MS-2323 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 9-10. o. Letölthető megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)

Bolti készlet

Sokszínű Matematika Feladatgyűjtemény 9 10 Megoldások Letöltés

Geometria (2249-2632) Körrel kapcsolatos ismeretek 133 Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele, szögfelezőtétel 136 Hasonlósági transzformációk, alakzatok hasonlósága 138 Arányossági tételek a derékszögű háromszögben és a körben 142 A hasonlóság néhány alkalmazása a terület- és térfogatszámításban 144 Vegyes feladatok I. 5. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek (1475-1570) Az egyenlet, azonosság fogalma 62 Az egyenlet megoldásának grafikus módszere 62 Az egyenlet értelmezési tartományának és értékkészletének vizsgálata 63 Egyenlet megoldása szorzattá alakítással 63 Egyenletek megoldása lebontogatással, mérlegelvvel 64 Egyenlőtlenségek 65 Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 66 Paraméteres egyenletek 67 Egyenletekkel megoldható feladatok 68 Egyenletrendszerek 71 Vegyes feladatok 72 9. 6. Geometriai transzformációk (1571-1759) Tengelyes tükrözés 74 Középpontos tükrözés 77 Háromszögek, négyszögek néhány jellegzetes vonala (súlyvonal, magasságvonal, középvonal) 80 Forgatás 82 Eltolás 86 Geometriai transzformációk 88 Vegyes feladatok 90 9.

1124 budapest csörsz utca 18 b

7. Statisztika (1760-1807) Az adatok ábrázolása 93 Az adatok jellemzése 96 Vegyes feladatok 99 A 10. évfolyam feladatai 10. Gondolkodási módszerek (2001-2091) Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel 102 Skatulyaelv 104 Sorba rendezés I. 2020. July 5. Sunday Emese, Sarolta Főoldal Katalógus Digitális kiadványok Játék Pedagógus Információ Kosár Aktuális Tankönyvrendelési információk pedagógusoknak, szülőknek Megrendelőtömb Fenntarthatóság projektek – ÚJ! KEDVEZMÉNYEK igénylése Akciós DIGITÁLIS csomagok Hírlevél feliratkozás Webáruház ONLINE rendelés » évfolyam szerint könyvajánló évfolyamonként iskolakezdők fejl. alsós gyakorlók érettségizőknek középiskolába készülőknek ajánlott, kötelező olvasmányok iskolai atlaszok pedagógusoknak AKCIÓS termékek Móra Kiadó kiadv. oklevél, emléklap, jutalommatrica javasolt alsós csomagok idegen nyelv Kiadványok tantárgy szerint alsó tagozat cikkszám szerint szerző szerint engedélyek Digitális digitális oktatás interaktív táblára otthoni tanuláshoz iskolai letöltés tanulmányi verseny mozaNapló Tanároknak tanmenetek folyóiratok segédanyagok rendezvények Információk a kiadóról referensek kapcsolat Társoldalak Dürer Nyomda Cartographia Tk.

• 200 első randi 1 évad 1 rész
• Laica bi flux vízszűrő betét
• Citroen xsara break hátsó híd 2019
• Bajor hegyi véreb eladó 2019
• Tulipa kft nyíregyháza bottyán jános utca 4
• Citromail hu elfelejtettem a jelszavam e
• Gyarados best moveset pokemon go
• Ismerős Arcok Szombathelyen! | Szombathelyi Hírek

Matematika Feladatgyűjtemény 9 10

Ha kívánja, előjegyezheti a könyvet, és amint a könyv egy újabb példánya elérhető lesz, értesítjük. Előjegyzem Kovács István: Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9-10. – CD-vel (Mozaik Kiadó, 2010) – Növényvilág témakörből 20% kedvezmény CSAK MA! Gyakorló és érettségire felkészítő feladatokkal Szerkesztő Grafikus Kiadó: Mozaik Kiadó Kiadás helye: Szeged Kiadás éve: 2010 Kötés típusa: Ragasztott papírkötés Oldalszám: 191 oldal Sorozatcím: Sokszínű matematika Kötetszám: Nyelv: Magyar Méret: 24 cm x 17 cm ISBN: 978-963-697-613-2 Megjegyzés: CD-melléklettel. Második, változatlan utánnyomás. Színes ábrákkal illusztrálva. Tankönyvi szám: MS-2323. Fülszöveg A kötetek felépítése pontosan követi a Sokszínű matematika tankönyvcsalád köteteinek szerkezetét, így akik ezekből a tankönyvekből tanulnak, közvetlenül alkalmazhatják az órai munka és az önálló gyakorlás, sőt az érettségi felkészülés során is. Ugyanakkor – mivel a feladatgyűjtemény felépítése természetesen megfelel a tantárgy belső logikájának és az iskolákban általánosan alkalmazott kerettanterveknek – minden nehézség nélkül használhatják azok is, akik más tankönyvekből tanulják, illetve tanítják a matematikát.

– Letölthető megoldásokkal MS-2313 – Sokszínű matematika – Az analízis elemei – Emelt színtű tananyag MS-2327 – Sokszínű matematika. Az analízis elemei – Feladatgyűjtemény – Emelt szint A 9–10. osztályos összevont kötet a két évfolyam feladatanyagát tartalmazza (több mint 1600 feladatot), amelyhez a megoldások a kiadó honlapjáról tölthetők le. A feladatgyűjtemények külön 9. -es és 10. -es kötetként is megvásárolhatók, amelyek a megoldásokat is tartalmazzák. Digitális változat egyedi kóddal *A kiadvány hátsó borítójának belső oldalán található egyedi kóddal a kiadvány digitálisan is elérhető. Az aktivált kódokkal DÍJMENTES hozzáférést biztosítunk a kiadvány mozaWeb Home változatához az aktiválástól számított minimum egy éves időtartamra. A kódok csak egyszer aktiválhatók. A szállást kérő róka Matematika feladatgyűjtemény 9-10 megoldások letöltés Mágnestalpas mérőóra állvány Las vegas sorozat online nézés X faktor gáspár laci johnson Matematika feladatgyűjtemény 9-10 mozaik Matematika feladatgyűjtemény 9 10 Kárpáthy zoltán teljes film online 2018 Kovács István: Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9-10.

Ingyen

146 Távolságok meghatározása hasonlóság segítségével, hegyesszögek szögfüggvényei 148 Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között, nevezetes szögek szögfüggvényei 150 Háromszögek különböző adatainak meghatározása szögfüggvények segítségével 152 Síkbeli és térbeli számítások a szögfüggvények segítségével 154 Vegyes feladatok II. 156 Vektorok (emlékeztető), vektorok felbontása különböző irányú összetevőkre 158 Vektorok alkalmazása a síkban és a térben 161 Vektorok a koordináta-rendszerben, vektor koordinátái, műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 163 Vegyes feladatok III. 164 10. Szögfüggvények (2533-2730) A szinusz- és koszinuszfüggvény definíciója, egyszerű tulajdonságai 167 A szinuszfüggvény grafikonja 167 A koszinuszfüggvény grafikonja, egyenletek, egyenlőtlenségek 169 A tangens-és kotangensfüggvény 172 Összetett feladatok és alkalmazások 173 Geometriai alkalmazások 174 Vegyes feladatok 175 10. Valószínűség-számítás (2731-2814) Események 178 Műveletek eseményekkel 179 Kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség 182 A valószínűség klasszikus modellje 182 Vegyes feladatok 188 Nincs megvásárolható példány A könyv összes megrendelhető példánya elfogyott.

MS-2323 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 9-10.o. Letölthető megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)

Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Dr. Urbán János

“A 9-10. osztályos összevont kötet a két évfolyam feladatanyagát tartalmazza (több mint 1600 feladatot), amelyhez a megoldások a kiadó honlapjáról tölthetők le.A feladatgyűjtemények külön 9.-es és 10.-es kötetként is megvásárolhatók, amelyek a megoldásokat is.

Könyvre nyomtatott ár, a kiadó által ajánlott fogyasztói ár, amely megegyezik a bolti árral (bolti akció esetét kivéve).

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

Bolti készlet

MS-2309U Sokszínű matematika tankönyv 9.o. (Digitális hozzáféréssel)

Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2312 Sokszínű matematika tankönyv 12.o. (Digitális hozzáféréssel)

KOSZTOLÁNYI-KOVÁCS-PINTÉR-

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

15129/NAT MATEMATIKAI, FIZIKAI, KÉMIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK – NÉGYJEGYŰ FÜGGVÉNYTÁBLÁZATOK (NAT 2012)

Hortobágyi – Rajkovits – Wajand

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2310U Sokszínű matematika tankönyv 10.o.

Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2322 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 10.o. Megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)

Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Dr. Urbán János

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2311 Sokszínű matematika tankönyv 11.o. (Digitális hozzáféréssel)

Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István, Csordás Mihály

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2321 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 9.o. Megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

Tisztességes ajánlat – A Bridgerton család 3.

Julia Quinn

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

15129/NAT MATEMATIKAI, FIZIKAI, KÉMIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK – NÉGYJEGYŰ FÜGGVÉNYTÁBLÁZATOK (NAT 2012)

Hortobágyi – Rajkovits – Wajand

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

KON-TAKT 1. – ARBEITSBUCH, A1-A2 –

Maros Judit

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2312 Sokszínű matematika tankönyv 12.o. (Digitális hozzáféréssel)

KOSZTOLÁNYI-KOVÁCS-PINTÉR-

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2309U Sokszínű matematika tankönyv 9.o. (Digitális hozzáféréssel)

Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2322 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 10.o. Megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)

Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Dr. Urbán János

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

Érettségi összefüggések és mintafeladatok matematikából (középszinten)

Dr. Máder Attila

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

MS-2310U Sokszínű matematika tankönyv 10.o.

Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

Tisztességes ajánlat – A Bridgerton család 3.

Julia Quinn

online ár: Webáruházunkban a termékek mellett feltüntetett fekete színű online ár csak internetes megrendelés esetén érvényes. Amennyiben a Líra bolthálózatunk valamelyikében kívánja megvásárolni a terméket, abban az esetben a könyvre nyomtatott ár az érvényes, kivétel ez alól a boltban akciós könyvek.

A 9-10. osztályos összevont kötet a két évfolyam feladatanyagát tartalmazza (több mint 1600 feladatot), amelyhez a megoldások a kiadó honlapjáról tölthetők le.

A feladatgyűjtemények külön 9.-es és 10.-es kötetként is megvásárolhatók, amelyek a megoldásokat is tartalmazzák.

A kiadvány egyedi kódot tartalmaz, amely hozzáférést biztosít a könyv digitális változatához.

“

Cím: MS-2323 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 9-10.o. Letölthető megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)

Matematika | Középiskola » Fröhlich Lajos – Sokszínű matematika, 10. osztályos feladatok megoldással

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Gondolkodási módszerek és a Valószínûségszámítás c. fejezeteket szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egyetemi docens Tartalom . 4 . 12 Gondolkodási módszerek A gyökvonás . 16 . 27 A másodfokú egyenlet Geometria Szögfüggvények . Valószínûségszámítás . 52 59 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 10. – A KITÛZÖT T FELADATOK EREDMÉNYE Gondolkodási módszerek 1. Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel 1. a) Ha vizes az úttest, akkor esik az esõ a városban Nem feltétlenül igaz b) c) d) e) Ha bezárom az ajtót, akkor elmegyek otthonról. Nem biztos Ha õ medve, akkor õ Micimackó. Nem biztos Ha felvesznek az egyetemre, akkor megnyerem az OKTV-t. Nem igaz Ha bemehetek a színházi elõadásra, akkor van jegyem. Igaz 2. a) Ha egy szám osztható 2-vel, akkor osztható 4-gyel Nem igaz b) Ha egy

szám racionális szám, akkor véges tizedes tört. Nem igaz c) Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete egyenlõ a másik két oldal négyzetének összegével, akkor derékszögû. Igaz d) Ha két szám szorzata 0, akkor közülük legalább az egyik 0. Igaz 3. a) Szükséges, de nem elegendõ b) c) d) e) Szükséges, de nem elegendõ. Szükséges, de nem elegendõ. Szükséges, de nem elegendõ. Elegendõ, de nem szükséges. 4. a) Elegendõ, de nem szükséges b) c) d) e) Szükséges és elegendõ. Szükséges, de nem elegendõ. Elegendõ, de nem szükséges. Nem szükséges, nem elegendõ. 5. a) Szükséges, de nem elegendõ b) c) d) e) f) Elegendõ, de nem szükséges. Elegendõ, de nem szükséges. Szükséges és elegendõ. Nem elegendõ és nem szükséges. Nem szükséges, nem elegendõ. 6. Szükséges, de nem elégséges legalább 30 pontot elérni Elégséges, de nem szükséges 100 pontot elérni. Szükséges és elégséges 40 pontot elérni. Nem

szükséges és nem elégséges legfeljebb 50 pontot elérni. 7. a) Szükséges, de nem elégséges: átlók felezik egymást Elégséges, de nem szükséges: négyzet legyen. Szükséges és elégséges: oldalai egyenlõek. b) Szükséges, de nem elégséges: osztható 2-vel. Elégséges, de nem szükséges: osztható 12-vel. Szükséges és elégséges: osztható 2-vel és 3-mal. 4 c) Szükséges, de nem elégséges: az egyik páros. Elégséges, de nem szükséges: mindkét szám páros. Szükséges és elégséges: ha valamelyik páratlan, a másik 4-gyel osztható vagy mindkét szám páros. d) Szükséges, de nem elégséges: átlóik egyenlõek. Elégséges, de nem szükséges: mindkét deltoid oldalai egységnyiek, szögei 90º-osak. Szükséges és elégséges: három oldaluk és az általuk meghatározott két szögük egyenlõek. 9. Mivel 49 mezõ van, az egyik színbõl több van Az átmászáskor minden csiga a másik színû mezõre kerül. A több mezõt

meghatározó színû mezõkrõl induló 25 csiga 24 mezõ közül választhat, így biztos lesz olyan mezõ, amelyikre kettõ kerül közülük. 10. Egy elégséges feltétel, hogy egy sarokmezõt hagyjunk ki Ezt az egyik sarokmezõt kihagyó triminó-fedés megadásával indokolhatjuk. Ilyet találhatunk egyszerûen A szükséges és elégséges feltételhez a mezõket (i, j) koordinátapároknak gondoljuk, ahol 1 £ i, j £ 7. Az (i, j) mezõbe írjuk bele az i + j szám 3-mal való maradékos osztásánál kapott maradékot. Így a mezõket megszámoztuk úgy, hogy ha sorban balról jobbra, vagy oszlopban alulról felfelé haladunk, akkor a 0, 1, 2 számokat látjuk periodikusan ismételve. (Ez a számozás a számelméleti leírás nélkül is könnyen megadható.) Azaz minden triminó által lefedett mezõkben a számok összege 0 + 1 + 2 = 3. Az összes lefedett szám összege 16 · 3 = 48. Ebbõl kiszámolható, hogy a le nem fedett mezõben 2-esnek kell állni Ez a sarok,

oldal-középsõ és tábla-középsõ pozíciókban lesz. Tehát egy szükséges feltétel, hogy egyetlen fedetlen mezõ legyen a fenti kilenc közül. Ez elégséges is, amit az egyes lehetõségekhez tartozó fedésekkel igazolhatunk. 11. Nem lehetséges Szükséges és elégséges feltétel, hogy az x koordináták különbsége plusz az y koordináták különbsége páros legyen. 12. Mivel egy él két csúcshoz tartozik, az egy csúcshoz írt számok összege 2(1 + . + 12) 13 ⋅ 12 = . 8 8 Ez nem egész szám, így ez a számozás nem lehetséges. A számozás szükséges feltétele, hogy az élekre írt számok összege 4 többszöröse legyen. Ez nem elégséges feltétel. Elégséges feltétel: legyen a1; a2; a3; a4; a5; a9 tetszõleges számok. Az élekre írt számok legyenek: a11 a12 a6 = a1 + a5 – a3 a7 a7 = a1 + a2 + a5 – a3 – a4 a10 a9 a8 = a2 + a5 – a4 a6 a5 a8 a10 = a1 + a2 – a9 a3 a4 a11 = a3 + a9 – a1 a2 a1 a12 = a1 + a4 – a9 13. Számozzuk az

oszlopokat balról és a sorokat alulról a) 6. sor vált, 5 oszlop vált, 6 oszlop vált b) 1., 3, 5 oszlop vált, 1, 3, 5 sor vált 5 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 10. – A KITÛZÖT T FELADATOK EREDMÉNYE c) Nem érhetõ el. Legyen egy sorban vagy oszlopban a kékek száma k, a váltáskor a kékek számának változása 2(3 – k), azaz páros. Tehát szükséges feltétel, hogy a kékek száma kezdetben páros legyen. d) Nem érhetõ el. A szükséges és elégséges feltétel egy másik megfogalmazása: „Vegyünk ki tetszõlegesen négy mezõt úgy, hogy azok két sorban és két oszlopban legyenek. Ekkor köztük páros sok kék mezõ van.” Egy átalakítás ezt a tulajdonságot nem változtatja meg, és mivel a végén minden ilyen mezõnégyesben nulla (azaz páros) kék mezõnek kell lenni, ezért a feltételünk szükséges. Másrészt elégséges is, mert ha teljesül, akkor néhány átalakítással érjük el, hogy az elsõ oszlopban és sorban is csak sárga mezõk

legyenek (ezt könnyen el tudjuk érni). A feltételünk az átalakítások során megmaradt, így a többi mezõ is sárga lesz. Valóban, hiszen a többi mezõ mindegyike benne van egy olyan mezõnégyesben, amely három mezõje az elsõ sor vagy elsõ oszlop eleme (így már sárga), és összesen páros sok kék mezõ van köztük (feltételünk szerint). Ez a többi mezõ közül tetszõlegesen kiválasztott mezõ sárga színét is jelenti. Rejtvény: Kettõt. A bal felsõt és a jobb alsót 2. Skatulya-elv 1. A: nem B: igaz C: igaz D: igaz a) Van közöttük két egyforma fajta állat. b) hetet c) ötöt d) hármat e) négyet f) hetet g) hetet 2. Angolos és németes csoportról 3. Mivel 33 = 5 · 6 + 3, biztosan van olyan osztályzat, mely legalább 7-szer fordul elõ 4. A: igaz (365 < 745) D: nem B: igaz (37 · 20 < 745) E: igaz (4 · 12 < 52) 5. a) 4 b) 39 c) 33 d) 40 6. A: nem B: nem C: igen D: igen 7. a) 6 b) 6 C: nem 8. 9 · 4 + 1 = 37 almát

kell kivenni, hogy valamelyikbõl legalább 10 legyen 76 almát kell kivenni, hogy mindegyikbõl legyen legalább 1. 9. a) 3 b) 14 10. Legyen n kék és m piros zokni 3 húzás kell, hogy legyen biztosan egyforma színû pár és max + 1 húzás kell, hogy legyen két különbözõ színû. Tehát 3 ³ max + 1 2 ³ max + 1 2 piros és 2 kék, vagy 2 piros és 1 kék, vagy 2 kék és 1 piros zokni van. 11. 1 + 2 + 3 + + 9 + 21 · 9 + 1 = 235 lemezt 6 12. Valamelyik hajszínbõl van legalább 50 Ebbõl a színbõl van legalább 13 egyforma egy teremben, mivel 12 · 4 < 50. 13. Osszuk fel a céltáblát 9 darab 2 ´ 2-es négyzetre Így lesz olyan négyzet, ahová legalább 2 lövés kerül. Ezen két lövés maximális távolsága 2 2 dm, ami kisebb 3 dm-nél 14. Osszuk fel 6 db egybevágó, szabályos háromszögre a céltáblát, melyek oldalai 40 cm hosszúak. Biztos lesz egy olyan háromszög, melybe legalább két lövés kerül Ezek távolsága nem

termet 90 darab 1 m élû kockára Biztos van olyan kocka, melyben legalább 2 légy van. Ezek maximális távolsága 3 m, ami kisebb, mint 2 m. 19. Osszuk fel a kockát 64 darab egységélû kockára Mivel 64 · 31 < 2001, lesz olyan kocka, melyben legalább 32 pont van. Ezek közül kiválasztva 32 pontot az õket összekötõ zárt töröttvonal 32 szakaszból áll, melyek mindegyike maximum 3 egység, így a töröttvonal hossza nem nagyobb, mint 32 · 3 egység. 20. A kézfogások száma 9-féle lehet, mivel a számok elemei és a 0, illetve 9 kézfogás együtt nem lehetséges. Így a 10 ember között biztos van kettõ, melyeknél a kézfogások száma egyenlõ. 21. Egy csapat minimum 0, maximum 7 meccset játszhat A csapatok meccseinek száma 7- féle lehet, hisz 0 meccset, illetve 7 meccset játszó csapat egyszerre nem lehetséges. Így mindig van legalább két olyan csapat, melyek meccseinek száma egyenlõ. 22. Mivel 8-cal osztva 8-féle maradék

lehet, 9 szám esetén biztosan lesz kettõ azonos maradékú, melyek különbsége osztható 8-cal. 23. a) 15-tel osztva 15-féle maradék lehetséges 15 egymás utáni egész szám maradéka különbözõ, az összes lehetséges maradék elõfordul. Bármelyik nem 0 maradékhoz találunk olyan maradékot, mellyel az összege 15. Az ezen maradékot adó számok összege osztható 15-tel. 7 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 10. – A KITÛZÖT T FELADATOK EREDMÉNYE b) Nem igaz. Például ha mindegyiknek 1 a maradéka, akkor bármelyik kettõ összegének 2 a maradéka. c) Akkor nem lesz két szám különbsége osztható 15-tel, ha maradékuk különbözõ. Így legfeljebb 15 darab szám írható fel. Akkor nem lesz két szám összege osztható 15-tel, ha maradékaik összege nem 15. Így legfeljebb 8 darab szám írható fel. A feladatnak legfeljebb 8 darab, különbözõ maradékú szám felel meg. 24. A legkisebb szám, amit kaphatunk 1 – 2 – – 2001 = –2 002 999 A legnagyobb

szám nem nagyobb 1 + 2 + . + 2001 = 2 003 001-nél Így legfeljebb 4 006 001 különbözõ szám lehet az eredmény. 1 – 2 egyféleképpen értelmezhetõ/zárójelezhetõ. Ha ezt a kifejezést bõvítjük –3 – 4 kifejezéssel, akkor eddigi zárójelezésünkbõl kettõt is készíthetünk: Az eddigi kifejezéshez egyesével vesszük hozzá –3-at és –4-et, illetve a két tag együttesen zárójelezve kerül hozzá. Más lehetõségek is vannak, de az biztos, hogy lehetõségeink legalább megkétszerezõdnek. Gondolatmenetünk folytatható: két újabb tag a zárójelezések lehetõségeinek számát mindig legalább megkétszerezi. Összesen több mint 2999 zárójelezés van, ami sokkal nagyobb szám, mint a lehetséges végeredmények száma. Így biztos lesz két különbözõ zárójelezés azonos végeredménnyel. 25. Legyen az öt szám: a, b, c, d, e Képezzük a következõ összegeket: x1 = a, x2 = a + b, x3 = a + b + c, x4 = a + b + c + d, x5 = a + b + c + d +

e. Az x1, x2, , x5 számok 5-tel osztva 5 különbözõ maradéka lehet, ezért vagy különbözõ a maradék, és akkor van közöttük egy 5-tel osztható, vagy van két azonos maradékú, és akkor azok különbsége osztható 5-tel. Ez a különbség az eredeti a, b, c, d, e számok közül néhánynak az összege Az 5 helyett bármilyen nagyobb egészet írhatunk. 4 szám esetén már nem biztos, hogy kiválasztható megfelelõ részhalmaz. Ezt például az 1, 1, 1, 1 számnégyes mutatja 26. Az elõzõ alapján az 5 lépésben biztos véget ér a játék A kezdõnek akkor lehet nyerõ stratégiája, ha eléri, hogy a 4. lépésre vége legyen a játéknak Legyen li az i-edik lépésben felírt szám ötös maradéka. Nyerõ stratégia: l1 = 1 Mivel l2 nem lehet 4, illetve 5, l2 = 1, 2 vagy 3. Ha l2 = 1, akkor l3 = 2. Ha l2 = 2, akkor l3 = 1 Ha l2 = 3, akkor l3 = 3 Bármi is az l4, a kezdõ játékos nyer. 27. Legyen ai olyan szám, melyben i-szer van egymás után leírva a 2001

Tehát a1 = 2001, a2 = 20012001, ., a18 = 200120012001 Ez 18 darab szám, melyeknek 17-tel osztva 17féle maradéka lehet Így biztos van kettõ azonos maradékú közöttük Ezek különbsége osztható 17-tel, és 2001-gyel kezdõdik. Ilyen szám még a 200 107 is 18 28. Az elõzõ alapján a1 = 1, a2 = 11, a3 = 111, , a18 = 1111 A két azonos 17-es maradékú különbsége osztható 17-tel, és csak 1, illetve 0 jegybõl áll. Ilyen szám még az 1001 is 29. 10-zel osztva 10-féle maradék lehet, így az 55 szám között biztosan van 6 darab, melyek maradéka azonos, ugyanaz az utolsó jegyük. Legyenek ezek 0 < a1 < a2 < < a6 £ 100 Ha bármely két szomszédos különbsége nagyobb lenne, mint 10, akkor a6 100-nál nagyobb lenne. Így kell lennie két szomszédosnak, melyek különbsége 10 11-hez 56 darab számot kell húzni, 12-höz 61 darabot. 8 Rejtvény: 1, 5, 6, 2, 4, 3, 7 ® 1, 4, 3, 7, 5, 6, 2 ® 5, 6, 2, 1, 4, 3, 7 ® 2, 1, 4, 5, 6, 3, 7 ® 2, 1,

5, 6, 3, 4, 7 ® 6, 3, 4, 7, 2, 1, 5 ® 7, 2, 1, 5, 6, 3, 4 ® 1, 5, 6, 7, 2, 3, 4 ® 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 3. Sorba rendezési problémák 1. a) 8! b) 4!, mivel a négy párban a sorrend adott. c)-d) Tisztázni kell, hogy egy kör alakú asztal mellé ültetések közt kettõt mikor tekintünk különbözõnek. Két lehetõség van: I) Ha két ülésrend esetén mindenkit mindkét esetben ugyanazon két ember fogja közre, akkor a két ülésrendet azonosnak tekintjük. II) Ha a két ülésrend esetén mindenkinek mindkét esetben ugyanaz a bal és ugyanaz a jobb oldali szomszédja, akkor a két ülesrendet azonosnak tekintjük. A két szemléletmód abban különbözik, hogy ha egy ülésrendet egy tükörben tekintünk, akkor az I) szemlélet mellett ugyanazon ülésrendet látjuk, mint a tükör nélkül tekintett eredetit. Míg a II) szemlélet szerint (feltéve, hogy legalább hárman ülnek az asztalnál) másik ülésrendhez jutottunk, mert az eredeti bal szomszédok most jobb

szomszédok lettek. A II) szemlélet szerint a c)-re a válasz 7!, hiszen a nyolc résztvevõ közül az egyik leírja, hogy tõle balra ki ült, és továbbmenve balra milyen sorrendben követte egymást a rajta kívüli hét részvevõ, akkor a teljes ülésrend egyértelmûen tisztázva lesz. A hét résztvevõ sorrendjére 7! lehetõség van. Az I) szemléletben a lehetõségek száma felezõdik A d) kérdésre a II) szemléletben a válasz: 2 · 3! · 23, hiszen az egyik férfinak az ülésrend leírásához el kell mondani, melyik oldalon ült a felesége, arrafelé haladva milyen sorrendben ült a másik három házaspár, és mindegyik házaspár esetén tisztázni kell, hogy a férj és a feleség a két lehetõség közül milyen sorrendben ült. Az I) szemléletben a lehetõségek számát felezni kell. 2. Ha nem vesznek össze, akkor 4!-féleképpen ülhetnek le Ha Bea és Cili egymás mellé akarnak ülni, akkor 3! · 2-féleképpen ülhetnek. Így ha nem akarnak egymás

mellé ülni, akkor 4! – 3! · 2 = 3! · (4 – 2) = 2 · 3! = 12-féleképpen ülhetnek le. 3. a) 11! 4. b) 6! 2 c) 12! 2⋅2⋅2 7! , mivel az azonos jelek sorrendje nem számít. 2!⋅ 2!⋅ 3! 5. A 7 betûs szavak száma 7! 6! 6! 3 ⋅ 6! + 4 ⋅ 6! 7! . A 6 betûs szavak száma + = = . 4!⋅ 3! 4!⋅ 2! 3!⋅ 3! 4 ⋅ 3 ⋅ 3!⋅ 2! 4!⋅ 3! A két szám egyenlõ. 9 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 10. – A KITÛZÖT T FELADATOK EREDMÉNYE 6. 6! ⋅ 26 , 26-nal azért kell szorozni, mert bármelyiket megfordítva új rendezést kapunk. 3!⋅ 3! 7. 10 ! , a fejek, ill. írások egymás közti sorrendje nem számít 6 !⋅ 4 ! 8. A sorrendhez le kell írnunk mi haladt az opel mögött, kettõvel az opel mögött és hárommal az opel mögött (ami egyben az opel elott haladó autó). Ez éppen a másik három autó egy sorrendje. Erre 3! = 6 lehetõség van 9. 5! 5⋅2 10. 10 · 8 · 6 · 4 · 2-féleképpen Az egyik felsõ lyuknál kezdve hátul ismeretlen úton 10

lehetõség van a felbukkanására. Ezután elöl adott, hogy melyik lyukat kell választani A következõnél már csak 8 lehetõség van és így tovább. 11. a) 4! b) 4 · 2 = 8-féleképpen. Elõször kiválasztjuk, hogy melyik kerüljön a helyére, azután a többit rendezhetjük úgy, hogy egy se kerüljön a helyére (ez 2 lehetõség). c) Arra nincs lehetõség, hisz ekkor a negyediket is csak a helyére rakhatjuk. 12. a) 5! b) A 11)-es feladat borítékokkal is elmondható. Ebbõl kiderül, hogy a borítékolás 4! = 24 módon lehetséges. Ebbõl egyszer minden a helyére kerül, nyolcszor pontosan egy levél kerül a helyére. Könnyen meggondolható, hogy hatszor lesz olyan elrendezés, hogy pontosan két levél kerül a helyére. Azaz 24 – 1 – 8 – 6 = 9-szer lesz az, hogy egy levél sem kerül a helyére. Az eredeti problémára visszatérve: öt levél esetén ötféleképpen választhatjuk ki azt az egyetlen levelet, amelyik a helyére kerül, majd 9-féleképpen

rendezhetjük el a maradék négy levelet úgy, hogy további helyrekerülés már ne legyen. Összesen 5 · 9 = 45 lehetõség van. 5 c) ⎛⎜ ⎞⎟ választható ki, melyik három legyen a helyén. A fennmaradó kettõ helye már egyér⎝3⎠ telmû. 13. András megoldása helyes 14. A legalacsonyabbnak a sor szélén kell állnia, és a következõ magasságúnak vagy mellette, vagy a sor másik végén. A többiek sorrendje mindkét esetben 4-féle lehet Így az összes esetek száma 16 = 2 · (4 + 4). A 2-es szorzó azért kell, mert egy jó sorrendet megfordítva is jó sorrendet kapunk. Egy másik érvelés: A sort úgy alakítsuk ki, hogy a játékosok magasság szerint csökkenõ sorrendben menjenek fel a pályára és álljanak be az eddigi sorba. A legmagasabb játékos után a további négy játékos mindegyike két választás elõtt áll: vagy a sor elejére, vagy a sor végére áll. Összesen 24 lehetõség van a sor teljes kialakítására 10 4.

Kiválasztási problémák ⎛5⎞ ⎝ ⎠ 1. ⎜ ⎟ ⋅ 3! -féle zászló Elõször kiválasztjuk a 3 színt, majd ezek sorrendje tetszõleges 3 5! -féle, mivel tetszõlegesen sorbarendezzük az 5 színt, de az utolsó 2 sorrendje 2! nem fontos, hisz az elsõ 3 adja a zászló színét. Egy harmadik érvelési mód: Legfelülre öt lehetõségbõl választhatunk. Alá már egy új színnek kell kerülni, amire négy lehetõség van. Alulra a maradék három színbõl választunk egyet. Összesen 5 · 4 · 3 = 60 lehetõség van Másként: 2. 5 · 4 · 4-féle zászló Az elsõ szín választására 5 lehetõség van, a következõ színekre csak 4, hisz az elõzõ színt nem választhatjuk. 9! 4! b) 95-féleképpen, hisz minden húzásnál 9 lehetõség van. 3. a) ⎛6⎞ ⎝ ⎠ rendezhetjük. b) 7-szer. 4. a) ⎜ ⎟ ⋅ 4! eset lehet, kiválasztjuk a 4 számot, majd ezeket tetszõleges sorrendben 4 5. a) 6 · 5 · 4 b) 63 6. a) 44 b) c) d) e) 43. 42 · (4 + 3 + 2 +

1) Külön számoljuk az eseteket attól függõen, hogy mi az elsõ szám. 3 · 43, mivel az elsõ szám nem lehet 1. 42 · 4, mivel az utolsó két jegy 4-féle lehet. 7. a) 63 b) 6 · 6 · 3. c) 6, mivel az utolsó két jegy 1-féle lehet. 8. 314-féleképpen 9. A megfogalmazás kétértelmû! Ha úgy értjük, hogy minden szín csak egyszer szerepelhet: n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) ³ 365 n³6 Legalább 6 szín kell. Ha úgy értjük, hogy a színek ismétlõdhetnek, akkor n szín esetén n5 színezési lehetõség van. Így olyan n-et kell választani, amelyre n5 ³ 365 n minimális értéke 4 10. 28 – 2 = 254 szám írható fel 28 az összes, ezen számjegyekbõl álló 8 jegyû szám, és 2, melyekben csak az egyik számjegy szerepel. 11 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 10. – A KITÛZÖT T FELADATOK EREDMÉNYE 11. 263 · 103-féle, mivel 26 betû és 10 számjegy használható 12. 106 – 96-féle szám, mivel 106 legfeljebb 6 jegyû természetes szám van, és ezek

között 96 olyan, melyben nincs 1 számjegy. 13. a) 2; 1 2 b) 1 ; 1; 4 4 14. 3 jegyû jelsorozat 23-féle, 2 jegyû 22-féle, 1 jegyû 2-féle lehet Ez a 14 lehetõség kevés 15. 4 · 105-féle 0,12 alakú, 7 · 106-féle 0,1x alakú (ahol x ³ 3) és 3 · 107-féle 0,2; 0,3; 0,4. alakú szám van Ez összesen 374 · 105 darab szám 16. a) 23 b) 4 · 53 c) 11 ·123 Az elsõ helyi értéken nem állhat 0 az egyik esetben sem. 17. 8 · 2 · 9 = 144 különbözõ kód Rejtvény: Jobbról a 2. pohár tartalmát átöntjük az 5-be, majd a 4-ét a 7-be 12 A gyökvonás 1. Racionális számok, irracionális számok . . . b) 1,8. 57142 . d) 0,5882352941176470 1. a) 0,416 . . c) 0,6470588235294117 3142 1000 2. a) b) 3139 999 c) 3091 990 2828 900 d) 3. Indirekt bizonyítást alkalmazunk a) Tegyük fel, hogy 7 racionális. p , ahol (p; q) = 1, p, q ÎZ+. q Innen 7q2 = p2. A bal oldalon a 7 kitevõje páratlan szám, míg a jobb oldalon páros szám, ami ellentmond

a számelmélet alaptételének, így ez lehetetlen. Tehát 7 irracionális b) Az elõzõhöz hasonlóan: p Tegyük fel, hogy 2 = , (p; q) = 1 és p, q ÎZ+. q 7= Innen 2q2 = p2. A 2 kitevõje eltér a két oldalon, ami ellentmond a számelmélet alaptételének. Így a irracionális, tehát a 2 + 1 is. c) Belátható, hogy 3 − 1 is. 3 irracionális, így a 2+ 7= d) Tegyük fel, hogy 2 p , (p; q) = 1 és p, q ÎZ+. q Innen ( 9 + 2 14 ) q 2 = p2 , ami csak akkor lehet igaz, ha 14 racionális. Ezt hasonlóan vizsgáljuk: m Tegyük fel, hogy 14 = , (m; n) = 1 és m, n ÎZ+. n 2 2 Innen 14n = m . A 7 kitevõje a két oldalon különbözõ, ami lehetetlen, így a 14 irracionális, tehát a ( 2 + 7 ) is. 4. Pitagorasz tételét alkalmazzuk többször egymás után 3 vagy 1 2 3 3 1 . 7 1 c) 1 10 4 1 2 3 17 1 4 1 d) Az 1956-ik lépésben kapjuk a 1 d) 4 4 . 1 b) . 1 1 . a) 1956 hosszúságú szakaszt. 13 1 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 10. – A KITÛZÖT T

FELADATOK EREDMÉNYE 5. Például p – 2,15 Rejtvény: 1, 9 = 18 2 = . 9 1 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 1. a) 5 b) 10 f) 49 e) 5 c) 3 g) 4 28 2 2. a) 15 > 14 ⇒ 3⋅ 5 > b) 27 < 28 ⇒ c) 4 < 42 ⇒ 25 7 < 6⋅ 8 10 d) 2 7 7>⇒ 3 8 21 ( 2 ) 35 ⋅ > ⋅ 2 12 15 6 ( 3) 3 < 14 ⋅ 2 3 3. a) 2 3 − 21 d) 68 + 6 35 4. a) 2 b) 6 Rejtvény: Tehát a 3 2 2 = d) 25 h) 9 b) 9 + 6 + 3 − 3 2 c) 38 − 12 10 e) 33 f) 9 3 + 11 2 c) 26 34 ⋅ 23 d) 22 3 3= e) 38 33 = 36 = 3 3 a nagyobb. 3. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazásai 1. a) 3 8 = 6 2 b) 48 < 50 ⇒ 4 3 < 5 2 c) 28 >27 ⇒ 2 7 > 3 3 d) 125 < 128 ⇒ 5 5 < 8 2 e) 3 3 < ⇒ 7 5 f) 81 ⋅ 5 >196 ⋅ 2 ⇒ 9 5 > 14 2 ⇒ 14 21 15 < 7 5 3 5 7 2 >4 6 f) 2 30 − 8 34 ⋅ 32 1 a 2. a) 3. a) 5 3 4. a) e) b) a b c) b) 2 c) 6 7 a+b d) –1 e) –2 d) 40 e) 9a – 4b 2 7 7 b) 5 2 6 c) −2 (

⇒ 2 ⋅ 4 26 > 3 ⋅ 4 5 b) 3 125 ⋅ 7 > 3 216 ⋅ 4 ⇒ 5 ⋅ 3 7 > 6 ⋅ 3 4 c) 5 81 ⋅ 15 > 5 32 ⋅ 37 ⇒ 3 ⋅ 5 5 > 2 ⋅ 5 37 3. a) 20 32 e) 60 a29 a ≥ 0 b) 18 625 c) 15 6 a f) 10 a7 a ≥ 0 g) 12 a∈R b b>0 d) 24 17 a a≥0 h) 24 11 a a>0 4. a) 0 b) 4 ⋅ a ⋅ 4 a a ≥ 0 c) 5 a2 b (a + a2 b − b ) d) 4 a2 ( 5 a − 3a2 − a3 ) e) a2 ⋅ b 2 ⋅ 8 a2 ⋅ b 7 + a ⋅ b ⋅ 8 a2 ⋅ b 5 − a ⋅ b ⋅ 8 a 6 ⋅ b a; b ≥ 0 f) a ⋅ n a3 + a2 ⋅ n a − a3 a ≥ 0, ha n páros 5. a) 4 3 7 b) 7 Rejtvény: 1024 2. 16 8⋅ 3 2 5 c) 8 ⋅ 5 24 3 4 d) a a>0 a e) 3 ⋅ 6 a5 a>0 5 A másodfokú egyenlet 1. A másodfokú egyenlet és függvény 1. a) (x – 2)2 d) 2. a) 2(x + 2)2 – 13 f2(x) f1(x) y 8 b) c) y y f1(x) 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 f3(x) f4(x) 5 f2(x) 4 4 3 3 3 2 2 2 f3(x) 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 1 2 3 1 4 x –5 –4 –3 –2 –1 –1

f4(x) –2 1 1 2 3 4 x –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –2 –3 –3 –3 –4 –4 –5 –5 –6 –6 –6 –7 –7 –7 –8 –8 –8 y 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 1 2 3 4 x –2 b) c) (x + 4)2 – 18 f) –3(x – 1)2 + 4 f1(x) 4 3. a) b) (x – 3)2 – 1 e) –(x – 4)2 + 14 y 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 1 2 3 4 x f2(x) 1 3 4 f3(x) –4 –5 f (x) = (x – 2)2 – 1 Df = R Rf = [–1; ¥[ minimum van, helye: x = 2 minimum van, értéke: y = –1 maximum nincs zérushely: x1 = 1; x2 = 3 ]–¥; 2] szig. mon csökkenõ [2; ¥[ szig. mon növõ alulról korlátos, a legnagyobb alsó korlát –1 f (x) = –(x + 2)2 + 7 Df = R Rf = ]–¥; 7] maximum van, helye: x = –2 maximum van, értéke: y = 7 minimum nincs zérushely: x1 = −2 + 7; x2 = −2 − 7 ]–¥; –2] szig. mon növõ [–2; ¥[ szig. mon csökkenõ felülrõl korlátos, a legkisebb felsõ korlát 7 17 2 f4(x) x

SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 10. – A KITÛZÖT T FELADATOK EREDMÉNYE c) f (x) = 2(x – 1)2 + 1 Df = R Rf = [1; ¥[ minimum van, helye: x = 1 minimum van, értéke: y = 1 maximum nincs zérushely nincs ]–¥; 1] szig. mon csökkenõ [1; ¥[ szig. mon növõ alulról korlátos, a legnagyobb alsó korlát 1 „meredekség” kétszeres y 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 1 2 3 x 4 –2 4. a) D = 16 – 4q b) D = 16 + 4q 0 zh.: q < –4 1 zh.: q = –4 2 zh.: q >–4 0 zh.: q > 4 1 zh.: q = 4 2 zh.: q < 4 c) D = 16 – 8q 0 zh.: q >2 1 zh.: q = 2 2 zh.: q < 2 5. f(x) = x2 + px + q minimum helye: x = − p 2 minimum értéke: y = − p2 +q 4 b) p = 2; q = –1 a) p = –2; q = 3 c) p = –8; q = 13 6. Minden érték pozitív, ha D < 0 a) 9 < q b) 4 < q c) 8 < q 7. Minden érték negatív, ha D < 0 a) q < –4 b) q < –1 c) q < –2 2. A másodfokú egyenlet megoldóképlete 1. a) x1 = 11; x2 = –11 c) x1 =

16; x2 = –16 2. a) x1 = 1; x2 = –3 4 c) x1 = 2; x2 = − 3 3. a) (x – 1)2 = 4 x1 = 3; x2 = –1 c) 2(x – 1)2 = 25 5 2 x1,2 = 1 ± 2 4. a) x1 = –3; x2 = 1 c) x1 = –5; x2 = 2 18 b) x1 = 3; x2 = –3 d) nincs megoldás b) x1 = 2; x2 = –3 d) nincs megoldás b) (x + 2)2 = 9 x1 = 1; x2 = –5 d) (x + 1)2 = –2 nincs megoldás b) x1 = 3; x2 = 1 d) x = 2 5. a) x1 = 10, x2 = 0 b) y1 = –5, y2 = 5 d) u1 = 8, u2 = –3 c) v1 = –4, v2 = 4 6. a) 1 >a 3 b) a = 1 3 c) a > 1 3 7. a) b < −2 2 vagy b >2 2 b) b1 = −2 2 vagy b2 = 2 2 c) −2 2 < b < 2 2 8. a) 4 >c b) c = 4 c) c > 4 3. A gyöktényezõs alak Gyökök és együtthatók közötti összefüggés 2 1 b) x1 = ; x2 = − 3 2 d) x1 = –1; x2 = 4 1. a) x1 = 2; x2 = –2 c) x1 = –2; x2 = 4 2. a) (x – 2)(x – 4) = 0 b) (x + 3)(x – 5) = 0 c) (3x – 2)(4x + 3) = 0 e) (x – a – b)(x – a + b) = 0 3. a) (x – 3)(x – 5) d) (x − 2 ) (x − 3 ) = 0 b) 2(x – 5)(x

– 2) d) –(2x + 1)(x + 3) c) –(2x – 3)(x + 5) x +1 x ≠ 1; 3 x −1 3( x − 1) 1 c) x ≠ ;−2 2x −1 2 x +3 x ≠ 1; 3 3− x 3x + 2 1 d) x ≠ ;2 2−x 2 4. a) b) 5. a) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 5 b) 1 1 x1 + x2 3 + = = 2 x1 x2 x1 x2 c) x1 x2 x12 + x22 10 + = = 3 x2 x1 x1 x2 d) x12 − x22 = x1 + x2 ( x1 + x2 )2 − 4 x1x 2 = 3 b) x1 − x2 = p2 − 4q 6. a) x1 + x2 = –p c) x1 · x2 = q e) x12 − x22 = p p2 − 4q d) x12 + x22 = p2 – 2q 19 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 10. – A KITÛZÖT T FELADATOK EREDMÉNYE 7. a) c = –1 b) –1 < c < 0 e) c >0 d) c = 0 c) nincs ilyen c f) c < –1 8. Az x együtthatójának 0-nak kell lennie 4k – 8 = 0; 4 – 8k = 2. 2 Ekkor az egyenlet x + 2 = 0 alakú, tehát nincs valós gyöke. Nincs megfelelõ k 9. x2 + 5x + 6 = 0 10. A keresett egyenlet legyen y2 + by + c = 0 alakú Tudjuk y 1 = x1 + 2 y 2 = x2 + 2 y1 + y2 = x1 + x2 + 4 = 19 79 +4= 15 15 y1 ⋅ y2 = ( x1 + 2)( x2 + 2) = x1 ⋅

x 2 + 2( x1 + x 2 ) + 4 = 6 19 104 +2 +4= 15 15 15 79 104 =0 y+ 15 15 15 y2 − 79 y + 104 = 0 y2 − 4. Másodfokúra visszavezethetõ magasabb fokszámú egyenletek 1. a) x = 2 2. a) x 2 = b) x = –3 1+ 5 2 x2 = 1+ 5 x=± 2 x1,2 = ± 2 3. a) ( x + 1)2 = 20 b) x3 = 3 x1 = 3 3 x3 = –1 x2 = –1 1 2 nincs megoldás 1+ 5 2 x1,2 = −1 ± 1− 5 2 nincs megoldás x4 = − c) x4 = 4 c) x = 2 1+ 5 2 ( x + 1)2 = 1− 5 2 nincs megoldás b) (x – 2)3 = 2 x1 = 2 + 3 2 ( x − 2)3 = − x2 = 2 − 1 2 1 2 3 c) (2x – 1)4 = 4 1±1 2 x1 = 0; x2 = 1 x= (2 x − 1)4 = − 1 2 nincs megoldás 4. a) Legyen x2 + x = y, így y(y + 1) – 2 = 0 Innen x2 + x = –2 vagy x2 + x = 1 −1 ± 5 2 b) Legyen x2 + 2x = y, így y(y – 1) = 6. Innen x2 + 2x = 3 vagy x2 + 2x = –2 x1 = 3; x2 = –1 nincs megoldás 2 c) Legyen x – x + 1 = y, így y(y – 2) – 3 = 0. Innen x2 – x + 1 = 3 vagy x2 – x + 1 = –1 x1 = 2; x2 = –1 nincs megoldás nincs megoldás

x1,2 = 5. a) (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 x3 – 6×2 + 11x – 6 = 0 c) (x + 1)(x – 1)(x + 3)(x – 4) = 0 x4 – x3 – 13×2 + x + 12 = 0 b) (x – 3)(x + 1)(x2 + 1) = 0 x1 = 3; x2 = –1 6. a) (x – 3)(x + 1)(x – 1) = 0 x1 = 3; x2 = –1; x3 = 1 c) (x + 1)(x – 2)(x2 + 1) = 0 x1 = –1; x2 = 2 b) x = 7. a) x = 1 c) x = b) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 0 x4 + 10×3 + 35×2 + 50x + 24 = 0 1 vagy x = 2 2 1 vagy x = 3 vagy x = 1 3 8. a) x = 3 3 vagy