalt a C cscson tl az AC oldallal egyenl szakasszal. Kssk ssze ennek P vgpontjt az A cscscsal, s mutassuk meg, hogy az sszekt egyenes prhuzamos a yszg szgfelezjvel.
K2 124. A 124. brn lev hegyesszg hromszgben az egyformn jellt szgek egyenlk. Bizonytsuk be, hogy a hromszgbe berajzolt szakaszok a magassgvonalak egyenesein vannak.
K2 125 .A 125. brn egyformn jellt szgek egyenlk. Fejezzk ki a bels pontnl lev szgeket, ha ismerjk a hromszg szgeit.
K1 126. Bizonytsuk be, hogy ha egy hromszg egyik oldala ktszerese a hozz tartoz slyvonalnak, akkor a hromszg derkszg.
K1 127. Egy egyenl szr hromszg egyik szrt az alappal szemkzti cscson tl hosszabbtsuk meg a ktszeresre, s az gy nyert pontot kssk ssze az alap msik cscsval. Mutassuk meg, hogy ez az sszekt egyenes merleges az alapra.
E1 128 .Mutassuk meg, hogy az egyenl oldal hromszg oldalait hrom egyenl rszre oszt pontoknak a 128. brn lthat sszektsekor keletkez megjellt szgek derkszgek.
E1 129. Egy ngyzet cscsai krl az tl felvel mint sugrral a ngyzet kzppontjn tmen negyedkrket rajzolunk. Bizonytsuk be, hogy a negyedkrknek s a ngyzet oldalainak metszspontjai szablyos nyolcszget hatroznak meg.
K1 130. Hosszabbtsuk meg egy ngyzet tlit mindkt irnyban annyival, amekkora a ngyzet oldala. Az gy kapott vgpontok ismt ngyzetet alkotnak. Bizonytsuk be, hogy e ngyzet oldala az eredeti ngyzet tljnak s oldalnak sszegvel egyenl.
E1 131 . Hosszabbtsuk meg egy ngyzet kt tljt egyik irnyban annyival, amekkora a ngyzet oldala. Bizonytsuk be, hogy a meghosszabbtssal nyert kt pont a ngyzet valamelyik cscsval egyenl szr hromszget alkot.
K2 132. Mrjk r egy ngyzet egyik tljra az egyik cscsbl kiindulva a ngyzet oldalt. A kapott vgpontban emeljnk merlegest az tlra. Bizonytsuk be, hogy a 132. brn sznessel jellt hrom szakasz egyenl.
E1 133. Egy egyenl szr hromszg szrszgnek cscsban emeljnk merlegest az egyik szrra. Szerkesszk meg e szr s az alap szgnek, majd a cscsnl lev szgnek a szgfelezjt is. Igazoljuk, hogy a 133. brn sznessel jellt szakaszok egyenlk.
b > c > d egyenltlensg. Igazoljuk, hogy az a s b ltal alkotott szg kisebb, mint a c s d ltal alkotott szg.
E1 144. Vegynk fel az ABC hromszg belsejben egy P pontot, s bizonytsuk be, hogy az APB szg mindig nagyobb, mint az ACB szg.
E1 ,GY 145. Milyen irnyban bocsssunk a tkr eltt ll A pontszer fnyforrsbl fnysugarat a tkrre, hogy a visszavert fnysugr adott B ponton menjen t?
E2 146. Bizonytsuk be, hogy az egyenl szm hromszgben az alap brmelyik pontjra nzve a szraktl mrt tvolsgok sszege lland.
E2 147. Igazoljuk, hogy ha brhol is vesznk fel az egyenl oldal hromszg belsejben egy pontot, a hrom oldaltl mrt tvolsgainak sszege mindig ugyanakkora.
K1 148 . Ltezik-e olyan hromszg, melynek oldalai azonos egysggel mrve
a) 10, 12, 13; b) 1 ,2 ,3 ; c) i – l ; d) 1911, 1918, 3826?2 3 4
K1 149. Egy hromszg egyik oldala 1,8 m, a msik 0,7 m. Hny mter a harmadik oldal, ha mrszma egsz szm?
K1 150. Egy egyenl szr hromszg kt oldala 3 cm s 6 cm. Mekkora a harmadik oldal?
K2 151 . Az egyenl szr hromszg egyik szrhoz hzott slyvonal a hromszg kerlett 15 cm s 6 cm hosszsg rszekre osztja. Mekkork a hromszg oldalai?
K1 152. Bizonytsuk be, hogy ha egy hromszg a, b, c oldalai kzl a a legnagyobb, akkor a 2a, b, c oldalakbl nem lehet hromszget szerkeszteni.
K2 153. Igazoljuk, hogy a hromszg brmely oldala kisebb a fl kerletnl.
E1 154.64 141. feladatra pl.) Igazoljuk, hogy az egyenl oldal hromszg brmely bels pontja s az egy-egy cscs kzti hrom szakaszbl mindig lehet hromszget szerkeszteni.
E2 155. Igazoljuk, hogy ha P az ABC hromszg bels pontja, akkor PB + PC
ADOTT TULAJDONSG PONTOK HALMAZNAK MEGHATROZSA A SKON
E2 164. Igazoljuk, hogy a konvex ngyszg tlinak sszege kisebb a ngyszg kerletnl, de nagyobb a ngyszg fl kerletnl.
E2 165 Mutassuk meg, hogy egy ngyszgben brmelyik oldal kisebb a msik hrom sszegnl.
K1 166. Egy ngyszg oldalai (ebben a sorrendben) 2 cm, 6 cm, 3 cm s 8 cm hosszak. Bizonytsuk be, hogy egyik tl sem rheti el a 9 cm-t.
V 167. Mutassuk meg, hogy egy konvex ngyszg skjban az tlk metszspontjban legkisebb a cscsoktl mrt tvolsgok sszege.
E2 168. Bizonytsuk be, hogy egy tetszleges pontnak egy sokszg cscsaitl mrt tvolsgsszege nagyobb a sokszg fl kerletnl.
E2 169 . Mutassuk meg, brhogyan is adunk meg a skon ngy pontot (melyek kzl semelyik hrom nem lehet egy egyenesen), mindig ki lehet vlasztani kzlk hrmat gy, hogy azok ne legyenek egy hegyesszg hromszg cscsai.
K1 170. Adjunk meg a skon ngy olyan pontot, hogy az ltaluk meghatrozott ngy hromszg mindegyike tompaszg legyen.
E2 171 . Adott a skon az A, B, P s Q pont gy, hogy kzlk semelyik hrom nincs egy egyenesen, s PA + PB = QA + QB = k. Bizonytsuk be, hogy a PQ szakasz F felezpontjra fennll az FA + FB < k egyenltlensg.
Adott tulajdonsg pontok halmaznak meghatrozsa a skon
K1 172. Adjuk meg az e egyenestl 3 cm tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 173. Adjuk meg az e egyenestl 3 cm-nl kisebb tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 174. Adjuk meg az e egyenestl legalbb 3 cm tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 175 . Szerkessznk adott egyenesen pontot, amely egy O ponttl 3 cm-re van. Mitl fgg a megoldsok szma?
K2 176. Adjuk meg a P ponttl 3 cm tvolsgra s az e egyenestl 2 cm tvolsgra lev pontok halmazt.
K2 177. Adjuk meg a P ponttl 3 cm tvolsgra s az e egyenestl legfeljebb 2 cm tvolsgra lev pontok halmazt.
K2 178. Adjuk meg a P ponttl 3 cm-nl nagyobb tvolsgra s az e egyenestl 2 cm-nl kisebb tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 179 . Adott a skon az AB = 8 cm hossz szakasz. Adjuk meg az A ponttl 4 cm tvolsgra, a B ponttl 2,5 cm tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 180 . Szerkessznk pontot, amely kt adott pont mindegyiktl 6 cm tvolsgra van.
K2 181. Adjuk meg a P ponttl 2 cm tvolsgra s a Q ponttl 3 cm tvolsgra lev pontok halmazt.
K2 182. Adjuk meg a P ponttl 2 cm-nl kisebb tvolsgra s a Q ponttl 3 cm-nl kisebb tvolsgra lev pontok halmazt.
K2 183. Adjuk meg a P ponttl legfeljebb 2 cm tvolsgra s a Q ponttl 3 cm-nl nagyobb tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 184. Adjuk meg az e s/egyenesek mindegyiktl 1 cm tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 185. Adjuk meg a P ponttl 4 cm-nl nem nagyobb s 3 cm-nl nagyobb tvolsgra lev pontok halmazt.
E1 186. Adott a skon hrom egy ponton tmen egyenes: a, b, c. Adjuk meg azon pontok halmazt, amelyek rajta vannak a c egyenesen, s a-tl 1 cm-nl nem nagyobb, b-ti2 cm-nl nem kisebb tvolsgra vannak.
K2 187. Adjuk meg az e egyenestl x, az / egyenestl y tvolsgra lev pontok halmazt, ha adott az x s az y tvolsg, s tudjuk, hogy x > y.
K1 188. Adjuk meg kt egymsra merleges adott egyenes mindegyiktl 3 cm-nl kisebb tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 189. Adjuk meg az ABC hromszg cscsaitl egyenl tvolsgra lev pontok halmazt.
E1 190. aj Adjuk meg egy 5 cm oldal ngyzet minden oldalegyenestl 2,5 cm-re lev pontok halmazt.b) Adjuk meg egy 5 cm oldal ngyzet minden oldalegyenestl 2 cm-nl nagyobb tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 191 .Adott kt prhuzamos egyenes, e s/. Adjuk meg a kt egyenestl egyenl tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 192. Adjuk meg egy ngyzet minden oldalegyenestl egyenl tvolsgra lev pontok halmazt.
E1 193. Adott kt prhuzamos egyenes, e s / Adjuk meg azon pontok halmazt, amelyek az egyik egyenestl ktszer akkora tvolsgra vannak, mint a msiktl.
K1 194 . Adott kt metsz egyenes. Adjuk meg azoknak a pontoknak a halmazt, amelyek egyenl tvolsgra vannak e kt egyenestl.
K2 195. Adjuk meg az ABC hromszg minden oldalegyenestl egyenl tvolsgra lev pontok halmazt.
E2 196. Hny olyan pont van, amely hrom adott egyenestl egyenl tvolsgra van?
K1 197. Adjuk meg azon ABC hromszgek C cscsainak halmazt, amelyeknek A s B cscsa rgztett, s a C cscshoz tartoz magassguk m.
K2 198. Adjuk meg azon ABC hromszgek C cscsainak halmazt, amelyeknek A s B cscsa rgztett, s az ABC hromszg kr rt kr sugara r.
K2 199. Adjuk meg az ABC hromszg AB s AC oldalegyeneseitl, illetve az A s B cscsoktl egyenl tvolsgra lev pontok halmazt.
K1 200. Szerkessznk egyenest, amely adott e egyenessel prhuzamos, s egy megadott P ponttl 4 cm-re van.
ADOTT TULAJDONSG PONTOK HALMAZNAK MEGHATROZSA A SKON
K1 201 . Szerkessznk egyenest, amely adott ponton tmegy, s adott egyenessel elre adott konvex szget zr be.
K2 202. Szerkessznk egyenest, amely adott egyenessel 30-os szget zr be, s egy megadott ponttl 4 cm-re van.
K2 203. Egy flegyenesre minden pontjban lltsunk merlegest, s ezekre mrjk felugyanazon irnyban a merleges talppontjnak a flegyenes kezdpontjtl mrt tvolsgt. Adjuk meg az gy nyert merleges szakaszok vgpontjainak halmazt.
sik szrral, s mrjk r a szgtartomnyban a pont s a cscs tvolsgt. Adjuk meg az gy kapott vgpontok halmazt.
szgszrakkal. Bizonytsuk be, hogy az gy keletkezett prhuzamos svok egyenl szlesek.
K2 206. Adjuk meg azoknak a pontoknak a halmazt, amelyek kt koncentrikus krtl egyenl tvolsgra vannak.
K2 207 . Adott egyenesen szerkessznk pontot, amely kt megadott ponttl egyenl tvolsgra van.
K2 208. Szerkessznk az ABC hromszg AB oldaln olyan P pontot, amely a B s C pontoktl egyenl tvolsgra van.
K1 209. Egy hromszg egyik oldaln szerkessznk olyan pontot, amely a msik kt oldalegyenestl egyenl tvolsgra van.
KI 210 . Messnk el kt prhuzamos egyenest egy harmadikkal, s szerkessznk pontot, amely mindhrom egyenestl egyenl tvolsgra van.
KI 211. Adjunk meg a skon t pontot gy, hogy ltezzk mind az ttl egyenl tvolsgra lev pont.
K2 212 .Hol a hiba a kvetkez gondolatmenetben? Vegyk fel a skon az A, B, C, D pontokat gy, hogy ne legyenek egy krn, tovbb az A, B s C ,D pontprok ne legyenek prhuzamos egyeneseken. Ekkor az AB felez merlegese s a CD felez merlegese metszik egymst egy O pontban. Ez az O egyenl tvolsgban van az A-tl s a fi-ti – hiszen rajta van AB felez merlegesn – , s ugyanilyen oknl fogva C-tl s Z)-tl is. gy O egyenl tvolsgra van mind a ngy ponttl, ezrt van olyan O kzppont kr, amely tartalmazza a pontokat, holott ezeket gy vettk fel, hogy ne legyenek egy krn.
K2 213 . Adott kt szakasz. Szerkessznk a szakaszok fl egyenl szr hromszgeket, amelyeknek a harmadik cscsa egybeesik.
K1 214. Egy szg szrai kztt adott egy P pont. Szerkessznk a ponton t egyenest, amely a szg szraibl egyenl darabokat metsz le.
K2 215 . Adott egy konvex szg szrai kztt egy P pont. Szerkessznk a szg belsejben a szraktl egyenl tvolsgra pontokat, amelyek az adott ponttl 3 cm-re vannak.
K2 216 . Szerkesszk meg az adott a egyenesen azt a pontot, amely egy b egyenestl t tvolsgra van.
K2 217 . Adott egy e egyenes s egy P pont. Szerkessznk pontot, amely e-tl s fi-tl is a tvolsgra van.
K2 204. Egy konvex szg egyik szrnak minden pontjn t hzzunk prhuzamost a m-
K1 205. Egy szg felezjnek egyik pontjbl szerkessznk prhuzamos egyeneseket a
K2 218. Legyen a s b kt metsz egyenes. Adjuk meg azoknak a pontoknak a halmazt, amelyek -tl s b-ti mrt tvolsgnak klnbsge d.
K2 219. Adjuk meg azoknak a pontoknak a halmazt egy derkszg szgtartomnyban, amelyeknek a derkszg kt szrtl mrt tvolsgsszege d.
E1 220. (A 219. feladatra pl.) Adott derkszg hromszgbe szerkessznk k kerlet tglalapot gy, hogy annak kt szomszdos oldala egy-egy befogn legyen.
E1 221.64 219. feladatra pl.) Szerkessznk r sugar krbe k kerlet tglalapot.
E1 222. (A 221. feladatra pl.) Mutassuk meg, hogy az adott krbe rhat tglalapok kzl a ngyzet kerlete a legnagyobb.
Hromszgek szerkesztse (I. rsz)
K1 223 . Szerkessznk hromszget, ha adott kt cscsa, egy a harmadik cscson tmen egyenes, s ismerjk mg a harmadik cscshoz tartoz magassg hosszt is.
K2 224. Szerkessznk hromszget, ha adott az egyik oldalnak egyenese, az ehhez tartoz magassg, kt msik oldalnak a hossza, tovbb egy egyenes, amely tmegy az adott oldalegyenessel szemkzti cscson.
K1 225. Szerkessznk hromszget, ha adott egy oldala, a rajta fekv egyik szg s az oldalhoz tartoz magassg.
K2 226. Szerkessznk hromszget, ha adott kt oldala s az egyikhez tartoz magassg.
K2 227. Szerkessznk hromszget, ha adott egy oldala, a rajta lev egyik szg s az oldalhoz tartoz slyvonal.
K2 228. Szerkessznk hromszget, ha adott egy oldala, a hozz tartoz slyvonal s magassg.
K1 229. Szerkessznk hromszget, ha adott egy szge s egy msik cscshoz tartoz magassga s szgfelezje.
K1 230. Szerkessznk egyenl oldal hromszget, ha adott a magassga.
K1 231 . Szerkessznk egyenl oldal hromszget, ha adott az egyik cscsa s a szemkzti oldalnak egyenese.
K1 232. Szerkessznk egyenl oldal hromszget, ha adott a kzppontja (szgfelezinek metszspontja) s az egyik oldalnak egyenese.
K1 233. Szerkessznk egyenl oldal hromszget, ha ismerjk a) a kr rt kr sugart,b) a bert kr sugart.
K1 234. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alapjnak kt cscsa s az egyik szrnak egyenese.
K1 235. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alappal szemkzti szge s az alaphoz tartoz magassga.
K1 236. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alapja s az alappal szemkzti szge.
ADOTT TULAJDONSG PONTOK HALMAZNAK MEGHATROZSA A SKON
K1 237. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az egyik szra s az alapon fekv szge.
K1 238 Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alapja s a hozz tartoz magassga.
K1 239. Szerkessznk derkszg hromszget, ha adott az tfogja s az egyik befogja.
K2 240. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alapja s az egyik szrhoz tartoz magassga.
K2 241 . Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alapja, tovbb az alapnak az egyik szrhoz tartoz slyvonallal bezrt szge.
K1 242. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alapja s az a szg, amelyet az alap egyik vgpontjbl kiindul szgfelez az alaphoz tartoz magassggal bezr.
K2 243 . Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az egyik szra s a hozz tartoz magassga.
K1 244. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az egyik szra s a hozz tartoz slyvonal.
K2 245 .Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az egyik szra s annak egyenesn a szrhoz tartoz magassg talppontja.
K2 246. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az egyik szra s a hozz tartoz slyvonalnak a szrral bezrt szge.
K1 247. Szerkessznk egyenl szr derkszg hromszget, ha adott az tfogja.
K1 248 . Szerkessznk egyenl szr derkszg hromszget, ha adotta) a derkszg cscsa s az tfogjnak egyenese;b) az egyik hegyesszg cscsa s a szemkzti oldalnak egyenese.
E1 249 . Szerkessznk egyenl szr derkszg hromszget, ha adotta) az tfog s az egyik befog sszege;b) az tfog s az egyik befog klnbsge.
E1 250. Szerkessznk egyenl szr derkszg hromszget, ha adott a kerlete.
E1 251 . Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alap s a szr sszege, va- | lamint az egyik szg.
E2 252. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az alap s az egyik szr k- | lnbsge, valamint a) az alapon fekv szg; b) a szrszg.
El 253. Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott a kerlete s az alapon fek- | v szge.
El 254. Szerkessznk hromszget, ha adott a + c, fi s mc.
E1 255. Szerkessznk hromszget, ha adott a – b, fi s m.y
E1 256. Szerkessznk derkszg hromszget a kvetkez adatokbl (a s b a befogk, \ a > b, c az tfog):\ a) a + b, c; b) a – b, c; c) a – b, a; d) c – a, a; e) a + b + c, a.
Hromszgek, sokszgek egybevgsga
E2 257 . Szerkessznk hromszget a kvetkez adatokbl:a) b + c, a, y; b) b + c, a, a; c) b – c,a, p; d) b + c, a, mb; e) b – c , a, mb.
K2 258 . Szerkessznk hromszget, ha adott kt oldalnak sszege s klnbsge, valamint a kt oldal ltal bezrt szg.
E1 259. Egy O cscs szg egyik szrn jelljnk ki egy P pontot, s adjunk meg egy t szakaszt. Szerkessznk a msik szron olyan Q pontot, amelyre a PQ + QO = t egyenlsg fennll.
E1 260 . Szerkessznk egyenl oldal hromszget, ha adott az egyik oldal s a magassg sszege.
E1 261 . Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott az egyik szr s az alaphoz tartoz magassg sszege, valamint az alap.
K2 262 .Adott derkszg hromszgbe szerkessznk ngyzetet gy, hogy annak kt szomszdos oldala egy-egy befogn legyen.
Hromszgek, sokszgek egybevgsga
K2 263 . Mutassuk meg, hogy ha a hromszget szt lehet vgni kt egybevg rszre, akkor a hromszg egyenl szr.
K2 264. Bizonytsuk be, hogy kt hromszg egybevg, ha megegyezneka) kt oldalban s az egyikhez tartoz slyvonalban;b) kt szgben s az egyikhez tartoz szgfelezben;c) kt szgben s a harmadikhoz tartoz szgfelezben;d) kt szgben s a harmadikhoz tartoz magassgban;e) kt szgben s az egyikhez tartoz magassgban;f) egy oldalban, egy rajta fekv szgben s az ehhez tartoz szgfelezben.
K2 265. Bizonytsuk be, hogy kt egyenl szr hromszg egybevg, ha megegyezneka) alapjukban s a vele szemkzti szgben;b) alapjukban s a hozz tartoz magassgban;c) alapjukban s a szrakhoz tartoz magassgban;d) alapon fekv szgkben s az alaphoz tartoz magassgban.
K1 266. Bizonytsuk be, hogy kt derkszg hromszg egybevg, haa) kt-kt befogjuk egyenl;b) tfogjuk s egyik befogjuk egyenl;c) egy befogjuk s az ezzel szemkzti szgk egyenl.
K1 267. Bizonytsuk be, hogy kt egyenl szr derkszg hromszg egybevg, ha tfogik egyenlk.
K1 268. Igazoljuk, hogy kt egyenl oldal hromszg egybevg, ha magassguk egyenl.
K1 269 .Mutassuk meg, hogy ha kt hromszg egybevg, akkor szksgkppen egyenlk a megfelel oldalakhoz tartoz a) magassgok; b) szgfelezk; c) slyvonalak.
K1 270 .Mutassuk meg, hogy a kvetkez llts hamis: Kt hromszg egybevg, ha megegyezik egy oldaluk s kt szgk.
K1 271 . Mutassuk meg, hogy kt egyenl szr hromszg nem szksgkppen egybevg, ha egy oldala s kt szge egyenl.
K1 272. Vizsgljuk meg a kvetkez llts helyessgt: Kt hromszg egybevg, ha kt oldalban s a kzs cscsbl kiindul magassgban megegyeznek.
K2 273 . Mutassuk meg, hogy ha kt hromszg megegyezik kt oldalban s az egyikkel szemkzti szgben, tovbb tudjuk, hogy a msik egyez oldallal szemkzti szg vagy mindkettjkben hegyesszg, vagy mindkettjkben tompaszg, akkor a kt hromszg egybevg.
K2 274. Mutassuk meg, hogy kt konvex ngyszg egybevg, ha egymst kvet oldalaikban s egy, a megfelel oldalak ltal kzrefogott tlban megegyeznek.
E1 275. Igazoljuk, hogy kt konvex ngyszg egybevg, ha megegyeznek hrom oldalukban s az azok ltal bezrt kt szgben.
K1 276 . Mutassuk meg, hogy kt ngyszg egybevgsghoz ltalban nem elegend az, hogy ngy megfelel oldaluk s egy megfelel szgk megegyezzk.
K2 277. Mutassuk meg, hogy az egyenl szr hromszgben egyenlka) a szrakhoz tartoz slyvonalak;b) a szrakhoz tartoz magassgok;c) az alapon lev szgek felezi.
K1 278 . Mutassuk meg, hogy ha egy hromszgben az egyik cscshoz tartoz magassgvonal s slyvonal egybeesik, akkor a hromszg egyenl szr.
K2 279. a) Bizonytsuk be, hogy ha a hromszg valamelyik oldalnak felezpontjn t prhuzamost hzunk a msik kt oldal egyikvel, akkor az gy kapott egyenes felezi a harmadik oldalt, s a hromszg belsejbe es szakasza fele annak az oldalnak, amelyikkel prhuzamos.b) Igazoljuk, hogy ha valamely hromszg kt oldalnak felezpontjn t egyenest rajzolunk, akkor az prhuzamos a harmadik oldallal, s a felezpontok kz es szakasza fele a harmadik oldalnak.
K1 280. (A 279. feladatra pl.) Rajzoljuk meg az ABC hromszg kt slyvonalt. Felezzk meg a slyvonalak S metszspontja s a cscsok kztti tvolsgot. E felezsi pontokat jelljk Sr , S2-ve 1, a hromszg oldalfelez pontjait pedig Fr , F,-ve. Bizonytsuk be, hogy az SF,F2 hromszg egybevg az SS,S2 hromszggel.
K1 281.64 280. feladatra pl.) Bizonytsuk be, hogy a hromszg kt slyvonala a cscsoktl szmtva 2:1 arnyban osztja egymst.
K2 282. Bizonytsuk be, hogy ha egy hromszgben kt slyvonal egyenl, akkor a hromszg egyenl szr.
K1 283. Igazoljuk, hogy ha egy hromszgben kt magassgvonal egyenl, akkor a hromszg egyenl szr.
K1 284. Igazoljuk, hogy egy konvex szg felezjre emelt merleges a szrakbl egyenl szakaszokat metsz ki.
K1 285 .Mutassuk meg, hogy kt prhuzamos egyenes pontjait sszekt szakaszok felezpontjai a prhuzamosok kzpprhuzamosn sorakoznak.
K1 286. Rajzoljunk fel kt egyenl szlessg s prhuzamos helyzet prhuzamos svot. Metsszk ezt el egy egyenessel, s bizonytsuk be, hogy az egyenesnek a kt svon belli szakaszai egyenlk.
K2 287. Mutassuk meg, hogy a hromszg kt oldalfelez pontjt sszekt egyenes egyenl tvolsgra halad a hromszg mindhrom cscstl.
KI 288. Mutassuk meg, hogy a hromszg brmely cscshoz tartoz slyvonal egyenese egyenl tvolsgra van a msik kt cscstl.
KI 289. Rajzoljunk prhuzamos egyeneseket egy hromszg cscsain t a szemkzti oldalakkal. Mutassuk meg, hogy gy ngy egybevg hromszghz jutunk.
K1 290. Rajzoljunk egy derkszg hromszg befogira kifel egy-egy ngyzetet, s ezeknek egymstl legtvolabbi cscsaibl bocsssunk egy-egy merlegest az tfog meghosszabbtsra. Igazoljuk, hogy a merlegesek talppontjai egyenl tvolsgra vannak az tfog megfelel vgpontjaitl.
El 291 .Az O cscs konvex szg egyik szrn jelljk ki az A, B, msik szrn pedig a C, D pontokat gy, hogy OA = OC s OB = OD legyen. Bizonytsuk be, hogy az AD s BC egyenesek a szg felezjn metszik egymst. (Ezzel egy j mdszert nyernk a konvex szg felezjnek szerkesztsre.)
K1 292. Egy egyenl oldal hromszg minden oldalt hosszabbtsuk meg egyik irnyban ugyanazzal a szakasszal gy, hogy mindegyik cscsnl csak egy meghosszabbts kezddjk. Bizonytsuk be, hogy az j vgpontok alkotta hromszg is egyenl oldal.
KI 293. Bizonytsuk be, hogy ha egy egyenl oldal hromszg minden oldalt ugyanabban az arnyban osztjuk kt rszre, akkor az osztpontok egy egyenl oldal hromszg cscsai. (293. bra)
KI 294. Bizonytsuk be, hogy ha egy egyenl oldal hromszgbe egy msik egyenl oldal hromszget runk, akkor a hromszg cscsai az eredeti hromszg mindhrom oldalt ugyanabban az arnyban osztjk kt rszre.
K2 295. rjunk ngyzetbe egyenl oldal hromszget, melynek az egyik cscsa egy ngyzetcscsba, a msik kt cscsa a kt nem ide befut oldalra esik.a) Bizonytsuk be, hogy a hromszg a ngyzetbl kt egybevg hromszget vg le.b) Szerkesszk meg a ngyzetbe a szablyos hromszget.
298. bra E1 296 . Hzzunk kt prhuzamos egyenest egy ngyzet kt tellenes cscsn t, s emeljnk ezekre merlegeseket a msik kt cscsbl. Igazoljuk, hogy az gy szerkesztett ngy egyenes ngyzetet hatrol.
K1 297 .Mutassuk meg, hogy egy ngyzet kt szomszdos cscsa s a szemkzti oldalra lltott egyenl szr hromszgnek az alappal szemkzti cscsa egyenl szr hromszget hatroznak meg.
El 298. Rajzoljunk ngyzetet egy derkszg hromszg tfogjra s egyik befogjra. (298. bra) Bizonytsuk be, hogy az brn EB = CG.
E1 299 .A 299. bra szerint prhuzamost hztunk egy paralelogramma egyik tljval. Bizonytsuk be, hogy PR = SQ.
E1 300. Toljuk el egy hrtrapz egyik tljt a prhuzamos oldalak mentn. (300. bra) j helyzetnek vgpontjait egy-egy trapzcscs- csal ktik ssze a szaggatott szakaszok. Bizonytsuk be, hogy AP = CQ.
K1 301. Egy kr minden rintjre – az rintsi pontbl kiindulva – azonos irnyban mrjnk fel egy adott szakaszt. Hatrozzuk meg a vgpontok halmazt.
K1 302. Tkrzznk egy pontot egy adott egyenesre csak krzt hasznlva.
K2 303. aj Tkrzznk egy hromszget az egyik oldalegyenesre. Milyen esetben alkot az eredeti s a tkrkp hromszg egytt ngyzetet, rombuszt, egyenl szr hromszget, szablyos hromszget, konvex deltoidot, konkv deltoidot?b) Tkrzznk egy hromszget az egyik szgfelez egyenesre. Milyen alakzatot alkot azeredeti s a tkrkp hromszg egytt?ej Tkrzznk egy hromszget az egyik magassgvonalra.
K1 304. Tkrzznk egy krt egy a kzppontjt nem tartalmaz adott t egyenesre.
E1 305. Egy hromszg hrom oldalegyenese a, b s c. Tkrzzk a sk egy tetszleges pontjt a-ra, majd a tkrkpet b-re, ezt a tkrkpet c-re, s gy tovbb jra c-re, b-re vgl a-ra. Mutassuk meg, hogy a tkrzssorozattal visszajutunk az eredeti pontba.
K1 306. A sk mely egyenesei egyeznek meg tengelyes tkrkpkkel?
K2 307. Mutassuk meg, hogy az egyenes s tkrkpe a tengellyel ugyanakkora szget zr be.
K2 308. Mutassuk meg, hogy egy pontnak s a tkrkpnek a tengely egy tetszleges pontjtl mrt tvolsga ugyanakkora.
K2 309. Legyen , s t2 kt merleges egyenes, s menjen t metszspontjukon az a egyenes. Bizonytsuk be, hogy ha a-1 ,- re tkrzzk, ugyanazt az egyenest nyerjk, mintha 2-re tkrztk volna.
K1 310. Mutassuk meg, hogy kt egyenl sugar krhz mindig tallhat olyan egyenes, amelyre nzve a kt kr tkrs.
K1 311. Hny szimmetriatengelye lehet az egyenl szr hromszgnek?
K1 312. Bizonytsuk be, hogy ha egy hromszgnek kt szimmetriatengelye van, akkor van hrom is.
K1 313. Bizonytsuk be, hogy ha egy derkszg hromszgben az egyik szg 30-os, akkor az ezzel szemkzti befog fele az tfognak.
K1 314. Bizonytsuk be, hogy ha egy derkszg hromszgben az egyik hegyesszg ktszerese a msiknak, akkor az tfog is ktszerese az egyik befognak.
K1 315 . Nevezznk meg olyan skbeli alakzatokat, amelyeknek vgtelen sok szimmetriatengelye van.
E1 316. Adott hrom egyenes: a, b, c. Szerkessznk olyan e egyenest, amely merleges b-re, s b felezi az e egyenes a s c kztti szakaszt.
K2 317 .Adott hrom egyenes: a, b, c. Szerkessznk ngyzetet, amelynek kt szemkzti cscsa az a, illetve c egyeneseken van, msik kt cscspontja pedig b-n.
K2 318. Adott az A s fi pont tovbb egy t egyenes. Szerkessznk a t-n olyan T pontot, hogy aTA sTB szakaszok a 7 pontban -re lltott merleges klnbz oldaln helyezkedjenek el, s mindkt szakasz ugyanakkora szget zrjon be /-vei.
K2.GY 319. Egy egyenes orszgt ugyanazon oldaln helyezkedik el kt kzsg. Mindkt kzsgbe bevezetik a villanyt, s a kt kzsg szmra kzvetlenl az orszgt mellett kzs transzformtorllomst ltestenek. Hol kell az llomst elhelyezni, hogy a lehet legrvidebb vezetkre legyen szksg?
K2,GY 320. Mutassuk meg, hogy ha egy fnysugr egy A pontbl kiindulva sktkrrl val visszaverds utn egy B pontba jut, akkor az A pont, a tkr s a fi pont kztt megtett t a lehet legrvidebb.
E1 321. Bizonytsuk be, hogy ha az egyenl szr hromszgben sszeadjuk az alap brmely pontjnak a kt szr egyenestl mrt tvolsgt, mindig ugyanazt az rtket kapjuk.
E1 322. (A 321. feladatva pl.) Igazoljuk, hogy az egyenl oldal hromszg brmely bels pontjnak a hrom oldaltl mrt tvolsgsszege mindig ugyanakkora.
E1 323. (A 321. feladatra pl.) Egy hegyesszg hromszg egyik oldaln szerkesz- sznk olyan pontot, amelynek a msik kt oldaltl mrt tvolsga egyttvve akkora, mint egy megadott szakasz.
E1 324. (A 322. feladatra pl.) A szablyos hromszg tetszleges bels pontjbl az oldalakra bocstott merlegesek talppontjai az oldalakat kt rszre osztjk. Bizonytsuk be, hogy az gy kapott hat szakasz kzl hrom-hrom egymshoz nem csatlakoznak az sszege fggetlen a bels pont vlasztstl.
E2 325. Egy hegyesszg szrai kztt adott egy pont. Szerkesszk meg a ponttl kiindul s oda visszatr legrvidebb utat, amely rinti a szgszrakat.
E2 326 .(A 325. feladatra pl.) a) Egy hegyesszg hromszg egyik oldaln tzznk ki egy pontot. rjunk a hromszgbe lehet legkisebb kerlet hromszget gy, hogy egyik cscsa a kitztt pont legyen.b) Mutassuk meg, hogy az a) rszben szerepl bert hromszg kerlete akkor a legkisebb, ha a kitztt pont a magassg talppontja.
E2 327. (A 326. feladatra pl.) Bizonytsuk be, hogy egy hegyesszg hromszgbe rt hromszgek kzl a talpponti hromszg kerlete a legkisebb. (A talpponti hromszg cscsai a magassgok talppontjai.)
E2 328. Egy hegyesszg szrai kztt helyezkedik el az A s fi pont. Szerkesszk meg az A s fi kztt a legrvidebb utat, ha annak rintenie kell a kt szgszrat is.
V,GY 329 .(A 328. feladatra pl.) Tglalap alak bilirdasztalra kt golyt helyeznk el. Milyen irnyba kell ellkni az egyik golyt, hogy az mind a ngy falat rintve eltallja a msik golyt?
E2 330 . Adott az e egyenes, s tle klnbz tvolsgra az A s a fi pont. Szerkesszk meg e-nek azt a pontjt, amelynek a kt adott ponttl mrt tvolsgklnbsge a lehet legnagyobb.
E1 331. Egy tglalap tlinak metszspontjn t fektessnk egy tetszleges egyenest. Ez az AB, illetve a CD oldalt a P, illetve Q pontban metszi. Bizonytsuk be, hogy a legrvidebb t, amely fi-tl az egyik szomszdos oldalig s onnan a Q-ba vezet, egyenl a tglalap tljval.
El 332. Adott az e egyenes, rajta a P pont s az e-re nem illeszked A pont. Szerkesz- sznk az egyenesen olyan X pontot, amelyre az AX + XP sszeg egy adott szakasszal lesz egyenl.
E1 333 . Adott az e egyenes, rajta a P pont s az e-re nem illeszked A pont. Szerkesz- sznk az egyenesen olyan X pontot, amelyre az AX – XP klnbsg egy adott szakasszal lesz egyenl.
E2 334. Megadunk egy a s b egyenest, az elbbin egy A pontot. Szerkessznk az a egyenesen olyan X pontot, amely A-tl s b-ti is egyenl tvolsgra van.
El 335 . Adott az e egyenes s egyik oldaln kt pont, A s fi. Szerkesszk meg az e egyenesen az X pontot gy, hogy AX felezze az e egyenes X-szel alkotott valamelyik szgt.
K1 336 .Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott a szimmetriatengelye, az azon lev cscs, tovbb a msik kt cscson tmen egy-egy egyenes.
K2 337 .Adott hrom egyenes: a, b ,f. Szerkessznk egyenl oldal hromszget, amelyn e k /a szgfelezje, a s b pedig egy-egy cscsn megy t.
K2 338 .Adott kt egymst nem metsz kr s kzttk egy egyenes. Szerkessznk egyenl oldal hromszget, amelynek egy-egy cscsa a krkn, egyik magassga pedig az adott egyenesen van.
K2 339. Adott a P s Q pont. A P ponton tmen minden egyenesre tkrzzk a Q pontot. Milyen ponthalmazt alkotnak a tkrkpek?
El 340. A 340. bra szerint ngyzetet rajzoltunk egy derkszg hromszgbe, majd meghosszabbtottuk a ngyzet egyik tljt s a hromszg tfogjt, metszspontjukat pedig sszektttk a derkszg csccsal. Igazoljuk, hogy a jellt szgek egyenlk.
E1 341. Bizonytsuk be, hogy a hromszg egy cscsnak a msik kt cscshoz tartoz ngy szgfelez egyenesre vonatkoz tkrkpei egy egyenesen vannak.
E1 342. (A 341. feladatra pl.) lltsunk merlegeseket a hromszg egyik cscsbl a msik kt cscshoz tartoz kt-kt szgfelez egyenesre. Bizonytsuk be, hogy a ngy merleges talppontjai egy egyenesen vannak.
K1 343. Az ABC hromszg BC oldalnak P pontjt tkrzzk a y szgfelezjre, majd a tkrkpet a szgfelezjre, annak tkrkpt pedig /3 szgfelezjre. Mutassuk meg, hogy a vgeredmnyl kapott pont az eredetivel egy oldalegyenesen van.
E2 344. (A 343. feladatra pl.) Adottak az egy ponton tmen/, g s h egyenesek, valamint a P pont. Szerkessznk hromszget, amelynek/, g s h a szgfelezi, s P az egyik oldalegyenesnek egy pontja.
K2 345 . Adott egy hromszg kt cscsa s a harmadikbl indul szgfelezje. Szerkesz- szk meg a hromszget.
E1 346. (A 343. feladatra pl.) Adott egy kr s a kzppontjbl kiindul hrom flegyenes. Szerkessznk hromszget, amelynek az adott flegyenesek szgfelezi, az adott kr pedig a bert kre.
K1 347. Egy hromszg s az egyik oldalfelez merlegesre vett tkrkpe egytt trapzt alkotnak. Mutassuk meg, hogy e trapz egyik szrnak az tlval bezrt szge az eredeti hromszg kt szgnek klnbsge.
E1 348. (A 347. feladatra pl.) Szerkessznk hromszget, ha ismert kt oldala s az ezekkel szemkzti szgek klnbsge.
E1 349. (A 347. feladatra pl.) Adott egy hromszg egyik oldalegyenesnek a szemkzti cscsbl indul szgfelezvel bezrt szge s a msik kt oldal hossza. Szerkesszk meg a hromszget.
E1 350. (A 347. feladatra pl.) Szerkesszk meg a hromszget, ha adott P – y, wa, b.
V 351 . Szerkessznk hromszget, ha adott egy oldala, a rajta lev szgek klnbsge s a hozz tartoz magassg.
E1 352 . Szerkesszk meg az ABCD ngyszget, ha ismerjk oldalait, s BD tlja felezi a B cscsnl lev szget.
E2 353 . Mutassuk meg, hogy egy pontnak hrom klnbz egyenesre vonatkoz tkrkpe akkor s csak akkor lehet egy egyenesen, ha a pontbl az egyenesre emelt merlegesek talppontjai is egy egyenesen vannak.
E2 354. Szerkesszk meg a hromszget, ha adott hrom oldalfelez merlegese s az egyik oldal egy pontja.
V 355. Egy egyenes egyik partjn kt kr helyezkedik el. Szerkessznk az egyenesen olyan pontot, amelybl a krkhz hzott rintk egyenl szget zrnak be az egyenessel.
V 356. Egy hegyesszg szrai kztt adott kt pont. Szerkessznk egyenl szr hromszget, amelynek alapja az egyik szgszron van, szrai tmennek egy-egy adott ponton, harmadik cscsa pedig a msik szgszron helyezkedik el.
V 357 . Szerkesszk meg az ABCD ngyszget, ha adott annak AB s CD oldala, a BC s AD oldalak sszege s az A cscsnak a CD oldalegyenestl mrt tvolsga, tovbb tudjuk, hogy a C s D cscsnl fekv szgek egyenlk.
E2 358 .Mutassuk meg, hogy ha egy sokszgnek tbb szimmetriatengelye van, akkor azok egy ponton mennek t.
V 359. Osszunk fel egy flkrt pratlan szm egyenl rszre. Az osztpontokon t szerkessznk prhuzamosokat az tmrvel. Hzzuk meg a kt kzps osztponthoz tartoz sugarakat, s bizonytsuk be, hogy a prhuzamosok kt sugr kz es rszeinek sszege fggetlen az osztpontok szmtl.
K1 360. Rajzoljunk fel egy tetszleges ngyszget, s tkrzzk azt az egyik cscsra.
K1 361 . Mutassuk meg, hogy egy szakasz s egy pontra vonatkoz tkrkpe vagy prhuzamosak, vagy egy egyenesbe esnek.
K1 362. Adjunk meg kt egyenl szakaszt. Szerkesszk meg azt a pontot, amelyre a szakaszokat tkrzve azok egymsba mennek t.
KI 363 . Nevezznk meg olyan skbeli alakzatokat, amelyeknek vgtelen sok szimmetriakzppontja van.
KI 364 . Mutassuk meg, hogy egy hromszg s az egyik oldalnak felezpontjra vett tkrkpe egytt paralelogrammt alkot.
K2 365. Igazoljuk, hogy ha egy hatszg tellenes oldalai prhuzamosak s egyenlk, akkor a szemkzti cscsokat sszekt tlk egy pontban metszik egymst.
K2 366. Bizonytsuk be, hogy egy hromszg nem lehet kzppontosan tkrs alakzat.
K1 367 . Tkrzznk egy egyenl oldal hromszget a kzppontjra. Mi lesz az eredeti s a tkrztt hromszg kzs rsze?
KI 368. Bizonytsuk be, hogy a derkszg hromszget az tfoghoz tartoz slyvonal kt egyenl szr hromszgre bontja.
El 369. Bizonytsuk be, hogy ha egy derkszg hromszg egyik szge 15-os, akkor az tfoghoz tartoz magassg negyede az tfognak.
K1 370 .Mutassuk meg, hogy ha a kzppontos tkrzsnl egy egyenes nmagba megy t, akkor a kzppont rajta van az egyenesen.
E1 371 .Tzznk ki egy e egyenest s rajta egy O pontot. A sk egy tetszleges pontjt tkrzzk az e-re, a tkrkpet az O-ra, majd ismt az e-re s jra az O-ra. Mutassuk meg, hogy gy mindig visszajutunk az eredeti pontba.
K1 372 .Tzznk ki egy pontot, amely egyenl tvolsgban van kt prhuzamos egyenestl. Mutassuk meg, hogy a pont felezi minden rajta tmen egyenesnek a kt prhuzamos kztti szakaszt.
K1 373 .Mutassuk meg, hogy ha kt prhuzamos egyenest kzpprhuzamosuk egy pontjra tkrznk, akkor azok egymsba mennek t.
K1 374. Hzzunk egyenest egy paralelogramma tlinak kzs pontjn t. Mutassuk meg, hogy ez az egyenes a paralelogrammt kt olyan rszre bontja, amelyek egymssal kzppontosan tkrsek.
E1 375. Igazoljuk, hogy ha egy ngyzet kr paralelogrammt runk, akkor a ngyzet s a paralelogramma kzppontja egybeesik.
K2 376. Bizonytsuk be, hogy egy egyenes csak gy lehet kt ponttl egyenl tvol, ha vagy prhuzamos a kt pontot sszekt egyenessel, vagy tmegy a kt pont hatrolta szakasz felezpontjn.
K1 377. Szerkessznk egy hromszg skjban olyan egyenest, amely annak hrom cscstl egyenl tvolsgban halad.
K1 378. Egy konvex szg szrai kztt kitznk egy pontot. Szerkessznk ezen t olyan szelt, amelynek a szrak kz es szakaszt a pont felezi.
K2 379. (A 378. feladatra pl.) Egy konvex szg szrai kztt kitznk egy pontot. Szerkessznk ngyzetet, amelynek kt tellenes cscsa egy-egy szgszron van, kzppontja pedig az adott pont.
K2,GY 380. (A 378. feladatra pl.)Kt egyenes t szeli t a mezt. A mezn ll egy fa. Az egyik ton megy Andrs, a msikon Barnabs. (380. bra) Hol van a kt tnak az a pontja, amelyekben llva a fik egyenl tvol vannak a ftl, de attl nem lthatjk egymst?
K2 381. (A 378. feladatra pl.) Egy konvex szg tartomnyn kvl kitztt pontbl szerkessznk olyan szelt, amelynek a kzelebbi szrig terjed darabja egyenl a szrak kz es darabjval.
K2 382. (A 378. feladatra pl.) Adott egy ngyszg s belsejben egy pont. Szerkesz- sznk olyan paralelogrammt, amelynek kzppontja az adott pont, szemkzti cscsai pedig az adott ngyszg szemkzti oldalegyeneseire esnek.
E1 383. Rajzoljunk kt pr prhuzamost, s tzznk ki egy pontot. Szerkessznk a ponton t olyan szelt, melynek a kt-kt prhuzamos kz es darabjai egyenlk.
K2 384. Adjunk meg kt prhuzamost, s tzznk ki rajtuk kvl egy pontot. A ponton t szerkessznk szelt gy, hogy kt metszspontjnak a kitztt ponttl mrt tvolsga egyttvve akkora legyen, mint egy megadott szakasz.
K1 385. Igazoljuk, hogy ha egy krt egy pontjra tkrznk, a tkrkp rinti az eredeti krt.
K2 386 . Mutassuk meg, hogy kt egymst metsz egyenl sugar kr kzppontosan szimmetrikus a kzs hr felezpontjra.
El 387. (A 386. feladatra pl.) Kt egymst metsz egyenl sugar kr kzs pontjain t prhuzamosokat hzunk. Bizonytsuk be, hogy a kt prhuzamos a krkbl kt-kt egyenl s prhuzamos hrt metsz ki.
K1 388 . Tkrzzk kt egymst metsz kr egyikt az egyik kzs pontra, s szerkesz- szk meg a helyben maradt krnek s a tkrkpknt kapott krnek a kzs hregyenest. Mutassuk meg, hogy ebbl az eredeti kt kr egyenl hossz hrokat metsz ki.
K1 389. (A 388. feladatra pl.) Kt egymst metsz kr egyik metszspontjn t szerkessznk olyan szelt, amelybl a kt kr egyenl hrokat metsz ki.
K1 390. Adott a k s i kr, valamint a P pont. Szerkessznk a ponton t olyan szelt, aminek k-wal val A, B s l-lel val C, D metszspontjaira teljesl, hogy P felezi az AC, AD, BC, BD szakaszok kzl legalbb az egyiket.
K2 391 . Szerkessznk kt koncentrikus krt metsz egyenest, amelybl a kt kr hrom egyenl szakaszt metsz ki.
V 392 . Kt kr kzs pontjn t hzzunk a krkhz szelt gy, hogy a krk ltal kimetszett hrok klnbsge egy adott szakasszal legyen egyenl.
E1 393. (A 378. s a 390. feladatra pl.) Adott kt kr, kt egyenes tovbb egy pont. Szerkessznk paralelogrammt, amelynek kzppontja az adott pont, szemkzti cscsai pedig a krkn, illetve az egyeneseken vannak.
El 394 . Adott egy kr, rajta egy pont s a kr kls tartomnyban egy egyenes. Szerkessznk a ponton t olyan egyenest, amelynek a pont s az egyenes kztti szakasza egyenl a krn belli szakaszval.
K1 395 .Mutassuk meg, hogy az a kr, amely egy paralelogramma kzppontjn s az egyik oldalnak vgpontjain megy t, rinti a kzpponton s az elbbivel szemkzti oldal vgpontjain tmen krt.
E1 396 . Tzznk ki egy krn kt pontot, A-t s B-1. Fussa be az X pont a krt, s szerkesszk meg minden helyzetben azt az Y pontot, amellyel az Y az AXBY paralelogrammban az Z-szel szemkzti cscs lesz. Milyen halmazt alkotnak az Y pontok?
E1 397. Egy egyenl szr hromszg alapjnak egyik vgpontjtl kezdve mrjnk fel az egyik szrra egy tvolsgot. A msik szrat hosszabbtsuk meg az alapon tl egy ugyanakkora darabbal. Igazoljuk, hogy az alap felezi az gy kapott kt pontot sszekt szakaszt.
K2 398. Szerkessznk hromszget, ha adotta) kt oldal s a harmadik oldalhoz tartoz slyvonal;b) egy oldalhoz tartoz slyvonal, az oldallal szemkzti szg s egy msik oldal;c) egy oldal, a hozz tartoz magassg s egy msik oldalhoz tartoz slyvonal;d) egy oldal, a msikhoz tartoz slyvonal s a harmadikhoz tartoz magassg;e) egy oldal, az oldalon fekv egyik szg s annak cscsbl indul slyvonal.
K2 399. Bizonytsuk be, hogy egy ngyszg akkor s csakis akkor trapz, ha egyik kzpvonala egyenl az ltala nem felezett oldalak szmtani kzepvel.
E1 400 . Szerkessznk trapzt, ha adott a kt prhuzamos oldal sszege, tovbba) a szrak hossza s a trapz magassga;b) az alapon lev kt szg s a trapz magassga;c) az tlk hossza s egyik szra.
E2 401 . Szerkessznk trapzt, ha ismerjka) kt tljt, az tlk hajlsszgt s az egyik alapot;b) kt tljt, az tlk hajlsszgt s az alapok klnbsgt.
V 402. Szerkessznk ngyszget, ha megadott sorrendben ismert a ngy oldala s az egyik kzpvonala.
Pont krli forgats
K1 403. Az ABC hromszgben a = 39, [i = 98. Mekkora szggel kell elforgatni a B cscs krl a BC oldalt, hogy az az AC oldallal prhuzamos legyen?
E1,GY 404 . Mutassuk meg, hogy ha egy mozdulatlan fnysugr tjba helyezett sktkrt a fnysugarak skjra merleges tengely krl a szggel elforgatunk, akkor a visszavert fnysugr 2a szggel fordul el. (Ez a mdszer alkalmas arra, hogy a fizikban igen kis elmozdulst kimutathassanak.)
K1 405. Rajzoljunk egy hromszget, s forgassuk el + 90-kal az egyik cscsa krl.
K1 406. Egy szgtartomnyban tzznk ki egy pontot, s forgassuk el e krl a szget – 90-kal.
K1 407. Adjunk meg egy irnytott szget, s forgassunk el egy adott egyenest az adott szggel, ha a kzppont a) az egyenesen van; b) nincs az egyenesen.
K1 408 .Tzznk ki egy pontot s egy egyenest. Forgassuk el adott kzppont krla) a pontot, hogy illeszkedjen az egyenesre; b) az egyenest, hogy illeszkedjen a pontra.
K2 409. Egy egyenest adott pont krl a szggel elforgatunk. Mekkora szget zr be az egyenes az elforgatottjval?
K2 410. (A 409. feladatra pl.) Adott a P pont s az e s/m etsz egyenespr. Forgassuk el P krl az e egyenest gy, hogy a) az/egyenessel prhuzamos legyen; b) az /eg y enesre merleges legyen.
K2 411 . Szerkessznk olyan kzppontot, amely krl egy adott A pont egy adott B pontba forgathat.
K1 412. Igazoljuk, hogy ha kt alakzat egymsba forgathat, akkor brmely kt megfelel pont ltal meghatrozott szakasz felez merlegese tmegy a kzpponton.
K1 413. Rajzoljunk fel kt egyenl (de nem prhuzamos) szakaszt. Szerkessznk pontot, amely krl a kt szakasz egymsba forgathat.
E1 414. Rajzoljunk fel kt egybevg, egyez krljrs ABC s A’B’C’ hromszget gy, hogy megfelel oldalaik ne legyenek prhuzamosak. Mutassuk meg, hogy az AA’, BB’, CC felez merlegesei egy ponton mennek t.
E1 415 .Adott kt egybevg, egyez krljrs, nem egyenl szr hromszg, amelyeknek megfelel oldalaik nem prhuzamosak. Szerkessznk olyan pontot, amely krl a kt hromszg egymsba forgathat.
E1 416. Rajzoljunk kt egybevg egyenl oldal hromszget (oldalaik ne legyenek prhuzamosak). Szerkessznk pontot, amely krl a kt hromszg egymsba forgathat.
E1 417. Rajzoljunk fel kt egybevg, egyez krljrs tglalapot (oldalaik ne legyenek prhuzamosak). Szerkessznk pontot, amely krl a tglalapok egymsba forgathatk.
E1,GY 418.(A 417. feladatra pl.) sszehajthat, tglalap alak asztalt akarunk kszteni gy, hogy az asztallap sszehajtva az ABCD, derkszggel elforgatva az A’B’C’D’ s sztnyitva a B B’C’Cl helyzetet foglalja el. Hov kell elhelyeznnk a forgstengelyl szolgl csapszeget? (418. bra)
K1 419. Milyen forgatsok visznek t egy ngyzetet nmagba?
K1 420. Milyen forgatsok visznek t egy szablyos hromszget nmagba?
K1 421. Egy egyenl oldal hromszg cscsai A, B s C. Hzzunk a C-n t egy egyenest s aj az A pont krl forgassuk el gy, hogy menjen t a B ponton; b) a hromszg kzppontja krl forgassuk el gy, hogy az egyenes az A ponton menjen t.
K2 422 . Tzznk ki egy egyenest s rajta kvl egy O pontot. Fussa be P az egyenes sz- szes pontjt, s tekintsk az sszes azonos krljrs POQ egyenl oldal hromszget. Milyen ponthalmazt alkotnak a Q pontok?
K2 423. Rajzoljunk kt prhuzamos egyenest s kzttk egy pontot. Szerkessznk olyan egyenl oldal hromszget, amelynek egyik cscsa a kitztt pont, msik kt cscsa pedig egy-egy prhuzamosra esik.
K2 424. Rajzoljunk hrom prhuzamos egyenest. Szerkessznk olyan egyenl oldal hromszget, amelynek egy-egy cscsa egy-egy prhuzamosra esik.
E1 425 . Adott kt metsz egyenes s egy rjuk nem illeszked pont. Szerkessznk olyan egyenl oldal hromszget, amelynek egy-egy cscsa az egyeneseken van s aj egyik cscsa az adott pont; b) kzppontja az adott pont.
E1 426. rjunk egy adott hromszgbe szablyos hromszget gy, hogy egy cscsa az egyik oldal adott pontja legyen.
E1 427. Rajzoljunk kt egyenest, s tzznk ki egy pontot. Szerkessznk egyenl szr derkszg hromszget gy, hogy a derkszg cscs a pontban, a hegyesszg cscsok pedig egy-egy egyenesen legyenek.
E1 428. Rajzoljunk kt prhuzamost s egy rjuk nem illeszked pontot. Szerkessznk ngyzetet, amelynek egyik cscsa a kitztt pont, kt tellenes cscsa pedig egy-egy prhuzamoson van.
E1 429. Forgassunk el egy krt a) egyik pontja krl derkszggel; b) egy kls pont krl gy, hogy rintse az eredetit.
E1 430. Rajzoljunk meg egy krt, egy egyenest s egy pontot. Szerkessznk egyenl oldal hromszget gy, hogy egy-egy cscsa a krn, az egyenesen, s a pontban legyen.
E1 431 .Adott kt kr s egy pont. Szerkessznk olyan egyenl oldal hromszget, amelynek egy-egy cscsa az egyik krn, a msik krn, ill. az adott pontban van.
E2 432. Rajzoljunk meg hrom koncentrikus krt. Szerkessznk olyan ngyzetet, amelynek hrom cscsa egy-egy krn van.
E1 433. Bizonytsuk be, hogy ha egy ngyzet cscsai egy paralelogramma egy-egy oldalegyenesn vannak, akkor a ngyzet s a paralelogramma kzppontja egybeesik.
El 434. Rajzoljunk egy paralelogrammt, s szerkessznk ngyzetet, amelynek cscsai a paralelogramma egy-egy oldalegyenesn helyezkednek el.
E2 435. Bizonytsuk be, hogy egy ngyzet kt szemkzti oldalegyenese kz es tetszs szerinti szakasz ugyanakkora, mint a r brhol emelt merlegesnek a msik kt oldalegyenes kz es szakasza.
E2 436. (A 435. feladatra pl.) Szerkessznk ngyzetet, ha adott mind a ngy oldalegyenesnek egy-egy pontja.
E2 437 .Adott a P, Q, R pont. Szerkessznk ngyzetet, amelynek P a kzppontja, a Q s az R pont pedig egy-egy szomszdos oldal egyenesre esik.
E1 438 .Adott a P, Q, R pont. Szerkessznk egyenl oldal hromszget, amelynek kzppontja a P pont, a Q s az R pedig egy-egy oldalegyenesre esik.
K2 439 .Szerkessznk egyenl szr hromszget, ha adott a szrak ltal bezrt szg nagysga, a szghz tartoz cscs s kt egyenes, amelyeken az alap egy-egy cscsa fekszik.
K2 440. Bizonytsuk be, hogy ha egy egyenl oldal hromszgbe berunk egy egyenl oldal hromszget, akkor a kt hromszg kzppontja egybeesik.
E1 441.64 440. feladatra pl.) Szerkessznk adott egyenl oldal hromszgbe adott oldalhosszsg egyenl oldal hromszget.
E1 442. Forgassunk el egy egyenl oldal hromszget a kzppontja krl, s jelljk meg az eredeti s az elforgatott oldalegyenesek metszspontjait (ha lteznek). Bizonytsuk be, hogy a hrom metszspont ismt egyenl oldal hromszget hatroz meg.
El 443 . Kt koncentrikus kr kztt tzznk ki egy P pontot. A P ponton t szerkesz- sznk szelt, amelynek a kt kr kz es darabja adott hosszsg.
E2 444. Szerkesszk meg az ABC hromszg AC s BC oldalra kifel az ACPQ s CBRS ngyzeteket. Mutassuk meg, hogy a PS szakasz ktszer akkora, mint a hromszg C-hez tartoz slyvonala s merleges r.
E2 445. Szerkesszk meg az ABC hromszg AC s BC oldalra kifel az ACPQ s CBRS ngyzeteket. Bizonytsuk be, hogy a BQ s az AR egyenesek a C-hez tartoz magassgvonalon metszik egymst.
E2 446. Szerkessznk egy paralelogramma oldalai fl (kifel) ngyzeteket. Mutassuk meg, hogy a ngyzetek kzppontjai ismt ngyzetet alkotnak.
K1 447. Rajzoljunk egy hromszget, s adjunk meg egy vektort. Toljuk el a hromszget az adott vektorral.
K1 448. Rajzoljunk egy tetszleges ngyszget, s tzznk ki egy pontot. Toljuk el a ngyszget gy, hogy egyik cscsa az adott pontba kerljn.
K1 449. Adjunk meg egy krt s egy ngyzetet. Toljuk el a ngyzetet gy, hogy kzppontja a kr kzppontjba kerljn.
K1 450 . Adott kt egyenes. Szerkessznk az egyik egyenesen olyan szakaszt, amelynek a msik egyenesen lev merleges vetlete adott hosszsg.
E1 451 . Adott egy szakasz s rajta egy pont. Szerkessznk a ponton t egy egyenest gy, hogy a szakasznak az egyenesen lev merleges vetlete adott hosszsg legyen.
E1 452. Egy hromszg egyik cscsn t szerkessznk egyenest gy, hogy a szemkzti oldalnak az egyenesen lev merleges vetlete adott hosszsg legyen.
K2 453. Adjunk meg egy egyenest s rajta kvl kt pontot. Illessznk a pontokra prhuzamosokat gy, hogy azok az egyenesbl adott hosszsg szakaszt messenek ki.
K2 454. Rajzoljunk egy hromszget s kt egyenest. Toljuk el a hromszget az egyik egyenessel prhuzamosan gy, hogy kijellt cscsa a msik egyenesre kerljn.
K1 455. Rajzoljunk kt egybevg hromszget olyan helyzetben, hogy a megfelel oldalvektoraik egyenlk legyenek. Bizonytsuk be, hogy a kt hromszg eltolssal egymsba vihet.
KI 456. A 456. brn kt egyenl sugar krt rajzoltunk. A sznes szakaszok a kt kr centrlisval prhuzamosak. Mutassuk meg, hogy ezek a szakaszok egyenlk is a centrlissal.
K2 457 . Adott kt metsz egyenes s egy szakasz. Toljuk el a szakaszt gy, hogy vgpontjai egy-egy adott egyenesre kerljenek.
E1 458. Szerkessznk paralelogrammt gy, hogy kt szomszdos cscsa kt elre kitztt pont legyen, msik kt cscsa pedig adott egyenesekre essk.
E1 459. rjunk egy hromszgbe paralelogrammt gy, hogy a paralelogramma minden cscsa a hromszg valamelyik oldalra essen, s egyik oldala pedig egy adott szakasszal legyen prhuzamos s egyenl.
K2 460. Adjunk meg egy krt s egy szakaszt. Toljuk el a szakaszt gy, hogy a krnek hrja legyen.
E1 461 .(A 460. feladatra pl.) Szerkessznk paralelogrammt gy, hogy kt szomszdos cscsa kt adott pont legyen, msik kt cscsa pedig egy adott krn legyen.
E1 462. (A 461. feladatra pl.) Adott egy kr s egy szakasz. Szerkessznk olyan pontot, amelyre az adott szakaszt tkrzve, vgpontjai a krre kerlnek.
K2 463. Adjunk meg egy szakaszt s kt krt. Toljuk el a szakaszt gy, hogy vgpontjai egy-egy krre kerljenek.
K2 464. Rajzoljunk egy krt s egy egyenest, valamint adjunk meg egy irnyt. Szerkesz- sznk egyenest, amely az adott irnnyal prhuzamos, s az egyenes s kr kztti szakasza adott hosszsg.
E1 465. Egy konvex krcikkbe helyezznk el az egyik hatrol sugarval prhuzamosan egy d hosszsg szakaszt gy, hogy egyik vgpontja a krvre, msik vgpontja a hatrol sugrra essk.
K2 466. Mutassuk meg, hogy az egyenl szr hromszg alapjnak egy pontjbl a szrakig hzott s a szrakkal prhuzamos szakaszok sszege lland.
E1 467. (A 466. feladatra pl.) Egy hromszg egyik oldaln szerkessznk pontot, amelybl a msik kt oldalig hzott s az oldalakkal prhuzamos szakaszok sszege egy adott szakasszal egyenl.
E2 468. Szerkessznk trapzt ngy adott oldalbl.
E2 469. Szerkessznk ngyszget, ha adottak elrt sorrendben az oldalai s kt szemkzti oldalegyenesnek szge.
E2 470. Szerkessznk ngyszget, ha adottak a szgei s kt szemkzti oldala.
E2 471. Bizonytsuk be, hogy ha egy ngyszg nem paralelogramma, s kt szemkzti oldala egyenl, akkor a msik kt oldalhoz tartoz kzpvonal vagy prhuzamos az els oldalpr szgt felez egyenessel, vagy rajta van azon.
K2 472. Adott ponton t szerkessznk kt prhuzamoshoz olyan szelt, amelynek a prhuzamosok kz es szakasza adott hosszsg.
K2 473. (A 472. feladatra pl.) Adottak az a, b, c prhuzamos egyenesek (ebben a sorrendben) s az A pont. Szerkessznk A-n t a prhuzamosokhoz szelt gy, hogy annak a s b kz, ill. b s c kz es darabjainak klnbsge elre adott szakasszal legyen egyenl.
E1 474. Egy szg egyik szrn tzznk ki kt pontot. Szerkessznk a pontokon t prhuzamosokat, melyeknek a szgszrak kz es darabjai sszesen egy adott szakasszal egyenlk.
E1 475 . Kt egymst metsz kr M kzs pontjn tmen szelbl a krk az AM s a I BM hrokat metszik ki. lltsunk merlegeseket a hrokra a kzppontokbl. Mutassuk | meg, hogy a merlegesek talppontjainak tvolsga egyenl az AB szakasz hossznak felvel.
E2 476. (A 475. feladatra pl.) Tekintsk kt egymst metsz kr M metszspontjn t I azokat a szelket, amelyeknek a krkkel val tovbbi metszspontjait az M pont elvlasztja. Bizonytsuk be, hogy ezek kzl a centrlissal prhuzamos szel esetn a legnagyobb a
| krk ltal kimetszett hrok sszege.
E2 477. (A 475. feladatra pl.) Szerkessznk kt egymst metsz kr M metszspont- I jn t olyan szelt, amelynek a krkkel val tovbbi metszspontjait az M pont elvlasztja, s a keletkezett kt hr hossznak sszege elre adott.
E1 478 . Szerkessznk paralelogrammt, amelynek kt szomszdos cscsa kt (klnbz sugar) kr kt kzs pontja, harmadik cscsa az egyik, negyedik pedig a msik krn
E1 479. Legyen egy kr kt pontja A s B. Fussa be az X pont a krt, s szerkesszk meg I minden helyzetben az Y pontot gy, hogy az az ABXY paralelogrammban a -vel szemkz- I ti cscs legyen. Milyen ponthalmazt alkotnak az Y pontok?
E1 480. Helyezznk el egy hromszgben egy AB szakaszt gy, hogy vgpontjai egy-I egy oldalegyenesen legyenek. Fussa be az X pont a harmadik oldal egyenest. Szerkesszk | meg X minden helyzetben az Y pontot gy, hogy az az ABXY paralelogrammban a fi-vel szemkzti cscs legyen. Milyen ponthalmazt alkotnak az Y pontok?
E2 481 .Tzznk ki egy pontot s egy egyenest. Forgassunk a pont krl egy rajta tme-I n krt, s minden helyzetben szerkesszk meg a krnek az egyenessel prhuzamos rintit.| Milyen ponthalmazt alkotnak az rintsi pontok?
E2 482. Mozgassunk egy krt gy, hogy kzppontja egy krt rjon le, s minden hely-I zetben szerkessznk hozz adott irny rintket. Milyen ponthalmazt alkotnak az rintsi | pontok?
E2 483. Szerkessznk az ABC hromszg BC oldalval prhuzamosan egyenest, amely | AC-1 B’-ben, AB-t C’-ben metszi gy, hogy AC’. = CB’.
V 484. (A 483. feladatra pl.) Szerkessznk az ABC hromszg AC oldaln B ‘ s AB oldaln C pontokat gy, hogy AC = CB’ legyen, illetve B’C’ egy adott szakasszal legyen egyenl.
E1 ,GY 485. Egy prhuzamos szl ttesten csak az t irnyra merlegesen lehet tkelni, az utat szeglyez jrdkon viszont tetszleges irnyban haladhatunk. Szerkesszk meg azt a
legrvidebb utat, amelyen az egyik oldali jrda egy pontjbl a msik oldali jrda egy pontjba lehet jutni.
E1,GY 486 . A 486. brn lthat telgazsnl az A pontbl -be szeretnnk eljutni, az ttesten azonban csak merlegesen lehet tkelni. Szerkesz- szk meg a legrvidebb utat A s B kztt.
E1 ,GY 487. Egy replgp azt a feladatot kapja, hogy A-bl kiindulva (487. bra) repljn az s tig, majd fltte 3 km-t replve, a B pontban szlljon le. Szerkesszk meg a gp tjt, ha 3 km-nek az brn egy h szakasz felel meg, s a gpnek egyenletes sebessggel a lehet legrvidebb id alatt kell megtennie tjt.
E1 488. aj Igazoljuk, hogy a hromszg slyvonalait alkalmasan eltolva, azokbl hromszg alkothat.b) Bizonytsuk be, hogy a hromszg slyvonalaibl kpzett hromszg slyvonalai az eredeti hromszg oldalainak hromnegyedvel egyenlk.
Egybevgsgi transzformcik egymsutnja
K2 489. Adjunk meg kt prhuzamos egyenest s egy hromszget. Tkrzzk a hromszget az egyik, majd a tkrkpet a msik egyenesre. Mit llapthatunk meg az eredmnyrl?
K2 490. Igazoljuk, hogy kt prhuzamos egyenesre val tkrzs egymsutnja helyettesthet egy eltolssal.
K2 491 . Mutassuk meg, hogy kt merleges tengelyre vonatkoz tkrzs egymsutnja helyettesthet a metszspontjukra val tkrzssel. Igazoljuk, hogy a kt tengelyes tkrzs sorrendje felcserlhet.
E1 492. Legyen A sB kt tetszleges pont. Tkrzzk a sk egy P pontjt A-ra, majd az eredmnyt B-re. Az gy nyert pontot P’-vel jelljk. Tkrzzk ezutn P-1 elszr B-re, majd a tkrkpet A-ra. Az eredmny legyen P”. Milyen kapcsolatot tallunk P, P’ s P ” kztt?
K2 493. Jelljk ki a skon az A s B pontokat. Tkrzzk a sk egy tetszleges P pontjt az A-ra, majd a tkrkpet B-re. Mutassuk meg, hogy gy ugyanodajutunk, mint ha a pontot az Af-vel prhuzamosan az AB szakasz ktszeresvel eltoljuk. Az eltols irnya A-bl B fel mutat.
E1 494. Az a, b, c egyenesek egy pontban metszik egymst. Tkrzzk a sk egy tetszleges pontjt a-ra, majd a tkrkpet b-re, ezt a tkrkpet c-re, s gy tovbb jra a-ra, b-re vgl c-re. Mutassuk meg, hogy a tkrzssorozattal visszajutunk az eredeti pontba.
E1 495. Vgezzk el az elz feladatot abban az esetben, ha a, b, c prhuzamos egyenesek.
K2 496. Igazoljuk, hogy egy prhuzamos eltols mindig helyettesthet kt darab pontra val tkrzs egymsutnjval.
E1 497. Igazoljuk, hogy a hromszg kzpvonala prhuzamos a nem felezett oldallal s feleakkora, mint ez az oldal.
K2 498 .Adott az AB s CD egyirny s egyenl hossz szakasz. Tkrzznk egy P pontot A-ra, majd a tkrkpt f-re, azutn a P-1 C-re s a tkrkpet D-re. Mutassuk meg, hogy a ktfle tkrzs eredmnye mindig ugyanaz a pont.
K2 499. (A 493. feladatra pl.) Adott az AB s CD egyirny s egyenl hossz szakasz. Tkrzznk egy P pontot A-ra, majd a tkrkpt C-re, azutn a P-t B-re s a tkrkpet D-re. Mutassuk meg, hogy a ktfle tkrzs eredmnye mindig ugyanaz a pont.
E1 500 . Tkrzznk vgig egy tetszleges P pontot egy tszg oldalfelez pontjaira. Jelljk a vgeredmnyt P5-tel. Mutassuk meg, hogy az tszg egyik cscsa felezi a PP5 szakaszt.
E1 501 . Szerkesszk meg az tszget, ha adottak az oldalfelez pontjai.
E2 502. Igazoljuk, hogy hrom kzppontos tkrzs egymsutnja kzppontos tkrzs. Mutassuk meg, hogy hrom nem egy egyenesen lev kzppont esetn az j kzppont a hrom rgivel egytt paralelogrammt alkot gy, hogy az j kzppont a kzpsvel szemkzti cscs.
E2 503. Igazoljuk, hogy ngy kzppontos tkrzs szorzata eltols vagy identits.
E2 504 .Adott egy htszg ht oldalfelez pontja. Szerkesszk meg a htszget.
E2 505. (Az 504. feladatra pl.) Adott egy nyolcszg els ht oldalnak oldalfelez pontja. Egyrtelmen meghatrozhat-e a nyolcadik oldal felezpontja?
K2 506 . Tkrzznk vgig egy tetszleges pontot sorban egy hromszg cscsaira, majd az eredmnyl kapott pontot ismt sorban a hrom cscsra. Bizonytsuk be, hogy gy mindig visszajutunk az eredeti pontba.
E1 507. Bizonytsuk be, hogy kt egymst metsz tengelyre val tkrzs egymsutnja a metszspont krli elforgatssal helyettesthet.
E2 508. (Az 507. feladatra pl.) Mutassuk meg, hogy minden elforgats helyettesthet kt tengelyes tkrzssel.
K1 509. aj Bizonytsuk be, hogy egy adott pontra vonatkoz tkrzs a pont krli 180- os elforgatssal helyettesthet.b) Bizonytsuk be, hogy adott pont krli 180-os elforgats a pontra vonatkoz tkrzssel helyettesthet.
A hromszg nevezetes vonalai s krei
K1 510. Egy hromszg oldalai
2 4 7a) 7 cm, 9 cm, 12 cm; b) cm, cm, cm;3 5 6
c) 2m, 3n, ; d) 2m + 3n, 2m – 3n, m 2 2
Mekkork az oldalfelez pontok ltal alkotott hromszg oldalai?
K1 511. Egy hromszg oldalfelez pontjai olyan hromszg cscsai, amelynek oldalai
, 0 . , , . 1 2 5 i m 2n m + n a) 2 cm, 4 cm, 5 cm; b) cm, cm, cm; c) , , ——- .2 3 4 2 3 2
Mekkork az eredeti hromszg oldalai?
K1 512. Egy hromszget kzpvonalai ngy hromszgre bontanak. Ezek kerleteinek
sszege a) 20 cm; b) cm; c) d cm. Mekkora az eredeti hromszg kerlete?2
K1 513. Egy O cscs szg szrai kztti P ponton t hzzunk prhuzamost az egyik szrral. Ez a msik szrat A pontban metszi. Mrjk fel O-tl erre a szrra az OA szakasz ktszerest. Ennek B vgpontjt kssk ssze P-vel. Mutassuk meg, hogy P felezi az gy kapott egyenesnek a szg szrai kz es BC szakaszt.
K1 514. (Az 513. feladatra pl.) Szerkessznk egy szg szrai kztt lev P ponton t olyan egyenest, amelynek P felezi a szrak kztti rszt.
K1 515. Egy derkszg hromszg egyik befogja 12 cm. Milyen tvolsgra van az tfog felezpontja a msik befogtl?
K1,GY 516 .A tett tart szarufk vgpontjai 4,8 m-re vannak egymstl. Mekkora a felezpontjaikat sszekt gerenda hossza? (516. bra)
K1,GY 517. Egy repltrrl kt replgp indul el ugyanabban az idpontban. Mindkett lland sebessggel, egyenes irnyban halad, de tirnyuk klnbz. Fl ra alatt 180 km-re tvolodnak el egymstl. Mekkora a tvolsguk az indulstl szmtott egy ra mlva?
K1 518. Mutassuk meg, hogy ha kt hromszg megfelel kzpvonalai egyenlk, akkor a kt hromszg egybevg.
K2 519. Egy hromszg mindhrom cscst kssk ssze a sk egy tetszleges P pontjval. Bizonytsuk be, hogy az sszekt szakaszok felezpontjai ltal meghatrozott hromszgek mind egybevgk, brhol vesszk is fel a P pontot.
E1 520. Igazoljuk, hogy a hromszg kr rt kr kzppontjnak a hromszg brmelyik oldaltl mrt tvolsga feleakkora, mint az ugyanazon oldalhoz tartoz magassgnak a cscs s a magassgpont kz es szakasza.
K2 521. Egy pontot kssnk ssze egy r nem illeszked egyenes minden pontjval, s az sszekt egyenesekre mrjk r az egyenesen tl a metszspont s az adott pont kztti szakaszt. Mi az gy kapott vgpontok halmaza?
K2 522. Egy szakasz kt vgpontjt sszektjk a sk olyan kt klnbz pontjval, amelyek nem illeszkednek a szakasz egyenesre. Az sszekt szakaszokat megfelezzk. Mutassuk meg, hogy a felezpontok ltal meghatrozott szakaszok kztt van kt-kt egyenl.
A HROMSZG NEVEZETES VONALAI S KREI
K2 523. Bizonytsuk be, hogy ha egy szakaszt merlegesen vettnk egy egyenesre, akkor a szakasz felezpontjnak vetlete a vetletnek is felezpontja.
E1 524. Egy hromszg egyik oldalt rgztjk, az ezzel szemkzti cscsot pedig egy adott egyenesen mozgatjuk. Mit rnak le ekkor az adott oldallal prhuzamos kzpvonalak vgpontjai?
K2 525. Mutassuk meg, hogy egy hromszg oldalfelez pontjai ltal alkotott hromszg slyvonalai egy egyenesbe esnek az eredeti hromszg slyvonalaival.
K2 526 .Mutassuk meg, hogy egy hromszg oldalfelez pontjai ltal alkotott hromszg magassgpontja egybeesik az eredeti hromszg kr rt kr kzppontjval.
K2 527. Egy hromszg szgei 62 s 43. Mekkora szgekben ltszanak az oldalak a) a bert kr kzppontjbl; b) a magassgpontbl?
E1 528 . Mutassuk meg, hogy ha A, B ,C , D a sk olyan ngy pontja, hogy D magassg- pontja az ABC hromszgnek, akkor A, B s C pont magassgpont a msik hrom pont ltal meghatrozott hromszgben.
E1 529. Mutassuk meg, hogy ha a skon adott kt derkszg szrai nem prhuzamosak, akkor egy egyenesre adott pontbl merlegest tudunk szerkeszteni csupn prhuzamosok hzsval.
E1.GY 530. Egy P pontot ssze kell ktnnk az a s b egyenesek M metszspontjval, a metszspont azonban nem frt r a rajzlapra. Igazoljuk, hogy az MP egyenest megszerkeszthet-
I jk M nlkl is a kvetkez mdon: a P-bl a-ra lltott merleges b-1 A-ban, a b-re lltott merleges a-1 -ben metszi. A P pontbl az AB egyenesre emelt merleges a keresett PM.
K1 531. Bizonytsuk be, hogy a hromszg kt magassgnak talppontja egyenl tvol van a harmadik oldal felezpontjtl.
K2 532. (Az 531. feladatra pl.) Szerkessznk hromszget, ha adott kt magassgtalp- pontja s a harmadik oldal egyenese.
E1 533. Egy hromszgnek rgztsk kt cscst. A harmadik cscs befutja a sk sszes pontjt. Adjuk meg az gy kapott hromszgek msik kt oldalegyenesn lev magassgtalp- pontok halmazt.
K2 534. Adott egy egyenes s egy r nem illeszked szakasz. Szerkessznk olyan derkszg hromszget, amelynek derkszg cscsa az egyenesen van, tfogja pedig az adott szakasz.
K2 535. Tzznk ki kt pontot, s vegynk fel egy tvolsgot. Szerkessznk kt prhuzamost, melyek egy-egy kitztt ponton mennek t, s tvolsguk akkora, mint a felvett sza-
K1 536. Bizonytsuk be, hogy a derkszg hromszg tfogja ktszer akkora, mint az tfoghoz tartoz slyvonal.
E1 537. Mutassuk meg, hogy egy hromszg hrom oldalfelez pontja s az egyik ma- gassgtalppontja hrtrapzt vagy egyenl szr hromszget hatroznak meg.
K2 538. Egy d hosszsg szakasz kt vgpontja egy derkszg egy-egy szrn mozog. Mit r le a szakasz felezpontja?
K1 539. Rajzoljuk meg valamely kr AB tmrjt, AC hrjt, s a hr meghosszabbtsra mrjk fel a CD = AC szakaszt. Igazoljuk, hogy az ABD hromszg egyenl szr.
K1 540. Egy krn kvli P ponthoz szerkessznk a krn olyan M pontot, amelynek P-tl mrt tvolsga a kr tmrjvel egyenl. Az M-en tmen krtmr msik vgpontja N. Bizonytsuk be, hogy a PN szakasz felezpontja a krn van.
K1 541. rjunk krt az egyenl szr hromszg egyik szra mint tmr fl. Bizonytsuk be, hogy ez a kr felezi a hromszg alapjt.
K2 542. Szerkessznk krt egy egyenl oldal hromszg magassga mint tmr fl. Igazoljuk, hogy a msik kt oldalnak a negyedrsze esik a krn kvl.
E1 543. Mutassuk meg, hogy egy hromszg oldalai mint tmrk fl szerkesztett krk kzs hregyenesei egy pontban metszik egymst.
E1 544. Szerkessznk Thalsz-krt a hromszg magassgpontja s egyik cscsa ltal meghatrozott szakasz fl. Hol metszi ez a kr a hromszg kt oldalt?
E1 545. Szerkesszk meg az ABC hromszget, ha adott a BC oldal felezpontja, a B cscsbl indul magassg talppontja, valamint a C cscs s az M magassgpont kztti szakasz felezpontja.
E1 546. Kt rintkez kr egyikben egy, az rintsi pontra nem illeszked tmr vgpontjait kssk ssze az rintsi ponttal. Mutassuk meg, hogy ezek az egyenesek a msik krbl egy tmr vgpontjait metszik ki.
K2 547. Kssk ssze a hromszg kr rt kr kzppontjt az egyik csccsal, s rajzoljunk krt az sszekt szakasz mint tmr fl. Bizonytsuk be, hogy az gy szerkesztett kr tmegy kt oldal felezpontjn.
K2 548. Kt egymst metsz kr egyik kzs pontjbl hzzuk meg mindkettben az tmrt. Bizonytsuk be, hogy az tmrk vgpontjait sszekt egyenes tmegy a krk msik kzs pontjn.
E1 549. Szerkesszk meg az ABCD tglalapot, ha ismert az AB oldalegyenesnek P, a BC oldalegyenesnek Q, a CD oldalegyenesnek R, a DA oldalegyenesnek S pontja, s az AB oldal hossza.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.