Ofi matematika 8 tankönyv pdf

· Ki tudja az ofi matematika 7 osztályos tankönyvnek és a munkafüzetnek a megoldásait? Oldal-on, stb? Figyelt kérdés. a tankönyv lenne a legfontosabb előre is köszi. #házi #oldal #házi feladat #matematika #megoldás #tankönyv #osztály #munkafüzet.

Tudástár
E-tankönyvek Tananyagok szűrése Tantárgy Angol Biológia Dráma és tánc Egészségtan Ének-zene Erkölcstan Etika Fizika Földrajz Informatika Írás Kémia Kézikönyv Környezetismeret Magyar Irodalom Matematika Mozgókép-és média.ism.

Kísérleti tankönyv MATEMATIKA 8. Matematika. azonosság. logika. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet. függvény. százalék.

2 A kiadvány megfelel az 5/0. (XII..) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5 8. évfolyama számára..0. előírásainak. Tananyagfejlesztő: GEDEON VERONIKA, PARÓCZAY ESZTER, SZÁMADÓ LÁSZLÓ, TAMÁS BEÁTA, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA Tudományos szakmai szakértő: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai szakértő: ILLÉS JÁNOS Olvasószerkesztő: DARCSINÉ MOLNÁR EDINA, CZOTTER LÍVIA Fedélterv: OROSZ ADÉL Látvány- és tipográfiai terv: GADOS LÁSZLÓ, OROSZ ADÉL IIlusztráció: LÉTAI MÁRTON Szakábra: SZALÓKI DEZSŐ Fotók: Pixabay; WikimediaCommons; Kováts Borbála; Wikipedia; Flickr; Laura Lauragais; MorgueFile; Létai Márton; dr. Wintsche Gergely, Márton Tünde A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József főigazgató Raktári szám: FI Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Márton Tünde Nyomdai előkészítés: Gados László, Gados Dániel Terjedelem: 4,7 (A/5 ív), tömeg: 44,4 gramm. kiadás, 06 A kísérleti tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program..-B/ számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte: Felelős vezető: A nyomdai megrendelés törzsszáma: Európai Szociális Alap

3 Üdvözlünk a 8. osztályban! Az új matematikakönyvedet tartod a kezedben. Ha korábban már találkoztál ennek a sorozatnak a könyveivel, akkor találsz néhány ismerős dolgot, de lesznek újdonságok is. A fejezet elején található képregény néhány a témához kapcsolódó foglalkozást villant fel. A feladatokat nehézségük szerint három csoportba soroltuk: könnyű közepes kicsit nehéz Az eltérő feladattípusokat jól megkülönböztethető keretbe foglaltuk és felirattal láttuk el. Az új ismereteket játékkal, csoportokban végezhető feladatokkal, illetve érdekes példákkal vezetjük be. Otthoni kutatómunkának ajánlott feladatokat is találsz a könyvben. A fontos tudnivalókat piros színnel emeltük ki, hogy könnyebben megtaláld. A könyvhöz tartozó munkafüzet példái és néhány könnyed, játékos feladat is segít a gyakorlásban. A leckékben egy jellemző feladat megoldását is közöljük, lépésről lépésre. A játékos feladatok segítenek szórakoztatóbbá tenni a tananyagot. SIKERES TOVÁBBTANULÁST!

4 TARTALOM Bevezetés I. SZÁMOK ÉS BETŰK. Mit tudunk a racionális számokról? Racionális számok úton-útfélen A racionális számokon túl, a négyzetgyök fogalma Számok négyzetgyöke Hatványozás nemnegatív kitevő esetén Hatványozás egész kitevővel Pozitív számok normálalakja Algebrai alapfogalmak Egytagú kifejezések szorzása Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés Többtagú kifejezések szorzata Összefoglalás III. A PITAGORASZ-TÉTEL. Szerkesztések, mérések A Pitagorasz-tétel Számítások síkban Számítások térben Szabályos háromszög, négyzet, kocka Nevezetes derékszögű háromszögek A kör és a derékszögű háromszög Összefoglalás II. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK. Egybevágósági transzformációk Vektorok Eltolás Forgassuk el! Középpontos hasonlóság Szerkesztések Hasonlóság Összefoglalás

5 TARTALOM V. FÜGGVÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉGEK, SOROZATOK IV. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. Egyenletek Egyenlőtlenségek Szöveges feladatok számokról, életkorokról Szöveges feladatok összekeverésről Szöveges feladatok mozgásról, munkáról Szöveges feladatok a geometria köréből Vegyes feladatok Pénzügyi feladatok Összefoglalás Egyenes arányosság Lineáris függvények Lineáris függvények vizsgálata Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Fordított arányosság Példák nem lineáris függvényekre Olvassunk a grafikonról! Készítsünk grafikont szabály alapján! Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag Játék Valószínűség Valószínűségszámítási feladatok Keressünk összefüggéseket! Sorozatok Számtani sorozat Összefoglalás VI. FELSZÍN, TÉRFOGAT. Mit tanultunk eddig? Gúlák Kúpok A gömb Alkalmazások Összefoglalás Gyakorló feladatsorok

8 I/. Mit tudunk a racionális számokról? CSOPORTMUNKA A feladatok megoldásán keresztül ismételjétek át az eddig tanultakat! -4 fős csoportokban dolgozzatok! Osszátok el a csoport tagjai között a munkát úgy, hogy mindenkinek jusson legalább egy megoldandó feladat! Ha elkészültetek, beszéljétek meg a feladatot és a megoldásokat a csoport többi tagjával! A csoport Jelöld a felsorolt számok helyét a számegyenesen! 5 ;,5; – 4 ; ; 7, – 4 Írj a betűk helyére két-két számot úgy, hogy teljesüljön a megadott reláció! a) a, 5 b) -6, b – 8, c) c 0 Lehet-e két racionális szám szorzata egész szám? 4 Add meg a felsorolt számok két-két tört alakját! 0 ;,5; -; Végezd el a műveleteket! a) ]-6g? b) , c) 5, –< c 4 - m$ 5 F : 05, SZÁMOK ÉS BETÛK

9 Mit tudunk a racionális számokról? I/. B csoport Jelöld a felsorolt számok helyét a számegyenesen! ; – 7 ; -,5; 5, ; Írj a betűk helyére két-két számot úgy, hogy teljesüljön a megadott reláció! a) a 7, b) -6, b – 5 c) c 9 8 C csoport Jelöld a felsorolt számok helyét a számegyenesen!,8; – 5 ; ; 6, – ; Írj a betűk helyére két-két számot úgy, hogy teljesüljön a megadott reláció! a) 4 a 48, b) -8, b c) c 0 00 Mit nevezünk egy szám reciprokának? Lehet-e két racionális szám hányadosa egész szám? 4 Add meg az alábbi számok kétkét tört alakját! 7 ; 4; -,; Végezd el a műveleteket! a) b) 86, – 7, + c) + : a 6 k 4 Add meg az alábbi számok két-két tört alakját! ; -5;,5; Végezd el a műveleteket! a) b) – 0, c) 5, b -a- $ – 4 kl a k 0 D csoport Jelöld a felsorolt számok helyét a számegyenesen! – 7 ;,6; 9 ; 7, – ; Írj a betűk helyére két-két számot úgy, hogy teljesüljön a megadott reláció! a) 8 a 84, b) -57, b c) 9 c 0 0 Mit nevezünk egy racionális szám abszolút értékének? 4 Add meg a felsorolt számok két-két tört alakját! ; 6,8; -4; Végezd el a műveleteket! a) b) a- 5 k c) 7 $ – 6 : SZÁMOK ÉS BETÛK 9

10 I/. Racionális számok úton-útfélen PÁROS MUNKA. Rajzoljátok le a halmazt a füzetetekbe, majd írjátok a megfelelő helyre az alábbi számokat! Egyeztess a padtársaddal, hogy jól dolgoztál-e! ; -6; 4 ; -9,; 0; 6, o ; – 9 ; ; – ; 7o, Z. Döntsétek el az alábbi állításokról, melyik igaz és melyik hamis! Válaszotokat minden esetben indokoljátok! a) Minden egész szám egyben természetes szám is. b) Az egész számok halmazában benne van a 0 is. c) A pozitív és a negatív egész számok együtt az egész számok halmazát al kotják. d) Minden természetes szám egyben racionális szám is. e) Az nem racionális szám, mert nem írható fel két egész szám hányadosaként. f) A – egész szám, de nem természetes szám. g) Minden racionális szám egyben egész szám is. Q N A racionális számokkal végzett műveletek teszik lehetővé, hogy a mindennapjainkban felmerülő számítási feladatokat elvégezzük. Sokszor használjuk ezeket mértékegység-átváltásoknál, tört rész kiszámításakor vagy százalékszámításnál. PÁROS MUNKA Felváltva válaszoljátok meg az. és. kérdést! A. feladatot először egyedül oldjátok meg, majd egyeztessétek az eredményt!. Soroljátok fel az általatok ismert mennyiségeket és ezek mértékegységeit!. Rendezzétek növekvő sorrendbe az egy mennyiséghez tartozó tanult mértékegységeket, majd írjátok közéjük az átváltási számokat!. Végezzétek el az alábbi átváltásokat! a) Hány kg, illetve dkg 5650 g? b) Hány dm, illetve méter 450 cm? c) Hány liter 8,4 dl? d) Hány m 750 dm? e) Hány nap a 68 óra? f) Hány liter,44 m? 4. Az angolok és az amerikaiak még ma is sokszor a hagyományos mértékegységeiket használják. yard = láb = 6 hüvelyk, azaz láb = hüvelyk. a) Hány hüvelyk yard? b) Hány yard hüvelyk? c) Hány hüvelyk 8 láb? d) Hány láb,4 hüvelyk? 0 SZÁMOK ÉS BETÛK

11 Racionális számok úton-útfélen I/. FELADATOK Oldjátok meg a feladatokat önállóan! Az ellenőrzést végezzétek közösen! Fogalmazd meg, mit nevezünk racionális számnak! Keress több olyan tört alakú számot, amelynek tizedes tört alakja végtelen szakaszos tizedes tört alakú! Vannak-e nem racionális számok? 4 Mely racionális számok tizedes tört alakja lesz véges tizedes tört alakú? 5 Igaz-e, hogy a racionális számok tizedes tört alakja véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört? 6 Igaz-e, hogy két racionális szám összege is racionális szám? 7 Csoportosítsd a racionális számokat tizedes tört alakjuk szerint! 8 Adj meg egy olyan tizedes törtet, amely nem szakaszos! 9 A Föld időzónákra osztható. Az alábbi városok különböző időzónákban találhatók. Az ábrán látható órák a helyi időt mutatják az adott városokban. a) Anna budapesti idő szerint éjjel -kor hívja fel Bangkokban élő barátnőjét. Hány óra van ekkor Bangkokban? b) Thomas Londonban él. Reggel 7.45-kor hívja fel Los Angelesben élő barátját. Hány óra van ekkor Los Angelesben? c) A Helsinkiben élő Aino délután fél 4-kor hívja fel a budapesti Grétit. Hány óra van ekkor Budapesten? d) Milyen nap és hány óra van a fenti városokban akkor, amikor Budapesten hétfő reggel 8 óra van? 0 Panni a december havi zsebpénzének részéből ajándékokat vesz, negyedrészét elkölti az 7 iskolai büfében. A maradék pénz felét félreteszi, másik felét pedig kölcsönadja kisöccsének. a) A pénzének hányadrészét teszi félre Panni? b) Mennyi pénze volt decemberben, ha az iskolai büfében 400 Ft-ot költött el? c) Mennyi pénz adott a kisöccsének? SZÁMOK ÉS BETÛK

12 I/. Racionális számok úton-útfélen Egy kábeltévé-szolgáltató cég szeretne néhány új TV-csatornát indítani, a két már foglalt TVcsatorna között. A szomszédos adások között legalább 8 MHz sávszélesség kell legyen, hogy az adások ne zavarják egymást. Az alábbi ábrán pontokkal jelöltük a jelenleg foglalt frekvenciákat MHz a) Legfeljebb hány szabad csatornahely van? b) Milyen sávszélességre kerül a tizedik új csatorna, ha 50 MHz után minden lehetséges helyre kerül egy adó? Tóni bácsi egyik nap délután -ig értékesítette az összes eladásra szánt epret. Reggel egy vendéglő tulajdonosa a teljes mennyiség kétötöd részét vásárolta meg, a délelőtt további részében a maradék egyharmadát vitték el, délután, az utolsó vevő érkezése előtt elfogyott a még meglévő készlet háromnegyede, így az utolsó vevő már csak 6 kg-ot tudott venni a befőzéshez. a) Az összes eper hányadrésze fogyott el a délelőtt folyamán? b) Hány kg epret vitt a piacra Tóni bácsi? c) Hány kg-ot vitt el a vendéglős? d) Hányszor több eper fogyott el délelőtt az utolsó vevő által megvásárolt mennyiségnél? a) Volt 4,6 euró spórolt pénzem, de a 60%-át elköltöttem a bécsi karácsonyi vásárban. Hány euróm maradt? b) Ft-ból 8 40 Ft-ot költöttünk utazásra. A pénz hány százalékát költöttük el? c) Az iskola tanulóinak 4%-a, 74 fő volt már idén színházban. Hány diák jár a suliba? 4 a) Egy görkori árát a tavasz folyamán 0%-kal emelték. Mennyibe kerül a Ft-os korcsolya az áremelés után? b) Egy görkorizáshoz használt bukósisak ára a 0%-os áremelés után 00 Ft-ba került. Mennyi volt az eredeti ára? c) Egy 4000 Ft-os széldzseki árát először 0%-kal megemelték, majd az ősz folyamán 5%-kal csökkentették. Mennyibe került a széldzseki a kétszeri árváltozás után? d) Mennyibe került eredetileg az a görkorizáshoz ajánlott kesztyű, melynek az eredeti árát 0%-kal felemelték, majd a későbbiek során 0%-kal csökkentették, és ekkor 080 Ft-ot kellett fizetni érte? SZÁMOK ÉS BETÛK

13 A racionális számokon túl, a négyzetgyök fogalma I/.. PÉLDA Rajzoljatok a füzetetekbe olyan négyzeteket, amelyek területe ; 4; 9; ; 5; 0 területegység! területegység a füzetben egy kis rácsnégyzet területe legyen. Az első három esetben könnyű dolgunk van, mert a négyzetrács oldalaival párhuzamosan rajzolhatunk négyzeteket. A egység területű négyzet megrajzolása, már egy kis ötletet kíván. Ha csak a négyzetrács oldalaival párhuzamos oldalakat akarunk használni, akkor nem boldogulunk a feladattal. Használjuk fel azt, hogy az egységnégyzet átlója 0,5 területegységű háromszögekre bontja a négyzetet! Négy ilyen háromszög megfelelő összeillesztésével megkaphatjuk a egység területű négyzetet. Az előző ötletet felhasználva megrajzolhatjuk az 5, illetve 0 egység területű négyzetet is.. PÉLDA Határozzuk meg az első példában megrajzolt négyzetek oldalhosszát! Az első három esetben az ábra alapján gyorsan válaszolhatunk a kérdésekre. Terület: t = területegység, oldalhossz: a = egység Terület: t = 4 területegység, oldalhossz: a = egység Terület: t = 9 területegység, oldalhossz: a = egység A egység oldalú négyzet esetében csak mérésen alapuló becsléssel, közelítőleg tudjuk megmondani a négyzet oldalhosszát. A mérés eredményeként azt kapuk, hogy a egység területű négyzet oldalhossza.,4 egység. Természetesen ez nem pontos érték, mert így az,4 oldalú négyzet területe t =,96 területű lenne. Ugyanígy méréssel, közelítő értékkel határozhatjuk meg az 5, illetve 0 területegységnyi négyzet oldalhosszát is. Ha t = 5, akkor az oldalhossz. ha t = 0, akkor az oldalhossz. SZÁMOK ÉS BETÛK

14 I/. A racionális számokon túl, a négyzetgyök fogalma A pontos érték jelölésére bevezetünk egy új jelet. -vel jelöljük, és négyzetgyök kettőnek mondjuk a egység területű négyzet oldalának hosszát. A négyzet területe tehát: t = ` j =. 5 -vel jelöljük, és négyzetgyök ötnek mondjuk az 5 egység területű négyzet oldalának hosszát. A négyzet területe tehát: t = ` 5j = 5. A fogalmat általánosíthatjuk: Ha a $ 0, akkor a (négyzetgyök a) jelenti azt a nemnegatív számot, amelynek négyzete a-val egyenlő. Ha nem okoz félreértést, akkor négyzetgyök a helyett gyakran csak gyök a-t mondunk. Például: 4 =, mert = 4; 9 =, mert = 9; =, mert = ; 0 = 0, mert 0 = 0; 06, = 04,, mert 04, = 06, ; 5 =, mert 5 b = 5 l. 5. PÉLDA Van-e a -9-nek négyzetgyöke? Nincs, mert bármilyen számot négyzetre emelve (önmagával megszorozva) csak nemnegatív számot kaphatunk. Tehát negatív számoknak nincs négyzetgyöke! Megmondható-e, hogy hol helyezkedik el a a számegyenesen? Igen. Rajzoljunk egy számegyenest! Vegyük körzőnyílásba a egység területű négyzet oldalát (az egység területű négyzet átlóját), majd mérjük fel az origóból ennek a szakasznak a hosszát! Vigyázzunk, a számegyenesen ugyanakkora egységet vegyünk fel, mint a négyzet rajzolásakor! Meghatározható-e pontosan a értéke tizedes tört alakban? Próbáljuk meg kiszámítani néhány tizedesjegyét! 4, 5,, mert 4, 5, 4, 4,, mert 4, 4,, 44, 45, mert, 44, 45 Ezt a közelítést tetszőlegesen sok tizedesjegy esetén elvégezhetjük, de pontos értéket nem kapunk. Például a hét tizedesjegyre kerekített értéke. 446; 8 tizedesjegyre kerekített értéke. A tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos tizedes tört. 4 SZÁMOK ÉS BETÛK

15 A racionális számokon túl, a négyzetgyök fogalma I/. Azokat a számokat, amelyeknek tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos tizedes tört, irracionális számoknak nevezzük. Az eddig tanult számokat most egy új számhalmazzal egészítettük ki, ez az irra cionális számok halmaza. Jele: Q*. A racionális és az irracionális számok együttesen alkotják a valós számok halmazát. Jele: R. Q 4 R Q* FELADATOK Rajzolj egy a fentihez hasonló halmazábrát a füzetedbe! Írd a felsorolt racionális és irracionális számokat a megfelelő helyre a halmazábrában! 0,7; ; ; -0, ; 4 ; 0,45678 ; 05, o ; – 4 Döntsd el az alábbi állításokról, melyik igaz, melyik hamis! Válaszodat indokold! a) A véges tizedes törtek racionális számok. b) A végtelen szakaszos tizedes törtek irracionális számok. c) A végtelen, nem szakaszos tizedes törtek irracionális számok. d) A racionális és irracionális számok együtt a természetes számok halmazát alkotják. e) Ha egy pozitív egész számból gyököt vonunk, irracionális számot kapunk. Válaszd ki azokat a számokat, amelyek valamely egész szám négyzetei! Számold ki, mely számok négyzetei! Vigyázz, több megoldás is létezik, hiszen pl.: 00 = 0 = ^-0h. 8; 6; 54; -49; 9; 0,5; 44; 8; 69; 8 4 Számold ki a négyzetgyökök értékét! Vigyázz, ide csak pozitív számot írhatsz! a) 00 b) 49 c), d) 06, e) 00, f) 69, g) 4 h) Adott a négyzet területe. Határozd meg a négyzet oldalának hosszát és a kerületét! a) T = 49 cm b) T = 8 dm c) T =,69 m d) T = 6 mm 44 6 Adottak a téglalap oldalai. III. Számold ki a téglalap területét! III. Add meg a vele egyező területű négyzet oldalának hosszát! III. Hasonlítsd össze a téglalap és a négyzet kerületét! a) a = 5 m, b = 0 m b) a = dm, b = 7 dm c) a = cm, b =, dm d) a = 4 cm, b = 6 cm SZÁMOK ÉS BETÛK 5

16 I/4. Számok négyzetgyöke FEJSZÁMOLÁS Soroljátok fel a természetes számok négyzetét -től 0-ig! Azokat a természetes számokat, amelyeknek a négyzetgyöke természetes szám, négyzetszámoknak nevezzük. A többi természetes szám négyzetgyökét az előző leckében tanult eljárással csak közelítőleg tudjuk meghatározni. Ez nagyon hosszadalmas munka. Száz évvel ezelőtt még négyzetgyöktáblázatot használtak a számolás meggyorsítására, de ezt a feladatot ma már a számológépek sokkal gyorsabban elvégzik helyettünk. Van olyan számológép, ahol egyetlen gomb és a szám beírása után kaphatunk eredményt, de létezik olyan is, amelyiknél egy adott szám négyzetgyökének meghatározásához egy úgynevezett második funkció (ndf vagy shift) használata szükséges. Fontos, hogy jól ismerd az általad használt számológépet, hogy használata gyors és megbízható legyen. PÁROS MUNKA Keressétek meg a gyökjelet a saját és a társatok számológépén is! Segítsétek egymást a számológép használatában! Határozzátok meg számológéppel az alábbi számok három tizedesjegyre kerekített közelítő értékét! Alkalmazzátok a kerekítés szabályait! Egyeztessétek a kapott eredményeket! a) 4 b) 000 c) 005, d) 9 e) 0, A négyzetgyökvonás a mobiltelefonok nagy részén is elvégezhető. A legtöbb okostelefon számológép-alkalmazása elsőre nem kínálja fel a négyzetgyökvonás funkciót, de a telefon elforgatásával olyan tudományos számológép hívható elő, amellyel már lehet gyököt vonni. Az elmúlt évtizedek gyors informatikai fejlődése teremtette meg annak a lehetőségét, hogy valamilyen eszköz kiszámolja helyettünk a számok négyzetgyökét. Nemrégen talán még a nagyszüleitek diákkorában is táblázatra volt szükség a számok négyzetgyökének meghatározásához. KUTATÓMUNKA. Nézzetek utána, hogyan használták a függ vénytáblázatot a négyzetgyökvonás elvégzésére!. Keressetek az interneten módszert arra, hogyan lehet a négy alapművelet segítségével négyzetgyököt vonni!. Készítsetek egy -4 diából álló prezentációt, és mutassátok be az olvasott eljárást osztálytársaitoknak is! 6 SZÁMOK ÉS BETÛK

17 Számok négyzetgyöke I/4. FELADATOK Írd a füzetedbe a helyes állítások betűjelét! a) 44 = b) 00 = 0 c) 89 = d) 56 = 6 e) 65 = 5 f) 89 = 7 g) = 00 h) 6 = 9 Számold ki a felsorolt négyzetgyökök értékét! Használhatod a zsebszámológépedet! a) 06, b) 5, c) 96, d) 4 e) 4 f) 5 8 g) 9 49 h) Az alábbiakban néhány kör területét adtuk meg cm -ben. Számold ki a kör sugarának és kerületének hosszát! a) T = 00 r b) T = r c) T = 5 r d) T = 89 r e) T = 44 r f) T = 6 r 4 Kisebb, nagyobb vagy egyenlő? Tedd ki a megfelelő relációs jelet! A füzetedben dolgozz! a) 5 5 b) 0 c) 8 9 ` j d) 6 4 e) 06, _-i f) 6 ` 4 j 5 Számítsd ki az alábbi négyzetek területét és oldalának hosszúságát, ha egy négyzetrács oldalának hosszúsága egység! 6 Egy négyzet területe 44 cm. a) Mekkora a négyzet oldala? b) Hányszorosára változik a területe, ha az oldalát a kétszeresére növeljük? c) Hányszorosára változik az oldalak hosszúsága, ha a területét az ötszörösére növeljük? d) Mekkora lesz annak a négyzetnek az oldala, amelynek területe feleakkora, mint az eredeti négyzet területe? SZÁMOK ÉS BETÛK 7

18 I/5. Hatványozás nemnegatív kitevő esetén A hatvány fogalmát nagy számok leírásához, a pozitív egész számok prímtényezős alakjának felírásához használtuk. A hatvány az azonos tényezőkből álló szorzat rövidebb leírása: Ismételjük át az elnevezéseket! Például az 5 esetében: a hatványalap az 5, a hatványkitevő, vagy röviden kitevő a, a hatványérték az 5 = 5. Megállapítottuk, hogy minden szám első hatványa önmaga, és bármely 0-tól különböző szám nulladik hatványa. PÁROS MUNKA Először oldjátok meg a feladatot önállóan, majd cseréljetek füzetet, és ellenőrizzétek a társatok munkáját! Ne írj a társad füzetébe, először beszéljétek meg az eltéréseket! Írd fel a megadott hatványokat, majd számítsd ki az értéküket! a) Egy olyan hatvány, melynek alapja 5, kitevője. b) Egy olyan hatvány, melynek alapja -, kitevője. c) Egy olyan hatvány, melynek alapja, kitevője. d) Egy olyan hatvány, melynek alapja c- 4 m, kitevője. e) Egy olyan hatvány, melynek alapja 0, kitevője. f) Egy olyan hatvány, melynek alapja 4 b 45 l, kitevője 0. Hatványok szorzása és osztása alkalmával megfelelő feltételek teljesülése mellett megfigyelhettünk olyan azonosságokat, amelyek egyszerűsítik a műveletek elvégzését. Az alábbiakban felsoroljuk, milyen azonosságokat ismertünk meg, és minden szabályra mutatunk példát. Első szabály: Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük: $ =. Második szabály: Azonos alapú hatványok osztásánál, ha a számláló kitevője nagyobb, mint a nevező kitevője, akkor az osztást úgy is elvégezhetjük, hogy a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét, és a közös alapot erre a kitevőre emeljük: =. 4 8 ha a számláló kitevője kisebb, mint a nevező kitevője, akkor annyi tényezővel tudunk egyszerűsíteni, amennyi a számlálóban van: 5 7 = ha a számláló és a nevező kitevője egyenlő, akkor a tört értéke : 5 5 =. SZÁMOK ÉS BETÛK

19 Hatványozás nemnegatív kitevő esetén I/5. Harmadik szabály: Hatványt úgy hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük: _ 4 i =. Negyedik szabály: Azonos kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük: $ 5 = _ $ 5i. Visszafelé alkalmazva: Szorzatot úgy is hatványozhatunk, hogy az egyes tényezőket hatványozzuk, és a hatványokat összeszorozzuk: 6 = _ $ i = $. Ötödik szabály: Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapokat elosztjuk, és a kapott hányadost a közös kitevőre emeljük: = c m. Visszafelé alkalmazva: Hányados hatványozásakor a számláló és a nevező megfelelő hatványát oszthatjuk el egymással: 6 6 d = 5 n. 5 CSOPORTMUNKA Válasszatok a szabályok közül egyet, beszéljétek meg, ki melyiket választotta! Írjatok rá példát, és igazoljátok az azonosságot a felírt példán keresztül! Mondja el mindenki a saját példáját és indoklását a többieknek! A csoport többi tagja véleményezze a hallottakat! Figyeld meg! A hatványértékek nagyon gyorsan növekednek. 0 = 04 0 = = = = = Olvassátok ki a számokat! A sakk egy több mint ezeréves játék, amelynek eredetéről mesék, legendák szólnak. Az egyik legelterjedtebb történet szerint egy brahmin (az indiai kasztrendszerben főpap, főminiszter) találta fel, hogy a rádzsát (uralkodót) szórakoztassa. Szerény jutalmat kért magának. A sakktábla első mezejére, a következőre, a harmadikra 4 és így tovább, minden mezőre kétszer annyi búzaszemet, mint az előzőn volt. A rádzsát igencsak szórakoztatta a játék, ezért megígérte, hogy azonnal teljesíti a brahmin kérését. Nagy volt a meglepetése, mikor jelentették neki, hogy egész birodalmában nem termett ennyi búza. A sakktáblára összesen darab búzaszemet kellett volna tenni. Számítsuk ki, mennyi búza ez: = , db búzaszem, ami kb. 7 0 tonna. Még ez is hatalmas szám. Ha vasúton szeretnénk ennyi búzát elszállítani, akkor kicsit tovább kell számolnunk. Egy gabonaszállító vasúti kocsi 6 m hosszú és 60 tonna teherbírású, tehát a szerelvény hossza kb szer érné körül a Földet. SZÁMOK ÉS BETÛK 9

20 I/5. Hatványozás nemnegatív kitevő esetén FELADATOK Keresd meg a helyes válaszokat! Lehet, hogy egy feladatnál több helyes megoldást is találsz. Hány darab hármas kitevőjű hatványt találsz a felsoroltak között? 7 ; 7 ; 7 b 5 l ; 0,64 5 ; ; (-,) ; a) b) c) d) 4 e) egyet sem Számold ki a 0 értékét! a) b) 0 c) 00 d) 5 e) 04 Mennyi az alapja annak a hatványnak, melynek a kitevője, a hatványértéke 44? a) b) c) 7 d) 44 e) Mennyi a kitevője annak a hatványnak, melynek az alapja a- 5 k, a hatványértéke 6? 65 a) b) c) 4 d) 8 e) 6 5 Mennyivel egyenlő a szorzat? a) 8 6+ b) 8 6 $ c) 8 9 d) 8 e) Melyik egyenlő az b l hatvánnyal? a) 0,5 b) 7 c) a 7 k d) 7 Melyik osztás eredményeképp kaphatjuk meg a 4 hatványt? a) b) c) 4 d) Válaszd ki a helyes állítást! a) = b) = c) 5 9 = d) a 6 k e) e) 4 40 = e) Válaszd ki, mennyivel egyenlő a ( ) hatvány! a) 5 b) 6 c) 6 d) e) = 6 0 f) (-0,5)4 0 Válaszd ki a hamis állításokat! a) Minden szám nulladik hatványa önmaga. b) Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők szorzatára emeljük. c) Hatványt úgy hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük. d) Azonos kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük. e) Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapokat elosztjuk és a kapott hányadost a kitevők hányadosára emeljük. 0 SZÁMOK ÉS BETÛK

21 Hatványozás egész kitevővel I/6. PÁROS MUNKA Fogalmazzátok meg, mit jelent egy szám ellentettje; reciproka! Írjuk fel 0 hatványainak segítségével az alábbi számokat! :0 :0 :0 :0 :0 :0. PÉLDA Folytassuk az átalakítást -nél kisebb pozitív számokkal is! A bal oldali oszlopban minden eddigi sor 0-ed része volt a felette lévőnek, a jobb oldali oszlopban a 0 kitevője soronként eggyel csökkent. Ezzel a gondolatmenettel a hatvány fogalmát bővíthetjük, és értelmezhetjük negatív egész kitevőre is. A táblázatból leolvashatjuk például, hogy: -4 0 = 4 0 Ez a meghatározás más hatványalap esetén is értelmezhető: Megfigyeléseinket szavakkal is megfogalmazhatjuk: A negatív egész kitevőjű hatvány egyenlő az ellentett kitevőjű hatvány reciprokával, feltéve, hogy a hatványalap nem nulla. (A 0-nak nincs reciproka!) :0 :0 :0 :0 0, = , = , 00 = , 000 = , 0000 = SZÁMOK ÉS BETÛK

22 I/6. Hatványozás egész kitevővel. PÉLDA Írjuk át a megadott hatványokat negatív kitevő használata nélkül! Számítsd ki a hatvány értékét! a) -4 b) – c) (-4) – d) (-) – -4 a) = 4 = 8 – c) 4 ^- h = – = ^ 4h 6 – b) = = – d) ^- h = – =- ^ h 8 Ez a meghatározás az azonos alapú hatványok osztására vonatkozó azonosság megfogalmazását is egyszerűsíti. A számláló és nevező nagyságrendjének viszonyától függetlenül megfogalmazható az alábbi szabály: Azonos alapú hatványokat úgy is eloszthatunk egymással, hogy a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét, és az alapot erre a különbségre emeljük. Nézzünk erre példát!. PÉLDA Írjuk fel az alábbi osztásokat egyetlen hatvánnyal! 6 4 a) b) 7 c) 6 6 Alkalmazzuk mindhárom esetben az előzőekben megfogalmazott azonosságot! a) 6-4 = = b) = = c) = = = Az elevenszülő korallvirág (Kalanchoe daigremontiana) Madagaszkárról származó dísznövény. Érdekessége a szaporodása, mivel a levelek szélén apró sarjak jelennek meg, és fejlődnek ki, növekedésük során a gyökérzetük is megjelenik. Ha nagyon jól érzi magát az anyanövény, megfelelő a fény és vízellátottsága, akkor még az is előfordulhat, hogy a kis fiókanövények saját levelein, még az anyanövényről való leválásuk előtt megjelennek az újabb utódok. SZÁMOK ÉS BETÛK

23 Hatványozás egész kitevővel I/6. FELADATOK Döntsd el, melyik egyenlőség igaz! 9 7 a) 8 4 ^-h 8 8 = – b) = ^- h ^-h c) 0 0 e) = 0 d) 0 0 = 5 – f) 5 = ^-9h ^-9h 0 7 =-9 – Keresd meg az egyenlő kifejezéseket! a) 5 – A) b) -5 B) c) – C) 64 d) 0-6 D) 5 e) 4 – E) Végezd el az alábbi műveleteket, majd állapítsd meg, melyik műveletsor eredménye kisebb, mint 0-6! a) 9 5 b) c) d) e) f) Írd át a megadott hatványokat negatív ki tevő használata nélkül, és számítsd ki a hatványok értékét! a) -4 b) 8 – c) -9 d) 6 – e) (-0) -5 f) (-) -7 g) 5 – h) (-5) – 5 Válaszd ki, melyik felírás azonos a ^-4$ 7h 6 hatvánnyal! a) 4 $ 7 b) 4$ c) – 4 $ 7 d) 6 e) 8 6 f) Hasonlítsd össze az alábbi kifejezéseket, és keresd meg a nagyobbat! Ha jól dolgoztál, a helyesen kiválasztott kifejezésekhez tartozó betűkből egy értelmes magyar szót tudsz kirakni. Melyik ez a szó? a) K 5-9 E b) A 4 48 c) R 5 E – T 0 d) M -6 A 6 e) D 6 67 f) A 06 g) G ^-7h ^-7h 5 S 6-5 E 5 4 K (-) -8 7 Válaszd ki a helyes állítást! 5 a) = a 7 k b) = a- 7 k 4 c) = a 7 k d) = a- 7 k 5 e) = a 7 k f) = ^- h Számold ki a hatványok értékét! a) a k b) – – a k – c) a 4 k d) a 4 k e) (0,) – f) (-0,) – g) (0,) – h) (0,) i) (0,5) -8 j) (0,5) k) (0,0) – l) (0,0) SZÁMOK ÉS BETÛK

24 I/7. Pozitív számok normálalakja Hetedik osztályban megismertük, hogyan írhatjuk fel a nagyon nagy pozitív számokat rövidebb alakban. Például a felírható,5 0 5 alakban. Ezt a szám normálalakjának nevezzük. Tíznél nagyobb számok normálalakja olyan kéttényezős szorzat, amelynek első tényezője egy és 0 közé eső szám, második tényezője pedig 0 pozitív egész kitevőjű hatványa. PÁROS MUNKA Először önállóan oldjátok meg a feladatot, majd egyeztessétek az eredményeket! Válasszátok ki, melyek a normálalakban megadott számok az alábbiak közül! a) 5 0 b),54 0 c) 6,0 0 d) 0, e) 0,0 0 Sok másik tanórán is találkozhatsz normálalakban felírt számokkal. A csillagászat nagyon távol lévő, hatalmas galaxisokkal és csillagokkal foglalkozik, a fizika, kémia, biokémia pedig a parányi méretű részecskék természetét vizsgálja. Egy tudományos cikkben az atom méretéről az alábbiakat olvashatjuk: A hidrogénatom a legegyszerűbb felépítésű atom. A hétköznapokban megszokott méretekhez képest a hidrogénatom mérete nagyon kicsi, 0-9 m nagyságrendű, de az atommag mérete még ennél is sokkal kisebb, 0-5 m. A méretviszonyokat úgy képzelhetjük el, hogyha gondolatban az atommagot egy 0 cm sugarú gömbbé nagyítanánk fel ami elférne a kezünkben, akkor az atom mérete egy 00 km sugarú gömb lenne. Nézz körül a környezetedben! Keress iskoládtól, lakóhelyedtől kb. 00 km-re lévő nagyobb településeket, esetleg nevezetes földrajzi tájegységeket! Ha nem használnánk normálalakot, akkor például az atom vagy az atommag méretét sok 0 felhasználásával tudnánk csak felírni, ami elíráshoz vezethet. Normálalak használata nélkül az atom mérete így írható: 0, m, az atommag mérete pedig 0, m. A negatív egész kitevő bevezetése lehetővé teszi az -nél kisebb számok normálalakjának felírását. Egy pozitív szám normálalakja olyan kéttényezős szorzat, amelynek egyik tényezője egy és 0 közé eső szám, a másik tényezője pedig a 0 egész kitevőjű hatványa.. PÉLDA Írjuk fel normálalakban az alábbi számokat! a) 0,08 b) 0,0000 c) d) 5 a) 0,08 =,8 0 – b) 0,0000 =, c) = 0 0 d) = 0,5 = 5, SZÁMOK ÉS BETÛK

25 Pozitív számok normálalakja I/7.. PÉLDA Számítsuk ki a műveletek eredményét! a) ^5, 5 $ 0 h $ 000 b) ^, 6 $ 0 h$ ^, 5 $ 0 h c) ^07, $ 0 h: ^$ a) ^5, 5 $ 0 h$ 000 = ^5, 5 $ 0 h$ ^ $ 0 h= 5, 5 $ $ 0 = b) ^, 6 $ 0 h$ ^, 5 $ 0 h=, 6 $, 5 $ 0 $ 0 = 4 $ 0 = c) 07, 0 : 0 07, 0 4 $ $ $ – + ^ h ^ h= 0, 69 $ 0 0, 69 $ 0 6, 9-4 = = = $ h FELADATOK Írd fel a következő számokat 0 hatványaként! a) b) c) d) Írd fel a következő számokat normálalakban! a) b) c) 0,00684 d) 0, Írd fel a felsorolt bolygók Naptól mért átlagos távolságát normálalakban! a) Föld: km b) Mars: km c) Vénusz: km d) Jupiter: km e) Neptunusz: km f) Plútó: km 4 Számítsd ki a műveleteket! Az eredményt normálalakban add meg! 5 7 a) ^4, 6 $ 0 h$ ^0, 5 $ 0 h; 8 ^4, 6 $ 0 h$ ^0, 5 $ 0 h; 9 – ^4, 6 $ 0 h$ ^0, 5 $ 0 h; 4, ^ $ h$ ^0, 5 $ 0 h; -4-9 ^4, 6 $ 0 h$ ^0, 5 $ 0 h 9 4 b) ^4, 8$ 0 h: ^, 7$ 0 h; 7 ^4, 8 $ 0 h: ^, 7 $ 0 h; 5 – ^4, 8$ 0 h: ^, 7$ 0 h; – 4, ^ $ h: ^, 7$ 0 h; -8 ^4, 8$ 0 h: ^, 7$ 0 h 5 Egy fényév az a távolság, amelyet a fény légüres térben egy év alatt megtesz. Egy fényév körülbelül 946, $ 0 5 méter. A fényév meghatározásához hasonlóan beszélhetünk fény óráról, fénypercről és fénymásodpercről is; ahány métert a fény megtesz egy óra, egy perc, illetve egy másodperc alatt. a) Számold ki, hány métert tesz meg a fény egy óra alatt! b) A Nap Föld-távolság körülbelül 8, fényperc. Fejezd ki ezt a távolságot méterben is! c) A Föld Hold-távolság, fénymásodperc. Fejezd ki ezt a távolságot méterben is! 6 Végezd el a műveleteket! Az eredményt normálalakban add meg! a) ^, $ 0 h$ ^, 6 $ 0 h b) ^, 4 $ 0 h$ ^5, $ 0 h c) ^4, $ 0 h$ ^, 9 $ d) ^78, $ 0h: ^$ 0h e) ^0, 5$ 0 h: ^, 5$ 0 h f) ^9, $ 0 h: ^, $ 0 h -9-7 h SZÁMOK ÉS BETÛK 5

26 I/8. Algebrai alapfogalmak CSOPORTMUNKA A csoport minden tagja önállóan gondolja végig az első feladatot, majd a csoport egy-egy tagja mondja el ismereteit a többieknek! Ha szükséges, egészítsétek ki vagy helyesbítsétek a válaszokat!. Ismételjétek át a következő fogalmakat: a) algebrai kifejezés; b) egytagú kifejezés; c) együttható! A csoport tagjai felváltva oldják meg a. feladatot! A többiek ellenőrizzék a hallottakat, és szükség esetén javítsák ki a hibás válaszokat!. Válasszátok ki az egytagú algebrai kifejezéseket, és állapítsátok meg az együtthatóikat! a) 65, yz b) – 5ab+ c) 7 ab e) x f) 8xy – x y g) x 4 h) x d) a -. PÉLDA Számítsuk ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét, ha a = -; b =! a) a+ 6b+ a-b-5a b) ^a- h+ ^b+ h-5^a-bh c) 4 ab 5 a b ab a b 5 4 a) Kétféle módon járhatunk el. Ha a megadott értékeket behelyettesítjük a kifejezésekbe, akkor csak számokkal kell műveleteket végeznünk: $ ^- h+ 6$ + $ ^-h-$ -5^- h= = 8 Ha azonban alkalmazzuk algebrai tudásunkat, és összevonjuk az egynemű tagokat, akkor sokkal kevesebb számolást kell végeznünk: a+ 6b+ a-b- 5a = 4b 4b = 4$ = 8 b) A gyorsabb számolás érdekében először bontsuk fel a zárójeleket, majd vonjuk össze az egynemű tagokat! A zárójelfelbontás során figyelni kell arra, hogy a zárójelben lévő tagok mindegyikét megszorozzuk a zárójel előtti számmal. Emellett különös gondot kell fordítanunk a zárójel előtti mínusz előjelre! Ebben az esetben a beszorzás alkalmával minden zárójelben lévő tag előjele ellentétesre változik: ^a- h+ ^b+ h-5^a- bh= a- 6+ b+ 6-5a+ 5b =- a+ 7b Ha összevonás után helyettesítünk be a betűk helyére, akkor kevés számolással megkapjuk a kifejezés helyettesítési értékét: – a+ 7b = 6 6 SZÁMOK ÉS BETÛK

27 Algebrai alapfogalmak I/8. c) Az egy színnel jelölt egytagúak összevonhatók: 4 ab 5 ab ab 7 ab 4 ab ab 5 ab = ab= ab 5 ab 0 ab ab 7 ab = =- + a b = =- – $ + – $ = 4 + = 89 ^ h ^ h Jegyezd meg! Az algebrai kifejezések közül csak az olyan egytagú kifejezések vonhatók össze, amelyek egyneműek. Egyneműeknek nevezzük azokat az egytagú kifejezéseket, amelyek csak számszorzókban különböznek.. PÉLDA Írjuk fel betűkifejezések segítségével az alábbi szöveges összefüggéseket! a) Egy számnál kettővel nagyobb szám háromszorosa. b) A szám négyzeténél öttel kisebb szám harmada. c) Írjuk fel két szám összegének és különbségének az összegét, majd az összegnek vegyük a felét! d) Egy szám háromszorosából kivonjuk egy másik szám négyszeresét. A kapott különbséget hozzáadjuk a két szám összegéhez. A számot x-szel jelöljük. a) ^x + h $ b) ^x – 5 h$ Legyen a két szám a és b. ^a+ bh+ ^a- bh c) d) ^a- 4bh+ ^a+ bh FELADATOK Írd fel algebrai kifejezésekkel! a) x és y összegének az ötszöröse b) x és y különbségének a fele c) x és y szorzatának a négyszerese d) x és y hányadosának a háromszorosa e) x és y összegének a 4 része 5 f) x háromszorosának és y négyszeresének az összege g) x kétszeresének és y hatszorosának a hányadosa h) az x-nél hárommal nagyobb szám kétszerese i) az y-nál öttel kisebb szám negyede j) x és y különbségének az abszolút értéke SZÁMOK ÉS BETÛK 7

28 I/8. Algebrai alapfogalmak Fogalmazd meg szövegesen az alábbi algebrai kifejezéseket! a) a+ b b) ^a+ bh $ 7 c) a- 8b d) ab e) a + b f) a + b + Számítsd ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét! a) 5 ^ – xh, ha x = 4 b) 4xx ^ – 7h, ha x = c) x -, ha x =- 8- x 6 d) x + x-, ha x =-, 4 Válaszd ki azokat az algebrai kifejezéseket, amelyek együtthatója 8! Számítsd ki a helyettesítési értéküket, ha a =- ; b =! a) 4 a b b) -8ab c) 8a d) 8 ab e) ^ a b h f) 4b a g) ^8abh h) ^ ah 5 Számítsd ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét az a és b megadott értékeivel! I. 4a+ b+ a- 7a+ 9b+ a- b a) a = 5, ; b =-9, b) a =- ; b = 5 9 II. -^a- 5h+ 5^4 -bh-^a-bh a) a = ; b =- b) a =- ; b = 5 III. ab ab a b 4 a) a = ; b =- b) a = ; b =- 6 6 a) A nyolcadik osztályba tanuló jár. A nyolcadikosok átlagsúlya x kg. November közepén érkezik az osztályukba Pista, aki 56 kg. Fejezd ki az így már főből álló osztály tanulóinak átlagsúlyát! b) Pankának hétvégére k órányi tanulnivalója volt. Szombat délelőtt megtanulta a harmadát, délután a maradék negyedét. Hány órányi tanulnivalója maradt Pankának vasárnapra? 7 Gergő rengeteg fényképet készített az iskolai farsangon. Szeretné kiszámolni, hány megabyte helyet foglal, ha mindet feltölti a gépére. A fájl méretét a következő képlettel tudja meghatározni: x$ y$ Szm M =, ahol 8 $ 04 $ 04 M: a fájl mérete megabyte-ban, x: a kép szélessége, y: a kép hosszúsága, Szm: a kép színmélysége. (Ez a szám mutatja meg, hány bit határozza meg egy adott pont színét. Minél nagyobb a színmélység, annál szebb a kép, viszont annál nagyobb helyet foglal.) a) Mekkora méretű fájlt kap Gergő, ha 50 darab felbontású képet készített, melyek színmélységét 4 bitre állította? b) Hogyan változik a fájl mérete, ha a fel bontást ra csökkenti? c) Hogyan változik a fájl mérete, ha a színmélységet bitre állítja? 8 SZÁMOK ÉS BETÛK

29 Egytagú kifejezések szorzása I/9.. PÉLDA Egy a oldalú négyzet egyik oldalát háromszorosára, másik oldalát kétszeresére növeltük, s így egy téglalapot kaptunk. Hányszorosa lesz a téglalap területe a négyzet területének? A négyzet területe: T a négyzet =. A téglalap oldalainak hossza: a és a; területe a két különböző hosszúságú oldal szorzata: T téglalap = a a = 6a. Tehát a téglalap területe hatszorosa lesz a négyzet területének. Emlékszel? A tavalyi évben megtanultuk, hogy vannak ki nem írt, úgynevezett láthatatlan szorzásjelek. Például: a = a A számítás során felhasználtuk a szorzásnak azt a tulajdonságát, hogy a szorzótényezők felcserélhetők. Alkalmaztuk továbbá a hatványozás egyik szabályát: PÁROS MUNKA Beszéljétek meg, hogy melyik azonosságot használtuk fel az egyes feladatoknál! Mutassátok meg, hogy igazak az egyenlőségek! Felváltva mondjátok el a megoldásaitokat! 7 4 a) 5 $ 5 = 5 b) = 9 c) 5 $ 5 5 = ^$ 5h 5 = 0 5 $ d) ^ h = = PÉLDA Végezzük el az alábbi műveleteket! 4 4 a) a $ a b) b $ b $ b c) x x y 6 4 $ _ $ i $ x $ y b 7 l a) Alkalmazzuk az azonos alapú hatványok szorzására vonatkozó szabályt! 4 7 a $ a = a b) Az előzőekben leírt módon először a számokat, majd a betűket szorozzuk össze: b $ b $ b 4 = 6$ b 9 c) x x y 6 4 x y x y $ _ $ i $ x y b $ = $ $ $ $ $ = 7 l 7 7 SZÁMOK ÉS BETÛK 9

30 I/9. Egytagú kifejezések szorzása Fontos! Egytagú kifejezéseket egytagúval úgy szorzunk, hogy az együtthatókat összeszorozzuk, majd az azonos betűk összeszorzásakor az azonos alapú hatványok szorzására vonatkozó szabályt alkalmazzuk.. PÉLDA Végezzük el a műveleteket! A lehető legegyszerűbb alakot adjuk meg! a) ab 5a $ b b) k$ l $ 4 $ m $ k m 6 $ l Alkalmazzuk a törtek és az egytagú kifejezések szorzására vonatkozó ismereteinket! a) ab $ 5a b = a $ b b) k$ l $ 4 $ m $ k k = m 6 $ l $ l FELADATOK Végezd el az alábbi műveleteket! a) a $ a b) b $ 5b c) c $ 4c $ 6c d) -7d $ ^-9hd 4 9 e) e $ ^-5he $ ^-he 6 Végezd el az alábbi műveleteket! 4 5 a) 5x $ 7y $ x$ y b) 8x $ ^-hy $ x $ ^-5hy c) 4x $ y $ _-x $ y i d) 4 x $ y $ 5x $ ^-6hy 5 e) 6x 5 x y 8 9 $ a $ x $ 4y ka 7 k Páros munka: Alkoss padtársadnak minél több algebrai kifejezést az alábbi számok és betűk felhasználásával! A különböző értékeket szorzással kapcsold össze! Oldjátok meg egymás feladatait, majd javítsátok is ki társatok megoldásait! ; ; ; 5; a; b 4 Végezd el az alábbi műveleteket! Add meg a legegyszerűbb alakot! xy 4xy 4 a) $ b) x xy $ 5 4xy 6y xy 0xy 9xy 8xy c) $ d) $ x 6xy 4x 7y 5 Keresd meg, melyik feladathoz melyik megoldás tartozik! Írj feladatot a fel nem használt megoldáshoz! a) xy x y $ _ i $ x y 6 a 7 k A) 5 xy 4 9 b) xy xy 5 a- $ $ – 9 k a 6 k B) 5x y 6 c) x 0y $ C) 0 x y 8 5xy 9 d) 6xy 8 6y 5xy $ D) 7x 5 9xy 4y E) xy SZÁMOK ÉS BETÛK

31 Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés I/0.. PÉLDA Írjuk fel mindegyik téglalap területét kétféle alakban! a) b) c) c a a b a t t t t t b t A nagy téglalap területe mindhárom esetben egyenlő a résztéglalapok területének összegével: a) t = $ ^a + h; t+ t = $ a + $, azaz $ ^a + h= $ a + $ b) t = $ ^a+ bh; t+ t = $ a+ $ b, azaz $ ^a+ bh= $ a+ $ b c) t = c$ ^a+ bh; t+ t = c$ a+ c$ b, azaz c$ ^a+ bh= c$ a+ c$ b A példa megoldása során átismételtük a tavalyi tanévben tanultakat: Zárójelfelbontáskor a zárójelben lévő összes kifejezést meg kell szoroznunk a szorzótényezővel, és az így kapott tagokat kell összeadni. Másként fogalmazva: Többtagú kifejezést egytagúval úgy szorzunk, hogy a többtagú kifejezés minden tagját megszorozzuk az egytagú kifejezéssel. PÁROS MUNKA Készítsetek a példában látotthoz hasonló téglalapokat az alábbi műveletek szemléltetéséhez! Számítsátok ki a téglalapok területeit kétféle módon! Ha végeztetek egy feladatrésszel, cseréljetek füzetet, és ellenőrizzétek társatok munkáját! Ne írj a társad füzetébe! Beszéld meg vele, hogy te hogyan gondoltad a megoldást! a) ^a+ b+ 5h b) a$ ^a+ b+ ch c) x$ ^x+ 5h Az. példa megoldása során fogalmazhattunk volna úgy is, hogy a részterületek összege megadja a nagy téglalap területét, azaz: a) $ a + 6 = $ ^a + h b) $ a+ $ b = $ ^a+ bh c) c$ a+ c$ b = c$ ^a+ bh Ezt az eljárást a matematikában kiemelésnek nevezzük. Ha egy összeg minden tagjában szerepel ugyanaz a szorzótényező (ez lehet szám vagy betű), akkor ezt az összeget úgy írhatjuk fel szorzat alakban, hogy a közös szorzótényezőt kiemeljük a zárójel elé. Ez a módszer tulajdonképpen a zárójelfelbontás fordítottja. Összefoglalva: Zárójelfelbontáskor szorzatot összeggé alakítunk: c$ ^a+ bh= c$ a+ c$ b Kiemeléskor összeget szorzattá alakítunk: c$ a+ c$ b = c$ ^a+ bh SZÁMOK ÉS BETÛK

32 I/0. Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés. PÉLDA Írjuk át szorzat alakba az alábbi összegeket! a) 4a+ 6b+ 6 b) ab + b c) x+ 5x d) 4xy + 6x y a) 4a+ 6b+ 6 = $ a+ $ b+ $ 8 = $ ^a+ b+ 8h b) ab + b = a $ b+ b $ b = b$ ^a + bh c) x+ 5x = $ x+ 5$ x$ x = x$ ^+ 5xh d) 4xy + 6x y = $ $ x$ y+ $ $ x$ x $ y = xy$ ^+ xh. PÉLDA Egyszerűsítsük a törteket! a) a + 6 5x+ 0y b) c) a + 4a 0 0a A törtvonal zárójelet helyettesít, ezért minden esetben egy összeget osztottunk el. Az osztás során minden tagot el kell osztanunk a nevezővel. Ezt úgy tehetjük egyszerűbbé, hogy a számlálót szorzattá alakítjuk. a) a + 6 ^a + h = = a + 4 5x+ 0y 5 x y x y b) = ^ + h = c) a + 4a aa ^ + 7h = = a 7 0a 0a +, feltéve, hogy a nevező nem 0, azaz a! 0. 5 FELADATOK Írd fel kétféleképpen az alábbi téglalapok területét! a) 4 b b) g h i c) a c d) e) 6 f f) m m n n k e p d q r SZÁMOK ÉS BETÛK

33 Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés I/0. A nyári szünetben az iskola egy részén kicserélik a járólapokat. a) Írd fel az alaprajz segítségével, melyik helyiségbe hány m járólap kerüljön! b) Írd fel szorzat alakban, hány m járólapra van szükség a felújítás során! Hányféle felírást találtál? a b c 8. b természettudományi terem d folyosó f g h 7. c 8. a nyelvi labor informatikaterem e tanári e szertár Sok a cm élű kockánk van. Ezekből a kockákból téglatesteket építettünk. Írd fel a téglatestek felszínét és térfogatát! a) b) c) d) 4 Írd át szorzat alakba az alábbi összegeket! a) a+ b b) x- y c) ac + bc + dc d) bd – bg e) 4a+ 6ab- 0ac f) 8ab + ab 5 Keresd az egyenlő algebrai kifejezéseket! Amelyiknek nincs párja, ahhoz írj te egyet! a) 7x^5-4yh b) 0xy- 4xy c) 6xy + y d) 5x^4- yh e) 6xy^y – xh f) 6x xy g) 4xy^5x – yh h) 0x- 5xy i) 4y^5x- h j) 5x- 8xy k) y^x+ h l) xy – 8x y 6 Egyszerűsítsd az alábbi törteket! a) 5a + 5 b) 4 – b 0 5 c) d) ab + a e) 8ab + 0ab 4a 6ab f) c- 9d 6e ab – 55a ab 7 Igazold az a) és b) állításokat algebrai kifejezések felhasználásával! a) Ha egy 5-tel osztható számhoz egy 0-zel osztható számot adunk, akkor az összeg mindig osztható 5-tel. b) Ha egy 7-tel osztható számból elveszünk egy 8-cal osztható számot, akkor a különbség osztható 9-cel. SZÁMOK ÉS BETÛK

34 I/. Többtagú kifejezések szorzata. PÉLDA Írjuk fel kétféleképpen az ábrán látható téglalapok területét! a) c b) a b a c d a) A nagy téglalap területe: T = ^a+ h$ ^c+ h, ami egyenlő a kis téglalapok területeinek összegével: a$ c+ a$ + $ c+ $. Így tehát: ^a+ h$ ^c+ h = a$ c+ a$ + $ c+ $. Vizsgáljuk meg az egyenlőséget! ^a+ h$ ^c+ h= a$ c+ a$ + $ c+ $ Megfigyelhető, hogy az első zárójelben lévő mindkét tagot beszoroztuk a második zárójelben lévő mindkét taggal, és a szorzatokat összeadtuk. b) Hasonlóan járjunk el, mint a példa a) részében! A nagy téglalap területe: ^a+ bh$ ^c+ dh. A kis téglalapok területeinek összege: a$ c+ a$ d+ b$ c+ b$ d. A kétféle módon felírt területek egyenlők: ^a+ bh$ ^c+ dh = a$ c+ a$ d+ b$ c+ b$ d. Itt is jól látható a példa a) részénél tett megállapítás: az első zárójelben lévő tagokat beszoroztuk a második zárójelben lévőkkel. Fontos! Többtagú kifejezések szorzásakor az egyik tényező minden tagját megszorozzuk a másik tényező minden tagjával, és az egynemű kifejezéseket összevonjuk.. PÉLDA Egy téglalap oldalait a-val, illetve b-vel jelöltük. A téglalap a oldalát 0 egységgel csökkentettük, a b oldalát viszont 8 egységgel növeltük. Készítsünk ábrát az oldalak változásáról, és írjuk fel az egyes lépések során keletkezett téglalapok területét! a T = a$ b b 4 SZÁMOK ÉS BETÛK

35 Többtagú kifejezések szorzata I/. Tl = ^a-0 h $ b T = ^a- 0h ^b+ 8h, vég $ másként felírva: Tvég = ^a- 0h $ b+ `a- 0j $ 8 Bontsuk fel a zárójeleket! Tvég = ^a- 0h$ b+ ^a- 0h$ 8 = ab- 0b+ 8a- 80 A kétféleképpen felírt kifejezéseket összehasonlítva megkapjuk, hogy: ^a- 0h$ ^b+ 8h= ab- 0b+ 8a- 80 b b a 0 ( a 0) b a 0 ( a 0) b 8 ( a 0) 8 FELADATOK Írd fel a téglalapok területét kétféleképpen! Vízszintes oldalak: Függőleges oldalak: a) a + b + b) 4 + x x + c) a + b c + d) a + b a + b e) a b Szorozd össze az alábbi kifejezéseket! Ahol tudsz, végezz összevonásokat! a) ^a+ h^a+ h b) ^a- h^a+ h c) ^a+ h^a+ h d) ^a-h^a-h e) ^a- h^a+ h f) ^a+ bh^a+ h g) ^a+ bh^a+ bh h) ^a-5bh^5a-bh i) ^a+ bh^a- bh j) ^ab-abh^a-h Egy e oldalú négyzet egyik oldalát egységgel csökkentettük, a másik oldalát 5 egységgel növeltük. a) Szemléltesd egy ábrán a négyzet oldalhoszszainak változását! b) Írd fel kétféleképpen az így nyert téglalap területét! 4 Az alábbi téglatestek a oldalú kockákból épültek. a) Írd fel a téglatestek felszínét és térfogatát! b) Rajzolj egy akkora téglatestet a füzetedbe, amelyik annyi kockából áll, mint az a) részben látható négy téglatest összesen! Írd fel a térfogatát kétféleképpen! 5 Alkoss a kifejezésekből négy darab hármas csoportot úgy, hogy egy csoportban két kifejezés szorzata a harmadikat adja! a) ^x + h b) ^x – 4h c) ^ – xh d) 9x + x- 6 e) ^x – h f) x – 0x+ g) ^x – h h) ^x – h i) – x + x+ j) ^x + 4h k) 9x – l) ^x + h SZÁMOK ÉS BETÛK 5

36 I/. Összefoglalás CSOPORTMUNKA Tekintsük át a tanult számhalmazokat! Olvassátok fel egyesével az A, B, C, pontokban foglaltakat úgy, hogy a csoport többi tagja is értse, majd csukjátok be a tankönyveteket! Az lesz a feladatotok, hogy minél több állítást helyesen megismételjetek. A verseny irányításához válasszatok egy vezetőt, aki elbírálja, hogy jó választ adtatok-e! Minden jó válasz egy pontot ér. Ha az állítások mellett helyes példákat is felsoroltok, akkor két pontot kaphattok. Az győz, aki a legtöbb pontot szerzi. Vigyázzatok! Fogalmazzatok pontosan, mert csak akkor fogadható el a válaszotok. A) Leggyakrabban a pozitív egész számokat használjuk. Jele: Z + vagy N +. B) A pozitív egész számokat a 0-val kiegészítve a természetes számokat kapjuk. Jele: N. C) Két természetes szám összege, illetve szorzata természetes szám. D) A kivonás nem mindig végezhető el a természetes számok körében. A természetes számok halmazát a negatív egész számokkal bővítve az egész számok halmazát kapjuk. Jele: Z. E) Két egész szám összege, szorzata, illetve különbsége is egész szám lesz. Az előjeles számokkal nagyon körültekintően kell műveleteket végezni. F) Az egész számok körében az osztás műveletének eredménye nem mindig lesz egész szám. Ez vezetett el a racionális számokhoz. Jele: Q. G) Racionális szám az, amely felírható két egész szám hányadosaként. H) A racionális számok tizedes tört alakjáról megmutattuk, hogy a) egész, vagy b) véges tizedes tört, vagy c) végtelen szakaszos tizedes tört. I) Vannak végtelen nem szakaszos tizedes törtek is. Ezek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, ezért nem racionális számok. Az ilyen tulajdonságú számokat irracionális számoknak nevezzük. Ilyen például a vagy a r. Az irracionális számok jele: Q*. J) A racionális és irracionális számok együttesen a valós számok halmazát alkotják. Jele: R. Q Z N 0 R Q* PÁROS MUNKA A hatvány fogalmának bevezetése sok előnnyel járt. A számokat a szorzás és az osztás szempontjából áttekinthetőbb módon írhattuk fel prímszámok hatványainak szorzataként, a normálalak pedig lehetővé tette a nagyon nagy és nagyon kicsi pozitív számok rövidebb felírását, illetve a műveletek könnyebb elvégzését. Válaszoljatok a feltett kérdésekre! A társatok véleményezze a válaszotokat! A B) pontra adandó válaszokat felváltva mondjátok el egymásnak! A) Hogyan értelmeztük egy pozitív szám negatív egész kitevőjű hatványát? B) Ismételjétek át a hatványozásra érvényes azonosságokat! C) Mit jelent egy szám normálalakja? 6 SZÁMOK ÉS BETÛK