MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

“A kötetünk címében szereplő ‘kisérettségi’ kifejezéssel arra utalunk, hogy a mintafeladatsorok formai szempontból megegyeznek a középszi.

10. A matematika

A tananyaggal kapcsolatos kérdéseket, ill. a feladatok megoldását, az esetleges beadandó anyagokat a fenti e-mail címre küldjétek! A honlapon szereplő “táblaképek” tartalmát mindig írjátok be a füzetbe! A házi feladatok megoldását a megadott időre, kézírással, a füzetből lefényképezve kérem!

Hegyesszögek szögfüggvényei

A tananyag címe a döntő, a régebbi és újabb kiadású tankönyvek esetén 1-2 oldal eltérés lehet az oldalszámokban és esetleg a fejezet sorszáma is elcsúszhat. A megoldáskötetek fejezet- és oldalszámai az általam megadottakkal egyeznek meg.

A feladatok megoldásai megtalálhatók a Segédanyagok között is szereplő Érthető matematika 10. megoldások (Pdf 3 MB) megoldáskötet 125-126. oldalán. Először próbáljátok önállóan megoldani a feladatokat a füzetetekben, csak akkor merítsetek ötletet a megoldásból, ha elakadtatok. A végén viszont mindig ellenőrizzétek a megoldásotokat. A megoldásotokat fényképezzétek le, és a füzetképet szerdáig küldjétek el az oldal tetején látható e-mail címemre.

Az Oktatási segédanyagok között a Nemzeti Köznevelési Portál most megújított oldalán megtaláljátok az OFI Matematika tankönyvek új interaktív okostankönyv változatait. Itt a 10. osztályos Matematika tankönyv 2. kötetében a 67. leckében kezdődik a szögfüggvények bevezetése. Ha nem találnátok meg, itt egy közvetlen link: Hegyesszög tangense. Önállóan dolgozzátok fel a tananyagot, végezzétek el az összes interaktív feladatot, a házi feladatokat pedig szorgalmi feladatként a füzetetekben oldjátok meg, és lefényképezve ezt is küldjétek el a fenti címre.

Derékszögű háromszögek adatainak meghatározása

A feladatok megoldásai megtalálhatók a Segédanyagok között is szereplő Érthető matematika 10. megoldások (Pdf 3 MB) megoláskötet 127-130. oldalán. Először próbáljátok önállóan megoldani a feladatokat a füzetetekben, csak akkor merítsetek ötletet a megoldásból, ha elakadtatok. A végén viszont mindig ellenőrizzétek a megoldásotokat. A megoldásotokat fényképezzétek le, és a füzetképet péntekig küldjétek el az oldal tetején látható e-mail címemre.

Az Oktatási segédanyagok között a Nemzeti Köznevelési Portál most megújított oldalán megtaláljátok az OFI Matematika tankönyvek új interaktív okostankönyv változatait. Itt a 10. osztályos Matematika tankönyv 2. kötetében a 67. leckében kezdődik a szögfüggvények bevezetése. Most a 72. leckét ajánlom, természetesen az alapos megértés kedvéért a közbeesőket is érdemes lehet végignézni, itt a közvetlen link: Gyakorlás. Önállóan dolgozzátok fel a tananyagot, végezzétek el az interaktív feladatokat, a házi feladatokat pedig szorgalmi feladatként a füzetetekben oldjátok meg, és lefényképezve ezt is küldjétek el a fenti címre.

Újdonság!
Nézzétek meg és dolgozzátok fel a most ingyenessé tett Mateking.hu honlap Szinusz, Koszinusz derékszögű háromszögekben című fejezetét!
Különösen ajánlom a hiányzóknak vagy akik nem értették meg eléggé órán a tananyagot. Egy tanár mindent elmagyaráz lépésről lépésre dinamikus ábrák segítségével. Saját ütemben a lap szélén levő nyilakra kattintva lehet előre- vagy visszalépni. Vagy megtekinthetitek az anyagot összefüggő videóként is.

Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között

A feladatok megoldásai megtalálhatók a Segédanyagok között is szereplő Érthető matematika 10. megoldások (Pdf 3 MB) megoláskötet 131-133. oldalán. Először próbáljátok önállóan megoldani a feladatokat a füzetetekben, csak akkor merítsetek ötletet a megoldásból, ha elakadtatok. A végén viszont mindig ellenőrizzétek a megoldásotokat. Kötelező házi feladatként az 1. és 2. feladat megoldásait fényképezzétek le, és a füzetképet a következő óráig küldjétek el az oldal tetején látható e-mail címemre.

A szögfüggvények alkalmazása gyakorlati feladatokban 1.

Ezt a leckét most az Okostankönyv segítségével dolgozzuk fel. Közvetlen link a tananyaghoz: Hosszúságok és szögek kiszámítása Önállóan dolgozzátok fel a tananyagot, végezzétek el az interaktív feladatokat, a házi feladatokat pedig a füzetetekben oldjátok meg, és lefényképezve a következő óráig küldjétek el a füzetképet a fenti címre.

Figyelem!
Most találtam a Tankönyvkatalógusban az ingyenesen letölthető Matematika gyakorló feladatlapokat. Már most a témazáró dolgozat előtt is hasznos lehet, hiszen minden faladat viszonylag részletes megoldása megtalálható a kiadvány végén. Közvetlen link: Czapáry Endre – Korom Pál: Matematika gyakorló feladatlapok 10. (Pdf 6 MB). Az aktuális témakörhöz kapcsolódó feladatok a 25-28. feladatlapokon vannak. A következő témakörtől viszont hivatalosan is használni fogjuk.

A szögfüggvények alkalmazása gyakorlati feladatokban 2.

Mateking
A Mateking.hu honlapon van három szépen kidolgozott feladat, ezeket dolgozzátok fel: Hegyi ösvények, Torony a völgyben, Kilátó a hegyen. Házi feladatként pedig oldjátok meg a füzetben a Geometriai feladatok gyűjteménye (III. kék színű kötet) 197. oldal 2627., 199. oldal 2650. és 200. oldal 2663. feladatát. A megoldásotokat ellenőrizzétek a feladatgyűjteményhez mellékelt CD segítségével (vagy letölthetitek innen) és a következő óráig küldjétek el a füzetképet a fenti címre.

Összefoglalás

Írjátok be a füzetbe a vázlatot és a példákat oldjátok meg! A a füzetképet a következő óráig töltsétek fel a Google Tanteremben.

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

1 Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt fejezetenként külön-külön fájlb tettük fejezet címmel ellátott fájl trtlmzz fejezet leckéinek végén kitűzött feldtok részletes megoldásit feldtokt nehézségük szerint jelöltük: K középszint, könnyebb; K középszint, nehezebb; E emelt szint, könnyebb; E emelt szint, nehezebb feldt Lektorok: PÁLFLVI JÓZSEFNÉ CSPODI CS Tipográfi: LŐRINCZ TTIL Szkgrfik: DR FRIED KTLIN Dr Gerőcs László, Számdó László, Nemzeti Tnkönyvkidó Zrt, 00 Nemzeti Tnkönyvkidó Zrt Snom compny wwwntkhu Vevőszolgált: Telefon: kidásért felel: Kiss János Tmás vezérigzgtó Rktári szám: RE 60 Felelős szerkesztő: Szlonty nn Műszki igzgtó: bicsné Vsvári Etelk Műszki szerkesztő: Orli Márton Grfiki szerkesztő: Mikes Vivien Terjedelem:,0 (/) ív kidás, 00

2 MTEMTIK Trtlom Jelmgyrázt I Gondolkodási módszerek, kombintorik Tétel és megfordítás, indirekt bizonyítás 7 Sktuly-elv 9 Sorbrendezés 0 Kiválsztás II III IV Gyökvonás Rcionális számok, irrcionális számok négyzetgyökvonás és zonossági 7 négyzetgyökvonás lklmzási 8 z n-edik gyök foglm és zonossági 0 z n-edik gyökvonás lklmzási Másodfokú függvények, másodfokú egyenletek Másodfokú függvények Másodfokú függvények áltlános lkj, ábrázolás 6 Szélsőérték problémák megoldás másodfokú függvények segítségével (emelt szint) 8 Másodfokú egyenletre vezető feldtok 0 Speciális másodfokú egyenletek megoldás 6 másodfokú egyenlet megoldóképlete 7 másodfokú egyenlet diszkrimináns 8 Viète-formulák (emelt szint) 7 9 másodfokú egyenlet gyöktényezős lkj 9 0 Másodfokú egyenletrendszerek 0 Másodfokú egyenlőtlenségek szöveges másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Másodfokú egyenletre vezető gyökös egyenletek 7 Másodfokú egyenletre vezető mgsbb fokú egyenletek 9 Geometri Távolságtrtó trnszformációk Párhuzmos szelők tétele Középpontos hsonlóság 6 Hsonlósági trnszformáció 6 Tétel háromszög szögfelezőjéről (emelt szint) 6 6 háromszög külső szögfelezője (emelt szint) 66 7 Közepek 68 8 Közepek több szám esetén (emelt szint) 7 9 efogótétel, mgsságtétel 7 0 Sokszögek 7 Háromszögek, négyszögek, sokszögek területe 7 Kerületi szögek, látószögkörív (emelt szint) 78 Húrnégyszögek 80 Érintőnégyszögek 8 Körhöz húzott szelők és érintők 8 6 Hsonló síkidomok területe 8 7 Hsonló testek térfogt 87 0 ÉVFOLYM

3 MTEMTIK TRTLOM V Trigonometri Távolságok meghtározás rányokkl 89 Hegyesszögek szögfüggvényei 90 Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között 9 Vektorok 9 szögfüggvények áltlánosítás 96 6 Szögfüggvények ábrázolás 97 VI Sttisztik és vlószínűség Sttisztiki lpismeretek 0 véletlen 0 vlószínűség 06 0 ÉVFOLYM

4 I GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMINTORIK MTEMTIK 7 I Gondolkodási módszerek, kombintorik Tétel és megfordítás, indirekt bizonyítás K z lábbi tételek közül melyek zok, melyeknek megfordítás is igz? ) H egy háromszög derékszögű, kkor köré írhtó körének középpontj z átfogó felezőpontj b) H egy síkbeli egyenes áthld z zonos síkbn levő kör középpontján, kkor felezi kör területét c) H egy vlós szám négyzete -nél ngyobb, kkor vlós szám is -nél ngyobb d) H egy négyszög prlelogrmm, kkor átlói felezik egymást ) z állítás megfordítás: h egy háromszög köré írhtó körének középpontj egy oldlánk felezőpontj, kkor háromszög derékszögű E megfordítás igz, hiszen hegyes szögű háromszög köré írhtó körének középpontj háromszög belsejében vn, tomp szögű háromszög esetében pedig háromszögön kívül vn Tehát z eredeti állítás megfordíthtó b) z állítás megfordítás: h egy egyenes felezi egy kör területét, kkor áthld kör középpontján Ez igz, tehát z eredeti állítás megfordíthtó c) z állítás megfordítás: H egy vlós szám -nél ngyobb, kkor négyzete is -nél ngyobb Ez nyilván igz Ugynkkor z eredeti tétel nem igz, hiszen, h egy vlós szám négyzete – nél ngyobb, kkor vlós szám még nem biztos, hogy ngyobb lesz -nél Például: négyzete, vgyis -nél ngyobb, de kisebb -nél, Most tehát rr láttunk egy példát, hogy z eredeti tétel nem igz, de megfordítás igz d) megfordítás: h egy négyszög átlói felezik egymást, kkor z prlelogrmm Ez igz, tehát z eredeti állítás megfordíthtó K Igzoljuk z lábbi állítást! Egy szám kkor és csk kkor oszthtó -tel, h -re vgy 0-r végződik z állításbn együtt szerepel egy tétel és nnk megfordítás H egy szám oszthtó -tel, kkor -re vgy 0-r végződik, H egy szám -re vgy 0-r végződik, kkor oszthtó -tel -nek páros számú többszörösei 0-r, pártln számú többszörösei pedig -re végződnek Tehát h egy szám oszthtó -tel (zz -nek többszöröse), kkor -re vgy 0-r végződik H egy szám -re vgy 0-r végződik, kkor 0k + vgy 0n lkú Mivel mindkét esetben -tel oszthtó számhoz jutottunk, így vlóbn: z előbbi állítás megfordítás is igz K Foglmzzuk meg következő állítások megfordítását és döntsük el, hogy igzk vgy sem megfordíthtó állításokt foglmzzuk meg z kkor és csk kkor kifejezéssel ) H egy háromszög hegyes szögű, kkor köré írhtó körének középpontj háromszög belsejében vn b) H egy négyszög prlelogrmm, kkor átlói felezik egymást c) H néhány pozitív egész szám összege páros, kkor közöttük levő pártln számok szám páros ) z állítás megfordítás: h egy háromszög köré írhtó körének középpontj háromszög belsejében vn, kkor háromszög hegyes szögű Ez igz, így tétel és megfordítás együtt: egy háromszög kkor és csk kkor hegyesszögű, h köré írhtó körének középpontj három- 0 ÉVFOLYM

5 8 MTEMTIK I GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMINTORIK szög belsejében vn (Természetesen így is foglmzhttunk voln: egy háromszög köré írhtó körének középpontj kkor és csk kkor vn háromszög belsejében, h háromszög hegyes szögű) b) H egy négyszög átlói felezik egymást, kkor e négyszög prlelogrmm E megfordítás igz, tehát mondhtjuk: egy négyszög kkor és csk kkor prlelogrmm, h átlói felezik egymást (Vgy másképpen foglmzv: egy négyszög átlói kkor és csk kkor felezik egymást, h e négyszög prlelogrmm) c) z állítás megfordítás: h néhány pozitív egész szám között pártlnok szám páros, kkor e számok összege páros E megfordítás is igz, tehát két állítás egyben: néhány pozitív egész szám összege kkor és csk kkor páros, h közöttük levő pártln számok szám páros K Igzoljuk indirekt úton, hogy szbályos háromszög beírhtó és köré írhtó köreinek középpontji egybeesnek! α α α α R K O R R α α C Tegyük fel indirekt, hogy szbályos háromszög beírhtó körének O középpontj és köré írhtó körének K középpontj nem esik egybe Ekkor vlmelyik csúcsból (pl -ból) induló K és O szkszok különböző szkszok Mivel K K KC R köré írhtó kör R sugri, ezért z K, CK és CK háromszögek egybevágó háromszögek, vgyis K K CK CK CK CK z O pont beírhtó kör középpontj, ezért O háromszögnek egy szögfelezője Mivel K és O különböző szkszok, ezért K O 0º De h 0º, kkor háromszög belső szögeinek összegére 6 80º zt kptuk tehát, hogy h K és O nem esik egybe, kkor háromszög belső szögeinek összege nem 80 o Ez nyilván lehetetlen, így K és O pontoknk vlóbn egybe kell esnie E Egy négyzet minden oldlánk felezőpontját összekötöttük szemközti csúcs két végpontjávl Igzoljuk indirekt úton, hogy négyzet belsejében keletkező nyolcszög nem lehet szbályos nyolcszög! P D C F Készítsük el szükséges ábrát! Tegyük fel indirekt, hogy négyzet belsejében keletkező nyolcszög szbályos H e nyolcszög szbályos, kkor minden szöge o ^n – h$ 80 o 6$ 80 o n 8 Tehát pl P pontnál levő szög is o Ekkor z PD egyenlő szárú háromszögben PD o, tehát o o DP DP 80 -, o Mivel négyzet C átlój z D oldlll o -os szöget zár be, és, o o -nk fele, ezért z CD háromszögben z F szögfelező és mivel F CD oldl felező pontj egyben súlyvonl is De h egy háromszögben egy szögfelező egyben súlyvonl is, kkor z egyenlő szárú háromszög, zz esetünkben D C rr jutottunk, hogy h négyzet belsejében keletkezett nyolcszög szbályos, kkor négyzet oldl egyenlő négyzet átlójávl Ez nyilván lehetetlen, így nyolcszög nem lehet szbályos 0 ÉVFOLYM

6 I GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMINTORIK MTEMTIK 9 Sktuly-elv K Egy osztálybn z osztálylétszám 8 fő Év végén mtemtikából senki nem bukott meg; hármn kptk -es osztályztot Igzoljuk, hogy volt leglább 9 tnuló, kik ugynolyn osztályztot kptk! H hármn kptk -es osztályztot és senki sem bukott meg, kkor diák -s, -es vgy -ös osztályzttl zárt z évet Ezek szerint diákot kell három fkkb elhelyezni Mivel $ 8, így kell lennie egy olyn fkknk, melybe leglább 9 diák került, vgyis volt leglább 9 olyn tnuló, kik ugynolyn osztályztot kptk K Ngymmánál kmrábn elromlott világítás polcon vn üveg körte-, üveg lmés üveg meggybefőtt ) Hány üveg befőttet kell kihoznunk sötétből, hogy kihozottk között legyen mindhárom fjtából? b) Hány üveg befőttet kell kihoznunk sötétből, hogy kihozottk között legyen két egyform befőtt? ) legtöbb ( üveg) meggyből, második legtöbb ( üveg) lmából vn Ezek szerint, h ( legrosszbb esetet véve) + üveggel veszünk ki kmrából, kkor még nem biztos, hogy minden fjtából lesz kivett üvegek között Tehát hhoz, hogy mindegyikből legyen, legkevesebb üveggel kell kivenni b) H (ismét legrosszbb esetet feltéve) mindhárom fjtából kiveszünk egy-egy üveggel, kkor még nem lesz olyn fjt, melyből üveg vn H zonbn még egyet kiveszünk (teljesen mindegy, hogy milyen fjtát), kkor már biztosn lesz olyn, melyből vn üveggel Tehát hhoz, hogy vlmelyik fjtából legyen két üveggel, legkevesebb + üveggel kell kivennünk K Egy osztálybn vn három olyn diák, kik ugynbbn hónpbn ünneplik születésnpjukt Mit mondhtunk z osztálylétszámról? hónp vn H minden hónpbn – diák ünnepli születésnpját, kkor $ diák lenne z osztálybn De h biztosn tudjuk, hogy vn olyn hónp, melyben diák is születésnpot ünnepel, kkor még egy diáknk lennie kell, vgyis z osztálylétszám leglább K Egy boltbn piros, sárg és fehér sálkt trtnk; mindhárom fjtából 0-0 drbot Egy nyuk három gyermekének kr venni egy-egy sált ecsukott szemmel leglább hány sált kell kivennie bolt dobozából, h zt krj, hogy mindhárom gyermeke ugynolyn színű sált kpjon? Vegyük legrosszbb esetet: z első három húzásr három különböző színű sált vesz ki H második három húzásr is három különböző sált vesz ki, kkor eddig $ 6 sált vett ki, de még nincs közöttük három egyform De 7 húzásr már bármilyen színűt is válszt, bból színből már vn db, így biztosn lesz három egyform színű sál Tehát, h leglább 7 sált húz ki dobozból, kkor már biztosn lesz közöttük egyform F E D E Egy konve htszög minden oldlát és minden átlóját kiszíneztük pirosr vgy kékre Igzoljuk, hogy ekkor lesz rjzunkon olyn háromszög, melynek minden oldl zonos színű! sokszög egy csúcsából (pl z csúcsból) db szksz indul ki, melyek mindegyike piros vgy kék Így sktuly-elv lpján biztosn vn közöttük három egyform színű; legyenek ezek z D, E és F szkszok (lásd ábr) H z EFD háromszög vlmelyik oldl ugynolyn színű, mint z zonos színű F, E és D szkszok, kkor készen vgyunk, hiszen ekkor vgy z FE, vgy z ED vgy pedig z FD háromszög oldli zonos színűek H viszont z EFD háromszög mindhárom oldl különbözik z E, F, D szkszok közös színétől, kkor z EFD háromszög oldli lesznek zonos színűek F E C D 0 ÉVFOLYM

7 0 MTEMTIK I GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMINTORIK 6 E budpesti és veszprémi álltkertbe érkezett 7 ppgáj: pirosk, sárgák, kékek és zöldek Tudjuk, hogy nincs közöttük zonos színű, különböző korú ppgáj Igzoljuk, hogy vlmelyik álltkertben lesz 9 zonos színű és zonos korú ppgáj! Csoportosítsuk 7 ppgájt színek szerint Mivel négyféle színű ppgájunk vn, ezért vlmelyik színből lesz leglább 6 db H ugynis minden színből csk legfeljebb 6 db lenne, kkor legfeljebb $ 6 6 db ppgájunk lenne Most vizsgáljuk ezt 6 db zonos színű ppgájt Mivel feltételek szerint nincs zonos színű, különböző korú ppgáj, ezért ezt 6 ppgájt korcsoportjik szerint csk féle korcsoportb sorolhtjuk H 6 ppgájt kell elhelyezni fkkb (úgy, hogy z zonos korúk kerüljenek egy fkkb), kkor vlmelyik korcsoportb biztosn lesz leglább 7 db H ugynis minden korcsoportból csk legfeljebb 6 lenne, kkor legfeljebb $ 6 6 ppgáj lenne rr jutottunk, hogy vn z összes ppgáj között 7 db zonos színű és zonos korú ppgáj E 7 ppgáj közül néhány Veszprémbe, néhány pedig udpestre kerül Mivel $ 8 6, így vlóbn igz, hogy vlmelyik álltkertbe leglább 9 zonos színű és zonos korú ppgáj kerül 7 E Egy dobozbn elhelyeztünk p-féle különböző színű golyót, mind p színből q drbot, hol p és q prímszámok H legkevesebb nnyi golyót krunk kivenni dobozból, hogy minden színből legyen kivett golyók között, kkor 7-tel kevesebbet kellene kivenni, mint h legkevesebb nnyi golyót krnánk kivenni dobozból, hogy vlmely színből mind q drbot kivegyük Hány golyó vn dobozbn? H legkevesebb nnyi golyót krunk kivenni dobozból, hogy minden színből legyen kivett golyók között, kkor 6 ^p- h$ db golyót kell kivennünk szám szám szám p szám q db q db q db q db H legkevesebb nnyi golyót krnánk kivenni dobozból, hogy vlmely színből mind q drbot kivegyük, kkor 6 ^q- h$ db golyót kell kivennünk dobozból feltételek szerint ^p- h$ q+ + 7 ^q- h$ p+, zz pq – q + 7 pq -p, tehát q- p 7 De két prímszám különbsége csk kkor lehet pártln, h z egyik prímszám páros Így nem lehet más, csk p és ekkor q 9 dobozbn levő golyók szám: pq 9 $ 8 Sorbrendezés K Egy bjnokságbn 0 cspt indul Hányféleképpen lkulht bjnokság végeredménye? 0 különböző dolgot kell sorb rendezni Ezt 0!-féleképpen tehetjük meg, tehát bjnokság végső sorrendje 0! féleképpen lkulht K z. számjegyek mindegyikének felhsználásávl ötjegyű számokt képezünk minden lehetséges módon z így dódó számok esetében miből lesz több: -gyel oszthtó vgy -tel oszthtó számból? Egy szám kkor és csk kkor oszthtó -gyel, h z utolsó két jegyéből lkotott kétjegyű szám oszthtó -gyel Ezek szerint megdott számjegyekből lkotott szám utolsó két számjegye. vgy 0 ÉVFOLYM

8 I GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMINTORIK -re végződőből nnyi vn, hányféleképpen megmrdt db számjegyet előtt sorb tudjuk rendezni Ezek szám! 6 Természetesen ugynez z eredmény, h két utolsó számjegy, vgy, vgy Így -gyel oszthtó számok szám: $! H kérdéses ötjegyű szám -tel oszthtó, kkor -re kell végződnie megdott számjegyekből nnyi db -re végződő lesz, hányféleképpen többi számjegyet z előtt sorb tudjuk rendezni Ennek szám! Tehát z. számjegyek mindegyikének felhsználásávl képezhető ötjegyű számok között ugynnnyi -gyel oszthtó vn, mint -tel oszthtó K Kti tolltrtójábn 8 színes ceruzánk vn hely Ebben szeretne elhelyezni (sorb rkni) piros, kék, zöld és sárg ceruzát Hányféleképpen rkhtj sorb ceruzáit? MTEMTIK H 8 db színes ceruz mind különböző színű lenne, kkor ezeket 8!-féleképpen lehetne sorb rendezni Mivel vn közöttük, illetve egyform, ezért sorb rendezési lehetőségek szám: 8! $ 6$ 7$ 8 80! $! K 0. számjegyek mindegyikének felhsználásávl hány db 6 jegyű szám képezhető? I gondoltmenet Először számoljuk össze, hogy megdott 6 db számjegyet hányféleképpen tudjuk sorb rendezni, mjd ezek számából vonjuk le zoknk sorb rendezési lehetőségeknek számát, melyek 0-vl kezdődnek 6 db számjegyet 6!-féleképpen lehet sorb rendezni Ezek között 0-vl kezdődőek nnyin vnnk, hányféleképpen 0 után megmrdó db számjegyet sorb rendezhetjük, zz! Tehát képezhető htjegyű számok szám: 6!! 600 II gondoltmenet z első számjegyet -féleképpen válszthtjuk meg, hiszen 0 nem lehet z első helyen árhogyn válsztottunk z első helyre, megmrdt db számjegyből második helyre -féleképpen, hrmdik helyre -féleképpen, helyre -féleképpen, z helyre -féleképpen, 6 helyre pedig -féleképpen válszthtunk, tehát sorb rendezési lehetőségek szám: $! $ K Egy mtemtikverseny első 7 helyezettjét megjutlmzták 7 nyertes között volt fiú és lány jutlomátdást követően egy csoportkép készült róluk, melyhez diákokt sorb állították Hányféleképpen állhttk sorb gyerekek, h fotós zt krt, hogy lány középen és – fiú két szélen álljon? z első helyre -féleképpen válszthtunk fiú közül árhogyn válsztottunk, második helyre -féleképpen válszthtunk megmrdt fiú közül fiú fiú lány lány lány fiú fiú 6 7, és helyre három lányt!-féleképpen állíthtjuk sorb 6 helyre fiú közül kell válsztnunk; ezt -féleképpen tehetjük meg, végül 7 helyre -féleképpen ( megmrdt fiút) válszthtjuk Tehát kívánt feltételeknek megfelelően gyerekek $ $! $! $! $ 6 féleképpen állhtnk sorb fotózáshoz 0 ÉVFOLYM

9 MTEMTIK I GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMINTORIK 6 K Ngymm kmráj polcin el kr helyezni üveg lm- és üveg meggylekvárt, illetve üveg lm- és üveg meggybefőttet Mindezt két polcon szeretné elhelyezni úgy, hogy z egyik polcon befőttek, másikon pedig lekvárok legyenek Hányféleképpen teheti ezt meg ngymm, h egyébként befőttes és lekváros üvegek egyformák? H z polcon helyezzük el lekvárokt, polcon kompótokt, kkor lekvárokt 7! -! $! féleképpen rendezhetjük sorb árhogyn is rendeztük sorb lekvárokt, polcon kompótokt 7! -féleképpen rkhtjuk sorb Ezek szerint z összes üveg sorb rendezési lehetőségeinek szám:! $! 7! $ 7! $ 6$ 7 $ 6$ 7 $ 7! $!! $! 6 De ugynezt z eredményt kpjuk kkor is, h z polcon kompótokt, polcon lekvárokt helyezzük el Tehát z összes üveg elhelyezésének lehetőségeinek szám: $ E Egy rockkoncerten színpdot ht reflektorrl világították meg Ezek mindegyike piros, sárg, fehér, kék, zöld és lil színek egyikével világított meg színpdot világítást egy számítógép vezérelte z lábbi módon: ht lámp másodpercenként gyulldt ki, ezek bármelyike fenti színek bármelyikében világíthtott, de ht lámp színe különböző kellett, hogy legyen Mennyi időnek kell eltelnie hhoz, hogy ht lámp lámpánként ugynolyn színnel világítson, mint milyennel már korábbn világítottk? z lámp színét 6-féleképpen válszthtjuk meg árhogyn is válsztottuk meg z lámp színét, lámpáét -féleképpen válszthtjuk meg lámp színe -féle lehet, lámpáé -féle, z lámpáé -féle, míg 6 lámp színe már csk -féle lehet Tehát lámpák összesen 6! 70-féleképpen világíthtnk H lámpák minden lehetséges módon világítnk másodpercenként, kkor ez 70 mp perc időtrtmot jelent Ez zt jelenti, hogy 7 mp eltelte ltt sktuly-elv lpján mindenképpen kellett lennie két olyn másodpercnek, mikor lámpák mindegyike rendre ugynolyn színnel világított Kiválsztás K z. 6 számjegyeket felhsználv hány db -jegyű számot képezhetünk, h egy számjegyet csk egyszer hsználhtunk fel? E négyjegyű számok közül hány olyn lesz, mely oszthtó -gyel? 0 ÉVFOLYM z első számjegyet 6-féleképpen, második számjegyet -féleképpen, hrmdik számjegyet -féleképpen, számjegyet -féleképpen válszthtjuk ki, tehát képezhető -jegyű számok szám: 6$ $ $ 60 Ezek közül zok lesznek -gyel oszthtók, melyek utolsó két számjegye:, vgy, vgy, vgy, vgy 6, vgy 6, vgy 6, vgy 6 H z utolsó két számjegy, kkor z első számjegyet -féleképpen, számjegyet pedig -féleképpen válszthtjuk meg, tehát ilyenből $ db vn Nyilván ugynennyi z eredmény, h bármely más végződést vesszük, így 60 db négyjegyű szám között -gyel oszthtók szám: 8$ 96 K Egy tlétiki szkosztálynk fiú futój vn hétvégi versenyre -szer 00-s váltófutáshoz hányféleképpen állíthtj össze z edző csptot? cspt első tgját -féleképpen, második tgját -féleképpen, tgot 0-féleképpen, tgot 9-féleképpen válszthtj ki z edző Ez összesen $ $ 0 $ 9 lehetőség De h ugynezt fiút más sorrendben válsztj ki z edző, kkor is ugynezt csptot állítj össze Ezek szerint $ $ 0 $ 9 eredmény nnyiszor ngyobb z áltlunk keresett lehetőségek számánál, hányféleképpen fiút sorb rendezhetjük, zz!-szor Így z edző csptot $ $ 0 $ 9 9-féleképpen állíthtj össze!

10 I GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMINTORIK K Egy fős osztály -tgú küldöttséget válszt z iskoli diákbizottságb Hányféleképpen tehetik ezt meg? MTEMTIK z első tgot -féleképpen, másodikt -féleképpen, hrmdikt -féleképpen válszthtjuk ki De így -tgú köldöttség kiválsztási lehetőségeinek éppen 6-szorosát kpjuk, hiszen h pl elsőre -t, másodikr -t, hrmdikr C-t válsztunk, z ugynz z eset, mint h elsőre -t, másodikr C-t, hrmdikr -t válsztnánk Mivel z,, C hárms! 6-féleképpen rendezhető sorb, ezért tgú köldöttséget $ $ 0-féleképpen válszthtjuk ki 6 K Pisti elfelejtette biciklizárjánk négyjegyű kódját rr emlékezett, hogy -vel kezdődött, db 0 volt benne és oszthtó volt -tel H minden lehetséges szób jöhető esetet kipróbál, és egy eset kipróbálás másodpercig trt, kkor legfeljebb mennyi idő ltt tudj kinyitni zárt? H négyjegyű szám oszthtó -tel, kkor -re vgy 0-r végződik H -re végződik, kkor és hely egyikén 0-nk kell szerepelnie, míg másik helyen 9- féle számjegy szerepelhet ( 0 már nem) 9$ 8 lehetőség H négyjegyű szám 0-r végződik, kkor és helyre egyránt 9-9 lehetőség vn, mi összesen 9$ 9 8lehetőség Tehát Pistinek összesen lehetőséget kell kipróbálni, mi feltételek szerint 99 $ 9 mp, zz 8, perc Tehát legkésőbb 8 perc és mp elteltével Pisti ki tudj nyitni biciklizárt 9 lehetőség lehetőség K dott egy 8 8-s négyzetháló Ennek négyzeteibe szeretnénk elhelyezni korongot úgy, hogy semelyik két korong ne legyen ugynbbn sorbn vgy ugynbbn z oszlopbn ) Hányféleképpen tehetjük meg ezt, h korongok különböző színűek? b) Hányféleképpen tehetjük meg ezt, h korongok zonos színűek? ) z első korongot 6-féleképpen tehetjük le második korongot nem tehetjük bb sorb és bb z oszlopb, mely sorbn, illetve oszlopbn z első korong szerepel H kérdéses oszlopot és sort kivesszük, és megmrdó területet összetoljuk, kkor egy 7 7-es négyzetet kpunk Így bárhogyn is tettük le z első korongot, második korongot 9-féleképpen tehetjük le gondoltmenetet folyttv korongnk 6 6 hely mrd, korongnk pedig hely mrd Tehát négy különböző korongot összesen féleképpen helyezhetjük el kívánt módon b) H korongok zonos színűek, kkor z ) részben kpott eredmény nnyiszor több most keresett eredménynél, hányszor korongot sorb rendezhetjük, zz!-szor Tehát z egyform korongokt összesen ! féleképpen rkhtjuk le kívánt módon 6 K Hány db lottószelvényt kell kitölteni 6-os lottón, hogy legyen biztosn egy telitláltos szelvényünk? -ből kell 6-ot kiválsztnunk sorrendre vló tekintet nélkül z első számot -féleképpen, másodikt -féleképpen, stb végül htodikt 0-féleképpen válszthtjuk ki Mivel kiválsztás sorrendje lényegtelen (vgyis ugynzt ht számot más sorrendben kiválsztv nem kpunk új esetet), ezért lehetőségek szám: $ $ $ $ $ ! 0 ÉVFOLYM

11 MTEMTIK I GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMINTORIK 7 E Mgyrországon régen z utók rendszámtábláján két betű és négy számjegy szerepelt H betűktől eltekintünk, miből vn több: olyn rendszámtáblából, melyen minden számjegy különböző vgy olyn, melyben vnnk zonos számjegyek? Olyn rendszámtábl, melyen minden számjegy különböző db vn zoknk rendszámtábláknk számát, melyeken minden számjegy különböző, úgy számolhtjuk ki, hogy z összes létező rendszámtáblák számából levonjuk zoknk számát, melyeken minden számjegy különböző z összes rendszámtáblák számánk kiszámításkor z első helyre 0-, másodikr is 0-, hrmdikr is és negyedik helyre is 0-féleképpen válszthtunk, tehát z összes rendszámtáblák szám zoknk szám, melyeken minden számjegy különböző mint láttuk 00 Tehát zoknk rendszámtábláknk szám, melyen vnnk zonos számjegyek: Tehát zokból rendszámtáblákból vn több, melyeken minden számjegy különböző 0 ÉVFOLYM

12 II GYÖKVONÁS MTEMTIK II Gyökvonás Rcionális számok, irrcionális számok K Igzoljuk, hogy,, irrcionális számok! Tegyük fel, hogy felírhtó két egész szám hánydosként: p, hol (p, q) q Mindkét oldlt négyzetre emelve zt kpjuk, hogy p, zz q p q kpott egyenlőség jobb oldl oszthtó -ml, így p is oszthtó -ml: legyen p k Ekkor q ^kh 9k, zz q k kpott egyenlőség bl oldl oszthtó -ml, tehát q is oszthtó -ml zt kptuk, hogy h rcionális szám, kkor p is és q is oszthtó -ml, vgyis nem lehet (p, q) Ebből következik, hogy vlóbn irrcionális szám esetében ugynúgy járhtunk el, mint esetében H rcionális szám, kkor p p, zz q q rr jutottunk, hogy h rcionális szám, kkor is rcionális szám Ez nyilván ellentmondás, tehát irrcionális szám K Igzoljuk, hogy két rcionális szám szorzt és hánydos is rcionális szám! Legyen két rcionális szám és c, hol, b, c és d egész számok (természetesen b, d és c b d egyike sem lehet 0) két rcionális szám szorzt: $ c c b d bd kpott tört számlálój és nevezője is egész, tehát két rcionális szám szorzt is rcionális : c d d $ b d b c bc kpott tört számlálój és nevezője is egész, tehát két rcionális szám hánydos is rcionális K Írjuk fel z lábbi tizedestört lkbn megdott számokt két egész szám hánydosként: ) 0,; b),; c) 0, ) 0, 8 ; 00 b), 6 ; c) Legyen 0,f végtelen szkszos tizedes törtben szkszok jegyből állnk, ezért szorozzuk meg e számot 00-zl 00, Ezzel 00, zz 99, honnn 99 0 ÉVFOLYM

13 6 MTEMTIK II GYÖKVONÁS K Írjuk fel z lábbi törteket tizedestört lkbn: ) ; b) 7 ), ; b) 0 87f 0, 86f 7 K djunk meg két olyn rcionális számot, mely ngyobb, mint 0,6666, de kisebb, mint 0,6667! H n olyn szám, melyre 0,6666 n 0,6667, kkor 6666 n ővítsük törteket pl -vel: n Ezek szerint n lehet pl n K Lehet-e két irrcionális szám szorzt, illetve hánydos rcionális szám? Igen Legyen pl két irrcionális szám 8 és Ezek szorzt, ill hánydos: 8 $ és K Lehet-e egy rcionális és egy irrcionális szám összege rcionális szám? p Nem Legyen ugynis rcionális szám és jelöljük i-vel z irrcionális számot H ezek összege q rcionális szám, kkor vlmely és b egészekre p, zz i p q – bp i + – q b b q bq kpott egyenlőség jobb oldlán számlálóbn és nevezőben is egész szám szerepel, így nem lehet irrcionális 8 E Lehet-e két irrcionális összege rcionális szám? Igen Tekintsük z lábbi két számot: + 8, – 8 E két szám irrcionális H ugynis pl + 8 rcionális lenne, zz vlmely p, q egészekre p p + 8, kkor + 8 q q is rcionális lenne De ekkor p 8 – q is rcionális lenne Mivel 8 irrcionális, ezért vlóbn + 8 is irrcionális szám Tekintsük megdott két szám különbségének négyzetét ^ h ^+ 8h^- 8h Mivel két szám különbségének négyzete, és két szám különbsége pozitív, ezért két szám különbsége, vgyis rcionális szám 0 ÉVFOLYM

14 II GYÖKVONÁS MTEMTIK 7 négyzetgyökvonás és zonossági K Végezzük el gyökvonást, illetve kijelölt műveletet! ) p q b ; b) yzq ; c) ; d) b : cd r s cd b ) 0 b b ; b) 6 8 yzq y z q; c) p q pq ; 0 8 r s r s d) b : cd b b b b 6 $ cd b cd cd c d c d K Végezzük el z lábbi műveleteket! ) $ 7; b) $ ; c) $ ; d) 6 ; e) 0 ; f) 8 7 ) $ 7 8 9; b) $ 6 ; c) $ 6 8; d) ; e) 0 0 ; f) K Melyik szám ngyobb? ) $ 7 vgy 6; b) 8 $ vgy 6 $ 7; c) ^ + h vgy 0; d) ^ + h^ -h vgy ^ + h ) $ b) 8 $ 0, 6 $ 7, tehát 8 $ 6 $ 7, c) ^ + h Melyik ngyobb + 6 vgy 0 6 vgy Mivel 6 négyzete, z négyzete, ezért 6, tehát ^ + h 0 d) ^ + h^ – h -, ^ + h Mivel, ezért ^ + h^ – h ^ + h K Htározzuk meg következő kifejezések értelmezési trtományát! ) ; b) ; c) 6 ; d) ) $ 0, $ – b) négyzetgyök ltti tört számlálój minden -re nemnegtív, így nnk kell teljesülnie, hogy – 0, zz 0 ÉVFOLYM

15 8 MTEMTIK II GYÖKVONÁS c) – 6 $ 0 Két eset lehetséges: – és, zz és – 6 $ 0-0 $ 6 Ilyen vlós szám nincs és, zz és – 6 # 0-0 # 6 Tehát kifejezés értelmezési trtomány: # 6 d) és kifejezés értelmezési trtomány: + $ 0 -! 0 $- és! K Végezzük el kijelölt műveletet ) ^ – h^+ h; b) ^ h$ ; c) ^ – h + 6 ) ^ – h^+ h + 6$ b) ^ h$ 6 + $ – 6 $ + – $ c) ^ – h K-E Számítsuk ki következő kifejezések értékét! ) 8+ 7 $ 8-7 ; b) 9+ 7 $ 9-7; c) _ i ; d) _ i ) 8+ 7 $ 8-7 ^8+ 7h^8-7h 6-6 b) $ 9-7 ^9 + 7h^9-7h c) ^ h ^8+ 7h^8-7h d) _ i ^+ -h$ ^- -h – -^ – h – négyzetgyökvonás lklmzási K következő feldtokbn négyzetgyökök ltt szereplő betűk mindegyike pozitív Végezzük el négyzetgyökvonást (mit lehet, vigyünk ki négyzetgyökjel lól)! 6 8 y ) 7bc ; b) ; c) b- b 9 0pq ) 7bc $ $ $ $ b $ c $ c bc$ c y 9 y y b) 9 9 0pq pq pq pq c) b – b b ^ – b h b -b K Oldjuk meg z lábbi egyenletet nemnegtív vlós számok hlmzán! z egyenlet bl oldl így lkíthtó: $ $ + – $ $ Tehát 6, zz, honnn 0 ÉVFOLYM

16 II GYÖKVONÁS MTEMTIK 9 K Végezzük el z lábbi műveleteket! ) ^ + 7-7h$ ; b) ^ + 0h^ – h; c) ^ 00 + h^ 7 – h ) ^ + 7-7h $ ^ + $ – h $ $ 8 $ $ 96 b) ^ + 0h^ – h ^ + h^ – h $ ^- h- c) ^ 00 + h^ 7 – h ^0 + h^0 – h $ 7 K Melyik szám ngyobb: vgy? ), ; b) -6, 6 -; c) 9 +, + ) 0, 0, tehát > b) Mindkét szám pozitív, így z ngyobb, melyiknek négyzete ngyobb – 6-6, ^ 6 – h Mivel, ezért c) Most is két szám négyzetét hsonlítjuk össze , ^ + h Tehát K Gyöktelenítsük z lábbi törtek nevezőjét ( > 0, b > 0)! ) 6 ; b) ; c) ; d) b ; b e) 6 ; f) ; g) + ; h) ) $ b) c) d) b b $ b b b b $ b b e) 6 6 $ $ c m f) ^ + h ^ + h ^ + h ^ + h ^ 7 – h^ 7 + h 7-6 g) + ^ + h^ + h ^ + h ^ – h^ + h – h) – ^- h ^ + h^ – h ÉVFOLYM

17 0 MTEMTIK II GYÖKVONÁS 6 E Döntsük el, hogy z lábbi kifejezés milyen előjelű! Legyen és 0 H >, kkor kifejezés pozitív, ellenkező esetben negtív két szám négyzetét hsonlítjuk össze: ^7+ h^7- h , ^ h $ Tehát megdott kifejezés értéke 0 z n-edik gyök foglm és zonossági K Végezzük el z lábbi gyökvonásokt: ) 6 ; b) 6 ; c) ; d) 7 0 ; e) 0 ; f) ) 6 b) 6 c) – d) 7 b l e) f) b l 6 K Végezzük el z lábbi gyökvonásokt ( feldtokbn szereplő prméterek mindegyike pozitív): ) pq b 6 ; b) y z ; c) ; d) k m 0 r s l 0 ) 6 b ^h ^bh b b) 7 7 y z ^ h ^y h ^z h y z c) 8 pq pq 0 r s rs d) 0 k m km 0 8 l l K Végezzük el z lábbi műveleteket ( feldtokbn szereplő prméterek mindegyike pozitív): ) ; b) ; c) y $ $ $ bc $ b c : y 0 ) 0 6 $ $ $ $ $ $ $ $ b) bc $ b c b c bc c) y : $ 8 y y y y y 0 ÉVFOLYM

18 II GYÖKVONÁS K Végezzük el z lábbi műveleteket ( feldtokbn szereplő prméterek mindegyike pozitív): ) $ ; b) $ ; c) $ 0 6 b b MTEMTIK ) $ $ b) $ $ c) $ $ b b b b b b E Neptunusz bolygó keringési ideje kb6, év Kb hányszor távolbb kering Neptunusz Np körül, mint Föld? Kepler III törvénye lpján TFöld RFöld TNeptunusz RNeptunusz H Föld Nptól vló átlgos távolságát -nek vesszük, kkor, honnn R 6, 7 90, Neptunusz 6, RNeptunusz Innen RNeptunusz 7 90, 0, Tehát Neptunusz kb 0,-szer olyn távol vn Nptól, mint Föld z n-edik gyökvonás lklmzási K Vigyük ki gyökjel elé lehetséges szorzótényezőket! ) 0 ; b) ; c) 9 ( $ 0) ) 0 8 $ $ $ b) 7 $ $ $ c) 9 6 $ $ K Vigyük be gyökjel lá gyökjel előtti szorzótényezőt! ) $ ; b) $ ; c) $ ( $ 0) ) $ $ 7$ 08 b) $ $ $ 96 c) $ $ K Végezzük el kijelölt műveleteket! ) $ ; b) $ ( $ 0); c) b $ b ( $ 0, b $ 0) ) $ $ $ 7 $ 7 08 b) 8 $ $ ^ h $ c) b b b b b $ ^ h $ $ b b 0 ÉVFOLYM

19 MTEMTIK II GYÖKVONÁS K Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével megdott kifejezéseket! ) $ ; b) $ ; c) y$ y 6 6 ) $ $ 7 6 b) $ $ c) y y y y yy 6 7 $ ^ h y E Milyen pozitív egész számot írjunk n helyébe, hogy z lábbi egyenlőség igz legyen, hol $ 0: n $ z egyenlőség így lkíthtó: n+ 0 n $ ^ h, zz Innen n+ 0, zz n + 0, n, tehát n 0 ÉVFOLYM

20 III MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK, MÁSODFOKÚ EGYENLETEK MTEMTIK III Másodfokú függvények, másodfokú egyenletek Másodfokú függvények K Ábrázoljuk és elemezzük z lábbi, vlós számok hlmzán értelmezett függvényeket: ) f ] g ] + 6g + ; b) f ] g b – l – ; c) f ] g – ] + g + ; d) f ] g- ] – g + ; e) f ] g ^+ 0, h – 0, b) ÉT: minden vlós szám, ÉK: f Zérushelyek:, ^ h$- – + függvény menete: -től -ig szig mon csökkenő, -től +-ig szig mon növekvő függvénynek -ben minimum vn, értéke f b l- ) ÉT: minden vlós szám ÉK: f^h$, függvénynek nincs zérushelye függvény menete: -től 6-ig szig mon csökkenő, 6-tól +-ig szig mon növekvő függvénynek 6-bn minimum vn, értéke f^- 6h ) y c) ÉT: minden vlós szám, ÉK: f^h# Zérushelyek: – +, – – függvény menete: -től -ig szig mon növekvő, -tól +-ig szig mon csökkenő függvénynek –bn mimum vn; f^- h b) y d) ÉT: minden vlós szám, ÉK: f^h# Zérushelyek: + 6, – 6 függvény menete: -től -ig szig mon növekvő, -től +-ig szig mon csökkenő függvénynek -ben mimum vn: f^h e) ÉT: minden vlós szám, ÉK: f ^ h$- Zérushelyek:, 0 függvény menete: -től -ig szig mon csökkenő, -től +-ig szig mon növekvő függvénynek -ben minimum vn, értéke f – b- l- c) y d) y e) y 0 ÉVFOLYM