MATEMATIKA 7. Munkafüzet Megoldások OFI 2015

A liberális vagy angolszász gazdasági és szociális modell a jóléti államot, . markáns sajátosság miatt – a jóléti állam szervezése és menedzsmentje terén .

Ofi Nyelvtan Munkafüzet Megoldások 7 | Matematika 7. Munkafüzet Megoldások Ofi 2015 | Verse, Bard, Doga

Celldömölk: Apáczai, 2000 Ötösöm lesz fizikából: Feladatok és megoldások Budapest: Műszaki Kvk., 2002 Pálinkás Mihály Budapest: Nemz. Tankvk., 2004 Feladatok, rejtvények történelemből 8. : Megoldások Budapest: Műszaki Kvk., 2006 Sokszínű matematika 5: Munkafüzet: [ Megoldások] Szeged: Mozaik, 2008 Széman Zsuzsa Az időskorúak gondozásának problémái ─ innovativ megoldások Demográfia. – 37. (1994) 3-4., p. 399-407.

MATEMATIKA 7. Munkafüzet Megoldások OFI 2015

A kiadvány megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 2. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5–8. évfolyama számára 2.2.03. előírásainak. Tananyagfejlesztő: GEDEON VERONIKA, PARÓCZAY ESZTER, SZÁMADÓ LÁSZLÓ, TAMÁS BEÁTA, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA Tudományos szakmai szakértő: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai szakértő: ILLÉS JÁNOS Olvasószerkesztő: DARCSINÉ MOLNÁR EDINA Fedélterv: OROSZ ADÉL Látvány- és tipográfiai terv: GADOS LÁSZLÓ, OROSZ ADÉL IIlusztráció: LÉTAI MÁRTON Szakábra: SZALÓKI DEZSŐ Fotók: Flickr, WikimediaCommons, Wikipedia, Alan Light, Kováts Borbála, Márton Tünde, Wintsche Gergely A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978‐963‐682‐821‐9 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József főigazgató Raktári szám: FI‐503010702 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Márton Tünde Nyomdai előkészítés: Gados Dániel, Lőrinczi Krisztina Terjedelem: 16,48 (A/5 ív), tömeg: 297,1 gramm 1. kiadás, 2015 A kísérleti tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program 3.1.2-B/13-2013-0001 számú, „A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése” című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte: Felelős vezető: A nyomdai megrendelés törzsszáma:

Európai Szociális Alap

III. Geometriai transzformációk I. Gondolkodjunk! .

1. Számold össze! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Rendezd sorba! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Kiválasztások. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Igazold! Cáfold! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Matematikai játékok. . . . . . . . . . . . . . . . 6. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Fontos geometriai fogalmak . . . . . . . 2. Síkidomok, testek . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Geometriai transzformációk. . . . . . . . 4. Középpontos tükrözés . . . . . . . . . . . . 5. A középpontos tükrözés alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Szögpárok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Középpontos és tengelyes szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Paralelogramma és deltoid . . . . . . . . . 9. A paralelogramma területe . . . . . . . . . 10. A háromszög területe. . . . . . . . . . . . . . 11. A trapéz területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. A deltoid területe . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Középpontosan szimmetrikus alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Szerkesztések. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Racionális számok I. Gondolkodjunk! . . .és . . hatványozás . 1. Az egész számok tulajdonságainak áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. A törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Törtek összeadása, kivonása . . . . . . . . 4. Törtek szorzása, osztása. . . . . . . . . . . . 5. Törtek tizedes tört alakja . . . . . . . . . . . 6. Műveletek tizedes törtekkel . . . . . . . . 7. Szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Zárójelfelbontások, összetett műveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Nagy számok és a hatványalak . . . . . . 10. A hatványozás azonosságai I. . . . . . . . 11. A hatványozás azonosságai II. . . . . . . 12. Normálalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 47 48 49 51 53 54 56 57 59 60 61

16 17 20 22 24 25 26 29 32 33 34 35 36

IV. Oszthatóság, egyenletek I. Gondolkodjunk! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 .7

V. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Gondolkodjunk!

1. Számelmélet – A tanult ismeretek áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Összetett számok prímtényezős felbontása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Osztó, többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Legnagyobb közös osztó . . . . . . . . . . . 5. Legkisebb közös többszörös . . . . . . . . 6. Egy kis logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . 8. Készítsünk magunknak oszthatósági szabályokat! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Matematikai játékok. . . . . . . . . . . . . . . 10. Arányosságról még egyszer . . . . . . . . 11. Mi tudunk a százalékszámításról? . . . 12. Összetett százalékszámítási feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Számok és betűk használata . . . . . . . . 15. Egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . 16. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Egybevágó háromszögek . . . . . . . . . . . 2. Összefüggések a háromszög oldalai, szögei között . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. A háromszög és a köré írt köre . . . . . . 4. A háromszög és a beírt köre . . . . . . . . 5. Magasságvonalak a háromszögben . . 6. Súlyvonalak és középvonalak a háromszögben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Sokszögek szögei és átlói . . . . . . . . . . . 8. A kör kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. A kör területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. A hasáb felszíne és térfogata . . . . . . . . 11. A henger felszíne és térfogata . . . . . . . 12. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 65 67 68 69 71 72 74 75 76 77

95 97 98 99 101 103 105 107 109 110 112

79 81 83 85 88 90 VI. Függvények, statisztika . . . . . . . . . . . 114 I. Gondolkodjunk! 1. Két halmaz közötti hozzárendelések . . 2. Függvények és grafikonjaik . . . . . . . . . . 3. Olvassunk a grafikonról! . . . . . . . . . . . . 4. Ábrázoljunk képlet alapján! . . . . . . . . . 5. Keressünk szabályokat! . . . . . . . . . . . . . 6. Átlag, módusz, medián . . . . . . . . . . . . . 7. Gyakoriság, relatív gyakoriság . . . . . . . 8. Valószínűség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 116 118 120 122 125 126 127 128

Válaszolj az alábbi kérdésekre!

45 a) Hány darab kétjegyű páratlan szám van? . 450 b) Hány darab háromjegyű páros szám van? . 3000 c) Hány darab hárommal osztható négyjegyű szám van? . 2 A Vas családnak piros és sárga tányérkészlete van, de minden színből már csak négy darab. A kör alakú ebédlőasztalra ezekkel a piros és sárga tányérokkal szeretnének megteríteni öt személy részére. Add meg az összes terítési lehetőséget! A forgatással egymásba átvihető terítéseket nem tekintjük különbözőeknek. Lehet, hogy több ábrát rajzoltunk, mint amennyire szükséged lesz.

6 lehetőség van. Vagyis összesen …….……. 3 Az ábra négyzeteibe az A, B, E, F, O, P betűket kell beírnod a következők szerint: − sem két magánhangzó, sem két mássalhangzó nem kerülhet oldalukkal szomszédos négyzetekbe; − a betűknek balról jobbra haladva mindkét sorban ábécésorrendben kell szerepelniük; Egy beírásnál mind a hat betűt pontosan egyszer kell felhasználnod. Hány kitöltést tudsz készíteni a megadott szabályok szerint? Lehet, hogy több ábrát rajzoltunk, mint amennyire szükséged lesz. 4 kitöltés készíthető. Vagyis összesen …….…….

4 A bűvös négyzeteket a középkorban a különleges tulajdonságaik miatt tartot16 3 2 13 ták bűvösnek, és talizmánként is hordták. Voltak, akik úgy gondolták, hogy ezek 5 10 11 8 a négyzetek megóvják viselőjüket mindenféle bajtól. A tankönyvben Dürer híres Melankólia című metszetén is láthatsz egy ilyen négyzetet. Az alsó sor középső két 9 6 7 12 száma a kép készítésének az évét is megadja: a metszet 1514-ben készült. Ennek a 4 15 14 1 négyzetnek a bűvös száma a 34, azaz minden sorban, minden oszlopban és a két átlóban is ennyi a négy szám összege. A tankönyv egyik feladatában olyan további számnégyeseket is találtunk, amelyeknek az összege szintén 34. Színezz be olyan számnégyeseket, amelyek nem egy sort, oszlopot vagy átlót alkotnak, és a számok összege 34! 16 3

5 Az ábra négyzeteibe az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokat kell beírnod a következők szerint: − a szomszédos páros számok (például a 2 és a 4) nem kerülhetnek oldalukkal szomszédos négyzetekbe; − az 1, 3, 5 számoknak balról jobbra haladva a megadott sorrendben kell egymás mellett szerepelniük.

Egy beírásnál mind a hat számot pontosan egyszer kell felhasználnod. Hányféle, a szabályoknak megfelelő beírás létezik? Rajzold le az eseteket!

8 kitöltés készíthető. Vagyis összesen …….…….

6 A harminckét lapos magyar kártyából kivesszük a négy ászt. A piros, zöld, makk és tök ászhoz még hozzávesszük a piros és a makk királyt is. Ezt a hat lapot az ábrán látható elrendezésben az asztalra kell rakni (két sor, három oszlop). A piros ász és a piros király a felső sorban, a makk ász és a makk király pedig az alsó sorban kell egymás mellett legyen, sőt a két királynak mindig egy oszlopban kell elhelyezkednie. A mellékelt ábra mutat egy megfelelő elhelyezést. Keresd meg a megadottól különböző összes helyes elrendezést! Lehet, hogy több ábrát rajzoltunk, mint amennyire szükséged lesz. P K

Ugyanez a hat elrendezés a TA és a ZA felcserélésével is jó:

12 elhelyezés létezik. Vagyis összesen …….…….

1 Készíts háromjegyű számokat a képen látható számkártyák mindegyikének felhasználásával! Sorold fel az összes esetet! Hány esetben kaptál négyzetszámot? 144, 414, 441. 3 Ez összesen: …….……. darab. Háromjegyű számok: ………………………….……….…….……. 144, 441. 2 Négyzetszámok: ………………………….…….… Vagyis …….……. négyzetszám van közöttük.

a) Add meg a 3, 4, 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával kapható háromjegyű számokat!

345, 354, 435, 453, 534, 543. . 6 Vagyis …….……. darab van. b) Add meg a 6, 7, 8, 9 számjegyek mindegyikének felhasználásával kapható négyjegyű számokat! 6789, 6798, 6879, 6897, 6978, 6987, 7689, 7698, 7869, 7689, 7968, 7986, 8679. 8697, 8769, 8796, 8967, . 8976, 9678, 9687, 9768, 9786, 9867, 9876. . 24 Vagyis …….……. darab van. 3 A tanterem előtt három lány és négy fiú áll. Hányféle sorrendben léphetnek a terembe, ha a fiúk előre engedik a lányokat? ·2·1=6 A lányok belépési sorrendjeinek a száma: 3. 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24. A fiúk belépési sorrendjeinek a száma: . 6 ∙ 24 = 144 Az összes sorrend: . 4 Az A, B, C és D pontok egy négyszög négy csúcsát adják. Valamilyen sorrendben összekötöttünk közülük hármat, így rajzoltunk egy háromszöget. Hányféleképpen rajzolhattunk háromszöget, ha az összekötés sorrendje is számít? 24. Az esetek száma: ………………………. Az ABC, ABD, ACD és BCD háromszögeket rajzolhatjuk. Mind a négy esetben hatféle Indoklás: . lehet a sorrend, ezért 4 · 6 az esetek száma. . 5 A számpiramisban a sorokon belül tetszőlegesen megváltoztathatod a számjegyek sorrendjét. Hányféle piramis van, ha ragaszkodsz ahhoz, hogy minden sor kettessel kezdődjön, és az 5-ös helyét sem változtatod? Töltsd ki a piramisokat szemléltető ábrákat! Lehet, hogy több ábra van, mint amennyire szükséged van.

4 darab Vagyis …….……. ilyen piramis van.

6 A tankönyvben olvashattál a Négyszögletű Kerek Erdő lakóinak költői versenyéről (Lázár Ervin: A Négyszögletű Kerek Erdő). Ezen a versenyen Aromo, a fékezhetetlen agyvelejű nyúl ezt írta: e szabobán lakak itt bint . bálömböki bag ú fan i szebabon lákak att bint . balámbökö big a fún búlambákö bög i fan i szibeban lokák att bant . balúmbaká bög ö fin a szibiben lakok átt bant . bilambúka bág ö fön bölimbakú bag á fön a szabibin lekak ott bánt . bölömbika búg a fán á szababin likek att bont . Figyeld meg a „vers” szerkezetét! Hány soros írás készíthető ezzel a módszerrel, ha az utolsó mondatát megadjuk? Írd le az így kapott „verset”!

o szábaban likik ett bant . a szobában lakik itt bent . Lehetséges, hogy több vonal van, mint amennyire szükséged lesz. 8 darab. Vagyis a sorok száma: …….…….

1 Egy kisiparos az alábbi szöveggel hirdeti magát: Olcsón, jól és gyorsan dolgozom! Ön ezek közül kettőt választhat! Hányféle választásod lehet, ha ezzel az iparossal szeretnél dolgoztatni? Sorold fel az eseteket! Olcsón és jól, olcsón és gyorsan, jól és gyorsan. . 3 Vagyis …….……. eset van. 2 A 16 fős csoportban az óra elején két kiválasztott fog felelni. Hányféleképpen történhet a kiválasztás, ha a feleletek sorrendje nem számít? 120. A kiválasztások száma: …….…….

3 A PÉTER név betűiből ki kell választanod kettőt minél több módon, és azokat abc sorrendben felsorolva leírni. Sorold fel a kiválasztásaidat! EÉ, EP, ER, ET, ÉP, ÉR, ÉT, PR, PT, RT. . 10 Vagyis …….……. a választások száma.

4 Az ÁGNES név betűiből ki kell választanod hármat minél többféleképpen, és azokat abc sorrendben felsorolva leírni. Sorold fel a kiválasztásaidat! Megtaláltad az összeset? ÁEG, ÁEN, ÁES, ÁGN, ÁGS, ÁNS, EGN, EGS, ENS, GNS. . 10 Vagyis …….……. a választások száma. 5 A fagylaltozóban kilencféle fagylalt kapható. Egy osztály tanulói fagyizni mentek, s mindenki két különböző ízű fagylaltot kért. Hány fős lehet az osztály, ha senki sem kért ugyanolyan párosítást? 36 fő. Az osztály létszáma: …….…….

6 Egy sakkfeladványt hét bábuval lehet kirakni a táblára: négy világossal és három sötéttel. Tudjuk, hogy a világos és a sötét királynak is a táblán kell lenni, továbbá nincs két azonos világos és nincs két azonos sötét bábu sem a táblán. Hányféle módon választhatjuk ki a bábukat ehhez a feladványhoz? FB, FV, GH, GB, GV, HB, HV, BV. Az esetek száma: …. 10 darab. …….………….…….…….…….…… A sötét bábuk ezek lehetnek: (K+) FG, FH, (K+) FGH, FGB, FGV, FHB, FHV, FBV, GHB, GHV, GBV, HBV. A világos bábuk ezek lehetnek: ………………….…….…….……….…….…… 10 darab. Az esetek száma: …. 100 darab. Az összes eset száma: …….…….

1 Fogalmazd meg a következő állítások megfordítását! Döntsd el, hogy melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)! Cáfold a hamis állításokat! H a) Ha egy négyszög két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú, akkor az téglalap. Ha egy négyszög téglalap, akkor két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú. I Megfordítása: . Például a paralelogramma két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú, mégsem téglalap. Cáfolat: . b) Ha egy gyümölcs piros, akkor az alma.

Ha egy gyümölcs alma, akkor piros. H Megfordítása: . Például az eper is piros, mégsem alma. A zöldalma nem piros és mégis alma. Cáfolat: .

2 A következő mondatokat szedd szét két állításra! Döntsd el, hogy igazak-e az így kapott állítások! a) Egy háromszög akkor és csak akkor hegyesszögű, ha a legnagyobb szöge hegyesszög. . Ha egy háromszög hegyesszögű, akkor a legnagyobb szöge hegyesszög. I . . Ha egy háromszög legnagyobb szöge hegyesszög, akkor hegyesszögű. I . b) Egy hányados, akkor és csak akkor egyenlő 1-gyel, ha az osztó és az osztandó egyenlő. . Ha egy hányados egyenlő 1-gyel, akkor az osztó és az osztandó egyenlő. I . . Ha egy hányadosban az osztó és az osztandó egyenlő, akkor egyenlő 1-gyel. I . 3 A Van olyan négyzet, amelyik nem téglalap állítás tagadása: Nem igaz, hogy van olyan négyzet, amelyik nem téglalap. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Minden négyzet téglalap. Az eredeti állítás hamis, a tagadása igaz! Ezek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Dönts, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan deltoid, amelyik nem rombusz.

Minden deltoid rombusz. H Tagadása: . b) Van olyan állat, amelyik nem kétlábú.

Minden állat kétlábú. H Tagadása: . c) Van olyan test, amelyik nem négycsúcsú.

Minden test négycsúcsú. H Tagadása: . 4 A Van olyan háromszög, amelyben két tompaszög található állítás tagadása: Nem igaz, hogy van olyan háromszög, amelyben két tompaszög található. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Nincs olyan háromszög, amelyben két tompaszög található. Az eredeti állítás hamis, a tagadása igaz! Ezek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Dönts, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan négyszög, amelyben két derékszög van.

Nincs olyan négyszög, amelyben két derékszög van. H Tagadása: . b) Van olyan közlekedési eszköz, amelyiknek két kereke van.

Nincs olyan közlekedési eszköz, amelyiknek két kereke van. H Tagadása: . c) Van olyan konvex sokszög, amelyiknek öt átlója van.

Nincs olyan konvex sokszög, amelyiknek öt átlója van. H Tagadása: .

1 Az ábrán a beszorítós nevű játék tábláját láthatod. A játékban az ellenfél mozgásának megakadályozása a cél. Mindkét játékosnak két bábuja van, ami lehet például két-két kupak is. Kezdéskor az egyik játékos a négyzet két alsó sarkába két kék kupakot helyez, a másik játékos pedig a négyzet két felső sarkába két piros kupakot. (A lényeg, hogy két-két azonos színűt.) A kupakok a vonalak mentén tolhatók át az egyik szomszédos mezőről a másikra. Az a játékos győz, amelyik „beszorítja” a társát, vagyis megakadályozza a mozgását. Szinte gondolkodás nélkül, gyorsan kell játszani! Ha sokáig nem sikerül egymást beszorítani, akkor egyezzetek meg a döntetlenben! Ez azt jelenti, hogy mindketten nagyon figyelmesek voltatok. Ebben a játékban csakis a figyelemnek van szerepe, mivel a győzelem tévesztésen alapul. Hányféleképpen helyezkedhet el a tábla öt mezőjén a két piros és a két kék korong? Ha az ábra tengelyes szimmetriájától eltekintünk, akkor az esetek száma: 30. Az esetek száma: …….……. Az öt helyre a két piros korongot 10-féleképpen tehetjük le, és a maradék három helyből Indoklás: . az üres helyet mind a 10 esetben 3-féleképpen választhatjuk. . Rajzold le vázlatosan azokat az eseteket, amikor a bal felső sarok piros!

2 Ismered a malom nevű játékot? Most megismerheted ennek az egyszerű változatát. A neve is ez: egyszerű malom. A játék táblája könnyen elkészíthető: az ábrán látható módon összekötött kilenc körből áll. A játékhoz négy-négy azonos színű bábu kell. Az egyikk játékosé legyen négy piros kupak, a másik játékosé négy kék. A játék célja, hogy három bábunkat vízszintesen vagy függőlegesen egy vonalba állítsuk, azaz malmot hozzunk létre. A játékosok a játék első részében egy-egy bábut helyeznek a táblára felváltva. A kezdő lépésben nem szabad a középső mezőt elfoglalni! (Ebben az esetben a játékot a kezdő és figyelmesen játszó játékos nyerné.) Ha már mind a nyolc bábu a táblán van, akkor azok a vonalak mentén áttolhatók valamelyik szomszédos mezőre. Az a játékos lesz a győztes, aki előbb épít malmot! A játék nehezíthető, ha a bábuk számát három-háromra csökkentjük. a) A piros bábukkal játszó játékos kezd. Hányféle táblakép alakulhat ki két piros és egy kék bábu felhelyezése után, ha a kék bábuval játszó játékos azonnal elfoglalja a középső mezőt? Az esetek száma: A szimmetriától eltekintve az esetek száma: 28. első piros bábu 8 helyre kerülhet, a kék bábu biztosan a középső mezőre kerül, majd a máso. Indoklás: Az dik piros a maradék 7 helyre kerülhet. Ez 8 · 7 = 56 esetet jelent, de a táblakép szempontjából lényegtelen, . hogy a két piros bábut milyen sorrendben tettük a táblára. Ezért 56 : 2 = 28 esetet számolhatunk meg. b) Hányszorosára nő az esetek száma, ha az előzőek után még egy kék bábu felkerül a táblára? Hatszorosára, mert a maradék 6 hely bármelyikére kerülhet a kék bábu. . 3 Két játékos felváltva ejti be színes korongjait az általuk elgondolt helyre a képen látható játék tetején lévő nyílásokon keresztül. Az lesz a győztes, akinek előbb lesz négy egyforma színű korongja egy sorban, egy oszlopban vagy átlósan. a) Hányféle változat alakulhat ki a képen egy sárga korong bedobása után? 7. Esetek száma: …….……. b) Hányféle változat alakulhat ki a képen egy sárga, majd egy piros korong bedobása után? 49. Esetek száma: …….……. c) Hányféleképpen képzelhető el egy sorban két piros és öt sárga korong úgy, hogy az öt sárga korong ne legyen egymás mellett? 18. Esetek száma: …….……. Indoklás: Ha a két piros helyét tetszőlegesen választhatnánk, akkor

21 esetet kapnánk, de ezek

közül a PPSSSSS, PSSSSSP, SSSSSPP esetek nem lehetségesek, tehát a 21-ből ki kell vonnunk hármat.

Írd fel a 0, 5, 7, 9 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával képezhető összes négyjegyű

5790, 5970, 7590, 7950, 9570, 9750. a) páros számot: . 5079, 5097, 5709, 5907, 7059, 7095, 7509, 7905, 9057, 9075, 9507, 9705. b) páratlan számot: . 5870, 7590, 7950, 9570, 9750, 7095, 7905, 9075, 9705. c) öttel osztható számot: 5790, . 2 Anna, Borbála, Csilla és Dorka egyaránt a hónap utolsó napján született, de mindegyikük születési dátumában eltérő a nap sorszámát jelölő szám. Ki hányadikán születhetett, hányféle eset lehetséges? 24 darab. Az esetek száma: …….……. A születési dátumokban a hónap utolsó napjai 31, 30, 29, és 28 lehetnek, vagyis csak azt kell Indoklás: . eldönteni, hogy hányféle sorrendben osztható ki ez a négy szám Annának, Borbálának, Csillának és . Dorkának. . 3 Ágnes karkötőjén négy különböző medál van: csillagos szív, ragyogó levelek, szikrázó virágok és szerencsekocka. Hányféle sorrendben fűzheti fel ezeket a karkötőjére? 24 darab. A sorrendek száma: …….……. Elsőként 4 közül választja ki, hogy melyiket fűzi fel, máIndoklás: . sodszorra 3 közül, harmadszorra 2 közül, negyedszerre pedig már . nem választhat, a negyediket fűzi fel. Ez összesen 4 · 3 · 2 · 1 = 24 eset. 4 Anna újításként a hatlapú sütemény három lapját csokikrémmel, három lapját pedig lekvárral szeretné bekenni. A süti felvágása után a csokicsíkok barnának, a lekváros csíkok pirosnak látszanak. Hányféle változatban készítheti el Anna a süteményt? Két sütemény különböző, ha bennük a rétegek színei eltérnek egymástól. 20 darab. A változatok száma: …….……. A lehetséges sorrendek a következők: Indoklás: . CCCLLL, CCLCLL, CCLLCL, CCLLLC, CLCCLL, CLCLCL, CLCLLC, CLLCCL, CLLCLC, CLLLCC, . LCCCLL, LCCLCL, LCCLLC, LCLCCL, LCLCLC, LCLLCC, LLCCCL, LLCCLC, LLCLCC, LLLCCC. Másként: Ha a tetejét nem vesszük figyelembe, akkor a maradék öt lap közül hármat 10-féleképpen tudunk azonos ízű krémmel megkenni (fel tudjuk sorolni). A felső lap kétféle lehet, ezért 2 · 10 = 20 az összes változat száma. 5 Hány darab 4-gyel osztható szám készíthető az 0, 2, 4, 6, 8 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával? 60 darab. Az esetek száma: …….……. A néggyel való oszthatóság feltétele az, hogy az utolsó két számjegyből képzett kétjegyű Indoklás: . szám osztható legyen 4-gyel. Az utolsó két helyi értéket megvizsgálva kiderül, hogy az egyesek helyén . nem állhat 6 és 2, az összes többi esetben 4-gyel osztható kétjegyű számot kapunk. Tehát a 0, 8 és a 4 kerülhet oda. Ezek közül a 0 elé 24-féleképpen, a 8 és a 4 elé 18-féleképpen írhatjuk be a maradék négy számjegyet ahhoz, hogy ötjegyű számot kapjunk, ez összesen 24 + 18 + 18 = 60 eset.

6 Fogalmazd meg a következő mondatok megfordításait! Minden esetben dönts, hogy melyik igaz és melyik hamis! Az állításokban szereplő számok egészek. a) Ha egy kéttagú összeg osztható hárommal, akkor a két tag is osztható hárommal.

Megfordítása: . Ha két szám osztható hárommal, akkor az összegük is osztható hárommal. I . b) Ha egy kéttényezős szorzat osztható öttel, akkor legalább az egyik tényező osztható öttel.

Ha két szám közül legalább az egyik osztható öttel, akkor a szorzatuk is Megfordítása: . osztható öttel. I . c) Ha egy egész szám osztható 50-nel, akkor a végződése 50.

Megfordítása: . Ha egy egész szám végződése 50, akkor osztható 50-nel. I . d) Ha egy számban minden számjegy pontosan egyszer szerepel, akkor az nagyobb, mint 1023 millió. I Ha egy szám nagyobb, mint 1023 millió, akkor minden számjegy pontosan egyszer Megfordítása: . szerepel benne. H . 7

Fogalmazd meg a következő állítások tagadását!

a) Minden medve szereti a mézet. Van olyan medve, amelyik nem szereti a mézet. Tagadása: . b) Nincs olyan medve, amelyik fehér. Van olyan medve, amelyik fehér. Tagadása: . c) Van olyan medve, amelyik barna. Nincs olyan medve, amelyik barna. Tagadása: . d) Minden medve tud fára mászni. Van olyan medve, amelyik nem tud fára mászni. Tagadása: .

AZ EGÉSZ SZÁMOK TULAJDONSÁGAINAK ÁTTEKINTÉSE

1. 1 Fogalmazd meg, mit értünk egy szám abszolút értékén! Egy szám abszolút értéke a 0-tól való távolsága. . 2 Válaszolj az alábbi kérdésekre! Melyik az a szám, a) amelyet hozzáadva egy számhoz az eredeti számot kapjuk; 0 . b) amellyel megszorozva a számot, az eredeti számot kapjuk; 1 . c) amelyet hozzáadva a számhoz 0-t kapunk; a szám ellentettje . d) amelyet hozzáadva az eredeti számhoz a szám ellentettjét kapjuk? a szám ellentettjének kétszerese . 3 Egy dolgozat javításakor az alábbiakat olvastuk. Döntsd el, melyek az igaz állítások! A hamisakat javítsd ki! a) Két pozitív szám közül az a nagyobb, amelyiknek az abszolút értéke nagyobb. . I b) Egy pozitív és egy negatív szám közül az a nagyobb, amelyiknek az abszolút értéke nagyobb. . H Hamis, mert a pozitív szám mindig nagyobb, mint a negatív szám. c) Minden egész szám abszolút értéke pozitív egész szám. . H Hamis, mert a 0 abszolút értéke nem pozitív. d) Két negatív egész szám abszolút értéke közül az a nagyobb, amelyik távolabb van a 0-tól. . I 4 Csoportosítsd az alábbi műveletsorok tagjait úgy, hogy minél egyszerűbben elvégezhesd a műveleteket! Kösd össze nyilakkal a műveletsorokat, a nyíl a nagyobb végeredményű művelet felé mutasson! 456 – 268 + 554 – 732 = (456 + 554) – 268 – 732 = 1010 – 1000 = 10 1285 + 521 + 2479 + 1715 = (1285 + 1715) + (521 + 2479) = 6000 5632 + 4287 + 1368 + 2713 = (5632 + 1368) + (4287 + 2713) = 7000 + 7000 = 14 000 –1028 + 3470 – 972 + 4530 = (–1028 – 972) + (3470 + 4530) = –2000 + 8000 = 6000 1897 – 4315 – 1685 + 2103 = (1897 + 2103) – 4315 – 1685 = 4000 – 6000 = –2000

RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

5 Töltsd ki a számpiramis üres tégláit úgy, hogy mindegyik téglalapban lévő szám az alatta lévő két téglalapban szereplő szám összege legyen!

28 456 135 2031

AZ EGÉSZ SZÁMOK TULAJDONSÁGAINAK ÁTTEKINTÉSE

Összeadtunk 9 egymást követő egész számot, így 0-t kaptunk. Melyik volt a legnagyobb szám?

Az összeadandók közül a 0 volt a középső szám, így a 4 a legnagyobb szám. . 7

Összeadtunk 11 egymást követő egész számot, így 121-et kaptunk. Melyik volt a legnagyobb szám? A 121 = 11 ∙ 11, tehát a 11 a középső szám. A számokat tehát 6-tól 16-ig kell összeadni, ezért a 16 a . legnagyobb szám. 8 a) Töröljünk a 2959-es számból egy számjegyet úgy, hogy a megmaradó háromjegyű szám a lehető legkisebb legyen! A megmaradt szám akkor lesz a legkisebb, ha a lehető legnagyobb helyi értékről töröljük a . legnagyobb számot. Ezért a százas helyi értékről törölnünk kell a 9-est. Az így kapott szám a 259. b) Töröljünk a 291 919-es számból két számjegyet úgy, hogy a megmaradó négyjegyű szám a lehető legnagyobb legyen! Az a) feladatban kifejtett logika alapján most az a cél, hogy a legnagyobb megmaradó számjegyek . kerüljenek előre, azaz minél nagyobb helyi értékre. A lehető legnagyobb szám a 9919.

Fogalmazd meg, mit nevezünk racionális számnak!

Racionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám . hányadosaként. . .