Matematika 11 az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Úgy döntöttünk, hogy megreformáljuk a 11. osztályos matekanyagot!
Erre azért van szükség, mert egyrészt mi vagyunk a Tantaki :-)…
másrészt a 11.-es matematika már nagyon bonyolult.

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

1 D Geőcs László Számadó László MATEMATIKA A tankönv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acbat Reade pgam szükséges, amel ingenesen letölthető az intenetől (például: adbelahu webldalól) A feladatkat fejezetenként külön-külön fájlba tettük A fejezet címmel elláttt fájl tatalmazza a fejezet leckéinek végén kitűzött feladatk észletes megldásait A feladatkat nehézségük szeint jelöltük: K = középszint, könnebb; K = középszint, nehezebb; E = emelt szint, könnebb; E = emelt szint, nehezebb feladat Lektk: PÁLFALVI JÓZSEFNÉ CSAPODI CSABA Tipgáfia: LŐRINCZ ATTILA Szakgafika: DR FRIED KATALIN D Geőcs László, Számadó László, Nemzeti Tankönvkiadó Zt, 0 Nemzeti Tankönvkiadó Zt a Sanma cmpan wwwntkhu Vevőszlgálat: Telefn: A kiadásét felel: Kiss Jáns Tamás vezéigazgató Raktái szám: RE60 Felelős szekesztő: Tóthné Szalnta Anna Műszaki igazgató: Babicsné Vasvái Etelka Műszaki szekesztő: Olai Mátn Gafikai szekesztő: Mikes Vivien Tejedelem:, (A/) ív kiadás, 0 Tödelés: PGL Gafika Bt

2 MATEMATIKA Tatalm Jelmagaázat I Kmbinatika 7 Egszeű kmbinatikai feladatk 7 Sbaendezések száma 8 Kiválasztás és send Kiválasztásk számának meghatázása Binmiális tétel 7 II Gáfk 9 Bevezető pblémák 9 Egszeű gáf, összefüggő gáf, teljes gáf 0 Eule vnalak (emelt szint) Tvábbi gáfelméleti feladatk (emelt szint) III Hatvánzás, lgaitmus Mit tudunk a hatvánkól, gökökől (ismétlés) Tötkitevőjű hatvánk ételmezése Az epnenciális függvén Epnenciális egenletek Epnenciális egenletendszeek, egenlőtlenségek 7 6 A lgaitmus fgalma 9 7 A lgaitmusfüggvén, a lgaitmusfüggvén és az epnenciális függvén kapcslata 8 A lgaitmus aznsságai 9 Lgaitmikus egenletek 0 Lgaitmikus egenletendszeek Lgaitmikus egenlőtlenségek 7 Áttéés új alapa (emelt szint) 9 A lgaitmus gaklati alkalmazásai 0 IV Tignmetia A vektkól tanultak összefglalása Két vekt skaláis szzata A tignmetiáól eddig tanultak összefglalása Számításk hámszögben 8 Szinusztétel 60 6 Kszinusztétel 6 7 Számításk teepen 67 8 Tignmetikus egenletek 69 9 Tignmetikus összefüggések (emelt szint) 7 0 Veges feladatk 7 Hámszögelés égen és ma 77 ÉVFOLYAM

3 MATEMATIKA TARTALOM V Kdináta-gemetia 79 Vektk a kdináta-endszeben, műveletek vektkkal 79 Szakasz felezőpntjának, hamadlópntjának kdinátái 80 A hámszög súlpntjának, szakasz tetszőleges sztópntjának kdinátái 8 Két pnt távlsága 8 Vektk skaláis szzata 8 6 Alakzat és egenlete 86 7 Adtt P 0 ( 0 ; 0 ) pntn átmenő, adtt v(v ; v ) iánvektú egenes egenlete; két pntn átmenő egenes egenlete 90 8 Adtt P 0 ( 0 ; 0 ) pntn átmenő, adtt n(n ; n ) nmálvektú egenes egenlete 9 9 Két egenes metszéspntja, pnt és egenes távlsága 9 0 Adtt P 0 ( 0 ; 0 ) pntn átmenő, adtt m meedekségű egenes egenlete, egenesek páhuzamsságának és meőlegességének feltétele 9 A kö egenlete; a kö és a kétismeetlenes másdfkú egenlet 96 Kö és egenes kölcsönös helzete 99 Két kö kölcsönös helzete 0 A kö éintőjének egenlete 0 A paabla, a paabla tengelpnti egenlete 0 6 Paabla és egenes, a paabla éintője 06 VI Valószínűség-számítás 09 Esemének 09 Esemének valószínűsége 0 Klasszikus valószínűségi mező Binmiális elszlás Gemetiai valószínűség 6 ÉVFOLYAM

4 MATEMATIKA Jelmagaázat Az A pnt és az e egenes távlsága: d(a; e) vag Ae Az A és B pnt távlsága: AB vag AB vag d(a; B) Az A és B pnt összekötő egenese: e(a; B) Az f és f egenesek szöge: ( f; f) B vag A C csúcspntú szög, melnek egik száán az A, másik száán a B pnt található: ACBB A C csúcspntú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcskkal endelkező hámszög: ABC9 Az ABC9 teülete: T(ABC) vag T ABC Az a, b és c ldalú hámszög fél keülete: s a b c = + + A deékszög jele: * Az e egenes meőleges az f egenese: e= f Az e egenes páhuzams az f egenessel: e < f Egbevágóság:,; ABC9, AlBlCl9 A hasnlóság aána: m Az A pntból a B pntba mutató vekt: AB Aznsan egenlő: /; B ( f; f) Egenlő, nem egenlő: =,!; a =, b! a+ b / Közelítőleg egenlő: ; a,; 8, 8, Kisebb, kisebb vag egenlő: , $; 6 >, a $ A temészetes számk halmaza: N; Az egész számk halmaza: Z; < ; ; ; 0; ; ; >A pzitív, a negatív egész számk halmaza: Z +, Z ; , < ; ; ; >A acinális, az iacinális számk halmaza: Q, Q * A pzitív, a negatív acinális számk halmaza: Q +, Q A valós számk halmaza: R A pzitív, a negatív valós számk halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak. “;! N, – g Z + Részhalmaz, valódi észhalmaz:, ; A R, N Q Zát intevallum: [a; b] Balól zát, jbból nílt intevallum: [a; b[ Balól nílt, jbból zát intevallum: ]a; b] Nílt intevallum: ]a; b[ Az szám abszlút étéke: ; Az f függvén hzzáendelési szabála: f: 7 f] g; f: 7 + vag f ] g= + ; f ] g= ; = + Az f függvén helettesítési étéke az 0 helen: f0 ( ); f(), ha 0 = n faktiális: n! = (n ) n a alapú lgaitmus: lg a 0-es alapú lgaitmus: lg e alapú lgaitmus: ln Binmális egüttható, n alatt a k: Az szám négzetgöke: Az szám n-edik göke: n -, =, n d n k ÉVFOLYAM

5 I KOMBINATORIKA MATEMATIKA 7 I Kmbinatika Egszeű kmbinatikai feladatk K Eg sztál tanulói közül heten jának bilógia szakköe Hánféle sendben íhatjuk be a nevüket a szakköi naplóba, ha nem agaszkdunk az abc sendhez? Az első hele a hét tanuló bámelikének nevét beíhatjuk a naplóba, a másdik hele má csak a maadék hat valamelike keülhet Ez eddig 7$ 6 lehetőség Hamadiknak má csak a megmaadt öt, negediknek a maadék nég, ötödiknek a maadék hám, hatdiknak a maadék kettő valamelikét íhatjuk be, végezetül az eg megmaadt név keül a hetedik hele Vagis a hét név sendje 7$ 6$ $ $ $ $, azaz 00-féle lehet K Az iskla sptnapján kilenc sztál nevezett a ksálabdavesene Hánféle send alakulhat ki, ha nem lehet hltvesen? Az előző feladat megldásának gndlatmenetét követve: féle lehet a send 9$ 8$ 7$ 6$ $ $ $ $, azaz K Az ablakban nlc cseepes növén van, amelek közül pisat, pedig fehéet viágzik Hánféle sendben helezhetők el, ha csak a viágk színét figeljük? A nlc cseepes viág sendje: 8$ 7$ 6$ $ $ $ $ Mivel csak a színek a fntsak, íg sztanunk kell $ $ -mal és $ $ $ $ -tel: 8$ 7$ 6$ $ $ $ $ = 6 $ $ $ $ $ $ $ Vagis 6-féleképpen alakulhat ki a send K A bevásálóksába egfma ságabaacklevet és egfma kajszibaacklevet teszünk Hánféle sendben tehetjük ezt meg? A hét baacklé sendje: 7$ 6$ $ $ $ $ Mivel, illetve dbz egfma, ezét sztanunk kell $ $ -gel és $ $ $ -gel: 7$ 6$ $ $ $ $ = $ $ $ $ $ $ Vagis -féle send lehetséges K Az ebédnél eg kö alakú asztal köül elhelezett hat széken fglal helet a hatfős család Két leülést akk és csak akk tekintünk különbözőnek, ha a családnak van legalább eg lan tagja, akinek legalább az egik szmszédja a két elhelezkedésben különböző a) Hánféleképpen lehet ez? b) Hánféleképpen töténhet az elhelezkedés, ha a két legfiatalabb gemek mindig egmás mellett ül? a) Eg embet szabadn leültethetünk eg tetszőleges hele, a többieket ehhez képest $ $ $ $, azaz 0-féleképpen ültethetjük le b) A két legfiatalabb geeket leültetjük egmásmellé A többieket hzzájuk képest $ $ $, azaz -féleképpen ültethetjük le Mivel minden alkalmmal a két fiatal gemek helet cseélhet, ezét $ = 8 különböző leülés lehetséges ÉVFOLYAM

6 8 MATEMATIKA I KOMBINATORIKA 6 K Eg tásaságban mindenki mindenkivel kezet fg a) Hán kézfgás tötént, ha 8 fős a tásaság? b) Hán fős a tásaság, ha összesen kézfgás vlt? a) Mindenki 7 embeel fg kezet, ez íg 6 kézfgás, de ekk minden kézfgást kétsze számltunk össze Ezét 8 kézfgás tötént b) Gndlkdjunk visszafelé! A -vel sztás előtt 90-et kaptunk Ez 9-sze 0 Vagis 0 fős a tásaság 7 K Btnd megnézte a lecke kidlgztt példáit, és ezt mndta: Ezeket a feladatkat ÉRTEM Mi pedig számljuk össze, hg az É, R, T, E és M betűk mindegikének egszei felhasználásával, hán ételmes szót készíthetünk? Az öt különböző betűt $ $ $ $, azaz 0-féle sendben tudjuk szeepeltetni, de ezek mindegike nem lesz ételmes szó A következő sendekhez tatznak ételmes szavak: ÉRTEM, ÉRMET, RÉMET, RÉTEM, MÉTER, MÉRTE, MÉRET, TERMÉ Összesen nlc ételmes szót találtunk 8 K Eg tásaságban 6 féfi és 9 nő van Féfi a féfival kezet fg A nők Szevusz! köszöntéssel üdvözlik egmást A féfiak a nőket Kezét csóklm!, a nők a féfiakat Jó napt kívánk! köszönéssel üdvözlik a) Hán kézfgás vlt összesen? b) Hánsz hangztt el a Jó napt kívánk! köszönés? c) Hánsz hangztt el a Kezét csóklm!? d) Hánsz hangztt el a Szevusz!? a) A hat féfi kézfgásainak száma: 6$ = b) Minden nő minden féfit íg köszöntött Ez 9$ 6, azaz c) Minden féfi minden nőt íg köszöntött Ez 6$ 9, azaz d) Minden nő minden nőnek íg köszönt Ez 9$ 8, azaz 7 Sbaendezések száma K Számítsuk ki! a) 00! ; b) 00! ; c)! +! + 6! + 8! ; d)! $! $ 6! 999!! $ 97!! $! $! a) 00! $ $ $ f $ 999 $ 000 $ 00 = = 000 $ 00 = ! $ $ $ f $ 999 b) 00! $ $ $ f $ 97 $ 98 $ 99 $ $ 99 $ 00 = = = 6700! $ 97! ^$ $ h$ ^$ $ $ f $ 97h $ $ c)! +! + 6! + 8! = = 0 d)! $! $ 6! = $ $ 6 = 78! $! $! K Hzzuk egszeűbb alaka! a) ^n-h! $ ^n- hn^n+ h; b) ^n- h! $ n^n+ h^n+ h; c) ^n + h! ^n + h! ; d) ; ^n+ h^n+ h ^n + h! e) ^n+ h! + ^n+ h! + ^n+ h! ; f) ^n -h! n – n+ a) ^n-h! $ ^n- hn^n+ h= ^n+ h! ÉVFOLYAM

7 I KOMBINATORIKA b) ^n- h! $ n^n+ h^n+ h= ^n+ h! ^n + h! c) = n! ^n+ h^n+ h ^n + h! d) = ^n+ h^n+ h^n+ h ^n + h! e) ^n+ h! + ^n+ h! + ^n+ h! = ^n+ h! 6 ^n+ h^n+ h+ ^n+ = ^n+ h! ^n + 6n+ 9h ^n -h! ^n -h! f) = = ^n -h! n – n+ ^n – h^n – h MATEMATIKA 9 K Hán pemutációja van a a) FÖLDRAJZ; b) INFORMATIKA; c) MATEMATIKA szó betűinek? a) Nlc különböző betűből áll a szó, íg pemutációinak száma: P8 = 8! = 00 b) Tizeneg betűből áll a szó, az I betűből db, az A betűből db van, íg a pemutációk száma: ; P! = = ! $! c) Tíz betűből áll a szó, az A betűből db, az M betűből db, a T betűből db van, íg a pemutációk száma: P ; ; 0! 0 = = 00! $! $! K A metón hat embe tud egmás mellett helet fglalni A végállmásn felszáll Attila, Bigitta, Dániel, Réka, Vanda és Viktóia a) Hánféleképpen tudnak leülni ee a hat hele? b) Hánféleképpen tudnak leülni ee a hat hele, ha Réka és Vanda egmás mellett szeetne ülni? c) Hánféleképpen tudnak leülni ee a hat hele, ha Attila és Viktóia nem szeetne egmás mellett ülni? d) Hánféleképpen tudnak leülni ee a hat hele, ha a fiúk és a lánk nem keveednek össze? e) Hánféleképpen tudnak leülni ee a hat hele, ha a fiúk és a lánk nem keveednek össze, és Dániel Réka mellett szeetne ülni? f) Hánféleképpen tudnak leülni ee a hat hele, ha a fiúk és a lánk nem keveednek össze, és Dániel nem szeetne Réka mellett ülni? a) Hat embe sba endezéséől van szó, íg a lehetőségek száma: P6 = 6! = 70 b) A két lán egmás mellett szeetne ülni, ezét tekintsük őket egnek A sendek száma: P =! = 0, de minden ilen esetet kétsze kell számlnunk, met Réka és Vanda helcseéjével új sendet kapunk Ezét az összes eset száma 0 c) Az előző két kédés alapján tudjuk, hg összesen 70 eset lehetséges, és 0 lan eset van, amik két embe agaszkdik ahhz, hg egmás mellett üljön Ezen meggndlásk alapján 70-0 = 80 lan eset lehetséges, amik Attila és Viktóia nem ül egmás mellett d) Két fiú és nég lán szeetne leülni A két fiú kétféleképpen fglalhat helet egmás mellett, a nég lán pedig! = -féleképpen ülhet melléjük Ez eddig 8 lehetőség Aznban különböző leülést kapunk, ha a fiúk mellé jbba ülnek a lánk, vag a lánk mellé jbba ülnek a fiúk Ezét az összes eset száma 96 e) Dánielt és Rékát leültetjük egmás mellé Ezután két esetet különböztethetünk meg I eset: Dániel mellé bala leül Attila, Réka mellé jbba leül a hám lán Ez összesen hat lehetőség II eset: Dániel mellé jbba leül Attila, Réka mellé bala leül a hám lán Ez összesen hat lehetőség Vagis összesen send képzelhető el ÉVFOLYAM

8 0 MATEMATIKA I KOMBINATORIKA f) Két eset lehetséges: I Dániel ül valamelik szélen II Attila ül valamelik szélen I eset: Dániel a jbb- és a balszélen is ülhet Elegendő csak az egikfélét összeszámlnunk, met az esetek számának kétszeezésével megkapjuk az összes eset számát Dániel mellett Attila fglal helet, majd a nég lán A nég lán sendje! = -féleképpen lehetséges Vagis ebben az esetben mindent figelembe véve $ = 8 megfelelő send van II eset: Attila a jbb- és a balszélen is ülhet Mst is elegendő csak az egikfélét összeszámlnunk, és utána kétszeezni az esetek számát Attila mellett Dániel fglal helet, majd Réka kivételével bámelik lán leülhet Attila mellé Ez hám lehetőség A tvábbi hám lán sendje! = 6-féleképpen lehetséges Vagis ebben az esetben mindent figelembe véve $ $ 6 = 6 megfelelő send van Az összes eset száma: = 8 Megjegzés: A különböző lehetőségeket végiggndlva megkaptuk az összes eset számát Mst is gs és eedménes az az észevétel, hg az összes lehetséges esetből vegük el a nekünk nem megfelelő esetek számát Mst a d) és az e) feladatban kaptt eedméneink segítségével is megkaphatjuk a kívánt végeedmént: 96 = 8 K Az ebédlőben az asztal köül elhelezett hét széken szeetne helet fglalni Anna, Balázs, Bálint, Dmnks, Dóa, Fanni és Simna Két leülést akk és csak akk tekintünk különbözőnek, ha van legalább eg lan tagja a tásaságnak, akinek legalább az egik szmszédja a két elhelezkedésben különböző a) Hánféleképpen fglalhatnak helet? b) Hánféleképpen töténhet az elhelezkedés, ha Anna és Fanni egmás mellett szeetne ülni? c) Hánféleképpen töténhet az elhelezkedés, ha Bálint szmszédjai Dmnks és Balázs? a) Képzeljük el, hg eg embet leültetünk eg ögzített hele Ezek után tőle pl jbba hat embet 6!-féleképpen lehet leültetni Vagis az összes eset száma: 70 b) Annát és Fannit ültessük le egmás mellé Ezt kétféleképpen tudjuk megtenni: Annának Fanni lehet a jbb és lehet a bal szmszédja is Tőlük pl jbba haladva az öt embet!-féleképpen lehet leültetni Vagis az összes eset száma: $ 0 = 0 c) Lehetséges, hg Bálint jbbszmszédja Balázs, és lehetséges, hg Dmnks Tőlük pl jbba haladva a nég embet!-félekeppen lehet leültetni Vagis az összes eset száma: $ = 8 6 K Eg autmatába eddig bedbtunk db ötvenes és 6 db százas pénzémét Hánféle sendben tehettük ezt meg? 6 ; A 0 pénzéme ismétléses pemutációjáól van szó: P 0! 0 = = 0! $ 6! 7 K Készítsünk hétjegű telefnszámkat db 0, db, db és db számjeg mindegikének felhasználásával! a) Hán daab készíthető, ha az első hele nem akhatjuk a 0 számjeget? b) Hán daab kezdetű telefnszámt tudunk készíteni ezen számjegek felhasználásával? ; a) A hét számjeg ismétléses pemutációinak száma: P 7! 7 = = 0! $! ; Ezek közül a 0-val kezdődő esetek száma: P 6! 6 = = 60! $! Vagis ezekből a számjegekből készíthető, nullával nem kezdődő hétjegű telefnszámk száma: 0 60 = 60 ÉVFOLYAM

9 b) A után íható számjegek: db 0, db, db és db Vagis különböző számjeg sbaendezéséől van szó: P =! = Azaz megfelelő szám létezik 8 K A tíz számjeg mindegikének felhasználásával hán daab a) tízjegű; b) tízjegű, hámmal sztható; c) tízjegű, kilenccel sztható; d) tízjegű, hattal sztható; e) tízjegű, negvenöttel sztható; f) tízjegű, kilencvennel sztható szám készíthető? I KOMBINATORIKA MATEMATIKA a) A tíz számjeg összes sbaendezései közül nem megfelelőek a 0-val kezdődők Vagis az öszszes megfelelő eset száma: 0! – 9! = 6 90 b) Mivel a tíz számjeg összege (azaz hámmal sztható), ezét minden ilen tízjegű szám hámmal sztható lesz Vagis 6 90 db megfelelő szám készíthető c) Mivel a tíz számjeg összege (azaz kilenccel sztható), ezét minden ilen tízjegű szám kilenccel sztható lesz Vagis 6 90 db megfelelő szám készíthető d) Má láttuk, hg ezek a számk hámmal biztsan szthatók lesznek Pásnak is kell lenniük, hg hattal szthatók legenek Két esetet különböztetünk meg: I eset: Az utlsó jeg 0 Ekk a többi kilenc számjeg minden sendjéhez megfelelő tízjegű szám tatzik Vagis ebben az esetben 9!, azaz daab megfelelő szám van II eset: Az utlsó jeg nem nulla Ekk az utlsó jeg a,, 6, 8 valamelike lehet Az egik végződés esetén összeszámljuk a lehetőségeket, majd a kaptt eedmént négszeezzük Rögzítsük az utlsó helen pl a -t A többi kilenc számjeg sendje 9!, de ezek között a 0 kezdetűek is szeepelnek Ezek száma 8! Mindent figelembe véve ebben az esetben az összes megfelelő szám daabszáma: 9 ^!- 8! h= 900 A két eset összesen: = 6 0 e) Má láttuk, hg ezek a számk kilenccel biztsan szthatók lesznek Öttel szthatónak is kell lenniük, hg negvenöttel szthatók legenek Két esetet különböztetünk meg: I eset: Az utlsó jeg 0 Ezek száma: 9!, azaz daab II eset: Az utlsó jeg A többi kilenc számjeg sendje 9!, de ezek között a 0 kezdetűek is szeepelnek Ezek száma 8! Vagis 9! 8! = 60 daab öte végződő megfelelő szám van A két eset összesen: = 68 0 f) Má láttuk, hg ezek a számk kilenccel biztsan szthatók lesznek 0-a végződőeknek is kell lenniük, hg kilencvennel szthatók legenek Ha az utlsó jeg 0, akk a többi kilenc szám sendje 9! lehet Vagis db megfelelő szám van ÉVFOLYAM

10 MATEMATIKA I KOMBINATORIKA 9 E Igazljuk, hg hám egmást követő pzitív egész szám faktiálisainak összegét úg is kiszámíthatjuk, hg a legkisebb szám faktiálisát megszzzuk a legnagbb szám négzetével! Legen a hám egmást követő pzitív egész szám: a -, a, a +, ahl a $, a pzitív egész szám Ekk ^a- h! + a! + ^a+ h! = 6+ a+ a^a+ ^a- h! = ^a + a+ h ^a- h! = ^a+ h ^a-h! Ez pedig igazlja a biznítandó állítást 0 E A ksálabda-mékőzésen, és pnts ksá is dbható A csapat egik játéksa a mékőzésen pntt szezett Hánféleképpen alakulhattt ki ez a pntszám? Legen a pnts dbásainak a száma, a pnts dbásainak száma, az pntské pedig z Ekk + + z = Fglaljuk táblázatba a lehetséges számhámaskat z A táblázat negedik sában a szeepel z A negedik sban szeeplő számk összege adja a feladat megldását: 97 lehetőség van E A bajnkság hetedik fdulója után az egik fcicsapatnak pntja van A gőzelem, a veeség 0, a döntetlen pntt é Hánféleképpen alakulhattt ki ez a pntszám? Legen a gőzelmek száma, a döntetlenek száma, a veeségeké pedig z Ekk és + = Fglaljuk táblázatba a lehetséges számhámaskat A táblázat negedik sában a szeepel z 0 0 P ; ; + + z P ; ; z z = 7 A negedik sban szeeplő számk összege adja a feladat megldását: lehetőség van Kiválasztás és send K Íjuk fel az ERDŐ szó betűiből képezhető hám betűs (nem feltétlenül ételmes) szavakat, ha minden betű csak egsze szeepelhet eg szóban! A nég betű hamadsztálú vaiációinak száma: V = $ $ = Ez a eset a következő: ERD, EDR, RED, RDE, DER, DRE, ERŐ, EŐR, REŐ, RŐE, ŐER, ŐRE, EDŐ, EŐD, DEŐ, DŐE, ŐED, ŐDE, RDŐ, RŐD, DRŐ, DŐR, ŐRD, ŐDR K Az. 7 számjegek felhasználásával hámjegű, illetve négjegű számkat készítünk Eg számban mindegik számjeg maimum egsze szeepelhet Hasnlítsuk össze az íg képezhető hámjegű és négjegű számk számát! ÉVFOLYAM

11 I KOMBINATORIKA Az első esetben a nég betű hamadsztálú vaiációinak számát kell meghatáznunk: V = $ $ = A másdik esetben a nég betű pemutációinak számát kell meghatáznunk: P =! = Az íg képezhető hámjegű és négjegű számk száma egenlő MATEMATIKA Megjegzés: Számlás nélkül is ee a megállapítása jutttunk vlna, hiszen bámelik hámjegű számhz egételműen tatzik eg négjegű szám (a negedik számjeget a hámjegű végée íjuk) K Az isklai szavalóvesen döntőjébe tíz tanuló juttt Az első hat helezett kap hat különböző díjat Hánféle send alakulhat ki? A tíz tanuló hatdsztálú vaiációinak számát kell meghatáznunk: 6 V = 0$ 9$ 8$ 7$ 6$ = 00 0 K Hán embe indult azn a sptvesenen, ahl az aan, ezüst, bnz émek kisztása 0-féleképpen töténhetne? Az indulók száma legen n Az n induló hamadsztálú vaiációinak száma 0, vagis: Vn = n$ ^n-h$ ^n- h= 0 Megtalálható, hg 9$ 8$ 7 = 0, vagis az n = 9 megldás Ha n helée 9-nél kisebb pzitív egész számt íunk, akk a szzat kisebb lesz, mint 0, ha nagbbat, akk pedig a szzat nagbb lesz, mint 0 Vagis egedüli megldás a 9 A sptvesenen 9 embe indult K Eg vetélkedő 9 szeeplőjének jutalma hám különböző díj lesz Hánféleképpen vihetik el a játék végén a neeméneket, ha eg vesenző többet is nehet? Kilenc elem hamadsztálú ismétléses vaiációinak számát kell meghatáznunk: V ^ismh= 9 = K Eg tesztes vesenen 0 kédés mindegikée különböző válaszból választhatunk, eg másik vesenen pedig különbözőből (minden kédése csak eg jó válasz van) Maimum hán kédéses lehet ez utóbbi teszt, ha azt szeetnénk, hg a kitöltési lehetőségek száma kevesebb legen, mint a 0 kédésesé? Legen a másdik teszt n kédéses Ekk a feladat feltételeinek megfelelően a következő egenlőtlenséget íhatjuk fel: n < 0 Számlógéppel kapjuk, hg 0 9, $ 0 0 A pzitív egész kitevőjű hatvánai növekedő számszatt adnak, íg gsan megtalálható, hg 9, $ , $ 0, vagis maimum kédéses lehet ez a teszt 7 K Hatjegű számt eg nlclapú ssvetővel (dbóktaéde) állítunk elő A test nlc lapja -től 8-ig számztt A dbtt számkat a dbás sendjében egmás után íjuk A hatdik dbás után kialakul eg hatjegű szám Hánféle hatjegű számt nem kaphatunk meg ilen módn? A hatjegű számk száma: 9 0 = A ssvetővel dbható hatjegű számk száma: 8 6 = 6 Vagis = daab hatjegű számt nem kaphatunk meg ilen módn ÉVFOLYAM

12 MATEMATIKA I KOMBINATORIKA Kiválasztásk számának meghatázása K Számítsuk ki! 7 9 a) e ; b) e ; c) e ; d) e a) 7$ 6$ e = = $ $ 9 b) 9$ 8$ 7$ 6 e = = 6 $ $ $ c) $ $ 0 e = e = = 0 9 $ $ d) $ 0 e = e = = 0 9 $ K Végezzük el a kijelölt műveleteket! a) e e ; b) e e ; c) e ; d) 7 9 : e 9 00 e : e a) e e = e e = 0 $ = b) e e = e e = 0 $ 6 = c) : : 7$ 6$ $ $ $ 7$ 6$ e e = e e = = = $ $ $ $ $ $ d) : : 9 $ e e = e e = = K Végezzük el az összeadáskat, kivnáskat! a) e + e ; b) e + e ; c) e – e ; d) e – e a) e + e = 0 + = b) e + e = e + e = = c) e – e = e – e = 70 – = d) e – e = e – e = 90-8 = K Mennibe keült vlna 00-ben megjátszani az összes lehetséges szelvént az Ötöslttón, ha akk Ft-ba keült eg fgadás? (Az Ötöslttó első 0 évében a legnagbb neemén Ft vlt, 00 nvembe 9-én) A 90 szám ötödsztálú kmbinációinak számát kell megszznunk a Ft-s egségáal: $ e 90 = (Ft) (Lénegesen többe keülne, mint a lttótöténelem eddigi legnagbb neeméne) ÉVFOLYAM

13 I KOMBINATORIKA K A Hatslttón a hetenként endezett sslásn az -től -ig tejedő egész számkból húznak ki hat számt A játéksk számból hat számt játszhatnak meg a) Hán daab játékszelvént kellene kitölteni a bizts telitalálathz? b) Hasnlítsuk össze a kaptt daabszámt az Ötöslttó esetén kapttal! MATEMATIKA a) A szám hatdsztálú kmbinációinak számát kell meghatáznunk: C 6 = e = 90 b) = e e = Az Ötöslttó kitöltési lehetőségeinek száma több mint ötszööse a Hatslttóénak 6 K A Skandináv lttó hetenként endezett ikesslásán mindkét számsslás alkalmával az -től -ig tejedő egész számkból 7-7 számt húznak ki visszatevés nélkül A játéks számból 7 számt játszhat meg, melből legalább nég találat vag a kézi vag a gépi sslásn jgsít neeméne Eg szelvén az ikesslás mindkét számsslásán autmatikusan észt vesz a) Hán daab játékszelvént kellene kitöltenünk, ha biztsan szeetnénk eg telitalálatsat? b) Ha valaki a 6,, és számkat minden szelvénen be szeetné jelölni, akk összesen hán játékszelvént tudna különböző módn kitölteni? c) Eg játéksnak a hamadik neőszám kihúzása után hám találata van Minimum hán szelvénnel játszhattt, ha má biztsan tudja, hg net? a) A szám hetedsztálú kmbinációinak számát kell meghatáznunk: C 7 = e 7 = b) A maadék számból kell kiválasztanunk az összes lehetséges módn még hám számt A szám hamadsztálú kmbinációinak számát kell meghatáznunk: C = e = 9 c) Tudjuk a játék leíásából, hg nég találat má neeméne jgsít Ha az első hám kihúztt neőszám minden szelvénén szeepel, és a többi számt pedig 8 szelvénen szeepeltette négesével, akk má biztsan tudhatja, hg valamelik szelvénén lesz neeméne 7 K A Kenó játékban az -től 80-ig tejedő egész számkat tatalmazó számhalmazból a játéks tetszés szeint kiválaszttt legfeljebb 0 számt játszhat meg Ebben a játékban minden nap 80 számból 0 neőszámt sslnak ki A tízes játéktípusban (tehát ha a fgadó 0 számt játsztt meg) legalább 6, a kilencesben és a nlcasban legalább, a hetesben és a hatsban legalább, az ötösben és a négesben legalább, a hámasban és a kettesben legalább és az egesben ételemszeűen találat jgsít neeméne A hats, hetes, nlcas, és kilences játéktípusban a fgadó visszanei befizetett tétjét, a tízes típusban a tétjének a kétszeesét, ha egetlen találatt sem ét el a) Hán különböző módn lehet kitölteni eg Kenó szelvént? b) Hán különböző 0 találats szelvén képzelhető el eg sslás után? c) A hats játékban hán különböző módn kitöltött lan szelvént tudunk elképzelni, amelekkel a szelvén áát lehet visszaneni? d) A hats játékban hán különböző módn kitöltött lan szelvént tudunk elképzelni, amelik nem net semmit? a) A játék leíása alapján az összes megjátszható eset száma: e + e + e + e + e + e + e + e + e + e 9, $ ÉVFOLYAM

14 6 MATEMATIKA I KOMBINATORIKA b) Mivel 0 számt sslnak és ezek közül bámelik 0 szám bejelölése eg szelvénen 0 találatsnak minősül, ezét ilen szelvén e képzelhető el Vagis 8 76 különböző 0 talá- 0 0 lats szelvént lehet elképzelni eg játékban c) A hats játékban a fgadó hat számmal játszik Ha egetlen találata sincs, akk visszakapja a szelvén áát A 80 számból 0-at kisslnak, ezek lesznek a neőszámk Csak azk a szelvének lesznek megfelelőek, ameleken a maadék hatvan számból szeepel mind a hat megjátsztt szám Ez e eset 60 6 Vagis különböző kitöltés lehetséges d) A hats játékban az,, találat semmilen neeméne nem jgsít A nlcvan szám minden játékban 0 neő és 60 nem neő száma sztódik szét 0 60 Az találats szelvének száma: e $ e = 0 $ 6 = A találats szelvének száma: e $ e = 90 $ 87 6 = A találats szelvének száma: e $ e = 0 $ 0 = Ezek összege adja a választ: daabt 8 K Adtt n db pnt úg, hg nincs közöttük hám, amel eg egenese illeszkedne, és nincs közöttük nég, amel eg síkban lenne Hán szakaszt, hán hámszöget, hán tetaédet hatáznak meg, ha a) n = ; b) n = 6; c) n = 8; d) n = 0? a) Szakaszk: e = 6 db, hámszögek: e = db, tetaédeek: e = db b) Szakaszk: e = db, hámszögek: e = 0 db, tetaédeek: e = db c) Szakaszk: e = 8 db, hámszögek: e = 6 db, tetaédeek: e = 70 db d) Szakaszk: e = db, hámszögek: e =0 db, tetaédeek: e = 0 db 9 K Eg ksában 6 daab ping-png labda van, 9 daab sága, a többi fehé Hánféleképpen lehet kiválasztani 6 labdát, hg a kiválasztttak között a) 0; b) ; c) ; d) sága legen? 9 7 a) e $ e = $ = b) e $ e = 9 $ = c) e $ e = 8 $ 9 = d) e $ e = 6 $ 7 = 0 0 E A fős sztálban jelölt van az sztáltitkái tisztség betöltésée Mindenki (a jelöltek is) eg jelölte szavaznak Hánféle eedméne lehet a szavazásnak? A szavazás végén a szavazólap mindegikén a hám jelölt valamelikének neve szeepel A szavazólapk sendje nem számít Csak az számít, hg a jelöltek külön-külön hán szavazatt kaptak A szavazás minden eedméne a hám jelölt eg -edsztálú ismétléses kmbinációja ÉVFOLYAM

15 I KOMBINATORIKA MATEMATIKA 7 Ezek száma: C ^ismh = e + – = e = e = $ = 6 Vagis 6-féle eedméne lehet a szavazásnak E A laps maga kátából lapt sztunk Hánféle eset lehetséges, ha csak a színeket vesszük figelembe? A nég színből sende való tekintet nélkül ötös csptkat készítünk, és ezek számát kell meghatáznunk Ezt elem -ödsztálú ismétléses kmbinációinak száma adja meg: 8 C^ismh = e + – = e = 6 Vagis 6 lehetőség van E A műveletek elvégzése nélkül mndjuk meg, hg a hatvánzás és az összevnásk elvégzése után hán taggal íhatók le a következő kifejezések: a) ^–zh 6 ; b) ^a+ b+ c+ dh? a) A műveletek elvégzése után minden tagban a kitevők összege 6 lesz Az eges tagkban a betűk csak a megadtt hám betűből választhatók Vagis hám elem 6-dsztálú ismétléses kmbinációiól van szó Ezek száma: C ^ismh = e + – = e = e = Vagis a kifejezést 8 taggal íhatjuk le a műveletek elvégzése után b) A műveletek elvégzése után minden tagban a kitevők összege lesz Az eges tagkban a betűk csak a megadtt nég betűből választhatók Vagis nég elem -edsztálú ismétléses 7 kmbinációiól van szó Ezek száma: C ^ismh = e + – = e = Vagis a kifejezés taggal íható le a műveletek elvégzése után Binmiális tétel K Íjuk fel endezett többtagú kifejezésként a következő hatvánkat! a) ^ + h ; b) 6 ^ – h ; c) ^+ h ; d) ^- h 0 0 a) ^+ h = e $ + e $ + e $ + e $ + e $ = 0 = b) ^- h = e $ ^h – e $ ^h + e $ ^h – e $ ^h + e $ ^h – e $ ^h + e = 0 6 = c) ^ + h = e ^ h + e ^ h + e ^ h + e ^ h + e ^ h + e ^ h = = d) ^- h = K Íjuk fel a következő hatvánk endezett többtagú alakjában a hatdfkú tag egütthatóját! a) ^ + h 6 ; b) ^ -h 9 ; c) ^ – h 8 ; d) ^ + h 7 A binmiális tétel alapján felíjuk a hatdfkú tagt, ekk látjuk az egütthatóját is a) e =, vagis az egüttható: 0 9 b), vagis az egüttható: e ^ h ^- h =- ÉVFOLYAM

16 8 MATEMATIKA I KOMBINATORIKA 8 c) e 6 $ ^- h = 6, vagis az egüttható: 7 d) e ^h 6 $ = , vagis az egüttható: 0 06 K Adjuk meg eg binmiális egütthatóval a következő összegeket! 6 7 a) e + e + e + e + e ; 6 7 b) e + e + e + e + e + e 0 n + n n a) Alkalmazzuk az e = e + e összefüggést többszö egmásután, de előtte a e k k – k helée íjunk e -et: e + e + e + e + e = e + e + e + e + e = e + e + e + e = = e + e + e = e + e = e 7 e e 8 Vagis az öt binmiális egüttható összege: e b) Íjuk át az egütthatókat: e + e + e + e + e + e = e + e + e + e + e + e 0 Mst má az a) feladatban látttak alapján jáhatunk el: e + e + e + e + e + e = e E Igazljuk, hg az n elemű halmaz észhalmazainak száma n lesz! Az állítás a következő alakban íható: n n n e + e + f + e = n 0 n Ez pedig a binmiális tétel alapján igaz (Alkalmazzuk a tételt a =, b = esetén) E Igazljuk, hg ha a Pascal-hámszög n-edik sában a számkat váltakzó előjellel öszszeadjuk, akk 0-t kapunk! Íjuk fel a binmiális tételt a = és b = esetén: n n n 0 n n- n 0 n n n ^- h = e $ $ ^- h + e $ $ ^- h + f+ e $ $ ^- h = e – e + f 0 n 0 Vagis valóban igaz: n n 0 = e – e + f 0 6 e ÉVFOLYAM

17 II GRÁFOK MATEMATIKA 9 II Gáfk Bevezető pblémák K személ (A, B, C, D és E) közül A hám, B eg, C kettő, D és E eg-eg személt isme a tásaságból (az ismeetség minden esetben kölcsönös) Szemléltessük az ismeetségeket eg gáffal! A feladat két lehetséges megldása: B B A C A C E D E D K Eg sakkbajnkság döntőjébe öten jutttak: A, B, C, D és E, akik kömékőzést játszanak egmással A má minden mékőzését lejátsztta, B és C eddig – mékőzést játsztt, de egmással még nem játszttak Hán mékőzés van még háta, ha a fentieken túl egéb meccset még nem játszttak le? Szemléltessük eg gáffal az eddig lejátsztt mékőzéseket Mivel B és C egmással még nem játszttak, de mindketten játszttak eg meccset A-val, ezét a – mékőzésük hiánzó két meccse csak D-vel és E-vel lehetett A kaptt gáfból kilvasható, hg még két mékőzés van háta: B-C és E-D A B C E D K Eg hat tagú tásaság tagjai: A, B, C, D, E és F A és B a tásaság minden tagját ismei, C és D csak A-t és B-t ismei E és F ismeik egmást Szemléltesse az ismeetségeket eg gáffal! Az ismeetséget szemléltető gáf elkészítését azzal kezdhetjük, hg A-t és B-t mindenkivel öszszekötjük Mivel C és D A-n és B-n kívül senkit sem isme, ezét ezek után má csak E-t és F-et kell összekötnünk A B C F D E ÉVFOLYAM

18 0 MATEMATIKA II GRÁFOK K Rajzljunk lan pntú gáft, mel csúcsainak fkszámai. A B C Legenek az eges csúcsk fkszámai A(), B(), C(), D(), E() Ekk A mindenkivel, E pedig csak A-val van összekötve Ebből következik, hg B, C és D csúcsk össze vannak kötve egmással E D K Eg bajnkság döntőjébe 6 csapat juttt A csapatk kömékőzést játszanak egmással Két csapat má minden mékőzését lejátsztta Lehet-e lan csapat, amelik még csak eg mékőzést játsztt? Nem lehetséges Ha uganis két csapat má minden mékőzését lejátsztta, akk ez azt jelenti, hg a többi nég csapat mindegike má lejátsztt legalább mékőzést, íg nem lehet lan csapat, amel eddig csak eg meccset játsztt vlna 6 K Eg öttagú tásaság minden tagja a tásaságnak két tagját ismei (Az ismeetség kölcsönös) Hán éle van e tásaság ismeetségeit szemléltető gáfnak? Az ismeetséget szemléltető gáf minden csúcsának a fkszáma, tehát a fkszámk összege $ = 0 Mivel az élek száma a fkszámk összegének a fele, íg e gáf éleinek a száma Egszeű gáf, összefüggő gáf, teljes gáf K Hán csúcsa van annak a teljes gáfnak, melnek a) éleinek a száma a csúcsk számának -szeese? b) éleinek a száma a csúcsai számának hámszsánál 9-cel nagbb? a) Ha a gáf csúcsainak a száma n, akk a feltételek szeint nn ^ – h = n, azaz ^n! 0h n – =, tehát n = b) A feltételek szeint nn ^ – h = n + 9, azaz n – n = 6n+ 8, ahnnan n 7n 8 0 n 7! 9 7 7!, = + =, n = 9, n =- A negatív gök nilván nem jöhet számításba, íg a feltételeknek eleget tevő gáf csúcsainak a száma n = 9 K Eg bajnkságban 8 csapat játszik kömékőzést Eddig 9 meccs zajltt le Igazljuk, hg van lan csapat, amel legalább hámsz játsztt má! Tegük fel indiekt, hg nincs lan csapat, mel legalább hám meccset má lejátsztt, azaz mind a 8 csapat legfeljebb meccset játsztt eddig Ez azt jelenti, hg az eddig lejátsztt mékőzések száma legfeljebb 8$ = 8 Mivel eddig má 9 mékőzés lezajltt, íg nem lehet az eddigi meccsek száma legfeljebb 8, tehát valóban kell lennie lan csapatnak, amel legalább mékőzést játsztt má ÉVFOLYAM

19 II GRÁFOK K Eg knfeencián 8 tudós vett észt Úg döntöttek, hg a knfeencia végén mindenki mindenkivel névjegkátát fg cseélni Eddig mind a 8 észtvevő másikkal cseélt névjegkátát a) Szemléltessük eg gáffal az eddigi kátacseéket! b) Hán kátacseée fg még s keülni? MATEMATIKA a) A névjegkátacseét szemléltető eg lehetséges gáf: b) A gáf minden csúcsának a fkszáma, íg a fkszámk összege $ 8 = Ez azt jelenti, hg e gáfnak éle van Az a kédés, hg hán élt kell még beajzlnunk, hg teljes gáft kapjunk Mivel a 8 pntú teljes gáf éleinek a száma 8$ 7 = 8, és eddig élt ajzltunk be, íg még 8 = 6 él hiánzik Tehát még 6 kátacseée keül s K Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hg eg teljes gáf éleinek a száma pás legen? nn ^ – h Ha = k, akk nn ^ – h= k Ez azt jelenti, hg vag n, vag pedig n sztható -gel Tehát annak feltétele, hg eg n pntú teljes gáf éleinek a száma pás legen az, hg n sztható legen -gel, vag -gel sztva maadékt adjn K Eg estélen -en vettek észt Akik ismeték egmást, kccintttak egmással eg phá pezsgővel Akik nem ismeték egmást, azk kézfgással bemutatkztak egmásnak Ezek után a házigazda íg szólt: Megfigeltem, hg pntsan ugananni kccintás vlt, mint kézfgás Ee a felesége íg eagált: Dágám, biztsan tévedtél Vajn kinek van igaza? Mindenki mindenkivel vag kccinttt, vag kezet fgtt Ezt mdellezhetjük eg lan pntú teljes gáffal, melben a kézfgáskat és a kccintáskat szemléltető élek különböző színűek (pl a kézfgáskat szemléltető élek zöldek, a kccintáskat szemléltető élek pisak) Ha ugananni kccintás vlt, mint kézfgás, akk a gáfnak ugananni pis éle van, mint zöld Ez azt jelenti, hg e pntú teljes gáf éleinek a száma pás Mivel a pntú teljes gáf éleinek a száma $ = 0, vagis páatlan, íg nem lehet ugananni zöld éle, mint pis, tehát nem lehetett ugananni kézfgás, mint kccintás Tehát a feleségnek vlt igaza ÉVFOLYAM

20 MATEMATIKA II GRÁFOK 6 E Eg sakkbajnkság 6 észtvevőjét két csptba szttták Az eges csptkban a cspt tagjai kömékőzést játszttak egmással Az egik csptban íg -sz anni meccs zajltt le, mint a másikban Hán észtvevője vlt az eges csptknak? Legen az egik cspt észtvevőinek a száma k; ekk a másik csptnak 6 k észtvevője van Az eges csptkban lejátsztt mékőzések száma kk ^ -h ^6 -kh^6 -k-h, illetve A feltételek szeint az egik csptban hámsz anni meccset játszttak, mint a másikban, tehát kk ^ – h ^6 -kh^ -kh $ =, azaz k – k = 0 – k+ k, k + 8k – 0 = 0, tehát k + k – 0 = 0, k! 96 80! 6, = – + = -, k = 6, k =-0 A negatív megldás édektelen számunka, íg azt kaptuk, hg az egik csptban 6, a másikban pedig 0 észtvevő vlt 7 E Eg bajnkságn, ahl a észtvevők kömékőzést játszanak egmással, még 7 mékőzés van háta a bajnkság végéig Igazljuk, hg az eddig lejátsztt mékőzések száma nem lehet 0-zel sztható! Legen n a bajnkságban észtvevők száma Ha még 7 mékőzés van háta, akk az eddig lejátsztt mékőzések száma nn ^ -h – 7 Azt kell megmutatnunk, hg ez a szám nem lehet 0-zel sztható Ha ez a szám 0-zel sztható lenne, vagis 0-a végződne, akk (hzzáadva 7-et) -nek 7-e kell végződnie, azaz nn ^ -h nn ^ -h utlsó számjege kell, hg legen A számlálóban két szmszéds egész szám szzata szeepel, ezét vizsgáljuk meg, hg két szmszéds egész szám szzatának mi lehet az utlsó számjege Azt látjuk, hg két szmszéds egész szám szzatának utlsó számjege csak 0, vag 6 lehet, tehát e szzat nem végződhet -e Ez visznt azt jelenti, hg az eddig lejátsztt mékőzések száma valóban nem lehet 0-zel sztható Eule-vnal (Emelt szint) K Rajzljunk eg lan 6 pntú összefüggő gáft, melnek csúcsainak fkszámai. és adjuk meg a gáf eg nílt Eule-vnalát! A feltételeknek eleget tevő egik lehetséges gáf: A gáfnak két páatlan fkú pntja van, íg biztsan van nílt Eule-vnala Mivel az F és E csúcsk fkszáma páatlan, ezét az Eule-vnal e két pnt egikéből indul, és a másikban végződik Eg lehetséges Eule-vnal: FE -EA -AB -BC -CA -AD -DB -BE A F B E C D ÉVFOLYAM

21 II GRÁFOK K Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hg eg n pntú teljes gáfnak legen Eulevnala? MATEMATIKA Az n pntú teljes gáf minden csúcsának a fkszáma n Ezek szeint akk és csak akk van Eule-vnala eg ilen gáfnak, ha minden csúcsának a fkszáma pás, vagis n = k, ahnnan n = k + Ezek szeint eg n pntú teljes gáfnak akk és csak akk van Eule-vnala (mégpedig zát), ha a csúcsk száma páatlan K Hán élt kellene behúzni az ábán látható nlcpntú gáfba, hg a) teljes gáf legen? b) legen Eule-vnala? a) Íjuk be a gáfba az eges csúcsk fkszámát E() A F B E G H D C ()F D() ()A G() H() ()B C() A csúcsk fkszámának összege: 6$ + + =, tehát e gáf éleinek a száma Mivel a nlcpntú teljes gáf éleinek a száma 8$ 7 = 8, ezét e gáfba még 8 = 6 élt kellene behúzni ahhz, hg teljes gáf legen b) A gáfnak 6 db páatlan fkú pntja van Ha ezek közül valamelik kettőt összekötjük, akk e két pnt fkszáma eggel növekszik, íg má csak db páatlan fkú pntja lesz Ha e négből ismét összekötünk kettőt, akk pntsan két páatlan fkú pntja lesz a gáfnak, íg lesz benne nílt Eule-vnal Tehát két él behúzásával (pl BF és AD) eléhetjük, hg legen Eulevnal Ekk az E és H pntk fkszáma lesz páatlan, íg a nílt Eule-vnal e két pnt egikéből indul, és a másikban végződik K Az ábán eg vás 7 nevezetessége és az azkat összekötő úthálózat látható Eg tuistacspt úg szeetné megtekinteni a nevezetességeket, hg minden útn egsze és csak egsze haladjanak el a) Tevezzük el a sétautat! b) Sajns előe nem látható kk miatt az F-ből G-be vezető utat felbnttták, íg jáhatatlanná vált Ekk hgan tevezzük a sétautat? a) Íjuk be a gáf csúcsainak a fkszámát A F E G B C D ()F ()A E() G() B() D() C() A G és D csúcsk fkszáma páatlan, íg e két pnt valamelikéből kell elindulnunk Eg lehetséges útvnal a következő: GD DC CG GB BA AG GF FE ED ÉVFOLYAM

22 MATEMATIKA II GRÁFOK ()F ()A E() G() D() C() b) Ha az FG útvnal megszűnik, akk F és G fkszáma eggel csökken, íg F fkszáma páatlan, G fkszáma pás lesz Mst F és D fkszáma páatlan, tehát a sétaút e két pnt valamelikéből indul Eg lehetséges útvnal: FE ED DG GA AB BG GC CD B() K Az ábán eg kiállítás földszintjének alapajza látható Eg látgató éppen kedvenc festméne elött áll, és eddig minden ajtón pntsan egsze ment át Melik heliségben van a látgató kedvenc festméne? B C D E A G F bejáat C() D() B() A() G() E() F() Mdellezzük a földszint alapajzát eg lan gáffal, melnek csúcsai az eges heliségek, és két csúcs pntsan akk van összekötve eg éllel, ha a megfelelő heliségek között van ajtó A gáfban a csúcsk fkszámát is feltüntettük Ha a látgató minden ajtón pntsan egsze ment át, (azaz a gáf minden élén pntsan egsze haladunk keesztül), akk kell lennie a gáfban nílt Eule-vnalnak Mivel két csúcs fkszáma páatlan (A és D), de a látgató csak A-ból indulhattt (hiszen a bejáat után A-ba keül, és innen indulhat csak), ezét csak a D heliségben lehet a látgató kedvenc festméne Nézzük a látgató eg lehetséges útvnalát: AB BC CA AG GC CD DG GF FE ED 6 E Igazljuk, hg bámel összefüggő gáf néhán új él behúzásával lan gáffá alakítható, melnek van Eule-vnala! Bámel összefüggő gáfban a páatlan fkú pntk száma pás; legen tehát az ilen pntk száma k E pntk közül valamelik kettőt összekötve e két pnt fkszáma eggel nő, íg pás lesz Ekk a páatlan fkú pntk száma (k )-e csökken E k páatlan fkú pnt közül ismét kettőt összekötve azk száma pás lesz, tehát ekk a páatlan fkú pntk száma má csak k Az eljáást fltatva (mindig két páatlan fkú pntt összekötve) k lépés után eléjük, hg pntsan két páatlan fkú pntja lesz a gáfnak, íg lesz nílt Eule-vnala Kimndhatjuk tehát, hg ha a gáfnak k db páatlan fkú pntja van, akk k új él behúzásával lesz nílt Eule-vnala, k db él behúzásával pedig lesz zát Eule-vnala ÉVFOLYAM

23 Tvábbi gáfelméleti feladatk (Emelt szint) II GRÁFOK K Hán db lan pzitív egész n szám van, mele teljesül, hg az n pntú (0 # n # 0) teljes gáf éleinek a száma sztható -tel? MATEMATIKA nn ^ – h Ha = k, akk nn ^ – h= 0k Az a kédés tehát, hg két szmszéds egész szám szzata milen n esetén végződik 0-a A II7 feladatában megvizsgáltuk két szmszéds egész szám szzatának lehetséges végződéseit Az ttani eedmént felhasználva aa jutunk, hg nn ^ -h akk végződik 0-a, ha n utlsó számjege,, 6 vag 0 Ezek szeint a feltételeknek eleget tevő gáf csúcspntjainak száma: 0. 6, 0. 6, 0, vagis 9 daab a feltételeknek eleget tevő pzitív egész szám van E Eg isklák közötti teniszbajnkság döntőjébe 7 játéks juttt be A döntőben mindenki mindenkivel eg mékőzést játszik Eg néző jegezte az eges mékőzések kimenetelét Valamik íg szólt a szintén néző baátjáhz Az -es számú vesenző má minden mékőzését lejátsztta, a -es számú má öt mékőzését lejátsztta, visznt a -es és a 7-es számú vesenzők még csak eg-eg mékőzést játszttak Ee a szmszéd íg válaszlt: Biztsan tévedsz Hnnan tudta ezt a szmszéd? Készítsünk eg lan gáft, mellel azt tudjuk szemléltetni, amit má tudunk Az számú játéks az összes többivel össze van kötve A számú játékst a. 6, 7 pntk közül -gel össze kell kötnünk, hiszen ő má mékőzést lejátsztt (eget az elsővel) Ezek szeint a számú játéks a -es és a 7-es számú játéksk valamelikével biztsan össze lesz kötve Ez visznt azt jelenti, hg vag a -es, vag a 7-es játéks (esetleg mindkettő) má legalább két mékőzést játsztt E a) Eg pedagógiai knfeencia középisklai szekciójába fő jelentkezett A fős cspt két tagja (a mdeátk) a csptból mindenkit ismetek Öt lan tagja vlt a csptnak, akik a mdeátkn kívül senkit sem ismetek; a szekció többi tagja közül pedig mindenki mindenkit ismet (az ismeetség minden esetben kölcsönös) Az első szekcióülés előtt, akik nem ismeték egmást, kézfgással bemutatkztak egmásnak Hán kézfgás tötént? b) Az óvdai szekciónak hám mdeáta vlt; ők szintén mindenkit ismetek a csptból A cspt többi tagjának a fele a mdeátkn kívül senkit sem ismet, míg a cspt többi tagja közül itt is mindenki mindenkit ismet (temészetesen az ismeetség itt is minden esetben kölcsönös) Ebben a szekcióban is bemutatkztak egmásnak azk, akik nem ismeték egmást, s íg ebben a csptban kézfgása keült s Hán főből áll az óvdai szekció? 7 6 a) Készítsük el a fős tásaság ismeetségi gáfját Legenek A és B a mdeátk, C, D, E, F és G azk a személek, akik a mdeátkn kívül senki mást nem ismetek; a többiek pedig H, I, J, K és L Azt kell meghatáznunk, hg e gáfba hán élt kellene még beajzlnunk, hg teljes gáft kapjunk Az A és B pntk fkszáma -, C, D, E, F és G pntk mindegikének a fkszáma, H, I, J, K és L pntk mindegikének a fkszáma 6 Íg a gáf pntjai fkszámainak összege: $ + $ + $ 6 = 6, vagis a gáf jelenleg meglevő éleinek a száma Mivel a pntú teljes gáf éleinek a száma $ = 66, és jelenleg éle van, íg a hiánzó élek száma 66 – = Tehát a szekcióülés előtt kézfgása keült s L (6) K (6) J (6) I (6) C () D () E () F () H (6) G () Megjegzés: Másképpen is kiszámlhattuk vlna a meglevő éleket Az A, B, H, I, J, K és L pntk eg 7 pntú teljes gáft alktnak, íg ezek éleinek a száma 7$ 6 = Ezeken kívül van még C, D, E, F és G pntkból induló – él, vagis $ = 0 él Ezek szeint a meglevő élek száma + 0 =, tehát a hiánzó élek száma 66 – = ÉVFOLYAM

24 6 MATEMATIKA II GRÁFOK Azt is megtehettük vlna, hg közvetlenül a hiánzó éleket számljuk össze A hiánzó élek egészt a C, D, E, F és G pntkból az A és B pntkn kívül az összes többi pntba húztt élek; ezek száma tehát $ =, tvábbá a C, D, E, F és G pntk alktta ötpntú teljes gáf éleinek a száma, vagis $ = 0 Tehát a hiánzó élek száma + 0 = k db A B C k db b) Legen A, B, C a hám mdeát Legen k db lan személ, akik a mdeátkn kívül senkit sem ismetek Ekk a cspt többi tagjai (ugancsak k db személ) közül mindenki mindenkit ismet Ekk a gáfnak k + pntja van A hám mdeát és azk, akik közül mindenki mindenkit ismet egütt eg k + pntú teljes gáft alktnak, íg ezeknek a meglevő éleknek a száma ^k+ h^k+ h Azk a személek, akik csak a mdeátkat ismeik k élt jelentenek, íg a gáf meglevő éleinek a száma ^k+ h^k+ h + k A k + pntú teljes gáf éleinek a száma: ^k+ h^k+ h, íg a meglevő gáf hiánzó éleinek a száma: ^k+ h^k+ h ^k+ h^k+ h – – k =, k + 0k+ 6-k -k-6-6k = 70, k – k – 70 = 0, k! 80! 9, = + =, k =, k 8 = A negatív megldás nilván édektelen, íg k = Tehát az óvdai szekciónak k + = tagja vlt Megjegzés: Temészetesen mst is megtehetjük, hg közvetlenül a hiánzó éleket számljuk össze A hiánzó élek abból a k db pntból indulnak, melek csak az A, B és C pntkkal vannak összekötve E pntk mindegikét összeköthetjük a gáf azn k db pntjával, melek közül mindegik mindegikkel össze van kötve: ez összesen k$ k = k db pnt Tvábbá ezen k db pnt közül még mindegiket mindegikkel összeköthetjük Ez utóbbi kk ^ -h eg k pntú teljes gáft jelent, tehát hiánzó élt Ezek szeint a hiánzó éleke: kk ^ – h k + =, azaz k + k – k = 70, k – k – 70 = 0, s íg uganahhz a másdfkú egenlethez jutttunk, mint az eedeti megldásnál E Csabi patit endezett, ahvá 9 főt hívtt meg A tásaságból Csabi mindenkit ismet lan személ vlt a tásaságban, akik Csabin kívül senki mást nem ismetek A tásaság többi tagjának Csabán kívül még – ismeőse vlt (az ismeetség minden esetben kölcsönös) Azk, akik nem ismeték egmást kézfgással bemutatkztak egmásnak Hán kézfgása keült s? Csaba Készítsünk eg lehetséges gáft, mellel a tásaságban meglevő ismeetségeket szemléltetjük, és íjuk a gáf csúcsai mellé a csúcs fkszámát A gáf eg csúcsának (amelik Csabának felel meg) a fkszáma 9 Hám csúcsának a fkszáma, a többi csúcs fkszáma (lásd ába) Ezek szeint a gáf csúcsai fkszámának összege: 9+ 6$ + = 0 A gáf éleinek a száma a fkszámk összegének a fele, azaz e gáfnak éle van Mivel a 0 pntú teljes gáf éleinek a száma 0 $ 9 =, íg a gáfnak még – = 0 éle hiánzik Tehát, ha az ismeetlenek kézfgással bemutatkznak egmásnak, akk 0 kézfgása keül s ÉVFOLYAM

25 II GRÁFOK E Eg tásaságban (ahl a fiúk is és a lánk is egnél többen vltak) a lánk és fiúk előszö külön váltak; minden lán minden lánnal, és minden fiú minden fiúval kccinttt egsze Íg a lánk közötti kccintásk száma 6-tal vlt több, mint a fiúk közötti kccintásk száma Ezután a fiúk és a lánk összevegültek; ekk mindenki mindenkivel kccinttt egsze Hán kccintás hallatsztt ekk? MATEMATIKA 7 Legen f a fiúk, l a lánk száma Ekk a feltételek szeint ff ^ – h ll ^ 6 h + =, azaz f – f+ = l -l, l – f + f- l =, vagis ^l- fh^l+ fh-^l- fh=, ^l- fh^l+ f- h= Tehát a -t kell felbntanunk két pzitív egész szám szzatáa, mivel a szzat mindkét ténezője pzitív egész szám: = $ = $ 6 = $ Figelembe véve, hg l- f l+ f-, az alábbi esetek lehetségesek: l- f = és l+ f- = A két egenletet összeadva l =, azaz l = 7, és ezzel f = 6 l- f = és l+ f- = 6 Mst a két egenlet összegéből l = 9, amiből nem kapunk l-e egész megldást l- f = és l+ f- = Ekk l =, és ezzel f =, de ez sem lehetséges, hiszen a feltételek szeint mindkét nemből -nél többen vltak a észtvevők Ezek szeint csak l = 7 és f = 6 lehetséges Tehát a tásaságban összesen személ vlt, íg amik mindenki mindenkivel kccinttt összesen $ = 78 kccintás hallatsztt 6 E Eg knve 7-szög minden élét és átlóját pisa, zölde vag ságáa festettünk Igazljuk, hg báhgan is színeztünk, lesz lan hámszög, melnek csúcsai a 7-szög csúcsai, és minden ldala uganlan színű! A knve 7-szög valamel P csúcsából (minden csúcsából) 6 szakasz indul ki Mivel ezeket hámféle színnel festettük be, ezét a skatula-elv alapján kell lenni közöttük 6 db lannak, melek azns színűek (pl pisak) Tekintsük ezt a hat db pis szakaszt; legen ezek másik végpntja: A, A, A, A, A, A6 Ha az A Af A6 knve hatszögnek valamel ldala, vag valamel átlója pis, akk készen vagunk, hiszen e hatszög minden ldala és minden átlója eg lan hámszögnek ldala, melnek má van két pis ldala Ha az A Af A6 knve hatszögnek nincs sem pis ldala, sem pis átlója, akk e hatszög minden ldala és minden átlója zöld vag sága A A A A P A 6 A AAA E hatszög valamel csúcsából (minden csúcsából) pl A -ből db szakasz indul ki Mivel ezek kétféle színnel vannak kiszínezve, ezét kell lennie ezen db vnal között hám azns színűnek Legenek ezek AA, AA és AA, és legenek pl zöldek Ha az hámszögnek valamel ldala zöld, akk készen vagunk Ha visznt e hámszög egik ldala sem zöld, akk mindhám ldala sága kell, hg legen, s íg ekk is készen vagunk A A A A ÉVFOLYAM

26 8 MATEMATIKA II GRÁFOK 7 E Bejáható-e az -szö -ös sakktábla lóugással úg, hg minden mezőe pntsan egsze lépjünk és visszatéjünk a kiinduló mezőe? A lóugásnál mindig színt váltunk, világs mezőől sötéte lépünk és fdítva A lépésben ismét a kiinduló mezőn kellene állnunk, de ez lehetetlen, met minden páatlan sszámú lépéssel a kezdő mezővel ellenkező színe lépünk 8 E Rajzljuk meg eg vnallal, a ceuzánk felemelése nélkül az ábán látható gáfkat! a) b) c) d) a) c) b) d) 9 E Miét nem lehet eg vnallal, a ceuzánk felemelése nélkül az ábán látható gáfkat megajzlni? a) b) a) Kettőnél több páatlan fkszámú csúcsa van b) Kettőnél több páatlan fkszámú csúcsa van ÉVFOLYAM

27 II GRÁFOK 0 E Miét nem lehet a fetődi Esteház-kastél pakjában (ába) eg lan sétát tenni, amel sán minden útn áthaladunk egsze és az indulási hele visszajutunk? MATEMATIKA 9 Van páatlan fkszámú csúcs, ezét nem lehet a feltételeknek megfelelően végig jánia a pak útjait ÉVFOLYAM

28 III HATVÁNYOZÁS, LOGARITMUS MATEMATIKA III Hatvánzás, lgaitmus Mit tudunk a hatvánkól, gökökől (ismétlés) K Végezzük el a kijelölt hatvánzást, és íjuk fel az eedmént tötmentes alakban! ^ h $ ^ h a) ; b) ab c – m -7 ^ h $ ^ h a b c – ^ h $ ^ h -6 6 a) $ , ahl 0 7 = = $ $ $ = – – ^ h $ ^ h $ b) ab a b c a b a b a b, ahl a 0, b 0 – m = 6-0 = = a b ab K Melik szám nagbb: A vag B? a) A, ; b) A, B = 0 0 B = 0 0 = = a) A = 0 = ^0 h = 00, B = 0 0, tehát A B b) Íjuk mindkét tötet nevezőjű töt alakban! A 7, B 8 = =, tehát 9 = = A B 8 + = + = – – K Mivel egenlő a megadtt kifejezés étéke, ha a, b, a + b = =? – – a – b a a + b – b a b = – a b Bővítsük a kaptt tötet ab -vel: + a b b a + = + = = + =- b a a b K Állítsuk nagság szeint növekvő sendbe a megadtt számkat. Előszö hasnlítsuk össze az első két menniséget; íjuk át őket gökös alakba: = = 8, = = 6, tehát > Mst hasnlítsuk össze a másdik és a hamadik menniséget; íjuk át őket 0 gökös alakba: = = 0, = = 6, tehát > A két eedmént egbevetve azt kapjuk: > > ÉVFOLYAM