Matematika Gyakorlo Es Erettsegire Felkeszito Feladatgyujtemeny II Zold Small ocr

A nagyobb könyvtárakat ajánlom, s főként a BME Központi Könyvtára online felületét:

EGYSÉGES ÉRETTSÉGI FELADATGYŰJTEMÉNY. MATEMATIKA MEGOLDÁSOK II.

Tekintettel mindarra, amit a Nemzeti alaptanterv, a kerettanterv, az érettségi vizsgakövetelmények előírnak, és ami tükröződik a feladatgyűjtemény összeállításán, valamennyi feladat megoldását elkészítették a szerzők. Ennek eredményeként három kötetet töltenek meg a megoldások.

A feladatgyűjtemény és a megoldáskötet is segíteni próbál napjaink matematikaoktatásának abban a célkitűzésében, amelyet egy nemzetközi kutatócsoport így fogalmazott meg: „Fejleszteni az egyénnek azt a készségét, hogy képes felismerni, megérteni, milyen szerepet játszik a matematika a bennünket körülvevő világban, és hogy ennek tükrében képes megalapozott döntéseket hozni és cselekedni, hogy jelenlegi és későbbi élete során alkotó és felelős ember legyen.”

Matematika Gyakorlo Es Erettsegire Felkeszito Feladatgyujtemeny II Zold Small ocr

A feladatgyjtemnyben a tananyag-feldolgozsmdja lehetv teszi a kzpszints az emelt szint rettsgire val felkszlst.

A tbb mint ezer feladatot tartalmaz feladatgyjtemnyben szintezzk az sszes feladatot.Ez a szintezs a feladatok nehzsgi fok t is jelli:

KI = kzpszint, knnyebb;K2 = kzpszint, nehezebb;E l = emelt szint, knnyebb;E2 = emelt szint, nehezebb,V = versenyre ajnlott feladat.

Gy betvel a gyakorlati vonatkozs, letkzeli matematika pldkat jelljk, segtve ezzel a ks’bbi

felhasznlst a szakmai, tudomnyos vagy a mindennapi letben.A feladatgyjtemny CD-mellkletben tallhat a feladatok megoldsa.

I. K om binatorikaII. GrfokIII. FggvnyekIV. Sorozatok Y. Az egyvltozs vals

fggvnyek analzisnek elem ei

VI. Statisztika Valsznsg-szm tsrettsgi feladatsorok

Raktri szm: 16126/1 N’iilI

Gyakorl s rettsgire felkszt feladatgyjtemny II.

Kzpszint Em elt szint

Elsz . 5Jellsek, rvidtsek. 6

I. K O M BIN A TO RIK A . 9Bevezet feladatok . 9Permutcik, varicik . 15

Perm utcik . 15Varicik. 16Vegyes feladatok a permutcik s varicik tmakrbl . 18

Kombincik, ismtlses kom bincik. 23Kombincik . 23Ismtlses kombincik . 26

sszetett fe la d a to k . 29Vegyes fe la d a to k . 39II. G R F O K . 51Alapfogalmak . 51sszefggsek a grf cscsai s lei kztt . 57

Szablyos testek cscsai, le i . 60Vegyes fe la d a to k . 61

sszefgg grfok, fa, kr . 63Grfok bejrsa, Euler-fle po lidert te l. 71

Elek bejrsa . 71Cscsok bejrsa . 73Vegyes fe la d a to k . 74Euler-fle poliderttel . 75

Vegyes fe la d a to k . 77III. FGGVNYEK . 83Alapfogalmak . 83Fggvnytpusok. 96

Nulladfok s elsfok fggvnyek . 96Abszoltrtket tartalmaz fggvnyek . 99Msodfok fggvnyek . 102Racionlis trtfggvnyek. 105Eljel, egszrsz- s trtrszfggvnyek. 107Ngyzetgykfggvnyek. 108Magasabb fok s gyks fggvnyek . 109Exponencilis fggvnyek . 110Logaritmusfggvnyek . 112

Fggvnytranszformcik. 113sszetett fggvnyek . 118

Fggvnyek tu lajdonsgai. 122Fggvnyek tulajdonsgai, mveletek fggvnyekkel. 122Inverz fggvnyek . 123Pros s pratlan fggvnyek . 124Monoton fggvnyek. ..126Periodikus fggvnyek. ..128

Fggvnyek alkalm azsa. ..129IV. SO R O ZA TO K . ..135Sorozatok bevezetse . ..135Szmtani so ro za to k . 138M rtani so ro za to k . ..144Rekurzv so ro z a to k . 151

Explicit s rekurzv a lakok . 151Elsrend lineris rekurzik . . 153Msodrend rekurzik . . 154Vegyes rekurzik . . 155

Vegyes fe la d a to k . ..156Kamatos kamat, jradkszmts . ..163V..A Z EGYVLTOZS VALS F G G V N Y EK A N A LZISN EK

E L E M E I. ..167Sorozat h a t r rtk e . 167

Mrtani sorozat hatrrtke. . 171Fggvny hatrrtke. Folytonossg. 174

Fggvny hatrrtke . . 174Folytonossg. 175

Differencilszmts . 177 r in t k . 179Szlsrtk . . 181Fggvnyvizsglat. 185

Integrlszm ts. 187Hatrozott integrl . 191Terletszmts. . 192Forgstestek trfogata . . 196Ms alkalmazsok . 199

VI. STATISZTIKA, VALSZNSG-SZM TS. 201Tblzatok, g ra fik o n o k . ..201Statisztikai k zep ek . 231Gyakorisg, relatv gyakorisg . 238Esemnyalgebra . ..240Valsznsgek kombinatorikus kiszmtsi m d ja . 242

Ms nemzetek rettsgi feladataibl . 252Valsznsg-szmtsi feladatok emelt s z in te n . 253RETTSGI FELA D A TSO R O K . ..259K zpszin t. ..259Emelt s z in t . ..275

A feladatgyjtemny tagja a Nemzeti Tanknyvkiad j, hrom ktetes feladatgyjtemny-csaldjnak amely – a hozzjuk tartoz hrom megoldsktettel egytt – feldolgozza a teljes kzpiskolai matematika tananyagot az j ktszint rettsgi szellemben, kzpszinten s emelt szinten egyarnt.

A tbb ezer feladatot tartalmaz feladatgyjtemnyekben szintezzk az sszes feladatot. Ez a szintezs a feladatok nehzsgi fokt is jelli:

K I = kzpszint, knnyebb;K2 = kzpszint, nehezebb;E l = emelt szint, knnyebb;E2 = emelt szint, nehezebb;V = versenyre ajnlott feladat;Gy = a gyakorlati vonatkozs, letkzeli matematikapldknl ll.

A feladatgyjtemnyek bsgesen tartalmaznak gyakorlpldkat, azaz a m atematika gyakorlati alkalmazst szolgl feladatokat, segtve ezzel a ksbbi felhasznlst a szakmai, a tudomnyos vagy a mindennapi letben. A tananyagfeldolgozs mdja lehetv teszi a kzpszint s az emelt szint rettsgire val felkszlst. Szerzi s lektorai mindannyian a matematika tantsnak kivl s elismert szakemberei.

A feladatok megoldsa:

Mind a hrom ktetben megtallhat a feladatok megoldsa a CD-mellkletben, a borthoz ragasztva. ltalban rszletes megoldst kzlnk, de helyhiny miatt nhol csak tmutatst nyjtunk vagy a vgeredmnyt adjuk meg, s nhny egyszer feladat megoldst az olvasra bzzuk.

Ajnljuk a tanknyvcsaldot a 9-13. vfolyamon minden m atematikarra a gyakorlshoz, a tmakrk elmlytshez, a tehetsggondozshoz s az rettsgire kszlknek egyarnt.

Jellsek, rvidtsek=, + egyenl, nem egyenl a = 2, b 5

azonosan egyenl ax+ b = 5: kzeltleg egyenl a ~ 2,3; 8,54 a 8, 6< , < kisebb, kisebb vagy egyenl 2 < 3, 5 < x>, > nagyobb, nagyobb vagy egyenl 6 > 4, a > 2N a termszetes szmok halmaza Z az egsz szmok halmaza <. ; - 2 ; 1; 0 ; 1 ; 2 ; . >Z +, Z” a pozitv, a negatv egsz szmok hal

Q, Q* a racionlis, az irracionlis szmok halmaza

Q+, Q~ a pozitv, a negatv racionlis szmok halmaza

R a vals szmok halmazaR +, R” a pozitv, a negatv vals szmok hal

mazae , eleme, nem eleme a halmaznak 5 e N, – 2 Z+ , c rszhalmaz, valdi rszhalmaz A c B, N c Q

/(*o) az/fggvny helyettestsi rtke az x0 helyen

Df, Rf az/fggvny rtelmezsi tartomnya, rtkszlete

f o g sszetett fggvny! faktorlis 4! = 4 . 3 2 1 = 24

n alatt a k 51 5 -4= 10

lltsok implikcija, ekvivalencija

V univerzlis kvantor (minden . )o akkor s csak akkor3 egzisztencilis kvantor (ltezik . )

s sszeg (szumma) t i , 2 (2 i – 3)1 = 1

n szorzat (produktum) 4n ii = 1

lim limesz, hatrrtk lim f(x)X co

jobb oldali hatrrtk

bal oldali hatrrtk

r az/fggvny derivltjaI hatrozatlan integrl / f(x)dx

F(x),F'(x) primitv fggvny s derivltja

Bevezet feladatokK1Gy1 . A z A vrosbl a B vrosba 3 t vezet (ebbl kett fldt, egy aszfaltt), a B vrosbl a C vrosba 5 t (3 fld-, 2 aszfaltt).a) Hnyfle ton juthatunk el /4-bl C-be B-n keresztl?b) Ebbl hny tvonal halad teljes egszben aszfaltton?

K1 2. Feldobunk egy piros s egy fehr dobkockt. Hnyfle eredmnye lehet a dobsnak?

K1 3. Egy dobozba tz cdult tesznk, rajtuk rendre A, A, A, E, I, K, M, M, T, T betkkel. Egyenknt kihzva a cdulkat, hny esetben jhet ki a MATEMATIKA sz?

K1 Gy 4. Nyolc csapat kiesses rendszerben jtszik egymssal. Hnyflekppen alakulhat a dnt prostsa a sorsols utn?

K1 Gy 5. Hnyfle sakklls alakulhat ki a jtszma els lpsprja utn?

K1 6. Adott kt prhuzamos egyenes, e s /.Kijellnk az e egyenesen 6 , az / egyenesen 10 pontot, s sszektjk mindegyik pontot mindegyik ponttal. Hny sszekt j egyenes keletkezett?

K2 Gy 7. Osszunk 20 sakkjtkost kt csoportra.Kt jtkos akkor mrkzik egyms ellen – mgpedig egyszer – ha klnbz csapatba tartozik.a) Hogyan valstsuk meg a sztosztst, hogy a lehet legtbb jtszmra kerljn sor?b) Oldjuk meg a feladatot 20 jtkos helyett tetszleges n szm jtkossal is! (n > 1, n e Z+)

K2 8. Hrom kockt feldobva, hnyflekppen lehet a dobott szmok sszegea) 5;b) legfeljebb 5?

K2 9. A 0,1, 2, 3, 4,5 szmjegyekbl hny darab 6 -jegy, 5-tel oszthat szm kszthet? (Minden szmjegyet fel kell hasznlni.)

E1 10. Az albbi / – / / / . brkon a vonalak mentn ^4-bl C-be szeretnnk eljutni. (Folyamatosan kzeledni kell C-hez, visszafel nem haladhatunk.)

Vizsgljuk meg mindhrom esetben, hogy:a) hnyfle ton juthatunk el ^4-bl C-be;b) hnyfle ton juthatunk el ^4-bl C-be, ha kzben B-t rintennk kell;c) hnyfle ton juthatunk el ^4-bl C-be,

ha kzben B-t nem rinthetjk?

K1 11. Lertuk a szmokat 1-tl 2004-ig. Ekzben hny szmjegyet rtunk le?

K1 12. Egy hromktetes lexikon ktetei rendre 563,552 s 581 lapbl llnak. Hny szmjegyet runk le sszesen, ha az oldalakat mindhrom ktetben 1-tl kezdve sorsz- mozzuk?

K1 13. Egy nagyobb munka oldal- szmozshoz 2184 szmjegy kellett.

Hny oldalbl ll a munka?

K2 14. Lertuk a szmokat 1-tl 1000-ig folyamatosan egyms utn, gy egy sokjegy szmot kaptunk.a) Hny jegy a kapott szm?b) Melyik szmjegyet hnyszor rtuk le?c) Mi a 100. szmjegye a lert szmnak?

K2 15. Egy 625 x625-s m ret tbln a tbla kzepre szimmetrikusan beszneztnk 2005 mezt (kezdetben minden mez fehr szn volt). Bizonytsuk be, hogy a 313. sorban tallhat sznezett mez.Hogyan tudnnk ltalnostani a feladatot?

K1 16. aj Egy 5 elem halmaznak hny 2 elem rszhalmaza van? b) s hny 3 elem rszhalmaza?

K2 Gy 17. Egy kr alak asztalra kt jtkos felvltva egyforma rmket helyez el gy, hogy az rmk nem fedhetik egymst. Az veszt, aki mr nem tud jabb rmt az asztalra tenni. Melyik j t kosnak van nyer stratgija?

0 0 0 O t Q Q 0B

K2 Gy 18. Az asztalra sorban 10 korongot helyeztnk el, piros oldalukkal felfel, kk oldalukkal lefel. Kt jtkos felvltva megfordthat 1 vagy 2 szom

szdos piros korongot (a fordts vgleges). Melyik jtkosnak van nyer stratgija, ha az nyer, aki az utols piros korongot fordtja meg?Keressk meg a nyer stratgit akkor is, ha kezdetben a korongok egy krvonal m entn helyezkednek el!

K1 19. Hny rszre osztja fel a tereta) egy kocka oldallapjainak hat skja;b) egy tetrader oldallapjainak ngy skja?

K1 20. A 4 vagy 5 helyen kilyukasztott buszjegybl van tbb?

K2 Gy 21. Egy kisvrosban izgalmas reformlottt jtszanak: a 90 szmbl 85-t hznak ki.a) Hol nehezebb telitallatot elrni: a hagyomnyos lottban (ahol 90 szmbl 5-t hznak ki) vagy a reform lottban?b) Egy tztag trsasg nzi izgatottan a reformlott hzsnak eredmnyt. Kzlk krlbell hnynak lehet legalbb 75 tallata?

K2 22 . A dott a skon egy konvex hatszg.a) Hny egyenest hatroznak meg a cscsai?b) Hny olyan ngyszg van, amelynek cscsai egyttal a hatszg cscsai is?c) Legfeljebb hny metszspontja van a hatszg tlinak?

23. Hny olyan egsz szm tallhat a 2, 4, 6 , . 2000 szomszdos pros szmok kztt, amelyika) oszthat 3-mal; b) oszthat 5-tel;c) oszthat 3-mal s 5-tel; d) oszthat 3-mal vagy 5-tel;e) nem oszthat sem 3-mal, sem 5-tel?

K2 24. Egy versenyen az iskola tanulinak 20%-a indult. A versenyzk kt feladatot kaptak. Az elst a versenyzk 60%-a, a msodikat 65%-a oldotta meg. Minden indul megoldott legalbb egy feladatot. Csak a msodik feladatot 80-an oldottk meg. Hnyan jrnak az iskolba?

E1 25. Az egsz szmokra vonatkozan tekintsnk hrom tulajdonsgot: T2: a szm oszthat 2-vel;T3: a szm oszthat 3-mal;T5: a szm oszthat 5-tel.Hny egsz szm tallhat az 1001, 1002, 1003, . , 2000 szmok kztt, amelyekrea) mindhrom tulajdonsg igaz;b) egyik tulajdonsg sem igaz;c) a tulajdonsgok kzl pontosan egy igaz;d) a tulajdonsgok kzl pontosan kett igaz?

K1 E1 26. Egy dobozban 10 piros, 20 zld s 7 srga goly van. Bekttt szemmel, vletlenszeren kihzunk nhny (legalbb egy) golyt. Legkevesebb hnyat kell kihznunk, hogy az albbi lltsok igazak legyenek?

A kihzott golyk kztta) van piros;b) van piros vagy zld;c) van piros s zld;d) van kt piros vagy hrom zld;e) van kt piros s hrom zld;f) ha van piros, akkor van zld is;g) ha van a piros vagy zld szn egyikbl, akkor van a msikbl is;h) amikor van kt piros, akkor van hrom zld is;i) van 2 piros vagy 3 zld vagy 4 srga; j) van 2 piros s 3 zld s 4 srga;k) ha van srga, akkor van a msik kt sznbl is;/) ha nincs piros, akkor nincs zld sem.

K1 K2 27. Egy dobozban 30 darab piros, 20 zld s 10 srga zokni van. Bekttt szemmel, vletlenszeren kihzunk nhny (legalbb egy) zoknit. Legkevesebb hny darabot kell kivenni ahhoz, hogy az albbi lltsok igazak legyenek?A kivett darabok kztta) van kt piros pr vagy hrom zld pr;b) van kt piros pr s hrom zld pr;c) ha van piros pr, akkor zld pr is van;d) van kt piros pr vagy hrom zld pr vagy ngy srga pr;e) van kt piros pr s hrom zld pr s ngy srga pr;f) ha nincs piros pr, akkor nincs zld pr sem.

K1 28. Egy n X n-e s mret tblzat minden ngyzetbe berjuk a – 1 , 0 , 1 szmok valamelyikt. Lehetsges-e olyan bersi md, hogy a tbla minden egyes sorba, minden egyes oszlopba s a kt tljba rt szmok sszege mind klnbz szm?

K1 29. Hny mez belsejn halad t egy 2004 X 999-es mret sakktbla tlja?

E1 30. Melyik az az egyenes, amelyik a legtbb mezn halad t egya) 8 X 8 -as mret;b) n X n -e s mret sakktbln, (k , n e Z+)?

V 31. Egy 11 X 12 X 13-as mret tglatestet egysgkockkbl raktunk ssze. Hny egysgkocka belsejn halad t a tglatest testtlja?

K2 32. Tekintsk az albbi tblzatot.

104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 stb.

a) Milyen szm ll a 2004. sor 100. helyn? (A 2004. sorban 2004 darab szm van.)b) Melyik sorban, hnyadik helyen tallhat a tblzatban a 2005?

K1 Gy 33. 2 0 jtkos kiesses versenyen vesz rszt. A verseny lebonyoltsa ktflekppen trtnhet:1. A prosmrkzses rendszerben minden fordul utn sszesorsoljk a prokat, s minden prbl a gyztes jut tovbb. (Ha valakinek nem jut ellenfl, ernyerknt tovbbjut.)2. A kihvsos rendszerben az els prt sszesorsoljk, majd mindig a gyztes jtszik egy kvetkez ellenfllel.a) Hny mrkzst jtszanak le a kt esetben, amg kiderl a gyztes szemlye?b) Hogyan ltalnosthatjuk a feladatot?

K1 34. Egy 7 X 8 -as m ret ngyzethls paprdarabot brmely rcsegyenese mentn kt rszre vghatunk, majd az gy kapott paprdarabokkal folytatjuk az eljrst. Legkevesebb hny vgsra van szksg ahhoz, hogy a kezdeti paprdarabot 1 X 1-es ngyzet alak darabokra vgjuk szt, haa) egy vgssal egyszerre csak egyetlen darabot vghatunk el;b) a darabokat elmozgathatjuk, egymsra helyezhetjk gy, hogy egy vgssal egyszerre tbb darabot is sztvghatunk?

K2 35. Egy 8 X 8 X 8 -as m ret kockt skbeli vgsokkal 1 X 1 X 1-es mret kisebb kockkk daraboljuk. Legkevesebb hny vgsra van szksg, haa) egy vgssal egyszerre csak egyetlen darabot vghatunk el;b) a darabokat elmozgathatjuk, egymsra helyezhetjk gy, hogy egy vgssal egyszerre tbb darabot is sztvghatunk?

K1 Gy 36. Anna s Bla egy igaz-hamis jtkot jtszanak. Anna gondol egy l nl nem nagyobb pozitv egsz szmra, Bla pedig a lehet legkevesebb eldntend krdssel megprblja a szmot kitallni. (Rkrdeznie mr nem kell.)a) Legkevesebb hny krdsre van Blnak szksge?b) Legkevesebb hny krdsre van Blnak szksge, ha csak elre meghatrozott krdseket tehet fel? (Ez azt jelenti, hogy az egyes vlaszok eredmnytl fggetlenl, elre rgztett krdseket szabad feltenni.)

K2 Gy 37. Adott t fehr s egy piros goly, melyek klsre teljesen egyformk. A fehrek kztt egy hamis goly van, melynek a tmege eltr a tbbi goly tmegtl (nem tudjuk, hogy knnyebb vagy nehezebb, mint a tbbi). Rendelkezsnkre ll egy ktkar mrleg, mellyel sszehasonltsokat tudunk vgezni.a) Hny mrsbl lehet megtallni a hamis golyt?b) A hamis goly knnyebb, vagy nehezebb a tbbinl?

K2 38. Kezdetben egy 1-est runk a tblra, majd ezutn minden lpsben a tbln lv szmot a ktszeresvel vagy a ngyzetvel helyettesthetjk. Elrhet a 2 45 pontosan 1 0 lpsben?

V Gy 39. Egy bvszmutatvny menete a kvetkez:27 krtyalapbl egyet kihzatunk a kznsggel gy, hogy mi nem ltjuk a kivlasztott lapot. Ezutn a krtykat egyesvel hrom 9 lapbl ll kupacra osztjuk, s megkrdezzk, hogy melyik csoportban van a kivlasztott lap. M iutn ezt megmondtk a nzk, sszegyjtjk a lapokat, s mg ktszer elvgezzk ugyanezt az eljrst. Vgezetl nhny bvszkellket felhasznlva (krtyalapok megfj sa, varzsigk mormolsa) tlapozzuk a paklit, s egyszeren megmondjuk, melyik volt a kivlasztott lap.Mi a mutatvny magyarzata?

K2 40. Egy kocka cscsaiba egy-egy szmot rtunk. Ezutn minden lpsben valamely l vgpontjaiban ll kt szmot eggyel-eggyel megnvelhetjk. Elrhet-e nhny lps elvgzsvel, hogy minden cscson azonos szm lljon, ha a kezdeti szmozs a kvetkez:a) az alaplapon krben 1, 2, 3, 4, a fedlapon 5, 6 , 7, 8 (az 1-es felett az 5-s ll stb.);b) 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ;c) 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 (az alaplap kt szemkzti cscsban 1-es, a tbbi cscsban0 van).

41.10 szk ll egyms mellett, az els nyolcon felvltva l 4 fi s 4 lny. Kt egyms melletti gyerek felll s ugyanebben a sorrendben tl a kt res helyre. Megint kt szomszdos gyerek felll s tl, s gy tovbb. Minl kevesebb helycservel rjk el, hogy egyms mellett legyen a 4 fi s a 4 lny.

K2 42. Tekintsk az albbi 10 X 10-es mret tblzatot.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 192 0 21 2 2 23 24 25 26 27 28 2930 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 51 52 53 54 55 56 57 58 5960 61 62 63 64 65 66 67 6 8 6970 71 72 73 74 75 76 77 78 7980 81 82 83 84 85 86 87 8 8 8990 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Vlasszunk ki minden sorbl s minden oszlopbl egy-egy szmot (sszesen tzet) gy, hogy a tz szm sszege a leheta) legkisebb;b) legnagyobb legyen!

K2 43. Bontsunk fel egy 7 cm oldal ngyzetet minl kevesebb prhuzamos lls ngyzetre gy, hogy a kapott ngyzetek oldala cm-ben mrve (7-nl kisebb) egsz hosszsg legyen.

K2 44. Hny (egyszn)a) fut; b) gyalog

helyezhet el a 8 X 8 -as mret sakktbln gy, hogy semelyik kett ne sse egymst? (A kt alapsoron is llhat gyalog.)

K1 Gy 45. Nagyapim ddapjai ugyanazok a szemlyek-e, mint ddapim nagy- apjai? (Az sk kzt tdziglen nem volt rokonhzassg.)

K11 46. 2 0 0 0 . janur elseje szombatra esett. ( 2 0 0 0 szkv volt, a februr hnap 29 napos.) Ebben az vben a ht melyik napjra esett leggyakrabban a) 20-a; b) 30-a; c) s pntek 13-a?

47. Lerjuk a szmokat 1-tl 9999-ig folyamatosan egyms utn, gy egy sok jegybl ll szmot kapunk.a) Hny jegy a kapott szm?b) Melyik szmjegyet hnyszor rtuk le? ej Mi a 2004. szmjegye a lert szmnak?

VGy 48.5 lda mindegyikben 100-100 mrsly van. Az egyik ldban minden sly 101 dkg-os, a tbbiben mind 1 0 0 dkg-os.a) Hny mrssel lehet megllaptani, hogy melyik a hamis lda? (A mrsekhez egykar mrleget hasznlhatunk, amely a mrt slyok tmegt mutatja.)b) Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha lehetsges, hogy tbb ldban is hamis slyok vannak.

K2 Gy 49. Adott 8 klsre egyforma, de csupa klnbz tmeg goly. Ktkar mrleg segtsgvel, mellyel sszehasonltsokat tudunk vgezni, 9 mrssel ki kell vlasztani a kt legnehezebbet. Hogyan tehetjk ezt meg?

K1 50. Hny (nem szksgkppen rtelmes) hrombets sz’kszthet az A, B, C betkbl, ha minden bet pontosan egyszer szerepelhet? rjuk is le a szavakat!

K1 51. Hny hromjegy szm kszthet az 1,2,3 szmjegyekbl, ha minden szmjegy pontosan egyszer szerepelhet? rjuk is le a szmokat!

K1 52. Hnyflekppen lehet ngy tanult (Attila, Bea, Cili, Dnes) sorba lltani?

K1 Gy 53. Ngy labdargcsapat egyforduls krmrkzst jtszik egymssal. Hnyfle sorrendben vgezhetnek a csapatok, ha nincs holtverseny?

K1 54. Egy sszejvetelen 5 fi s 5 lny vesz rszt. A tncol proknak hnyfle sszettele lehetsges, ha mindenki tncol, s a lnyok egymssal, illetve a fik egymssal nem tncolnak?

K1 55. Hnyflekppen lehet 5 klnbz szn golyt sorban elhelyezni?

K1 56. Hnyfle sorrendje leheta) 1 0 ;b) nklnbz elemnek, (n g N )?

K1 58. Nhny golyt 120-flekppen rakhatunk sorba. Hny golynk lehet, ha mindegyik klnbz szn?

K1 59. Versenyezznk! Adjunk meg hrom bett gy, hogy bellk minl tbb rtelmes hrombets szt lehessen alkotni. (Minden bet pontosan egyszer szerepelhet.)A versenyt ngybets szavakkal is megrendezhetjk.

Ism tlses perm utcik

K2 60. Hny (nem felttlenl rtelmes) sz kszthet az albbi betkbl, ha minden bet pontosan egyszer szerepelhet?a) a, a, b, c;b) a, a, a, b, c;c) a, a, b, b, c;d) a, a, a, b, b, c.

K1 61. Versenyezznk! Adjunk meg ngy bett gy, hogy kzttk kt egyforma legyen, s bellk minl tbb rtelmes, ngybets magyar szt lehessen alkotni.

K2 62. Hny szm kszthet az albbi szmjegyekbl? (Minden megadott szmjegyet fel kell hasznlni.)

a) 1, 1, 2; b) 1, 1, 2, 3;c) 1, 1, 2, 3, 4; d) 1,1, 1, 2, 3, 4;e) 1, 1, 2, 2, 3; f) 1, 1, 2, 2, 3, 4;g) 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4; h) 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3.

K2 63. A dott kt halmaz, A = , B = . Hny o ly an ^-t B -re kpez fggvny van, amely minden -beli elemet pontosan ktszer vesz fel rtkl?

K1 64. Hny (nem szksgkppen rtelmes) hrombets sz kszthet az albbi betkbl, ha minden bet pontosan egyszer szerepelhet?a) a, b, c, d;b ) a , b , c , d , e ;c) a, b, c, d, e,f.

K1 65. Hny hromjegy szm kszthet az 1, 2, 3, 4, 5 szmjegyekbl, ha minden szmjegy pontosan egyszer szerepelhet?

K1 66. Hnyflekppen ltethetnk le 6 emberbl 3-at egy hromszemlyes padra? (Az lhelyek szmozottak.)

K1 67. 10 klnbz szn veggolybl 5-t felfznk egy lncra. Hnyflekppen tehetjk ezt meg? (Kt felfzst csak akkor tekintnk azonosnak, ha a megegyez szn golykat ugyanabban a sorrendben fzzk fel.)

K1 68. Legalbb hny klnbz szmjegyre van szksg ahhoz, hogy 1 20 hromjegy szmot rhassunk fel ezek felhasznlsval? (Minden szmjegy csak egyszer szerepelhet.)

KI 69. Adott kt halmaz, A – , B – . Hny olyan fggvny van, amely az A halmaz elemeihez a B halmaz elemeibl klcsnsen egyrtelmen rendel hozz hrmat?

K1 70. Hny (nem szksgkppen rtelmes) ktbets sz kszthet az A , B, C betkbl, ha egy-egy bet tbbszr is szerepelhet? rjuk is le a szavakat!

K1 71. Hny hrombets sz kszthet az albbi betkbl, ha egy-egy bet tbbszr is szerepelhet?a) a, b, c, d;b) a, b, c, d, e\c) a, b, c, d, e,f.

K1 72. Egy dobozban tz klnbz szn veggoly van, mindegyik sznbl nyolc-nyolc darab. A golyk kzl tt felfznk egy lncra. Hnyflekppen tehetjk ezt meg? (Kt felfzst csak akkor tekintnk azonosnak, ha a megegyez szn golykat ugyanabban a sorrendben fzzk fel.)

K1 Gy 73. Hnyfle kitlttt totszelvny van? (A klasszikus totszelvnyen 13 + 1 mrkzs vgeredmnyre tippelhetnk, mindegyik tipp lehet 1,2 vagy X.)

K1 Gy 74. Hnyfle lyukasztott buszjegy lehet?

K1 75. Hny ngyjegy tkrszm van? (Egy termszetes szm tkrszm, ha egyenl a jegyei fordtott sorrendjvel felrt szmmal.)Ezek kzl melyek ngyzetszmok?

K1 76. A 2 -es szmrendszerben hnya) 6 jegy; b) legfeljebb 6 jegy termszetes szm van?

K1 77. Az n alap szmrendszerben hny pontosan k jegy termszetes szm van? s hny legfeljebb k jegy?

K1 Gy 78. Egy tuds trsasg az emberek fogazatt vizsglja. Az alapjn osztlyozzk a fogazatokat, hogy az egyes fogak hinyoznak valakinl vagy sem.

Hny ember megvizsglsa esetn lehet biztos a trsasg abban, hogy van a vizsglt szemlyek kztt kett, akiknek megegyezik a fogazata? (32 foggal szmoljunk.)

K1 Gy 79. Az elz feladatbeli vizsglatot pontosabban vgzik el. Az j szempontok szerint a meglv fogakat is ktfel osztjk: egszsgesekre vagy m r kezeitekre, tmttekre. Most hny ember megvizsglsa esetn lehet biztos a trsasg abban, hogy van a vizsglt szemlyek kztt kett, akiknek megegyezik a fogazata?

K1 Gy 80. Egy pnclszekrnyen 3 forgathat szmtrcsn lehet belltani az egyetlen nyit szmkdot. A trcskon a 0, 1, 2, . 9 szmjegyek llthatk. Mennyi ideig tart az sszes kombinci kiprblsa, ha egy bellts s nyitsi prba 6 msodpercig tart?

K1 81. Hny rszhalmaza van az halmaznak?

K1 82 . Adott kt halmaz, A = = , B = . Hny olyan fggvny van, amely az A halmaz elemeihez a B halmaz elemeit rendeli?

K1 83. Legalbb hny szmjegyre van szksg ahhoz, hogy 243 tjegy szmot rhassunk fel ezek felhasznlsval?

Vegyes feladatok a permutcik s varicik tmakrbl

K2 84. Hny szm kszthet az albbi szmjegyekbl, ha minden szmjegy pontosan egyszer szerepelhet?a) 0, 1, 2, 3;b) 0, 1, 1, 2, 3;c) 0, 1, 1, 2, 2, 3;d) 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4.

K1 85. Az 1, 2, 3, 4, 5 szmjegyekbl hny tjegya) pros; b) pratlanszm kszthet? (Minden szmjegy csak egyszer szerepelhet.)s hny hromjegy pros, illetve pratlan szm kszthet?

K2 86. A 0, 1, 2, 3, 4 szmjegyekbl hny tjegya) pros; b) pratlanszm kszthet? (Minden szmjegy csak egyszer szerepelhet.)s hny hromjegy pros, illetve pratlan szm kszthet?

K2 87. A 0 ,1, 2, 3, 4, 5 szmjegyekbl hny hatjegy, 5-tel oszthat szm kszthet? (Minden szmjegy csak egyszer szerepelhet.)

E1 88. Hny htjegya) pros; b) pratlanszm kszthet a 0, 1, 1,1, 2, 2, 3 szmjegyekbl?

E2 89. Hny tzjegy, ttel oszthat szm kszthet a 0, 0 ,1 ,1 , 2, 3, 4, 5, 5, 5 szmjegyekbl?

K1 90. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 szmjegyekbl hny olyan ngyjegy szmot kszthetnk, amelyben szerepel a 3-as?

K1 91. Egy szablyos jtkkockval t dobst vgznk. Hny olyan kimenetele lehet a ksrletnek, amikor legalbb egyszer hatost dobunk?

K1 Gy 92. Hny rgi fajta rendszmtbla kszthet a 26 bet s 10 szmjegy fel- hasznlsval? (Kt bett s ngy szmjegyet hasznlhatunk fel, pl.:AB 12-34.)

K1 Gy 93. Melyik rgi fajta rendszmtblbl van tbb: amelyikben nem ismtldik szmjegy, vagy amelyikben igen? (Kt bett s ngy szmjegyet hasznlhatunk fel, pl.: AB 12-34.)

K1 Gy 94. Hny rendszmtbla kszthet a 26 bet s 1 0 szmjegy fel- hasznlsval, ha hrom bett s hrom szmjegyet hasznlhatunk fel? (Pl.: ABB 011.)

K1 Gy95. Melyik fajta rendszmtblbl van tbb: a rgi tpusbl (kt bet, ngy szmjegy) vagy az jbl (hrom bet, hrom szmjegy)?

K2 96. Hny hatjegy szm van, amelyben a szmjegyek szorzata pros?

K1 97. Hny olyan 3-mal kezdd tjegy szm rhat fel az 1 , 3, 5, 7, 9 szmjegyek felhasznlsval, amelynek utols szmjegye 1? (A szmjegyeket tbbszr is felhasznlhatjuk.)

K1 98. A 4-es s 5-s szmjegyekkel hny olyan nyolcjegy szm kszthet, amelyben a 4-esek s 5-sk szma megegyezik?

K1 99. Hny olyan nyolcjegy kettes szmrendszerbeli szm van, melyben 3 darab 0 szmjegy szerepel?

K2 100. Hny olyan nyolcjegy kettes szmrendszerbeli szm van, melyben legfeljebb 3 darab 0 szmjegy szerepel?

K1 101. Lertuk az 1, 2, 3, 4, 5, 6 szmjegyekbl kpezhet sszes ngyjegy szmot gy, hogy minden szmjegyet csak egyszer hasznltunk fel.a) Ezek kztt a szmok kztt hny 4-gyel kezdd van?b) Ezek kzl hny kezddik 41-gyel?c) Hny olyan szm van a lertak kztt, amelyben az els helyen 4-es, az utols helyen 1-es ll?d) Az a)-c) feladatokat oldjuk meg akkor is, ha egy-egy szmjegyet tbbszr is felhasznlhatunk!

E1 102. A 0, 1, 1, 2, 2, 2 , 3 szmjegyekbl hny darab hatjegy szm kszthet?

K2 103 . A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 szmjegyekbl hny olyan tjegy szm alkothat, amelyekben legalbb egy szmjegy ismtldik?

K2 104. A 0, 1, 2, . 7 szmjegyekbl kszthet tjegy szmok kztt hnyban fordul el az 1-es szmjegy, haa) minden szmjegyet csak egyszer hasznlhatunk fel;b) a szmjegyek ismtldhetnek?

E2 105. Hny olyan hatjegy szm van, amelyben a szmjegyek sszege pros?

K2 106. Hny hatjegy pros szm kszthet a 0 ,1 ,1 ,1 ,2 , 3 szmjegyekbl?

107. Hny tjegya) 2 -vel;b) 3-mal;c) 4-gyeloszthat szm van?

E2 108. Hny szzjegy, hrommal oszthat szm van?

K1 109 . Az 1, 2, 3, 4, 5 szmjegyek felhasznlsval hny olyan hromjegy szm kszthet, amelyben elfordul az 5-s szmjegy?

110. Hny olyan tjegy szm van, amelynek van pratlan szmjegye, haa) minden szmjegy csak egyszer szerepelhet;b) a szmjegyek ismtldhetnek?

K1 111. Hny olyan nyolcjegy szm van, amelynek minden szmjegye 4-nl nagyobb s 7-nl kisebb?

K1 112 . A 4-es s 5-s szmjegyekbl hny 9-cel oszthata) nyolcjegy; b) kilencjegy szmot kszthetnk?

E2 113. Hny nyolcjegy, 3-mal oszthat szm kpezhet aza) 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;b) 0, 1, 2, 3, 4, 5;c) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 szmjegyekbl?

E2 114. Hny szzjegy, 3-mal oszthat szm kpezhet a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 szmjegyekbl?

E2 115. Hny olyan tjegy szm van, amely 6 -ra vgzdik s 3-mal oszthat?

116. Hny olyan 3-mal oszthat tjegy szm van, amelyben elfordul a 6 -os szmjegy?

E2 117. Hny 3-mal oszthat tjegy szm van, amelyben elfordul a 0 szmjegy?

K2 118. Hnyflekppen lehet hat embert (A, B, C, D, E, F) egy padra gy leltetni, hogy kt kijellt szemly (pl. A s B) egyms mellett ljn? (Az lhelyek szmozottak.)

K2 119 . Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 elemeknek hny olyan permutcija (sorrendje) van, amelyben az 1-es s a 2 -es nincs egyms mellett?

K2 120. Hny olyan htjegy szm kszthet a 0 ,1, 2, 3, 4, 5, 6 szmjegyekbl, amelyben az 1-es s 2-es szmjegy nem ll egyms mellett? (Minden szmjegyet csak egyszer hasznlhatunk fel.)

K2 121. Nyolc em ber- A , B , C , D , E, F , G , H – lel egy padra. (Az lhelyek szmozottak.) Hnyflekppen helyezkedhetnek el gy, hogya) H ne kerljn a pad szlre;b ) A a B mell s C a D mell ljn;c) E ne kerljn F mell;d) sem D, sem E ne kerljn a pad szlre?

E1 122. Az 1, 2, . 9 szmokat sorba rendezzk.a) Hny esetben fordulhat el, hogy az 1, 2, 3 szmok valamilyen sorrendben egyms mell kerlnek?b) Hny esetben fordulhat el, hogy az 1, 2, 3 szmok nvekv sorrendben kerlnek egyms mell?c) Hny esetben fordulhat el, hogy az 1, 2, 3 szmok egymshoz kpest (nem szksgkppen egyms mellett) nvekv sorrendben helyezkednek el?

E1 123. A 0, 1, 2, . 9 szmjegyekbl minden szmjegyet felhasznlva tzjegy szmokat ksztnk.a) Hny esetben fordulhat el, hogy az 1, 2, 3 szmok valamilyen sorrendben egyms mell kerlnek?b) Hny esetben fordulhat el, hogy az 1, 2, 3 szmok nvekv sorrendben kerlnek egyms mell?c) Hny esetben fordulhat el, hogy az 1, 2, 3 szmok egymshoz kpest (nem szksgkppen egyms mellett) nvekv sorrendben helyezkednek el?

E2 124. Az 1, 2, 3, . n szmokat sorba rendezzk. Hny olyan eset van, amelyben az 1 , 2 , k szmok (k < n ) valamilyen sorrendben egyms mell kerlnek?

E2 125. Az 1, 2, 3, . n szmokat sorba rendezzk. Hny olyan eset van, amelyben az 1 , 2 , . k szmok (k < n ) nvekv sorrendben kerlnek egyms mell?

E2 126. Az 1, 2, 3, . n szmokat sorba rendezzk. Hny esetben fordulhat el, hogy az 1 , 2 , . , k szmok (k < n ) egymshoz kpest (nem szksgkppen egyms mellett) nvekv sorrendben helyezkednek el?

K2 127. Nyolc cdulra rjuk fel rendre az 1, 2 . 8 szmokat. Hnyflekppen lehet a cdulkat gy sorba rendezni, hogya) azonos parits szmok ne kerljenek egyms mell;b) az els ngy helyen csak pros szm lljon?

K2 128. Ngy fit s ngy lnyt sorba lltunk. Hnyflekppen tehetjk ezt meg, haa) ell llnak a lnyok s utnuk a fik;b) a fik s a lnyok felvltva llnak?

E2 129. Az 1, 1, 2, 3, 4 szmjegyek felhasznlsval hny tjegy szmot lehet kszteni, amelybena) az 1-es szmjegyek egyms mellett vannak;b) a 2-es s 3-as szmjegyek egyms mellett vannak;c) a 3-as s 4-es szmjegyek nem llnak egyms mellett?

E2 130. Az 1, 1, 1, 2, 3, 4 szmjegyek felhasznlsval hny hatjegy szmot lehet kszteni, amelybena) az 1-es szmjegyek egyms mellett vannak;b) a 2-es s 3-as szmjegyek egyms mellett vannak;c) a 3-as s 4-es szmjegyek nem llnak egyms mellett?

E2 131 . Az 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 szmjegyek felhasznlsval hny htjegy szm ot lehet kszteni, amelybena) az 1-es szmjegyek egyms mellett vannak;b) a 2 -es szmjegyek egyms mellett vannak;c) a 3-as s 4-es szmjegyek egyms mellett vannak;d) a 3-as s 4-es szmjegyek nem llnak egyms mellett?

E2 132. AO, 1 ,1 ,1 , 2, 2, 3, 4, 5 szmjegyekbl hny olyan kilencjegy szmot lehet kszteni, amelybena) a 2 -es szmjegyek egyms mellett vannak;b) a 2 -es szmjegyek nem llnak egyms mellett;c) a 3-as s 4-es szmjegyek egyms mellett llnak;d) a 3-as s 4-es szmjegyek nem llnak egyms mellett?

K1 Gy 133. Hnyflekppen lehet egy 52 lapos francia krtybl 8 lapot kihzni, ha a kihzott lapok sorrendjre nem vagyunk tekintettel, sa) visszatevs nlkl hzunk;b) a kihzott lapot minden hzs utn visszatesszk?

K1 134. Egy 8 X 8 -as sakktbln legfeljebb hny bstyt lehet elhelyezni gy, hogy egyik se sse a msikat? Hny ilyen elhelyezs lehetsges? (A sakktbla szmozott.)

E1 135. Legfeljebb hny kirlyt helyezhetnk ela) a 8 X 8 -as mret sakktbln;b) az 5 x5-s mret sakktblngy, hogy semelyik kett ne sse egymst? (A sakktbla mezi szmozottak.)

E1 Gy 136. Kilenc m adarat kell – egy res kalitka segtsgvel – gy tkltztetni, hogy mindegyik m adr elrt kalitkba kerljn. Megengedett mvelet brmely madr tkltztetse az ppen aktulis res kalitkba. Legalbb hny tkltztetsre van ehhez szksg az albbi esetekben? A madarak sorrendjt az 1 2 3 4 5 6 7 8 9 kalitkasorrendhez kpest adjuk meg.a) 7 9 4 5 1 2 6 3 8 ;b) 3 7 8 5 6 4 1 9 2;c) 3 8 4 1 7 5 6 9 2.

E1 137. Hny olyan egybevgsgi transzformcija van a sknak, amely egy adott

a) szablyos hromszget;b) ngyzetet;c) szablyos tszgetnmagba visz t? Melyek ezek a transzformcik?E1 Gy 138. Hny eldntend krdssel tallhat ki az A, B, C, D betkbl alkoto tt ngybets jelsorozat, haa) minden bet csak egyszer szerepel;b) egy-egy bet tbbszr is szerepelhet?K1 139. Az (an) sorozat kezdtagja a0 1, s minden tovbbi tagra an = n a_[ (n > 1). Mivel egyenl a sorozat n. tagja?

Kombincik, ismtlses kombincik

K1 140. Egy trsasgban mindenki mindenkivel kezet fog. Hny kzfogs ez sszesen, ha a trsasg ltszmaa) 6 f; b) n f?K1 141. Hny ktelem rszhalmaza van aza) ;b) ;c) halmazoknak? rjuk is le a rszhalmazokat.K1 142. Legfeljebb hny metszspontja lehet 5 egyenesnek?K1 143. Adott t ltalnos helyzet pont a skon (semelyik kt pont nincs egy egyenesen). Hny egyenest hzunk be, ha sszektnk minden pontot minden ponttal?K1 144. Egy trsasgban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hnyan voltak a trsasgban, ha sszesen 136 kzfogs trtnt?K1 145. Versenyezznk! Adjunk meg ngy bett gy, hogy bellk minl tbb rtelmes magyar szt lehessen alkotni. (Minden bet csak egyszer szerepelhet, de nem kell mindegyiket felhasznlni.)rdemes a feladatot 3, illetve 5 betvel is lejtszani.K1 146. Hnyflekppen lehet 10 krtyalapbla) 3;b) 7lapot kiosztani?K1 Gy147. Egy futverseny nyolc versenyzje kzl az els ngy jut tovbb. Hnyflekppen alakulhat a tovbbjutk csoportja?K1 148. Adott t kk s egy piros pont a skon gy, hogy semelyik hrom pont nincs egy egyenesen. A pontok ltal meghatrozott hromszgek kzl melyikbl van tbb: amelyiknek van piros cscsa, vagy amelyiknek nincs?

K1 149. Hnya) 2 elem;b) 3 elem;c) 4 elem;d) 5 elemrszhalmaza van az halmaznak?

K1 150. Oldjuk meg az albbi feladatokat!a) Hny egyenest hatroz meg 10 ltalnos helyzet pont a skon? (Semelyik hrom pont nincs egy egyenesen.)b) ltalnostsuk a feladatot!c) Hny hromszget hatroz meg 10 ltalnos helyzet pont a skon?d) s hny ngyszget?e) Hny pontot hatroz meg 10 ltalnos helyzet egyenes a skon? (Semelyik kt egyenes nem prhuzamos s semelyik kett metszspontjn nem megy t harmadik egyenes.)f ) s hny hromszget hatroznak meg?

K2 151. Hnyflekppen lehet 5 piros s 4 zld, egyforma mret golyt sorba rendezni? Oldjuk meg a feladatota) ismtlses permutci alkalmazsval;b) kombinci alkalmazsval.

K1 Gy 152. Hnyflekppen tlthet ki egy hagyomnyos lottszelvny?(90 szmbl kell 5-re tippelni.)

K2 153. Az 1, 1, 1, 2, 2, 2 szmjegyekbl hny 6 jegy szmot kszthetnk? Oldjuk meg a feladatota) ismtlses permutci alkalmazsval;b) kombinci alkalmazsval.

K1 Gy 154. Hny mrkzst jtszik 16 csapat sszesen, ha mindegyik mindegyikkel jtszik?

K2 155. Hnyflekppen jhetett ltre egy 7 :5 vgeredmny teniszjtszma?

K2 156. Az asztalitenisz-jtszmkat 11 pontig jtsszk gy, hogy legalbb kt pont klnbsg kell a gyzelemhez. (Ha teht 10:10 utn 11:10 lett az eredmny, tovbb folytatjk a jtkot addig, amg a jtkosok kztt nem alakul ki kt pont klnbsg.)Hnyflekppen jhet ltre egya) 1 1 : 5-s;b) 1 3 :11-es eredmny jtszma?

E1 157. Hnyflekppen alakthatunk 8 lnybl s 4 fibl kt hatfs sakkcsapatot gy, hogy mindkt csapatban legyen legalbb egy fi?

K1 Gy 158. Hny lottszelvnyt kell kitltennk a biztos ts tallathoz az egyes lottfajtkban?

a) Hagyomnyos lott: 90 szmbl hznak ki 5-t;b) hatos lott: 45 szmbl hznak ki 6 -ot;c) skandinv lott: 35 szmbl hznak ki 7-et.K1 Gy 159. Hny lottszelvnyt kell kitltennk a biztos ts tallathoz az albbi orszgokban?a) Belgium: 35 szmbl hznak ki 7-et;b) Hollandia: 41 szmbl hznak ki 6 -ot;c) Jugoszlvia: 36 szmbl hznak ki 5-t;d) Svjc: 36 szmbl hznak ki 6 -ot.K2 Gy160. 500 termk kztt 4% a selejtes. Hnyflekppen lehet tz termket kivlasztani gy, hogya) egy selejtes se legyen;b) mind a tz selejtes legyen;c) pontosan t selejtes legyen?

K1 Gy 161. Hnyflekppen lehet egy 32 lapos magyar krtybl 8 lapot kiosztani? (Vagyis visszatevs nlkl hzunk, s nem vagyunk tekintettel a kihzott lapok sorrendjre.)

K1 Gy 162. Hnyflekppen lehet a magyar krtyacsomagot kiosztani ngy jtkos kztt gy, hogy mindegyik nyolc lapot kapjon?

K1 Gy 163. Az ulti krtyajtkban hnyfle kezdeti kioszts lehetsges?

E2 164. Hnyflekppen alakulhat egy teniszjtszma? (Van rvidts, teht legfeljebb 7: 6 lehet a vgeredmny.)

K2 165. Hnyflekppen lehet 3 piros, 4 zld s 5 kk, egyforma mret golyt sorba rendezni? Oldjuk meg a feladatota) ismtlses permutci alkalmazsval;b) kombinci alkalmazsval.

K1 166. A hatrllomson rsgben egyszerre ngy katona ll. Hny tag az rszolglati egysg, ha 1365-flekppen lehet a ngy rt kivlasztani?

E1 167. Hnyflekppen lehet 5 piros s 4 zld, egyforma mret golyt sorba rendezni gy, hogy kt zld goly ne legyen egyms utn?

E1 168. A knyvespolcon 12 klnbz knyv ll. Hnyflekppen lehet kzlk kivlasztani 5-t gy, hogy ezek kztt ne legyenek egyms mellett llk?

E1 169. Hnyflekppen lehet 4 piros, 3 fehr s 2 zld, egyforma mret golybl olyan lncot kszteni, melyben nincs egyms melletta) kt zld;b) kt fehr;c) fehr s zld goly?

170. Hnyflekppen lehet 4 piros, 3 fehr s 2 zld, egyforma mret golybl olyan karktt kszteni, melyben nincs egyms melletta) kt zld;b) kt fehr goly?

K1 171. Egy dobozban 15 cdula van 1-tl 15-ig szmozva. Kihzunk t cdult visszatevs nlkl. Hny esetben lesz a kihzott legkisebb szm nagyobb 5-nl?

E1 172. Egy dobozban 15 cdula van, melyekre rendre az 1, 2, . 15 szmokat rtuk. Hzzunk ki 5 cdult visszatevs nlkl. (Szmt a kihzott cdulk sorrendje.)Hny esetben kapunk olyan szmtst, amelyben a szmok nvekv sorrendben vannak?

E1 173. Hny htjegy szm van, amelynek szmjegyeia) nvekv;b) cskkensorrendben kvetkeznek egyms utn? (Egyenlsg nem lehet a szmjegyek kztt.)

K2 174. Hnyflekppen vlaszthatunk ki hrom klnbz, 30-nl nem nagyobb pozitv egsz szmot gy, hogy az sszegk pros legyen?

E1 175. Hny tjegy szm van a 16-os szmrendszerben, amelyben a szmjegyeka) nvekv;b) cskken sorrendben vannak?

K2 Gy176. 200 csavar kzl 20 selejtes. A 200 csavarbl tzet kivve, hny esetben lesz kztka) legfeljebb ngy;b) legalbb ngy;c) 2 0 % selejtes?

E2 177. Hny klnbz szmjegyekbl ll tjegy szm van, amelynek szmjegyei nem nvekv sorrendben kvetkeznek egyms utn? s olyan, amelyben a szmjegyek sorrendje nem cskken?

K1 K2178. Egy ksrlet sorn 2 0 -szor feldobtak egy rmt, s lejegyeztk az gy kapott fejekbl s rsokbl ll sorozatot.a) Hnyflekppen kaphattak 10 fejet s 10 rst?b) Hnyflekppen fordulhatott el, hogy 4-gyel tbb lett a fej, mint az rs?c) Mi valsznbb: a 10 fej s 10 rs sorozat, vagy a 8 fej s 12 rs dobssorozat?d) Melyik valsznbb: az, hogy egyforma a fejek s rsok szma, vagy az, hogy a fejek s rsok eltrse 2 ?

E2 179. Hrom egyforma dobkockt feldobunk.a) Hnyfle lehet a dobsok eredmnye?b) Oldjuk meg ugyanezt a feladatot ngy kockval.

c) Oldjuk meg ugyanezt a feladatot tz kockval.(Pl. az 1, 1, 2 s 1, 2, 1 dobsokat nem tekintjk klnbzknek.)

VGy 180. A cukrszdban ngyfle fagylaltot rulnak. Hnyflekppen lehet egy hatgombcos fagylaltot sszelltani? (A gombcok sorrendjre nem vagyunk tekintettel.)

181. Egy dobozban 15 cdula van, rendre 1-tl 15-ig megszmozva. Kihzunk t cdult visszatevssel.a) Hny esetben lesz a kihzott legkisebb szm nagyobb 6 -nl?b) Hny esetben kapunk olyan szmtst, amelyben a szmok sorrendje monoton nvekv? (A szomszdos szmok lehetnek egyenlk is.)

182.a) Hnyflekppen lehet 6 piros s 3 zld, egyforma m ret golyt sorba rendezni?b) s ha gy szeretnnk sorba rendezni ket, hogy kt zld goly ne legyen egyms utn?H a lehetsges, oldjuk meg a feladatokat tbbflekppen ismtlses perm utci, kombinci, illetve ismtlses kombinci alkalmazsval is.

183. Tekintsk a (2x + y + 3z)5 hatvnyt.a) Hny tagbl ll kifejezst kapunk a mveletek elvgzse s az sszevonsok utn?b) Hny tagban fog szerepelni az x?c) Mennyi azon tagok egytthatinak sszege, amelyekben nem szerepel az x ?d) Mennyi azon tagok egytthatinak sszege, amelyekben szerepel azx?

V 184. Magyar krtybl 5 lapot osztunk valakinek. Hnyfle vltozat addhat, ha csak a szneket vesszk figyelembe?

K1 Gy 185. Hnyflekppen veheti fel egy ngytag csald ktszer a telefont? (Ugyanaz a szemly ktszer is felveheti a telefont; a felvtel idbeli sorrendjre nem vagyunk tekintettel.)

V Gy 186. Egy tisztsgre 3 jellt van, ezek kzl a 20 szavaz egyet vlaszt ki. Hnyfle eredmnnyel vgzdhet a szavazs, ha mindenki csak egy jelltre szavazhat? (Az eredmny azt jelenti, hogy ki hny szavazatot kapott.)

187. Hny olyan tjegy szm van, amelyben a szmjegyek monoton nvekv sorrendben vannak? (Megengednk szomszdos egyenl szmjegyeket is.)

188. Hny olyan tjegy szm van, amelyben a szmjegyek monoton cskken sorrendben vannak? (Megengednk szomszdos egyenl szmjegyeket is.)

V Gy 189. Hny hromgombcos fagylalt llthat ssze 5-fle fagylaltbl?

V 190. Hnyflekppen lehet egy 32 lapos magyar krtybl 8 lapot kihzni, ha egyenknt s visszatevssel hzunk, s nem vagyunk tekintettel a kihzott lapok sorrendjre?

V 191. Egy dobozban sok egyforma mret fehr, piros s kk goly van. Hnyfle eredmnye lehet 5 hzsnak, ha egyenknt s visszatevssel hzunk, s nem vagyunk tekintettel a kihzott golyk sorrendjre?

V 192. Kt sakkjtkos tzjtszms prosmrkzst vv. Hnyflekppen vgzdhet a mrkzs?

193. Hnyflekppen helyezhetnk el 5 levelet 16 klnbz szemly postaszekrnybe, ha a levelek kztt nem tesznk klnbsget, s egy rekeszbea) legfeljebb egy;b) tbb levelet is tehetnk?

V 194. Hnyflekppen lehet 14 egyforma golyt elhelyezni 5 szmozott dobozba, hogya) pontosan kett;b) legfeljebb kett;c) legalbb kett doboz res maradjon?

V 195. Hny megoldsa van az a + b + c = 9 egyenletneka) a pozitv egsz szmok halmazn;b) a termszetes szmok halmazn?

196. Hny megoldsa van az a1 + a2 + a3 + a 4 + a5 30 egyenletnek a termszetes szmok krben?

V 197. Hny megoldsa van az a + b + c + d = 48 egyenletnek a nem- negatv egsz szmok krben, ha mg azt is megkveteljk, hogy a > 5, b > 6 , c > 7 s d > 10 legyen?

VGy 198 .Apollniosz (Kr. e. ^ 265-190) grg matematikus a legnagyobb geomterek egyike volt. Hresek krrintsi feladatai, mely szerint hrom adott krhz kell szerkeszteni egy negyedik, mindhrom alakzatot rint krt. Brmelyik adott kr helyett vehetnk egyenest (mint vgtelen nagy sugar krt) vagy pontot (mint nulla sugar krt) is. gy a hrom adott alakzat tbbfle lehet, pl. adott hrom pont esetn szerkesztend a hromszg kr rt kr. Hny Apollniosz-fle krrintsi feladat van?

sszetett feladatokBlaise Pascal (1623-1662) francia matematikus a binomilis egytthatk tanulmnyozsa kzben mdszert alkotott kiszmtsukra. Az nevt viseli az n. Pascal-hromszg:

0 . s o r -> 11 . sor 1 12 . sor 1 2 13. sor 1 3 3 14. sor -* 1 4 6 4 15. s o r 1 5 10 10 5 16 . sor 1 6 15 20 15 6 1 stb.

Ebben a hromszg alak tblzatban a sorokat s oszlopokat is 0-tl szoks indexelni. Pl. a 3. sor 0., 1., 2. s 3. elemei rendre 1, 3, 3, 1.E1 199. Milyen szably alapjn folytathatjuk a tblzatot?E1 200. Mivel egyenl az n. sora) 0 .;b)l.;c) (n – 1).;d) n. eleme?

201. Igaz-e, hogy a tblzatban szerepl szmok szimmetrikusan helyezkednek el? (A szimmetriatengely a kezd 1 elemen tmen fggleges egyenes.)

E2 202. Mutassuk meg, hogy az n. sor k. elemnek rtke ppen j. (Vagyis

adjunk pl. kombinatorikai bizonytst arra, hogy _ ] j + ( ^ ^

tatja ezt a tnyt a tblzatban?E1 205. Hatrozzuk meg (a + b)n kifejtett alakjban az egyes tagok egytthatit, haa ) n = 1; b) n = 2; c)n = 3; d )n = 4; e) n – 5.Mit vehetnk szre, ha az egytthatkat sszehasonltjuk a tblzat 1., 2 . , 5. sorban lv szmokkal?E2 206. Mutassuk meg ltalban is, hogy (a + b)n kifejtett alakjban azn -k u k .a’1 b tag egytthatja L I. ( k < n termszetes szmok.)

EZ 207. Bizonytsuk be a binomilis ttelt:

+ ( _ ^ ja b n~ 1+ b n. (k, n e Z +)

E2 208. Mivel egyenl (a >)”, (n e Z+)?

E1 209. Fejtsk ki a Pascal-hromszg segtsgvel az albbi kttag hatvnyokat:a) (x + 2)5; b) (3 – y ) 6; ej (a + l ) 7.

E2 210. Adjunk tbbfle bizonytst arra, hogy a Pascal-hromszg n. sorban az elemek sszege 2″, (n e N).

E2 211. Mivel egyenl a Pascal-hromszg . sorban lv elemek vltakoz eljel sszege, (n G Z +)?

E2 212. H a n pozitv pros szm, mivel egyenl

4 H ) + – +(!I);E2 213. H a n pozitv pratlan szm, mivel egyenl

E2 214. Mennyi Q + (2) + – + ()7ltalnostsuk ezt az tlttelt.

E2 215. Hny rszhalmaza van egy a) 4; b) 5; ej 6 ; cl) n elem halmaznak?s hny valdi rszhalmaza?

E2 216. A 0, 1, 2, . 9 szmjegyekbl ll halmaznak hny olyan rszhalmaza van, amely legalbb htelem?

E2 217. Hny pros elemszm rszhalmaza van egy n elem halmaznak? s hny pratlan elemszm rszhalmaza, (n e N)?

E2 218. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 szmjegyekbl ll halmaznak hny olyan rszhalmaza van, amelya) tartalmazza az 1 , 2 szmjegyeket;b) tartalmazza az 1 s 2 szmjegyek valamelyikt (esetleg mindkettt is);c) csak pros szmjegyet tartalmaz;d) tartalmaz pros szmjegyet;e) nem tartalmaz prmszmot;f ) legalbb hrom elem?

E2 219. Adott a H = halmaz. Hny olyan rszhalmaza van Tink, melyben az elemek szorzata

l b + , n – 2 l 2bz + . + an ~ kbk+ .

a) 5-re vgzdik;b) oszthat 5-tel?(A rszhalmazok legalbb ktelemek.)

220. Egy n elem halmaznak legfeljebb hny rszhalmazt vlaszthatjuk ki gy, hogy kzlk brmely kettnek legyen kzs eleme, (n

2 2 KOM BINATORIKA

E2V 229.5 urnba 8 golyt helyeznk. Hnyflekppen tehetjk meg, haa) az urnk s a golyk is klnbzk;b) az urnk klnbzk, a golyk nem megklnbztethetk;c) az urnk is s a golyk is egyformk;d) az urnk egyformk, a golyk klnbzk?

E2 230. A 0, 1 , 2 szmokbl vett t sszeadand segtsgvel hnyflekppen llhat ela) a 6 ;b) a 6 -nl nagyobb sszeg?(A tagok sorrendje is lnyeges.)

E2 231. Hnyflekppen lehet a 6 -ot hat nemnegatv egsz szm sszegeknt ellltani? (A tagok sorrendje is lnyeges.)

232. Hnyflekppen lehet a 10-et hrom nemnegatv egsz sszeadan- dra felbontani? (A tagok sorrendje is lnyeges.)

K1 233. Felrhat-e a 100a) hat darab;b) ht darabklnbz, 5-tel oszthat termszetes szm sszegeknt?

E2 234. Hnyflekppen lehet kivlasztani n klnbz trgy kzl nhnyat (de legalbb 1-et) gy, hogy a kivlasztott trgyak sorrendjre nem vagyunk tekintettel, (n = N+)?

235. Hny klnbz mdon bonthatjuk fel az n pozitv egsz szmot pozitv egszek sszegre, ha a tagok sorrendje is lnyeges?

E2 236. Hnyflekppen lehet nyolc embert (A, B, C, D, E, F, G, H) egy kr alak asztal kr leltetni?

E2 237. Hnyflekppen lehet nyolc embert (A, B, C, D, E, F, G, H) egy kr alak asztal kr leltetni gy, hogya ) A s B egyms mell kerljn;b) A , B s C (valamilyen sorrendben) egyms mell kerljn;c) A a B mellett s E az F mellett ljn?

E2 Gy 238. Hnyflekppen lhet 6 hzaspr egy kerek asztal kr, ha azt kvnjuk, hogya) a hzastrsak egyms m ellett ljenek;b) sem kt n, sem kt frfi ne kerljn egyms mell;

c) a hzastrsak egyms mellett ljenek, de sem kt frfi, sem kt n ne kerljn egyms mell?

E2 239. Hnyflekppen lehet 3 piros, 2 fehr s 1 zld, egyforma mret golybl karktt kszteni? (A kark

tknek van alja s teteje, teht nem tekintjk klnbznek a karkt skjra merleges tengely krli forgatssal fedsbe hozhat karktket. Pl. az brn az els kt karkt megegyezik, a harmadik klnbzik tlk.)

E2 240. Hnyfle karktt kszthetnk n darab fehr s n darab kk golybl, haa )n = 2; b) n = 3; c )n = 4?

K1 241. A Kerekasztal Lovagjai 12-en lnek az asztalnl. Hnyflekppen lehet kzlk 6 lovagot kivlasztani gy, hogy szomszdosakat nem vlaszthatunk?

242. Oldjuk meg az elz feladatot abban az esetben is, haa) 12 lovagbl 5-t; b) 50-bl 15-t vlasztunk ki.

E2 243. a) Hnyflekppen olvashat ki a BUDAPEST sz az albbi tblzatbl, ha minden lpsben jobbra vagy lefel lehet haladni?

B U D A P E S TU D A P E S TD A P E S TA P E S TP E S TE S TS TT

b) s ha mg azt is kiktjk, hogy nem szabad ktszer egyms utn jobbra lpni?

E2 244. Hnyflekppen olvashat ki a BUDAPEST sz az albbi tblzatokbl, ha minden lpsben jobbra vagy lefel lehet haladni, sa) a 3. sor 4. mezjt nem rinthetjk;

B U D A P E S TU D A P E S TD A P S TA P E S TP E S TE S TS TT

b) a 3. so r 4. s 5. so r 2. m ez j t n em rin th e tj k ;

B U D A P E S TU D A P E S TD A P S TA P E S TP S TE S TS TT

c) a 2. sor 3. s 3. sor 4. mezjt nem rinthetjk.

B U D A P E S TU D P E S TD A P S TA P E S TP E S TE S TS TT

245. Hnyflekppen lehet kiolvasni az albbi tblzatbl az EZNE- HZKIOLVASS szt? (Az olvass folyamn csak jobbra s lefel lehet haladni.)

E Z N E H Z K I O L VZ N E H E Z K I O L V AN E H E Z K I 0 L V A SE H E Z K I O L V A S AH E Z K I O L V A S A S

246. Hnyflekppen lehet kiolvasni a tblzatbl az EZNEH ZKI- OLVASS szt, ha nem szabad egyms utn ktszer lefel lpni? (Az olvass folyamn csak jobbra s lefel lehet haladni.)

E Z N E H E z K I O L VZ N E H E Z K I O L V AN E H E Z K I O L V A SE H E Z K I O L V A S AH E Z K I 0 L V A S A S

EZ 247. Hnyflekppen lehet kiolvasni az albbi tblzatbl az EZNE- HZKIOLVASS szt, ha a 2. sor 6 . betje nem szerepelhet a kiolvassban? (Az olvass folyamn csak jobbra s lefel lehet haladni.)

E Z N E H E Z K I O L VZ N E H E K I o L V AN E H E Z K I O L V A SE H Z K I O L V A S AH Z K I O L V A S S

248. Hnyflekppen lehet kiolvasni a tblzatbl az EZNEHZKI- OLVASS szt, ha a 2. sor 6 . betje s a 4. sor 9. betje nem szerepelhet a kiolvassban? (Az olvass folyamn csak jobbra s lefel lehet haladni.)

E Z N E H E Z K I O L VZ N E H K I 0 L V AN E H Z K I O L V A SE H E Z K I O L A S AH E Z K I O L V A S A S

EZ 249. Hnyflekppen lehet kiolvasni az albbi tblzatbl az EZNE- HZKIOLVASS szt? (Az olvass folyamn csak jobbra s lefel lehet haladni.)

E Z N EZ N E HN E H E Z K I O L V A S

Z K I O L V A S AK I O L V A S A S

EZ 250. Hnyflekppen lehet kiolvasni az albbi tblzatbl az EZNE- HZKIOLVASS szt? (Az olvass folyamn csak jobbra s lefel lehet haladni.)

E Z N E H E Z K I O L VZ N E H E Z K I 0 L V A

E Z K I O L V A SZ K I O L V A S A

H E Z K I O L V A S A S

E2 251. Hnyflekppen lehet kiolvasni a tblzatbl az EZNEHZKI- OLVASS szt, ha a 2. sor 6 . betjt rinteni kell, de a 4. sor 9. betje nem szerepelhet a kiolvassban? (Az olvass folyamn csak jobbra s lefel lehet haladni.)

E Z N E H E Z K I O L VZ N E H E Z K I O L V AN E H E Z K I O L V A SE H E Z K I O L A S H Z K I O L V A S A S

E2 V 252. a) Hnyflekppen olvashat ki a BUDAPEST sz, ha minden lpsben lefel vagy tlsan lefel lehet haladni?

D D D D DA A A A A A A

P P P P P P P P PE E E E E E E E E E E

S S S S S S S S S S S S ST T T T T T T T T T T T T T T

b) s ha mg azt is kiktjk, hogy nem szabad ktszer egyms utn tlsan lefel jobbra lpni?

E2 V 253. Hnyflekppen olvashat ki a BUDAPEST sz, ha minden lpsben fgglegesen vagy tlsan lefel lehet haladni, sa) a 4. sor 3. elemt nem rinthetjk;

D D D D DA A A A A A

P P P P P P P P PE E E E E E E E E E E

S S S S S S S S S S S S ST T T T T T T T T T T T T T T

b) a 4. sor 3. elemt s a 7. sor 10. elemt nem rinthetjk;

D D D D DA A A A A A

P P P P P P P P PE E E E E E E E E E E

S S S S S S S S S S S ST T T T T T T T T T T T T T T

c) a 4. so r 3. s a 7. so r 7. e lem t n em rin th e tj k ?

D D D D DA A A A A A

P P P P P P P P PE E E E E E E E E E E

S S S S S S S S S S S ST T T T T T T T T T T T T T T

E2 254. a) Hnyflekppen olvashat ki a BUDAPESTI sz, ha minden lpsben fgglegesen vagy tlsan lefel lehet haladni?

D D D D DA A A A A A A

P P P P P P P P PE E E E E E E

b) s ha mg azt is kiktjk, hogy nem szabad ktszer egyms utn jobbra lefel lpni?

E V 255. Hnyflekppen olvashat ki a BUDAPESTI sz, ha minden lpsben fgglegesen vagy tlsan lefel lehet haladni, sa) a 4. sor 3. elemt nem rinthetjk;

D D D D DA A A A A A

P P P P P P P P PE E E E E E E

jj jg KOM BINATORIKA

b) a 4. so r 3. e lem t s a 6. so r 6. e lem t nem rin thetjk ;

c) a 4. sor 3. elemt s a 6 . sor 4. elemt nem rinthetjk?

D D D D DA A A A A A

p P P P P P P P PE E E E E E

E2 256. Egy 5 X 5-s tbla bal fels sarkbl a jobb als sarkba akarunk eljutni egy olyan bbuval, amelyik csak jobbra s lefel lpegethet egyet-egyet. A tbln kijellnk egy tiltott mezt, amelyre a bbu nem lphet. Melyik mez legyen ez, hogy minimlis szm t vezessen a bal fels sarokbl a jobb alsba?

E2 257. Oldjuk meg az elz feladatot akkor is, ha a bbuval hrom irnyban lphetnk: az eddigi jobbra s lefel trtn lpsek mellett az tls lefel is megengedett (bra).

Vegyes feladatokK1 258. Egy kocknak befestjk a felsznt, majd 125 egybevg kis kockra daraboljuk. A kis kockk kzl hnynak nem lesz egyetlen sznes oldala sem?

K1 259. Egy n X n Xn-es mret kocka fellett feketre festettk, majd a kockt n3 egybevg kis kockra daraboltuk (n > 1, n e N+). Hny olyan kisebb kocka keletkezik, amelynek aj 4; b) 3; ej 2; d) 1; ej 0 fekete lapja van?

K1 260. Piros, fehr, kk s zld szn anyagokbl zszlkat ksztnk. Minden zszl vzszintes cskokbl ll, a szomszdos cskok nem lehetnek azonos sznek. Hny klnbz zszlt kszthetnk, ha egy-egy zszln aj 2; b) 3; ej 4 csknak kell lennie?

K2 261 . A 4-es s 5-s szmjegyekbl hny 9-cel oszthata) 8 jegy; b) 9 jegy szmot kszthetnk?

E2 262. Hny tjegy szm van, amely 16-ra vgzdik s 3-mal oszthat?

E1 263. Mivel egyenl az 1, 2, . 1000 szmok szmjegyeinek sszege?

K2 264. Hny hatjegy szm van, melyben a j van 0 szmjegy;b) pontosan egy 0 szmjegy van; ej pontosan kt 0 szmjegy van?

265. Az elz feladat megoldsa alapjn szmols nlkl hatrozzuk meg

2 ) 94+ ‘ 92+ 9 sszeg rtkt.

K1 266. Hnya) pontosan; b) legfeljebbtjegy pozitv egsz szm van a 3-as szmrendszerben?

K1 267. Hny olyan termszetes szm van, melyet a 9-es s a 11-es szm- rendszerben felrva, egyarnt hromjegy szmokat kapunk?

E2 268. Hny 3-mal oszthat tjegy szm van, melyben elfordul a 6 -os szmjegy?

E2 269. Adottak a 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 szmjegyek.a) Hny 9 jegy, 5-tel oszthat szm kszthet bellk?b) Ezek kztt hny olyan van, amelyben a 3-as s 4-es szmjegyek nincsenek egyms mellett?ej s hny olyan van kzttk, amelyben a kt 2 -es szmjegy nincs egyms mellett?

K2 Gy 270. Egy csoportban 6 fi s 6 lny van. Kettesvel lnek le a 6 padba. Hnyfle lsrend kszthet, ha kt lny, illetve kt fi nem lhet egyms mell?

K2 271. Egy trsasgban 7 fi s 5 lny van. Hnyflekppen alakthat bellka) 5; b) 4egyszerre tncol pr?

E1 272. 4 fi s 3 lny gy lt le egy 7 szemlyes padra, hogy kt lny nem kerlt egyms mell. Hnyfle ltetsi sorrend van? (Az lhelyek szmozottak.)

E1 Gy 273. 10 tag trsasg pros asztalitenisz-bajnoksgot szervez gy, hogy minden lehet pr minden lehetsges prral mrkzzk. Hny jtszmt kell sszesen lejtszaniuk?

E1 274. Hnyflekppen lehet 20 lval 5 ngyes fogatot sszelltani?

E1 275. Szablyos jtkkockval n dobst vgznk. Hny olyan kimenetele lehet a ksrletnek, amikor pontosan k darab 6 -ost dobunk, (k < n , n e Z +)?

K2 276. Hnyflekpp llthat fel 12 vilgos s 12 stt gyalog a szmozott sakktbla stt mezire?

K2 277. Hnyflekppen helyezhetnk el k darab korongot az n X m-es (szmozott) tblra (k < nm), ha a korongoka) megklnbztethetk;b) egyformk?

K2 278. Hnyflekppen helyezhetjk el a 8 X 8 -as sakktblraa) a vilgos s stt huszrokat ( 2 + 2 darab);b) a gyalogok kzl 4 fehret s 4 fekett;c) a vilgos tiszteket (2 – 2 huszr, fut, bstya, 1 vezr)?

K2 279. Helyezznk a sakktblra 5 bstyt gy, hogy semelyik kett ne sse egymst! Hnyflekppen lehet ezt megtenni?

K2 280. Hny huszrt helyezhetnk ela) a 8 X 8-as sakk tb ln ;b) az 5 X 5-s tblngy, hogy semelyik kett ne sse egymst?

K2 281. Hnyflekppen vlaszthatunk ki 1 s 40 kztt 5 egsz szmot gy, hogy sszegk pros legyen?

E1 282. Vezessk be a kvetkez jellseket (k, n, a, 6 e N):- jellje Pn az n klnbz elem sszes permutcijnak szmt;- jellje P b’ az n elem sszes ismtlses permutcijnak szmt (ekkor az n elem kztt a,b, . szm egyforma tallhat);- jellje V az n klnbz elem k -ad osztly variciinak szmt;- jellje V k,L az n klnbz elem k -ad osztly ismtlses variciinak szmt;- jellje C k az n klnbz elem k -ad osztly kombinciinak szmt;- jellje C*,! az n klnbz elem k -ad osztly ismtlses kombinciinak szmt.

Melyik igaz az albbi lltsok kzl?a) Pn = ni;

e) V k= n ( n – l ) ( n – 2 ) . . . ( n – k + 1);

g) v kn = ^i) vy=nk- V ckn =k _ n (n 1 )

l ) ( k – 2 ) . . . – 2 1

s) ha a + b = n, akkor P nh- u) a P kpletben n > a; w) a V k kpletben n > k ; y) a C k kpletben n > k ;

t) ha a + b = n, akkor P h= C bn\ v) a P ,b kpletben n > a + b; x) a V k, kpletben n > k ; z) a Ck,i kpletben n > k .

K1 283. Hny hromszg van, melynek oldalai cm-ben mrve klnbz egsz szmok, s 10 cma) a legnagyobb oldala;b) a kzps oldala;c) a kerlete?

E1 284.a) Egy konvex tzszgnek hny tlja van?b) A z tlknak legfeljebb hny metszspontja lehet?c) Legfeljebb hny ilyen metszspont lehet egy tln?

K2 285. Vegynk fel hrom prhuzamos egyenest, s jelljnk ki az egyiken 5, a msikon 6 , a harmadikon 7 pontot. Hny hromszget hatroznak meg a pontok? (Az adott hrom egyenesen lv pontok kivtelvel semelyik hrom pont nincs egy egyenesen.)

E2 286. A sk e s/egyenese prhuzamos. Adott az e egyenesen n, az /eg y enesen m pont, s egy-egy egyenessel sszektjk az elbbiek mindegyikt az utbbiak mindegyikvel. Legfeljebb hny metszspontja lehet az sszekt egyeneseknek?

K2 287. Egy kocka leit mint vektorokat tetszlegesen irnythatjuk. Legfeljebb hny klnbz eredje lehet az gy kapott 12 vektor sszegnek?

288. Hny olyan mez van egy vgtelen nagy sakktbln, amelyet egy kiszemelt mezrl elrhetnk k lpsben a kirllyal, de kevesebbel nem, (k e N+)?

Oldjuk meg a feladatot abban az esetben is, ha csak vzszintes s fggleges lpseket engednk meg, tlsakat nem!

K2 289. Egy bolyong bolha a szmegyenes 0 pontjbl indul, s minden lpsben pozitv vagy negatv irnyba ugrik egy egysgnyit. 2 0 ugrs utn a bolha kifrad s megll.a) Hnyfle ugrssorozatot vgezhet a bolha? (Kt ugrssorozat csak akkor azonos, ha minden lpsben mindig ugyanabban az irnyban trtnt az ugrs.)b) Hnyflekppen juthat el a (10) pontba?c) Hnyflekppen juthat el a (11) pontba?d) Hnyflekppen juthat el a (0) pontba?e) Melyik pontokban tartzkodhat a 20 ugrs utn a bolha?f ) M iutn megllt a bolha, melyik pontban fog a legnagyobb valsznsggel tartzkodni?

K2 290. Legkevesebb hny egyenes vgsra van szksgnk, hogy egy 8 x 8 – as m ret csokoldt 64 darab 1 X 1-es rszre sztvgjunk, haa) egy vgssal egyszerre csak egy csokidarabot vghatunk el;b) a csokidarabokat, ha szksges, elmozdthatjuk, egymsra is tehetjk stb.

K2 291. Oldjuk meg az elz feladat b) rszt, ha 5 X 5-s m ret csokoldt1 X 1-es darabokra vgunk szt.

K2 292. Egy tglatest hrom lnek hossza 5 cm, 6 cm s 7 cm. A tglatest fellett feketre festettk, majd 1 cm l, egybevg kis kockkra daraboltuk fel. Hny olyan kisebb kocka keletkezett, amelyneka) 4; b) 3; ej 2; d) 1; ej 0 fekete lapja van?

K2 293. Hny tetradert hatroz meg a trben p szm pont, ha ezek kzl q darab egy skban fekszik? (Semelyik hrom pont nincs egy egyenesen s a q pont skjn kvl semelyik ngy pont nincs egy skon; p , q s N+, q < p.)

K2 294. Felvettnk hrom prhuzamos skon rendre 8 , 9 s 10 pontot. Hny tetradert hatroznak meg a pontok? (Az azonos skban lv pontok kivtelvel semelyik ngy pont nincs egy skban s semelyik hrom pont nincs egy egyenesen.)

K2 295. Egy kocka lapjait kt sznnel kisznezzk (mindkt sznt felhasznljuk). Hnyfle kocka kszthet, ha a lapoka) elzetesen szmozottak (pl. dobkocka);b) nem szmozottak?

K2 Gy 296. Hny klnbz, hrom vzszintes svbl ll zszlt kszthetnk, ha a svok mindegyikt 6 klnbz sznnel sznezhetjk ki, s nem lehet kt egyforma szn sv? (A magyar zszl pldul ilyen.) Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha k klnbz sznt hasznlhatunk fel, (k e N, 3 < k).

K2 297. Hny klnbz, hrom vzszintes svbl ll zszlt kszthetnk, ha a svok mindegyikt 6 klnbz sznnel sznezhetjk ki, s nem lehet egyms mellett kt egyforma szn sv? Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha k klnbz sznt hasznlhatunk fel, ( kGN, 2< k) .

E1 298. Egy matematikaversenyen 30 feladat szerepel. Minden jl megoldott feladat 4 pontot r, minden rossz -1 -e t. Ha egy feladattal nem foglalkozik valaki, arra 0 pontot kap. Hnyfle lehet egy versenyz sszpontszma?

K2 299. Hnyflekppen helyezhet el a sakktbln kt klnbz szn kirly gy, hogy ne ssk egymst?

E1 300. 9 ember csnakzni kszl. Rendelkezskre ll egy 4-, egy 3- s egy 2 -szemlyes csnak.a) Hnyflekppen foglalhatjk el a csnakokat? (Egy csnakon bell a helyek sorrendje nem szmt.)b) Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha kt szemly, A s B egy csnakban akar lni.c) Oldjuk meg a feladatot, ha csak 8 ember indul csnakzni.

E1 301 . 2n tag trsasgnak egy hossz asztal mentn kell lelnie gy, hogy az asztal mindkt oldalra a tagok fele kerljn. A trsasg p szm tagja az asztal egyik, q szm tagja a msik feln akar lni. Hnyflekppen helyezkedhetnek gy el? ( p , q < n termszetes szmok.)

K2 302. Hnyfle ton juthatunk el az a), b), c),d) brkon az^4 pontbl a B pontba, ha folyamatosan kzelednnk kell a clhoz?

K2 303. Hnyfle ton juthatunk el az brn az A pontbl a B pontba, ha folyamatosan kzelednnk kell a clhoz? (A nyilak az egyirny tszakaszokat jelzik.)

K2 304. Egy 4 x 4-es ngyzetrcs alak labirintus kt tellenes cscsban, a kijratoknl egy egr s egy macska ll (bra). Mindketten adott jelre, ugyanakkora sebessggel elindulnak a szemkztes kijrat fel gy, hogy minden lpsben kzelednek cljukhoz. Egymst nem ltjk,

tvlasztsuk az elgazsokban vletlenszer. (Amikor elgazshoz rnek, a lehetsges kt irny kzl egyforma valsznsggel vlasztanak. A macska clja, hogy az E, az egr, hogy az M kijratnl hagyja el a labirintust.) Hnyfle ton tallkozhatnak?

K1 Gy 305. Hny Morse-jelsorozat kszthet pontosan ngy jelbl? (M indegyik jel lehet pont vagy vons.) Elg lenne ennyi lehetsg az angol bc 26 betjnek kdolshoz?

K1 Gy 306. Hny Morse-jelsorozat kszthet legfeljebb ngy jelbl? Elg lenne ennyi lehetsg az angol bc 26 betje s a 10 szmjegy kdolshoz?

K1 Gy 307. Hny Morse-jelsorozat kszthet legfeljebb t jelbl? (Mindegyik jel lehet pont vagy vons.) Az albbi tblzatban keressnk nhny 4 hossz Morse-jelsorozatot, amelyeknek nem feleltetnk meg betket.

a – e i m —– r V . . . _b – f —— j ———- n – s X ——-

K2 308. t sakkjtkos krmrkzses versenyt vvott, mindenki m indenkivel egy jtszmt jtszott. A jtszmk utn a gyztes 1 pontot kapott, mg dntetlen esetn mindkt jtkos 1/21/2 pontot. A jtszmk utn a versenyzk pontszmait cskken sorrendbe llthattuk, s minden jtkos legyzte az t e sorrendben kzvetlenl megelzt. Mik voltak a tovbbi jtszmk eredmnyei?

K2 Gy 309. Egy televzis vetlkedn szerepelt a krds: hny hromszget ltunk az brn (309/1.)?(Br a vetlkedn nem pontostottk, de azt az alakzatot tekintjk hrom szgnek, amelynek cscsai az brn jellt 8 pont kzl valk, s oldalai tnylege

sen behzott szakaszok. Pl. a 309/11. brkon 0,309/1. bra illetve 3 hromszg van.)

K2 Gy 310. Egy 1 X 4-es mret igen vkony szalag ngy egybevg sorszmozott ngyzetbl ll.A szalagot 1 X 1-es m retre sszehajtjuk.Hnyfle klnbz sorrendben kvetkezhetnek ekkor az 1, 2, 3, 4 szmok?

K2 Gy 311. Bergengcia elnke titkostott zenetet kld a szomszdos barti orszgba, Kuku- tyinba. (Bergengcival ellensges viszonyban van a msik szomszd, Boncida kirlysga; a kmek miatt titkostjk a szveget.) A titkosts lnyege, hogy a szveget tz karakter hossz csoportokra bontjk (ebbe beletartoznak a szkzk is), s egy- egy csoporton bell a karaktereket permutljk, az albbi szably szerint:

0 1 2 3 4 5 6 7OO 9

00 2 7 5 6 4 3 1 9 0

a) Mi lesz a BONCIDA HARCRA KSZ zenet kdolt szvege?b) A (nem matematikus vgzettsg) hadgyminiszter gy gondolja, hogy az gy kapott szvegen nemzetbiztonsgi okokbl clszer a kdolst mg egyszer elvgezni, s ezltal mg jobban sszekeverni a betket. Igen m, de a titkosszolglat is hasonl megfontolsokkal l: k is mg egyszer kdoljk a szveget. Mi trtnik?

VGy 312. Egy multinacionlis cg tesztelni kvnja az ltala gyrtott drga poharak tsllsgt. A cg szkhza 36 emeletes. Megbztak egy hres mrnkt, hogy hatrozza meg, legfeljebb melyik emeletrl ejthet le trs nlkl a pohr (lehet, hogy a 36. emeletrl leejtve sem trik ssze, de az is lehet, hogy mr az els emelet is tlsgosan magasnak bizonyul). Kt egyforma mintapoharat bznak a ktsgbeesett mrnkre. Legkevesebb hny mrssel tudja szegny megoldani a problmt?

E1 313. Bergengciban a Srknynak 100 feje van, a Kirlyfinak viszont olyan Varzskardja, amellyel egy csapsra 33, 21 vagy 17 fejt tudja a Srknynak levgni. Igen m, de az els esetben a Srknynak 18 j feje n ki, a msodikban 36, a harmadik esetben pedig 14. H a a Srkny sszes feje lehullott, nem n ki tbb. Le tudja-e gyzni a Kirlyfi a Srknyt?

E2 314. Az elz feladatbeli Bergengciban az j Kirlyfinak (mi lett a rgivel?) j Varzskardot kovcsoltak. Ezzel egy-egy csapssal a 100 fej Srkny 7, 9 vagy 11 fejt tudja letni; az egyes esetekben rendre 13, 18, illetve5 j feje n ki a Srknynak. (Ha a Srkny sszes feje lehullott, most sem n ki tbb). Legkevesebb hny suhintssal tudja a Kirlyfi legyzni a Srknyt?

E1 Gy 315. 16 teniszjtkos indult el a klub bajnoksgn. A versenyzk kztt egyrtelm az ersorrend (vagyis az ersebb jtkos mindig legyzi a gyengbbet). Legkevesebb hny mrkzst kell lejtszani, mg kiderl,a) ki a legersebb jtkos;b) ki a kt legersebb jtkos;c) ki a legersebb s a leggyengbb jtkos;d) ki a kt legersebb s a leggyengbb jtkos;ej ki a kt legersebb s a kt leggyengbb jtkos?

E1 Gy 316 . Jules Verne (1828-1905) Sndor Mtys cm regnyben ismerteti az albbi titkosrsi mdszert.Az sszeeskvk az zenet 36 betjt sszekeverve, egy 6 X 6 -os tblzat alakjban rendeztk el. Akiolvass egy n. rostly segtsgvel trtnt. A rostly egy6 X 6 -os kartonlap, amelyen a 36 mezbl egyeseket elre kivgtak, s a rostly tetejt megjelltk egy kereszttel. A kiolvasst egyszeren vgeztk: a kartonlapot kereszttel felfel a szvegre helyeztk; a karton kivgott mezinek helyn megjellt betket lejegyeztk; a rostlyt 90-kal adott irnyban elforgattk; majd ezt az eljrst hromszor megismteltk. gy a szveg minden betjt pontosan egyszer kaptk meg.Tegyk fel, hogy valaki meg akarja fejteni a titkosrst, s ezrt az sszes lehetsges rostlyt elkszti. Hny van sszesen?

E1 V 317. Hnyflekppen rendezhetnk sorba 3 piros, 4 fehr s 2 zld, egyforma m ret golyt, ha azt akarjuk, hogy ne kerljn egyms mella) kt zld;b) kt piros;c) piros s zld goly?

E1 318. Egy cllvldben t zsinr mindegyikn 4-4 veggoly fgg, cltblul szolglva. A felttel az, hogy mindegyik zsinron mindig a legals golyt kell eltallni. Hnyflekppen lehet az sszes golyt lelni?

E2 319. Rendezzk nagysg szerint nvekv sorba azokat a szmokat, am elyek az 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9 szmjegyeket pontosan egyszer tartalmazzk. Milyen szm ll a 100 000. helyen?

E1 320. Egy bolyong bolha a szmegyenes 0 pontjbl indul, s minden lpsben vagy a pozitv irnyba ugrik kt egysgnyit, vagy negatv irnyba egy egysgnyit. 10 ugrs utn a bolha kifrad s megll.a) Hnyfle ugrssorozatot vgezhet a bolha? (Kt ugrssorozat csak akkor azonos, ha minden lpsben mindig ugyanabban az irnyban trtnt az ugrs.)b) Hnyflekppen juthat el a (10) pontba?c) Hnyflekppen juthat el a (11) pontba?d) Melyik pontokban tartzkodhat a 10 ugrs utn a bolha?

E2 321. Egy szablyos tszg minden cscst piros vagy kk sznnel kiszneztk. Ezutn az tszget tkrzzk az bra szerinti t szimmetriatengelyre, majd a kzppontja krl elforgatjuk 144-kal. Hny olyan sznezse lehetsges az tszg cscsainak, amelyeket a kt transzformci egymsutnja (szorzata) nmagba visz?

322.Egy pnclszekrny hrom forgtrcsjn kell a 0, 1, . 9 szmjegyek kzl a megfelelt belltani, majd egy gombnyomsra kinyitni az ajtt. (Teht a legkisebb bellthat szm000, a legnagyobb 999.) A zr a legjabb divatnak megfelelen gy mkdik, hogy ha valaki egy ha mis szmmal prblkozik, akkor a nyit kd rtkt automatikusan megnveli eggyel. Pl. ha a belltott kombinci 123 volt, akkor a helytelen prblkozs utn a kombinci 124-re vltozik; vagy ha 999 volt, akkor 000 lesz stb. Sajnos nem ismerjk a nyit kdot. Milyen szmkombincikkal prblkozzunk, ha a lehet legegyszerbben (leggyorsabban) szeretnnk kinyitni a pnclszekrnyt?

323. Az elz feladat pnclszekrnyt feljtottk. A modernebb ajtn olyan a zrszerkezet, hogy minden szmmal csak egyszer lehet ksrletezni (pl. az 123 eredmnytelen ksrlet utn az 123-at tbb nem szabad kiprblni, m ert az ajt vglegesen beragad). Ki lehet-e biztosan nyitni ezt az ajtt?

E2 324. Egy szablyos jtkkockval t dobst vgznk, a kapott szmokat egyms mell rjuk, s gy egy tjegy szmot kapunk.a) Hnyfle szmot kaphatunk?b) Hny olyan kimenetele lehet a ksrletnek, amikor legalbb egyszer hatost dobunk?c) Hny esetben lesz a dobott pontok sszege legalbb 26?d) Hnyflekppen fordulhat el, hogy a dobsok sszege 11?e) Hny esetben kaphatunk 3-mal oszthat szmot?f) Hny esetben kaphatunk 6 -tal oszthat szmot?g) Hny esetben kaphatunk 18-cal oszthat szmot?h) Hny esetben kaphatunk 1-est is s 6 -ost is?

325. Hny olyan tjegy pozitv egsz szm van, amelyben a szmjegyek klnbzk, sa) a szmjegyek szorzata pros;b) a szmjegyek szorzata 5-re vgzdik;c) egyms melletti szmjegyei kztt szerepel a 25;d) a szmjegyek sszege pratlan;e) a szmjegyek sszege pros s a szmjegyek kztt van 2 -es?

326. Hny ngyjegy szm kszthet a 0 ,1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,3 ,4 ,5 szmjegyekbl?

327. Hny tzjegy, ttel oszthat szm kszthet a 0, 0 ,1 ,1 , 2, 3, 4, 5, 5, 5 szmjegyekbl?

E2 328. A 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 szmjegyekbl hny olyan tzjegy szm kszthet, amelybena) nincs egyms mellett kt 2 -es;b) nincs egyms mellett a 3-as s a 4-es;c) nincs egyms mellett 2-es s 4-es?

E2 329. Hny tjegy szm van, amelyben a szmjegyek szorzata 0 -ra vgzdik?

E1 330. Hnyflekppen lehet 10 klnbz knyvet gy felrakni a polcra, hogya) 2; b) 3(elre kivlasztott) knyv egyms mell kerljn?

E1 331. Mennyi az 1, 3, 5, 7, 9 szmjegyekbl kpezett 5-re vgzd sszes tjegy szm sszege, haa) a szmjegyek nem ismtldhetnek;b) a szmjegyek ismtldhetnek?

E2 332. Egy bolyong bolha a szmegyenes 0 pontjbl indul, a [- 5; 7] zrt intervallumon bolyong, s minden lpsben pozitv vagy negatv irnyba ugrik egy egysgnyit. (Ha a bolha az intervallum valamelyik vgpontjn tlra ugrik, akkor vglegesen eltnik a szemnk ell.) Hnyflekppen kerlhet a bolha 12 lps utn a 6 pontba?

E1 333. Hnyflekppen lehet egy kocka hat lapjt 1-tl 6 -ig megszmozni? (Nem tekintjk klnbzknek azokat a szmozsokat, amelyek valamilyen mozgatssal egymsba vihetk.)

V 334. Hnyflekppen leheta) egy szablyos tetrader ngy lapjt 1-tl 4-ig megszmozni;b) egy oktader nyolc lapjt 1-tl 8 -ig megszmozni;c) egy dodekader tizenkt lapjt 1-tl 1 2 -ig megszmozni;d) egy ikozader hsz lapjt 1-tl 2 0 -ig megszmozni?(Nem tekintjk klnbzknek azokat a szmozsokat, amelyek valamilyen mozgatssal egymsba vihetk.)

K2 335. Egy 8 egysg lhosszsg kockt sztvgunk 512 darab egysgnyi l kis kockra. Hny vgssal tehetjk ezt meg, ha

a) a sztvgssal keletkez darabokat nem m ozdtjuk el egymstl;b) az egyes vgsok utn kapott darabokat alkalmas mdon trendezhetjk?

K2 336. Oldjuk meg az elz feladat b) rszt, ha 5 X 5 X 5-s mret kockt 1 X 1 X 1-es darabokra vgunk szt.

VGy 337 . A keznkben tartott, sznek szerint rendezett Rubik-kockval B1 s J3 forgatsokat vgznk folyamatosan egyms utn. (B1 a bal oldali lap ramutat jrsa szerinti 90-os elfordtst

jelenti; hasonlan J3 a jobb oldali lap -90-os elfordtst, mint az brn lthat.)Igaz-e, hogy egy bizonyos szm forgats utn a kocka ismt rendezett vlik?

K2 338. aj Hnyfle ton juthatunk el az brn A-b\ C-be? (A szablyos hromszgrcs lein folyamatosan kzeledni kell C-hez, visszafel nem haladhatunk.)Hnyfle ton juthatunk el A-bl C-be az egyes esetekben, ha kzben:b) B -t rintennk kell; ej B -t nem rinthetjk?

339. Hnyflekppen lehet egy bstyval a sakktbla a l mezjrl a h8 mezre jutni, ha minden lpsben a clhoz kzelednk, s a j 14; b) 12lpst tehetnk?

340. Mennyi a 0, 1, 2, 3, 4, 5 szmjegyekbl kszthet hatjegy, 5-tel oszthat szmok sszege? (A szmjegyek nem ismtldhetnek.)

341. 30 tanult fellltottunk tglalap alakban, 6 sorban s 5 oszlopban. Minden sorbl kivlasztottuk a legalacsonyabb tanult, majd a hat tanul kzl kivlasztottuk a legmagasabbat, ez lett Aladr. Ezutn az 5 oszlopbl kivlasztottuk a legmagasabbakat, majd az gy kapott t tanul kzl a legalacsonyabbat, ez lett Bla. Melyik tanul a magasabb?

VGy 342. A kzismert Master Mind jtk egy vltozatban az egyik jtkosnak 8 klnbz szn plcika sorrendjt kell meghatrozni. Miutn tippelt, partnere elrulja, hogy hny plciknak sikerlt eltallni a sorrendbeli helyt. Jelljk a szneket az 1, 2, . , 8 szmokkal.A jtkban eddig kt prblgats trtnt. Az els: 5 8 1 3 2 4 7 6 , s tudjuk, hogy 5 szn volt a helyn. A msodik: 7 5 4 3 8 6 2 1 , ekkor 4 tallat trtnt. Mit m ondhatunk az egyes plcikk sznrl?