Matematika Gyakorlo Es Erettsegire Felkeszito Feladatgyujtemeny II Zold Small ocr

Hasznos számodra ez a válasz?

ZÖLD KÖNYV /Bedő: Matematika feladatgyűjtemény II. – Matematika, geometria

Mi befolyásolhatja a hirdetések sorrendjét a listaoldalon?

A hirdetések sorrendjét a listaoldalak tetején található rendezési lehetőségek közül választhatod ki, azonban bármilyen rendezési módot választasz ki, a lista elején mindig azok a szponzorált hirdetések jelennek meg, amelyek rendelkeznek a Listázások elejére vagy a Maximum csomag termékkiemeléssel. Ezeket a lista elején található Kiemelt ajánlatok sáv jelöli.

Termékkiemeléseinket termékfeltöltés során, a Hirdetés kiemelése oldalon tudod megrendelni, de természetesen arra is lehetőség van, hogy már futó hirdetéseidhez add hozzá azokat.

A kiemelésekről ITT, a rendezési lehetőségekről ITT olvashatsz részletesebben.

Matematika Gyakorlo Es Erettsegire Felkeszito Feladatgyujtemeny II Zold Small ocr

Download Matematika Gyakorlo Es Erettsegire Felkeszito Feladatgyujtemeny II Zold Small ocr.

Description

A feladatgyűjtem ényben a tananyag-feldolgozás módja lehetővé teszi a középszintű és az emelt szintű érettségire való felkészülést. A több m int ezer fela d a to t tartalmazó feladatgyűjtem ényben szintezzük az összes feladatot. Ez a szintezés a feladatok nehézségi fo k á t is jelöli: KI K2 El E2 V

= középszintű, könnyebb; = középszintű, nehezebb; = emelt szintű, könnyebb; = emelt szintű, nehezebb, = versenyre ajánlott feladat.

G yakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtem ény II.

Gy betűvel a gyakorlati vonatkozású, életközeli m atem atika példákat jelöljük, segítve ezzel a késó’bbi felhasználást a szakmai, tudományos vagy a m indennapi életben. A feladatgyűjtem ény CD-mellékletében található a fela d a to k megoldása.

Szászné Simon Judit

K ö zép szin t E m elt szint

K om binatorika G ráfok Függvények Sorozatok Az egyváltozós valós függvények an alízisén ek elem ei V I. S tatisztik a V alószínű ség-szám ítás

É rettségi felad atsorok

Raktári szám : 16126/1

Előszó . Jelölések, rövidítések. I. K O M B IN A T O R IK A . Bevezető feladatok . Permutációk, variációk . P erm u tá ció k. Variációk. Vegyes feladatok a permutációk és variációk témaköréből . Kombinációk, ismétléses kom binációk . Kombinációk . Ismétléses kombinációk . Összetett f e la d a to k . Vegyes f e la d a to k . II. G R Á F O K . Alapfogalmak . Összefüggések a gráf csúcsai és élei között . Szabályos testek csúcsai, é le i. Vegyes fe la d a to k . Összefüggő gráfok, fa, kör . Gráfok bejárása, Euler-féle p o liéd erté te l. Elek bejárása . Csúcsok bejárása . Vegyes fe la d a to k . Euler-féle poliédertétel . Vegyes f e la d a to k . III. FÜ G G V ÉN Y EK . Alapfogalmak . F üggvénytípusok. Nulladfokú és elsőfokú függvények. Abszolútértéket tartalmazó fü g g vén yek. Másodfokú fü g g vén yek. Racionális törtfüggvények. Előjel, egészrész- és törtrészfüggvények. Négyzetgyökfüggvények. Magasabb fokú és gyökös függvények. Exponenciális függ vények. Logaritmusfüggvények . Függvénytranszform ációk. Összetett fü g g vén yek.

9 9 15 15 16 18 23 23 26 29 39 51 51 57 60 61 63 71 71 73 74 75 77 83 83 96 96 99 102 105 107 108 109 110 112 113 118

KOM BIN ATORIKA

Függvények tu lajd o n ság ai. 122 Függvények tulajdonságai, műveletek függvényekkel. 122 Inverz fü g g v é n y e k . 123 Páros és páratlan függvények . 124 Monoton függvények. .. 126 Periodikus függvények. .. 128 Függvények alk alm azása. ..129 IV. S O R O Z A T O K . ..135 Sorozatok bevezetése . ..135 Számtani s o ro z a to k . 138 M értani so ro z a to k . ..144 Rekurzív s o ro z a to k . 151 Explicit és rekurzív a la k o k . 151 Elsőrendű lineáris rek u rzió k. . 153 Másodrendű rekurziók . . 154 Vegyes re k u rzió k . . 155 Vegyes f e la d a to k . ..156 Kamatos kamat, járadékszámítás . ..163 V..A Z EG YV ÁLTOZÓ S VALÓS F Ü G G V É N Y E K A N A L ÍZ IS É N E K E L E M E I . .. 167 Sorozat h a tá ré rté k e . 167 Mértani sorozat határértéke. . 171 Függvény határértéke. Folytonosság. 174 Függvény határértéke . . 174 Folytonosság. 175 Differenciálszámítás . 177 É r in tő k . 179 Szélsőérték . 181 Függvényvizsgálat. 185 Integrálszám ítás. 187 Határozott integrál . 191 Területszámítás. . 192 Forgástestek térfogata. . 196 Más alkalmazások . 199 VI. STATISZTIKA, V A LÓ SZÍN Ű SÉG -SZÁ M ÍT Á S. 201 Táblázatok, g ra fik o n o k . .. 201 Statisztikai k ö z e p e k . 231 Gyakoriság, relatív gyakoriság . 238 Esem ényalgebra . .. 240 Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási m ó d j a . 242 Más nemzetek érettségi feladataiból . 252 Valószínűség-számítási feladatok emelt s z in te n . 253 É R E T T S É G I F E L A D A T S O R O K . .. 259 K ö z é p sz in t. .. 259 E m elt s z in t. .. 275

Előszó A feladatgyűjtemény tagja a N em zeti Tankönyvkiadó új, három kötetes feladat­ gyűjtemény-családjának amely – a hozzájuk tartozó három megoldáskötettel együtt – feldolgozza a teljes középiskolai m atem atika tananyagot az új kétszintű érettségi szellemében, középszinten és emelt szinten egyaránt. A több ezer feladatot tartalm azó feladatgyűjteményekben szintezzük az összes feladatot. Ez a szintezés a feladatok nehézségi fokát is jelöli: KI K2 El E2 V Gy

középszintű, könnyebb; középszintű, nehezebb; em elt szintű, könnyebb; em elt szintű, nehezebb; versenyre ajánlott feladat; a gyakorlati vonatkozású, életközeli matem atikapéldáknál áll.

A feladatgyűjtemények bőségesen tartalm aznak gyakorlópéldákat, azaz a m a­ tem atika gyakorlati alkalmazását szolgáló feladatokat, segítve ezzel a későbbi felhasználást a szakmai, a tudományos vagy a m indennapi életben. A tananyag­ feldolgozás módja lehetővé teszi a középszintű és az emelt szintű érettségire való felkészülést. Szerzői és lektorai mindannyian a m atem atika tanításának kiváló és elismert szakemberei. A feladatok megoldása: M ind a három kötetben m egtalálható a feladatok megoldása a CD-mellékletben, a borítóhoz ragasztva. Általában részletes megoldást közlünk, de helyhiány m iatt néhol csak útm utatást nyújtunk vagy a végeredményt adjuk meg, és néhány egyszerű feladat m egoldását az olvasóra bízzuk. Ajánljuk a tankönyvcsaládot a 9-13. évfolyamon minden m atem atikaórára a gyakorláshoz, a tém akörök elmélyítéséhez, a tehetséggondozáshoz és az érett­ ségire készülőknek egyaránt. A szerkesztők

Jelölések, rövidítések =, + : , > N Z Z +, Z” Q, Q*

Q+, Q~ R R +, R” e, £ £, c 1, n e Z +) K2 8. H árom kockát feldobva, hányféleképpen lehet a dobott számok összege a) 5; b) legfeljebb 5?

K2 9. A 0,1, 2, 3, 4,5 számjegyekből hány darab 6 -jegyű, 5-tel osztható szám készíthető? (M inden számjegyet fel kell használni.)

10. Az alábbi /- ///. ábrákon a vonalak m entén ^4-ból C-be szeretnénk eljutni. (Folyamatosan közeledni kell C-hez, visszafelé nem haladhatunk.) E1

Vizsgáljuk meg m indhárom esetben, hogy: a) hányféle úton juthatunk el ^4-ból C-be; b) hányféle úton juthatunk el ^4-ból C-be, ha közben B-t érintenünk kell; c) hányféle úton juthatunk el ^4-ból C-be, ha közben B-t nem érinthetjük? 10/11. ábra

o— o— o— o— o— o— o 0

0— 0— 0— Ot — Q— Q— 0 B

K1 11. Leírtuk a számokat 1-től 2004-ig. Eközben hány számjegyet írtunk le? K1 12. Egy három kötetes lexikon kötetei rendre 563,552 és 581 lapból állnak. Hány számjegyet írunk le összesen, ha az oldalakat m indhá­ rom kötetben 1 -től kezdve sorszámozzuk?

K1 13. Egy nagyobb munka oldalszámozásához 2184 számjegy kellett. Hány oldalból áll a munka? K2 14. Leírtuk a számokat 1-től 1000-ig folya­ m atosan egymás után, így egy sokjegyű számot kap­ tunk. a) Hány jegyű a kapott szám? b) Melyik számjegyet hányszor írtuk le? c) Mi a 100. számjegye a leírt számnak? K2 15. Egy 625 x625-ös m éretű táblán a tábla közepére szimmetrikusan beszíneztünk 2005 m ezőt (kezdetben minden mező fehér színű volt). Bizo­ nyítsuk be, hogy a 313. sorban található színezett mező. Hogyan tudnánk általánosítani a feladatot? K1 16. aj Egy 5 elemű halmaznak hány 2 elem ű részhalmaza van? b) És hány 3 elem ű részhalmaza? K2 Gy 17. Egy kör alakú asztalra két játékos felváltva egyforma érm éket helyez el úgy, hogy az érm ék nem fedhetik egymást. Az veszít, aki m ár nem tud újabb érm ét az asztalra tenni. Melyik já té ­ kosnak van nyerő stratégiája? K2 Gy 18. Az asztalra sorban 10 korongot helyeztünk el, piros oldalukkal felfelé, kék oldalukkal lefelé. Két játékos felváltva m egfordíthat 1 vagy 2 szom­

szédos piros korongot (a fordítás végleges). Melyik játékosnak van nyerő stratégiája, ha az nyer, aki az utolsó piros korongot fordítja meg? Keressük meg a nyerő stratégiát akkor is, ha kezdetben a korongok egy kör­ vonal m entén helyezkednek el! K1 19. H ány részre osztja fel a teret a) egy kocka oldallapjainak hat síkja; b) egy tetraéd er oldallapjainak négy síkja? 20. A 4 vagy 5 helyen kilyukasztott buszjegyből van több? K1

K2 Gy 21 . Egy kisvárosban izgalmas reform ­

lottót játszanak: a 90 számból 85-öt húznak ki. a) Hol nehezebb telitalálatot elérni: a h a­ gyományos lottóban (ahol 90 számból 5-öt húznak ki) vagy a reform lot­ tóban? b) Egy tíztagú társaság nézi izgatottan a reform lottó húzásának eredm ényét. Közülük körülbelül hánynak lehet legalább 75 találata? 22 . A d o tt a síkon egy konvex hatszög. a) Hány egyenest határoznak meg a csúcsai? b) Hány olyan négyszög van, amelynek csúcsai egyúttal a hatszög csúcsai is? c) Legfeljebb hány metszéspontja van a hatszög átlóinak? K2

23. H ány olyan egész szám található a 2, 4, 6 , . 2000 szomszédos páros számok között, amelyik a) osztható 3-mal; b) osztható 5-tel; c) osztható 3-mal és 5-tel; d) osztható 3-mal vagy 5-tel; e) nem osztható sem 3-mal, sem 5-tel? 24. Egy versenyen az iskola tanulóinak 20%-a indult. A versenyzők két feladatot kaptak. Az elsőt a versenyzők 60%-a, a m ásodikat 65%-a oldotta meg. M inden induló megoldott legalább egy feladatot. Csak a második feladatot 80-an oldották meg. Hányan járnak az iskolába? K2

E1 25. Az egész számokra vonatkozóan tekintsünk három tulajdonságot: T 2: a szám osztható 2-vel; T 3: a szám osztható 3-mal; T 5: a szám osztható 5-tel. Hány egész szám található az 1001, 1002, 1003, . , 2000 számok között, am e­ lyekre a) mindhárom tulajdonság igaz; b) egyik tulajdonság sem igaz; c) a tulajdonságok közül pontosan egy igaz; d) a tulajdonságok közül pontosan kettő igaz? K1 E1 26. Egy dobozban 10 piros, 20 zöld és 7 sárga golyó van. Bekötött szem­ mel, véletlenszerűen kihúzunk néhány (legalább egy) golyót. Legkevesebb hányat kell kihúznunk, hogy az alábbi állítások igazak legyenek?

A kihúzott golyók között a) van piros; b) van piros vagy zöld; c) van piros és zöld; d) van két piros vagy három zöld; e) van két piros és három zöld; f) ha van piros, akkor van zöld is; g) ha van a piros vagy zöld szín egyikéből, akkor van a másikból is; h) amikor van két piros, akkor van három zöld is; i) van 2 piros vagy 3 zöld vagy 4 sárga; j) van 2 piros és 3 zöld és 4 sárga; k) ha van sárga, akkor van a másik két színből is; /) ha nincs piros, akkor nincs zöld sem. K1 K2 27. Egy dobozban 30 darab piros, 20 zöld és 10 sárga zokni van. B ekötött szemmel, véletlenszerűen kihúzunk néhány (legalább egy) zoknit. Legkeve­ sebb hány darabot kell kivenni ahhoz, hogy az alábbi állítások igazak legye­ nek? A kivett darabok között a) van két piros pár vagy három zöld pár; b) van két piros pár és három zöld pár; c) ha van piros pár, akkor zöld pár is van; d) van két piros pár vagy három zöld pár vagy négy sárga pár; e) van két piros pár és három zöld pár és négy sárga pár; f) ha nincs piros pár, akkor nincs zöld pár sem. K1 28. Egy n X n – e s m éretű táblázat m inden négyzetébe beírjuk a – 1 , 0 , 1 számok valamelyikét. Lehetséges-e olyan beírási mód, hogy a tábla m inden egyes sorába, m inden egyes oszlopába és a két átlójába írt számok összege mind különböző szám? K1

29. H ány mező belsején halad át egy 2004 X 999-es m éretű „sakktábla”

átlója? E1 30. Melyik az az egyenes, amelyik a legtöbb mezőn halad át egy a) 8 X 8 -as méretű; b) n X n – e s m éretű sakktáblán, (k , n e Z +)? V 31. Egy 11 X 12 X 13-as m éretű téglatestet egységkockákból raktunk össze. Hány egységkocka belsején halad át a téglatest testátlója? K2

32. Tekintsük az alábbi táblázatot.

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 stb.

a) Milyen szám áll a 2004. sor 100. helyén? (A 2004. sorban 2004 darab szám van.) b) Melyik sorban, hányadik helyen található a táblázatban a 2005? K1 Gy 33. 2 0 játékos kieséses versenyen vesz részt. A verseny lebonyolítása két­

féleképpen történhet: 1. A párosmérkőzéses rendszerben minden forduló után összesorsolják a párokat, és m inden párból a győztes jut tovább. (H a valakinek nem jut ellenfél, erőnyerőként továbbjut.) 2. A kihívásos rendszerben az első párt összesorsolják, majd mindig a győztes játszik egy következő ellenféllel. a) Hány mérkőzést játszanak le a két esetben, amíg kiderül a győztes személye? b) Hogyan általánosíthatjuk a feladatot? K1 34. Egy 7 X 8 -as m éretű négyzethálós papírdarabot bármely rácsegyenese m entén két részre vághatunk, majd az így kapott papírdarabokkal folytatjuk az eljárást. Legkevesebb hány vágásra van szükség ahhoz, hogy a kezdeti papír­ darabot 1 X 1-es négyzet alakú darabokra vágjuk szét, ha a) egy vágással egyszerre csak egyetlen darabot vághatunk el; b) a darabokat elmozgathatjuk, egymásra helyezhetjük úgy, hogy egy vágással egyszerre több darabot is szétvághatunk? 35. Egy 8 X 8 X 8 -as m éretű kockát síkbeli vágásokkal 1 X 1 X 1-es m éretű kisebb kockákká daraboljuk. Legkevesebb hány vágásra van szükség, ha a) egy vágással egyszerre csak egyetlen darabot vághatunk el; b) a darabokat elmozgathatjuk, egymásra helyezhetjük úgy, hogy egy vágással egyszerre több darabot is szétvághatunk? K2

K1 Gy 36. Anna és Béla egy igaz-hamis játékot játszanak. Anna gondol egy ló ­

nál nem nagyobb pozitív egész számra, Béla pedig a lehető legkevesebb eldön­ tendő kérdéssel m egpróbálja a számot kitalálni. (Rákérdeznie m ár nem kell.) a) Legkevesebb hány kérdésre van Bélának szüksége? b) Legkevesebb hány kérdésre van Bélának szüksége, ha csak előre m eghatáro­ zott kérdéseket tehet fel? (Ez azt jelenti, hogy az egyes válaszok eredményétől függetlenül, előre rögzített kérdéseket szabad feltenni.) K2 Gy 37. A dott öt fehér és egy piros golyó, melyek külsőre teljesen egyformák.

A fehérek között egy hamis golyó van, melynek a töm ege eltér a többi golyó tömegétől (nem tudjuk, hogy könnyebb vagy nehezebb, mint a többi). R en­ delkezésünkre áll egy kétkarú mérleg, mellyel összehasonlításokat tudunk végezni. a) Hány mérésből lehet m egtalálni a hamis golyót? b) A hamis golyó könnyebb, vagy nehezebb a többinél? 38. Kezdetben egy 1-est írunk a táblára, majd ezután m inden lépésben a táblán lévő számot a kétszeresével vagy a négyzetével helyettesíthetjük. E lér­ hető a 2 45 pontosan 1 0 lépésben?

V Gy 39. Egy bűvészmutatvány m enete a következő: 27 kártyalapból egyet kihúzatunk a közönséggel úgy, hogy mi nem látjuk a kiválasztott lapot. Ezután a kártyákat egyesével három 9 lapból álló kupacra osztjuk, s megkérdezzük, hogy melyik csoportban van a kiválasztott lap. M iután ezt m egm ondták a nézők, összegyűjtjük a lapokat, s még kétszer elvégezzük ugyanezt az eljárást. Végezetül néhány bűvészkelléket felhasználva (kártya­ lapok megfúj ása, varázsigék mormolása) átlapozzuk a paklit, s egyszerűen meg­ mondjuk, melyik volt a kiválasztott lap. Mi a mutatvány magyarázata? K2 40. Egy kocka csúcsaiba egy-egy számot írtunk. Ezután m inden lépésben valamely él végpontjaiban álló két számot eggyel-eggyel megnövelhetjük. E lérhető-e néhány lépés elvégzésével, hogy m inden csúcson azonos szám álljon, ha a kezdeti számozás a következő: a) az alaplapon körben 1, 2, 3, 4, a fedőlapon 5, 6 , 7, 8 (az 1-es felett az 5-ös áll stb.); b) 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ; c) 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 (az alaplap két szemközti csúcsában 1 -es, a többi csúcsban 0 van). 41 .1 0 szék áll egymás mellett, az első nyolcon felváltva ül 4 fiú és 4 lány. Két egymás melletti gyerek feláll és ugyanebben a sorrendben átül a két üres helyre. M egint két szomszédos gyerek feláll és átül, és így tovább. Minél kevesebb helycserével érjük el, hogy egymás m ellett legyen a 4 fiú és a 4 lány. K2

42. Tekintsük az alábbi 10 X 10-es m éretű táblázatot. 0 10 20

30 40 50 60 70 80 90

31 41 51 61 71 81 91

32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

16 26 36 46 56 66

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

18 28 38 48 58 68

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

Válasszunk ki m inden sorból és m inden oszlopból egy-egy számot (összesen tízet) úgy, hogy a tíz szám összege a lehető a) legkisebb; b) legnagyobb legyen! K2 43. Bontsunk fel egy 7 cm oldalú négyzetet minél kevesebb párhuzam os állású négyzetre úgy, hogy a kapott négyzetek oldala cm-ben mérve (7-nél ki­ sebb) egész hosszúságú legyen. K2

44. Hány (egyszínű)

helyezhető el a 8 X 8 -as m éretű sakktáblán úgy, hogy semelyik kettő ne üsse egymást? (A két alapsoron is állhat gyalog.) K1 Gy 45. Nagyapáim dédapjai ugyanazok a személyek-e, mint dédapáim nagyapjai? (Az ősök közt ötödíziglen nem volt rokonházasság.) K 11 46. 2 0 0 0 . január elseje szom batra esett. ( 2 0 0 0 szökőév volt, a február hónap 29 napos.) Ebben az évben a hét melyik napjára esett leggyakrabban a) 20-a; b) 30-a; c) és péntek 13-a? 47. Leírjuk a számokat 1-től 9999-ig folyamatosan egymás után, így egy sok jegyből álló számot kapunk. a) Hány jegyű a kapott szám? b) Melyik számjegyet hányszor írtuk le? ej Mi a 2004. számjegye a leírt számnak? VG y 48.5 láda mindegyikében 100-100 mérősúly van. Az egyik ládában m in­

den súly 1 0 1 dkg-os, a többiben mind 1 0 0 dkg-os. a) Hány méréssel lehet megállapítani, hogy melyik a hamis láda? (A m érések­ hez egykarú mérleget használhatunk, amely a m ért súlyok töm egét m utatja.) b) Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha lehetséges, hogy több ládában is hamis súlyok vannak. K2 Gy 49. A dott 8 külsőre egyforma, de csupa különböző töm egű golyó. K étkarú mérleg segítségével, mellyel összehasonlításokat tudunk végezni, 9 méréssel ki kell választani a két legnehezebbet. Hogyan tehetjük ezt meg?

Permutációk, variációk Permutációk K1 50. Hány (nem szükségképpen értelm es) hárombetűs szó’készíthető az A, B, C betűkből, ha m inden betű pontosan egyszer szerepelhet? írjuk is le a szavakat! K1 51. Hány háromjegyű szám készíthető az 1,2,3 számjegyekből, ha min­ den számjegy pontosan egyszer szerepelhet? írjuk is le a számokat! K1

52. Hányféleképpen lehet négy tanulót (Attila, Bea, Cili, Dénes) sorba

állítani? K1 Gy 53. Négy labdarúgócsapat egyfordulós körmérkőzést játszik egymással. Hányféle sorrendben végezhetnek a csapatok, ha nincs holtverseny? K1 54. Egy összejövetelen 5 fiú és 5 lány vesz részt. A táncoló pároknak hányféle összetétele lehetséges, ha mindenki táncol, és a lányok egymással, illetve a fiúk egymással nem táncolnak? K1

55. Hányféleképpen lehet 5 különböző színű golyót sorban elhelyezni?

K1 56. Hányféle sorrendje lehet a) 1 0 ; b) n különböző elemnek, (n g N )?

K1 58. Néhány golyót 120-féleképpen rakhatunk sorba. Hány golyónk lehet, ha mindegyik különböző színű? K1 59. Versenyezzünk! Adjunk meg három betűt úgy, hogy belőlük minél több értelmes három betűs szót lehessen alkotni. (M inden betű pontosan egy­ szer szerepelhet.) A versenyt négybetűs szavakkal is megrendezhetjük.

Ism étléses p erm u tá c ió k K2 60. Hány (nem feltétlenül értelmes) szó készíthető az alábbi betűkből, ha m inden betű pontosan egyszer szerepelhet? a) a, a, b, c; b) a, a, a, b, c; c) a, a, b, b, c; d) a, a, a, b, b, c. K1 61. Versenyezzünk! Adjunk meg négy betűt úgy, hogy közöttük két egy­ form a legyen, és belőlük minél több értelmes, négybetűs magyar szót lehessen alkotni. K2 62. Hány szám készíthető az alábbi számjegyekből? (M inden m egadott számjegyet fel kell használni.) a) c) e) g)

2; 2, 3, 4; 2, 2, 3; 1, 2, 2, 3, 4;

2, 3; 1, 2, 3, 4; 2, 2, 3, 4; 1, 2, 2, 3, 3.

K2 63. A dott két halmaz, A = , B = . Hány o ly a n ^ -t B -re képező függvény van, amely m inden ű-beli elem et pontosan kétszer vesz fel értékül?

Variációk K1 64. Hány (nem szükségképpen értelmes) három betűs szó készíthető az alábbi betűkből, ha m inden betű pontosan egyszer szerepelhet? a) a, b, c, d; b)a,b,c,d,e; c) a, b, c, d, e,f.

K1 65. Hány háromjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha minden számjegy pontosan egyszer szerepelhet? K1 66. Hányféleképpen ültethetünk le padra? (Az ülőhelyek számozottak.)

emberből 3-at egy háromszemélyes

K1 67. 10 különböző színű üveggolyóból 5-öt felfűzünk egy láncra. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? (Két felfűzést csak akkor tekintünk azonos­ nak, ha a megegyező színű golyókat ugyanabban a sorrendben fűzzük fel.) K1 68. Legalább hány különböző számjegyre van szükség ahhoz, hogy 1 2 0 háromjegyű számot írhassunk fel ezek felhasználásával? (M inden számjegy csak egyszer szerepelhet.) KI 69. A dott két halmaz, A – , B – . Hány olyan függ­ vény van, amely az A halmaz elemeihez a B halmaz elemeiből kölcsönösen egyértelműen rendel hozzá hármat?

Ism étléses variációk K1 70. Hány (nem szükségképpen értelmes) kétbetűs szó készíthető az A , B, C betűkből, ha egy-egy betű többször is szerepelhet? írjuk is le a szavakat! K1 71. Hány három betűs szó készíthető az alábbi betűkből, ha egy-egy betű többször is szerepelhet? a) a, b, c, d; b) a, b, c, d, e\ c) a, b, c, d, e,f. K1 72. Egy dobozban tíz különböző színű üveggolyó van, mindegyik színből nyolc-nyolc darab. A golyók közül ötöt felfűzünk egy láncra. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? (Két felfűzést csak akkor tekintünk azonosnak, ha a m ege­ gyező színű golyókat ugyanabban a sorrendben fűzzük fel.) K1 Gy 73. Hányféle kitöltött totószelvény van? (A klasszikus totószelvényen

13 + 1 mérkőzés végeredményére tippelhetünk, mindegyik tipp lehet 1,2 vagy X.) K1 Gy 74. Hányféle lyukasztott buszjegy lehet? K1 75. Hány négyjegyű tükörszám van? (Egy term észetes szám tükörszám, ha egyenlő a jegyei fordított sorrendjével felírt számmal.) Ezek közül melyek négyzetszámok? K1 76. A 2 -es számrendszerben hány a) 6 jegyű; b) legfeljebb 6 jegyű term észetes szám van? K1 77. Az n alapú számrendszerben hány pontosan k jegyű természetes szám van? És hány legfeljebb k jegyű? K1 Gy 78. Egy tudós társaság az em berek fogazatát vizsgálja. Az alapján osztá­ lyozzák a fogazatokat, hogy az egyes fogak hiányoznak valakinél vagy sem.

Hány ember megvizsgálása esetén lehet biztos a társaság abban, hogy van a vizsgált személyek között kettő, akiknek megegyezik a fogazata? (32 foggal szá­ moljunk.) K1 Gy 79. Az előző feladatbeli vizsgálatot pontosabban végzik el. Az új szem­ pontok szerint a meglévő fogakat is kétfelé osztják: egészségesekre vagy m ár kezeitekre, töm öttekre. M ost hány em ber megvizsgálása esetén lehet biztos a társaság abban, hogy van a vizsgált személyek között kettő, akiknek megegyezik a fogazata? K1 Gy 80. Egy páncélszekrényen 3 for­ gatható számtárcsán lehet beállítani az egyetlen nyitó számkódot. A tárcsákon a 0, 1, 2, . 9 számjegyek állíthatók. Mennyi ideig tart az összes kombináció kipróbálása, ha egy beállítás és nyitási próba 6 másodpercig tart?

K1 81. Hány részhalmaza van az halmaznak? K1 82 . A dott két halmaz, A = = , B = . Hány olyan függvény van, amely az A halmaz elemeihez a B halmaz ele­ m eit rendeli? K1 83. Legalább hány számjegyre van szükség ahhoz, hogy 243 ötjegyű szá­ mot írhassunk fel ezek felhasználásával?

Vegyes feladatok a permutációk és variációk témaköréből K2

84. Hány szám készíthető az alábbi számjegyekből, ha m inden számjegy

pontosan a) 0, 1, 2, b) 0, 1, 1, c) 0, 1, 1, d) 0, 1, 1,

egyszer szerepelhet? 3; 2, 3; 2, 2, 3; 1, 2, 2, 3, 4.

K1 85. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány ötjegyű a) páros; b) páratlan szám készíthető? (M inden számjegy csak egyszer szerepelhet.) És hány háromjegyű páros, illetve páratlan szám készíthető? K2 86. A 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből hány ötjegyű a) páros; b) páratlan szám készíthető? (M inden számjegy csak egyszer szerepelhet.) És hány háromjegyű páros, illetve páratlan szám készíthető? K2 87. A 0 , 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány hatjegyű, 5-tel osztható szám ké­ szíthető? (M inden számjegy csak egyszer szerepelhet.)

E1 88. Hány hétjegyű a) páros; b) páratlan szám készíthető a 0, 1, 1,1, 2, 2, 3 számjegyekből? E2 89. Hány tízjegyű, öttel osztható szám készíthető a 0, 0 ,1 ,1 , 2, 3, 4, 5, 5, 5 számjegyekből? K1 90. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből hány olyan négyjegyű számot készít­ hetünk, amelyben szerepel a 3-as? K1 91. Egy szabályos játékkockával öt dobást végzünk. Hány olyan kim enetele lehet a kísérletnek, amikor legalább egyszer hatost dobunk? K1 Gy 92. Hány régi fajta rendszám tábla készíthető a 26 betű és 10 számjegy felhasználásával? (Két betűt és négy számjegyet használhatunk fel, pl.: AB 12-34.) K1 Gy 93. Melyik régi fajta rendszám táblából van több: amelyikben nem ismétlődik számjegy, vagy amelyikben igen? (Két betűt és négy számjegyet használhatunk fel, pl.: AB 12-34.) K1 Gy 94. Hány rendszámtábla készíthető a 26 betű és 1 0 számjegy felhasználásával, ha három betűt és három számjegyet használhatunk fel? (Pl.: ABB 011.)

K1 Gy95. Melyik fajta rendszám táblából van több: a régi típusúból (két betű, négy számjegy) vagy az újból (három betű, három számjegy)? K2

96. Hány hatjegyű szám van, amelyben a számjegyek szorzata páros?

K1 97. Hány olyan 3-mal kezdődő ötjegyű szám írható fel az 1 , 3, 5, 7, 9 számjegyek felhasználásával, amelynek utolsó számjegye 1? (A számjegyeket többször is felhasználhatjuk.) K1 98. A 4-es és 5-ös számjegyekkel hány olyan nyolcjegyű szám készíthető, amelyben a 4-esek és 5-ösök száma megegyezik?

K1 99. Hány olyan nyolcjegyű kettes számrendszerbeli szám van, melyben 3 darab 0 számjegy szerepel? K2 100. Hány olyan nyolcjegyű kettes számrendszerbeli szám van, melyben legfeljebb 3 darab 0 számjegy szerepel?

K1 101. Leírtuk az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből képezhető összes négyjegyű számot úgy, hogy m inden számjegyet csak egyszer használtunk fel. a) Ezek között a számok között hány 4-gyel kezdődő van? b) Ezek közül hány kezdődik 41-gyel? c) Hány olyan szám van a leírtak között, amelyben az első helyen 4-es, az utolsó helyen 1 -es áll? d) Az a ) – c ) feladatokat oldjuk meg akkor is, ha egy-egy számjegyet többször is felhasználhatunk! E1 102. A 0, 1, 1, 2, 2, 2 , 3 számjegyekből hány darab hatjegyű szám készít­ hető?

K2 103 . A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 számjegyekből hány olyan ötjegyű szám alkot­ ható, amelyekben legalább egy számjegy ismétlődik? K2 104. A 0, 1, 2, . 7 számjegyekből készíthető ötjegyű számok között hányban fordul elő az 1 -es számjegy, ha a) m inden számjegyet csak egyszer használhatunk fel; b) a számjegyek ismétlődhetnek? E2

105. Hány olyan hatjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege páros?

106. Hány hatjegyű páros szám készíthető a 0 ,1 ,1 ,1 ,2 , 3 számjegyekből?

107. Hány ötjegyű a) 2 -vel; b) 3-mal; c) 4-gyel osztható szám van? E2

108. Hány százjegyű, három m al osztható szám van?

K1 109 . Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával hány olyan háromjegyű szám készíthető, amelyben előfordul az 5-ös számjegy? 110. Hány olyan ötjegyű szám van, amelynek van páratlan számjegye, ha a) m inden számjegy csak egyszer szerepelhet; b) a számjegyek ismétlődhetnek? K1 111. Hány olyan nyolcjegyű szám van, amelynek m inden számjegye 4-nél nagyobb és 7-nél kisebb? K1 112 . A 4-es és 5-ös számjegyekből hány 9-cel osztható a) nyolcjegyű; b) kilencjegyű számot készíthetünk? E2 113. Hány nyolcjegyű, 3-mal osztható szám képezhető az a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; b) 0, 1, 2, 3, 4, 5; c) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből?

E2 114. Hány százjegyű, 3-mal osztható szám képezhető a 0, 1, 2, 3, 4, 5, számjegyekből?

E2 115. Hány olyan ötjegyű szám van, amely 6 -ra végződik és 3-mal oszt­ ható? 6 -os

116. Hány olyan 3-mal osztható ötjegyű szám van, amelyben előfordul a számjegy?

E2 117. Hány 3-mal osztható ötjegyű szám van, amelyben előfordul a 0 számjegy? K2 118. Hányféleképpen lehet hat em bert (A, B, C, D, E, F) egy padra úgy leültetni, hogy két kijelölt személy (pl. A és B) egymás mellett üljön? (Az ülőhe­ lyek számozottak.)

K2 119 . Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 elem eknek hány olyan perm utációja (sorrendje) van, amelyben az 1 -es és a 2 -es nincs egymás m ellett? K2 120. Hány olyan hétjegyű szám készíthető a 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek­ ből, amelyben az 1-es és 2-es számjegy nem áll egymás m ellett? (M inden szám­ jegyet csak egyszer használhatunk fel.) K2 121. Nyolc e m b e r- A , B , C , D , E, F , G , H – leül egy padra. (Az ülőhelyek számozottak.) Hányféleképpen helyezkedhetnek el úgy, hogy a) H ne kerüljön a pad szélére; b ) A a B mellé és C a D mellé üljön; c) E ne kerüljön F mellé; d) sem D, sem E ne kerüljön a pad szélére? E1 122. Az 1, 2, . 9 számokat sorba rendezzük. a) Hány esetben fordulhat elő, hogy az 1, 2, 3 számok valamilyen sorrendben egymás mellé kerülnek? b) Hány esetben fordulhat elő, hogy az 1, 2, 3 számok növekvő sorrendben kerülnek egymás mellé? c) Hány esetben fordulhat elő, hogy az 1, 2, 3 számok egymáshoz képest (nem szükségképpen egymás mellett) növekvő sorrendben helyezkednek el? E1 123. A 0 , 1, 2, . 9 számjegyekből m inden számjegyet felhasználva tízje­ gyű számokat készítünk. a) Hány esetben fordulhat elő, hogy az 1, 2, 3 számok valamilyen sorrendben egymás mellé kerülnek? b) Hány esetben fordulhat elő, hogy az 1, 2, 3 számok növekvő sorrendben kerülnek egymás mellé? c) Hány esetben fordulhat elő, hogy az 1, 2, 3 számok egymáshoz képest (nem szükségképpen egymás mellett) növekvő sorrendben helyezkednek el? E2 124. Az 1, 2, 3, . n számokat sorba rendezzük. Hány olyan eset van, amelyben az 1 , 2 , k számok (k 1). Mivel egyenlő a sorozat n. tagja?

Kombinációk, ismétléses kombinációk Kombinációk K1 140. Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás ez összesen, ha a társaság létszáma a) 6 fő; b) n fő? K1 141. Hány kételem ű részhalmaza van az a) ; b) ; c) halmazoknak? írjuk is le a részhalmazokat. K1

142. Legfeljebb hány m etszéspontja lehet 5 egyenesnek?

143. A dott öt általános helyzetű pont a síkon (semelyik két pont nincs egy egyenesen). Hány egyenest húzunk be, ha összekötünk m inden pontot min­ den ponttal? K1

K1 144. Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hányan voltak a társaságban, ha összesen 136 kézfogás történt? K1 145. Versenyezzünk! Adjunk meg négy betűt úgy, hogy belőlük minél több értelmes magyar szót lehessen alkotni. (M inden betű csak egyszer szere­ pelhet, de nem kell mindegyiket felhasználni.) Érdem es a feladatot 3, illetve 5 betűvel is lejátszani. K1 146. Hányféleképpen lehet 10 kártyalapból a) 3; b) 7 lapot kiosztani? K1 Gy147. Egy futóverseny nyolc versenyzője közül az első négy jut tovább. Hányféleképpen alakulhat a továbbjutók csoportja? K1 148. A dott öt kék és egy piros pont a síkon úgy, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen. A pontok által m eghatározott háromszögek közül melyikből van több: amelyiknek van piros csúcsa, vagy amelyiknek nincs?

K1 149. Hány a) 2 elemű; b) 3 elemű; c) 4 elemű; d) 5 elemű részhalm aza van az halmaznak? K1 150. Oldjuk meg az alábbi feladatokat! a) Hány egyenest határoz meg 10 általános helyzetű pont a síkon? (Semelyik három pont nincs egy egyenesen.) b) Általánosítsuk a feladatot! c) Hány háromszöget határoz meg 10 általános helyzetű pont a síkon? d) És hány négyszöget? e) Hány pontot határoz meg 10 általános helyzetű egyenes a síkon? (Semelyik két egyenes nem párhuzamos és semelyik kettő m etszéspontján nem megy át harm adik egyenes.) f ) És hány háromszöget határoznak meg? K2 151. Hányféleképpen lehet 5 piros és 4 zöld, egyforma m éretű golyót sorba rendezni? Oldjuk meg a feladatot a) ismétléses permutáció alkalmazásával; b) kombináció alkalmazásával. K1 Gy 152. Hányféleképpen tölthető ki egy hagyományos lottószelvény?

(90 számból kell 5-re tippelni.) K2 153. Az 1, 1, 1, 2, 2, 2 számjegyekből hány Oldjuk meg a feladatot a) ismétléses permutáció alkalmazásával; b) kombináció alkalmazásával.

jegyű számot készíthetünk?

K1 Gy 154. Hány mérkőzést játszik 16 csapat összesen, ha mindegyik m inde­ gyikkel játszik? K2

155. Hányféleképpen jöhetett létre egy 7 :5 végeredményű teniszjátsz­

ma? K2 156. Az asztalitenisz-játszmákat 11 pontig játsszák úgy, hogy legalább két pont különbség kell a győzelemhez. (H a tehát 10:10 után 11:10 lett az ered­ mény, tovább folytatják a játékot addig, amíg a játékosok között nem alakul ki két pont különbség.) Hányféleképpen jöhet létre egy a) 1 1 : 5-ös; b) 1 3 : 11-es eredm ényű játszma? E1 157. Hányféleképpen alakíthatunk 8 lányból és 4 fiúból két hatfős sakk­ csapatot úgy, hogy mindkét csapatban legyen legalább egy fiú? K1 Gy 158. Hány lottószelvényt kell kitöltenünk a biztos ötös találathoz az egyes lottófajtákban?

a) Hagyományos lottó: 90 számból húznak ki 5-öt; b) hatos lottó: 45 számból húznak ki 6 -ot; c) skandináv lottó: 35 számból húznak ki 7-et. K1 Gy 159. Hány lottószelvényt kell kitöltenünk a biztos ötös találathoz az

alábbi országokban? a) Belgium: 35 számból húznak ki 7-et; b) Hollandia: 41 számból húznak ki 6 -ot; c) Jugoszlávia: 36 számból húznak ki 5-öt; d) Svájc: 36 számból húznak ki 6 -ot. K2 Gy160. 500 term ék között 4% a selejtes. Hányféleképpen lehet tíz term éket kiválasztani úgy, hogy a) egy selejtes se legyen; b) mind a tíz selejtes legyen; c) pontosan öt selejtes legyen? K1 Gy 161. Hányféleképpen lehet egy 32 lapos magyar kártyából 8 lapot kiosz­ tani? (Vagyis visszatevés nélkül húzunk, és nem vagyunk tekintettel a kihúzott lapok sorrendjére.) K1 Gy 162. Hányféleképpen lehet a magyar kártyacsomagot kiosztani négy játékos között úgy, hogy mindegyik nyolc lapot kapjon? K1 Gy 163. Az ulti kártyajátékban hányféle kezdeti kiosztás lehetséges? E2 164. Hányféleképpen alakulhat egy teniszjátszma? (Van rövidítés, tehát legfeljebb 7 : 6 lehet a végeredmény.) K2 165. Hányféleképpen lehet 3 piros, 4 zöld és 5 kék, egyforma m éretű golyót sorba rendezni? Oldjuk meg a feladatot a) ismétléses perm utáció alkalmazásával; b) kombináció alkalmazásával. K1 166. A határállom áson őrségben egyszerre négy katona áll. Hány tagú az őrszolgálati egység, ha 1365-féleképpen lehet a négy őrt kiválasztani?

E1 167. Hányféleképpen lehet 5 piros és 4 zöld, egyforma m éretű golyót sor­ ba rendezni úgy, hogy két zöld golyó ne legyen egymás után? E1 168. A könyvespolcon 12 különböző könyv áll. Hányféleképpen lehet kö­ zülük kiválasztani 5-öt úgy, hogy ezek között ne legyenek egymás mellett állók? E1 169. Hányféleképpen lehet 4 piros, 3 fehér és 2 zöld, egyforma m éretű golyóból olyan láncot készíteni, melyben nincs egymás m ellett a) két zöld; b) két fehér; c) fehér és zöld golyó? 170. Hányféleképpen lehet 4 piros, 3 fehér és 2 zöld, egyforma m éretű golyóból olyan karkötőt készíteni, melyben nincs egymás mellett a) két zöld; b) két fehér golyó?

171. Egy dobozban 15 cédula van 1-től 15-ig számozva. Kihúzunk öt cé­ dulát visszatevés nélkül. Hány esetben lesz a kihúzott legkisebb szám nagyobb 5-nél? K1

172. Egy dobozban 15 cédula van, melyekre rendre az 1, 2, . 15 szám o­ kat írtuk. Húzzunk ki 5 cédulát visszatevés nélkül. (Számít a kihúzott cédulák sorrendje.) Hány esetben kapunk olyan számötöst, amelyben a számok növekvő sorrend­ ben vannak? E1

E1 173. Hány hétjegyű szám van, amelynek számjegyei a) növekvő; b) csökkenő sorrendben következnek egymás után? (Egyenlőség nem lehet a számjegyek között.) K2 174. Hányféleképpen választhatunk ki három különböző, 30-nál nem nagyobb pozitív egész számot úgy, hogy az összegük páros legyen? E1 175. Hány ötjegyű szám van a 16-os számrendszerben, amelyben a szám ­ jegyek a) növekvő; b) csökkenő sorrendben vannak? K2 Gy176. 200 csavar közül 20 selejtes. A 200 csavarból tízet kivéve, hány eset­ ben lesz köztük a) legfeljebb négy; b) legalább négy; c) 2 0 % selejtes? 177. Hány különböző számjegyekből álló ötjegyű szám van, amelynek számjegyei nem növekvő sorrendben következnek egymás után? És olyan, amelyben a számjegyek sorrendje nem csökkenő? E2

K1 K 2 178. Egy kísérlet során 2 0 -szor feldobtak egy érmét, s lejegyezték az így kapott fejekből és írásokból álló sorozatot. a) Hányféleképpen kaphattak 10 fejet és 10 írást? b) Hányféleképpen fordulhatott elő, hogy 4-gyel több lett a fej, mint az írás? c) Mi valószínűbb: a 10 fej és 10 írás sorozat, vagy a 8 fej és 12 írás dobás­ sorozat? d) Melyik valószínűbb: az, hogy egyforma a fejek és írások száma, vagy az, hogy a fejek és írások eltérése 2 ?

Ismétléses kombinációk E2 179. H árom egyforma dobókockát feldobunk. a) Hányféle lehet a dobások eredménye? b) Oldjuk meg ugyanezt a feladatot négy kockával.

c) Oldjuk meg ugyanezt a feladatot tíz kockával. (Pl. az 1, 1, 2 és 1, 2, 1 dobásokat nem tekintjük különbözőknek.) 180. A cukrászdában négyféle fagylaltot árulnak. Hányféleképpen lehet egy hatgombócos fagylaltot összeállítani? (A gombócok sorrendjére nem vagyunk tekintettel.) VG y

181. Egy dobozban 15 cédula van, rendre 1-től 15-ig megszámozva. Kihúzunk öt cédulát visszatevéssel. a) Hány esetben lesz a kihúzott legkisebb szám nagyobb 6 -nál? b) Hány esetben kapunk olyan számötöst, amelyben a számok sorrendje m onoton növekvő? (A szomszédos számok lehetnek egyenlők is.)

182. a) Hányféleképpen lehet 6 piros és 3 zöld, egyforma m éretű golyót sorba rendezni? b) És ha úgy szeretnénk sorba rendezni őket, hogy két zöld golyó ne legyen egymás után? H a lehetséges, oldjuk meg a feladatokat többféleképpen ismétléses perm utá­ ció, kombináció, illetve ismétléses kombináció alkalmazásával is. 183. Tekintsük a (2x + y + 3z) 5 hatványt. a) Hány tagból álló kifejezést kapunk a műveletek elvégzése és az összevoná­ sok után? b) Hány tagban fog szerepelni az x? c) Mennyi azon tagok együtthatóinak összege, amelyekben nem szerepel az x ? d) Mennyi azon tagok együtthatóinak összege, amelyekben szerepel azx?

V 184. Magyar kártyából 5 lapot osztunk vala­ kinek. Hányféle változat adódhat, ha csak a színeket vesszük figyelembe? K1 Gy 185. Hányféleképpen veheti fel egy négytagú

család kétszer a telefont? (Ugyanaz a személy két­ szer is felveheti a telefont; a felvétel időbeli sor­ rendjére nem vagyunk tekintettel.) V Gy 186. Egy tisztségre 3 jelölt van, ezek közül a

20 szavazó egyet választ ki. Hányféle eredménnyel végződhet a szavazás, ha m indenki csak egy jelöltre szavazhat? (Az eredmény azt jelenti, hogy ki hány szavazatot kapott.) 187. Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben a számjegyek m onoton nö­ vekvő sorrendben vannak? (M egengedünk szomszédos egyenlő számjegyeket is.) 188. Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben a számjegyek m onoton csökkenő sorrendben vannak? (M egengedünk szomszédos egyenlő számje­ gyeket is.) V Gy 189. Hány háromgombócos fagylalt állítható össze 5-féle fagylaltból?

V 190. Hányféleképpen lehet egy 32 lapos magyar kártyából 8 lapot kihúzni, ha egyenként és visszatevéssel húzunk, és nem vagyunk tekintettel a kihúzott lapok sorrendjére?

V 191. Egy dobozban sok egyforma m éretű fehér, piros és kék golyó van. Hányféle eredménye lehet 5 húzásnak, ha egyenként és visszatevéssel húzunk, és nem vagyunk tekintettel a kihúzott golyók sorrendjére? V 192. Két sakkjátékos tízjátszmás párosmérkőzést vív. Hányféleképpen végződhet a mérkőzés? 193. Hányféleképpen helyezhetünk el 5 levelet 16 különböző személy postaszekrényébe, ha a levelek között nem teszünk különbséget, és egy rekeszbe a) legfeljebb egy; b) több levelet is tehetünk? V 194. Hányféleképpen lehet 14 egyforma golyót elhelyezni 5 számozott dobozba, hogy a) pontosan kettő; b) legfeljebb kettő; c) legalább kettő doboz üres maradjon? V 195. Hány megoldása van az a + b + c = 9 egyenletnek a) a pozitív egész számok halmazán; b) a term észetes számok halmazán? 196. Hány megoldása van az a 1 + a2 + a3 + a 4 + a5 — 30 egyenletnek a term észetes számok körében?

V 197. Hány megoldása van az a + b + c + d = 48 egyenletnek a nemnegatív egész számok körében, ha még azt is megköveteljük, hogy a > 5, b > 6 , c > 7 és d > 10 legyen? VG y 198 .Apollóniosz (Kr. e. ^ 265-190) görög matem atikus a legnagyobb geom éterek egyike volt. H íresek körérintési feladatai, mely szerint három adott körhöz kell szerkeszteni egy negyedik, mindhárom alakzatot érintő kört. Bármelyik adott kör helyett vehetünk egyenest (mint végtelen nagy sugarú kört) vagy pontot (mint nulla sugarú kört) is. így a három adott alakzat többféle lehet, pl. adott három pont esetén szerkesztendő a háromszög köré írt kör. Hány Apollóniosz-féle körérintési feladat van?

Összetett feladatok Blaise Pascal (1623-1662) francia matem atikus a binomiális együtthatók tanul­ mányozása közben módszert alkotott kiszámításukra. Az ő nevét viseli az ún. Pascal-háromszög: 0. 1. 2.

s o r -> sor sor — 3. sor — 4. sor -*■ 5. s o r — 6 . sor —

1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Ebben a háromszög alakú táblázatban a sorokat és oszlopokat is 0-tól szokás indexelni. Pl. a 3. sor 0., 1., 2. és 3. elemei rendre 1, 3, 3, 1. E1

199. Milyen szabály alapján folytathatjuk a táblázatot?

E1 200. Mivel egyenlő az n. sor a) 0 .;

b)l.; c) (n – 1 ).; d) n. eleme? 201. Igaz-e, hogy a táblázatban szereplő számok szimmetrikusan helyez­ kednek el? (A szimmetriatengely a kezdő 1 elem en átm enő függőleges egye­ nes.) E2

202. M utassuk meg, hogy az n. sor k. elem ének értéke éppen

adjunk pl. kom binatorikai bizonyítást arra, hogy

209. Fejtsük ki a Pascal-háromszög segítségével az alábbi kéttagú hatvá­

b) (3 – y ) 6; ej (a + l ) 7.

E2 210. Adjunk többféle bizonyítást arra, hogy a Pascal-háromszög n. sorában az elem ek összege 2″, (n e N). E2 211. Mivel egyenlő a Pascal-háromszög «. sorában lévő elemek váltakozó előjelű összege, (n G Z +)? E2

212. H a n pozitív páros szám, mivel egyenlő

213. H a n pozitív páratlan szám, mivel egyenlő

Általánosítsuk ezt az „átlótételt”. E2 215. Hány részhalmaza van egy a) 4; b) 5; ej 6 ; cl) n elemű halmaznak? És hány valódi részhalmaza? E2 216. A 0, 1, 2, . 9 számjegyekből álló halmaznak hány olyan részhal­ maza van, amely legalább hételemű? E2 217. Hány páros elemszámú részhalmaza van egy n elemű halmaznak? És hány páratlan elemszámú részhalmaza, (n e N)? E2 218. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 számjegyekből álló halmaznak hány olyan rész­ halmaza van, amely a) tartalm azza az 1 , 2 számjegyeket; b) tartalm azza az 1 és 2 számjegyek valamelyikét (esetleg m indkettőt is); c) csak páros számjegyet tartalmaz; d) tartalm az páros számjegyet; e) nem tartalm az prímszámot; f ) legalább három elemű? E2 219. A dott a H = halmaz. Hány olyan részhalmaza van Ti­ nák, melyben az elem ek szorzata

a) 5-re végződik; b) osztható 5-tel? (A részhalmazok legalább kételeműek.) 220. Egy n elemű halm aznak legfeljebb hány részhalm azát választhatjuk ki úgy, hogy közülük bármely kettőnek legyen közös eleme, (n 1, n e N +). Hány olyan kisebb kocka keletkezik, amelynek aj 4; b) 3; ej 2; d) 1; ej 0 fekete lapja van? K1 260. Piros, fehér, kék és zöld színű anyagokból zászlókat készítünk. M in­ den zászló vízszintes csíkokból áll, a szomszédos csíkok nem lehetnek azonos színűek. Hány különböző zászlót készíthetünk, ha egy-egy zászlón aj 2; b) 3; ej 4 csíknak kell lennie?

K2 261 . A 4-es és 5-ös számjegyekből hány 9-cel osztható a) 8 jegyű; b) 9 jegyű számot készíthetünk? E2

262. Hány ötjegyű szám van, amely 16-ra végződik és 3-mal osztható?

263. Mivel egyenlő az 1, 2, . 1000 számok számjegyeinek összege?

K2 264. Hány hatjegyű szám van, melyben a j van 0 számjegy; b) pontosan egy 0 számjegy van; ej pontosan két 0 számjegy van? 265. Az előző feladat megoldása alapján számolás nélkül határozzuk meg 2)

• 9 összeg értékét.

K1 266. Hány a) pontosan; b) legfeljebb ötjegyű pozitív egész szám van a 3-as számrendszerben? 267. Hány olyan term észetes szám van, melyet a 9-es és a 11-es számK1 rendszerben felírva, egyaránt háromjegyű számokat kapunk? 268. Hány 3-mal osztható ötjegyű szám van, melyben előfordul a E2 számjegy?

E2 269. A dottak a 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 számjegyek. a) Hány 9 jegyű, 5-tel osztható szám készíthető belőlük? b) Ezek között hány olyan van, amelyben a 3-as és 4-es számjegyek nincsenek egymás m ellett? ej És hány olyan van közöttük, amelyben a két 2 -es számjegy nincs egymás mellett? K2 Gy 270. Egy csoportban 6 fiú és 6 lány van. Kettesével ülnek le a 6 padba. Hányféle ülésrend készíthető, ha két lány, illetve két fiú nem ülhet egymás mellé?

K2 271. Egy társaságban 7 fiú és 5 lány van. Hányféleképpen alakítható b e­ lőlük a) 5; b) 4 egyszerre táncoló pár? E1 272. 4 fiú és 3 lány úgy ült le egy 7 személyes padra, hogy két lány nem került egymás mellé. Hányféle ültetési sorrend van? (Az ülőhelyek számozottak.) E1 Gy 273. 10 tagú társaság páros asztalitenisz-bajnokságot szervez úgy, hogy minden lehető pár m inden lehetséges párral mérkőzzék. Hány játszm át kell összesen lejátszaniuk? E1

274. Hányféleképpen lehet 20 lóval 5 négyes fogatot összeállítani?

E1 275. Szabályos játékkockával n dobást végzünk. Hány olyan kim enetele lehet a kísérletnek, am ikor pontosan k darab 6 -ost dobunk, (k a; a V k képletben n > k ; a C k képletben n > k ;

ha a + b = n, akkor P “’h= C bn \ a P “,b képletben n > a + b; a V k,‘ képletben n > k ; a C k,i képletben n > k .

283. Hány háromszög van, melynek oldalai cm-ben mérve különböző egész számok, és 10 cm a) a legnagyobb oldala; b) a középső oldala; c) a kerülete? K1

a) Egy konvex tízszögnek hány átlója van? b) A z átlóknak legfeljebb hány m etszéspontja lehet? c) Legfeljebb hány ilyen m etszéspont lehet egy átlón? K2 285. Vegyünk fel három párhuzam os egyenest, s jelöljünk ki az egyiken 5, a másikon 6 , a harm adikon 7 pontot. Hány háromszöget határoznak meg a pon­ tok? (Az adott három egyenesen lévő pontok kivételével semelyik három pont nincs egy egyenesen.) E2 286. A sík e és/egyenese párhuzam os. A dott az e egyenesen n, a z /e g y e ­ nesen m pont, s egy-egy egyenessel összekötjük az előbbiek mindegyikét az utóbbiak mindegyikével. Legfeljebb hány m etszéspontja lehet az összekötő egyeneseknek? K2 287. Egy kocka éleit mint vektorokat tetszőlegesen irányíthatjuk. Legfel­ jebb hány különböző eredője lehet az így kapott 1 2 vektor összegének? 288. Hány olyan mező van egy végtelen nagy „sakktáblán”, amelyet egy ki­ szemelt mezőről elérhetünk k lépésben a királlyal, de kevesebbel nem, (k e N +)?

Oldjuk meg a feladatot abban az esetben is, ha csak vízszintes és függőleges lépéseket engedünk meg, átlósakat nem! K2 289. Egy „bolyongó bolha” a számegyenes 0 pontjából indul, s m inden lé­ pésben pozitív vagy negatív irányba ugrik egy egységnyit. 2 0 ugrás után a bolha kifárad és megáll. a) Hányféle ugrássorozatot végezhet a bolha? (Két ugrássorozat csak akkor azonos, ha m inden lépésben mindig ugyanabban az irányban történt az ugrás.) b) Hányféleképpen juthat el a (10) pontba? c) Hányféleképpen juthat el a (11) pontba? d) Hányféleképpen juthat el a (0) pontba? e) Melyik pontokban tartózkodhat a 20 ugrás után a bolha? f ) M iután megállt a bolha, melyik pontban fog a legnagyobb valószínűséggel tartózkodni? K2 290. Legkevesebb hány egyenes vágásra van szükségünk, hogy egy 8 x 8 as m éretű csokoládét 64 darab 1 X 1-es részre szétvágjunk, ha a) egy vágással egyszerre csak egy csokidarabot vághatunk el; b) a csokidarabokat, ha szükséges, elmozdíthatjuk, egymásra is tehetjük stb. 291. Oldjuk meg az előző feladat b) részét, ha 5 X 5-ös m éretű csokoládét 1 X 1-es darabokra vágunk szét.

K2 292. Egy téglatest három élének hossza 5 cm, 6 cm és 7 cm. A téglatest felületét feketére festettük, majd 1 cm élű, egybevágó kis kockákra daraboltuk fel. H ány olyan kisebb kocka keletkezett, amelynek a) 4; b) 3; ej 2; d) 1; ej 0 fekete lapja van? K2 293. Hány tetraédert határoz meg a térben p számú pont, ha ezek közül q darab egy síkban fekszik? (Semelyik három pont nincs egy egyenesen és a q pont síkján kívül semelyik négy pont nincs egy síkon; p , q s N+, q hogy m inden lé­ pésben közelednek céljukhoz. Egy­ m ást nem látják,

útválasztásuk az elágazásokban véletlenszerű. (Amikor elágazáshoz érnek, a lehetséges két irány közül egyforma valószínűséggel választanak. A m acska célja, hogy az E, az egéré, hogy az M kijáratnál hagyja el a „labirintust”.) Hányféle úton találkozhatnak? K1 Gy 305. Hány M orse-jelsorozat készíthető pontosan négy jelből? (M inde­ gyik jel lehet pont vagy vonás.) Elég lenne ennyi lehetőség az angol ábécé 26 betűjének kódolásához? K1 Gy 306. Hány M orse-jelsorozat készíthető legfeljebb négy jelből? Elég lenne ennyi lehetőség az angol ábécé 26 betűje és a 1 0 számjegy kódolásához? K1 Gy 307. Hány M orse-jelsorozat készíthető legfeljebb öt jelből? (M indegyik jel lehet pont vagy vonás.) Az alábbi táblázatban keressünk néhány 4 hosszú M orse-jelsorozatot, amelyeknek nem feleltetünk meg betűket.

308. Ö t sakkjátékos körmérkőzéses versenyt vívott, mindenki m in­ denkivel egy játszm át játszott. A játszmák után a győztes 1 pontot kapott, míg döntetlen esetén m indkét játékos 1/2—1/2 pontot. A játszmák után a versenyzők pontszám ait csökkenő sorrendbe állíthattuk, s minden játékos legyőzte az őt e sorrendben közvetlenül megelőzőt. Mik voltak a további játszmák eredm ényei? K2

K2 Gy 309. Egy televíziós vetélkedőn szerepelt a kérdés: hány háromszöget lá­

tunk az ábrán (309/1.)? (Bár a vetélkedőn nem pontosították, de azt az alakzatot tekintjük három ­ szögnek, amelynek csúcsai az ábrán jelölt 8 pont közül valók, s oldalai ténylege­ sen behúzott szakaszok. Pl. a 309/11. ábrákon 0, 309/1. ábra illetve 3 háromszög van.)

K2 Gy 310. Egy 1 X 4-es m éretű igen vékony sza­ lag négy egybevágó sorszámozott négyzetből áll. A szalagot 1 X 1-es m éretűre összehajtjuk. Hányféle különböző sorrendben következhet­ nek ekkor az 1, 2, 3, 4 számok? K2 Gy 311. Bergengócia elnöke titkosított üze­ n etet küld a szomszédos baráti országba, Kukutyinba. (Bergengóciával ellenséges viszonyban van a másik szomszéd, Boncida királysága; a kém ek m iatt titkosítják a szöveget.) A titkosítás lényege, hogy a szöveget tíz karakter hosszú csoportokra bontják (ebbe beletartoznak a szóközök is), s egyegy csoporton belül a karaktereket permutálják, az alábbi szabály szerint: 1

a) Mi lesz a BONCIDA H A R C R A K ÉSZ üzenet kódolt szövege? b) A (nem matem atikus végzettségű) hadügyminiszter úgy gondolja, hogy az így kapott szövegen nemzetbiztonsági okokból célszerű a kódolást még egyszer el­ végezni, s ezáltal még jobban összekeverni a betűket. Igen ám, de a titkosszol­ gálat is hasonló megfontolásokkal él: ők is még egyszer kódolják a szöveget. Mi történik? VGy 312. Egy multinacionális cég tesztelni kívánja az általa gyártott drága poharak ütésállóságát. A cég székháza 36 emeletes. Megbíztak egy híres m érnököt, hogy határozza meg, legfeljebb melyik em eletről ejthető le törés nélkül a pohár (lehet, hogy a 36. em eletről leejtve sem törik össze, de az is lehet, hogy m ár az első em elet is túlságosan magasnak bizonyul). Két egyforma m intapoharat bíznak a két­ ségbeesett mérnökre. Legkevesebb hány méréssel tudja szegény m egolda­ ni a problém át? E1 313. Bergengóciában a Sárkány­ nak 100 feje van, a Királyfinak viszont olyan Varázskardja, amellyel egy csapásra 33, 21 vagy 17 fejét tudja a Sárkánynak levágni. Igen ám, de az első esetben a Sárkánynak 18 új feje nő ki, a m ásodikban 36, a harm adik esetben pedig 14. H a a Sárkány összes feje lehullott, nem nő ki több. Le tudja-e győzni a Királyfi a Sárkányt?

E2 314. Az előző feladatbeli Bergengóciában az új Királyfinak (mi lett a régivel?) új Varázskardot kovácsoltak. Ezzel egy-egy csapással a 100 fejű Sárkány 7, 9 vagy 11 fejét tudja leütni; az egyes esetekben rendre 13, 18, illetve 5 új feje nő ki a Sárkánynak. (H a a Sárkány összes feje lehullott, most sem nő ki több). Legkevesebb hány suhintással tudja a Királyfi legyőzni a Sárkányt? E1 Gy 315. 16 teniszjátékos indult el a klub bajnokságán. A versenyzők között egyértelmű az erősorrend (vagyis az erősebb játékos mindig legyőzi a gyengéb­ bet). Legkevesebb hány mérkőzést kell lejátszani, míg kiderül, a) ki a legerősebb játékos; b) ki a két legerősebb játékos; c) ki a legerősebb és a leggyengébb játékos; d) ki a két legerősebb és a leggyengébb játékos; ej ki a két legerősebb és a két leggyengébb játékos? E1 Gy 316 . Jules Verne (1828-1905) Sándor Mátyás című regényében ism erteti az alábbi titkosírási módszert. Az összeesküvők az üzenet 36 betűjét összekeverve, egy 6 X 6 -os táblázat alak­ jában rendezték el. Akiolvasás egy ún. rostély segítségével történt. A rostély egy 6 X 6 -os kartonlap, amelyen a 36 mezőből egyeseket előre kivágtak, s a rostély tetejét megjelölték egy kereszttel. A kiolvasást egyszerűen végezték: a karton­ lapot kereszttel felfelé a szövegre helyezték; a karton kivágott mezőinek helyén megjelölt betűket lejegyezték; a rostélyt 90°-kal adott irányban elforgatták; majd ezt az eljárást háromszor megismételték. így a szöveg m inden betűjét pontosan egyszer kapták meg. Tegyük fel, hogy valaki meg akarja fejteni a titkosírást, s ezért az összes lehet­ séges rostélyt elkészíti. Hány van összesen? E1 V 317. Hányféleképpen rendezhetünk sorba 3 piros, 4 fehér és 2 zöld, egy­ form a m éretű golyót, ha azt akarjuk, hogy ne kerüljön egymás mellé a) két zöld; b) két piros; c) piros és zöld golyó? E1 318. Egy céllövöldében öt zsinór mindegyikén 4-4 üveggolyó függ, céltáblául szolgálva. A feltétel az, hogy mindegyik zsinóron mindig a legalsó golyót kell eltalálni. Hányféleképpen lehet az összes golyót lelőni?

E2 319. R endezzük nagyság szerint növekvő sorba azokat a számokat, am e­ lyek az 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9 számjegyeket pontosan egyszer tartalmazzák. Milyen szám áll a 100 000. helyen? E1 320. Egy „bolyongó bolha” a számegyenes 0 pontjából indul, s m inden lépésben vagy a pozitív irányba ugrik két egységnyit, vagy negatív irányba egy egységnyit. 1 0 ugrás után a bolha kifárad és megáll. a) Hányféle ugrássorozatot végezhet a bolha? (Két ugrássorozat csak akkor azonos, ha m inden lépésben mindig ugyanabban az irányban történt az ugrás.) b) Hányféleképpen juthat el a (10) pontba? c) Hányféleképpen juthat el a (11) pontba? d) Melyik pontokban tartózkodhat a 10 ugrás után a bolha?

E2 321. Egy szabályos ötszög m inden csúcsát piros vagy kék színnel kiszíneztük. Ezután az öt­ szöget tükrözzük az ábra szerinti t szim metriaten­ gelyre, majd a középpontja körül elforgatjuk 144°-kal. Hány olyan színezése lehetséges az öt­ szög csúcsainak, amelyeket a két transzformáció egymásutánja (szorzata) önm agába visz? 322 .Egy páncélszekrény három forgótár­ csáján kell a 0, 1, . 9 számjegyek közül a meg­ felelőt beállítani, majd egy gombnyomásra kinyit­ ni az ajtót. (Tehát a legkisebb beállítható szám 000, a legnagyobb 999.) A zár a legújabb divatnak megfelelően úgy működik, hogy ha valaki egy ha­ mis számmal próbálkozik, akkor a nyitó kód érté­ két autom atikusan megnöveli eggyel. Pl. ha a beállított kombináció 123 volt, akkor a helytelen próbálkozás után a kombináció 124-re változik; vagy ha 999 volt, akkor 000 lesz stb. Sajnos nem ismerjük a nyitó kódot. Milyen számkom­ binációkkal próbálkozzunk, ha a lehető legegyszerűbben (leggyorsabban) sze­ retnénk kinyitni a páncélszekrényt? 323. Az előző feladat páncélszekrényét felújították. A m odernebb ajtón olyan a zárszerkezet, hogy m inden számmal csak egyszer lehet kísérletezni (pl. az 123 eredm énytelen kísérlet után az 123-at többé nem szabad kipróbálni, m ert az ajtó véglegesen beragad). Ki lehet-e biztosan nyitni ezt az ajtót? E2 324. Egy szabályos játékkockával öt dobást végzünk, a kapott számokat egymás mellé írjuk, s így egy ötjegyű számot kapunk. a) Hányféle számot kaphatunk? b) Hány olyan kim enetele lehet a kísérletnek, amikor legalább egyszer hatost dobunk? c) Hány esetben lesz a dobott pontok összege legalább 26? d) Hányféleképpen fordulhat elő, hogy a dobások összege 11? e) Hány esetben kaphatunk 3-mal osztható számot? f) Hány esetben kaphatunk 6 -tal osztható számot? g) Hány esetben kaphatunk 18-cal osztható számot? h) Hány esetben kaphatunk 1-est is és 6 -ost is? 325. Hány olyan ötjegyű pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek különbözők, és a) a számjegyek szorzata páros; b) a számjegyek szorzata 5-re végződik; c) egymás m elletti számjegyei között szerepel a 25; d) a számjegyek összege páratlan; e) a számjegyek összege páros és a számjegyek között van 2 -es? 326. Hány négyjegyű szám készíthető a 0 ,1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,3 ,4 ,5 számjegyekből? 327. Hány tízjegyű, öttel osztható szám készíthető a 0, 0 ,1 ,1 , 2, 3, 4, 5, 5, 5 számjegyekből?

E2 328. A 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 számjegyekből hány olyan tízjegyű szám készíthető, amelyben a) nincs egymás m ellett két 2 -es; b) nincs egymás m ellett a 3-as és a 4-es; c) nincs egymás m ellett 2-es és 4-es? E2

329. Hány ötjegyű szám van, amelyben a számjegyek szorzata 0 -ra

végződik? E1 330. Hányféleképpen lehet 10 különböző könyvet úgy felrakni a polcra, hogy a) 2; b) 3 (előre kiválasztott) könyv egymás mellé kerüljön? E1 331. Mennyi az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyekből képezett 5-re végződő összes ötjegyű szám összege, ha a) a számjegyek nem ismétlődhetnek; b) a számjegyek ismétlődhetnek? E2 332. Egy „bolyongó bolha” a számegyenes 0 pontjából indul, a [- 5; 7] zárt intervallumon bolyong, s m inden lépésben pozitív vagy negatív irányba ugrik egy egységnyit. (H a a bolha az intervallum valamelyik végpontján túlra ugrik, akkor véglegesen eltűnik a szemünk elől.) Hányféleképpen kerülhet a bolha 1 2 lépés után a 6 pontba? E1 333. Hányféleképpen lehet egy kocka hat lapját 1-től 6 -ig megszámozni? (Nem tekintjük különbözőknek azokat a számozásokat, amelyek valamilyen mozgatással egymásba vihetők.) V 334. Hányféleképpen lehet a) egy szabályos tetraéder négy lapját 1-től 4-ig megszámozni; b) egy oktaéder nyolc lapját 1 -től 8 -ig megszámozni; c) egy dodekaéder tizenkét lapját 1 -től 1 2 -ig megszámozni; d) egy ikozaéder húsz lapját 1 -től 2 0 -ig megszámozni? (Nem tekintjük különbözőknek azokat a számozásokat, amelyek valamilyen mozgatással egymásba vihetők.) K2 335. Egy 8 egység élhosszúságú kockát szétvágunk 512 darab egységnyi élű kis kockára. Hány vágással tehetjük ezt meg, ha a) a szétvágással keletkező darabokat nem m oz­ dítjuk el egymástól; b) az egyes vágások után kapott darabokat alkalmas m ódon átrendezhetjük? K2 336. Oldjuk meg az előző feladat b) részét, ha 5 X 5 X 5-ös m éretű kockát 1 X 1 X 1-es darabok­ ra vágunk szét. VGy 337 . A kezünkben tartott, színek szerint re n ­ dezett Rubik-kockával B1 és J3 forgatásokat végzünk folyamatosan egymás után. (B1 a bal oldali lap óram utató járása szerinti 90°-os elfordítását

jelenti; hasonlóan J3 a jobb oldali lap -90°-os elfordítását, mint az ábrán látható.) Igaz-e, hogy egy bizonyos számú forgatás után a kocka ismét rendezetté válik? K2 338. aj Hányféle úton juthatunk el az ábrán A -bó\ C-be? (A szabályos háromszögrács élein folyam atosan közeledni kell C-hez, visszafelé nem haladhatunk.) Hányféle úton juthatunk el A -ból C-be az egyes esetekben, ha közben: b) B -t érintenünk kell; ej B -t nem érinthetjük? 339. Hányféleképpen lehet egy bástyával a sakktábla a l mezőjéről a h8 m ezőre jutni, ha min­ den lépésben a célhoz közeledünk, és a j 14; b) 12 lépést tehetünk? 340. Mennyi a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből készíthető hatjegyű, 5-tel osztható számok összege? (A számjegyek nem ismétlődhetnek.) 341. 30 tanulót felállítottunk téglalap alakban, 6 sorban és 5 oszlopban. M inden sorból kiválasztottuk a legalacsonyabb tanulót, majd a hat tanuló közül kiválasztottuk a legmagasabbat, ez lett Aladár. Ezután az 5 oszlopból kiválasz­ tottuk a legmagasabbakat, majd az így kapott öt tanuló közül a legalacsonyab­ bat, ez lett Béla. Melyik tanuló a magasabb? VG y 342. A közismert M aster Mind játék egy változatában az egyik játékosnak

különböző színű pálcika sorrendjét kell meghatározni. M iután tippelt, p art­ nere elárulja, hogy hány pálcikának sikerült eltalálni a sorrendbeli helyét. Jelöljük a színeket az 1, 2, . , 8 számokkal. A játékban eddig két próbálgatás történt. Az első: 5 8 1 3 2 4 7 6 , s tudjuk, hogy 5 szín volt a helyén. A második: 7 5 4 3 8 6 2 1 , ekkor 4 találat történt. M it m ond­ hatunk az egyes pálcikák színéről? 8