7. Osztály

Olvassátok el a tankönyv 70-72 oldalán található szöveget! Mogyeszt Muszorgszkij orosz zeneszerző művéről, a Kiállítás képeiről és annak néhány részletéről kaptok információkat. A Promenád, vagyis Séta téma azt az embert jelképezi, aki egy kiállításon egyik festménytől a másikig sétál, majd ezt megtekintve, a következőhöz indul.

Sokszínű Matematika 7. osztály

A tankönyv fejezeteiTermeszetes szamok, racionális számokAlgebrai kifejezésekEgyenletek,egyenlőtlenségekSíkgeometria I. OHalmazok, kombinatorika f s HSíkgeometria II. m Statisztika,valószínűségTérgeometriaLineáris füqqvenyek, sorozatok

Text of Sokszínű Matematika 7. osztály

S o k s z n m a t e m a t i k a

IX. Budapesti Knyvfesztivl Budai Knyvdij Szp Magyar Knyv 2001 Dij

Szp Magyar Knyv 2001 Klndij Hundidac 2003 Arany-dij

Szp Magyar Knyv 2003 Dj

S o k s z n m a t e m a t i k a

akab Tams Kosztolnyi Jzsef Pintr Klra Vincze Istvn

Matematikat a n k n y v

Mozaik Kiad-Szeged, 2012

A knyvet irta: Jakab TamS gimnziumi tanrDr. Kosztolnyi Jzsef egyetemi docens Pintr Klra liskolaiadjunltus VinCZe Istvn gimnziumi tanr

Leltortta: Baloph Terzia ltalnos isko/aitanr, szakrt Juhsz Nndor ltalnos iskolai tanr Kothencz Jnosn ltalnos iskolai tanr Ptfalvi JZSefn dr. tanszkvezet fiskolai docens

Felels szerkeszt: Boritterv. tipogrfia: Mszaki szerkeszt:

Anyanyelvi lektor: fotk:

Tth KatalinRemnyfy TamsVass Tiborbrahm IstvnGnczi AnikSolymosy BoglrkaMozaik Archvum; kpgynksgekNagy Kroly: Tarin Szentes Katalin; Vecsein dr. Munkcsy Katalin

Kerettanterv: Mozaik Kerettantervrendszer 17/2004 (V. 20.) OM Kerettanterv 17/2004 (V. 20.)

A Mozaik Archvum kpeinek kizrlagos felhasznlsi joga a Mozaik Kiad Kft. tulajdona.Minden jog fenntartva, belertve a sokszorosts, a m bvteti, illetve rvidtett vltozata kiadsnak jogt is. A kiad rsbeli hozzjrulsa nlkl sem a teljes m. sem annak rsze semmifle formban nem sokszorosthat.

Engedlyszm: KHF/4339-17/2008 ISBN 978 963 697 549 4

Copyright: Mozaik Kiad – Szeged, 2008

A tanknyv fejezetei

Termeszetes szamok, racionlis szmok

Skgeometria I. O

Halmazok, kombinatorika f s H

Skgeometria II. m Statisztika,

Lineris fqqvenyek, sorozatok

Termszetes szmok, racionlis szmol(

1. A racionlis szm ok alakjai . ..102. Mveletek racionlis s z m o k k a l. ..153. Arnyos kvetkeztetsek (emlkeztet) . ..214. Szzalkszmts (emlkeztet) . 275. Kamatszmts. Gazdlkodj okosan! . 33

6. A hatvnyozs . ..367. Mveletek azonos alap hatvnyokkal . ..4i8. Mveletek azonos kitevj hatvnyokkal . ..459. Prmszmvadszat . ..50

10. Nagyon nagy szm ok . 5511. Vegyes fe ladatok . 60

1. Az algebrai kifejezs . 64

2. Behelyettests . 683. Mveleti sorrend . 744. Egytag s tbbtag algebrai kifejezsek . 785. sszevons – egynem kifejezsek . 836. Egytag algebrai kifejezsek szorzsa, osztsa . 897. Kttag algebrai kifejezs szorzsa egytagval . 948. Kiemels . 979. Vegyes fe ladatok . 100

1. Hogyan o ld junk meg feladatokat? (emlkeztet) . 1042. Hogyan szletnek az egyenletek? . 1093. A mrlegelv 1. 1154. A mrlegelv II. 1205. Am it nem szabad elfelejteni: az egyenlet alaphalm aza . 1256. M ikor rdemes egyenleteket hasznlni? . 1297. Egyenltlensgek . 1358. Vegyes fe ladatok . 139

1. Kzppontos tkrzs, kzppontos szimmetria . 142

2. Kzppontos tkrkpek szerkesztse . 148

3. Szgprok, a hromszg bels szgeinek sszege . 153

4. Kzppontosan szimmetrikus ngyszg: a paralelogramma 156

6. A paralelogram m a, a trapz s a hromszg kzpvonala 166

7. Vegyes fe la d a to k . 171

1. Halmazok (rszhalmazok) . 174

2. Kom plem enter halmaz . . 181

3. Halmazok metszete s egyestse . . 187

4. Hny eleme van a halmazoknak? . 193

5. Rendszerezzk a lehetsgeket! . 199

6. Hnyfle sorrend lehetsges? . 205

7. Kapcsolatok . 210

8. Vegyes fe la d a to k . 213

Lineris fggvnyek, sorozatok

1. Sorozatok . 218

2. Szmtani sorozat . 222

3. G rafikonok a m indennapi letben . 229

4. Hozzrendelsek . 233

5. Fggvnyek . 238

6. A fggvnyek b r zo l sa . 242

7. A lineris fggvnyek . 247

8. A lineris fggvny meredeksge . 253

9. Egyenletek grafikus megoldsa . . 258

10. Vegyes fe la d a to k . 262

A – B N * 0 ;fi *C o *1 ;C – D i ‘ – Q . yD – E a – R 1f -F I G

U: – M 1 – i J11 *>1 – 1 V – XJ – K X -YK – LL M Z ^ AM *N

1. A hrom szgek csoportostsa, egybevgsga . 2662. A hromszg kr rhat kr . 2743. A hromszg be ls szgfelezi, a berhat k r . 2794. A magassgvonal s a slyvonal . 2845. A hromszg szgeivel kapcsolatos sszefggsek . 2896. Sokszgek . 2937. A hrom szgek terlete . 2978. A ngyszgek terlete . 302

9. A kr kerlete, terlete . 30910. Vegyes fe ladatok . 313

1. Adatok elemzse, tlag, mdin . 3182. A mdusz, a gyakorisg s a relatv gyakorisg . 3243. A valsznsg becslse . 3314. Vegyes feladatok . 338

1. Egyenesek, skok, testek a trben . 3422. Henger, hasb . 3483. A hasb s a henger felszne . 3534. A hasb s a henger trfogata . 3595. Vegyes feladatok . 365

Az j szakszavak jegyzke . 367

tmutat a knyv hasznlathozA knyv jelrendszere s kiemelsei segtenek a tananyag elsajttsban. A leckk legtbbszr kidolgozott pldkkal kezddnek. Ezek gondolatmenett rdemes elemezni s megrteni, mert mintt nyijjtanak a tovbbi feladatok megoldshoz is. A megtanuland legfontosabb szablyokat s meghatrozsokat a knyv zld alfestssel s vastag bets kiemelssel jelzi. A *-gal jellt gyakorl feladatok megoldshoz gyes tletek szksgesek. A lapszlen olvashat apr bets informcik a mindennapi lettel, a matematika alkalmazsval kapcsolatos rdekessgek, magyarzatok, kiegszt ismeretek vagy krdsek.

TERMESZETES SZAMOK, RACIONLIS SZAMOK

1. A racionlis szmok alakjai

Termszetes szmok (N)

Egsz szmok (/.) oszts I

Racionlis szmok (Q)

(kt egsz szm hnyadosaknt

12_-12_ 3 3 “= H = -4

Egy trt akkor pozitiv, ha szmllja

s nevezje azonos eljel.

A szmok majdnem olyanok, mint az emberek. Vannak kzttk azonos csaldba tartozk, mint pldul az egsz szmok vagy a racionlis szmok. Vannak kzttk hresebbek, s vannak egszen htkznapiak is. Mg arra is kpesek lehelnek, hogy egy-egy alkalommal ms s ms ruhba bjjanak!

A nagy francia forradalom idejn szlettek azok a javaslatok, melyek alapjn bevezettk a tzes mrtkegysgrendszert. Ekkor az jtsok hvei inkbb a tizedes trtekkel, mg a rgi rend hvei a trtekkel szmoltak.

1. plda ^rjuk t a kvetkez szmokat tizedes trt alakba! Milyen tizedes trtet kapunk?

12o) = (-12 ) : 3 = – 4 egsz szm;33 15b) 3 = = 15 : 4 = 3.75 vges tizedes trt;

c) ^ = 1 : 9 = 0 , i vgtelen szakaszos tizedes trt. 9

Eredmnyeink azt sugalljk, hogy a racionlis szmok tizedes trt alakja hromfle lehet:

– egsz szm;- vges tizedes trt;- vgtelen szakaszos tizedes trt.

2. pldarjuk t a kvetkez tizedes trteket trt alakba!

a) 0,2; ; -3 .2 5 ; e j 1.1.

b) -3 ,2 5 = – 325100

c ) Hasznljuk fel az elz feladatban kapott eredmnyt! Ennek alap*

1,i = 1 + 0 , i = 1 + l = f

Eredmnyeink alapjn elmondhat, hogy egy racionlis szm tbblle alakban is felrhat.

gy pldul az 1 = j = 0,9 ugyanazt a racionlis szmot jelenti.

3. pldaRendezzk nvekv sorrendbe, s brzoljuk szmegyenesen a kvetkez szmokat!

0,3; -0 ,6 ; | ; 0 ,6 .o o

Megoldsrjuk t mindegyik szmot tizedes trt alakba!

‘ i 7 . = 3 : 8 = 0.375; ~ = ~ = -0 .7 ; 0.6 = 0,666. 8 50 10

Nvekv sorrendbe rendezve:

gy az adott szmok nvekv sorrendje:

io.el =0.6 1-0.61 =0.6

0.6= 6-0.1 =1 _ 6 _ 2

24 ^ 27 36 36 36 36

Kt racionlis szm sszege,

klnbsge, szorzata, tlaga is

Brmely kl racnnlis szm kz

beilleszthet egy jabb

racionlis szm (pldul a kt szm

tlaga), gy brmely kt

rack)nlis szm kz vgtelen sok

racionlis szm rhat.

TERMESZETES SZAMOK, RACIONLIS SZAMOK

4. plda2 3rjunk fel kt olyan racionlis szmot, amely a x s a kz esik!O 4

1. megoldsKt adott racionlis szm kz es racionlis szmot tbbflekppen kaphatunk. Megtehetjk pldul, hogy a kztk lev tvolsgot hrom egyenl rszre osztjuk. Az eredeti kt trt klnbsge (tvolsga a szmegyenesen);

3 _ 2 ^ _9 _ _8_ ^ J _4 3 12 12 12

Ezt a klnbsget osszuk hrom egyenl rszre!

gy a szmegyenesen kijellt kt szm:

12 36 36 3 6 36

2. megoldsFelhasznlhatjuk azt is, hogy brmely kt klnbz szm tlaga a szmegyenesen a kt szm kz esik.

2 3A s a tlaga:3 4 ^ 3 4

2 17 Most vegyk a es a atlagat!

: ? 33 . p 33 1124 46 16

1. rjuk fel a kvetkez szmokat tizedes trt alakban!

2. rjuk fel trt alakban a kvetkez tizedes trteket!a) 0,2; b j 0,125: c) 1,15;e; -2 .5 : f) -0 ,16 ; g) 2.9;

3. Melyik a kakukktojs a kvetkez szmok kztt?

3 -0 .6 – 6 18 .5 12 30

12 120 2406 10 20

4. Dntsk el a kvekez lltsokrl, hogy melyik igaz. s melyik hamis!

) Ha egy trt szmlljnak s nevezjnek eljele klnbz, akkor a trt negatv.) Van olyan egsz szm, amelyiknl a reciproka nagyobb.c) JHa kt trt szmllja s nevezje egyenl, akkor a trtek is egyenlk egymssal.d) Ha kt trtszm tizedes trt alakja azonos, akkor a trtek nevezje is egyenl.e) Egyetlen olyan racionlis szm van. amelyik egyenl a reciprokval.

5. rjunk a trtbe a ngyzet helyre olyan szmot, hogy a trt

a) legalbb 1 legyen; c) pozitv, s 1-nl kisebb legyen;

b) legfeljebb – 1 legyen;d) negatv, s -1 -n l nagyobb legyen!

6. Melyik szm nagyobb?

a) A 0.17 vagy az – l ;6

b) a 0.92 vagy a 1 | : c; a v a g y a -20,5?

7. Rendezzk nvekv sorrendbe a kvetkez szmokat, s brzoljuk ket szmegyenesen!

a) 1,25; 1 ^ ; 2,5;d D

e) -0 ,2 ; | ; – I ; -0 ,6 ;

b) 0,2; | ; 4 ; 0,6; o o

d) -1 ,2 5 ; – l | ; – ^ ; -2 ,5 ;

TERMESZETES SZAMOK, RACIONLIS SZAMOK

8. Milyen sorszm helyeken szerepel 2-es szmjegy a tizedesvessz utn az – trt tizedes trt alakjban? ^

9. Milyen szmjegy szerepel az y trt tizedes trt alakjban a tzedesvessz utn

a) a 2. helyen: b) a 20. helyen: c) a 2006. helyen?

10. Milyen szmjegy ll a tizedesvessz utn a 100. helyen a kvetkez trtek tizedes trt alakjban?

11. A Lenge szl vitorlsversenyen Annk egy5

s negyed ra alatt rtek clba, Borik ra6

alatt, Katik 85 perc alatt. Drlk 1,6 ra alatt,o

Eszterk pedig ra alatt.6

Milyen sorrendben futottak be a clba?

12. rjunk fel kt olyan racionlis szmot, amely a

A kapott szmokat brzoljuk szmegyenesen!

c az s az – kz esik! 10 5

13. brzoljuk koordinta-rendszerben az albbi pontokat, s kssk ssze ket az adott sorrendben! Folytassuk mg 4 ponttal a felsorolst!

8 C(0; 1); D (-2 ; 0); E(0; -4 ) ; f (8; 0).

14. Jtsszuk el! Ketten felvltva hznak az 1 8 krtykbl. Ezutn

kln-kln ellltanak egy-egy trtet gy, hogy a brba tetszlegesen berak

jk a krtykat a tglalapok helyre. Az nyer, aki nagyobb trtet tud ellltani. Mikor

lesz a trt rtke a legnagyobb, s mikor lesz a legkisebb?

Ml a lehetsges legkisebb s legnagyobb rtke az 1 : 2 : 3 : 4 ; 5 : 6 : 7 : 8 ; 9 kifejezsnek, ha tetszlegesen zrjelezhetnk?

2. Mveletek racionlis szmokkal

Jtk * Szmoljunk racionlis szmokkal!Ksztsk el a kvetkez krtykat!

2 5 3 5 n 1? 3.5 1.23 7 4 6

A , A , A , A .Fordtsuk meg a krtykat, s keverjk ssze! Ezutn hzzunk a kvetkez formknak megfelelen!

O A Orjuk fel az gy kapott mveletet, majd szmtsuk ki az eredmnyt! Rakjuk vissza a krtykat, majd hzzunk jabb mveletsort! Az nyer, aki ngy hzs eredmnyeit sszeadva a legnagyobb szmot kapja.

sszeg s klnbsg szorzsa

1. pldaVgezzk el a kvetkez mveleteket!

Megoldsa) Ktflekppen jrhatunk el.

1. Elszr a zrjelben lev mveleteket vgezzk el.

( -3 ) – ( -4 ) = 12 ( -3 ) . 4 = -12

2 5 ^ 1 03 ‘ 7 21

– reciproka 7 7 5

TERMESZETES SZAMOK, RACIONLIS SZAMOK

II. Tudjuk, hogy sszeget s klnbsget gy is szorozhatunk, hogy a tagjait kln-kln megszorozzuk, majd a szorzatokat sszeadjuk, illetve kivonjuk. Ezt rviden zrjelfelbontsnak nevezzk.

b) Ha elszr a zrjelben lv mveletet vgezzk el:

f3 ^ n ‘5 ^4 2\ y .4 4 , 4

Ha elszr a zrjelet bontjuk fel:

c) Ha elszr a zrjelben lv mveleteket vgezzk el:1 1

Ha elszr a zrjelet bontjuk fel:

^1 1 + 1 l 3 4 2V / l 3 j 3 ^ / X 3\ /

2 . ‘ 1 1 ‘ 1 ‘3 i 3V / 6 6 6 X 2

2. pldaVgezzk el a kvetkez mveleteket!

Megoldsa) Ha elszr a zrjelben lev mveleteket vgezzk el:

72 ^ 5 1- 3 ] _ 2 rio 3 ^3 3\ 5 5 – 3 / 3 [15 1 5 J2- 5 7 10 7 3 1

3 – 5 15 15 15 15

Ha elbb felbontjuk a zrjelet, majd elvgezzk az sszevonst:

= i – i + I = I3 3 5 5 ‘

Ez a megolds most kevesebb szmolst ignyelt. rdemes m inden feladatnl megfontolnunk, melyik mdszert vlasszuk.

b) Ha elszr a zrjelben lv mveletet vgezzk el:

= 2 – ; l ^ – i = 2 – 6 = – 4 .

Ha elszr a zrjelet bontjuk fel:

22 – y 1 = 2 – 10 + 4 = – 4

3. pldaVgezzk el a kvetkez mveleteket!

Emeletes trtek: 1

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

4. plda 12 1 Melyik a nagyobb szm: az = , vagy a 8 = ?O ^

Megolds ^Az emeletes trteknl mindig a ftrtvonal hatrozza meg a mveleti sorrendet. rsban a ftrtvonal mindig az egyenlsg jelvel egy magassgban helyezkedik el.

11^ = 2 ^ 1 J ___ _

3 2 2 – 3 6 f = I = 1 : i = 1 – 3 = 3 .

szrevehetjk, hogy a ktfle mdon elhelyezett ftrtvonal ktfle zrjelezst jelent:

az /^ = – | = (1 : 2) : 3, mg a S = -^ = 1 : (2 : 3).

5. pldaHozzuk egyszerbb alakra az 1 +

1 2A feladatban szerepl trt szmllja 4, a nevezje pedig 1 t = x w

gy a kvetkez mdon hozhatjuk egyszerbb alakra:

4 4 2 31 + ^ = 1 + ~ = 1 + 4 : – = 1 + 4 – = 1 + 2 3 = 1 + 6 – 7 .1 – 1 2 3 2

1. Szmtsuk ki a kvetkez mveletek eredmnyt!

b) 4 – 3 ( 1 – 2 -3 ); c) 3.5 – (4 3 – 9) i :

– – 0 . 4 . f 1 ^ 0 , 4 -2 10V /

3. Vgezzk el a kvetkez mveleteket!

4 ‘ 3 4 ‘ ‘ 7 ‘9 ‘ 2 5V / l s j

4. Morg nagyon szereti a mzet. Hrom napon keresztl m indig mzet eszik, naponta egynegyed csupornyit. Minden negyedik na- * pon mlnval tmi tele a bendjt. Ezeken a napokon ktharmad csupor mzet szerez be. Ma reggel mg egy teli csupor mze volt.

a) Hnyadrszig lesz a csupor ngy nap mlva?b) Hnyadrszig lesz a csupor nyolc nap mlva?

*c) Hnyadik napon trtnik majd meg vele az, hogy nem tall elg mzet a csuprban?

*5. Kmves Kelemen s trsai jabb vrpitsbe fogtak. Nappal mindig felptettk

az egsz vr r jr -a d rszt, de jjel az aznap megptett rsz a mindig leomlott.

Mennyi ideig tart a vr felptse?

6. A kvetkez szmok s jelek llnak rendelkezsnkre;

Alkossunk velk mveletsort, s szmtsuk ki az eredmnyt! Keressnk tbb megoldst!

7. Melyik a nagyobb?2 5

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

8. Figyeljk meg alaposan a kvetkez trteket! Szmtsuk ki az rtkket!

( 0 ,5 -1 ) : ( 0 ,7 5 – 1 – 0 ,2 5 )

^ – 0 , 5 + 2 0,25 + 1o

( 0 .5 -1 ) : ( 0 ,7 5 – 1 – 0 ,2 5 ) ‘ d)

(0 ,2 5 -1 ) : ( 0 ,5 – 1 – 0 ,2 5 )

( 1 – 2 ) : ( 0 ,7 5 – 1 – 0 ,2 5 )

*9. Milyen mveleti jelet tegynk a szmok kz, hogy igaz legyen az egyenlsg?

*10. Hozzuk egyszerbb alakra a kvetkez emeletes trteket!

11. Hny kilomteres utat tettnk meg, ha mi-2 2 utn az t rszt megtettk, mg km-t W

*12. Karcsi rszt vett egy kerkprversenyen, majd ezt meslte otthon:A versenyzk harmada elttem rt clba, a fele mgttem. Holtverseny nem volt.”

Hnyadik lett Karcsi?

szmkrtykat illesszk be az emeletes trtbe gy, hogy

a) a legnagyobb; b) a legkisebb rtk szmot kapjuk!

rjunk a kvetkez trtek kz mveleti jeleket, illetve hasznljunk zrjeleket gy, hogy a vgeredmny helyes legyen!

1 1 1 1 1 ^ 1 . ^’ 2 2 2 2 2 2

bi 1 1 1 1 1 ‘ 2 Z 2 2 2

1 1 1 1 1 ^ 2 2 2 2 2

3 . Arnyos kvetkeztetsek (emlkeztet)

Kt szm (mennyisg) arnynak a kt szm (mennyisg) hnyadost ne-12 3vezzk. Pldul 12 s 16 arnya = , mskppen 1 2 :1 6 = 3 : 4 .16 4

Arnyokkal sok helyen tallkozhatunk. Fontos szerepet kapnak a trkpszetben, a fizikban, a kpzmvszetben, de szmos ms terleten is.

1. plda ^Egy trkp mretarnya 1: 25000-a) Hny kilomter tvolsgra van egymstl az a kt falu, melyet

ezen a trkpen egymstl 10 cm-re tallunk?b) Mekkora a trkpen az a tvolsg, ami a valsgban 10 km?

Megoldsa) A trkpen 1 cm a valsgban 25 000 cm = 250 m = 0,25 km-nek

felel meg. Ezrt 10 cm 10-szer akkora, vagyis 10 0,25 = 2,5 km tvolsgot jelent.

1 cm 25 DOG cm = 0,25 km

10 cm 10 25 000 cm = 2,5 km )10

b) A 10 km-es tvolsg a 0,25 km-nek pp a

ezrt ez a trkpen 40 cm-nek felel meg.

0.25 km = 25 000 cm 1 cm

10 km 40 1 cm = 40 cm )40

Az arnyossgoknak kt fajtjt ismertk meg: az egyenes arnyossgot s a fo rd to tt arnyossgot.

Keress olyan Magyarorszg- trkpet, amelyen megtallod a laktielyedet!Mrd meg a trkpen, s szmold ki, hogy lgvonalban milyen messze van Szegedtl!

(Ha Szegeden laksz, akkor hatrozd meg a Budapesttl val tvolsgot!)

Mekkora szget zrnak be az ra

mutati 10 rakor, fl 11-kor, hrom

Mrjk meg a szget szgmrNrei is, s hasonttsuk ssze az eredmnyeket!

Az rval val szgmrst

pontosabb tehetjk, ha a msodperceket

is figyelembe vesszk.

azt jetenti, hogy a cserebogr

1 msodperc alatt 3 mtert repl.

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

2. pldaVgjuk ki paprbl az brn lthat szget, s mrjk meg egy mutats ra segtsgvel!

Megolds1. Becsljk meg a szget! Krlbell 60″* lehet.2. lltsuk be az ra mutatit gy, hogy ppen

akkora szget zrjanak be egymssal, mint amit paprbl kivgtunk!

3. Olvassuk le, melyik idpontot mutatja ekkor az ra! Ez most a 12 ra 12 perc.

4. Szmtsuk ki, mekkora szget zrnak be az ra mutati egymssal 12 ra 12 perckor!12 rakor az ra mutati fedik egymst.Szmtsuk ki. mekkora szggel fordulnak el a mutatk 12 perc alatt, ha tudjuk, hogy az eltelt id s az elforduls szge egyenesen arnyos!

eltelt id elforduls szge

eltelt Id elforduls szge

1 ra = 60 perc 36012

1 perc 30 ^ 0 5* 6012 perc 12-0,5 = 6

12 ra utn 12 perc alatt a nagymutat 72-os szggel, a kicsi 6-os szggel fordult el, gy az ltaluk bezrt szg 72 – 6 = 66, ami megfelel az elzetes becslsnek.

Teht az brn lthat szg nagysga 66.

3. pldaZsiga az interneten az llatok sebessgrl keresett adatokat.A kvetkezket tallta;

mcserebogr; 3 lazac; 5 ; hzimh: 6.5 ; geprd; 30 . s s s

Mennyi id alatt tennnek meg ezek az llatok olyan hossz utat, amely a cserebogrnak 1 percig tart?

MegoldsA megtett t hossza adott. Ha az idegysg alatt megtett tvolsg (a sebessg) ktszeresre n, akkor az adott tvolsg megttelhez szksges id a felre cskken, azaz a sebessg s az Id kztt fordtott arnyossg van. Ksztsnk tblzatot!

llat Sebessg idtartam A megtett t

cserebogr m ^ 1 perc = 60 s X:A

ms 6 0 s = 180 m

lazac : 10 36 so

hzimh V 6,5 f 360 27,7 s 6.5J2. ^ s = 180 m

geprd 30 n /s ‘ 60: 10 = 6s 3Q21 6s = 180 s m

A lazac 36 s, a hzimh 27,7 s, a geprd pedig 6 s alatt tesz meg annyi utat, mint amennyit a cserebogr 1 perc alatt.

sszetett feladatoknl a mennyisgek termszete alapjn dnthetjk el, hogy azok arnyosak-e egymssal, s ha igen, akkor egyenes vagy fordtott arnyossg van kzttk.

Kvetkeztetsek arnyos mennyisgek krben

Ha egy 4 tag csald 4 hnap alatt 120 m^ vizet fogyaszt, akkora) mennyit fogyaszt 2 ember 2 hnap alatt;b) mennyi id alatt fogyaszt el 8 ember 60 vizet;c) hny ember fogyaszt el 120 m^ vizet 1 hnap alatt?

(Felttelezzk, hogy m indegyik em ber ugyanannyi vizet fogyaszt1 hnap alatt.)

a) A vzfogyaszts egyenesen arnyos az emberek szmval s az eltelt hnapok szmval is.

4 ember 4 hnap alatt , 120 m^ vizet fogyaszt;: 2 ( : 2 (

2 ember . 4 hnap alatt . 60 m^ vizet fogyaszt; : 2 ( : 2 ^

2 ember 2 hnap alatt 30 m^ vizet fogyaszt.

Teht 2 ember 2 hnap alatt 30 m^ vizet fogyaszt.Feleannyi ember feleannyi id alatt negyedannyi vizet fogyaszt.

ySA” egyenesen arnyos

ysx forditonan arnyos

A tankolt benzin mennyisge s a tankols! id

hnyadosa lland, ez a tankols

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

b) A vzfogyaszts egyenesen arnyos az enfi berek szmval s az eltelt hnapok szmval Is.

_ 4 ember . 120 m’^ vizet fogyaszt 2 ( – 2 (

8 ember 240 m^ vizet fogyaszt: 4 ^ : 4 ^

8 ember 60 m^ vizet fogyaszt 1 hnap alatt.

Teht 8 ember 60 m vizet 1 hnap alatt fogyaszt el.

c) Ha a vzmennyisg lland, az id s az emberek szma kzt fordtott arnyossg van.

120 m^ vizet ^ 4 hnap alatt , 4 ember fogyaszt el; : 4 ( – 4 (

120 vizet 1 hnap alatt 16 ember fogyaszt el.

Teht 16 ember fogyaszt el 120 m^ vizet 1 hnap alatt.

Ha kt mennyisg egyenesen arnyos egymssat, akkor sszetartoz rtkprjaik hnyadosa lland.

Ha kt mennyisg fordtottan arnyos egymssal, akkor akkor sszetartoz rtkprjaik szorzata lland.

5. plda ^Egy benzinktnl az autnk tankjba 1 perc alatt 36 liter zemanyagot tudunk bettteni. Egy Formula-1-es versenyaut tankolsakor msodpercenknt 12 liter zemanyagot pumplnak a tartlyba.a) Mennyi ideig tartana az autnk tankolsa a versenyplyn, ha az

a benzinktnl msfl percig tartott?b) Mennyi ideig tankolna Hamilton a versenyautjval annyi benzint

egy benzinktnl, mint amennyit a plyn nyolc msodperc alatt tltenek a tankjba?

Megoldsa) A knnyebb sszevets rdekben rdemes megadnunk, hogy

a benzinktnl hny litert tankolhatunk msodpercenknt.A benzinktnl a tankolsi id s a benzin trfogata kztt egyenes arnyossg van.

: 60X 1 perc alatt 36 liter . .1 oifart n a ltAr ^msodperc alatt 0,6 liter

Teht a benzinktnl 1 msodperc alatt 0,6 litert tankolhatunk.

Ha adott mennyisget tankolunk, akkor a tankols sebessge s a tankolshoz szksges id kztt fordtott arnyossg van.

A tankols sebessge ~ Tankolsi Id (s)

Teht a versenyplyn 4,5 msodperc alatt tankolhatnnk.

A tankols sebessge 1S Tankolsi id (s)

Teht Hamilton a versenyautt 160 s = 2 perc 40 msodperc alatt tudn a benzinktnl megtankolni.

A tankols sebessgnek s atankolsi idnek a szorzata lland, ez a tankolt zemanyag mennyisge.

1. Egy trkp mretarnya 1 :1 500 000.a) Mekkora tvolsgot jelent a valsg

ban a trkpen mrt 5 cm?b) Ha kt vros 225 km*re van egyms

tl, akkor mekkora tvolsgra vannak jellve a trkpen?

2. Milyen mretarny a trkp, ha a valsgban Tapolca s Balatonboglr lgvonalban mrt tvolsga 20 km? ( ^ )

3. Vlasszuk ki, hogy mely mennyisgek kztt van egyenes, melyek kztt fordtott arnyossg, s melyek kztt nincs egyik sem!a) Egy ednyben lv vz tmege s trfogata kztt;b) egy egyenes vonal egyenletes mozgst vgz aut ltal megtett t s az id kztt;c) egy gyerek testmagassga s az letkora kztt;d) egy knyv lapjainak szma s a knyv vastagsga kztt:e ^ egy aut orszgti tlagfogyasztsa s a tele tankkal orszgton megtehet kilom

terek szma kztt.

4. Egy aut 5 ra alatt 600 km-t tett meg. Mekkora utat tesz meg ez az aut ugyanekkora tlagsebessggel 8 s fl ra alatt?

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

5. Egy iskolai menzn 70 adag prklthz 10,5 kg hst hasznltak fel. Mennyi hs szksges 100 adag prklt elksztshez?

6. 30 kg szlt 20 dobozba csomagolnak. Hny ugyanilyen doboz szksges 150 kg szl becsomagolshoz?

7. Otthon gymlcslevet ksztettnk. 25 db 7 dl-es veg lett tele. Hny 12,5 dl-es vegbe frt volna el ez a mennyisg?

km 38. Egy replgp sebessge 1000 , egy msik ennek rsze. Ha az els egy utath 5

3 ra alatt tesz meg, akkor mennyi idbe telik ez a msik gpnek?

9. Egy csapon percenknt 10 liter vz folyik egy kdba. gy az 20 perc alatt telik meg. Mennyi ideig tartana a kd feltrse egy olyan csappal, amelyen 25 liter vz folyik t percenknt?

10. Egy kacsa felhizlalshoz 10 kg kukorica szksges. Hny kilogrammal tbb kukorica kell 20 kacsa felhizlalshoz, mint 15-hez?

11.5 gyerek 2 ra alatt 80 szendvicset ksztett egy szlinapi zsrra. Hny szendvicset ksztene el 12 gyerek 3 ra alatt?

*12. Ha 3 egr 4 nap alatt 5 sajtot eszik meg, akkor 5 egr hny nap alatt eszik meg 10 sajtot?

*13. Andrs, Balzs s Csaba kirndulni mentek. Andrs 4. Balzs 5 szendvicset vitt magval, Csaba viszont otthon felejtette a tzraijt. Vgl egyformn osztoztak a szendvicseken, de Csaba ragaszkodott hozz, hogy kifizesse a rszt. Ezrt fizetett a tbbieknek 450 Ft-ot. Hogyan osszk el az sszeget egyms kzt a fik?

*14. Egy napkollektor a bojlernkben trolt vz hmrsklett 30 perc alatt 1 *C-kal emeli meg. Egy msik ugyanezt 40 perc alatt vgzi el. Mennyi ideig tartana ez a melegts, ha mindkt napkollektort bekapcsolnnk?

15. Tl az perencin egy tltos l ra 100 arany meg egy szvr. Egy szvr ra 20 arany meg egy fl malac. Egy nnalac ra 10 arany meg egy negyed kacsa. Mennyibe kerl a tltos, ha a kacsrt 8 aranyat kell fizetni?

A ht els napjn dlben 10 ^ – s szl fj. A msodik napon, kedden dlben 20 ^ a szl sebes-h kmsge. A harmadik napon, szerdn dlben 30 -s a szl. Milyen ers szl fj ezek utn a negyedikhnapon, cstrtkn dlben?

4 . Szzalkszmts (emlkeztet)

A mindennapi letben a mennyisgeket sokszor nem a nagysguk, hanem az egymshoz viszonytott arnyuk alapjn hasonltjuk ssze. Ezt az arnyt szzalkban is kifejezhetjk.

40 2Pldul a 40% jelentese: rsz = rsz = 0,4 rsz.

Ugyanakkor a trtrszeket is felrhatjuk szzalkos alakban.

Pl.: ^ rsz = rsz = 0.75 rsz = 75%.

1. plda ^A tblzat annak az 50 vsrlnak az letkort mutatja, akik a Harry Potter sorozat utols ktetnek megjelensekor elszr lptek be egy knyvesboltba.

Az letkor (v) 11 12 13 14 15 16 17

A vsrlk szma 6 12 15 5 8 3 1

a) Adjuk meg, hogy a vsrlk hny %-a volt 11 ves, 12 ves stb.lb) brzoljuk az adatokat krdiagramon I

Megoldsa) Mivel 50 vsrl adatait tntettk fel, ezrt a szzalkos arnyok

knnyen addhatnak, ha az 50 nevezj trteket 2-vel bvtjk.A 11 vesek arnya az sszes vsrl szmhoz viszonytva:

A tbbi adatot hasonlan felrva a kvetkez eredmnyt kapjuk:

A vsrlkszzalkos arnya (%)

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

b) A krdiagram elksztshez a tblzatban szerepl arnyoknak megfelelen kell felosztanunk a 360*os teljes szget.

gy a 11 vesek esetn a megfelel szg nagysga a 360 12%-a:

A tbbi szget hasonlan kiszmolhatjuk:

A kzpponti szg nagysga C)

11 12 13 14 15 16 17

43.2 86,4 108 36 57,6 21.6 7,2

2. pldaEgy aut motorjnak fogyasztsa a lgellenlls cskkentsvel 15%-kal cskkent. Mennyi lesz a fogyasztsa a cskkens utn, ha az aut kezdetben 8 liter zemanyagot fogyasztott 100 km-en?

Megolds1. mdszer: Meghatrozzuk a cskkens mrtkt, a 8 liter 15%-t:

Majd ezt kivonjuk az eredeti fogyasztsbl;

Teht a fogyaszts 6,8 liter lesz 100 km-en.

2. mdszer: Az aut fogyasztsa (100%) 15%-kal cskkent, gy

100% – 15% = 85%-ra vltozott.

A 8-nak a 85%-a a 0,85-szorosa:

8 0,85 = 6,8 liter.

3. pldaEgy tglalap oldalainak hossza 10 cm s 20 cm. Kzlk a nagyob- bikat 10%-kal nveltk, a kisebbet pedig 10%-kal cskkentettk.a) Hny szzalkkal vltozott a tglalap kerlete?b) Hny szzalkkal vltozott a tglalap terlete?

10%-kaicsM^10 cm 0.9 10 = 9cm

lOVIdn 1.1 -20 = 22 cm

A kerlet 10 cm + 10 cm + 20 cm + 20 cm = 60 cm-rl9 cm + 9 cm + 22 cm + 22 cm = 62 cm-re vltozott.

62Az j s a rgi kerlet arnya: – = 1,03.60

A kerlet 1,03-szorosra ntt 103,3-a lett – 3,3%-kal ntt.

b) A terlet 10 cm 20 cm = 200 cm^-rl9 cm 22 cm = 198 cm^-re cskkent.

Az j s a rgi terlet arnya; 198 99 = 0,99.200 100A terlet 0,99-szorosa lett -** 9%-a lett – 1%-kal cskkent.

4. pldaA nyri vsrkor a 30%-os lertkels utn egy papucs ra 2100 Ft.a) Mennyi volt az eredeti ra?b) Hny szzalkkal cskken az ra az eredetihez viszonytva, ha

jra 30%-kal lertkelik?

Megoldsa) Az eredeti r a 100%, ennek 70%-a2100 Ft.

70% 2100 Ft 100% ?2100

A papucs eredeti ra 3000 Ft volt. b) Az j r is 30%-kal cskken:

2100 0,7 = 3000 0,7 0.7 = 3000 0,49. gy az eredeti r 0,49-szorosa lesz 51%-os cskkens. Teht az eredeti rhoz viszonytva 51%-kal cskken az ra.

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

1. Mennyit kapunk, ha a 100-at2

a) – -dl cskkentjk;o2

c) rszre cskkentjk?5

2. Hnyszorosra vltozik az 1000, haa) 20%-kal n;c) 200%-kal n;e) 200%-ra vltozik:

3. Mennyit kapunk, ha az 500a) 50%-kal n;c) 50%-ra vltozik;

4. Hny %-kal vltozik a 400, haa) ktszeresre nveljk;c) msflszeresre nveljk;e) tdrszre cskkentjk;

5. Hnyszorosra vltozik a cip ra. haa) 25%’kal n;

b) rszvel cskkentjk:o

b) 20%-kaI cskken:d) 200-zal n;

200-ad rszre vltozik?

b) 50-nel n;d) 50-ed rszre vltozik?

b) felre cskkentjk:d) tszrsre nveljk;f) 500-ra nveljk?

6. Hny szzalkkal vltozott egy sznhzban a brlettel rendelkezk szma, haa) 1,4-szeresre nvekedett: b) negyedvel ntt?

7. Az llatvodban egy hnap alatt a medvebocs 40 kg-rl 50 kg>ra, mg az elefntbbi 120 kg-rl 140 kg-ra hzott. Melyik ntt nagyobb mrtkben?

8. A futballmrkzsek nzinek tlagosan 20%-a n. tlagosan hny frfi szurkol van jelen egy olyan mrkzsen, melyet 45 000-en tekintenek meg? Ksztsnk kr- diagramot a labdarg-mrkzseket ltogat frfiak s nk arnyrl!

9. A Bajnokok Ligja dnt mrkzsre 75000 jegyet adnak el, mgpedig a kvetkez szablyok alapjn; A dntben szerepl mindkt csapat szurkoli megkapjk a jegyek 30-30%-t. A szervezk fenntartanak maguknak 1%-ot. A bajnoksgban rszt vev csapatok kztt sztosztanak 15%-ot. A Nemzetkzi Labdarg Szvetsg rendelkezik a jegyek 20%-val. A maradk jegyet ismert szemlyisgeknek tartjk fenn.

Hny jegyet kapnak az egyes csoportok kln-kln?

10. A dikok 15%-a hoz magval szendvicset az iskolba. Hnyan vannak k, ha az iskola ltszma 1200f?

11. Hny szzalkkal vltozik egy 1000 Ft-os ru ra. haa) elszr 8%-kal nvelik, majd 8%-kal cskkentik az rt?b) elszr 7%-kal cskkentik, majd 7%-kal nvelik az rt?

12. Egy erd finak 20%-a feny, a tbbi tlgy. Hny szzalka a fenyfk szma a tlgyfk szmnak?

13. Hnyszorosra vltozik annak a 100 kg-os blnabbinek a tmege, amelyik 400%-kal lesz nagyobb?

14. Egy 10 cm-es oldal ngyzet oldalait 10%-kal megnveltk.a) Hny szzalkkal nvekedett a ngyzet kerlete?b) Hny szzalkkal nvekedett a ngyzet terlete?

15. Egy tglalap oldalainak hossza 10 cm s 20 cm. Kzlk a nagyobbikat 15%-kal nveltk, a kisebbet pedig 15%-kal cskkentettk.a) Hny szzalkkal vltozott a tglalap kerlete?b) Hny szzalkkal vltozott a tglalap terlete?

16. Barnabs nagyon szeret sakkozni, ezrt gyakran vesz rszt versenyeken, s az elrt helyezseirl statisztikt vezet. Az albbi diagram az elmlt vi versenyeken elrt helyezseinek szmt mutatja.

az elrt helyezsek szma

1. helyezs 2. helyezs 3. helyezs 4. helyezs 5. helyezs

a) Hny versenyen indult sszesen, ha minden versenyn az els tben vgzett?b) A versenyek hny szzalkt nyerte meg?c) A versenyek hny szzalkban vgzett a dobogn?d) Ksztsnk krdiagramot a helyezsekrl!

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

17. A kvetkez bra egy osztly ltal elrt vizsgaeredmnyeket szemllteti.

a) Ksztsnk tblzatot az elrt eredmnyekrl!b) Adjuk meg az elrt eredmnyek szzalkos arnyt!c) brzoljuk az eredmnyt oszlopdiagramon s krdiagramon!

18. A kvetkez tblzat a 7. osztly matematikadolgozatainak eredmnyt mutatja.a) Adjuk meg az egyes csoportokban tallhat dikok szzalkos arnyt! Eredm

nynket szemlltessk diagramon!b) Szmtsuk ki, hogy mennyi lett az osztlyzatok tlaga!

rdemjegyek jeles (5)

j (4) kzepes (3) elgsges (2) elgtelen (1) nem rt

19. Egy tglalap kerlete 42 cm. az egyik oldala 75%-a a msiknak. Mekkork az oldalai? Mekkora a terlete?

20. Egy Formula-1-es versenyaut a verseny els 40 km-n elfogyasztotta az zemanyaga 20%-t. A kvetkez 10 km-en 7 litert fogyasztott. Felttelezve, hogy a motor fogyasztsa egyenletes volt,a) mennyi volt az aut fogyasztsa 100 km-en;b) hny liter zemanyaggal vgott neki a futamnak a versenyaut?

*21. Egy knyv eladsi rt 10%-kal leszlltottk. Ezen a knyvn gy a bolt haszna csak 8% lett. (A haszon szmtsnak alapja a knyv beszerzsi ra.) Hny szzalk volt a knyvesbolt haszna az rleszllts eltt?

*22. A 2 s az egyms reciprokai. A 2-t 25%-kal megnveljk. Hny szzalkkal kell1az -et cskkenteni, hogy tovabbra is egyms reciprokai legyenek?

Mi hiba az albbi jsgcikkben?

Nhny ve az autsok ^ rsze lpte tl a sebessgkorltozst. Az ellenrzseknek ksznheten 1ezeknek a gyorshajtknak ma mr csak – rsze kvet el sebessgtllpest, azonban ez mg mindig

5. Kamatszmts. Gazdlkodj okosan!

1. pldaPeti kinzett egy kerkprt, melynek ra 20 000 Ft. A keresked fe lajnlotta neki, hogy 10 000 Ft befizetsvel is hazaviheti s hasznlhatja. A hinyz sszeget elg egy v mlva megfizetnie, viszont arra a keresked 15% hitelkamatot szmt fel. Mennyibe kerl gy tnylegesen a kerkpr?

MegoldsA hinyz sszeg 20 000 – 10 000 = 10 000 Ft.Ezt kapja meg hitelknt Peti, melynek 15%-kal megnvelt rtkt kell majd visszafizetnie.

10 000- 1,15 = 11 500 Ft. gy a kerkpr ra tnylegesen 10 000 + 11 500 = 21 500 Ft lesz.

A kamatos kamatHa tbb vre bankba tesszk a pnznket, akkor a 8%-os ves kamat azt jelenti, hogy a bank minden v lejrtakor megnveli a bent lv sszeget annak 8%*val. Dnthetnk gy, hogy a kvetkez vben a megnvelt sszeg kamatozzon tovbb. Az gy szmtott kamat a kamatos kamat.

2. plda ^Nra elhatrozza, hogy a megtakartott 5000 forintjt hrom ven keresztl bent tartja a bankban, mely a pnzrt 8%-os ves kamatot fizet.a) Mennyi pnze lesz hrom v mlva? Hny szzalkos nveke

dst jelent ez az eredeti sszeghez kpest?*b) Hny v alatt rn el a pnze a 7500 Ft-ot?

Megoldsa) Nra pnze 1 v mlva 5000 1,08 = 5400 Ft.

2 v mlva 5400 1,08 = 5832 Ft.3 v mlva 5832 1,08 = 6298,56 Ft.

15%-os kamat 15%-os nvekeds

8%OS kamat 8%-os nvekeds

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

Az sszeg teht 3 v alatt a kvetkez rtkre n:<<50CX) 1,08) 1.08) 1,08 = 6298,56 - 6299.

= 1,2598, ezrt ez 25,98%-os nvekedsnek felel meg.

*b) Lthattuk, hogy 3 v nem elegend.4vm iva : (((5000 1,08) 1,08) 1,08) 1,08 *=6802.5 v mlva: ((<(5000 1,08) 1,08) 1,08) - 1,08) 1,08 =

= 5000- 1,08- 1,08- 1,08- 1.08- 1,08 =

a zrjelek elhagyhatk= 5000- 1,08- . 1,08 7347.

5 tnyez(Ha nem szeretnnk lerni az sszes azonos tnyezt, akkor ezek ltezsre a jellssel utalhatunk.)

6 v mlva: 5000 1,08 1,08 . 1,08 7934 > 7500.6 tnyez

8%-os kamat esetn Nrnak legalbb 6 vet kell vrnia, hogy a pnze elrje a 7500 Ft-ot.

3. plda ^Van 15 000 forintunk, melyet a lehet legkedvezbb felttelekkel szeretnnk kamatoztatni hrom ven keresztl. Vlasszuk ki a legjobb ajnlatot az albbi lehetsgek kzlia) A Spri Bank 10%-os ves kamatot ajnl fel.b) A Pazar Bank minden vben 1600 Ft-ot hozzad a befizetett sz-

szeghez.c) A Gavallr Bank pedig a hrom v elteltvel 30%-kal nveli meg

a befizetett sszeget.Hova clszer elhelyeznnk a pnzt?

MegoldsAzt az ajnlatot clszer vlasztanunk, amellyel a legtbbet nyernk.a) A Spri Bank ajnlata alapjn

15000 – 1,1 1,1 1,1 = 1 9 965Ft-unk lesz.b) A Pazar Bank hrom v mlva

15 000-t- 1600 + 1600 + 1600 == 19 800 Ft-ot fizetne ki.c) A Gavallr Bank ltal kifizetend sszeg

15 000 1,3 = 19 500 Ft lenne.Ezek alapjn a Spri Bank ajnlatt clszer elfogadnunk.

1. Egy bankban 10 000 Ft-ot helyeznk el vi 7%-os kamatra.a) Mennyi pnznk lesz egy v mlva?b) Mennyi pnznk lesz hrom v mlva?c) Hny szzalkkal n meg a pr^znk hrom v alatt?

2. letk els hnapjban a fkabbik tmege naponta 5%-kal n. Egy fkabbi a megszletsekor 10 kg volt.a) Mekkora lesz a tmege 1 nap mlva?

*b) Hny nap elteltvel ri el a tmege a 12 kg-ot?

3. Van 10000 forintunk. Mennyit r nnajd ez a pnznk 5 v mlva, ha minden vben 3%-ot veszt az rtkbl?

4. Mennyi pnzt kell elhelyeznnk a bankban ahhoz, hogy egy v mlva 5%-os kamat mellett 20 000 Ft-ot kapjunk rte?

5. Mennyi pnzt kell elhelyeznnk a bankban ahhoz, hogy vi 5%-os kamat mellett hrom v alatt 20 000 Ft-unk legyen?

6. Lilla 10000 Ft-jt 5%-os ves kamat mellett kti le a bankban ngy vre.a) Mennyi pnzt vehet majd fel ngy v mlva?

*b) Mennyi id mlva lenne a bett rtke 20 000 Ft?

7. Hitelknt 20000 Ft-ot vesznk fel 25%-os kamatra. Mennyit kell visszafizetnnk, ha egy v mlva egy sszegben trlesztnk?

8. Szeretnnk egy 50 000 Ft rtk szmtgpet venni. Sajnos csak 30 000 Ft-ot sikerlt sszegyjtennk. A boltban mgis megkaphatjuk a gpet, ha a megmarad rszletet egy v elteltvel 10%-os hitelkamattal fizetjk vissza. Mennyibe fog kerlni tnylegesen a gp?

9. Takarkos Jzsi sszegyjttt 50 000 Ft-ot. rdemes-e a pnzt 2 hnapra betennie a bankba, ha a bank 1 hnapra 0,5% kamatot fizet, s a pnzfelvtel dja 0,15%, de legalbb 500 Ft?

*10. kos elhatrozta, hogy ngy ven keresztl takarkoskodni fog, s minden v elejn 20 000 Ft-ot helyez el a bankban 5%-os ves kamat mellett.a) Mennyi pnze lesz gy a negyedik v vgn?b) Mennyi pnze lesz, ha ezutn mg ngy vig bent hagyja a pnzt a bankban?

Egy felmrs sorn az autsok utazsi szoksait vizsgltk. Megllaptottk, hogy a szemlyautk 40%-ban kett vagy tbb ember utazott. Ha a szemlyautban csak a vezet lt, akkor a vezet az esetek 25%-ban n volt. Az sszes szemlyaut hny szzalkban utazott pontosan egy frfi?

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

a msodikon hrom

msodik hatvnya hrom

a ngyzeten hrom

a ngyzetre emelve

Az els tz pozitv egsz

szm ngyzete:1^ = 1 2^ = 4 3^ = 9 4^ = 16 5^ = 25 6^ = 36 7^ = 49 8^ = 64 9^ = 81

Tudjuk, hogy ha sokszor ssze kell adnunk egy szmot, akkor az ismtelt sszeadst egyszerbben szorzssal is kifejezhetjk:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 6 – 2 .Mirt ne tehetnnk valami hasonlt, ha a szorzsnl a tnyezk azonosak? Erre a hatvnyozs mvelett vezetjk be.

1. plda ^Egy terem oldalainak hossza 5 m.a) Mekkora az alapterlete?b) Mekkora a trfogata, ha a magassga szintn 5 m?

M egoldsa) Az alapterlete: 5 5 = 25 (m^).b) A terem trfogata: 5 5 5 = 125 (m^).

Az 5 5, kt azonos tnyezbl ll szorzatot rviden gy jelljk:

5 – 5 = 5 ^ ,s 5 msodik hatvnynak, msknt t a msodkonnak is nevezzk. gy is mondhatjuk, hogy tt a msodik hatvnyra emeljk.

Az 5 a hatvnyalap: az ismtld tnyez;a 2 pedig a hatvnykitev: a szorzatban az azonos tnyezk szma.

hatvnyaap 5 ^hatvny

A msodik hatvny kln elnevezst is kap. 5 -t szoks t a ngyzetennek is mondani. 5^ = 25, ahol 25 a hatvny rtke.

Azokat a szmokat, amelyek egy egsz szm msodik hatvnyaknt llnak el, ngyzetszmoknak nevezzk.

A hrom 5-s tnyezt tartalmaz szorzatot 5 -nal jellhetjk:

5 5gy olvashatjuk ki;

5 = 5.* t harm adik hatvnya,* t a harm adikon, t a kbn, t a harm adikra emelve.

Azokat a szmokat, amelyek egy egsz szm harmadik hatvnyaknt llnak el. kbszmoknak szoks nevezni.

2. pldakos elhatrozza, hogy egy nagymret, 0,1 mm vastag paprlapot felezve sszehajtogat. Milyen vastag lenne az sszehajtott lap akkor, ha a hajtogatst kpes lenne 20-szor egyms utn megismtelni?

MegoldsElszr hatrozzuk meg. hny lap vastagsg lenne a papr a 20. hajtogats utn! Az egymsra kerl lapok szma minden egyes flbehajts sorn megktszerezdik.

Az els hajts utn 2 rteg kerl egymsra.

A msodik utn 2 2 = 2^ = 4 rteg kerl egymsra.

A harmadik utn 2 2 2 = 2^ = 8 rteg kerl egymsra.

A hajtogatst folytatva a 20. utn sszesen

2 2 2 2 rteg kerl egymsra.20 tnyez

Ezt a 20 tnyezs szorzatot jellhetjk rvidebben is: 220

Ha ezt a szorzatot kiszmtjuk, akkor 1 048 576-ot kapunk eredmnyl. ami azt jelenti, hogy a ..lap vastagsga

1 048 576 0,1 mm = 104 857.6 mm = 104.8576 m lenne!

Definci : Jelljn a egy tetszleges szmot, n pedig legyen pozitv egsz szm! Ekkor a n-edik hatvnynak nevezzk azt az n tnyezs szorzatot, melynek minden tnyezje a. Jele a’^ (a az n-ediken).

Az a-t a hatvny alapjnak, az n-et kitevnek nevezzk. Minden szm els hatvnya nmaga, azaz = a.

Az els tz pozitv egsz szm kbe;

1^ = 1;2 ^= 8:3^ = 27;4^ = 64;5^ = 125 6^ = 216 7^ = 343 8^ = 512 9^ = 729

Ha megprblunk egy lapot sszehajtogatni, akkor ltni fogjuk, hogy mr 5-6 hajtogats utn is nehz folytatni.

A definci latin eredet sz. Jelentse: pontos meghatrozs, amely valamely fogalom vagy trgy lnyegestulajdonsgait rja le. A matematika felptsben nagyon fontos szerepet kapnak a defincik a fogalmak pontos meghatrozsban.

o = o 0^ = 0 0^ = 00-nak minden pozitiv egsz kitevj hatvnya 0.

r = 1 1^=1 1^= 11-nek

minden hatvnya 1.

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

3. pldarjuk fel hatvny alakban a kvetkez szorzatokat! rjuk le szavakkal Is a kapott erednnnyt!

o j 3 – 3 3 3; ; 2 2 2 – 2 2;c j 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 : d) ( -2 ) ( -2 ) ( -2 ) .

MegoldsA hatvnyalap az azonos szorztnyez, a kitev a tnyezk szma.

a) 3 3 3 3 = S’*. hrom a negyediken.b) 2 2 2 2 2 = 2, kett az tdiken, e j 5 5 5 5 5 5 = 5. t a hatodikon.d) ( -2 ) ( -2 ) ( – 2 ) = (-2 )^ , mnusz kett a harmadikon.

4. pldarjuk fel szorzat alakban a kvetkez hatvnyokat, s szmtsuk ki az rtkket!

b) (-3) ; c) 0,1- ;3. d)’ 2′ ‘

q) a* = 2 2 2 2 2 2 = 64;

b) (-3)= = ( -3 ) ( -3 ) ( -3 ) ( -3 ) ( -3 ) = -2 4 3 ;

C) 0.1^ = 0,1 0.1 -0.1 = 0,001;

d) 2 2 2 2 2 _ 323 3 3 3 3 243

5. plda ^rjuk fel a 3; a – 1 s a – 3 els t pozitv egsz kitevs hatvnyt!

3 = 3 3^ = 9 3 ^= 27 3 = 81 3 = 243

Lthatjuk, hogy a negatv szmok pros kitevj hatvnya mindig pozitv, pratlan kitevj hatvnya pedig mindig negatvFigyeljnk az eljelekre s a zrjelek hasznlatra!

-2 ‘* = – ( 2 – 2 * 2 – 2 ) = -1 6 .38

1. rjuk fel s szmtsuk ki a kvetkez kifejezseket!a) hrom a ngyzeten:b) t a kbn;c) ht a harmadikon;d) tz a negyediken;e) kett a hatodikon;f) hat a kbn;

g) nyolc negyedik hatvnya;h) ezer az elsn.

2. rjuk fel hatvny alakban a kvetkez szorzatokat! rjuk le szavakkal is a kapott hatvnyt!

a; 2 2 2 2 2 2; 3 3 3 3 3;c) 0.1 0.1 0,1; d) ( -4 ) ( – 4 ) ( -4 ) – ( -4 ) ;e; 5 5 5 5 5 5; f) 7 7 7 7.

A kvetkez feladatok megoldsaiban segtsgnkre lehet a szmolgp.

3. Szorozzuk meg a 2-t nmagval addig, amg eredmnynk el nem ri az 500-at! rjuk fel a kapott szorzatot hatvny alakban is!

4. Hatrozzuk meg a kvetkez hatvnyok rtkt!

a) 4^; b) 5”; c) 6; d) 8^; e) 10 ; f) T

5. lltsuk nvekv sorrendbe a kvetkez hatvnyokat, szorzatokat!

c) 2 Z^\ 2 (33); (2-3); 2^-3;

6. Melyik a nagyobb szm?

Q) 101^ vagy 100; b) 100^ vagy 101^\ c) 1 0 l vagy 101^ ?

( 2 ‘^ 2^7. Melyik a nagyobb szm? A – vagy 6 = ? \ /

8. lltsuk nvekv sorrendbe a kvetkez hatvnyokat: 3^ *; (-2); -5″*; (-4 )^ !

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

9. Jtsszunk! Mindenki rja fel 4 krtyra pirossal, 4 krtyra pedig kkkel az 1; 2; 3; 4 szmokat! Mindegyik szn krtybl vletlenszeren hzzunk egyet-egyet! A piros szm egy hatvny alapjt, a kk pedig a kitevjt jelentse! Az nyer, aki a legnagyobb szmot kapja.

a) Mekkora a legkisebb s a legnagyobb gy kaphat hatvny?b) Hnyfle hatvnyt kaphatunk?c j lltsuk a lehetsges hatvnyokat nvekv sorrendbe!

10. Egy fehr s egy piros dobkockval dobunk. A fehr kockval dobott szm legyen egy hatvny alapja, a piros pedig a hatvny kitevje.a) Melyik az gy felrhat legkisebb s legnagyobb hatvny?b) Melyik szm nagyobb, az 5 vagy a 6^?c) Hnyfle hatvnyt kaphatunk eredmnyl? cf) Hnyfle eredmnyt kaphatunk?

11. Egy 2003-ban megjelent adat szerint a Fldn tallhat ritka s veszlyeztetett llatfajok szmt 5000 krlire becsltk. A szmtsok szerint az letterk cskkense miatt ezeknek a fajoknak vente 12%-a kipusztul. Mennyi marad meg bellk 2010-re?

12. Egy baktriumtenyszet percenknt osztdssal szaporodik. 10 perc elteltvel hny baktrium alakul ki egyetlen egyedbl? Hny baktrium lesz egy ra mlva? Lehetsges ez?

13.10 000 Ft-ot betettnk egy bankba. t v elteltvel a kapott pnz nagysgt a10 000 1.07 mvelettel szmolhatjuk ki.a) Hny % az ves kamat?b) Mennyi pnzt kaphatunk vissza t v mlva?c j Ha az ves kamat 8% lenne, akkor mennyit rne a pnznk hat v mlva?

14. rjuk fel az a) 2; b) 3; c) 4; d) 6 szmok els nhny hatvnyt!Figyeljk meg az utols szmjegyet, s keressnk szablyossgot!Milyen szmjegyre vgzdik a 3 , a 10., a 20. s a 2007. hatvny?

Melyik a nagyobb? Kett a ngyzeten a kbn vagy kett a kbn a ngyzeten?

7. Mveletek azonos alap hatvnyokkal

A kvetkezkben olyan hatvnyok kztti mveleteket vizsglunk, melyekben a hatvnyok alapjai megegyeznek. Ezeket azonos alap hatvnyoknak nevezzk. Azonos alap hatvnyok pldul a 2^, a 2^ * s a 2. mert alapknt mindegyikben a 2 szerepel.

Megvizsglunk nhny mveletet, nf^elyekben hatvnyok szerepelnek. Olyan szablyokat keresnk, melyek egyszerstik a szmtsainkat.

Azonos alap hatvnyok szorzsa

1. plda ^rjuk fel hatvny alakban a kvetkez szorzatokat!

a) 3^ a”; ; 0,1^ 0,1^ 0,1; c) ( ~ 2 f < - 2 f .

MegoldsA megolds sorn elszr a hatvnyozs defincijt alkalmazzuk (a hatvnyokat szorzat alakban rjuk fel).

2db 4db 2 + 4 s 6 d b

b) 0.1^-0,1^-0,1 = (0.1-OJ – 0,1) ( O J ^ I ) – 0.1 =

= 0.1 0.1 0,1 0.1 0.1 0,1 = 0.1.3 db 3 db

c) ( -2 ) ” = ( – 2 ) ( – 2 ) ( – 2 ) ( – 2 ) ( – 2 ) ( – 2 ) =6 db

= ( – 2 ) ( – 2 ) ( – 2 ) ( – 2 ) . ( – 2 ) ( – 2 ) = (-2)

0.1^ -0.1^ -0.13 + 2 + 1==0.1

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

szrevehetjk a kvetkezt:

Azonos alap hatvnyokat gy is sszeszorozhatunk, hogy az azonos alapot a kitevk sszegre emeljk.

Azonos alap hatvnyok osztsa

2. pldaVgezzk el a kvetkez mveleteket!

a) 3 : 3 ^ b) 0,1 : 0 ,1^ c) ( ~ 2 f : ( -2 )* .

Megoldsrjuk a hatvnyokat szorzat alakba, az osztst pedig trt alakba, s vgezzk el az egyszerstseket!

a) 3 ^ 3^ = ^ = ^ = 3 3 3 = 3 3 .3 f i – f i

. . a ; ! . 4 ^ – 0. ‘ 0.1^ p r f p r f

CJ (-2 )= : ( – 2 f = = M M M ( – 2 ) ( – 2 ) ^( – 2 r

A feladat megoldsa sorn azt kaptuk, hogy;

Azonos alap hatvnyokat gy is oszthatunk, hogy az azonos alapot a kitevk klnbsgre emeljk. (A klnbsget gy kapjuk, hogy a szmll kitevjbl vonjuk ki a nevez kitevjt.)

3. plda ^Vgezzk el a kvetkez mveleteket!

o; (23 f ; b) ( 3 ^ f .

MegoldsElszr rjuk t a hatvnyokat a definci (def.) szerint szorzat alakba, majd alkalmazzuk az azonos alap hatvnyok szorzsra (sz.) vonatkoz szablyt!

Ezek alapjn megfogalmazhatjuk:

Hatvnyt gy is hatvnyozhatunk, hogy az alapot a kitevk szorzatra emeljk.

4. pldaVgezzk el a kvetkez mveleteket!

^ ^ f ; c ) 2 ^ + 2 ^ + 2 ^ + 2^. \0(53)Megolds

Alkalmazzuk a korbban megllaptott mveleti szablyokat!

3 ^ 3 ^ : 3** = = ^ = 3 ^ ** = 3^ = 3 .3^* 3 ‘

(S ^ ) 5 ^ _ 5 ^ ‘^ 5^ _ 5 ^ – 5^ _ 5^*^^ _ ^ _ 1

(5 3 fk3 533 59 59 59

2^ + 2^ + 2^ + 2^ = 4 2^ 2^ ‘ 2^ – 2^’*^ = 2^ = 32.

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

1. Vgezzk el a kvetkez szorzsokat!

a) 2’*-2 ;^ b ) 2 ^ -2 ^ : e ; 2 – 2^:

2. Vgezzk el a kvetkez szorzsokat!

3. Vgezzk el a kvetkez mveleteket!

4. lltsuk nvekv sorrendbe a kvetkez szmokat!

c) (-2)2-2^; ( – 2 ) ‘* ( – 2 ) ^ .

5. Melyik a nagyobb a megadott kt szm kzl?

b) 5^ -5″* vagy az 5^:5^; ej 7^-7 ^ vagya (-7)^-7^; ) 6^:6 vagya 6^-6?

6. Vgezzk el a kvetkez mveleteket!

a) (23)^ b) (63)^ c) (S ^ f – d) (0,l5f; e) (3=)’; I) (20=f.

7. Vgezzk el a kvetkez mveleteket!

a ) 2 – 2 ^ :2 ^2^ 10.

8^. Helyezzk el a 2 ^ 2 ^ 2^; 2 ^ 2^; 2; 2^; 2 s 2 szmokat egy 3 x 3-as tblzatba gy. hogy minden sorban, m inden oszlopban s az tlk mentn ugyanaz legyen a szmok szorzata!

Egy biceg, szz lb szzlb gy panaszkodik;Fj lbaim szmnak ktszerese ngyzetszm s kbszm Is. Hny lba nem fj a szzlbnak?

8. Mveletek azonos kitevj hatvnyokkal

s – s u 99U29 29Azonos kitevj hatvnyok szorzsa

1. pldaSzmtsuk ki az o )2^ 5^ s b) M o f

3V / IsJhatvnyok szorzatt!

a) Elszr a hatvnyokat kiszmtva;

2^ 5^ = 8 125 = 1000.Szmolhatunk gy is:

2^-5^= (2*2-2) 5*5) = 2 – 5 – 2 – 5 – 2 – 5 = = ( 2 – 5 ) < 2 - 5 ) ( 2 - 5 ) = (2-5)^= 10^= 1000.

Vagy szmolhatunk gy:

(10 f r e ‘ MO lO ‘] 6 6^3 ;\ 5\ [3 3 J 5 S j

10 6 63 ‘ 5 3 5 2 2

Azonos kitevj hatvnyokat gy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatt a kzs kitevre emeljk.

Gyakran szksg lehet a szably fordtott irny alkalmazsra is:

Szorzatot gy is hatvnyozhatunk, hogy a tnyezk hatvnyait sszeszorozzuk.

Azonos kitevj hatvnyok osztsa

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

2. Plda Szmtsuk ki!

6 “o) >4 b ) C) 27: 9.

M egoldsIsmt a hatvnyozs fogalmt hasznljuk fel.

Szmolhatunk gy is:

3^ 3 – 3 * 3 – 36 6 6 6 3 ‘ 3 3 ‘ 3

( – 10) _ -1000 _ – 8 _ ~T^————125———— ——————-Ugyanezt kapjuk, ha gy szmolunk:

Ezek utn sszefoglalhatjuk a hatvnyozsra vonatkoz legfontosabb szablyokat (egy-egy pldn bemutatva):

I. Azonos alap hatvnyok szorzata: 2^- 2^ = 2^’*’^.q5

II. Azonos alap hatvnyok hnyadosa: = 6^ ^ .6

III. Hatvny hatvnya: (2^) = 2 ‘ ^ .

IV. Azonyos kitevj hatvnyok szorzata: 2’* – 3^ * = (2 3)^.

o4 / 2V. Azonos kitevj hatvnyok hnyadosa:

3. PldaVgezzk el a kvetkez mveleteket!

MegoldsAz talaktsok sorn a fenti mveleti szablyokat alkalmazzuk.

‘ 2 ‘ ^ T IV.. 5^ = – ‘ s l3 M O’l

72.75 I. 72+5 11. 7 . ^b) ^ 1 = ^ – r – = 7^-^ = 7^ = 343.

c) (2^ . 2^)^ = (2^+3)^ = ( 2 ^ f = 2^-3 = 2^5 = 32 768.

d)(2^- 5 ” f jv . ((2 S f f _ ( I 0 ^ f m. 10** 2 _ 10^ H.

A hatvnyozs sorn is vigyzzunk a zrjelek hasznlatra!

(3^ )^ = 3^ ^ = 3 = 729, msrszt 3*^^ = 3 = 6561.

Az utbbi hatvnyt gy is jellhetjk:

TERMSZETES SZMOK, RACIONLIS SZMOK

4. PldaVlasszuk ki a kvetkez szmok kzl az egyenlket!

‘* – 02 oW o3^ ‘ / =4\3.10″

A) 22. (53) ; B) ( – 2 f (5”) ; c; ( – 2^ ) (-S-*) ; D)

MegoldsA mveletek elvgzse sorn arra treksznk, hogy a szmokat knnyen sszehasonlthat alakra hozzuk.

A) 2 2^ . (5 3 2 ^2. 53-4 ^ 2^2.512 (2 -5)^^ = 10^^.

kitevj hatvnya pozitv.

12 ,-4 4 />12 ,-16 r.12 e-12 + 4

C) (-2 3 ) ‘* -( -5 ‘* )^ = (2 3 ) ‘* – -(5 ‘* )^ ] = 2^ ‘ * – ( – 5^ – ^ ) =

IV. .12 1-4 12 .-4 J2

( 2^-5^ ) IV I ( 2 5) J Ili 1 0 ^ ‘0 i o IID)

10^ 10^ 10″ 10^ = 10^

Teht az ^ s D szmok lesznek egyenlk.

1. Szmtsuk ki a kvetkez hatvnyrtkeket!

a) (3 5)^ b) (2 5 f : c) (3 7 f -.

2. Hatvnyozzuk a kvetkez trteket!

3. Szmtsuk ki a kvetkez hatvnyrtkeket!v3 A

4. Szmtsuk ki a kvetkez hatvnyrtkeket!

5. Melyik szm nagyobb?

a) (23 a f vagy (2 s f ;

b) (2- 2’*) ^ vagy (2″ 2^)^;

d) (23 ( – 3 ) f vagy ( H ^ ) 3 )%

6. lltsuk nvekv sorrendbe a kvetkez szmokat!.10 / ^v3

7. Mit rjunk a hinyz szmok helyre, hogy igaz legyen az egyenlsg?10^

8. Mit rjunk az 0 helyre, hogy igaz legyen az egyenlsg?

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

1 1 T – 1 3 1 7 – m 1 9 ^

Ezek alapjn a szmokat felrhatjuk prmtnyezk szorzataknt, majd hatvny alakban is. gy

360 = 2 2 2 3 3 5 = 2 ^ 3 ^ 5.

6 0 0 = : 2 – 2 – 2 – 3 – 5 – 5 – 2″ – 3

A kt szm legnagyobb kzs osztja felrhat a kt szm sszes kzs prmtnyezjnek szorzataknt.

360 = 2 – 2 – 2 * 3 – 3 – 5 = 2 ‘ ^ – 3 – 5

600 = 2 – 2 – 2 – 3 – 5 – 5 = 2’^

Teht a legnagyobb kzs oszt:

(360; 600) = 2’^ 3 5 = 120.

Vizsgljuk meg, hogy mi a kapcsolat a kt szm s a legnagyobb kzs osztjuk prmtnyezs alakja kztti

600 = 2^ 3 5 .^(360; 600) = 2^ 3 5.

A kzs prmtnyezk:- a 2 mindkt szmban a harmadik hatvnyon van, ezrt a legnagyobb

kzs oszt prmtnyezs felbontsban is szerepel a 2^;- a 3 a 600 prmtnyezs felbontsban csak els hatvnyon van, ezrt

a kzs osztban is legfeljebb els hatvnyon szerepelhet;- az 5 a 360 prmtnyezs felbontsban csak els hatvnyon van, ezrt

a kzs osztban is legfeljebb els hatvnyon szerepelhet.

A legnagyobb kzs osztt gy is meghatrozhatjuk, hogy a szmokat prmtnyezkre bontjuk, majd a kzs prmtnyezket az elfordul legkisebb hatvnyon sszeszorozzuk.

Hatrozzuk meg a 8 s a 15 legnagyobb kzs osztjt!

Br a 8 = 2- 2- 2 = 2 ^ s a 15 = 3- 5 sem prmszm, de prmtnyezs felbontsukban nincs kzs prmtnyez. Ezrt a 8 s a 15 legnagyobb kzs osztja az 1, azaz

Ha kt szm legnagyobb kzs osztja 1, akkor a szmokat relatv prmeknek nevezzk.

A legnagyobb kzs oszt tbbszrse a tbbi kzs osztnak.

A legkisebb kzs tbbszrs

a pozitv tbbszrsk kzl

36 2 60 218 2 30 29 3 15 33 3 5 51 1

A legkisebb kzs tbbszrs

osztja a tbbi kzs

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

2. pldaHatrozzuk meg a 36 s a 60 legkisebb kzs tbbszrst!

Megoldsrjuk fel a kt szm prmtnyezs felbontst!

36 = 2^-3^ s 60 = 2^ – 3 – 5 .

Elszr soroljuk fel mindkt szm nhny pozitv tbbszrst prm- tnyezs alakban! rjuk a tbbszrsket nvekv sorrendbe!

36 = 2^ 3^ tbbszrsei: 60 = 2^ 3 5 tbbszrsei:

2^ -3^-2 = 2^-3^; 2 ^ – 3 – 5 – 2 = 2^ -3-5 ;2^-3^-3 = 2^-3^; 2 ^ – 3 – 5 – 3 = 2^-3^-5;2^-3^-4 = 2″*-3^: 2 ^ – 3 – 5 – 4 = 2 ‘ ‘ – 3-5;2^-3^-5 = 2^-3^-5: 2 ^ – 3 – 5 – 5 = 2^-3-5^:2^-3^-6 = 2^-3^: 2 ^ – 3 – 5 – 6 = 2^-3^-5;

Leolvashatjuk, hogy a legkisebb kzs tbbszrs a

[36: 60] = [2^ -3^ 2^ – 3 -5 ] = 2^ -3^ -5 = 180.

Vizsgljuk meg, hogy mi a kapcsolat a kt szm s a legkisebb kzs tbbszrs prmtnyezs felbontsa kztt!

a 36 minden tbbszrsben szerepel a 2 legalbb a 2-dik hatvnyon a 3 legalbb a 2-dik hatvnyon

a 60 minden tbbszrsben szerepel a 2 legalbb a 2-dk hatvnyon ^ a 3 s az 5 prmtnyez

Ezrt ezeknek a kzs tbbszrskben is szerepelnik kell.

Az sszes elfordul prmtnyez szorzata adja a legkisebb kzs tbbszrst.

(36; 60] = [2*- 3 ^ 2^- 3 5] = 2^- 3^- 5 = 180.

A legkisebb kzs tbbszrst gy is meghatrozhatjuk, hogy a szmokat prmtnyezkre bontjuk, majd az sszes prmtnyezt az elfordul legnagyobb hatvnyon sszeszorozzuk.

*3. pldarjunk a betk helyre szmokat gy, hogy

a) a 2* -3^-5 s a 2^ -3^-5^ -7^ szmok legnagyobb kzs osztja2^ – 3 – 5^ legyen!

b) a 3*^-7^-11^ s a 3 7 * – 13^ szmok legkisebb tbbsz* rsea 3-7^-11^-13*^ legyen!

Megoldsa) Mivel a legnagyobb kzs oszt csak a kzs prmtnyezket ta r

talmazhatja az elfordul legkisebb hatvnyon, ezrt ezeket a t nyezket sorban megvizsglva kapjuk a kvetkezket:X = 2, hiszen a 2-es prmtnyez legkisebb hatvnya 2, s ez

csak az els szmban fordulhat el. y = 1, mert a kzs osztban a 3 ezen a hatvnyon szerepel. 2 = 1 , mert az els szm 5-nek csak ezt a hatvnyt tartalmazza.

b) Itt arra kell figyelnnk, hogy a legkisebb kzs tbbszrsben az sszes prmszmnak az elfordul legnagyobb hatvnyon kell szerepelnie.a = 6, mert a msodik szmban csak az tdik, a legkisebb kzs

tbbszrsben viszont a hatodik hatvnyon szerepel a 3. = 3. hiszen a kzs tbbszrs a 7-nek ezt a hatvnyt tartal

mazza.c = 4, mert ez a 11 elfordul legnagyobb hatvnya. d – 2 , mert ez szerepel a msodik szmban.

1. Lehet-e kt prmszm sszege 2007?

2. Szorozzunk ssze a 10*nl kisebb prmek kzl kt klnbzt, s adjunk hozz az eredmnyhez 1-et!a) Hny klnbz szmot kapunk? b) Vlasszuk ki kzlk a prmeket!

3. Bontsuk prmtnyezkre a kvetkez szmokat!a) 252; b) 720; c) 300; d) 2475.

4. Hatrozzuk meg a kvetkez szmok legnagyobb kzs osztjt!a) (12; 26); b) (8; 40); c) (12; 66); d) (35; 60).

5. Hatrozzuk meg a kvetkez szmok legkisebb kzs tbbszrst!a) (6; 8]; b) [8; 20]; c) [12; 15]; d) [26; 4).

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

6. Hatrozzuk meg a kvetkez prmtnyezs alakban megadott szmok legnagyobb kzs osztjt s legkisebb kzs tbbszrst!

a) 2^ -3 s 2 3 5;e j 5^ – 7^ – 11 s 5 – 7^ – 11^;

7. Egyszerstsk a kvetkez trteket!

b) 7- 11^ s 2 – 3 – 7 ^ :d) 2 – 3 ^ 5 ^ 7 s 5 – 7^ – 11^.

8. Adjuk ssze a kvetkez trteket!

9. A kvetkez szmok kzl vlasszuk ki azokat a prokat, amelyek relatv prmek!4; 7; 14; 21; 30: 42; 50.

10. Egy autbusz-vgllomsrl reggel 5*kor indulnak a jratok. Az 1-es busz 15 percenknt, mg a 2-es busz 20 percenknt indul. Ha reggel 5-kor egyszerre indultak, akkor nnikor lesz a kvetkez idpont, am ikor jra egyszerre indul a kt jrat?

11. Egy kiktbl kt haj indult el janur elsejn.Az egyik 4 hnap mlva rkezik vissza, s utna mindig 4 havonta; a msik 6 hnap mlva s utna mindig 6 havonta. Mikor tallkozik a kt haj legkzelebb?

12. Hny olyan termszetes szm van, amelynek s a 8-nak a legkisebb kzs tbbszrse 24?

13. Kt termszetes szm legnagyobb kzs osztja 10, legkisebb kzs tbbszrse pedig 100. Az egyik szm az 50. Melyik a msik szm?

*14. rjunk a betk helyre szmokat gy, hogy

a) a 2^ 3^ 5*^ s a 2* 3 – 5^ szmok legnagyobb kzs osztja 2 3^ 5^ legyen!b) a 2^ 3^ s a 2^ 3^ 5 szmok legkisebb kzs tbbszrse 2** 3^ 5 legyen!

15. Melyik az a legkisebb ktjegy szm, melyre igaz lesz a kvetkez egyenlsg?(2^-3; X) = 2-3.

Melyik az egyenlsgnek megfelel legnagyobb ktjegy szm?

-I R e j t v n y |-

Hrom testvr kzl a legidsebb 14 vvel idsebb a legfiatalabbnl, a kzps testvr pedig 4 vvel fiatalabb a legidsebbnl. Mindhrmuk letkora prmszm. Hny vesek?

10. Nagyon nagy szmok

A normlalakA Huygens rszonda 1997-ben Indult, s tbb mint 7 ven keresztl replt az rn t, hogy vgl elrje cljt. Ezalatt tbb mint 1400 milli kilomtert tett meg (1 400 000 000 km = egymillird-ngyszzmilli kilomter).

Az rkutatsban gyakran hasznlnak olyan adatokat, szmokat, melyek lejegyzse hosszadalmas, mivel nagyon nagy szmokrl van sz. A hatvnyozs mveletnek felhasznlsval viszont lehetsg nylik az ilyen szmok egyszerbb felrsra.

Pldul az rszonda ltal megtett t:

1 400 000 000 km = 1,4 1 000 000 000 km = 1,4 10 km.A termszetes szmok lersakor a tzes szmrendszert hasznljuk, ezrt ebben az alakban clszer a 10 hatvnyait alkalmazni.

A tzes szmrendszer helyirtk-tblzata;

millird milli szzezer tzezer ezer szz tz egy

10 10 10^ 10^ 10^ 10^ 10′ 1

Pldul: 100 000 = 1 0 ^9 000 000 000 = 9 – 1 0 0 0 000 000 = 9 3 560 000 = 3.56 1 000 000 = 3.56 10

Ha egy szmot olyan szorzatknt runk fel, amelynek egyik tnyezje legalbb 1. de 10-nl kisebb szm, msik tnyezje pedig 10 egsz kitevs hatvnya, akkor ezt a szorzatot a szm normlalakjnak nevezzk.

A normlalak ismeretben az eredeti szmot is knnyen felrhatjuk:%8 _ ortrt riTvrv . hromszzmilli;

3 10 = 300 000 000×56,2 lO” = 620 000

3,27 10^ = 32 000 700 000

2005 janurjban a Huygens rszonda sikeresen landolt a Szaturnusz bolyg Titn nev holdjn. Eddig ez volt a legtvolabbi gitest, melyet emberi kz alkotta szerkezet megkzeltett, s ahol sikeresen a felsznre ereszkedett.

A norml alakban felirt szmok szorzsakor

s osztsakor a hatvnyozsnl

megismert mveleti szablyokat

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

A klnbz mrtkegysgek tbbszrseinek kpzse sorn gyakran tdllkozunk a tz hdtvnydivl.

eltag jelentse jele

10 m ega- m illi M

10 giga- m illird G

10′ tera- b illi T

gy pldul, amikor a boltban 1 kg kenyeret vsrolunk, akkor

az 1 kg = 1000 g = 10^ g-ot jelent.

Az 5 hektoliteres hord literekben megadott trfogata

5 hl = 5 10^1 = 5001.

A maratoni tv 42,195 km hossz tvja normlalakban feln/a 42 195 m = 4,2195 10’* m = 4,2195 10 km.

A Fld s Hold kztt mrt tlagos tvolsg384 404 km = 384 404 000 m = 3, 84404 10 m.

Mveletek normlalakban fe lrt szmokkal

1. pldaVgezzk el a kvetkez mveleteket!

a) 30 000 – 43 000 000 000: b)6 500 OOP OOP

30 000 – 43 000 000 000 = 3 lO** – 4,3 10 ‘ == 12,9- 10’*'”^= 1,29- 10- 10^**= 1,29- 10^;

6500 000 000 6,5 . 10 ^,4500 000 5-10

2. pldaVgezzk el a mveleteket, majd az eredmnyt rjuk t normlalakba! q j 23 000 + 320 000; J 671 000 000 – 1 230 000.

MegoldsA megolds sorn rdemes gy trnunk a szmokat, hogy azokban a 10 hatvnyai azonos kitevvel szerepeljenek.

a) 23000 + 320000 2.3 10** + 32 10 *^ = 34,3 10 ^== 3.43 10 IC ‘* = 3,43 10^;

b) 671 000000 – 1 230000 = 671 10 – 1,23 10 = = 669,77 10 = 6,6977 10^ 10 = 6,6977 10.

*3 . pldaVgezzk el az albbi mveleteket!

a) (2 – 1 0 ^ – 2 , 5 – I 0 f ; b)( 3 – 1 0 ^ 8 – 1 0 ^ 1

MegoldsFelhasznljuk a hatvnyozsnl tanult mveleti szablyokat.

= 3 1 2 5 10 = 3 .1 2 5 10^ 10 *^ = 3 .1 2 5 lO ‘^ ;

3 10^ 8 101 , 2 – 1 0 ^

= ( 2 0 – 1 0 5 ) = ( 2 – 1 0 – l O S f ^ ( 2 – 1 0 ) =

= 2** 10 ‘* = 16 10^’* = 1 .6 10 10^’* = 1 .6 10^.

4. pldaA Hold-Fld-tvolsg 384 404 km, a Napnak a Fldtl mrt kzepes tvolsga pedig 150 milli km. Hnyszorosa a Hold-Fld-tvolsg- nak a Nap-Fld-tvolsg?

MegoldsA szmts sorn hasznljunk normlalakot!A Hold-Fld-tvolsg:

384 404 km = 3,844 04 10 km 3.84 10 km.

150 000 000 km = 150- 10 km = 1.5- 10 km.

^ = 0,3906 10^ 391.3.84-10^

A Nap-Fld-tvolsg a Hold-Fld-lvolsgnak a 391-szerese.

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

5. pldaA Fld a Nap krli keringse sorn 1 v alatt 940 milli km utat tesz meg. Mekkora sebessggel halad ekzben?

MegoldsElszr ki kell szmolnunk, hogy az egy v hny msodperc.365 nappal szmolva:

365 nap = 365 24 ra = 365 24 SO perc == 365 24 60 60 s = 31 536 000 s = 3,15 10^ s.

A megtett t:940 milli km = 940 10 km = 9,4 10 km.

A sebessget a megtett t s s az eltelt Id hnyadosaknt kapjuk,

t _ 9,4-10 km _ 9,4 10 km = 2 9 8 – 1 0 30 id 3 . 15- lO^s 3.15 s

A Fld sebessge a Nap krli keringse kzben 30 km

1. rjuk fel a kvetkez szmok helyi rtkes alakjt!a ) 2 10^; b) 2,23 10^; c) 8,8765 10^;

2. rjuk t normlalakba a kvetkez szmokat!a) 245; b) 3400; c) 213,45;

3. rjuk t normlalakba a kvetkez szmokat!a) 20 10^ b) 22,12 10; c) 211,1 10; d) 10 10^

4. rjuk fel normlalakban a kvetkez mondatokban szerepl szmokat!a) Az egyik vben a New York-ban megrendezett maratoni futversenyen 27 797 ver

senyz llt rajthoz.b) A Fld els hrom legnpesebb vrostmrlse:

Vros Orszg Elvrosokkal Elvrosok nlkl

1 Toki Japn 35 197 000 8124 310

2 Mexikvros Mexik 19 411 000 8 538 6393 New York USA 18 718 000 8 158 957

c) 2006-ban egy szemly ttal fellltott domink szmnak rekordja 303 621, a csapatrekord ezzel szemben mr 4 079 381 volt.

cf) A vilg egyik legforgalmasabb hdja az indiai Kalkuttban tallhat. Ezen naponta tlagosan 57 000 jrm halad t.

5. Hatrozzuk meg a kvetkez mveletek eredmnyt, s rjuk fel normlalakbanI

a) (2 10^) (7 10^): b) (4 lo ‘*) (9 10^):

c) (2,5 10^) (6 10^); d) (4,4 10) (5 10**).

6. Hatrozzuk meg a kvetkez mveletek eredmnyt, s rjuk fel normlalakbanI

a) (9 10) : (3 10^): b) (8 10^) : (2 10^);

C) (2.7 10) : (9 10^); d) (9,6 10) : (8 lO ‘*).

7. o = 8 10^ s = 4 10^. Hatrozzuk meg a kvetkez kifejezsek rtkt, s az eredmnyt rjuk fel normlalakban!

a) a ‘ b\ b) a : b\ c) o + ;

8. Vgezzk el a kvetkez mveleteket!

a) 20000 5300; b) 120000 500:

5 400 OOP 30 000

9. Vgezzk el a kijellt mveleteket, s az eredmnyt rjuk fel normlalakban!a) 3000 + 20 000: 6 ; 67 000 – 1200:c) 45 000 – 2300: d) 821 000 + 23 000.

10. A hatvnyozs mveleti szablyait felhasznlva vgezzk el a kijellt mveleteket, s az eredmnyt rjuk fel normlalakban!

a) (200 1500)^: b) (40 2000)”: 0)32 000^

11. A fny 1 msodperc alatt 300 000 km-t tesz meg. Mennyit tesz mega) 1 perc; b) 1 ra; c) 1 nap; d) 1 v alatt?

*12. Egy meleg nyri napon a Balaton felsznrl tlagosan 1 mm vastag vzrteg prolog el. Megkzeltleg hny liter vz ez, ha a Balaton felszne krlbell 600 km^?

*13. A Fldhz legkzelebbi csillag a Nap. A kvetkez legkzelebbi a Proxima Centauri. melyrl a fny4,2 v alatt r ide.

a) Milyen messze van ez a csillag a Fldtl?

b) Mennyi ideig tartana az t a Proxima Centaurira,kmha a francia TGV szuperexpressz 515 nagy-h

sg rekordsebessgvel utaznnk?

-I R e j t v n y

Becsljk meg, hny ember kellene ahhoz, hogy sszekapaszkodva krlleljk a Fldet!

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

11. Vegyes feladatok

1. Mennyi a 7 + 3 6 : 4 – 2 mveletsor eredmnye?

2. lltsuk nvekv sorrendbe a kvetkez trteket!

crj 401501 b)40015001

0. I ‘_ J __________2008 2008

4. Mit rjunk a jelek helyre, hogy igaz legyen az egyenlsg?

5. Micimack a szletsnapjra kt nagy edny mzet kapott. Az egyikben 8,5 liter, a m-2

sikban 3,3 liter mez volt. Hny csupor lesz tele, ha a mezet literes csuprokba tltgetio

t? Mennyi mz kerl az utols csuporba? Hnyad rszig telik meg az utols csupor?

6. Melyik szm a nagyobb?

7. rjunk a jelek helyre szmokat gy, hogy igaz legyen az egyenltlensg!

1 0 ^ + 10^2*8. Melyik egesz szmhoz van legkzelebb a szamegyenesen a trt rtkt

jell pont? 1 0 2 i+ 10^^

9. Tlap a zskjt negyed nap alatt a negyedrszig rtette ki. Mennyi id alatt rl ki teljesen a zsk?

10. Az brn feltntettk, hogy az adott lelmiszerekbl 100 g mennyi energit tartalmaz. Mennyi energit vittnk be a szervezetnkbe, haa) 70 g mogyort s 120 g stemnyt;b) 60 g szalmit, 70 g kenyeret s 160 g paradicsomot;c) AOq gabonapelyhet s 180 g bannt fogyasztottunk?

11. Egy tglalap szomszdos oldalainak hossza gy arnylik egymshoz, mint 3 :5. Egy msik tglalap oldalainak arnya 2 :3 . Ennek a tglalapnak a rvidebb oldala ugyanolyan hossz, mint az els tglalap hosszabb oldala. Hnyad rsze az els tglalap rvidebb oldalnak hossza a msodik tglalap hosszabb oldalnak?

12. Egy szrpsvegen ez olvashat: Javasolt hgtsi arny 1 :9″. (Ez azt jelenti, hogy1 d l szrphz 9 dl vizet kell nteni.) Hny deciliter szrp van az vegben, ha a szrphz- a javasolt hgtsi arnynak megfelelen – vizet ntve 4 liter italt kapunk?

13. Tm Sawyer s bartai a kertst 8*an 5 nap alatt festik le, ha 8 rn t dolgoznak naponta. Hny rt kellene dolgozniuk naponta, ha 5-en 4 nap alatt szeretnnek vgezni?

14. 3 kendermagos tyk 3 nap alatt 30 dkg, 4 gyngytyk pedig 4 nap alatt 40 dkg kendermagot eszik meg. Mennyi kendermagot eszik meg 1 kendermagos tyk s 1 gyngy- tyk sszesen 1 nap alatt?

15. A Szegedi Szabadtri Jtkok 2007-es vadjnak nyit eladst 4000 nz ltta. A nzk 15%-a gyermek, a tbbi fe Intt volt. A felnttek 60%-a n. Hny felntt frfi volt a sznhzi eladson?

16. rleszllts eltt 20 db kulcstart 1200 Ft-ba kerlt. Hny darabbal tbb kulcstartt vehetnnk rleszllts utn ugyanennyi pnzrt, ha az rleszllts 20%-os?

17. Mikor jrunk jobban? Ha 10 000 Ft pnznket ngy ven keresztl 10%-os kamatos kamatra helyezzk el egy bankban, vagy ha gy adjuk klcsn ngy vre, hogy ngy ven keresztl minden v vgn 3000 Ft-ot kapunk vissza?

18. Egy dobozban krtyk vannak, melyeken a 6: 8; 9; 10: 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 21 szmok tallhatk. Melyik szmot hzhattuk ki kzlk, ha a kivlasztott szm

3 s 4 tbbszrse; ) pros ngyzetszm; cJ 39 prmosztja:d) 4-gyel oszthat, s tbbszrse 2-nek s 7-nek;

olyan prm, amely eggyel nagyobb egy ngyzetszmnl?

T ER M E S Z E T E S SZAMOK , RACIONLIS SZAMOK

19. A 25 ngyzetszm pozitv oszti az 1, az 5 s a 25. Igaz*e az az llts, hogy minden ngyzetszmnak hrom pozitv osztja van ?