Matematika 9 osztály megoldás

4. óra Szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok. 5. Feladat. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket kiemeléssel! a.) 3a + 3b = b.) 5ab – 10ac =.

ofi matematika 9 megoldások

A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai . Vegyes feladatok . . egyenlete, egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele . . . 95.

Mérés, arányosság, szöveges feladatok . . Szöveges feladatok a hétköznapjainkban. . d) Az a)–c) feladatok végeredményeit írd növekvő sorrendbe!

10 gyerek ül egy kör alakú asztal körül, fiúk és lányok vegyesen. . megevendő részeket, akkor elérheti, hogy végül legfeljebb egy kocka csoki maradjon.

Hány olyan húszjegy¶ szám van, amelyben minden számjegy pontosan kétszer . els® ember bárhová ülhet, majd az általa elfoglalt asztal maradék négy helyére.

A dolgozat hat feladatból fog állni, melyekkel a középiskolai legfeljebb érettségi szintű feladatok és az általános iskolai egyszerűbb versenyfeladatok .

Minta feladatsor. A feladatok elkészítésére 90 perc áll rendelkezésre. Számológép, körző, vonalzó, függvénytábla használata megengedett.

13 нояб. 2020 г. . egész számokat úgy, hogy minden körben a közvetlenül felette lévő két szám különbsége állt. (Mindig a nagyobb számból vonjuk ki a kisebbet.) .

Elméleti feladat I. kategória (Grafika, Komplex I.) . Keress Paint és a Word programmal kapcsolatos szavakat (oda-vissza, átlósan is)!.

szamárfül tyúk/macskaszem egérfogó sasorr pókhas lúd/kacsaláb nyúlszáj darázsderék. Állatintarziák. Írj be állat, állatfajta nevet a.

Bartos Erika: Bárányhimlő (részlet). Pöttyös párnán . Bartos Erika: Bicikli . http://szabotanna.com/versek/gyerekversek/szabo-t-anna-nagytakaritas-.

despotikus hatalom; uralkodók elnevezése, nem az uralom formája. – arab számok; indiai eredetű, míg a többi kínai. 7. Xerxész: perzsa uralkodó, i. dareiosz .

SKAL (International Association of Tourism and Travel Professionals – . poharak, konyhai használati eszközök gépi mosogatást követő öblítésére.

Kacsamesék. Itt az élet hurrikán, mert ez Hapburg. Laserjet és éroplán – ez mind Hapburg. Dagobert bácsi, kacsamesék. 7. Micimackó.

2 сент. 2018 г. . 17-19// Egyedi méretű hirdetések. 20// 1/3 képes programkiemelés . 22–23// Egyedi programkiemelés . Swinger. szín. fel. dán romkom 99 p.

12 мар. 2014 г. . Megoldások. 9. osztály. 4. Feladat. Hány valós megoldása van a 3[x]=2×2 +x−4 egyenletnek? ([x] az x valós szám egészrészét jelenti.).

Elektromos áram, vagy napelem működteti. Fali . lehetőség van a ponyva automatikus leeresztésére, így az alacsony napállás . Patio (terasz). 11 608 Ft.

Ezek alapján az egyenes egyenlete: 2 + = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 5. →. 2 + = 9. Párhuzamos esetén az egyenes normálvektora az normálvektora: .

Határozd meg a következő vektorok skaláris szorzatát! a) ⃗⃗ ( ; − ) és ⃗⃗ . A feladat szövege alapján ( + 2 ⃗) ∙ (5 − 4 ⃗) = 0.

Egy lehetséges megoldás a következő: A halmazok legyenek egy háromszög alapú . Mivel = −1 nem felel meg a feladat szövegének, így nincs megoldás.

Számítsd ki továbbá a következőket is: módusz, medián, terjedelem, számtani közép, szórás. Szemléltesd a dolgozat eredményeit oszlop – , illetve kördiagram .

A szöveg alapján írjuk fel a rekurzív sorozat általános képletét: . Egy sorozat elemei pozitív egész számok, a harmadiktól kezdve mindegyik elem az.

Pop szegecs – a lemezprofilok egymáshoz rögzítésére. Betonszerkezetekhez. FELHASZNÁLÁS. Panel típusa – panel vastagsága. MÉRETEI. IsoPer – 30, 40, 50.

2 = 50 803 200. 26. Moziba megy fiú (Attila, Csaba, Elemér, Géza) és lány (Bea, Dia, Flóra, Helga). Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé, ha.

összesen 496:16 = rőf szövetet akart vásárolni a magyar szabómester. 2.) Józsi bácsi birtoka 7600 négyszögöl szántóföld és 3 és fél hold erdő, .

csimpánzokat is kedveli, míg a csimpánzokat kedvelő gondozók. 2. 5 része kedveli a gorillákat is. 12 olyan gondozó van, amely mindkét majomfajtát kedveli.

Milyen egészekre lesz egész a következő, törtalakban adott szám? . maradékot ad – tal osztva? . biztosan osztható lesz 2 · 3 = 6 – tal is.

Ügyintéző követő: Valós idejű adatszolgáltatás a call center terheltségéről, a . Távoli VoIP integráció révén az ügyintézői munka nem helyhez kötött.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) . (Alaphalmaz: ℝ) . Ebből adódik, hogy két ágra bomlik a feladat: 5 − 3 = 2, .

Számítsuk ki a sugár hosszát: = | | = √(4 − 5)2 + (3 − (−2))2 = √26. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: ( − 5)2 + ( + 2)2 = 26.

s Problémamegoldás s Henkel Loctite termékkategóriák s A megrendelési információkat tartalmazó közvetlen terméklista. Ha azonban több információra van .

KAMION. AGRALE. ASTRA. AUTOCAR. AVIA. BEIFANG BENCHI. BREMACH. BUCHER-SCHÖRLING . KENWORTH. LIEBHERR. MACK. MAN. MAZ. MERCEDES-BENZ. MERCEDES-BENZ.

IDC4e: A TEXA. DIAGNOSZTIKA SZÍVE. A kivételes IDC4E OHW szoftverrel személygépjárművek és kisteherautók diagnosztikáját végezheti el,.

Bővülés újabb gyártókkal, nemzetközi LED multibrand store indítása . Az akár 1 éven belül megtérülő ipari LED fénycsö- . [email protected] Győri iroda.

notebookok és üzemeltetés. DELL, HP, Lenovo notebookok, nyomtatók. 4iG Havidíjas PC Flottamenedzsment távmunka kapcsolattartás videókonferencia, chat,.

Esetleges pótlásoknál törekedni kell az azonos, vagy minőségileg jobbra . Grafitos polisztirol hőszigeteléssel (Grafit EPS) kialakított rendszer.

pisztoly táska kemény műanyag. Méret: 82 x 29 x 8 cm. Szállító táskák. 51L2/GUT.C speciális puskacső szénszálas, kaliber 13 mm 92,00 €. 51L2/1V.C.

BEKÖTÉSI LEHETŐSÉGEK VONOVA T6 / VONOPLAN SÍKLAPÚ T6 KÖZÉPCSATLAKOZÁSÚ RADIÁTOROK . VONOVA KOMPAKT / SZELEPES / T6 KÖZÉPCSATLAKOZÁSÚ LAPRADIÁTOROK.

Megoldások – Nyelvismeret 1-2. Part 1. THE OLYMPIA MUSIC HALL IN PARIS. 1. its. 11. that. 2. where. 12. maybe. 3. with. 13. is. 4. for. 14. and. 5. can. 15.

alapon nyugszanak, így partnereink szá- . s. : M e g hib á so d á s i sta tis z tik a. , h iba o k. -fe ltá rá s. (S.

Szendvicspanelek tetőre. Tető szendvicspanel 3 bordával. Tető szendvicspanel 5 bordával. Különleges rendeltetésű panelek. IsoAgro tető szendvicspanel.

A szobai légtisztító, folyamatos légtisztításra és időszakos (nem folyamatos) . Az ózonkezelés ma már igen elterjedt, széles körben alkalmazott .

A Tatuin bolgygón élő buckalakók ökológiai lábnyoma fejenként 3,2 hektár földterület, azaz 32 000 m2. Mit gondoltok, egy 100 m2-es buckában élő 4 tagú .

2 // est.hu címlap. 3 // est.hu rovatoldal. 4 // est.hu cikk. 5–6 // est.hu Skin. Page 2. 2 est.hu címlap. Page 3. 3 est.hu rovatoldal. Page 4 .

Dinamika feladatok és megoldások. 1. Az 1500 kg tömegű kerékpárt 200 N erő gyorsítja. Mekkora lesz a sebességváltozás, ha a gyorsítás ideje 30 s?

bb) a gyermek az üléshez beszerelt biztonsági övvel megfelelően, . Ha a motoros ismeri a saját fejméretét, de a kiválasztott sisak csak.

455. old. Falon kívüli videó kaputelefonok. In One by Legrand . Audió és videó kaputelefon rendszerek . IOBL videó kaputelefon szett, süllyesztett.

Az időszakos ózonkezelés közben nagy mennyiségű ózon közvetlen belégzése káros és irritáló lehet az élőlényeknek, ezért a készülék működése közben a kezelt .

Megoldás: (több is van) a) Ebben a mondatban 7 db 1-es, 3 db 2-es, 2 db 3-as, 1 db 4-es, 1 db 5-ös, 1 db 6-os, 2 db 7- es, 1 db 8-as, 1 db 9-es és 1 db 0-ás .

Ekkor vegyük az u1-et és az e-hez közelebbi vi-t (i ∈ összeköt® utat. . A 10 pontú csillag megfelel®, mert ott nyilván ν = 1, de bármely további .

feladatok és megoldások. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Page 2. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Mekkora a szögsebessége a n=45 1/min fordulatszámmal forgó .

még csak az engusz eltávolításával foglalkozott, legközelebb már a késztermékek kezelését tudja végezni, vagy akár a futó- szalagon történő összeszerelést.

Feszültségekkel teli nehéz anyag. Reped, törik, nehéz megmunkálni. bámulatos színekben pompázik, fényáteresztési képessége a.

Napelem optimalizálási megoldások. Horváth Balázs . 5 év gateway-re. • a TS4-R-Mhez hasonló elven működnek az AEG IMM chipjei forrás: tigo-optimalizalo.hu .

európai évhez kapcsolódó kampány célkitűzéseinek eléréséhez, és párbeszédet kezdeményezünk a kormá- . vagy képtelen megfelelő módon és méltányos áron.

hetően a FIBARO rendszer telepítésekor nem . akomplett „élő otthon” rendszer központi gyaként funkcionál. . távvezérelhető okos konnektor.

Testo Kft. 1139 Budapest, Röppentyű u. 53. www.testo.hu; e-mail: [email protected],. A mérés létjogosultsága. Épületszerkezet. Épületgépészet.

Számítsd ki a körmozgást jellemző fizikai mennyiségeket! 9. Egy 1,5 m sugarú körpályán mozgó test, 5 s alatt 20 fordulatot tesz meg.

20 mPa·s. Gél. 150 mPa·s. 200 mPa·s. 400. Üzemi hőmérséklet. -40 °C és . Figyelem: A nem kikeményedett felesleges anyagot törölje le Loctite® 7063-as .

Kreatív menyasszonyok a családdal együtt könnyedén elkészíthetik ezt a kis csomagot. Hozzávalók: mécses, tüll zacskó (készen kapható), és szatén szalag.

és megszünteti, legyen az cigarettafüst, étel, vegyszer vagy dohos szag. Nincs olyan kórokozó mely ellen tud állni az ózon fertőtlenítő erejének, .

Matematika 9 osztály megoldás

vagy regisztrálj a következő fiókjaid egyikével

Letelt az ehhez a blokkhoz tartozó időkeret!

A blokk végéhez értél.

A dolgozat kitöltésének határideje lejárt!

A dolgozat kitöltésére szánt időkeret lejárt!

Válaszd ki a csoportodat, akiknek feladatot szeretnél kiosztani!

Hozd létre a csoportodat a Személyes címtáradban, akiknek feladatot szeretnél kiosztani!

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

2 Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY (Mozaik, 013) feladataira épül. Kidolgozott gyakorló feladatok az adott oldalszámon találhatóak! Az elméleti anyag értelmezéséhez a Tankönyv és a Négyjegyű Függvénytáblázat (Konsept-h könyvkiadó) megfelelő oldalai kellenek. Jelölés: tk- Mozaikos tankönyv, fgy- Mozaikos feladatgyűjtemény, fvt- Függvénytáblázat Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok 1 óra I. Kombinatorika, halmazok 1 óra II. Algebra és számelmélet 6 óra III. Függvények 1 óra IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek 19 óra V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek30 óra VI. Egybevágósági transzformációk 0 óra VII. Statisztika 7 óra Év végi ismétlés 8 óra összesen: 144 óra Az ábrák túlnyomó része az interneten megtalálható! Néhány ajánlott oldal (amely folyamatosan bővülni fog): file:///c:/users/j%c3%b3zsef/downloads/emelt_matek_temakorok_014.pdf óra Év eleji szervezési feladatok – –

3 I. Kombinatorika, halmazok (1 óra) 1. LOGIKA, ÖSSZESZÁMLÁLÁS Elméleti anyag. óra Mit jelent a matematika nyelvén? tk: oldal kijelentés, tagadás, fvt: oldal ha-akkor értelmezése Gyakorló feladatok tk: 14/1,3,5 tk:19/1,3,7,8,1,13,14,15,16 fgy: 1004, 1005, 1010, 1011, 101, tk:15-0. oldal 3. óra Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok fvt: 1-13 összeszámolás, permutáció fogalma Elméleti összefoglaló: Logika: Nem igaz, hogy van olyan= mindre nem igaz Nem igaz, hogy minden= van olyan, aki/ami nem Kombinatorika: A matematika azon elmeléti területe, amely egy véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával vagy sorrendberakásával foglalkozik. 1) Permutáció a) Ismétlés nélküli permutáció: -n darab különböző elem egy lehetséges sorrendjét az n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. – n faktoriális alatt értjük a pozitív egész számok 1-től n-ig terjedő szorzatát. A 0 és az 1 faktoriálist 1-nek értelmezzük. 0! = 1, 1! = 1 Jele: n! Tétel: n darab elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma: P= n *(n -1)* (n – ). *1 = n!. HALMAZOK Tk/ Fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok

4 4-5. óra Halmazok tk: 1-5. oldal fv.t :8-10. oldal 6-7.óra Halmazműveletek tk: oldal fv.t: oldal 8.óra Halmazok elemszáma, logikai szita tk: oldal óra Műveletek számhalmazokkal tk: oldal fv.t: oldal fv.t: oldal halmaz, halmaz eleme, üres halmaz, halmazok megadásai módjai, halmazok egyenlősége, részhalmaz, valódi részhalmaz, véges és végtelen halmaz tk: 5/4,5,7,9 alaphalmaz, komplementerhalmaz halmazok metszete, uniója, különbsége, diszjunkt halmazok tk :30/1,3,4,6,7 Halmazok elemszáma, Logikai szita értelmezése két vagy három halmaznál számegyenes, a számegyenes intervallumai fgy:1017, 103, 105,106, 107, 103 fgy: 1035,1037,1038, 1040,104,1044, 1050, 1051, 1099, 1100 tk:34/1,,3,5,6,7 fgy:1058, 1060, 1061,1065, 1068, 1071, 1074 tk:36/1,,3,4,5,8 fgy:1078, 1081, 1085,1105 Elméleti összefoglaló: Halmaz: közös tulajdonságú elemek összessége; jelölés: ábécé nagybetűivel (A, B, C, ) Halmaz eleme: a halmaz egy eleme; jelölés: ábécé kisbetűivel (a, b, c, ) Eleme: egy adott elemet tartalmaz az adott halmaz; jelölés: a A Nem eleme: egy adott elemet nem tartalmaz a halmaz; jelölés: b A Üres halmaz: elem nélküli halmaz; olyan halmaz, melynek egyetlen eleme sincs jelölés: Alaphalmaz (univerzum): az a halmaz, amelynek minden vizsgált halmaz része; jelölés: H vagy U Halmaz számossága: a benne lévő halmazelemek száma; jelölés: A Halmaz megadása: elemeinek felsorolásával: A := < 1,, 10, 18, >az elemek közös tulajdonságának megadásával: A := < Páros számok >Halmazműveletek: Halmazok egyenlősége: két halmaz egyenlő, ha az egyik halmaz minden eleme a másik halmaznak is eleme; jelölés: A = B Részhalmaz: egy adott halmaz minden eleme egy másik halmaznak is eleme; jelölés: A B Valódi részhalmaz: egy halmaz részhalmaza egy másik halmaznak, de nem egyenlőek jelölés: A B Metszet: mindazon elemek halmaza, amely a két halmaz közös elemeiből áll, vagyis olyan elemekből, melyek mind az egyik, mind a másik halmaznak elemei; jelölés: – 4 –

5 A B Tulajdonságok: – kommutatív: A B B A – asszociatív: A ( B C ) ( A B) C – A A A – A – A I A Egyesítés (unió): két halmaz elemeinek összessége, vagyis olyan elemekből áll, melyek vagy az egyik, vagy a másik halmaznak elemei, de legalább az egyiknek. jelölés: A B Tulajdonságok: – kommutatív: A B B A – asszociatív: A ( B C ) ( A B ) C – A A A – A A – A I I Különbség: eleme az A halmaznak, de nem eleme a B halmaznak; jelölés: A \ B Kiegészítő halmaz (komplementer): mindazon elemek összessége, melyek nem elemei egy adott A halmaznak (de a halmazuniverzumnak elemei); jelölés: Ā = H \ A Diszjunkt halmazok: olyan halmazok, amelynek nincs közös része (A B = ) Logikai szita két halmaz esetén: A B = A + B – A B Logikai szita három halmaz esetén: A B C = A + B + C – A B – A C – B C + A B C Számegyenes: Olyan egyenes, melyen kijelölünk egy irányt és két pontot, amelyekhez számokat rendelünk. Így meghatározzuk a 0 és az 1 helyét. Számegyenes egy része az intervallum, amely lehet nyílt, zárt vagy félig nyílt 3.GRÁFOK – 5 –

6 Elméleti anyag 11.óra Gráfok tk: oldal Gráf pontjai, élei, fokszám, egyszerű gráf Gyakorló feladatok Tk: 41/1,5,7, 10, 11 Elméleti összefoglaló: Gráfelmélet: A gráf pontokból (csúcsokból) es élekből álló halmaz, ahol az élek csúcsokat kötnek össze. Gráfok megadása: síkbeli ábrával, szomszédsági mátrixszal, felsorolással Két csúcs szomszédos, ha vezet köztük él. A mátrixban bármely két csúcs közti élek számát jelöljük. Def.: hurokél: olyan él, melynek kezdő és végpontja azonos többszörös él: ha két csúcs közt egynél több él vezet izolált csúcs: olyan csúcs, melyből nem indul él egyszerű gráf: olyan gráf, mely nem tartalmaz hurokélt es többszörös élt sem. irányított gráf: olyan gráf, melyben különbséget teszünk az élek kezdő- illetve végpontjai közt, nyíllal jelöljük az irányt csúcs fokszáma: a belőle kiinduló élek száma Tétel: 1. Bármely (véges) gráfban a csúcsok fokszámainak összege az élek számának kétszerese. Minden (véges) gráfban a páratlan fokú csúcsok száma mindig páros. Példák gráfokra: – 6 –

7 II. Algebra és számelmélet (6 óra) 1. Betűk használata a matematikában Elméleti anyag Gyakorló feladatok 14. óra Betűk használata tk: oldal fv.t: 8. oldal betűs kifejezések értelmezése, algebrai kifejezés, egyváltozós és többváltozós algebrai kifejezés, egész, tört algebrai kifejezés, egytagú, többtagú algebrai kifejezés, helyettesítési érték Elméleti összefoglaló: tk: 47/3, 4, 5, 7, 9 fgy: 1107, 1109, 1110, 1111, 111

8 Egy-egy matematikai probléma felírása esetén sokszor használunk betűket. Ezeket a problémától függően nevezhetjük változónak, vagy ismeretlennek. Jelölhetjük x-el, a-val. Algebrai kifejezés: ha a négy alapműveletet számokra vagy betűkre véges sokszor alkalmazzuk. 7x5y+x3y+1 Egyváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak egy betű szerepel. 3×4 A több különböző betűt tartalmazó kifejezést többváltozósnak nevezzük. 3x4y Ha az algebrai kifejezésben a változók helyére konkrét számokat helyettesítünk az alaphalmazból, akkor a műveletek elvégzése után egy számot, a kifejezés helyettesítési értékét kapjuk. Algebrai egész kifejezésről beszélünk, ha az algebrai kifejezésben nincs tört vagy az előforduló tört x 3 nevezőjében nincs változó. Algebrai törtkifejezésről beszélünk, ha az algebrai kifejezésben előforduló tört nevezőjében van x 3 változó. x Egy algebrai tört értelmezési tartományán a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát értjük, amelynek elemeit a változó helyére írva a kifejezésben szereplő műveletek elvégezhetőek. Egytagú algebrai kifejezésről beszélünk, ha a kifejezésben a számok és a betűk a szorzás műveletével vannak összekapcsolva. 3x4y Többtagú algebrai egész kifejezésnek vagy polinomnak nevezzük az egytagú algebrai egész kifejezések összegét. 7x5y+x3y+1. Hatványozás. A hatványozás alapazonosságai Elméleti anyag Gyakorló feladatok óra. Hatványozás tk: oldal fv. t: 1-.oldal hatványozás definíciója, hatványozás azonosságai, negatív kitevőjű hatvány értelmezése Tk: 51/1,, 3 54/ 1,, 4, 5 Fgy: 1114, 1116, 1117, 1119, Elméleti összefoglaló: Egész kitevőjű hatványok: n Pozitív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint a jelenti azt az n tényezős szorzatot, n amelynek minden tényezője a. a a a a b a; b R, n Z n db Az a-t hatványalapnak, n-t hatványkitevőnek, b-t hatványértéknek nevezzük. Nulla kitevőjű hatvány: minden 0-tól különböző valós szám nulladik hatványa

9 a 0 1, a R, a 0 00 nincs értelmezve, 0 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa 0. Negatív egész kitevőjű hatvány: Minden 0-tól különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa a szám ellentett kitevőjű hatványának reciprokával egyenlő. 1 a R, a 0, n Z a n n, a 1 1 bármely hatványa 1, minden valós szám első hatványa önmaga. a 1 Azonosságok: m n m n Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk a a a m; n Z, a R am a m n n a Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk egymásból m; n Z, m n, a R, a 0 Szorzatot úgy hatványozunk, hogy a tényezőket külön-külön a megfelelő kitevőre emeljük. a b n a n b n n, a; b R Z Hányadost úgy hatványozunk, hogy a számlálót és a nevezőt külön-külön a megfelelő kitevőre n n a a bn b emeljük. n Z, a; b R, b 0 Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk. a n m a n m, n; m Z a R 3. A számok normálalakja Elméleti anyag Gyakorló feladatok 19. óra A számok normálalakja tk: oldal normálalak tk: 57/ 1,, 4 fv.t: 18. oldal fgy: 111, 11, 116, 118, 1193 Elméleti összefoglaló: A nagyon nagy és nagyon kis számok egyszerűbb leírását segíti a számok normálalakja. Ezzel az alakkal műveleteket is végezhetünk. Egy szám normálalakja egy szorzat, melynek két tényezője van. Az első tényező 1 és 10 közé esik, a második tényező 10 megfelelő hatványa. Egy x valós szám esetén a x=n 10k alakot a szám normál alakjának nevezzük, ahol 1 N

10 Példák: = 3* = 4,05*10 0,006 = 6*10-3 0,0000 = *10-5 A Föld tömege: t. Ez normálalakban: 6*101 t A proton tömege: 0, gramm. Ez normálalakban: 1,67*10-4 gramm. 4. Egész kifejezések (polinomok) Elméleti anyag Gyakorló feladatok 0-1. óra Egész kifejezések tk: oldal fv.t: 8. oldal Polinomok tk: 59/, 3, 4, 5 fokszáma, egynemű és többnemű fgy: 1130, 1131 polinomok Elméleti összefoglaló: Egytagú egész kifejezés fokszáma a változó(k) kitevőinek összege. x3y polinom fokszáma 4. A többtagú polinom fokszáma a legnagyobb fokszámú tag fokszáma. 7 x3y² +xy+1 polinom fokszáma: 5. Két egytagú algebrai kifejezés egynemű, ha legfeljebb együtthatóikban különböznek egymástól. Az egynemű tagokat össze lehet vonni. x3y + 8x3y = 10x3y 5. Nevezetes szorzatok -3. óra Nevezetes szorzatok tk: oldal fv.t: 8. oldal Elméleti anyag Négyzetre és köbre emelés Gyakorló feladatok Tk: 64/1,,3,4,5 Fgy: 1131, 113, 1135 Elméleti összefoglaló: Nevezetes azonosságok: (a+b)²=a²+ab+b² (a-b)²=a²-ab+b²

11 (a+b)(a-b)=a²-b² (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 6. A szorzattá alakítás módszerei 4-5. óra A szorzattá alakítás módszerei tk: oldal 7. fv.t:8. oldal Gyakorló feladatok tk: 65/6, 67/ 1,,3,4 fgy:1133, 1136, 1138, 1140, 1141 Műveletek algebrai törtekkel 6-7. óra Műveletek algebrai törtekkel tk: oldal 8. Elméleti anyag – Kiemelés – Kiemelés csoportosítás sal – Nevezetes azonosságok alkalmazása fv.t:8. oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok Algebrai törtek tk: 73/ 1,, 3 egyszerűsítése, szorzása, fgy: 1147, osztása, 1148, 1149, összeadása Oszthatóság Elméleti anyag óra Oszthatóság, az oszthatóság tulajdonságai tk: oldal osztója, osztható, oszthatóság tulajdonságai, oszthatósági szabályok prímszám, összetett szám számelmélet alaptétele relatív prímek fv.t:19-1. oldal Gyakorló feladatok tk: 79/ 4, 5, 8, 9 fgy: 1155,1156, 1157, 1161

12 óra Legnagyobb közös osztó Legkisebb közös többszörös tk.:80-8. oldal fv.t:19. oldal legnagyobb tk: közös osztó 8/1,,3,5,6,9 legkisebb közös többszörös fgy:1163, 1164, 1167, 1177 Elméleti összefoglaló: Legyenek a és b egész számok. Azt mondjuk, hogy b osztója a-nak, ha létezik olyan c egész, amire a = b * c. a, b, c Z. Jelölés: b a Osztó: azokat a számokat, amelyekkel egy a szám osztható, az a szám osztóinak nevezzük. Minden számnak legalább két osztója van, 1 és önmaga. 10 osztói: 1,, 5, 10 Osztható: akkor osztható egy a szám egy b számmal, ha a hányadosuk egész szám, és a maradék nulla. 10 osztható 5-el, mert a hányadosuk kettő, a maradék nulla. Prímszámnak, törzsszámnak nevezzük azokat a termeszétes számokat, amelynek pontosan két osztójuk van a természetes számok között (maga a szám es az 1). Prímszámok:,3,5,7,11,13,17. Az egynél nagyobb termeszétes számot összetett számnak nevezzük, ha kettőnél több osztója van. Összetett szám: 4, 6, 8, 9, 1, 15, 0, 100 Az 1 es a 0 nem prím, és nem összetett szám. A számelmélet alaptétele: Minden 1-nél nagyobb természetes szám (a sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára. Oszthatósági szabályok: Egy szám akkor osztható -vel: ha az utolsó számjegye -vel osztható, vagyis az utolsó számjegye 0; ; 4; 6; 8. 3-mal: ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. 4-gyel: ha az utolsó számjegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. 5-tel: ha az utolsó számjegye 5-tel osztható, vagyis az utolsó számjegye 0 vagy 5. 6-tal: ha a szám osztható -vel és 3-mal is. 8-cal: ha az utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 8-cal. 9-cel: ha a számjegyek összege osztható 9-cel. 10-zel: ha az utolsó számjegye nulla. 5-tel: ha az utolsó számjegyéből alkotott szám osztható 5-tel. 100-zal: ha az utolsó számjegye nulla. Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztóik közül a legnagyobb

13 Ha a legnagyobb közös osztó 1, akkor a két számot relatív prímnek nevezzük. Jele: (a, b). Kiszámítása: Az eredeti számokat prímtényezőkre bontjuk, majd a közös prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legkisebb hatványon. Két pozitív egész szám legkisebb közös többszörösén azt a legkisebb pozitív egész számot értjük, amely az adott számok mindegyikével osztható. Jele: [a, b]. Kiszámítása: Az eredeti számokat prímtényezőkre bontjuk, majd az előforduló prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legnagyobb hatványon. 9. Számrendszerek Elméleti anyag óra. Számrendszerek tk: oldal Számrendszerek, átírás más számrendszerre, egyszerűbb műveletek Gyakorló feladatok tk: 86/ 1,, 3, 7 fgy: 1168, 1169, 1170, 1188 a, Elméleti összefoglaló: Tízes (decimális) számrendszer: A tízes számrendszerben a számokat a tíz hatványaival írjuk fel. Kettes (bináris) számrendszer: A kettes számrendszerbeli számok a 0 es az 1 számjegyekből állnak. Elméleti anyag Gyakorló feladatok óra. Összefoglalás, rendszerezés Témazáró dolgozat, dolgozatjavítás III. Függvények (1 óra) Elméleti anyag Gyakorló feladatok

14 40. óra A derékszögű koordinátarendszer, ponthalmazok tk: oldal óra Lineáris függvény és menetének leírása tk: 9-95.oldal fv.t: 6-66.oldal fv.t: 6-66.oldal óra. Az abszolútértékfüggvény és menetének leírása Az abszolútértékfüggvény transzformációi tk: oldal óra. A másodfokú függvény és menetének leírása A másodfokú függvény transzformációi óra A négyzetgyökfüggvény és menetének leírása A négyzetgyökfüggvény transzformációi óra Lineáris törtfüggvények, a fordított arányosság tk: óra óra A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása óra Összefoglalás, témazáró dolgozat, hiánypótlás tk: oldal fv.t: 6-66.oldal fv.t: 6-66.oldal tk: oldal fv.t: 6-66.oldal tk: oldal Derékszögű koordináta rendszer, abcissza, ordináta, síknegyedek Függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet, helyettesítési érték, zérushely, elsőfokú függvény, egyenes arányosság Abszolút érték, az abszolút érték függvény definíciója és transzformációi, szélsőérték, monotonitás tk: 91/ 1,, 3, 4, 5 Másodfokú függvény definíciója, transzformációi, Páros függvény Négyzetgyök definíciója, a négyzetgyök függvény tulajdonságai, Fordított arányosság, a lineáris törtfüggvények értelmezése és definíciója, Páratlan függvény A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása tk: 105/1, Elméleti összefoglaló: fgy: 1194, 1195, 1196 tk: 95/ 1,, 3, 4, 5 fgy: 1198, 1199, 100, 101, 10, 103 tk: 101/1,,4 fgy: 105, 107, 111 fgy: 113, 115, 119,, 11, 1 tk: 109/1,3 fgy: 18, 19 tk:115/ 1, 3 fgy: 140, 141, 149, fgy:155, 157, 158, 163, 166

15 Derékszögű koordináta-rendszer: Két, egymásra merőleges egyenes, amelyek metszéspontja a nulla számértéknél van. Ez a metszéspont az origó. A vízszintes számegyenest x tengelynek (abszcissza tengely), a függőleges számegyenest y tengelynek (ordináta tengely) nevezzük. Egy tetszőleges pont helyét egy rendezett számpárral adhatjuk meg. Az első szám az x tengelyen való irányt, a második szám az y tengelyen való irányt jelenti az origótól. P (x, y) A koordináta rendszer a síkot 4 részre osztja: I. síknegyed: mindkét koordináta pozitív P(;3) II. síknegyed: első koordináta negatív, második koordináta pozitív. P(- ;3) III. síknegyed: mindkét koordináta negatív. P(- ;- 3) IV. síknegyed: első koordináta pozitív, második koordináta negatív. P(; – 3) Legyen A és B két nem üres halmaz. Azt mondjuk, hogy megadunk egy A halmazon értelmezett B-beli értéket felvevő függvényt, ha A minden eleméhez hozzárendeljük a B egy és pontosan egy elemét.. Értelmezési tartománynak nevezzük az A halmazt. Jele Df. Értékkészlet a B halmaz azon elemeibõl álló halmaz, amelyek a hozzárendelésnél előfordulnak. (vagyis az f(x) értékek). Jele az Rf. Ha x Df, (tehát az x eleme az értelmezési tartománynak) akkor az x helyen felvett függvényértéket f(x)-vel jelöljük, ez a helyettesítési érték. A függvény megadásához szükséges: értelmezési tartomány értékkészlet hozzárendelés szabálya A hozzárendelést megadhatjuk: Táblázattal Képlettel Szöveggel Grafikonnal Elempárok felsorolásával Az értelmezési tartomány és az értékkészlet összetartozó értékpárjait ábrázolhatjuk derékszögű koordináta-rendszerben, a rendezett számpárok egy-egy pontot határoznak meg. Ezek halmazát a függvény képének, grafikonjának nevezzük

17 . Abszolútérték függvény: Abszolút érték: Azt fejezi ki, hogy egy szám a számegyenesen milyen távol van a nullától. A nem negatív számok abszolút értéke egyenlő a számmal, a negatív számok abszolút értéke egyenlő a számok ellentettjével. 0 abszolút értéke egyenlő 0-val

18 f(x) = x képe V alakú. Értelmezési tartomány: x R Értékkészlet: y >0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x0. Paritás: páros függvény 3. másodfokú függvény: képe parabola Hozzárendelési szabály: f(x)=x. Értelmezési tartomány: x R, Értékkészlet: y >0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x0. Paritás: páros függvény 4. fordított arányosság függvény: Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek a szorzata 0-tól különböző állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség fordítottan arányos. (autóúton a sebesség és az idő)

19 képe hiperbola képlete y=1/x f(x)=c/x, ahol x, c, f(x) R, és x 0, c 0, f(x) 0. A függvény grafikonját hiperbolának nevezzük.. Értelmezési tartomány: x R, de x nem lehet 0 Értékkészlet: y R, de y nem lehet 0 Zérushelye: nincs Szélsőértéke: nincs Menete: Szigorúan monoton csökken, Paritás: páros függvény 5. négyzetgyök függvény: képlete y= Egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete az eredeti szám., 196 = 14, 59 = 3 f: R R, f(x)= 196 nincs értelmezve függvényt négyzetgyök függvénynek hívjuk

20 Értelmezési tartomány: x 0, x R, Értékkészlet: y 0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton nő Paritás: nincs Inverz függvény: Nemnegatív valós számok halmazán a másodfokú függvény Függvénytranszformációk 1. Eltolás az y tengely mentén: g( x ) = f( x ) + c A g függvény grafikonját megkapjuk, ha az f függvény grafikonját az y tengely mentén önmagával párhuzamosan eltoljuk c egységgel, ha c > 0 akkor pozitív irányba, ha pedig c < 0, akkor negatív irányba. Az értelmezési tartomány nem változik. A mellékelt ábrán c =.. Eltolás az x tengely mentén: g( x ) = f( x - a ) A g függvény képét úgy kapjuk meg, hogy f grafikonját az x tengely mentén a-val eltoljuk, haa>0, akkor pozitív irányba, ha pedig a < 0, akkor negatív irányba. Az eltolás után az értékkészlet változatlan marad, de az értelmezési tartomány megváltozhat. A mellékelt ábrán a=. 3. Tükrözés az x tengelyre: g( x ) = - f( x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az x tengelyre. Az értelmezési tartomány és a zérushelyek nem változnak

21 4. Tükrözés az y tengelyre: g( x ) = f( – x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az y tengelyre. A tükrözés az értelmezési tartományt megváltoztathatja, de az értékkészletet nem. 5. Nyújtás (zsugorítás) az y tengellyel párhuzamosan: g( x ) = c f( x ) A g függvény képét megkapjuk, ha az f grafikonját y tengely irányában c-szeresére megnyújtjuk, ha c > 1, illetve összenyomjuk, ha 0 < c < 1. A transzformáció az értelmezési tartományt nem változtatja meg, de a függvényértékek c-szeresére változnak. A zérushelyeket nem változtatja meg. A mellékelt ábrán c=1/. 6. Nyújtás (zsugorítás) az x tengellyel párhuzamosan: g( x ) = f( ax ) A g(x) = f(ax) függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy az f képét az xtengely irányában 1/a- szeresére megnyújtjuk, ha 0 < a < 1, illetve összenyomjuk, ha a >1. A transzformáció az értékkészletet nem változtatja meg. Az eredeti görbe és az y tengely metszéspontja helyben marad. A mellékelt ábrán a =. 7. A g függvény grafikonja az f grafikonjából úgy állítható elő, hogy ott ahol az f értéke pozitív, azt a görbe darabot változatlanul hagyjuk, azt a részt pedig ahol az f értéke negatív, azt tükrözzük az xtengelyre

23 – Két egyenes metsző, ha van közös pontjuk – Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk – Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban – Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van. – Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk – Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha az egyenes minden pontja a síknak is pontja. – Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van – Egy egyenes és egy sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk. Egyenesek, szögek, távolság tk.: oldal 6.óra Néhány alapvető geometriai fogalom Elméleti anyag Gyakorló feladatok – Egyenes, tk. 131/ 1,, 7, 8, 9, 10 Félegyenes, Szögfajták, fgy: 188, 189, 190, Szögpárok, 19, 193, Távolság, 194, 1300 Elméleti összefoglaló: – Egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja – Egy egyenes két pontja meghatároz egy szakaszt – A síkot egy egyenese két félsíkra bontja – A teret egy sík két féltérre bontja – Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen síkrészt szögtartománynak, szögnek nevezzük – Ha a síkban egy félegyenest a kezdőpontja körül valamilyen irányban elforgatunk, akkor a félegyenes kezdő- és véghelyzete mint szárak által meghatározott szöget forgásszögnek nevezzük – A forgásszög pozitív, ha az óramutató járásával ellentétes irányban forgatunk, negatív, ha az óramutató járásával megegyező irányban forgatunk. Szögfajták: – 3 –

24 Szögpárok: – – Ha két szög csúcsa közös, és száraik páronként egymás meghosszabbításai, akkor csúcsszögeknek nevezzük őket. A csúcsszögek egyenlők Ha két szög egy-egy szára közös, a másik kettő pedig egy egyenest alkot, akkor mellékszögeknek nevezzük őket. A mellékszögek összege 180º. Ha két szög összege 180º, akkor kiegészítő szögeknek nevezzük őket Ha két szög összege 90º, akkor pótszögeknek nevezzük őket. Ha két szárai páronként egyező irányúak, akkor egyállású szögeknek, ha páronként ellentétes irányúak, akkor váltószögeknek nevezzük őket – 4 –

25 Távolság: – Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsájtott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága. Két metsző egyenes távolsága 0 Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolsága Két metsző sík távolsága A háromszögek Tk/ Fvt tk.: oldal óra A háromszögek fv.t. :33, 39oldal geometriája Elméleti anyag – A háromszögek csoportosítása – A háromszögek szögei közötti összefüggések – Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között Gyakorló feladatok tk. 138./1,, 3, 4, 5, 6,8 fgy: 1309, 1311,131, 1314, 1316, 131, 13

26 Elméleti összefoglaló: 1. A háromszögek csoportosítása szögei szerint: a) hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög, b) derékszögű, ha van derékszöge. (befogó, átfogó) c.) tompaszögű, ha van tompaszöge. Egy háromszögnek legfeljebb egy derékszöge lehet. Egy háromszögnek legfeljebb egy tompaszöge lehet.. A háromszögek csoportosítása oldalai szerint: a) egyenlő szárú b) egyenlő oldalú c) általános Egy háromszöget egyenlőszárúnak nevezünk, ha van két egyenlő oldala. (szárak, alap) Egy háromszöget egyenlő oldalú, vagy szabályos háromszögnek nevezzük, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög tulajdonságai: A szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye van. A szabályos háromszög minden szöge 60 -os. A szabályos háromszög magasságpontja, súlypontja, beírt és köré írt körének középpontja egybeesik, és ez a szimmetriatengelyek metszéspontja. A szabályos háromszög forgásszimmetrikus. Egy háromszöget egyértelműen meghatározza: a) három oldala, b) két oldala és az általuk közbezárt szög, c) egy oldala és a rajta fekvő két szög, d) két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szög. Ezekből az adatokból egyértelműen szerkeszthetünk háromszöget. A háromszögek szögei: Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180. Bizonyítás: P Q C B A Jelöljük a háromszög szögeit α, β, γ-val

27 Húzzunk a háromszög C csúcsán át párhuzamost az AB oldallal. Ekkor a PCA = α és QCB = β, (váltószögek), így 180 = α + β + γ Definíció: A háromszög külső szöge: belső szögeinek mellékszögei. Az α, β, γ belső szögek melletti külső szögeket α, β, γ -vel jelöljük. Tétel 1: A háromszög bármely külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög. Tétel : (külsőszög-tétel) A háromszög valamelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével. Szögek és oldalak közötti összefüggések: Tétel 1: Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek fekszenek, és megfordítva: egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak fekszenek. Tétel : Ha egy háromszögnek van két különböző oldala, akkor a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik. Tétel 3: Ha egy háromszögben van két különböző szög, akkor a nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal fekszik. Oldalak összefüggései: Tétel 1: (A háromszög-egyenlőtlenség) Egy háromszög bármelyik két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Pl. AC + CB > AB ( bármely két oldalra fel lehet írni az összefüggést) D C b A a a c B Egy háromszög bármely két oldala különbségének abszolút értéke kisebb, mint a harmadik oldal.. 3.Pitagorasz tétel – 7 –

28 Tk/ Fvt óra Pitagorasz tétel tk.: oldal Elméleti anyag – Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között – Pitagorasz tétel, – Pitagorasz élete fv.t 38. oldal Gyakorló feladatok tk. 138/11 fgy:138,139,1331,1333, 1334, 1335, 1340 Elméleti összefoglaló: A Pitagorasz-tétel és megfordítása 1. Tétel: A derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.. Tétel: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög olyan derékszögű háromszög, amelynek átfogója ez utóbbi oldal. Összefoglalva: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két rövidebb oldalának négyzetösszege egyenlő a leghosszabb oldal négyzetével. a a a b ab b ab b a a b c b b a b a 4.A négyszögek óra A négyszögek tk.: oldal fv.t: oldal Elméleti Gyakorló feladatok anyag – Konvex, tk. 14/1,, 3, 4, 6, konkáv 7,9, 10 négyszögek, – speciális fgy: 1344, 1349, négyszögek 1350, 1351, 1356, 1358, 1359,

29 Elméleti összefoglaló: Csoportosítás: Az oldalak párhuzamossága szerint: 1. Két-két párhuzamos oldaluk van. Ez a paralelogrammák. A téglalap, a rombusz és a négyzet is.. Két párhuzamos oldaluk van. Ezek a trapézok. Ide sorolható a paralelogramma, a négyzet, a téglalap is a rombusz is. 3. Nincs párhuzamos oldaluk. Az oldalak egyenlősége szerint: 1. Minden oldaluk egyenlő: rombuszok, és ezen belül a négyzetek.. Két-két szemközti oldaluk egyenlők. Ezek a paralelogrammák, (köztük a négyzet és a rombusz) 3. Szomszédos oldalaik egyenlők. Ezek a deltoidok.(köztük a négyzet a téglalap és a rombusz is) 4. Két vagy három egyenlő oldala van. A speciális négyszögek közül a trapézok között fordulhat ilyen elő. 5. Nincs egyenlő oldaluk. Az általános négyszögeken kívül a trapéz lehet ilyen. A négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. Speciális négyszögek: 1. Trapéz A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja (azaz van két párhuzamos oldala). Nincs szimmetriatengelye. Átlók: Átlóinak nincs semmilyen speciális tulajdonsága. Speciális: szimmetrikus trapéz Szimmetriatulajdonságok: Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van, amely a párhuzamos oldalakat merőlegesen felezi.. Átlók: Átlói egyenlő hosszúságúak

30 . Paralelogramma A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van (két-két szemközti oldala párhuzamos). Középpontosan szimmetrikus, tengelyesen nem feltétlenül. Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja. Az általános paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikus Átlói felezik egymást. De nem egyforma hosszúak, csak ha a paralelogramma egyúttal rombusz is. 3. Deltoid A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van. (Négyzetnek, rombusznak kettő) Átlói merőlegesek egymásra, és az egyik felezi a másikat. Szimmetria középpontja nincsen. Lehet konvex és konkáv is 4. Rombusz A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú. Tengelyesen szimmetrikus. Két szimmetriatengelye van, a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek (átlói). Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja. Átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra.(de nem biztos, hogy egyforma hosszúak.)

31 5. Téglalap A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög. A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú. Tengelyesen szimmetrikus, két szimmetriatengelye van, az oldalak felezési pontjait köti össze (négyzetnek 4 van) Átlói egyforma hosszúak és felezik egymást. 6. Négyzet A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú és minden Szöge egyenlő nagyságú, vagyis derékszög. Tengelyesen szimmetrikus. Négy szimmetriatengelye van: (a szemközti oldalak felezőpontján átmenő és a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek) Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja az átlók metszéspontja. Forgásszimmetrikus: Átlói egyenlő hosszúak, egymásra merőlegesek és felezik egymást. 5.Sokszögek óra. A sokszögek Tk.: oldal fv.t oldal Elméleti anyag – Konvex és konkáv sokszögek – Átlók száma, – belső és külső szögeinek összege Gyakorló feladatok tk.144/1,,3,4,5,6,7, 8,9, 1 fgy: 1365, 1367, 1368, 1374, 1375 Elméleti összefoglaló: Egy sokszög konvex, ha minden szöge konvex (kisebb 180 -nál), és konkáv, ha van egy konkáv szöge, amely nagyobb 180 -nál. Vagyis, egy konvex sokszögnek, ha bármely két pontját összekötjük, a két pontot összekötő szakaszt

32 is tartalmazzák. Tétel n(n 3) Egy n oldalú konvex sokszög összes átlóinak száma :. Bizonyítás Egy n oldalú konvex sokszög egy csúcsából önmagába és a két szomszédos csúcsba nem húzható átló, így minden csúcsából (n-3) átló húzható. Ha így összeszámoljuk az összes átlót, az n (n-3) átló, de így minden átlót kétszer számoltunk, így valójában az átlók száma ennek a szorzatnak a fele. Tétel Egy n oldalú konvex sokszög belső szögeinek az összege (n ) 180 Bizonyítás A sokszög egyik csúcsából kiinduló (n- 3) átló (n-) darab háromszögre bontja a sokszöget. A háromszögek belső szögeinek az összege éppen a sokszög belső szögeinek az összegét adja. Az állítás konkáv sokszögekre is igaz, nem csak konvexekre. Tétel Egy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek az összege 360. Bizonyítás A sokszög egy külső szöge 180 -ra egészíti ki a hozzátartozó belső szöget. Tehát minden csúcsban a belső és a külső szög összege 180, vagyis az összes belső és összes külső szög összege n 180. A külső szögek összege így n 180 (n ) vagyis éppen 360 Definíció Egy sokszög szabályos, ha minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú. Tétel: (n ) 180 n Szabályos sokszög egy belső szögének nagysága:. A szabályos sokszögek köré mindig írható kör. Ennek a körnek a középpontját egyben a sokszög középpontjának is nevezzük. A középpontot a csúcsokkal összekötő sugarak a szabályos n-szöget n darab egybevágó egyenlő szárú háromszögre (középponti háromszög) vágják szét

33 A szabályos sokszögeknek mindig létezik beírt köre is, vagyis olyan kör, amely minden oldalt érinti

34 6.Ponthalmazok tk.: oldal 71.óra Nevezetes ponthalmazok fv.t 36. oldal a síkban és a térben Elméleti anyag – Felezőmerőleges, – szögfelező, – kör, gömb, kör részei, – Szerkesztés számítógépes programmal Elméleti összefoglaló: Egy adott ponttól: Körvonal: O=Adott pont (középpont), r= adott távolság (sugár) lévő pontok halmaza a síkban. O= középpont P= körvonal pontja r= sugár= OP távolság, r Gyakorló feladatok tk. 148/, 3, 4, fgy:1379,1380,1381, 1387,139,1393

35 Zárt körlap: Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak. Nyílt körlap: Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál kisebb távolságra vannak. Gömb: Azon pontok halmaza a térben, amely egy adott ponttól, (ez a középpont) adott távolságra vannak (ez a sugár) Két különböző ponttól egyenlő távolságban lévő pontok: szakasz felezőmerőlegese: azon pontok halmaza a síkon, amely két adott ponttól egyenlő távolságra vannak

36 Három különböző ponttól egyenlő távolságban lévő pontok: a) három pont egy egyenesre esik-nincs ilyen pont b) 3 pont háromszöget határoz meg: Szögfelező: Azon pontok halmaza a síkban amelyek egy adott szög szárától egyenlő távolságra va A szög csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget két egyenlő nagyságú szögre bontja. 7.Háromszögek beírt köre tk.: oldal 7.óra A háromszög fv.t 34. oldal beírt köre Elméleti anyag – Háromszögek belső és külső szögfelezői, – szerkesztés, – tétel Gyakorló feladatok tk. 150/1,, 4 fgy: 140, 1405 b, 1407, 1409, 1413 Elméleti összefoglaló: Definíció: A háromszög belső szögeinek felezőit a háromszög szögfelezőinek nevezzük. A háromszög külső szögeinek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk

37 Minden háromszögnek három szögfelezője és három külső szögfelezője van. Tétel: A háromszög szögfelező egyenesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög beírható kör középpontja. Vagyis minden háromszögbe írható olyan kör, amely érinti a háromszög oldalait. Ez a pont mindig a háromszögön belül van. 8.A háromszögek körülírt köre Elméleti anyag 73.óra A háromszög körülírt köre tk.: oldal – Háromszögek oldalfelező merőlegesei, – szerkesztés, – tétel fv.t: 33.oldal Gyakorló feladatok tk. 15/ fgy:1405a,1409, Elméleti összefoglaló: Definíció: A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek. Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától. A háromszögbe eső részt nevezzük oldalfelező merőleges szakaszának. Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, és ez a pont egyenlő távol van a háromszög mindhárom csúcsától

38 Ez a pont hegyesszögű háromszögnél a háromszögön belül, derékszögű háromszögnél az átfogó felezési pontján, tompaszögű háromszögnél a háromszögön kívül helyezkedik el. Létezik olyan kör, amelynek középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja és áthalad a háromszög mindhárom csúcsán. Ezt a kört a háromszög köré írható körének nevezzük 9.Thalesz tétele tk.: oldal óra Thalész tétele és fv.t 36. oldal alkalmazása Elméleti anyag -Thalesz tétele, – megfordítás, – Thalesz kör, – Thalesz élete Gyakorló feladatok tk.156/1,,3,8 fgy:1417, 146, 1431 Elméleti összefoglaló: Thalesz-tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.) Bizonyítás: az O középpontú kör átmérőjére rajzolt ABC háromszög A-nál lévő szögét α-val, a B-nél levő szögét β-val jelöljük. Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszögeket kapjuk. A belső szögek összege: α+ β + (α + β) = 180, α+ β = 90. Tehát az ABC háromszög derékszögű. A Thalesz-tétel megfordítása: Ha egy szakasz valamely C pontból derékszögben látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyik pontja

39 a C pont. Összefoglalva: A síkon azon pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az AB szakasz két végpontját. ( vagyis A és B pontot). 10. Érintőnégyszögek tk.: oldal 76.óra Érintőnégyszögek fv.t 36. oldal Elméleti anyag – Érintőnégyszögek – Érintősokszögek, tétel Gyakorló feladatok tk. 138/11 fgy: 1436, 1438, 1441, 144, Elméleti összefoglaló: Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük. Tétel 1: Az érintőnégyszögek két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Tétel :Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor érintőnégyszög. Együtt: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Egy sokszöget érintősokszögnek nevezünk, ha van beírt köre. 11. összefoglalás, számonkérés

40 77-79.óra Összefoglalás, rendszerezés Témazáró dolgozat hiánypótlás tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok fgy V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek (30 óra) 1. Egyenletmegoldás 80.óra Az egyenlet, tk.: oldal azonosság fogalma tk: oldal 81-8.óra Egyenletek grafikus megoldása 83.óra Egyenletek tk: oldal értelmezési tartományának, értékkészletének vizsgálata 84.óra Egyenlet tk: óra megoldása szorzattá alakítással tk: óra óra A mérlegelv Elméleti anyag Alaphalmaz, értelmezési tartomány, kijelentés, állítás, Egyenletek megoldása függvények segítségével Értelmezési tartomány vagy értékkészlet vizsgálata az egyenlet megoldása során Szorzattá alakítás Gyakorló feladatok tk. 16/1,, 3, 4 fgy: 1475, 1478 tk. 165/1, 1479, 1480 tk: 168/1,,3 fgy: 1483, 1485 tk: 17/ fgy: 1487, 1489 Mérlegelv, hamis gyök tk: 176/ 1, fgy: 149, 1495,

41 88. óra Számonkérés Elméleti összefoglaló: Az egyenleteket azonosságoknak is hívjuk. Minden egyenlethez hozzátartozik egy alaphalmaz, melyen a megoldásokat keressük. Ha az alaphalmazt előre nem adjuk meg, akkor a valós számok halmaza az alaphalmaz. De lehet a megoldást keresni az egész számok vagy a pozitív számok halmazán is. A szöveges feladatok megoldásánál nagy segítség lehet, ha sikerül felírnunk egy hozzá kapcsolódó egyenletet. Ilyenkor mindig a feladatra adandó választ nevezzük el ismeretlennek (leggyakrabban xnek). Egyenletek megoldási módszerei: Grafikus módszer: Az egyenletet értelmezhetjük függvényként. Ekkor f(x) = g(x) egyenlet két oldalán szereplő függvényt ábrázoljuk koordináta-rendszerben és meghatározzuk a két grafikon közös pontjait. A közös pontok első koordinátái (x) adják az egyenlet megoldásait. Ellenőrzésként mindkét oldalba behelyettesítve a megkapott értéket ugyanazt az eredményt kell kapnunk. Hátránya, hogy nem mindig olvasható le pontosan a pont. Az értelmezési tartomány vizsgálata: Érdemes megadni azt a legbővebb halmazt, amelyen az egyenlet értelmezhető, hiszen ilyenkor gyakran sokkal könnyebben eljuthatunk a megoldáshoz! Az egyenletben szereplő kifejezések, függvények értékkészletének vizsgálata: Az értékkészlet vizsgálatával kiderülhet, hogy az egyenletnek nem lehet megoldása vagy csak néhány érték jöhet számításba. A két oldalon hasonlítsuk össze az értékészletet! Szorzattá alakítás: Az f(x) = 0 alakú egyenlet bal oldalát tényezőkre bontjuk. Egy szorzat csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényezője 0. Ennek az elvnek a felhasználásával az eredeti egyenlet megoldását néhány alacsonyabb fokú, egyszerűbb egyenlet megoldására vezetjük vissza A mérlegelv : Az egyenlet úgy működik, mint egy mérleg, ha egyensúlyban van! Mindkét oldalához hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk ugyanannyit, közben az egyenlőség megmarad. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal is. A 0-val való osztásra és szorzásra nagyon figyelni kell, hiszen hamis gyököket is kaphatunk illetve eltűnhetnek gyökeink. Fontos az ellenőrzés itt is!

42 Új ismeretlen bevezetése: Ezzel a módszerrel megkönnyíthetjük az egyenlet megoldását. Bevezetünk egy új változót, majd a megoldás végén visszahelyettesítünk. Ezzel akár magasabb fokú egyenletből is csinálhatunk elsőfokú egyenletet,. Egyenlőtlenségek óra. Egyenlőtlenségek Tk/ Fvt tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok tk. 181/1,, 3, 4 Egyenlőtlenség ek megoldási fgy: módszerei, a megoldás ábrázolása számegyenesen 1497, 1498, 1499, 1500, 156 Elméleti összefoglaló: Az egyenletekhez hasonlóan többféle módszerrel oldhatjuk meg az egyenlőtlenséget. A megoldásnál arra figyelj, hogy mindig ábrázold számegyenesen a megoldáshalmazt! Válasz ki legalább egy jó megoldást, amivel ellenőrízz is! Megoldási módszerek: Grafikus módszer Az egyenlőtlenség két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) g(x) Az f és g függvények értelmezési tartományának közös részéhez tartozó x értékeket keressük,amelyekre a két függvény helyettesítési értéke között az adott reláció fennáll. Tehát mindkét oldalt ábrázoljuk, majd eldöntjük a függvények melyik ága halad a másik felett, hiszen ott lesz nagyobb a helyettesítési érték..itt is meg kell határozni a közös pontot, ahol a két oldal egymással egyenlő! A mérlegelv – Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk, illetve kivonjuk ugyanazt a számot, ismeretlent tartalmazó kifejezést, a relációjel iránya nem változik meg. – Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk, illetve osztjuk ugyanazzal a pozitív számmal, ismeretlennel, akkor az egyenlőtlenség iránya nem változik meg. – Ha az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk, illetve osztjuk ugyanazzal a negatív számmal, ismeretlennel, akkor az egyenlőtlenség iránya megfordul. – Egyenlőtlenséget 0-val vagy olyan kifejezéssel amely értéke nulla nem szorzunk, nem osztunk. 3. Abszolút értékes egyenletek – 4 –

43 91-9.óra. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek tk.: oldal Elméleti anyag Abszolút érték definíciója, az egyenletek megoldási módjai, Gyakorló feladatok tk. 187/1,, 3, 5 fgy: 1505,1506, 1507, 1561 Elméleti összefoglaló: Egy szám abszolút értékén a számegyenesen a számnak a nullától mért távolságát értjük. Ezért minden szám abszolút értéke vagy pozitív, vagy 0. x ha x 0 x x ha x 0 Megoldási módszere: A definíció alapján felbontjuk az abszolút értéket, számegyenesen ábrázoljuk az intervallumokat. Ennél az egyenlettípusnál nagyon fontos az ellenőrzés! Figyeljünk arra, hogy az egyenletnek több megoldási is lehet! 4. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer tk.: oldal óra. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Elméleti anyag – grafikus megoldás – behelyettesítő módszer – egyenlő együtthatók módszere Gyakorló feladatok tk. 03/1,, 3, fgy:1547,1548,1549 Elméleti összefoglaló: Behelyettesítő módszer: – Az egyik ismeretlent kifejezzük az egyik egyenletből. Ez lehet akár az x akár az y attól függően, hogy melyikkel tudunk könnyebben dolgozni. – Az így kapott kifejezést behelyettesítjük másik egyenletbe. Ekkor már csak egy ismeretlenünk marad! – Megoldjuk az egyenletet, ezzel megkapjuk az egyik ismeretlent

44 – Ezt az értéket visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, így megkapjuk a hiányzó ismeretlent is! Egyenlő együtthatók módszere: Ennél a módszernél az a cél, hogy a két egyenletet összeadva vagy egymásból kivonva egy ismeretlen maradjon egy egyenlettel. Ehhez az egyenletek ismeretleneit úgy kell szoroznunk, hogy mindkét egyenletben ugyanannyi legyen belőlük. Ezután a két egyenletet összevonva eltűnik az egyenlő együtthatós ismeretlen. Grafikus megoldás: Megoldhatunk egyenletrendszert is a függvény ábrázolási módszerrel. Ehhez mindkét egyenletből fejezzük ki x-et, majd a két függvényt ábrázoljuk. Ahol a két függvény egymást metszi ott lesz a közös pont. Ennek a pontnak mindkét koordinátáját olvassuk le! 5. Szöveges feladatok óra Egyenletekkel, egyenletrendszerekke l megoldható szöveges feladatok tk.: oldal oldal, 13. oldal Elméleti anyag Szöveges feladatok megoldásának lépései Gyakorló feladatok tk. 193//1,, 3, 4, 5, 6 198/ 1,, 3, 4, 5, 6 08/ 1,,3,4 fgy: , Elméleti összefoglaló: Szöveges feladatok megoldási módszere: Olvasd végig a szöveget, akár többször is. Próbáld értelmezni ami le van írva! Az adatokat írd ki a füzetedbe, mindent amire a megoldáshoz szükséged lehet. Figyelj arra, hogy felesleges adatokat ne használj! Nevezd el ismeretlennek azt amit a feladat kérdez. Ez fontos, hiszen a végén a szöveg szerint fogsz ellenőrizni és válaszolni is! Írd fel az egyenletet-egyenlőtlenséget-egyenletrendszert a szövegnek megfelelően. Ezt oldd is meg! Szövegesen válaszolj mindig arra a ha logikusan végig gondolod magadtól is rájöhetsz mennyire reális a válaszod! Szöveges feladatok megoldása: – Értelmezzük a feladatot – Megválasztjuk a feladat szövege alapján az ismeretlent – Felírjuk az egyenletet – Megoldjuk – A szöveg alapján ellenőrzünk – Válaszolunk a feladatban megfogalmazott kérdésre

45 Szöveges feladatok néhány típusa: – Helyiértékes Életkoros Mozgásos Keveréses Munkavégzéses Százalékszámításos 6. összefoglalás, számonkérés óra. Összefoglalás, témazáró dolgozat, hiánypótlás tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok fgy: VI. Egybevágósági transzformációk (0 óra) 1.A geometriai transzformáció Elméleti anyag 110.óra. A geometriai transzformáció tk.: oldal Geometriai transzformáció, csoportosítás Egybevágósági geometriai transzformáció Gyakorló feladatok Elméleti összefoglaló: Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz, vagyis ponthoz pontot rendel hozzá