2007 Május 10 Angol Érettségi Megoldás

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű Részletesebben KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika Kombinatorika. (3 pont) Kombinatorika Kombinatorika 1) A szóbeli érettségi vizsgán az osztály 22 tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. a) Hányféleképpen lehet a 22 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e, Kombinatorika alapjai összefoglaló Kombinatorika alapjai összefoglaló Permutációk, variációk, kombinációk száma 1. Permutációk: akkor beszélünk permutációról, ha valahány konkrét elemet sorba rendezünk. Pl. a fogorvosnál várakozók beengedésének ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint Kombinatorika A A B C A C A C B. Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy Kombinatorika Megoldások 005-0XX Középszint Kombinatorika Megoldások 1) A szóbeli érettségi vizsgán az osztály tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. a) Hányféleképpen lehet a tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az Gráfelméleti feladatok (középszint) Gráfelméleti feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004. 05/I/7) Egy öttagú társaságban a házigazda mindenkit ismer, minden egyes vendége pedig pontosan két embert ismer. (Az ismeretségek kölcsönösek. )

Annának Kedden 5 Órája Van: Annának Ledden 5 Órája Van Halen

Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, illetve hamis! A: A dolgozatoknak több mint a fele jobb hármasnál. B: Nincs hármasnál rosszabb dolgozat. Feladatlapba

Kombinatorika. Permutáció Kombinatorika Permutáció 1. Adva van az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegy. Hány különböző 9-jegyű szám állítható elő ezekkel a számjegyekkel, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek? Mi van akkor, ha a szám MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 13. I. 1) Oldja meg az MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 015. október 13. I. 4 1 0 egyenletet a valós számok halmazán! ( pont) 1 7 3 Összesen: pont) Egy ABC háromszög A csúcsánál lévő külső szöge 104 -os, B csúcsnál lévő Klasszikus valószínűségszámítás Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van Logika, gráfok. megtalált. 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám és Tamás nézték meg figyelmesen az ábrákat: Ádám 11, Érettségi feladatok: Statisztika Érettségi feladatok: Statisztika 2003.

Annának ledden 5 órája van lines

• Sheila o flanagan egy igazán különleges férfi 2
• Harry potter és a főnix rendje teljes film
• Annának ledden 5 órája van halen
• Annának ledden 5 órája van morrison
• Annának ledden 5 órája van winkle
• Doro primo 401 használati útmutató
• Lg tv bekapcsol de nincs kép 18
• Sík vidék hazánk északnyugati részén
• Harry potter és a halál ereklyéi ii rész 1
• Terhesség előtti genetikai vizsgálat ára
• Keresés

Annának ledden 5 órája van gogh

Látogatók Mai 376 Heti 11278 Havi 35570 Összes 2887798 IP: 185. 102. 112. 145 Firefox – Windows 2021. július 17. szombat, 05:27 Ki van itt? Guests: 23 guests online Members: No members online Honlapok SULINET Matematika Oktatási Hivatal Versenyvizsga portál Matematika Portálok Berzsenyi Dániel Gimnázium Óbudai Árpád Gimnázium Szent István Gimnázium A gondolkodás öröme Matematika középszintű érettségi, 2010. május, I. rész, 5. feladat ( mmk_201005_1r05f) Témakör: *Algebra Annának kedden 5 órája van, mégpedig matematika (M), német (N), testnevelés (T), angol (A) és biológia (B). Tudjuk, hogy a matematikaórát testnevelés követi, és az utolsó óra német. Írja le Anna keddi órarendjének összes lehetőségét! Megoldás: Lehetséges órarendek: MTABN, MTBAN, AMTBN, BMTAN, ABMTN, BAMTN Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok Wolfram Alpha Wolfram MathWorld Art of Problem Solving Kvant IMO EGMO MEMO

Találatok száma: 12 (listázott találatok: 1. 12) 1. találat: Matematika középszintű érettségi, 2010. május, I. rész, 1. feladat (Azonosító: mmk_201005_1r01f) Témakör: *Számelmélet Sorolja fel a 2010-nek mindazokat a pozitív osztóit, amelyek prímszámok! Megtekintés helyben: Megtekintés új oldalon: Feladatlapba 2. rész, 2. feladat (Azonosító: mmk_201005_1r02f) Témakör: *Algebra Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! $ x^2-25=0$ 3. rész, 3. feladat (Azonosító: mmk_201005_1r03f) Témakör: *Kombinatorika Az alábbi táblázat egy 7 fős csoport tagjainak cm-ben mért magasságait tartalmazza. Mekkora a csoport átlagmagassága? A csoport melyik tagjának a magassága van legközelebb az átlagmagassághoz? íAnna Bea Marci Karcsi Ede Fanni Gábor 155 158 168 170 170 174 183 4. rész, 4. feladat (Azonosító: mmk_201005_1r04f) Az $ \mathbb^+ \to \mathbb, x \to 3 +\log_2 x $ függvény az alább megadott függvények közül melyikkel azonos? A: $ \mathbb^+ \to \mathbb, x \to 3\log_2 x $ B: $ \mathbb^+ \to \mathbb, x \to \log_2 $ C: $ \mathbb^+ \to \mathbb, x \to \log_2 $ D: $ \mathbb^+ \to \mathbb, x \to \log_2 x^3 $ 5. rész, 5. feladat (Azonosító: mmk_201005_1r05f) Annának kedden 5 órája van, mégpedig matematika (M), német (N), testnevelés (T), angol (A) és biológia (B).

Feladatbank mutatas

Próba 14. Bergengóciában az elmúlt 3 évben a kormány jelentése szerint kiemelt beruházás volt a bérlakások építése. Ezt az állítást az alábbi statisztikával támasztották ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint 10. -es pótvizsga segédlet: 10. -es pótvizsga segédlet: Főbb tudnivalók: Az írásbeli vizsga 60 perc. Egy, vagy két nagyobb és sok kis feladat várható. Mint az osztályozásból látszik, nem kell minden feladatot megcsinálni a sikeres Név. osztály. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika 8. OSZTÁLY;;; 1; 3;;;. BEM JÓZSEF Jelszó. VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám. 2010. december 7-8. Hely. 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16.

Damme

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű Részletesebben KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika Kombinatorika. (3 pont) Kombinatorika Kombinatorika 1) A szóbeli érettségi vizsgán az osztály 22 tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. a) Hányféleképpen lehet a 22 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e, Kombinatorika alapjai összefoglaló Kombinatorika alapjai összefoglaló Permutációk, variációk, kombinációk száma 1.

Permutációk: akkor beszélünk permutációról, ha valahány konkrét elemet sorba rendezünk. Pl. a fogorvosnál várakozók beengedésének ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint Kombinatorika A A B C A C A C B. Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy Kombinatorika Megoldások 005-0XX Középszint Kombinatorika Megoldások 1) A szóbeli érettségi vizsgán az osztály tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. a) Hányféleképpen lehet a tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az Gráfelméleti feladatok (középszint) Gráfelméleti feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004. 05/I/7) Egy öttagú társaságban a házigazda mindenkit ismer, minden egyes vendége pedig pontosan két embert ismer. (Az ismeretségek kölcsönösek. )

2007 Május 10 Angol Érettségi Megoldás

Fájó szívvel tudatjuk, hogy FARKAS JÓZSEFNÉ Bátor Ilona volt bakonyai lakos, 80 éves korában elhunyt. július 20-án 14 órakor lesz a bakonyai temetőben. Köszönetet mondunk mindazoknak, akik a temetésen részt vesznek, gyászunkban osztoznak. A gyászoló család Fájdalommal megtört szívvel tudatjuk, hogy VARGA MIHÁLY okleveles bányamérnök, a Mecseki Ércbányászati Vállalat volt vezérigazgatója 2021. július 5-én 75 éves korában váratlanul elhunyt. Végső búcsút a pécsi köztemető díszterméből veszünk tőle 2021. július 20-án, kedden 12 órakor. Hiánya hatalmas űrt hagy a lelkünkben. Emlékét szívünkben örökre megőrizzük. Gyászoló szerettei Fájó szívvel tudatjuk, hogy szeretett nagymamánk, dédink BÓLI ISTVÁNNÉ Zsoldos Rozália 88 éves korában elhunyt. július 16-án 12. 30 órakor lesz a kisherendi temetőben. A gyászoló család,, Betegségben, szenvedésben szíve holtra fáradt. Síri álom adj nyugalmat, drága jó anyánknak. ” Mély fájdalommal tudatjuk, hogy szeretett édesanyánk, nagymamánk, dédikénk, testvérünk, anyósunk és kedves rokonunk GALAMBOS JÁNOSNÉ Papp Margit bakonyai lakos 80 éves korában elhunyt.

Magyar

00 fizika 2007. május 14. 00 fizika idegen nyelven rajz és vizuális kultúra 2007. – 14. 00 kémia 2007. május 15. 00 kémia idegen nyelven földrajz 2007. 00 földrajz idegen nyelven ének-zene 2007. 14. 00 latin nyelv 2007. május 16. 00 héber nyelv biológia 2007. május 17. 00 biológia idegen nyelven informatika 2007. május 18. 00 ábrázoló és művészeti geometria 2007. 00 francia nyelv 2007. május 21. 00 cigány kisebbségi népismeret 2007. 00 horvát népismeret német nemzetiségi népismeret román népismeret szerb népismeret szlovák népismeret olasz nyelv 2007. május 22. 00 mozgókép és médiaismeret 2007. 00 spanyol nyelv 2007. május 23. 00 arab nyelv 2007. május 24. 00 beás nyelv eszperantó nyelv finn nyelv holland nyelv horvát nyelv japán nyelv lengyel nyelv lovári nyelv orosz nyelv portugál nyelv román nyelv szerb nyelv szlovák nyelv újgörög nyelv ukrán nyelv katonai alapismeretek 2007. 00 természettudomány egészségügyi alapismeretek 2007. május 25.

Kérésére hamvaitól szűk családi körben elbúcsúztunk. A gyászoló család Fájó szívvel tudatjuk, hogy OSZTROMOK ISTVÁN 88 éves korában elhunyt. Búcsúztatása 2021. július 21-én 14 órakor lesz a pécsi köztemető urnacsarnokában. A gyászoló család “Álmodtunk egy öregkort, boldogat és szépet, De a kegyetlen halál mindent széjjeltépett. Neved a szél simítja egy táblán, Az örök kék ég alatt, az örök magány, De Te mégis bennünk élsz tovább. ” Soha el nem múló fájdalommal emlékezünk BECK SEBESTYÉN halálának 1. Feleséged, lányod és unokád Fájó szívvel tudatjuk, hogy szeretett fiam, férjem, édesapánk, nagypapám HETESI IMRE 55 éves korában elhunyt. július 21-én 12 órakor lesz a pécsi köztemetőben. Gyászoló szerettei “Tiéd a csend, a nyugalom, miénk a könny, a fájdalom. ” Szomorú szívvel, megrendülten tudatjuk, hogy drága, jó édesanyám SZŰCS ZOLTÁNNÉ Kusztos Judit volt ákolai tanárnő 88. évében váratlanul elhunyt. július 22-én 14 órakor lesz a pécsi köztemető nagy díszterméből. Gyászoló családja és szerettei “Álmodtunk egy öregkort, csodásat és szépet, de a kegyetlen halál mindent összetépett.

július 16-án, a 14 órai gyászmisét követően lesz a bakonyai temetőben. Gyászoló szerettei Mély fájdalommal tudatjuk, hogy HODNIK ILDIKÓ 57 éves korában súlyos betegsége folytán eltávozott közülünk. július 19-én 11 órakor lesz a harkányi Református temetőben. Búcsúznak tőle édesanyja, testvéröccse, rokonai és barátai Mély fájdalommal tudatjuk, hogy CSOBOZ GYÖRGYNÉ Tomisa Magdolna 84. életévében elhunyt. Hamvait szűk családi körben végső nyugalomra helyeztük. A gyászoló család

Online

A 2007. májusi érettségi írásbeli vizsgák emelt szintű feladatlapjai és javítási-értékelési útmutatói.

A 2007. májusi érettségi írásbeli vizsgák középszintű feladatlapjai és javítási-értékelési útmutatói. Középszintű írásbeli vizsgatárgyak írásbeli vizsgaidőpont feladatlap javítási-értékelési útmutató horvát nyelv és irodalom 2007. május 4. – 8. 00 horvát nemzetiségi nyelv 3 német nemzetiségi nyelv és irodalom német nemzetiségi nyelv román nyelv és irodalom szerb nyelv és irodalom szlovák nyelv és irodalom szlovén nemzetiségi nyelv magyar nyelv és irodalom 2007. május 7. 00 magyar mint idegen nyelv ember- és társadalomismeret, etika – projekt készítése az írásbeli vizsgák megkezdése előtt emberismeret és etika – projekt készítése gazdasági ismeretek – projekt készítése mozgóképkultúra és médiaismeret – projekt készítése rajz és vizuális kultúra – projekt készítése társadalomismeret – projekt készítése utazás és turizmus – projekt készítése matematika 2007. május 8. 00 matematika idegen nyelven történelem 2007. május 9. 00 történelem idegen nyelven angol nyelv 2007. május 10. 00 német nyelv 2007. május 11.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT I

1 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az al&aacu.

Recommend Documents

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) x2  x  6 b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert!  lg  x  y   2 lg x  (9 pont)  lg x  lg 2  lg  y  1   Megoldás: 1. eset: x 2  x  6  0, x  6 (1 pont) ennek valós gyökei 2 és -3 (1 pont) Ezek megoldásai az eredeti egyenletnek (1 pont) 2 2. eset: x  x  6  0, x  6 (1 pont) ennek nincs valós megoldása (1 pont) Tehát az egyenlet megoldásai a 3 és a 2. b) x  0 és y  1 a logaritmus értelmezése miatt (1 pont) A logaritmus azonosságait használva lg  x  y   lg x 2   (2 pont)  lg x  lg 2  y  1   Az lg függvény szigorú monoton nő (1 pont) 2 x y  x  (1 pont)  x  2y  2 A második egyenletből kifejezzük x-et, behelyettesítve az elsőbe kapjuk, hogy (1 pont) 4y 2  11y  6  0 Ennek valós gyökei 2 és 0,75 (1 pont) Az y  1 miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománynak (1 pont) a)

Ezért csak y  2 és így x  2 lehetséges. A egyenletnek

számpár megoldása az (1 pont) Összesen: 14 pont

2) Egy családnak olyan téglalap alakú telke van, melynek két szomszédos oldala 68 m, illetve 30 m hosszú. A telek egyik sarkánál úgy rögzítettek egy kerti locsoló berendezést, hogy a telek rövidebb oldalától 4 m-re, a vele szomszédos oldaltól 3 m-re legyen. A locsoló berendezés körbe forgó locsolófeje azt a részt öntözi, amely a rögzítés helyétől legalább 0,5 mre, de legfeljebb 4 m-re van. A telek mekkora részét öntözi a locsoló berendezés, és ez hány százaléka a telek területének? (11 pont) Megoldás: A telek öntözött területének nagyságát megkapjuk, ha az L középpontú körgyűrű területéből kivonjuk az AB húr által lemetszett körszelet területét (1 pont) 2 2 2 A körgyűrű területe:  4  0,5    49,5 m (1 pont) Az AFL derékszögű háromszögből: cos     41,4

82,8  4   (2 pont)  11,6 m2 360 42  sin 82,8 Az ALB egyenlőszárú háromszög területe: (2 pont)  7,9 m2 2 A körszelet területe tehát kb. 3,7 m2 és így a telek öntözött területe kb. (1 pont) 49,5  3,7  45,8 m2 Ez a telek területének kb. 2,2%-a. (2 pont) Összesen: 11 pont

A 2 középponti szögű ALB körcikk területe:

3) Egy dolgozó az év végi prémiumként kapott 1000 000 Ft-ját akarja kamatoztatni a következő nyárig, hat hónapon át. Két kedvező ajánlatot kapott. Vagy kéthavi lekötést választ kéthavi 1,7 %-os kamatra, kéthavonkénti tőkésítés mellett, vagy forintot átváltja euróra, és az összeget havi 0,25 %-os kamattal köti le hat hónapra, havi tőkésítés mellett. a) Mennyi pénze lenne hat hónap után a forintszámlán az első esetben? (Az eredményt Ft-ra kerekítve adja meg!) (3 pont) b) Ha ekkor éppen 252 forintot ért egy euró, akkor hány eurót vehetne fel hat hónap múlva a második ajánlat választása esetén? (Az eredményt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (4 pont) c) Legalább hány százalékkal kellene változnia a 252 forint/euró árfolyamnak a félév alatt, hogy a második választás legyen kedvezőbb? (Az eredményt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (5 pont) Megoldás: a)

Kéthavonta 1,7 %-kal lesz több pénze, ami három ciklusban 1,0173 -es szorzót jelent. (2 pont) 3 Hat hónap után tehát a pénze 1000000 1,017  1051872 Ft lenne (1 pont)

1000000  3968,25 eurót kap. 252 (1 pont) Ez az összeg hat hónap alatt, havi tőkésítés mellett hatszor kamatozik, tehát (2 pont) 1,00256 -szorosára növekszik.

b) A megadott árfolyamon 1000000 forintért

Hat hónap múlva 3968,25 1,00256  4028,15 eurója lenne. (1 pont) Legyen 1 euró a nyáron x Ft. Ha jobban jár, az azt jelenti, hogy (2 pont) 4028,15x  1051872 amiből x  261,13 (1 pont) 261,13 Ebből az árfolyamarány  1,03623 , tehát legalább kb. 3,63%-kal 252 kellene nőnie a forint/euró árfolyamnak. (2 pont) Összesen: 12 pont

4) Egyszerre feldobunk hat szabályos dobókockát, amelyek különböző színűek. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindegyik kockával más számot dobunk? (5 pont) b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy dobásnál a hat dobott szám összege legalább 34 lesz! (9 pont) Megoldás: A kockák különbözőek, tehát az összes lehetséges eset 66 (1 pont) Ha mindegyiknél más számot dobunk, akkor a hat különböző szám 6! féleképpen fordulhat elő. (2 pont) 6! Innen a klasszikus formula szerint a valószínűség 6  0, 0154 . (1 pont) 6 b) A hat szám összege legalább 34, azt jelenti, hogy 34, 35 vagy 36 (1 pont) Tehát a következő esetek lehetnek: (1) 36  6  6  6  6  6  6 (2) 35  6  6  6  6  6  5 (3) 34  6  6  6  6  6  4 (4) 34  6  6  6  6  5  5 (2 pont) Összeszámoljuk, hogy az egyes esetek hányféleképpen fordulhatnak elő: (1) egyféleképpen (1 pont) (2) 6-féleképpen (3) 6-féleképpen (1 pont) 6 (4)    15 -féleképpen (1 pont)  2 A kedvező esetek száma összesen: 1  6  6  15  28 . (1 pont) 28 A keresett valószínűség: P  6  0, 0006 . (1 pont) 6 Összesen: 14 pont a)

II. 5) Az ABC háromszög körülírt körének sugara 26 cm, BAC  60 a) Számítsa ki a BC oldal hosszát! (4 pont) b) Hány fokos a háromszög másik két szöge, ha az AC oldal b cm, az AB oldal 3b cm hosszúságú? (12 pont) A keresett értékeket egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Megoldás: a)

BC  2  26  sin60 BC  45, 0 cm .

b) Koszinusztételt felírva a BC oldalra: 52sin60  b 2  9b 2  6b 2 cos 60 2

Ebből b  289,7 . Mivel b  0 , ezért b  17 (és így 3b  51 ). sin  AC 17 Erre felírva a szinusztételt , amiből   sin 60 BC 45 sin   0,3273 , így   19,1 , mert az AC oldallal szemköztes  csak hegyesszög lehet. A háromszög harmadik szöge pedig kb. 100,9°.

(2 pont) (2 pont) (1 pont)

(2 pont) (2 pont) (2 pont) (1 pont) Összesen: 16 pont

6) Adott az f függvény: f : 1;6  ; f  x   4x 3  192x a) Határozza meg f zérushelyeit és elemezze az f függvényt monotonitás szempontjából! (7 pont) Jelölje c az f értelmezési tartományának egy pozitív elemét b) Határozza meg c értékét úgy, hogy az x tengely  0;c  szakasza, az x  c  0 egyenletű egyenes és az f grafikonja által közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen! (9 pont) Megoldás: a) A 4x  x 2  48   0 egyenlet 1;6 intervallumba eső egyetlen megoldása a 0. f deriváltjának hozzárendelési szabálya: f   x   12x  192

A deriváltfüggvény 1;6 intervallumba eső egyetlen zérushelye 4.

Itt a derivált előjelet vált, mégpedig pozitívból negatívba (1 pont) Az f függvény tehát monoton növekszik a 1; 4  intervallumon és monoton csökken a  4; 6 intervallumon.

b) A 0;c  intervallumon f  x   0 c

 192x  dx  704 egyenletet kell megoldani a 0;6 intervallumon

 192x  dx   x 4  96x 2  0 c

x 4  96x 2   c 4  96c 2 0 4 2 c  96c  704

(1 pont) c 4  96c 2  704  0 Megoldóképlettel: c 2  8 vagy c 2  88 (1 pont) Az értelmezési tartományban az egyetlen pozitív megoldás: c  8 (1 pont) Összesen: 16 pont 7) A csonkakúp alakú tárgyak térfogatát régebben a gyakorlat számára elegendően pontos közelítő számítással határozták meg. Eszerint a csonkakúp térfogata közelítőleg egy olyan henger térfogatával egyezik meg, amelynek átmérője akkora, mint a csonkakúp alsó és felső átmérőjének számtani közepe, magassága pedig akkora, mint a csonkakúp magassága. a) Egy csonkakúp alakú fatörzs hossza (vagyis a csonkakúp magassága) 2 m, alsó átmérője 12 cm, felső átmérője 8 cm. A közelítő számítással kapott térfogat hány százalékkal tér el a pontos térfogattól? (Ezt nevezzük a közelítő eljárás relatív hibájának.) (3 pont) b) Igazolja, hogy a csonkakúp térfogatát – a fentiekben leírt útmutatás alapján kapott – közelítő érték sohasem nagyobb, mint a csonkakúp térfogatának pontos értéke! (7 pont) Jelölje x a csonkakúp két alapköre sugarának az arányát, és legyen x  1. Bizonyítandó, hogy a fentiekben leírt, közelítő számítás relatív hibájának százalékban mérve a következő függvény adja meg:

. x2  x  1 c) Igazolja, hogy f-nek nincs szélsőértéke!

25    200  5000  15708 cm3. (1 pont) A csonkakúp elméletileg pontos térfogata: 200 2 15200 (1 pont) 6  6  4  42    15917 cm3.  3 3 200 A közelítő érték  209 cm3-rel kisebb, tehát a pontos értéktől 3 200 (1 pont)  1, 3 %-kal tér el. 152

b) Legyen a csonkakúp alapköreinek sugara R és r, magassága m. m 2 A csonkakúp elméleti térfogata: R  Rr  r 2   3

R r  A csonkakúp gyakorlati térfogata:   m  2 

m 2 R r  A két térfogat különbségéről állítjuk: (1 pont) R  Rr  r 2      m  0 3  2  12 Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát -vel, bontsuk fel a zárójeleket és m az összevonások után: R 2  2Rr  r 2  0 (2 pont) 2 Vagyis  R  r   0 adódik, ami minden R és r esetén igaz. (1 pont)

A következtetés minden lépése megfordítható, ezért az állítás igaz (1 pont) Az f függvény deriválható, a deriváltfüggvény hozzárendelési szabálya: 2 2  x  1  x 2  x  1   x  1  2x  1 (2 pont) f   x   25  2 2 x  x  1  

f   x   0 egyenletnek nincs megoldása az

tehát f-nek nincs szélsőértéke

(2 pont) Összesen: 16 pont

8) Hat úszó: A, B, C, D, E és F indul a 100 méteres pillangóúszás döntőjében. Egy fogadóirodában ennek a versenynek az első, a második és a harmadik helyezettjére lehet tippelni egy szelvényen. Az a fogadó szelvény érvényes, amelyen megnevezték az első, a második és a harmadik helyezettet. Ha a fogadó valamelyik helyezésre nem ír tippet, vagy a hat induló nevén kívül más nevet is beír, vagy egy nevet többször ír be, akkor a szelvénye érvénytelen. Holtverseny nincs, és nem is lehet rá fogadni. a) Hány szelvényt kell kitöltenie annak, aki minden lehetséges esetre egy-egy érvényes fogadást akar kötni? (3 pont) A döntő végeredménye a következő lett: első az A, második a B, harmadik a C versenyző. b) Ha egy fogadó az összes lehetséges esetre egy-egy érvényes szelvénnyel fogadott, akkor hány darab legalább egytalálatos szelvénye lett? (Egy szelvényen annyi találat van, ahány versenyző helyezése megegyezik a szelvényre írt tippel.) (13 pont) Megoldás: a)

Mivel bárki végezhet bármelyik dobogós helyen, ezért az első 6, a második 5, a harmadik helyezett 4-féle lehet, így 6  5  4  120 -féle dobogós sorrend lehetséges, tehát ennyi szelvényt kell kitöltenie (3 pont)

b) A telitalálatos szelvény tippje: ABC. Egyetlen szelvényen lett három találat (1 pont) A pontosan 2 találatot elért szelvények tippje ABX, AXC vagy XBC alakú, ahol X  D; E ; F  . Tehát 9 szelvényen lett pontosan 2 találat (3 pont) Az egytalálatos szelvények számát keressük. Az első három helyezett bármelyikét eltalálhatta a fogadó, így először tegyük fel, hogy éppen az 1. helyezettet (A) találta el, de nem találta el sem a 2., sem a 3. helyezettet. Ez két lényegesen különböző módon valósulhatott meg. 1. eset: A második versenyzőre leadott tipp a C versenyző. A szelvényen szereplő tipp ACX alakú, ahol x  B ; D; E ; F  . Ez négy lehetőség, tehát 4 ilyen egytalálatos szelvény van (3 pont) 2. eset: A második helyezettre adott tipp nem a C versenyző (de nem is a B versenyző). A szelvényen szereplő tipp AXY alakú, ahol X  D; E ; F  . Az X helyére beírandó név megválasztása után az Y helyére három név bármelyike választható, mert csak három név nem írható oda: az A, a C és az X helyére választott név. Ezért 3  3  9 ilyen egytalálatos szelvény van (2 pont) Tehát összesen 4  9  13 darab olyan egytalálatos szelvény van, ahol csak az első helyezettet (A) találta el a fogadó (1 pont) Hasonlóan okoskodva: 13 olyan szelvény lett, ahol csak a második helyezettet (B), és 13 olyan szelvény, ahol csak a harmadik helyezettet (C). Tehát összesen 3  13  39 egytalálatos szelvénye lett a fogadónak (2 pont) A legalább egytalálatos szelvények száma: 1  9  39  49 (1 pont) Összesen: 16 pont 9) Egy ipari robotnak az a feladata, hogy a munkaasztalra helyezett lemezen ponthegesztést végezzen. Minden egyes lemezen a szélétől adott távolságra egyetlen ponthegesztést végez. Ellenőrzésnél megvizsgálják, hogy a robot mekkora távolságra végezte el a hegesztést. A méréshez olyan digitális műszert használnak, amelynek kijelzője egész milliméterekben mutatja a mért távolságokat. A minőségellenőr véletlenszerűen kiválasztott kilenc lemezt a már elkészültek közül, és azokon az alábbi gyakorisági diagramnak megfelelő távolságokat mérte.

a) Számítsa ki a mért távolságok átlagát és szórását! (5 pont) Ha a minőségellenőr bármely tíz, véletlenszerűen kiválasztott lemezen a mért távolságok szórását 1 milliméternél nagyobbnak találja, akkor a robotot le kell állítani, és újra el kell végezni a robot beállítását.

b) Tudjuk, hogy az ellenőr már kiválasztott kilenc lemezhez egy olyan tízediket választott, hogy ezen minőségi követelmény alapján nem kellett leállítani a robotot. (Ehhez a kilenc lemezhez tartozó adatokat adtuk meg a feladat elején!) Mekkora távolságot mérhetett a minőségellenőr ezen a tízedik lemezen (a fent leírt mérőműszert használva)? (11 pont) Megoldás: a)

A gyakorisági diagram szerint a következő távolságok fordulnak elő (mm-ben mérve): 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 43, 44 (2 pont) 3  41  4  42  43  44 Ebből az átlag (1 pont)  42 , tehát 42 mm 9 3  12  4  02  12  22 8 A szórásnégyzet: (1 pont)  9 9 8  0, 94 mm. Tehát a szórás: (1 pont) 9 b) Legyen a tízedik mért távolság x mm. Az átlag ennek hozzávételével a 42  9  x 378  x következőképpen alakul: (2 pont)   37,8  0,1x 10 10 A szórásnégyzet a definíció szerint:

3   3,2  0,1x   4  4,2  0,1x   5,2  0,1x   6,2  0,1x   0,9x  37,8  10 (2 pont) 2 Ebből 0,09x  7,56x  159,56 (2 pont) A feltétel szerint a tíz távolság szórása nem nagyobb 1mm-nél, azaz a szórásnégyzet sem nagyobb 1mm2-nél Így 0,09x 2  7,56x  159,56  1 tehát megoldandó (1 pont) Nullára rendezés után a pozitív főegyüttható miatt a megoldás: 126  2 5 126  2 5 x , kerekítve kb. 40,5  x  43,5 (2 pont) 3 3 Egész milliméterben megadva csak a 41, a 42 és a 43 mm felel meg. Tehát a minőségellenőr a tízedik lemezen vagy 41, vagy 42, vagy 43 mm távolságot mért. (2 pont) Összesen: 16 pont 2