Matematika megoldások I-II

Eredeti ár: 1 999 Ft

Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény 10 14 Éveseknek Megoldások / Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény 10-14 Éveseknek Használt Tankönyv Eladó

Lakó Gábor: Helyesírási útmutató középiskolásoknak Borosné Jakab Edit; Szecsődi Tamás Leó; Alexandrov Andrea: Érettségi – Magyar nyelv és irodalom írásbeli és szóbeli vizsgára – Középszinten – 2013.. Az újszerű, a nyelv működésére is rávilágító feladatgyűjtemény a kerettantervben előírtaknak megfelel. Rendelkezik olyan bővíthető biztos ismeretekkel, készségekkel, képességekkel és jártasságokkal, amelyek képessé teszik őt arra, hogy a középiskolás követelményeknek a későbbiekben A magyar nyelv oktatását képesség szerint a differenciálás módszerével oldjuk meg, s erre a csoportmunka is kiváló lehetőség. Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából megoldások II. Gábor Endréné – Gyapjas Ferencné – Hárspatakiné Dékány Veronika – Korányi Erzsébet – Pogáts Ferenc – A könyv a tavalyi Magyar nyelvi kidolgozott érettségi témák I. Középszint javított és irodalom. A fizika alapfogalmai középiskolásoknak – 2., bővített kiadás.. Dr. Szerényi Gábor. A Nagy biológia feladatgyűjtemény – Gyakorló tematikus feladatok középszintű és emelt szintű 995 Ft 945 Ft 5%.

1255 Melyik az a szám, amelynek négyszerese 2-vel kisebb, mint a nála 3-mal nagyobb szám háromszorosa. 1251 Két természetes szám összege 15257. Az egyik szám végén 0 áll. Ha ezt a 0-t elhagyjuk, éppen a másik számot kapjuk. Melyik ez a két szám? 1249 Egy szám ötszöröséhez hatot adtam, az egészet osztottam 7-tel és így 8-at kaptam. Melyik ez a szám? 1256 Gondoltam egy számra. Megszoroztam2-vel, a szorzatból kivontam 16-ot, a különbséget elosztottam néggyel, a hányadoshoz hozzáadtam 60-at és az összegből kivontam a gondolt szám háromszorosát. Eredményül 6-ot kaptam. Mennyi a gondolt szám? Munkavégzés 1366 Egy ló egy szekér szénát 1 hónap alatt, egy kecske 3 hónap alatt, egy juh 4 hónap alatt eszik meg. 1368 Egy 100ll kádba két csőből engedik a vizet. Az elsőből 10l, a másodikból 15l víz ömlik a kádba percenként. Hány perc alatt telik meg a kád, ha mindkét csövet egyszerre nyitják meg? Életkoros 1293 Az anya 40 éves a lánya 16. Hány évvel volt az anya 3 szor idősebb a lányánál? 1296 Egy 38 éves apának 8 éves fia van.

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY 1. fejezet. Lineáris algebra. 1. Mátrixok. Rövid elméleti összefoglaló. Egy n × m típusú mátrixon egy n db sorból és m db oszlopból álló számtáblázatot értünk:. Matematika feladatgyűjtemény I. – BME kedésinérnöki Kar Matematika Tanszékének oktatói készítenek Szász Gábor Mate- matika I-II-III. a) A násodik tankörös fiúk. b) Az angolul és nénietül tudók. Bevezető matematika feladatgyűjtemény 2014. aug. 10. 24. feladatsor: Rábai Imre: Matematika mér˝olapok 6. feladatsora. 56. Egy futballcsapat 11 játékosának átlagéletkora 22 év. Kosztolányi, Mike, Vincze: Érdekes matematikai feladatok, Mozaik Oktatási Stúdió, Szeged, 1994. Matematika feladatgyűjtemény I. – Budapesti Műszaki és. számok, R a valós számok és R a pozitív valós számok halmaza. 11. 2 Az aj a2. al (nENT), 101.! (nik E N; k sn). n! (n kỳ. Teljes indukcióval bizonyítsuk be, hogy a következő állítások igazak, ha az n pozitív egész szám nagyobb. Matematika összefoglaló Matematika összefoglaló.

Matematika Összefoglaló feladatgyûjtemény 10-14 éveseknek használt tankönyv eladó

Az egyes anyagrészeket bevezető, majd a tanult módszereket, ismereteket elmélyítő, gyakorló példák mellett a feladatgyűjteményben találhatók olyan nehezebb feladatok is, amelyek a tanulóktól megkövetelik az ismeretek alkotó alkalmazását. Az érettségire való felkészülést segítő számos általános összefoglaló munkával szemben ez a könyv nem az eddig tanultak globális áttekintését kívánja nyújtani. Emelt szintű érettségi feladatsorok magyar nyelv és irodalomból, matematikából és történelem tárgyakból.. Történelmi feladatgyűjtemény 10-11 éveseknek. Ahogy a cím is sugallja, középiskolásoknak készült kiadvány, melynek segítségével könnyebben értelmezhetőek a kötelező olvasmányok kevésbé ismert kifejezései.. Borosné Jakab Edit; Szecsődi Tamás Leó; Alexandrov Andrea: Érettségi – Magyar nyelv és irodalom írásbeli és szóbeli vizsgára – Középszinten – 2013. Lakó Gábor: Helyesírási útmutató középiskolásoknak Borosné Jakab Edit; Szecsődi Tamás Leó; Alexandrov Andrea: Érettségi – Magyar nyelv és irodalom írásbeli és szóbeli vizsgára – Középszinten – 2013.. Az újszerű, a nyelv működésére is rávilágító feladatgyűjtemény a kerettantervben előírtaknak megfelel.

Matematika megoldások I-II.

Nincs megvásárolható példány
A könyv összes megrendelhető példánya elfogyott. Ha kívánja, előjegyezheti a könyvet, és amint a könyv egy újabb példánya elérhető lesz, értesítjük.

Elérhetőségeink

Személyes átadóhelyek központja:

Belépés

Nincs még fiókja?

• Nyomonkövetheti aktuális és korábbi rendeléseit
• Beállíthat automatikus értesítőket az Önt érdeklő, újonnan beérkezettkiadványokról
• Előjegyezhet azokra a kiadványokra, melyek jelenleg éppen nincsenek akínálatunkban

Elfelejtett jelszó

Kérjük, adja meg azonosítóját, és a hozzá tartozó email címet, hogy jelszavát elküldhessük Önnek!

A *-gal jelölt mezők kitöltése kötelező!

Azonosító név/E-mail cím*
Azonosító és e-mail cím megegyező

(2009 március óta a regisztrált ügyfelek azonosító neve megegyezik az email címmel)

Ha az azonosítóját sem tudja megadni, kérjük, hívja az ügyfélszolgálati vonalat:

Regisztráció

**Hozzájárulok, hogy az Antikvárium.hu részemre az adatkezelési tájékoztatójában foglaltak alapján a megadott elérhetőségeken marketing tartalmú hírlevelet küldjön a hozzájárulásom visszavonásáig. A hozzájárulásomat az Antikvárium.hu ügyfélszolgálati elérhetőségéhez címzett nyilatkozattal bármikor visszavonhatom.
***Hozzájárulok, hogy az Antikvárium.hu részemre az adatkezelési tájékoztatójában foglaltak alapján a megadott elérhetőségeken az Antikvárium.hu weboldalon működő aukcióival kapcsolatban értesítést küldjön a hozzájárulásom visszavonásáig. A hozzájárulásomat az Antikvárium.hu ügyfélszolgálati elérhetőségéhez címzett nyilatkozattal bármikor visszavonhatom.

Felhívjuk figyelmét, hogy 2020.07.01-től nincs lehetőség a számla kiállítása után történő számlacserére, nem áll módunkban módosítani a vevő számlázási adatait.

Adatait bizalmasan kezeljük, védett szerveren tároljuk, és harmadik személynek sem kereskedelmi, sem egyéb célból nem adjuk át.

Regisztráció

Regisztrációja sikeresen megtörtént.

Megadott e-mail címére megerősítő e-mailt küldtünk. Ahhoz, hogy a regisztrációja véglegesedjen, és le tudja adni rendeléseit, kérjük, kattintson a levélben található linkre.
A megerősítő link a kiküldéstől számított 48 óráig érvényes, ezután a regisztrációs adatok törlésre kerülnek.

mozaik-fgy_10-14_eveseknekmo.pdf

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bôvített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része semmiféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható. ISBN 963 697 101 3 ” Copyright MOZAIK Oktatási Stúdió – Szeged, 1996

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL Számok írása, olvasása a tízes számrendszerben Tízezres

1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) a) 4.

2 2 Százezres 7

Ezres Százas Tízes 2 0 2 0

Ezres Százas Tízes 2 9 9 0

02 541 20 380 02 050 20 308

702 207 009 092 099 902 900 992

Ezer- Száz- TízSzáz- TízMilliós Ezres Százas Tízes Egyes milliós milliós milliós ezres ezres 2 2 5 7 1 1 5 6 6 0 0 6 0 6 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 257 115 b) 6 600 606 c) 10 301 030 d) 1 001 000 000

TízSzázMilliós milliós ezres a) 6 2 0 b) 1 9 9 c) 7 7 0 d) 6 1

Tízezres 6 2 7 0

Ezres Százas Tízes 2 1 0 1

62 062 062 19 921 992 77 070 077 06 101 824

5. a) ezerszáztizenegy, háromezer-harminc, kétezer-ötszáztizennyolc, nyolcszázkettô, kilencezer-kilencszázhét. b) ötvenkétezer-harmincnyolc, ötvenezer-öt, ötezer-ötvennyolc, hatvanegyezer-egy, hetvenháromezer-hetvenhárom. c) kétszáztizenkétezer-kétszáztizenkettô, hárommillió-harmincezer-háromszázhárom, tizrnegymillió-tizenegyezer-tizenegy, hétmillió-hétszázegy, húszmillió.

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 6. a) A felbontási lehetôségek például: 1111 = 1000 + 100 + 10 + 1 = 103 + 102 + 10 + 1 3030 = 1000 ◊ 3 + 10 ◊ 3 = 3 ◊ 103 + 3 ◊ 10 2518 = 1000 ◊ 2 + 100 ◊ 5 + 10 ◊ 1 + 1 ◊ 8 = 2 ◊ 103 + 5 ◊ 102 + 1 ◊ 101 + 8 ◊ 100 0802 = 100 ◊ 8 + 1 ◊ 2 = 8 ◊ 102 + 0 ◊ 101 + 2 ◊ 100 9907 = 1000 ◊ 9 + 100 ◊ 9 + 10 ◊ 0 + 1 ◊ 7 = 9 ◊ 103 + 9 ◊ 102 + 7 ◊ 100 b) 52 038 = 5 ◊ 104 + 2 ◊ 103 + 3 ◊ 10 + 8 ◊ 100 50 005 = 5 ◊ 104 + 5 ◊ 100 05 058 = 5 ◊ 103 + 5 ◊ 10 + 8 ◊ 100 61 001 = 6 ◊ 104 + 1 ◊ 103 + 1 ◊ 100 73 073 = 7 ◊ 104 + 3 ◊ 103 + 7 ◊ 101 + 3 ◊ 100 c) 00 212 212 = 2 ◊ 105 + 1 ◊ 104 + 2 ◊ 103 + 2 ◊ 102 + 1 ◊ 101 + 2 ◊ 100 03 030 303 = 3 ◊ 106 + 3 ◊ 104 + 3 ◊ 102 + 3 ◊ 100 11 011 011 = 1 ◊ 107 + 1 ◊ 106 + 1 ◊ 104 + 1 ◊ 103 + 1 ◊ 101 + 1 ◊ 100 07 000 701 = 7 ◊ 106 + 7 ◊ 102 + 1 ◊ 100 20 000 000 = 2 ◊ 107 7. a) b) c) d)

százas, ezres, tízes, egyes, tízezres 0; 5; 0; 0; 3 Az 53 310-ben a 3 az ezresek helyén áll. 10 503-ban a nullát 15 300-ban a nullát 10 153-ban az egyet 10 035-ben a nullát 53 310-ben a hármat e) ötszáz, ötezer, ötven, öt, ötvenezer

százas; ezres, százas, tízes; százas; ezres, százas; ezres 2; 0; 5; 0; 0 Az 50 005-ben a legkisebb a nulla helyiértéke. 50 005-ben a nullát és az ötöt 5058-ban az ötöt 60 011-ben a nullát és az egyet 70 373-ban a hármat és a hetet

9. a) 7 20 002 > 19 092 > 19 029 > 12 909 > 2002 > 2000 > 1992 b) 42 042 > 6030 > 4202 > 3066 > 987 > 798 > 663 > 360 12. a) 39 333 > 30 093 > 6000 > 3333 > 3033 > 767 > 677 b) 43 001 > 40 000 > 30 014 > 3401 > 3041 > 1034 > 431

SZÁMOK ÍRÁSA, OLVASÁSA A TÍZES SZÁMRENDSZERBEN 13. a) b) 14. a) b) 15. a) b) 16. a)

7 Szomszédok egyes tízes százas

886 Szomszédok egyes tízes százas

Szomszédok egyes tízes százas

989 887 890 900

5001 1360 1360 1400

5999 5002 5010 5100

0007 ª 1000 0032 ª 3000 0193 ª 1900 0886 ª 8900 0989 ª 9900 1003 ª 1000

0007 ª 0000 0032 ª 0000 0193 ª 2000 0886 ª 9000 0989 ª 1000 1003 ª 1000

0007 ª 0000 0 0032 ª 0000 0 0193 ª 0000 0 0886 ª 1000 0 0989 ª 1000 0 1003 ª 1000 0

b) 1359 ª 1360 5001 ª 5000 5999 ª 6000 9810 ª 9810

1359 ª 1400 5001 ª 5000 5999 ª 6000 9810 ª 9800

1359 ª 1000 0 5001 ª 5000 0 5999 ª 6000 0 9810 ª 10 000

1004 1010 1100 9810 6000 6000 6000

18. legkisebb: 55 016 (tízezresekre kerekítve 60 000) legnagyobb: 64 889, illetve ha lehet „két” legnagyobb, akkor 64 989. 19. Pl.:

22 323 4334 Æ jegyeinek összge: (5 + 4) ◊ 2 + 3 = 18 + 3 = 21 54345 654456 Æ jegyeinek összge: (6 + 5 + 4) ◊ 2 = 15 ◊ 2 = 30 7654567 87655678

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 20. Legfeljebb 18 lehet a számjegyek összege. 21. 86 a szám, mert 86 + 8 + 6 = 86 + 14 = 100. 22. A legnagyobb háromjegyû szám, a 999 számjegyeinek összege 27. Így nem tudunk ilyen számot mondani. 23. A 6321. A megadott feltételeket csak ez a négyjegyû szám elégíti ki. 24. Az ötödikeseknek (1851 – 1789) : 2 = 32 szám, a hatodikosoknak (1848 – 1790) : 2 = = 30 szám jutott. Hatvanketten játszottak számháborút. 25. 5 8493 – 5593

b) 7951 – 3675 > 6840 – 2570 d) 2166 – 887 = 1163 + 116

81. 500 – (35 + 42 + 47 + 243) = 133. 133 Ft-ot kaptunk vissza. 82. 15 000 – (9650 + 2860 + 2320) = 15 000 – 14 830 = 170 170 Ft-om maradt.

14 830 Ft-ot fizettem, így

83. Még 181 oldalt kell elolvasni. 84. 216 + (216 + 48) = 480. 480 Ft-ot költöttek ajándékra. 85. A léc eredetileg 4116 mm volt. A nagyobb darab 156 mm-rel hosszabb. 86. 230 cm hosszú szalagot vásároltak. 87. 31 + 28 + 26 = 85. 85 ötödikes jár az iskolába. 88. 973 + 974 + 975 = 2922. 3000-nél 78-cal kisebb. 89. 685 + 632 + 642 + 726 = 2685. 2685 tanuló jár összesen a négy iskolába. 90. 16 + 37 + 53 = 106. A versenyen 106-an vettek részt. 91. 824 + 770 + 716 = 2310. 2310 virág virított a három üvegházban összesen.

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 92. A város a kiindulási helytôl 93 km-re van. 108 km-t utaztak autóbusszal. 69 km-rel többet utaztak buszon. 93. a) 157 13 ◊ 72 72 ◊ 26 = 52 ◊ 36 72 ◊ 26 78 ◊ 12

104. a) 0 1350 21 700 69 000

b) 069 200 00 3240 472 000

c) 00 3150 031 500 315 000

105. a) 098 838 197 676 098 838

b) 280 500 280 500 561 000

c) 188 568 188 568 094 284

106. a) 314 ◊ 63 942 ◊ 21

b) 143 ◊ 36 429 ◊ 12

c) 276 ◊ 42 828 ◊ 14

107. a) pl.: (942 : 6) ◊ (63 ◊ 3)

b) pl.: (429 ◊ 3) ◊ (36 : 6)

c) pl.: (828 : 18) ◊ (42 ◊ 9) 108. 856 ◊ 48 214 ◊ 48 856 ◊ 12 428 ◊ 24

d) 332 ◊ 84 996 ◊ 28

d) pl.: (996 ◊ 2) ◊ (84 : 4)

0856 ◊ 48 3424 ◊ 48 856 ◊ 192 1712 ◊ 96

109. 62 ◊ 52 ◊ 16 62 ◊ 52 ◊ 32 62 ◊ 104 ◊ 16 134 ◊ 52 ◊ 16 110. a) 90 ◊ 9 = 810 702 + 108 = 810 78 + 108 = 186

62 ◊ 52 ◊ 16 pl.: 31 ◊ 104 ◊ 16 31 ◊ 52 ◊ 32 62 ◊ 26 ◊ 32

62 ◊ 52 ◊ 16 pl.: 31 ◊ 26 ◊ 64 31 ◊ 208 ◊ 8 124 ◊ 104 ◊ 4

b) 150 ◊ 12 = 1800 123 + 324 = 447 1476 + 324 = 1800

c) 72 ◊ 5 = 360 755 – 395 = 360 nincs megoldása a természetes számok halmazán Összeget, különbséget egy számmal úgy is szorozhatunk, hogy a tagokat külön-külön megszorozzuk a számmal, majd a szorzatokat összeadjuk, illetve kivonjuk.

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 111. a) 392 158 392

b) 3396 3981 3396

c) 3760 3760 1331

112. a) 3240 3240 3746

b) 1072 1072 0217

c) 7150 7150 1942

115. a) (1000 – 4) ◊ 25 = 24 900 e) 16 016 f) 1 199 940 116. a) 32 + 72 ◊ 3 = 248

b) 25 100 g) 29 940

c) 12 499 000 h) 11 022

b) 16 + 21 ◊ 9 = 205

c) 700 – 350 = 350

d) 44 ◊ 9 – 44 ◊ 8 = 44

h) 100 ◊ 36 = 3600

117. a) 12 ◊ 48 = 576 f) 6867 g) 3644

118. a), b), c) 720; 7200; 72 000 d) 00 65 050 e) 605 000 6 505 000 065 000 0 650 500 650 000

f) 0 600 500 6 050 000 00 65 000

1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm 1 km = 100 000 cm; 1 m = 100 cm; 1 dm = 100 mm 6 km = 6000 m; 10 km = 10 000 m; 100 km = 100 000 m 602 km = 602 000 m; 105 km = 105 000 m; 150 km = 150 000 m

2 m = 20 dm = 200 cm = 2000 mm 12 m = 120 dm = 1200 cm = 12 000 mm 73 m = 730 dm = 7300 cm = 73 000 mm 81 m = 810 dm = 8100 cm = 81 000 mm 8 és fél m = 85 dm = 850 cm = 8500 mm c) 3 m = 3000 mm; 10 m = 10 000 mm; 15 m = 15 000 mm d) 15 m = 1500 cm; 105 m = 10 500 cm; 150 m = 15 000 cm

122. a) b) c) d) e) f)

d) 239 880 i) 37 499 625

15 m = 150 dm = 1500 cm = 15 000 mm 30 m = 300 dm = 3000 cm = 30 000 mm 105 m = 1050 dm = 10 500 cm = 105 000 mm 2 és fél m = 25 dm = 250 cm = 2500 mm 1 km = 10 000 dm = 100 000 cm = 1 000 000 mm 3 és fél km = 35 000 dm = 350 000 cm = 3 500 000 mm

TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA g) 35 km = 350 000 dm = 3 500 000 cm = 35 000 000 mm h) 305 km = 3 050 000 dm = 30 500 000 cm = 305 000 000 mm 123. a) 75 m = 7500 cm b) 800 dm = 80 000 mm c) 12 km = 120 000 dm d) 300 m = 30 000 cm e) 22 dm = 2200 mm f) 22 m = 2200 cm g) 107 km = 1 070 000 dm h) 1070 km = 1 070 000 m i) 17 km = 1 700 000 cm 124. a) 700 f) 7000 k) 7 000 000

b) 700 g) 70 000 l) 70 000 000

c) 7000 h) 70 000

d) 700 i) 700 000

e) 7000 j) 700 000

125. a) 6216 f) 72 582

b) 3025 g) 42 043

c) 16 032 h) 6003

d) 21 008 i) 67 117

e) 3476 j) 112 343

126. a) 123 f) 2024

e) 1076 j) 24 331

127. a) 70 550 f) 7777

b) 71 000 g) 2308

d) 3650 i) 18 717

128. a) 18 007 f) 40 516

c) 80 000 h) 70 076

129. a) 652 f) 701

b) 1043 g) 11 100

c) 1607 h) 32 500

6 m = 60 dm = 600 cm 30 dm = 3000 mm = 300 cm 250 m = 2500 dm = 25 000 cm 4300 dm = 430 m = 43 000 cm

131. 4 cm; 39 mm 3 cm; 25 mm 3 cm; 32 mm

2 cm; 19 mm 4 cm; 39 mm 5 cm; 45 mm

mérés 19 cm 191 mm 15 cm 147 mm 12 cm 124 mm 9 cm 87 mm

becslés 20 cm 15 cm 12 cm 8 cm

12 m = 1200 cm = 120 dm 750 cm = 7500 mm = 75 dm 20 m = 2000 cm = 200 dm 3400 cm = 340 dm = 34 000 mm

6 cm; 58 mm 7 cm; 65 mm 8 cm; 83 mm

3 cm; 25 mm 9 cm; 90 mm 10 cm; 96 mm

5 cm; 51 mm 8 cm; 77 mm

133. A legkisebb kerületû az a) síkidom. a) 94 mm b) 105 mm c) 100 mm Kb – Ka = 11 mm ª 1 cm

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 134. a) km

136. 11 dm és 6 dm vagy 13 dm és 5 dm. 137. Mérési lehetôség például:

az átmérô leolvasható 138. a) 60; 60; 24 d) 7200; 9000; 28 800 139. a) b) c) d)

4 óra = 240 perc; 4 perc = 240 mp; 4 nap = 96 óra 3 óra = 180 perc; 3 és fél óra = 210 perc; 7 óra = 420 perc 7 perc = 420 mp; 10 perc = 600 mp; 70 perc = 4200 mp 5 óra = 18 000 mp; 5 és fél óra = 19 800 mp; 6 óra = 21 600 mp

140. a) 60; 3600 24; 1440 7; 168

b) 540; 32 400 600; 36 000 1140; 68 400

141. a) 5400; 324 000 6000; 360 000 11 400; 684 000

b) 120; 7200 1200; 72 000 3720; 223 200

142. a) 4200; 252 000 6000; 360 000 10 200; 612 000

b) 600; 36 000 3000; 180 000 3600; 216 000

143. a) 33 350 g) 125

c) 2860 i) 60 000

144. Hatféle sorrendben. 25 ◊ 40 ◊ 20 = 1000 ◊ 20 = 20 000 145. Kétjegyû: 4 ◊ 3 = 12 Háromjegyû: 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24 Négyjegyû: 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 146. 2 ◊ 3 ◊ 4 = 24 úton juthatunk el A-ból D-be. 30 rajz készíthetô ily módon, mert Pl.:

TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA 24 = 1 ◊ 1 ◊ 24 3 féle 24 = 1 ◊ 2 ◊ 12 6 féle 24 = 1 ◊ 3 ◊ 80 6 féle 24 = 1 ◊ 4 ◊ 60 6 féle 24 = 2 ◊ 2 ◊ 60 3 féle 24 = 2 ◊ 3 ◊ 40 6 féle 147. a) 432 ◊ 304 = 131 328

192 0 ◊ 25 + 192 1 ◊ 25 + 167 2 ◊ 25 + 142 3 ◊ 25 + 117 4 ◊ 25 + 92 5 ◊ 25 + 67 6 ◊ 25 + 42 7 ◊ 25 + 17

b) 597 ◊ 314 = 187 458

192 7 ◊ 25 + 17 4 ◊ 46 + 8 2 ◊ 73 + 46 2 ◊ 89 + 14

245 6 ◊ 37 + 23 4 ◊ 51 + 41 2 ◊ 82 + 81 5 ◊ 49 + 0

531 6 ◊ 83 + 33 7 ◊ 72 + 27 9 ◊ 58 + 9 8 ◊ 65 + 11

Olyan megoldásokat célszerû keresni, amelyekben a hozzáadandó kisebb a megadott szorzónál. 149. 32 m ◊ 21 m – 15 m ◊ 14 m = 462 m2 a beépítetlen terület. 150. 72 ◊ 60 ◊ 24 ◊ 365 = 37 843 200-at ver a szív 1 év alatt. 151. 9 kg ◊ 28 = 252 kg zabot rendel. 152. Pl.: Hány km-t tettek meg összesen? 15 km ◊ (4 + 6 + 5) = 225 km 153. 4 ◊ 12 ◊ 12 = 576 szótagos az elsô rész. 432; 576; 672; 768; 1200; 672; 384; 144; 384; 480; 1200; 1008; 1104; 336; 384; 1248; 528; 1008; 1056; 1008; 480; 528; 228; 480; 336; 528. A teljes vers 17 808 szótagos. (12 + 9 + 12 + 14 + 16 + 25 + 14 + 8 + 3 + 8 + 10 + 25 + 21 + 23 + 7 + 8 + 26 + 11 + + 21 + 22 + 21 + 10 + 11 + 6 + 10 + 7 + 11) ◊ 48 = 371 ◊ 48 = 17 808 154. 1 doboz cigaretta ára ◊ 3 ◊ a hetek számával. 155. 600 cm2 ◊ 256 = 153 600 cm2 = 1536 dm2 156. 325 Ft ◊ 600 = 195 000 Ft

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 157. 5755 l ◊ 12 ◊ 258 = 17 817 480 l ª 178 175 hl 158.

478 m ¸ 1 óra alatt 7648 m Ô 16 óra alatt (2 mûszakban) az automata gépsor termelése. 38 240 m ˝ 80 óra alatt (5 munkanapon) Ô 1 988 480 m ˛ 52 hét alatt (egy év alatt)

a b c a◊b◊c (a ◊ c ) ◊ b (b ◊ a) ◊ c (a ◊ b) ◊ c ( a ◊ c ) ◊ (b ◊ c ) (a + b) ◊ c a◊c + b◊c (a – b) ◊ c

5 4 9 180 180 180 180 1620 81 81 9

25 5 4 500 500 500 500 2000 120 120 80

15 5 7 525 525 525 525 3675 140 140 70

20 10 300 60 000 60 000 60 000 60 000 18 000 000 9000 9000 3000

8 0 125 0 0 0 0 0 1000 1000 1000

161. a) ª ◊ « = 72 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72 72 36 24 18 12 9 8 6 4 3 2 1

TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA 162. (552 km + 402 km) ◊ 7 = 6678 km 163. 779 452 ◊ 3 = 2 338 356 Közelítôen 2 millió ember lakik Ankarában. 164. (13 994 – 1992) ◊ 46 = 549 792 165. (3712 + 1287) ◊ (3712 – 1287) = 12 122 575 166. 16 m2 ◊ 8 ◊ 3 = 384 m2

Természetes számok osztása 167. a) 005 b) 009 c) 050 090 500 900 Ha változatlan osztó mellett, tízszseresére növekszik. Ha az hányados változatlan marad.

006 d) 9 060 9 600 9 az osztandót tízszeresére növeljük, a hányados is osztandó és az osztó ugyanannyiszorosára változik, a

168. a) 008 080 800

170. a) 036 b) 062 c) 078 d) 38 009 031 156 38 072 124 390 38 235 204 468 – (47,5) Ha az osztandót valahányszorosára növeljük (csökkentjük), a hányados ugyanannyiszorosára nô (csökken) – változatlan osztó mellett. Ha az osztandó és az osztó ugyanannyiszorosára nô (csökken), a hányados nem változik. 171. a) 40 b) 36 c) 074 d) 56 20 18 074 56 09 074 56 10 05 03 222 – ( 62 ,2 ) Ha változatlan osztandó esetén az osztó valahányszorosára nô (csökken), akkor a hányados ugyanannyiad részére csökken (nô). 172. a) 36 12 36

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 173.

2262 : 29 = 78 a) 1131 : 29 = 39 d) 6786 : 29 = 234

4056 : 78 = 52 a) 4056 : 39 = 104 d) 4056 : 156 = 26

b) 04056 : 13 = 312

c) 4056 : 26 = 156

175. becslés: 20 000 Ell.: 18855 ◊3 56565

a) 00 406 0 3841 18 855 50 480 176. a) b) c) d)

b) 00 105 00 905 0 2450 40 730

c) 679 257 501 027

3248 : 8; 15 364 : 4; 353 360 : 7; 93 100 : 38; 2 362 340 : 58 353 360 : 7 = 50 480; 353 360 : 28 = 12 620 353 360 : 7 = 50 480; 176 680 : 14 = 12 620 93 100 : 38 = 2450; 3724 : 38 = 98; 93 100 : 950 = 98; 18 620 : 190 = 98 osztandó változása kétszeresére háromszorosára osztó változása harmadára felére

pl.: 3248 : 8 = 406; 9744 : 4 = 2436; 177. a) 0210 0630 1050

2205 : 21 = 105; 4410 : 7 = 630 c) 133 266 532

178. a) 360 : 5 = 72 720 : 10 = 72 d) 140 : 20 = 7 70 : 10 = 7

b) 480 : 40 = 12 120 : 10 = 12 e) 515 : 5 = 103 1030 : 10 = 103

179. a) 1700; 710; 71

180. a) 5620; 5620; 5620

b) 56 000; 5600; 560

181. a) 270; 27; 2700

182. a) 10 mm = 1 cm c) 10 cm = 1 dm e) 10 dm = 1 m

b) 1000 m = 1 km d) 100 mm = 10 cm = 1 dm f) 1000 mm = 100 cm = 10 dm = 1 m

c) 690 : 30 = 23 230 : 10 = 23 f) 304 : 2 = 152 1520 : 10 = 152

TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTÁSA e) 35

184. a) 1030 mm = 103 cm = 10 dm 3 cm = 1 m 0 dm 3 cm b) 125 050 cm = 1250 m 50 cm = 1 km 250 m 5 dm 185. a) 900; 90; 9

186. a) 4000 = 4 ◊ 103; 4

b) 200 000 = 2 ◊ 105; 20 000 = 2 ◊ 104; 20

c) 80 000 = 8 ◊ 104; 80 = 8 ◊ 10 187. a) 35; 70; 5; 140; 175 b) 700 cm = 7 m; 500 mm = 50 cm; 14 000 mm = 1400 cm = 14 m; 17 500 mm = 1750 cm 188. a) 1 g) 25

189. a) 6 c) 150 óra = 6 nap 6 óra

b) 80 óra = 3 nap 8 óra d) 336 óra = 14 nap = 2 hét

190. a) 84 nap = 12 hét c) 182 nap = 26 hét (= fél év)

b) 91 nap = 13 hét (= 1 negyed év) d) 4368 óra = 182 nap = 26 hét

191. a) 7 h b) 84 h = 3 és fél nap d) 168 h = 7 nap

192. a) 60 min = 1 h

c) 30 min = fél h

193. a) 48 h = 2 nap c) 180 min = 3 h

b) 16 h = két harmad nap d) 5 h = 300 min

194. a) 60 h = 2 és fél nap c) 5 nap = 120 h

b) 180 h = 7 és fél nap d) 90 min = 1 és fél h

195. a) 135 g) 192

196. a) (75 ◊ 86) : 43 = 150 b) (3 ◊ 19) ◊ 36 : 12 = 171 c) (2500 : 25) ◊ 4 = 400; 2500 : (25 ◊ 4) = 25 d) (8 ◊ 165) : (15 ◊ 4) = 22; 8 ◊ (165 : 15) ◊ 4 = 352 e) (5370 : 537) ◊ 10 = 100; 5370 : (537 ◊ 10) = 1 f) (1500 ◊ 60) : 30 = 3000; 1500 ◊ (60 : 30) = 3000 197.

becslés hányados maradék a) 10 10 20 10 9 81 8 8 40 130 133 19

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL b)

5 10 60 300 9 10 300 80 20 10 150 81

5 10 64 300 9 10 303 83 23 11 145 81

becslés hányados maradék a) 5000 5005 0 b) 1500 1615 175 c) 300 336 272 d) 4000 4246 134 e) 350 347 5444 f) 50 51 1514 g) 300 347 2016 h) 6 6 54 786 i) 400 436 2

199. 3698 200. 53 utas 201. 3600 kannát 202.

203. mert 1000 = 27 ◊ 37 + 1 204.

5 5 28 7 95 19 99 490 9 213 525 81

TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTÁSA 205. a) hányados: 6 maradék: 65; 59; 53; 47; …; 11 6-tal csökken hányados 16 12 9 8 7 6 5 4 b) maradék 11 11 41 11 1 11 41 91 A kerek tízessel való osztások miatt a maradék mindig 1-re végzôdik. hányados 138 13 1 c) maradék 16 280 1270 d)

hányados 68 6 0 68 0 maradék 6 78 618 60 6180

hányados 137 112 94 82 maradék 43 23 55 3

206. a) 30 – 15 + 33 + 6 = 54

b) (30 – 30) : 2 + (33 + 66) : 11 = 9

c) (20 540 – 603) ◊ 25 – 40 = 498 385

d) 20 540 – 15 075 – 40 = 5425

207. a) 104 192 – 111 = 104 081

b) 55 040 + 675 – 91 + 6795 = 62 419

c) 222 – 189 + 275 730 = 275 763

d) 160 638 : 1306 = 123

208. a) 1 600 731 : 4807 = 333 b) 157 464 : 648 = 243

c) 165 968 : 1012 = 164

210. a) 132 +3 0+3 = 3 0+7 0 +32 -2 0+3 > -3 003 > -3 0-7 -6

c) 0-7 -3 -11 > -30 0-2 > -7 0-9 > -13 -13 7 > +6 > 0 > -2 > -3 > -9 > -11 b) -(-9) = Ω-9Ω = 9 > +4 > 0 > -(+7) = -7 c) Ω-7Ω > 6 > Ω+5Ω = +5 > -(-3) > 0 > -(+3) > -16 252. a) b) c) d)

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 253. b) nô: +10 ∞C; +11 ∞C; +8 ∞C; +6 ∞C;

csökken: -2 ∞C; -3 ∞C; 0 ∞C; +2 ∞C

254. a) 5 ∞C-kal növekedni; 0 ∞C-kal növekedni vagy csökkenni; 2 ∞C-kal növekedni; 5 ∞C-kal csökkenni; 11 ∞C-kal növekedni; 1 ∞C-kal növekedni; 3 ∞C-kal csökkenni. b) -5 ∞C-ot; +2 ∞C-ot; +5 ∞C-ot; +20 ∞C-ot; 10 ∞C-ot 255. a) -5 ª

-6 -6 -6 -6 -6 -6 -6 -6 – 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 1 2

-7 -7 -7 . -6 -5 -4 nincs megoldás, mert -5 -3

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 263. a)

-8 (+2) + (-6) = (+4) + (-8) = (-2) + (-2) > (-2) + (-6) 285. a) -3 b) 0-1 c) +15 d) -12 -1 0-4 +10 0-8 +1 0-7 0+5 0-4 +3 -10 0+0 0+0 +5 -13 0-5 0+4 +7 -16 -10 0+8 Ha az összeg egyik tagja állandó, a másik tagját valymennyivel csökkentjük (növeljük), az összeg ugyanannyival csökken (növekszik).

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 286. a)

-4 b) +2 c) +4 d) +43 0 +2 +4 +43 +4 +2 +4 +43 +8 +2 +4 +43 +12 +2 +4 +43 +16 +2 +4 +43 Ha az összeg mindkét tagját változtatjuk, akkor az összeg a tagok változásának összegével változik. Ha az egyik tagot ugyanannyival növelem (csökkentem), mint amennyivel a másikat csökkentem (növelem), akkor az összeg változatlan.

287. a) [(-4) + (+4)] + (+3) + (+2) = (+5) b) [(+12) + (-12)] + [(+20) + (-14) + (-6)] = 0 c) [(-7) + (-42) + (+49)] + (+10) + (+15) = (+25) 288. a) [(365 + 335) + (-405 – 295)] + 500 = 500 b) (-47 – 13 – 70) + 100 = -130 + 100 = -30 c) (826 – 26) + (72 – 32) = 800 + 40 = 840 d) 1 (Az ellentett párok összege 0.) 289. a) (-200 – 50 + 150) + (75 – 125) = -100 – 50 = -150 b) (1992 – 92 – 900) + 1000 = 2000 c) (-1 – 9 + 10) + (2 + 8 – 3 – 7) + (4 + 6 – 5) = 5 290. a) 9; 4; -1; -6; -11; -16; -21; -26; -31; -36 A tíz elem összege: -135 b) -27; -22; -17; -12; -7; -2; 3; 8; 13; 18 A tíz elem összege: -45 291. a) pl.: 2; -1; 1; 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8 -1; -1; 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3

összegük: 22 összegük: 10

b) pl.: -19; -13; -8; -4; -1; 1; 2; 2; 1; -1

c) pl.: -1; +1; +5; +13; +29; +61; +125; +253; +509; +1021 292. a) pl.: -512; -256; -128; . b) pl.: -5; -10; -20; . c) pl.: -17; -34; -51; .

Az elsô öt elem összege: -992

Az elsô öt elem összege: -155

Az elsô öt elem összege: -255

293. Mindkét esetben 680 Ft lesz a vagyonuk. 527 – (-153) = 527 + (+153) = 680 294. a) -4

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 296. a) -18

297. a) -9 b) +48 c) 0 d) +77 e) -62 f) -7 Elôjeles számok kivonását úgy is elvégezhetjük, hogy a változatlan kisebbítendôhöz hozzáadjuk a kivonandó ellentett párját. 298. a) (+17) + (-8) = +9

e) nincs megoldás . kivonandó ellentettjét.

f) (+854) + (-1001) = -147

299. a) (+18) + (+7) = +25

f) (+277) + (+111) = +388

g) (-397) – (-515) = (-397) + (+515) = +118 . a változatlan kisebbítendôhöz hozzáadjuk a kivonandó ellentettjét. 300. a) (+a) – (+b) = (+a) + (-b) (+a) – (-b) = (+a) + (+b)

c) (+a) – (-b) = (+a) + (+b) (-a) – (-b) = (-a) + (+b) 301. a) (-12) + (-15) = -27 c) (+4) – (-16) = (+4) + (+16) = +20

b) (-7) + (+2) = -5 d) (-14) – (+4) = (-14) + (-4) = -18

302. a) (-31) + (-13) = -44 b) (+15) + (+19) = (+15) + (+19) = +34 vagy (+15) – (+19) = (+15) + (-19) = -4 c) (+7) – (+7) = (+7) + (-7) = 0 vagy (-7) – (-7) = (-7) + (+7) = 0 303. a) x = 14 b) x -3 d) x = 17 e) x £ 5 f) x £ 3 304. a) y > -1

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL b) y > 4 c) y -3 f) y ¤ 2 305. a) x £ 5 b) x ¤ 5 c) bármely egész szám d) x = -7 e) x ¤ 7 f) x £ -6 306. a) (+5) + (-7) + (+4) = +2

c) (+5) – (-7) + (+4) = +16 307. a) 11 11

309. a) 0 310. a) -25 g) 0

d) (+5) + (-7) – (+4) = -6 c) 4 4

311. a) [-3 – (-3)] + (+2) = 2 b) [243 + (-200) – (+43)] + [(+28) – (+28)] = 0 c) [602 + (+398)] – (-826) + (-26) = 1000 + 800 = 1800 d) [-57 + (-3) + 60] + (+191) + (-91) = 100 312.Sorok, oszlopok, átlók öszege: a) 4 A kilenc szám összege: a) –

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA a)

b) 0; több megoldás

x + y = -5 u + z = 10 x+z =3 u+y =3 Nincs megoldás.

314. a) A'(5; -1) B'(7; -3) C'(5; -7) D'(3; -3)

d) A*(3; -3) B*(5; -5) C*(3; -9) D*(1; -5)

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL

315. a) A'(6; 2) B'(8; 0) C'(6; -4) D'(4; 0)

316. a) A'(-3; -2) B'(-1; -4) C'(-3; -8) D'(-5; -4)

d) A*(3; 1) B*(5; 3) C*(3; 7) D*(1; 3)

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

317. a) 6 -1 c) x = 0 x 0

354. y = -3x + 4 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 22 19 16 13 10 7 4 1 – 2 – 5 – 8 – 11 – 14 – 17

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL a) ha x = 0, akkor y = 4 b) ha x 0 c) ha x > 1, akkor y legfeljebb 0 (de nincs olyan egész szám, amelyre y = 0) d) ha -2 -625

c) (-1)6 = +1 d) -8 j) +1

d) (-25)3 = -15 625 e) +1 k) +1

b) (-7)2 > (-5)3 mert 49 > -125 e) 9 > -8 h) 64 > -64

c) 32 > 23 mert 9 > 8 f) 64 > -32 i) 10 000 = 10 000

367. a) 4 ◊ 81 = 324

368. a) -4 ◊ 4 ◊ 25 = -400

b) 4 ◊ (-10) ◊ 4 = -160

c) -27 ◊ 15 ◊ 16 = -6480

d) -4 ◊ 4 ◊ 25 = -400

e) -4 ◊ 9 ◊ 16 = -576

f) 32 ◊ 81 ◊ 1024 = 2 654 208

1 2 3 4 5 x – 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 x 2 + 2 27 18 11 6 3 2 3 6 11 18 27 x 2 – 5 20 11 4 – 1 – 4 – 5 – 4 – 1 4 11 20

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL

x – 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 ( x + 2 )2 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 ( x – 5)2 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1

A grafikon két egységgel negatív irányba eltolódott az x tengely mentén.

¥: A grafikon az x tengely mentén pozitív irányba öt egységgel eltolódott.

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA 370. a)

x x2 – x2 – ( – x )2

– 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 1 2 3 4 5 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 – 25 – 16 – 9 – 4 – 1 0 – 1 – 4 – 9 – 16 – 25 – 25 – 16 – 9 – 4 – 1 0 – 1 – 4 – 9 – 16 – 25

A grafikont az x tengelyre tengelyesen tükröztük. A második és harmadik grafikon egybeesik. b)

x x2 – 2 – x2 5 – x2

– 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 1 2 3 4 5 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 – 27 – 18 – 11 – 6 – 3 – 2 – 3 – 6 – 11 – 18 – 27 – 20 – 11 – 4 1 4 5 4 1 – 4 – 11 – 20

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL

A grafikon az x tengelyre való tükrözés után két egységgel eltolódott negatív irányba az y tengely mentén.

¥: A grafikon az x tengelyre való tükrözés után öt egységgel eltolódott az y tengely pozitív irányába.

x ( x – 3)2 (3 – x )2

– 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 1 2 3 4 5 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA

A grafikonok egybeesnek.

1 2 3 4 5 – 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 x 13 6 1 -2 -3 -2 1 6 13 22 x 2 – 3 22 3 – x 2 – 22 – 13 – 6 – 1 2 3 2 – 1 – 6 – 13 – 22

A pontpárok egymásnak – az x tengelyre való tükrözéssel nyert – tükörképei. e)

x – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 ( x – 5)2 121 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 ( 5 + x )2 1

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL

A grafikonok egymás tíz egységre eltolt képei az x tengely mentén. f)

x – ( x + 2 )2 ( x + 2 )2

– 5 – 4 – 3 – 2 -1 0 1 2 3 4 5 – 9 – 4 – 1 0 – 1 – 4 – 9 – 16 – 25 – 36 – 49 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

A grafikonok egymás x tengelyre tükrözött képei. 371. a) x = 0, vagy x-5=0Æx=5

b) x = 0, vagy x + 3 = 0 Æ x = -3

c) x = 0, vagy x-3=0Æx=3

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA 372. a) x1 = 0; x – 3 = 0 Æ x2 = 3; x + 3 = 0 Æ x3 = -3 b) x1 = 0; x – 2 = 0 Æ x2 = 2; x – 3 = 0 Æ x3 = 3; x + 4 = 0 Æ x4 = -4 c) x + 2 = 0 Æ x1 = -2; 3x = 0 Æ x2 = 0; x3 = 3; x4 = -7 d) x1 = 0; x2 = 1; x3 = -2; x4 = 3 373.

6 – 15 0 5 – 15 1 4 12 x 3 13 – 12 – 24 – 5 – 10 9 y x ◊ y 45 – 45 13 – 72 – 96 75 17 – 120

pl.: x 105 0 2 – 16 – 4 0 -6 – 12 y 75 – 4 12 – 52 + 6 – 19 – 12 -2 x ◊ y – 210 150 64 – 48 0 144 0 – 36

375. (-18) : (-6) = (+18) : (+6) = (-42) : (-14) = +3 (-18) : (+6) = (+18) : (-6) = (-42) : (+14) = -3 376. a)

100 ◊ – 20 – 32 -4 400 640 – 2000 80 – 20 1000 1600 – 5000 200 – 50 0 0 0 0 0 80 – 2 és fél 50 – 250 10 4 9 ◊ -7 – 12 300 – 25 – 225 – 100 175 144 84 – 12 – 108 – 48 125 1125 500 – 875 – 1500 42 72 – 6 – 54 – 24

(+16) : (+2) = (+8) (+84) : (+7) = (+12) (-65) : (+13) = (-5) (-84) : (+21) = (-4) b) -330

379. a) pl.: (+45) : (+3) = (+15) (-45) : (-3) = (+15) 380. a) 0+2 0+4 0+8

(+16) : (+8) = (+2) (+84) : (+12) = (+7) (-65) : (-5) = (+13) (-84) : (-4) = (+21) d) +72

b) pl.: (-63) : (+7) = (-9) (+63) : (-7) = (-9)

(+12) ◊ (+2)0 = +24 0(+6) ◊ (+4)0 = +24 0(+3) ◊ (+8)0 = +24

c) pl.: 0 : (+8) = 0 0 : (-9) = 0 (+12) ◊ (-2)0 = -24 0(+6) ◊ (-4)0 = -24 0(+3) ◊ (-8)0 = -24

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL +24 0(+1) ◊ (+24) = +24 -24 0(+1) ◊ (-24) = -24 -24 0(-1) ◊ (-24) = +24 +24 0(-1) ◊ (+24) = -24 0-6 0(-4) ◊ (-6)0 = +24 0+6 0(-4) ◊ (+6)0 = -24 0-3 0(-8) ◊ (-3)0 = +24 0+3 0(-8) ◊ (+3)0 = -24 Pl.: Soronként az eredmények egymás ellentettjei. Két egyezô elôjelû egész szám hányadosa pozitív. Két különbözô elôjelû egész szám hányadosa negatív. 381. a) (-21)-szerese e) (+3)-szorosa i) (+210)-szerese

g) (+1)-szerese f) (-3)-szorosa j) nem értelmezhetô

d) (+10)-szerese h) (-1)-szerese

382. a) (-48) : x = -8 b) (-48) : x = +6 x = (-48) : (-8) x = -8 x = +6 ell.: (-48) : (+6) = -8

c) (+48) : x = -8 x = -6

d) (+48) : x = -6 x = -8

383. a) y : (-9) = +4 b) y : (-9) = -6 y = (-9) ◊ (+4) y = +54 y = (-36) ell.: (-36) : (-9) = +4

c) y : (+9) = +4 y = +36

d) y : (-9) = -4 y = +36

384. a) (-72) : (-36) = a a = +2 c) (+72) : (+36) = c c = +2 385.

b) (-72) : (-24) = b b = +3 d) (+72) : (+24) = d d = +3

pl.: x 216 – 216 216 – 216 216 – 216 216 216 4 – 36 – 27 – 6 6 54 8 -9 y 6 -8 36 36 -4 27 – 24 x : y 54

6 18 – 12 : -8 72 12 4 – 6 -9 0 0 0 0 0 180 – 22 és fél 30 10 – 15 pl.: 144 24 8 – 12 – 18

– 3 – 4 18 : 9 216 24 – 72 – 54 12 – 36 – 4 12 +9 -2 18 – 4 * – 72 – 8 24 36 2 4 – 12 – 9

pl.: * A 3. sorból indítsunk! 387. a) (a – 3) : (-4) = 0, ha a = +3

b) (a – 3) : (-4) > 0, ha a +3

d) (a – 3) : (-4) £ 0, ha a ¤ +3

e) (a – 3) : (-4) ¤ 0, ha a £ +3 388. x ◊ (-5) = y

x 12 – 6 0 21 5 – 30 0 – 60 y – 60 30 0 – 105 – 25 150 0 300

x – 48 96 – 28 60 0 – 96 0 – 120 y – 12 24 – 7 15 0 – 24 0 – 30

x – 322 276 529 23 – 529 0 0 – 483 14 – 12 – 23 – 1 23 0 0 21 y

391. a) (-4) : (x – 3) > 0, ha x – 3 0 értelmetlen, ha x – 3 = 0, azaz x = 3 392. a) (x – 3) : (x – 6) 0 és x – 6 0, azaz x > 6, illetve x – 3 £ 0 és x – 6 -5

397. Ellenôrzés a) (-125) ◊ (-32) = 4000 c) (-664) ◊ (+3) = -1992

c) -12 -16 b) x > 64 vagy x -16

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL c) x = +7

d) x £ -14 pl. x = -20 e) x = -16

(-16 + 6) ◊ (-4) = (-10) ◊ (-4) = 40

f) x > 16 pl. x = 20 (20 – 6) ◊ (-4) = 14 ◊ (-4) = -56 0, ha -36 £ x 0, ha x > 0 y +5 Á x -25

426. a) (-3)3 = -27 b) -5 f) (-5)2 = 25 427. a) 1 = 1

A kisebb szám: 9, a nagyobb: 11. Ell.: 3 ◊ 9 – 4 = 23 > 2 ◊ 11 = 22 1-gyel

439. A számok: 3; 5. 440. a) (112 – 32) : 10 > (-2) ◊ x b) -4

-4 0; 2x 4 ◊ ( x + 2) 5-tel

5 ◊ ( x – 2) – 5 = 4 ◊ ( x + 2)

x = 23 nem páros. Nincs megoldása a feladatnak páros számokra. 450. A három szám: 19; 21; 23. Nem párosak. 451. A három szám: 10; 12; 14. Nem páratlanok. 452. A három szám:6; 8; 10. Nem páratlanok. 453. A három páros szám: 10; 12; 14. 454. A három páratlan szám: 3; 5; 7.

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL Törtek összehasonlítása. Bôvítés, egyszerûsítés 455. a) c) e) g) i)

8 megoldás: 0; 1; 2; . ; 7 16 megoldás: 0; 1; 2; . ; 15 4 megoldás: 0; 1; 2; 3 végtelen sok: 4; 5; . végtelen sok: 22; 23; .

3 megoldás: 0; 1; 2 21 megoldás: 0; 1; 2; . ; 20 végtelen sok: 9; 10; . végtelen sok: 17; 18; . végtelen sok: 5; 6; .

végtelen sok: 8; 9; . végtelen sok: 21; 22; . végtelen sok: 33; 34; . 10 megoldás: 10; 9; . ; 1 15 megoldás: 15; 14; . ; 1

végtelen sok: 12; 13; . végtelen sok: 17; 18; . 6 megoldás: 6; 5; 4; 3; 2; 1 19 megoldás: 19; 18; . ; 1 31 megoldás: 31; 30; . ; 1

1 2 3 4 5 10 = = = = = = . 2 4 6 8 10 20 1 2 4 8 10 40 = = = = = = . pl.: l) 25 50 100 200 250 1000 Ugyanazzal a pozitív egész számmal szorozzuk a számlálót és a nevezôt.

7 14 28 35 70 210 = = = = = = . 6 12 24 30 60 180

463. A törteket bôvítjük, ha a tört számlálóját és nevezôjét ugyanazzal az egész számmal (nem nullával) szorozzuk. a) 20 b) 36 c) 12 d) 33 e) 6 f) 15

TÖRTEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. BÔVÍTÉS, EGYSZERÛSÍTÉS g) 18 m) 27 s) 4 464. a) g) m) s)

d) 300 j) 192 p) 396

e) 84 k) 264 q) 231

f) 45 l) 315 r) 308

465. a) 24 g) 96 m) 182

b) 144 h) 715 n) 169

c) 180 i) 240 o) 225 66 99 = = . t) pl.: 56 84

466. A páratlan számlálót 4 többszöröseivel szorozva, a páros számlálót 2 többszöröseivel szorozva végtelen sok megoldást találunk. 12 12 4 12 4 12 4 20 44 28 ; ; ; ; ; ; ; ; b) pl.: a) 28 28 8 24 10 30 18 30 128 34 467. a)

6 10 3 9 8 2 14 16 20 22 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

1 1 1 2 3 5 7 4 5 11 > > > > > > > > c) 6 9 6 9 3 9 9 3 9 6

1 1 1 1 2 ; ; ; ; 2 3 3 4 5

3 3 2 3 2 ; ; ; ; 7 4 3 5 3

4 2 2 3 5 ; ; ; ; 5 3 5 8 8

3 2 6 3 11 ; ; ; ; 7 3 7 5 5

2 2 1 1 14 91 13 11 21 11 7 ; ; ; ; = ; ; ; ; b) 3 3 4 4 15 133 19 15 23 21 30 A számláló és a nevezô relatív prímek.

1 2 4 5 10 20 20 10 5 4 2 1

1 2 4 8 16 32 64 64 32 16 8 4 2 1

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 1 5 10 20 25 50 100 100 20 10 5 4 2 1

5 10 20 70 140 28 14 7 2 1

1 5 10 15 25 30 50 150 30 15 10 6 5 3

1 2 3 4 6 12 36 60 180 90 60 45 30 15 5 3

4 2 > 3 3 6 3 7 = g) 8 4 8 18 6 19 = 4 5 17 1 21 = = f) 34 2 42 8 24 24 = 7 9 12 13 > > >- >- >3 8 3 4 3 3 2

5 8 5 1 1 2 3 > > > >- >- >3 6 6 3 3 3 2

5 3 2 1 6 5 4 > > > >- >- >6 4 3 2 8 4 2

6 12 3 = = 14 28 7

5 8 3 6 12 5 3 > > = = >- >7 14 7 14 28 14 7

3 3 7 5 9 > > >2 3 8 5 3

9 3 5 4 9 > >- >3 5 2 3 2

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 478. a) –

9 5 3 4 5 > > > >2 4 5 10 2

9 5 5 3 4 > > >- >4 3 6 4 3

3 15 2 14 = > = 7 35 5 35

Törtek összeadása, kivonása 2 3 2 1 = f) 6 3

481. Az összeg számlálója a számlálók összege lesz, az összeg nevezôje megegyezik a tagok nevezôjével. 7 12 1 18 4 10 6 1 =1 =1 =1 =2 =1 b) c) d) e) a) 2 5 2 7 8 10 5 4 16 1 =1 f) 12 3 482. Különbözô nevezôjû törteket az összeadás elôtt azonos nevezôjûvé alakítjuk (egyszerûsítéssel vagy bôvítéssel), majd az egyenlô nevezôjû törtekkel elvégezzük az összeadást. 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 + = + = = + = b) c) a) 4 4 4 6 6 6 2 8 8 8 1 3 4 2 5 9 14 7 1 7 15 22 1 + = = + = = =1 + = =1 d) e) f) 6 6 6 3 12 12 12 6 6 20 20 20 10

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 4 3 7 2 + = =1 5 5 5 5 15 4 19 + = j) 20 20 20

20 + 9 29 = 48 48 8 + 15 23 = d) 50 50 21 + 20 41 = g) 96 96

3 55 58 7 + = =2 22 22 22 11 9 10 19 7 + = =1 k) 12 12 12 12

12 + 10 22 = 45 45 28 + 15 43 = e) 48 48 12 + 10 22 = h) 45 45

484. Az összeadásban a tagok felcserélhetôk. 3 6 1 =1 =1 b) a) 3 5 5 11 9 20 2 3 + 20 23 + = =1 = d) e) 12 12 12 3 35 35 210 + 288 498 23 39 + 34 73 = =1 = g) h) 360 360 60 84 84 485. a) d) g) j) m) p)

7 15 1 =1 b) 8 10 2 17 1 10 1 =1 =1 e) 16 16 9 9 10 2 48 2 =1 =2 h) 6 3 20 5 9 1 16 1 =1 =1 k) 2 15 6 15 16 1 35 9 254 1 =1 + = = 18 n) 3 7 12 2 14 14 1 2 60 + 120 180 + = 1 vagy = =1 3 3 180 180

16 1 =1 15 15 17 3 =1 d) 14 14 10 2 = g) 15 3 21 1 =1 j) 18 6

11 15 27 7 =1 e) 20 20 3 1 = h) 6 2 36 6 = k) 42 7

12 10 22 7 + = =1 15 15 15 15 7 50 57 + = l) 70 70 70

9 + 8 17 = 60 60 27 + 20 47 = f) 72 72

4 5 9 1 + = =1 6 6 6 2 21 + 44 65 = f) 144 144

14 2 = 21 3 13 1 =1 12 12 21 1 =1 14 2 15 1 =1 4 12 2 2 14 + 2 16 + = = 5 35 35 35

17 5 =1 12 12 7 1 = f) 14 2 4 3 25 1 + = =2 i) 3 4 12 12 10 2 = l) 15 3

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 487. a)

11 5 5 7 6 12 − 7 5

15 8 7 8 4 6 7 6

489. Az összeadásban a tagok csoportosíthatók. 7 2 9 4 12 8 20 + = =1 b) + = =2 a) 5 5 5 5 10 10 10 4 3 17 20 4 +1 =1 + = =2 5 10 10 10 5 11 7 29 55 11 253 13 d) + = =1 e) + = 8 16 16 96 36 288 16 5 19 29 7 169 253 13 + = =1 + = 8 16 16 24 288 288 16 g)

14 20 34 17 + = = 48 48 48 24 5 29 34 17 + = = 48 48 48 24

7 2 37 13 + = =1 8 3 24 24 18 19 37 13 + = =1 24 24 24 24 31 13 119 f) + = 40 60 120 18 101 119 + = 120 120 120

1 Ê 2 5 ˆ 1 19 2 21 h) Á + ˜ + = + = =3 Ë 3 2¯ 3 6 6 6 2 2 Ê 5 1ˆ 2 1 1 1 +Á + ˜ = +2 + =3 3 Ë 2 3¯ 3 2 3 2

Ê 385 513 ˆ 13 898 13 1796 + 1365 3161 i) Á + = + = = ˜+ Ë 945 945 ¯ 18 945 18 1890 1890 11 Ê 342 455 ˆ 11 797 770 + 2391 3161 1271 +Á + + = = =1 ˜= 27 Ë 630 630 ¯ 27 630 1890 1890 1890

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 6 1 =1 4 2 23 8 k) =1 15 15

10 =2 5 18 1 l) =1 12 2

Ê 2 1ˆ Ê 1 491. a) Á + ˜ + Á + Ë 3 3¯ Ë 5

Ê 4 1ˆ Ê 2 c) Á + ˜ + Á + Ë 6 3 ¯ Ë 10

9 10 18 1 m) =1 12 2

11 5 =1 6 6 14 2 n) =1 10 5

12 =2 6 16 3 o) =1 10 5

Ê 4 5ˆ Ê 1 6 ˆ b) Á + ˜ + Á + ˜ = 2 Ë 9 9¯ Ë 7 7¯

8 8 Ê 3 4ˆ Ê 1 4ˆ l) Á + ˜ + Á + ˜ = 1 + 1 = 2 Ë 7 5¯ Ë 5 5¯ 35 35 3 Ê 13 3 ˆ Ê 12 23 ˆ 34 492. a) Á + ˜ + Á + ˜ = +1 = 2 Ë 28 4 ¯ Ë 35 35 ¯ 28 14 1 Ê 9 10 13 ˆ 1 b) Á + + ˜+ =2 Ë 16 16 16 ¯ 4 4 2 2 14 + 6 20 Ê 2 13 ˆ c) Á + ˜ + 2 + = 3 + =3 Ë 15 15 ¯ 3 7 21 21 4 ˆ Ê 7 15 ˆ 1 22 28 1 Ê 3 d) Á + ˜ + Á + ˜ = + = =2 Ë 14 14 ¯ Ë 12 12 ¯ 2 12 12 3 6 ˆ 34 17 Ê 7 27 ˆ Ê 4 e) Á + ˜ + Á + ˜ = +1 = 1 Ë 48 48 ¯ Ë 10 10 ¯ 48 24

21 1 Ê 7 11 ˆ Ê 3 18 ˆ f) Á + ˜ + Á =1 + ˜ = 1+ Ë 18 18 ¯ Ë 42 42 ¯ 2 42 3 Ê 5 21 ˆ Ê 13 4 ˆ 13 1 20 g) Á + ˜ + Á + ˜ = + = =1 Ë 28 28 ¯ Ë 34 34 ¯ 14 2 14 7 1 Ê 2 3 1 ˆ 1 4 + 15 + 1 1 20 1 h) Á + + ˜ + = + = + =2 Ë 5 2 10 ¯ 5 10 5 10 5 5 Ê 19 17 ˆ Ê 1 13 ˆ i) Á + ˜ + Á + ˜ = 2 Ë 36 36 ¯ Ë 14 14 ¯ 63 ˆ 24 102 168 + 102 270 4 Ê 8 16 ˆ Ê 39 j) Á + ˜ + Á + + = = =2 ˜= Ë 15 15 ¯ Ë 105 105 ¯ 15 105 105 105 7 2 Ê 106 13 25 ˆ 2 144 2 k) Á + + ˜+ = + =4 Ë 36 36 36 ¯ 9 36 9 9

2 3 15 2 2 12 + 15 + 8 2 5 8 + 75 83 23 + + + = + = + = = =1 15 7 28 7 15 28 15 4 60 60 60

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL Ê 1 1ˆ Ê 1 3ˆ 493. a) (1 + 2) + Á + ˜ + Á + ˜ = 5 Ë 2 2¯ Ë 4 4¯ 2ˆ 1 1 1 Ê 1 b) Á 3 + 1 ˜ + 2 = 5 + 2 = 7 Ë 3 ¯ 3 2 2 2 1ˆ Ê 3 3ˆ 1 1 Ê 4 c) Á1 + 1 ˜ + Á 2 + 1 ˜ = 3 + 4 = 7 Ë 5 5¯ Ë 4 4¯ 2 2

1 2 3 1+ 2 + 3 + 2 + 7 = 19 + = 20 6 6 6 6

3 3 2ˆ Ê 2 3ˆ Ê 1 494. a) Á1 + 3 ˜ + Á 2 + 1 ˜ = 4 + 4 = 8 Ë 4 4 4¯ Ë 5 5¯ 4

4 6 7 8 9 11 ; 1; ; ; ; ; 2; 5 5 5 5 5 5

3 5 9 11 13 15 17 ; ; 1; ; ; ; ; 7 7 7 7 7 7 7

1 5 7 11 13 ; 1; ; ; 3; ; ; 5 3 3 3 3 3

2 5 8 11 14 17 20 23 ; ; ; ; ; ; ; 9 9 9 9 9 9 9 9

2 5 8 11 14 17 20 23 ; ; ; ; ; ; ; 10 10 10 10 10 10 10 10

11 15 23 27 31 35 39 ; ; 1; ; ; ; ; 19 19 19 19 19 19 19

1 1 4 3 1 2 7 ; ; ; 1 ; 1 ; 1 ; 2; 2 10 5 2 5 10 5 10

1 2 3 4 5 6 8 9 10 ; ; ; ; ; ; 1; ; ; 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

1 3 7 11 3 19 23 27 31 35 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 10 10 10 10 2 10 10 10 10 10

1 2 5 14 20 35 44 d) – ; 0; ; ; 3; ; ; 9; ; 3 3 3 3 3 3 3

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 497. a)

3 1 = 9 3 2 1 f) = 4 2

2 15 1 f) 6 7 k) 15

2 1 = 4 2 7 f) x = 24

2 1 = 8 4 6 g) =2 3

1 8 1 g) 2 19 l) 36

5 1 = 10 2 2 h) 15

15 3 = 10 4 5 i) 14

1 6 11 1 j) =1 10 10

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 501. a)

7 1 7 5 12 + = + = = 15 3 15 15 15 14 e) f) 45 1 j) k) 36

31 10 =1 21 21 13 g) 75 11 l) 24

17 40 17 5 h) =1 12 12

502. A különbség nem változik, ha a kisebbítendô és a kivonandó ugyanannyival változik. 1 1 1 1 1 b) c) d) e) 1 a) 10 2 2 4 3 5 1 13 f) g) h) 8 6 32 503. Amennyivel változik a kisebbítendô, ugyanannyival változik a különbség (változatlan kivonandó esetén). 271 275 7 3 11 16 5 1 7 b) c) d) ;; ; = ; a) 240 240 40 40 15 15 20 4 20 504. a)

3 3 3 3 Ê 3 3 ˆ Ê 12 3 ˆ 9 9 + – – =Á – ˜ +Á – ˜ = 0+ = 8 4 16 8 Ë 8 8 ¯ Ë 16 16 ¯ 16 16

1 1 5 – =9 4 36 g) 2 – 1 = 1

1 1 +1 =1 2 2 h) 0

h) 1 31 1 =1 30 30 1 h) 14

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 1 36 29 e) – 2 56

37 7 = -1 30 30 14 f) 15

451 91 = -3 120 120

Tört szorzása természetes számmal 5 20 10 1 ◊4 = = =3 6 6 3 3 1 e) 8 f) 2 2 1 1 k) 4 l) 10 2 2

77 1 d) 14 =5 14 2 2 1 i) 10 j) 6 3 8 2 o) 2 p) 8 3

3 2 10 10 5 5 5 b) ; ; c) 2; 1; 1 d) ; 3; 3 ; ; 2 3 3 3 2 2 2 Ha az egyik tényezô kétszeresére nô, a másik változatlan, akkor a szorzat kétszeresére nô. Ha az egyik tényezô felére csökken, a másik változatlan, a szorzat is felére csökken. Ha az egyik tényezô kétszeresére nô, a másik felére csökken, a szorzat változatlan.

4 2 4 4 ◊ 5 = ◊ 10 = ◊ 15 = ◊ 15 9 3 3 9

30 30 15 ; = 7 14 7

18 18 9 ; = 8 8 4

3 3 1 3 ◊3 = ◊ x = ◊9 = ◊6 x nem természetes szám 16 8 4 8 c) nevezô: 14; szorzó: 1; számláló: 12.

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 518. Minden változtatásra csak példát adunk: 3 15 6 30 3 15 3 30 10 5 5 30 3 b) ◊ 5 = ; ◊ 5 = ; ◊ 5 = ; ◊ 10 = ◊3 = ◊3 = ◊6 = =3 a) 4 4 4 4 2 2 4 4 8 4 8 8 4 14 7 7 42 1 10 5 5 30 c) d) ◊3 = ◊3 = ◊ 6 = =4 ◊3 = ◊3 = ◊ 6 = =5 10 5 10 10 5 6 3 6 6 14 28 7 70 1 18 9 9 126 1 e) f) ◊5 = ◊ 5 = ◊ 10 = = 23 ◊ 7 = ◊ 7 = ◊ 14 = = 31 3 6 3 3 3 4 2 4 4 2 10 5 5 110 3 1 g) h) 1 ◊ 6 = ◊12 = 6 ◊ 11 = ◊ 11 = ◊ 22 = = 13 8 4 8 8 4 2 519. Minden változtatásra csak példát adunk: 3 6 12 2 4 8 b) ◊4 = ◊2 = =2 ◊6 = ◊3 = 8 a) 5 5 5 5 3 3 4 8 24 4 5 5 20 2 d) e) ◊6 = ◊3 = =4 ◊8 = ◊ 4 = =2 5 5 5 5 18 9 9 9 6 12 36 2 1 2 14 3 g) ◊ 6 = ◊3 = = 2 h) ◊ 14 = ◊ 7 = =1 15 15 15 5 8 8 8 4 520. Minden változtatásra csak példát adunk: 3 1 5 1 b) ◊3 = 4 ◊3 = 7 a) 2 2 2 2 9 3 1 3 e) f) ◊3 = 6 ◊6 = 4 4 10 5 6 3 9 4 kisebb -del a = 1 -nél 5 5 5 5 15 6 21 c) kisebb -del a = 3 -nál 7 7 7 5 5 5 e) kisebb -dal az -nél 6 3 2 1 1 3 g) 1 kisebb -del a 2 -nél 2 4 4

2 2 4 8 2 vagy 2 + = 2 ◊2 = = 2 3 3 3 3 3 18 11 = 33 ◊ 9 = 33 vagy 27 + 3 3 10 2 62 2 vagy 20 + = 20 ◊ 5 = 20 15 3 15 3 12 1 23 1 =9 ◊ 4 = 9 vagy 8 + 10 5 10 5 4 1 31 1 ◊ 3 = 10 vagy 9 + = 10 3 3 9 3

8 1 ◊ 5 = 13 3 3 7 3 g) ◊1 = 1 4 4

5 10 ◊ 14 = ◊ 7 = 10 7 7 3 3 6 1 f) ◊ 4 = ◊ 2 = = 1 8 4 4 2

8 2 ◊4 = 6 5 5 5 2 h) ◊4 = 6 3 3

16 4 12 2 nagyobb -del a = 2 -nél 5 5 5 5 27 3 21 3 d) nagyobb -del a = -nél 14 7 14 2 4 8 4 f) kisebb -del a -nál 5 15 3 1 4 h) 6 nagyobb 1 -del a 4 -nél 5 5

12 ◊ 5 = 12 vagy 10 + 2 = 12 5 5 1 11 1 d) vagy 3 + = 5 ◊3 = 5 2 2 6 2 5 f) ◊ 8 = 10 vagy 8 + 2 = 10 4 3 1 61 1 = 15 h) vagy 15 + ◊ 3 = 15 12 4 12 4

TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 3 1 1 b) 8 c) 11 5 4 3 1 3 g) 3 h) 12 7 4 Könnyebb a tagonkénti szorzás!

14 14 2 8 2 10 2 Ê 24 10 ˆ vagy ◊ 5 – ◊ 5 = 8 =4 524. a) Á – ˜ ◊ 5 = ◊ 5 = =4 Ë 15 15 ¯ 15 3 3 5 3 3 3 1 2 1 h) 3 72

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 531. a) 500 g) 125

532. a) 20 cm = 200 mm d) 750 mm = 75 cm g) 625 mm = 6 533. a) c) e) g)

536. a) 3 537. a) 4

11 700 mp > 11 000 mp 3 hét = 3 nap 7 5 hét = 5 nap : 2 14

c) 25 cm = 250 mm 1 f) 375 mm = 37 cm 2

c) 15 min = 900 s f) 25 min = 1500 s

11 700 mp 185 perc

b) 40 min = 2400 s e) 5 min = 300 s h) 55 min = 3300 s

538. a) minden pár egyenlô 195 perc

b) 60 cm = 600 mm 1 e) 125 mm = 12 cm 2 3 h) 875 mm = 8 dm 4

12 óra = 720 perc = 43 200 mp 18 óra = 1080 perc = 64 800 mp 4 óra = 240 perc = 14 400 mp 3 óra = 180 perc = 10 800 mp

534. a) 30 min = 1800 s d) 45 min = 2700 s g) 2100 s = 35 min

b) 210 perc > 200 perc 200 perc = 200 perc 195 perc 12 óra 2 1 8 óra = nap 3 1 3 óra 15 perc 20 perc 5 óra = 25 perc 12 5 óra > 15 perc 12

TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

Tört osztása természetes számmal 3 8 2 g) 15 3 m) 10

4 15 3 h) 14 3 n) 16

7 40 3 i) 16 2 o) 15

1 8 4 j) 21 4 p) 25

540. Ha az osztót valahányszorosára növeljük (változatlan osztandó esetén), a hányados ugyanannyiad részére csökken. 2 4 1 6 3 12 3 1 2 2 2 1 b) c) ; ; d) ; ; ; ; ; ; a) 15 15 15 65 65 65 7 7 7 21 7 21 541. Ha az osztandót valahányszorosára változtatjuk és az osztót is ugyanannyiszorosára, akkor a hányados változatlan. 2 1 5 3 1 2 b) c) d) e) f) a) 5 12 21 8 12 5 3 35 g) h) 7 216 7 7 21 7 7 :5= ; :5 = :5 = 9 45 9 3 15 23 23 69 23 23 c) :2 = ; :2 = :2 = 8 16 24 48 24

8 2 24 8 2 :4 = ; :4 = :4 = 27 27 27 9 9 32 1 96 32 1 d) : 16 = ; : 16 = : 16 = 30 15 30 10 5

4 4 4 17 17 b) :7 = ; 4:7 = :2 = ; 5 35 7 15 30 32 32 16 32 32 16 17 17 c) d) :6 = = ; :6 = = :3 = ; 45 270 135 9 54 27 20 60

17 17 5 :2 = =2 3 6 6 17 17 5 :3 = =1 4 12 12

12 3 24 6 b) :4 = ; :4 = 13 13 13 13 15 3 30 15 6 c) :5= ; :5= :5= = 14 14 14 7 14 3 3 6 3 3 e) :4 = ; :4 = :4 = 14 56 14 7 28 8 8 16 16 g) :3 = ; :3 = 11 33 11 33

26 13 13 vagy :4 = 48 6 24 28 28 :5= 15 75 14 7 7 :4 = :4 = 24 12 48 22 11 11 :3 = :3 = 8 4 12

13 26 ; :4 = 48 12 14 14 :5= ; 15 75 7 7 f) :4 = ; 24 96 11 11 h) :3 = ; 8 24

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 545. Mindegyik esetben csak példát adunk a változtatásra: 2 1 3 1 1 1 b) c) :2 = :3 = :2 = a) 3 3 7 7 7 14 2 2 1 3 1 3 3 e) f) g) :4 = = :3 = :5 = 5 20 10 16 16 13 65 3 1 5 1 5 5 i) j) k) :3 = :5= :4 = 7 7 12 12 21 84 5 5 :3 = 3 9 3 3 e) :2 = 5 10

3 3 :2 = 5 10 7 7 f) :1 = 8 8

547. Mindegyik esetben csak példát adunk: 6 3 5 5 b) :8 = :9 = a) 5 20 2 18 6 3 2 2 e) f) :8 = :3 = 7 28 9 27 3 1 1 1 i) j) : 12 = :3 = 4 16 4 12

10 2 1 :5= = 12 12 6 7 7 h) :3 = 8 24 3 3 l) :4 = 8 32

60 20 :3 = 61 61 3 3 g) :4 = 4 16

5 5 :1 = 12 12 7 7 h) :3 = 5 15

4 1 :8 = 3 6 3 3 g) :4 = 7 28 1 1 k) :2 = 5 10

7 7 : 10 = 4 40 2 2 h) :5 = 5 25 5 5 l) :8 = 3 24

9 3 3 3 1 1 3 Ê 6 3ˆ 548. a) Á + ˜ : 3 = : 3 = vagy :3+ :3 = + = Ë 4 4¯ 4 4 2 4 2 4 4

TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 1 2 2 g) 18 3

Szorzás törttel (a törtrész kiszámítása) 553. a) 60

555. a) 5 min g) 48 min

b) 25 min h) 6 min

c) 35 min i) 30 min

d) 12 min j) 42 min

e) 24 min k) 54 min

f) 36 min l) 15 min

557. a) 15 g) 18 1 2 2 g) 6 3

559. a) 2 = 2 1 1 nagyobb 10 -del a 2-nél 2 2 66 1 e) =5 12 2 20 20 g) kisebb 5-tel a -nál 8 8 i) 15 = 15

2 4 4 nagyobb 2 -dal a – -nál 3 3 3

12 3 9 nagyobb -del a -nél 5 5 5 1 1 d) 3 kisebb 2 -dal az 5 -nál 3 3

f) 14 kisebb 2-vel a 16-nál h) 3 nagyobb 9-cel a -6-nál j) -2 kisebb 4-gyel a 2-nél l) 3

3 3 1 kisebb 3 -del a 7 -nél 4 4 2

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 26 78 1 3 39 1 ◊3 = = 19 egyenlô 26 ◊ = = 19 4 4 2 4 2 2 5 2 2 4 b) (32 : 6) ◊ 5 = 32 ◊ = 26 c) (12 : 5) ◊ 2 = 12 ◊ = 4 6 3 5 5 7 4 d) (24 : 10) ◊ 7 = 24 ◊ = 16 10 5

3 kg = 75 dkg 4 3 d) kg = 750 g 4 3 g) m = 6 dm 5 96 j) m = 96 cm 100

1 b) 3 kg = 350 dkg 2 3 e) kg = 75 dkg 4 1 5 h) m = 312 mm 2 16 21 k) m = 21 cm 100

1 óra = 15 perc 4 1 d) óra = 6 perc 10 3 g) hl = 30 l 10

3 óra = 18 perc 10 1 e) óra = 20 perc 3 7 h) hl = 28 l 25

6 l = 6 dl 10 36 2 d) m = 144 dm2 25 8 2 g) m = 32 dm2 25

1 l = 2 dl 5 6 2 e) m = 12 dm2 50 39 2 h) m = 1950 cm2 200

2 kg = 240 dkg 5 3 f) 2 kg = 260 dkg 5 57 i) m = 57 cm 100 7 l) m = 875 mm 8

1 óra = 10 perc 6 1 f) óra = 12 perc 5 9 i) hl = 45 l 20

3 l = 12 cl 25 1 21 2 f) m = 10 dm2 2 200 66 2 i) m = 66 dm2 100

2 Ê2 ˆ Ê3 ˆ 564. a) Á kg : 5˜ ◊ 3 = Á kg : 3˜ ◊ 2 = kg Ë3 ¯ Ë5 ¯ 5 9 Ê3 ˆ Ê3 ˆ b) Á kg : 4˜ ◊ 3 = Á kg : 8˜ ◊ 3 = kg Ë8 ¯ Ë4 ¯ 32 3 Ê 7 ˆ Ê3 ˆ c) Á kg : 7˜ ◊ 3 = Á kg : 20˜ ◊ 7 = kg Ë 20 ¯ Ë7 ¯ 20 3 Ê 16 ˆ Ê3 ˆ d) Á kg : 8˜ ◊ 3 = Á kg : 34˜ ◊ 16 = kg Ë 34 ¯ Ë8 ¯ 17

2 2 1 2 :3 = ◊ = 5 5 3 15

7 4 7 1 Ê7 ˆ c) Á : 3˜ ◊ 4 = ◊ = = 1 Ë8 ¯ 8 3 6 6

5 2 1 Ê5 ˆ b) Á : 5˜ ◊ 2 = ◊ = Ë6 ¯ 6 5 3 11 4 11 Ê 11 ˆ d) Á : 5˜ ◊ 4 = ◊ = Ë 12 ¯ 12 5 15

SZORZÁS TÖRTTEL (A TÖRTRÉSZ KISZÁMÍTÁSA ) 1 8 1 g) 6

568. Ha a szorzat egyik tényezôje valahányszorosára változik (közben a másik tényezô változatlan), akkor a szorzat is ugyanannyiszorosára változik. 12 24 6 3 9 9 28 14 b) c) d) ; ; ; ; a) 35 35 5 5 14 7 15 15 Ha az egyik tényezô valahányszorosára nô, a másik ugyanannyiad részére csökken, a szorzat nem változik. 5 10 1 1 f) 1 g) h) = e) 4 8 3 4 3 27 ; 7 7 3 8 e) – 1 = 5 5

6 24 b) – ; 7 7 8 8 f) = 15 15

21 7 = 30 10 1 h) ;1 6

18 35 A változtatásokra csak példákat adunk: ◊ 25 12 18 70 18 35 36 35 18 35 a) b) ◊ ; ◊ ; ◊ ◊ 25 12 25 6 25 12 25 4 9 35 18 7 6 35 e) f) g) ◊ ◊ ◊ 25 12 25 12 25 12

18 35 18 35 d) ◊ ◊ 25 3 5 12 3 35 6 35 h) ◊ = ◊ = . 25 12 25 24

27 28 A változtatásokra csak példákat adunk: ◊ 8 3 9 28 27 28 27 4 3 28 a) b) c) d) ◊ ◊ ◊ ◊ 8 3 2 3 4 3 2 3 27 g) ◊ 14 8

56 27 ◊ = 63 A változtatásokra csak példákat adunk: 3 8 Ê 56 ˆ Ê 27 ˆ 56 27 a) Á : 9˜ ◊ Á ◊ 4˜ = ◊ = 28 végtelen sok megoldás Ë 3 ¯ Ë 8 ¯ 27 2

7 9 ◊ 27 = 56 ◊ = 7 ◊ 9 = 63 . 3 8

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 573. a)

4 34 ◊ 20 = 136 vagy 6 ◊ 20 + ◊ 20 = 120 + 16 = 136 5 5 1 c) 51 d) 42 e) 1 f) 7 2

576. Minden szorzat értéke: 1. A tényezôk egymás reciprokai. 577. Minden szorzat értéke: 1. A tényezôk egymás reciprokai. 578. Minden szorzat értéke: 1. A tényezôk egymás reciprokai. 579. a) a2 = a1 ◊

b) an +1 = an ◊ d) a2 = a1 ◊

4 4 4 1 1 1 ; ; vagy ; ; 40 80 160 10 20 40 32 64 128 2 c) an = an -1 ◊ ; ; 135 405 1215 5

16 32 64 ; ; 189 567 1701 80 160 320 ; ; 81 243 729

24 48 96 ; ; 875 4375 21 875 6 12 24 ; ; 125 625 3125

580. Ha a szorzat egyik tényezôje (-1)-szeresre változik, akkor a szorzat és az ellentettjére változik. a) -1; 1 b) 1; -1 c) 1; -1 581. Ha mindkét tényezô az ellentettjére változik, akkor a szorzat változatlan. Itt a szorzat értéke: 1. 582. a) e) i) m) q) u)

7 3 =1 4 4 9 1 – = -4 2 2 28 1 =9 3 3 15 7 = -1 8 8 2 7 7 12

8 2 =2 3 3 5 2 – = -1 3 3 35 11 =2 12 12 7 2 – = -1 5 5 3 4

3 1 =1 2 2 15 3 = -3 4 4 1 5 4 9 8 21

12 13 1 h) 2 1 l) 4

SZORZÁS TÖRTTEL (A TÖRTRÉSZ KISZÁMÍTÁSA ) 583. x

16 1 4 e) =1 15 15 9

3 2 m = 30 dm2 10 24 2 d) m = 96 dm2 25

1 2 m = 25 dm2 4

19 2 m = 19 dm2 100

7 1 1 1 7 1 591. a) 24 óra ◊ ◊ = 28 óra b) 7 nap ◊ ◊ = nap = 1 nap 2 3 2 3 6 6 1 1 7 1 c) 7 nap ◊ ◊ = nap = 1 nap 2 3 6 6 9 1 592. a) 60 min ◊ ◊ = 30 min 2 9

9 1 1 óra ◊ = óra 2 9 2

1 9 1 1 nap ◊ ◊ = nap 24 2 9 48

2 1 5 hét kg, kg – mal 16 4 16 5 4 20

8 8 16 > , – del 9 15 45

3 4 79 >- , – dal 16 5 80

15 1 1 Ê 15 ˆ 23 2 3, – del 2 2

VEGYES FELADATOK 3 3 3 3 3 12 15 :2 + ◊2 = + = + = 4 4 8 2 8 8 8 4 4 4 12 4 36 40 8 : 3 + ◊3 = + = + = = 5 5 15 5 15 15 15 3 15 7 8 2 8 15 64 45 19 =1 , – del > , – dal 655. a) b) c) 32 32 21 35 105 72 72 36 175 7 59 9 89 17 33 3 =7 =5 =3 =3 656. a) b) c) d) 24 24 10 10 24 24 10 10 3 657. 3 kg 10

ÈÊ 3 ˆ 1 ˘ Ê3 658. ÍÁ : 2˜ + ˙ ◊ 5 = Á + Ë ¯ Ë8 2˚ Î 4

4ˆ 35 3 =4 ˜ ◊5 = ¯ 8 8 8

3 ˆ Ê3 3 ˆ 3 Ê3 659. Á ◊ 2 + : 2˜ – Á ◊ 2 – : 2˜ = Ë4 4 ¯ 4 4 ¯ Ë4 3 ˆ Ê3 3 ˆ 3 3 Ê3 660. Á ◊ 2 + : 2˜ + Á ◊ 2 – : 2˜ = ◊ 2 + ◊ 2 = 3 Ë4 4 ¯ 4 4 4 ¯ Ë4 Ê 1 2 5 ˆ 11 661. 1 – Á + + ˜ = Ë 5 7 14 ¯ 70 Az egész 840 m2. 1 rész 840 m2 : 70 = 12 m2 70 11 rész 12 m2 ◊ 11 = 132 m2 70 11 Lacinak részt kell felásni, ami 132 m2. 70 1 1 3 662. K = 5 dm T = dm 2 = 1 dm 2 2 2 2 3 Ê ˆ a) pl. T1 = Á ◊ 4˜ ◊ 2 dm 2 = 6 dm 2 Ë4 ¯

3 3 1 ◊ (2 ◊ 4) dm 2 = 6 dm 2 K 2 = 8 ◊ 2 dm = 17 dm 4 4 2 Ê3 ˆ Ê3 ˆ pl. T3 = Á ◊ 2˜ ◊ (2 ◊ 2) dm 2 = 6 dm 2 K 3 = Á ◊ 2 + 4 ◊ 2˜ dm = 11 dm Ë4 ¯ Ë2 ¯ Végtelen sok megoldás van, mert ha az egyik oldalt pl. felére csökkentjük, akkor a másikat 8-szorosára kell növelnünk stb.

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 3 Ê3 ˆ b) pl. T1 = Á ◊ 4˜ ◊ (2 : 4) dm 2 = dm 2 Ë4 ¯ 2 3 Ê3 ˆ pl. T2 = Á : 2˜ ◊ (2 ◊ 2) dm 2 = dm 2 Ë4 ¯ 2

1 ˆ Ê K1 = Á 3 ◊ 2 + ◊ 2˜ dm = 7 dm Ë 2 ¯ 3 Ê3 ˆ K 2 = Á ◊ 2 + 4 ◊ 2˜ dm = 8 dm Ë8 ¯ 4

Végtelen sok megoldás van. 663.

1 1 65 1 m+ m= m = 65 mm = 6 cm 40 25 1000 2

4 6 4 6 1 m = 3 m 13 cm m+ m+ m+ m +1 5 25 20 5 25

1 3 1 = 37 ; x = 22 2 4 4

4ˆ 83 Ê 3 670. x – Á10 – 3 ˜ = 103 Ë 8 ¯ 5 120

2 Ê 3 4ˆ Ê 3 3ˆ 7 3 + 12 + Á10 + 5 ˜ + Á10 – 2 ˜ = 47 (km) Ë ¯ Ë ¯ 4 5 4 5 4 4 10

5 Ê 3 5ˆ 5 675. 2 – Á + ˜ = A harmadik oldal dm. Ë 4 8¯ 8 8

VEGYES FELADATOK 18 180 Ê 3 3ˆ 676. K = Á + ˜ ◊ 2 m = m= m = 180 cm Ë 20 4 ¯ 10 100

3 m 20 3 3 m◊5 = m 4 20

677. 351 kg kenyeret fogyasztanak egy év alatt, ha 52 hét van az évben. 678. 18

681. A doboz legalább 36 cm széles, 46 cm hosszú és 4

1 kg = 10 dkg 10

Ê1 3 684. Á + + Ë2 5

1ˆ 189 ˜ ◊7 = ¯ 4 20

45 l tejet isznak meg. Ha egyenlôen 100 9 1 osztoznának, naponta 4 dl-t fogyasztanának külön-külön, ami l. 20 2

3 24 685. Katiéknál: 3 : 15 = 5 100

24 dkg-ot fogyasztottak átlagosan.

1ˆ 12 4 16 Ê 3 Jutkáéknál: Á 3 – 1 ˜ : 15 = = = Ë 5 5¯ 75 25 100 fogyasztottak.

4 kg = 16 dkg cseresznyét 25

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 2165 Ê 4 35 ˆ 687. Á 60 – ˜ : 2 = 21 db 2 kg-os csomag készíthetô. Ë 5 2¯ 100

688. x ◊ 9 = 33 689.

3 m 1 öltöny 1 38 m x öltöny 4 1 153 3 x = 38 : 3 = = 12 12 4 4 1 38 m szövetbôl 12 öltöny szabható ki. 4

1 kg szôlôt szedett. 2

3 4 2 ◊ 25 + 3 ◊ 18 = 83 5 5 5

1 4 1 694. 2 ◊ 4 – 3 = 5 4 5 5

4ˆ 2 Ê 5 695. x – Á10 – 3 ˜ = 33 ◊ 3 Ë 8 7¯ 27 3ˆ Ê 696. 2 x + Á x + 2 ˜ = 26 Ë 4¯

A háromszög alapja 10

1 kg-mal többet vitt haza. 5

1 3 cm, szárai 7 cm hosszúak. 2 4

698. A harmadik oldal 12

VEGYES FELADATOK 700. 2

702. A feladat megoldható egyenlôtlenséggel (a)) vagy anélkül (b)). a) Menetidô (perc) Vásárlási idô (perc) Összes idô (perc) 560 =8 A x ¤ 15 8+ x 70 560 =7 B y ¤ 15 7+y 80 7 + y £ 30 8 + x £ 33 y £ 23 x £ 22 15 £ y £ 23 15 £ x £ 22 b) Teljes idô (perc) Menetidô (perc) Vásárlási idô (perc) A 30 8 22 B 30 7 23 Mindkettôjüknek 15 percnél több idejük maradt a vásárlásra, tehát végezhettek zárás elôtt a bevásárlással. 703.

I. a) 5 óra = 300 perc 1 b) 20 perc = óra 3 c) 20 perc = 1200 mp d) 3 óra = 180 perc 5 e) 90 perc = 1 óra 10 1 f) 1 óra = 90 perc 2 1 g) 66 mp = 1 perc 10 1 h) 72 mp = 1 perc 5 1 i) 1 óra = 75 perc 4

II. 5 óra óra 5 20 perc > 120 mp 3 óra perc = 70 mp 6 1 1 óra h> h> h> h> h> h 2 6 6 5 3 12 24

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 707.

1 5 4 2 3 4 9 h 12

711. A tört értéke 9-szeresére változik. 712. A tört értéke negyedére változik. 713.

3 rész 273 oldal 4 3 4 Az egész 273 : = 273 ◊ 4 3 A könyv 364 oldalas.

3 rész 273 oldal 4 1 rész 91 oldal 4 4 rész 91 oldal ◊ 4 = 364 oldal. 4

3 5 25 6 5 25 ◊100 dkg ª 139 dkg. kg ◊ = kg = rész kg, az egész 5 6 18 5 3 18 139 dkg narancsot vettünk és közelítôleg 83 dkg-ot ettünk meg.

715. x kg méz fér az üvegbe,

3 részig töltöttük. 5

1 kg az üres üveg 4 3 1 8 x+ = 5 4 5 27 3 27 5 9 x= : ; x= ◊ ; x= 20 5 20 3 4 2

1 kg mézet vettünk volna. 4 1 óra alatt ketten 2

1 óra alatt ketten 1 óra alatt egyedül

1 2 m 4 1 1 29 2 1 m = 14 m 2 36 m 2 : 2 = 4 2 2 2 29 2 29 2 1 2 m :2 = m =7 m 2 4 4 36

VEGYES FELADATOK 717. 1 tégla tömege x kg 1 3 1 3 tégla tömege 10 kg – 1 kg = 8 kg 2 4 4 1 3 3 ◊x =8 2 4 35 7 : x= 4 2 5 x= 2 1 tégla tömege 2

1 ˆ 3 Ê 1 718. Á 2 + 3 ◊ 2˜ : = 12 Ë 2 4 ¯ 4

A család 12 tagú.

3 1 m tömege 5 g 4 4 1 12 m tömege x g 2 1 Ê 1 3ˆ x = Á 5 : ˜ ◊12 Ë 4 4¯ 2 1 x = 87 (g) 2 1 1 12 m huzal tömege 87 g. 2 2

1 Ê 1 3 ˆ 25 1 1 b) 12 ◊ 3 ◊ Á 5 : ˜ = ◊ 3 ◊ 7 = 262 (g) A felhasznált huzal tömege 262 g. 2 Ë 4 4¯ 2 2 2

1 21 g g= 4 4 21 3 1m g: =7 g 4 4 7g 1m 280 g = 7 g ◊ 40 1 m ◊ 40 = 40 m 5

40 m huzalt vásároltunk. 5 1 720. a) rész 82 l 8 2 1 33 rész l 8 2 264 l = 132 l. 2 A tartály 132 literes.

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 3 dm 5 3 b = 8 dm 4 c= V = 132 dm 3

V = a◊b◊c 28 35 132 = ◊ ◊c 5 4 132 34 =2 c= 49 49

A tartály mélysége 2 c) Az egész 7 rész 15

A tartályban 61

3 dm3 tömege 5 7 dm3 15

34 dm ª 27 cm. 49 7 6 = 61 l = 61 l 6 dl 10 15

17 kg 25 Ê 17 3 ˆ 7 117 5 7 91 364 ◊ ◊ = = (kg) Á4 : ˜ ◊ = Ë 25 5 ¯ 15 25 3 15 25 100 468 364 104 = A kocka tömege több. (kg) 100 100 100 117 3 117 5 39 8 : = ◊ = =7 Sûrûség = 25 5 25 3 5 10 A testek anyaga vas.

1 722. 3 h alatt 3

1h 3 km 4 1 349 km 5 72

1 km 2 485 10 485 3 3 : = ◊ = 72 (km) 2 3 2 10 4

1746 291 4 : =4 (h) 5 4 5 3 1 4 1 óra alatt átlagosan 72 km-t tesz meg az autó. A 349 km-es utat 4 óra alatt teszi 4 5 5 meg, ami 288 perc.

HATVÁNYOZÁS 723. a) 54

724. a) 22 = 2 ◊ 2 = 4 e) 256

i) 3 = 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81 725. a) 25 726. a) b) c)

b) 23 = 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8

h) 3 = 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27

(2 ) = 2 ◊ 2 = 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16 (2 ) = 2 ◊ 2 ◊ 2 = 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 2 = 64 d) (3 ) = 3 = 729 (3 ) = 3 = 81

727. a) 23 = 8 5 ◊ 3

i) 5 ◊ 2 5 > 2 ◊ 52

k) 3 ◊ 23 > > > 20 5 8 50 125 17 21 7 51 36 b) = 2,125 ; = 4,2 ; = 1,75 ; = 1,275 ; = 1,44 8 5 4 40 25 21 17 7 36 51 > > > > 5 8 4 25 40

1 5 11 3 3 = -0,5 ; = -0,55 = 0,6 ; – = -0,625 ; = 0,75 ; 2 8 20 5 4 5 11 1 3 3 – 6,01 e) 0,100 = 0,1

c) 10,10 = 10,1 f) 0,7 > 0,070

Legnagyobb: 7,120 = 7,12 (vagy nincs legnagyobb). 769.

a) 31,4 = 31,40 b) 0,314

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL c) d) e) f)

A legkisebb szám a 0,314, a legnagyobb a 31,4 = 31,40. 31,4 = 31,40 > 3,14 > 3,1 > 3,014 > 3,01 > 0,314 0,314 66,06 > 60,6 > 60,06 > 6,6 > 6,06 > 6,006 b) 0,21 = 0,210 > 0,201 > 0,021 > 0,0021 > 0,0012 772. 6 5 13 10

700 3 600 ; ; = 0,6 = 1000 5 1000 12 480 9 3 300 ; = = = 25 1000 30 10 1000

0,16 16 dkg > 15 dkg > 6 dkg > kg 0,8 kg > kg > 4 20 4 20 4 3 1 3 b) 875 g > kg = 0,8 kg > 75 dkg = kg > kg > 0,4 kg > kg 5 4 2 25

776. a) 3 m 2 dm 8 cm = 3,28 m b) 4,34 m f) 7,97 m g) 5,022 m h) 11,46 m 777. a) 2,709 kg ª 2,71 kg

c) 12,571 m d) 0,783 m i) 6,19 m

c) 1,515 kg ª 1,52 kg

d) 0,070 kg = 0,07 kg e) 1,037 kg ª 1,04 kg g) 10,20 kg = 10,2 kg h) 1,010 kg = 1,01 kg i) 5,200 kg = 5,20 kg = 5,2 kg

f) 5,040 kg = 5,04 kg

778. 779. a) 1 cm-es beosztást célszerû készíteni b) 780. a) 0,72 ª 0,7; -0,58 ª -0,6; 1,21 ª 1,2; 0,793 ª 0,8; -1,03 ª -1 Ábrázoljuk a kerekített értékeket és így olvassuk le a növekvô sorrendet! b) 0,317 ª 0,3; -0,31 ª -0,3; 2,02 ª 2; -1,92 ª -1,9; -0,87 ª -0,9 781. Mérôszalagon jelölhetjük 10 centiméterenként az egészeket. Így a 0,125 helye a 0-tól 1 3 jobbra 1 cm távolságra van, a -0,375 helye pedig a 0-tól balra 3 cm-re található. Ha 4 4 a füzetünkben pl. 8 négyzetoldal egy egység, akkor 0,21; -0,9; 2,85 helyét csak közelítôleg jelölhetjük, a többi számét pontosan.

Tizedes törtek összeadása, kivonása 782. a) 5,948

783. a) 781,77 g) 85,0687

b) 4005,126 c) 25,003 d) 3,7084 h) 153,269 i) 321,4567

e) 201,3912 f) 216,3659

b) 14,023 6 ,4 0,09 20,513

3,12 0,032 21,03 24,182

25,003 103,043 5,07 133,116

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 786. a) 73,337

c) 20,46 0,5 1,707 0,172 22,839

4,9 30,25 0,045 70,070 105,265

0,12 12,6 7,051 1,8 21,571

788. a) 3,3 g) 11,12

b) 0,32 c) 13,22 h) 1331,317

789. a) 4,64 g) 18,813

791. a) 0,487 g) 0,111

e) 3,532 k) 19,7109

f) 50,641 l) 1991,007

794. 3,728 kg ª 373 dkg; 3728 g 795. a) 0,32 ª 0,3; 31,47 ª 31,5; 3,82 ª 3,8; 9,51 ª 9,5; 0,07 ª 0,1 b) 3,19 ª 3,2; 2,03 ª 2,0; 0,04 ª 0,0; 9,69 ª 9,7; 9,99 ª 10,0 796. a) 2,117 ª 2,12 2,117 ª 2,1 2,117 ª 2

3,071 ª 3,07 3,071 ª 3,1 3,071 ª 3

14,1047 ª 14,10 14,1047 ª 14,1 14,1047 ª 14

171,999 ª 172,00 171,999 ª 172,0 171,999 ª 172

b) 17,069 ª 17,07 17,069 ª 17,1 17,069 ª 17

1,0009 ª 1,00 1,0009 ª 1,0 1,0009 ª 1

0,978 ª 0,98 0,978 ª 1,0 0,978 ª 1

10,908 ª 10,91 10,908 ª 10,9 10,908 ª 11

c) 3,033 ª 3,03 3,033 ª 3,0 3,033 ª 3

3,719 ª 3,72 3,719 ª 3,7 3,719 ª 4

19,921 ª 19,92 19,921 ª 19,9 19,921 ª 20

99,999 ª 100,00 99,999 ª 100,0 99,999 ª 100

797. a) becslés: 12 m; számítás: 12,32 m = 123,2dm b) becslés: 5 dm + 6 dm = 11 dm; számítás: 10,38 dm = 103,8 cm c) becslés: 17 cm; számítás: 16,59 cm = 165,9 mm 798. a) b) c) d) e)

b: 3,0 hl b: 1,4 hl b: 54 l b: 48 l b: 4 l

sz: 3,014 hl = 301,4 l sz: 1,395 hl = 139,5 l sz: 54,23 l sz: 47,74 l = 477,4 dl sz: 4,25 l = 425 cl

TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 799. a) pl.: -2,9; -2,1; -1,3; -0,5; 0,3; 1,1; 1,9; 2,7; 3,5 0,8-et adunk az elôzô elemhez, így kaphatjuk a sorozat egy újabb elemét. b) pl.: -1,5; -1; -0,4; 0,3; 11 , ; 2; 3; 4,1; 5,3 c) pl.: 10,23; 10,16; 10,1; 10,05; 10,01; 9,98; 9,96; 9,95; 9,95 Szabály: Mindig 0,01-dal kevesebbet vonunk ki. 800. a) 11,34 b) Az elsô oszlop második száma. 11,34 – (3,78 + 3,82) = 3,74 c) 34,02 801. a)

3,84 3,7 3,8 3,74 3,78 3,82 3,76 3,86 3,72

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 z 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6

802. a) ª b, mert a kivonandót csökkentettük. Az a) és b) feladatban a 0,009 kivonandó, az e) feladatban hozzáadandó, a többi számmal ugyanazt a mûveletet végezzük, ezért a + 0,018 = e. 838. a) 12,188

839. a) (27,6 + 14,76) + (27,6 – 14,76) = 27,76 ◊ 2 = 55,2 b) (27,6 + 14,76) – (27,6 – 14,76) = 14,76 ◊ 2 = 29,52 c) (35,43 + 18,6) + (35,43 – 18,6) = 35,43 ◊ 2 = 70,86 d) (35,43 + 18,6) – (35,43 – 18,6) = 18,6 ◊ 2 = 37,2

Tizedes törtek szorzása, osztása 840. a) 5 = 50 tized = 500 század = 5000 ezred = 50 000 tízezred 21 = 210 tized = 2100 század = 21000 ezred = 210 000 tízezred 4,3 = 43 tized = 430 század = 4300 ezred = 43 000 tízezred 19,07 = 190,7 tized = 1907 század = 19 070 ezred = 190 700 tízezred b) 7,31 = 73,1 tized = 731 század = 7310 ezred = 73 100 tízezred 4,03 = 40,3 tized = 403 század = 4030 ezred = 40 300 tízezred 4,076 = 40,76 tized = 407,6 század = 4076 ezred = 40 760 tízezred 52,0007 = 520,007 tized = 5200,07 század = 52 000,7 ezred = 520 007 tízezred c) 5,063 = 50,63 tized = 506,3 század = 5063 ezred = 50 630 tízezred 1000,1 = 10 001 tized = 100 010 század = 1 000 100 ezred = 10 001 000 tízezred 0,0048 = 0,048 tized = 0,48 század = 4,8 ezred = 48 tízezred 3,00717 = 30,0717 tized = 300,717 század = 3007,17 ezred = 30 071,7 tízezred

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 841. a) 0,7 ◊ 10 = 7 3,5 ◊ 10 = 35 13,9 ◊ 10 = 139 1,47 ◊ 10 = 14,7 29,8 ◊ 10 = 298 0,16 ◊ 10 = 1,6

0,7 ◊ 100 = 70 3,5 ◊ 100 = 350 13,9 ◊ 100 = 1390 1,47 ◊ 100 = 147 29,8 ◊ 100 = 2980 0,16 ◊ 100 = 16

0,7 ◊ 1000 = 700 3,5 ◊ 1000 = 3500 13,9 ◊ 1000 = 13 900 1,47 ◊ 1000 = 1470 29,8 ◊ 1000 = 29 800 0,16 ◊ 100 = 160

b) 13,07 ◊ 10 = 130,7 13,07 ◊ 100 = 1307 13,07 ◊ 1000 = 13 070 A többi szám esetében is hasonlóan járunk el. 0,1992 ◊ 10 = 1,992 0,1992 ◊ 100 = 19,92 0,1992 ◊ 1000 = 199,2 842. a) 98,7 > 9,87 > 0,987 > 0,0987 54,36 > 5,436 > 0,5436 > 0,05436 70 > 7 > 0,7 > 0,07 15,6 > 1,56 > 0,156 > 0,0156 358,26 > 35,826 > 3,5826 > 0,35826 800,18 > 80,018 > 8,0018 > 0,80018 b) 13,07 > 1,307 > 0,1307 > 0,01307 0,07 > 0,007 > 0,0007 > 0,00007. A többi hasonlóan írandó. c) 5 > 0,5 > 0,05 > 0,005 3,05 > 0,305 > 0,0305 > 0,00305. A többi szám tizede, százada, ezrede hasonlóan írható fel. 843. 1,472 m = 14,72 dm = 147,2 cm = 1472 mm 844. Százszor kisebb. 845. Tízezerszerese. 846. Tízszer nagyobb. 847. a) 000375,12 003751,2 037512 375120 d) 00005,31 00053,1 00531 05310 53100

b) 00,07 00,7 07 70 e) 002900 000700 003050 543000 000090

848. a) 7,186 0,0347 0,01259 0,00394 d) 0,692 0,6743 6,7321 0,9738 0,00107 0,05055

b) 0,756 c) 0,03159 0,00807 0,00066 e) 0,431 : 10 = 0,0431 f) 5,768 : 10 = 0,5768 0,967 : 10 = 0,0967 3,88 : 100 = 0,0388 50,505 : 1000 = 0,050505 3,0303 : 1 = 3,0303

849. a) 15,4 m b) 1,15 m

c) 000411,782 004117,82 041178,2 411782 f) 000111700 000080000 885600000 000213200 000011110 1,33372 0,340024 0,0111111 0,00123456 0,002465 0,0001278 0,02351 0,001289 0,000006666 0,001232

1,025 m 0,01992 m

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL c) 7,9 m d) 52 000 m

0,082 m 10 010 m

850. pl.: hm dkm m dm cm mm (100 m) (10 m) 1 7 = 1 m + 7 dm 4 2 = 4 cm + 2 mm 5 8 = 5 dm + 8 cm 3 0 9 = 3 hm + 9 m 309 = 309 m 2 0 0 5 = 2 km + 5 m 5 0 0 5 2 = 5 km + 5 m + 2 dm

17 dm 42 mm 58 cm 309 m 309 m 2005 m 50 052 dm

3,8 dm 0,42 dm 3,072 m 502,12 dm 6,8 cm 73,07 m 9,6 km 9,6 km 5,009 km 5,009 km 5,009 m 5,009 m

851. a) 10 dm; 2 dm; 6 dm 100 cm c) ◊ 2 = 40 cm 5 1000 mm e) ◊ 3 = 375 mm 8 10 000 dm g) ◊ 2 = 2500 dm 8 852. a) b) c) d)

= 3 dm + 8 cm = 4 dm + 2 cm = 3 m + 7 cm + 2 mm = 5 dkm + 2 dm + 12 mm = 6 cm + 8 mm = 7 dkm + 3 m + 7 cm = 9 km + 6 hm = 9km + 600 m = 5 km + 9 m = 50 hm + 9 m = 5 m + 9 mm = 50 dm + 9 mm

b) 1000 m; 125 m; 875 m 1000 mm d) ◊ 3 = 600 mm 5 1000 m f) = 250 m 4 10 000 dm ◊ 6 = 7500 dm h) 8

760 cm = 76 dm = 7 m 6 dm (= 7,6 m) 3480 cm = 348 dm = 34 m 8 dm (= 34,8 m) 110 000 cm = 11 000 dm = 1100 m = 1 km 100 m (= 1,1 km) 101 000 cm = 10 100 dm = 1010 m = 1 km 10 m (= 1,010 km)

853. a) 7500 m = 7,5 km; 10 500 m = 10,5 km (= 1,05 ◊ 101 km); 15 000 dm = 1,5 km; 30 000 dm = 3 km b) 13 800 m = 13,8 km (= 1,38 ◊ 10 km); 27 600 m = 27,6 km (= 2,76 ◊ 10 km); 13 800 dm = 1,38 km; 27 600 cm = 0,276 km (= 2,76 ◊ 10-1 km) 854. a) 82 500 cm = 8250 dm = 825 m (= 8,25 ◊ 102 m) 82 500 mm = 825 dm = 82,5 m (= 8,25 ◊ 10 m)

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA b) 399 500 cm = 3995 m = 3,995 km 399 500 dm = 39 950 m = 39,95 km (= 3,995 ◊ 10 km) c) 7500 mm = 7,5 m; 750 cm = 7,5 m; 75 dm = 7,5 m d) 15 000 mm = 15 m; 1500 cm = 15 m; 150 dm = 15 m 855. a) 65 000 dm = 6500 m = 6,5 km 65 000 cm = 650 m = 0,65 km 65 000 mm = 65 m = 0,065 km b) 4900 mm = 4,9 m 490 cm = 4,9 m 49 dm = 4,9 m c) 1 000 000 cm = 100 000 dm = 10 000 m = 10 km vagy 106 cm = 105 dm = 104 m = 101 km d) 72 000 000 cm = 7 200 000 dm = 720 000 m = 720 km vagy 7,2 ◊ 107 cm = 7,2 ◊ 106 dm = 7,2 ◊ 105 m = 7,2 ◊ 102 km 856. a) 7 m; 11 m; 15 m; 19 m; 23 m; . ; 47 m; 51 m; 55 m; 59 m; 63 m b) 2,82 m; 3,32 m; 3,82 m; 4,32 m; 4,82 m; . ; 6,82 m; 7,32 m; 7,82 m; 8,32 m; 8,82 m c) 22 dm; 19 dm; 17 dm; 16 dm; 16 dm; . ; 37 dm; 44 dm; 52 dm; 61 dm; 71 dm; Balról jobbra haladva mindig 1-gyel nagyobb számot adunk hozzá. Az elsô hosszáadandó -3. d) 0,5 cm; 1 cm; 2 cm; 4 cm; 8 cm; . ; 512 cm; 1024 cm; 2048 cm; 4096 cm; 8192 cm; 1 1 1 km; e) 19 638 km; 6561 km; 2187 km; 729 km; 243 km; . ; km; km; 3 9 27 1 1 km; km 81 243 857. a) Ugyanazt a mennyiséget fejeztük ki m ill. dm mértékegységekkel. A dm-ben kifejezett mennyiség mérôszáma 10-szer akkora, mint a m-ben kifejezetté. b) A lehetô legnagyobb és az eredeti mértékegység segítségével fejezzük ki a mennyiségeket úgy, hogy a mérôszámok egész számok legyenek. b) a) be ki m dm 75 dm 7 m 5 dm 4 40 1300 cm 13 m 0,5 5 105 mm 1 dm 5 mm 1 = 0,25 2,5 200 cm 2 m 4 62 dm 6 m 2 dm 2 602 cm 6 m 2 cm 1 = 1,4 14 5 55 dm 5 m 5 dm 19 1,9 1707 cm 17 m 7 cm 2 0,2 3003 mm 3 m 3 mm 7,5 0,75 5,05 50,5

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 858. a) 5 km2 = 5 ◊ 1000 m ◊ 1000 m = 5 ◊ 106 m2 0,5 km2 = 5 ◊ 105 m2 0,05 km2 = 5 ◊ 104 m2 0,005 km2 = 5 ◊ 103 m2 859. a) 3 m2 = 3 ◊ 104 cm2 0,3 m2 = 3 ◊ 103 cm2 0,03 m2 = 3 ◊ 102 cm2 0,003 m2 = 3 ◊ 10 cm2

b) 2,5 km2 = 2,5 ◊ 106 m2 0,25 km2 = 2,5 ◊ 105 m2 0,025 km2 = 2,5 ◊ 104 m2 0,0025 km2 = 2,5 ◊ 103 m2

b) 1,5 m2 = 1,5 ◊ 104 cm2 0,15 m2 = 1,5 ◊ 103 cm2 0,015 m2 = 1,5 ◊ 102 cm2 0,0015 m2 = 1,5 ◊ 10 cm2

860. a) 1,842 m = 1,842 ◊ 103 mm; 18,42 m = 1,842 ◊ 104 mm b) 0,6 m = 6 ◊ 102 mm; 0,06 m = 60 mm = 6 ◊ 10 mm c) 1,2 dm = 120 mm = 1,2 ◊ 102 mm; 12 dm = 1200 mm = 1,2 ◊ 103 mm d) 0,07 dm = 7 mm; 0,7 dm = 70 mm = 7 ◊ 10 mm 861. a) 106 m

862. a) 16,2 m = 16 200 mm = 1,62 ◊ 104 mm b) 8,16 m = 8160 mm = 8,16 ◊ 103 mm c) 25,06 m = 250,6 dm = 2,506 ◊ 102 dm d) e) f) g)

134,5 m = 13 450 cm = 1,345 ◊ 104 cm 0,012 m = 1,2 cm 0,605 m = 6,05 dm 0,319 m = 319 mm = 3,19 ◊ 102 mm

h) 0,96 m = 960 mm = 9,6 ◊ 102 mm 863. a) c) e) g)

63,5 m = 6350 cm = 635 dm 0,45 km = 450 m = 4500 dm 1,96 m = 19,6 dm = 196 cm 0,107 km = 1070 dm = 10 700 cm

17,32 km = 173 200 dm = 17 320 m 0,03 km = 3000 cm = 30 m 3,05 m = 3050 mm = 305 cm 0,301 m = 30,1 cm = 301 mm

850 = 8,5 A két szorzat egyenlô, csak a szorzandó más alakú. 100 96 22 470 1248 9600 b) = 9,6 c) = 224,7 d) = 1,248 e) = 9,6 10 100 1000 1000 41 040 f) = 410,4 100

865. a) 15,04 ª 15,0

c) 2999,15 ª 2999,2

f) 2673,56 ª 2673,6

h) 6816,126 ª 6816,1

i) 228,228 ª 228,2

l) 673,596 ª 673,6

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 866. a) 54,7 g) 74

867. a = 16,5 m; K = 16,5 m ◊ 4 = 66,0 m = 660 dm 868. a) 26,15 m = 0,02615 km c) 2342,75 m = 2,34275 km e) 177,6 m = 0,1776 km

b) 513,76 m = 0,51376 km d) 3922,1 m = 3,9221 km f) 21 169,26 m = 21,16926 km

869. 1 kísérlethez 4,5 g 28 + 1 kísérlethez 4,5 g ◊ 29 130,5 g = 13,05 dkg rézgálicot használtak el. 870. 1 játékhoz 4,5 dm 25 játékhoz 4,5 dm ◊ 25 112,5 dm huzal szükséges, ez 11,25 m. 871. (62,75 – 4,8) ◊ 15 = 57,95 ◊ 15 = 869,25 62,75 ◊ 15 – 4,8 ◊ 15 = 941,25 – 72 = 869,25 A két eredmény egyenlô. Különbséget úgy is szorozhatunk egy számmal, hogy a kisebbítendôt is és a kivonandót is megszorozzuk a számmal, majd elvégezzük a kivonást. 872. 32,38 ◊ 21 + 18,173 ◊ 21 = 679,98 + 381,633 = 1061,613 (32,38 + 18,173) ◊ 21 = 50,553 ◊ 21 = 1061,613 873. 1 kocka tömege 7,8 kg 12 kocka tömege 7,8 kg ◊ 12 = 93,6 kg 12 ilyen kocka tömege 93,6 kg. 874. 36 kocka tömege 266,4 g = 26,64 dkg. 875. a) 1575 0015,75 0001,575 e) 9315 0931,5 0009,315 876. a) c) e) g) i)

b) 1326 0013,26 0001,326 f) 34368 03436,8 00343,68

22 680 g = 22,68 kg 266,73 dkg = 2,6673 kg 278,76 kg 0,1664 t = 166,4 kg 0,0279 t = 27,9 kg

877. a) 585,25 dl = 58,525 l d) 60 600 ml = 60,6 l 878. a) 3,6 ◊ 18 = 36 ◊ 1,8

c) 984 098,4 009,84 g) 1903,2 0190,32 0019,032 b) d) f) h)

d) 7062 0070,62 0007,062 h) 116,48 011,648 116,48

1206 g = 1,206 kg 348,788 dkg = 3,48788 kg 1,566 kg 0,1605 t = 160,5 kg

b) 286,596 l e) 919,89 cl = 9,1989 l

c) 6,3375 hl = 633,75 l f) 0,7272 hl = 72,72 l

b) 4,2 ◊ 1,2 2,65 ◊ 2,5 tized része

d) 32,8 ◊ 3,8 = 3,28 ◊ 38

e) 0,415 ◊ 6,7 7,925 ◊ 4,81 század része g) 12,98 ◊ 11,5 = 129,8 ◊ 1,15 h) 397,6 ◊ 0,442 217,5 ◊ 3,37 tized része j) 667,7 ◊ 11,9 > 66,77 ◊ 1,19 század része 879. a) 31,25 ◊ 752 10,06 ◊ 5,2 261,56 > 52,312

ötszörös 209,248-del nagyobb

e) 5,1 ◊ 314 = 510 ◊ 3,14 1601,4 = 1601,4

Az egyik tényezôt 100-szorosára, a másikat századára változtattuk.

f) 57,3 ◊ 573 > 5,73 ◊ 53,7 32 832,9 > 307,701

több mint százszorosa 32 525,199-del nagyobb

880. h = 7,25 m; sz = 2,6 m; m = 0,4 m V = h ◊ sz ◊ m V = 7,25 ◊ 2,6 ◊ 0,4 m3 = 7,54 m3 7,54 m3 homok szükséges. 881. 197,05 ◊ 15,2 + 201,5 ◊ 10,07 = 2995,16 + 2029,105 = 5024,265 12,1 t 882. 1 m3 tömege 0,27 m3 tömege 12,1 t ◊ 0,27 0,27 m3 oltott mész tömege 3,267 t. 883. 1 gyerek adott 72,6 Ft – ot 72,6 Ft ◊ 3 3 gyerek 72,6 Ft ◊ 3 ◊1,8 Ajándék ára x Ft Hiányzik 72 ,6 ◊ 3 ◊1,8 – 72 ,6 ◊ 3 = x x = 174,24 Apukától 174 Ft 30 fillért kell kérniük. 884. Sz.: 1 m tömege 1,85 m

0,62 kg 0,62 kg ◊ 1,85

V.: 1m tömege 1,3 m

0,4 kg 0,4 kg ◊ 1,3

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA B.: 1 m tömege 0,31 kg 1,6 m 0,31 kg ◊ 1,6 0,62 kg ◊1,85 + 0,4 kg ◊1,3 + 0,31 kg ◊1,6 = 2 ,163 kg A kész kabát tömege 2,163 kg. 885. 237 dkg = 2,37 kg 886. (2,5 dl ◊ 4) ◊ 31 = 310 dl = 31 l 887. K = (12,3 + 12,3 ◊ 1,12) ◊ 2 cm K = 52,152 cm ª 52 cm T = 12,3 ◊ (12,3 ◊ 1,12) cm2 T = 169,4448 cm2 ª 170 cm2

888. 1 db hossza 1,25 m 12 db 1,25 m ◊ 12 = 15 m 1 m ára 22,5 Ft 15 m 22,5 Ft ◊ 15 = 337,5 Ft 15 m szalagot vásároltak, 337,5 Ft-ot fizettek. 889. 119,4 kg 890. (18,5 – 14,7) ◊ 0,6 = 2,28 2,28 km-rel elôzi meg a bátyja Gábort. 891. [14,2 + (14,2 + 2,1)] ◊ 0,25 = 7,625 0,25 óra múlva 7,625 km távol lesznek egymástól. 892. 5 – (4,7 + 16,2) ◊ 0,2 = 0,82 0,82 km-re lesznek egymástól 0,2 óra múlva. 893. 2,04 m az összes hulladék. (Az 1,83 m felesleges adat.) 894. 4,38 kg; 6,57 kg; 11,388 kg; 42,048 kg

összeg: 64,386 kg

895. a) 222,984; 1,21; 222,984 b) 223,329; 92,354; 223,329 c) 1,9728; 7,5608; 1,9728 d) 14,6601; 26,7591; 14,6601 Összeget, különbséget tagonként is szorozhatunk. 896. a) 6,18

897. a) 3,5 ◊ 19 = 66,5 d) 3,6 ◊ (6 – 13) = -25,2 898. a) 0,0704

899. a) 0,1 + 11,62 = 11,72 d) 1242,0576

c) 3663,569 d) 149,4396 b) 7,8 ◊ 10 = 78

b) 22,25 + 13,69 = 35,94

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 900. a) (131,5 + 18,9) ◊ (131,5 – 18,9) = 150,4 ◊ 112,6 = 16 935,04 b) 131,52 – 18,92 = 17 292,25 – 357,21 = 16 935,04 A két szám összegének és különbségének a szorzata egyenlô a két szám négyzetének a különbségével. 901. (23,5 ◊ 0,2 + 138,4) ◊ (23,5 ◊ 0,2 – 138,4) = (4,7 + 138,4) ◊ (4,7 – 138,4) = = 143,1 ◊ (-133,7) = -19 132,47 902. a) (7,306 + 8,9) ◊ ( 7,306 – 8,9) ◊ 5 = 16,206 ◊ (-1,594) ◊ 5 = -129,16182 b) (7,306 + 8,9) ◊ (7,306 ◊ 5 – 8,9 ◊ 5) = 16,206 ◊ (36,53 – 44,5) =16,206 ◊ (-7,97) = = -129,16182 903. a) (0,75 – 0,85) ◊ (0,75 + 0,85) = -0,1 ◊ 1,6 = -0,16 0,752 – 0,852 = 0,5625 – 0,7225 = -0,16 27 Ê 3 6 ˆ Ê 3 6 ˆ 9 Ê 3ˆ b) Á + ˜ ◊ Á – ˜ = ◊ Á – ˜ = Ë 5 5¯ Ë 5 5¯ 5 Ë 5¯ 25 (0,6)2 – 1,2 2 = 0,36 – 1,44 = -1,08 = –

c) 0,175 ◊ 1,075 = 0,188125 0,390625 – 0,2025 = 0,188125 d) 0,8 ◊ 0 = 0 0,16 – 0,16 = 0 904. a) (0,8 – 0,35) ◊ (0,8 + 0,35) = 0,45 + 1,15 = 0,5175 0,64 – 0,1225 = 0,5175 35 ˆ Ê 80 35 ˆ 45 115 5175 Ê 80 + ◊ = Á ˜ ◊Á ˜= Ë 100 100 ¯ Ë 100 100 ¯ 100 100 10 000 16 1225 6400 1225 5175 = = 25 10 000 10 000 10 000 10 000 b) 1,075 ◊ (-0,325) = -0,349375;

349 375 1 000 000

0,140625 – 0,49 = -0,349375 301 Ê 18 25 ˆ Ê 18 25 ˆ c) 2,15 ◊ (-0,35) = -0,7525; Á + ˜ ◊ Á – ˜ = = -0,7525 Ë 20 20 ¯ Ë 20 20 ¯ 400 2

324 625 301 Ê 18 ˆ Ê 25 ˆ == -0,7525 0,81 – 1,5625 = -0,7525; Á ˜ – Á ˜ = Ë 20 ¯ Ë 20 ¯ 400 400 400

d) (-0,32) ◊ 0,56 = -0,1792 0,0144 – 0,1936 = -0,1792 905. a) 0,7 ◊

b) 0,92 0,8 2 ◊ 0,4 ; 0,064-del 5

a) b) c) a 2 ,5 3,1 4,9 1,8 0,8 1,3 b (a + b)(a − b) 3,01 8,97 22 ,32 3,01 8,97 22 ,32 a2 − b2

d) 0,6 0,2 0,32 0,32

x 0,8 1,9 0,7 – 0,2 1,2 – 6,7 y 11 , 0,2 1 – 1,6 -4 1,3 ( x + y )( x – y ) – 0,57 3,57 – 0,51 – 2,52 – 14,56 43,2 x 2 – y2 – 0,57 3,57 – 0,51 – 2,52 – 14,56 43,2

908. y1 = (3,6 ◊ 0,03 + 1,2) ◊ 12,3 = 16,0884 y2 = [3,6 ◊ (-0,12) + 1,2] ◊ 12,3 = 9,4464 y3 = 14,80428 909. a) 3,6 + 3,6 ◊ 10,5 + (3,6 ◊ 10,5 – 1,8) = 77,4

b) 77,4 ◊ 0,75 = 58,05

910. (3,16 + 2,1) ◊ 100 = 5,26 ◊ 100 = 526 Az 5,26 a szorzatnak a század része. 911. I. 27,4 m ¸ Ô 12,6 ◊ 2¸ II. 25,8 m ˝ folyosók hossza szônyegek hossza 14,6 ◊ 2˝˛ III. 13,7 m Ô˛ 27,4 + 25,8 + 13,7 > 12,6 ◊ 2 + 14,6 ◊ 2 66,9 > 54,4 Még 12,5 m hosszú szônyeget kell vásárolni. 912. 52,28 + 32,47 + 22,45 ◊ 29 = 735,8 A szerelvény 735,8 tonna. 913. (9,76 – 9,76 ◊ 0,35) ◊ 30,2 kg = 191,5888 kg ª 191,6 kg. 914. A két állomás távolsága 97,2 km.

915. r = 7,6 dm K = 2rp

55,4 ◊ 0,9 + 52,6 ◊ 0,9

K ª 2 ◊ 7,6 ◊ 3,14 K ª 47,728 dm

916. d = 0,8 m K = dp K ª 2,512 m 2,612 m hosszú pántot kell venni az abroncs elkészítéséhez.

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 917. d = 0,63 m K ª 0,63 ◊ 3,14 fordult: 3500-at K ª 1,9782 m út = K ◊ 3500 út ª 6923,7 m 6923,7 m ª 7 km hosszú utat tettünk meg. 918. I.I 2,45 vödör/perc V = (2,45 + 0,6 ◊ 2,45) ◊ 500 II. 2,45 ◊ 0,6 vödör/perc V = 1960 8 óra 20 perc = 500 perc A medencébe 1960 vödör víz fér. 919. 10 m-es szakaszra 4 cölöp kell. A hosszabb oldalon 17 ◊ 4 + 1 cölöpöt helyezünk el. A két hosszabb oldalra tehát 69 ◊ 2 = 138 cölöp kell. A rövidebb oldal két végén akkor már van cölöp, ezért 37,5 : 2,5 – 1 db szükséges egy-egy oldalra. A két rövidebb oldalra 14 ◊ 2 = 28 cölöp kell. Összesen 166 cölöp szükséges. Ha az oldalak mérôszáma 2,5-nek egész számú többszöröse, mint jelen esetben is, akkor egy egyszerûbb megoldás is van: K = (170 + 37,5) ◊ 2. A cölöpök száma 415 : 2,5 = 166. 920. x = 8 m a = 12,5 m b = 33,5 m K= K = (a + 2 ◊ 8 + b + 2 ◊ 8) ◊ 2 K = (12,5 + 33,5 + 32) ◊ 2 K = 156 m 156 m hosszú a kerítés. z 921. T1 = 5,75 m ◊ 12,6 m = 72,45 m2 T2 = 5,75 m ◊ (12,6 ◊ 0,8) m = 57,96 m2 T1 – T2 = 14,49 m2. T1 Az elsô terem 14,49 m2-rel nagyobb területû. T1 + T2 = 130,41 m2. Az iskolai ünnepélyeket 130,41 m2 területen lehet megtartani. 922. a)

1 része = 0,1 része 10 1 része = 0,2 része 5

1 része = 0,01 része 100 1 része = 0,05 része 20

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 2 része = 0,4 része 5 4 része = 0,8 része 5 16 8 része = része = 1,6 része 10 5

923. a) 100 m = 0,1 km 200 m = 0,2 km 500 m = 0,5 km 600 m = 0,6 km 1400 m = 1,4 km

1 része = 0,25 része 4 1 része = 0,5 része 2 125 része = 1,25 része 100

b) 5 dm = 0,5 m 7 dm = 0,7 m 12 dm = 1,2 m 21 dm = 2,1 m 25 dm = 2,5 m

c) 10 cm = 0,1 m 12 cm = 0,12 m 75 cm = 0,75 m 60 cm = 0,6 m 150 cm = 1,5 m

924. a) 2000 m = 2 km 800 cm = 8 m = 0,008 km 30 dm = 3 m = 0,003 km 5 m = 50 dm = 0,005 km c) 500 mm = 5 dm 250 cm = 2,5 m 7 dm = 70 cm 12 km = 12 000 m

b) 2000 mm = 2 m 300 dm = 30 m 5000 m = 5 km 250 mm = 25 cm = 2,5 dm

925. a) 98 cm = 0,98 m ª 1 m 511 mm = 51,1 cm ª 0,5 m 498 cm = 49,8 dm ª 5 m 19 dm = 1,9 m ª 2 m

b) 979 mm = 97,9 cm ª 1 m 760 m ª 0,8 km 51 cm = 5,1 dm ª 0,5 m 9 cm ª 1 dm

c) 48 mm ª 5 cm 760 mm ª 0,8 m 5001m ª 5 km 1 257 m ª km 4

d) 9,8 cm = 0,98 dm ª 1 dm 51,1 mm = 5,11 cm ª 5 cm 4,97 cm ª 5 cm

e) 9,79 mm ª 1 cm

3 m 4 5,1 cm ª 0,5 dm 0,9 cm ª 1 cm

9,06 mm ª 1 cm 5,009 m ª 5 m 2,57 m ª 26 dm

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 928.

5 100 Százalék (%) 5

33 100 Százalék (%) 33

71 100 Százalék (%) 71

3 30 = 10 100 30

929. a) 30 g) 900 930. a)

15 3 = 20 100 15

11 44 = 25 100 44

931. a) 170 km ◊ 0,4 = 85 km ◊ 0,8

36 9 = 25 100 36

933. a = 72,4 kg p = 100 (%) – 85 (%) = 15 (%) sz.é. = 10,86 kg I. II. 72 km 72 km ◊ 1,125 = 81 km 72 ◊ 3,5 menetidô 3,5 h ª 3,11 (h) 72 ◊ 1,125 1 órai út

Ekkor közelítôleg 3,11 óra alatt ért célba. 935. 50 dkg.

87,5 87,5 : 35 = 2,5 2,5 ◊ 100 = 250

b) 850 Ft ◊ 0,33 0,36 : 12 d) 32,34 : 30 = 3,234 : 3 959. a) 0014,69 1469 0001,469 0014,69 0014,69

b) 63,36 06,336 06,336 63,36 63,36

b) 12,18 : 6 12 f) x ¤ 18 g) x > 13 h) x £ 4 Az ábrázolásnál az elôzô feladatban bemutatott megoldások szerint járunk el. 1214. a) b) d) e) f) (3; 4; 5; 6; 7> az egyenlôtlenség. g) h)

<>; üres halmaz a megoldáshalmaz, c) , azonos egyenlôtlenség igazsághalmaz megegyezik az alaphalmazzal,

1215. a) b) c) e) f) g) h) <>, az adott halmazon nincs megoldása. 1216. a) b)

EGYENLÔTLENSÉGEK c) d) e) f) g) h) 1217. a) 1 5;

EGYENLÔTLENSÉGEK g) x £ 3,5

1224. Az ábrázolást az 1223. feladathoz hasonlóan oldjuk meg. 2 1 2 2 b) x £ − c) x > d) x h) x ¤ 2 i) x 1

x 6 2x + 5 x 6 3x – 2

x 6 5- 2x x 6 3 – 4x

5 – 2x > 0 x 3 2 x>4

-2 x + 1 £ x – 2 x ¤1

-2 x + 1 ¤ x – 2 x £1

Nincs megoldás. A két függvénykép párhuzamos, ezért egyenlôség nem állhat fenn. Az x ® 3x függvény képe az 3x – 6 £ 6 x x¤2

x ® 3x – 2 függvény képe fölött halad, ezért a 3x > 3x – 2 egyenlôtlenség teljesül minden esetben.

1231. a) 2 x – 3x 50

I = a természetes számok halmazán. 1232. a)

2x – 5 x – 4 + 3 x – 3 5 – 2 x 11 £ 6 12 12 2 ( x – 3) – ( 5 – 2 x ) £ 11 2 x – 6 – 5 + 2 x £ 11 4 x – 11 £ 11 4 x £ 22 x £ 5, 5

I = a természetes számok halmazán.

Szorozzuk az egyenlôtlenség mindkét oldalát 10-zel.

I = Bármely természetes szám igazzá teszi.

Szorozzuk mindkét oldalt 12-vel.

I = a természetes számok halmazán.

3x + 2 1 – 2 x 9 – 3x ¤ A jobb oldalon álló törtet egyszerûsítsük! 8 4 12 3 x + 2 1 – 2 x 3 – x Az egyenlôtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 8¤ 8 4 4 cal. 3 x + 2 – 2 (1 – 2 x ) ¤ 2 ( 3 – x ) Beszorzás, összevonás után 2 x¤ 3 2 3

I = a természetes számok halmazán. d) Az egyenlôtlenség mindkét oldalát 6-tal szorozzuk. 3( x – 15) + 4( x + 11) > 6( x + 1) x>7 I =

1233. a) A parabola a -2 £ x £ 1 esetén fut az egyenes alatt. Az egész számok halmazán I = . b) A parabola-ág az egyenes fölött fut, ha x 1. I = <. ; -5; -4; -3; 2; 3; 4; . >az egész számok halmazán.

(x + 1)2 £ x + 3 -2 £ x £ 1

( x + 1)2 > x + 3 x 1

M 2 (1; 4) M1 (-2; 1) x6 x+3

1236. A grafikonokat az 1235. feladat megoldásához hasonlóan készítjük el!

a) ( x – 3)2 > -2 x + 6 x 3

( x – 3)2 £ – 2 x + 6 1£ x £3

– ( x – 3) 2 ¤ 2 x – 6 1£ x £3

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK 1237. a) y = -2x + 4 y=x+1 A két függvénykép közös pontjának koordinátái teszik igazzá mindkét egyenletet. x = 1 y = 2. Algebrai megoldás: A két egyenlet bal oldala egyenlô, ezért a jobb oldalon álló kifejezések is egyenlôk! -2 x + 4 = x + 1 4 = 3x + 1 3 = 3x 1= x A kapott x értéket a második egyenletbe behelyettesítve: y = 2. Az (1; 2) számpár teszi igazzá egyszerre a két egyenletet. b) x = 1; y = 1 c) x + y = 2 4x – y = 3 A grafikonról x = 1; y = 1, azaz az (1; 1) számpár a megoldás. Algebrai megoldás: Az elsô egyenletbôl: y = 2 – x. Ezt helyettesítjük be a második egyenletbe! 4 x – (2 – x ) = 3 4x – 2 + x = 3 x =1 Az y értékét az elsô egyenletbôl x = 1 helyettesítésével kapjuk: y = 2 – 1, azaz y = 1. A megoldás az (1; 1) számpár. d) (0; 2) 1238. a) x + y = 2 x-y =2 Æ x =2+y Helyettesítsük be az x-re kapott kifejezést az elsô egyenletbe! (2 + y ) + y = 2 x =2+0 y=0 x=2 A megoldás a (2; 0) számpár. b) 2 x + y = 3 x – y = 0 Æ x = y Írjuk be az elsô egyenletbe! 2x + x = 3 3x = 3 x =1 y = 1 Az (1; 1) számpár a megoldás.

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK c) (2; 1)

Ê 2 9ˆ d) Á ; ˜ Ë 7 7¯

b) (0,2; 0,3) c) (2; -2) d) (-4; 4) x y e) + =3 3 2 x + y = 8 → y = 8 − x , írjuk ezt az elsô egyenletbe! x 8−x + = 3 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 6 – tal! 3 2 2 x + 3(8 − x ) = 18 2 x + 24 − 3 x = 18 24 − x = 18 x=6 A kapott x értéket helyettesítsük az y = 8 – x egyenletbe! y = 8 – 6 y = 2. A megoldás a (6; 2) számpár. f) (15; 4)

Ê 1 1ˆ g) Á ; ˜ Ë 2 3¯

Ê 3 1ˆ i) Á ; ˜ Ë 4 3¯

Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és a 3 x − 3y = 12 jobb oldaliakat is! 2 x + 3y = 3 5 x = 15 x=3 Helyettesítsük pl. az elsô egyenletbe! 3 ⋅ 3 − 3y = 12 y = −1 A megoldás: (3; -1). A többi feladatot is az a)-ban leírtak szerint oldjuk meg!

Ê3 ˆ c) Á ; – 2˜ Ë2 ¯

Ê 1 1ˆ Ê 15 69 ˆ d) Á – ; – ˜ e) Á ; ˜ Ë 2 3¯ Ë 8 32 ¯

1241. a) (0,2; 1,8) b) (6,5; 1,5) c) 4 x + 3y = 4 Vonjuk ki az elsô egyenletbôl a másodikat! 1 2 x + 3y = 2 2 1 2x = 1 2 3 Helyettesítsük pl. az elsô egyenletbe! x= 4 3 4 ◊ + 3y = 4 4 3y = 1 1 y= 3 3 Ê 1ˆ A megoldás a Á ; ˜ számpár. A többi feladatban is hasonlóan járunk el. Ë 4 3¯

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK 1ˆ Ê d) Á – 2; – ˜ Ë 2¯

Ê2 ˆ e) Á ; – 2˜ Ë3 ¯

f) nincs megoldás

Szorozzuk a második egyenlet mindkét oldalát 2-vel! 1242. a) 3x – 4 y = 5 2x + 2y = 8 3x – 4 y = 5 Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és a jobb oldalon állókat is! 4 x + 4 y = 16 7 x = 21 Helyettesítsük pl. az elsô egyenletbe! x =3 3◊ 3 – 4y = 5 – 4 y = -4 y =1 A megoldás a (3; 1) számpár. Ellenôrzés: 3 ◊ 3 – 4 ◊ 1 = 5 illetve 2 ◊ 3 + 2 ◊ 1 = 8. b)

10 x + 3y = -11 2 x – 4 y = -28 10 x + 3y = -11 – 10 x + 20 y = 140 8 x + 3y = 17,5 3x – 8 y = 2 64 x + 24 y = 140 9 x – 24 y = 6 73x = 146 x=2

Szorozzuk a második egyenlet mindkét oldalát (-5)-tel! Ê 64 129 ˆ Az elôzô feladatban leírtak szerint eljárva Á – ; ˜ Ë 23 23 ¯ számpárt kapjuk.

Szorozzuk az elsô egyenlet mindkét oldalát 8-cal, a másodikat 3-mal! Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és a jobb oldaliakat is. y = 0,5 A megoldás a (2; 0,5) számpár.

d) Az elsô egyenletet 5-tel, a másodikat 7-tel szorozva az elôzôhöz hasonlóan kapjuk: (2; 3). e) nincs megoldás f) Az elsô egyenletet 3-mal, a másodikat (-2)-vel szorozzuk és az így kapott egyenleteket összeadjuk. (3,8; 0,8) 1243. a) Végtelen sok számpár igazzá teszi. (x; 4 – 3x) számpárok. 5ˆ Ê 28 b) Á ; – ˜ Ë 65 52 ¯

Ê 1 1ˆ e) Á ; – ˜ Ë 5 2¯

Ê 2 x – 10 ˆ d) végtelen sok megoldás Á x; ˜ Ë 5 ¯

1244. a) Rajzoljunk nagyobb ábrát a füzetbe! (-2; -6); (-3; -8); (-3; -9); (-1; -3,5); . b) (-2; 4); (-2; 3); (-2; 2); (-3; 5); (-3; 4); (-3; 0); . c) (1; -3); (1; -4); (1; -5); (0; -6); (-1; -7); . d) (0; 1); (1; 1); (1; 3); (-1; 2); (-2; 3); .

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK 1245. A bevonalkázott síkrész pontjainak jellemzése: a) y > 3x + 3 b) y > x + 1 c) y > -2x – 1 1 1 1 y x +3 2 3 2 A rácsozott síkrész pontjainak jellemzése: a) y -2x – 1 1 1 1 y x -4 2

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1246. Jelöljük a kisebb számot x-szel! I. szám II. szám Összegük 3x x 144 3x + x = 144 4 x = 144 x = 36 3x = 108 Az elsô szám 108, a második 36. Ellenôrzés: 108 : 36 = 3; 108 + 36 = 144.

1247. Ha egy természetes szám végére 0-t írunk, az azt jelenti, hogy megszorozzuk 10-zel. A kisebb szám legyen x, akkor I. szám II. szám Összegük x 10 x 847 x + 10 x = 847 11x = 847 x = 77 A két szám 77 és 770. Ellenôrzés: 77 végére 0-t írunk 770 és 77 + 770 = 847.

1248. A természetes szám végérôl ha elhagyunk egy 0-t, az 10-zel való osztást jelent. A két szám 4790 és 479. 1249. A szöveg alapján a következô egyenlete írható fel: (5x + 6) : 7 = 8; x = 10. 1250. A felírható egyenlet:

x+5 ◊ 3 – 1 = 14 . A szám: x = 5. 2

1251. 13 870; 1387 a két szám. 1252. A kétjegyû szám: 10x + y A jegyek felcserélésével kapott szám: 10y + x Hozzáadunk 14-et: 10y + x + 14 10 y + x + 14 Felezzük: 2

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK A hányados jegyeit felcserélve 64-et kapunk, tehát a hányados 46. Így a következô egyenlet írható fel: 10 y + x + 14 = 46 2 10 y + x + 14 = 92 10 y + x = 78 Az eredeti szám: 87. Ellenôrzés: A jegyeket felcseréljük: 78, ehhez 14-et adunk 92, megfelezzük 46, a jegyeket felcseréljük 64. 1253. A gondolt szám: x. I. (x + 3) ◊ 4 ( x + 3) ◊ 4 > 5x

II. A szám ötszöröse: 5x

( x + 3) ◊ 4 = 5x + 2 4 x + 12 = 5x + 2 10 = x

Ellenôrzés: (10 + 3) ◊ 4 = 52 5 ◊ 10 = 50 52 > 50 2-vel

1254. Az utolsó lépésbôl visszafelé indulva, vagy a következô egyenlet megoldásával: [(x – 60) ◊ 2 – 60] ◊ 2 – 60 = 0 A gondolt szám 105. 1255. A felírható egyenlet: 4x + 2 = (x + 3) ◊ 3. A szám: 7. 1256. A gondolt szám x. 2 x – 16 + 60 – 3x = 6; x = 20 4 1257. Az egyik szám x, a másik 2250 – x. 12 x 18(2250 – x ) = 100 100 12 x = 40500 – 18 x 30 x = 40500 x = 1350 Az egyik szám 1350, a másik 900. Ellenôrzés: 1350-nek a 12 %-a 1350 ◊ 0,12 = 162 900-nak a 18 %-a 900 ◊ 0,18 = 162.

1258. A felírható egyenlet:

3 x x – 5 = ; A keresett szám 12. 4 3

1259. Ha egy szám páros, akkor az 2-nek többszöröse. Az egyik páros szám legyen 2k, akkor a rákövetkezô páros szám 2k + 2. 2 k + (2 k + 2) = 74 4 k = 72 2 k = 36 Az egyik páros szám a 36, a másik a 38.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK

3+ x 3 = 7+ x 5 15 + 5x = 21 + 3x 2x = 6 x =3

x π -7 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 5(7 + x)-szel. Ê 6 3ˆ A számlálóhoz és a nevezôhöz is 3-at kell adni. Á = ˜ Ë 10 5 ¯

1261. A szám x. ÈÊ x ˆ ˘ Ô¸ ÔÏ x Ì + 3 – ÍÁ + 3˜ : 5˙ ◊ 2˝ ◊ 3 = 18 ÎË 2 ¯ ˚ ˛Ô ÓÔ 2 x Ê x 3ˆ + 3-Á + ˜ ◊2 = 6 Ë 10 5 ¯ 2 x x 6 + 3 – – = 6 Szorozzuk 10 – zel! 2 5 5 5 x + 30 – 2 x – 12 = 60 3x = 42 x = 14 Ellenôrzés: A szám 14, a fele meg három az 10, ebbôl vegyük el ötödének a kétszeresét, ami 4. A különbség 6. 6-nak a 3-szorosa 18.

1262. I. szám 12 12 + 3 ◊ x

4 x = 2 x + 6 ,4 x = 3,2

Ekkor az elsô szám 6,4, a második 9,6, a harmadik pedig 12,8. 1268. A három szám: x; y; z. Összegük 99. Tudjuk még, hogy 10 x = a 15y = a 5z = a a a a x= y= z= 10 15 5 A felírható egyenlet: a a a + + = 99, a = 270 10 15 5 x = 27; y = 18; z = 54.

1269. Az elzô két feladatben leírtakat alkalmazhatjuk, de most bemutatunk egy másfajta módszert is! Legyen a három szám: x; y; z. A következô három egyenletet írhatjuk fel a szöveg alapján (1) x + y + z = 22 1 1 (2) x + = y Æ x = y -1 2 2 1 5 2Ê 1ˆ (3) y – = z Æ z = Áy – ˜ 2 2 5Ë 2¯ Az x-re, z-re kapott kifejezéseket helyettesítsük az (1) egyenletbe! 2Ê 1ˆ ( y – 1) + y + Á y – ˜ = 22 Ë 5 2¯ 2 y=9 3 2 2 2 Ê 2 1ˆ 2 (2)-bôl x = 9 – 1 = 8 (3)-ból z = Á 9 – ˜ = 3 3 3 5 Ë 3 2¯ 3 Ellenôrzésként adjuk össze a kapott számokat.

1270. Ha a négy szám változtatása után kapott azonos számot jelöljük x-szel, akkor a következô egyenlet írható fel: 1ˆ Ê 1ˆ 1 1 1 Ê Á x – 5 ˜ + Á x + 5 ˜ + x : 5 + x ◊ 5 = 190 Ë 2¯ Ë 2¯ 2 2 8 99 3 = 24 x= 4 4

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1 1 1 1 Ebbôl a négy szám 19 ; 30 ; 4 ; 136 . 4 4 2 8

1271. A gondolt számot x-szel jelölve a következô egyenlet írható fel: 2x + 4 = x+2 x = -2 3 1272. A felírható egyenlet: 2 5x – 3 + (5x – 3) = 85 3

1273. Jelöljük a harmadik rész x-szel. I. II. III. Összegük 0,4( x ◊ 0,3) x ◊ 0,3 x 284

0,12x + 0,3x + x = 284

A harmadik rész 200, a második 60, az elsô 24. 1274. Legyen a három szám sorrendben x; y; z. Összegük 770. További összefüggések: 4 4 7 , innen y = x : 53 = x ◊ 7 7 375 2 44 2 34 17 , innen z = x ◊100 : 44 = x ◊ x = z◊ 100 17 15 A felírható egyenlet:

7 34 + x◊ = 770 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 375- tel! 375 15 375 x + 7 x + 850 x = 770 ◊ 375 1232 x = 770 ◊ 375 Oszthatjuk mindkét oldalt 11 ◊ 2 ◊ 7 – tel. 1875 3 x= = 234 8 8

1875 7 35 34 1875 3 1 ◊ = =4 z= ◊ = 531 8 375 8 15 8 8 4 Ellenôrzésként adjuk össze a három számot.

1275. Jelölje x az elsô rész kétszeresét, a második háromszorosát, illetve a harmadik négyszex x x resét. Így az elsô rész , a második , a harmadik . Ezek összege 130. Tehát: 2 3 4 x x x + + = 130, x = 120 . 2 3 4 A részek: 60; 40; 30.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1276. Legyen a három rész x, y, z. Összegük 472. x ◊ 0,5 = y ◊ 0,6 = z ◊ 0,8, innen y =

5 5 5 x , a három rész összegét felírva x + x + x = 472 egyenletet kapjuk. x = 192. 8 6 8 5 5 y = ◊ 192 = 160 , z = ◊ 192 = 120 . A három szám: 192; 160; 120. 6 8

1277. A felírható egyenlet x + 3x + 9 x =

5 5 5 65 5 , innen x = . A számok: ; ; . 99 33 11 99 99

1278. Felcserélés után az eredeti számnál nagyobbat kapunk, ezért az egyesek helyén áll a nagyobb számjegy. Eredeti szám: Felcserélés után:

Tízes Egyes A szám x 2x 10 x + 2 x x 2x 10 ◊ 2 x + x

20 x + 4 x > 20 x + x 12-vel

A keresett kétjegyû szám 48. Ellenôrzés: 48 ◊ 2 = 96, a jegyek felcserélésével kapott szám 84. 96 – 84 = 12. 1279. Jelöljük az egyesek helyén álló számjegyet x-szel. Eredeti szám: Felcserélés után:

Tízes Egyes A szám x+3 x 10( x + 3) + x x x + 3 10 x + x + 3

A két szám összege 143. [10(x + 3) + x] + (10x + x + 3) = 143, innen x = 5. A szám 85. 1280. Eredeti szám: 1- et hozzáadva: Felcserélés után:

Tízes Egyes A szám 10( x – 3) + x x -3 x x -3 x +1 x + 1 x – 3 10( x + 1) + x – 3

Az eredeti és az utoljára kapott szám összege 153. 10( x – 3) + x + 10( x + 1) + x – 3 = 153 x =8 Az eredeti szám: 58, 1-et hozzáadva 59, felcserélve 95.

1281. (1) Az eredeti szám: 10x + y (2) Felcserélés után: 10y + x (3) (2)-höz 12-t adva: 10y + x + 12 10 y + x + 12 (4) (3)-at felezve: 2

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK (5) A (4)-ben kapott szám jegyeit felcserélve: 42, tehát 10 y + x + 12 = 24 2 10 y + x = 36 Az eredti szám 63. 1282. Mivel a felcserélés után az eredetinél kisebb számot kapunk, az eredeti számban a tizesek helyén áll a nagyobb számjegy: x. 10 x + ( x – 3) – 1 = 10( x – 3) + x 2 x=5 A keresett szám: 52. 1283.

Tízes Egyes A szám Eredeti szám: x x+2 10 x + x + 2 Felcserélés után: x+2 x Változtatva: x + 2 + 3 x – 2 10( x + 5) + x – 2

Az egyenlet: 10( x + 5) + x – 2 = 2(10 x + x + 2) x=4 Az eredeti szám 46. 1284. Jelöljük az egyesek helyén álló számjegyet x-szel! Mivel a számjegyek összege 13, a tízesek helyén 13 – x áll. Ekkor a kétjegyû szám: 10(13 – x) + x. Az osztó 12, a maradék x – 2, a hányados x. A maradékos osztás ellenôrzése segít a következô egyenlet felírásához: 10(13 – x ) + x = 12 x + ( x – 2) x=6

A keresett szám 76. Ellenôrzés: 76 : 12 = 6 Ellenôrzés: 74 A hányados megegyezik a szám utolsó jegyével, a maradék pedig ennél 2-vel kevesebb. 1285.

Tízes Egyes A szám Eredeti szám: x 10 – x 10 x + (10 – x ) Felcserélés után: 10 – x x 10(10 – x ) + x 10(10 – x ) + x 1 , ezért a feladatnak nincs megoldása. 2 4 3 12

1331. x szál virágot vettünk. Ê x 4 1ˆ x – Á + x ◊ ˜ = 15; Ë 5 5 4¯

1332. TE = 93 036 km2 : 0,009 = 10 337 333 km2 TB ª 577 km2 ª 580 km2 = 580 000 000 m 2 = 5,8 ◊ 108 m2 1333. 9 férfi 21 nô dolgozik a munkahelyen. 1334. A feladat következtetéssel könnyen megoldható. 504 mogyorót gyûjtöttek összesen, a szülôk 336, a nagyobb mókusgyerek 126 mogyorót gyûjtött. 1335. A tört:

x 2x 7 ; a kétszerese ; x – 2 = 2x – 9. a tört. x -2 x -2 5

x x + 5 x + 14 = , a reciproka x+5 x x+4

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK ( x + 5)( x + 4) = x ( x + 14) x + 5x + 4 x + 20 = x 2 + 14 x 20 = 5x x=4 4 A tört: . 9 2

1337. A pókok száma A cserebogarak száma Összesen x 8- x 8 8x + 6(8 – x) = 54;

3 pókot és 5 cserebogarat gyûjtött. 1338. ötös négyes hármas x

kettes egyes összes x +1

x + 2x + 4(x + 1) + (x + 1) + 1 = 30 + 2x + 4(x + 1) + (x + 1) + 1x = 30 3 ötös, 6 négyes, 16 hármas, 4 kettes és 1 egyes dolgozat van. 1339. Kati Juli

1 óra alatt 10 15

x óra alatt összesen 10 x 200 15 x

8 órát dolgoztak. Juli 40 kg-mal szedett többet. 1340. Volt Lett

I. II. x 5 x – 7 5 + 7 + 2( x – 7)

12 + 2(x – 7) = 30; x = 16 Az elsõ kosárban 16 alma volt. 1341. T1

T1 = 240 m 2 T1 = 3x ◊10 m 2 240 = 30 x 8=x

T = x ⋅ 3x T = 8 ⋅ 24 T = 192 m 2

A rövidebb oldal 8 m, a kert területe 192 m2. 1342. Balázs nyert játszmáinak számát jelöljük x-szel!

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK A 2x B x K x+1 Összesen 21 játszma. 2 x + x + x + 1 = 21 x=5

Andi 10, Balázs 5, Kati 6 játszmát nyert. 1343. A csoportok létszáma számtani sorozatot alkot. a + (a1 + 9d ) S10 = 300 S10 = 1 ◊ 10 2 n = 10 2a – 18 300 = 1 d = -2 ◊ 10 2 a1 = a1 = 39 Az egyes csoportokban dolgozók száma: 39, 37, 35, 33, 31, 29, 27, 25, 23, 21. x , négyes x, így a feladat nem oldható meg, mert a 3 teljes osztály négyest kapott volna. A négyes és ötös osztályzatok száma már több lenne az osztály létszámánál. Ha az ötösök számáról nem tudunk semmit, akkor x db ötös van, négyes 3x, hármas 2x, kettes x, egyes 4. Az osztályzatok összege 104. 5 ◊ x + 4 ◊ 3x + 3 ◊ 2 x + 2 ◊ x + 4 = 104 x=4 Ötöst 4, négyest 12, hármast 8, kettest 4 és egyest is négy tanuló kapott. Az osztálylétszám 32.

1344. Az osztályba x tanuló jár, ötös

1345. Az osztály létszámát jelöljük x-szel. lány fiú 4 3 I. x x 7 7 4 3 II. x+4 x 7 7 3 4 x+4= x 7 7 x = 28 Az osztályba eredetileg 28 tanuló járt.

1346. Marikának x Ft-ja volt. x Elköltött: Ft-ot és kapott a maradékhoz 50 Ft-ot. 2 x Lett: + 50 Ft 2 1 4 Êx ˆ Ennek részét elköltötte, maradt ◊ Á + 50˜ Ft-ja. ¯ 5 5 Ë2

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK Kap hozzá 40 Ft-ot, így

4 Êx ˆ ◊ Á + 50˜ + 40 Ft -ja lesz. ¯ 5 Ë2

1 2 részét odaadta, így rész maradt, ebbôl még 50 Ft-ot költött, maradt 350 Ft-ja. 3 3

˘ 2 È4 Ê x ˆ ◊ ◊ Á + 50˜ + 40˙ – 50 = 350; ¯ 3 ÍÎ 5 Ë 2 ˚

Marikának 1300 Ft-ja volt. 1347.

J G V Összesen 43 x + 5 x ( x + 5) + 3 x + 5 + x + x + 5 + 3 = 43 3x = 30 x = 10

Jánosnak 15; Gábornak 10; Vilmosnak 18 almája van. 1348.

1+ 2 + 3+ 4 + x = 2,8; x = 4 5 A négyes sorszámú cédula szerepel kétszer. I. Volt 2x Lett 2 x – 10

(2x – 10) – 3 = x + 10;

Eredetileg az elsô kosárban 46, a másodikban 23 tojás volt. 1350. Apa 7 percig, Ildi 14 percig, anya 9 percig készülôdik. 1351. A nôk száma x, akkor a férfiaké 2050 – x. 3 x = (2050 – x ) ◊ 0,4; 5

820 nô és 1230 férfi dolgozik a gyárban. 1352. 20 %-kal csökkentették, akkor az új ár az eredetinek a 80 %-a, majd az így kapott árnak a 90 %-át kell fizetnünk. (3000 ◊ 0,8) ◊ 0,9 = 2160 1353. A termék eredeti ára x Ft volt. A 30 %-kal csökkentett érték: 0,7x Ft. További 5 %-kal csökkentett ár: 0,95 ◊ 0,7 ◊ x Ft. Az ezutáni áremeléssel kapott ár: 1,4 ◊ 0,95 ◊ 0,7 ◊ x Ft. 1,4 ◊ 0,95 ◊ 0,7 ◊ x = 6275 Az eredti ár 6740 Ft volt.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1354. 24 ◊ 1,05267 ª 10 908 225 1992. év végén 10 908 225 dollárjuk lett volna. 1355. 200 + 200 ◊ 1,1 + (200 ◊ 1,1) ◊ 1,1 + (200 ◊ 1,12) ◊ 1,1 + 200 ◊ 1,13 ◊ 1,1 = 1221 Egy mértani sorozat elsô öt tagjának az összege. Általánosan így számolhatunk: Sn = a ◊

ahol Sn n tag összege, a a kezdô tag, q az egymást követô tagok hányadosa, n a tagok száma. 1 3 3 3 5 1 Ê1 ˆ rész rész; II. rész része = rész; III. Á rész + rész˜ : 2 = Ë4 ¯ 4 2 8 8 16 4 A maradék részt így határozzuk meg:

4+6+5 1 Ê1 3 5 ˆ 1-Á + + ˜ = 1= Ë 4 8 16 ¯ 16 16 1 1 13 rész + rész : 3 = rész 4 16 48 3 1 19 II. rész + rész : 3 = rész 8 16 48 5 1 16 III. rész + rész : 3 = rész 16 16 48

1357. Eredeti ár legyen x Ft. (x ◊ 0,8) ◊ 0,75 lett a végsô ár. (x ◊ 0,8) ◊ 0,75 ◊ y = x fi 0,8 ◊ 0,75 ◊ y = 1; y ª 1,67 A vásár végén 67 %-os áremelést hajtottak végre. 1358. A pénzünk x Ft, 3 év múlva az elsô bankban [( x ◊ 115 , ) ◊ 115 , ] ◊ 115 , Ft, a másodikban x ◊ 1,5 Ft ª x ◊ 1,52 > x ◊ 1,5

Az elsô bankot kell választani! 1359. Adrien induló tôkéje x Ft. Az egy évi kamat: I. II. III. Összes (0,7 x ) ◊ 0,33 (0,25x ) ◊ 0,26 ( x ◊ 0,05) ◊ 0,17 9135 Ft 0,231x + 0,065x + 0,0085x = 9135 0,3045x = 9135 x = 30 000

Az induló tôke 30 000 Ft volt.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1360. A 4 m2 30 %-a 1,2 m2. Azt kell meghatároznunk, hogy ez hány százaléka a 6 m2-nek. 1,2 ◊ 100 = 20 6

A tulipános terület 20 %-kal csökken. 1361. Jelöljük a középsô testvérre jutó részt x-szel. (x + 600) + x + (x – 600) = 12 000;

A legidôsebb 4600 Ft-ot, a középsô 4000 Ft-ot, a legkisebb 3600 Ft-ot kap. 1362. Jelöljük az elsô könyvszekrényben lévô könyvek számát x-szel, akkor a másodikban 100 – x van. x x x – – 6 = 100 – x + + 6; x = 84 3 3 Az elsô szekrényben 84 könyv volt, a másodikban 16. 1363. I.

2 Ft – os 5 Ft – os Értéke (db) (db) (Ft) x 18 − x 2 x + 5 ⋅ (18 − x )

2 ◊ [2 x + (18 – x ) ◊ 5] = (18 – x ) ◊ 2 + 5x 2(2 x + 90 – 5x ) = 36 – 2 x + 5x 180 + 4 x – 10 x = 36 + 3x 144 = 9 x x = 16 16 db 2 Ft-osa és 2 db 5 Ft-osa, azaz 42 Ft-ja van. Ha fordítva lenne, akkor 2 db 2 Ft-os és 16 db 5 Ft-os, 4 Ft + 80 Ft = 84 Ft-ja lenne.

1364. A létrafokok közötti különbséget jelöljük x-szel, akkor 250 = 80 + (80 – x ) + (80 – 2 x ) + (80 – 3x ) + (80 – 4 x ) x = 15 A létrafokok közötti különbség legfeljebb 15 cm lehet. A létra fokai 80 cm, 65 cm, 50 cm, 35 cm, 20 cm hosszúságúak lehetnek. 1365. x-szer kell 2-2 diót adni. Így: 16 + 2x = 2(5 + 2x); x = 3 Háromszor kell 2-2 diót adnunk, hogy az elsônek kétszerannyi diója legyen, mint a másodiknak.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1366.

Hány nap alatt Hányadrészét x nap alatt eszi meg az egészet? eszi meg 1 nap alatt? hányadrészét eszi meg? A ló

1 30 1 90 1 120

x 30 x 90 x 120

Együtt megeszik x nap alatt az egészet. x x x + + = 1; 30 90 120

Ê 360 ˆ x ª 19 nap Á = nap˜ Ë 19 ¯

1367. x nap alatt kövezik ki együtt az utat. 11x + 13x = 120; x = 5 5 nap alatt kövezik ki a 120 m-es utat. 1368. 100 = 10x + 15x; x = 4 4 perc alatt telik meg a kád. 1369. 10 = 2,5x – 0,5x; x = 5 Az 1000 l = 10 hl-es tartály így 5 óra alatt telik meg. 1370.

Hány óra alatt 1 óra alatt hányad tölti meg külön? részét tölti meg? 1. csap

x óra alatt hányad részét tölti meg?

Együtt x óra alatt töltik meg az egész tartályt! x x x + + =1 6 4 3 2 x + 3x + 4 x = 12 12 4 x= = 9 3 1 óra 20 perc alatt telik meg a tartály a 3 csövön keresztül. 1371. A kiürülés a töltés ellentettje! a) 950 = 500x + 300x – 200x – 500x; x = 9,5 9,5 óra alatt telne meg a kád. b) A második lefolyó csak fél órán át engedi ki a vizet.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 950 = 500 x + 300 x – 200 x – 500 ◊

1200 = 600 x x=2 Így 2 óra alatt telik meg a kád.

Hány óra alatt tölti meg?

1 óra alatt hányad részét tölti meg?

x óra alatt hányad részt tölt meg?

1 x 10 10 x 1 2. csap 5 5 5 Hány óra alatt 1 óra alatt hányad – x óra alatt hányad üríti ki? rész folyik ki? rész folyik ki?

x óra alatt az egész medence tele lesz. x x x 30 + = 1; x = (ª 4,3) 10 5 15 7 30 Így óra alatt telik meg a medence. 7 1373. Az elôzô táblázatot egyszerûsíthetjük, ha figyelembe vesszük, hogy a kiürítés negatív töltés! Hány óra alatt tölti meg? 1. csap

1 óra alatt x óra alatt hányad részét? hányadrészt? 1 10 1 15 1 − 5

x óra alatt telne meg teljesen a medence. x x x + – = 1; x = -30 15 10 5 Soha nem telne meg a medence, illetve a teli medence 30 óra alatt ürülne ki, ha lefolyó és a két csap egyidejûleg nyitva van.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1374. Az egyik percenként illetve

1 1 x részét, a másik a pálya részét futja be. x perc alatt részt 3 5 3

x részt futnak, de ekkor éppen egy teljes pályahosszat tesznek meg együtt. 5 x x 15 15 + = 1; x = ; perc = 1,875 perc 3 5 8 8

15 percenként találkoznak. 8

1375. Ha az elsô brigád fele létszámmal dolgozik, az a brigád számára kétszeres munkaidôt jelent. Ennyi nap 1 nap alatt ennyi x nap alatt ennyi szükséges részt ásnak résszel végeznek x 1 I. 10 10 10 1 x II. 4,5 4,5 4,5 1 x III. 4 4 4 x nap alatt készen lesznek az egész gyümölcsös felásásával. x x x 180 + + = 1; x = ª 1,75 10 4,5 4 103 1376.

Ennyi óra alatt 1 óra alatt ennyied telik meg rész telik meg 1 12 1. 12 1 8 2. 8 3 3. 8 1 lefolyó 9 9

x óra alatt ennyied rész telik meg x 12 x 8 3x 8 x 9

A kifolyás negatív töltôdés. x x 3x x + + – = 1; 12 8 8 9

A medence közelítôleg 2,1 óra alatt telik meg. 1377. Tomi munkaideje: (3 + x) nap Karcsi munkaideje: (3 + 5) nap (3 + x) ◊ 30 + (3 + 5) ◊ 45 = 600;

Pontosan be tudja fejezni, ha szombaton és vasárnap is dolgoznak. (3 + 5 + 5 = 13)

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1378.

1 óra alatt Munkaidô ennyied rész órákban 1 16 1 12

A felásott rész

Együtt felásáták az egészet. 5 5+ x 13 + = 1; x = 16 12 4 1 Gézának még 3 órát kellett dolgoznia. 4

v (km / h) t (h) s (km) I. II.

Találkozásukig ketten együtt megteszik a teljes utat. 3,5x + 4,5x = 24;

3 óra múlva talákoznak, azaz 11 órakor. 1380.

4,5x + 2 + 3,5x = 18 x=2

4,5x + 3,5x – 2 = 18 x = 2,5

14 órakor és 14 óra 30 perckor lesznek egymástól 2 km távolságra. 1381. Ugyanannyi ideig kerékpároztak, a gyorsabb 1 körrel többet tett meg, ezért 8 x = 6 x + 240 x = 120

120 s alatt a gyorsabb 960 m-t kerékpározik, a lassúb 720 m-t, így 4 kört tesz meg a gyorsabb. Más megoldás: k ◊ 240 = 8 x ¸ k ◊ 30 = x fi l ◊ 240 = 6 x ˝˛ l ◊ 40 = x

30 és 40 legkisebb közös többszörösét keressük, az 120. k = 4, l = 3. 1382. A gyorsabb óránként 10 km-rel tesz meg többet, tehát pontosan 1 óra múlva körözi le a lassúbb autót.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK

1383. 4 x + 2 x = 12 x=2 Délután 4 órakor találkoznak. Az egyik 8 km, a másik 4 km utat tesz meg. 1 1 óra = 12 perc alatt ér az iskolához, Gábor óra = 30 perc alatt. Így Gábornak 5 2 18 perccel kell hamarabb indulnia.

1385. Bea s méterre lakik az iskolától, menetideje 10 min. Anna 2s méterre lakik, ha ugyanolyan gyorsan halad, mint Bea, akkor kétszer annyi idôre van szüksége, így Anna 7 óra 10 perckor indul. 1386.

16 x x x − 1 18( x − 1)

A gyorsabb kerékpáros menetideje 1 órával kevesebb, vagy a lassúbbé 1 órával több. A megtett út ugyanakkora. 16x = 18(x – 1);

A lassabban haladó 9 óra alatt, a gyorsabb 8 óra alatt ért a városba. A falu és a város távolsága 144 km volt. 1387. A B

3x + 4(x – 2) = 27; 13 órakor talákoznak.

1388. Gondolkozzunk hasonlóan, mint az 1386. feladatban! Bea menetideje 3

40 km-re volt. 1 1 órát tölt úton, oda óra az út busszal. Vissza gyalog 2 4 1 1 1 1 1 1 h – h = 1 h . Oda-vissza gyalog 2 ◊ 1 h = 2 h . 4 2 4 4 2

1389. Ha csak busszal utazik

15 km 1 10 km 1 s ; t1 = = h ; t2 = = h km 5 km 6 v 75 60 h h A második úton 2 perccel hamarabb érünk oda.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1391. Az 1381-es feladat megoldásában leírt gondolatmenetet követjük. 750 s múlva lesznek újra együtt. 1392. Jelöljük a pálya hosszát x-szel. Árpi sebessége

x x x x x ; Bandié . Árpi = 18 24 18 24 72

egységgel hosszabb utat tesz meg percenként. Êx x ˆ =˜ 36 perc szükséges. A félpálya hátrány ledolgozásához Á : Ë 2 72 ¯ 1393. 1,5 ◊ 50 + (1,5 – x ) ◊ 70 = 120 6 x= 7 6 A gyorsabb motoros órával, közelítôleg 51 perccel indult késôbb. 7 5 km h = 18 6 h km A gyalogos sebessége: 15 km : 3 = 5 h Ha a gyalogos x óráig volt úton, akkor a kerékpáros x – 1 óráig kerékpározott. 5x + 18( x – 1) = 15 33 x= 23 33 A gyalogos indulási helyétôl 5 ◊ km -re, azaz közelítôleg 7,2 km-re találkoznak. 23

1394. A kerékpáros sebessége: 15 km :

1395. Az 1380-as feladatban leírtak szerint gondolkodhatunk. Indulásuktól számítva 15 másodperc, illetve 35 másodperc múlva lesznek egymástól 120 m távolságra. 1396. 2 x = 40 ◊ 6 + 40 ◊ 8 + 50 ◊ 6 + 50 ◊ 8 x = 630 Induláskor 630 m-re voltak egymástól.

1ˆ Ê 1397. 4 + 6Á x – ˜ = 3 + 4 x; Ë 2¯

1 óra múlva éri utol, 2 az indulási helytôl 7 km-re.

km km Ê 1ˆ ◊1 h + 6 ◊Á x – ˜ h h h Ë 2¯

Elindulásuk után 1

km 1 km ◊ h+4 ◊x h h 2 h

1398. Mivel a két csónak 1 óra múlva találkozik, a dongó repülési ideje is 1 óra, sebesség km , így éppen 10 km-t repül a találkozásig. pedig 10 h

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1399.

6( x + y ) = 21( y – x ) 27 x y= 15 27 x ˆ m Ê 6◊Á x + ˜ = 2500 x = 148,8 Ë ¯ 15 perc m y = 267,86 perc

6 ◊ ( x + y ) = 2500¸ 21 ◊ ( y – x ) = 2500˝˛

m m , a gyorsabb 4,46 s s sebességgel halad.

( x + 20) ◊ 8 > 720 x > 70¸ 70 6 x – 10 Szorozzuk az egyenlôtlenség mindkét oldalát 3- mal! 3 2 x – 6 > 18 x – 30 24 > 16 x 3 3 >x 2 2

1449. Az idén kapott tankönyvek száma legyen x! x 23 > ; 3 6

Legalább 12 tankönyvet kaptunk az idén. 1450. Ha x-szel jelöljük az 1 kg gyümölcs árát, akkor a következô két egyenlôtlenséget írhatjuk fel, melyeknek egy idôben kell taljesülnie 4 x £ 160 fi

x > 30 30 4( x + 2) x>4

Naponta 4-nél több cipôt készítenek. 1453. Dóra x kg diót szedett! A: 2 x ¤ 5; B: 3 x ¤ 5; C: x + 2 ¤ 5; D: 2 ¤ 5; 2 x + 3 x + ( x + 2 ) + x 18 x + 18 > 2 x x>6 18 > x 6 0 ˝˛

1461. A Béka Géza által megevett legyek száma x. 1 légy = 2 szunyog.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 2 ◊ 17 + 3 > 2 x + 20 8,5 > x

Béka Géza legfeljebb 8 legyet ehetett. 1462. A kétjegyû szám 10(x + 6) + x A jegyek felcserélésével kapott szám 10x + (x + 6) 10 ( x + 6 ) + x – [10 x + x + 6] ¤ 20 54 ¤ 20 mindig igaz

Ezért a feltételeknek eleget tevô számok: 60; 71; 82; 93. 1463. Az elsô könyv x lapos, ebbôl x – 50 csak írásos lap. A második könyv 2x lapos, ebbôl 2x – 200 ábra nélküli, az ábra nélküli lapok fele x – 100. x – 50 > x – 100

Az ábrák miatt x ¤ 50. Az elsô könyv legalább 50 lapos. 1464. Petinek és Palinak x kutyája volt.

A kutyáik száma fialás elôtt A kutyáik száma fialás után

Peti még kapott 8 kiskutyát, így: 3x + 8 > 3(x + 2)

Eredetileg akárhány kutyájuk lehetett. 1465. A beszélgetés alapján a következô egyenlôtlenség írható fel: 2(x + 50) > x + x + 100 ellentmondás, mert a két kifejezés egyenlô egymással. 1466. A tavalyi üvegek száma x. 2x + 5 ¤ 2(x + 1)

Bármennyit tehetett el a nagymama. Tyúkok 1467. Libák x x 2x > ( x – 12 ) + ( x – 12 ) 2x > 2 x – 24 azonos egyenlôtlenség, ha x ¤ 12 .

1468. Ha minden kártya legalább ötöt ér, akkor a kártyákon az 5; 6; 7; 8; 9 számok szerepelnek. Legrosszabb esetben az 5; 6; 7; 8 számokat húzzuk. 5 + 6 + 7 = 18 már eleget tesz a feltételeknek, tehát biztosan nyerünk. A kihúzott lap: x.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 5 + 6 + 7 + x ¤ 18 x ¤ 0⎫ Mindig nyerünk. nincs azonos, ezért x > 7 ⎬⎭

FÜGGVÉNYEK Hozzárendelések 1469. A rendezett párok a következõk lehetnek: (2; 1) , (2; 2) (4; 1) , (4; 2) , (4; 4) (6; 1) , (6; 2) , (6; 3) , (6; 6) (8; 1) , (8; 2) , (8; 4) , (8; 8) a) A 2 az egyetlen olyan páros szám aminek pontosan két osztója van. Ezért a 2 az egyetlen páros prím. b) A felhasznált egyjegyû páros számok közül a 6 és a 8 is négy osztóval rendelkezik. c) A reláció nem függvény, hiszen egy számhoz több számot is rendelhetünk. 1470. A = Alkossunk rendezett (a; b) elempárokat, ahol b az a pozitív osztóinak a számát jelentse: (11; 2) , (13; 2) , (15; 4) , (17; 2) , (19; 2) a) A halmazból egyedül a 15 lesz összetett szám, azaz az összes többi prím. A 15-nek 4 pozitív osztója van. b) A megadott hozzárendelés függvény. 1471. a) A verseny végeredménye 24 féleképpen alakulhatott, hiszen az elsõ helyre négy, a másodikra három, a harmadikra kettõ, az utolsó helyre már csak egy lehetõség adódhat. Ezek szorzata adja a végeredményt. b) Mivel Antal nem lett elsõ, és Béla második lett, ezért az elsõ helyen ketten végezhettek. A második Béla lett. A harmadik helyen szintén ketten végezhettek, az utolsó helyen így már csak egy lehetõség marad. A lehetséges sorrendek száma: 2 ◊ 2 = 4. 1472. a) A relációk megadására használhatunk rendezett számpárokat, nyíldiagrammot, táblázatot vagy koordináta-rendszerben is ábrázolhatjuk az egymáshoz tartozó értékeket. Néhány példa: 1. (-2; 1) , (0; 2) , (2; 3) 2.

FÜGGVÉNYEK b) A lehetséges számpárok: (-2; 1) , (-2; 2) , (-2; 3), (0; 1) ,- (0; 2) , – (0; 3) (2; 3) 1473. Adjuk meg a hozzárendelés táblázatát: x

Mivel a -1 œB, ezért az 1-hez nem tudunk hozzárendelni egy értéket sem. Ezért a megadott hozzárendelés nem függvény. 1474. a) A hozzárendelés függvény lesz. b) A hozzárendelések megadásánál arra kell ügyelnünk, hogy ha megadjuk a két alaphalmazt (A és B) és közöttük függvény kapcsolatot (A Æ B) szeretnénk létesíteni, akkor A minden egyes eleméhez B-bõl pontosan egy elemet rendelhetünk hozzá. Pl.: A = B = Ha minden a ŒA-hoz hozzárendeljük b ŒB-t úgy, hogy b az a pozitív osztóinak száma legyen, akkor függvényt kapunk. Nem kapunk akkor függvényt, ha a ŒA-hoz a pozitív osztóit rendeljük hozzá. 1475. A keletkezõ párok függnek attól, hogy a számokat milyen elrendezésben helyezzük a kocka éleire. Mi csak egy lehetõséget mutatunk be. a) halmazból képezhetõ számpárok: 12 lehetõség. halmazból képezhetõ számpárok: 12 lehetõség. halmazból képezhetõ számpárok: 12 lehetõség. Így összesen 36 számpár írható fel. b) Minden csúcsban 3 él találkozik. Pl.: halmazból 6 rendezett számpár írható fel: (1; 4) , (1; 5) , (4; 1) , (4; 5) , (5; 1) , (5; 4). Mivel 8 csúcs van így összesen 48 rendezett számpár írható fel. c) Minden élhez 4 másik kitérõ él tartozik. Pl. az 1-es élhez tartozó kitérõ élek: 7; 8; 10; 12. Ezek meghatározzák a következõ rendezett elempárokat: (1; 7) , (1; 8) , (1; 10) , (1; 12). 4 féle számpár. Ezt minden kiválasztott él esetén el tudjuk végezni, és mivel összesen 12 él van, ezért az össze rendezett szápár 48 féle lehet. d) Mivel a kocka minden éle egyenlõ hosszúságú, így az összes lehetséges módon felírhatjuk a számpárokat. Ezek száma: 122 = 144 lesz. (Itt azok a számpárok is létrejönnek, amelyeknek mindkét eleme ugyanaz. Pl.: (1; 1) , (2; 2) . ) 1476. a) (6; 1) , (7; 1) , (7; 2) , (8; 1) , (8; 2) , (8; 3) (9; 1) , (9; 2) , (9; 3) , (9; 4) .

HOZZÁRENDELÉSEK b) A lehetséges számpárok: (1; 1) , (1; 2) , . (1; 9) (2; 1) , (2; 2) , . (2; 9) (3; 1) , (3; 2) , . (3; 9) (4; 1) , (4; 2) , . (4; 9) (2; 1) , (5; 2) , . (5; 9) (2; 1) , (6; 3) , . (5; 9) # (2; 1) , (9; 6) , . (5; 9)

9 db 9 db 9 db 9 db 8 db 7 db # 4 db

Összesen: 66 számpár. c) Nem igaz, hiszen egyikben sem soroltunk fel például olyan eseteket, amikor a – b = 4. 1477. a) Az A Æ B típusú hozzárendelések megadásához elõször meghatározzuk az (a; b) rendezett elempárok számát, ahol a ŒA és b ŒB. Legyen ezek halmaza H. H elemeinek száma: 3 ◊ 3 = 9. Minden hozzárendelés megfelel ezen H halmaz egy részhalmazának. Például:

hozzárendelés megfelel a <(10; 2), (10; 4), (30; 6)>részhalmaznak. Ezek szerint a lehetséges hozzárendelések száma annyi ahány részhalmaza egy 9 elemû halmaznak van, azaz 29 = 512. (Itt figyelembe vettük azt az esetet,a mikor A egy eleméhez sem rendelünk hozzá a B halmazból elemet.) x b) Például: f : A Æ B; x 6 . 5 1478. A = a) (a; b) létezik, ha b osztható a-val. Ezek a párok: (1; 1) , (1; 2) , (1; 3) , (1; 4) , (1; 5) , (1; 6) , (1; 7) , (1; 8) , (1; 9) (2; 2) , (2; 4) , (2; 6) , (2; 8) (3; 3) , (3; 6) , (3; 9) (4; 4) , (4; 8) . 18 rendezett számpár létezik b) (a; b) létezik, ha a többszöröse b-nek. Az a) részben felsorolt 18 számpárt kell felsorolni, csak fordított sorrendben. Azok az elempárok teljesítik mindkét feltételt, amelyeknél a = b teljesül. Ezek (1; 1) , (2; 2) , (3; 3) , (4; 4) . Vannak olyan elempárok amelyek nem szerepelnek a felsorolásban. Pl.: (2; 5) , (3; 7) stb.

FÜGGVÉNYEK 1479. A megoldásokban csak egy lehetséges hozzárendelést adunk. Természetesen ettõl eltérõ helyes megoldások is léteznek. a) A Æ B; x ® 2x A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

b) A Æ B; x ® x2 + 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

c) A Æ B; x ® x prímosztói és az 1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 3

A megadott hozzárendelések közül a c) nem lesz függvény.

b) A legmagasabb hõmérsékletet 14 óra környékén 3 ∞C-nak mérték. A legalacsonyabb hõmérséklet -4 ∞C 22 és 24 óra idõpontok között volt mérhetõ. c) Az átlaghõmérséklet: 2 + 2, 5 + 3 + 2 + 0, 5 + 0 + ( -1) + ( -2 ) + ( -2, 5) + ( -3) + ( -3, 5) + ( -4 ) + ( -4 ) Tátlag = ª 13 ª – 0,77 ∞ C

A pontokat összekötve szemléltethetõ az évek során bekövetkezõ változások minõsége.

FÜGGVÉNYEK b) 1970-es év kezdetétõl az 1984-es év végéig 15 év telik el. Mivel a 70-es években nem ismerünk adatokat, ezért itt az évtizedre kell az 1980 és 1970-ben adódó termelés különbségét venni. Így az évenkénti átlagos növekedés: ( 499 – 242 ) + (504 – 499) + ( 412 – 504) + (377 – 412 ) + (387 – 377) = 15 . 387 – 242 29 = = ª 9, 6 15 3 Ez azt jelenti, hogy az évenkénti átlagos növekedés közel 10 ezer db hûtõszekrény volt.

b) Az évenkénti átlagos napfénytartalom: 54 + 79 + 137 + 182 + 230 + 253 + 272 + 261 + 200 + 154 + 59 + 45 = 160, 5. 12 1483. a) b) c) d)

A gép a t1 = 10 min, és t2 = 22 min idõpillanatban volt a legmagasabban (1000 m). A repülés 32 percig tartott. A legtovább az 500 m magasságon tartózkodott, 4 percen keresztül. 00 – 06 perc: folyamatosan emelkedett kb. 850 m magasságig. 06 – 08 perc: kb. 850 m magasságban marad. 08 – 10 perc: kb. 1000 m magasságba emelkedik. 10 – 12 perc: kb. 500 m magasságra süllyed. 12 – 16 perc: kb. 500 m magasságban marad. 16 – 22 perc: kb. 500 m-rõl 1000 m magasságra emelkedik. 22 – 32 perc: kb. 1000 m-rõl leszállásig süllyed.

c) 2 percig. 300 m = 75 m. d) Menet közben a percenként megtett útja: 4 600 e) A percenként átlagosan megtett út: m = 60 m. 10 1485. Az egymáshoz tartozó értékeket foglaljuk táblázatba: a) Magasság (km) 2 km 6 km 8 km Hõmérséklet (∞C) -3 ∞C -23 ∞C -39 ∞C b) Hõmérséklet (∞C) 5 ∞C 0 ∞C -25 ∞C Magasság (km) 0,1 km 1,6 km 6,3 km (A leolvasott értékek természetesen csak jó közelítésnek vehetõk.)

felszínen 6 ∞C -40 ∞C 8,1 km

HOZZÁRENDELÉSEK 1486. Többféle kapcsolat is létezik. Mi mindegyik esetben mutatunk egy lehetõséget. a) Ha a ŒA b ŒB, akkor b) Ha a ŒA; b ŒB és c ŒC, c) Ha a ŒA és b ŒB, akkor észrevehetõ pl. hogy akkor a + b + c = 180∞. a ◊ 60 = b, ezért: a + b = 90∞. A megfeleltetés:

Ezt felhasználva kitölthetõ a táblázat. Az utolsó

oszlopba tetszõleges érték helyettesíthetõ. A B C 25° 90° 65° 84° 85° 11° 60° 60° 60° 30° 30° 120° a 54° 126°− a

B 180 420 120 120 30

1487. A gép szabályára egy lehetséges megoldás: a) 2 ◊  + 2 ◊ « = ª 4 6 7 5 10 x

5 2 3 5 6 32 – 2 x 2

4 5 6 2 7 3 5 2 9 3 x 21 – 2 x

13 14 17 9 21 21

x helyére tetszõleges szám írható. 1488. Egy lehetséges megfeleltetés: y = x tizedestört alakja x

1489. Egy-egy lehetséges szabály lehet a következõ: a) 2(a + b) = c

FÜGGVÉNYEK a 6 5 3 8 5 x

b 8 12 9 12 10 60 – 2 x 2

c 28 34 24 40 30

a b c 5 4 3 7 8 2 1 4 3 7 19 5 12 4 6 9 10 1

b 20 12 32 56 56

d) 2x = y x 1,2 1,5 5,1 2 ,8 3,2 12 ,3 12,7

e) 10x + 1 = y y 2 ,4 3,0 10,2 5,6 6,4 24,6 25,4

x 11 , 1,5 3,44 4,0 9,02 1,2 0,8

y 12 16 35,4 41 91,2 13 9

d 21 32 13 57 38 39

x =y 10 x y 3,6 0,36 7,2 0,72 , 11 11 15,4 1,54 0,5 5 1 0,1 1,03 10,3

1490. Néhány megfelelõ pont: P1(1; 3) ; P2(2; 4) ; P3(5; 7) x 1 2 3 4 5 6 y 3 4 5 6 7 8

A hozzárendelés szabálya: x ® x + 2. 1491. Minden olyan P(x; y) pont megfelelõ, ahol x = y. Pl.: P1(1; 1) ; P2(7; 7) ; P3(100; 100) . x 1 2 3 4 y 1 2 3 4

A hozzárendelés szabálya: x ® x. 1492. Az ábráról leolvasható, hogy minden olyan pont megfelelõ, amelyre vagy x = y, vagy -x = y teljesül. Ezek a pontok a koordináta-rendszer tengelyei által bezárt szöget megfelezõ egyenesre illeszkednek.

P1 ( x1; y1 ) x1 = y1 x1

P2 ( x2 ; y2 ) – x2 = y2

HOZZÁRENDELÉSEK 1 részét azaz 4 km-t. 10 4 km 1 t= = h alatt teszi meg. km 5 20 h B faluba 12 óra 30 perckor érkezik meg.

1494. Az elsõ táblázat hozzárendelési szabálya: y = x vagy x ® x. x

A második táblázat egy lehetséges hozzárendelési szabálya: x ® x + 3, ha x ¤ 0, és x ® x – 3, ha x 0 ha x > 0 y = 0 ha x = 0 d) ΩyΩ + ΩxΩ = 2 e) y £ x + 1 és x 0. f) y £ x + 2 és y 0

RS x + 1, ha x £ 1 T3 – x, ha x > 1

RS2 x, ha x £ 0 T- x, ha x > 0

1 – 2 x , ha x £ 0 ha 0 0

R| x + 2 x, f ( x ) = S3, |T- x – 2 x, 2

Dg = x Œ R x ¤ 0 Ÿ x π 2 , Dh = x Œ R x > 0 ,

d) D f = x Œ R x π 0 Ÿ x π 2 , Dg = x Œ R x ¤ 2 ,

5 – 2 2 x 5 5 5 b) 2 0, ha x >

1 3 1 f ( x ) 6 3 1 f ( x ) = 0, ha x = 6 3

f ( x ) > 0, ha 4 0, ha x 4 f ( x ) 0, ha x 4 f ( x ) 36 Legalább 37 oldala van a szabályos sokszögnek. 1635. Egy n oldalú szabályos sokszög egy belsõ szögének nagysága:

n-2 ◊ 180∞ . A feladat n

szerint: n-2 ◊ 180∞£ 150∞ n n £ 12 Legfeljebb 12 oldala lehet a sokszögnek.

Számtani sorozatok 1636. A lehetséges számtani sorozatok: a) an = 3 + 2 n

e) an = b – 2 c + nc

f) an = 0, 98 + 0, 03n

1637. a) an = -1 + 3n 3 n d) an = 4 12

b) an = -4 + n 2 n e) an = + 3 12

c) an = -6 + 3n 13 19 f) an = + n 36 72

1638. a) a10 = a1 + 9d egyenlõség alapján: a10 = 20 . 2 a + 19d ◊ 20 = 420 b) an = 2 + ( n – 1) ◊ 2 = 2 n c) S20 = 1 2 1639. a) a10 = -10 + 9 ◊ 4 = 26 b) S20 = 560 c) an = -10 + ( n – 1) ◊ 4 alapján -10 + (n – 1) ◊ 4 = 102 n = 29

A sorozat 29. eleme lesz 102. 1640. a) a10 = a1 + (10 – 1)d alapján 29 = a1 + 9 ◊ ( -3) a1 = 56

SOROZATOK c) Keressük azt a természetes számot, amelyre: 56 + ( n – 1) ◊ ( -3) = -1992 2 n = 683 , 3 ez nem megoldás a természetes számok halmazán, tehát a sorozatnak nem eleme a -1992. 1641. a) A számtani sorozat esetén teljesül, hogy an =

an -1 + an +1 (n > 1 term. szám) 2

a1 + a3 = 4. 2 2 a + 19d ◊ 20 = 420 . b) S20 = 1 2 a2 =

2 2 a10 + a12 3 + 1 3 7 1642. a) a11 = = = . 2 2 6

b) Az a10 = a1 + 9d egyenlõség alapján, ahol d = c) an = 1643. a) a7 =

1 23 , a1 = adódik. 2 6

23 1 3n – 26 + (n – 1) ◊ = . 6 2 6

a6 + a8 k + l = 2 2

a8 – a6 l – k = 2 2

c) Az a6 = a1 + 5d egyenlõség alapján a1 = a6 – 5d = k – 5 ◊

l-k 6 k – 5l = . 2 2

1644. Elõször célszerû a b) kérdésre válaszolni! a -a 10 20 10 b) d = 5 2 = a) a1 = a2 – d = 10 = 3 3 3 3 20 10 10( n + 1) c) an = + ( n – 1) ◊ = . 3 3 3 1645. Elõször a c) pont kérdésére válaszolva: a -a 8 d= 8 5 =3 3 8 16 a) a6 = a5 + d = 8 – = 3 3 8 c) d = 3 9 5 a11 – a7 10 + 7 113 1646. a) d = = = 4 4 200 5 9 13 a3 + a15 a7 + a11 – 7 + 10 c) = = = 2 2 2 140

16 8 8 – = 3 3 3 a +a = 5 8 =4 2

5 113 2873 b) a1 = a7 – 6 d = – – 6 ◊ =7 200 200

SZÁMTANI SOROZATOK 1647. A megoldás során az an = a1 + ( n – 1)d összefüggést kell alkalmaznunk. 56 27 a) a16 = 78 b) a23 = -6 c) a25 = d) a13 = 1 e) a7 = 3 35 f) a19 = k + 18l 1648. a1 = 2 ; a2 =

5 1 ; a3 = 3 . Mivel d = a2 – a1 = , ezért a15 = a1 + 14 d = 9 . 2 2

1649. Mivel d = a2 – a1 = 1650. Mivel d = 3 –

1 5 1 – 1 = , ezért a17 = 1 + 16 ◊ = 5 . 4 4 4

5 1 = , így keressük azt az n természetes számot, amelyre: 2 2

5 1 + ( n – 1) ◊ 2 2 n = 22

Tehát a22 = 13 . 1651. Mivel d =

13 7 – = 2 , így keressük azt az n természetes számot, amelyre: 3 3

79 7 = + ( n – 1) ◊ 2 3 3 n = 13

1652. A sorozat differenciája d = a – (a – b ) = b , így keressük azt az n természets számot, amelyre a + 20 b = a – b + (n – 1) ◊ b n = 22

Tehát a22 = a + 20 b . 1653. Legyen a1 = 7 , a8 = 35 . Ezért d =

a8 – a1 = 4 . Így a megfelelõ számtani sorozat: 7

7; 11; 14; 15; 19; 23; 27; 31; 35. 1654. Legyen a1 = 1 , a7 = 25. Ezért d =

a7 – a1 = 4 . Így a megfelelõ számtani sorozat: 6

1; 5; 9; 13; 17; 21; 25. 1655. Legyen a1 = 1 , a19 = 10 . Ezért d =

a19 – a1 1 = . Így a megfelelõ számtani sorozat: 18 2

1 1 1 1 1; 1 ; 2; 2 ; 3; 3 ; . ; 9; 9 ; 10. 2 2 2 2

SOROZATOK 1656. A sorozat differenciája: d =

a7 = a1 + 6 d = 15 .

1657. A sorozat differenciája: d =

a10 = a7 + 3d = -16 .

1658. A sorozat differenciája: d =

1659. Ha a második egyenletbõl kivonjuk az elsõt: a3 – a1 + a9 – a7 = 11 2 d + 2 d = 11 11 d= 4 Az elsõ egyenlet alapján a1 + a1 + 6 ◊

11 = 16 4 1 a1 = 4

1 11 A sorozat elsõ eleme a1 = – , különbsége d = . 4 4

1660. Az elsõ egyenlet alapján a2 – a5 = 3 -3d = 3 d = -1 A násodik egyenletbõl: a1 + 2 d + a1 + 3d = 11 a1 = 8

A sorozat elsõ eleme: a1 = 8, különbsége d = -1. 1 1661. Mivel a7 – a2 = 1, azaz 5d = 1, ezért d = . 5 Másrészt a20 = 2 ◊ a10 1 1ˆ Ê a1 + 19 ◊ = 2 Á a1 + 9 ◊ ˜ Ë 5 5¯ 1 a1 = 5 1 2 3 A sorozat elsõ három eleme: ; ; . 5 5 5

SZÁMTANI SOROZATOK 1662. Mivel a10 – a5 = 5d = 80 , ezért d = 16. Azt kell megvizsgálni, hogy létezik-e olyan n természetes szám, amelyre 180 = 100 + (n – 10 ) ◊ 16 n = 15

A sorozat 15. eleme 180. 1663. Mivel

a1 + a17 3 + 27 a +a = = 15 és 1 17 = a9 , ezért a sorozat 9. eleme 15. 2 2 2

1664. Mivel a20 – a5 = 15d = 30 , azaz d = 2. Ezért a sorozatnak nem lehet páratlan szám az eleme. 1665. Az elsõ egyenlõség alapján: a8 – a3 = 5d = 3, 75 d = 0, 75

A második egyenlõséget osztva 2-vel: a2 + a4 13 = a3 = 2 6

Így a5 = a3 + 2 d =

1666. A feladatnak csak olyan számtani sorozatok felelhetnek meg, amelyek különbségére igaz, hogy d £2

Legyen a sorozat elsõ eleme a1. Így 2 a1 + 3d ◊ 4 = 18 2 2 a1 + 3d = 9 9 adódna. 2 Ha d = 1, akkor a1 = 3 és a keresett szám: 3456. Ha d = -1, akkor a1 = 6 és a keresett szám: 6543. Ha d = ±2, akkor sem kapunk a1 értékére egész számot. Így a feladatnak két négyjegyû szám tesz eleget:

Ha d = 0, akkor nincs megoldás, hiszen a1 =

1667. a3 = 50 és a10 = a8 – 10 . Használjuk fel, hogy a10 = a3 + 7d és a8 = a3 + 5d , így a második feltétel: 50 + 7d = 50 + 5d – 10 d = -5

Mivel a3 = a1 + 2 d , ezért a1 = 50 – 2 ◊ ( -5) = 60 . A sorozat elsõ eleme a1 = 60 .

SOROZATOK 1668. Mivel a243 – a28 = 215d = 215 , így d = 1. a1 = a28 – 27d = 28 – 27 = 1 . Az elsõ száz elem összege: S100 =

2 a1 + 99d ◊ 100 = 5050 . 2

1669. Jelöljük az elsõ három elem összegét A-val, a következõ három elemét B-vel. A feladat feltételei szerint: A = B – 30 A + B = 60

Ezt az egyenletrendszert megoldva A = 15 és B = 45 adódik. Másrészt ha a sorozat elsõ eleme a1, különbsége d: 2 a1 + 2 d ◊ 3 = 15 2 2 a1 + 5d ◊ 6 = 60 2

Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai: a1 = 1670. Használjuk az Sn = a) S15 = 330 1265 e) S20 = 12

2 a1 + (n – 1)d ◊ n összegképletet! 2 b) S50 = 7550 c) S6 = -45 99 f) S11 = g) S25 = 295 . 2

1671. Mindegyik esetben számtani sorozatokról van szó. 1 + 100 2 + 100 a) S100 = ◊ 100 = 5050 b) S50 = ◊ 50 = 2550 2 2 1 + 89 c) S45 = ◊ 45 = 2025 2 1672. Mindegyik esetben számtani sorozatok összegét kell meghatározni. 100 + 999 ◊ 900 = 494 550 a) a1 = 100 a900 = 999 S900 = 2 100 + 998 b) a1 = 100 a450 = 998 S450 = ◊ 450 = 247 050 2 101 + 999 c) a1 = 101 a450 = 999 S450 = ◊ 450 = 247 500 2 1673. Legyen a1 = 12 , a30 = 99 . Meghatározandó: S30 =

12 + 99 ◊ 30 = 1665 . 2

1674. Legyen a1 = 100 , a180 = 995 . Az 5-tel osztható háromjegyû számok összege így: 100 + 995 S180 = ◊ 180 = 98 550 . 2

SZÁMTANI SOROZATOK 1675. A megfelelõ számok számtani sorozatot alkotnak, ahol a1 = 105 , a150 = 999 . Ezek összege: 105 + 999 S150 = ◊ 150 = 82 800 . 2 1676. A páros számok összegébõl vonjuk ki a 3-mal osztható páros (6-tal osztható) számok 2 + 98 összegét! A páros kétjegyû számok összege: S1 = ◊ 49 = 2450 . A 6-tal osztható 2 6 + 96 ◊ 16 = 816 . A keresett összeg: S = S1 – S2 = 1634 . héthegyû számok összege: S2 = 2 1677. A számok számtani sorozatot alkotnak, ahol a1 = 102 , a180 = 997 . Ezek összege: S180 =

102 + 997 ◊ 180 = 98 910 . 2

1678. Legyen a keresett elemszám n. A sorozatban a1 = 5 és d = 4. Az összegképlet alapján: 2 ◊ 5 + ( n – 1) ◊ 4 ◊ n = 10 877 . 2

Az egyenletnek két gyöke n1 = 73 és n2 = –

A feladatnak az n1 = 73 tesz csak eleget. 1679. A sorozatban a1 =

1 2 , d = . A keresett elemszámot jelölje n. 2 3

1 2 2 ◊ (n – 1) ◊ 2 3 ◊ n > 100 . a) Sn > 100 azaz 2 1 + 4801 1 – 4801 Az egyenlõtlenség megoldása: n ª 17, 07 . Ezért 4 4 legalább 18 elemre van szükség. 1 2 2 ◊ (n – 1) ◊ 2 3 ◊ n 2 egyenlõtlenség.

GEOMETRIA 2056. Jelölje az adott két csúcsot A és B, az adott magasságot mc, az adott egyenest e. A C csúcsok az AB egyenessel párhuzamos, tõle mc távolságban levõ egyenesek e-vel vett metszéspontjaiban lesznek. Ha e nem párhuzamos az AB egyenessel, akkor két megfelelõ háromszöget kapunk. Ha e párhuzamos az AB egyenessel és attól vett távolsága mc-tõl különbözik, akkor nincs megoldás, ha a távolság éppen mc, akkor e minden pontja megfelel C csúcsnak. 2057. Jelölje c az adott oldalegyenest, mc az adott magasságot, a és b pedig az adott oldalakat. A C csúcs szerkesztése az elõzõ feladat módszerével történik, szerkeszthetõségének feltételei is azonosak. Az A és a B csúcsot a c egyenesbõl a C középpontú, b, illetve a sugarú körívek metszik ki. A szerkeszthetõséghez szükséges még, hogy a ¤ mc és b ¤ mc teljesüljön, és legalább az egyik egyenlõtlenség éles legyen. 2058. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. a egyik végpontjába 45∞-os szög szerkesztése. 3. a-tól ma távolságban a-val párhuzamos szerkesztése a 45∞-os szöget tartalmazó félsíkban. 4. A párhuzamos egyenes és a szögszár metszéspontjaként adódik a háromszög harmadik csúcsa. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2059. A szerkesztés menete: 1. A b oldal felvétele. 2. b egyenesével, tõle mb távolságban párhuzamos szerkesztése. 3. b egyik végpontjából egy a sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhuzamos egyenesbõl. A feladatnak az egybevágó esetektõl eltekintve két megoldása van.

PONTHALMAZOK 2060. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. a egyik végpontjába 30∞-os szög szerkesztése. 3. Az a oldal felezõpontjából sa sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a szerkesztett szögszárból. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2061. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. Az a oldal egyenesével, tõle ma távolságban párhuzamos szerkesztése. 3. Az a oldal felezõpontjából sa sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhuzamos egyenesbõl. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2062. Jelölje az adott magasságot ma, az adott szögfelezõt fa. A szerkeszthetõséghez szükséges, hogy fa ¤ ma legyen. Ha ma = fa, akkor a háromszög egyenlõ szárú, és ekkor akár a (0∞ ma, és bontsuk három részre a feladatot aszerint, hogy melyik szög adott (2062/2. ábra).

2102. a) Lásd a 2047. feladatot!

b) Lásd a 2049. feladatot!

GEOMETRIA 2103. A keresett pontok az origó körüli 4 egyx ség sugarú kör és az y = , valamint 3 x az y = egyenesek metszéspontjai3 ként adódnak. Megjegyzés: Az origó körüli 4 egység sugarú kör pontjainak koordinátáira (és csak azokra!) Pitagorasz tételébõl adódóan x2 + y2 = 16.

2104. A 2102. feladat alapján a feladat feltételének csak a P1(4; 0); P2(0; 4); P3(-4; 0); P4(0; -4) pontok tesznek eleget.

PONTHALMAZOK 2108. a)

x 2 = y 2 akkor és csak akkor, ha

Lásd a 2103. feladat megjegyzését!

GEOMETRIA 2109. a)

x + y 1 x − 3y £ 2

x 2 > y 2 akkor és csak akkor, ha x > y .

x x vagy y 2 cm. f) Az AB szakasz A-hoz közelebbi harmadolópontja kivételével a sík minden pontja megfelel. 2125. a) Adott középpontú, adott sugarú gömbfelületen. b) Egy olyan végtelen hengerpaláston, amelynek tengelye az adott egyenes, keresztmetszetének sugara pedig az adott távolság. c) Az eredeti félsík által meghatározott mindkét féltérben egy-egy, az eredetivel párhuzamos sík, tõle adott távolságban. 2126. a) A két adott pont által meghatározott szakasz felezõmerõleges síkjában. Ezen sík minden pontja rendelkezik az adott tulajdonsággal, a tér más pontjai viszont nem. b) A két adott egyenes által meghatározott sáv felezõegyenesére illeszkedõ, a két egyenes által meghatározott síkra merõleges síkban. c) A két metszõ egyenes szögfelezõ egyeneseire illeszkedõ, az egyenesek által meghatározott síkra merõleges síkokban. Ez a két sík egymásra is merõleges. d) A két egyenest egymástól elválasztó, mindkettõvel párhuzamos és a távolságukat felezõ síkban. 2127. a) A két síkot egymástól elválasztó, velük párhuzamos és a távolságukat felezõ síkban. b) A két metszõ sík által meghatározott szögek szögfelezõ síkjaiban. Ezen két sík illeszkedik az eredeti síkok metszésvonalára és merõleges egymásra. 2128. Az eredetivel koncentrikus 1 cm, illetve 5 cm sugarú gömbfelületek. 2129. a) hamis g) igaz

c) hamis i) hamis

Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 2132. Alapszerkesztések. 2133. Alapszerkesztések. 2134. Alapszerkesztések. 2135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x – y = b. Így x = y=

a-b . Az e) és az f) pont adatainak megfelelõ szakaszok nem léteznek. 2

c+d c-d ; b= . Az a hosszúságú 6 6 szakasz szerkesztéséhez harmadolnunk is kell, ami az ábrán látható módon végezhetõ el. Az e) pont adatainak megfelelõ szakaszok nem léteznek.

2137. Alapszerkesztések. AB + BC 2 a) 2, 5 cm b) 2,25 cm

2139. BC = AC + BD – AD a) 3 cm b) 6 cm c) 5 cm d) B = C f) Az adatok nem felelnek meg a feltételeknek. 2140.

e) 37,54 cm f) 7,65 cm

(13,2 – x) dm 1320 mm

Az utolsó sor adatai alapján B a feltételnek megfelelõen szabadon választható.

SÍKBELI ALAKZATOK 2141. A feladatban egy adott hosszúságú szakaszt kell arányosan felosztani. (Lásd az ábrát.)

18 p 18q m = 9m p+q p+q

2144. a) – b) Egy szabályos háromszögnek megszerkesztem az egyik magasságát. 30∞ c) 15∞ = 2 30∞ d) 75∞ = 60∞+15∞ = 60∞+ 2 45∞ e) 22 ,5∞ = . 45º az egyenlõ szárú 2 derékszögû háromszög átfogóján fekvõ szög. 15∞ f) 37,5∞ = 30∞+7,5∞ = 30∞+ 2

45∞ 2 e) 82∞30′ = 82,5∞ = 60∞ + 22,5∞

d) 67,5∞ = 60∞+7,5∞ = 60∞+ f) 135∞ = 90∞ + 45∞

g) 120∞ = 2 ◊ 60∞ i) 112 ∞30′ = 112 ,5∞ = 90∞+22 ,5∞ = 90∞+

h) 105∞ = 90∞+15∞ = 90∞+

j) 225∞ = 180∞ + 45∞ 2146. a) 270∞ = 180∞ + 90∞ = 360∞ – 90∞ b) 330∞ = 360∞ – 30∞

GEOMETRIA c) 210∞ = 180∞ + 30∞ 75∞ 30∞ = 180∞+30∞+ 2 4 45∞ 202 ∞30′ = 202 ,5∞ = 180∞+22 ,5∞ = 180∞+ 2 30∞ 285∞ = 270∞+15∞ = 270∞+ 2 30∞ 262 ,5∞ = 270∞-7,5∞ = 270∞4 405∞ = 360∞ + 45∞

d) 217,5∞ = 180∞+37,5∞ = 180∞+ e) f) g) h)

i) 375∞ = 360∞+15∞ = 360∞+

2147. Alapszerkesztések. 2148. Alapszerkesztések. (a + b ) + (a – b ) (a + b ) – (a – b ) ; b= 2 2 a) a = 45∞, b = 15∞ b) a = 60∞, b = 30∞

f) a = 134,5∞, b = 44,5∞

g) a = 88∞38′, b = 50∞8′

h) a = 168,55∞, b = 39,25∞

j) a = 224∞30′, b = 67∞17′

2150. Lásd a 2149. feladatot! 2151. Lásd a 2149. feladatot! 2152. Lásd a 2149. feladatot! 2153. Alapszerkesztések. g +d g -d ; b= 4 2 a = 22,5∞, b = 15∞ a = 26,25∞, b = 7,5∞ a = 43,125∞, b = 18,75∞ a = 105∞, b = 60∞ a = 183,75∞, b = 52,5∞

2154. a = a) c) e) g) i)

2155. a) 38∞, 38∞ 7 2 e) 33 ∞ , 42 ∞ 9 9

a = 37,5∞, b = 15∞ a = 48,75∞, b = 22,5∞ a = 48,75∞, b = 15∞ a = 135∞, b = 45∞

1 2 b) 25 ∞ , 50 ∞ 3 3

2 1 g) 31 ∞ , 44 ∞ 3 3

SÍKBELI ALAKZATOK 2156. Ha a a kérdéses szög, akkor 3 2 a – a = 36∞ 5 5 a = 180∞. 5 12 12 2157. a + b = a + a = a = ◊105∞ = 180∞ 7 7 7

2158. a + b = 230∞ b a) 180∞+ = 230∞ Æ b = 100∞ , a = 130∞ 2 b) Két eset lehetséges. b 1. 180∞+ = 230∞ Æ b = 150∞ , a = 80∞ 3 2b 2. 180∞+ = 230∞ Æ b = 75∞ , a = 155∞ 3 c) Két eset lehetséges. b 1. 180∞+ = 230∞ Æ b = 200∞ , a = 30∞ 4 3b 2 1 2. 180∞+ = 230∞ Æ b = 66 ∞ , a = 163 ∞ 4 3 3 d) Két eset lehetséges. 2b = 230∞ Æ b = 125∞ , a = 105∞ 1. 180∞+ 5 3b 1 2 2. 180∞+ = 230∞ Æ b = 83 ∞ , a = 146 ∞ 5 3 3 2159. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ mindegyik esetben 60∞-os. a) 35∞; 60∞; 85∞ b) 30∞; 60∞; 90∞ c) 15∞; 60∞; 105∞ d) 10∞; 60∞; 110∞ e) 6∞46′; 60∞; 113∞14′ 2160. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ legyen a. 5 3 6 a 3 a) + a + 2a = 180∞ Æ a = 51 ∞ª 51,43∞ . A szögek: 25 ∞ , 51 ∞ , 102 ∞ 7 7 7 2 7 16 17 16 5 2 3 a + a + a = 180∞ Æ a = 56 ∞ª 56,84∞ . A szögek: 37 ∞ , 56 ∞ , 85 ∞ b) 19 19 19 19 3 2 11 7 8 a 7 c) + a + 3a = 180∞ Æ a = 41 ∞ª 41,54∞ . A szögek: 13 ∞ , 41 ∞ , 124 ∞ 13 13 13 3 13 4 2 1 a 2 d) + a + 4a = 180∞ Æ a = 34 ∞ª 34,29∞ . A szögek: 8 ∞ , 34 ∞ , 137 ∞ 7 7 7 4 7 2161. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ mindegyik esetben 72∞-os. a) 12∞; 42∞; 72∞; 102∞; 132∞

b) 8∞; 40∞; 72∞; 104∞; 136∞

c) 52∞; 62∞; 72∞; 82∞; 92∞

d) 27∞; 49∞30′; 72∞; 94∞30′; 117∞

GEOMETRIA 2162. a) 72∞; 72∞; 72∞; 144∞

b) 40∞; 80∞; 120∞; 120∞ 3 1 6 4 d) 51 ∞ ; 77 ∞ ; 102 ∞ ; 128 ∞ 7 7 7 7

c) 30∞; 90∞; 90∞; 150∞ e) 69

3 1 12 10 ∞ ; 83 ∞ ; 96 ∞ ; 110 ∞ 13 13 13 13

f) 45∞; 75∞; 105∞; 135∞

30∞ 3 = ◊ 30∞ = 22 ,5∞ 4 4

2164. 0 óra 000∞ 5 óra 150∞ 09 óra 90∞ 1 óra 030∞ 6 óra 180∞ 10 óra 60∞ 2 óra 060∞ 7 óra 150∞ 11 óra 30∞ 3 óra 090∞ 8 óra 120∞ 12 óra 00∞ 4 óra 120∞ Megjegyzés: A mutatók által bezárt két szögbõl mindig a kisebbet tekintettük. 2165. a) 22,5∞

180∞ ◊ a ( rad ) p a) 180∞ b) 360∞

f) 139∞0’36” 2167. a ∞ =

180∞ ª 57,2958∞ª 57∞17’45” p

2168. a ( rad ) = a) 2p g)

2169. b az a szög pótszöge, ha a + b = 90∞. Ha d jelöli a feladatban megadott különbséget, 90∞+d akkor a = b + d = 90∞ – a + d, amibõl a = . 2 a) 50∞ b) 51∞ c) 57,5∞ d) 65∞ e) 75∞ f) 82,5∞ g) 59,06∞ h) 60∞39’30” 2170. a) 30∞

SÍKBELI ALAKZATOK 2171. Jelöljük a k számmal megjelölt szöget bk-val (k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7). Ekkor b2 = b4 = b6 = a, b1 = b3 = b5 = b7 = 180∞ – a. 2172. Két szög egymás mellékszögei, ha egyik szögszáruk közös, másik szögszáruk pedig ugyanazon egyenes két félegyenese. Ha d jelöli a feladatban megadott különbséget és a b szögre vagyunk kíváncsiak, akkor b = a – d = 180∞ – b – d, ahonnan 180∞-d b= . 2 a) 85∞ b) 79∞ c) 75∞ d) 67,5∞

2174. a) a = 90∞, b = 90∞ b) a = 120∞, b = 60∞ c) a = 72∞, b = 108∞

d) a = 67,5∞, b = 112,5∞ ∞ , b = 65,45 ∞ e) a = 114,54 f) a = 70∞, b = 110∞ g) a = 67,5∞, b = 112,5∞ h) a =

p q ◊180∞ , b = ◊180∞ p+q p+q

2175. a) a = 90∞, b = 90∞ b) a = 60∞, b = 120∞

c) a = 72∞, b = 108∞ d) a = 80∞, b = 100∞ e) a = 54∞, b = 126∞ f) a = 63∞, b = 117∞ g) a = 82,5∞, b = 97,5∞

p q ◊180∞ , b = ◊180∞ p+q p+q

2176. A derékszög. 2177. Jelölje a két szöget a és b. Mivel a szögfelezõk merõlegesek egymásra, a b ezért + = 90∞ , azaz a + b = 180∞. 2 2 Ez viszont azt jelenti, hogy mivel az egyik szögszár közös, ezért a szögek egymás mellékszögei, azaz a nem közös szögszárak valóban egy egyenesre illeszkednek. Az állítás megfordítása: Ha két szög egy-egy szára ugyanarra az egyenesre illeszkedik, akkor a másik száruk közös és szögfelezõik merõlegesek egymásra. A megfordítás nyilvánvalóan nem igaz. (lásd az ábrát.) Igaz viszont a következõ állítás: Ha két szög egyik szára közös, másik száruk pedig egy egyenesre illeszkedik, akkor szögfelezõik merõlegesek egymásra. A feltételbõl adódóan a b + = 90∞ . ugyanis a szögek egymás mellékszögei, így a + b = 180∞, amibõl 2 2 a b + = 60∞ . 3 3 A kérdéses szög lehet: a b a 1. 2 ◊ + = + 60∞ 3 3 3 a b b 2. + 2 ◊ = + 60∞ 3 3 3 a 0∞ 180∞). f) g = 9∞, a’ = 179∞, b ‘ = 10∞, g ‘ = 171∞ 2246. a) b = 30∞, a’ = 120∞, b ‘ = 150∞, g ‘ = 90∞ b) a = 105∞, g = 35∞, b ‘ = 140∞, g ‘ = 145∞ c) b = 138∞22′, g = 2∞22′, a’ = 140∞44′, g ‘ = 177∞38′ d) g = 70∞, b = 20∞, a’ = 90∞, b ‘ = 160∞ e) a = 57∞29′, b = 115∞44′, g = 6∞47’, g ‘ = 173∞13′ f) Nem lehetséges. g) Mivel 73∞11′ + 106∞49′ = 180∞, ezért b szabadon választható és g = 106∞49′ – b. h) g = 108∞28’43”, b = 6∞14’32”, a’ = 114∞43’15”, b ‘ = 173∞45’28” 2247. a) g = 40∞, a’ = 135∞, b ‘ = 85∞ b) a’ = 143∞, b = 102∞, g = 41∞ c) a = 67∞, b = 48∞, g = 65∞ d) Nem lehetséges, ugyanis a + b + g = 179∞59′. e) Nem lehetséges, ugyanis a’ π b + g. f) Nem lehetséges, ugyanis b = 45∞44′ lenne, viszont ezzel a’ π b + g. 2248. a) A háromszög szabályos. b) a = 30∞, g = 105∞. A b oldal egyik végpontjába az a, másik végpontjába a b szöget felvéve adódik a harmadik csúcs. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144. feladatot! c) Két oldal és a közbezárt szög adott, így a b oldalra egyik csúcsához felmérve a-t, majd a másik szögszárra felmérve c-t adódik a harmadik csúcs. d) g = 60∞. Lásd az elõzõ alpontot! e) A háromszög nem szerkeszthetõ, mivel a + b 90∞, akkor d = 180∞ – (a + b). Megjegyzés: Itt is és a korábbi feladatoknál is két egyenes hajlásszögén a kisebbik szöget értettük. 2264. Legyen a az adott szög és d ( a, de a kétféle kifejezés egyesíthetõ: d = a+

g g – 90∞ = b + – 90∞ 2 2

. g a+b , ezért Mivel = 90∞2 2 d=

Ennek az esetnek felelnek meg az a), b), c) alpontok. a) d = 11∞ b) d = 15∞ c) d = 0∞

SÍKBELI ALAKZATOK 2. a és b közül valamelyik tompaszög. Legyen a > 90∞. Ekkor a 2266/2. ábra alapán g d = a – 90∞+ . 2 g Fejezzük ki -t a-val és b-val, írjuk be 2 az elõzõ kifejezésbe, majd vonjunk öszsze. Kapjuk a-b d= . 2 Eredményünk ugyanaz, mint az 1. esetnél. Ennek az esetnek felelnek meg a d) és e) alpontok. d) d = 42∞ e) d = 57∞

2267. Három esetet különböztetünk meg. 1. eset: A háromszög hegyesszögû. Jelölje Ta az a-hoz tartozó, Tb a b-hez tartozó magasság talppontját. Az ATaC és a BTbC háromszögek olyan derékszögû háromszögek, amelyeknek egyik hegyesszögük g. Ebbõl adódóan ) = TaAC b teljesül. Az öszszefüggés ettõl függetleníthetõ: d = 90∞-

2270. Az elõzõ feladat alapján a két szög különbsége: Ê a-b ˆ Ê a-b ˆ ˜ = a-b . ˜ – Á 90∞Á 90∞+ 2 ¯ Ë 2 ¯ Ë

2271. A feltételek alapján a két részháromszög derékszögû, így az eredeti háromszög egyenlõ szárú derékszögû háromszög. 2272. Jelölje a az alapon fekvõ szög felét. )= Ekkor mivel AD = AB, ezért ABD 180∞) 2 g a 90∞és – 90∞ . 2 2 a) a = 32∞, g = 148∞, b = d = 90∞, BD: 74∞, 16∞ b) a = 78∞32′, g = 175∞2′, b = d = 53∞13′, BD: 50∞44′, 2∞29′ c) a = 87∞4′, g = 188∞26′, b = d = 42∞15′, BD: 46∞28′, 4∞13′ d) Nem lehetséges. (a + b > 360∞) e) a = 69,4∞, g = 185∞14′, b = d = 52∞41′, BD: 55,3∞, 2∞37′ f) Nem lehetséges. (a + b = 360∞)

2309. A 2306. feladat alapján, ha

g a g aˆ Ê gˆ Ê és 90∞- (vagy – 90∞ ). b = d = Á 90∞- ˜ + Á 90∞- ˜ , az AC átlóË 2¯ Ë 2¯ 2 2 2

a g és . (Lásd az elõzõ feladat ábráját!) 2 2 a) b = d = 90∞, a = 120∞, g = 60∞, AC: 60∞, 30∞

nak az oldalakkal bezárt szögei

b) b = d = 157∞, a = 34∞, g = 12∞, AC: 17∞, 6∞ c) b = d = 108∞, a = g = 72∞, AC: 36∞, 36∞ (rombusz) d) b = d = 112∞1′, a = 102∞36′, g = 33∞22′, AC: 51∞18′, 16∞41′ e) b = d = 127∞5′, a = 84,4∞, g = 21∞26′, AC: 42,2∞, 10∞43′ f) Nem lehetséges.

2311. Adott a és g. Ebbõl d = 180∞ – a és b = 180∞ – g, valamint a’ = d, b’ = g, g’ = b, d’ = a. a) b = 79∞, d = 146∞ b) b = 60∞, d = 120∞ (szimmetrikus trapéz) c) b = 68∞9′, d = 106∞41′ d) b = 71∞5′, d = 83∞29′ e) b = 3,3∞, d = 126∞11′ f) Nem lehetséges.

2312. A szögek az elõzõ feladat ábrájának megfelelõek, tehát a + d = b + g = 180∞. a) a = 36∞, b = 72∞, g = 108∞, d = 144∞ b) – d) Ezekkel az arányokkal a szögek nem lehetnek trapéz szögei, ugyanis nem teljesül a fenti feltétel. ∞ , b = 40,90 ∞ , g = 49,09 ∞ , d = 57,27 ∞ e) a = 32 ,72 f) Nem lehetséges. A megfelelõ külsõ szögek az elõzõ feladat alapján számolhatók.

2314. g adott. Az ábra alapján a = 90∞-

g . 2 a) a = 75∞, b = 105∞ b = 90∞+

b) a = 60∞, b = 120∞ c) a = 45∞, b = 135∞ d) a = 62∞40’30”, b = 117∞19’30” e) a = 34∞51′, b = 145∞9′ f) a = 5,08∞, b = 174,92∞ g) 90∞-

2315. Ha d a két szög közti különbség, akkor b = a + d és a + b = 180∞, amibõl a = 90∞d . 2 a) a = 85∞, b = 95∞

c) a = 70∞3’30”, b = 109∞56’30”

d) a = 41,645∞, b = 138,355∞

e) a = 34∞39’30”, b = 145∞20’30”

f) a = 13,65∞, b = 166,35∞

SÍKBELI ALAKZATOK 2316. Legyen a a kisebbik, b a nagyobbik szög és d a feladatban megadott különbség. Ekkor 360∞-2d Ê3 ˆ a + Á a + d ˜ = 180∞ , ahonnan a = . Ë2 ¯ 5 a) a = 64,8∞, b = 115,2∞

b) a = 48∞55’36”, b = 131∞4’24”

c) a = 42,712∞, b = 137,288∞

d) a = 31∞20’24”, b = 148∞39’36”

e) a = 6,6∞, b = 173,4∞

f) Nem lehetséges.

2317. Jelölje w a szárak meghosszabbításai által alkotott szöget, és legyen a trapéz adott szöge a vagy d, attól függõen, hogy 90∞-nál kisebb, vagy nagyobb az adott szög. Ekkor a + d = 180∞, b = 180∞ – (w + a), b + g = 180∞. a) a = 30∞, g = 60∞

b) a = 60∞, d = 120∞, b = 90∞, g = 90∞ c) a = 73∞16′, d = 106∞44′, b = 76∞44′, g = 103∞16′ d) a = 86,73∞, d = 93,27∞, b = 63,27∞, g = 116,73∞ e) d = 116∞39′, a = 63∞21′, b = 86∞39′, g = 93∞21′ f) d = 124,6∞, a = 55,4∞, b = 94,6∞, g = 85,4∞ g) a, b = 180∞ – (w + a), g = w + a, d = 180∞ – a 2318. Az állítás igaz. Mivel AD = CD, ezért az ACD háromszög egyenlõ szárú, így DAC 5,1 és 2,7 + 5,1 > c; c lehet: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm. b) c + 0,7 > 1,8 és 1,8 + 0,7 > c; c = 2 cm. c) c + 1,16 > 2,32 és 1,16 + 2,32 > c; c lehet: 2 cm, 3 cm. d) c + 39,3 > 41,5 és 39,3 + 41,5 > c;

2328. Ha egy háromszögben a £ b, akkor és csak akkor az a-val szemközti a és a b-vel szemközti b szögre a £ b. a) A harmadik szög 52∞, vele szemben a b oldal fekszik. b) A harmadik szög 30∞, vele szemben az a oldal fekszik. c) A harmadik szög 72∞, vele szemben a b vagy a c oldal fekszik, ugyanis b = c. d) A harmadik szög 49∞, vele szemben a b oldal fekszik. e) A harmadik szög 6∞13′, vele szemben az a oldal fekszik. f) A harmadik szög 80,25∞, vele szemben a b oldal fekszik. 2329. a) A harmadik oldal 6 cm és az alapon fekvõ szög a nagyobb. b) Két eset van. 1. A harmadik oldal 5 m és a szárak szöge a nagyobb. 2. A harmadik oldal 9 m és az alapon fekvõ szög a nagyobb. c) A harmadik oldal 10 dm és az alapon fekvõ szög a nagyobb. d) A harmadik oldalra nézve (jelölje c): 0 mm b + + a = a + b , 4 2 4 2 4 4 4 b a ugyanis 2b > a alapján > . 2 4 Ezzel az állítás második részét is beláttuk. 2334. A szerkesztés: Az a oldal egyik végpontjából a b, másik végpontjából a c oldallal körívezek, a kapott metszéspont lesz a harmadik csúcs. e) b = 10 cm, c = 7,5 cm; f) b = 42 mm, c = 42 mm. A háromszög mindegyik esetben egyértelmû. 2335. A szerkesztés: Az a oldalra egyik végpontjában felveszem a g szöget, majd annak másik szárára felmérem a b oldalt. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. felada-

GEOMETRIA tokat!) A háromszög mindegyik esetben egyértelmû. 2336. A szerkesztés: A b oldalra egyik végpontjában mérjük fel az adott a szöget, majd a másik végpontból az a oldallal körívezve az a szög szárából messük ki a harmadik csúcsot. a > b mindegyik esetben teljesül, a háromszög mindegyik esetben egyértelmû. 2337. A szerkesztés: Szerkesszük meg az a oldal egyik végpontjába a b, másik végpontjába a g szöget. Az adott szögek a-t nem tartalmazó szögszárainak metszéspontja a harmadik csúcs. A d) esetben b + g = 180∞, így nincs ilyen háromszög, a többi esetben a háromszög egyértelmû. 2338. Három eset lehetséges. 1. 75∞-os szöget az adott oldalak zárnak be. Ekkor a háromszög egyértelmû. (Lásd a 2335. feladatot!) 2. A 75∞-os szög a 6,5 cm-es oldallal szemben van. Ebben az esetben is egyértelmû a háromszög. (Lásd a 2336. feladatot!) 3. A 75∞-os szög az 5 cm-es oldallal szemközti szög. Ilyen háromszög nincs. Ha a szerkesztést a 2336. feladatban leírtak alapján végezzük, akkor az 5 cm-es oldallal körívezve a 75∞-os szög másik szárán metszéspont nem jön létre. (Lásd az ábrát!) 2339. A harmadik szög 75∞-os. Attól függõen, hogy a 45 mm-es oldal melyik szöggel van szemben, 3 különbözõ háromszöget kapunk, amelyek szerkesztésére nézve lásd a 2337. feladatot. 2340. A d) és az f) esetben a + b + g = 181∞, tehát nem létezik ilyen háromszög. A többi esetben végtelen sok megoldás van, ugyanis ezekkel az adatokkal a háromszög csak hasonlóság erejéig meghatározott. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!) 2341. a) Az alap két végpontjából a szárakkal körívezve adódik a harmadik csúcs. A megoldás egyértelmû. b) Az a oldal felezõmerõlegesére a felezõpontból felmérve ma-t adódik a harmadik csúcs. A megoldás egyértelmû. (Lásd még a 2072. feladatot!) 180∞-75∞ = 52 ,5∞ . Az alapra mindkét végpontjában felmérjük a b szöget, ezek 2 szárainak metszéspontja lesz a harmadik csúcs. A megoldás egyértelmû. (Lásd még a 2071. feladatot!)

SÍKBELI ALAKZATOK d) Lásd a c) pontot! e) Felveszünk egy 105∞-os szöget, majd ennek mindkét szárára a szög csúcsából felmérjük a b oldalt. A megoldás egyértelmû. f) A b oldal mint átmérõ fölé Thalesz-kört szerkesztünk, majd ezt az egyik végpontból elmetsszük ma-val. A kapott metszéspont az a oldal felezõpontja. ma egyenesére tükrözve a b oldalt adódik a háromszög. A megoldás egyértelmû. g) Az a oldal mint átmérõ fölé Thalesz-kört szerkesztünk, majd az átmérõ egyik végpontjából mb-vel körívezünk. A körrel kapott metszéspontot az átmérõ másik végpontjával összekötve adódik az egyik szár egyenese. Ennek az a oldal felezõmerõlegesével vett metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa. (Lásd még a 2073. feladatot!) A megoldás egyértelmû. a nagyságú szöget, másik 2 végpontjában pedig szerkesszünk merõleges egyenest. A kapott félegyenesek metszéspontjai lesznek az alap végpontjai. A megoldás egyértelmû. (Lásd még a 2079. feladatot!)

h) ma egyik végpontjában mindkét irányban szerkesszünk

i) Szerkesszünk mb-re egyik végpontjában 90∞ – a nagyságú szöget, másik végpontjában pedig merõlegest. A kapott szögszárak metszéspontja lesz az alappal szemközti csúcs. Az így kapott szárra (b) a-t felmérve, majd a kapott szög másik szárára a már ismert b-t felmérve adódik a háromszög. A megoldás egyértelmû. j) Lásd a 2340. feladatot! A háromszög csak hasonlóság erejéig meghatározott. k) Mivel a + 2b = 177∞, ezért nincs ilyen egyenlõ szárú háromszög. l) Lásd az i) pontot! b = 90∞ , ezért b = 180∞ 2 – 2d, tehát b d ismeretében szerkeszthetõ. Hasonlóan szerkeszthetõ a is, ugyanis a = 180∞ – 2b = 4d – 180∞. a) Lásd a 2341/d) feladatot! b) Lásd a 2341/e) feladatot! c) Lásd a 2341/h) feladatot! d) Lásd a b) pontot! (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!)

GEOMETRIA 2343. Jelölje F az AC oldal felezõpontját. a) – b) Az ABF háromszög szerkesztÊ bˆ hetõ, ugyanis két oldala Á b, ˜ és a Ë 2¯ nagyobbikkal szemközti szöge (180∞ – d) adott. (Lásd a 2336. feladatot.) Ezek után az AF oldal F-en túli meghosszabbítására felmérve b -t adódik a C csúcs. 2

bˆ Ê c) Az ABF háromszög három oldala Á b, sb , ˜ adott, így most is szerkeszthetõ. (Lásd Ë 2¯ a 2334. feladatot!) A befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontokban.

2344. a) – a mb esetén van megoldás. b b és AC’C a. Két nem egybevágó háromszög a megoldás. – 2R mc teljesüljön. A megoldás a > mc esetén egyértelmû. b) b = 90∞ – a szerkeszthetõ, így lásd a 2348/g) feladatot! A megoldhatósághoz szükséges, hogy a 2r teljesüljön. Ebben az esetben a megoldás egyértelmû.

GEOMETRIA d) Mivel c + 2r és r adott, ezért c szerkeszthetõ. Másrészt a körhöz külsõ pontból húzott érintõszakaszok egyenlõsége következtében c = (a – r) + (b – r) = a + b – 2r, ahonnan a + b = c + 2r. (Lásd a 2350/1. ábrát!) A 2350/2. ábrán lát2350/2. ábra ható ABB’ háromszög két oldala (a + b, c) adott és a BB’A b esetnek felel meg. (Ha az adataink olyanok, hogy csak egy közös pont – érintési pont – jön létre, akkor a = b és a = 45∞.) Ha az ABB’ háromszög megszerkesztett, akkor a B-bõl AB’-re bocsátott merõleges talppontja lesz a C csúcs. Ahhoz, hogy adatainkból a háromszög szerkeszthetõ legyen szükséges, hogy az ABB’ háromszög B csúcsa létrejöjjön. Szélsõ helyzetben (érintési pont) AB = BB’ és így az ABB’ háromszög egyenlõ szárú derékszögû. a + b c + 2r = . Ha c enPitagorasz tétele alapján ekkor 2c2 = (a + b)2, ahonnan c = 2 2 nél kisebb, nincs megoldás, ha nagyobb, vagy egyenlõ, akkor egybevágóság erejéig c + 2r , amibõl figyelembe véve, hogy c + 2r egyértelmû megoldás van. Tehát c ¤ 2 és r adott ( c + 2r ) – 2r ¤

e) Mivel c + 2r = a + b, ezért az ABB’ háromszög a b. A 2351/1. ábra alapján az ABB’ háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala (a – b, c) és a nagyobbikkal szemközti szög, amely, lévén az AB’C egyenlõ szárú derékszögû háromszög, 135∞. (Az ABB’ háromszög szerkesztésére nézve lásd a 2336. feladatot!) Ezek után a BB’ egyenesére A-ból bocsátott merõleges talppontja lesz a C csúcs. A megoldhatósághoz szükséges, hogy c > a – b teljesüljön, és ekkor egyértelmû megoldást kapunk.

c) Mivel a > b, ezért 45∞ a és b – a = d, akkor a = 45∞-

d d és b = 45∞+ . 2 2

A hegyesszögek ismeretében a szerkesztés a 2337. feladat alapján történhet. a) a = 37,5∞, b = 52,5∞;

b) a = 33,75∞, b = 56,25∞; c) a = 30∞, b = 60∞;

d) a = 26,25∞, b = 63,75∞; e) a = 22,5∞, b = 67,5∞;

g) a = 7,5∞, b = 82,5∞. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat.) 2357. a) a és b adott, ezért g = 180∞ – (a + b) is adott. Így két oldal és a rajta fekvõ két szög ismeretében a 2337. feladat alapján a háromszög szerkeszthetõ. A szerkeszthetõség feltétele: a + b ma, akkor két megoldás lehetséges attól függõen, hogy a-t az ma felöli, vagy a másik oldalra mérjük fel. c) Lásd a 2058. feladatot! A szerkeszthetõség feltétele: b a teljesüljön. A szerkesztés: Az adott a A’C oldalra A-ban felvesszük az 2 szöget, majd a kapott szögszárat Ca bõl a sugarú körívvel elmetszve kap2 juk a B csúcsot. Ha az adatok olyanok, hogy B nem jön létre, akkor nincs megoldás. Ha a C középpontú, 2357/2. ábra a a sugarú körnek érintõje az 2 nagyságú szög szára, akkor a megoldás egyértelmû (A’BC a, g ma, g 0, b > a – c. A megoldás 2357/3. ábra egyértelmû. k) A 2357/4. ábrán látható AB’C’ háromszögnek ismert egy oldala (a + b + c), a hozzá tartozó magasság (ma) és az adott oldallal szemközti szög b +g aˆ 180∞-a Ê =a + = 90∞+ ˜ . Ez a háromszög szerkeszthetõ, bár a szerÁa + Ë 2 2 2¯ kesztéshez egy olyan tételt és ahhoz kapcsolódóan egy olyan szerkesztési eljárást fogunk alkalmazni, ami középiskolás tananyag. Ez a tétel Thalész tételének az általánosítása: Azon pontok halmaza a síkon, amelyekbõl a sík egy adott AB szakasza

SÍKBELI ALAKZATOK adott a (0∞ ma. Ekkor A’AA0 g.)

A 2359/2. ábrán látható, hogy a háromszög A csúcsát a BC’ szakasz fölé szerkesztett 180∞ – (b – g) szögû látószögkörív (lásd a 2357. feladat k) pontját) metszi ki a BCvel párhuzamos, tõle ma távolságra levõ e egyenesbõl. (C’ a C pont e egyenesre vonatkozó tükörképe.) Mivel feltételeztük, hogy b > g, ezért a feladat megoldása egyértelmû.

GEOMETRIA b) Ha ma = fa, akkor a háromszög egyenlõ szárú, ennek szerkesztésére nézve lásd a 2341/h) feladatot. Tegyük fel, hogy fa > ma. Az A’AA0 háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot). A-ban fa-ra a 2359/3. ábrának megfelelõen minda nagyságú két oldalra felmérve az 2 szöget, a szögszárak kimetszik az A0A’ egyenesbõl a B és a C csúcsot.

Ha a ma. (ma = fa esetre lásd a 2341/f) feladatot!) Ha b > fa, akkor A-ból ma-val átellenes oldalra körívezve kapjuk a C csúcsot, ha b £ fa, akkor a másik irányba kell köríveznünk. (Ez az ábrán annak felel meg, hogy a c oldal adott.) A B csúcsot a b oldal fa egyenesére vonatkozó tükörképe metszi ki az A0A’ egyenesbõl. A megoldás egyértelmû. d) Ha ma = fa, akkor az AA0C háromszög (lásd a 2348/e) feladatot) ma egyenesére vonatkozó tükörképének és az AA0C háromszögnek az egyesítése a szerkesztendõ háromszög. Ha ma fa > ma. Ekkor a megoldás egyértelmû. e) Tegyük fel, hogy b > g. Az AA’C háromszög szerkeszthetõ, hiszen egy oldala és a rajta fekvõ két szög adott. A B csúcs szerkesztése az elõzõ pontokban leírtakhoz hasonlóan történik. Ha b + g > a – c (a ¤ c), és a – c + b > d, akkor a feladat megoldása egyértelmû b) Lásd a 2361/a) feladatot! ha a m, akkor két megoldást kapunk. Ha b = m, akkor a trapéz egyértelmû és derékszögû. b c. (Ellenkezõ esetben a szerkesztés hasonlóan történik.) Az AB’D háromszög szerkeszthetõ, hiszen két oldala (a – c, d) és egy szöge (b) adott. (Ha d £ a – c, akkor elõfordulhat, hogy nem kapunk megoldást, vagy két háromszög is megfelelõ.) Az AB’ sza2364/2 ábra kasz B-n túli meghosszabbítására B’bõl felmérve c-t, a B csúcsot kapjuk. Az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenesre D-bõl felmérve c-t, a C csúcsot kapjuk. Feltéve, hogy b c. Ekkor a 2364/2. ábra AB’D háromszöge egyértelmûen szerkeszthetõ, feltéve, hogy a + b m, ellenkezõ esetben nem kapunk megoldást. a-c és a = 60∞, ezért 2 d = b = a – c. (Az AED háromszög egy szabályos háromszög „fele”.) Az AED háromszög szerkeszthetõ. Az ábrának megfelelõen A-ból a-t felmérve az AE egyenesen, a B csúcsot kapjuk. Az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenesen az ábrának megfelelõen c-t felmérve, a C csúcs adódik. b) A szerkesztés az elõzõ a) pontban leírtak alapján történik. c) Vegyük fel az a oldallal párhuzamos, tõle m távolságra lévõ egyenest, majd messük el ezt b-vel az a oldal mindkét végpontjából körívezve. A feladatnak két megoldása van. d) Vegyük fel a-ra mindkét végpontjában az a szöget az ábrának megfelelõen, majd mindkét szögszárra a szög csúcsából mérjük fel b-t. e) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala. A C csúcsot tükrözve az a oldal felezõmerõlegesére, adódik a D csúcs. f) Az ABC háromszög szerkeszthetõ. (Az adatok alapján C-re két megoldás adódik.) A D csúcs szerkesztése az elõzõ e) pont alapján történhet. A feladatnak két megoldása van. Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2365. a) Mivel AE =

2366. a) Lásd a 2360/d) és a 2364/a) feladatokat. (Most b = d.) Ha 2b > a – c, akkor a megoldás egyértelmû. b) Tegyük fel, hogy a c), ezért az AED derékszögû háromszög szerkeszthetõ. A befejezés a 2365/a) feladat alapján történhet. A megoldás egyértelmû, a = c esetén téglalapot kapunk.

SÍKBELI ALAKZATOK d) Lásd a 2365/e) feladatot! Ha e + b > a és a + b > e, akkor a megoldás egyértelmû. e) Mivel a szimmetrikus trapéz átlói egyenlõ hosszúak, ezért BD = e és a-c a+c = (feltesszük, hogy a > c). Így az EBD derékszögû háromBE = a 2 2 szög szerkeszthetõ. (Lásd a 2348/b) feladatot!) E-bõl EB egyenesén az ábrának a-c -t felmérve kapjuk az A csúcsot. A C csúcs D-nek az AB felezõmegfelelõen 2 a+c merõlegesére történõ tükrözésével adódik. A megoldás egyértelmû, ha e > , 2 ellenkezõ esetben nem kapunk megoldást. Ha a = c, akkor a trapéz téglalap. f) Lásd a d) pontot! 2367. a) Szerkesszünk az a oldal A végpontjába merõlegest és erre mérjük fel Aból d-t. A d oldalra D-ben szerkesszünk merõlegest az ábrának megfelelõen, és mérjük fel erre Dbõl c-t. Egyértelmû megoldást kapunk. b) Az AED derékszögû háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot), ha a – c a és a + b > e. A D csúcsot az AB-re A-ban állított merõleges metszi ki a C-re illeszkedõ, AB-vel párhuzamos egyenesbõl. A feltételek mellett a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. e) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban. f) Az ABD derékszögû háromszögnek adott két befogója, így szerkeszthetõ. A C csúcsot az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenes és az A középpontú, e sugarú kör megfelelõ metszéspontja adja. Ha e > d, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. g) Az ACD derékszögû háromszög szerkeszthetõ. A B csúcs a c-vel párhuzamos, A-ra illeszkedõ egyenes és a C középpontú, b sugarú kör metszéspontjaként adódik. Ha b c 2 + d 2 , akkor egy megoldás van. h) Az ACD derékszögû háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot). Innen a B csúcs az elõzõ ponthoz hasonlóan adódik. Ha e £ c, akkor nincs megoldás. Ha c b > e 2 – c 2 , akkor két megoldás van. Ha b > e, akkor a megoldás egyértelmû. i) Mivel BCD e és a + e > b esetén a megoldás egyértelmû. d) Lásd a 2368/d) feladatot! a 2a mb e f ma és a + > . 2 2 T2 b) A BCM háromszög szerkeszthetõ, hiszen két oldala és a közbezárt szög T1 Êe f ˆ adott Á , , d ˜ . B-t és C-t M-re Ë2 2 ¯ tükrözve kapjuk D-t és A-t. c) Vegyünk fel egymástól ma távolságra két párhuzamos egyenest. Ezek sávfelezõ e f és sugarú köröknek 2 2 és a párhuzamos egyeneseknek az ábrának megfelelõen vett metszéspontjai lesznek a paralelogramma csúcsai. e > ma és f > ma esetén a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. d) Mivel DT1B m esetén egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. h) Lásd az elõzõ pontot!

GEOMETRIA 2378. a) – b) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen három oldala adott. Az A pont BD egyenesére vonatkozó tükörképe a C csúcs. c) Az f egyik oldalára az ACD, másik oldalára az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. d) Az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. Az AC oldal felezõmerõlegesére D-bõl mérjük fel e-t, a kapott végpont lesz a B csúcs. Egy konvex és egy konkáv megoldás van, attól függõen, hogy e-t D-bõl melyik irányba mérjük fel. e) Lásd az elõzõ pontot! 2379. a) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a közbezárt szög. A-nak BD egyenesére vod1 b1 natkozó tükörképe a C csúcs. b2 d2 b) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. Az AC oldalra az ACD egyenlõ szárú háromszög is szerkeszthetõ. A feladatnak egy konvex és egy konkáv megoldása van. c) Az ABD háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a nagyobbikkal szemközti szög. Az A csúcs BD egyenesére vonatkozó tükörképe a C csúcs. d) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. Az AC felezõmerõlegesére B-bõl e-t felmérve adódik a D csúcs. e) A és a az ACD egyenlõ szárú háromszöget egyértelmûen meghatározza. Ehhez a háromszögben f > 9 cm kell, hogy teljesüljön, ezért nincs megoldás. f) Az elõzõ pontban leírtak alapján nincs megoldás. a = 48,75∞. g) Mivel b = d, és a két átló merõleges egymásra, ezért b1 = d1 = 90∞2 (Lásd az ábrát!) Így az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. AC felezõmerõlegesére D-bõl e-t az ábrának megfelelõen felmérve adódik a B csúcs. h) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott egy oldala (e) és a rajta fekvõ két a Êa ˆ szög Á , 180∞- – b ˜ . A-nak a BD egyenesére vonatkozó tükörképe lesz a C Ë2 ¯ 2 csúcs.

SÍKBELI ALAKZATOK i) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott az alapja (f) és az alag – lásd az ábrát!). Hasonlóan szerkeszthetõ az pon fekvõ szöge (b2 = d2 = 90∞2 ACD egyenlõ szárú háromszög is. Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2380. a) Lásd a 2378/a) feladatot! Ha a + b > e és a + e > b, akkor a = b esetén egyértelmû a megoldás (rombusz), a π b esetén egy konvex és egy konkáv megoldás van. b) Lásd a 2378/c) feladatot! Ha 2a > f és 2b > f, akkor a = b esetén egyértelmû a megoldás, a π b esetén egy konvex és egy konkáv megoldás van. f esetén a megoldás egyértelmû. 2 f d) Lásd a 2378/e) feladatot! b > esetén a megoldás egyértelmû. 2

c) Lásd a 2378/c) feladatot! a >

2381. a) c) Lásd a 2379/b) feladatot! Ha a π b, akkor egy konvex és egy kond1 b1 káv megoldás van. b) Lásd a 2379/a) feladatot! d) Lásd a 2379/c) feladatot! Ha e > a, akkor a megoldás egyértelmû. Ellenkezõ esetben lehetséges, hogy nem kapunk megoldást, és kaphatunk két megoldást is. e) Lásd a 2379/d) feladatot! A megoldás egyértelmû. f) Ha 2a > f, akkor az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. CD-re C-ben a d szöget az ábrának megfelelõen felmérve, a kapott szögszár és AC felezõmerõlegesének metszéspontja B. g) b és f az ABC egyenlõ szárú háromszöget egyértelmûen meghatározza, így az 2b > f esetén szerkeszthetõ. Az ACD egyenlõ szárú háromszögben (feltételezzük, hogy a a deltoid konvex) b1 = d1 = 90∞- , így az is szerkeszthetõ. (Lásd az ábrát!) 2 h) Lásd a 2379/g) feladatot! A megoldás egyértelmû. i) Az e fölé szerkesztett d szögû látószögkörívekbõl (lásd a 2357/k) feladatot) az e-vel f párhuzamos, tõle távolságra levõ egyenesek metszik ki az A és a C csúcsot. 2 A megoldás egyértelmû, ha a látószögköríveknek és a párhuzamos egyeneseknek van közös pontja, ellenkezõ esetben nincs megoldás. j) Lásd a 2379/h) feladatot! 360∞ – a – 2d > 0∞ esetén a feladat megoldása egyértelmû. k) Lásd a 2379/i) feladatot! 360∞ – a – 2b > 0∞ esetén a feladat megoldása egyértelmû.

2382. a) Az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen szára és szögei adottak. Az ABC egyenlõ szárú háromszög is szerkeszthetõ, hiszen az ACD háromszög szerkesztése után adott az alapja (f) és alapon fekvõ szögei (b2 = 90∞ – g1). Ha b1 f és g1 b, a > e, b > 180∞ és az a olyan kicsi, hogy az ABD háromszögben az AD oldallal szemben tompaszög van. a) Lásd a 2379/a) feladatot! b) Lásd a 2379/b) feladatot! c) Az ABD háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a nagyobbikkal szemközti

Ê bˆ szög Á ˜ . A-nak a BD egyenesre vonatkozó tükörképe a C csúcs. Ë 2¯ Lásd a 2379/c) feladatot! Lásd a 2379/d) feladatot! Mivel b > 180∞, ezért az ABD háromszög abban az esetben egyértelmûen szerkeszthetõ, ha az a szög szárának és a B középpontú, e sugarú körnek két közös pontja van. Az ABD háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ (adott egy oldala és szögei), ha b a + a esetén egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. c) Lásd a 2384/c) feladatot! a 2r esetén derékszögû trapézt kapunk. Ha b > 2r és d > 2r, akkor a feladatnak két megoldása van.

2393. Thalesz tételének megfordításából adódóan C rajta van az AB átmérõjû körön, ezért AF = FC = FB. Az AFC és a CFB háromszögek így egyenlõ szárúak.

2394. Lásd az elõzõ feladatot! 2395. A tekintett oldal felezõpontja egyenlõ távolságra van a háromszög csúcsaitól, ezért ez a pont a köréírt kör középpontja. Thalesz tétele értelmében a háromszög derékszögû. 2396. Lásd az elõzõ feladatot! Megjegyzés: A 2393. feladat állításának megfordítása a 2395. feladat állítása, és ugyanez a kapcsolat a 2394. és 2396. feladatok között is. 2397. Tekintsük a kör két tetszõleges húrját. Ezen húrok felezõmerõlegeseinek metszéspontja lesz a kör középpontja. Ha csak derékszögû vonalzónk van, akkor egy tetszõleges húr egyik végpontjába állítsunk merõlegest a húrra. A két egymásra merõleges húr végpontjai meghatározzák a

GEOMETRIA kör egyik átmérõjét. Hasonló módon „megszerkesztve” egy másik átmérõt, a két átmérõ metszéspontja lesz a kör középpontja. C1 2398. A magasságok talppontjai rajta vannak a harmadik oldal fölé írt Thalesz-körön, így annak középpontját a két adott pont által meghatározott szakasz felezõmerõTb legese metszi ki az adott egyenesbõl. Ta A kör sugara a kapott metszéspont és az egyik adott pont távolsága lesz, és ez a C2 kör metszi ki az adott egyenesbõl az A és a B csúcsot. Ha a két adott pont az egyenesnek ugyanazon az oldalán van és az általuk meghatározott egyenes nem merõleges az adott egyenesre, akkor a harmadik csúcsra két lehetõségünk van (az ábrán C1 és C2), így egy hegyesszögû és egy tompaszögû megoldást kapunk. Ha az egyik pont az egyenesen van, akkor egy derékszögû háromszöget kapunk, amelynek egyik befogója az adott egyenesre illeszkedik és derékszögû csúcsa az egyenesen adott pont. Ha az adott pontok az egyenes különbözõ oldalára esnek és az általuk meghatározott egyenes nem merõleges az adott egyenesre, akkor két tompaszögû háromszöget kapunk. Abban az esetben, ha a két pont által meghatározott egyenes merõleges az adott egyenesre, pontosan akkor van megoldás (akkor viszont végtelen sok), ha az adott egyenes a két pont által meghatározott szakasz felezõmerõlegese.

2399. Thalesz tételének megfordítása értelmében a magasságtalppontok illeszkednek a harmadik oldal mint átmérõ fölé írt körre. 2400. A derékszögû csúcsot a két adott pont által meghatározott szakasz mint átmérõ fölé írt Thalesz-kör metszi ki az adott egyenesbõl. A feladatnak legfeljebb két nem egybevágó megoldása lehet az adott pontok elhelyezkedésétõl és a létrejövõ metszéspontok számától függõen. 2401. Legyen a két adott pont A és B, az adott távolság pedig d. Megoldás akkor és csak akkor van, ha d £ AB. Ha d = AB, akkor a két egyenes merõleges AB-re. Ha d 0,019 m2 > 4210 mm2 > 22 cm2 b) 380 ár b > 0 egészek és 0 10. Ha a = 5 m, akkor b = 4 m. Ha a = 4 m, akkor b = 3 m. Ha a = 3 m, akkor b lehet 1 m és 2 m. Ha a = 2 m, akkor b = 1 m. 2434. A téglalap oldalai a2 =

2 a és b. A feltétel szerint 3

A négyzet kerülete 4a, a téglalapé

13 a a , vagyis a téglalap kerülete nagyobb -mal. 3 3

2435. Mivel a négyszög átlói egyenlõek és felezik egymást, ezért a négyszög téglalap. Legyenek a téglalap oldalai centiméterben mérve a és b. A feladat szerint a + b = 9 cm és ab = 18 cm2. Ezt a két egyenletet egyidejûleg csak az a = 3 cm, b = 6 cm (vagy fordítva) értékek elégítik ki. 2436. Jelölje K és T az eredeti, K’ és T’ az új kerületet illetve területet. a) K’ = 2K, T’ = 4T; b) K’ = 1,5K, T’ = 2,25T; c) K’ = 3K, T’ = 9T;