Matematika 7. Gondolkodni jó! (NT-4209-7/UJ-K)

Adatait bizalmasan kezeljük, védett szerveren tároljuk, és harmadik személynek sem kereskedelmi, sem egyéb célból nem adjuk át.

MATEMATIKA 7. Megoldások

2 A kiadvány megfelel az /0. (XII..) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 8. évfolyama számára..0. előírásainak. Tananyagfejlesztő: GEDEON VERONIKA, PARÓCZAY ESZTER, SZÁMADÓ LÁSZLÓ, TAMÁS BEÁTA, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA Tudományos szakmai szakértő: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai szakértő: ILLÉS JÁNOS Olvasószerkesztő: DARCSINÉ MOLNÁR EDINA Fedélterv: OROSZ ADÉL Látvány- és tipográfiai terv: GADOS LÁSZLÓ, OROSZ ADÉL IIlusztráció: LÉTAI MÁRTON Szakábra: SZALÓKI DEZSŐ Fotók: Flickr, MorgueFile, Pixabay, WikimediaCommons, Wikipedia, Dominic Alves, Kováts Borbála, Louis K., Márton Tünde, Wintsche Gergely, Wolfgang Lonien A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József főigazgató Raktári szám: FI-00070/ Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Márton Tünde Nyomdai előkészítés: Gados László Terjedelem: 4,7 (A/ ív), tömeg: 44,4 gramm. kiadás, 08 A kísérleti tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program..-B/ számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Felsoroljuk azoknak a feladatoknak a számát, amelyekben néhány elírást, tévedést javitottunk, illetve pontosításokat hajtottunk végre. A megoldáskötet leckéinél már a javitott feladatok, és azok megoldása szerepel. I. fejezet. lecke 4. feladat I. fejezet. lecke 7. feladat I. fejezet. lecke. feladat IV. fejezet. lecke 6. feladat V. fejezet. lecke 6. feladat VI. fejezet. lecke 6. feladat A szerkesztő és a szerzők Európai Szociális Alap

3 Tartalom Bevezetés. I. Gondolkodjunk! Számold össze! Rendezd sorba! Kiválasztások Igazold! Cáfold! Matematikai játékok Összefoglalás. 9 II. Racionális számok és hatványozás. Az egész számok tulajdonságainak áttekintése A törtek Törtek összeadása, kivonása Törtek szorzása, osztása Törtek tizedes tört alakja Műveletek tizedes törtekkel Szöveges feladatok Zárójelfelbontások, összetett műveletek Nagy számok és a hatványalak A hatványozás azonosságai I A hatványozás azonosságai II. Normálalak. Összefoglalás. 7 III. Geometriai transzformációk Fontos geometriai fogalmak Síkidomok, testek Geometriai transzformációk Középpontos tükrözés A középpontos tükrözés alkalmazása Szögpárok Középpontos és tengelyes szimmetria Paralelogramma és deltoid A paralelogramma területe A háromszög területe A trapéz területe A deltoid területe Középpontosan szimmetrikus alakzatok Sokszögek Szerkesztések Összefoglalás. 08

4 Tartalom IV. Oszthatóság Számelmélet A tanult ismeretek áttekintése Összetett számok prímtényezős felbontása. Osztó, többszörös Legnagyobb közös osztó. Legkisebb közös többszörös Egy kis logika Oszthatósági szabályok Készítsünk magunknak oszthatósági szabályokat! Matematikai játékok Összefoglalás. 6 VI. Geometria Egybevágó háromszögek Összefüggések a háromszög oldalai, szögei között A háromszög és a köré írt köre A háromszög és a beírt köre Magasságvonalak a háromszögben Súlyvonalak és középvonalak a háromszögben Sokszögek szögei és átlói A kör kerülete A kör területe A hasáb felszíne és térfogata A henger felszíne és térfogata Összefoglalás. V. Egyenletek, egyenlőtlenségek Arányosságról még egyszer Mit tudunk a százalékszámításról? Összetett százalékszámítási feladatok Szöveges feladatok Számok és betűk használata I Számok és betűk használata II Egyenletmegoldási módszerek: próbálgatás és lebontogatás A mérlegelv Azonosság, ellentmondás, egyenletek megoldása Egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel Szöveges feladatok megoldása egyenlettel Összefoglalás VII. Függvények, statisztika. Két halmaz közötti hozzárendelések. Függvények és grafikonjaik. Olvassunk a grafikonról! Ábrázoljunk képlet alapján. Keressünk szabályokat! Átlag, módusz, medián Gyakoriság, relatív gyakoriság Valószínűség Összefoglalás

5 I. GONDOLKODJUNK! Esztert és Kristófot első hallásra nem hozta lázba a kötelező tanulmányi kirándulás híre. Láttad, hogy Judit néni még azt is előírta, hogy előadást tartsunk a többieknek? fordult Eszter Kristófhoz. Kristóf csak bólogatott, de nem válaszolt, mert teljesen elmerült annak az új téridőtrafónak a tanulmányozásában, amit az iskola egy nemzetközi pályázaton nyert. A szerkezet lehetővé tette, hogy az osztály néhány tagja a kirándulás alkalmával szabadon mozogjon a térben és az időben. A kezdeti unott várakozást és az első téridőutazást követően Kristóf úgy fordult Eszterhez, mintha csak az egy nappal korábban feltett kérdésére válaszolna, bár ez alkalommal elégedett mosoly terült szét az arcán. Azt hittem, halálosan unalmas lesz, de ez elképesztő volt! Láttuk Arisztotelészt meg Alexandroszt fiatalon. Ott sétáltak előttünk, akár meg is tudtuk volna érinteni őket! És az a fordítókütyü, amit kaptunk, Attila eddigi legjobban sikerült szerkezete! Érdekes volt hallani, amikor Arisztotelész arról magyarázott, hogyan emlékezünk azokra a dolgokra, amiket korábban érzékeltünk, és hogy tulajdonképpen ebből következik az, hogy tudunk valamit mondta Eszter elgondolkodva. Kár, hogy utána a katonák elvitték a kis Nagy Sándort vívóedzésre. Rémes, hogy még be sem jelölhetem facebookon! nevetett Kristófra, aki lelkesen böngészte a következő utazás kiírását a neten.

6 I. Számold össze! Feladatok Válaszolj a kérdésekre! a) Hány darab kétjegyű páros szám van? b) Hány darab háromjegyű páratlan szám van? a) 0-től 99-ig összesen 90 darab kétjegyű szám van, ebből minden második páros. Azaz 4 ilyen szám van. b) 00-től 999-ig összesen 900 darab háromjegyű szám van, ebből minden második páratlan. Azaz 40 ilyen szám van. Nekeresdiában csak öt betű van: két magánhangzó és három mássalhangzó. Minden szó hárombetűs, és pontosan egy magánhangzót tartalmaz. Hány szó lehet összesen Nekeresdiában? Legyen az öt betű: a, b, c, d, e. A három mássalhangzóból kettőt kell választanunk: bb, bc, bd, cc, cd, dd. Ezekhez vagy az a, vagy az e magánhangzót hozzá kell tennünk. A három különböző betűt hatféleképpen tudjuk sorba rendezni. Ha a szóban van két egyforma betű, akkor háromféle sorba rendezés van. Így a darabszám: ^ h 4. Vagyis 4 szó van Nekeresdiában. Egy társasjátékban annyit léphetsz előre a bábuddal, amennyit a dobókockával dobsz. A startmező sorszáma 0. a) Hányas sorszámú mezőkön állhat a bábud, ha már háromszor dobtál? b) Hányas sorszámú mezőkön állhatott közben a bábud, ha a harmadik dobás után a 7-es mezőre került? c) Hányas sorszámú mezőkön állhatott közben a bábud, ha a harmadik dobás után a 9-es mezőre került? a) A legrosszabb esetben mindháromszor -est dobtunk, ekkor a -as mezőn áll a bábu, a legjobb esetben pedig három 6-ost, ekkor a bábu a 8-as mezőn áll. A két szám között mindegyik mezőre eljuthattunk. b) A 7-es mezőre csak úgy juthat el a bábu, ha két 6-ost és egy -öst dobtunk. Az érintett mezők sorszámai esetenként: az első dobás -ös. 7; a második dobás -ös: 6,, 7; a harmadik dobás -ös: 6,, 7. Tehát a bábu az., 6. sorszámú mezőkön állhatott. c) A három dobásból az első -től 6-ig bármi lehet, mert utána a bábu akár a 7-es, akár a 8-as mező érintésével két dobásból eljuthat a 9-es mezőre. Tehát a bábu -től 8-ig bármelyik sorszámú mezőn állhatott. 6 Gondolkodjunk!

7 Számold össze! I. 4 Növekedő számsort kell készítened négy pozitív egész számból. A számsorban a 0 legyen a legnagyobb szám, és az -nek is szerepelnie kell benne. Az öttel osztható számok elé mindig pontosan egy darab öttel nem osztható számot kell írnod. Hányféle számsort tudsz készíteni? A számsor mindig 4 hosszúságú lesz, a második tagja az, a negyedik, egyben utolsó tagja pedig a 0. A növekedés miatt az elé írható számok. 4; a 0 elé írható számok: 6, 7, 8, 9. Ezért 4$ 4 6 ilyen számsor készíthető. Válaszolj a kérdésekre! a) Hány egyenes jelöli ki a sakktábla négyzetrácsát? b) Hány darab négyzetet határoznak meg a sakktáblát kijelölő egyenesek? a) egyenes jelöli ki a sakktábla négyzetrácsát. b) A sakktáblára 8 különböző méretű négyzet rajzolható. Ha a legkisebb négyzetet a bal felső sarokba rajzoljuk, akkor vízszintesen és függőlegesen is nyolc helyre tolhatjuk el. Az összes lehetséges helyzet figyelembevételével 64 esetet kapunk. A különböző méretű négyzeteket hasonlóan végiggondolva összesen négyzetet kapunk. Tehát a sakktáblát kijelölő egyenesek 04 négyzetet határoznak meg. 6 Figyeld meg az ábrán Dürer Melankólia című metszetét, majd válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Mennyi a bűvös száma a metszeten látható négyszer négyes bűvös négyzetnek? b) Mennyi a számok összege a besatírozott mezőkben? a) A bűvös szám: 6 4. b) Gondolkodjunk! 7

8 I. Számold össze! A szemközti háromszintes ház minden szintjén négy ablak van, a rajzon látható módon. Liza este megfigyelte, hogy ezek közül négy mögött nem ég a villany. A sötét ablakok sem sarkukkal, sem oldalukkal nem érintkeznek. Hányféleképpen helyezkedhet el ez a négy ablak? Rajzolj a füzetedbe! A négy sötét ablak csak úgy helyezkedhet el, hogy kettő a felső és kettő az alsó emeleten van. Egy sorban három lehetőség van: Ezek közül bármelyik lehet a felső és az alsó sorban is, így $ 9 eset lehetséges. 8 Gondolkodjunk!

9 Számold össze! I. 8 Az ábrán egy olyan, négyzet alakú ablakokból álló sorozat első négy elemét látjuk, amelyekre rácsot terveztek. Az első ablakot a rács két, a második ablakot hat egyforma részre osztja, és így tovább. a) Hány darab függőleges szakaszból állna a rács a hetedik ablakon? b) Hány darab vízszintes szakaszból állna a rács a nyolcadik ablakon? c) Hány részre osztaná a rács a tizedik ablakot? d) Hány cm lenne egy kis téglalap területe az ötödik ablakon, ha az eredeti ablak,44 m területű? e) Hányadik ablakot osztaná a rács 9900 részre? a) 7 függőleges szakaszból. b) 7 vízszintes szakaszból. c) Az. ablakot, a. ablakot, a harmadik ablakot 4, a sorozatot folytatva a 0. ablakot 0 0 részre osztaná a rács. d) Az ötödik ablak 6 0 kis téglalapból áll, ezért egy téglalap : cm területű lenne. e) , vagyis a 99. ablakot osztaná a rács ennyi részre Gondolkodjunk! 9

10 I. Rendezd sorba! Feladatok Készíts háromjegyű számokat a képen látható számkártyák mindegyikének felhasználásával! Sorold fel az összes esetet! Hány esetben kaptál négyzetszámot? (Négyzetszámot kapsz, ha egy egész számot megszorzol önmagával.) A háromjegyű számok: 69, 96, 69, 69, 96, 96. Ezek közül négyzetszámok: 69, 96 4, 96. Hányféle sorrendben rakhatod egymás mellé a következő szavak betűit? A megoldások között értelmes szavak is lesznek. Írd le ezeket! a) RÉT; b) ADNI; c) TAPOS. a) 6-féleképpen. Értelmes szavak: RÉT, TÉR, ÉRT, TRÉ. b) 4-féleképpen. Értelmes szavak: ADNI, ANDI, DANI, INDA, INAD. (Esetleg: ANID, DINA.) c) 0-féleképpen. Értelmes szavak: TAPOS, POSTA. Lázár Ervin A Négyszögletű Kerek Erdő című mesekönyvében olvashatsz arról, hogy az erdő lakói költői versenyt rendeztek. Szerették volna eldönteni, hogy ki a legnagyobb költő közöttük. Nagyon sok vers született. Bruckner Szigfrid ezt írta: Ej, mi a kő! tyúkanyó, kend a szobában lakik itt bent? Miután a többiek elmagyarázták neki, hogy ez nem az ő verse, a következő változattal állt elő: Ej, kend, tyúkanyó, mi a kő, itt bent lakik a szobában? Hányféle változatot írhatott volna ilyen módon Bruckner Szigfrid, ha csak soronként keverte össze a szavakat, és a kő és a szobában szavak előtt az a névelőt mindig megtartotta? Az első sorban lévő öt szót 0, a második sorban lévő négy szót pedig 4 féleképpen keverhette össze Szigfrid. Ez összesen különböző vers, de ezek közül egy az eredeti, ezért 879 féle változatot írhatott volna. 0 Gondolkodjunk!

11 Rendezd sorba! I. 4 A egy olyan kilencjegyű szám, amelyikben az összes pozitív számjegy szerepel. Hány ilyen kilencjegyű szám készíthető, ha először a páros, aztán a páratlan számjegyeket kell felhasználnod? A négy páros számjegy 4-, az öt páratlan számjegy 0-féleképpen rendezhető sorba. Ez összesen különböző szám. Az iskolai verseny döntőjébe a tíz legjobb sakkozó került. Hányféleképpen alakulhat az arany-, ezüst-, bronzérem kiosztása? Az aranyérmet 0, az ezüstérmet a maradék 9, a bronzérmet a maradék 8 versenyző bármelyike kaphatta. Ez összesen lehetséges éremosztás. 6 Hány különböző ötjegyű számot tudsz előállítani a 0. 4 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával? A nullát nem tehetjük az első helyre, mert akkor négyjegyű számot kapunk. A tízezresek helyére 4, az ezresekére 4, a százasokéra, a tízesekére, az egyesekére számot írhatunk. Ez összesen különböző ötjegyű szám. Gondolkodjunk!

12 I. Kiválasztások Feladatok Hány olyan nyolcjegyű szám van, amelynek számjegyei csökkenő sorrendben követik egymást? A számból kell kihúznunk két számjegyet, így a feltételeknek megfelelő számot kapunk. Elsőként bármelyiket kihúzhatjuk. Ez 0 lehetőség. Másodikra bármelyiket a megmaradt 9-ből. Ez öszszesen eset. Így azonban minden esetet kétszer számoltunk, vagyis 90 : 4 különböző kihúzás lehetséges. Tehát 4 olyan nyolcjegyű szám van, amely megfelel a feltételeknek. Egy nyolcfős társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hány kézfogás történt összesen? Mindenki hét emberrel fogott kezet, így viszont minden kézfogást kétszer számoltunk. Tehát összesen 8$ 7 8 kézfogás történt. Hét pont úgy helyezkedik el a síkon, hogy semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Hány darab szakaszt kell rajzolnod, ha minden lehetséges módon összekötöd őket? Mind a hét pontból hat különböző szakasz rajzolható, így viszont minden szakaszt kétszer számoltunk. Tehát összesen 7$ 6 szakasz rajzolható. 4 Egy fős csoportban mozijegyet kell kiosztani. Egynél több jegyet senki nem kaphat. Hányféle kiosztás lehetséges? Válasszuk ki azt a két főt, akik nem kapnak mozijegyet! Az egyik, a másik a maradék 4 ember közül kerülhet ki, így viszont minden párt kétszer számoltunk. Összesen $ 4 0-féle kiosztás lehetséges. Az iskolai pályázatra öt pályamű érkezett. A három legjobbat díjazzák. A díjakat nem különböztetik meg egymástól. Hányféleképpen történhet a díjazás? Legyen az öt versenyző A, B, C, D és E. A díjazottak lehetnek: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. Vagyis a díjazás 0-féleképpen történhet. Gondolkodjunk!

13 Kiválasztások I. 6 Egy társasjátékhoz hat darab különböző színű bábu tartozik: piros, zöld, fehér, sárga, lila és fekete. Hárman szeretnének játszani, ezért három bábut kell kiválasztani. Hányféleképpen lehet ezt megtenni? Sorold fel az eseteket! A hat szín rövidítve: p, z, f, s, l, (feket)e. Vizsgáljuk a következő két esetet:. eset: Van piros a kiválasztott bábuk közt: pzf, pzs, pzl, pze, pfs, pfl, pfe, psl, pse, ple.. eset: Nincsen köztük piros: zfs, zfl, zfe, zsl, zse, zle, fsl, fse, fle, sle. Mindkét esetben 0 különböző bábuhármast választhattunk, vagyis összesen 0-féleképpen lehet a három bábut kiválasztani. 7 Egy sakkfeladványt öt bábuval lehet kirakni a sakktáblára: három világossal és két sötéttel. Tudjuk, hogy a világos és a sötét királynak is a táblán kell lennie, továbbá nem lehet két azonos világos bábu a táblán. Hányféle kiválasztása lehet a bábuknak egy ilyen feladvány esetén? A lehetséges figurák a király, vezér, bástya, huszár, futó és a gyalog. A királyok a táblán vannak, ezért csak a maradék három bábut kell kiválasztanunk hozzá. A fehérek esetében az öt bábuból tízféleképpen választhatunk kettőt, a fekete király mellé pedig a fekete bábu az ötféle egyike lesz. Ez összesen 0 0-féle kiválasztás. Gondolkodjunk!

14 I. 4 Igazold! Cáfold! Feladatok Döntsd el a tankönyv. példájában szereplő mondatokról és megfordításaikról, hogy igazak vagy hamisak! A hamis állításokat cáfold! a) Ha egy állat ló, akkor négylábú. I A megfordítása: Ha egy állat négylábú, akkor ló. H A róka is négylábú és nem ló. b) Ha egy négyszög rombusz, akkor tengelyesen tükrös. I A megfordítása: Ha egy négyszög tengelyesen tükrös, akkor rombusz. H A deltoidok tengelyesen tükrösek, de nem feltétlenül rombuszok. c) Ha egy szám pozitív egész szám, akkor a reciproka pozitív tört szám. H Az pozitív és egész, de a reciproka nem tört. A megfordítása: Ha egy szám pozitív tört szám, akkor a reciproka pozitív egész szám. H Az, pozitív és tört, de a reciproka nem egész. Fogalmazd meg a következő állítások megfordítását! Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! Az igaz állításokat igazold, a hamisakat cáfold! a) Ha egy négyszög minden oldala egyenlő, akkor az négyzet. b) Ha egy egész szám -re végződik, akkor osztható -tel. c) Ha egy állatnak hat lába van, akkor az rovar. d) Ha egy négyszögnek van szimmetriatengelye, akkor az deltoid. a) Ha egy négyszög négyzet, akkor minden oldala egyenlő. Igaz, mert a négyzet minden oldala egyenlő. b) Ha egy szám -tel osztható, akkor -re végződik. Hamis, mert nullára is végződhet. c) Ha egy állat rovar, akkor hat lába van. Igaz, mert a rovaroknak hat lába van. d) Ha egy négyszög deltoid, akkor van szimmetriatengelye. Igaz, mert minden deltoid tengelyesen szimmetrikus négyszög. 4 Gondolkodjunk!

15 4 Igazold! Cáfold! I. Tudunk mondani olyan igaz állításokat, amelyeknek a megfordítása is igaz. Például: Ha egy pozitív egész szám osztható -tel, akkor az utolsó számjegye 0 vagy. Ha egy pozitív egész szám utolsó számjegye 0 vagy, akkor osztható -tel. Ilyenkor a két mondatot egy igaz állításként is megfogalmazhatjuk: Egy pozitív egész szám akkor és csak akkor osztható -tel, ha utolsó jegye 0 vagy. Fogalmazd meg a következő állítások megfordítását! Ha az eredeti állítás és a megfordítása is igaz, akkor fogalmazd meg őket egy igaz állításként! a) Ha egy négyszög deltoid, akkor a két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. b) Ha egy szám osztható -vel, akkor osztható 4-gyel. c) Ha egy háromszög két oldala egyenlő hosszúságú, akkor tengelyesen szimmetrikus. d) Ha egy szám osztható -tel, akkor osztható -mal és -tel. a) Ha egy négyszög két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú, akkor deltoid. Egy négyszög akkor és csak akkor deltoid, ha két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. b) Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor osztható -vel. c) Ha egy háromszög tengelyesen szimmetrikus, akkor két oldala egyenlő hosszúságú. Egy háromszög két oldala akkor és csak akkor egyenlő hosszúságú, ha tengelyesen szimmetrikus. d) Ha egy szám osztható -mal és -tel is, akkor osztható -tel. Egy szám akkor és csak akkor osztható -tel, ha osztható -mal és -tel is. 4 A Minden négyzet téglalap állítás tagadása: Nem igaz, hogy minden négyzet téglalap. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Van olyan négyzet, amelyik nem téglalap. Az eredeti állítás igaz, a tagadása hamis! A fentiek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Döntsd el, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Minden paralelogramma rombusz. b) Minden bogár rovar. c) Minden kocka téglatest. a) Van olyan paralelogramma, ami nem rombusz. I b) Van olyan bogár, ami nem rovar. H c) Van olyan kocka, ami nem téglatest. H Gondolkodjunk!

16 I. 4 Igazold! Cáfold! A Nincs olyan háromszög, amelyben két tom paszög van állítás tagadása: Nem igaz, hogy nincs olyan háromszög, amelyben két tompaszög van. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Van olyan háromszög, amelyben két tompaszög van. Az eredeti állítás igaz, a tagadása hamis! A fentiek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Dönts, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Nincs olyan háromszög, amelyben két derékszög van. b) Nincs olyan állat, amelyiknek nyolc lába van. c) Nincs olyan test, amelyiknek hat lapja van. a) Van olyan háromszög, amelyben két derékszög van. H b) Van olyan állat, amelyiknek nyolc lába van. I c) Van olyan test, amelyiknek hat lapja van. I 6 Gondolkodjunk!

17 Matematikai játékok I. Feladatok Dóri és Zsombi továbbra is a lecke első játékát játsszák. a) Zsombi kimondta a 7-et. Mit mondjon Dóri, hogy megnyerje a játékot? b) Dóri kimondta a 6-os számot. Hányféle befejezése van innen a játéknak, ha Dóri már nem rontja el, és ő nyeri a játékot? c) Zsombi kimondta a 4-es számot. Hányféle befejezése van innen a játéknak, ha Dóri már nem rontja el, és ő nyeri a játékot? a) Dóri mondjon 0-at, ekkor Zsombi biztosan veszíteni fog a legalább -gyel. b) Zsombi 7-et, 8-at vagy 9-et mond, utána Dóri 0-at, ezután Zsombi kénytelen kimondani a – et, így veszített. c) Dóri 6-ot mond, onnantól pedig az b) rész megoldása szerint zajlik a játék tovább. Hogyan változik a taktikád a lecke első játékában, ha a) az előző számot maximum 4-gyel lehet növelni, és a -et nem szabad túllépni? b) az előző számot maximum 6-tal lehet növelni, és a 0-et nem szabad túllépni? a) A nyerő stratégia a 0,, 0,, 0, kimondása. Tehát a kezdés lehetőségét érdemes átadni a másik félnek. b) A nyerő stratégia a 49, 4,, 8,, 4, 7 kimondása, ezért a kezdés lehetőségét át kell engedni a másik félnek. Gondold tovább a lecke második játékában megkezdett játszmát! Szerinted ki fog nyerni? Válaszodat részletesen indokold meg! Az nyer, aki a jobb szélső kupakot a saját lépéseinél a tetejére fordítja. Gondolkodjunk! 7

18 I. Matematikai játékok 4 A lecke második játékában megismert szabályokkal kell játszanod. Szeretnél kezdeni? Válaszodat indokold, és rajzold le a folytatást a füzetedbe! a) b) c) d) a) Nem szeretnénk kezdeni. Folytatás (F felfordított kupak, R rendesen álló) : RRRFF; RRRRR. b) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RRRFR; RRRRF; RRRRR. c) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RRFFR; RRRRF; RRRRR. d) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RFFFR; RRRRF; RRRRR. 8 Gondolkodjunk!

19 6 Összefoglalás I. Feladatok Írd fe a 0,, 6 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával képezhető összes a) páros számot; b) páratlan számot; c) öttel osztható számot! a) 06, 60, 60 b) 60 c) 60, 60 Válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Hányféle sorrendben helyezheted egymásra az ötödikes matematikakönyved, a munkafüzeted, a hatodikos matematikakönyved és a munkafüzeted? b) Az előző kupac tetejére ráteszed a hetedikes matematikakönyvedet és a munkafüzetedet is. Így hányféle sorrend alakulhat ki összesen? a) A legalsó helyre négy könyv közül választhatok, rá a maradék háromból tehetem az egyiket, majd kettő közül választok, végül a maradék negyediket teszem a tetejére. Ez összesen 4 4-féle sorrend. b) A két tankönyvet kétféleképpen tehetem a kupac tetejére, ez megkétszerezi az eddigi sorrendek számát, vagyis 48-féle sorrend alakulhat ki. Hányféle betűsor készíthető az Á, I, D, K betűk mindegyikének egyszeri felhasználásával? Hány értelmes szó keletkezett így? Az. feladat a) megoldása szerint gondolkozva 4 4-féle betűsor készíthető. Ezek közül az értelmesek: DIÁK, KÁDI. Esetleg még elfogadható: KIÁD (kiad régiesen), ÁDIK (Ádámok becézve), ÁKID (Ákosod becézve), IDÁK. 4 Egy barátságos tornán öt labdarúgócsapat vett részt. a) Hányféle sorrendben végezhettek? b) Hányféle sorrendben végezhettek, ha a két legesélyesebbnek kikiáltott csapat valóban az első két helyet szerezte meg? a) 4 0-féle sorrendben végezhettek. b) Az első két helyezés kétféleképpen alakulhatott, az utolsó három helyezés pedig 6-féleképpen. Tehát a torna végére összesen 6 -féle sorrend alakulhatott ki. Gondolkodjunk! 9

20 I. 6 Összefoglalás Hány darab nél nagyobb -tel osztható szám készíthető az. 7, 9 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával? A szám akkor lesz nagyobb nél, ha az első számjegye mindig a 9-es. Az öttel való oszthatóság miatt pedig az egyesek helyére csak az -ös kerülhet. A középső három helyi értékre a maradék három számjegy tetszőleges sorrendben letehető, így 6 ilyen szám készíthető: 9 7, 9 7, 9 7, 9 7, 97, Az ABCDEFGHIJ tízszög csúcsaiból nyolcat kell választanod. Hány nyolcszöget kaphatsz ilyen módon? Ha az összes lehetséges módon kihúzzuk azt a két csúcsot a betűsorozatból, amit nem választunk a nyolcszög megrajzolásához, akkor megkapjuk a kérdésre a választ. Ezt összesen 0 $ 9 4-féle módon tehetjük meg, vagyis 4 nyolcszöget kaptunk. 7 A 8 fős osztályban egy osztálytitkárt, egy sportfelelőst és egy gazdasági felelőst választanak. Hányféleképpen lehetséges ez? Az osztálytitkárt 8 főből, a sportfelelőst a maradék 7 főből, a gazdasági felelőst a maradék 6 fő közül választja az osztály. Ez összesen féleképpen lehetséges. 8 Fogalmazd meg a következő mondatok megfordításait! Minden esetben dönts, hogy melyik igaz és melyik hamis! a) Ha egy tört számlálója és nevezője is páros szám, akkor a tört egyszerűsíthető. b) Ha egy háromjegyű szám minden számjegye egyenlő, akkor osztható hárommal. c) Ha egy egész szám végződése 7, akkor osztható -tel. d) Ha egy szám osztható néggyel, akkor osztható hússzal. a) Ha egy tört egyszerűsíthető, akkor a számlálója és a nevezője is páros szám. H b) Ha egy háromjegyű szám osztható hárommal, akkor minden számjegye egyenlő. H c) Ha egy szám osztható -tel, akkor a végződése 7. H d) Ha egy szám osztható hússzal, akkor osztható néggyel. I 0 Gondolkodjunk!

21 6 Összefoglalás I. 9 Fogalmazd meg a következő állítások tagadását! a) Minden macska szereti a tejet. b) Nincs olyan macska, amelyik fehér. c) Minden macska tud nyávogni. d) Van olyan macska, amelyik fekete. a) Van olyan macska, amelyik nem szereti a tejet. b) Van olyan macska, amelyik fehér. c) Van olyan macska, amelyik nem tud nyávogni. d) Nincs olyan macska, amelyik fekete. 0 Panni firkálgatott a kockás füzetébe és egy idő után ezt látta maga elött: a) Hányféleképpen olvashatja ki a Gáspár nevet, ha csak jobbra vagy lefelé léphet? b) Hányféleképpen olvashatja ki a Gáspár nevet, ha egymás után legfeljebb kétszer léphet jobbra vagy lefelé? G Á S P Á R Á S P Á R S P Á R P Á R Á R R a) A Gáspár név kiolvasásának módját a következő módon írhatjuk le: L ha Panni lefelé halad, J ha Panni jobbra lép. Minden betű után, tehát összesen alkalommal, dönthet Panni arról, hogy lefelé vagy jobbra halad tovább, ezért a helyes kiolvasások az L és J betűkből álló hosszúságú sorok. Ilyen betűsorból pedig összesen: van, azaz Panni féle módon olvashatja ki az ábrájából a Gáspár nevet. b) Vonjuk ki az összes lehetőségből azokat, melyek nem felelnek meg a feladat feltételének, azaz a, 4 vagy azonos irányú lépést tartalmazókat! Ezek: JJJJJ, LLLLL, JJJJL, JJJLJ, JLJJJ, LJJJJ, LLLLJ, LLLJL, LJLLL, JLLLL, JJJLL, LJJJL, LLJJJ, LLLJJ, JLLLJ, JJLLL, A lehetséges kiolvasások száma tehát Gondolkodjunk!

23 II. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS Bár a második útra Gazsi és Attila kártyáját sorsolta ki a véletlenszám-generátor, az al-hvárizmiről szóló Wikipédia-lapot valamennyi gyerek elolvasta. A két szerencsés időutazó reménykedett, hogy a 800-as évek elejének Perzsiájába való utazás legalább annyira izgalmas lesz, mint az előző páros útja. A két fiú már jó előre beállította a fordító protokollrobotot, így a megérkezés pillanatában még épp elcsípték a következő beszélgetést: Miért rajzolsz magadnak négyzeteket és téglalapokat? kérdezte érdeklődve Rashid. Egyenleteket oldok meg. Nézd csak, ha itt egy téglalapot is rajzolok, akkor épp kiegészítem az egészre válaszolta al-hvárizmi. Rashid nem tágított, mindenképpen megpróbálta kizökkenteni az elmélyülten dolgozó tudóst. Miért használsz hindu jeleket? Én is láttam már néhány helyen, de nem szoktam használni őket. Sokkal kényelmesebb. Ezt ideírom, ezt meg alá, és kész is az összeadás. Gyors vagy. Lehet ezekkel az új jelekkel szorozni is? Persze. Gyere el délután az iskolába, ahol gyerekeknek magyarázok mosolyodott el al-hvárizmi, és visszafordult a rajzaihoz. Láttad? Súgta Attila Gazsinak. Már az új számokat használja. Kicsit hasonlítanak a mi szá mainkra, de sok különbség is van. Úgy tűnik, több mint 000 éve ugyanazokat a dolgokat tanuljuk a suliban somolygott Gazsi, aki már elképzelte, hogyan meséli el a többieknek, hogy már ezer éve is az összeadást és a szorzást kellett gyakorolni az iskolában.

24 II. Az egész számok tulajdonságainak áttekintése Feladatok Mennyi a kiemelt számot helyi értéke, alaki értéke és valódi értéke? a) 604; b) 47; c) 04. A megoldásokat táblázatba foglaltuk. Helyi érték Alaki érték Valódi érték Furavilágban egy év hónapból, egy hónap hétből, egy hét napból áll. Hány napig tart Furavilágban a hétéves katonai szolgálat? év hónap hét nap 4 nap 7 év 7 4 napig tart a szolgálat. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) ( ) ( 4); b) () (4); c) ( ) ( 78); d) ( ) (7); e) ( 8) () (666) 94; f) (48) (48) (4); g) () () (6) (60); h) (7) () (40) (4); i) 0 [(440) (60)]; j) [( 4) ( 74)]. a) ( ) ( 4) – 4 -; b) () (4) 4 7; c) ( ) ( 78) ; d) ( ) (7) ; e) ( 8) () (666) ; f) (48) (48) (4) ; g) () () (6) (60) ; h) (7) () (40) (4) ; i) 0 [(440) (60)] 0 – (440-60) 0 – (-80) 00; j) [( 4) ( 74)] – (-4 74) Racionális számok és hatványozás

25 Az egész számok tulajdonságainak áttekintése II. 4 A műveleti sorrendről tanultak felhasználásával a füzetedben végezd el az alábbi műveleteket! Figyelj a pontos másolásra! a) (68 4) ( 4); b) [( 6) (4)] [(4) ( )]; c) ( 4) ( 6 80). a) (68 4) ( 4) 0 (-4) -840; b) [( 6) (4)] [(4) ( )] (-8) ; c) ( 4) ( 6 80) (-4) Gerzson úgy döntött, március -től sportos életet él és minden nap futni fog. Első nap lefutott kilométert, majd ezt a távot kétnaponta 00 méterrel növelte. a) Hány métert fut majd április 0-én? b) Hány kalóriát égetett el március -én, ha km lefutása alatt 0 kalóriát éget el? a) Mivel a táv naponta 00 méterrel nő, így március. és április 0. között 0-szor 00 méterrel nőtt, tehát Gerzson métert futott le április 0-én. b) Március -én méter, km-t futott, így, 0 kalóriát égetett el. 6 Döntsd el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak! a) Két természetes szám összege természetes szám. b) Két egész szám összege egész szám. c) Ha két egész szám összege természetes szám, akkor mindkét szám természetes szám. d) Ha egy szám kétszerese egész szám, akkor a szám is egész szám. a) Igaz b) Igaz c) Hamis d) Hamis 7 Flóra három legjobb barátnője számára összeállított egy 4 oldalas újságot, amelynek 9 oldalán színes fényképek is vannak. Számold ki, hány forintba kerül négy példány kinyomtatása, ha tudod, hogy egy színes oldalt 8 Ft-ért, egy fekete-fehéret pedig Ft-ért nyomtatnak ki! 4(9 8 ) 880 forintba került. Racionális számok és hatványozás

26 II. Az egész számok tulajdonságainak áttekintése 8 Határozd meg, hogy melyik műveletsor eredménye pozitív, negatív, illetve nulla! a) 47 ; b) 47 – ; c) ; d) 47 – ( ); e) 47 – ( – ); f) 47 ; g) (47 ) ; h) a) 47 pozitív; b) 47 – pozitív; c) nulla; d) 47 – ( ) nulla; e) 47 – ( – ) pozitív; f) 47 pozitív; g) (47 ) pozitív; h) 47 – negatív. 6 Racionális számok és hatványozás

27 A törtek II. Feladatok Válogasd ki az alábbi számhalmazból az egész számokat, a tört alakban írt egész számokat és a törteket! Egész számok: -; 47. Tört alakban írt egész számok: 4 ; ; Törtszámok: 4 ; – 7 ; – 7 ; – ; ;. 6 6 Írj három-három olyan törtet, amelyek értéke megegyezik az alábbi számokkal! a) – ; a) ; b) ; b) 6 9 ; 4 c) ; c) 6 78 ; d) ; d) ; 4 e) – 4 ; e) ; 0 f) ; f) ; 4 g). g) h) 0; h) ; 4 Racionális számok és hatványozás 7

28 II. A törtek Kisebb? Nagyobb? Egyenlő? Dönts el, melyik tört nagyobb! Ha szükséges a füzetedben számolj! a) ; b) ; c) ; d) ; e) 4 ; f) 4 ; g) a) ; b) ; c) ; Negatív számok közül az a nagyobb, amelyiknek abszolút értéke kisebb. d) e) ; 4 ; Alakítsuk át az egész részt törtalakba. f) 4 4 ; g) Keresd meg az egyenlőket! Melyik számnak nincs párja? 7 00,4 0 0, ,,7 4, 0 0, ; 7 7, ; 4 4, ; 7 07, o. A,4-nek nincs párja. 8 Racionális számok és hatványozás

29 A törtek II. Hasonlítsd össze a törtek értékét! Segít a kö zös nevezőre hozás! A füzetben dolgozz! a) 4 4 ; b) ; c) ; d) ; e) Közös nevezőre hozás után a számláló összehasonlításával dönthetjük el a törtek egymáshoz viszonyított nagyságát. a) 4 4 ; ; b) 7 8 ; ; c) 6 4 ; ; d) ; ; e) ; 4. 6 Zoli megette a müzlijének az részét, Dani pedig a saját adagjának a 6 részét. Ki evett többet, ha 8 eredetileg ugyanannyit kaptak? Zoli: részét, Dani: 6 48 részét ette meg, így Zoli evett többet Racionális számok és hatványozás 9

30 II. A törtek 7 Döntsd el, igaz-e vagy hamis? a) Ha két pozitív tört számlálója és nevezője is megegyezik, akkor a két tört értéke megegyezik. b) Két pozitív tört közül az a nagyobb, amelyiknek a számlálója és a nevezője is nagyobb. c) Ha két pozitív tört számlálója megegyezik, akkor az a nagyobb, amelyiknek a nevezője nagyobb. d) Ha két negatív tört nevezője megegyezik, akkor a kisebb számlálójú a nagyobb. e) Két negatív tört közül az a nagyobb, amelyik a számegyenesen közelebb van a nullához. a) Igaz b) Hamis c) Hamis d) Igaz e) Igaz 0 Racionális számok és hatványozás

31 Törtek összeadása, kivonása II. Feladatok Végezd el a műveleteket! Ahol tudsz, egyszerűsíts! a) 7 ; b) ; c) 8-0 ; d) 8-0 ; e) 6 ; f) 8 – ; g) 6 ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) – ; m) ; n) ; p) q) 7 0 u) 4 y) ; r) ; v) 7 4 ; z) ; o) ; s) 4 ; w) ; – 8 ; 9 t) ; x) 0 0 a) 4; b) ; c) ; d) -; e) ; f) ; 77 g) 7 ; 40 h) – ; 8 i) 7 ; 8 j) ; 6 k) ; 0 l) ; 0 m) 4 ; 6 n) ; 8 o) 8 ; p) 4 ; 9 q) 9 ; 0 r) 6 ; 0 s) ; 76 t) ; 4 u) 6 ; 0 v) ; 4 w) 7 ; x) 9 ; 0 y) ; 4 z) ; ; 8 Szofi ezen szomorkodik: Az ismerőseim kétharmada lájkolta a fényképemet, az ötöde csak hozzászólt. Vajon miért nem reagált semmit a maradék 48 ismerősöm? Hány ismerőse van Szofinak? Zsófi ismerőseinek része lájkolta vagy hozzászólt a képeihez, a maradék 48 ismerőse – része az összes ismerősének. Ha a rész 48 ismerős, akkor az rész 4 ismerős, amiből megkapjuk, hogy az ismerőseinek száma összesen: 4 60 fő. Racionális számok és hatványozás

32 II. Törtek összeadása, kivonása Dávid így morfondírozik: Van 600 forintom. Ha a zsebpénzem negyedéből ajándékot veszek nagyinak, a harmadát kölcsönadom a bátyámnak, akkor nem marad 800 forintom arra a pendrive-ra, amit meg akartam venni. a) Számold ki, mennyi pénze marad Dávidnak! b) Minimum hány forintra van szüksége ahhoz, hogy az ajándék, a kölcsön és a pendrive megvásárlása után is maradjon 000 forintja? a) Dávid pénzének negyede 900 Ft, harmada 00 Ft, így a kiadások után Ft-ja marad. b) Dávidnak Ft-ra lenne szüksége. 4 Számold ki A, B, C, D és E értékét! Számításaidat írd a füzetbe! a) b) A A 0 4 B 7 B C D E C D E a) A) – 7 ; B) 9 ; C) 4; D) ; E) b) A) ; B) ; C) ; D) – 9 ; E) 7. 4 Számolj minél egyszerűbben! Végezd el a műveleteket! a) ; b) ; c) ; d) ` 8 j ; 4 8 e) 8 – ; f) ; g) 4-0 ; h) ; i) ; j) Racionális számok és hatványozás

33 Törtek összeadása, kivonása II. a) 7 6 ; b) ; c) 7 4; d) ; 4 4 e) 9 ; f) ; g) 8 ; h) 7 – ; 7 i) 0-9 0; j) Számítsd ki a következő összeget! b f l b f f f l b l b l, 4 4, Racionális számok és hatványozás

34 II. 4 Törtek szorzása, osztása Feladatok Válaszolj a kérdésekre! a) Melyik számnak nincs reciproka? b) Melyik az a szám, amelyik megegyezik a reciprokával? c) Melyek azok a pozitív számok, amelyek reciproka kisebb -nél? a) 0 b) ; – c) Az -nél nagyobb pozitív számok. Számítsd ki a) -nek a részét; $ b) -nak az részét; $ c) 4 -nek az részét; 4 0 $ $ d) -nek a 6 részét; 6 $ e) 8 részének a 8 -szeresét; $ $ 4 4 f) hatodrészének a -szorosát; g) 8 háromnyolcadának a 8 -szorosát! $ $ $ $ Racionális számok és hatványozás

35 4 Törtek szorzása, osztása II. Melyik nagyobb? a) 0 km része vagy 9000 m 6 része? a) 0 km része 9000 m 6 része. b) óra része vagy 44 perc része? 8 b) óra része 8 44 perc része. c) 8 liter 7 része vagy 4 dl része? 8 7 c) 8 liter 7 része 4 dl része. 8 7 d) 0 kg része vagy 4 tonna része? 7 d) 0 kg része 4 tonna része. 7 4 Állítsd növekvő sorrendbe az alábbi törteket! a) 4 ; b) 6 ; c) 8 ; d) ; e) – – ; f) ; g) a) 4 : 4 $ 7 4 b) : : $ c) d) : 4 $ e) 7 f) 0 g) -4 : $ – 4 h) Növekvő sorrend: c) b) e) g) f) h) a) d) ; h) Válaszd ki, melyik műveleteknél lehet egyszerűsíteni a művelet elvégzése előtt! A műveleteket írd le a füzetedbe és végezd el! Ahol lehet, mindenhol egyszerűsíts! a) 6 ; b) $- 4 ; c) $ ; d) – ; 77 e) 4 – `- 7 j; f) $ 6 ; g) 4 : 7 4 `- – j ` j; h) :. 7 9 a) 77 ; 40 b) – 4 ; 7 c) ; 7 d) 4 ; e) 8 ; 0 f) 9 ; 0 g) 8 ; h). 7 Racionális számok és hatványozás

36 II. 4 Törtek szorzása, osztása 6 Egy almáskertben délelőtt eladták egy nagy láda alma részét. Délután a ládában maradt mennyiség részét értékesítették. A délután eladott mennyiség 60 kg volt. a) A teljes láda hányadrészét adták el a délutáni időszakban? b) Mennyi alma volt eredetileg a ládában? $ részét adták el délután. Ha a rész 60 kg, akkor az rész 0 kg, így az egész láda alma súlya 0 0 kg volt. 7 A harmincfős osztály -e Bertára szavazott, amikor meg kellett szervezni a korcsolyázást. Hányan nem szavaztak Bertára? Ha az osztály -e Bertára szavazott, akkor – része nem. Tehát 0 $ fő nem Bertára szavazott. 8 Szofi a 4 perces óra elején nagyon figyelt, de aztán kicsit elfáradt, és az óra -ed részén rajzolgatott. Utána az óra végéig újra figyelt. Hány percig figyelt Szofi az órán? 9 4 $ 0 percig nem figyelt Szofi, tehát 4-0 percig nagyon figyelt. 9 6 Racionális számok és hatványozás

37 Törtek tizedes tört alakja II. Feladatok Melyik szám a nagyobb: a),79 vagy 8o, ; b), vagy o, ; c),8 vagy, 89o ; d),8 vagy 8, oo? a),79 8o, ; b), o, ; c),8, 89o ; d),8 8, oo? Írd fel az alábbi törtek tizedes tört alakját! a) ; b) 0 ; c) ; d) 4 ; e) ; f) ; g) 7 ; h) a),7; b),; c) 08o, ; d) 06o, ; e) 0,; f) 0, 487 o o ; g) 07o, ; h) 0,8. Szofi és Helén a lecke megírása közben talált két egymáshoz közeli racionális számot. Szofi szerint mindig tud olyan racionális számot mondani, ami a kettő között van, Helén viszont úgy gondolja, hogy ez nem lehetséges. Írj két egymáshoz közeli racionális számot, és próbáld ellenőrizni Szofi és Helén állítását! Melyik lánynak van igaza? Válaszodat indokold! Szofi állítása igaz, hisz a bővítés során mindig írhatunk újabb számokat két szám közé. Például: 0,4 0,, ezt bővítve 0,40 0,4 0,4 0,49 0,0. 4 Határozd meg számológép segítségével az alábbi számok tizedes tört alakját: és 6! 9 9 Milyen érdekességet vettél észre? Mi a magyarázata? 4 4, 9 o és 6 7 7, 9 9 o 9 A 9-cel való osztási maradék ismétlődik, így a hányados mindig ugyanaz. Vizsgáld meg a 99 nevezőjű törtek tizedes tört alakját számológéped vagy mobiltelefonod segítségével! Írj a füzetedbe legalább öt példát! Fogalmazd meg tapasztalataidat! : 99 00, o; : 99 00, o o ; 0 : 99 00, oo; : 99 0, oo; 79 : , o o A 9-cel való osztáshoz hasonlóan működik a 99-cel való osztási maradék is. 6 Az előző feladat alapján próbáld felírni a a) 0, 468 o o ; b), o o; c) 66, 6 o o törteket közönséges tört vagy vegyes tört alakban! a) 0, 468 o o 468 ; b), o o ; c) 66, 6 o o Racionális számok és hatványozás 7

38 II. 6 Mûveletek tizedes törtekkel Végezd el az összeadásokat és kivonásokat! a),4,4,4-8,4; b),4,7,4; c),6 -,7; d) 0,0 -,98,74. a),4,4,4-8,4 ; b),4,7,4 7,7; c),6 -,7 0,04; d) 0,0 -,98,74 7,78. Végezd el a szorzásokat! a),,4; b) 0,0 (-,4); c),9,; d),9,; e),9 4,; f) 8,9 9,. a),,4 0,88; b) 0,0 (-,4),44; c),9,,99; d),9, 8,99; e),9 4,,99; f) 8,9 9, 80,99. Végezd el az osztásokat! Legfeljebb két tizedes jegyig számolj! a) 0 :,4; b), :,; c), :,; d) 4, :,8. a) 0 :,4.,8; b), . ; c), . ; d) 4, :,8. 0,. 4 Végezd el a műveleteket! a),7,7-0,984; b),4, :,; c) -,7,7; d),4,4 : 0 -. a),7,7-0,984 7; b),4, :, 0,99; c) -,7,7 0,00076; d),4,4 : , Racionális számok és hatványozás

39 6 Mûveletek tizedes törtekkel II. Egy amerikai autó fogyasztási adatáról azt írja az interneten egy felhasználó, hogy MPG, ahol az MPG a mérföld per gallon rövidítése. Ez azt jelenti, hogy gallon üzemanyaggal mérföldet tud megtenni. gallon.,78 liter, mérföld. 609, m. Az eredményeket kerekítsd két tizedesjegyre! a) mérföldet hány liter üzemanyaggal tud megtenni? b) Hány kilométert tud megtenni gallon üzem anyaggal? c) 00 km-en hány liter üzemanyagot fogyaszt az autó? d) Hogyan kaphatnád meg a c) feladatban kiszámolt fogyasztási adatot a -ből egyetlen művelet segítségével? a) gallon üzemanyaggal, azaz,78 literrel. b) mérföldet, azaz 609, métert. Ez kb.,4 km. c) 00 :,4 gallon üzemanyag kell. Ez kb.,8 gallon, ami,8,78. 0,7 l. d) 00,78,609 00,78. :. 0,7.,609 6 Ha a benzin ára 06-ban,98 USD/gallon volt és USD 9,9 Ft, akkor a) hány forint egy liter benzin az USA-ban? b) az előző feladatban szereplő autóval mennyibe kerül 00 km-t autózni? a) gallon,98 9,9 79,94 Ft-ba kerül. Ebből adódóan liter benzin ára 79,94 :,78, Ft. b) 00 km-en,8 gallon kell, ezért, 79,94,8. 64 Ft-ba kerül. Racionális számok és hatványozás 9

40 II. 7 Szöveges feladatok Feladatok Levente éppen elvégezte az egyetemet, amikor meghallotta a hírt, hogy hatalmas farmot örökölt kocsándi nagybátyjától. Ismerte a terepet, rengeteg szép nyarat töltött ott. Szeme előtt megjelent a kis tó, a kecskék és a frissen fejt tej, a hat ló, melyeken annyira szeretett lovagolni a környékbeli gyerekekkel, s a távoli méhkaptárak a sokat dolgozó méhekkel. Levente három napig gondolkodott, mi tévő legyen. Adja el az egész farmot, vagy hagyjon itt csapot papot, költözzön Kocsándra, és folytassa, amit a nagybátyja elkezdett? Megbeszélte a feleségével, Jankával, és úgy döntöttek, elutaznak Kocsándra. Mikor megérkeztek, egyenesen a szomszédokhoz Bálint bácsihoz és Anna nénihez mentek, akik mindeddig gondját viselték az állatoknak. Leventéék számtalan kérdést tettek fel nekik, hogy lássák, fenn tudnák-e tartani a gazdaságot. Számold ki, a szomszédoktól szerzett információk alapján mennyi bevételre és kiadásra számíthatnak harminc nap alatt! A számolásoknál egy hónapot 0 nappal, illetve 4 héttel számoltunk. Bálint bácsi büszkén mesélte, hogy az összes anyakecske együtt napi 6 liter tejet ad, amit könnyedén el tudnak adni a piacon. Azt is hozzátette, hogy az összes kecskének csak a 8 része ad tejet. a) Hány kecske él a farmon, ha tudjuk, hogy egy kecske napi liter tejet ad? b) Hány forintot kereshetnek Leventéék a tej eladásából naponta, ha liter kecsketej ára 480 Ft, de a bevétel részét ki kell fizetniük a piacon helypénzre? c) Egy kecske napi takarmányozása 90 Ft. Számold ki, hányad része a kecskék napi takarmányozása a kecsketejből származó napi bevételnek! a) 6 : 6 kecske. Ez a 6 kecske az összes kecske 8 része. (6 : 8) kecske él a farmon. b) 6 $ 480 $ forint a napi bevétel. c) kecske napi takarmányozása Ft, a napi bevétel Ft. A takarmányozás a bevétel része, körülbelül a 8%-a Racionális számok és hatványozás

41 7 Szöveges feladatok II. A hat ló békésen legelészett a karámban. A lovász már készítette a nyergeket a délutáni lovagláshoz. A futószáras oktatás 000 Ft, az osztályban lovaglás 000 Ft, a tereplovaglás pedig 6000 Ft minden felnőttnek. A gyerekek ennek csak a 4 részét fizetik. a) Mennyi heti bevételre számíthat Levente és Janka, ha tizenkét gyerek jár hozzájuk lovagolni, hetente kétszer? A gyerekek harmada futószáron, a többiek már osztályban lovagolnak. b) Tereplovaglásra minden szombat délelőtt 4 felnőtt jár. Mennyi lesz az ebből származó havi bevétel? c) Egy ló napi takarmányozásához 8 kg széna és feleennyi abrak kell. A 400 kg-os szénabála 6000 Ft, egy mázsa abrak pedig ennek a részébe kerül. Számold ki, hány forintot kell költeniük a lovak takarmányozására havonta! Egy táblázatban foglaltuk össze a lovaglás bevételeit: Felnőtt Gyerek Futószár 000 Ft 600 Ft Osztály 000 Ft 400 Ft Terep 6000 Ft 4800 Ft a) A gyerekből 4 futószáron, 8 pedig osztályban lovagol. Az ebből származó heti bevétel: Ft. b) A tereplovaglás havi bevétele: Ft. c) Az adatokból kiszámolható, hogy 8 kg széna 0 Ft, 4 kg abrak 0 Ft, így ló napi takarmányozása: forintba kerül. 6 ló havi takarmányozása Ft. Hálás állatok a méhek dicsérte őket Bálint bácsi. Egy kaptár átlagosan évi 70 kg mézet termel. A méz ötöde hársméz, része repceméz, része akácméz és a maradék virágméz. 4 a) Mennyi mézet gyűjthetnek az egyes fajtákból egy év alatt, ha a farmon három kaptár van? b) Hány forint bevételük van a mézből évente, ha a piacon kg repcemézért 600 Ft-ot, a virágmézért ennek a 8 9 -szorosát, a hárs mézért az 4 -szeresét és az akácmézért a -szeresét kapják? a) kaptár átlagosan évi 0 kg mézet termel. Ebből 4 kg hárs-, 8 kg repce-, 7 kg akác- és 7 kg virágméz. b) A repceméz 600 Ft, a virágméz 800 Ft, a hársméz 000 Ft és az akácméz 400 Ft, így az ezekből származó bevétel: Ft. Racionális számok és hatványozás 4

42 II. 7 Szöveges feladatok 4 Anna néni büszkén mutatta meg nekik a baromfiudvart. Közben összeszedte a tojásokat is, aminek darabját Ft-ért lehet eladni a piacon. Arra is figyelmeztette őket, hogy minden este zárják be a tyúkokat, nehogy a környéken garázdálkodó róka elvigyen közülük párat. a) A baromfiudvar lakóinak 4 része tojó tyúk, része jérce és kakas is van. Hányan laknak a 6 7 baromfiudvarban? b) Egy tyúk heti hat tojást tojik. Mennyi bevétel származhat a tojások eladásából, ha a bevétel részét ki kell fizetni a piacon helypénzre? a) A baromfiudvar lakóinak 4 40 része tojó tyúk vagy jérce. A kakas tehát a baromfiállomány része, amiből már leolvasható, hogy 4 lakója van a baromfiudvarnak. 4 b) 8 tojó tyúk van. A tojásokból származó heti bevétel: 8 $ 6$ $ 90 Ft. Egy baromfi napi takarmányszükséglete dkg, de a jérce ennek csak a részét fogyasztja. A vegyes takarmány része kukorica, 7 része búza, része árpa, része zab, része napraforgó és a maradék korpa. a) Számold ki, melyik összetevőből hány dkg-ot tartalmaz kg vegyes takarmány! b) Hány forintot kell havonta a baromfik etetésére költeniük, ha kg vegyes takarmány 6 forintba kerül? a) kg vegyes takarmány összetevői: Kukorica Búza Árpa Zab Napraforgó Korpa 8 dkg 7 dkg 0 dkg 0 dkg dkg 0 dkg b) A jérce, 8 tyúk és kakas havi etetésének díja: $ $ $ 0 $ 8 $ 0 $ $ dkg, ami 6, Ft. 6 A farmra kéthavonta kijár az állatorvos, aki a család régi ismerőse, így a vizitdíj -át nem számolja 6 fel. Hány forintot kell erre havonta átlagosan félretenni, ha egy látogatásért hivatalosan forintot kér el? Az állatorvos díja: $ $ Ft havonta. 6 4 Racionális számok és hatványozás

43 7 Szöveges feladatok II. 7 Készíts összesítő táblázatot a bevételekből és a kiadásokból! a) Mennyi a havi bevétel? b) Mennyi a havi kiadás, ha a víz-, áram-, és gázszámlára, illetve az egyéb kiadásokra havi forintot számolhatnak átlagosan? c) Mit gondolsz, fenn tudják-e tartani a gazda ságot? A havi fix bevételeket és kiadásokat táblázatba foglaltuk: Kecskék Lovak Méhek Baromfi Orvos Rezsi Bevétel Kiadás Nyereség Összeadva a különböző forrásokból származó nyereségeket megkapjuk, hogy 87 9 Ft nyereségre tehetnek szert Leventéék, ha minden munkát egyedül végeznek. Ez szinte lehetetlen, hisz rengeteg állatról kell gondoskodniuk, így fogadniuk kell pár embert, aki elvégzi helyettük a munka egy részét, így a bevételből még az ő munkabérüket is le kell vonni. Racionális számok és hatványozás 4

44 II. 8 Zárójelfelbontások, összetett mûveletek Feladatok Melyik az a szám, amelyik a) 4 és 7 összegénél 4 9 -del több? b) 6 -dal több, mint 4 és 4 különbsége? c) 7 -szerese a 8 7 és az 6 összegének? d) a 4 és a 0 hányadosánál 6 7 -dal kisebb? e) és összegének a fele? f) 0 és különbségének a 9 szorosa? a) 9 9 c 4 7 m b) c – 4 m 6 60 c) 7 4 c $ 8 6 m d) : e) : 4 0 c : : 7 7 m f) d n$ d n$ 0 Hasonlítsd össze a két kifejezést, és tedd ki a megfelelő relációs jelet a füzetedben (; )! a) -, – ` 7 j -, ; b) -, – -, 7 7 ` – 7 j; c), – ` 7 j, ; d), -, 7 7 ` – 7 j. a) -, ` – 7 j -, ; b) -, – -, 7 7 ` – 7 j; c), ` – 7 j, ; d), -, 7 7 ` – 7 j. Válaszd ki a helyes zárójelfelbontást, majd végezd el a műveleteket! a) 4, – 6 ` 7 j 4, – 6 vagy 4, ; 7 7 b), 9-6 ` -40, j, , vagy, , ; c) $ 7, 08 4 ` – -6, 0 j $ 7, , vagy $ 7, , ; 0 0 d) -4$ 7 ` -, 8 j -4$ 7-4$, vagy – 4$ 7 4$, ; 8 8 e) c- m$ c – – m c 0 m – $ 7 – $ 6 – vagy – $ 7 $ Racionális számok és hatványozás

45 8 Zárójelfelbontások, összetett mûveletek II. a) 4, – 6 4, 6 67 ` 7 j – – ; 7 b), , 9, 6 ` , 9, – 0, 4 4, 0 9, 7 j ; c) $ 7, , 7, ` – – $ – – 6, 76, 0 j ; 0 d) – 4$ 7, 4 7 ` – – $ 4$,, 8 j ; 8 e) c- m$ c – m c- 0 m – $ 7 $ Hozd egyszerűbb alakra a következő emeletes törteket! 7 7 a) ; b) ; c) 4 – -, ; d) , 6 e) ; f) c -, m $ ^-6h; g) ; h), a) 7 $ 4 7 ; b) 7 $ ; , – 6 c) 4 – : 8 : 8 8 ` 4 j ; d) , e) ; f) b -,, l $ ]- 6g 7 $ ]- 6g -64, ; g) b- 0 l $ ; , h) Racionális számok és hatványozás 4

46 II. 8 Zárójelfelbontások, összetett mûveletek Hogyan szeretnéd inkább kiszámolni? Válassz az A és a B lehetőség között! Végezd is el a számolást! a) A: $ – $, B: c – $ m ; b) A: b – 9 l $ 7, B: $ 7-9 $ 7; c) A: ^04 98 (-0) h : 9, B: 04 : 9 98 : 9 (- 0): 9; d) A: $ 7-6 $ 7, B: b – 6 l $ a) A: $ – $ 7 $ – $ 87-66, B: c – $ $ m ; b) A: c – 9 m $ 7 6 $ 7 4, B: $ 7-9 $ ; 8 8 c) A: _ (- 0) i : : 9 000, B: 04 : 9 98 : 9 (- 0): ; d) A: $ 7-6 $ 7 4 $ 7-6 $ , B: c – 6 m$ 7 c 4-6 m $ 7 – $ Mit szeretnél kapni inkább? A: Heti 00 Ft 4 héten keresztül, és aztán az összegyűlt pénz duplája? B: Az első héten 00 Ft és aztán minden héten az előző duplája? Első lehetőség: A: (4 00) 400 Ft B lehetőség: Ft A második lehetőség kedvezőbb. 46 Racionális számok és hatványozás

47 8 Zárójelfelbontások, összetett mûveletek II. 7 Számítsd ki az eredményt! a) ; b) ; c) ; d) b – l b – l b – l b – l b – l Adjuk össze mindig az első két törtet, és figyeljünk meg összefüggést. a) b) Zárójelezzünk párosával! c – m c – m c – m c – m c – m c) Zárójelezzünk kettesével c – m c – m c – m c – m c – m d) Bontsuk fel a zárójeleket! c – m c – m c – m c – m c – m Racionális számok és hatványozás 47

48 II. 9 Nagy számok és a hatványalak Feladatok Írd fel szorzat alakban a hatványokat, és számítsd ki a hatványértékét! a) 4 8 ( ) 4 4 ( 6) ; b) c m c 4 m 7 4 c- m – c 8 m. a) 4 8 b) c m $ $ $ $ c m $ $ $ 8 (-) 4 (-) (-) (-) (-) 6 7 7$ 7$ c- (-6) m c- m$ c- m$ c- $ $ m c- – – m c m (-6) (-6) (-6) -6 – c 8 m – c $ m 64 Írd rövidebb alakba a következő szorza tokat! a) ; b) ; c) 6 6 ; d) (-) (-). a) ; b) 4 ; c) ; d) (-) (-) (-) 4. Melyik hatványok egyenlők egymással? a) 9 ; b) – ; c) (-) 6 ; d) (-) ; e) 0. Az a), c) és e) értéke, ezért egyenlők. A b) értéke – – ^$ $ h -. A d) értéke ^- h ^-h$ ^-h$ ^-h$ ^-h$ ^- h -, ezért a b) és a d) is egyenlő. 4 Írd fel az alábbi hatványokat szorzatalakban, majd csoportosítsd őket aszerint, hogy pozitívak vagy negatívak! a) 4 ; b) – ; c) (-) ; d) (-) 6 ; e) Pozitív: a) 4 ; d) (-) 6 (-) (-) (-) (-) (-) (-); Negatív: b) – -( ); c) (-) (-) (-) (-) (-) (-); e) ( ) Racionális számok és hatványozás

49 9 Nagy számok és a hatványalak II. Ha egy vírus egy olyan számítógépet fertőz meg, amelyiknek internet-összeköttetése is van, akkor fél óra alatt három további számítógépre küldi át a vírust. A vírusos gépek fél óra múlva ismét három-három gépet fertőznek meg. a) Hány gép fertőződik meg egyetlen délelőtt folyamán (8.00-tól.00-ig)? b) Hány gép fertőződik meg reggel 8-tól este 8-ig? Próbáld meg kiszámolni a számológépeddel! Olvasd ki a kapott számot! c) Hány jegyű ez a szám? A Föld összlakosságánál kisebb vagy nagyobb számot kaptál? a) A nyolc félóra alatt összesen 9840 gép fertőződik meg. b) Ezen időszak alatt 4 félóra telik el, tehát 4 -ig sorban össze kell adni hatványait. Sajnos a számológép a teljes számot nem írja ki, de nemsokára megtanuljuk, hogy hogyan kell ezt kiolvasni. Ha viszont a számítógépen megkeresed a számológép alkalmazást, és ezen adod össze a számokat, akkor a kapott eredmény: A szám kiolvasva: Négyszázhuszonhárommilliárd-hatszáznegyvennégymilló-háromszáznégyezer-hétszázhúsz c) A szám tizenkét jegyű, és sokkal nagyobb, mint a Föld összlakossága, amely kb. hét és fél milliárd. 6 A kisballagi tavon megtelepedett a zöld al ga. Megfigyelték, hogy az algával borított terület nagysága minden nap megkétszereződik. Október -ére éppen teljesen beborította a zöld alga a teljes tavat. a) Hányadikán borította be a kisballagi tó felszínének felét a zöld alga? b) Hányadikán borította be a kisballagi tó felszínének negyedét a zöld alga? c) Hányadikán borította be a kisballagi tó felszínének kevesebb mint ezredrészét a zöld alga? a) Egy nappal korábban, azaz október 4-én. b) Október -e előtt két nappal, azaz október -án. c) 0 nappal korábban, mert visszafelé gondolkodva mindennap feleződik az előző napi algamennyiség. Így olyan hatványát keressük, aminek értéke legalább , így 0 nappal korábban kevesebb, mint ezredrésze volt algás a tónak. 7 A kettő hatványai fontos szerepet játszanak az informatikában. Nézz utána, hogy byte hány bit, és hogy kilobyte hány byte! byte 8 bit ( ) bit kilobyte 04 byte ( 0 ) byte Racionális számok és hatványozás 49

50 II. 0 A hatványozás azonosságai I. Feladatok Számítsd ki az alábbi műveletek eredményét! a) $ ; b) 4 6 $ $ ; c) 0 $ 0 ; d) 0, $ 0, $ 0 ; e) ^-h $ ^-h ; 4 f) : 4 4 ; g) ^7 $ 7 h : 7; h) ; i) $ 7 8 ; j) ^ : h $. 4 a) $ ; b) $ $ 6; c) 0 $ ; d) 0, $ 0, $ 0 0, $ 0 0; 4 e) ^-h $ ^- h ^- h -; f) : 9; 4 g) 7 7 : ^ $ h 7 40; h) 7 ; 4 9 i) $ ; j) ^ : h $ Írd egyszerűbb alakba a következő szorzatokat! a) $ ; b) $ $ ; c) a) $ ; b) $ $ ; c) 4 b $ l b l. b l $ b 4 9 l b l. Írd növekvő sorrendbe! 4 4 a) ^- h$ ^- h; b) ^-h $ ^- h; c) $ ^-h; d) 4 b $ l b l ; e) 4 ; f) $ 4 7 Növekvő sorrend: 4 ^-h $ ^- h 4$ ^- 6h -64 $ ^- h -8 a k $ a k ^- h$ ^- h 4 4 $ Írd le az alábbi műveleteket, és pótold a hiányzó részeket! 4 6 a) $ d $ ; b) 4 6 d $ $ $ $ ; 4 6 c) – $ – d 4 8 ` j ` j $ ; d) $ d $ ; e) $ $ d. 4 0 Racionális számok és hatványozás

51 0 A hatványozás azonosságai I. II a) $ $ ; b) $ $ $ $ ; c) `- j $ `- j $ ; d) $ $ ; e) $ $. 6 Melyik nagyobb: a) 7 $ `7 $ 7j vagy 49 $ 7 ; b) – $ `-j vagy `-j $? a) Mindkét oldalt át kell alakítani Bal oldal: $ ` $ j $ ` j 7 $ Jobb oldal: $ ` j $ 7 7 $ Így tehát: 7 $ `7 $ 7j 49 $ 7 b) A bal oldali negatív szám, a jobb oldali pedig pozitív, ezért: $ `-j `-j $ 6 Végezd el a lehetséges szorzásokat, osztásokat! A végeredményt hatványalakban add meg! a) $ $ ; b) $ $ $ $ ; 49 7 $ c) 7 $ $ $ 7 $ ; d) $ $ $ $. 7 4 $ $ $ a) $ $ ; b) $ $ $ $ $ ; $ c) 7 $ $ $ 7 $ $ 7 ; d) $ $ $ $ $ 9 $. $ $ $ $ Racionális számok és hatványozás

52 II. A hatványozás azonosságai II. Feladatok Számítsd ki az alábbi hatványok értékét! 4 a) $ 6 ; b) $ ; c) 0 4 ; d) $ $ $ $. a) $ 6 `$ 6j 44; b) $ `$ j 6 6; 4 c) b l ; d) $ $ $ $ $ $ 80 4 b $ l. Írd fel egyetlen szám hatványaként! a) 4 4 ; b) 7 ; c) 8 8 ; d) ; e) 6 6 ; f) ( ) ( ). a) ; b) 7 ; c) ; d) 0 ; e) ; f) ( ) ( ) 6. Írd fel egy tört (vagy egy egész szám) hatványaként az alábbi hányadosokat! a) 4 ; b) 6 ; c) 7 0 ; d) a) 4 b l ; b) 6 b l ; c) b 7 l ; d) b l 7. 4 Döntsd el, melyik egyenlőség igaz! a) $ ; b) $ ; c) 6 $ 4 4 ; d) 4 $ a) $, hamis, mert $ b) $, hamis, mert a jobb oldal átalakítása után látható, hogy `$ j $, ami nem egyenlő a bal oldallal c) 6 $ 4 4, igaz. 0 0 d) 4 $ 4 6 hamis, mert a bal oldal átalakítása után 4 $ 4 4 vagy 4 $ 4 6. Racionális számok és hatványozás

53 A hatványozás azonosságai II. II. Írd fel prímszámok hatványainak szorza taként! a) 7 $ 4 ; b) $ 8 ; c) $ 6 ; d) 6 $ $ 8 $ $ 4 a) $ ` $ j $ ` $ j $ $ $ $ ; b) $ 8 `$ j $ ` $ 7j $ $ $ 7 $ 7 $ ; c) $ $ ` $ j 4 4 $ 4 ; d) 6 $ 00 $ $ $ 9. 4 $ ` $ j $ $ $ $ 8 $ $ 6 Írd fel a számokat növekvő sorrendben! 0 ; b l ; 4 b 4 l ; b 4 l ; ; 4 $. Átalakítás után írjuk a legegyszerűbb hatványalakba! ; 7 b l ; b 4 l ; b 7 4 l ; 7, ; 4 $ Növekvő sorrend: 4 0 c 4 m c $ m c 4 m 7 A tanult azonosságok alkalmazásával írd egyszerűbb alakba! Segítség: Először írd le a számokat prímszámok hatványának szorzataként, majd utána alkalmazd a hatványozás tanult azonosságait! b a) 6 $ $ e 8 7 o ; b) 9 $ 0 $ 4 l d n ; c) ; d). $ ` j $ $ 4 4 $ b l $ b 8 l a) 6 $ $ $ $ $ $ $ e 8 7 o e o e o e 4 0 o ; 60 $ 4 $ $ $ $ $ $ b) c) $ $ ` j $ ` $ j $ ` j $ $ $ 4 6 ; 4 ` j $ $ $ $ ` $ j $ $ b l d n ; d) $ $ $ $ 6 b 4 9 l $ 8 b l $ $. Racionális számok és hatványozás

54 II. A hatványozás azonosságai II. 8 Számolj fejben! a) Meddig tudod felsorolni a hatványait? ; ; 4; b) Meddig tudod felsorolni a hatványait? ; ; 9; c) Meddig tudod felsorolni az 4 hatványait? ; 4; 6; d) Meddig tudod felsorolni az hatványait? ; ; ; e) Meddig tudod felsorolni az 6 hatványait? ; 6; 6; f) Meddig tudod felsorolni a négyzetszámokat? ; 4; 9; g) Meddig tudod felsorolni a köbszámokat? ; 8; 7; Saját megoldás. 4 Racionális számok és hatványozás

55 Normálalak II. Feladatok Írd át normálalakba a számokat! a) ; b) 00 milliárd; c) 8 000; d) 40; e) 6 000; f) hatszázhuszonötezer; g) ; h) 4 millió ezer; i) 47,; j) 97,4; k) 0 00; l) a) ; b) 00 milliárd, 0 ; c) 8 000,8 0 4 ; d) 40,4 0 ; e) 6 000,6 0 ; f) hatszázhuszonötezer 6, 0 ; g) ,87 0 ; h) 4 millió ezer 4,0 0 7 ; i) 47, 4,7 0 ; j) 97,4 9,74 0 ; k) 0 00, ; l) , Írd át a normálalakban megadott számokat helyiértékes alakba! a) 4, 0 6 ; b),4 0 4 ; c) 9,06 0 ; d) 7, ; e) 0 ; f) 7, a) 4, ; b), ; c) 9, ,6; d) 7, ; e) 0 000; f) 7, Írd fel az alábbi számokat normálalakban! a) ; b) ; c) ; d) 0, ; e) 0,0 0 6 ; f) 0, ; g) 0 0 ; h) 0, ; i),96 0 ; j) 0, 0 4 ; k) 0,049 0 ; l) 0, a) 7 0 7,7 0 9 ; b) 6 0 4,6 0 7 ; c) , ; d) 0, ,7 0 ; e) 0, ; f) 0, ,4 0 6 ; g) ; h) 0, ; i),96 0,96 0 ; j) 0, 0 4, 0 ; k) 0,049 0,49 0 ; l) 0, , Racionális számok és hatványozás

56 II. Normálalak 4 Vizsgáld meg, hogyan tudsz nagy számokat tartalmazó műveleteket elvégezni a mobilodon! Saját megoldás. Végezd el a műveleteket, és add meg a végeredményt normálalakban! Az eredmény ellen őrzéséhez használj számológépet vagy mobilt! a) (, 0 4 ) 4000; b) (,6 0 8 ) ( 0 ); c) (,4 0 0 ) (, 0 ); d) (7, 0 8 ) : (,8 0 ); e) (, ) : ; f) (8,4 0 6 ) (, 0 6 ). a) (, 0 4 ) 4000,4 0 8 ; b) (,6 0 8 ) ( 0 ) ; c) (,4 0 0 ) (, 0 ),6 0 ; d) (7, 0 8 ) : (,8 0 ) 4 0 ; e) (, ) : , 0 ; f) (8,4 0 6 ) (, 0 6 ), A Nap Föld távolságának hányszorosa a 67P üstökös Föld távolsága? A lecke elején szerepel, hogy a rádiójelek kb. 8 perc alatt érnek le a Földre. Ebből kiszámíthatjuk az üstökös és a Föld távolságát. perc alatt: 60 $ , $ 0 0 m perc alatt: 8 $ 8, $ 0 04, $ 0 m, 04 $ 0 km. A Nap és a Föld távolsága közelítőleg km. 8 Így tehát az üstökös Föld távolsága 04, $ 0 : , -szorosa a Nap Föld távolságnak. 6 Racionális számok és hatványozás

57 Összefoglalás II. Feladatok Mennyi a kiemelt számok helyi értéke, alaki értéke és valódi értéke? a) 0784; b) 80,; c) 446, , 80, 446,0 446,0 Kiemelt szám Helyi érték Alaki érték Valódi érték , , , ,0 Helyezd át a zárójeleket úgy, hogy könnyebb legyen a számolás, majd végezd el az összeadásokat! a) (86 97) 08; b) ( ) ( ); c) 84 ( ) ( ) 848; d) ( ) (60 77) 7. a) ( 86) (97 08) 9000; b) (4 47) (049 9) (44 446) 000; c) (84 66) (4848 ) ( 848) 000; d) (04 986) (840 60) (77 7) Melyik eredmény melyik műveletsorhoz tartozik? Először becsülj, aztán tippelj, végül számold ki az eredményeket! a) ; 8 b) 4 (879 8); c) ; 946 d) 4 – (879 8); e) ; 40 f) (4 879) – 8; g) 4 – (879-8) : d); e) 946: c); g) 40: f) 704: a); b) Racionális számok és hatványozás 7

58 II. Összefoglalás 4 Döntsd el, melyik szám nagyobb! Válaszodat indokold! a) 8 4 ; b) 8 7 ; c) – 9 a) 4 ; b) ; c) Végezd el az alábbi műveleteket! a) ( 7 ) : ( ); b) ( ) : ( ); c) ( 8) ( ); d) 7 0 ( 4); e) ( 7) ( 6) ( ); f) ( 9) 8 ( ) : ( ); g) 6 : ( 4) 8. a) ( 7 ) : ( ) 6; b) ( ) : ( ) -8,4; c) ( 8) ( ) ; d) 7 0 ( 4) -87; e) ( 7) ( 6) ( ) -; f) ( 9) 8 ( ) : ( ) -6; g) 6 : ( 4) 8. – ; d) ; d) ; e) 8 – ; e) 8 6 Melyik műveletsor eredményének abszolút értéke kisebb, mint 0? a) ( 9) ( 7) ( ) : 8; b) 4 ( 49) : 7 ( 4) (6); c) 4 ( 7) () ( ) ( 4) : (4); d) 8 : ( 6) ( ) ( 44) : () ; e) 49 ( 49) : ( 7) ( 6) ( 9) ( ). a) ( 9) ( 7) ( ) : 8 7 Abszolút értéke 7. b) 4 ( 49) : 7 ( 4) (6) – Abszolút értéke. c) 4 ( 7) () ( ) ( 4) : (4) 40 Abszolút értéke 40. d) 8 : ( 6) ( ) ( 44) : () -7 Abszolút értéke 7. e) 49 ( 49) : ( 7) ( 6) ( 9) ( ) -9 Abszolút értéke 9. Az a), b), d) és az e) műveletsorok eredményének abszolút értéke kisebb, mint 0. 4-, , Racionális számok és hatványozás

59 Összefoglalás II. 7 Végezd el a műveleteket! Vannak-e közöttük olyanok, amelyeknek egyenlő az eredménye? a) b – l; b) ; c) ; d) b- – l; e) b l; f) ; g) ; h) b – l. a) b – l ; b) ; c) ; d) b- – l ; e) b l ; f) ; g) ; h) b – l. 8 Állítsd növekvő sorrendbe az alábbi műveletek eredményeit! a) 7-7 ; b) b 0 l; c) b 8 l; d) b- – 0 l ; e) b- 4 l. 6 a) ; b) b- 0 l ; c) b- 8 l ; d) 40 b- 0 l ; e) 6 b- 4 l Növekvő sorrend: d e a c b Racionális számok és hatványozás 9

60 II. Összefoglalás 9 Töröljünk az 040 számból öt számjegyet úgy, hogy a megmaradó ötjegyű szám a lehető legkisebb legyen! Mennyi a letörölt számjegyek összege? 040 így 0 0-t kaptunk. A törölt számjegyek összege: 6. 0 A feladatban szereplő minden nagybetű értéke egy-egy szám. A PIZZA szó értéke az őt alkotó betűk értékeinek összege. Mennyit érnek az alábbi betűk, és mennyi a PIZZA szó értéke? a) A – 7 $ 9 $ ; b) I $ 4 ; 9 c) Z -nek a része; d) P ^-4h-^-h – 4. a) A – 7 $ 9 $ 6; b) I $ 4 ; 9 c) Z -nek a része: $ ; d) P _-4i-_-i A pizza szó értéke Négy számot adunk meg, ezek a ; A; ; és a B. Tudjuk, hogy az A felezi a ; végpontú szakaszt, a pedig felezi az AB szakaszt. a) Mekkora A? b) Mekkora B? c) Milyen hosszú az AB szakasz? d) Melyik szakasz hossza egyezik meg az AB szakasz hosszával? Miért? a) Az A értéke: A b l: : 6 b) A B értéke: B 6 b l c) Az AB szakasz hossza d) Az AB szakasz hossza egyenlő a ; számok távolságával, mert a megadott illetve meghatározott számok egyenlő távolságra vannak a szomszédjaitól. 60 Racionális számok és hatványozás

61 Összefoglalás II. Egy osztály 0 tanulójának 0%-a kék szemű és része szőke. Tudjuk, hogy a kék szemű tanulók része szőke. a) Hány kék szemű tanulója van az osztálynak? b) Mennyi a szőkék száma? c) Hány szőke és kék szemű jár az osztályba? d) Hány olyan tanulója van az osztálynak, aki se nem szőke, se nem kék szemű? a) 0-nak 0%-a 0 0, 9 tanuló kékszemű. b) A szőkék száma 0 $ tanuló. c) A szőke kékszemű tanulók száma: 9 $ 6 tanuló. d) Szőke, de nem kékszemű – 6 6, kékszemű, de nem szőke 9-6 tanuló, ezért 6 6 tanuló kékszemű vagy szőke. A 0 fős osztályból 0 – se nem kékszemű se nem szőke. A gimnáziumba járó Hanna tagja a kerület énekkari Facebook csoportjának. Az itteni ismerőseinek 7%-a egykori vagy jelenlegi iskolatársa, akiknek felével egy időben járt általános iskolába, 60%-ával pedig gimnáziumba. 7 olyan ismerőse van, akivel egy időben járt általános iskolába, de középiskolába már nem. a) Összesen hány ismerőse van Hannának a Facebook csoportban? b) Hány olyan ismerőse van, akivel az általános iskolába is egy időben járt, és jelenleg is iskolatársa? a) 7% az rész. Ha az iskolatársainak fele, azaz 0%-a általános, illetve 60%-a középiskolai, akkor 4 0% közös, tehát 40% csak általános iskolai, 0% csak középiskolai és 0% mindkettő. Tehát $ 4 rész az 7 gyerek, tehát rész 4 gyerek Azaz 40 gyerek van a Facebook csoportban. b) Az a) részben elmondottak szerint ez a -nek az része, azaz 40 $ $ 8 gyerek iskolatársa most is. Racionális számok és hatványozás 6

62 II. Összefoglalás 4 Írd fel az alábbi szorzatokat hat vány alakban! a) ; b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); c) d) ; e) ; f) (-) (-) (-) (-); g) $ $ $ $ $ $. a) 8 ; b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-) ; c) b l d) ; e) ; f) (-) (-) (-) (-) (-) 4 ; g) $ $ $ $ $ $ b l 7. Az tizedes tört alakja 0, f 0, o. Mely közönséges tört tizedes tört alakját írtuk fel? a) 0, 0f 00, o ; b) 0, 666f 06, o ; c) 0, 666f 06, o ; d), 666f 6, o ; e) 0, f 0, o ; f), f, o. a) 0, 0f 0, : ; b) 0, 666f $ 0, f $ ; c) 0, 666f – 0, ; d), 666f 0666, f ; 6 6 e) 0, f 0, f: ; f), f $ 0, f Racionális számok és hatványozás

63 Összefoglalás II. 6 a) Tudjuk, hogy a. Mi lehet a? b) Tudjuk, hogy a. Mi lehet a? c) Tudjuk, hogy b 0. Mi lehet b? d) Tudjuk, hogy 0 b 0. Mi lehet b? a) a 0 b) a c) b 0 d) b tetszőleges pozitív egész szám lehet. 7 Számítsd ki az alábbi műveletek eredményét! a) 4 ; b) 9 0 ; c) 8 0 ; d). a) ; b) 9 0 ( ) ; c) 8 0 0; d) a) a 9. Mennyi a értéke? b) b 7. Mennyi b értéke? c) c. Mennyi c értéke? d) d. Mennyi d értéke? a) a b) b c) c d) d 9 Másold le az alábbi számokat a füzetedbe, és írd át normálalakba! a) 000; b) 96; c) 4,78; d) 00,; e) a) 000, 0 ; b) 96,96 0 ; c) 4,78,478 0 ; d) 00,,00 0 ; e) , Racionális számok és hatványozás 6

64 II. Összefoglalás 0 Végezd el a normálalakban megadott számokkal kijelölt műveleteket! Az eredményt add meg normálalakban! a), ; b) 6, 0 9,4 0 ; c) : (, 0 ); d) 8,4 0 8 : (7 0 ). a), , 0 6 ; b) 6, 0 9,4 0 6, 0 7 6, 0 8 ; c) : (, 0 ) ; d) 8,4 0 8 : (7 0 ), 0. Melyik nagyobb: 4 a) $ vagy 0 ; b) 4 9 a) $ 0 ; 4 8 b) $ 4 0 ` j? $ ` j 4 8 vagy? Végezd el az alábbi műveleteket, és az eredményeket add meg normálalakban! a) `4 000 $ 000j 4 ; b) ` $ 0 000j ; c) `600 $ 000 : 400 j 4 ; 4 d) b`, $ 0 j : `, $ 0 6 jl ; e) `40 $ j a) , ` $ j ` $ $ $ j 4, $ 0 $ $ 0, $ 0 ; 8 b) , 0 04, ` $ j ` $ $ $ j ` $ j 8, $ 0 ; c) : ` $ j 8, 7, $ 0 ; d), b` $ j : `, $ 0 jl, 6 $ 0 ; e) `40 $ j `4, $ 0 $ $ 0 j `, $ 0 j, 69 $ 0. Észrevehetjük, hogy ugyanazt a végeredményt adja, mint az a) feladat. 64 Racionális számok és hatványozás

65 Összefoglalás II. Az alábbi ábra Magyarország búzatermését szemlélteti 0 és 04 között (tonnában mérve). millió 6 Éves búzatermés tonnában évszám Forrás: KSH Olvasd le, hogy mennyi búza termett az egyes években Magyarországon! Írd át az adatokat normálalakba, és kerekítsd őket tizedesjegy pontosságúra! 0: 4, 0 6 tonna 0: 4,0 0 6 tonna 0:, tonna 04:, 0 6 tonna Racionális számok és hatványozás 6

66 II. Összefoglalás 4 A Nap tömege körülbelül, kg. Sokszorosan meghaladja a Naprendszer bolygóinak tömegét, amelyeket az alábbi táblázat tartalmaz (kg). Merkúr Vénusz Föld Mars,8 0 4,90 0 4, ,7 0 Jupiter Szaturnusz Uránusz Neptunusz,90 0 7, ,66 0,0 0 6 a) Melyik bolygónak a legkisebb a tömege? b) Melyik bolygónak a legnagyobb a tömege? c) Hányszor nagyobb a legnagyobb bolygó tömege a legkisebbnél? d) Hányszor nagyobb a Jupiter tömege a Föld tömegénél? e) Az összes bolygó együttes tömege hány százaléka a Nap tömegének? f) Keresd meg az interneten, hogy más csillagok tömege hányszorosa a Nap tömegének! a) A Merkúr tömege a legkisebb. b) A Jupiter tömege a legnagyobb. 7 c) 9, $ 0.79-szerese. 8, $ 0 7 d) 9, $ 0.8-szorosa. 4 97, $ 0 e) Az összes bolygó együttes tömege, , ezt osztjuk a nap tömegével. 7, 668 $ 0. 0, , 989 $ 0 Így tehát a bolygók össztömege csak kb. 0,4%-a a Nap tömegének. 66 Racionális számok és hatványozás

67 III. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A Kr. e. 90-be induló útra Judit néni örömére mindenki jelentkezett. A szerencse két lánynak kedvezett, így a téridőtrafóval felszerelt szerkezet Bertát és Pannit repítette Alexandriába. Az első, amit megláttak és meghallottak, az a kardok csattogása volt. Néhány izmos fiatal testőr küzdött a gyakorlótéren. A szomszédos épület lépcsőjén két tógás alak diskurált. A beszédfelismerő rájuk fókuszált, és a lányok már hallhatták is a fordítógép hangját. Euklidész, nem zavarnak a fiatalok? kérdezte a társát az idős férfi. Épp ellenkezőleg, Démétriosz! Csengő zajuk az erdei madarak énekére emlékeztet, amely mindig megnyugtat. Remélem, ez azt jelenti, hogy jól haladsz a könyveddel. Milyen címet adtál neki? Sztoikheia a fordító protokollrobot csak rövid késéssel tudta tolmácsolni Elemek. Összefoglaltam benne azt, amit nyilvánvalóan tudunk, és azt, amire ezekből következtetni lehet. Tartalmazza például a milétoszi Thalész körre vonatkozó következtetéseit, és más munkákat is. Mikor olvashatjuk végre? Sokan kíváncsiak új írásod logikájára. Nemsokára. Most még választ keresek egy-két problémára, bár lehet, hogy anélkül fejezem be ezt a könyvet, hogy megtalálnám a megoldást. Legyetek egy kicsit türelemmel! Berta feldobódva fordult barátnőjéhez. Ha visszaértünk, megkeresem ezt a könyvet a neten! Ha visszaértünk, beiratkozom vívni válaszolta Panni, le sem véve szemét a testőrökről.

68 III. Fontos geometriai fogalmak Feladatok Válogasd ki a hegyesszögeket! Melyik csoportba tartozik a többi? a) 00l; b) 9 ; c) 0 ; d) 6600l; e) 44 l m; f) 700m; g) 70 ; h) 74 9l. Váltsuk át fokokba a nem fokokban megadott szögeket! 00l 7 ; 6600l 0 ; 700m 0l. hegyesszögek: 00l; 44 l m; 700m tompaszögek: 9 ; 6600l; 70 homorúszögek: 0 ; 74 9l A felsorolásban a másodiktól kezdve minden szög 4 -kal nagyobb, mint az előtte lévő: 4, 68,, 40. Add meg a felsorolás hegyesszögeit, tompaszögeit és homorú szögeit! Hegyesszögek: 4, 68. Tompaszögek: 0, 6, 70. Homorúszögek: 06, 8, 7, 06, 40. Legyen a 4 l, b 88 7l, c 4l! Rakd növekvő sorrendbe a következő szögeket: a) a b; b) c; c) b – a; b c d)! Számoljuk ki a szögek nagyságát! a b 4 l 88 7l 60l c 4l b – a 88 7l – 4 l 87 87l – 4 l 6 4l o o b c 88 7l 4l o o o 44 l0m 7 l 8 48l0m b c A sorrend: b- a c a b. 4 Mekkora szöget zár be az óra két mutatója a) órakor; b) órakor; c) fél -kor; d) fél -kor? a)60 ; b) 0 ; c) 6 ; d) Geometriai transzformációk

69 Fontos geometriai fogalmak III. Az ábrán néhány síkidomot látsz. Másold le a füzetedbe a mellékelt halmazábrát, feliratozd, majd írd be a síkidomok betűjelét a megfelelő helyre! A B C D E F G H I J Sokféle jó! besorolás létezik, mindegyik elfogadható, de mi a sokszög tulajdonságot emeljük ki. Síkidomok A G B Sokszögek F E H C I D J 6 a) Rajzolj két egyenest a füzetedben! Hány részre oszthatják a síkot? b) Rajzolj három egyenest a füzetedben! Hány részre oszthatják a síkot? c) Rajzolj két kört a füzetedben! Hány részre oszthatják a síkot? a) vagy 4 b) 4, 6 vagy 7 c) vagy 4 7 Egy sokszögnek két homorú szöge van. Minimum hány oldala lehet? Rajzolj ilyen sokszöget! Például: Tehát minimum 6 oldala lehet. 8 Melyik igaz, melyik hamis? a) Minden sokszög síkidom. b) Van olyan síkidom, amelyik sokszög. c) Van olyan sokszög, amelyik nem síkidom. d) Nincs olyan sokszög, amelyik síkidom. e) Minden síkidom sokszög. f) Minden négyzet síkidom. a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. f) Igaz. Geometriai transzformációk 69

70 III. Fontos geometriai fogalmak 9 Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyet néhány átlójával a) két háromszögre és egy négyszögre; b) egy háromszögre és két négyszögre; c) egy háromszögre, egy négyszögre és egy ötszögre; d) két négyszögre és egy ötszögre vágtunk? a) A síkidom keletkezéséhez egymást nem metsző átló behúzása szükséges. A keletkezett síkidomok oldalait az eredeti sokszög oldalai illetve a behúzott átlók adják. Mivel az átlók két új síkidomhoz is tartoznak, így ha az új síkidomok oldalszámát összeadjuk, akkor az eredeti síkidom oldalszámánál 4-gyel többet kapunk. Esetünkben 4 n 4, melyből n 6, azaz hatszög volt az eredeti síkidom. b) Az előző gondolatmenet alapján: 4 4 n 4, melyből n 7, azaz hét oldalú sokszög volt. c) 4 n 4, ahonnan n 8, azaz nyolcszögből indultunk ki. d) 4 4 n 4, melyből n 9, azaz kilenc oldalú sokszög szerepelt a feladatban. 70 Geometriai transzformációk

71 Síkidomok, testek III. Feladatok Melyik állítás igaz, melyik hamis? a) Ha egy háromszög legnagyobb szöge hegyesszög, akkor a háromszög hegyesszögű. b) Ha egy háromszög legnagyobb szöge derékszög, akkor a háromszög derékszögű. c) Ha egy háromszög legnagyobb szöge tompaszög, akkor a háromszög tompaszögű. d) Ha egy háromszögnek két hegyesszöge van, akkor a háromszög biztosan hegyesszögű. e) Ha egy háromszögben két szög egymás pótszöge, akkor a háromszög derékszögű. f) Nincs olyan háromszög, amelyben két szög egymás kiegészítő szöge. a) Igaz. b) Igaz. c) Igaz. d) Hamis. e) Igaz. f) Igaz. Egy 60 cm kerületű téglalap egyik oldala cm-rel rövidebb, mint a másik. Mekkorák az oldalai? Mekkora a területe? Az egyik oldalt jelöljük a-val, ekkor a másik oldal hossza a. A kerületre felírható egyenlet: (a a ) 60, amelyből a 84 cm, ekkor a másik oldal 96 cm hosszú. A terület cm. Egy téglalap minden oldalának hossza centiméterben mérve egész szám. Mekkora lehet a kerülete, ha a területe 9 cm? Ha a 9-et két egész szám szorzatára bontjuk, akkor a két szám a téglalap oldalhosszait adja meg centiméterben: Az első esetben a kerület 84 cm, a második esetben pedig 40 cm. 4 Egy háromszög két szögének különbsége 4. A harmadik szöge 8 nagyságú. Mekkorák a háromszög hiányzó szögei? A feladat szövege alapján a – b 4 és c 8. A háromszög belső szögeinek összege 80, ezért a b 80 – c Mivel a b 4, ezért ezt az előbb kapott összefüggésbe behelyettesítve: b 4 b 98, azaz b 84. Az egyik hiányzó szög: b 4. A másik hiányzó szög: a b Geometriai transzformációk 7

72 III. Síkidomok, testek Egy derékszögű háromszög egyik szöge fele egy másiknak. Hány fokosak a háromszög szögei? Két eset lehetséges. I. eset: Az egyik hegyesszög feleakkora, mint a 90 -os szög. Ekkor mindkét hegyesszög 4 -os, azaz a háromszög szögei: 4, 4, 90. II. eset: Az egyik hegyesszög feleakkora, mint a másik hegyesszög. Ekkor az a a 90 összefüggésből a 0, a másik hegyesszög pedig ennek a kétszerese, azaz 60. Így a háromszög szögei: 0, 60, Egy derékszögű háromszögben a 60 -os szög csúcsába befutó befogó hossza 4, cm. Milyen hosszú az átfogó? A derékszögű háromszöget a 4, cm hosszú befogójára tükrözve egy szabályos háromszöget kapunk, amelyben ez a befogó az egyik oldal hosszának a fele lesz, a keresett átfogó pedig a szabályos háromszög oldala, azaz ennek kétszerese, 8,4 cm hosszú. 4, 60 8,4 4, 8,4 7 Készíts tömör téglatestet 4 darab egyforma kocka felhasználásával! Hány különbözőt tervezhetsz? Annyi különböző téglatestet tervezhetünk, ahányféleképpen a 4 felbontható három pozitív egész szám szorzatára , vagyis öt különböző téglatest készíthető. 8 Egy kocka éleinek hossza: cm. Van egy ezzel azonos térfogatú téglatestünk is, amelynek az élei centiméterben mérve egész számok. Mekkora lehet a téglatest felszíne? A kocka térfogata: V cm. Annyiféle ezzel azonos térfogatú, egész élű téglatest létezik, ahányféleképpen három pozitív egész szám szorzatára tudjuk bontani a -öt. I. eset: A téglatest élei, és cm hosszúak. A felszíne ekkor: ( ) 0 (cm ). II. eset: A téglatest élei, és cm hosszúak. A felszíne ekkor: ( ) 0 (cm ). 7 Geometriai transzformációk

73 Geometriai transzformációk III. Feladatok Tükrözd az ABCD tetszőleges négyszöget az a) AB oldalegyenesére; b) AC átlóegyenesére! a) C b) B B C B C C D D A A D A A D B Rajzolj egy téglalapot! Tükrözd az egyik átlójának egyenesére! Mi lesz az eredeti és a képként kapott téglalap közös része? A közös rész rombusz lesz. Geometriai transzformációk 7

74 III. Geometriai transzformációk Egy négyzetet tükröztünk egy egyenesre. Az eredeti és a képként kapott négyzet közös része az eredetinél kisebb négyzet lett. Rajzolj egy ilyen ábrát! 4 Rajzold le, hogyan néznének ki a következő jelek, ha egy függőleges egyenesre tükröznéd őket! Egy tükör segíthet a kivitelezésben! < < \ & Legyen adott három pont a koordinátarendszerben: A(; 8), B(4; ), C(6; 6). Készíts rajzot és add meg a transzformált pontok koordinátáit, ha a két koordinátát fel kell cserélned, majd a csere után kapott első koordinátának az ellentettjét kell venned! 74 Geometriai transzformációk

75 Geometriai transzformációk III. 6 Adva van egy egyenes a síkon. Bármely síkbeli pont képét megkapjuk úgy, hogy a pontból merőlegest állítunk az adott egyenesre. Erre az egyenesre a talppontból kiindulva felmérjük a pont és a talppont távolságának a felét a másik oldalra. Az adott egyenesre illeszkedő pont képe önmaga lesz. a) Vegyél fel három tetszőleges pontot! Szerkeszd meg mindhárom pont képét! b) Vegyél fel három további tetszőleges pontot! Szerkeszd meg mindhárom pont ősét! a) B C B A C A b) C B C A B A Geometriai transzformációk 7

76 III. Geometriai transzformációk 7 A síkban adott egy egyenes és egy irány a hosszával (az irány nem párhuzamos és nem is merőleges az adott egyenesre). Bármely pont képét megkapjuk, ha a pontból a megadott iránnyal párhuzamos egyenest húzunk, és bejelöljük a két egyenes metszéspontja és a pont közötti szakasz felezőpontját. Az adott egyenesre illeszkedő pont képe önmaga lesz. a) Vegyél fel három tetszőleges pontot! Szerkeszd meg mindhárom pont képét! b) Vegyél fel három további tetszőleges pontot! Szerkeszd meg mindhárom pont ősét! a) b) B B C C A A A A C C B B 8 Transzformáljuk az A(; 8), B(4; -), C(6; 6) pontokat a következő szabályok szerint! Minden pont képét úgy kapjuk, hogy a) mindkét koordinátáját duplázzuk; b) az első koordinátájának az ellentettjét vesszük; c) a második koordinátájának az ellentettjét vesszük; d) mindkét koordinátájának az ellentettjét vesszük; e) a két koordinátáját felcseréljük, majd a csere után kapott második koordinátának az ellentettjét vesszük; f) mindkét koordinátát csökkentjük -tel. 76 Geometriai transzformációk

77 Geometriai transzformációk III. a) Al(4; 6), Bl(8; -4), Cl(; ) b) Al(-; 8), Bl(-4; ), Cl(-6; 6) y A C A C C A y A C 0 x B 0 x B B B c) Al(; -8), Bl(4; ), Cl(6; -6) d) Al(-; 8), Bl(-4; ), Cl(-6; -6) y A y A C B 0 x B B C 0 x B C C A A e) Al(8; -), Bl(-; -4), Cl(6; -6) f) Al(-; ), Bl(-; -7), Cl(; ) y A y A A C C C 0 x B B 0 x B A B C Geometriai transzformációk 77

78 kerítés III. Geometriai transzformációk 9 Az iskolaudvaron áll két gyerek. Szeretnének a kerítésnél találkozni. a) Hol legyen a találkozási hely, ha azt szeretnék, hogy mindketten azonos hosszúságú utat tegyenek meg? b) Hol legyen a találkozási hely, ha azt szeretnék, hogy a kettőjük által megtett út hossza a lehető legrövidebb legyen? a) Az általuk meghatározott szakasz felezőmerőlegese jelöli ki a kerítésnél azt a pontot, ahová ugyanolyan hosszú sétával érkeznek. Ha ez a felezőmerőleges párhuzamos a kerítéssel, akkor nincs ilyen találkozási pont. A B T B A b) Ez egy nehéz feladat, amit azért tettünk a tankönyvbe, mert valamilyen formában gyakran előfordul egyéb feladatokban, illetve versenyeken. Legyen a két gyerek kezdetben az A és a B pontban, a kerítés egyenese A legyen e. Az első ábrán szemléletjük a lehetséges utakat. T T B T Tükrözzük az egyik pontot (mondjuk A-t) az e egyenesre, kapjuk Al pontot. Az AlB szakasz és az e egyenes metszéspontja legyen T. Azt állítjuk, hogy ezen T pont esetén az AT BT töröttvonal hossza a legrövidebb, azon töröttvonalak között, amikor T az e egyenesen van. Legyen Tl tetszöleges pontja az e egyenesnek, ekkor ATl TlB AlTl TlB AT TB, a háromszög-egyenlőtlenség miatt. A’ A T T’ B e 78 Geometriai transzformációk

79 4 III. Középpontos tükrözés Feladatok Egy kártyalapnak elég csak az egyik felét megmutatnunk, mert a másik felét megkaphatjuk a lap középpontjára tükrözve. Melyik a lap hiányzó része? a) b) c) d) A lap hiányzó része a c). Rajzold le a füzetedbe a pálcikaemberkéket, és tükrözd őket a megadott K pontra! a) b) c) K K K a) b) Geometriai transzformációk c) 79

80 III. 4 Középpontos tükrözés Rajzolj egy szabályos háromszöget! Tükrözd a) az egyik csúcsára; b) az egyik oldal felezőpontjára; c) egy olyan pontra, amely a háromszög egyik oldalegyenesén a háromszögön kívül van! a) C b) C c) C B A B A F B B A D A B C C C 4 Rajzolj két egyenlő hosszúságú szakaszt! Szerkeszd meg azt a pontot, amelyre az egyik szakaszt tükrözve pontosan a másik szakaszt kapjuk! Mikor kapsz ilyen pontot? Az egyenlő hosszú szakaszokhoz akkor kapunk ilyen pontot, ha a két szakasz párhuzamos. Rajzolj egy nyomtatott A betűt! Tükrözd a) a csúcsára; b) egy olyan pontra, mely a szárán van; c) egy tetszőleges pontra! a) b) c) 80 Geometriai transzformációk

81 4 Középpontos tükrözés III. 6 Rajzolj egy négyszöget! Tükrözd a) az egyik csúcsára; b) az egyik oldalának a felezőpontjára; c) egy olyan pontra, amely a négyszögön kívül van! a) B b) A D C C D A B B E D A B A D C C c) B D E C A A C D B Geometriai transzformációk 8

82 III. 4 Középpontos tükrözés 7 Rajzolj egy ABC háromszöget és a háromszögön kívül egy Fl pontot! Tudjuk, hogy Fl a BC oldal F felezőpontjának a középpontos tükörképe. Szerkeszd meg a háromszög tükörképét! Ha megszerkesztjük a BC oldal felezőpontját, majd az FFl szakasz felezőpontját, akkor megkapjuk a tükrözés középpontját. Innentől már csak a háromszög tükrözése a feladat. B A C F D F A C B 8 Másold az ábrát a füzetedbe, és tükrözd az ábrán látható számot a) az A pontra! b) a B pontra! c) a C pontra! 8 Geometriai transzformációk

83 A középpontos tükrözés alkalmazása III. Feladatok Fogalmazd meg és írd le a füzetedbe az. példa állításainak megfordításait! Ha egy négyszög két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög két-két szemközti oldala (oldalegyenese) párhuzamos, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög két szemközti oldala egyenlő hosszúságú és párhuzamos, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög két-két szemközti szöge egyenlő egymással, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög bármely két szomszédos szöge egymásnak kiegészítő szöge, akkor paralelogramma. Tükrözd az ABC háromszöget a BC oldal F felezőpontjára! Igazold, hogy az eredeti háromszög és az AlBlCl kép együtt egy paralelogrammát alkot! C B F A A B C A BC oldalt az F felezőpontjára tükrözve B Cl és C Bl. Az ABAlBl négyszögben az AB oldal középpontos tükörképe a vele szemben lévő AlBl oldal, ezért párhuzamosak egymással. Ugyanez igaz az ABl és a BAl oldalakra, tehát ez a négyszög paralelogramma. Tükrözz egy szabályos háromszöget az egyik oldal felezőpontjára! Milyen síkidomot határoz meg az eredeti és a képként kapott háromszög egyesítése? C A F B C Az eredeti és a képként kapott háromszög egyesítése egy rombuszt határoz meg. Geometriai transzformációk 8

84 III. A középpontos tükrözés alkalmazása 4 Vegyél fel két metsző egyenest és egy rájuk nem illeszkedő pontot! Szerkessz egy-egy olyan pontot az egyenesekre, amelyek az eredeti pontra tükrösek! b F a a E F Legyen a két egyenes a és b, és a rájuk nem illeszkedő pont E. Ha az a egyenest középpontosan tükrözzük az E pontra, akkor al és b egyenesek F metszéspontja olyan pont lesz a b egyenesen, amelynek középpontos tükörképe az E pontra nézve biztosan az a egyenesre esik. Legyen az ABCD négyszög négy oldalának felezőpontja E, F, G és H. Tükrözd az A csúcsot E-re, majd a kapott tükörképet sorban az F, aztán G, majd a H oldalfelező pontra! Mi lesz az A pont képe a négy tükrözés után? Az A pont E-re vonatkozó tükörképe B, mivel E az AB szakasz felezőpontja. Hasonlóan a pontot továbbtükrözve az oldalfelező pontokra, mindig a csúcsokat kapjuk tükörképként. Így az A pont képe a 4 tükrözés után saját maga lesz. 6 Az ABCD paralalogrammát és a tetszőleges P pontot rajzold meg a füzetedben! Tükrözd a P pontot az A csúcsra, az így kapott tükörképet a B-re, majd a C-re és D-re! Mit tapasztalsz? Ha pontosan végezted el a 4 tükrözést, akkor az A pontba kellett jutnod. 7 Tükrözd az ABCD trapézt az AB hosszabb alapjának F felezőpontjára! Hogyan neveznéd el az eredeti trapéz és az AlBlClDl kép egyesítésével kapott sokszöget? A B F C D Az ABCDBlCl egy középpontosan szimmetrikus hatszög. C B 84 Geometriai transzformációk

85 6 Szögpárok III. Feladatok Rajzold le az ábrát a füzetedbe! A rajzodon jelöld pirossal az a-val egyállású, kékkel az a-val fordított állású, szögeket zölddel az a kiegészítő szögeit! Rajzold le az ábrát a füzetedbe! A rajzodon jelöld azonos színekkel a csúcsszögeket! Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! a) Nincs olyan párhuzamos szárú szögpár, ahol a két szög különböző. b) Minden fordított állású tompa szögpárban a két szög egyenlő. c) Egy 0 -os és egy 60 -os szög nem alkothat párhuzamos szárú szögpárt. d) Ha két szög egyenlő, akkor egyállásúak. e) Ha két szög szárai páronként párhuzamosak, akkor a két szög egyenlő. a) Hamis. b) Igaz. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. 4 Keresd meg a kiegészítő és a pótszög pá rokat! a) 44 8l; b) 4 l; c) 76 7l; d) 7 44l; e) 0 l; f) 7 6l; g) 7 4l; h) 4 l. Kiegészítő szögpárok: E C. Pótszög párok: F G, A H. Add meg a kiegészítő szögét! a) 4l 9m; b) 4 4l 7m; c) 90 l 48m; d) l 6m. a) 6 4l 4m b) 6 7l m c) 89 7l m d) 76 44l 4m Geometriai transzformációk 8

86 III. 7 Középpontos és tengelyes szimmetria Feladatok Keresd meg azokat a számjegyeket, amelyek lerajzolhatók középpontosan szimmetrikusan! Melyek azok a nyomtatott nagybetűk, amelyek középpontosan szimmetrikusan is lerajzolhatók? H, I, N, O, S, X, Z Készíts nyomtatott nagybetűkből olyan betűsorokat, amelyek középpontosan szimmetrikusak! Például: HOHOHOH, OXO, IOXOI 4 Rajzolj a füzetedbe olyan középpontosan szimmetrikus nyolcszöget, amelyik nem tengelyesen szimmetrikus! Sorold fel néhány tulajdonságát! C B D A E H G F Tulajdonságok: a szemközti oldalak párhuzamosak a szemközti oldalak ugyanolyan hosszúak középpontosan szimmetrikus tengelyesen nem szimmetrikus a szemközti szögei egyenlők két általános ötszögre bonthatók, amelyek egymás középpontos tükörképei 86 Geometriai transzformációk

87 7 Középpontos és tengelyes szimmetria III. A következő ábrákat körző és vonalzó segítségével hetedikesek készítették. Csoportosítsd a képeket az eddig tanult szimmetriák szerint! a) b) c) d) e) f) Tengelyesen szimmetrikus, de középpontosan nem: d) Középpontosan szimmetrikus, de tengelyesen nem: f) Tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus: a), e), c) 6 Válaszd ki a megadott pontok közül azt a négyet, amelyik középpontosan szimmetrikus négyszöget határoz meg! Ha tudsz, akkor válassz többféleképpen is! A(-; ); B(-; ); C(; 0); D(0; 4); E(; ); F(; ); G(; ); H(4; ). Középpontosan szimmetrikus négyszögek: BDHE, CGHE, BDGC. y y y H H H D D D G G A A A G E F E F E B B B F 0 C x 0 C x 0 C x Geometriai transzformációk 87

88 III. 8 Paralelogramma és deltoid Feladatok Miért nem lehet egy háromszög középpontosan tükrös? A középpontos tükrözés során a csúcsokat párba kell állítani, a háromszögnél pedig egy csúcs kimarad. (Ha ez a csúcs a középpont, a tükrözés akkor sem viszi önmagába a háromszöget.) a) Rajzolj öt olyan pontot, amelyek középpontosan szimmetrikus helyzetűek! b) Lehet-e egy ötszög középpontosan szimmetrikus? a) Az öt pont közül az egyik a szimmetria-középpont. b) Nem lehet, hasonló megfontolás miatt, mint a háromszögnél. Rajzolj páros oldalszámú középpontosan szimmetrikus sokszögeket! Konkáv és konvex sokszögek is legyenek a rajzaid között! 4 Fogalmazzatok meg olyan tulajdonságokat, amelyek a paralelogrammára és a deltoidra is érvényesek! Nem általános négyszögek. Van két-két azonos hosszúságú oldaluk. Van két egyforma nagyságú szögük. Mindkettő lehet rombusz és négyzet is. Van valamilyen szimmetriájuk. 88 Geometriai transzformációk

89 8 Paralelogramma és deltoid III. Igazak-e a következő állítások? a) Ha egy sokszög páros oldalszámú, akkor középpontosan tükrös. b) Ha egy sokszög középpontosan tükrös, akkor páros oldalszámú. c) Ha egy sokszög szabályos, akkor középpontosan szimmetrikus. d) Ha egy sokszög szabályos, akkor tengelyesen tükrös. e) Ha egy sokszög minden oldalának van párhuzamos párja, akkor az középpontosan tükrös. f) Ha egy sokszög minden oldalának van vele egyenlő hosszúságú párja, akkor az középpontosan tükrös. a) Hamis. b) Igaz. c) Hamis. d) Igaz. e) Hamis. f) Hamis. Geometriai transzformációk 89

90 III. 9 A paralelogramma területe Feladatok Hány négyzetdeciméter a területe a következő paralelogrammáknak? a) a dm, m a,8 dm; b) b, dm, m b dm; c) a 8 cm, m a,4 m; d) b,8 m, m b 40 cm. Ügyeljünk arra, hogy a számolás előtt a megadott adatokat azonos mértékegységre váltsuk! Mivel itt a területet négyzetdeciméterben kell megadni, ezért mindenhol a decimétert választottuk. a) T $, 8 4, 6 dm b) T, $ 8 dm c) T 8, $ 4 9 dm d) T 8 $ 4 9 dm Add meg a hiányzó oldal vagy magasság hosszát! a) a 8,8 cm, m a, cm, b cm; b) a, m, b 0,8 m, m b 0,6 m; c) a dm, m a 6 dm, m b 7 dm; d) a 4 mm, b 6 mm, m b 9 mm. Használjuk a T a$ ma b$ mb összefüggést! a) 88, $, $ mb, innen m 88, $, b (cm). b), $ ma 08, $ 06,, innen m 08, $ 06, a 04, (m)., c) $ 6 b $ 7, innen b $ 6 48 (dm). 7 d) 4 $ ma 6 $ 9, innen m 6 9 a $ 6 (mm). 4 Egy 49 hektáros paralelogramma alakú terület két párhuzamos oldalának távolsága 60 méter. Milyen hosszúak ezek az oldalak? A 49 hektár a paralelogramma területe, az 60 méter a magassága. Az oldal hossza a terület számításából adódik: a $ 60, ebből a m. Tehát a terület párhuzamos oldalai méter hosszúak. 90 Geometriai transzformációk

91 9 A paralelogramma területe III. 4 Hogyan változik a paralelogramma területe, ha a) az alapjának a hosszát kétszeresére növeled; b) az egyik magasságának a hosszát a harmadára csökkented; c) az alapját és a hozzá tartozó magasság hosszát is kétszeresére növeled; d) az alapjának a hosszát háromszorosára, a hozzá tartozó magasság hosszát a felére változtatod? a) A területe a kétszeresére nő. b) A területe a harmadára csökken. c) A területe a négyszeresére nő. d) A területe a másfélszeresére nő. Egy rombusz alakú búzaföld kerülete,8 km, a területe m. a) Milyen messze van a földterület két széle egymástól? b) Mennyivel nagyobb egy ugyanilyen kerületű, négyzet alakú terület? a) A rombusz oldala:,8 : 4 0,7 km 700 m. A területszámítás alapján m a, innen m a 60 m. Vagyis a földterület két széle 60 méter messze van egymástól. b) Egy ugyanilyen kerületű, négyzet alakú terület oldalai is 700 m hosszúak lennének, ezért a területe m. Ez négyzetméterrel nagyobb, mint a rombusz alakú búzaföld területe. 6 A képen látható 0 cm oldalú négyzet alakú mintát egyenlő szárú derékszögű háromszög, négyzet és paralelogramma alakú csempékből állítottuk össze. Mekkora egy paralelogramma területe? Az ábra elkészíthető a füzetbe, rácsra. Ekkor kiderül, hogy a paralelogramma hosszabb oldala cm-es, a hozzátartozó magasság pedig, cm-es. Vagyis a területe. cm. Megjegyzés: Az ábrán 4 db cm-es oldalú négyzet látható, és az ábra 6 db derékszögű háromszögéből összeállítható még 4 db ilyen négyzet. Ezek területe összesen 8 cm. Vagyis a 6 db paralelogramma területe: 0 0-8, azaz 00 cm. Tehát egy paralelogramma területe: 00 : 6, cm. Geometriai transzformációk 9

92 III. 0 A háromszög területe Feladatok Mekkora a területe a következő háromszögeknek? a) a 67 dm, m a 8, dm; b) b,8 dm, m b dm; c) c 84 cm, m c 0,74 m; d) a,7 m, m a 7 dm. Ügyeljünk arra, hogy a számolás előtt a megadott adatokat azonos mértékegységre váltsuk! a$ ma a) T 67 $ 8, 79, 7 (dm ) b$ mb b) T 8, $ 9, 8 (dm ) c$ mc c) T 84 $ (cm ) a$ ma d) T 7, $ 7 6, (dm ) Add meg a háromszögben egy hiányzó oldal vagy egy hiányzó magasság hosszát! a) a 0, cm, m a,4 cm, b,4 cm; b) a 4,4 m, b 9,6 m, m b 7, m; c) a 6, km, m a 0,8 km, b 4 km; d) a 0, cm, m a 0, cm, c 0,4 cm. A háromszög területképletéből következik, hogy az oldalak és a hozzájuk tartozó magasságok szorzata egyenlő, azaz $ T a$ ma b$ mb. a) 0, $ 4, 4, $ mb, innen m 0, $ 4, b (cm)., 4 b) 4, 4$ ma 96, $ 7,, innen m 96, $ 7, a 48, (dm). 4, 4 c) 6, $ 08, 4 $ mb, innen m 6, $ 08, b, (km). 4 d) 0, $ 0, 04, $ mc, innen m 0, $ 0, c 06, (cm). 04, A harmadik oldal és a hozzá tartozó magasság nem adható meg egyértelműen. 9 Geometriai transzformációk

93 0 A háromszög területe III. Hogyan változik a háromszög területe, ha a) az egyik oldalának a hosszát háromszorosára növeled, a hozzá tartozó magasság hosszát viszont nem változtatod; b) az egyik magasságának a hosszát a felére csökkented, a hozzá tartozó oldal hosszát viszont nem változtatod; c) az oldalát és a hozzá tartozó magasság hosszát is felére csökkented; d) az oldalának a hosszát kétszeresére, a hozzá tartozó magasság hosszát a felére változ tatod? a) A területe a háromszorosára nő. b) A területe a felére csökken. c) A területe a negyedére csökken. d) A területe nem változik. 4 Egy derékszögű háromszög hosszabb befogójának felezőpontjától a háromszög határoló vonalán haladva a szemközti csúcs 40, illetve 6 cm-re van. Az átfogó és a rövidebb befogó együtt 64 cm. a) Mekkora a háromszög kerülete? b) Mekkora a háromszög területe? a) A háromszög kerülete cm. b) A hosszabbik befogó cm hosszú. A 40 cm-es út a rövidebb befogón keresztül a szemközti csúcsig ennek a felével hosszabb, azaz a rövidebb befogó cm hosszú. A háromszög területe: $ 4 84 cm. Egy szabályos háromszög kerülete cm, magasságát,6 cm-nek mértük. Mekkora a területe? K a, innen a K a$ ma 4 (cm). T. 4$ 6, 7, cm. 6 Mérd meg az ábrán látható háromszög megfelelő adatait, majd számold ki a területét! Méréssel az alábbi adatokat kapjuk: a 4 mm, m a 49 mm T 4 $ 49 0, (mm ) b 0 mm, m b 44 mm T 0 $ (mm ) c 7 mm, m c mm T 7 $ 6 (mm ) A háromszög területe körülbelül 00 mm cm Geometriai transzformációk 9

94 III. A trapéz területe Feladatok Mekkora a trapéz területe, ha a) a 8 cm, c cm, m 7 cm; b) a m, c 7 m, m m; c) a 40 dm, c m, m 400 cm; d) a cm, c 0,07 m, m, dm? Ügyeljünk arra, hogy a számolás előtt a megadott adatokat azonos mértékegységre váltsuk! ^a ch$ m ^8 h$ 7 a) T 40 (cm ) ^a ch$ m ^ 7h$ b) T 40 (m ) ^a ch$ m ^4 h$ 4 c) T 96 (m ) ^a ch$ m ^ 7h$ d) T 04, (cm ) Mekkora a trapéz magassága, ha a) a cm, c 4 cm, T 84 cm ; b) a 47 m, c 9 m, T 646 m? ^ 4 h$ m a) 84, innen m 84 $ : 46 8 (cm). ^47 9 h$ m b) 646, innen m 646 $ : 76 7 (m). Mekkora a trapéz hiányzó alapjának hossza, ha a) a 47 cm, m 8 cm, T 6 cm ; b) a 0 m, m m, T 848 m? ^47 ch$ 8 a) 6, innen c 6 $ : 8-47 (cm). ^0 ch$ b) 848, innen c 848 $ : (m). 94 Geometriai transzformációk

95 A trapéz területe III. 4 Melyek igazak a következő állítások közül? A hamis állításokat javítsd, hogy igazak legyenek! a) A trapézt az egyik átlója két háromszögre vágja. b) A trapéz szemközti oldalegyeneseinek távolságát a trapéz magasságának nevezzük. c) A trapéz területét úgy számíthatjuk ki, hogy a két párhuzamos oldalának az összegét megszorozzuk a trapéz magasságával. d) Van olyan trapéz, amelynek a területét három oldal ismeretében is ki lehet számítani. a) Igaz. b) Hamis. A trapéz szemközti párhuzamos oldalegyeneseinek távolságát a trapéz magasságának nevezzük. c) Hamis. A trapéz területét úgy számíthatjuk ki, hogy a két párhuzamos oldalának az összegét megszorozzuk a trapéz magasságával és elosztjuk kettővel. d) Igaz (a derékszögű trapéz ilyen). Mekkora az ábrán látható sokszög területe, ha a függőleges szakaszok hossza 0 cm, 6 cm, 8 cm és 4 cm, és a szomszédos függőleges szakaszok távolsága cm, cm és 4 cm? 0 t t 8 6 t 4 4 T T T T ^0 6h$ ^6 8 $ 8 4 $ 4 h ^ h (cm ) 6 Egy tűzfal trapéz alakú. Mennyi vakolatra lesz szükség a felújításnál, ha m -enként kg anyagot használnak fel? ^4 8h$ 6 A felújítandó tűzfal területe: T 46 (m ). Ehhez kg vakoló anyagra lesz szükség. Geometriai transzformációk 9

96 III. A deltoid területe Feladatok Hogyan változik a deltoid területe, ha a) az egyik átlóját kétszeresére növeljük, a másik átló hosszát nem változtatjuk; b) mindkét átló hosszát duplázzuk; c) mindkét átló hosszát harmadoljuk; d) az egyik átlóját kétszeresére növeljük, a másik átló hosszát felére csökkentjük? a) A területe kétszeresére nő. b) A területe négyszeresére nő. c) A területe kilencedére csökken. d) A területe nem változik. Számold ki a deltoid területét, ha adott az e és f átlójának hossza! a) e 6 cm, f 8 cm; b) e m, f 4 m; c) e 64 dm, f 7 dm; d) e 6 mm, f 8 mm. e$ f a) T 6 $ 8 4 (cm e$ f ) b) T $ 4 4 (m ) e$ f c) T 64 $ 7 4 (dm e$ f ) d) T 6 $ 8 4 (mm ) Egy cm oldalhosszúságú rombusz átlóinak hossza 6 cm, illetve 8 cm. Milyen távol van egymástól a két párhuzamos oldala? e$ f A rombusz egyben deltoid is, tehát az átlók hosszának ismeretében a területe: T 6$ 8 4 (cm ). A rombusz területét a paralelogrammánál tanult módszerrel is felírhatjuk: T a$ m a, azaz 4 $ ma, innen m 4 a 48, (cm). Vagyis a rombusz két párhuzamos oldala 4,8 cm távolságra van egymástól. 4 Egy rombusz alakú szántóföld két párhuzamos széle 67 méterre van egymástól. A terület két távoli csúcsa között 400 méter, a két közelebbi csúcsa között pedig 700 méter a távolság. Mekkora a szántóföld oldalhossza? Az előző feladathoz hasonlóan használjuk a paralelogramma és a deltoid területképletét is, hiszen a e$ f rombuszra mindkettő alkalmazható. A szántóföld területe: T a$ ma, azaz 400 $ 700 a $ 67, innen a 400 $ 700 : 67 0 (m). Vagyis a szántóföld oldalának hossza 0 m. 96 Geometriai transzformációk

97 A deltoid területe III. Egy parkolót az ábrán látható térkövekkel burkoltak. A kövekből összesen 00 darabot használtak fel. Mekkora részt burkoltak összesen? Az ábra néhány térkő felülnézetét mutatja. Tudjuk, hogy az AD átló két egybevágó deltoidra vágja a térkövet, illetve, hogy a BD átló hossza cm, a DF átló hossza pedig 0 cm. A BD és DF átló a két egybevágó deltoid átlója. Egy térkő területe egy ilyen deltoid területének a kétszerese, azaz T BD $ DF $ 0 00 cm dm. A lefedett terület ennek 00-szorosa, azaz dm 60 m. 6 A képen látható karácsonyfadíszt színes papírból szeretnénk kivágni. A minta négy egybevágó deltoidból áll. Az ABCD négyzet oldalai 4 cm, a KLMN négyzet átlói 6 cm hosszúak. Mekkora területű papírt használunk fel a dísz elkészítéséhez? Az ABCD négyzet oldalai az egybevágó deltoidok rövidebb átlói, a KLMN négyzet átlói a deltoidok hosszabb átlóinak kétszeresei. Tehát a deltoidok átlói 4 cm és 8 cm hosszúak. A díszhez szükséges papír területe: T 4 $ 4$ 8 64 (cm ). K D A N C B M L Geometriai transzformációk 97

98 III. Középpontosan szimmetrikus alakzatok Feladatok Rajzold le néhány autó márkajelzését a füzetedbe! Írd mellé, ha valamelyik tengelyesen vagy középpontosan szimmetrikus! Középpontosan szimmetrikus. Tengelyesen szimmetrikus. Egyik tanult szimmetriával sem rendelkezik. Középpontosan szimmetrikus. Gyűjts egyszerű, középpontosan szimmetrikus ábrákat a környezetedből! Rajzold le őket! Ennek a feladatnak a megoldását a gyerekek fantáziájára és kreativitására bízzuk. Az ellenőrzésnél érdemes kiemelni azokat az ötleteket, amelyeket nem mindenki írt le. Melyik igaz? Melyik hamis? a) Ha egy sokszög középpontosan szimmetrikus, akkor páros oldalszámú. b) Ha egy sokszög páros oldalszámú, akkor középpontosan szimmetrikus. c) Ha egy sokszög tengelyesen szimmetrikus, akkor páros oldalszámú. d) Ha egy sokszög páros oldalszámú, akkor tengelyesen szimmetrikus. e) Ha egy sokszögben minden oldalnak van párhuzamos párja, akkor a sokszög középpontosan szimmetrikus. f) Ha egy sokszög középpontosan szimmetrikus, akkor minden oldalának van párhuzamos párja. a) Igaz. b) Hamis. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. f) Igaz. 98 Geometriai transzformációk

99 Középpontosan szimmetrikus alakzatok III. 4 a) A sakktáblát két színnel színezik. A színeket is figyelembe véve milyen szimmetriája van a sakktáblának? b) Egy hatszor hatos táblát színezz ki két színnel úgy, hogy tengelyesen szimmetrikus legyen! Tervezz több ábrát is! c) Egy négyszer négyes táblát színezz ki három színnel úgy, hogy középpontosan szimmetrikus legyen! a) A sakktáblának a színezését is figyelembe véve középpontos szimmetriája van. b) c) Geometriai transzformációk 99

100 III. Középpontosan szimmetrikus alakzatok Pentominónak nevezzük azokat a sokszögeket, amelyek öt darab egység (például cm ) területű négyzetből rakhatók össze. A négyzeteket az éleik mentén illesztheted egymáshoz. a) Rajzold le a füzetedbe az összes pentominót! Csak azokat tekintsd különbözőnek, amelyek elforgatással és tükrözéssel sem hozhatók fedésbe egymással! Törekedj arra, hogy megtaláld mind a tizenkettőt! b) Csoportosítsd őket a szimmetriájuk szerint! a) b) Tengelyesen szimmetrikus Tengelyesen nem szimmetrikus Középpontosan szimmetrikus Középpontosan nem szimmetrikus 6 Válogasd szét a képeket! Melyik középpontosan szimmetrikus? Az első két ábra középpontosan szimmetrikus, a harmadik és a negyedik viszont nem. 00 Geometriai transzformációk

101 4 Sokszögek III. Feladatok Hol találsz a környezetedben szabályos sokszögeket? Ennek a feladatnak a megoldását a gyerekek fantáziájára és kreativitására bízzuk. Az ellenőrzésnél érdemes kiemelni azokat az ötleteket, amelyeket nem mindenki írt le. Néhány példa: közlekedési táblák, focilabda, méhkaptár, térkövek. Döntsd el, igaz vagy hamis! a) Egy sokszög csak akkor lehet tengelyesen szimmetrikus, ha szabályos. b) Ha egy sokszög középpontosan szimmetrikus, akkor szabályos. c) A szabályos sokszögnek biztosan van legalább három szimmetriatengelye. d) Ha egy sokszög tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus, akkor szabályos. a) Hamis. b) Hamis. c) Igaz. d) Hamis. Egy egyenlő szárú háromszög szögei: 0, 7, 7. Hány darab egybevágó példányra lenne szükséged, ha szabályos sokszöget szeretnél összerakni belőlük? Szabályos tizenkétszög rakható ki, ehhez db ilyen háromszög szükséges Egy szabályos sokszög összes szimmetriatengelyét megrajzoltuk. Ezek 0 csúcson haladtak át. Hány oldalú a sokszög? A szimmetriatengelyek minden csúcson csak egyszer haladnak át. A sokszög tízoldalú. Geometriai transzformációk 0

102 III. 4 Sokszögek Készítsd el papírból az ábrán látható egyenlő szárú háromszögeket! Milyen szabályos sokszöget tudsz kirakni mind a négy felhasználásával? A háromszögekből egy négyzet rakható ki: 0 Geometriai transzformációk

103 Szerkesztések III. Feladatok Szerkessz háromszöget a következő ada tokból: a) a, b, c; b) a, b, c; c) a, b, m a! b c m b mc m a a a) Vázlat: A c b B a C A szerkesztés menete: A C pont megszerkesztéséhez két körvonalat szerkesztünk, egy A középpontú és b sugarú, illetve egy B középpontú és a sugarú körvonalat. Ezek metszéspontja lesz a C pont. b) Vázlat: A b B a C A szerkesztés menete: Az A pont megszerkesztéséhez két vonalra van szükségünk. A BC szakasz C végpontjához másoljuk a γ szöget. Ennek a szára és a C középpontú b sugarú kör metszéspontja adja az A pontot. c) Vázlat: A m a b B a C A szerkesztés menete: Az A pont egy kör és egy egyenes metszéspontjaként szerkeszthető meg. Az egyik vonal a BC oldallal párhuzamos és tőle m a távolságra lévő egyenes, a másik vonal a C középpontú és b sugarú kör. Geometriai transzformációk 0

104 III. Szerkesztések Szerkessz rombuszt a következő adatokból: f a) a, e; b) a, a; c) a, m a! m e a a a) Vázlat: D C a e a A a B A szerkesztés menete: A C csúcs két körvonal metszéspontja: az egyik A középpontú és e sugarú, a másik B középpontú és a sugarú. A D csúcs szintén két körvonal metszéspontja: az egyik A középpontú, a másik C középpontú, és mindkettő a sugarú. b) Vázlat: D C A a a B A szerkesztés menete: A D pont megszerkesztéséhez két vonalra van szükségünk. Az AB szakasz A pontjához másoljuk az α szöget. Ennek a szára és az A középpontú a sugarú kör metszéspontja adja a D pontot. A B középpontú és a D középpontú a sugarú körök metszéspontja adja a C pontot. c) Vázlat: D C a m a A a B A szerkesztés menete: A C és D pontok is illeszkednek az AB oldaltól m a távolságra lévő párhuzamos egyenesre ezt szerkesztjük meg. A D pont ezen párhuzamos egyenes és egy A középpontú, a sugarú kör metszéspontja, a C pont helyét pedig egy B középpontú és szintén a sugarú kör jelöli ki. 04 Geometriai transzformációk

105 Szerkesztések III. Szerkessz paralelogrammát a következő adatokból: f a) a, b, a; b) a, b, e; c) a, b, m a! e m a b a) Vázlat: D C a b A a B A szerkesztés menete: A D pont az α szögszára és egy A középpontú, b sugarú kör metszéspontja lesz, a C pont pedig egy B középpontú, b sugarú és egy D középpontú, a sugarú körvonal metszéspontjaként szerkeszthető meg. b) Vázlat: D C e b A a B A szerkesztés menete: A C pont egy A középpontú, e sugarú és egy B középpontú, b sugarú kör metszéspontja, a D pont pedig egy A középpontú, b sugarú és egy C középpontú, a sugarú kör metszéspontja lesz. c) Vázlat: D C b m a b A a B A szerkesztés menete: A D és C pontok is illeszkednek az AB oldaltól m a távolságra lévő párhuzamos egyenesre ezt szerkesztjük meg. A D pont ezen párhuzamos egyenes és egy A középpontú, b sugarú kör metszéspontja, a C pont helyét pedig egy B középpontú és szintén b sugarú kör jelöli ki. Geometriai transzformációk 0

107 Szerkesztések III. Szerkessz trapézt, ha adott az a c, m a, e, a! c d e f b m a a Vázlat: D C e m a A a c B D A szerkesztés menete: A tankönyv. példája (és jelölései) alapján az ADl oldalból indulunk ki. A D csúcs az A csúcsban felmért α szög másik szárára, illetve az ADl oldaltól m a távolságra lévő párhuzamos egyenesre is illeszkedik, így ez a csúcs megszerkeszthető ezek metszéspontjaként. Az A középpontú, e sugarú körvonal ugyanezen a párhuzamos egyenesen jelöli ki a C csúcs helyét, így megkapjuk a DC szakaszt, ami a trapéz c oldalának felel meg. A Dl középpontú és c sugarú kör és az ADl szakasz metszéspontja lesz a B pont. Geometriai transzformációk 07

108 III. 6 Összefoglalás Feladatok Az első nyolc feladatban a megadott öt válasz között pontosan egy jó van. A helyes választ a füzetedben jelöld! Melyik nem a középpontos tükrözés tulajdonsága? (A) Távolságtartó; (B) Az egyenes és képe párhuzamos; (C) Van olyan egyenes, amelyik egybeesik a képével; (D) A körüljárási irányt megfordítja; (E) Szögtartó. A helyes válasz: D. Melyik befejezés hibás? Ha egy négyszög paralelogramma, akkor (A) két-két szemközti oldala egyenlő hosszú ságú; (B) két-két szemközti oldala párhuzamos; (C) az átlói merőlegesen felezik egymást; (D) két-két szemközti szöge egyenlő egymással; (E) bármely két szomszédos szöge egymásnak kiegészítő szöge. A helyes válasz: C. Rajzoltunk egy középpontosan szimmetrikus szabályos sokszöget. Hány oldala lehet a megadottak közül? (A) 96; (B) 986; (C) 00; (D) 0; (E) 4. A helyes válasz: B. 4 A 7 cm területű paralelogramma egyik oldalának hossza 9 cm. Mekkora lehet az ehhez az oldalhoz tartozó magasság hossza? (A) 4 cm; (B) 6 cm; (C) 8 cm; (D) 6 cm; (E) Ennyi adatból nem adható meg. A helyes válasz: C. 08 Geometriai transzformációk

109 6 Összefoglalás III. Mekkora a cm átlóhosszúságú négyzet területe? (A) 44 cm ; (B) 7 cm ; (C) 6 cm ; (D) 88 cm ; (E) Az átló hosszával nem határozható meg a négyzet területe. A helyes válasz: B. 6 Egy deltoid egyik átlója kétszer olyan hosszú, mint a másik átlója. Centiméterben mérve mindkettő hossza egész szám. Mekkora lehet a területe? (A) 96 cm ; (B) 96 cm ; (C) 69 cm ; (D) 69 cm ; (E) Az előzőek egyike sem. A helyes válasz: A. 7 Egy húrtrapéz (egyenlő szárú trapéz) 4 cm hosszúságú átlói merőlegesek egymásra. Mekkora lehet a területe? (A) 96 cm ; (B) 69 cm ; (C) 98 cm ; (D) 6 cm ; (E) Csak az átló hosszának ismeretében nem határozható meg ennek a trapéznak a területe. A helyes válasz: C. 8 A cm, 4 cm és cm oldalhosszúságú háromszög területe (A) 0 cm ; (B) 8 cm ; (C) biztosan nagyobb, mint 0 cm ; (D) biztosan nagyobb, mint 9 cm ; (E) 84 cm. A helyes válasz: E. Geometriai transzformációk 09

110 III. 6 Összefoglalás 9 Milyen szót kellene írnod a pontozott helyre, hogy az állítások igazak legyenek? Lehetséges, hogy több helyes szó is létezik! a) A paralelogramma olyan, amelynek a szárai is párhuzamosak egymással. b) A paralelogramma olyan, amelynek két-két szemközti oldala egyenlő egymással. c) A rombusz olyan, amelynek minden oldala egyenlő egymással. d) A téglalap olyan amelynek két-két szemközti oldala egyenlő egymással, és van derékszöge. e) A téglalap olyan, amelynek a szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. f) A négyzet olyan, amelynek van derékszöge. g) A négyzet olyan, amelynek a szomszédos oldalai egyenlő hosszúságúak. h) A deltoid olyan, amelyben van két-két egyenlő hosszúságú, szomszédos oldal. a) trapéz; b) négyszög, trapéz; c) négyszög, paralelogramma; d) négyszög, trapéz; e) négyszög, trapéz, paralelogramma; f) rombusz; g) téglalap; h) négyszög. 0 A rendelkezésedre álló adatok alapján add meg a nevezetes sokszögek kerületét, területét! Elképzelhető olyan eset, amikor valamelyiket még nem fogod tudni kiszámolni! a) A téglalap két különböző oldalának hossza,6 cm és 8, cm. b) A négyzet oldalának hossza, cm. c) A négyzet átlójának hossza 6 cm. d) A derékszögű háromszög oldalainak hossza 7, cm, 8 cm és 9, cm. e) A deltoid átlóinak hossza 4 cm és 8 cm. f) A deltoid két különböző oldalának hossza 6, cm és,7 cm. a) K, cm, T, cm. b) K 4 cm, T, cm. c) T 8 cm. d) K 4 cm, T 67, cm. e) T 6 cm. f) K 6 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata a kockának, ha az éle a) cm; b) 9, cm hosszú? a) A 04 cm, V 97 cm. b) A 07,84 cm, V 778,688 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata a téglatestnek, ha az élei a) cm, cm és cm; b), cm, cm és 6 cm hosszúak? a) A 06 cm, V 6 cm. b) A 4 cm, V 480 cm. 0 Geometriai transzformációk

111 6 Összefoglalás III. Mekkora lehet a felszíne a 66 cm térfogatú téglatestnek, ha minden éle cm-ben mérve egész szám? Legyen a # b # c. A lehetőségeket a táblázat mutatja: a b c A Egy téglatest éleinek hossza cm-ben mérve három egymást követő egész szám, a térfogata pedig 0 cm. Mekkora a felszíne? Mivel 0, ezért a téglatest élei: cm, cm, cm. Vagyis: A 86 cm. Egy téglatest éleinek hossza cm-ben mérve három egymást követő egész szám. Lehet-e a felszíne a) 94 cm ; b) 00 cm? a) Igen: a cm, b 4 cm, c cm. b) Nem, mert az a 4 cm, b cm, c 6 cm élű téglatest felszíne már 48 cm. 6 Rajzolj a füzetedbe egy deltoidot! Tükrözd az átlók metszéspontjára! Milyen síkidom lesz az eredeti és a képként kapott síkidom közös része? Konvex deltoid esetén a közös rész rombusz. Konkáv deltoid esetén nincs közös rész. Geometriai transzformációk

112 III. 6 Összefoglalás 7 Rajzolj a füzetedbe egy téglalapot! Tük rözd az egyik átlójának egy tetszőleges pontjára! (Ne az átlók metszéspontját válaszd!) Milyen síkidom lesz az eredeti és a képként kapott síkidom közös része? A közös rész téglalap lesz. 8 Rajzolj a füzetedbe egy húrtrapézt! Tükrözd az átlók metszéspontjára! Milyen síkidom lesz az eredeti és a képként kapott síkidom közös része? A közös rész hatszög lesz. 9 Rajzolj egy A csúcsú hegyesszöget a két szárával, és vegyél fel a szögtartományban egy tetszőleges C pontot. Szerkeszd meg azt az ABCD paralelogrammát, amelynek két oldal egyenese a szög száraira esik! A C ponton át egy-egy párhuzamos egyenest kell szerkeszteni a megadott szög száraival. Geometriai transzformációk

113 6 Összefoglalás III. 0 Rajzolj egy A csúcsú hegyesszöget a két szárával, és vegyél fel a szögtartományban egy tetszőleges K pontot. Szerkeszd meg azt az ABCD paralelogrammát, amelynek két oldal egyenese a szög száraira esik és a K pont az átlóinak a metszéspontja! A szög szárait a K pontra kell tükrözni. Rajzolj egy szabályos hatszöget a füzetedbe! Rajzold meg az összes átlóját is! a) Keress az ábrádon nevezetes szögpárokat! b) Keress az ábrádon tengelyesen tükrös sík idomokat! c) Keress az ábrádon középpontosan tükrös síkidomokat! a) b) c) Adott a koordináta-rendszerben egy origóra tükrös paralelogramma. Két csúcsának koordinátái: A(; 6), B(8; ). Mekkora a területe? A hiányzó két csúcs koordinátái: (-8; -), (-; -6). A paralelogramma befoglalható egy a tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalapba. A paralelogramma területe megkapható, ha a téglalap területéből levonjuk a négy derékszögű háromszög területét: cm. Geometriai transzformációk

114 III. 6 Összefoglalás A képen látható négy téglalapból egy kép keretét szeretnénk kialakítani. A téglalapokból levágunk éppen annyit, hogy az ábrán látható összeillesztés megvalósítható legyen. Mekkora lesz a képen látható keret területe? Az egyik téglalap, cm-szer 6,4 cm-es, a másik, cm-szer 7,6 cm-es. A négy téglalap területe: (, 6,4, 7,6) 9,6 cm. Az összeillesztés miatt mind a négy téglalap mindkét végén le kell vágni egy-egy egyenlőszárú derékszögű háromszöget, melyeknek, cm hosszúak a befogói. A 8 db háromszög területe 4 db, cm oldalhosszúságú négyzet területével azonos. Vagyis a keret területe: 9,6-4,, 74,4 cm. 4 A képen látható négyzetrács szomszédos rácsvonalai mm-re vannak egymástól. Határozd meg a színes síkidomok területét! T mm, T 70 mm, T 0 mm, T 4 7 mm, T 6 mm, T 6 7 mm. Egy deltoid mind a négy csúcsának helyét ismerjük a koordináta-rendszerben: A(0; 0), B(4; 0), C(6; 6), D(0; 4). Döntsd el a következő állításokról, hogy igazak-e! a) A szimmetriaátlója hosszabb, mint a másik átló. b) A területe 6 területegységnél nagyobb. c) A kerülete 0 egység. d) A területe 6 területegységnél nagyobb. e) A rövidebb átló másfélszeresét kell vennünk, hogy a hosszabb átlót kapjuk. f) A megadott négy pontból kiválaszthatunk három olyat, amelyik hegyesszögű, derékszögű, illetve tompaszögű háromszöget alkot. a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Hamis. e) Igaz. f) Igaz. 4 Geometriai transzformációk

115 6 Összefoglalás III. 6 A képen látható tűzzománc fülbevalók deltoid alakúak, amelyeknek, cm hosszú a szimmetriaátlójuk, és cm hosszú a másik átlójuk. Mekkora területet foglal el az asztalon egy pár ilyen fülbevaló? A két deltoid területe: 6,4 cm. 7 A tetőtéri szoba háromszög alakú ablakának árnyékolását szeretnénk megvalósítani. A szalagfüggöny kivitelezési költségét az ablak területe ad ja. Mekkora ez a terület, ha az ablak szélessége 40 cm, magassága 80 cm? T 4, $ 8, 6, m. 8 A fényképen látható farmer térd alatti része láthatóan trapéz alakra hasonlít. Az ilyen nadrágok esetén használják a trapéznadrág elnevezést. A nadrág szárának alja 4 cm, a térdnél pedig csak 8 cm széles, és ennek a résznek a területe 09 cm. Mekkora a teljes nadrág hossza, ha a térdnél említett vonal felezi a nadrág hosszát? ] 4 8 g$ m A megadott trapéz területe: 09, azaz 09 m. Vagyis a trapéz magassága cm. Így a nadrág hossza 04 cm. Geometriai transzformációk

116 III. 6 Összefoglalás 6 Geometriai transzformációk

117 IV.OSZTHATÓSÁG A következő utazással csupán röpke kb.70 évet kellett Nellinek és Szilvinek ugrania, hogy 846ban láthassák az idős Johann Carl Friedrich Gausst. Tudja jól, hogy nem szoktam tanítványokat vállalni temetkezett vissza Gauss, a függvényekkel teleírt papírjai közé. Az ön zsenialitása és az eredményeim arra bátorítottak, hogy személyesen érdeklődjek a prímekről írt levelem sorsáról. Igen, olvastam söpört félre kezével néhány papírlapot Gauss. Ám ezeket már én is leírtam a prímszámokról! Ismerem a professzor úr munkáit és nagyon nagyra becsülöm önt, de nekem új gondolataim vannak a prímek elhelyezkedésével kapcsolatban Azért fogadtam. Mert elgondolkodtató dolgokat is írt, amelyek valójában nekem is újak voltak. Az utolsó szavakat olyan halkan mormolta maga elé, hogy a lányok alig értették. A függvényem Jöjjön minden kedden pontban 0 órára. Most elmehet. Mi is a neve? Bernhard Riemann vagyok professzor úr, és ígérem, pontos leszek! A lányok eltávolodtak a helyszíntől, és a látványt köddé mosta az idő. Rémes, hogy minden tanárnak a mániája a pontosság morfondírozott Szilvi hangosan és milyen keményen kiosztotta azt a Riemannt. Úgy látszik, Gauss egy zseni volt, de nem túl kedves. Ebből következik, hogy ha undok vagyok, akkor matekzseni leszek? vigyorgott kajánul Szilvi. Erről esetleg beszélgess Arisztotelésszel válaszolt mosolyogva Nelli.

118 IV. Számelmélet A tanult ismeretek áttekintése Feladatok Sorold fel az alábbi számok első tíz többszörösét! Húzd alá azokat a többszörösöket, amelyek mindkét felsorolásban szerepelnek! Például az többszörösei: 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 40; 4; 0 a) 6 és 9; b) 0 és ; c) 6 és ; d) ; 4 és 6; a) 6 többszörösei: 6; ; 8; 4; 0; 6; 4; 48; 4; 60 9 többszörösei: 9; 8; 7; 6; 4; 4; 6; 7; 8; 90 b) 0 többszörösei:0; 0; 0; 40; 0; 60; 70; 80; 90; 00 többszörösei: ; 0; 4; 60; 7; 90; 0; 0; ; 0 c) 6 többszörösei:6; ; 48; 64; 80; 96; ; 8; 44; 60 többszörösei: ; 64; 96; 8; 60; 9; 4; 6; 88; 0 d) többszörösei: ; 6; 9; ; ; 8; ; 4; 7; 0 4 többszörösei: 4; 8; ; 6; 0; 4; 8; ; 6; 40 6 többszörösei: 6; ; 8; 4; 0; 6; 4; 48; 4; 60 Keresd meg az alábbi számok legkisebb közös többszörösét! Például: [6; 8] 4 a) [6; ]; b) [9; 7]; c) [; 6; ]; d) [4; 8]. a) [6; ] b) [9; 7] c) [; 6; ] 60 d) [4; 8] 6 Hozd közös nevezőre a törteket, és végezd el az alábbi műveleteket! Például: a) ; b) 7-8 ; c) ; d) a) b) c) d) Oszthatóság

119 Számelmélet A tanult ismeretek áttekintése IV. 4 Milyen számjegyeket írhatsz az a, b, c, d betűk helyére, hogy a számok oszthatók legyenek A) -vel, B) -mal, C) -tel, D) 9-cel, E) 0-zel, F) -mal és 9-cel, G) -vel és -tel, H) -vel és -mal? a) 8a; b) 84b; c) 7c40; d) d0. -vel: a) nincs ilyen szám b) 0; ; 4; 6; 8; c) 0; ; ; 9 d) ; ; ; 9 -mal: a) ; ; 8 b) ; 4; 7 c) ; ; 8 d) ; 6; 9 -tel: a) 0; ; ; 9 b) 0; c) 0; ; ; 9 d) ; ; 9 9-cel: a) b) 4 c) d) 6 0-zel: a) nincs ilyen szám b) 0 c) 0; ; ; 9 d) ; ; 9 -mal és 9-cel: ugyanaz, mint a D). -vel és -tel: ugyanaz, mint az E). -vel és -mal: a) nincs ilyen szám b) 4 c),, 8 d), 6, 9 Igaz vagy hamis? a) Ha egy szám osztható -vel és -tel, akkor osztható 0-zel is. Igaz. b) Ha egy szám osztható -tel és 8-cal, akkor osztható 40-nel is. Igaz. c) Ha egy szám osztható 6-tal és 8-cal, akkor osztható 48-cal is. Hamis, például 4. d) Ha egy szám 4-re végződik, akkor osztható 4-gyel. Hamis, például 4. e) Ha egy szám utolsó két számjegyéből álló szám osztható -mal, akkor maga a szám is osztható -mal. Hamis, például 4. f) Ha egy szám páros, akkor összetett szám. Hamis, például. g) Ha egy szám prímszám, akkor nincs osztója. Hamis. 6 Sorold fel az alábbi számok összes osztóját! Mely számoknak van páratlan darab osztója? a) 8; b) 6; c) 49; d) 0; e) 64; f) 7. 8 osztói: ; ; ; 6; 9; 8 6 osztói: ; ; ; 4; 6; 9; ; 8; 6 49 osztói: ; 7; 49 0 osztói: ; ; ; 0; ; 0 64 osztói: ; ; 4; 8; 6; ; 64 7 osztói: ; ; ; 4; 6; 8; 9; ; 8; 4; 6; 7 Tehát páratlan számú osztója van a 6-nak, a 49-nek és a 64-nek (a négyzetszámoknak). Oszthatóság 9

120 IV. Számelmélet A tanult ismeretek áttekintése 7 Sorold fel az alábbi számok pozitív osztóit és keresd meg a közös osztókat! Karikázd be a füzetedben a közös osztók közül a legnagyobbat! Például: (6; 40) 8 a) (4; ); b) (40; 70); c) (4; 4); d) (6; ; 48). a) 4 osztói. 7, 4 osztói. 7, (4; ) 7 b) 40 osztói. 4,, 8, 0, 0, osztói. 7, 0, 4,, 70 (40; 70) 0 c) 4 osztói. 6, 7, 4,, 4 4 osztói. 6, 9, 8, 7, 4 (4; 4) 6 d) 6 osztói. 4, 8, 6 osztói. 4, 8, 6, 48 osztói. 4, 6, 8,, 6, 4, 48 (6; ; 48) 6 8 Egyszerűsítsd az alábbi törteket! Például: 6 $ 8 a) ; b) 6 ; c) 0. 4 $ a) 0 6$ 6 b) 6 $ 60 $ c) Oszthatóság

121 Összetett számok prímtényezôs felbontása IV. Feladatok Hány kétjegyű prímszám van? db kétjegyű prímszám van. A ; ; 7; 9; ; 9; ; 7; 4; 4; 47; ; 9; 6; 67; 7; 7; 79; 8; 89; 97. Szorozd össze A: az első három; B: az első öt prímszámot, majd a szorzathoz adj hozzá -et! a) Mely számokkal nem osztható biztosan a kapott szám? b) Milyen számot kaptál? Vajon mindig igaz ez a megfigyelés? A) a) Biztosan nem osztható 0 összes -nél nagyobb osztójával. b) Prímszámokat, de ez nem mindig igaz. B) 7 a) Biztosan nem osztható 7 0 összes -nél nagyobb osztójával. b) Prímszámokat, de ez nem mindig igaz. Bontsd fel az alábbi számokat prímszámok szorzatára! a) 80; b) 900; c) 44; d) 60; e) ; f) a) 80 b) 900 c) 44 d) 60 4 e) 7 f) Készíts összetett számokat a következő prímszámokból oly módon, hogy a prímeket összeszorzod! Egy adott prímszámból legfeljebb annyi tényezőt használhatsz, amennyit a felsorolásban látsz. a) ; ; b) ; ; 7; c) ; ; 7; 7; a) Például: 4; 0 b) Például: ; 6 c) Például: 4; 98 Oszthatóság

122 IV. Összetett számok prímtényezôs felbontása a) Van hárommal osztható prímszám? b) Van öttel osztható prímszám? c) Van héttel osztható prímszám? d) Van hattal osztható prímszám? a) Igen a, és csak ez. b) Igen az, és csak ez. c) Igen a 7, és csak ez. d) Nincs, mert a hattal osztható számok oszthatók kettővel és hárommal is. 6 A hajó méterben megadott hosszának és a kapitány életkorának szorzata 67. Hány éves a kapitány? A 67 prímtényezős felbontása: A kapitány életkora ezért csak 4 év lehet, így a hajó hossza 7 m. 7 Gazsi két prímszámra gondolt és összeadta őket. Eredményül egy harmadik prímszámot kapott. Mi lehetett a Gazsi által gondolt kisebbik prím? Két prímszám összege csak úgy lehet prím, ha az egyik prím páros. Egyetlen páros prímszám van, a, ennél kisebb prím nincs, így a kisebbik prím a. 8 Keress az interneten információkat az ikerprímekről! Egyéni keresési eredmények, vessétek össze, ki mit talált! Oszthatóság

123 Osztó, többszörös IV. Feladatok Döntsd el, az alábbi számok közül melyik többszöröse a 8-nak! a) ; b) ; c) ; d) 9; e) ; f) 7. Azok a számok oszthatók 8-cal, amelynek prímtényezős felbontásában szerepelnek 8 prímtényezői, azaz. Ilyenek az a), d) és az f). Sorold fel az alábbi számok osztóit! Az osztók mellé írd fel, az adott szám hányszorosa az osztónak! a) 6; b) ; c) 60; d). A feladat az osztópárokat kéri. a) 6 osztópárjai: -6; -8; -; 4-9 b) osztópárjai: -; -4; -7; 9- c) 60 osztópárjai: -60; -80; -0; 4-90; -7; 6-60; 8-4; 9-40; 0-6; -0; -4; 8-0 d) osztópárjai: -; -66; -44; 4-; 6-; – Sorold fel az alábbi számok prímosztóit! Az osztók mellé írd fel, az adott szám hányszorosa az osztónak! a) ; b) ; c) 7; d) 4 ; e) ; f) 7. Szám Prímosztó Hányszorosa a) b) c) Szám Prímosztó Hányszorosa d) e) f) Oszthatóság

124 IV. Osztó, többszörös 4 Sorold fel a számok osztópárjait! Húzd alá a valódi osztókat! a) 6; b) ; c) 60; d). Lásd. feladat. Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyik -vel, -mal, 4-gyel és -tel is osztható? A négy szám LKKT-je, azaz Többszöröse-e a) -nek a ; b) -nek a 4 ; c) 77-nek a 7 ; d) 4-nek a 7? a) Igen b) Nem c) Igen d) Igen 7 Egy téglalap területe 4 cm. Mekkorák a téglalap oldalai, ha tudjuk, hogy az oldalak hossza (centiméterekben mérve) egész szám? 4 osztópárjai adják az összes megoldást. -4; -7; -8; Sorold fel a következő kifejezések osztóit! a) ; b) ; c) 7 ; d) 9. a) ; osztói: ; 7 b) ; osztói: ; c) 7 ; osztói: ; d) 9. osztói ; 7; ; 9 9 Készíts a füzetedbe táblázatot -től -ig, majd minden szám alá írd oda, hogy hány osztója van! osztók száma osztók száma Hozz ellenpéldát az ötletre! Péter felsorolta a 60-nak mind a 4 osztóját. 60, ezért úgy gondolta, hogy a számok osztóinak számát megkaphatjuk, ha a prímtényezős felbontásban szereplő prímszámok szorzatából kivonjuk a kitevők szorzatát. Nem igaz, például:. 4 Oszthatóság

125 4 Legnagyobb közös osztó IV. Feladatok Írd fel az alábbi számok közös osztóit! a) 0; ; b) 0; 70; c) 4; ; d) 4; ; e) 4; ; f) 60; 08. Közös osztók: Közös osztók: a) 0; ; b) 0; 70 ; ; ; 0 c) 4; ; d) 4; e) 4; f) 60; 08 ; ; ; 4; 6; A számok prímtényezős alakjának felhasználásával írd fel az alábbi számok legnagyobb közös osztóját! a) (4; 60); b) (0; 4); c) (96; 44). a) (4; 60) b) (0; 4) c) (96; 44) 48 Írd fel prímtényezős alakban a számok legnagyobb közös osztóját! a) ( ; 7; ); b) ( 0 8 ; 6 7; ). a) ( ; 7; ) b) ( 0 8 ; 6 7; ) 6 4 Egyszerűsítsd az alábbi törteket! Javaslat: A legnagyobb közös osztó segítségével gyorsabb az egyszerűsítés. a) 48 ; 4 b) 68 ; 96 c) 9 ; 09 d) a) 48 8 ; b) ; c) ; d) 06 9 Számítsd ki az alábbi számhármasok legnagyobb közös osztóját! a) (4; 0; 7); b) (; 00; 00). a) (4; 0; 7) 4 b) (; 00; 00) Milyen számok kerüljenek a téglalap helyére, hogy az egyenlőség igaz legyen? a) ( ; 7) 4; b) ( ; ) 60. a) ( ; 7) 4 ; b) ( ; ) 60. ; ; 4; ; Oszthatóság

126 IV. Legkisebb közös többszörös Feladatok Írd fel az alábbi számok öt-öt közös többszörösét! a) ; ; b) ; ; c) 4; ; d) ; ; e) 0; ; f) 0; 70; g) 7; 8; h) ; 6; i) ; 4; j) ; ; k) 4; ; l) 8; 9. Közös többszörösök: a) ; ; ; ; 44; b) ; ; 4; 6; 48; 60 c) 4; 80; 60; 40; 70; 900 d) ; 60; 0; 80; 40; 00 e) 0; 60; 0; 80; 40; 00 f) 0; 70 40; 80; 40;60; 700 g) 7; 8 6; ; 68; 4; 80 h) ; 6 86; 7; 88; 44; 40 i) ; 4 60; 0; 80; 40; 00 j) ; 60; 0; 80; 40; 00 k) 4; 0; 40; 60; 840; 00 l) 8; 9 7; 44; 6; 88; 60 Írd fel az alábbi számok legkisebb közös többszörösét a számok prímtényezős alakjának felhasználásával! a) [8; ]; b) [; 4]; c) [4; 60]; d) [0; 4]; e) [96; 44]; f) [60; 08]; g) [; ]; h) [4; 7]. a) [8; ] [ ; ] ; b) [; 4] [; 7] 4 ; c) [4; 60] [ ; ] ; d) [0; 4] [ ; ] ; e) [96; 44] [ ; 4 ] ; f) [60; 08] [ ; ] ; g) [; ] [ 4 7; ] 7; h) [4; 7] [ ; ]. Számítsd ki az alábbi számhármasok legkisebb közös többszörösét! a) [7; 8; ]; b) [; 8; 7]; c) [48; 0; 7]; d) [7; 00; 00]. a) [7; 8; ] 7 84; b) [; 8; 7] 400; c) [48; 0; 7] 4 70; d) [7; 00; 00] Add meg a legkisebb közös többszörösöket prímhatványok szorzataként! a) [ ; 7; ]; b) [ 0 8 ; 6 ; 7 4 ]. a) [ ; 7; ] 7 ; b) [ 0 8 ; 6 ; 7 4 ] Oszthatóság

127 Legkisebb közös többszörös IV. A legkisebb közös többszörös megkeresésével hozzatok közös nevezőre és végezzétek el a műveleteket. a) 7 ; b) 7 – ; 8 0 c) ; d) – ; e) ; f) $ $ $ $ a) ; b) ; c) ; d) ; e) 6 ; $ $ $ $ $ $ $ $ 600 f) $ $ $ $ $ $ $ $ 6 6 Milyen számok kerüljenek a négyzetek helyére, hogy az egyenlőség igaz legyen? a) [ ; ] 400; b) [ ; ] 080. a) [ ; ] 400 ; A kettes kitevője, a -as kitevője 0 vagy, az -ös kietvője 0, vagy lehet. b) [ ; ] 080. A kitevője:. Az kitevője: 0;. A kitevője:. 7 Egy repülőgép-társaságnál négyféle úti cél közül választhatunk: naponta indul egy gép Londonba, 4 naponta Párizsba, 8 naponta Brüsszelbe és naponta Stockholmba. Ha Budapestről január elsején mind a négy városba elrepülhetünk, melyik napon indul újra együtt Budapestről ez a négy járat? A négy szám legkisebb közös többszöröse adja a megoldást [; 4; 8; ] 4. Tehát 4 nap múlva, azaz január -én indul újra együtt a négy repülőgép. Oszthatóság 7

128 IV. 6 Egy kis logika Feladatok Hétfőn a szigeten sétálva találkoztam három szigetlakóval. Megmutattam nekik két számot, és a következőket mondták: A: A két szám összege osztható -mal. B: Az egyik szám többszöröse. C: A másik szám -mal osztva -t ad maradékul. Lehetett-e mindhárom szigetlakó szorgi? Nem lehetett. Indoklás: Ha feltételezzük, hogy bármelyik két szigetlakó szorgi, akkor kiderül, hogy a harmadik csak morgi lehetne. Kedden szembejött velem három szigetlakó, megmutattam nekik három számot, ekkor a következőket mondták: A: Mindhárom szám osztható -tel. B: A három szám szorzata osztható -tel. C: A három szám összege osztható -tel. a) Mit mondhatsz B-ről és C-ről, ha tudod, hogy A szorgi? b) Mit mondhatsz A-ról és C-ről, ha tudod, hogy B morgi? a) Akkor B is és C is szorgi. b) Ha B morgi, az azt jelenti, hogy a számok között nincs -tel osztható., tehát A is morgi. C azonban lehet szorgi (például ; 4; 4 esetén) és morgi is (például ; 6; 7 esetén). Szerdán újabb ismerősöket szereztem a szigeten, így nekik is mutattam két számot. A következőket mondták: A: A két szám összege osztható 8-cal. B: A két szám különbsége osztható 8-cal. C: A két szám szorzata osztható 8-cal. a) Lehet-e A, B és C is szorgi? b) Lehet-e mindhárom szigetlakó morgi? c) Lehet-e közöttük egy szorgi és két morgi? Ha igen, melyikük mond igazat? a) Igen, ha például a két szám 0 és. b) Igen, mert például a és számok esetén az A, B, C egyike sem teljesül. c) Lehet, hogy A szorgi, B és C pedig morgi, például, ha a két szám és 7. Lehet B szorgi, ha a két szám például 8 és, de ekkor A és C morgi. Lehet, hogy C szorgi, A és B pedig morgi, ha a két szám és 6. 8 Oszthatóság

129 6 Egy kis logika IV. 4 Csütörtökön három 0-nél nagyobb természetes számot mutattam nekik, melyek összege osztható -mal. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy mondhatták-e szorgik! Válaszaidat példákkal indokold! A: Az összeg minden tagja osztható hárommal. B: Az összeg pontosan két tagja osztható hárommal. C: Az összeg pontosan egy tagja osztható hárommal. D: Az összeg egyik tagja sem osztható hárommal. A: Igen, mondhatta szorgi, például a ; ; 8 esetén. B: Nem mondhatta, mert ha egy háromtagú összegben a két tag mindegyike osztható hárommal, és az összeg is osztható hárommal, akkor a harmadik tagnak is oszthatónak kell lennie hárommal. C: Igen, például a ; 4; esetén. D: Igen, lehetséges, például a ; ; 8 esetén. Pénteken a es számot mutattam a szembe jövő szorgiknak és morgiknak, akik a következő megállapításokat tették: A: Ez a szám akkor is páros, ha az első és az utolsó számjegyét felcseréljük. B: Ez a szám akkor is osztható -mal, ha a számjegyeit összekeverjük, és tetszőleges sorrendben felírjuk. C: Ez a szám akkor is osztható -tel, ha az utolsó két számjegyét felcseréljük. D: Ez a szám nem osztható 9-cel. E: Ezt a számot tetszőleges természetes számmal szorozva -mal osztható számot kapunk. Kik voltak morgik a csapatból? A: Morgi volt. B: Szorgi volt. C: Morgi volt. D: Morgi volt. E: Szorgi volt. Oszthatóság 9

130 IV. 7 Oszthatósági szabályok Feladatok a) Osztható-e a szám -mal, illetve 9-cel? b) Osztható-e a 444 szám -mal, illetve 9-cel? c) Osztható-e a 444 szám -vel, 4-gyel, illetve 8-cal? d) Osztható-e a 444 szám -gyel? a) Igen, a számjegyek összegéből következik. b) Igen, a számjegyek összegéből következik. c) -vel és 4-gyel osztható, mert az utolsó jegy páros, az utolsó két helyen álló kétjegyű szám pedig osztható 4-gyel. 8-cal nem osztható. d) Nem osztható. Válaszolj a kérdésekre az összeg, illetve a szorzat kiszámítása nélkül! a) Osztható-e a 89 6 összeg -mal? b) Osztható-e a összeg 4-gyel? c) Osztható-e a különbség 9-cel? d) Osztható-e a 67-4 különbség 4-gyel? e) Osztható-e a 6 7 szorzat 8-cal? f) Osztható-e a 4 7 szorzat 0-zel? a) Nem, mert mindkét tag hárommal osztva egy maradékot ad, így az összeg hárommal osztva kettő maradékot ad. b) Nem, mert bár két tagja osztható néggyel, a harmadik tag viszont nem, így az összeg sem. c) Igen, mert mindkét tag osztható 9-cel. d) Mindkét tag néggyel osztva három maradékot ad, így a különbség osztható néggyel. e) Igen, mert egyik tényezője osztható 8-cal. f) Igen, mert a szorzat prímtényezői között szerepel a és az is. Milyen számjegyet írhatunk a helyére, hogy igaz legyen az állítás? a) 408 osztható 4-gyel. b) 408 osztható -mal. c) 408 osztható 9-cel. a) 408 osztható 4-gyel. 0; 4; 8 b) 408 osztható -mal. ; 4; 7 c) 408 osztható 9-cel. 0 Oszthatóság

131 7 Oszthatósági szabályok IV. 4 Dobókockával dobunk kétszer egymás után. Sorold fel azokat a dobáspárokat, ahol az így kapott kétjegyű szám osztható a) -tel; b) 8-cal; c) 0-zel; d) -tel! a) -tel: ; ; ; 4; ; 6 b) 8-cal: 6; 4; ; 6; 64 c) 0-zel: Nincs ilyen. d) -tel: Írjunk fel a 4; 9; 4 és számok segítségével olyan kéttényezős szorzatokat, ahol a szorzat a) osztható -mal; b) 4-gyel osztva maradékot ad; c) -tel osztva maradékot ad; d) osztható 8-cal! a) Például: 4 9; 9 4; 4 b) Például: 4 c) Például: 4 9; 4 4 d) Például: Rakj ki az ; ; ; számkártyákból olyan háromjegyű számokat, amelyek oszthatók a) -mal; b) 4-gyel; c) -tel! Keresd meg az összes számot! a) A kiválasztható számhármasok: ; ; és ; ;. Ezek mindegyikével 6 db szám rakható ki, így öszszesen db ilyen szám van. b) Az utolsó két helyre kerülhet a ; ;. Minden kétjegyű szám elé kerülhet bármelyik a maradékok közül. Így összesen hat ilyen szám van. c) -tel: ; 7 Igaz-e, hogy a) négy egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható -mal? b) öt egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható 4-gyel? c) hét egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható 6-tal? a) Igaz, mert hárommal való oszthatóság során háromféle maradék lehet. Négy szám esetén tehát biztosan van kettő, amelyeknek ugyanaz a hármas maradéka. Ezek különbsége osztható hárommal. b) Igen, lásd előző indoklás. c) Igen, lásd előző indoklás. 8 Hány egész számot kell választanod, hogy biztos legyen köztük kettő, amelyek különbsége osztható -tel? Hat számot, az előző feladat indoklása alapján. Oszthatóság

132 IV. 8 Készítsünk magunknak oszthatósági szabályokat! Feladatok Osztható-e a 4 8 szorzat a) 6-tal? b) 8-cal? c) -gyel? d) -tel? a) Igen, mert osztható -vel és -mal. b) Nem, mert nem osztható 9-cel. c) Igen, mert osztható -mal és 7-tel. d) Nem, mert a szorzat nem osztható -tel. Igaz vagy hamis? Hamis válaszaidat példával igazold! a) Ha egy szám osztható 6-tal és 8-cal, akkor 48-cal is. b) Ha egy szám osztható 48-cal, akkor 6-tal és 8-cal is. c) Ha egy szám osztható 7-tel és 0-zel, akkor 70-nel is. d) Ha egy szám osztható 70-nel, akkor -vel, -tel és 7-tel is. e) Ha egy szám nem osztható 9-cel, akkor 8-cal sem. f) Nincs olyan 0-zel osztható szám, amelyik nem osztható 0-szal. a) Nem, mert például a 4 nem osztható 48-cal. b) Igaz. c) Igaz, mert 7 és 0 relatív prímek. d) Igaz. e) Igaz f) Hamis, mert például a 0 nem osztható 0-szal. Gondoltam egy számra. Négyjegyű. Osztható 4-tel. Az első és az utolsó számjegye megegyezik. A második számjegye 7. Melyik számra gondoltam? A szám osztható 4-tel, tehát osztható -tel és 9-cel. A szám utolsó számjegye csak lehet, mert osztható öttel és első és utolsó jegye megegyezik. A feltételek alapján tehát egy 7x alakú számot kaptunk. A számjegyek összeg 7 x, tehát a 9-cel oszthatóság miatt, 7 x 8, azaz x. 7 x 7, esetén x 0, de ez már nem lehetséges. A keresett szám így csak az 7 lehet Oszthatóság

133 8 Készítsünk magunknak oszthatósági szabályokat! IV. 4 Milyen számjegyet írhatunk a helyére, hogy igaz legyen az állítás? a) 4 08 osztható -vel. b) 9 60 osztható -tel. c) 40 osztható 0-cal. a) Ha egy szám -vel osztható, akkor -mal és 4-gyel is osztható. A néggyel való oszthatóság miatt az utolsó jegy csak 0, 4 és 8 lehet, a hárommal való oszthatóság miatt csak a 4 jó. b) Ha egy szám -tel osztható, akkor -mal és -tel is osztható. A szám öttel osztható, de a számjegyek összegének oszthatónak kell lennie hárommal is. Így csillag helyére csak az, 4 és a 7 kerülhet. c) A 0-cal való oszthatósághoz elegendő megnézni 0 és oszthatóságát. A szám osztható 0-zel. A számjegyek összegéből következik, hogy a csillag helyére a 0,, 6 és a 9 kerülhet. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amit a helyére írhatsz, hogy a a) 48 6 összeg osztható legyen -vel? b) különbség osztható legyen 8-cal? c) 7 szorzat osztható legyen 0-zel? d) 9 szorzat osztható legyen 8-cal és 4-gyel is? a) b) A kisebbítendő 9-cel osztva 7 maradékot ad és páratlan, ezért a kivonandónak is ilyen tulajdonságúnak kell lennie, tehát a 7 a legkisebb ilyen szám. c) d) A szorzat mindig osztható 8-cal. Ahhoz, hogy 4-gyel is osztható legyen, a téglalap helyére 7-et kell írni. 6 Gondoltam egy számra szól az osztály lelkes matekosa, és a többiek már kérdezgetik is. Annyit elárulok róla, hogy és 00 között van teszi hozzá sokat sejtető mosollyal. 0-zel osztva mennyi maradékot ad? Négyet. Osztható nyolccal? Igen. Megvan benne a három? Igen. Én már tudom! örvendezik Jázmin. Próbáljátok ki ti is a padtársaddal ezt a játékot! Ha a szám 0-zel osztva 4-et ad maradékul, akkor az a 4 vagy négyre végződő kétjegyű szám. Mivel a szám osztható 8-cal is, ezért a 4 és 64 lehet a megoldás. A harmadik állításból tudjuk, hogy osztható -mal, vagyis a gondolt szám a 4. Oszthatóság

134 IV. 9 Matematikai játékok Feladatok Adj nyerő stratégiát! Keress olyan lépéssorozatot, amelyikkel mindig nyersz! A játékok nyerő stratégiáit több játék alapján gondoljátok meg! Ezt a játékot párban játszhatjátok. Tegyetek egy bábut (radírt, papírfecnit stb.) a START mezőre! Lépjetek a bábuval felváltva egy vagy két mezőt előre! Az a játékos nyer, aki pontosan rálép a CÉL mezőre. A nyerő stratégia: Én kezdek, s az -es mezőre lépek, ezután bármit lép az ellenfél én mindig a -mal osztva egy maradékot adó mezőket választom: 4, 7, 0,, 6, 9. A 9-es mezőről ugyanis bármit lép az ellenfél, mindig én léphetek majd be a célba. Ha nem én kezdek akkor igyekszem minél előbb valamelyik -mal osztva egy maradékot adó mezőre lépni, mert akkor nyerhetek. Változtassatok a játékszabályon! Lépjetek egyet, kettőt vagy akár hármat is! Működik az előző játéknál kialakított stratégia? A nyerő stratégia: Én kezdek, a -es mezőre lépek, ezután pedig az ellenfél lépéseitől függetlenül mindig a 4-gyel osztva maradékot adó mezőket választom:, 6, 0, 4, 8. Mit gondolsz, hogyan változik a nyerő stratégia, ha a mezők számát növeljük a) -mal? b) -tel? c) 7-tel? 4 Oszthatóság

135 9 Matematikai játékok IV. a) A cél mező száma ekkor lesz, azaz a megfelelő mezők, melyeket érintenem kell:, 4, 7, 0,, 6, 9,. b) A cél mező száma így 7 lesz, ebben az esetben a -mal osztható mezőket kell érintenem, azaz most nem én szeretném kezdeni a játékot! c) A cél mező száma most 9, ezért a hárommal osztva maradékot adó mezőket fogom a játék során választani. A játékot én akarom kezdeni és a -es mezőre lépek. 4 Ezt a játékot másféleképpen is játszhatjátok. Rakjatok ki tetszőleges számú kavicsot vagy pálcikát az asztalra, és vegyetek el belőle felváltva egyet, kettőt vagy hármat! Az nyer, aki az utolsó darabot elveszi. Figyeljétek meg, hogyan kell megváltoztatni a nyerő stratégiát a kirakott tárgyak darabszámától függően! Akkor nyerhetek, ha a játék során mindig annyi követ veszek el az asztalról, hogy a maradék négygyel osztható legyen. Így ugyanis elérem, hogy a vége felé az asztalon 4 kavics legyen, s az ellenfél következik. Ő akár hányat vesz el, az utolsó kavics végül az enyém lesz. Ha a kupacban eredetileg néggyel osztható számú kavics volt, akkor kezdjen az ellenfél, ha nem néggyel osztható a kavicsok száma, akkor én szeretnék kezdeni. Versenyezzetek, ki tud adott idő alatt többféle téglatestet megépíteni adott darabszámú kiskockából! Hányféle téglatest építhető a) 8 darab; b) darab; c) 6 darab; d) 48 darab kiskockából? a) féle ( 8, 4, ) b) 4 féle (, 6, 4, ) c) 4 féle ( 6, 8, 4 4, 4) d) 9 fél ( 48, 4, 6, 4, 6 8,, 8, 4 6, 4 4) Oszthatóság

136 IV. 0 Összefoglalás Feladatok Totó Az alábbi totóban több jó válasz is lehetséges. A jó válaszok betűjelét írd a füzetedbe! I. A 69 6 osztható A: 6-tal; B: 8-cal; C: 7-vel; D: 48-cal. A, B, C, D II. A 64 6 Z ötjegyű szám osztható -vel. Milyen szám kerülhet a Z helyére? A: ; B: 4; C: 0; D: 8. A III. Az. 4, számkártyákkal hány -mal osztható háromjegyű szám rakható ki? A: ; B: 6; C: ; D: nincs ilyen szám. C IV. Hányféle módon rendezhetők párokba a 8; ; 7; ; 90 számok úgy, hogy a párokon belüli sorrendet nem vesszük figyelembe? A: 8; B: 0; C: ; D: 9. B V. A 8; ; 7; ; 90; számok közül az összes lehetséges módon kiválasztunk kettőt úgy, hogy a kiválasztott számok sorrendjét nem vesszük figyelembe. Hány esetben lesznek a kiválasztott számpárok tagjai relatív prímek? A: 4; B: 6; C: 0; D:. A VI. Az alábbiak közül mely számpároknak lesz a legnagyobb közös osztója? A: 0 és 8; B: 84 és ; C: 4 és 96; D: és 94. B, D Melyik állítás igaz? A hamis állításra keress példát! A: Ha egy szám osztható 4-gyel és -vel, akkor osztható 48-cal is. B: Ha egy szám osztható -tel és -vel, akkor osztható 0-zel is. C: Ha egy szám osztható 6-tal és 4-gyel, akkor osztható 4-gyel is. D: Ha egy szám osztható 4-gyel és 8-cal, akkor osztható -vel is. E: Ha egy szám osztható 9-cel és -tel, akkor osztható 4-tel is. A: Hamis, például a. B: Igaz. C: Hamis, például a. D: Hamis, például a 8. E: Igaz. 6 Oszthatóság

137 0 Összefoglalás IV. Melyik az ; ; ; 4; ; 6 számjegyek valamilyen sorrendjével felírható hatjegyű számok közül a) a legnagyobb; b) a legnagyobb páros; c) a legnagyobb -mal osztható; d) a legnagyobb 4-gyel osztható; e) a legnagyobb -tel osztható; f) a legnagyobb 6-tal osztható; g) a legnagyobb -vel osztható szám? a) 64 b) 64 c) 64 d) 64 e) 64 f) 64 g) 64 4 Miért nem lehet az ; ; ; 4; ; 6 számjegyek valamilyen sorrendjével felírható hatjegyű szám – gyel osztható? A legnagyobb különbség a felváltva előjelezett számjegyekkel például a 6 4 esetén adódik de ekkor is csak lenne, ami kisebb mint, tehát csak akkor lehetne a szám osztható -gyel, ha a számjegyek felváltva előjelezett összege 0-t adna. Változó előjellel összeadva a számokat soha nem kapunk 0-t, mert a megadott számok összege nem páros. Igaz, vagy hamis? a) Ha két természetes szám szorzata 0, akkor mindkettő 0. b) Ha két természetes szám szorzata páros, akkor mindkettő páros. c) Ha két természetes szám szorzata páratlan, akkor mindkettő páratlan. d) Ha egy természetes szám jegyeinek összege osztható 6-tal, akkor a szám is osztható 6-tal. e) Ha egy páros természetes szám jegyeinek az összege osztható 8-cal, akkor a szám is osztható 8-cal. a) Hamis b) Hamis c) Igaz d) Hamis e) Igaz Oszthatóság 7

138 IV. 0 Összefoglalás 6 Minden sorban felírtuk, hogy az a szám melyik prímek szorzata, de elrejtettünk a sorban egy felesleges prímet is. Ha a felesleges prímek mellé írt betűket összeolvasod, akkor egy értelmes szót kapsz. Nézz utána az interneten, hogy mi a megfejtett szó és a prím szó kapcsolata! A kapott szó az IKER. 60 H 7 I J K L 98 H I J K L A B 7 C D E 7 P 7 R S T U 7 Az angoltanár ad házi feladatot az első napon, aztán a negyedik napon és így tovább, minden. tanítási napon. A matektanár is ad leckét az első napon, és aztán minden. tanítási napon. A földrajztanár rendes, ő először a hatodik napon ad leckét, és aztán is csak minden. tanítási napon. Ha mindhárom tanár ad házi feladatot, akkor az tragikus nap. Először október 0-e péntek volt tragikus. Mikor lesz a következő tragikus nap? A legközelebbi tragikus nap 0 nap múlva, azaz november 9-én lesz. 8 Hány négyzet van a sakktáblán? -es négyzetből 64 db van. -es négyzetekből 49 db van. -as négyzetekből 6 db van. Tovább így folytatva azt kapjuk, hogy a négyzetszámokat kell összeadni -től 64-ig. Összesen 04 négyzet van az ábrán. 8 Oszthatóság

139 0 Összefoglalás IV. 9 Négy focicsapat körmérkőzést játszik a helyi Bozsik-tornán, azaz mindenki játszik mindenkivel. 0:00-kor kezdenek, egy-egy mérkőzés 0 percig tart, és két meccs között perc szünetet tartanak. Három pálya van egymás mellett, a sorszámuk I., II., III., tehát legfeljebb meccset játszhatnak egyszerre. a) Hány mérkőzést játszik egy-egy csapat? b) Hány mérkőzést játszanak összesen? c) Mennyi idő alatt lehet lebonyolítani a helyi Bozsik-tornát? d) Segíts a rendezőknek! Készíts lebonyolítási tervet, ha a nevezett csapatokat A; B; C; D jelöli. A terv tartalmazza, hogy melyik csapat mikor, melyik pályán játszik. e) Hogyan változnak a válaszok, ha csapat nevezett a tornára? f) Hogyan változnak a válaszok, ha 6 csapat nevezett a tornára? a) b) 6 c) Egyszerre csak két pályát tudnak használni, így 70 perc alatt lehet lebonyolítani a tornát. d) I. pálya II. pálya A-B C-D A-C B-D A-D B-C Hasonlóan végiggondolható illetve 6 csapat esetén is. e) csapat esetén: csapat 4 mérkőzést játszik, és összesen 0 meccset játszanak a tornán. A harmadik pályát most sem lehet kihasználni, így a torna 9 percig tart. f) 6 csapat esetén: csapat meccset játszik, összesen meccset játszanak. Most lehet egyszerre három pályán játszani, így óráig tart a torna. Oszthatóság 9

141 V. EGYENLETEK, EGYENLÔTLENSÉGEK Következő járatunkkal Alexandriába látogatunk, Kr. e. 40-be. Mindenki jelentkezett? kérdezte Judit néni teljesen feleslegesen, hiszen maga előtt látta a pályázók névsorát. Még tizenkét másodpercet kellett várni, és a holomonitoron megjelent az utazók listája. A két kiválasztott, Zsombi és Zsuzsi először örömujjongásban tört ki, majd villámgyorsan készülődni kezdtek az időugrásra. A visszaszámlálás megkezdésekor erősen megmarkolták a karfát, s szorításuk csak akkor enyhült, amikor megpillantottak néhány görögösen öltözött embert és mögöttük az alexandriai könyvtárat. Üdv, Béta! Hallom, keresel egy megbízható embert, aki Szüénébe utazik mérni. Jól hallottad, Hérón, de ha még egyszer Bétának szólítasz, nem te leszel az, bármilyen nagyra tartom is a munkáidat. Bocsáss meg, Eratoszthenész! Tudod, én is mennyire becsüllek. Nem mellesleg szeretnék részt venni a mérésben. Elmagyaráznád az eljárásodat? Az utazók szerint van Szüénében egy nap, amikor a Nap úgy süti a kutak fenekét, hogy egy csepp árnyék sem esik a vízre. Ha ugyanekkor itt Alexandriában is megmérjük, hogy mekkora árnyékot vet egy függőlegesen leszúrt bot, akkor ki tudjuk majd számolni a Föld kerületét, hiszen tudjuk, milyen messze van Szüéne Alexandriától. Miközben beszélt, egy bottal hevenyészett ábrát rajzolt a homokba. Most, hogy elmondtad, olyan egyszerűnek tűnik. Hogy nem jutott ez nekem is eszembe? sóhajtott Héron. Zsuzsi azt forgatta a fejében, hogyha hazaérnek, ők is lerajzolják a többieknek Eratoszthenész magyarázatát. Zsombi viszont ekkorra már készített is néhány téridőképet, amit elégedetten bámult a holomonitoron.

142 V.. Arányosságról még egyszer Feladatok Írj fel három olyan számpárt, melyeknek aránya a) : ; b) : ; c) 0 :! a) : 4 : 0 :, 8 : 0; b) : 6 : 4 : : 8; c) 0 : : :, : 9. Írd fel egész számokkal a megadott arányokat! a), : 6,7; b) : ; c) : ; d) : ; e) : ; f) :. 9 7 a), : 6,7 0 : ; b) : : 4; c) : : ; 4 4 d) : : ; e) : 4 7 : 8; f) : : Írd fel két egész számmal az alábbi arányokat úgy, hogy a lehető legkisebb pozitív egész szám szerepeljen az arányban! a) 84 : ; b) 4 : ; c) 0 : 0,04; d) 0,7 :,4; e) :. 8 a) 84 : : 4; b) 4 : : ; c) 0 : 0,04 0 : ; d) 0,7 :,4 : 6; e) : : Osszuk fel az alábbi számokat a megadott arányban! a) 6-ot : arányban; b) 0,-ot 7 : 9 arányban; c) d) 800-at : arányban; e) 600-at : : 4 arányban; f) 6 -öt : 6 arányban; 9 -ot : : arányban. A megadott számokat elosztjuk az arányszámok összegével, a kapott részt pedig megszorozzuk az arányszámokkal. a) ; b) 0,4; 0,8 c) ; 6 d) : :, ezért a számok 800; e) 400; 00; 800 f) ; 6 ; Egyenletek, egyenlôtlenségek

143 . Arányosságról még egyszer V. Két testvérnek összesen 40 cserélhető focis kártyája van. Az idősebb testvérnek háromszor annyi kártyája van, mint a fiatalabbnak. a) Írd fel a két testvér kártyái számának az arányát! b) Hány focis kártyája van a kisebb testvérnek? a) Az idősebb és a fiatalabb testvér matricáinak aránya :. b) 40 $ 0, tehát a kisebb testvérnek 0 matricája van. 4 6 Két szám aránya : 7. a) Mekkora a nagyobbik szám, ha a kisebb szám 4? b) Melyik két számra gondoltunk, ha az összegük 70? c) Melyik két számról van szó, ha különbségük 4? a) A kisebbik szám rész, ebből b) 9 rész 70 rész 6 rész 90 7 rész 44 rész 80 A nagyobb szám a rész 0 A számok 80 és 0. c) A különbség rész. rész 4 rész 9 A számok 8 és 6. 7 Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének az aránya : 4. Hány fokosak a háromszög szögei? A két hegyesszög összege 900. Ha ezt részre osztjuk, 0-ot kapunk. Tehát a hegyesszögek és 7 fokosak. 8 A Vidám családban három gyerek van. A családtagok életkorának összege 6 év. A gyerekek életkorának aránya : 4 :. Az apa 4 évvel idősebb az anyánál. Ha az apa életkorának kétszereséhez 4-et adunk, 00-at kapunk. a) Hány évesek a szülők? b) Hány éves a legidősebb gyermek? c) Hány év múlva lesz a legkisebb gyerek fele annyi idős, mint az anya most? a) Apa életkora: (00-4) : 48, anya életkora 44 év. b) A gyerekek életkorának összege 4, ebből arányos osztással kapjuk, hogy a gyerekek 6, 8 és 0 évesek. A legidősebb gyermek tehát 0 éves. c) Az anya most 44 éves, tehát a kérdés, hogy hány év múlva lesz a legkisebb gyerek éves. Ez év múlva következik be. Egyenletek, egyenlôtlenségek 4

144 V.. Mit tudunk a százalékszámításról? Feladatok Számítsd ki 70-nek a a) 0%-át; b) %-át; c) 7,%-át; d) 4%-át; e) 4,7%-át; f) 400%-át! a) 0; b),; c) 06,; d) 087,; e) 8,6; f) 000. Számítsd ki kétféle módon a a) 4 00 m 4%-át; b),4 kg 70%-át; c) 700 cm 7,%-át. a) I. Kiszámítjuk az %-ot, majd a 4%-ot. (4 00 : 00) 4 0 m II. A szám 0,4 részét számítjuk ki ,4 0 m b) (,4 : 00) 70,78 kg,4 0,7,78 kg c) (700 : 00) 7, 07, cm 700 0,7 07, cm Írd fel többféleképpen a a) 0 perc p%-át; b) m kg 6%-át; c) a liter 60%-át; d), hl p%-át; e) k kg p%-át! a) ^0 : 00h $ p p p p vagy 0 $ 00 b) m : 00 6 m m 00 6 ^ h $ $ 0 vagy m 0,6 c) a : a ^ h $ vagy a,6 p p, p d) ^, : 00h $ p vagy, $ k$ p p k$ p e) ^k: 00h $ p vagy k $ Egy téglalap alakú kert egyik oldala m, hosszabb oldala ennek 70%-a. Milyen hosszú a kert másik oldala? $ 70 $ 7, 4, m hosszú a másik oldal Egyenletek, egyenlôtlenségek

145 . Mit tudunk V. a százalékszámításról? Egy városismereti vetélkedőn 0 kérdéses tesztet kellett kitölteni. A Pajkos csapat célba érés után az alábbit mondta a már beérkezett csapatoknak: A feladatok közül 40% biztos, hogy jó, 4% lehet hogy jó, és csak a tesztkérdések %-ára nem tudtunk válaszolni. Igaz lehetett-e az állításuk? 0-nek a %-a 7,, ami nem egész szám, így biztosan nem lehetett az az állítás igaz, hogy a kérdések %-ára nem tudtak válaszolni. 6 0 kg narancsban 9 kg víz van. Hány százalék a narancs víztartalma? 9 része, azaz az 0 kg narancs 78%-a víz. 0 7 Hány százaléka a) 7 a 00-nak; b) a 00-nak; c) 4-nek az ; d) a 0,4 a 470-nek; e) 400-nak az 60; f) a 40, a,-nek; g) a -nek; h) a 68 a 800-nak; 7 4 i) a 0-nek a 4; j) 7 a 7-nek? a) 7%-a; b) 6%-a; c),%-a; d) %-a; e) 40%-a; f) 00%-a; g) 0%-a; h) 6%-a; i) 0%-a; j).,6%-a. 8 Melyik az a szám, amelynek a) %-a ; b) 4%-a ; c) %-a 7; d) %-a 400; e) 7,%-a 4,; f) 4%-a ; g) 0%-a 94; h), o %-a ; i) p%-a 700; j) p%-a,? a) 00; b) 6; c) 00; d) 8 000; e) ; f) 00; g) 40; h) 40; p i) 700 : p ; j), : p 00 p 9 Az iskolánkban lány tanul. Ez a tanulók létszámának a 4%-a. Hány tanuló jár az iskolába? , Tehát 700 tanuló jár az iskolába. Egyenletek, egyenlôtlenségek 4

146 V.. Mit tudunk a százalékszámításról? 0 A hetedik évfolyamon lévő A osztályba 6-tal több tanuló jár, mint a B osztályba. Az A osztály tanulóinak 60%-a lány, és az osztályba fiú jár. a) Hányan tanulnak az A osztályban? b) Hányan járnak a hetedik évfolyamra? c) A B osztályban a fiúk és lányok aránya :. Hány lány jár az évfolyamra? a) 0 tanuló jár az A osztályba. b) A B-be 4-en, így az évfolyamra 4 tanuló jár. c) A B osztályban 6 lány tanul, így az évfolyamra 4 lány jár. 46 Egyenletek, egyenlôtlenségek

147 . Összetett százalékszámítási V. feladatok Feladatok Számítsd ki a) -nek a 4 részét; b) 40-nek a %-át; c) 40 kg %-kal megnövelt értékét; d) 600 liter 8%-kal csökkentett értékét; e) részének a 6%-át; f) 0 %-ának az 0%-kal növelt értékét; g) 444 0%-kal csökkentett értékének a %-át! a) $ 0, b) 40 $ c) $ 0, 40 $, 76 d) $ 08, 600 $ 08, 49 e) 870 a $ $ 06, 7 k f) ^0 $ 0, h$, 8, g) ^444 $ 08, h$, 444 Írd fel egyenlőséggel! Ellenőrizd, valóban jók-e a számolások! Ha hibát találsz, akkor írd le helyesen a füzetedbe! a) 40 méter %-a 99 méter. b) 400 dl %-kal csökkentett értéke 890 dl. c) 640 dkg 8%-ával megnövelt értéke 76 dkg. d) 0%-kal csökkenetett értékének 4%-kal megnövelt értéke. e), óra %-a 8 perc. a) 40 0, 99 méter helyes. b) 400 dl dl 0,% 890 dl helyes. c) 640 dkg,8 76 dkg ez nem igaz, a helyes egyenlőség: 640 dkg,8 7, dkg. d) ( 0,8),4 ez nem igaz, a helyes egyenlőség: ( 0,8),4,4. e) 7 perc 0, 8 perc helyes. Egy fapados légitársaságnál október hónapban meghirdették az akciós utakat. Ha valaki ebben az időpontban megveszi a jegyét akkor a következő év áprilisára 600 Ft a repülőjegy Barcelonába. Az indulás időpontjához közeledve egyre drágulnak a jegyek. Már cius ban ugyanerre az időpontra a jegy ára 480 Ft. Hány %-kal emelkedett a jegy ára ezen időszak alatt? Azt kell meghatározni, hogy a 00 Ft hány %-a az 600 Ft-nak , 600 Tehát a repülőjegy ára 80%-kal emelkedett. Egyenletek, egyenlôtlenségek 47

148 V.. Összetett százalékszámítási feladatok 4 A tavaszi leárazás során a Ft-os csizma árát először %-kal, majd áprilisban 0%-kal csökkentették. a) Mennyibe került a csizma a kétszeri leárazás után? b) Hány százalékos lenne az árleszállítás, ha egy lépésben csökkentették volna az árat? a) $ 08, $ 09, 90 Ft-ba kerül a csizma a kétszeri leárazás után. b) 90 0, 76, tehát az eredeti ár 76,%-a lett a kétszeri leárazás után, vagyis alkalmanként,% kal kellene leárazni. Egy hipermarket árufeltöltője 00 csomag nápolyit rakott ki kedd reggel az üzlet polcaira. Estére elfogyott a nápolyi %-a, sőt másnap estig újabb %-kal csökkent a nápolyi készlet. a) Hány csomag nápolyi volt a polcokon kedd este? b) Hány csomag nápolyi fogyott el a két nap alatt? a) 00$ 088, 440 csomag volt kedd este a polcokon. b) Másnap estére 4400 $ 08, 74 csomag maradt a polcokon. Tehát a két nap alatt 6 csomag nápolyi fogyott el. 6 A megtakarított pénzem 40%-át elköltöttem karácsonyi ajándékozásra. A megmaradt pénzem hány százalékát kell újra hozzátennem a nyaralásig, hogy ugyanannyi pénzem legyen, mint a karácsonyi vásárlás előtt volt? Ha A Ft-om volt, akkor megmaradt a 0,6 része. Először számítsd ki konkrét számokkal! A kérdés az, hogy az A Ft hány %-a a 0,6 A-nak. A 0. 67, 06, $ A 06, 6 Tehát a megmaradt pénz 67%-át kell hozzátenni, hogy megkapjam az eredeti összeget. 48 Egyenletek, egyenlôtlenségek

149 4. Szöveges feladatok V. feladatok Feladatok Olga néni sütött egy nagy tepsi pogácsát. Matyi a pogácsák 0%-át, Gazsi a negyedét, Gergely a 0 részét ette meg, így anyának és apának 0 darab maradt. a) A pogácsák hány százaléka maradt meg a szülőknek? b) Hány darab pogácsát sütött Olga néni? a) A gyerekek megették a pogácsák -részét, a szülőknek %-a maradt meg. 4 b) 40 db pogácsát sütött Olga néni. Nyáron bejártuk Görögországot. Az út 7%-át repülővel tettük meg, az ötödét autóval, és 0 km-t még bicikliztünk is. Hány kilométert utaztunk a nyáron? A 0 km biciklizés az egész út 0,0%-a, ezért a teljes út 0 00, 400 km volt. Az iskolába 680 gyerek jár. A gyerekek %-a minden nap vesz magának tízórait a büfében, közülük minden harmadik ásványvizet is vásárol. Hány gyerek vásárol minden nap tízórait és ásványvizet is a büfében? ^680 $ 0, h : 4 gyerek vásárol üdítőt mindennap a büfében. 4 A téglalap egyik oldala 0 dm, másik oldala m. Minden oldalát 4%-kal megnöveljük. a) Hány százalékkal növekszik a kerülete? b) Hány százalékkal növekszik a területe? a) 4%-kal. b) A megnövelt oldalak hossza 4, dm, illetve 9 dm. A megnövelt téglalap területe,0-szorosa lesz az eredeti téglalap területének. A terület tehát 0,%-kal növekedett. A 0 cm-es oldalú négyzet egyik oldalát 40%-kal megnöveltük, másik oldalát 40%-kal csökkentettük. a) Hány százalékkal változott a kerülete? b) Hány százalékkal változott a területe? a) A keletkezett téglalap oldalai 4 cm, illetve 6 cm hosszúak. Így a kerülete nem változott. b) A téglalap területe 84 cm lett, azaz 6%-kal csökkent. Egyenletek, egyenlôtlenségek 49

150 V. 4. Szöveges feladatok 6 liter vízhez dl málnaszörpöt keverünk. Hány százalékos lesz az italunk? 009, oo azaz az üdítő közelítőleg 9%-os lett. 7 Az edzésre 4 lány jár. A csapat 7%-a fiú. Hány gyerek jár az edzésre? A lányok az edzésre járók 8%-át teszik ki, azaz 0 gyerek jár edzésre. 8 A szünetig még 8 dolgozatot írunk. Tegnap már megírtunk kettőt, ma egyet. A tervezett dolgozatok hány százaléka van még hátra? 8 07, o o része, azaz. 7%-a van még hátra. 9 A nyári angoltábor 0%-kal olcsóbb, ha most fizetem be, így 780 forintba kerül. Mennyibe kerül eredetileg? Az eredeti ár 90%-a 780 Ft, ezért az eredeti ár 8700 Ft volt. 0 A matematikadolgozatok átlaga 4,6 lett, ami 4%-kal jobb, mint a földrajzdolgozatok átlaga. Mennyi lett az osztályátlag földrajzból? A matematikadolgozat eredménye a földrajzdolgozat átlagának 4%-a. Így a földrajz dolgozat átlaga 4,0. A nagy nyári hőségben eladtuk a jégkrémek %-át. Hány százalékkal kell növelnünk a megmaradt mennyiséget, hogy ugyanannyi jégkrémünk legyen, mint eredetileg volt? Próbáld meg kiszámítani konkrét számokkal. 4% maradt meg. 00 0, 4 9 o, tehát o, -szeresére kell növelni, azaz a meglévő mennyiséget kb. %-kal kell megnövelni. 0 Egyenletek, egyenlôtlenségek

151 4. Szöveges feladatok V. Nyári munkával és újságkihordással összegyűjtöttem Ft-ot, de a laptop, amit kinéztem magamnak Ft-ba kerül. A boltban ki tudom fizetni a fennmaradó összeget hathavi részletre, de akkor a kamat miatt %-kal többe kerül. a) Mennyivel kell így többet fizetnem a laptopért? b) Hány forint lesz a havi törlesztőrészlet, ha fél évre vettem fel a hitelt, és minden hónapban ugyananynyit fizetek? a) Ft %-át kell kifizetni kamatként, azaz 400 Ft-tal kell többet fizetni. b) 4 00 : 6 70 Ft lesz a havi törlesztőrészlet. Volt két tengerimalacom. Egy szép napon kölykeik születtek, majd azoknak is kölykeik születtek, akik még tovább szaporodtak. Azóta eltelt pár év és megállapítottam, hogy a tengerimalac-állományom fél év alatt 0%-kal növekszik. Jelenleg 00 tengerimalacom van. Hány tengerimalac boldog tulajdonosa leszek fél év, egy év és két év múlva? Ha feltesszük azt, hogy nem pusztul el egyetlen állat sem, akkor Eltelt idő Számítás Tengeri malacok száma Fél év múlva 00, 0 0 Egy év múlva 0, Másfél év múlva 44, 7,8 7 Két év múlva 7, 06,4 06 Vigyázz! A válasz csak egész érték lehet. 4 Egy tableteket forgalmazó cég az új termékét Ft-ért állítja elő. Mivel a piacon nincs más ilyen termék, nagy hasznot remél a forgalmazásból. Ezért az előállítási költség 0%-kal megnövelt értékéért árusítja. Nem sokkal később megjelennek hasonlóan jó minőségű tabletek, így az árat 0%-kal csökkentenie kell. a) Mennyibe került a piacra kerüléskor a tablet? b) Hány Ft-tal csökkentették a tabletek árát? c) Mennyi volt a cég bevétele, ha 00 tabletet sikerült eladniuk a bevezető áron és 000 darabot a csökkentett áron? a) Ft-ba. b) Ft-tal csökkentették a tablet árát. c) Ft. Egyenletek, egyenlôtlenségek

152 V. 4. Szöveges feladatok Lakásvásárlás során a szerződés megkötésekor a lakás árának %-át kell kifizetni előlegbe. Lucáék szülei,4 millió forintot fizettek az eladónak. a) Mennyibe került a lakás? b) A lakás vásárlásához hitelt kellett felvenni. Ez a lakás árának a 0%-a. Hány forint hitelre volt szükség? c) A lakásvásárlásakor Ft illetéket kell fizetni az államnak. Hány % az illeték mértéke? a) Ft-ba. 0, b) 4,8 millió Ft kölcsönt kell felvenni. c) ,, tehát 4%-os illetéket kell fizetni Egyenletek, egyenlôtlenségek

153 . Számok és betûk használata I. V. Feladatok Keresd a párját! a) Egy szám hétszerese. b) Egy szám felének a háromszorosa. c) Két szám hányadosa. d) Egy szám harmadának a kétszerese. e) Egy számnál kilencszer nagyobb szám. f) Egy számnál héttel nagyobb szám négyszerese. A) (x : ) ; B) 7x; C) x ; D) x 9; E) x 7 4; F) x $ $ ; G) x 9; H) (x 7) 4; I) x. y a) B b) F c) I d) A e) D f) H Készíts az a; b; a ; -; 4 elemekből egytagú algebrai kifejezéseket! Írj a füzetedbe tíz különböző lehetőséget! Néhány példa: a, b, ab, a, a, a b, 4a, 4ab, 4a b, -a, -b, -a. Válaszd ki azokat az algebrai kifejezéseket, amelyeknek az együtthatója -nél nagyobb! a) 7xy; b) a b; c),7x 6 ; d) 7 ab; e) 8,4x y z ; f) a ; g) km h) x xy; 7 ab ; 84, xyz ; x Végezd el az összevonásokat a következő algebrai kifejezésekben! a) a -a- a a-a- a; b) 4b- b- b 6b b- b ; c) 6c 8c- c- 4c- 6c c; d) 4, b- 9, b 4, b; e) 4x- ( x) 7x-( – x) ; f) -7y- y (- 9y). a) a -a- a a-a- a -a; b) 4b-b- b 6b b- b – 7b; c) 6c 8c-c-4c- 6c c – 7c ; d) 4, b- 9, b 4, b,8b; e) 4x- ( x) 7x-( – x) 0x; f) -7y- y (- 9y) -9y. Egyenletek, egyenlôtlenségek

154 V.. Számok és betûk használata I. Végezd el az összevonásokat, és számold ki a kifejezések helyettesítési értékét, ha x a) x- 4y x- 7y; b) x – 7x (- 9) ; c) 4xy – x y- xy; d) 4x 8y- x – y; e) x y xy ; 6 f) xy – y – xy x. a) x- 4y x- 7y 8x- y – 49 ; 6 b) x – 7x (- 9) -x ; – 9 ; ; c) 4xy – x y- xy xy x y d) 4x 8y- x – y x y e) x y xy $ b- l $ b- l $ – – 0; f) xy – y – xy x $ b- l- $ – $ b- l ; y! 4 Egyenletek, egyenlôtlenségek

155 6. Számok és betûk használata II. V. Végezd el a szorzásokat! a) ( x ) ; b) – 4 ( y) ; c), ( x- y) ; d) x( 7 – x) ; e) ( x y) $ (- ) ; f) z( 4x- 6y) ; g) xx ( 8) ; h) xy(, 4 7, ); i) 4 yx ( y) ; j) z( x 4y- z). a) x 6 b) -0-4y c) x- 4, y d) 7x- x e) -x- y f) 4xz – 6yz g) x 6x h), xy i) 4xy 4y j) xz 4yz – z Először vond össze a zárójelen belüli kifejezéseket, majd végezd el a szorzásokat! a) ( a 7b- 4a b) ; b) (-e- f 7f-e) $ (- ) ; c) x( — 4x 8- x ) ; d) (-)( 4- x 4x-8- x) ; e) ( x- y 4xy – yx) $ xy; f) ( x-y-4x-7y-xy) $ (- xy). a) ^ b- ah 6b- 9a b) ^- 4e 4fh^- h 70e- 0f c) x^6-6xh 6x- 6x d) ^- h^h- e) ^x- y xyh xy xy – xy xy f) ^-x- 8y- xyh^- xyh 9xy 4xy xy Bontsd fel a zárójeleket és végezd el az összevonásokat! a) 4] a- g 7 ] – ag; b) ] – ag- ] a g; c) ] ag- 7 ] – ag; d) ] – ag ] a 4g; e) 44 ] x- g- ] – xg; f) 6 ] x- 8g ] x 8g. a) 4] a- g 7 ] – ag 4a a – a 0; b) ] -ag- ] a g -a-a- 6-8a 9; c) ] ag-7 ] – ag 9 a- 4 7a 0a -; d) ] – ag ] a 4g 4- a a 8 ; e) 44 ] x-g-] – xg 6x-8- x x -; f) 6 ] x- 8g ] x 8g 8x- 48 x 6 40x -. Egyenletek, egyenlôtlenségek

156 V. 6. Számok és betûk használata II. 4 Végezd el a zárójelfelbontásokat, összevonásokat és számítsd ki a kifejezés helyettesítési értékét! a) 8y- x 6- ] y x 8g x -; y 7; b) ( – 9) – ( a- b) – (- b 4a) a ; b 6; c) (-4z- ) (-z- v) – ( 9v ) z 4 ; v a) 8y- x 6- ] y x 8g 8y- x 6-y-x- 8 – x 7y- 49-6; b) ( -9) -( a-b) -(- b 4a) -4- a b b- 4a – 6a b ; c) (-4z- ) (-z-v)- ( 9v ) -4z–z-v-9v- -7z-v- 6-7 $ 4 – $ c- m Péntek délután megírtam az összes leckém negyedét, szombat délelőtt a -át. Maradt-e leckém vasárnapra? Igen, megmaradt az – a 4 k része. 6 Végezd el az összevonásokat! a) a 4a 8a 6a ; b) b b – 8b- 8b ; c) c c c – c- c ; d) d d d d – – d – d; 4 e) a b b b – – b a. a) a 4a 8a 6a 0a 0a; b) b b -8b- 8b -b- b ; c) c c c -c- c c -c – c; d) d d d d – – d – d d ; 4 e) a b b b b a 4a b b. 6 Egyenletek, egyenlôtlenségek

157 6. Számok és betûk használata II. V. 7 Keresd az egyenlőket! a) a a -a a – 7a a b) x y y – x (a – )6 -(a – ) – 4 (a – 9) a 4a – ( 8 x – 4 y) -(y – x) 4x – y – x y x y x – y (y – x) a) a a a a 4a a- 7a – a -^a- h- 4 ^a- 6 h ^ a- 9h b) x y 4x- y- x y – 8 x – 4 y y – x ^ h ^ h -^y- xh x- y y- x x y 8 Egy számhoz a négyszeresét hozzáadva 978-t kapunk. Melyik ez a szám? a 4a 978 azaz a 978, tehát a 97 Ellenőrzés szöveg alapján. 9 Egy számot elosztva a nyolcadával eredményül 8-t kaptunk. Melyik számra igaz ez az állítás? Ez minden nullától különböző számra igaz. 0 Vettem s darab rágót (9 Ft/db), c da rab csokit (87 Ft/db), k csomag gumicukrot (6 Ft/db) és n üveg lekvárt (49 Ft/db). a) Írd fel, mennyit fizettem összesen! b) Hány forinttal fizetek többet, ha veszek még négy rágót és két csokit? a) 9s 87c 6k 49n b) 4 $ 9 $ Ft-tal fizetek többet. Egyenletek, egyenlôtlenségek 7

158 V. 6. Számok és betûk használata II. András minden születésnapjára annyi könyvet kapott, ahány éves volt. Készíts táblázatot, hogy hány könyve gyűlt össze az ajándékokból ; ; ; ; 4, illetve a éves koráig! Életkor 4 4 a Összes kapott könyv a $ ] a g 8 Egyenletek, egyenlôtlenségek

159 7. Egyenletmegoldási módszerek: V. próbálgatás és lebontogatás Oldd meg az alábbi egyenleteket a lebontogatás módszerének felhasználásával! a) 4 $ ] 6x – g? – 4 6; b) $ $ ] 4x g? – 8. a) x b) x 4 Végezd el a lehetséges összevonásokat, majd a próbálgatás módszerének segítségével döntsd el, van-e az egyenleteknek -nél nem nagyobb megoldása a pozitív egész számok halmazán! A számoláshoz készíts táblázatot a füzetedben! a) x 8x- 7 x – ; b) 4x-8-0x x 6 4-4x; c) x 4x – x x x – 4; d) x- 6 0x- – 6x x- 8- x. a) 0x – x – x 4 Bal oldal 0x Jobb oldal x Nincs megoldása az adott számhalmazon. b) -x 4-4x x 4 Bal oldal -x Jobb oldal 4-4x Nincs megoldása az adott számhalmazon. c) x 4 6x x 4 Bal oldal x Jobb oldal 6x 7 9 Az x megoldása az egyenletnek. d) 7x – 8 x 4 x 4 Bal oldal 7x Jobb oldal x Az x megoldása az egyenletnek. Egyenletek, egyenlôtlenségek 9

160 V. 7. Egyenletmegoldási módszerek: próbálgatás és lebontogatás Egy számhoz a négyszeresét hozzáadva 978-t kapunk. Melyik ez a szám? x 4x 978 x 97 4 Egy autóbusz előre tervezett útjának harmadánál 0 km-rel többet tett meg, amikor pihenőt tartott egy parkolóban. Ekkor a buszvezető azt mondta az utasoknak, hogy eddig 00 km-t tettek meg. Hány km volt a tervezett út? A tervezett út x km, ekkor x 0 00 x 40 km A tervezett út 40 km volt. Ellenőrzés szöveg alapján. Egy számot elosztva a nyolcadával eredményül 8-at kaptunk. Melyik számra igaz ez az állítás? x : x 8 8 x $ 8 8x 8 x x Mivel a nevezőben ismeretlen van, ki kell kötnünk, hogy x! 0, hisz 0-val nem lehet osztani. Ha az értelmezési tartományból kizártuk a 0-t, akkor egyszerűsítés után azonosságot kapunk. Ennek a feladatnak tehát a 0-n kívül minden szám megoldása. 6 Ki melyik számra gondolt? Írd fel az egyenleteket, és oldd meg lebontogatással az alábbi feladatokat! a) Anna: A gondolt szám hétszereséből négyet elvéve 4-öt kaptam. b) Bálint: A gondolt számhoz hozzáadtam 8-at, az összeget elosztottam 7-tel, a hányadosból elvettem -at, így -et kaptam. c) Csenge: A gondolt szám kilencszeresénél -vel kisebb szám harmada. d) Gáspár: Ha a gondolt szám négyszereséből elveszek -t, a különbséget megszorzom -mal, a szorzatból elveszek 0-et és az eredményt elosztom -tel, 4-et kapok. a) Anna: 7x – 4 4, x 7-re gondolt. b) Bálint: x 8 -, x 0-ra gondolt. 7 c) Csenge: 9 x -, x -re gondolt. d) Gáspár: 4 ^ x – h-0 4, x -ra gondolt. 60 Egyenletek, egyenlôtlenségek

161 7. Egyenletmegoldási módszerek: V. próbálgatás és lebontogatás 7 Délután fél háromkor biciklizni mentünk. Megtettük a túra negyedét és még 0 km-t, így már csak a harmada van hátra. a) Hány kilométeres a túra? b) Mikor értünk haza, ha 8 km sebességgel tekertünk? h a) x 0 x 4 x 0 8 x 0 x x 48 km-es volt a túra. b) A túrát 48 8 óra, azaz óra 40 perc alatt megtettük, így 7.0-re értünk haza. 8 a) Ha kg alma 0 forintba kerül, mennyibe kerül kg alma? b) Ha a kg alma x forintba kerül, mennyibe kerül b kg alma? a) Írjunk fel egyenes arányosságra tanult egyenlőséget. x 0 Ft-ba kerül kg alma. b) Jelöljük b kg alma árát y Ft-tal. Hasonlóan az a) részhez: A feladat megoldható következtetéssel is. 0 x x y a b y b$ x a Egyenletek, egyenlôtlenségek 6

162 V. 7. Egyenletmegoldási módszerek: próbálgatás és lebontogatás 9 a) A játszóteret 00 m kerítéssel lehet teljesen bekeríteni. Az egyik rövidebb oldalra 40 m kerítés szükséges. Hány méter kerítés kell az egyik hosszabb oldalra? b) Egy játszótér kerülete k, egyik oldala a. Mekkora a másik oldal? c) Minden k és a értékre értelmes a b) feladat? a) Legyen a hosszabb oldal b. a b b 00 b 60 A hosszabb oldal 60 méter hosszú. b) Legyen a másik oldal b. a b k b k-a b k – a A másik oldal hossza k – a méter. c) A feladatnak akkor van értelmes megoldása, ha k a. 0 Arany János 6 évvel volt idősebb Petőfi Sándornál. 848-ban ketten együtt 6 évesek voltak. Hány éves volt Arany János 844-ben, amikor fia, Arany Laci megszületett? Arany János életkorát jelöltük x 6-tal. x x 6 6 egyenletből megkapjuk, hogy Arany János 848- ban éves volt, így a fia születésekor, 844-ben 7 éves volt. Falu végén kurta kocsma, Oda rúg ki a Szamosra[ ] Tudod-e mire utal Petőfi Sándor versében a kurta kocsma kifejezés? A XVIII. században a parasztok nem egész évben, hanem csak rövidebb ideig árulhatták saját borukat a kocsmákban. Az év maradék részében a földesúré volt a borkimérés joga és haszna is. a) Hány napon keresztül árulhattak bort a parasztok a maguk hasznára, ha az év / részénél nappal kevesebb ideig volt övék a borkimérés joga? b) A haszon hányad része lehetett a földesúré? a) Szökőévtől függően számolhatunk 6 vagy 66 nappal, így kerekítve napon keresztül árulhatnak bort a parasztok. b) A haszon 4 vagy része a földesúré Egyenletek, egyenlôtlenségek

163 8. A mérlegelv V. Oldd meg mérlegelv segítségével az egyenleteket! a) 6x – x 7; b) 4x x ; c) 8x – 4x 9; d) -7 8x 8-7x. a) 6x – x 7 -x x – 7 x 9 Ellenőrzés! b) 4x x -x x – x 0 x 0 Ellenőrzés! c) 8x – 4x 9-4x 4x – 9 4x 0 x 7, Ellenőrzés! d) -7 8x 8-7x x Ellenőrzés! Végezd el az összevonásokat, zárójelfelbontásokat, majd a mérlegelv felhasználásával oldd meg az egyenleteket! a) 6x 4-7x – 6x x – ; b) – 8x 6 60x 8x x; c) (x – ) 9 9(x – ) 9; d) 8(x ) – 6 6(x – ) 6. A megoldást minden esetben ellenőrizzük. a) 6x 4-7x- 6x x- -összevonás -x 8x- x 4 9 b) -8x 6 60x 8x-4 46 x -összevonás x 78 0x x – 4 c) (x-) 9 9(x-) 9 -zárójelfelbontás x- 9 9x-9 9 -összevonás; mérlegelv x d) 8(x )-6 6(x-) 6 -zárójelfelbontás 8x 96-6 x-6 6 -összevonás; mérlegelv x, Egyenletek, egyenlôtlenségek 6

164 V. 8. A mérlegelv Zárójelfelbontás és összevonás után alkalmazd a mérlegelvet az egyenletek megoldásához! a) 6( – x) 0 0(x – ) – 0; b) 6(a – 4) ( – a) (-a – ) – (a – ); c) ( – x) ( – x) 6(x – ) – (x ); d) ( – b) 0(b – ) – (,b )(b – ). Minden feladatban először zárójelfelbontást, majd összevonást végezzünk. a) 6( – x) 0 0(x – ) – 0 -zárójelfelbontás 8 – x 0 0x összevonás 8 – x 0x – 40 x 78 9 b) 6(a – 4) ( – a) (-a – ) – (a – ) -zárójelfelbontás 6a a -a – – a 6 -összevonás a – 4-6a a 7 7 c) ( – x) ( – x) 6(x – ) – (x ) -zárójelfelbontás 4-6x 6-6x x – 8-6x – 9 -összevonás 0 – x -4x – 7 x – 7 d) ( – b) 0(b – )-(,b ) (b – ) -zárójelfelbontás 0 – b 0b b – 0 9b – 4 -összevonás -0 9b – 4 x 9 64 Egyenletek, egyenlôtlenségek

165 8. A mérlegelv V. 4 Zárójelfelbontás után végezd el a lehetséges összevonásokat, és oldd meg az egyenleteket! a) $ ] 4x g 7$ ] 8x g $ ] x 6g- 4$ ] x g – 6; b) 6- ] x g-$ ] x- 4g 8$ ] 4- xg $ ] x- 4g; c) $ ] x g $ ] x- g 6$ ] x- g $ ] x- 4g ; d) 0 -$] – xg $ ] x 4g $ ] -xg-4$ ] 6-xg. a) 8x 6x 4 x 7-4x- 8-6 b) 6- x- – 6x – 8x x- 64x 6 8x 8-7x 6 – x 0 6x 4-4 x x x – 4 c) 6x 6x- 4 8x- 6 x- d) 0-0 0x x 8 4-6x- 4 4x 4x- x- 7 x 8 -x- 0 x 4 4x -8 x 4 x – A csempéket húszasával dobozolják. A csempéket tartalmazó papírdoboz üresen 0, kg és egy doboz csempe ugyanolyan nehéz, mint csempe és 8 kg. Hány kg egy csempe? Legyen csempe tömege x kg. 0x 0, x 8 x 7, x 0, Egy csempe 0, kg. 6 Egy szám hatszorosából 4-et kivonva ugyanazt kapjuk, mintha az ötszöröséhez 0-et hozzáadunk. Melyik ez a szám? Jelöljük a számot x-szel. 6x-4 x 0 x 4 A gondolt szám a 4. Javaslat, gondoljuk végig következtetéssel, mérlegelv nélkül. Egyenletek, egyenlôtlenségek 6

166 V. 8. A mérlegelv 7 Panni és Orsi matricákat gyűjt. Panni matricái négyszeresénél 0-zel több ugyanannyi, mint Orsi matricái hatszorosánál -vel kevesebb. Hány matricát gyűjtöttek a lányok külön-külön? Ez a feladat nehéz! Két ismeretlent tartalmaz, több megoldás is lehet. Panni matricáinak száma: x Orsi matricáinak száma: y 4x 0 6y – A mérlegelv szerint rendezve az egyenletet: 4x 6y : x 6 y Az látható, hogy y csak páros szám lehet, és y $ 6, mert ekkor lesz x is pozitív. Foglaljunk táblázatba néhány megoldást. y (Orsié) x (Pannié) Végtelen sok megoldás van. 66 Egyenletek, egyenlôtlenségek

167 9. Azonosság, ellentmondás, V. egyenletek megoldása Hány megoldása van az alábbi egyenleteknek? a) 6( x) 6(x – ) 9; b) 0(x – ) 0(x ); c) 9-6(x – ) x – ; d) (x 7) – x 7; e) 7 x 4 – x; f) -4 (x – 7) – x; g) – $ x – $ x; h) 0 $ x – ^x- h. a) 6( x) – 6(x – ) 9 -zárójelfelbontás 6x – 6x összevonás 9 6x 9 6x A két oldal ugyanaz, az egyenletnek minden szám megoldása. b) 0(x – ) 0 (x ) -zárójelfelbontás 0x – 0 0x 0 -összevonás 0x – 0x -0x – Ellentmondás, nincs megoldása az egyenletnek. c) 9-6(x – ) x – -zárójelfelbontás 9-6x 8 x – -összevonás -6x 7 x – mérlegelv alkalmazása után x 8 d) (x 7) – x 7 x 4 – x Ellentmondás, nincs megoldása az egyenletnek. e) 7 x 4 – x 7 x 4 x -7 Ellenőrzés f) -4 (x – 7) – x -4 x x -4-4 Azonosság, minden szám megoldása az egyenletnek. Egyenletek, egyenlôtlenségek 67

168 V. 9. Azonosság, ellentmondás, egyenletek megoldása g) – x – x – 7 x x h) 0 x – (x – ) i) 0 x – x 0 7 x – x – 7 Melyik egyenletnek van megoldása az egész számok halmazán? Az egyenletek megoldása után válaszolj a kérdésre! a) 4x – x – 4 ; b) 4x x ; c) 4 x x ; d) $ ^x h 7x; e) 7x- 4x 0. 4 a) x 0 b) x – c) x, d) x -6 e) x 7 4 A b) és d) egyenleteknek van egész megoldása. Egy szám kétszereséből kivontam nyolcat. Ugyanakkora számot kaptam, mint a számnál hárommal kisebb szám kétszerese. Melyik számra gondoltam? A gondolt szám x: x – 8 (x – ) Rendezve az egyenletet ellentmondást kapunk, tehát nincs ilyen szám. 68 Egyenletek, egyenlôtlenségek

169 9. Azonosság, ellentmondás, V. egyenletek megoldása 4 Egy számot hárommal csökkentettem, majd vettem a hatodrészét. Ugyanazt a számot kaptam, mint a szám kétszeresénél -tel nagyobb szám. Melyik ez a szám? x – x 6 Rendezve az egyenletet kapjuk, hogy x – Ellenőrzés szövegbe helyettesítéssel. A gondolt szám a -. Gondoltam egy számra. A kilencszereséhez hozzáadtam nyolcat. Így ugyanakkora számot kaptam, mint amikor a szám feléhez adtam hozzá másfelet. Melyik számra gondoltam? A gondolt szám x: 9x 8 x, 8x 6 x x – 7 A gondolt szám a – 7. Ellenőrzés! 6 Egy régi házban lakunk, ahol a négyzet alapú szobám magassága éppen 0,8-szerese az oldalának. A szoba élének hossza összesen 44,8 méter. a) Milyen magas a szobám? b) Mekkor a szobám alapterülete? Legyen a szoba alapéle x, ekkor a magasság 0,8x. 8 x 4 0,8x 44,8,x 44,8 x 4 A szoba magassága, méter. Alapterülete T x 6 m. Egyenletek, egyenlôtlenségek 69

170 V. 9. Azonosság, ellentmondás, egyenletek megoldása 7 Anna meghirdette a használt játékát, de nem jelentkezett vevő, úgyhogy 0%-ot engedett az árból. Sajnos így sem jelentkezett senki, de amikor ezt tovább csökkentette 00 Ft-tal, akkor a kapott 4900 Ft-os áron már talált vevőt. Mennyiért kezdte hirdetni Anna a játékát? Az eredeti ár legyen x Ft. Az első csökkenés után az ára 80%-a az eredetinek, tehát 0,8 x A második csökkentés után 0,8x Az egyenletet megoldva kapjuk a játék eredeti árát: 8000 Ft. Ellenőrzés szöveg alapján. 70 Egyenletek, egyenlôtlenségek

171 0. Egyenlôtlenségek megoldása V. mérlegelvvel Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a) a 6; b) a a 6; c) a a 6; d) a 4a 6; e) $ 4b; f) $ 6 4b; g) b $ 6 4b; h) – b $ 6-4b. a) a b) a 6 c) a d) a -, e) b # f) b # g) b # h) b $ – Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a) 4x 7; b) 4x – 7; c) – 4x 7; d) -4x – 7; e) y # 7; f) y – # 7; g) – y # 7; h) -y – # 7. a) x 7 4 b) x c) x d) x 7 4 e) y # 6 f) y # g) y $ -6 h) y $ – Egyenletek, egyenlôtlenségek 7

172 V. 0. Egyenlôtlenségek megoldása mérlegelvvel Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a) ] a g 6a- ^a h; b) 9] b- g ^b- h ; c) 4ac- k ac- k 6 ; d) 7 d- d a) (a ) 6a-(a ) zárójelfelbontás a 6 6a-a- összevonás a 6 a- -a a – : a -, Hasonló lépésekkel a többi feladatot is megoldhatjuk. b) b c) c,7 d) d Írd fel egyenlőtlenséggel az alábbi állításokat! Oldd meg az egész számok halmazán, mely egész számokra teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek! a) Egy szám ötszöröse kisebb, mint a kétszeresénél 6-tel nagyobb szám. b) Egy szám felénél 0-zel nagyobb szám nagyobb, mint a kétszeresénél -tel nagyobb szám. c) Egy szám harmada kisebb, mint a felénél -vel nagyobb szám. d) Egy szám ellentettjénél 4-gyel kisebb szám nem nagyobb, mint a számnál 6-tal nagyobb szám. Jelöljük a számot x-szel. a) x x 6 x vagy nála kisebb egész számokra igaz az egyenlőtlenség. b) x 0 x x 0 vagy ennél kisebb egész számokra igaz az egyenlőtlenség. c) x x x – – vagy ennél nagyobb egész számokra igaz az egyenlőtlenség. d) -x – 4 # x 6 x $ – – vagy ennél nagyobb egész számokra igaz az egyenlőtlenség. 7 Egyenletek, egyenlôtlenségek

173 0. Egyenlôtlenségek megoldása V. mérlegelvvel A húst is tartalmazó napi menü ára 880 Ft, a vegetáriánus menü pedig 780 Ft. Május -án az összes bevétel Ft volt. a) Legfeljebb hány adag menüt adtak el? b) Legalább hány adag menüt adtak el? c) Ha összesen 48 adag menü kelt el, akkor hány húsos és hány vegetáriánus menüt ad tak el? a) A legtöbb menüt akkor adták, el, ha mindenki olcsóbb menüt vett. 780 x x 6,8 Így tehát 6 vegetáriánus menüt adtak el. b) A legkevesebb menüt akkor adták el, ha mindenki húsos menüt rendelt. Legalább 44 menüt el kellett adni. c) Legyen a vegetáriánus menük darabszáma x, akkor 48 – x húsos menü fogyott. 780 x 880 (48 – x) x 8 Így tehát 8 vegetáriánus és 0 húsos menüt adtak el. Egyenletek, egyenlôtlenségek 7

174 V.. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel Feladatok Dolgozzatok párban! Csenge és Mátyás együtt 4 évesek. Csenge kétszer annyi idős, mint Mátyás. Hány évesek külön-külön? Az x x 4 egyenlet alapján Csenge 8, Mátyás 4 éves. Dávid 8 évvel idősebb, mint az öccse, Gergő. Ketten együtt 4 évesek. Hány éves Dávid? Az x x 8 4 egyenlet alapján Dávid, Gergő éves. Anya éves volt, amikor Csenge megszületett. Most 8 év híján négyszer annyi idős, mint Csenge. Hány éves most Csenge? Ha x-szel jelöljük Csenge életkorát, felírhatjuk a következő egyenletet: x 4x – 8. Az egyenlet megoldása után megkapjuk, hogy Csenge éves. 4 Apa 4 évvel idősebb, mint anya. Dávid évvel fiatalabb, mint anya. Apa, anya és Dávid életkorának összege 80 év. Hány évesek külön-külön? Ha x-szel jelöljük anya életkorát, akkor a következő egyenletet írhatjuk fel: x 4 x x – 80, melyet megoldva megkapjuk, hogy anya, apa 7 és Dávid 0 éves. Anya és apa együtt 60, anya és Lili együtt, apa és Lili együtt 4 évesek. Hány évesek külön-külön? Ha Lili életkorához apáét adjuk, -vel nagyobb számot kapunk, mintha az anyukájáét adnánk hozzá, tehát Lili apukája évvel idősebb az anyukájánál. Ezt felhasználva, anya életkorát pedig x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: x x 60, amiből kiszámolhatjuk, hogy anya 9, apa éves. Lili: – 9 éves. 6 Gondoltam egy számra. A háromszorosából elvettem 4-et, a különbséget elosztottam -tel, a hányadoshoz hozzáadtam -t, így -at kaptam. Melyik számra gondoltam? A gondolt számot x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: x – 4, melyet megoldva megkapjuk, hogy a -ra teljesül a feladat feltétele. 74 Egyenletek, egyenlôtlenségek

175 . Szöveges feladatok megoldása V. egyenlettel 7 A téglalap egyik oldala 6 cm-rel rövidebb, a másik oldala 4 cm-rel hosszabb, mint annak a négyzetnek az oldala, amelynek a területe 6 m. Mekkorák a téglalap oldalai? A négyzet területképletét felhasználva megkapjuk, hogy a négyzet oldala 4 m hosszúságú. Így a téglalap oldalai: 84 cm és 44 cm. 8 Gondoltam egy számra. Ha 40-ből elveszem a kétszeresét, a szám hatszorosát kapom. Melyik számra gondoltam? A gondolt számot x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: 40 – x 6x, melyet megoldva megkapjuk, hogy az -re teljesül a feladat feltétele. 9 Gondoltam egy számra. Ha a hétszereséből elveszek 0-et, épp a szám harmadát kapom. Melyik számra gondoltam? A gondolt számot x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: 7x – 0 x, melyet megoldva megkapjuk, hogy az,-re teljesül a feladat feltétele. 0 Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 0. Ha ebből a számból elvesszük a számje gyeinek felcserélésével kapott számot, 4-et kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám? Ez a feladat néhány próbálgatással is megoldható, hiszen csak végig kell nézni, melyek azok a kétjegyű számok, amelyekre teljesül, hogy számjegyeik összege 0 és teljesítik a feladat másik feltételét is. Egyenlettel megoldva: Jelöljük a tízes helyi értéken álló számot x-szel, az egyes helyi értéken állót 0x-szel, így felírhatjuk az alábbi egyenletet: 0x 0 – x-90^0 – xh xc 4 Az egyenletet megoldva megkapjuk, hogy x 8, tehát a keresett szám a 8. Gondoltam egy számra. A hatodánál 4-gyel kisebb szám egyenlő a kétszeresénél 7-tel nagyobb számmal. Melyik számra gondoltam? A gondolt számot x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: x – 4 x 7, melyet megoldva 6 megkapjuk, hogy a -6-ra teljesül a feladat feltétele. Egyenletek, egyenlôtlenségek 7

176 V.. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel Gondoltam egy kétjegyű számra, amely számjegyeinek összege 8. Ha a szám számje gyeit felcseréljük, a kapott szám -mal nagyobb, mint a gondolt szám négyszerese. Melyik számra gondoltam? Egyenlettel megoldva: Jelöljük a tízes helyi értéken álló számot x-szel, az egyes helyi értéken állót 8 – x-szel, így felírhatjuk az alábbi egyenletet: 4(0x 8 – x) 0(8 – x) x – Az egyenletet megoldva megkapjuk, hogy x, tehát a keresett szám a 7. Másképpen: Csak 8 ilyen szám van, ami 4 számpár: 7 és 7; 6 és 6, és, 44 és 44. Kipróbálva a megoldás. Az egyenlő szárú háromszög egyik szöge 68. Hány fokosak a belső szögei? Két esetet tudunk megkülönböztetni: II. A háromszög szárszöge: 68, ekkor x-szel jelölve az alapon fekvő szöget megoldhatjuk a 68 x 80 egyenletet, melyből megkapjuk, hogy a háromszög szögei: 6, 6, 68. II. A háromszög alapon fekvő szöge: 68, ekkor x-szel jelölve a szárszöget megoldhatjuk a 68 x 80 egyenletet, melyből megkapjuk, hogy a háromszög szögei: 44, 68, Az egyenlő szárú háromszög egyik külső szöge 0. Hány fokosak a belső szögei? Két esetet különböztethetünk meg: II. Az alap melletti külső szög 0, ekkor a belső szögek: 0, 0, 0. II. A szárszög melletti szög 0, ekkor a belső szögek: 7, 7, 0. Egy négyszög külső szögeinek aránya : 4 : 6 : 7. Mekkorák a négyszög belső szögei? A négyszög külső szögeire felírhatjuk a következő egyenletet: x 4x 6x 7x 60, melyet megoldva megkapjuk a külső szögeket. Ha ezeket rendre kivonjuk a 80 -ból, megkapjuk a belső szögeket: 6, 08, 7, Egyenletek, egyenlôtlenségek

177 . Összefoglalás V. A Nagy család havi összjövedelme Ft. Élelmiszerre Ft-ot költöttek. A maradék 0%-át közlekedésre kellett kiadniuk, 000 Ft-ot lakástakarékba fektettek. A maradék pénz 8%-a gáz-, villany-, vízdíj volt. Az ezután megmaradt pénzt nyaralásra tették félre. a) Hány Ft-ot szántak közlekedésre? b) A rezsiköltség hány százaléka az összjövedelmüknek? c) A havi jövedelem hány százalékát teszik félre a nyaralásra? a) 0,( ) 000 Ft-ot szántak közlekedésre. b) 0,8( ) 0 Ft a rezsiköltség, ami a havi összjövedelmük 0. 40,% 9 -a c) A maradék 7 40 Ft-ot félreteszik nyaralásra, ami a jövedelem ,%-a A Föld vízkészletének %-a édesvíz, aminek legnagyobb részét az Északi- és Déli-sarkvidékeken található jéghegyek teszik ki, tehát a ténylegesen hozzáférhető mennyiség az összes vízkészlet 0,6%-a. Kevés használható édesvíz van tehát a Földön, takarékoskodnunk kell vele. Egy új találmány segítségével csökkenteni tudjuk a kézmosáshoz használt víz mennyiségét. Az újítással liter helyett csak 7 liter perc folyik a csapból percenként. a) Hány százalékkal kevesebb vizet használunk el így egy 0 perces zuhanyozás alatt? e) Egy négytagú városi család napi vízfogyasztása kb. 0, m lenne az újítás bevezetése után. Hány m vizet használnak el a találmány nélkül havonta? a) 0 perc alatt 0 liter helyett 70 litert használunk, ami 0 literrel, vagyis 0 4, 6o %-kal kevesebb. 0 b) 0, m 0 l. A találmány nélkül minden 7 liter elhasznált víz helyett litert használna a nap család, ami ^0 : 7h $ 600 liter víz lenne. Melyek az egynemű kifejezések a következő kifejezések között? -ab ; ab; a b; ab; 4a b; -8ba; 8 Egyneműek: ab; ab; -8ba 8 a b; 4a b; 9 ba ; a b 6 ba ; 9 ab 6. Egyenletek, egyenlôtlenségek 77

178 V.. Összefoglalás 4 Határozd meg a kifejezések értékét, ha a, b -! a) ab ; b) – ] abg. a) (-) -4 b) – (-) -90 Bontsd fel a zárójeleket és végezd el a lehetséges összevonásokat! a) ] a- b cg ]- a 7b- cg; b) ] 7a- 7b- cg -] 6a c- 4bg; c) 8a- 4- ^a- h 6 ^ a – h; d) 4a-b-] a-bg- 4 ] a- bg; e) _ x- 4yi – _ x- 4yi _ y- xi. a) a- b c- a 7b- c -4a- 6b c ; b) 7a-7b-c-6a- c 4b a-b- 7c ; c) 8a- 4- a a- 6 7a ; d) 4a-b- a b- 8a 4b – 9a b; e) x-4y- x 0y y- x – x 9y. 6 Oldd meg tetszőleges módszerrel az alábbi egyenleteket! a) $ ] x g – ; b) ] x – 8g : a) x 4, b) x 78 Egyenletek, egyenlôtlenségek

179 . Összefoglalás V. 7 Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) $ ^x- h x- 9; b) $ ^x h – 4$ ^x- h 8 ^x – 9h 0; c) x x- ; d) x x – x – 9; 7 0 e) x x A megoldások során alkalmazzuk a mérlegelvet, miután felbontottuk a zárójeleket, és elvégeztük az összevonásokat. Az ellenőrzésről se feledkezzünk meg. a) zárójelfelbontás után: x – x – 9 x 0 b) zárójelfelbontás után: 0x – x 8 8 x x x – 7 c) 4 gyel beszorozva: x 7x – 4 x 8 x 6 d) 0 zel beszorozva: x x – 0 x – 90 x – e) 8 cal szorozva: 4x x x 0,8 8 Oldd meg mérlegelv segítségével! a) ] x- g 6x-0; b) x – x; 0 4 c) x 7 – x; d) x x – x 0 – x. 6 a) x 0 ; b) x 69 ; 7 c) x ; d) x Oldd meg a következő egyenletet! x – [x – (x – 4) – ] – Belülről kifelé haladva bontsuk fel a zárójeleket. x – [x – x 4 – ] – x – x x x 4 Ellenőrzés. Egyenletek, egyenlôtlenségek 79

180 V.. Összefoglalás 0 Oldd meg a természetes számok halmazán a következő egyenleteket: a) (x – )(x – )(x – ) 0; b) (x – )(x – )(x – ) 6; c) (x – )(x – )(x – ) 4; d) (x – )(x – )(x – ) 0. Az egyenleteket a mérlegelv segítségével nem tudjuk megoldani. Gondolkozzunk másképp! a) (x – )(x – )(x – ) 0 Egy szorzat csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényezője 0. Így: x – 0, vagy x – 0, vagy x – 0 kell, hogy teljesüljön. Ebből x értéke lehet vagy vagy. Ellenőrzés. b), c), d) A megoldást a természetes számok körében keressük, és három egymást követő természetes szám szorzatát vizsgáljuk. b) 6 ezért x 4. c) 4 4, ezért x d) A 0 nem bontható fel három egymást követő természetes szám szorzatára, ezért nincs megoldása az egyenletnek. Miért nincs megoldása a valós számokon a következő egyenleteknek? a) (x – ) (x – ) 0; b) (x – ) (6x – ) 0. Mindkét egyenletben a baloldalon két négyzetszám összege szerepel. Csak akkor lehet 0 az összeg, ha minkét tagja 0. De ekkor x értékére nem ugyanazt a számot kapjuk. Így nincs megoldása az egyenletnek. Oldd meg a következő egyenleteket! a) (x – 00)x 6x; b) (x )x 9x. a) Az x 0 megoldás. Ha x! 0, akkor eloszthatunk x-szel, így x egyenletet kapjuk. Ebből x 06 b) Az a) részhez hasonlóan Az x 0 megoldás, valamint x – is megoldás. 80 Egyenletek, egyenlôtlenségek

181 . Összefoglalás V. Elkezdjük összeadni -től kezdve a pozitív egész számokat. Hány darabot kell összeadni, hogy ez az összeg a) ; b) 66; c) 00 legyen? a) Hatot. b) Tizenegyet. c) 00-at nem kaphatunk. 4 Oldd meg mérlegelv segítségével az alábbi egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! a) $ ^x- h x- 9; b) $ ^x h – 4$ ^x- h 8 $ ^x – 9h 0; c) x- $ 8 – x ; d) 6- x x 4x a) x – x – 9 x 0 b) 0x – x 8 8 $ x x $ x – 7 x # 7,6 c) 4x – $ 64 – x x $ 0,8 d) – 0x x x 4-0x x – 0-0, Egyenletek, egyenlôtlenségek 8

182 V.. Összefoglalás János bácsi felszerelést akar venni a vízilabdacsapat tagjainak. Összesen forintja van a sportkörnek. Egy vízilabda 600 Ft, egy meleg köntös pedig 8000 Ft. Válaszd ki azt az egyenlőtlenséget, amelyik leírja, hogy milyen összefüggés áll fenn a rendelkezésre álló pénz és a vásárolt labdák, köntösök száma között! v a vásárolt vízilabdák száma; k a vásárolt köntösök száma A) 8000v 600k # B) 600 v 800 k # C) 600v 8000k # D) 600v 8000k # A D írja le helyesen. 6 Marcinak már csak 40 MB szabad memóriája van a telefonján. Egy fénykép MB és egy zeneszám 0, MB helyet foglal el. Válaszd ki azt az egyenlőtlenséget, amely leírja, hogy hány fényképet és zeneszámot tárolhat még a telefonján! f fényképek száma; z zenék száma A) f 0,z $ 40 B) f 0,z # 40 C) f 0,z 40 D) f 0,z 40 Elméletileg a B és C, ténylegesen azonban csak a C lehetséges. 7 Írj egy feladatot, amelynek a megoldása x # 00! Például: Iván szülei online vásároltak két koncertjegyet és euróért ajándékutalványt, ez összesen nem került többe 00 eurónál. Legfeljebb mennyibe kerülhetett egy darab koncertjegy? Az egyenlőtlenség megoldása x # 7,. A koncertre a belépő nem volt 7, eurónál drágább. 8 Egy háromszög egyik oldalának hossza 90%-a a középső nagyságú oldalnak, míg a harmadik oldal hossza 0%-a a középsőnek. Mekkorák a háromszög oldalai, ha a kerülete 9,6 cm? Legyen a középső oldal hossza b. 0,9b b,b 9,6 b cm A háromszög oldalai,7 cm; cm;,9 cm. 8 Egyenletek, egyenlôtlenségek

183 . Összefoglalás V. 9. Egy téglalap területét %-kal megnöveljük, ekkor egy olyan négyzetet kapunk, melynek kerülete 60 cm. Mekkora a téglalap területe? A négyzet oldala cm. A téglalap területe T, a négyzet területe cm. T, A téglalap területe T 80 cm. 0 Oldd meg az egyenleteket és az egyenlőtlenségeket! a) 9 ^ a h ^a- h a; b) 9 ^ a h – 40 # 7^a- h a; c) 4] b- g- ] b- g ] b -g – 7; d) 4] b- g- ] b- g ] b -g – 7. a) Zárójelfelbontás után: 8a 4-40 a – 7 a a b) a $ c) 4b – 0-6b 6b b – 6b – 9 b d) b Gondoltam egy számra közli somolyogva Jancsi. Ha a négyszereséből elveszek 6-ot, a különbséget elosztom -vel, és a hányadoshoz hozzáadok -öt, éppen 0-t kapok. Akkor nyertem szól Juliska, az én számom nagyobb, hisz a háromszorosa -tel nagyobb, mint a fele. Melyik gyerek melyik számra gondolt? Jancsi a –re gondolt, mely a 4x egyenletből megkapható. Juliska a -re gondolt, mely a x – x egyenletből kapható meg. Egyenletek, egyenlôtlenségek 8

184 V.. Összefoglalás A sarki boltban egy csoki és egy jégkrém 0 Ft-ba, egy jégkrém és egy üdítő 80 Ft-ba, egy csoki és egy üdítő pedig 0 forintba kerül. Mennyibe kerül a csoki, a jégkrém és az üdítő külön-külön? Jelöljük a csokit: cs-vel, a jégkrémet j-vel, az üdítőt ü-vel. cs j j ü cs ü (cs j ü) 70 Ft, amiből a -vel való osztás után megkapjuk, hogy cs j ü 60 Ft. Ha cs j ü 60 Ft és cs j 0 Ft, akkor cs Ft. Hasonlóképp a jégkrém és az üdítő ára is meghatározható. A csoki ára 80 Ft, a jégkrémé 0 Ft, az üdítőé pedig 0 Ft. Egy szimmetrikus trapéz egy száron fekvő két szögének a különbsége 0. Mekkorák a trapéz szögei? Használjuk fel, hogy a trapéz egy száron fekvő szögei 80 -ra egészítik ki egymást. Felírhatjuk az alábbi egyenletet: x 0 x 80, amiből megkapjuk, hogy a trapéz szögei: 0, 0, 0, 0. 4 Péter, Pál és Panka hármas ikrek. Péter születési súlya 40 grammal több, mint Pankáé, de 60 grammal kevesebb, mint Pál súlya. Mikor mindhármukat egyszerre mérték meg, a kijelző 870 grammot mutatott. Hány grammal születtek a gyerekek? Panka súlyát x-szel jelölve felírhatjuk az alábbi egyenletet: x 40 x 00 x 870, melyet megoldva megkapjuk, hogy Panka 870 g, Pál 970 g és Péter 90 g súllyal születtek. A rombusz egyik szöge háromszor akkora, mint a szomszédos szöge. Mekkorák a rombusz szögei? Felhasználva, hogy a rombusz szomszédos szögei 80 -ra egészítik ki egymást, felírhatjuk a következő egyenletet: x x 80, melyet megoldva megkapjuk, hogy a rombusz szögei: 4, 4,, nagyságúak. 84 Egyenletek, egyenlôtlenségek

185 . Összefoglalás V. 6 A Rugalmas laborban holtan találták reggel 9-kor Dr. Agyvillámot, és valaki elvitte annak a végtelenül rugalmas anyagnak a leírását, amelyen a tudós éppen dolgozott. A halottkém megállapította, hogy a test hőmérséklete a megtaláláskor 8 C -os volt, és tudjuk, hogy a halál beállta után, a kezdetben 6 C -os test hőmérséklete óránként C -kal csökken. A biztonsági kamera négy ember képét rögzítette a labor előtti folyosón. A négy lehetséges elkövető Mr. Roszfickov, Mr. Jang, Mrs. Kékharis és Mrs. Innocent. Mr. Roszfickovot órakor tartóztatták fel a rendőrök az országhatáron, egy vasúti kocsiban. A határ 00 km-re volt a Rugalmas labortól és a vonat maximális sebessége 60 km lehetett. h Mr. Jangot a labortól 40 km-re kapták el egy kerékpáron, délelőtt 0-kor. A kerékpárral legfeljebb 40 km-t tudott megtenni óránként. Mrs. Kékharis motorozott. Őt délelőtt 0:0-kor tartóztatták fel az autópályán. A motorkerékpárral legfeljebb 40 km-t tehetett meg óránként és a labortól 80 km-re kapták el. Mrs. Innocent autóval távozott. A hegyi úton szaladt bele egy rendőrségi útzárba, -kor. A szerpentinen legfeljebb 0 km sebességgel haladhatott, és éppen 600 km-re volt a labortól. h a) Mikor távozhatott a laborból Mr. Roszfickov? b) Mikor távozhatott a laborból Mr. Jang? c) Mikor távozhatott a laborból Mrs. Kékharis? d) Mikor távozhatott a laborból Mrs. Innocent? e) Mikor követték el a bűntényt? f) Ki lehetett az elkövető? A tudóst hajnali órakor ölték meg. Mr. Roszfickov legalább 6,87 órát utazhatott vonattal, ezért legkésőbb 4 óra után pár perccel el kellett a vonattal indulnia. Mr. Jang legalább 6 órát kerékpározott, így legkésőbb hajnali 4-kor el kellett indulnia. Mrs. Kékharis legalább 6 órát motorozott, így legkésőbb fél ötkor távoznia kellett. Mr. Innocent legalább órát autózott, így legkésőbb 6 órakor el kellett hagynia a helyszínt. Hajnali -kor az eddigi információk alapján csak Mr. Innocent lehetett az elkövető. Egyenletek, egyenlôtlenségek 8

186 V.. Összefoglalás 7 A téglalap egyik oldalát a négyszeresére, a másik oldalát a harmadára változtattuk. Hányszorosa az így kapott téglalap területe az eredeti téglalap területének? Írjuk fel a téglalap területére tanult képletet: T ab. A változtatások után: T új 4a$ b 4 $ $ ab 4 ab, tehát a téglalap területe a 4 -szorosára változott. 8 Gondoltunk egy pozitív páros számot. A gondolt számig összeadjuk a pozitív páratlan számokat és az összeget -gyel növeljük. Az így kapott szám pontosan annyi, mintha a pozitív páros számokat adnánk össze a gondolt számig. Melyik számra gondoltunk? Ha -től kezdve összeadjuk a páratlan számokat, illetve -től kezve ugyanannyi páros számot, akkor minden páratlan számhoz párosítható egy nála -gyel nagyobb páros szám. Így a páros számok összege pontosan annyival lesz több ahány db-ot összeadtunk. Így tehát páratlan illetve páros számot adtunk össze. A 6-re gondoltunk. Ellenőrzés szöveg alapján. 9 Két zacskóban levő golyók aránya :. Ha az egyik zacskóból átteszünk 4 golyót a másikba, akkor mindkettőben azonos lesz a golyók száma. Hány golyó volt eredetileg az egyes zacskókban? Az első zacskóban x, a másodikban x golyó van. Ekkor x – 4 x 4 x 4 86 Egyenletek, egyenlôtlenségek

187 . Összefoglalás V. 0 Nagy költőinkhez egy-egy pozitív egész számot rendeltünk. Melyikhez melyiket, ha a táblázatban a sorok és oszlopok összegét adtuk meg? 9 Kölcsey Ferenchez -et, Arany Jánoshoz 7-et, Petőfi Sándorhoz -at. Egyenletek, egyenlôtlenségek 87

188 V.. Összefoglalás 88 Egyenletek, egyenlôtlenségek

189 VI.GEOMETRIA Az előző útra nagyon sokan jelentkeztek, de sajnos csak két diák jöhetett velem Alexandriába. Nem kell azonban elkeserednetek, mivel a mostani kalandunk is hasonló korba indul. Úti célunk ezúttal Szürakusza, ahol Arkhimédészt láthatják a szerencsések, aki Matyi és Zozó! kiáltotta Judit néni vásári kikiáltóként elnyújtva a hangját. Fiúk! Ha megérkezünk, ne ijedjetek meg a zajoktól! Kr. e. -ban épp ostromolták Szürakuszát! mondta a tanárnő, s alig néhány pillanat múlva már valóban maguk előtt látták a csatát. A várfalon sürgölődők harsányan nevettek, amikor a római hajókról kilőtt kő jóval a falak előtt, ártalmatlanul hullott a vízbe. Itt jön Arkhimédész. Mutassuk meg a rómaiaknak a hajítógépét! Tekerjetek a kötélen még kettőt, aztán álljatok hátrébb! vezényelt egy díszes egyenruhájú katona. A nehéz kő magasra ívelt, majd telibe találta az egyik hajó árbocát. Recsegve-ropogva dőlt el. Az evezőknél ülő rabszolgáknak igencsak igyekezniük kellett, ha biztonságos távolságba akarták juttatni a hajó maradékát. Remélem, örülsz és büszke vagy a sikereinkre, Arkhimédész. Szerencsére jól működnek a terveid alapján épített gépek fordult oda a tudóshoz a parancsnok. Örülök, de nem a szerencse működteti a gépeimet. A matematika és a fizika törvényeinek engedelmeskednek, de ez csak játék! A gömbről és a kúpról írt munkámra büszkébb vagyok, mint erre a gépre. Csinálhatnánk mi is hajítógépet technikaórán lelkesült fel Zozó. Sokkal izgalmasabb lenne, mint a múltkori feladat, amikor rakott krumplit kellett főzni.

190 VI. Egybevágó háromszögek Feladatok Rajzoltunk két négyzetet, amelyek átlója egyenlő hosszúságú. Egybevágó-e a két négyzet? Igen, a két négyzet egybevágó, mivel az egyenlő átlóik két-két egyenlő szárú derékszögű háromszögre osztják a négyzeteket, amelyek egyik oldala (a négyzet átlója) azonos hosszúságú, és a rajta fekvő szögek ugyanakkorák, tehát egybevágók. Rajzolj egy ABCD paralelogrammát és húzd meg a két átlóját! A metszéspont legyen E. Írj föl annyi egybevágó háromszöget, ahányat csak találsz az ábrán! Egybevágó párok: ABD és CBD, DAC és ACB, AEB és CED, BEC és DEA. D C E A B Rajzoltunk két egyenlő szárú háromszöget, amelyeknek az alaphoz tartozó magassága egyenlő. Egybevágó-e a két háromszög? m m Nem egybevágók, mert az azonos magasságtól függetlenül az alap, a szár és a szögek is lehetnek különböző nagyságúak. 4 Az ABC szabályos háromszög oldalain bejelöltük az ábrán látható P, Q, R harmadolópontokat. Mutasd meg, hogy a PQR háromszög is szabályos háromszög! A R P B Q C 90 Geometria

191 Egybevágó háromszögek VI. Mivel az ABC háromszög szabályos, ezért az A, B, C csúcsoknál 60 -os szögeket találunk. Legyen a szabályos háromszög oldalának hossza a. Mivel a A a P, Q, R pontok harmadoló pontok, ezért 60 a R AP BQ CR a, PB QC AR a. x Az APR, BQP, CRQ háromszögekre teljesülnek a tankönyv II. a) feltételei, P z a y azaz két-két oldaluk páronként egyenlő hosszú (mindegyiknek van a és a B Q C a hosszúságú oldala), és a közbezárt szögük is egyenlő (60 -os). Ezek a a alapján APRi, BQPi, CRQi. Ha a háromszögek egybevágók, akkor használhatjuk az I. b) állítást, amely alapján minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz x y z. Ez azt jelenti, hogy PQR valóban szabályos háromszög. Az ABCD négyzet oldalain bejelöltük az ábrán látható K, L, M, N negyede lőpontokat. Mutasd meg, hogy a KLMN négyszög is négyzet! A K N D M Mivel az ABCD négyszög négyzet, ezért az A, B, C, D csúcsoknál 90 -os A N 4 szögeket találunk. Legyen a négyzet oldalának hossza a. Mivel a K, L, M, N a 4 a D pontok negyedelő pontok, ezért 4 a K x AK BL CM DN a, KB LC MD NA a. w 4 a 4 4 Az AKN, BLK, CML, DNM háromszögekre teljesülnek a tankönyv II. a) y 4 a feltételei, azaz két-két oldaluk páronként egyenlő hosszú (mindegyiknek z M van a és 4 a a hosszúságú oldala), és a közbezárt szögük is egyenlő (90 os). Ezek alapján AKNi, BLKi, CMLi, DNMi. 4 4 B L C 4 a 4 a Ha a háromszögek egybevágók, akkor használhatjuk az I. b) állítást, amely alapján minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz x y z w. Ez azt jelenti, hogy a KLMN négyszög oldalai ugyanolyan hosszúak (tehát biztosan rombusz). A négy egybevágó háromszög derékszögű, vagyis két hegyesszögük pótszögei egymásnak. Mivel a KLMN négyszög mindegyik szögét két ilyen pótszögpár egészíti ki az egyenesszögre, ezért mindegyik szöge 90 -os. Vagyis a KLMN négyszög négyzet. B L C Geometria 9

192 VI. Egybevágó háromszögek 6 Az ABC szabályos háromszög AB oldalára kifelé az AEDB, AC oldalára kifelé az ACFG négyzetet rajzoltuk. Mutasd meg, hogy CE BG! Az ábrán a szabályos háromszög és a két négyzet összes oldala egyenlő hosszúságú, a háromszög szögei 60 -osak, a négyzetek szögei 90 -osak. ACEi, BAGi, mert EACB BAGB , és EA AC GA AB, azaz két-két oldal és a közbezárt szög nagysága ugyanakkora. Mivel a háromszögek egybevágók, ezért minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz CE BG. 7 Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójára kifelé az AEDB, AC oldalára kifelé az ACFG, BC oldalára kifelé a BHJC négyzetet rajzoltuk. Mutasd meg, hogy CE BG és CD AH! E D E B A C G F H B D J C A F G CAEi, GABi, mert EACB BAGB a 90, és EA AB, illetve GA AC (mert azonos négyzetek oldalai), azaz két-két oldal és a közbezárt szög nagysága ugyanakkora. Mivel a háromszögek egybevágók, ezért minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz CE BG. CDBi, AHBi, mert CBDB ABHB b 90, és BD AB, illetve CB BH (mert azonos négyzetek oldalai), azaz két-két oldal és a közbezárt szög nagysága ugyanakkora. Mivel a háromszögek egybevágók, ezért minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz CD AH. 8 Igazold, hogy a négyzetet a két átlója négy egybevágó háromszögre vágja! A négy háromszög egybevágó, mert egy-egy oldaluk azonos hosszúságú (a négyzet oldala), és a rajta fekvő két-két szög mindegyik esetben Geometria

193 Összefüggések a háromszög oldalai, szögei között VI. Feladatok Létezik-e olyan háromszög, amelynek oldalhosszai az alábbiak? a) cm, cm, 4 cm; b) 7 dm, 7 dm, dm; c) 40 mm, cm,,6 dm; d) 0,8 m, cm, 40 mm. Ellenőrizzük, hogy a három megadott távolság teljesíti-e a háromszög-egyenlőtlenséget! Ügyeljünk a mértékegységekre! a) Létezik. b) Létezik. c) Nem létezik, mert 4 6. d) Nem létezik, mert Három település távolságát egy térkép segítségével légvonalban megbecsültük. Selyebtől Monaj km-re, Lak pedig 7 km-re található. Mit gondolsz, a becsült adatok alapján milyen messze lehet Lak és Monaj egymástól? Nézz utána, hogy hol találhatók ezek a települések! A két becsült adat ismeretében Lak és Monaj egymástól legfeljebb 0 km-re lehet, ha Selyebhez képest ellenkező irányban találhatók. Legalább 4 km viszont kell, hogy legyen a távolságuk. Gondoljunk arra, hogy ugyanabban az irányban találhatók Selyebhez képest! Vagyis Monaj és Lak legalább 4 km-re, de legfeljebb 0 km-re található egymástól. Ezek a települések Miskolc közelében találhatók, a térképvázlat mutatja a valódi elhelyezkedésüket. A térképen A és B pont között, valamint B és C pont között is cm a távolság. A három pont a térképen egy egyenesre illeszkedik. A valóságban azonban az A-ból B-be vezető egyenes út hosszabb, mint a B-ből C-be vezető. Véleményed szerint hogyan lehetséges ez? Elképzelhető, hogy B és C között nincs szintkülönbség, A és B pont között pedig van! Ezt látjuk a térképen: De a három pont valójában így helyezkedik el: A C B A C B Geometria 9

194 VI. Összefüggések a háromszög oldalai, szögei között 4 Add meg a háromszög hiányzó belső szögét! a) 4, 67 ; b) 88, ; c) 4 9′, 0 ‘; d) 78 4′, 8 4’. a) b) c) l – 0 l 40l d) l – 8 4l 7 4l Add meg a háromszög harmadik szögéhez tartozó külső szöget! a) 6, 04 ; b) 9′”, 4 ‘4″; c) 48, ; d) 8 ‘7″, 4 47’49”. a) b) 48 6 c) 9lm 4 l4m 6 80l66m 64 l6m d) 8 l7m 4 47l49m 6 78l66m 7 9l6m 6 Rakd növekvő sorrendbe a háromszög a, b és c oldalát, ha a) a 8 4’, b 86 ‘; b) a 68 ‘, b 96 48’! a) c 80 – a – b l – 86 l 4 4l. Mivel a c b, ezért az oldalak sorrendje a c b. b) c 80 – a – b l l 4 49l. Mivel c a b, ezért az oldalak sorrendje c a b. 7 Rakd növekvő sorrendbe a háromszög a, b és c oldalát, ha a) a 97 ‘, b’ 6 0′; b) a’ 78 8′, b’ 4 40′! a) b 80 – bl l 0l c bl – a 6 0l – 97 l 9 9l Mivel c b a, ezért az oldalak sorrendje c b a. b) a 80 – al l 0 l b 80 – bl l 6 0l c al – b 78 8l – 6 0l 4 8l Mivel b c a, ezért az oldalak sorrendje b c a. 8 Egyenlő szárú háromszögről van-e szó, ha a) a 8 48′, b’ 77 6′; b) a 6 ‘, b’ 7 7′? a) b 80 – bl l 0 4l c 80 – a – b l – 0 4l 8 48l Mivel a c, ezért a c, vagyis a háromszög egyenlő szárú. b) b 80 – bl l 6 l. Mivel a b, ezért a b, vagyis a háromszög egyenlő szárú. 94 Geometria

195 A háromszög és a köré írt köre VI. Feladatok Szerkessz a füzetedbe egy cm oldalú szabályos háromszöget! Szerkeszd meg a köré írt körét is! Mérd meg, hogy milyen messze van a kör középpontja az oldalaktól és a csúcsoktól! Mit tapasztalsz? A kör középpontja az oldalaktól kb. 0,8 cm-re, a csúcsoktól,7 cm távolságra van. Ez utóbbi távolság kétszerese az elsőként megmértnek. cm,7 cm O cm 0,8 cm cm Egy egyenlő szárú háromszög szárai cm hosszúak. A köré írt körének sugara szintén cm hosszú. a) Mekkorák a háromszög szögei? b) Milyen messze van a kör középpontja a háromszög alapjától? B A T O C a) Az ABO és a CBO háromszögek szabályosak, ezért az ABCB Mivel ABC háromszög egyenlő szárú, ezért a másik két szöge egyenlő. Az ABC háromszög szögei: 0, 0, 0. b) Az ABCO rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, ezért TO cm. Vagyis a kör O középpontja cm távolságra van az ABC egyenlő szárú háromszög AC alapjától. Szerkeszd meg azt a háromszöget, amelynek egyik oldala cm, a köré írt kör sugara cm hosszú, az adott oldalon fekvő egyik szöge pedig 60 -os! G A szerkesztés menete: Az O középpontú cm sugarú körvonalon kijelölünk egy cm hosszúságú GJ húrt. Ez lesz a háromszög egyik oldala. A húr egyik végpontjához (az ábrán J-hez) szerkesztett 60 -os szög szára kimetszi a körből a hiányzó L csúcsot. L O 60 J Geometria 9

196 VI. A háromszög és a köré írt köre 4 Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek alapja cm, a köré írt kör sugara pedig cm hosszú! A szerkesztés menete: Az O középpontú cm sugarú körvonalon kijelölünk egy cm hosszúságú AB húrt. Ez lesz az egyenlő szárú háromszög alapja. Az AB felezőmerőlegese kimetszi a körből a harmadik csúcsot. Az ábra mutatja, hogy két ilyen háromszög létezik: ABC és ABC. A O C B Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek szára 4 cm, a köré írt kör sugara pedig, cm hosszú! A szerkesztés menete: Az O középpontú, cm sugarú körvonalon kijelölünk egy 4 cm hosszúságú AB húrt. Ez lesz az egyenlő szárú háromszög egyik szára. Az A középpontú, 4 cm sugarú kör kimetszi az O középpontú,, cm sugarú köré írható körből a C csúcsot is. C A O B C 96 Geometria

197 4 A háromszög és a beírt köre VI. Feladatok Melyik igaz, melyik hamis? a) A szabályos háromszög beírt és köré írt körének középpontja egybeesik. b) Van olyan háromszög, hogy a két nevezetes körének középpontja közül az egyik a háromszögön belül, a másik a háromszögön kívül van. c) A tompaszögű háromszögek esetén mindkét kör középpontja a háromszögön kívül helyezkedik el. d) Ha egy háromszög hegyesszögű, akkor mindkét kör középpontja a háromszögön belül található. e) A háromszög beírt körének középpontja mindig a háromszög belsejében van. a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Igaz. e) Igaz. Egy egyenlő szárú háromszög alapja cm, a beírt körének sugara pedig cm hosszú. Szerkeszd meg a háromszöget! C A szerkesztés menete: A szerkesztést a cm hosszú AB szakasz felvételével kezdjük. Az AB felezőmerőlegeséből az F felezőpont körüli cm-es körrel kimetszszük a beírt kör K középpontját. Mivel a háromszögben AK szögfelező, ezért a BAK szöget másoljuk az AK félegyenes A csúcsához. A szög szára kimetszi az AB felezőmerőlegeséből a C csúcsot. K A F B Szerkeszd meg a füzetedben ezt az ábrát! A téglalap rövid oldala, cm, az átlója cm hosszúságú legyen! Mekkorák a szögei azoknak a háromszögeknek, amelyeknek egyik oldala a téglalap valamelyik oldalával azonos, a harmadik csúcsa pedig az ezt az oldalt érintő kör középpontjában van? A D A megadott hosszúságok (, cm, cm) miatt a téglalapról tudjuk, hogy az átlója két 0 -os és 60 -os hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögre K osztja. Ezeknek a háromszögeknek a beírt köre látható az ábrán. Az ABK háromszög egyik oldala a téglalap rövidebb oldala, a másik két oldala B C pedig a derékszögű háromszög szögfelezőjére illeszkedik. Vagyis szö- geik nagysága 60 : 0, 90 : 4 és A BCK háromszög egyik oldala a téglalap hosszabb oldala, a másik két oldala pedig a derékszögű háromszög szögfelezőjére illeszkedik. Vagyis szögeinek nagysága 0 :, 90 : 4 és Geometria 97

198 VI. 4 A háromszög és a beírt köre 4 Egy 0 cm oldalú, négyzet alakú szalvétát egy, cm-es zöld sáv határol. A négyzet narancssárga átlói által kialakított négy háromszögben egy-egy citromsárga körgyűrű látható, melyek a két átlót és a zöld sávot érintik. A körgyűrű szélessége, cm. Az elmondottak alapján szerkeszd meg a szalvéta mintáját egy 4 cm oldalú négyzetbe! 98 Geometria

199 Magasságvonalak a háromszögben VI. Feladatok Adj meg az ábrán látható nyolc pont közül hármat, amely nem derékszögű háromszöget alkot, és a három pont által meghatározott há romszög magasságpontja is a megadott nyolc pont között van! Az ABCD trapézban AD BC (vagyis húrtrapéz). Keress több megoldást! D R Q C A BEC háromszög magasságpontja A. A DAC háromszög magasságpontja R. A DBC háromszög magasságpontja Q. Az ARD háromszög magasságpontja C. A BQC háromszög magasságpontja D. A P B E Az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja M. Hol van az ABM, BCM és CAM háromszögek magasságpontja? Készíts ábrát a füzetedbe! C Az ABM háromszög magasságpontja C. Az BCM háromszög magasságpontja A. M A CAM háromszög magasságpontja B. A B Mekkora szöget zár be egymással a háromszög 74 -os és 8 -os szögének csúcsából induló két magasságvonal? C Az ATB és AVB háromszögek derékszögűek, mivel az egyik oldaluk a háromszög oldala, a másik oldaluk pedig a hozzá tartozó magasság. A hegyesszögek ismeretében TABB 90-8 és ABVB Mivel AMBB , ezért a két magasságvonal által bezárt szög 68. V M 74 A T 8 B Geometria 99

200 VI. Magasságvonalak a háromszögben 4 Az ABC derékszögű háromszög 0 -os szögének szögfelezője D pontban metszi a derékszögű csúcsból induló magasságvonalat. Határozd meg az ADC háromszög szögeinek nagyságát! B Mivel AD szögfelező, ezért CADB. Az ACE háromszögben E az A csúcsnál 0, az E csúcsnál derékszög van, ezért ACDB 60. Tehát az ACD háromszögben a D csúcsnál: F van. D A C Egy hegyesszögű háromszög egyik szöge 70 -os. Mekkora szöget zár be egymással a másik két csúcsából induló magasságvonal? A háromszög magasságpontja, a 70 -os szög szárain lévő két talppont és a 70 -os szög csúcsa egy olyan négyszöget határoz meg, M amelynek három szögét ismerjük. A negyedik szög nagysága: , amelyből következik, hogy a két magasságvonal szöge Melyik igaz, melyik hamis? a) A magasságpont mindig a háromszög belsejében található. b) A derékszögű háromszögeknek csak egy magasságuk van. c) A háromszögek magasságpontja egyenlő távolságra van az oldalegyenesektől. d) Minden háromszögnek van olyan magasságvonala, amelyik metszi a szemközti oldalszakaszt. a) Hamis. b) Hamis. c) Hamis. d) Igaz. 00 Geometria

201 6 Súlyvonalak és középvonalak a háromszögben VI. Feladatok a) Hány darab háromszöget látsz az ábrán? b) Add meg azokat a háromszögeket, amelyekben berajzoltunk egy súlyvonalat! A B a C a D a E a F a) A háromszögek: ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF. Tehát összesen 0 darab háromszög van az ábrán. b) Az ábrán lévő, berajzolt súlyvonalú háromszögek: ABD, ABF, ACE, ADF. Az ABC háromszögben a CP, az APC háromszögben pedig az AQ a súlyvonal. Az APQ háromszög területe 0,7 cm². Mekkora az ABC háromszög területe? C Mivel a CP súlyvonal felezi az ABC háromszög területét és az AQ súlyvonal felezi az APC háromszög területét, ezért a megadott APQ háromszög területe Q az ABC háromszög területének a negyedét teszi ki. Az ABC háromszög területe 0,7 4 0 cm. A P B Az ABC háromszögben S a súlypont. Tudjuk, hogy az ASB háromszög területe 4 cm². Mekkora az ABC háromszög területe? C A CF súlyvonal felezi az ABC háromszög területét. Mivel az S súlypont a CF szakasznak az AB oldalhoz közelebbi harmadolópontja, ezért az AS szakasz harmadolja az ACF háromszög területét és a BS szakasz harmadolja a BCF S háromszög területét. Azaz az ASF és a BSF háromszög is az ABC területének részét adja, ezért az ASF és a BSF háromszög együtt az ABC területének A 6 F B részét teszik ki. Vagyis az ABC háromszög területe: 4 cm. Geometria 0

202 VI. 6 Súlyvonalak és középvonalak a háromszögben 4 Egy háromszögbe berajzoltunk egy súlyvonalat, majd berajzoltuk azt a középvonalat is, amelyik az előbbi súlyvonalat metszi. Milyen négyszöget alkot az így berajzolt két szakasz négy végpontja? A négyszög szemközti oldalai egy-egy középvonal és a háromszög vele szemközti oldalai. Mivel ezek páronként párhuzamosak egymással, ezért a két szakasz négy végpontja egy paralelogrammát határoz meg. Milyen hosszú vonallal rajzolható meg az ábra, ha a nagy szabályos háromszög oldalhossza 0 cm? A vonal hosszának meghatározásához a nagy, a közepes és a három kis háromszög kerületének összegét kell kiszámolnunk. A nagy háromszög kerülete 60 cm, a közepes háromszög a nagy háromszög középvonalaiból áll, ezért kerülete feleakkora, mint a nagy háromszögé, azaz 0 cm. A kis háromszögek a közepes háromszög középvonalaiból állnak, ezért a kerületük feleakkora, mint a közepes háromszögé, azaz cm. A keresett vonal hossza 60 0 cm. 6 Az egyenlő szárú háromszög egyik szárával párhuzamos, cm hosszúságú középvonal a háromszög kerületét egy 9 cm-es és egy 9 cm-es darabra vágja. Mekkorák a háromszög oldalai? Az cm hosszúságú középvonal fele olyan hosszú, mint az egyik szár, tehát a háromszög szárai 0 cm hosszúak. Mivel a háromszög kerülete cm 9 hosszú, ezért az alapja cm hosszú. Vagyis a háromszög oldalainak hossza: 8 cm, 0 cm, 0 cm. 9 7 Az ábra úgy készült, hogy mindig a háromszög oldalainak a felezőpontjait kötöttük össze. Ha a legnagyobb háromszög kerülete 04 cm, akkor mekkora a legkisebb háromszög kerülete? A középvonalak tulajdonsága alapján a háromszögek kerülete mindig az előző háromszög kerületének felével egyenlő. Vagyis a legkisebb háromszög kerülete: 04 : : : cm. 0 Geometria

203 7 Sokszögek szögei és átlói VI. Feladatok Egy ötszög belső szögeinek nagysága:, 99, l, 8 6l. Add meg a külső szögek nagyságát és összegét! A külső szögek a belső szögek kiegészítő szögei, ezért négy külső szög nagysága: 80-68, , 80 – l 66 l és l 4l. Az ötszög belső szögeinek összege 40, ezért az ötödik belső szög nagysága: l – 8 6l 86 9l. Az ötödik külső szög: l 9 l. A külső szögek összege: l 4l 9 l 60. Egy négyszög egyik szöge 6, a másik kétszer akkora, a harmadik és a negyedik szöge között pedig 0 az eltérés. Mekkorák a négyszög belső és külső szögei? A négyszög egyik szöge 6 -os, a másik 4 -os. Mivel a belső szögek összege 60, ezért a harmadik és a negyedik szög összege Ebből kiszámítható, hogy a harmadik szög: o o os, a negyedik pedig 9 -os. A külső szögek nagysága rendre: 8, 6, 98 és 88. A következő kérdések konvex tizenkétszögre vonatkoznak. a) Hány átló húzható egy csúcsból? b) Hány háromszögre vágják az egy csúcsból húzható átlói? c) Hány darab átlója van összesen? d) Mennyi a belső szögeinek összege? e) Mennyi a külső szögeinek összege? a) Egy csúcsból 9 átló húzható. b) Az egy csúcsból húzható átlók 0 háromszögre vágják. c) Összesen $ 9 4 darab átlója van. d) A belső szögek összege e) A külső szögeinek összege 60. Geometria 0

204 VI. 7 Sokszögek szögei és átlói 4 Határozd meg az oldalak számát abban a konvex sokszögben, amelyben a) egy csúcsból 7 átló húzható; b) az egy csúcsból húzott átlók 00 darab háromszöget hoznak létre; b) összesen 44 átló van; c) a belső szögek összege 40 o ; e) a külső szögek összege 40 o! a) Az oldalak száma 0. b) Az oldalak száma 0. n$ n c) 44 ^ – h, mindkét oldalt kettővel szorozva: 88 n $ n – ^ h, ahol n -nál nagyobb egész szám. Próbálkozás útján megtalálható, hogy n, azaz az oldalak száma. d) Mivel a belső szögek összege (n – ) 80 40, és 40 : 80 8, ezért 0 oldala van. e) Ilyen sokszög nem létezik. Készíts táblázatot, amelyben a szabályos sokszögek belső szögének nagysága szerepel! Táblázatodban a szabályos sokszögek oldalainak száma -tól -ig szerepeljen! Az oldalak száma (db) A belső szög nagysága (fok) , , 0 Megjegyzés: A 7-szögnél és a -szögnél kerekített érték szerepel a táblázatban. 6 Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben a belső szögek összege hétszer akkora, mint a külső szögek összege? A belső szögek összege , azaz 4 darab háromszögre osztják a sokszöget az egy csúcsból induló átlók. Tehát a sokszög 6 oldalú. 04 Geometria

205 8 A kör kerülete VI. Feladatok Mekkora a kör kerülete, ha a sugara a) mm; b) cm; c) 0,6 dm; d), m? a) k r r r 6 r. 8,8 mm b) k r r r 0 r. 94, cm c) k r r 0,6 r, r.,8 dm d) k r r, r, r. 7,9 m Mennyit fordul egy 60 cm átmérőjű kerék egy 0 m-es úton? A kerék sugara 60 : 0 cm 0, m. Egy fordulat alatt r r 0, r 0,6 r.,9 m. Tehát egy 0 méteres úton a kerék 0 :,9. 6-at fordul. Ha a Föld sugarát 670 km-nek vesszük, akkor milyen hosszú az Egyenlítő? Az Egyenlítő a 670 km sugarú kör kerülete, tehát a hossza: k r r 670 r 740 r km. 4 Egy 4 méter sugarú, kör alakú parkban ketten sétálnak egymás mellett. Az egyik sétáló a 4 méter sugarú, kör alakú járda külső szélén halad, a másik tőle méterrel beljebb. Mennyivel ment többet a külső köríven haladó ember egy teljes kör megtétele alatt? Számolás előtt tippelj! A két ember által megtett út különbsége: r π – r r r (r – r ) r (4 – ) r. 6, m. Ennyivel sétált többet a külső köríven haladó ember. Budapesten, az Erzsébet téren látható óriáskerékről azt olvashattuk, hogy 6 méter magas. Mekkora utat tesz meg az óriáskerék utasa egy fordulat alatt? A kerék átmérője 6 m, a kerülete r r 6 π 04 m. Ennyi utat tesz meg egy utas egy fordulat alatt. Geometria 0

206 VI. 9 A kör területe Feladatok Mekkora a kör területe, ha a sugara a) mm; b) 8 cm; c) 0,4 dm; d),7 m? a) t r r r r. 78, mm b) t r r 8 r 4r. 07,9 cm c) t r r 0,4 r 0,6r. 0, dm d) t r r,7 r 7,6r.,8 m Számítsd ki az ábrákon színessel jelölt területeket! A négyzetek oldalhossza 4 cm. A négyzet területéből vonjuk ki a kör területét, melynek sugara cm. t zöld r 6-4r.,4 cm A négyzet szemközti oldalfelező pontjait összekötve látható, hogy a négyzet területének a fele színes. t rózsaszín 4 4 : 8 cm A színes terület egy cm sugarú kör felének és egy cm sugarú kör területének összege. t kék r : r r. 9,4 cm A 4 cm sugarú kör területének a negyedéből vonjuk ki a négyzet területének a felét. t narancssárga 4 r : : 4r ,6 cm Mekkora területet fednek a 0, 4, 0 és 6 cm átmérőjű fedők? A fedők sugarai 0,, és 8 cm. t 0 r 00r. 4 cm t r 44r. 4 cm t r r. 707 cm t 4 8 r 4r. 08 cm 06 Geometria

207 9 A kör területe VI. 4 Egy 8 cm átmérőjű körből a lehető legnagyobb négyzetlapot vágtuk ki. A körlap hány százaléka lett hulladék? t kör 4 r 96r, és t hulladék t kör – t négyzet 96r – 4 $ 4 $ 4 96r – 9. thulladék 96r , 6. Tehát a körlap 6,%-a lett hulladék. 8 t 96r kör Képzelj el egy km sugarú kört! Véleményed szerint hány százalékot veszít a területéből, ha sugarát m-rel csökkented? Ellenőrizd tippedet számítással! t nagy 000 r r, és t körgyűrű 000 r r 999r. tkörgyuru m m 999r 999 0, , 00. Tehát a kör 0,%-ot veszít a területéből. t r kör Geometria 07

208 VI. 0 A hasáb felszíne és térfogata Feladatok Rendezd táblázatba a hasábok csúcsainak, éleinek, lapjainak számát! A hasábok alaplapjai legyenek háromszögek, négyszögek,, nyolcszögek! Az alaplap szögeinek száma A csúcsok száma Az élek száma A lapok száma Az ábra a szabályos ötszög alapú hasáb élvázát szemlélteti. Határozd meg, összesen hányszor hosszabbak a zöld élek, mint a pirosak, ha a test magassága az alapél hosszának ötszörösével egyenlő! Jelölje a piros él hosszát p. Az élvázon látható piros élek hossza összesen 0p. Egy zöld él hossza a piros él hosszának ötszöröse, ezért az öt zöld él hossza (p) p. Vagyis a p zöld élek összesen, -szer hosszabbak a piros éleknél. 0p Egy hasáb alaplapjának a területe 0 cm, kerülete cm. A hasáb magassága 4 cm. Számítsd ki a hasáb felszínét és térfogatát! A T alaplap P T alaplap K alaplap m (cm ) V T alaplap m (cm ) 4 A rajz egy cm magas hasáb alaplapjának vázlatát mu tatja. Ezt a nyolcszöget egy cm-szer 7 cm-es téglalapból négy egybevágó derékszögű háromszög levágásával kaptuk. A nyolcszög oldalai cm, cm és cm hoszszúak. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? T alaplap : 77-4 (cm ). K alaplap 4 8 (cm) A T alaplap K alaplap m 8 44 (cm ) V T alaplap m 66 (cm ) 7 08 Geometria

209 0 A hasáb felszíne és térfogata VI. Az ábrán egy H keresztmetszetű mé teres vasrudat látsz. A rúd alapja db cm-es téglalapból áll. Mennyi festékre lesz szükség a rúd befestéséhez, ha a festék használati utasítása szerint m lefestéséhez 00 gramm szükséges? Számítsuk ki a vasrúd felszínét! T alaplap ( ) 9 (cm ). K alaplap (cm) A T alaplap K alaplap m (cm ) Vagyis a rúd felszíne 0,408 m, tehát a lefestéséhez 00 0,408 80,6 gramm festék szükséges. 6 Egy meghámozott krumpli térfogata 0,4 dm. Az aprítógép db cm-szer cm-szer 6 cm-es hasábot vág ki belőle. A krumpli többi részéből püré készül. A burgonya hány százalékából lesz püré? A darab hasáb térfogata: 6 0 (cm ). A maradék (amiből püré készülhet) krumpli térfogata: (cm ). Vagyis a krumpli 90 $ 00 47,% -ából lesz püré A gyertyaöntő mester egyedi gyertyákat is készít. a) Hány cm³ viaszt használ 4 darab 0 cm magas, hasáb alakú gyertyához, ha ezek alaplapja egy 8 cm² területű szabályos hatszög? b) Hogyan változna a gyertyaöntéshez felhasznált anyagmennyiség, ha az alaplapot az előző megrendelés adatai alapján, de a hatszög minden második csúcsát összekötve határoznánk meg? a) V viasz 4 V gyertya cm. Ennyi viaszt használ a gyertyák elkészítéséhez. b) A hatszög minden második csúcsát összekötve egy olyan háromszöget kapunk, melynek területe feleakkora, mint a hatszög területe. Így a gyertyaöntéshez is feleannyi viaszra lesz szüksége a gyertyaöntőnek, azaz 60 cm -re. 8 Egy vízlevezető árok keresztmetszete olyan trapéz, amelynek az egyik párhuzamos oldala 80 cm, a másik 60 cm, a magassága pedig 60 cm. Hány hektoliter víz fér el benne, ha a hossza 80 méter? ^80 60h$ 60 A keresztmetszet területe: 700 (cm ). Vagyis az árok egy 7 dm alapterületű, 800 dm magasságú hasábnak tekinthető. A térfogata: V (dm ). Vagyis liter, azaz 60 hektoliter víz fér el benne. Geometria 09

210 VI. A henger felszíne és térfogata Feladatok Számítsd ki a henger felszínét és térfogatát, ha a) r, cm, m 4 cm; b) r 7 cm, m 4, cm! a) A r r(r m), r(, 4) r 6,,r. 0, cm V r r m, r 4 r. 78, cm b) A r r(r m) 7 r(7 4,) 4 r, 6,8r. 49,6 cm V r r m 7 r 4, 0,8r. 646, cm Egy cm-szer cm-es téglalapot mindkét szimmetriatengelye mentén megforgatva két hengert kapunk. Tippeld meg, hogy melyik hengernek lesz nagyobb a felszíne, térfogata! Ellenőrizd számolással tippjeidet! I. eset: Az cm-es oldallal párhuzamos szimmetriatengely körüli forgatás. A forgatás után kapott henger magassága cm, alapkörének sugara 6 cm. A r r(r m) 6 r(6 ) r r (cm ). V r r m 6 r 80r (cm ). 6 II. eset: A cm-s oldallal párhuzamos szimmetriatengely körüli forgatás. A forgatás után kapott henger magassága cm, alapkörének sugara, cm. A r r(r m), r(, ) r 4, 7,r (cm ). V r r m, r 7r (cm ). Az eredményekből látható, hogy az első esetben nagyobb térfogatú és felszínű hengert kaptunk., Egy henger alakú konzervdoboz átmérője 8 cm, magassága cm. a) Milyen méretű és mekkora területű címke tervezhető a palástjára? b) Mekkora a doboz űrtartalma? a) A címke téglalap alakú lesz, egyik oldala cm, a másik oldala 4 r., cm hosszú. A címke területe: 8 r 96r. 0,6 cm. b) A doboz térfogata: r r m 4 r 9r. 60, (cm ). Azaz a doboz kb. 6 deciliter űrtartalmú. 0 Geometria

211 A henger felszíne és térfogata VI. 4 Julcsi szereti, ha a hulladékot újrahasznosíthatja, ezért kitalálta, hogy az üres cse me ge kukoricás konzervdobozokból ajándék ceruzatartókat készít. A dobozok palástját saját tervezésű mintákkal fogja díszíteni, de előtte az egészet lealapozza egy színnel. A dobozok átmérője és magassága is 8 cm. Mekkora felületet kell Julcsinak alapozni, ha ceruzatartót szeretne készíteni? Az alapoznivaló felület: T palást r r m 4 r 8 768r. 4 (cm ). Egy cm hosszú cső belső átmérője 4 cm, külső átmérője pedig 6 cm. Mennyit emelkedne a vízszint, ha ezt a csövet egy cm-szer 8 cm-es alapterületű akváriumba tennénk? (Az akváriumban lévő víz teljesen ellepné a csövet.) A cső térfogata befolyásolja a víz szintjének az emelkedését: V cső V külső – V belső r – r 0r. 4,6 cm. Annyival emelkedik a vízszint, amilyen magasan állna ugyanennyi víz az üres akváriumban: 4,6 8 m, innen m 4,6 : : 8. 0,7 cm. Ennyivel emelkedne a víz szintje. 6 A szoba kifestéséhez festőhengert használunk. Legkevesebb hányszor fog fordulni a henger egy 4 méterszer méteres falfelületen, ha a henger sugara 4 cm, a szélessége pedig 0 cm? Egy fordulattal akkora területet festünk be, amekkora a henger palástja: T palást r r m 4 r 0 60r. 0,7 (cm ), ami kb. 0,0 m. A 4 méterszer méteres, azaz négyzetméteres falfelületen legkevesebb : 0,0 40 fordulatot fog megtenni ez a festőhenger. Geometria

212 VI. Összefoglalás Feladatok Az első 6 feladatnál pontosan egy helyes választ adtunk meg. Keresd meg a megfelelőt! Egy háromszög egyik oldalának hossza, cm, egy másiké pedig 6,8 cm. Melyik nem lehet a harmadik oldal hossza a megadottak közül? (A) 90 mm; (B), dm; (C) 6 mm; (D), cm; (E) 6,8 cm. A helyes válasz: C. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a külső szögek összege egyenlő a belső szögek összegével? (A) ; (B) 4; (C) ; (D) 6; (E) 8. A helyes válasz: B. Felsoroltunk néhányat egy háromszög belső és külső szögei közül. Melyik a kakukktojás? (A) 0 ; (B) 80 ; (C) 90 ; (D) 0 ; (E) 0. A helyes válasz: C. 4 Ha egy háromszögben az egyik belső szög 4, az egyik külső szög pedig, akkor a háromszög (A) derékszögű; (B) egyenlő szárú; (C) tompaszögű; (D) nem létezik; (E) szabályos. A helyes válasz: B. Egy egyenlő szárú (nem szabályos) háromszögbe berajzoltuk az öt nevezetes vonal mindegyikét. Hány egyenest rajzoltunk? (A) ; (B) ; (C) 4; (D) ; (E) Az előzőek egyike sem. A helyes válasz: A. 6 Melyik állítás igaz az egyenlő szárú (nem szabályos) háromszög alapjának egyik csúcsából induló súlyvonalra, szögfelezőre és magasságra? (A) Egyik sem felezi a háromszög területét. (B) Egyik sem merőleges a szemközti oldalegyenesre. (C) Közülük mindig a szögfelező a legrövidebb. (D) Közülük mindig a súlyvonal a legrövidebb. (E) Közülük mindig a magasság a legrövidebb. A helyes válasz: E. Geometria

213 Összefoglalás VI. 7 Ha egy háromszög három középvonalának hossza cm, akkor a háromszög kerülete (A) 6, cm; (B) cm; (C) 66 cm; (D) 99 cm; (E) cm. A helyes válasz: C. 8 Hány oldalú az a sokszög, amelyben egy csúcsból összesen 000 átló húzható? (A) 997; (B) 998; (C) 00; (D) 00; (E) 00. A helyes válasz: E. 9 Hány oldalú az a sokszög, amelyben a belső szögek összege 40? (A) ; (B) ; (C) ; (D) 4; (E). A helyes válasz: E. 0 Hány átlója van a 0 oldalú konvex sokszögnek? (A) 70; (B) 80; (C) 00; (D) 0; (E) 0. A helyes válasz: A. Hány oldalú az a sokszög, amelynek összesen 44 átlója van? (A) 94; (B) 90; (C) ; (D) ; (E) Az előzőek egyike sem. A helyes válasz: D. Két kör kerületének összege 6r. Mennyi a két sugár hosszának összege? (A) ; (B) ; (C) 6; (D) r; (E) Nem adható (E) meg egyértelműen. A helyes válasz: A. Az egyik kör sugarának hossza r, a másik kör sugarának hossza R. Tudjuk, továbbá hogy r R 09. Mekkora a két kör területének az összege? 6 (A) Ilyen körök nincsenek. (B) Nem adható meg egyértelműen. (C) 6,8. (D) 6,8r. (E) 7. 6 A helyes válasz: D. Geometria

214 VI. Összefoglalás 4 Az ábrán egy dm magas oszlop keresztmetszete látható. Az alaplap minden éle egyenlő hosszúságú, és deciméterben mérve egész szám. Melyik lehet a megadott értékek közül az oszlop térfogata? (A) 0 dm³; (B) 60 dm³; (C) 79 dm³; (D) 4 dm³; (E) 790 dm³. A helyes válasz: B. Egy hasáb alaplapja 6 cm kerületű és cm² területű. Mekkora a magassága, ha a felszíne 48 cm²? (A) 4 cm; (B) 8 cm; (C) 4,7 cm; (D), cm; (E) 8 cm. A helyes válasz: A. 6 Felírtuk egy henger alapkörének területét, palástjának területét és a térfogatát egy papírra, de elfelejtettük, hogy melyik szám mit jelent. A papíron ezek a számok szerepelnek: 9r, 60r, 90r. A megadottak közül melyik lehet jó? (A) r, m 0; (B) r, m 0; (C) r 9, m 6; (D) r, m 0; (E) r 9, m 0. A helyes válasz: D. 7 Egy háromszögnek van egy 8 cm-es és egy cm-es oldala. Milyen határok között változhat a harmadik oldal hossza? A harmadik oldal hossza: 6 cm c 0 cm. 8 Mekkora lehet egy háromszög: a) belső szöge; b) külső szöge? a) Egy belső szög nagyságának lehetséges értéke: 0 a 80. b) Egy külső szög nagyságának lehetséges értéke: 0 al Geometria

215 Összefoglalás VI. 9 Egy háromszögnek van 9 -os és 6 -os belső szöge. Mekkora a harmadik csúcsnál található külső szöge? 9 6, azaz Egyenlő szárú háromszögnek az egyik szöge a) 7 -os; b) 9 -os. Mekkorák a hiányzó szögek? a) I. eset: 7, 6. II. eset: 4, 4. b) 44, 44. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszögnek az egyik oldala cm hosszúságú. Rajzold le a háromszöget! Két eset van. I. eset: A befogó hossza cm. II. eset: Az átfogó hossza cm. Rakd növekedő sorrendbe a háromszög oldalhosszait, ha a szögei: a) a 4, b 98 ; b) a 0, β! a) Mivel a 4, b 98, c 9, ezért c a b. b) Mivel a 0, b, c 4, ezért b c a. Rakd növekedő sorrendbe a háromszög szögeit, ha az oldalhosszai: a) a cm, b 0 cm, c 4 cm; b) a 8 cm, b 8 cm, c cm! a) Mivel c a b, ezért c a b. b) Mivel b c a, ezért b c a. Geometria

216 VI. Összefoglalás 4 Lehetséges-e, hogy a háromszög beírt, köré írt körének középpontja és a magasságpontja egybeesik? Igen. A szabályos háromszög esetén. Egy nyomtatott A betű szárai cm hosszúságúak. A szárak felezőpontjait egy 4 cm hosszúságú szakasz köti össze. Milyen széles ez a betű? Az A betű tekinthető egy olyan háromszögnek, amelyben a berajzolt középvonal 4 cm hosszúságú. A vele párhuzamos (be nem rajzolt) oldal, azaz a betű szélessége ennek a duplája, vagyis 8 cm. 6 Egy kétágú létra szárai 80 cm-esek. A létrát 0 cm szélesre kinyitottuk. A szárak felezőpontjait összekötő lánc ekkor teljesen kifeszül. Milyen hosszú ez a lánc? Oldalnézetben a kétágú létra egy 0 cm alapú egyenlő szárú háromszöget alkot. Az alappal párhuzamos középvonal, azaz a kifeszített lánc hossza ennek a fele, vagyis 60 cm. 7 Rajzolj egy szabályos hatszöget! Rajzold meg az összes átlóját! Készíts leltárt, hogy a különböző hosszúságú átlókból hány darab van! Kétféle átló van. Rövid 6 db, hosszú db. 8 Egy konvex sokszögnek 00 oldala van. a) Hány átló húzható egy csúcsából? b) Hány háromszögre vágja az egy csúcsból húzott összes átló? c) Mekkora a belső szögeinek az összege? d) Mekkora a külső szögeinek az összege? e) Hány átlója van összesen? a) 998. b) 999. c) d) 60. e) Egy labdarúgótornára csapat érkezett. Minden csapat mindegyik másik csapattal pontosan egy mérkőzést fog játszani. a) Hány mérkőzés vár egy-egy csapatra? b) Hány mérkőzés lesz összesen? a). b) Geometria

217 Összefoglalás VI. 0 A tér közepén egy kör alakú virágágyást alakítottak ki, melynek méter az átmérője. a) Mekkora hosszúságú szegélyt kell a kialakításnál a helyszínre szállítani? b) Mekkora területű részt fognak virággal beültetni? a) r. 7,7 m. b) 6 6 r., m². A 00 forintos pénzérmék átmérője,8 mm, a 00 forintosoké pedig 8, mm. Az asztalon hever mindkét érméből Ft egymás mellett. Melyik és mennyivel foglal el több helyet az asztalon? A 00 Ft-os érme sugara,9 mm, ezért a 0 körlap területe: 0,9,9 r. 4448,8 mm². A 00 Ft-os érme sugara 4, mm, ezért az körlap területe: 4, 4, r. 4, mm². Vagyis a 0 darab 00 Ft-os 0,7 mm²-rel foglal egy nagyobb területet, mint az darab 00 Ft-os érme. A 00 forintos pénzérmék átmérője,8 mm, a 00 forintosoké pedig 8, mm. A 00 forintosok vastagsága, mm, a 00 forintosoké mm. Add meg a térfogatuk különbségét! A 00 Ft-os pénzérme térfogata:,9,9 r,. 978,7 mm³. A 00 Ft-os pénzérme térfogata: 4, 4, r. 8 mm³. A térfogatok különbsége: 79, mm³. A pénzérméket henger alakban, rolnizva csomagolják. Ötven darab 00 forintost és ötven darab 00 forintost szeretnénk rolnizni. Az így kapott két henger közül melyiknek és mennyivel nagyobb a felszíne? Az 0 db 00 Ft-os rolnija 0 mm magas lesz. Az 0 db 00 Ft-os rolnija 00 mm magas lesz. A 00 Ft-os rolni felszíne:,9,9 r,9 r 0. 94, mm². A 00 Ft-os rolni felszíne: 4, 4, r 4, r ,7 mm². Vagyis a 00 Ft-os rolni felszíne 04, mm²-rel nagyobb. 4 Egy henger alakú befőttes üvegnek a belső átmérője 8 cm. Miután a gyümölcsöt megettük, 4 cm magasan áll benne a gyümölcsszirup. Hány deciliter folyadékot jelent ez? A gyümölcsszirup térfogata: 4 4 r 4. 0, cm³. Vagyis kb. dl folyadék van az üvegben. Geometria 7

218 VI. Összefoglalás Egy mm vastag vaslemezből kivágták a képen látható sokszöget. a) Mekkora a sokszög alakú lemez térfogata? b) Mekkora a lemez tömege, ha tudjuk, hogy m vas 7860 kg? cm 80 cm cm a) A sokszöget egy 04 cm-szer 49 cm-es téglalapból lehet kivágni. A sarkoknál hiányzik egy-egy cm oldalú négyzet. Vagyis a területe: cm². Mivel a vastagsága 0, cm, ezért a térfogata: 40 0, 904 cm³. b) Mivel 904 cm³ 0, m³, ezért a tömege , , kg. 6 A tangram nevű játék 7 darab színes elemét 8 mm vastag fából készítették. Az elemeket a képen látható módon egy 0 cm-es négyzet alakba lehet rendezni. A négyzet átlóját vegyük 4, cm hosszúságúnak. a) Hány különböző térfogatú elemből áll a játék? Add meg ezeket a térfogatokat! b) Hány különböző felszínű elemből áll a játék? Add meg ezeket a felszíneket! a) Három különböző térfogatú elemből áll a játék. A sötétkékkel azonos térfogatú a lila. Ezek duplája a világoskék, a piros és a bordó. Ezek duplája a zöld és a sárga. A sötétkék egyenlő szárú derékszögű háromszög befogójának hossza: 4, : 4, cm. A sötétkék elem térfogata: 0,8,, :,04 cm³. Ezek szerint a lila elem térfogata:,04 cm³. A világoskék, a piros és a bordó elem térfogata: 0,08 cm³. A zöld és a sárga elem térfogata: 0, 64 cm³. b) A területek ugyanolyan módon aránylanak egymáshoz, mint a térfogatok. A sötétkék és a lila elem területe: 6, cm². A világoskék, a piros és a bordó elem területe:,6 cm². A zöld és a sárga elem térfogata:, cm². 7 Egy 0 oldalas könyv cm vastag a borítója nélkül. A lapjai 4 cm-szer 0 cm-es méretűek. Mekkora egy lap térfogata? A 7 db lap térfogata: cm³. Vagyis egy lap térfogata: 840 : 7., cm³. 8 Geometria

219 Összefoglalás VI. 8 A képen látható geometriai testeket tartalmazó kirakójátékot óvodásoknak készítették. Az első sorban 6 cm, a második sorban 8 cm, a harmadik sorban 0 cm magas testek láthatók. Az első oszlopban az alaplap és a fedőlap is cm oldalú négyzet, a második oszlopban 4 cm oldalú szabályos háromszög, a harmadik oszlopban pedig cm átmérőjű kör. Add meg a kilenc test közül azok felszínét és térfogatát, amelyeket számítással meg tudsz határozni! A testek alaplapjának területe a felszín és a térfogat meghatározásához is szükséges. A négyzet területe: 9 cm². A kör területe. r. 7, cm². A szabályos háromszögben számolással nem tudjuk az oldalhoz tartózó magasság hosszát meghatározni, ezért a területét még nem tudjuk kiszámolni. (Szerkesztéssel és méréssel lehetne válaszolni a kérdésre!) Vagyis a második oszlopban található testek felszíne és térfogata a mostani tudásunkkal nem meghatározható. A négyzet alapú hasábok felszíne: 9 4 m 8 m, ahol az m értéke 6 cm, 8 cm és 0 cm. Vagyis: 90 cm², 4 cm², 8 cm². A négyzet alapú hasábok térfogata: 9 m, ahol az m értéke 6 cm, 8 cm és 0 cm. Vagyis: 4 cm³, 7 cm³, 90 cm³. A hengerek felszíne: 7,, r m 4, r m, ahol az m értéke 6 cm, 8 cm és 0 cm. Vagyis: 70,7 cm², 89,6 cm², 08,4 cm². A hengerek térfogata: 7, m, ahol az m értéke 6 cm, 8 cm és 0 cm. Vagyis: 4,6 cm³, 6,8 cm³, 7 cm³. Geometria 9

220 VI. Összefoglalás 0 Geometria

221 VII. FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA A következő csapat csak pár száz évet ugrik az időben tájékoztatta a tanulókat Judit néni, majd néhány másodperc múlva kihirdette: Helén és Dávid látogathatja meg Galileit. Néhányan ugyan elszontyolodtak egy kicsit, de aztán rögtön tervezgetni kezdték a jövő évi programot. Csak egy villanás volt, és a két gyerek Itáliában találta magát. A Napnak még elég ereje volt, hogy kellemesen átmelegítse a ház köveit, úgyhogy mindketten elfoglalták helyüket az egyik ablakfülkében. Mondd csak, miért foglalkozol olyan felesleges dolgokkal, mint a játékkockák természete? fordult Niccolini Galileihez. Azért, kedves barátom, mert sokan hódolnak e szenvedélynek, és kérdéseik kíváncsivá tettek. Ahogy egyre több választ tudok adni nekik, egyre jobban érzem, hogy egyáltalán nem feleslegesek az ezzel kapcsolatos kísérleteim: törvényeket vettem észre a véletlenek mögött. Akkor mindenki nyerni fog a kockajátékokon, ha megismeri a munkádat? Nem, kedves barátom. Nem tudom megjósolni a véletlent, csak megérteni és leírni a törvényeit. Ezek azonban nem olyan természetűek, mint az optika törvényei. Az algebra mely fejezetébe illenek az eredményeid? Egyikbe sem, szerintem ennek nincs neve, de úgy érzem nemsokára lesz. Lehet, hogy új tudományág van születőben. Az is véletlen volt, hogy éppen minket sorsoltak ki erre az útra? kérdezte Helén. Természetesen hümmögött Dávid, aki mindig jó volt infóból, és egy egész napot pepecselt a sorsolás előtti este az iskola számítógépén.

222 VII. Két halmaz közötti hozzárendelések Feladatok Egészítsd ki a mondatot! a) Egyértelmű hozzárendelést akkor hozunk létre, ha az alaphalmaz eleméhez, képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. b) Nem egyértelmű hozzárendelést adunk meg, ha van olyan alaphalmazbeli elem, amelyhez képhalmazbeli elemet rendelünk. a) Egyértelmű hozzárendelést akkor hozunk létre, ha az alaphalmaz minden eleméhez, egy képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. b) Nem egyértelmű hozzárendelést adunk meg, ha van olyan alaphalmazbeli elem, amelyhez több képhalmazbeli elemet rendelünk. Adj meg olyan hozzárendeléseket, amelyekre teljesül, hogy alaphalmaza a) az osztályodba járó gyerekek halmaza; b) az iskolátok menzáján fogyasztható ételek halmaza; c) az iskolai tantárgyak halmaza! a) Az osztályodba járó gyerekekhez hozzárendeljük a testvéreik számát. b) Az ételekhez hozzárendeljük, hogy az osztályban ki szereti az adott ételt. c) A tantárgyakhoz hozzárendeljük a tárgy heti óraszámát. Párosítsd a hozzárendeléseket a diagramokkal! Döntsd el, melyik egyértelmű és melyik nem egyértelmű hozzárendelés! a) Minden magyar emberhez hozzárendeljük a taj-számát. b) Minden emberhez hozzárendeljük a születési dátumát. c) Minden emberhez hozzárendeljük a barátait. Első ábra: c). Második ábra: a). Harmadik ábra: b). A második és a harmadik ábra egyértelmű hozzárendelést mutat. Függvények, statisztika

223 Két halmaz közötti hozzárendelések VII. 4 Melyik egyértelmű és melyik nem egyértelmű hozzárendelés az alábbi megfeleltetések közül? a) Minden számhoz hozzárendeljük a nála eggyel nagyobb számot. b) Minden számhoz hozzárendeljük a reciprokát. c) Minden számhoz hozzárendeljük a számszomszédait. d) Minden számhoz hozzárendeljük az abszolút értékét. e) Minden számhoz hozzárendeljük a tizedét. f) Minden egész számhoz hozzárendeljük a paritását. a) Egyértelmű. b) Egyértelmű, a 0-t kivéve. c) Nem egyértelmű. d) Egyértelmű. e) Egyértelmű. f) Egyértelmű. Adj meg hozzárendelést az alábbi nevek és képek között! Párosítsd a névhalmaz elemeit a képhalmaz elemeivel! Melyik névhez nem találsz képet? Bolyai János Erdős Pál Neumann János Sain Márton Varga Tamás Neumann János Bolyai János Varga Tamás Erdős Pál Sain Mártonról nem találunk képet. Függvények, statisztika

224 VII. Két halmaz közötti hozzárendelések 6 Az alábbi hozzárendelések közül melyek egyértelműek? a) Alaphalmaz: az aktuális év dátumai január -től december -ig. Képhalmaz: a hét napjai. Hozzárendelés: Minden dátumhoz rendeljük hozzá a hét megfelelő napját! b) Alaphalmaz: az iskolád diákjai. Képhalmaz: az iskolád tanárai. Hozzárendelés: Minden diákhoz rendeljük hozzá az őt tanító tanárokat! c) Alaphalmaz: Képhalmaz: Hozzárendelés: Minden halmazállapothoz rendeljük hozzá a vele egyező halmazállapotú anyagot! a) Egyértelmű. b) Nem egyértelmű. c) Nem egyértelmű. 4 Függvények, statisztika

225 Függvények és grafikonjaik VII. Feladatok Válaszd ki az alábbi hozzárendelések közül a függvényeket! Az alaphalmazt A-val, a képhalmazt B-val jelöltük. a) A ; B Minden iskoláskorú gyerekhez hozzárendeljük a saját iskoláját. b) A ; B Minden állattulajdonoshoz hozzárendeljük a háziállatát. c) A ; B Minden házaspárhoz hozzárendeljük az évet, amikor összeházasodtak. d) A ; B Minden gyümölcshöz hozzárendeljük, hányféle vitamint tartalmaz. a) Egyértelmű, ha azt az iskolát nézzük, ahol tanul, nem egyértelmű akkor, ha az iskolák közé beszámítjuk például a zeneiskolákat, művészeti iskolákat is, hiszen ekkor lesz olyan gyerek, akit több iskolához is hozzá kell rendeljünk. b) Nem egyértelmű. c) Egyértelmű. d) Nem egyértelmű. Megadtuk egy függvény alaphalmazát, képhalmazát és hozzárendelési szabályát. Készítsd el a hozzárendelés táblázatát! a) A B Hozzárendelési szabály: Minden A-beli számhoz rendeljük hozzá a háromszorosánál -vel nagyobb számot! b) A B Hozzárendelési szabály: Minden A-beli számhoz rendeljük hozzá az ellentettjét! a) b) Függvények, statisztika

226 VII. Függvények és grafikonjaik Elemenkénti hozzárendeléssel megadtuk egy függvény alaphalmazát, képhalmazát és a hozzárendelési szabályát. Add meg a hozzárendelést szövegesen és Venn-diagrammal is! a) A < 6-nál nagyobb negatív számok>B 7,; 4 7 ; 7,; 7 ; 7,. b) A < és közötti egész számok>B 7 ; 7 ; 7 ; 0 7 0; 7 ; 7 ; 7. a) Minden számhoz rendeljük a felénél eggyel kisebb számot. b) Minden számhoz hozzárendeljük az abszolút értékét. 4. Készíts táblázatot az alábbi hozzárendelésekhez 8 db általad választott számmal, és ábrázold az alábbi függvényeket a koordináta-rendszerben! Az alaphalmaz és a képhalmaz is a tanult számok halmaza. a) Minden számhoz rendeljük hozzá a nála eggyel nagyobb szám kétszeresét! b) Minden számhoz rendeljük hozzá a negyedénél -vel nagyobb számot! a) , b) ,,7,, 4 6 Függvények, statisztika

227 Függvények és grafikonjaik VII. Válaszd ki a függvények grafikonjait az alábbi ábrák közül! a) y 0 x b) y 0 x c) y 0 x d) y 0 x e) y f) y 0 x 0 x a) függvény b) nem függvény c) függvény d) függvény e) nem függvény f) függvény Függvények, statisztika 7

228 VII. Olvassunk a grafikonról! Feladatok Az utasszállító repülőgép magassági adatai alapján nyomon követhetjük, hogy az in dulást követő egyes időpontokban milyen magasan szállt a repülőgép. a) Hány perc alatt érte el a repülési magasságát a repülőgép? b) Milyen magasan járt a gép az indulást követő 8. percben? c) Hány métert emelkedett a gép a 4 8. perc között? d) Melyik időintervallumban indulástól eltelt idő (perc) volt a legnagyobb a repülőgép emelkedési sebessége? e) Hányadik percben volt 8000 m a repülési magassága? 6 8 magasság (m) a) perc alatt. b) 000 m magasan. c) 000 m-t emelkedett. d) A. és. perc között. e) A. percben. A következő ábrán a budapesti és a bécsi repülőtér éves utasforgalmát látod 000 és 0 között. millió fő Döntsd el a grafikon alapján, melyik igaz, illetve 8 melyik hamis a következő állítások közül! 6 Bécs a) A bécsi reptéren mindig többen voltak, mint a 4 budapestin. b) A legnagyobb forgalmat mindkét repülőtér 0 ugyanabban az évben érte el. 8 Budapest c) Volt olyan év, amikor a bécsi repülőtéren 0 6 millióval több ember fordult meg, mint a budapesti reptéren. 4 d) 009-ben volt a legkisebb eltérés a két reptér forgalma között e) Ez alatt a év alatt 70 milliónál több látogatója volt a budapesti repülőtérnek. a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz (0-ben). d) Igaz, de a grafikonról nem feltétlenül olvasható le. e) Igaz 8 Függvények, statisztika

229 Olvassunk a grafikonról! VII. Piroska reggel 8-kor indult el a km-re lakó nagymamához. Óránként átlagosan km-t tett meg. 0 órakor letért az útról, hogy fél óra alatt virágot szedjen a nagyinak, majd folytatta az útját. Anyukájának 9-kor jutott eszébe, hogy elfelejtett kislányának szólni a gonosz farkasról, így 6 km sebességgel h utána szaladt. Tudott-e beszélni az anyuka Piroskával még a virágszedés előtt? Grafikusan oldd meg a feladatot a füzetedben! hely (km) Nagymama lakása Piroska Anyukája Piroskáék lakása idő (óra) Piroskát 0 órakor érte el anyukája, így még éppen tudott vele beszélni a virágszedés előtt. 4 Áron és Barnus különböző iskolákba járnak, de pénteken mindkettőjüknek öt órája van. Tanítás után Barnusnak Áron iskolájában van zeneórája, Áronnak meg Barnus iskolájában van kosárlabdaedzése. Egyszerre indulnak, s mindketten biciklivel mennek egymás iskolájába. Válaszolj a kérdésekre a grafikon alapján! a) Melyik grafikon jelöli Áron és melyik Barnus mozgását? b) Melyik gyerek biciklizik gyorsabban? Miért? c) Milyen messze van egymástól a két iskola? hely (km) Barnus iskolája Áron iskolája d) A fiúk az indulástól számított hányadik percben találkoznak? e) Hány perc alatt teszi meg az utat Áron? f) Hány km utat tesz meg Barnus egy perc alatt? idő (perc) Függvények, statisztika 9

230 VII. Olvassunk a grafikonról! a) A kék grafikon Áron, a lila grafikon Barnus mozgását jelöli. b) Barnus biciklizik gyorsabban, mert rövidebb idő alatt teszi meg a két iskola közötti távot. c) 9 km-re vannak egymástól. d) A 6. percben találkoznak. e) 6 perc alatt. f) km-t tesz meg. Van a kertünkben egy 400 literes felfújható medence, azonban a kutyánk kirágta az oldalát. Egyenletesen folyt belőle a víz, és, óra múlva szomorúan láttuk, hogy a víz fele kifolyt és elszivárgott a földbe. Ábrázold a medencében levő víz mennyiségének csökkenését az eltelt idő függvényében! 400 a medencében lévő víz mennyisége (liter) idő (óra) 6 Meggyújtottunk két gyertyát. Az egyik 4 cm hosszú, a másik ennél vastagabb, de csak 6 cm hoszszúságú. A gyertyák egyenletesen égtek. A hosszabb gyertya magassága 6 óra alatt 9 cm-t, a rövidebbé cm-t csökkent. a) Ábrázold egy koordináta-rendszerben a gyertyák magasságát az eltelt idő függvényében! b) Melyik gyertya ég el hamarabb? c) Milyen hosszúak lesznek a gyertyák óra elteltével? d) Mennyi idő alatt ég el a hosszabb gyertya? e) Mikor lesz a rövidebb gyertya 8, cm magas? 0 Függvények, statisztika

231 Olvassunk a grafikonról! VII. a) idő (óra) gyertya magassága (cm) b) A magasabb (4 cm-es) gyertya ég el hamarabb. c) A magasabb gyertya 6 óra alatt 9 cm-t csökken, tehát két óra alatt cm-t csökken, így magassága cm lesz. Az alacsonyabb gyertya 6 óra alatt cm-t, így óra alatt cm-t csökken, s a magassága 4. 4, cm cm lesz. d) 6 óra alatt ég el. e) 9 óra elteltével. Függvények, statisztika

232 VII. 4 Ábrázoljunk képlet alapján! Feladatok Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvények grafikonjait! a) x 7 x; b) x 7 x ; c) x 7 x 4; d) x 7 x. y d b a 0 x c Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvények grafikonjait! a) x 7 x; b) x 7 x; c) x 7 x; d) x 7 x; e) x 7 x. y b a e 0 d x c Melyik képlethez melyik grafikon tartozik? a) f : x 7 x; b) g : x 7 x 4; c) h : x 7 x ; d) l : x 7 x. y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x Függvények, statisztika

233 4 Ábrázoljunk képlet alapján! VII. a) f : x 7 x. grafikon b) g : x 7 x – 4. grafikon c) h : x 7 -x – 4. grafikon d) l : x 7 – x. grafikon 4 Megrajzoltuk néhány lineáris függvény grafikonját. Vizsgáljátok meg, milyen összefüggések állapíthatók meg a hozzárendelési szabály és a függvény grafikonja között! Melyik számot rendeli hozzá a 0-hoz, azaz hol metszi a grafikon az y tengelyt? Mennyit változik a függvény értéke, ha az x változó -gyel nő? k : x 7 x; y 6 y l : x 7 x 4; m : x 7 x 6. l y k 0 x 0 x 0 m 6 x A k függvény a (0; 0)-ban metszi az y tengelyt, a függvény értéke -del nő, ha x értéke -gyel nő. Az l függvény a (0; -4)-ban metszi az y tengelyt, a függvény értéke -mal nő, ha x értéke -gyel nő. Az m függvény a (0; 6)-ban metszi az y tengelyt, a függvény értéke -gyel csökken, ha x értéke -gyel nő. Ábrázold az alábbi függvényeket, majd tükrözd az y tengelyre! Add meg az így kapott függvények hozzárendelési szabályát! a) f : x 7 x ; b) g : x 7 x ; c) h : x 7 x. a) y b) g y c) f 0 x f g 0 x h y h 0 x Hozzárendelési szabályok: a) Az f függvény tükörképének: f : x 7 -x. b) A g függvény tükörképének: g : x 7 x -. c) A h függvény tükörképének: h : x 7 – x. Függvények, statisztika

234 VII. 4 Ábrázoljunk képlet alapján! 6 Add meg az alábbi pontok hiányzó koordinátáit, ha tudod, hogy a pontok rajta vannak az f : x 7 x függvény grafikonján! A(6; ); B( ; 4); C(0; ); D( ; 4); E(00; ); F( ; ). A(6; -) B(-; 4) C(0; ) D(9; -4) E(00; -98) F(; -) 7 Ábrázold az g : x 7 x függvény grafikonját! Döntsd el, hogy hol helyezkednek el az alábbi pontok: a függvény alatt, a függvényen vagy a függvény felett! A(; ); B( ; 7); C(4; ); D( ; ); E(7; ). D y g C A 0 x B E Alatta: C(4; ); E(7; -) Felette: B(-; -7); D(-; ) Rajta: A(; ) 8 Egyenletesen zuhog az eső. Az udvaron két egyforma méretű esővízgyűjtő dézsánk is van. a) Az egyikben perc alatt 0, cm-t emelkedik a vízszint. Ez a dézsa két és fél óra alatt tele lett, de addigra annyira megsüllyedt alatta a föld, hogy felborult, és az összes víz kiömlött belőle. Ábrázold grafikonon a hordóban levő víz mennyiségének változását az idő függvényében! b) Vizsgáljuk meg a másik dézsát! A két dézsa közti különbség mindössze annyi, hogy ezen alul van egy kisebb lyuk, ahol folyamatosan elszivárog a víz, így percenként mm-rel csökken a víz szintje. Ábrázold grafikonon a hordóban levő víz mennyiségének változását az idő függvényében! Mennyi idő alatt telik meg ez a hordó? 4 Függvények, statisztika

235 4 Ábrázoljunk képlet alapján! VII. a) A grafikonon a víz magasságát ábrázoltuk az idő függvényében. A víz pillanatok alatt elfolyt, így időben 0-val jelöltük. vízmagasság (cm) idő (perc) b) Ha perc alatt mm-nyi víz szivárog el, akkor perc alatt, mm-nyi víz szivárog el. Ez alatt mm-t emelkedne a vízszint, tehát összesen csak, mm-t emelkedik a vízszint perc alatt. Ez pont fele az a) feladatban megadott értéknek, tehát pont kétszer annyi idő alatt telik meg. óra alatt lesz tele. vízmagasság (cm) idő (perc) Függvények, statisztika

236 VII. Keressünk szabályokat! Feladatok Add meg az alábbi grafikonok hozzárendelési szabályát! a) y b) n y i g f m j h 0 x l 0 x a) f : x 7 x b) j : x 7 x g : x 7 x k : x 7 4x h : x 7 x – l : x 7 x i : x 7 x m : x 7 x n : x 7 -x k Keresd a párját! p 0 y q o: l : 7 x – p: h : x 7 – x q: f : x 7 x r: g : x 7 -x 4 r o x f : x 7 x g : x 7 x 4 h : x 7 x l : 7 x Egy lineáris függvény grafikonja átmegy a (; ) és a (; ) pontokon. Döntsd el az alábbi állításokról, melyik igaz és melyik hamis! a) A függvény az x -höz -at rendel. b) A függvény az x -höz -at rendel. c) A függvény az x 0-hoz kevesebbet rendel, mint az x -höz. a) Igaz b) Hamis c) Igaz 6 Függvények, statisztika

237 Keressünk szabályokat! VII. 4 Adott a síkban két pont. Add meg annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, amely átmegy ezeken a pontokon! a) A(-; ); B(; -); b) A(; 4); B(-; 0); c) A(; ); B(-6; -). A függvények ábrázolása után megadható a hozzárendelési szabály. a) f : x 7 -x b) g : x 7 x c) h : x 7 x Az alábbi táblázatban megadott számpárok egy kivételével egy lineáris függvény grafikonjának pontjai. Határozd meg a függvény hozzárendelési szabályát! Melyik pont a kakukktojás? a) x 0 b) x y 4 y 4 a) Hozzárendelési szabály: f : x 7 x 4, a kakukktojás a (-; -) koordinátájú pont. b) Hozzárendelési szabály: g : x 7 – x, a kakukktojás a (4; ) koordinátájú pont. 6 Ábrázold az alábbi lineáris függvényeket, majd add meg a hozzárendelési szabályukat! a) Az f függvény grafikonja átmegy az A(; -9) ponton és az y tengelyt a (-4) pontban metszi. b) A g függvény a -höz -öt, a 6-hoz 7-et rendel. a) Hozzárendelési szabály: f : x 7 -x – 4 b) Hozzárendelési szabály: g : x 7 x 4 Függvények, statisztika 7

238 VII. Keressünk szabályokat! 7 A bankrabló észreveszi a 00 méterre álló rendőrt és elkezd rohanni. Hány perc alatt éri utol a rendőr a rablót, ha a rabló 0 km, a rendőr pedig 6 km sebességgel fut? h h Oldd meg a feladatot grafikusan! A grafikonról leolvasható, hogy 4 perc alatt éri utól a rendőr a bankrablót. 8 Függvények, statisztika

239 6 Átlag, módusz, medián VII. Feladatok Határozd meg a számok a) számtani átlagát; b) móduszát; c) mediánját! a) x ; b) módusz 0; c) medián 0 Határozd meg az számok a) számtani átlagát; b) móduszát; c) mediánját! a) x – – 6, 6 ; b) módusz ; c) medián Az iskolai büfében eladtak 4 párizsis, sajtos, 7 sonkás és 8 rántott húsos zsömlét. a) Melyik középértéket tudod meghatározni? b) Mennyi volt az egy szendvicsre jutó átlagos ár? a) A módusz meghatározható. Párizsis zsömléből adták el a legtöbbet, tehát ez a módusz. b) x 4 $ 0 $ 0 7 $ 80 8 $ , Ft volt az egy szendvicsre jutó átlagos ár. 4 A YouTube-on 0 elején az első hat leggyakrabban hallgatott zeneszám hossza :08; 4:4; 4:04; :9; :7 és 4:4 volt. a) Milyen hosszú az átlagos zeneszám? b) Mekkora az adatok mediánja? a) Az adatok nyilván percben és másodpercben vannak megadva. Összegük 84 másodperc. Ebből következik, hogy x – – 6, 6 másodperc hosszú egy átlagos zeneszám. b) Nagyság szerint rendezve :9; :7; 4:04; 4:4; 4:4; :08. A medián, azaz a két középső érték átlaga 4:09. Függvények, statisztika 9

240 VII. 6 Átlag, módusz, medián Ha lehet, adj meg hat természetes számot úgy, hogy a) az átlaguk legyen; b) a móduszuk 6 legyen; c) a mediánjuk 7 legyen; d) az a) és a b) egyszerre teljesüljön; e) az a) és a c) egyszerre teljesüljön; f) a b) és a c) egyszerre teljesüljön; g) az a), b) és a c) egyszerre teljesüljön! a) Sokféle megoldás lehetséges, például: . b) Sokféle megoldás lehetséges, például: . c) Sokféle megoldás lehetséges, például: . d) Sokféle megoldás lehetséges, például: . e) Sokféle megoldás lehetséges, például: . f) Sokféle megoldás lehetséges, például: . g) A két középső szám nem lehet 7, mert akkor maximum darab 6-os lehet köztük, azaz a módusz nem 6. Ha a két középső szám 6 és 8, akkor az összeg nagyobb kell legyen, mint 0, azaz az átlag nem lehet. Tehát nem lehet a feltételeknek megfelelő természetes számokat megadni. 40 Függvények, statisztika

241 7 Gyakoriság, relatív gyakoriság VII. Feladatok A cukrászdában 84 vanília, 47 csokoládé, 44 pisztácia és eper fagylaltot adtak el. a) Mi az adatok módusza? b) Mekkora az egyes fagyik relatív gyakorisága? c) Készíts kördiagramot az adatok ábrázolá sához! a) Az adatok módusza a vanília. b) Az összes eladott fagyi száma: Vanília Csokoládé Pisztácia Eper Relatív gyakoriság 84 04, 47. 0, , 0. 0, c) Vanília Csokoládé Eper Pisztácia Az M-es autópálya Tatabányát követő szakaszán utasszámlálást tartottak. Feljegyezték az egyes autókban ülő emberek számát, és az alábbi táblázatot kapták. az emberek száma autónként darab a) Számold ki a füzetedben a relatív gyakoriságokat! b) Ha jön egy következő autó az úton, mire tippelnél, hány ember ül benne? a) Összesen 08 autót számláltak meg. Az emberek száma autónként Darab Relatív gyakoriság , 47. 0,. 0, ,. 0, 08. 0, 00. 0, 00 b) Arra tippelnénk, hogy ember ül benne. Függvények, statisztika 4

242 VII. 7 Gyakoriság, relatív gyakoriság Bár az iskolában csak 7:4-kor kezdődik a tanítás, de már 7:00-tól be lehet menni az épületbe. Az iskolatitkár kérésére a portás bácsi statisztikát készített. 7:00 és 7: között 8 gyerek érkezett, 7: és 7:0 között 6, 7:0 és 7:4 között 8, sőt sajnos 7:4 és 8:00 között is még. a) Mekkora az egyes negyedórákban érkezett gyerekek számának relatív gyakorisága? b) Melyik negyedórában jött a legtöbb gyerek? c) Melyik negyedórában jött meg a 6., azaz a középső gyerek? d) Hogyan számolnád ki, hogy mi volt a gyerekek átlagos érkezési ideje? e) Ha semmi egyebet nem tudunk Gazsiról, akkor mire tippelnél, mikor érkezett az iskolába? a) Összesen gyerek jött. Időtartamok 7:00-7: 7:-7:0 7:0-7:4 7:4-8:00 8 Relatív gyakoriság. 0, , , 70. 0, 07 b) A harmadik negyedórában jött a legtöbb gyerek, így ez a módusz. c) A 6. gyerek a harmadik negyedórában jött meg, így ez a medián. d) Az átlag legalább: 8 $ 7h 00m 6$ 7hm 8 $ 7h 0m $ 7h 4m. 7h 6m. Az átlag legfeljebb: 8 $ 7hm 6$ 7h 0m 8 $ 7h 4m $ 8h 00m. 7h 4m. A középértékekkel: 8 $ 7h 7, m 6$ 7h, m 8 $ 7h 7, m $ 7h, m. 7h, m. Ha semmit nem tudunk, akkor a középértékkel szoktak számolni. e) Gazsi valószínűleg 7:0 és 7:4 között érkezett az iskolába. 4 A hatodikos tankönyv 60. oldalán találkozhattál az alábbi kockahálóval. A rajzoláshoz, hajtogatáshoz és ragasztáshoz a következő utasítást adtuk meg: A pettyeket is másold át az ábra szerint! A kettes melletti üres lapot hajtsd belülre, és erre ragaszd a 6 pettyes lapot! A kockát mi is elkészítettük, majd 00-szor feldobtuk. Az eredményeket a táblázatban láthatod: dobott szám 4 6 darab a) Írd fel a dobott számok relatív gyakoriságát! b) Mit gondolsz, miért az -es lett a módusz? c) Dobj 00-szor egy szabályos dobókockával, és készíts a füzetedbe egy hasonló táblázatot! Hogyan tudnád gyorsítani a kísérlet elvégzését? 4 Függvények, statisztika

243 7 Gyakoriság, relatív gyakoriság VII. a) Dobott szám 4 6 Relatív gyakoriság 9 09, 9 09, 7 07, 0, 0, 8 008, b) A kettes melletti nagy üres lapot beragasztózva és behajtva a 6-os lap nehezebb lesz a többinél, így többször kerül alulra. Vele szemben, azaz felül, az egyes lap van. Ezért lett az egyes módusz. (A tanulók között végrehajtva más eredmény is lehetséges, volt, akinek a hármas, illetve akinek a kettes lap lett a leggyakoribb.) c) Gyorsabb, ha nem egy kockát dobunk fel, hanem többet. Az egyes tanulók által kapott eredmények persze különbözők lehetnek. Függvények, statisztika 4

244 VII. 8 Valószínûség Feladatok A grafikonon a 7.d tanulóinak kislabdahajítás eredményeit látjuk. a) Mekkora a dobások mediánja és módusza? b) Mit mondhatunk a dobások átlagáról? a) A medián és 6 méter közé esik. Az egyes dobások móduszát nem tudjuk, mint csoport a módusz a -6 m tartomány. b) x. 6$ 4$ 8, 9$ 4, 6$ 9, $ 4., 6 8 Más közel ekkora érték is jó lehet, mert az első és utolsó érték is csak becslés. Szokták mondani, hogy a vajas kenyér mindig a vajas oldalára esik. Ha egy vajas kenyér 00 feldobása esetén 64-szer a vajas felére esik, akkor állíthatjuk-e, hogy ennek a valószínűsége 64? A kísérletet 00 ne hajtsátok végre! Nem, mert egy kísérlet eredményét ismerve nem mondhatunk semmit a valószínűségről. Egy sorsolást igazságosnak tekintünk, ha az egyes eseteknek ugyanakkora a valószínűsége. Felsorolunk néhány sorsolást, amellyel el akarjuk dönteni, hogy Anna vagy Zsolt vihesse le a szemetet. Válaszd ki az igazságosakat! A) Feldobunk egy pénzérmét. Ha írás, akkor Anna, ha fej, akkor Zsolt viheti le a szemetet. B) Felütünk egy könyvet valahol. Ha a lapon az a betű fordul elő korábban, akkor Anna, ha a z betű, akkor Zsolt viheti le a szemetet. C) Feldobunk egy kockát. Ha -es vagy 6-os, akkor Anna, ha más, akkor Zsolt viheti le a szemetet. D) Két gyufaszál közül az egyiknek letörjük a fejét, majd az ujjaink közé fogva Anna húzhat egyet. Ha a rövidebbet húzza, ő viheti le a szemetet, ha nem, akkor Zsolt. E) Célba dobnak. Aki előbb tudja az almacsutkát tíz lépésről a szemetesbe dobni, az viheti le a szemetet. Igazságos az A és D. 4 Anna, Matyi, Hanna és Zozó közül kisorsoltak egy növényfelelőst az első hétre. a) Mi a valószínűsége, hogy lányt sorsoltak? Az első 40 héten feljegyezték, hogy mikor kit sorsoltak ki. Az egyes gyerekeket a nevük kezdőbetűjével jelölték. AHHZZHMAMMHHHHMHHZHAHMHZZAAHHZZMAZZAMMHZ b) Készíts táblázatot a kisorsolt lányok számának változásáról! c) Ábrázold a kisorsolt lányok gyakoriságának és relatív gyakoriságának változását egy pontdiagramon! 44 Függvények, statisztika

245 8 Valószínûség VII. a) 0, a valószínűsége annak, hogy lányt sorsoltak. 4 b) hét lány hét lány c) 0 gyakoriság (db) relatív gyakoriság 0, Függvények, statisztika 4

246 VII. 8 Valószínûség Feldobunk egy szabályos kockát. a) Mi a valószínűsége, hogy 6-os lesz? b) Mi a valószínűsége, hogy -es lesz? c) Mi a valószínűsége, hogy páros lesz? d) Mi a valószínűsége, hogy prímszám lesz? e) Mi a valószínűsége, hogy 4-nél nagyobb lesz? f) Adj meg olyan eseményt a kockadobáshoz, amelynek valószínűsége! g) Adj meg olyan eseményt a kockadobáshoz, amelynek valószínűsége! a) 6 b) 6 c) d) f) Például, ha a < vagy 6>lesz a dobás eredménye. g) Például, ha az lesz a dobás eredménye. e) 6 A 7. d-ben kisorsolják, hogy ki kit fog megajándékozni karácsonykor. A tanulók neveit felírják egy papírdarabra, összehajtogatják, beleteszik egy dobozba, ahol összekeverik és egyesével húznak belőle. fiú és 6 lány jár az osztályba, köztük Helénke. Matyi húz elsőnek. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Helénkét húzza? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy lányt húz? a) ; b) Anna, Berta, Hanna és Zsu egy négyszemélyes ebédlőasztalnál ülnek. Nincs rögzített helyük, mindenki oda ül, ahová akar, azaz minden ülésrend egyformán valószínű. Rajzold fel a füzetedbe az összes lehetséges ülésrendet, ha csak az számít, hogy ki ül ki mellett! Mennyi a valószínűsége, hogy Anna és Hanna egymással szemben ülnek? Ha a jobb és bal oldal nem számít, akkor háromféle, ha számít, akkor hatféle ülésrend lehetséges, és ezek között, illetve olyan van, amikor Anna és Hanna egymással szemben ülnek: P. 6 A A A H Z B Z H B B H Z 46 Függvények, statisztika

247 9 Összefoglalás VII. Feladatok Sorold fel a hozzárendelések fajtáit, és mondj példát minden típusra! Egyértelmű hozzárendelés: Minden emberhez hozzárendelem a születésnapjának dátumát. Nem egyértelmű hozzárendelés: Minden emberhez hozzárendelem a barátait. Mit nevezünk a) képhalmaznak; b) alaphalmaznak; c) értékkészletnek? Ha két halmaz elemei között megfeleltetést létesítünk, akkor hozzárendelésről beszélünk. a) Azt a halmazt, amelynek elemeit hozzárendeljük, képhalmaznak nevezzük. b) Azt a halmazt, amely elemeihez hozzárendelünk, alaphalmaznak nevezzük. c) A képhalmaz azon elemeinek összességét, amelyeket hozzárendeltük az alaphalmaz elemeihez, a függvény értékkészletének nevezzük. Hétfő reggel 6 órakor a hőmérséklet 4 C volt. Egyenletesen melegedett az idő, 0 órakor már C-ot mértek. Ekkor feltámadt a szél és a hőmérséklet egy óra alatt C-ot csökkent. A szélvihar elmúltával ismét egyenletesen melegedett a levegő hőmérséklete, így délután órakor 4 C-ot mértek. a) Készíts grafikont a hőmérséklet változásáról! b) Hány fok volt 8 órakor? c) Hány órakor volt a hőmérséklet C? d) Mikor melegedett gyorsabban a levegő hőmérséklete, a szél megérkezése előtt vagy utána? a) hőmérséklet ( C) idő (óra) b) 8 C c) 9.0-kor, 0.0-kor és.4-kor d) A szél megérkezése előtt, óránként C-ot. Függvények, statisztika 47

248 VII. 9 Összefoglalás 4 Egy sziklamászó útjáról készült az itt látható grafikon. Egy 0 méteres kötéllel biztosította magát. A vízszintes tengelyen az időt, a függőleges tengelyen a hegymászó magasságát jelöltük. a) Milyen magasról indult a hegymászó? b) Mikor mászott fölfelé a leglassabban? c) Mikor mentette meg az életét a biztosítókötél? d) Milyen magasra mászott a sziklafalon? e) Mikor tartott pihenőt? d) Hány órára ért vissza a kiindulási helyre? a) 0 méterről. b) 0- óra között. c) Fél -kor. d) 400 méterre. e) :00-:0 és :0-:00 között. f) Délután -ra. Gyűjts össze minél több módszert függvények megadására! A) Szövegesen B) Venn-diagramon ábrázolt C) Táblázattal megadott D) Számpárokkal megadásával E) Két párhuzamos számegyenessel F) Derékszögű koordináta rendszerben G) Képlettel 6 Minden számhoz rendeljük hozzá a -szeresénél -tel nagyobb számot. Melyik pont illeszkedik a függvény grafikonjára? A(0; ); B(; ); C(, 9); D(4; ). Mind a négy megadott pont illeszkedik a függvény grafikonjára. 48 Függvények, statisztika

249 9 Összefoglalás VII. 7 Ábrázold táblázat segítségével az f : x 7 x ; g : x 7 x ; h : x 7 x függvényeket! f : x 7 x x x y f 0 x g : x 7 x x x y g 0 x Függvények, statisztika 49

250 VII. 9 Összefoglalás h : x 7 -x x x y 0 x h 8 Készíts táblázatot a képlettel megadott lineáris függvényekhez, és ábrázold koordinátarendszerben a függvények grafikonját! f : x 7 x ; g : x 7 x ; h : x 7 x. f : x 7 x – x x y f 0 x 0 Függvények, statisztika

251 9 Összefoglalás VII. g : x 7 -x x x y g 0 x h : x 7 x x x y h 0 x Függvények, statisztika

252 VII. 9 Összefoglalás 9 Az osztályban az év végi matekfelmérők ered ménye a következő volt: db -es, db -as, db 4-es és 8 db -ös. a) Határozd meg a felmérők átlagát, mediánját és móduszát! b) Készíts az adatok alapján oszlopdiagramot! c) Egy tanulót választva mi a valószínűsége, hogy -öst kapott? jegyek 4 darabszám 8 a) Módusz a 4-es, median a 4-es, átlag.,89. b) darabszám c) A valószínűség jegyek. 7 0 A képen látható szabályos dobó kockának lapja van, -től -ig megszámozva. a) Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk? b) Mennyi a valószínűség, hogy páros számot dobunk? c) Mennyi a valószínűsége, hogy prímszámot dobunk? d) Mennyi a valószínűsége, hogy legalább 6-ost dobunk? a), mert lapból ugyanolyan eséllyel eshet minden lapjára, és csak a hatos jó. b), mert ugyanannyi páros szám van a dobó kockán, mint páratlan. c), az a) szerint végiggondolva. d) 7, az a) szerint végiggondolva. Függvények, statisztika