Sokszínű matematika 9. osztály tankönyv pdf

1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

2 Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik tagja: n, a sorozat elsõ n tagjának összege: n(n + ).. a) n n( n + ) b) c) (n )(n n +). A bizonításokat például teljes indukcióval lehet elvégezni.. a) Érdemes a n -t átalakítani íg: b) Az a n -t itt íg érdemes felírni: n n n n an =. ( + ). ( ). n a n = n + n n 5. A sejtés általánosan íg írható fel: n + n n + n = n + n + +n + n n +n. Az összegzés után a bizonítás közvetlenül adódik.. Példák rekurzív sorozatokra. a), b), c) teljes indukcióval könnû igazolni.. =. Az eges ferde vonalak mentén adódó összegek a következõk. 5, 8. 55, 89. Az általános sejtés tehát az lehet, hog az n-edik sorban álló számok öszege f n. A sejtés teljes indukcióval igazolható. = +. ábra. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk. A szemléltetést az. ábrán lehet elvégezni. = 5. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk, a sorozat tagjainak szemléltetését a. ábrán végezhetjük el.. ábra

3 . Számtani sorozatok = + = A feltételbõl a = és d = adódik. Íg azt a legkisebb pozitív egész n-et keressük, amelre + ( n ) n 000. Az eredmén: n =.. Elég igazolni, hog az a + c =b és egenlõségek ekvivalensek. b+ c + a+ b = a+ c. a) a = 7, d =. b) Két megoldás van: a =, d =, 59 a =, d =. c) A kitûzött feladat hibás. A heles feladat: a + a 7 =, a + a 7 =. Ennek két megoldása van: a = 7, d =, 67 a =, d = Nem. Indirekt bizonítást alkalmazva arra az ellentmondásra jutunk, hog racionális szám ,5 másodperc alatt esik le a test 0 m magasról ( ) = = Az egenlõtlenséget kielégítõ egész koordinátájú pontok száma.. Mértani sorozatok. a = 6, q =. q =. 0.

4 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 5. a) a =, q = b) A feladatban hiba van, a heles feladat: a 7 a = 6, a 5 a = 7. Az egetlen megoldás: a =, q = (a q = eset nem ad jó megoldást). c) Két megoldás van: a = 5, q =, a = 5, q = A helesen kitöltött táblázat: Két megoldás van:, 8, ;,, (A második megoldás esetében a számtani sorozat differenciája 0, a mértani sorozat hánadosa.) 9. A számtani sorozat elsõ tagja, különbsége Kamatszámítás, törlesztõrészletek kiszámítása 0. Jelölje p az + = számot (ez az eghavi kamat kiszámításához szükséges), akkor a havi törlesztõ részlet: p 5000 p 57 Ft.. Feltesszük, hog havonta egenlõ részletekben törlesztjük a kölcsönt, ekkor a szükséges 0 havi összeg a q = + = jelölés felhasználásával: Tehát a kölcsönt felvehetjük. q q Ft.

5 Térgeometria. Térelemek. 5 rész. a) 5 vag 8 rész. b) 9, 0 vag rész.. a) a b) c) a. a 5. 90º; 0º a 6. 5,6º; 90º 7. a; 5a; 9,º; 8,º *9. Igaz. A sík és a tér felosztása n. n+ véges; n végtelen tartomán n nn ( ) = n n n n n = ( + ) ( )( ) n n *7. + 5

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Testek osztálozása, szabálos testek. Igen. Pl. ilen eg térbeli kereszt.. Legkevesebb 6, legfeljebb 0.. tetraéder kocka oktaéder dodekaéder ikozaéder. 5. a ; a; 0 6 cm a 6. 8,6 cm; 6, cm *7. *8. a 6 a. A terület fogalma, a sokszögek területe. a. cm; 5,8º; 5,6º. 7,8 cm;,7 cm; 6,68º. 7-szerese. 5. része A súlvonal a megfelelõ egenes. 7. 7,05 cm területegség. * 0. Igen. Az oldalai lehetnek: és 6, vag és. *. b) n =, vag 6 esetén. 6

7 5. A kör és részeinek területe. ; 9.. Igen.. 6,8 km-rel 5. a),09 cm b) cm c),9 cm 6. 0,56 m 7. a) 5,5 cm b) 5,8 cm c) 5,7 cm d),5 cm 8. a) b) 0. Egenlõk.. 5, cm. 6,77 cm *. 6,88 cm 6. A térfogat fogalma, a hasáb és henger térfogata. 8 féle. A ma = 6 (; ; 6). A min = 66 (; ; ).. Élei: 6 ; 8 ; 0 ; V = 960 ; A = 75; 5º; 6,9º. Élei: cm; 6 cm; 8 cm. A = 08 cm. Élei: 0 cm; 5 cm; 0 cm. V = 000 cm 5. a) A = 686,6 cm ; V = 866 cm b) A =, cm ; V = cm c) A = 79,6 cm ; V = 596, cm d) A = 58,8 cm ; V = 68, cm 6. a) V = 785, cm ; A = 7, cm b) V = 0000 cm ; A = 68, cm c) V = 790,9 cm ; A = 5080,99 cm 7.,6% 8. V =,76 cm ; A = 58,7 cm V = 58,9 cm ; A = 9,57 cm 9. V = 68, cm ; A = 08, cm V = 005, cm ; A = 65,5 cm 0. V = 88,5 cm ; V = 7,5 cm A = 0,9 cm ; A = 500, cm *. A = cm ; V = 6 cm *. féle. 7

8 7. A gúla és a kúp térfogata SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) 76,9 cm ;,78 cm b) 6,6 cm ; 87, cm c) 08,09 cm ; 656,7 cm d) 500 cm ; 80,77 cm. a) 57,08 cm ; 0, cm b) 0,59 cm ; 0,59 cm c) 0,59 cm ; 0,59 cm. 58,9 cm. 678, cm 5. 78,55 cm 6. 65,5 cm 7.,6 cm ;,. cm 8. 66,6. cm ; 7, cm 9. 0,6 cm ; 5,78 cm *. A= a; V = *. a = r esetén. a 8 8. A csonka gúla és a csonka kúp. a) 6,69 cm b) 8,58 cm ; 70, cm c) 8,76º. a) 5,9 cm ; 75,96 cm b) 8,9 cm ; 88,5 cm. a) 57,75 cm ; 9,8 cm b) 5,9 dm ; 58,58 dm c) 07,9 dm ; 57,58 dm. 97,9 cm ; 9,8 cm 5. V =,. cm ; V =,. cm A = 7,7 cm ; A = 66,5 cm 6. A = 60 cm ; a = 5,º π dm ; π dm 8. a) 8,9 cm; 6, cm b),85 cm; 8,5 cm 9. 57,87 dm 0. 90, dm 8

9 9. A gömb térfogata és felszíne. a) cm ; 5 05 cm b) 50 cm ; 507 cm. 97 m. 0 cm π r. ; rész , N 8.,6 dm ; 6,6 dm *9. * r π V = h ( r h) π R 8 * cm ; 0 06 cm 0. Egmásba írt testek. 0 cm. 6,7 cm. a) 0 cm; cm; cm b) 60 cm ; 55,6 cm. 6 cm ,% 7. r =,07 cm; A = 89,6 cm ; igaz ,57 cm ; 68, cm *9. 9,% 0. A A V = ; = 8 V., cm. 5 m (m a kúp magassága) 9 9

10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Algebra és számelmélet összefoglalás. Számok és mûveletek. Igen, a négzete is irracionális.. Pl. km %-át. 6. 7%-os a haszon. 7.» 77%,» 9% tanuló.. Számelmélet, oszthatóság A számjegek összege, nem lehet prím.. Nincs. p és p + közül az egik páros, p = -re nem igaz.. Igen, 00 = 7, minden prímténezõ kisebb 5-nél. 5. a) Pl.: 988 = b) Pl.: 988 = es, 8-as, 9-es *8. n = 5 és n =.. Hatván, gök, logaritmus nullára végzõdik.. a) 8 éves, 70 kg-os tanuló esetén 7 00 m. b) kg.. a) 5 = b) 5 c) 0 =

13 Függvének összefoglalás. A függvén fogalma, grafikonja, egszerû tulajdonságai. a) = sin p p p p b) c) =lg 0, 0 d) e) =tg p p p p 9 f) A függvén görbéje nem rajzolható meg pontosan, két szakasz mentén mindenütt sûrûn elhelezkedõ pontokból áll.. a) injektív; b) egik sem; c) egik sem; d) szürjektív; e) bijektív; f) injektív.. Mûveletek függvénekkel. a) f f: R R, ; b) f g: R R, ; c) g f: R R, ; d) g g: R R. f f: R R, ; f f f: R R, ; + + f f. f: R R,, az fn-szer szerepel. + n

14 . a) f : R R, ; b) g : R \ < >R \ < >, ; + c) h : [0; ] [0; ], ; d) k : [0; ] [ ; 0], ; SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Függvéntulajdonságok. a) b) c) 8 6 =( +) ( ) 6 6. a) b) c) Zérushel: =. Zérushel: = 7. Zérushel: =.. a) b) c) A kitûzött feladatban hiba van. A heles függvén: log, 5 6 log Î [; + [ log Minimumhel = 0, mini- Minimumhel =, mini- A függvénnek minimumum értéke: ; maimum- mum érték: ; maimum- ma nincs (alulról nem helek: =, =, hel: = 5, maimum ér- korlátos), maimumhemaimum értéke: 5. ték: 6. le =, a maimum érték:.

15 d) = sin½½ p p p p p p p p Minimumhelek: és = π = π, a minimum értéke:, maimumhelek: és = π = π, a maimum értéke:, az = 0 helen heli minimuma van a függvénnek, a minimum értéke 0. e) Minimumhel = 0, a minimum értéke: 0, π π maimumhelek =, =, a maimum értéke.. A függvén zérushele: = 0, minimumhele =, a minimum értéke:, maimumhele =, a maimum értéke:. p p p p 5. a) Az egetlen valós gök: =. b) Az egetlen valós gök: =. c) A két valós gök: = és =. 6. a) A kitûzött feladatban hiba van. A heles feladat: log log, >, ¹. A megoldás: <. b) A megoldás: < <. π π c) A megoldások a következõ intervallumok: + kπ < < + kπ, k Z. 7. a) Eg valós göke van: =. b) Két valós göke van: = 0, =. c) A két valós gök: = és =. 8. Nem periodikus, indirekt úton lehet bizonítani. 5

16 Geometria összefoglalás. Alapvetõ fogalmak. a) hamis; b) igaz. a) AB cm; b) igaz SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A szögek nagsága: º, 57º, 7º, 87º, 0º.. A hajó az északi iránnal +05º-ot bezáró, közelítõleg délnugati iránban halad. a 5. Jelölje a park hosszabbik oldalának hosszát a, a rövidebbikét b. Ha akkor a köz- b, a refogott alakzat négzet, ha akkor az ösvének és a park határa eg hatszöget fog b >, közre. 6. Legfeljebb pontot kaphatunk íg. Nincs mindig megfelelõ pont. 7. A metszéspontok száma a) 8 térrész; b) 5 térrész; c) 6 térrész; d) 9 térrész.. Geometriai transzformációk. Két megfelelõ négzet van, csúcsaik rendre (6; 0), 0; 6), ( 6; 0), (0; 6), illetve (8; 8), ( 8; 8), ( 8; -8), (8; 8).. a) A közös rész eg oldalú szabálos háromszög. K = cm, T = cm 9» 0,77 cm. 68 b) Az egesítés eg konkáv hétszög. K = 0 cm, T = cm, 087 cm a) A'( ; 0), B'(; 6), C'(6; ) b) A'( 0; ), B'( ; ), C'(0; 6) cm 8. A nagítás 80-szoros, a kép és a vászon távolsága,95 m.. Vektorok. Szögfüggvének. h»,9 m.. d» 8,5 m.. a» 5,5º.. a) sina = 0,6; tga = ctga = ;. 6

17 b) cosa = 0,8; tga = ctga = ;. c) sina» 0,909; cosa» 0,99; ctga» 0,76. d) tga = 5+»,6; sina» 0,909; cosa» 0, Az osztópontok helvektorai rendre a B csúcstól a C csúcs felé haladva: 5b + c b + c b + c b + c b + 5c. 6 6 a b b c c a a b c 6. fab = +, fbc = +, fca = +, s ABC = + +. a+ c b + d + a+ b + c + d a+ c b + d a b c d 7. a) b), c) = Az átlók felezõpontjait összekötõ szakasz felezõpontja azonos a középvonalak metszéspontjával. 9. = 6. Nevezetes síkidomok tulajdonságai. a) a = 0º; b» 7,5 cm; c» 7,05 cm. b) a»,97 cm; a»,º; g»,69º. c) c» 8,88 cm; a» 6,9º; b» 7,8º. d) a» 59,6º; b» 8,05º; g» 9,59º.. A befogók: a» 8,6 cm; b» 8,6 cm. A hegesszögek: a» 65,9º; b»,08º; 68 T = cm, 087 cm. 9. a) a» 75,5º; T» 7557,8 m. b) A maimális területû játéktér oldalai 9,6 m és 7,9 m, területe T» 8779, m. 5. a) a = 50º; b = 60º; g = 70º. b) a»,06 cm; b»,6 cm; c»,76 cm; T»,99 cm. c) T a»,5 cm ; T b»,6 cm ; T c»,6 cm. 6. A belsõ szögfelezõk által meghatározott négszög szögei valamelik körüljárási iránban: 87,5º; 5º; 9,5º; 65º. Ha eg konve négszög belsõ szögfelezõi közrefognak eg négszöget, akkor az mindig húrnégszög. 7. a) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négszög téglalap, íg az eredeti négszög átlói merõlegesek egmásra. b) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négszög rombusz, íg az eredeti négszög átlói egenlõ hosszúak. 7

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. a) n = 9; b) n (a sokszög oldalszáma) lehetséges értékei:, 5, 6, 7, A sokszög oldalainak száma: n = k A legkisebb szög 7º-os, a legnagobb 7º-os. 5. Koordinátageometria. a) A'(; 0), B'(8; ), C'( 6; ) b) c) S ; d) K ABC = ( ), 6 e) T ABC = 86. Az érintõ egenlete: + =.. A csúcsok koordinátái (0; 0), (0; ), (; 0), a háromszög területe 6 egség.. A H ( ; 5) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egenlete = és 8 5 = 5, a H ( ; 7) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egenlete pedig = = 6 Ès A súlpontok halmaza az = + egenletû egenes kivéve a ; pontot, 9 9 uganis ekkor nem jön létre háromszög. 6. a) a = ; a = b) a = 7. T = 9 8. A két érintõ hajlásszöge», a= ; T =. 0. a) b) c)

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logika, bizonítási módszerek. Logikai feladatok, kijelentések. Feltéve, hog a középsõ a kérdésre válaszolt:

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: – függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben – az elsőfokú függvény, lineáris függvény – a másodfokú függvény

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás – halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok – racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára

Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok

Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)

Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

2. tétel Egész számok – Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték – sajátvektor 13 6

Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = – 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-

Halmazok Egész számok

Halmazok.. Egész számok A. számokat egész számoknak nevezzük. ármel két egész szám összege, szorzata, különbsége is egész szám..5. ábra Adóslevél.6. ábra Az adósságok könvelése is megkívánta a negatív

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Feladatok megoldása. Sorozatok

Feladatok megoldása Sorozatok I /.. a = 5, a =, a = -, a = -7, a 5 = -, a 6 = -6 b =, b =, b = 5, b =, b5 = 5 7, b6 = I /. c =, c = d = -, d =, d =, c = 0, c = -, c5 = – c6 = 0 8, d =,6, d 5 = 7 e =, e

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló – 9. osztály

Nagvárad, 07. február 3 6.. feladat: Két játékos a következő játékot játssza: Az,,3. 07 véges számsorozatból váltakozva kiválasztanak eg-eg számot, és azt törlik a sorozatból. Bármelikük látja, hog

Koordináta-geometria alapozó feladatok

Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

10. Differenciálszámítás

0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = – b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

TANMENET. a Matematika tantárgy tanításához a 12. a, b c osztályok számára

TANMENET a Matematika tantárgy tanításához a 12. a, b c osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos tankönyv:

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: – Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van – A háromszög belső szögeinek összege 180 o – A háromszög külső szögeinek összege 360 o – A

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein

A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

2) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 42. Adja meg a háromszög hiányzó adatait!

Szinusztétel 1) Egy háromszög két oldalának hossza 3 és 5 cm. Az 5 cm hosszú oldallal szemközti szög 70. Adja ) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 4.

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Koordináta – geometria I.

Koordináta – geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR I rész Felhasználható idő: 45 perc 6x 1 111) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra). 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra). 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra). 3 3. Függvények,

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A

Készítette: Vidra Gábor. 7. modul Koordinátageometria 2 A kör

Készítette: Vidra Gábor 7. modul Koordinátageometria A kör Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztál Modulkapcsolódási pontok A

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = , B =

Másodfokú függvények

Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Függvény fogalma, jelölések 15

DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 05 április 8- XII évfolyam A szabályos hatoldalú csonka gúla alapélei és ( a b ) A csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 – (-2); 3-4)=(9; – 1) Valós számmal való

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Matematika 8. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 8. osztály VI. rész: Térgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!