Mozaik Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény

Minden jog fenntartva © 2022, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: infogyakorikerdesek.hu

Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény 10 14 Éveseknek Megoldások / Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény 10-14 Éveseknek Használt Tankönyv Eladó

Lakó Gábor: Helyesírási útmutató középiskolásoknak Borosné Jakab Edit; Szecsődi Tamás Leó; Alexandrov Andrea: Érettségi – Magyar nyelv és irodalom írásbeli és szóbeli vizsgára – Középszinten – 2013.. Az újszerű, a nyelv működésére is rávilágító feladatgyűjtemény a kerettantervben előírtaknak megfelel. Rendelkezik olyan bővíthető biztos ismeretekkel, készségekkel, képességekkel és jártasságokkal, amelyek képessé teszik őt arra, hogy a középiskolás követelményeknek a későbbiekben A magyar nyelv oktatását képesség szerint a differenciálás módszerével oldjuk meg, s erre a csoportmunka is kiváló lehetőség. Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából megoldások II. Gábor Endréné – Gyapjas Ferencné – Hárspatakiné Dékány Veronika – Korányi Erzsébet – Pogáts Ferenc – A könyv a tavalyi Magyar nyelvi kidolgozott érettségi témák I. Középszint javított és irodalom. A fizika alapfogalmai középiskolásoknak – 2., bővített kiadás.. Dr. Szerényi Gábor. A Nagy biológia feladatgyűjtemény – Gyakorló tematikus feladatok középszintű és emelt szintű 995 Ft 945 Ft 5%.

1255 Melyik az a szám, amelynek négyszerese 2-vel kisebb, mint a nála 3-mal nagyobb szám háromszorosa. 1251 Két természetes szám összege 15257. Az egyik szám végén 0 áll. Ha ezt a 0-t elhagyjuk, éppen a másik számot kapjuk. Melyik ez a két szám? 1249 Egy szám ötszöröséhez hatot adtam, az egészet osztottam 7-tel és így 8-at kaptam. Melyik ez a szám? 1256 Gondoltam egy számra. Megszoroztam2-vel, a szorzatból kivontam 16-ot, a különbséget elosztottam néggyel, a hányadoshoz hozzáadtam 60-at és az összegből kivontam a gondolt szám háromszorosát. Eredményül 6-ot kaptam. Mennyi a gondolt szám? Munkavégzés 1366 Egy ló egy szekér szénát 1 hónap alatt, egy kecske 3 hónap alatt, egy juh 4 hónap alatt eszik meg. 1368 Egy 100ll kádba két csőből engedik a vizet. Az elsőből 10l, a másodikból 15l víz ömlik a kádba percenként. Hány perc alatt telik meg a kád, ha mindkét csövet egyszerre nyitják meg? Életkoros 1293 Az anya 40 éves a lánya 16. Hány évvel volt az anya 3 szor idősebb a lányánál? 1296 Egy 38 éves apának 8 éves fia van.

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY 1. fejezet. Lineáris algebra. 1. Mátrixok. Rövid elméleti összefoglaló. Egy n × m típusú mátrixon egy n db sorból és m db oszlopból álló számtáblázatot értünk:. Matematika feladatgyűjtemény I. – BME kedésinérnöki Kar Matematika Tanszékének oktatói készítenek Szász Gábor Mate- matika I-II-III. a) A násodik tankörös fiúk. b) Az angolul és nénietül tudók. Bevezető matematika feladatgyűjtemény 2014. aug. 10. 24. feladatsor: Rábai Imre: Matematika mér˝olapok 6. feladatsora. 56. Egy futballcsapat 11 játékosának átlagéletkora 22 év. Kosztolányi, Mike, Vincze: Érdekes matematikai feladatok, Mozaik Oktatási Stúdió, Szeged, 1994. Matematika feladatgyűjtemény I. – Budapesti Műszaki és. számok, R a valós számok és R a pozitív valós számok halmaza. 11. 2 Az aj a2. al (nENT), 101.! (nik E N; k sn). n! (n kỳ. Teljes indukcióval bizonyítsuk be, hogy a következő állítások igazak, ha az n pozitív egész szám nagyobb. Matematika összefoglaló Matematika összefoglaló.

Matematika Összefoglaló feladatgyûjtemény 10-14 éveseknek használt tankönyv eladó

Az egyes anyagrészeket bevezető, majd a tanult módszereket, ismereteket elmélyítő, gyakorló példák mellett a feladatgyűjteményben találhatók olyan nehezebb feladatok is, amelyek a tanulóktól megkövetelik az ismeretek alkotó alkalmazását. Az érettségire való felkészülést segítő számos általános összefoglaló munkával szemben ez a könyv nem az eddig tanultak globális áttekintését kívánja nyújtani. Emelt szintű érettségi feladatsorok magyar nyelv és irodalomból, matematikából és történelem tárgyakból.. Történelmi feladatgyűjtemény 10-11 éveseknek. Ahogy a cím is sugallja, középiskolásoknak készült kiadvány, melynek segítségével könnyebben értelmezhetőek a kötelező olvasmányok kevésbé ismert kifejezései.. Borosné Jakab Edit; Szecsődi Tamás Leó; Alexandrov Andrea: Érettségi – Magyar nyelv és irodalom írásbeli és szóbeli vizsgára – Középszinten – 2013. Lakó Gábor: Helyesírási útmutató középiskolásoknak Borosné Jakab Edit; Szecsődi Tamás Leó; Alexandrov Andrea: Érettségi – Magyar nyelv és irodalom írásbeli és szóbeli vizsgára – Középszinten – 2013.. Az újszerű, a nyelv működésére is rávilágító feladatgyűjtemény a kerettantervben előírtaknak megfelel.

Mozaik Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény

MS-2323 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 9-10.o. Letölthető megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)
feladatgyűjtemény
Árösszehasonlítás

MS-2325 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 12.o. Megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)
feladatgyűjtemény
Árösszehasonlítás

MS-2322 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 10.o. Megoldásokkal (Digitális hozzáféréssel)
feladatgyűjtemény
Árösszehasonlítás

MS-2327 Sokszínű matematika – Az analízis elemei feladatgyűjtemény (emelt szint)
feladatgyűjtemény
Árösszehasonlítás

MS-2309U Sokszínű matematika tankönyv 9.o. (Digitális hozzáféréssel)
tankönyv
Árösszehasonlítás

feladatgyűjtemény

MS-2326 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 11-12.o. Letölthető
feladatgyűjtemény
Árösszehasonlítás

MS-2324 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 11.o. Megoldásokkal
feladatgyűjtemény
Árösszehasonlítás

feladatgyűjtemény

feladatgyűjtemény
Fix ár: 900 Ft FIX ár: 900 Ft Regisztráció időpontja: 2008.11.19. Termékkód: 3178283891 Kiadási év: 1993 Krúdy Gyula: Álmoskönyv Feladatok: 5 Számok, .

Középiskolába készülök – felvételi felkészítő – MATEMATIKA
méret: 192×258 mm terjedelem: 240 oldal tanterv: NAT 2012 egyéb tanterv: NAT 2020-hoz is ajánlott FELADATOK: 6 Mértékegységváltás: 24 MEGOLDÁSOK: 98 .

Hatosztályosba készülök – Matematika – Felvételi felkészítő
Házhozszállítás

, Megjelenés: 2021. november 02. Szállítás: 10 munkanap Oldalak száma: 272 Megjelenés: 2021. november 02. Kötés: Kartonált ISBN: 9789636978655 Méret: 258 mm x .

Sokszínű matematika tankönyv 7. osztály (MS-2307)
tankönyv
Elérhetőség: Nincs készleten Kötés: puhatáblás, ragasztókötött ISBN: 9789636975494 Cikkszám: 1096214 Nyelv: magyar hu-HU Méret: 170x240x Árösszehasonlítás

Kompetencia alapú feladatgyűjtemény matematikából 5. évfolyam – NAT2020
Házhozszállítás

feladatgyűjtemény
, Megjelenés: 2021. szeptember 01. Szállítás: 2-6 munkanap Oldalak száma: 192 Megjelenés: 2021. szeptember 01. Kötés: Ragasztott ISBN: 9789634991847 Árösszehasonlítás

Melyik az az oldal, ahol a mozaik matematika összefoglaló feladatgyűjtemény (10-14 éveseknek, kék színű) a levezetések/megoldások vannak?

2/8 anonim válasza:

3/8 anonim válasza:

Vagy itt megválaszolja valaki, ha leírod a feladatot. (Nekem 11. kiadás van, oldalszám, feladatszám?)

De az egyik osztálytársam mutatott egy ilyen oldalt, ahol csak le kellett tölteni, és azon rajta volt az összes megoldás/levezetés.

369.o. 2973. feladat. 2,3,4,5,7 számjegyekből hány ötjegyű számokat kell alakitani. (egyszeri felhasználással)

a)120 ilyen számot kaptam.

b) hány páros szám ezek közül?

c) hány szám osztható ezek közül 4-el?

6/8 dq válasza:

b) elsõ ránézésre az összes szám két ötöde páros.

E helyett viszont biztosabb módszer, ha megszámolod külön a párosokat.

Hány olyan 5 jegyû számot lehet ezekbõl a jegyekbõl csinálni, ha az utolsó helyre a 2 kerül? És ha a 4 kerül oda?

4! + 4! = 24 + 24 = 48 )

c) 4-gyel való oszthatósághoz elég ha az utolsó két jegy osztható 4-gyel. Hány olyan ötjegyû számot lehet, ahol az utolsó 2 jegy 24? hát ha 32? 52? 72?

(3!) * (ezekbõl képezhetõ 2-jegyû, 4-gyel oszthatók száma) =

7/8 dq válasza:

Már rá irtam -> nem válaszol

Felhívtam -> ki volt kapcsolva

Kapcsolódó kérdések:

Sötét mód bekapcsolása

Minden jog fenntartva © 2022, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: infogyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!

Mozaik Kiadó Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény

Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10 14 éveseknek pdf
feladatgyűjtemény
Matematika összefoglaló. A középiskolai . oktatásban: egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel . feladatgyűjtemény Matematika (Konsept-H. Weöres .

Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek
feladatgyűjtemény
Kiadó:: Mozaik Oktatási Stúdió Kiadás éve:: 1995 Kiadás helye:: Szeged Nyomda:: Szegedi Nyomda ISBN:: 9638024798 Kötés típusa:: ragasztott papír Terjedelem:: . Árösszehasonlítás

feladatgyűjtemény
ISBN: 9789636971007 Kiadó: Mozaik Kiadó A 10-14 éves korosztály körében korábban a legnagyobb példányszámban használt matematika feladatgyűjtemény több .

Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény
feladatgyűjtemény
Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek Kiadás: Mozaik Kiadó, Szeged, 2004 Terjedelem: 382 oldal Feltöltés ideje: 2022. május 25. .

feladatgyűjtemény
Szállítás: 1-3 munkanap A termék megvásárlásával kapható: 273 pont Oldalak száma: 384 Borító: RAGASZTÓKÖTÖTT Súly: 404 gr ISBN: 9789636971007 Nyelv: . Árösszehasonlítás

feladatgyűjtemény
A jól ismert és széles körben használt feladatgyűjtemény minden iskolatípusban, a tanítási-tanulási folyamat valamennyi fázisában jól használható. A . Árösszehasonlítás

feladatgyűjtemény
, Megjelenés: 2020. március 11. Szállítás: 10 munkanap Oldalak száma: 384 Megjelenés: 2020. március 11. ISBN: 9789636971007 Méret: 240 mm x 170 mm x 20 mm Árösszehasonlítás

Sokszínű matematika 11-12. feladatgyűjtemény 2010,
Használt

feladatgyűjtemény
Árösszehasonlítás

Sokszínű matematika 11-12. feladatgyűjtemény 2015.
Használt

feladatgyűjtemény
Árösszehasonlítás

feladatgyűjtemény
Látogatók: 13 Fix ár: 680 Ft FIX ár: 680 Ft Regisztráció időpontja: 2008.11.19. Termékkód: 3203737937 Kiadási év: 1993 $ p.title truncate: 40,”. “,true .

Sokszínű matematika – munkafüzet 8. .
munkafüzet
Tetszik Neked a/az Konfár László – Kozmáné Jakab Ágnes – Pintér Klára – Sokszínű matematika – munkafüzet 8. – MS-2318 című könyv? Oszd meg másokkal is:

MS-2307 Sokszínű matematika tankönyv 7. o.
tankönyv
Az elmúlt évek legnépszerűbb és legszínvonalasabb matematika-tankönyvcsaládjának tagja. Az iskolai oktatásban, valamint otthoni gyakorlásra továbbra is . Árösszehasonlítás

MS-2317 Sokszínű matematika munkafüzet 7. o.
munkafüzet
Az elmúlt évek legnépszerűbb és legszínvonalasabb matematika-tankönyvcsaládjának tagja. Az iskolai oktatásban, valamint otthoni gyakorlásra továbbra is . Árösszehasonlítás

MS-2316 Sokszínű matematika munkafüzet 6.o.
Házhozszállítás

munkafüzet
, Megjelenés: 2019. április 01. Szállítás: 10 munkanap Oldalak száma: 112 Megjelenés: 2019. április 01. ISBN: 9789636975241 Méret: 205 mm x 285 mm x 6 mm Árösszehasonlítás

Sokszínű matematika 9 -tankönyv
Használt

tankönyv

Sokszínű matematika 12 tankönyv 2009.
Használt

tankönyv

Sokszínű matematika – munkafüzet 6.o.
Házhozszállítás

munkafüzet
Tetszik Neked a/az Kothencz Jánosné – Sokszínű matematika – munkafüzet 6.o. című könyv? Oszd meg másokkal is: ISBN: 9636975241 Szállítás: 1-6 munkanap

Feladatgyűjtemény tevékenység- és termelésmenedzsment .
feladatgyűjtemény
termelésmenedzsment témaköréhez kapcsolódó számítási feladatokat fokozatosan elsajátíthatóvá tenni. . segítik az eligazodást a feladatok megoldása és .

Hatosztályosba készülök – felvételi felkészítő – MATEMATIKA
Feladatgyűjteményünk felkészülési programot kínál a hatosztályos középiskolába készülők központi felvételi vizsgájára matematikából. Nem egyszerűen

Középiskolába készülök – Felvételi felkészítő – Matematika
Feladatgyűjteményünk felkészülési programot kínál a 8. osztályosok központi felvételi vizsgájára matematikából. Nem egyszerűen próbafeladatsorokat .

munkafüzet
Matematika 5. I-II. (tankönyv és munkafüzet) (435) A megrendelt könyvek a rendelést követően átvehetők budapesti antikváriumunkban a bolt nyitvatartási .

Kompetencia alapú feladatgyűjtemény .
feladatgyűjtemény
Sorozatunk célja a matematikai kulcskompetencia fejlesztése. A kiadványok feladatsoraiban a példák fokozatosan nehezedő sorrendben követik egymást. Minden .

Tanári kézikönyv a matematika 8. évfolyam II. kötetéhez Csahóczi Csatár Kovács Morvai Széplaki 2011
Használt

kézikönyv
Tisztelt Érdeklődő! A képeken szereplő kiadvány eladó. Enyhén kopottas borító, kissé elhajlott gerinc. A hátsó borító oldalsó széle kb. 2 cm-es sávban .

Matematika 8. II. kötet tankönyv
Használt

tankönyv

Matematika 8. tankönyv – Hajdu Sándor
Használt

tankönyv

Matematika 7. alapszint -tankönyv
Használt

tankönyv

Matematika 6. tankönyv
Használt

tankönyv

Matematika 5. tankönyv 2020.
Használt

tankönyv

Középiskolába készülök – felvételi felkészítő – MATEMATIKA
méret: 192×258 mm terjedelem: 240 oldal tanterv: NAT 2012 egyéb tanterv: NAT 2020-hoz is ajánlott FELADATOK: 6 Mértékegységváltás: 24 MEGOLDÁSOK: 98 .

MS-2308 Sokszínű matematika tankönyv 8.o. (Digitális hozzáféréssel)
tankönyv
Jakab Tamás, Kothencz Jánosné, Kozmáné Jakab Ágnes, Pintér Klára, Vincze István toplistája Árösszehasonlítás

MS-2315U Sokszínű matematika munkafüzet 5.o.
munkafüzet
Csordás Mihály, Konfár László, Kothencz Jánosné, Kozmáné Jakab Ágnes, Pintér Klára, Vincze Istvánné toplistája Árösszehasonlítás

Csahóczi, Csatári, Kovács, Morvai, Széplaki, Szeredi: Matematika 8. – Tankönyv a 8. évfolyam számára
Használt

tankönyv
Csahóczi Erzsébet, Csatári Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva: Matematika 8. Tankönyv a 8. évfolyam számára .

Okos(k)odó. Matematika képességfejlesztő munkafüzet 1. osztály Kuruczné Borbély Márta Varga Lívia
Használt

munkafüzet
Látogatók: 14 Fix ár: 1 029 Ft FIX ár: 1 029 Ft Regisztráció időpontja: 2019.09.16. Termékkód: 3205955237 Krúdy Gyula: Álmoskönyv Tisztelt Érdeklődő! A .

munkafüzet
Könyv/Tankönyvek, jegyzetek/Általános iskola/Matematika normal_seller 0

7. osztályos ( Apáczai) Matematika és fizika tankönyv+munkafüzet
Használt

munkafüzet
Sosem használt, kitűnő állapotú tankönyvek és munkafüzeteiik.

Negyedik matematikakönyvem feladatgyűjtemény – 4. OSZTÁLY
Használt

feladatgyűjtemény
Fix ár: 700 Ft FIX ár: 700 Ft Regisztráció időpontja: 2018.01.14. Termékkód: 3204885908 Termék súlya: 0.256 kg (256g) Kiadó: Apáczai Kiadó Kiadás helye: .

Kuruczné Borbély Márta, Varga Lívia: Az én matematikám 2. feladatgyűjtemény (*28)
Használt

feladatgyűjtemény
Kuruczné Borbély Márta, Varga Lívia: Az én matematikám 2. feladatgyűjtemény Kiadó: Apáczai Kiadás éve: 2020 Oldalszám: 96 Állapot: jó, kitöltetlen T: .

Középiskolába készülök – felvételi felkészítő – Magyar nyelv és irodalom
Középiskolai felvételi felkészítő kötetünk célja, hogy hatékony segítséget nyújtson a központi felvételi feladatsor sikeres megírásához magyar nyelv .

9-es tankönyvek (biológia, irodalmi szöveggyűjtemény)
Használt

szöveggyűjtemény
Szinte hozzá sem lett nyúlva, új állapotú 9-es biológia tankönyv: 1000ft Irodalmi szöveggyűjtemény (Használt, de jó állapotú!): 800ft Fix ár: 1 000 Ft FIX

Takács Etelka – Magyar nyelv Ellenőrző feladatlapok 6.osztály
Használt

Takács Etelka – Magyar nyelv Ellenőrző feladatlapok 6.osztály Felmérő füzet Ára: 700 ft Teljesen új Postai úton is szívesen elküldöm, megbeszélés szerint Árösszehasonlítás

Nyelvtani és helyesírási munkafüzet III. osztály – 1960
munkafüzet
Oldalunk cookie-kat használ, hogy színvonalas, biztonságos és személyre szabott felhasználói élményt tudjunk nyújtani Önnek. Az oldalra való kattintással .

További feladatgyűjtemény oldalak

Feladatgyűjtemény

Matematika és összefoglaló feladatgyűjtemény. Mozaik Kiadó.

Sokszínű matematika 9 feladatgyűjtemény

Kapcsolódó lapok

Mozaik Kiadó Matematika Összefoglaló Feladatgyűjtemény. Válogass a legjobb árak közül az olcsóalkatrész.eu-n! Mozaik Kiadó.

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bõvített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része semmiféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható. ISBN 963 697 102 1 ” Copyright MOZAIK Oktatási Stúdió – Szeged, 1996

GEOMETRIA Ponthalmazok 1982. a)

GEOMETRIA 1983. a) b) c) d) e) f)

A P ponttól 3 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. Azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek a P ponttól mért távolsága nem 3 cm. A P ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

A P ponttól 2 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 2 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 2 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 2 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 2 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

PONTHALMAZOK c) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

e) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

f) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

c) A sík minden pontja megfelel a feltételnek.

1988. a) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nem kisebb és 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nem kisebb és 4 cm-nél kisebb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nagyobb és 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. 1989. a) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél nem nagyobb vagy 6 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél kisebb vagy 6 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél kisebb vagy 6 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél nem nagyobb vagy 6 cm-nél nagyobb távolságra vannak.

GEOMETRIA 1990. a)

1991. a) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél kisebb távolságra vannak. 1992. A feladat szövegezése a korábbi kiadásokban sajnos technikai okokból hiányos, ebbõl adódóan értelmetlen. Helyesen a feladat szövege: Szerkesszük meg azon pontok halmazát, melyek egy adott e egyenestõl a) 1 cm-nél nagyobb és 2 cm-nél kisebb;

PONTHALMAZOK b) 1 cm-nél nem kisebb és 2 cm-nél kisebb; c) 1 cm-nél nagyobb és 2 cm-nél nem nagyobb; d) 1 cm-nél nem kisebb és 2 cm-nél nem nagyobb; e) 1 cm-nél nem nagyobb és 2 cm-nél nem kisebb távolságra vannak! a)

e) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

1994. a) Az A ponttól 2 cm-nél kisebb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 2 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 2 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. e) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. f) Az A ponttól 2 cm-nél nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. g) Az A ponttól 2 cm-nél nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. h) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. 1995. a)

1996. a) Az A ponttól 3 cm vagy a B ponttól 4 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 3 cm-nél kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 3 cm-nél nem nagyobb vagy a B ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 3 cm-nél nem kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. e) Az A ponttól 3 cm-nél nem nagyobb vagy a B ponttól 4 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. f) Az A ponttól 3 cm-nél nem kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. 1997. a) Az A ponttól 4 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 5 cm-nél nem nagyobb és a C ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 4 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 5 cm-nél nem nagyobb és a C ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 4 cm-nél kisebb és a B ponttól 5 cm-nél nem kisebb és a C ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 4 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 5 cm-nél nem kisebb és a C ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. 1998. a)

2000. a) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm távolságra vannak. b) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra vannak. c) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. d) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nagyobb távolságra vannak. e) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. 2001. a)

2003. a) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól 4 cm és az e egyenestõl 2 cm távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm és az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm és az e egyenestõl 2 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól 4 cmnél nagyobb és az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak. e) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legalább 4 cm és az e egyenestõl legalább 2 cm távolságra vannak. f) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm vagy az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak. 2004. A vastagon húzott CD és EF szakaszok bármely pontjába tûzhetjük Bobi cölöpjét.

GEOMETRIA 2005. a)

PONTHALMAZOK 2007. a)

2008. Az e egyenes és a kör O középpontjának távolságát tekintve 7 esetet különböztetünk meg. 1. Ha e és O távolsága kisebb 1 cm-nél, akkor 4 megfelelõ pont van.

GEOMETRIA 2. Ha e és O távolsága 1 cm, akkor 5 megfelelõ pont van.

3. Ha e és O távolsága 1 cm-nél nagyobb, de 3 cm-nél kisebb, akkor 6 megfelelõ pont van.

4. Ha e és O távolsága 3 cm, akkor 2 megfelelõ pont van.

5. Ha e és O távolsága 3 cm-nél nagyobb, de 7 cm-nél kisebb, akkor is 2 megfelelõ pont van.

PONTHALMAZOK 6. Ha e és O távolsága 7 cm, akkor 1 megfelelõ pont van.

7. Ha e és O távolsága nagyobb 7 cm-nél, akkor nincs megfelelõ pont. 2009. a)

A keresett ponthalmaz egy, az eredeti egyenesekkel párhuzamos egyenes, amely felezi az eredeti egyenesek közötti távolságot.

A keresett ponthalmaz két egymásra merõleges egyenes, amelyek a két adott egyenes által meghatározott szögek felezõ egyenesei.

2018. Az elõzõ feladat alapján két olyan pont van az egyenesek síkjában, amelyek kielégítik a feltételt. Ezek a pontok a középpontjai a mindhárom egyenest érintõ két körnek.

2019. A kívánt tulajdonsággal csak az egyenesek M metszéspontja rendelkezik.

GEOMETRIA 2020. 4 olyan pont van (O; O1; O2; O3), amelyek mindhárom egyenestõl egyenlõ távolságra vannak. Ezek a pontok a középpontjai annak a 4 körnek, amelyek mindhárom adott egyenest érintik.

2021. A keresett kör középpontja A-tól és Btõl egyenlõ távolságra van, ezért illeszkedik az AB szakasz felezõmerõlegesére. Másrészt ez a kör A-ban érinti az e egyenest, ezért középpontjának rajta kell lennie az e egyenesre A-ban emelt merõlegesen is. Így a szerkesztés menete: 1. AB felezõmerõlegesének szerkesztése. 2. A-ban e-re merõleges szerkesztése. 3. A két egyenes metszéspontja, O a kör középpontja, OA = OB a kör sugara. 2022. A szerkesztendõ kör középpontja illeszkedik a szögfelezõre, és a szögszáraktól 2 cm távolságra levõ, a szögszárakkal párhuzamos egyenesekre. A szerkesztés menete: 1. Az adott szög szögfelezõjének szerkesztése. 2. Az egyik szögszártól 2 cm-re a szögszárral párhuzamos szerkesztése. 3. A kapott O metszéspont körül 2 cm sugarú kör rajzolása.

PONTHALMAZOK 2023. A feladatnak két megoldása van, mindkét kör sugara 2 cm, középpontjaikat pedig a P középpontú 2 cm sugarú kör metszi ki a két egyenes sávfelezõ egyenesébõl. 2024. A szerkesztendõ kör(ök) középpontja illeszkedik a P körüli 3 cm sugarú körre és az e egyenessel párhuzamos, tõle 3 cm távolságban a P-t tartalmazó félsíkben fekvõ egyenesre. Ha a P pont és az e egyenes távolsága kisebb, mint 6 cm, akkor két megoldása van a feladatnak, ha a távolság 6 cm, akkor 1 megoldása van, ha pedig 6 cm-nél nagyobb, akkor nincs megoldása. 2025. a)

Az AB szakasz felezõmerõlegese.

AB felezõmerõlegese által meghatározott, B-t tartalmazó nyílt félsík.

AB felezõmerõlegese által meghatározott, A-t tartalmazó nyílt félsík.

2026. A keresett pontot az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki e-bõl. Nem kapunk megoldást, ha az AB egyenes merõleges az e egyenesre.

2027. A keresett pont a 2026. feladat módszerével kapható meg. Ha az AB egyenes merõleges e-re és e nem felezõmerõlegese az AB szakasznak, akkor nincs megoldás, ha e felezõmerõlegese AB-nek, akkor e minden pontja megoldás. 2028. A keresett háromszögek alapokkal szemközti csúcsát az AB és CD szakaszok felezõmerõlegeseinek metszéspontja szolgáltatja. Nincs megoldás, ha az AB és a CD egyenesek párhuzamosak (egybe is eshetnek) és felezõmerõlegeseik nem esnek egybe. Ha a két szakasz felezõmerõlegese egybeesik, akkor a közös felezõmerõleges minden pontja megfelelõ, kivéve a szakaszok felezõpontjait. Más esetben egyértelmû megoldása van a feladatnak.

GEOMETRIA 2029. A keresett pontokat az adott átmérõre merõleges átmérõ metszi ki a körbõl. 2030. A keresett pontokat a húr felezõmerõlegese metszi ki a körbõl. 2031. A keresett pontokat az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki a körbõl. Ha az AB egyenes illeszkedik a kör középpontjára, akkor két megoldás van, ha az AB szakasz felezõpontja a kör belsejében van; egy megoldás, ha a felezõpont a kör pontja; nincs megoldás, ha a felezõpont a körön kívül van. Ha az AB egyenes nem illeszkedik a kör középpontjára, akkor is a fent leírt esetek valósulhatnak meg attól függõen, hogy AB felezõmerõlegese metszi a kört, érinti a kört vagy nincs közös pontja a körrel. 2032. A keresett pontokat a 2031. feladat módszerével kaphatjuk meg. Attól függõen, hogy az AB szakasz felezõmerõlegesének hány közös pontja van a körrel, lehet 0, 1, 2 megoldás. Például, ha az AB egyenes illeszkedik a kör középpontjára, akkor nincs megoldás.

2033. Az AB és az AC oldalegyenesektõl egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a 2017. feladat b) pontjában leírt egymásra merõleges egyenespár. a) Az AB oldal felezõmerõlegesének az elõbb említett szögfelezõ egyenesekkel alkotott metszéspontjai adják a megoldást. A feltételeknek 2 pont tesz eleget. b) Most a keresett pontok a BC oldal felezõmerõlegesének és a szögfelezõ egyeneseknek a közös pontjai lesznek. A BC felezõmerõlegese akkor és csak akkor illeszkedik az A csúcsra, ha az ABC háromszög egyenlõ szárú (AB = AC). Ekkor BC felezõmerõlegesének pontjai alkotják a keresett ponthalmazt. Ha AB π AC, akkor ebben az esetben is 2 pont lesz a

PONTHALMAZOK megoldás. 2034. A keresett háromszögek alappal szemközti csúcsait az AC átló felezõmerõlegese metszi ki a téglalap kerületébõl. Két egybevágó háromszöget kapunk. 2035. A keresett kör középpontja a pontok által meghatározott szakaszok felezõmerõlegeseinek közös pontja. A kapott kör a három pont által meghatározott háromszög köréírt köre. 2036. Az elõzõ feladatban kapott kör bármely, az adott három ponttól különbözõ pontja megfelel. 2037. Kiválasztva egy kör hét pontját, azok a kör középpontjától egyenlõ távolságra vannak. 2038. A feladat megoldása két kör lesz, melyek középpontja a háromszög köré írható kör középpontja (az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontja), a sugarak pedik (r + 2) cm, illetve (r – 2) cm, ahol r a köré írható kör sugara centiméterben kifejezve.

2039. Az elõzõ feladat megoldásához hasonlóan kapható meg a két kör. 2040. a)

GEOMETRIA c) Elõbb szerkesszünk egy P-re illeszkedõ, e-vel 60∞-os szöget bezáró egyenest, majd szerkesszünk ezzel az egyenessel párhuzamos egyeneseket P-tõl 4 cm távolságban! Ebben az esetben is két egyenes a megoldás. Megjegyzés: P-re illeszkedõ, e-vel 60∞-os szöget bezáró egyenes például a következõ módon szerkeszthetõ: 1. P-bõl merõlegest állítunk e-re. 2. P-ben a merõlegesre 30∞-os szöget szerkesztünk. 2041. A keresett körök középpontjait az adott kör középpontja körüli 2 cm, illetve 6 cm sugarú körök és az adott egyenessel párhuzamos, tõle 2 cm távolságban levõ egyenesek metszéspontjai adják. A megoldásoknak az adott kör és az adott egyenes kölcsönös helyzetétõl függõ vizsgálata lényegében megegyezik a 2008. feladat kapcsán leírtakkal. 2042. A keresett körök középpontjai az átmérõ egyenesétõl n cm (n = 1; 2; 3; 4) távolságra levõ párhuzamos egyenesek és az eredeti körrel koncentrikus (n + 3) cm és (3 – n) cm sugarú körök metszéspontjaiként, illetve érintési pontjaiként adódnak. (n = 3 és n = 4 esetben csak egy, az eredetivel koncentrikus kört tudunk felvenni.) a) 8 megfelelõ kört kapunk.

b-d) 4 megfelelõ kört kapunk, az eredeti kör belsejében nem jönnek létre metszéspontok. 2043. A megoldás az elõzõ feladathoz hasonlóan történik. Az a) esetben 7, a b) esetben 5, a c) és d) esetben 4 megfelelõ kör van.

PONTHALMAZOK 2044. A keresett pontokat az adott szög szögfelezõ egyenese metszi ki a P középpontú, 3 cm sugarú körbõl. 2, 1 illetve 0 megfelelõ pontot kapunk attól függõen, hogy P távolsága a szögfelezõtõl kisebb, mint 3 cm; 3 cm; illetve nagyobb, mint 3 cm. (Ha a távolság 3 cm, akkor az érintési pont a megoldás.) Megjegyzés: Elõállhat olyan eset is, hogy az egyik keresett pont a szög csúcsában, vagy a szögtartományon kívül van. 2045. A keresett pontot az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki az adott szög szögfelezõ egyenesébõl. Nem kapunk megoldást, ha az AB egyenes merõleges a szögfelezõre és az AB szakasz felezõpontja nincs rajta a szögfelezõn. Ha AB felezõmerõlegese és a szögfelezõ egyenese egybeesik, akkor ennek az egyenesnek minden pontja eleget tesz a feladat feltételeinek. 2046. A keresett pontokat az adott körrel koncentrikus (1 + x) cm, illetve az a) esetben az (1 – x) cm (x = 0,5; 1; 2) sugarú körök metszik ki az adott szög szögfelezõ egyenesébõl. Attól függõen, hogy hány metszéspont jön létre, az a) esetben a megoldások száma lehet 0, 1, 2, 3, 4, a b) és a c) esetben 0, 1, 2. (Ha páratlan számú pontot kapunk, akkor az egyik pont érintési pont.) 2047. Az adott feltétellel egy olyan négyzet kerületének pontjai rendelkeznek, amelynek 6 cm hosszú átlói illeszkednek az adott egyenesekre. Az ábráról leolvasható, hogy a négyzet oldalának bármely P pontja rendelkezik a feladatban megkövetelt tulajdonsággal.

2048. A feladat feltételének megfelelõ ponthalmaz egy ellipszis. (Ellipszis: A sík azon pontjainak halmaza, amelyeknek két adott ponttól mért távolságösszege állandó, és ez az állandó nagyobb a két adott pont távolságánál. A két adott pont az ellipszis fókuszpontja.) Körzõvel és vonalzóval az ellipszisnek csak véges sok pontja szerkeszthetõ meg.

GEOMETRIA 2049. A feladat feltételének az ábrán látható ponthalmaz felel meg, amely 8 félegyenesbõl áll, amelyek kezdõpontjai az adott egyeneseken vannak, metszéspontjuktól 1 cm távolságra. Az ábráról leolvasható az is, hogy a tekintett félegyenesek minden pontja rendelkezik a kívánt tulajdonsággal. (Lásd még a 2107. feladat j) pontját!)

2050. A feladat feltételének megfelelõ ponthalmaz egy hiperbola. (Hiperbola: A sík azon pontjainak halmaza, amelyek két adott ponttól mért távolságkülönbségének abszolútértéke állandó, és ez az állandó olyan pozitív szám, amely kisebb a két adott pont távolságánál. A két adott pont a hiperbola fókuszpontja.) Körzõvel és vonalzóval a hiperbolának csak véges sok pontja szerkeszthetõ meg.

2051. A feltételt kielégítõ ponthalmaz az adott félegyenessel közös kezdõpontú, vele 45∞-os szöget bezáró félegyenes.

2052. A feltételt kielégítõ ponthalmaz az adott szög szögfelezõje.

2053. Thalész tételének megfordításából adódóan a merõlegesek talppontjai által meghatározott ponthalmaz az AB átmérõjû körvonal.

2054. Az ABC háromszögek C csúcsai az AB egyenessel párhuzamos, tõle az adott magasság hosszával megegyezõ távolságban található egyeneseken helyezkednek el. Ezen egyenesek bármely pontja megfelel a feltételnek.

2055. Az ABC háromszögek C csúcsai két, az AB egyenesére szimmetrikus, adott sugarú körön helyezkednek el, amely körök közös húrja AB. Az A és a B pontok kivételével a két kör minden egyes pontja kielégíti a feladat feltételét. A körök középpontjai az A (vagy B) középpontú, az adott sugárral megegyezõ sugarú kör metszi ki az AB szakasz felezõmerõlegesébõl. A tekintett körök szerkeszthetõségének feltétele, hogy az AB adott r sugárra teljesüljön az r > 2 egyenlõtlenség.

GEOMETRIA 2056. Jelölje az adott két csúcsot A és B, az adott magasságot mc, az adott egyenest e. A C csúcsok az AB egyenessel párhuzamos, tõle mc távolságban levõ egyenesek e-vel vett metszéspontjaiban lesznek. Ha e nem párhuzamos az AB egyenessel, akkor két megfelelõ háromszöget kapunk. Ha e párhuzamos az AB egyenessel és attól vett távolsága mc-tõl különbözik, akkor nincs megoldás, ha a távolság éppen mc, akkor e minden pontja megfelel C csúcsnak. 2057. Jelölje c az adott oldalegyenest, mc az adott magasságot, a és b pedig az adott oldalakat. A C csúcs szerkesztése az elõzõ feladat módszerével történik, szerkeszthetõségének feltételei is azonosak. Az A és a B csúcsot a c egyenesbõl a C középpontú, b, illetve a sugarú körívek metszik ki. A szerkeszthetõséghez szükséges még, hogy a ¤ mc és b ¤ mc teljesüljön, és legalább az egyik egyenlõtlenség éles legyen. 2058. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. a egyik végpontjába 45∞-os szög szerkesztése. 3. a-tól ma távolságban a-val párhuzamos szerkesztése a 45∞-os szöget tartalmazó félsíkban. 4. A párhuzamos egyenes és a szögszár metszéspontjaként adódik a háromszög harmadik csúcsa. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2059. A szerkesztés menete: 1. A b oldal felvétele. 2. b egyenesével, tõle mb távolságban párhuzamos szerkesztése. 3. b egyik végpontjából egy a sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhuzamos egyenesbõl. A feladatnak az egybevágó esetektõl eltekintve két megoldása van.

PONTHALMAZOK 2060. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. a egyik végpontjába 30∞-os szög szerkesztése. 3. Az a oldal felezõpontjából sa sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a szerkesztett szögszárból. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2061. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. Az a oldal egyenesével, tõle ma távolságban párhuzamos szerkesztése. 3. Az a oldal felezõpontjából sa sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhuzamos egyenesbõl. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2062. Jelölje az adott magasságot ma, az adott szögfelezõt fa. A szerkeszthetõséghez szükséges, hogy fa ¤ ma legyen. Ha ma = fa, akkor a háromszög egyenlõ szárú, és ekkor akár a (0∞ ma, és bontsuk három részre a feladatot aszerint, hogy melyik szög adott (2062/2. ábra).

2102. a) Lásd a 2047. feladatot!

b) Lásd a 2049. feladatot!

GEOMETRIA 2103. A keresett pontok az origó körüli 4 egyx ség sugarú kör és az y = , valamint 3 x az y = egyenesek metszéspontjai3 ként adódnak. Megjegyzés: Az origó körüli 4 egység sugarú kör pontjainak koordinátáira (és csak azokra!) Pitagorasz tételébõl adódóan x2 + y2 = 16.

2104. A 2102. feladat alapján a feladat feltételének csak a P1(4; 0); P2(0; 4); P3(-4; 0); P4(0; -4) pontok tesznek eleget.