Mozaik 12 matematika megoldások

Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

mozaik matematika feladatgyűjtemény 11 12 megoldások

ISBN 978-615-5817-59-5 Matematika 2. feladatgyűjtemény tanítóképzős hallgatók számára. (pdf) Zita Diána Neumann János Egyetem . pozitív irányba (zöld).

TUDOMÁNYOS MOZAIK. 9. kötet. Első rész. Régi dilemmák – új megoldások. Kalocsa, 2012 . MAGYAR NYELVŰ ELŐADÁSOK. Dr. Bányai Kornél.

A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai. MATEMATIKA 11. . 6. A logaritmus fogalma . . Egy osztály tanulói közül heten járnak biológia szakkörre.

elôször 1000-es, majd 10 000-es számkörben. . tok várnak rátok, és a füzetben található feladatok megoldását is . 1000-es számkör, fejszámolás.

cikke is: Mumusunk — a mértékegység átváltás . tékegység átváltás tanítása az alsó tagozaton . münk elől, és mondjuk játékosan egy nagyítót.

Sokszínű matematika – Munkatankönyv II. félév. 3. Számolófüzet. 4. Számvázoló – Előírt gyakorlófüzet. 5. Tudásszintmérő feladatlap.

II. félév, Mozaik Kiadó, Szeged. ∙ C.NEMÉNYI ESZTER-SZ. ORAVECZ MÁRTA (1997): Matematika tankönyv 1. osztály I. kötet,. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.

1. Első osztály. Sokszínű matematika. Árvainé Libor Ildikó . 1+3=Ŕ. 5+0=Ŕ. 3+2=Ŕ. +1. +2. +1. Összeadás és kivonás . Szöveges feladatok .

Mozaik. MS-2308. Sokszínű matematika tankönyv 8. 1390 fizika. Nemzeti. NT-00715/1. Dr. Zátonyi Sándor: Fizika 7. 1355 kémia. Mozaik. MS-2608T. Kémia 7.

elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásában és bizonyításában . . Descartes francia matematikus 1637-ben már minden előítélet nélkül .

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 2019 . A halmazok szemléltetésére először Euler (1707–1783) német matematikus használt köröket.

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 2017 . Az ő jelölésrendszerét finomította később Venn (1834–1923) angol matematikus, ez a jelö-.

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 2020 . Az ő jelölésrendszerét finomította később Venn (1834–1923) angol matematikus, ez a jelö-.

[2] Cseres Tibor: Én, Kossuth Lajos – Budapest, Magvető Könyvkiadó, 1981. [3] Káldy Gyula: A szabadságharc dalai és . Budapest, Magvető Zsebkönyvtár, 1977.

Kottázás: Hazám, hazám – tankönyv 77. old. Terjedelem: 5 oldal. Beadási határidő: május 15. 8. osztály. I. félév. Téma: Bartók Béla élete és művei – képek.

Jelen írásban a győri Könnyező Szűzanya kegyképét és a celldömölki kegytemplom rövid történetét mutatom be. A következő számban a mariazelli kegyhelyről .

19 сент. 2014 г. . Igazgatási és jogi osztályvezető Parádi Üveggyár 1986-1990. 1990-től az első polgári kormány időszakában Bodony község jegyzője voltam. Ezen.

25 сент. 2017 г. . Bükkszéki Termálstrandon, egy napot a Demjéni Fürdőben töltöt- . Az időjárás kegyes volt a versenyzőkhöz, akik szép.

La Fontaine: A tücsök és a hangya. Írj feladatlapot egy vers és egy mese olvasás-szövegértésének ellenőrzésére! A feladatok integrált osztályban két eltérő .

Abacus Matematikai Lapok 10–14 éveseknek (a Bolyai János Matematikai Társulat és a Matemati- kában Tehetséges Gyermekekért Alapítvány folyóirata).

Mondatainkban a szavak toldalékkal vagy toldalék nélkül szerepel- . Az azonos betűvel kezdődő . cs, dz, gy, ly, ny, sz, ty, zs. Száll vagy szál?

Kéri Katalin – Ambrus Attila József. SZÁRNYALJON A KÉPZELETED! “Játszani kék tenger partján ragyogó kavicsokkal.” (Weöres Sándor). CALIBRA.

12.12. feladat ▷ [Vandermonde-determináns] Olvassunk be fájlból egy N ×. × M méretű mátrixot, ellenőrizzük le, hogy a szerkezete eleget tesz-e a .

20 апр. 2015 г. . Idegen nyelvű feladatok. Felmérő másolások. Gyakorlás. 1. A belső hálózat megadott helyéről töltse le az informatikához tartozó állományokat .

Gyakorló feladatok 56. 2. fejezet. LEÍRÓ STATISZTIKA; KÖZÉPÉRTÉKEK, SZÓRÓDÁSI ÉS ALAKMUTATÓK, KONCENTRÁCIÓ 82 . A GYAKORLÓ FELADATOK MEGOLDÁSA 287.

A legjobb megoldás az, ha a kukac eleje a szélek elérésekor az ellentétes oldalon . kordok szerepelnek (18.10. forráskód), oly módon, hogy a csapatnevek .

Folytonosság tétel és kör keresztmetszet átmérők segítségével kapjuk: . nyomja a fogászati nővérke, annak érdekében, hogy az injekciós tű végén a.

Dr. Donáth Tibor: Anatómia- élettan; Medicina Könyvkiadó Zrt, Budapest, 2013. 2. Dr. Fazekas György: Biológiai feladatok középiskolások számára; .

13 дек. 2012 г. . A halak kültakarója száraz pikkelyes bőr. A békák fejlődése átalakulásos. …… A kettéosztódás a legegyszerűbb szaporodási forma.

2. Bizonyítsa be, hogy a projektív sík egyenesének aX+bY+ch = 0 egyenlete összhangban van a projektív geometria azon axiómáival, hogy „két különböző egyenes .

12 апр. 2020 г. . Such die Wörter im Online-Wörterbuch: www.topszotar.hu/nemet-magyar-szotar. Schreib die Wörter auf (bei Substantiven mit Artikel) und gib .

Magatartásformák, szabályok, viselkedési normák különböző élethelyzetekben . Talán nem teljesen magától értetődő, hogy a kanyarodás technikáját is tanulni .

Dr. Mátyus Péter . szerkezete zárja, tekintettel arra, hogy a szerves kémia a gyógyszerészi kémia . Antus Sándor – Mátyus Péter: Szerves Kémia I-III.

24 мар. 2008 г. . A hozam és a névleges kamatláb közti átszámítási képlet: r = ( 1 + k / m )m – 1, ahol m . Az örökjáradék képlete:.

A keresztmetszeti tényező segítségével kifejezzük σa-t σa = F · l. K. = 17.684 MPa. A poláris keresztmetszeti tényező segítségével pedig a τa-t fejezzük ki:.

Az első ember, aki a Holdra lépett: Neil Armstrong. (1969. USA, Apolló-ll). . linben több szabadalma is született, az egyik Albert Einsteinnel kö.

zenélek. Nincs ruhája, mégis minden évben levetkőzik. Mi az? Zöld a mellénye, fekete a kalapja, szürke a köpenye, piros a csizmája. Találós kérdések.

elven alapszik és amelyet a fentiekben már többször használtunk, szorzási szabálynak . így minden olyan számot, amely csak az egyesek színezésében.

Bándy Alajos. Műszaki ábrázolás feladatgyűjtemény a Műszaki ábrázolás I. tárgy. 1. házi feladatához. (2.77 – 2.110. ábrák) .

matematika-fizika vagy matematika-bármely szakos tanár munkakör betöltésére. A közalkalmazotti jogviszony időtartama: határozatlan idejű közalkalmazotti .

Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete . Pont és egyenes, két egyenes távolsága . Milyen távol van a P(–3 ; 7) pont az x – 3y = 6 egyenestől?

R 58 Fizikai feladatgyűjtemény a középiskolák 9–11. osztálya számára. . A fizika általános tételeinek mindennemű alkal- . fizikai feladat megoldása.

feladatgyűjtemény nem csak a kurzusok, tanfolyamok vizsgára készülő hallgatóit . könyvvizsgálói minősítésre vagy az IFRS mérlegképes könyvelői képesítés .

Feladat száma Változó neve Változó típusa Matematikai függvény . Adjunk 10 feladatot, és a felhasználó minden helyes megoldása 1 pontot érjen!

cégbejegyzésig teljesített alaptőkére történő befizetések és az apport értékének . Az előtársasági időszak beszámolójában szerepel a Jegyzett tőke értéke.

Két autó indul egyszerre egymás mellől azonos irányba. Hány méterre lesznek egymástól fél óra múlva, ha az egyik 50 km/h, a másik. 18 m/s sebességgel halad?

Tehát a szórakozott professzor a 204-es házszámot kereste. Az 1.29 feladat megoldása. Lagrange 1768-ban publikálta azon eredményét, miszerint az 2 .

Függvény határértéke, folytonossága, deriváltja . . Felhasználva a prímtényezős felbontást, az n-edik gyök definícióját és a hatványo-.

fejlesztő játékok, közös feladatok ajánlásával és az elfogadást erősítő, szemléletformáló tanácsadással). . a testséma fejlesztése (a megnevezett testrész.

A személyes és az általános – a rajz ban. A csoport körbeüli a beállított modellt. (például csendélet), és mindenki elkezdi rajzolni.

Moór Ágnes: Középiskolai fizikapéldatár, Cser Kiadó, Budapest, 1999. Nagy Anett − Mező Tamás: Fizika, Szeged, 2007. Párkányi László: Fizika példatár, .

Molalitás (Raoult-koncentráció): az oldott anyag moljainak száma 1 kg . 1 liter 0.1 N sósavoldat készítéséhez 3.65 g Hcl-t kell kimérni. Hány ml.

Az algoritmus teljes költsége az összefésüléses rendezéséhez hasonlóan. O(nlog n). Majdnem rendezett tömb. Feladat. Adott különböző számoknak egy növekvően .

Háromszög középvonalai és súlyvonalai . Háromszög területének kiszámítása, ha adott két oldal és az általuk közbezárt szög. Szögftiggvények kiterjesztése .

1) Ókori híres problémák (szög harmadolása, kocka kettőzése, kör négyszögesítése, . ) – több évszázados fejlődés és végső megoldás.

4. környezetismeret magyar nyelv testnevelés magyar nyelv technika . 16.00-16.45 sakk szakkör. A 4.b osztály órarendje is ezen a lapon található! 4.a. 4.b.

Arthur király és 30 lovagja letelepszik a kerekasztal köré. Hányféle sorrend alakulhat ki? (A forgatással egymásba vihet® ülésrendeket nem különböztetjük .

2018. augusztus 31. EFOP-3.5.1-16-2017-00001. Duális és kooperatív felsőoktatási képzések, felsőoktatási szakképzési és szakirányú.

vállalati pénzügyek feladatgyűjtemény. Budapest, 2016 . A feladatgyűjtemény Illés Ivánné: Vállalkozások pénzügyi alapjai (SALDO, 2009),.

Melyek azok a tökéletes számok, melyek prímtényezős felbontásában minden prím kitevője páratlan szám? [11] Megoldás. 1.24. Feladat.

mozaik 12 matematika megoldások

26 апр. 2017 г. . MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ. FELADATGYŰJTEMÉNY 10 – 14 ÉVESEKNEK. MEGOLDÁSOK. (I. KÖTET) . 8 9 10 11 12 13 14 15.

17 Az ábrán egy 4×4-es sudoku darabjait látod. Rakd ki a darabokból a sudokut! Számítsd ki, milyen számok kerülnek az a, b, c, d betűk helyére, .

elôször 1000-es, majd 10 000-es számkörben. . tok várnak rátok, és a füzetben található feladatok megoldását is . 1000-es számkör, fejszámolás.

Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociati- . Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai . A hatványozási azonosságok.

cikke is: Mumusunk — a mértékegység átváltás . tékegység átváltás tanítása az alsó tagozaton . münk elől, és mondjuk játékosan egy nagyítót.

Sokszínű matematika tankönyv 7. 1380 matematika. Mozaik. MS-2308. Sokszínű matematika tankönyv 8. 1390 fizika. Nemzeti. NT-00715/1. Dr. Zátonyi Sándor:.

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 2020 . Az ő jelölésrendszerét finomította később Venn (1834–1923) angol matematikus, ez a jelö-.

DEFINÍCIÓ: Két vagy több halmaz metszete vagy közös része pontosan azoknak az elemeknek . Legkisebb közös többszörös: törtek közös nevezőre hozása.

elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásában és bizonyításában . . Descartes francia matematikus 1637-ben már minden előítélet nélkül .

A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését és a kitűzött feladat megoldását várják el a vizsgázóktól. A tétel címében megjelölt témát .

a fejezet leckéinek végén kitűzött feladatok részletes megoldásait. . Exponenciális egyenletek . . A feladat két lehetséges megoldása:.

14 мар. 2017 г. . A teljesség igénye nélkül: volt ott sárgarépa, kalózlány, tündér, teknős, ördög, csontváz… Külön örömünkre szolgált, hogy néhány osztály .

25 сент. 2017 г. . Újra véget ért a nyár, elkezdődött . XXX. Jubileumi. Palócnapok. 11. Eseménydús, szép nyáron vagyunk . tisztítási akcióban.

22 июн. 2012 г. . Legutolsó munkája a Die Hard -. Drágább, mint az életed -című szuperprodukció volt, amit jelenleg is Budapesten forgatnak,.

30 сент. 2016 г. . Lakossági és civil kezdeményezésre „Hadd főzzek ma magamnak!” elnevezéssel, szabadtéri főzéssel egybekötött, közösségi napra hívtuk a .

Tankönyv. Matematika [O. első és második kötet. OFI tankönyvek: FI-503011001/1 és F1-503011002/1 rakt.szám letölthető. 1.kötet https://www.tankonyvkatalogus .

1) Ókori híres problémák (szög harmadolása, kocka kettőzése, kör négyszögesítése, . ) – több évszázados fejlődés és végső megoldás.

6 мая 2020 г. . E) A nem fekete hajú lányok nem szeretik a csokoládét. 2007. május id. – 5. feladat (1+1=2 pont). Igaznak tartjuk azt a kijelentést, .

2 февр. 2006 г. . nél kisebb, de a százasokra kerekített értéke 7000. a) Milyen számjegy állhat a tízesek helyén? b) Milyen számjegy állhat az egyesek helyén?

Ez a világ első és legnagyobb olyan rendszere, amelynek célja az üvegházhatású gázok kibocsátásának korlátozása. . VITORLÁS HAJÓ. TENGERJÁRÓ HAJÓ.

Aranybulla. Említsetek még az elfogadott törvények közül kettőt, . Mikorra keltezhető a fenti szöveg? 1446. III) „… elhatároztatott és végeztetett, .

24. az első ipari forradalom és hatásai . . reFormkor, Forradalom és szaBadságHarC . 35. a kettős forradalom korának művészeti élete.

2. oldal: Megoldás: 1. túzok – tojás (jellegzetes foltos, kb. libatojás méretű tojása van) 2. mocsári teknős – nyom a homokban: látszódnak a lábak nyomai és .

8. AZ ELSŐ VILÁGHÁBORÚTÓL A KÉTPÓLUSÚ VILÁG FELBOMLÁSÁIG . Hibaleírás: a munkafüzet 59. oldalán az első forrásrészlet („Hogy az Isten…

Mi a hőlégballon működési elve, mi az ember feladata? 2 p. 2. a ballonban lévő levegő és a környező levegő közötti hőmérsékletkülönbség miatt.

12. az ókori gÖrÖgország iii. a klasszikus kor. 1. Helyszín. Száma a térképen a perzsa flotta kr. e. 492-ben ennél a hegyfoknál semmisült meg.

lányból álló osztály, ha két fiú és két lány nem kerülhet egymás mellé? . e) Először tekintsük az összes esetet, majd vegyük ki belőle a számunkra .

Így az integrált két integrál összegére bontottuk: . Ezután a feladat az el®z®höz hasonlóan oldható meg. De munkát takarítha-.

Világbajnokként dobunk egy darts táblára. . b) fej dobás esetén a dobott számot, írás esetén a dobott szám ellentettjét tekintjük! Megoldás:.

Számítsuk ki a diszkrimináns értékét: = (−3)2 − 4 ∙ 10 ∙ (−2) = 89. . Írj fel olyan másodfokú egyenletet, melyre teljesülnek a következő .

óra alatt. 8. . 8. + 12. A szöveg alapján felírhatjuk a következő . munka felét, a második pedig befejezné a munkát, akkor a munka óráig tartana .

12 мар. 2014 г. . Ha felírjuk az N pontnak az ABCD négyszög köré írt körre vonatkozó hatványát (vagy direkt hasonlóságból), a (2) és (3) összefüggések alapján .

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) . A műveletek elvégzéséhez először közös nevezőre kell hoznunk a törteket, .

Hamilton – út, vagyis nem lehetséges a sakktábla ilyen típusú bejárása. 40. Az – ös sakktáblát be lehet – e járni egyetlen lóval lóugrásokkal oly .

az egyenlő szárú trapéz, mely nem paralelogramma. Van olyan trapéz, aminek két szimmetriatengelye van. . Igaz, mert minden rombusz paralelogramma.

Ebből a hiányzó csúcsok koordinátái: (2;−3) és (−3;−3). Ezek alapján a téglalap oldalai 5 és 6 egység hosszúak, vagyis a területe: = 5 ∙ 6 = 30 .

Utólagos bővítés csak körültekintő tervezés és kivitelezés esetén lehetséges. . Az általunk feltüntetett árak ajánlott lakossági árak, .

Mennyi idő szükséges az – től – ig bezárológ terjedő egész . A háromjegyű számokhoz (100 − 999) összesen 3 · 900 = 2700 számjegyet írunk le.

pincér – cincér, vízió – víziló, csacska – macska, . Küllemük ugyanis eltér a többi, színpompás állatétól: fejük búbja kopasz, erre utal a „tar” elnevezés .

14 дек. 2020 г. . HAFLINGI. 1. LIPICAI. 2. KÓLIKA. 3. VÍZSZINTES: SZÉNA, FÜGGŐLEGES: SEBEZHETŐ . Lovak. Juhok. Magyar tyúkfajták. Magyar galambfajták.

c) Mennyi idő múlva marad meg az eredeti mennyiség , % – a? Megoldás: . a) Mennyi a felezési ideje annak a radioaktív izotópnak, amelynek kezdetben.

Fő alkalmazási területek: lökhárítók, szegélyek és műanyagból készült karosszériaelemek javítása mint pl. PP/EPDM, SMC, PC, PA, ABS és PUR.

Egy sorozat elemei pozitív egész számok, a harmadiktól kezdve mindegyik elem az összes őt megelőző elem összege. A sorozat első eleme .

2 сент. 2018 г. . éven aluliak számára nem ajánlott / Kizárólag felnőttek számára ajánlott. 54 53 50 51 52 56. Cirko-Gejzir . NEM VAGYOK. SOROZATGYILKOS 18.

Je mehr er/sie spricht, desto/umso tiefer schlafe ich. Je mehr ich lerne, desto dümmer werde ich. Je billiger das Kleid ist, desto weniger kostet es.

1V.31NPL. 1V.31NL-F. 1V.31NL. Méret HxMxV (mm) 920 x 270 x 40 920 x 270 x 40 1180x270x55 1180x270x55. Súly (kg). 1,3. 0,5. 2,3. 1,5. Kaliber (mm).

d) A len sok évszázadon át volt a ruhák alapanyaga, ebből készült a Kisvakond nadrágja. II.10. Mit jelent a következő jelzés a termékeken?

6 апр. 2021 г. . Áfa nélküli fogyasztói ár □ Áfás fogyasztói ár . és kosszal jár (a meglévő födém kivágása kőműves vagy beton-.

Dinamika feladatok és megoldások . 7. Mennyivel nyúlik meg a 40 N/m rugóállandójú rugó a liftben, ha arra 400 g tömegű testet függesztünk, és a lift:.

tovább fog nőni: mivel a nyerges vontatók száma a jelenlegi forgalomsűrűség, valamint az infrastrukturális és jogi feltételek miatt csak lassan.

oszcilloszkóp ellenőrzéseket hajthat végre automatikusan . A paraméterek és hibák leolvasása, valamint a vezérlő egység által kezelt jelek rendezése.

kell igénybe venni a krízis leküzdéséhez (Hajduska 2010). A szociális munka számos . Hajduska Marianna (2010): Krízislélektan. Budapest: Eötvös Kiadó.

Ultrahang-terápia. 22. BtL-5000 sorozat. 24. BtL-4000 Smart & Premium. 26. HandsFree Sono®. 28. BtL-4000 Professional. 30. Klinikai háttér. 31. Lézerterápia.

Egy lehetséges megoldás a következő: A halmazok legyenek egy háromszög . Hány elemű az a halmaz, amelynek legalább ezerrel több részhalmaza van, mint.

DIÉTA, FOGYÓKURA FITT ECETTEL . Intenzív fogyókúra esetén: A termék egy heti adagot tartal- . Az almaecet fogyokúra esetén is kiválóan alkalmazható.

Kikeményedett gyanta, ! ragasztó/tömítőanyagok eltávolítása felületkárosodás nélkül. Elektromos csatlakozók ! tisztítása. Kéztisztító tinta, festék, gyanta.

14-es sorozat – Lépcsőházi automaták. Megvalósítható kapcsolási funkciók. Típus 14.71 – Egyfunkciós működésmód. ®. Időzítési automatika, a világítási idő .

ható (0-4), amelyek közül a 4-es osztály a legtömörebb. A . Szivárgási tényező zárt szabályozón [(l/s)/m²]. Légtömörségi osztály.

(438. old.) Kagyló nélküli videó kaputelefon szett. (455. old.) ÚJDONSÁG. ÚJDONSÁG. ÚJDONSÁG . A moduláris kapcsoló (kat. szám: 0036 00) 4 működési módja.

Viele schöne Geschenke werden von uns unseren Freunden geschenkt. Kuchen wird den Gästen von meiner Freundin angeboten. Speise/Essen wird euch von meinen .

Matematika | Középiskola » Fröhlich Lajos – Sokszínű matematika, 12. osztályos feladatok megoldással

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E Logika, bizonyítási módszerek 1. Logikai feladatok, kijelentések 1. Feltéve, hogy a középsõ a kérdésre válaszolt: a középsõ lókötõ, a harmadik lovag 2. Aki ellopta az elefántot, mindig hazudik 3. Piki 4. Lovag plinket, lókötõ plankot mond 5. Kiss Kata, Szabó Réka, Nagy Sára, Varga Eszter 6. Zoli: villamos, kosárlabda; Bálint: bicikli, kézilabda; Pisti: busz, úszás Rejtvény: Német. 2. Logikai mûveletek – negáció, konjunkció, diszjunkció 1. Fehér dobozban: piros, zöld golyó Piros dobozban: fehér, sárga golyó Kék dobozban: sárga, piros golyó. Zöld dobozban: kék, fehér golyó Sárga dobozban: zöld, kék golyó 2. Ø p = A négyzetnek van olyan szöge, amelyik nem derékszög Ø q = Van olyan háromszög, amelyik nem derékszögû. Ø r = A szabályos ötszögnek van olyan szöge,

amelyik derékszög. Ø s = Nincs olyan deltoid, amelyik rombusz = Egyetlen deltoid sem rombusz. Øt = Minden trapéz paralelogramma. Øu = Nincs homorúszögû háromszög. = Minden háromszög nem homorúszögû Øw = Van olyan háromszög, amely köré nem írható kör. ØA = A 3 nagyobb vagy egyenlõ, mint p. (3 ³ p) Ø B = A 4 kisebb, mint 5. Ø C = Szabályos dobókockával dobhatunk 6-nál nagyobbat is. Ø D = 9-nek 3-nál kevesebb osztója van. Ø E = Minden másodfokú egyenletnek 3-nál kevesebb gyöke van. 3. > A = ¬p ⇒ ¬A = p ¬¬p = p Ø A = Minden faluban van posta. Ø B = Van olyan ember, aki nem kékszemû. Ø C = Van olyan pók, amelyiknek 8-nál több szeme van. Ø D = A február sose 30 napos. Ø E = Van olyan szálloda, amelyben van olyan szoba, ahol nincs telefon. Ø F = Minden munkahely olyan, hogy senki sem dolgozik. 2 4. Mit szoktál mondani akkor, amikor valaki megkérdezi, hogy a „plink” az jelenti, hogy „igen”? 5. a) Piki igazmondó, Niki

és Tiki hazug b) Tiki biztosan igazmondó, Niki hazug, Pikirõl nem tudjuk. 6. a) ØH b) c) d) e) HÙF H Ù ØF ØH Ù F Ø H Ù ØF Ø(Ø H) = Ma hétfõ van. Ø(H Ù F) = Ma nem hétfõ van, vagy nem vagyok fáradt. = Ø H Ú ØF Ø (H Ù ØF) = Ma nem hétfõ van, vagy fáradt vagyok. = Ø H Ú F Ø (Ø H Ù F) = Ma hétfõ van, vagy nem vagyok fáradt. = H Ú ØF Ø(ØH Ù Ø F) = Ma hétfõ van, vagy fáradt vagyok. 7. a) M Ú T hétfõn igaz Ø(M Ú T) = Ma nem hétfõ van és tegnap nem vasárnap volt. = Ø M Ù Ø T b) ØM Ú Ø T csak hétfõn nem igaz Ø(Ø M Ú ØT) = Ma hétfõ van és tegnap vasárnap volt. = M Ù T c) ØT Ú M minden nap igaz Ø(Ø T Ú M) = Tegnap vasárnap volt és ma nincs hétfõ. = T Ù Ø M d) ØM Ú ØT csak hétfõn nem igaz Ø(Ø M Ú Ø T) = Ma hétfõ van és tegnap vasárnap volt. = M Ù T 8. a) Én megyek veled vagy Ottóval b) Veled megyek, vagy Ottóval megyek. c) Nem megyek veled. d) Te nem mégy, vagy én nem megyek. = Nem megyek

vasárnap áll) f) B « A g) A « B 3 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 3. a) Ha az n szám 36-ra végzõdik, akkor 4-gyel osztható b) Ha az n szám 12-vel osztható, akkor nem prím. c) Ha az n szám 4-gyel osztható, akkor nem prím és páros. d) Az n szám páros és számjegyeinek összege 3-mal osztható, akkor és csak akkor, ha 6-tal osztható. e) Az n szám 12-vel osztható akkor és csak akkor, ha 4-gyel osztható és számjegyeinek összege 3-mal osztható. f) Ha n nem páros, de számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor n nem osztható 6-tal. 4. a) (T Ù O) ® N b) D « C c) A ® (B Ú C) d) S ® Ø(A Ù B) 5. Kati 6. Gabi csak lány lehet 7. „Igen” válasz: van arany, „nem” válasz: nincs arany Rejtvény: Van olyan eset, amikor 3 kártyát kell megfordítani, még akkor is, ha kihasználjuk, hogy minden számjegybõl 1 van. 4. Teljes indukció 1. n = 1-re 1 1 = . Tf n-re, biz n + 1-re: 1⋅ 2

2 1 1 1 n 1 + . + + = + = 1⋅ 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) n + 1 (n + 1)(n + 2) n(n + 2) + 1 (n + 1)2 n +1 = = = . (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n + 2 2. a) n = 1-re 19½38 Tf n-re, biz n + 1-re: 52n+1 · 2n+2 + 3n+2 · 22n+1 = 50 · 52n–1 · 2n+1 + 12 · 3n+1 · 22n–1 = = 38 · 52n–1 · 2n+1 + 12 · (52n–1 · 2n+1 + 3n+1 · 22n–1). b) A feladat helyesen: 11½62n + 3n+2 + 3n. n = 1-re 11½66. Tf n-re, biz n + 1-re: 62n+2 + 3n+3 + 3n+1 = 36 · 62n + 3 · 3n+2 + 3 · 3n = 33 · 62n + 3 · (62n + 3n+2 + 3n). c) A feladat helyesen: 17½25n+3 + 5n · 3n+2. n = 1-re 17½391. Tf n-re, biz n + 1-re: 25(n+1)+3 + 5n+1 · 3n+3 = 32 · 25n+3 + 15 · 5n · 3n+2 = = 34 · 25n+3 + 17 · 5n · 3n+2 – 2 · (25n+3 + 5n + 3n+2). 4 *3. IGAZ (1 ® 4) a háromszögek száma 3-mal növelhetõ. n = 6, 7, 8-ra: 4. 5, 6, 7 (= 2 · 5 – 3), 8 kifizethetõ, utána hármasával bármi 5. Pisti tévedett 1-rõl indulva a darabok száma minden lépésben 2-vel nõ, így csak páratlan lehet. 6.

1-rõl indulva a darabok száma minden lépésben 3-mal vagy 5-tel nõ a) 2002 = 1 + 2001 = 1 + 3 · 667 elérhetõ. b) 2003 = 1 + 10 + 1992 = 1 + 2 · 5 + 3 · 664. c) 2, 3, 5, 8 kivételével minden szám lehet: (1, 4, 6, 7 lehet) 9 (= 1 + 3 + 5), 10 (= 1 + 3 · 3), 11 (= 1 + 2 · 5)-rõl indulva hármasával minden elérhetõ. 7. a) A tagok szimmetrikusak a középsõre nézve: an = n + (n + 1) + . + (2n – 1) + + (3n – 3) + (3n – 2) = (2n – 1)2 Teljes indukció második lépése: (2n – 1)2 + 3n – 1 + 3n + 3n + 1 – n = 4n2 – 4n + 1 + 8n = (2n + 1)2. b) 12 − 22 + 32 − 42 + . + (−1)n −1 ⋅ n 2 = (−1)n −1 (−1)n −1 n(n + 1) , 2 n(n + 1) 2n + 2 − n (n + 1)(n + 2) . + (−1)n (n + 1)2 = (−1)n (n + 1) = (−1)n 2 2 2 8. Becsléssel: 1 1 1 1 + + . + ≥ n⋅ = n. 1 2 n n Teljes indukcióval: n = 1: 1 ³ 1. Tf n-re, biz n + 1-re: n(n + 1) + 1 1 1 1 1 n2 + 1 n + 1 + . + + ≥ n+ = ≥ = = n + 1. 1 n n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 9. Egyenesek száma: 1 2

3 4 . n n(n + 1) Síkrészek száma: 2 4 7 11 . + 1 = (sejtés) 2 = (1 + 2 + 3 + . + n) + 1 Az n + 1-edik egyenes az elõzõ n egyenest n pontban metszi, ezek n + 1 részre osztják az egyenest, és mindegyik egyenesdarab kettévág egy-egy síkrészt, így a síkrészek száma n + 1-gyel nõ. 5 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E * 10. Körök száma: 1 2 3 4 . n Síkrészek száma: 2 4 8 14 . 2 + 2 ⋅ n(n − 1) = 2 + 2 ⋅ (1 + 2 + . + (n − 1)) sejtés 2 T.fh n körre igaz Az n + 1-edik kör 2n pontban metszi az elõzõ n kört, ez 2n ív a körön, amelyek kettévágnak egy síkrészt, így 2n-nel nõ a síkrészek száma. Kiszínezhetõ. 1 körre igaz. Tfh n körre igaz Rajzoljuk be az n + 1-edik kört, és minden , a körön belüli síkrészt színezzük az ellenkezõjére. Ezzel az új határvonalak jók lesznek, a régiek nem változnak. A háromszögek esete abban különbözik, hogy két

háromszögnek maximum 6 metszéspontja lehet. * 11. n = 4-re igaz: T.fh létezik ilyen konvex n-szög Ennek egy tompaszögét levágva konvex n + 1 szöget kapunk. 3-nál több hegyesszög nem lehet. Tfh van 4, ezek összege 2 · 180º-nál kisebb A konvex n-szög szögösszege (n – 2) · 180º. A megmaradt n – 4 db szög összege (n – 4) · 180º-nál nagyobb kellene legyen, ami nem lehet. * 12. n = 1-re igaz T.fh minden 2n+1 – 1-nél nem nagyobb tömeg 1, 2, , 2n tömegekkel kimérhetõ Adott egy 2n+1 – 1-nél nagyobb, de 2n+2 – 1-nél nem nagyobb tömeg. 2 · 2n+1 – 1-bõl 2n+1-t levéve 2n+1 – 1 marad, így egy 2n+1-et használunk, ami marad, a 2n+1 – 1-nél nem nagyobb, tehát 1, 2, ., 2n tömegekkel kimérhetõ Rejtvény: A szemüveg akkor párásodik be, ha hidegrõl melegre megy be. 6 Számsorozatok 1. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra 1. A pozitív páros számok sorozatának n-edik tagja: 2n, a sorozat elsõ n tagjának összege: n(n +

1). 2. a) n2 n 2 (n 2 + 1) 2 c) (2n – 1)(n2 – n + 1) b) 3. A bizonyításokat például teljes indukcióval lehet elvégezni 4. a) Érdemes an-t átalakítani így: an = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ . ⋅ n ⋅ (n + 1) ⋅ ⋅ (2 n − 1) ⋅ 2 n 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ . ⋅ n b) Az an-t itt így érdemes felírni: an = 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + . + + − 2  + + . +  2 3 4 2n − 1 2n 2 4 2n  5. A sejtés általánosan így írható fel: n2 + n2 + 1 + . + n2 + n = n2 + n + 1 + n2 + n + 2 + + n2 + 2n Az összegzés után a bizonyítás közvetlenül adódik. 2. Példák rekurzív sorozatokra 1. a), b), c) teljes indukcióval könnyû igazolni y y=x 2. – vetkezõk: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . y = 2+ x 2 3. Az egyes „ferde” vonalak mentén adódó összegek a kö- 1 –2 –1 1 x 2 1. ábra Az általános sejtés tehát az lehet, hogy az n-edik sorban álló számok öszege fn. A sejtés teljes indukcióval igazolható. y 1 y= + 2

4. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk y=x A szemléltetést az 1. ábrán lehet elvégezni 1 5. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk, a sorozat tagjainak szemléltetését a 2. ábrán végezhetjük el. x2 2 1 2 –1 1 x 2. ábra 7 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 3. Számtani sorozatok 1. 3 + 6 + 9 + + 999 = 2 ⋅ 3 + 332 ⋅ 3 ⋅ 333 = 166833. 2 2. A feltételbõl a1 = 2 és d = 4 adódik Így azt a legkisebb pozitív egész n-et keressük, amelyre 2 ⋅ 2 + (n − 1) ⋅ 4 ⋅ n ≥ 1000. 2 Az eredmény: n = 23. 3. Elég igazolni, hogy az a2 + c2 = 2b2 és 1 1 2 egyenlõségek ekvivalensek. + = b+c a+b a+c 4. a) a1 = –7, d = 3 b) Két megoldás van: • a1 = 1, d = 3, 122 59 • a1 = − , d= . 3 3 c) A kitûzött feladat hibás. A helyes feladat: a23 + a27 = 122, a1 + a7 = 4. Ennek két megoldása van: • a1 = –7, d = 3, 67 19 • a1 = , d= − . 5 5

5. Nem Indirekt bizonyítást alkalmazva arra az ellentmondásra jutunk, hogy szám. 6. – 7. 5050 8. 450,5 másodperc alatt esik le a test 4410 m magasról 9. 2 ⋅ (1 + 2 + + 12) = 2 ⋅ 1 + 12 ⋅ 12 = 156. 2 10. Az egyenlõtlenséget kielégítõ egész koordinátájú pontok száma 221 4. Mértani sorozatok 1. a1 = 6, q = 2 2. – 3. q = 2 4. 1023 8 3 racionális 5. a) a1 = 3, q = 2 b) A feladatban hiba van, a helyes feladat: a7 – a4 = –216, a5 – a4 = –72. Az egyetlen megoldás: a1 = –3, q = –2 (a q = 1 eset nem ad jó megoldást). c) Két megoldás van: • a1 = –5, q = 2, • a1 = –5, q = –2. 6. – 7. A helyesen kitöltött táblázat: 27 54 108 216 9 18 36 72 3 6 12 24 1 2 4 8 8. Két megoldás van: • 2, 8, 32; • 14, 14, 14 (A második megoldás esetében a számtani sorozat differenciája 0, a mértani sorozat hányadosa 1.) 9. A számtani sorozat elsõ tagja 3, különbsége 15 5. Kamatszámítás, törlesztõrészletek

kiszámítása 1 101 számot (ez az egyhavi kamat kiszámításához szükséges), akkor = 100 100 a havi törlesztõ részlet: p24 5000 ⋅ 24 ≈ 23537 Ft. p −1 1. Jelölje p az 1 + 2. Feltesszük, hogy havonta egyenlõ részletekben törlesztjük a kölcsönt, ekkor a szükséges havi összeg a q = 1 + 1 201 jelölés felhasználásával: = 200 200 50000 ⋅ q 240 ≈ 71643 Ft. q 240 − 1 Tehát a kölcsönt felvehetjük. 9 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E Térgeometria 1. Térelemek 1. 15 rész 2. a) 5 vagy 8 rész b) 9, 10 vagy 12 rész. 3. a) b) 4. 2a 2 a 2 2 a 2 5. 90º; 120º 6. 35,26º; 90º 7. 3a; 5a; 39,23º; 18,43º *9. Igaz 2. A sík és a tér felosztása 1. n 2 − 3n + 2 véges; 2n végtelen tartomány 2 2. 3. 35 n n(n − 1) 4.   = 2   2 n (n + 1)n(n − 1)(n − 2) 5. 2 = 2   8 6. 550 n n *7.   + 3 ⋅

  3 4     10 c) 2 a 2 3. Testek osztályozása, szabályos testek 1. Igen Pl ilyen egy térbeli kereszt 2. Legkevesebb 6, legfeljebb 20 3. tetraéder 4. kocka oktaéder dodekaéder ikozaéder a 3 2 ; a; a 2 2 2 5. 10 6 cm 6. 8,16 cm; 16,32 cm *7. 3 2a *8. 3 a 6 4. A terület fogalma, a sokszögek területe 1. 3a2 4 2. 14 cm; 25,38º; 154,62º 3. 7,48 cm; 14,7 cm; 46,68º 4. 7-szerese 5. 1 része. 7 6. A súlyvonal a megfelelõ egyenes 7. 172,05 cm2 9. 8 területegység. 3 * 10. Igen Az oldalai lehetnek: 3 és 6, vagy 4 és 4 * 11. b) n = 3, 4 vagy 6 esetén 11 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 5. A kör és részeinek területe 1. 3; 9 2. 2 3. Igen 4. 6,28 km-rel 5. a) 2,09 cm2 b) 3 cm2 c) 1,91 cm2 b) 15,28 cm2 c) 15,71 cm2 6. 0,56 m2 7. a) 5,5 cm2 8. a) 1 2 b) d) 11,25 cm2 1 2 10. Egyenlõk 11. 45,32 cm2 12. 6,77 cm2 * 13. 262,88 cm2 6. A térfogat fogalma, a

hasáb és henger térfogata 1. 8 féle Amax = 146 (1; 1; 36) Amin = 66 (3; 3; 4) 2. Élei: 6 2 ; 8 2 ; 10 2 ; V = 960 2 ; A = 752; 45º; 64,9º 3. Élei: 4 cm; 6 cm; 8 cm A = 208 cm2 4. Élei: 10 cm; 15 cm; 20 cm V = 3000 cm3 5. a) A = 686,6 cm2; V = 866 cm3 c) A = 1719,62 cm2; V = 5196,2 cm3 6. a) V = 785,4 cm3; A = 471,24 cm2 b) A = 1344,1 cm2; V = 3441 cm3 d) A = 3538,84 cm2; V = 2628,32 cm3 b) V = 10000 cm3; A = 2628,32 cm2 c) V = 17904,94 cm3; A = 5080,99 cm2 7. 21,46% 8. V1 = 13244,76 cm3; A1 = 3358,7 cm2 V2 = 2548,9 cm3; A2 = 1119,57 cm2 9. V1 = 628,32 cm3; A1 = 408,41 cm2 V2 = 1005,31 cm3; A2 = 653,45 cm2 10. V1 = 288,5 cm3; V2 = 711,5 cm3 * 11. A = 112 cm2; V = 64 cm3 * 12. 3 féle 12 A1 = 330,9 cm2; A2 = 500,1 cm2 7. A gúla és a kúp térfogata 1. a) 276,39 cm3; 333,78 cm2 b) 623,61 cm3; 487,3 cm2 d) 1500 cm3; 840,77 cm2 c) 1038,09 cm3; 656,17 cm2 2. a) 157,08 cm3; 201,22 cm2 c) 301,59 cm3; 301,59 b) 301,59 cm3; 301,59 cm2 cm2 3. 58,93 cm3 4. 678,41

cm2 5. 748,55 cm2 6. 65,35 cm3 . 7. 323,61 cm2; 333,3 cm3 . 8. 166,6 cm3; 173,21 cm2 9. 30,16 cm3; 52,78 cm2 * 11. A = 2 3 2 2 a3 a ;V= 3 18 * 12. a = 3r esetén 8. A csonka gúla és a csonka kúp b) 1148,58 cm3; 720,2 cm2 1. a) 16,69 cm c) 82,76º 2. a) 254,29 cm3; 275,96 cm2 b) 282,92 cm3; 288,5 cm2 3. a) 3517,75 cm3; 3119,38 cm2 b) 4345,92 dm3; 1518,58 dm2 c) 107,93 dm3; 157,58 dm2 4. 97,49 cm3; 119,38 cm2 . . 5. V1 = 33,3 cm3; V2 = 233,3 cm3 A1 = 72,17 cm2; A2 = 266,51 cm2 6. A = 360 cm2; a = 53,13º 7. 7 7 π dm 3; π dm 2 24 4 8. a) 18,93 cm; 6,31 cm b) 21,85 cm; 11833,45 cm3 9. 573,87 dm3 10. 390,23 dm3 13 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 9. A gömb térfogata és felszíne 1. a) 5 575 280 cm3; 152 053 cm2 b) 33 510 cm3; 5027 cm2 2. 2974 m3 3. 104 cm2 4. 3π ⋅ r 2 3 rész ; 4 16 15 r 5 5. 7. 27,14 N 8. 1,6 dm3; 6,62 dm2 *9. V = * 10. π 2 h (3r − h ) 3 4π 3 R 81 * 11. 268 083

cm3; 20 106 cm2 10. Egymásba írt testek 1. 1440 cm3 2. 36,74 cm3 3. a) 10 cm; 2 34 cm; 2 41 cm 4. 216 cm3 5. 0 6. 30,23% 7. r = 2,07 cm; A = 189,61 cm2; igaz 8. 18 724,57 cm3; 4681,14 cm2 *9. 39,23% 10. A1 V = 4; 1 = 8 A2 V2 11. 3,41 cm 12. 3 5 ⋅ m (m a kúp magassága) 9 14 b) 160 cm3; 55,46 cm2 Valószínûségszámítás, statisztika 1. Geometriai valószínûség 1. 0,29 2. 0,25 3. y2 = 48, y » 7 4. 0,5 5. 1 − 1 1 5 ⋅ = . 3 2 6 6. p= 4 2 = . 6 3 7. 0 £ x, y £ 1. x + y £ 1, 1 p= . 2 8. –5 £ b £ 5, b2 – 4 ³ 0, ½b½³ 2. p= 6 . 10 15 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 9. 0 £ x < y £ 1. y ≥ 1 − y  1 x + (1 − y) ≥ y − x p = . 4 1 − x ≥ x  Rejtvény: A valószínûség 1, mert a három pont meghatároz egy síkot. 2. Várható érték 1. Tornádóra fogadva a nyereség várható értéke: –0,1 Villámra fogadva a nyereség várható értéke: 0.

Szélvészre fogadva a nyereség várható értéke: –0,1. Tehát Villámra érdemes fogadni. 2. 80 Ft 3. 2 8 6 5 ⋅ 60 + ⋅ 15 + ⋅ 10 − 20 = − . 16 16 16 4 4. » 0,275 1 3 2 ⋅ 18 − 10 = −1. 3-mal osztható: ⋅ 40 − 10 = 2. 5-tel osztható: ⋅ 50 − 10 = 0. 2 10 10 Tehát 3-mal oszthatóra érdemes tippelni. 5. Páros:  2 1 2 2 1 2 1 3 1 + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅  ⋅ 500 − 50 = −6.  5 5 5 5 5 5 5 5 5 6.  ⋅ ⋅ 7. 100 Ft helyett 1200 Ft-tal számolva: 3 1 ⋅ x − ⋅ 1200 = 0, 4 4 x = 400 (Ft). 3. Statisztika 1. Magyarország minden tekintetben utolsó Nyugati nyelveket tekintve Szlovénia vezet, Csehország a második. Valamely idegen nyelveknél számít, hogy az ország korábban más országokkal együtt alkotott egy államot. 16 3. d) Budapesten szállodát 4. a) Többség az iskolában tanórán találkozott az internettel b) Együtt nem 100%. c) Mit jelent a „megismerkedni”? Lehet, hogy megismerkedett vele, de nem

szokott internetezni! 5. a) b) 1,68 » 1,7 6. Zöldek, mert bár az adatok ugyanazok, az õ grafikonjuk „szemre” erõteljesebb növekedést mutat. 7. Péter javított, ezért az y tengelyen az egység nagyobb legyen Péter rontott, ezért az y tengelyen az egység kisebb legyen. 8. b) 31,5 c) 36,8. d) Ahol az 50%-ot eléri: 1500 –1999 osztályközepe: 1750 ezer. 10. a) a2004 = 59 b) Az egymás utáni tagok távolsága felezõdik: 19; 99; 59; 79; 69; 74; . 2002   1  1 2  1   ≈ 72, 34 a2004 = 99 − 20 1 + +   + . +    4  4  4  11. a) Az átlag 3-mal nõ, a szórás nem változik b) Az átlag és a szorzás is az 5-szöröse lesz. 12. Ha a legnagyobb 15 lenne, a terjedelem miatt a legkisebb 7 Középen a medián miatt 8, 8 vagy 7, 9 áll. Ezen 4 szám összege 38, a többi 4 összege 64 – 38 = 26 kellene legyen, de az nem lehet, mert egyik sem kisebb 7-nél. A legnagyobb szám 14 lehet ® a legkisebb 6, középen 7,

9 vagy 8, 8 közül csak 8, 8 lehet, mert a 8 módusz, így a számok: 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14. 13. c) Iskolai végzettség, testvérek száma 17 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E Gondolkodási módszerek – összefoglalás 1. Halmazok, kijelentések, események 1. ((Z H) E) È (H Ç E) = (Z Ç H Ç E) È (H Ç E) (pZ Ù ØpH Ù ØpE) Ú (pH Ù pE) (EZ – EH – EE) + (EH · EE) = (EZ · EH · EE) + (EH · EE) görög saláta, tiramisu 2. a) Nem igaz b) Nem igaz. c) Nem igaz. 3. Április 30 napos A halmazábrán láthatóan eddig 23 nap volt felsorolva, így a hiányzó szám a 30 – 23 = 7. a) N napos: 15. b) E nem esõs: 14. c) E ∩ S ∩ N = E ∪ S ∪ N ⇒ 7 : nem esõs, nem szeles és nem napos. d) S È E: szeles vagy esõs: 20. e) E ∩ S = E ∪ S nem esõs és nem szeles: 10. f) N Ç (S È E) napos és (szeles vagy esõs): 12. 4. a) – Minden 2-vel és 5-tel osztható természe- tes szám

osztható 10-zel. – Van olyan 3-mal osztható szám, amely 10-zel is osztható. – Ha egy szám osztható 10-zel, akkor osztható 2-vel és 5-tel is. b) – Van egyenlõ szárú derékszögû háromszög. – Nincs olyan egyenlõ szárú háromszög, amelynek pont egy 60º-os szöge van. – Ha egy háromszögnek pont egy 60º-os szöge van, akkor nem lehet egyenlõ szárú. 2. Kombinatorika, valószínûség 20 ⋅ 8 ⋅ 3 = 60 ⋅ 4845 ⋅ 28 = 8 139 600.     4  2 1. 4 ⋅ 5 ⋅  2. a) 26! b) 5! · 21! 18 c) 3! · 17! d) Nem igaz. 9 b) 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅   = 33264 5 12 3. a)   ⋅ 9 = 1980 3 4. 2 = 0, 25 8 108 . 216 Páros: 3 páros vagy 1 páros és 2 páratlan. Páratlan: 3 páratlan vagy 1 páratlan és 2 páros. (Szimmetria elv) 5. Ugyanannyi: 6. 4 többszöröseinek száma + 17 többszöröseinek száma – 4 · 17 többszöröseinek száma = = 100 + 23 – 5 = 118. Így a keresett

valószínûség: 118 = 0, 295. 400 50! 7. Komplementer: mind különbözõ ⇒ 1 − 35! 5015  2  3 3 8. 1 −   = 9. a) 2 6 19 = 0, 703 27 b) 4 6 10. 1 12 1 25 ⋅ + ⋅1 = = 0,9615384 2 13 2 26 11. 0,6 · 0,8 + 0,6 · 0,2 · 0,4 + 0,4 · 0,3 · 0,65 = 0,606 12. 1 1 1 1 5 ⋅ ⋅ + ⋅1⋅1 = . 2 2 2 2 8 P(szabályos érme, feltéve, hogy két 1 1 fejet dobunk) = 8 = = 0, 2. 8 5 5 P(két fej) = 19 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E Algebra és számelmélet – összefoglalás 1. Számok és mûveletek 1. 3 2. Igen, a négyzete is irracionális 3. Pl: 2,323323332 4. 2 km 5. 96%-át 6. 17%-os a haszon 7. » 77%, » 29% 8. 30 tanuló 2. Számelmélet, oszthatóság 1. 218 · 511 · 710 2. A számjegyek összege 3, nem lehet prím 3. Nincs p és p + 11 közül az egyik páros, p = 2-re nem igaz 4. Igen, 2004 = 22 · 3 · 7 · 23, minden prímtényezõ kisebb 25-nél 5. a) Pl: 1988 =

111110001002 b) Pl.: 1988 = 131126 6. 7-es, 8-as, 9-es 7. 1805 *8. n = 5 és n = 13 3. Hatvány, gyök, logaritmus 1. 325 2. 15 nullára végzõdik 3. a) 18 éves, 70 kg-os tanuló esetén 27 030 m b) 1 892 160 kg. 4. a) 25 = 32 b) 2–4 · 3–5 20 c) 2 −1 = 1 2 5. a) 9 − 4 5 = ( 5 − 2) 2 b) 16 − 6 7 = (3 − 7) 6. a) Az elsõ a nagyobb b) Az elsõ a nagyobb. 1 ;a>3 10 7. a) 2 b) 6; b ³ 0; b ¹ 1; b ¹ 16 *8. A kifejezés = 4n 9. a) 4 b) 16 81  4 10. a)  1 − 2 log 1 5 −1 = c) 6 −2 1 −2 3 2  5 3  3 25  1

c) x = 1 4. Mûveletek racionális kifejezésekkel 1. a) 2a(4a – 3) b) b2(5b + 1)(5b – 1) c) 7(2c + 3)2 2. Pl d2½(d – 3) + (d – 2)2 + (d – 1)3 3. a) 1000 4. a) 1 − 3x 2( x 2 − 9) b) 2 b) −2 −1 b2 c) −8 3( x + 2) 5. Egyenletek, egyenlõtlenségek 1. 7,5 liter 40%-os és 2,5 liter 80%-os 2. 513 3. 90 km 4. 450 5. 180 km 6. Legkésõbb 4 órakor 7. a) n = 8; 9; 11; 15 b) n = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 c) 7 < n < 23 21 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 8. 21 m széles, 33 m hosszú 9. I 20 órát, óránként 20 db II 16 óra; óránként 25 db 10. 30 €-ért vette * 11. p = 1 1 ; p = 4; p = 5 4 2 * 12. p = –20 13. b) x1 = –16,5; x2 = 1,5 14. a) x = 7 3 1 2 3 b) x = 2 c) x = c) x1 = 2; x2 = 0 * 15. n = 4 16. a) x < 3 vagy x >4 2 π π + k ; k∈Z 4 2 π c) x = + lπ ; l ∈ Z 2 17. a) x = 18. a) 2 kπ + 2π 7π ≤x≤ + 2kπ ; 3 3 b) –5 < x < –2 vagy –1

x 2π 4 8π 4 + kπ ; + lπ ; k , l ∈ Z 9 3 15 5 π d) x = 2kπ ; x = + 2lπ ; k , l ∈ Z 2 b) x = b) 2lπ + π 5π ≤x≤ + 2lπ ; l ∈ Z 3 3 6. Egyenletrendszerek 1. a) Kb 65 Ft 1 liter üdítõ ára b) 41 Ft-nak adódik 1 liter ára. Az ár nem arányos az üdítõ mennyiségével. 2. 8 piros; 42 kék 3. 9 polc; 112 könyv 4. a) 77-szerese b) 98,7%-kal kisebb. 3 4 5 5 c) x1 = 10; y1 = 11; x2 = –10; y1 = –11 5. a) x = − ; y = 3 1 b) x1 = –3; y1 = –1; x2 = ; y2 = 2 2 1 7 4 4 c) x1 = 2; y1 = 5; x2 = 2; y2 = –5; x3 = –2; y3 = 5; x4 = –2; y4 = –5; x5 = 5; y5 = 2; x6 = 5; y6 = –2; x7 = –5; y7 = 2; x8 = –5; y8 = –2 6. a) x1 = –1; y1 = 19; y2 = 4×2; x2 Î R b) x = − ; y = 22 Függvények – összefoglalás 1. A függvény fogalma, grafikonja, egyszerû tulajdonságai 1. a) y y = sin x 1 –2p p –p 2p x –1 b) c) y y y = lg x 1 1 0,1 1 x 10 –1 d) y 1 –p – e) y = tg x y y= 3 p 4 p 4 p x 1 9 x

–1 f) A függvény görbéje nem rajzolható meg pontosan, két szakasz mentén mindenütt sûrûn elhelyezkedõ pontokból áll. y 1 2. a) injektív; –1 1 egyik sem; egyik sem; szürjektív; bijektív; injektív. 2. Mûveletek függvényekkel 1. a) f D f: R ® R, x 6 x4; b) f D g: R ® R, x 6 2x ; c) g D f: R ® R, x 6 4x; x d) g D g: R ® R, x 6 22 . 2 2. f D f : R ® R, x 6 x 1 –1 b) c) d) e) f) x 1 –1 –1 x 1 + 2×2 f D f D . D f: R ® R, x 6 ; f D f D f : R ® R, x 6 x 1 + nx 2 x 1 + 3x 2 ; , az f n-szer szerepel. 23 x S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 1 3. a) f–1: R ® R, x 6 x − 3 ; 2 b) g–1: R ® R , x 6 c) h–1: [0; 1] ® [0; 1], x 6 1− x ; 1+ x 1 − x2 ; d) k–1: [0; 1] ® [–1; 0], x 6 − 1 − x 2 ; 3. Függvénytulajdonságok 1. a) b) y 4 –3 –2 y= x – 1+ x 3 2 2 1 1 1 2 x 3 –3 –2 y= 6 x – x 2 y = (x + 1)3 – (x – 1)3

2 1 2 3 x –6 –4 b) 6 5 x- 3 x- 1 y= 4 3 c) 6 5 5 4 4 3 1 1 2 3 4 x 5 –1 –1 3 y= 1 2 3 4 5 -x – 3 2 7 x 6 8 2 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –2 –3 –3 –3 –4 –4 –4 3. a) Zérushely: x = 7. b) y y +x 2 1 2 3 4 x 1 x c) A kitûzött feladatban hiba van. A helyes függvény: x 6 log 1 1 − x , 2 6 1 3 Zérushely: x = –2. y = log2 x- – 1+ y = 2 x+ y= x 1 –2 Zérushely: x = –3. 6 y 6 2 4 –2 y 2 1 2 –2 –1 y –3 –2 –1 –1 8 –1 –1 2. a) y 4 3 –1 c) y x Î [3; +¥[ 5 y 2 1 1 1 1 –1 –3 –2 1 –1 2 3 x –1 Minimumhely x = 0, minimum értéke: 2; maximumhelyek: x1 = –2, x2 = 2, maximum értéke: 5. 24 1 –1 2 3 4 5 x –1 Minimumhely x = 2, minimum érték: 1; maximumhely: x = 5, maximum érték: 6. –1 2 3 4 5 6 x y = log 1 – 1 x 2 A függvénynek minimuma nincs (alulról nem korlátos), maximumhelye x = 3, a

maximum érték: –1. d) y 1 y = sin½2x½ –p – 3p 4 – p 2 – p 4 p 4 p 2 x p 3p 4 –1 Minimumhelyek: x1 = − 3π 3π és x2 = , a minimum értéke: –1, maximumhelyek: 4 4 π π és x 4 = , a maximum értéke: 1, az x = 0 helyen helyi minimuma van 4 4 a függvénynek, a minimum értéke 0. x3 = − e) Minimumhely x = 0, a minimum értéke: 0, π π maximumhelyek x1 = − , x2 = , a ma2 2 ximum értéke 1. y 1 4. A függvény zérushelye: x = 0, minimumhelye x = –1, a minimum értéke: –1, maximumhelye x = 1, a maximum értéke: 1. – p 2 – p 4 p 4 5. a) Az egyetlen valós gyök: x = 2 b) Az egyetlen valós gyök: x = 4. c) A két valós gyök: x1 = –2 és x2 = 2. 6. a) A kitûzött feladatban hiba van A helyes feladat: logx–2x £ logx–24, x > 2, x ¹ 3. A megoldás: 3 < x £ 4. b) A megoldás: –2 < x < 1. π π c) A megoldások a következõ intervallumok: − + kπ < x < + kπ , k ∈ Z. 3 4 1 7. a) Egy

valós gyöke van: x = 2 b) Két valós gyöke van: x1 = 0, x2 = 2. −1 − 21 c) A két valós gyök: x1 = 3 és x2 = . 2 8. Nem periodikus, indirekt úton lehet bizonyítani 25 p 2 x S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E Geometria – összefoglalás 1. Alapvetõ fogalmak 1. a) hamis; b) igaz 2. a) AB £ 4 cm; b) igaz 3. A szögek nagysága: 42º, 57º, 72º, 87º, 102º 4. A hajó az északi iránnyal +105º-ot bezáró, közelítõleg délnyugati irányban halad a ≤ 2, akkor a közb a refogott alakzat négyzet, ha > 2, akkor az ösvények és a park határa egy hatszöget fog b közre. 5. Jelölje a park hosszabbik oldalának hosszát a, a rövidebbikét b Ha 6. Legfeljebb 4 pontot kaphatunk így Nincs mindig megfelelõ pont 7. A metszéspontok száma 40 8. a) 8 térrész; b) 15 térrész; c) 16 térrész; d) 29 térrész. 2. Geometriai transzformációk 2. Két megfelelõ négyzet van, csúcsaik rendre

(16; 0), 0; 16), (–16; 0), (0; –16), illetve (8; 8), (–8; 8), (–8; -8), (8; –8). 4. a) A közös rész egy » 0,77 cm2. 4 3 4 cm 2 ≈ cm oldalú szabályos háromszög. K = 4 cm, T = 9 3 b) Az egyesítés egy konkáv hétszög. K = 20 cm, T = 68 3 cm 2 ≈ 13, 087 cm 2 . 9 7. a) A(–4; 10), B(2; –6), C(16; 4) b) A(–10; 12), B(–4; –4), C(10; 6) 8. A nagyítás 80-szoros, a kép és a vászon távolsága 3,95 m 3. Vektorok Szögfüggvények 1. h » 34,29 m 2. d » 8,5 m 3. a » 25,15º 4. a) sina = 0,6; tga = 26 3 4 ; ctga = . 4 3 3 4 ; ctga = . 4 3 c) sina » 0,9029; cosa » 0,4299; ctga » 0,4762. d) tga = 5 + 2 » 4,2361; sina » 0,9029; cosa » 0,4299. b) cosa = 0,8; tga = 5. Az osztópontok helyvektorai rendre a B csúcstól a C csúcs felé haladva: G G G G G G G G G G 5b + c 2 b + c b + c b + 2c b + 5c , , , , . 6 3 2 3 6 G G G G G G G G G G a+b G b +c G c +a G a+b +c f f f s = , = , = , = . 6. AB BC CA ABC 2 2 2 3 G G G G a +c b +d G G G G G G

G G G G G G + a+b +c +d a+c b +d a+b +c +d 2 2 , 7. a) b) c) = 4 2 2 2 4 Az átlók felezõpontjait összekötõ szakasz felezõpontja azonos a középvonalak metszéspontjával. 9. y = –6 4. Nevezetes síkidomok tulajdonságai 1. a) a = 40º; b » 7,51 cm; c » 7,05 cm b) a » 4,97 cm; a » 41,31º; g » 43,69º. c) c » 8,88 cm; a » 61,19º; b » 73,81º. d) a » 59,36º; b » 81,05º; g » 39,59º. 3. A befogók: a » 18,26 cm; b » 8,16 cm A hegyesszögek: a » 65,92º; b » 24,08º; T= 68 3 cm 2 ≈ 13, 087 cm 2 . 9 4. a) a » 75,54º; T » 17557,83 m2 b) A maximális területû játéktér oldalai 119,46 m és 73,49 m, területe T » 8779,12 m2. 5. a) a = 50º; b = 60º; g = 70º b) a » 3,06 cm; b » 3,46 cm; c » 3,76 cm; T » 4,99 cm2. c) Ta » 1,52 cm2; Tb » 2,46 cm2; Tc » 3,6 cm2. 6. A belsõ szögfelezõk által meghatározott négyszög szögei valamelyik körüljárási irányban: 87,5º; 115º; 92,5º; 65º. Ha egy konvex négyszög belsõ szögfelezõi

közrefognak egy négyszöget, akkor az mindig húrnégyszög. 7. a) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négyszög téglalap, így az eredeti négyszög átlói merõlegesek egymásra. b) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négyszög rombusz, így az eredeti négyszög átlói egyenlõ hosszúak. 27 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 8. a) n = 9; b) n (a sokszög oldalszáma) lehetséges értékei: 14, 15, 16, 17, 18. 9. A sokszög oldalainak száma: n = 2k + 3 10. A legkisebb szög 117º-os, a legnagyobb 171º-os 5. Koordinátageometria 1. a) A(4; 10), B(8; –4), C(–6; 2)  8 b) S 2;   3 2 2 97  83 126034  x − + y − = c)  43  43 1849  d) K ABC = 2 ( 53 + 58 + 41) ≈ 42, 6 e) TABC = 86 2. Az érintõ egyenlete: –3x + 4y = –43 3. A csúcsok koordinátái (0; 0), (0; –3), (4; 0), a háromszög területe 6 egység 4. A H1(–3; –5)

harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egyenlete x = –3 és 8x – 15y = 51, a H2(–4; –7) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egyenlete pedig  6 14   6 14  24 14 24 14 y = 4 + . és y = 4 −  x + 9 +  x + 9 − 7  7 7  7    23 46  1 egyenletû egyenes kivéve a  ;  pontot, 3 19 19  ugyanis ekkor nem jön létre háromszög. 5. A súlypontok halmaza az y = 2 x + b) a = − 6. a) a1 = –3; a2 = 1 1 2 7. T = 29 8. A két érintõ hajlásszöge » 141,06 9. a = 2 3; T = 3 3 10. a) b) y c) y y 4 4 8 3 3 7 2 2 6 1 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 1 2 3 4 5 x –5 –4 –3 –2 –1 –1 5 1 2 3 4 5 4 x 3 –2 –2 2 –3 –3 1 –4 –4 28 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 x Középszintû érettségi gyakorló feladatsorok 4. Feladatsor I rész 1. Az osztást elvégezve: 1 : 7 = 0,142857, ezután a maradék újra 1 lesz, így ismétlõdnek a

számjegyek. A szakaszos tizedestört szakasza 6 jegybõl áll (1 pont) A 2005 1 maradékot ad 6-tal osztva, így a tizedesvesszõ utáni 2005-ödik számjegy az 1. (1 pont) 2. A pálca és az árnyéka által meghatározott derékszögû háromszög hasonló a torony és az árnyéka által meghatározott derékszögû háromszöghöz. (1 pont) 1 4 Így a torony magassága: m = 15 ⋅ = 15 ⋅ = 20. Tehát a torony 20 m magas (1 pont) 0, 75 3 2 3 1 − = . (1 pont) 3 5 15 Azonban az egyenletnek van más megoldása is. Átrendezve a 3*2 + – 30 = 0 egyenlethez 10 jutunk, melynek a megoldóképlet alapján két megoldása van: *1 = 3 és 2 = − . Ezek 3 valóban megoldásai az eredeti egyenletnek, hiszen * ¹ 0. Tehát a * helyére írható számok 10 halmaza 3; − . (2 pont) 3 Természetesen a 3 pont akkor is jár, ha rögtön a másodfokú egyenlet megoldásával kezd és kapja meg a * = 3 megoldást is.) 3. Ránézésre adódik a * = 3 megoldás, hiszen < >4. Az 1 lámpának

megfelelõ sávban haladó jármûvek csak az 5 sávban haladókat akadá- lyozzák, így az 1. lámpa csak azért piros, hogy az 5 lámpa zöld lehessen (1 pont) Ekkor a 2. és 3 lámpa szintén piros kell legyen, viszont a 4 és a 6 lehet zöld (1 pont) 5. A hatványozás azonosságait alkalmazva: z = (2a)2b = 22b · a2b = (22)b · ab · ab = (4a)b · ab (2 pont) Ebbõl x = 4a. (1 pont) 6. Ha mindegyik szám ugyanannyival nõ (vagy csökken), az átlaguk is annyival nõ (vagy csökken), így az elsõ lépés után 22 lesz. (1 pont) Mivel mindegyik számot megszoroztuk 4-gyel, az átlaguk is 4-szeres lett, azaz 88. Ezután mindegyik számot csökkentettük 10-zel, az átlaguk is 10-zel csökkent, így végül 78 lett. (1 pont) (Számolhattunk volna végig az öt szám összegével, de mivel a számok száma nem változott, mindegyikkel ugyanazt csináltuk, ezért a fenti megoldás is megfelelõ.) 7. A tank 0,7 részének és Ekkor a tank 1 = 0, 25 részének különbsége, azaz a

jött, 6 iskola van, ezért ez 6 féleképpen lehetséges. (1 pont) 6 1 Tehát a keresett valószínûség: = ≈ 0, 007. (1 pont) 18 136  3   Megjegyzés: Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a kedvezõ és az összes eset számolásánál is figyelembe vesszük a sorrendet, ekkor a valószínûséget a következõképpen írhatjuk fel: 6 ⋅ 3! . 18 ⋅ 17 ⋅ 16 . 10. Az uszoda hosszának 90-szerese 3 km, így az uszoda hossza 3000 : 90 = 33,3 m (1 pont) A kerülete 3000 : 25 = 120 m, két oldalának összege a kerület fele: 60 m, így . szomszédos . a medence szélessége 60 – 33,3 = 26,6 m. (1 pont) . . A területe 26,6 · 33,3 » 888,91 m2. Tehát a medence területe közelítõleg 889 m2 (1 pont) 2 2 11. A négyzetre emelést elvégezve a következõt kapjuk: 108n +16 + 2 · 104n +8 + 1 (1 pont) Ebben két darab 1-es és egy darab 2-es számjegy szerepel, azaz a számjegyek összege 4. (2 pont) 12. Mivel mindegyik háromjegyû számot ugyanakkora

eséllyel választhatjuk, klasszikus valószínûségi modellról van szó. Háromjegyû szám 999 – 99 = 900 darab van, ennyi az összes lehetõség. (1 pont) Ahhoz, hogy log2 N egész szám legyen, N a 2 valamely egész kitevõs hatványa kell legyen. A 2 hatványok közül a háromjegyûek: 128, 256, 512 (1 pont) 3 1 Tehát a keresett valószínûség: = . (1 pont) 900 300 4. Feladatsor II rész / A 13. a) Ha x a kiírt ár, 10% engedmény után 0,9x lesz (2 pont) A 900 forintos áru 20% haszonnal 1,2 · 900 = 1080 Ft. (2 pont) 1080 Ezek egyenlõségébõl x = = 1200 Ft. Tehát a kereskedõnek 1200 Ft-os árat kell 0, 9 kiírni. (2 pont) 30 b) A háromszori csökkenés után az ár: 1200 · 0,9 · 0,9 · 0,9 = 1200 · 0,729 = 874,8 Ft. (3 pont) Ez az eredeti ár 0,9 · 0,9 · 0,9 = 0,729 része, azaz 72,9%-a. (3 pont) (5 x)2 − 5 x − 2 = 0. x = a jelöléssel az egyenlet: – a – 2 = 0, a megoldóképlet alapján a1 = 2 és a2 = –1. (3 pont) Ebbõl x1 = 25 = 32 és

x2 = (–1)5 = –1. Az egyenlet megoldásai tehát a 32 és a –1 (2 pont) b) A második egyenlet 2-szerese: 6x + 6y = 12xy. Így xy = 1 (2 pont) Az elsõ egyenletbõl x + y = 2, amibõl y = 2 – x. (2 pont) Az xy = 1 egyenletbe behelyettesítve: x(2 – x) = 1, azaz x2 – 2x + 1 = 0, másképp (x – 1)2 = 0, aminek egy megoldása az x = 1. (2 pont) Ekkor y = 2 – 1 = 1. Tehát az egyenletrendszer megoldása x = 1 és y = 1. (1 pont) 14. a) Átalakítva az egyenletet: 5 a2 15. a) Mivel E és F harmadolópontok, DE = EF = FC, így az ADE, AEF, AFC háromszögek területe egyenlõ, hiszen magasságuk ugyanaz. Hasonlóképpen G, H harmadolópontok, így AG = GH = HB, az ACG, GCH, HCB háromszögek területe egyenlõ, mert magasságuk ugyanaz. Tehát igazságos az osztozkodás, ha mindegyik testvér egy-egy darabot kap az ABC és az ACD háromszögbõl is. (5 pont) b) A három testvér egy-egy darabot kap az ABC háromszögbõl, az ACG háromszöget 3 gyerek kaphatja, a GCH

háromszöget ezután már csak 2 gyerek, ekkor a HCB háromszög egyértelmûen a harmadiké, ez 3 · 2 = 6 lehetõség. (3 pont) Ugyanígy az ADC háromszögben levõ háromszögeket is 6-féleképpen oszthatják el. (1 pont) Mivel mindegyik testvérnek mindkét nagy háromszögbõl kell kapni egyet-egyet, a lehetõségek száma: 3 · 3 = 9. Tehát 9-féleképpen osztozhatnak igazságosan az örökségen. (3 pont) 16. a) A számtani sorozat tagjai: a1, a1 + d, a1 + 2d, , a50 = a1 + 49d, a51, a51 + d, a51 + 2d, ., a100 = a51 + 49d (1 pont) Így az elsõ 50 és a következõ 50 tag különbsége: 50 · (a51 – a1) = 2500. (2 pont) Mivel a51 = a1 + 50d, így d = 1. (2 pont) 2 a + 49 Az elsõ 50 tag összege: 50 ⋅ 1 = 200, amibõl a1 = –20,5. Tehát a sorozat elsõ 2 tagja: –20,5. (2 pont) b) Könnyebb dolgunk van, ha a répában maradt lé arányát számoljuk. Az elsõ nyomás után 2 3  3 a répában levõ lé része marad benne, a második után a   , s.ít, az

n-edik nyo 4 4 n n 1 1  3  3 más után a   része marad benne, ennek kell -nál kisebbnek lenni:   < .  4 3  4 3 (3 pont) 1 lg 3 1 Mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát véve: n ⋅ lg < lg , amibõl n >3 , mert 3 4 3 lg 4 31 S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 12 – A KITÛZÖT T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 3 lg < 0. Ebbõl n >3,8 Tehát legalább 4 nyomás szükséges, hogy a répában levõ lének 4 2 legalább részét kinyomjuk. (Erre az eredményre logaritmus nélkül, próbálgatással 3 is eljuthatunk.) (2 pont) Megjegyzés: Természetesen ugyanerre az eredményre juthatunk, ha a répából kinyomott lét számoljuk, az n-edik nyomás után ez: n  3 −1 2 n −1 2 1 1 3 1  3 1  3 1   > . + ⋅ + ⋅   + . + ⋅   = ⋅  4  3 4 4 4 4  4 4  4 4 3 −1 4 4. Feladatsor II rész / B 17. a) A lányok számát L-lel, a fiúkét F-fel jelölve a

lányok pontjainak összege 83L, a fiúké 83L + 71F = 80. (4 pont) L+F Ebbõl L = 3F, azaz a lányok száma 3-szorosa a fiúk számának. (2 pont) Ugyanerre az eredményre jutunk, ha meggondoljuk, hogy a fiúk átlagpontszáma 9-cel kevesebb, a lányoké 3-mal több, mint az osztályátlag. Így az osztálylétszám 4F, aminek 3 3F a része, vagyis a 75%-a. Tehát a lányok száma 75%-a az osztálylétszámnak 4 (2 pont) 71F, így az osztályátlag: b) Ha valaki minden kérdésre helyesen válaszolt, 5 · 25 = 125 pontot szerzett, ezért 127 pontot nem lehet szerezni, András biztosan tévedett. (2 pont) A következõ legmagasabb pontszám úgy lehetséges, ha valaki 24 kérdésre jó választ adott, 1-et üresen hagyott, ez 5 · 24 + 1 = 121 pontot jelent. Tehát Bence biztosan tévedett, míg Csaba mondhatott igazat (3 pont) A következõ legmagasabb pontszám úgy lehetséges, ha valaki 24 kérdésre jó választ adott, 1-re rosszat, ez 120 pontot ér. A következõ lehetséges

pontszám 23 jó válasz és 2 üres esetén lehet, ez 23 · 5 + 2 = = 117. Ezért Dénes Biztosan tévedett (2 pont) 23 jó, 1 üres, 1 rossz válasz 116 pont, 23 jó, 2 rossz válasz 15 pont, ezért Endre mondhatott igazat. (2 pont) 18. A Földön levõ vizek 51,37 + 25,2 + 20,72 = 97,29%-a sós víz (Másképp: 100 – 2,71 = = 97,29%). Így a sós víz térfogata 0,9729 · 1387,5 · 1015 » 1350 · 1015 m3 = 1,35 · 1018 m3, a maradék édesvíz térfogata 37,5 · 1015 m3. (5 pont) A sós víz tömege: 1035 · 1,35 · 1018 = 1397,25 · 1018 » 1,397 · 1021 kg. Az édesvíz tömege: 1000 · 37,5 · 1015 » 0,038 · 1021 kg. Tehát a Földön levõ víz tömege: 1,435 · 1021 kg. (4 pont) A feladat megoldásából láthatjuk, hogy a Földön levõ víz tömege nagyobb, mint a levegõé. 32 x = 1, azaz x = 62,5 m. A torony széles62, 5 sége ennek kétszerese, azaz 125 m. (3 pont) 19. a) A torony alapjánál y = 0, ez akkor lehet, ha 115,75 − x , amibõl x = 62, 5 ⋅ e 91

≈ 62, 5 » 17,52 m. Ez a torony szélességének fele, így a 2 szinten a torony szélessége: 35,04 m » 35 m. (5 pont) b) A 2. szinten y = 115,75, így 115, 75 = −91 ⋅ ln c) A toronyból a horizonthoz vezetõ szakasz a gömböt érinti, így a következõ ábrát rajzolhatjuk, ahol a kör a földgömb középpontján átmenõ síkmetszete, HT a kör érintõje, OH a sugara, OT pedig a Föld sugaránál a terasz magasságával nagyobb. Így a Pitagorasz-tétel alapján: HT 2 = 63702762 – 6,372 · 1012 = 40,5804 · 1012 – 40,5769 · 1012 = 35 · 108, amibõl HT = 5,916 · 104 m » 60 · 103 m. Tehát a 3 szinten levõ teraszról 60 km-re lehet ellátni. (9 pont) 33