8.1. Szöveges feladatok

© www.matematika-online.hu Az oldal teljes tartalma szerzői jogvédelem alatt áll! Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. A matematikáról

Szöveges feladatok

Amikor Balázs annyi éves lesz, mint Ádám most, akkor Ádám 11 éves lesz. Amikor Ádám annyi éves volt , mint Balázs most, Balázs 2 éves volt. Hány éves jelenleg Ádám és Balázs?

A válaszod:

Ádám most ________ éves, Balázs pedig ________.

Feladat megoldása

Amikor Balázs annyi éves lesz, mint Ádám most, akkor Ádám 11 éves lesz. Amikor Ádám annyi éves volt , mint Balázs most, Balázs 2 éves volt. Hány éves jelenleg Ádám és Balázs?

8.1. Szöveges feladatok

A szöveges feladatok általában olyan problémák, amelyek valamilyen szituációt írnak le.

A szöveges feladatok szerepe a tanításban:

– műveletek értelmezése, elmélyítése

– szövegértési képesség fejlesztése

– problémamegoldó gondolkodás fejlesztése

A szöveges feladatokat 6. osztályban még következtetéssel oldjuk meg. A cél ekkor a problémamegoldás lépéseinek gyakorlása. Az adatok kigyűjtése, a szövegértés, az összefüggések ábrázolása, akkor is szükséges és hasznos, ha később egyenletet írunk fel a feladat megoldásához.

A szöveges feladatok megoldásának lépései megfelelnek a problémamegoldás lépéseinek:

– A szöveg elolvasása (hangosan is), esetleg eljátszása.

– Keressük meg a kérdés megválaszolásához szükséges adatokat!

– Keressünk összefüggéseket, rajzoljunk ábrát, írjunk fel műveleteket, azaz keressük meg a szöveg matematikai modelljét.

– Végezzük el a műveleteket!

– Ellenőrzés. A matematikai eredményt visszafordítjuk az eredeti szituációra.

– Válasz a kérdés újra olvasása után.

Írjunk minél többet!

A szöveges feladatok megoldásának a szövegértés az egyik legfontosabb eleme. Ezt segíthetjük azzal, ha a feladat szövegét fokozatosan egyre vázlatosabban írjuk le, így az összefüggések is világosabbak lesznek a gyerekek számára. A megoldások során is érdemes a gondolatokat írásban lejegyezni, ez tudatosítja a megoldási módot, világosabbá teszi a lépéseket, így más hasonló feladatok megoldásánál is alkalmazható tudást hoz létre.

A szöveges feladatok csoportosítása

– A kérdés helye lehet

– a feladat elején – egységessé tesz feladatsort, ha lehetőség szerint kérdőszóval kezdődnek a feladatok

– a feladat közepén – a legnehezebben érzékelhető a gyerekek számára.

– a feladat végén – az olvasás utolsó eleme, jó kiindulás a megoldáshoz.

– Az adatok száma szerint

– hiányos feladat – meg kell szereznünk a hiányzó adatot

– pontosan annyi adat van, amennyi szükséges

– felesleges adatok vannak – ki kell választani a szükségeseket

– A feladat szövegezése

– fordított – ilyen feladatokkal találkoztunk az összeadásra vezető szöveges feladatoknál.

– A feladat bonyolultsága

– egylépéses – egy művelettel megoldható

– kétlépéses – két lépésben megoldható, nehézséget jelent a gyerekeknek a részfeladatok meghatározása

– többlépéses – több lépés megtervezése szükséges.

– A megoldási módok

– próbálgatás – csak akkor számít teljes megoldásnak, ha az összes esetet végignéztük. A próbálgatás segít megismerni a problémát, megtalálni a szabályosságokat, amelyeket aztán igazolni kell. Semmiképp se alkalmazzuk folytonosan változó mennyiségeknél, például eltelt időre vonatkozó feladatokat nem lehet percenkénti próbálgatással megoldani.

– visszafelé következtetés (rákmódszer, buborék módszer)

– összefüggések ábrázolása szakaszokkal

Példa: Egy horgásztól megkérdezték, hogy hány halat fogott. Ő így felelt: „Azt reméltem, hogy húszat fogok, de ha háromszor annyit fogtam volna, mint amennyit fogtam, akkor is 2-vel kevesebbet fogtam volna, mint amennyit reméltem.” Hány halat fogott?

1. Megoldás: Gondolkodjunk visszafelé!

A fogott halak száma kerül az első buborékba, a háromszorosa a következőbe, még ezt sem tudjuk egyelőre. Ennél 2-vel nagyobb szám a remélt halak száma a 20.

A műveleteket a buborékok közötti nyilakkal jelöljük:

Ellenőrzés: 6 · 3 + 2 = 20.

Válasz: Tehát a horgász 6 halat fogott.

2. Megoldás: Ábrázoljuk szakaszokkal a halak számát!

A rajzról leolvasható, hogy a fogott halak száma (20 – 2) : 3 = 6.

A példa kétféle megoldása azért is fontos, hogy a gyerekek lássák, hogy a feladatokat nemcsak egyféle módszerrel lehet megoldani.

– A megoldások száma

– több megoldás – az összes megoldást meg kell adni

– nincs megoldás – a feladat megoldása az, hogy nincs megoldás.

Példa: Keressük meg az összes olyan páratlan, öttel osztható háromjegyű számot, amelyben a számjegyek összege 4!

Megoldás: Az öttel osztható számok 0-ra vagy 5-re végződnek. Mivel a szám páratlan, ezért 5-re végződik, így számjegyeinek összege legalább 5, ami nagyobb a 4-nél, tehát nincsen a feladat feltételeinek megfelelő szám.

Szöveges feladatok és megoldások

a tanulók szövegértési képessége, lényegkiemelő és problémamegoldó képessége. Az ilyen feladatok gyakorlásával könnyebben megy a műveletek értelmezése és elmélyítése. Egyes pedagógiai szakkönyvek szerint a hétköznapi élethez kapcsolódó szöveges feladatokkal erősíthető a matematika és a valóság kapcsolata. A jól megírt szöveg lehet motiváló hatású is.

A szöveges feladatok megoldásának menete

1. A szöveg figyelmes elolvasása alapvető fontosságú

2. Adatok kijegyzetelése
Az adatok kiemelése segíti a könnyebb áttekintést. Ha következetesen alkalmazzuk, akkor beépülhet a megoldási algoritmusba. Az adatok kiemelése történhet kijegyzeteléssel, aláhúzással. A felesleges adatokat akár áthúzással is jelölhetjük. Az adatok kijegyzetelése történhet rajzos megjelenítés formájában is vagy az adatok szakaszokkal történő ábrázolásával.

3. Megoldási terv készítése
A megoldási terv készítése a legnehezebb része a feladatmegoldásnak, hiszen ehhez szükséges az ismert és az ismeretlen adatok közötti összefüggés meglátása.

4. Számolás, ellenőrzés
A számolás történhet szóbeli vagy írásbeli művelettel, amit az ellenőrzésnek kell követnie.

5. Szöveges válasz megfogalmazása a feltett kérdésnek megfelelően
A válaszadás előtt célszerű újra olvasni a kérdést és az eredményt mondatba foglalva válaszolni.

Nézzük, hogy állsz a szöveges feladatok megoldásához! Teszteld a tudásod!

1. Tamás és Péter egyszerre olvassák a „Hogyan rakjunk tűzet” című könyvet. Hétfőn kezdték el olvasni, szerdán pedig az iskolában megbeszélték, ki hol tart. Kiderült, hogy Péter 30 oldallal többet olvasott.

– Nekem még éppen kétszer annyi oldal van hátra, mint amennyit te már elolvastál – mondta Péter.

– Nekem pedig még 200 oldal van hátra – mondta Tamás.

Hány oldalas a könyv?

MEGOLDÁS

x-szel jelöljük a könyv oldalainak számát.

Péter: x – (x – 200) * 2

Ekkor a feladat egyenlete a következő:

x-(x-200) * 2 = x-200+30

Az egyenlet megoldása x = 285.

Tehát a könyv 285 oldalas.

Ellenőrzés:
Tamás: 200 oldal van hátra; azaz 85 van elolvasva
Péter: 2-szer annyi van hátra, mint amennyit te elolvastál; 170 van hátra.
Tamás 85-öt olvasott, 85*2=170
170=170

A megoldás helyes

2. Egy kutya kerget egy nyulat, amely 90 nyúlugrás előnyben van. Amíg a nyúl 10-et ugrik, a kutya 7 ugrást tesz, de a kutya 2 ugrásának a hossza 5 nyúlugrás hosszával ér fel.

Hány ugrás után éri utol a kutya a nyulat?

MEGOLDÁS

Jelölje x a kutyaugrások számát! Mivel a kutya-, illetve nyúlugrások hossza és száma a két állat esetén arányos, ezért a feladat egyenlete a következő:

Tehát: 84 ugrás kell ahhoz, hogy a kutya utolérje a nyulat.

3. Andrea most 24 éves, kétszer annyi idős, mint Lili volt akkor, amikor Andrea annyi idős volt, mint Lili most.

Hány éves most Lili?

MEGOLDÁS

Legyen x Lili életkora! Andrea a múltban x-(24-x) éves volt, tehát a feladat egyenlete:

Tehát Lili most 18 éves.

4. Két város között a távolság 320 km. Egy időben indul egymással szembe két vonat, az egyik 45 km/h a másik 35 km/h sebességgel. Az első városból ugyanakkor elindult egy szürkefejű albatrosz is, 50 km/h sebességgel. Elrepült a szembe jövő vonatig, ott visszafordult, és repült az első vonattal szemben. Ezzel találkozva ismét visszafordult, és repült a másik vonattal szemben és így tovább.

Milyen távolságot repül be a szürkefejű albatrosz, míg a vonatok találkoznak?

MEGOLDÁS

Jelölje x a találkozásig eltelt időt! Ez a két vonat számára és a szürkefejű albatrosz számára is ugyanaz. Mivel s = v × t, ezért 45 x + 35 x = 320

vagyis ennyi órát repült a szürkefejű albatrosz 50 km/h sebességgel, így

Tehát az albatrosz 200 km utat tett meg.

5. Egy farmernadrág árát 20 %-kal felemelték, majd amikor nem volt elég nagy a forgalom, a megemelt árat 25 %-kal csökkentették. Most 3600 Ft-ért lehet a farmert megvenni.

Mennyi volt az eredeti ára?

MEGOLDÁS

1,2 * 0,75 x = 3600
Ha x Ft a farmer eredeti ára, akkor
x = 4000 Ft

6. Egy díszfaiskolában háromféle fát nevelnek (juhar, fenyő, platán) három téglalap elrendezésű parcellában. A fenyőfák parcellájában 4-gyel kevesebb sor van, mint a juharfákéban, és minden sorban 5-tel kevesebb fa van, mint ahány fa a juhar parcella egy sorában áll. 360-nal kevesebb fenyőfa van, mint juharfa. A platánok telepítésekor a juharokéhoz viszonyítva a sorok számát 3-mal, az egy sorban lévő fák számát 2-vel növelték. Így 228-cal több platánfát telepítettek, mint juhart.

a.) Hány sor van a juharfák parcellájában? Hány juharfa van egy sorban?
b.) Hány platánfát telepítettek?

MEGOLDÁS

A fenyők és platánok összes számát kétféle módon felírva kapjuk az alábbi egyenleteket:
(x – 4) (y – 5) = x * y – 360

(x + 3) (y + 2) = x * y + 228

Rendezés után
5x + 4y = 380

Ebből
x = 36 és y = 50

a.) A juharok parcellájában 36 sor, és egy sorban 50 db juharfa van.

b.) A platánok parcellájában 39 sor és soronként 52 fa van.

és
2028 platánfa van.

7. Egy bolygón élt néhány alien. Az alienek száma egy év alatt kettő híján a háromszorosára nőtt, egy újabb év elteltével pedig (az előző évihez képest) megötszöröződött. A harmadik évben annyival csökkent a számuk, amennyi alien eredetileg a bolygón élt. Ekkor 12-szer annyi alien volt a bolygón, mint eredetileg, és még 6.

Hány alien élt eredetileg a bolygón?

MEGOLDÁS

Az eredetileg a bolygón élő alienek száma legyen x.

Egy év elteltével: 3 x – 2 alien élt a bolygón.

Újabb egy év múlva: ennek 5-szöröse, azaz 5 * (3 x – 2) alien élt a bolygón.

A harmadik év után: 5* (3 x – 2) – x alien élt a bolygón.

Ez egyenlő 12 x + 6.

Ezek alapján a következő egyenletet lehet felírni: 5 * (3 x – 2) – x = 12 x + 6

Az egyenlet megoldása x = 8

8. Ha egy kertben a palántákat négyesével ültetjük, akkor 18 palántának nem jut hely. Ezért ötösével ültetjük őket, így 4 hely üres marad.

Hány palánta és hány hely van?

MEGOLDÁS

A helyek száma legyen x. A két ültetés alapján 4x + 18 = 5 * (x-4)
Ebből adódóan x = 38, így a palánták száma 170.