Sokszínű matematika 7 megoldások

Az elmúlt évek legnépszerűbb és legszínvonalasabb matematika-tankönyvcsaládjának tagja. Az iskolai oktatásban, valamint otthoni gyakorlásra továbbra is kitűnően használható.

Sokszínű Matematika 7 Munkafüzet Megoldások Pdf

AP- 071307 Földrajz munkafüzet 7. Szentirmainé Brecsok Mária Eszterházy Károly Egyetem 640 Ft MS- 2307 Sokszínű MATEMATIKA tankönyv 7. Jakab Tamás – Kosztolányi József – Pintér Klára – Vincze István Mozaik Kiadó Kft. 1 490 Ft MS- 2457T MUZSIKÁLÓ NAGYVILÁG Ének- zene 7. Király Katalin Mozaik Kiadó Kft. A képzelet világa 5. Új Keménytáblás. Szerző: Imrehné Sebestyén Margit Kiadó: Apáczai Kiadó, Méret: A/ 4, Kötés: ragasztot. Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 12 megoldások pdf letöltés: pdf. Ezen fiók újraaktiválása nem történt meg, így az Ultraweb szabályzata szerint, amennyiben 30 napon belül nem történik meg a fiók üzemeltető részéről az újraaktiválás, a tárhely és a hozzátartozó adatok teljes tartalma törlésre kerül. 1/ 4/ · Mozaik Fizika 10 – MS2619 Mozaik Fizika 11 – MS2623 Mozaik Kémia 9 – MS2616 Mozaik Sokszínű Matematika – 11, 12, Általános Társadalomföldrajz/ – dr Benek Ágnes – dr Sárfalvi Béla Regionális Földrajz – Próbáld Ferenc – 15136/ 2 Középiskolai földrajzi atlasz Irodalom 9.

Sokszínű matematika 7 munkafüzet megoldások pdf 8

Szerző( k): Jakab Tamás – Kosztolányi József – Pintér Klára – Vincze István, Tantárgy/ Tanegység: Matematika, Évfolyam: 7, Kiadó: Mozaik – Cartographia Kiadó. FI/ 1 Fizika munkafüzet 7. Szerző( k): Dégen Csaba, Kartaly István, Sztanó Péterné, Urbán János. Könyv > Tankönyv, segédkönyv – kategória könyvei – 2. oldal – Földvári Erika, Lassúné Ruskó Renáta: MS- 2547 Szövegértés feladatgyűjtemény 3- 4. – Jakab Tamás, Kosztolányi József, Pintér Klára, Vincze István: MS- 2307 Sokszínű matematika tankönyv 7. – Csordás Mihály, Konfár László, Kothencz Jánosné, Kozmáné Jakab Ágnes, Pintér Klára, Vincze Istvánné. Matek Oázis Kft. 8808 Nagykanizsa, Szarvas u. Adószám: Cégjegyzékszám: Levelezési cím: 8808 Nagykanizsa, Felsőerdő u. Többféle olcsó, használt Matematika tankönyv és megoldások eladó. Mennyi a Matematika tankönyv és megoldások ára használtan? Vásároljon a webáruházban! Tankönyvek, óvodai- iskolai előkészítő kiadványok, Érettségi felkészítő lapok, Atlaszok várják nálunk gazdájukat és könyvek széles kínálata várja Önt!

– KN0010 – Mohácsy Károly Irodalmi. A kulcs / / A természettudomány tanítása • Szakmódszertani kézikönyv és tankönyv / / Ábécés olvasókönyv 1 / / Általános környezetvédelem • Globális gondok, lehetséges megoldások / / Az én falum / / Beszéd, olvasás 1. osztály – Munkafüzet / / Beszéd, olvasás, írás. osztály – Álló írás / / Beszéd, olvasás. 8/ 16/ · – Sokszínű matematika ( K) 9., Mozaik 900Ft mindegyik – Kémia 9. a gimnáziumok számára, Nemzeti 900Ft – Kémia 9 munkafüzet ált. munkafüzet érettségire felkészítő, Nemzeti 500Ft – Biológia munkafüzet II 11. évfolyam, Nemzeti 500Ft – Biológia 12. a gimnáziumok számára, Nemzeti 900Ft. Általános Iskolai feladatok ( Matek feladatok és Kötelező olvasmányok röviden) Főoldal; Hírek; Matek feldadatok; Kötelező olvasmányok; Kapcsolat; Vendégkönyv. Csordás Mihály – Konfár László – Pintér Klára – Vincze Istvánné – Kozmáné Jakab Ágnes – Kothencz Jánosné: Sokszínű matematika – Munkafüzet 5. Csordás Mihály – Kosztolányi József – Pintér Klára – Urbán János – Vincze Istvánné: Sokszínű matematika – Tankönyv 6.

Sokszínű matematika 7 munkafüzet megoldások pdf 2019

A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE”. Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Sokszínű matematika 7. hu, ez téma ( sokszínű matematika 12 megoldások, mozaik könyvkiadó, mozaik tankönyv), és a fő versenytársak ( ntk. hu, muszakikiado. A matematika munkafüzet megoldásai kiadványt az általános iskolák 6. osztályos tanulói számára ajánljuk. Urbán János, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Árki Tamás, Trembeczki Csaba: MS- 2325 Sokszínű matematika – Feladatgyűjtemény érettségire 12. Megoldásokkal ( Digitális hozzáféréssel) 5% kedvezménnyel csak 2270 Ft a – nál. ( Középiskola; kiadás éve:; 528 oldal) Olvasson bele a. Árvainé Libor Ildikó – Lángné Juhász Szilvia – Szabados Anikó: Tudásszintmérő – Sokszínű matematika 2. osztály A/ B ( Mozaik Kiadó, Szeged,. ) [ MS- 2782] 256, – Ft Murátiné Szél Edit: Sokszínű matematika – Tanítói kézikönyv 2. Czapáry Endre – Gyapjas Ferenc: Matematika feladatgyűjtemény a középiskolák 11- 12. évfolyama számára az emelt szintű kiegészítő tananyaghoz ( 2. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest,. )

Kereshetünk tonna funkcionalitású csengőhang beleértve a kiemelt, népszerű vagy a közelmúltban. Akkor is megy minden kategóriában részt, és válassza ki a kategóriát a legördülő menüből. 2. lépés megtalál tonnányi ingyenes csengőhangok rendezett kategóriájának megfelelően, hogy válassza. Válassza ki kedvenc csengőhang kattintva kategóriák szerint jelenik meg az alábbi ábrán. 3. lépés: Miután rákattintott a kedvenc csengőhang a megjelenő listából, akkor irányítani egy másik oldalra. Kattintson a gombra ‘Get Ringtone “gombot. 4. lépés: Majdnem ott. Kattintson a gombra “letöltés” a letöltés megkezdéséhez 5. lépés A rendszer kérni fogja, hogy adja meg felhasználónevét és jelszavát. Nem kérték regisztrálni, de belépni véletlenszerű információt, amire emlékszik a következő letöltés. Letöltés indul azonnal megadása után a kért információkat. Mentse el a kész fájlt a számítógépre. 6. lépés Zedge csak akkor engedi MP3 letöltés. Ha kívánja eljuttatni a csengőhang, amit letöltött iPhone, át kell alakítani az MP3 kiterjesztésű fájlt a letöltött csengőhang egy M4R fájl kiterjesztését.

Sokszínű matematika 7 munkafüzet megoldások pdf document

Korda györgy és balázs klári
Saját készítésű valentin napi ajándékok
Sokszínű matematika 7 munkafüzet megoldások pdf 4
Stranger things 4 évad mikor jön ki az utodok 3
Youtube agymanók teljes film magyarul 1 videa
Floch cukrászat vác köztársaság út

Ez lehetővé teszi, hogy végre mélyreható kulcsszó elemzés, hogy érdekes bepillantást, a kutatás versenytársak. Sokszínű matematika 7 munkafüzet – megoldások. Sokszínű Matematika 9 Kosztolányi József – Kovács István – Pintér Klára és 2 további. Hol találom meg a neten a mozaik tankönyvkiadó sokszínű matematika 7. Eladó használt TUDÁSSZINTMÉRŐ 1. oszt- 8- ig MOZAIK, OFI, Apáczai, – 400 Ft. Vásárolj azonnal, licitálj aukciókra, vagy hirdesd meg eladó termékeidet! Csordás Mihály – Konfár László – Pintér Klára – Vincze Istvánné – Kozmáné Jakab Ágnes: Sokszínű matematika – Tankönyv 5. ( Mozaik Kiadó, Szeged,. ) [ MS- 2305] 1016, – Ft. Csordás Mihály et al. : Sokszínű matematika – Munkafüzet 5. Könyv ára: 1415 Ft, Földrajz 7. – Kontinensek földrajza munkafüzet – Kovács Lászlóné – Mészáros Rezsőné – Vízvári Albertné,. Sokszínű Matematika munkafüzet 7. Kothencz Jánosné, Pintér Klára, Sokszínű Matematika munkafüzet 7. – Harmadik, változatlan kiadás – Mozaik Kiadó – Szeged,. MS- 2307 Sokszínű matematika 7.

Oktatóprogramok: Matematika/ 2. osztály: Számolási készség fejlesztő játékok: Ötletek a százas számtáblához: gyakorló feladatok: Fejtörők. tanmenet (, Hatosztályos gimnáziumok) Matematika 8. tanmenet () Matematika helyi tantervi és megvalósítási ajánlás. évfolyam számára – évfolyamonkénti kimeneti követelményekkel. munkafüzet MEGOLDÓKULCS. a) Az indiánok az angolokat támogatták, mert elsősorban a helyi. Csepela Jánosné TÖRTÉNELEM munkafüzet 8. Játékos feladatok Horváth Péter nyolcadikos tankönyvéhez MEGOLDÓKULCS NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ,. Mozaik sokszínű matematika megoldókulcs a tankönyvhöz és a munkafüzethez PDF formátumban. Matematika 7 osztály tankönyv megoldókulcs: pdf.

[ NT- 14311/ Fgy] 750, – Ft. kat- alsos reklam. Integrált tankönyvcsalád 1. osztály 34 Nyelvtan 36 Fogalmazás 39 Ének- zene 40 Környezetismeret 42. Kosztolányi József – Kovács István – Pintér Klára – Urbán János – Vincze István: Sokszínű matematika tankönyv 10. évfolyam ( Mozaik Kiadó, Szeged,. ) [ MS- 2310] 1068, – Ft -. Mozaik sokszínű irodalom munkafüzet 5 megoldások: pdf. At Mozaik, we were certain that the success of the first steps for mozaBook sofrware in May was only the beginning of a long and fruitful partnership in Vietnam with the Ministry of Education and Training in Vietnam. Imreh István ( szerk. ): A rendtartó székely falu. Írásos történelmi emlékek a feudalizmusból, a leghitelesebb források alapján. Falubíró, nótárius, határpásztor – a székely falu társadalmi- és jogrendje érdekes olvasmány a mai kor emberének. Használt tankönyvek vásárlása, hirdetése, iskolai könyvek. Sokszínű matematika 12 Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Urbán János, Vincze István. 8/ 20/ · Mozaik Tudásszintmérő feladatlapok ( fénymásolat) 1. : Matek A, MatekB, Sokszinü matematika – Számvázoló, Difer fejlesztő füzetek – Számolás, Difer fejlesztő füzetek tájékozódás, Difer fejlesztő füzetek- írás.

sokszínű matematika 7 megoldások

Halmazok elemszáma, logikai szita. 5. Számegyenesek, intervallumok . A mintapéldák és a kitűzött feladatok nehézségét három különböző színnel jelöltük:.

Tankönyvkiadó, Budapest. ∙ Matematika 1/I. Újgenerációs tankönyv (2016), EKE OFI https://player.nkp.hu/play/127897/false/undefined. · Matematika 1/II.

9 Pumukli tanácsára Éder mester, a gondos asztalos minden szék lá- bára csúszásgátló széklábpapucsot rendel. . -dal térhet el a címkére felírt tömegtől.

Amikor Mr. és Mrs. Smith repülőre szálltak, csomagjaik összsúlya 94 font volt. . vagyon, és mennyi jutott egy fiúra? . font bánatpénzt kell fizetnünk.

Arthur király és 30 lovagja letelepszik a kerekasztal köré. Hányféle sorrend alakulhat ki? (A forgatással egymásba vihet® ülésrendeket nem különböztetjük .

Szerkesztette: Fried Katalin. TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0007. Országos koordinációval a pedagógusképzés megújításáért .

Ha festett extra világos szőke hajszínű . Barna haj – a középkortól napjainkig . szeretnének a világos, esetenként hideg vagy hamvas árnyalatú.

pop), a dél-koreai filmek, illetve TV-sorozatok (a továbbiakban K-drámák) egyre . a szakirodalomra támaszkodva, illetve egy 2018-as, magyar rajongók .

lyiségét gazdagító mese. Az emberiség egyetemes értékeit felmutatni képes mese. Vajon eléggé tudatosan közelítünk-e a mesék öntörvényű világához?

teszünk a kialvatlanságunk ellen (sok kávé- . értelemben közel álló idegen donorból szár- . szeveszik (kutya-macska viszonyban vannak egymással).

jelölt között a legjobb idegen nyelvű film kategóriában. (OSCARS.ORG, 2018) Annak meg- . filmek száma 2015-ben 42, 2016-ben pedig 53 darab film volt.

Mégis, a bizalom szerepével az. 1980-as évektől újult erővel kezdtek el foglalkozni olyan társadalomfilozófusok, mint például Luhmann és Giddens, .

9 февр. 2016 г. . Rozsály öt darab MTZ traktora és az egyéb munkagépek, . Monarchia osztrák tartományaiban 1917-1918-ra a gazdasági kimerülés jelei.

A 6-14 éves korúak oktatásban több évtized után a „Nyelvi-irodalmi és . Most rávilágítunk a stílus és a stilisztika tanítással kapcsolatos kérdéseinek.

3 Sérülékeny vagy szenzitív csoport: Bármely társadalmi csoport, melynek tagjai . származás, karrier történet, iskolázottság) és az innovációs.

7. mászás. olyan testhelyzetet és izom- . Torgyik Judit, Karlovitz János Tibor: Multikulturális nevelés. . sorolta a társadalmi egyenlőséget és igazsá-.

27 февр. 2013 г. . Kiadó neve: BGF KVIK Közgazdasági Tanszéki Osztály . hatása Egyiptom gazdaságára (szakdolgozat) Budapesti Gazdasági Főiskola, Külkereske-.

15 янв. 2015 г. . csupán 0,6%-kal vette ki részét a világkereskedelemben, . SZENTESI AMBRUS G. (2009): Kína Afrika felé fordulásának folyamata, .

18 авг. 2020 г. . is készült róla Egy csodá- latos elme címmel, amely négy Oscar-díjat kapott, addig a magyar Nobel-dí- jasunkról se könyv, se utca,.

3 мар. 2017 г. . Czeizel Barbara miniszteri biztos. Emberi Erőforrások Minisztériuma. 10.50 – 11.15. A tehetséggondozás útjai. Előadó:.

A pEdAgógIAI gyAkorlAtbAN. SzErkESztEtték: Endrődy OrsOlya svraka BErnadEtt. F. lassú ZsuZsa. S kSzíNű. pEdAgógIA. E n dr ő d y O r s. O l.

6 дек. 2013 г. . Az egykori, történelmi Magyarország közepén, ma a román országhatár men- tén fekvő Békés megye a magyaron kívül.

Bartos Erika: Bicikli. Csobban a, csobban a kéklő Balaton,. Hajtom a, hajtom a biciklit utamon. Gördül a, gördül a lejtőn lefele,.

Fekete István állatnevei. NAGY SZENTJÁNOSBOGÁR . K U T Y A. Bogáncs . S Ü N. Szú. T E H É N. Mu. H É J A. Killi. F Á C Á N. Kakat. D I S Z N Ó.

2 сент. 2018 г. . Mamma Mia! Sose hagyjuk abba 50. Mamma Mia! . Maria Lara, Antje Traue, Michael Herbig. . Felirat nélkül! EzMi (CeSo) –. Bábkabaré.

12 мар. 2014 г. . Megoldások. 9. osztály. 4. Feladat. Hány valós megoldása van a 3[x]=2×2 +x−4 egyenletnek? ([x] az x valós szám egészrészét jelenti.).

tok kialakítására. Univerzálisan használható minden. Somfy RTS vezérléshez: redőny, napellenző, zsaluzia, roló, beltéri árnyékolók, függönymozgatás, .

Egy magyar szabómester Bécsben vásárolt szövetet, viszont a vásárolt mennyiséget rőfben . János bácsi a borát gönci hordókban méri.

1 мар. 2017 г. . Igazoljuk, hogy az sorozat hármas maradékai periódikusan ismétlődnek, ha n ≥ 2 és határozzuk meg a sorozat periódusát.

IDC4e: A TEXA. DIAGNOSZTIKA SZÍVE. A kivételes IDC4E OHW szoftverrel személygépjárművek és kisteherautók diagnosztikáját végezheti el,.

mazható epoxi ragasztó. . s Különféle anyagokat ragaszt, mint pl. fa, fém, kemény műanyag, üveg. . gyanta. Átfesthető. Nagyobb javításoknál Loctite 3025.

Az CYEB Energiakereskedő Kft. egyetemes szolgáltatásra jogosult lakossági felhasználókat. (fogyasztókat) is ellátó villamos energiakereskedő.

7 авг. 2021 г. . Célja: a papokkal szembeni ellenszenv kialakítása. Eszközei: Csak a papság negatív vonásait emeli ki. Általános jelenségeket tudatos .

Egyszerű a válasz: egyike vagyunk azon kevés gyártóknak, akik nem csupán sokrétű, de ütőképes választékot is kínálnak, amely kiváló hőteljesítményű lapradi-.

pisztoly táska kemény műanyag. Méret: 82 x 29 x 8 cm. Szállító táskák. 51L2/GUT.C speciális puskacső szénszálas, kaliber 13 mm 92,00 €. 51L2/1V.C.

5 мая 2017 г. . Komissiózó targonca iGo rendszer. • Programozható jetski rendszer . Külső rendszerekkel (WMS, ERP) való rugalmas összeköttetés lehetősége.

Kreatív menyasszonyok a családdal együtt könnyedén elkészíthetik ezt a kis csomagot. Hozzávalók: mécses, tüll zacskó (készen kapható), és szatén szalag.

Seilern Crescence (1799–1875) osztrák grófnő b) Mikor találkozott Széchenyi először az akkor még férjes asszonnyal? 1824 v. 1818.

gátló szerkezetek beépítésére. Rétegstabilizáló, és felület- megkötő jutahálók alkalma- zása 20°-ig legtöbb esetben . nagy rétegvastagságú tera-.

Ekkor vegyük az u1-et és az e-hez kÃ¶zelebbi vi-t (i ∈ összeköt® utat. . Tegyük fel, hogy a G gráf k-szorosan élösszefügg®, F a G egy feszít®fája.

Mekkora a szögsebessége az 50 m sugarú kanyarban 36 km/h sebességgel haladó autónak? 5. Egy körfűrész fordulatszáma 11 1/s, sugara 16 cm.

Napelem optimalizálási megoldások. Horváth Balázs. Page 2. Solarity. • Európai disztributor, Prágai központ. • 10+ év a PV piacon. • 6 éve a magyar piacon.

A szalag eltávolításkor nem szakad el. A szalag erőssége és merevsége. A film vastagsága. Easy Cover® termékcsalád. Az alkalmazás során javasolt.

15 апр. 2015 г. . igény, hogy számukra megfelelő élettereket teremtsen a kert- ben, a szabadban. . rán most már a KK Kavics Beton által kínált bur-.

Tetőterasz elemek tokkülmérete (cm). 78×136. 78×109. GEL M08 3065G. Tetőterasz felső elem, 65 energiatakarékos üveggel, színtelen lakkozott fenyő,.

mPCIe, Arduino Shields és egyéb szabványos interfészek, protokollok . Alapok az alkalmazások fejlesztéséhez. A MindSphere nyitott platform támogatja az .

KRESZ 48. § (5). Olyan gépkocsival, amelynek meghatározott üléseit biztonsági övvel kell felszerelni, továbbá olyan gépkocsival, amelynek hátsó üléseit.

Azonosítja az összes. ECU-t és leolvashatja a hiba bejegyzéseket is. (3-20-szor gyorsabban az átlagosnál). Ezen kívül az egyes hiba bejegyzések állapotát is.

A Caffe Crema-t a legjobb. Tchibo-hagyománynak megfelelően állítják elő, hogy a . kávéhagyomány és a Barista szenvedély kombinációja. La.

Forgó alaplap és személyi számítógép állóhelyzeti használathoz. NEM KELL VÁRNI A LABOREREDMÉNYEKRE. A HarvestLab 3000 laboratóriumként is használható a .

Szendvicspanelek tetőre. Tető szendvicspanel 3 bordával. Tető szendvicspanel 5 bordával. Különleges rendeltetésű panelek. IsoAgro tető szendvicspanel.

Bővülés újabb gyártókkal, nemzetközi LED multibrand store indítása . Az akár 1 éven belül megtérülő ipari LED fénycsö- . [email protected] Győri iroda.

2 // est.hu címlap. 3 // est.hu rovatoldal. 4 // est.hu cikk. 5–6 // est.hu Skin. Page 2. 2 est.hu címlap. Page 3. 3 est.hu rovatoldal. Page 4 .

Rengeteg használati tárgy, ruha, ajándék kerül a szemétbe, mert a . a) drótszőrű magyar vizsla, rövidszőrű magyar vizsla, erdélyi kopó, komondor, kuvasz, .

ra vonatkozó bármely kérdésével kapcsolatban. Az újonnan struk- . lá n o s. 0. 8. U. F. S. _. K a ta . sal támogatja az OBO a felhaszná-.

a természet-alapú megoldások a fenntartható urbanizáció érdekében. • Győrben és környékén az elmúlt négy évben számos természet-alapú.

Csonthéjasokban (őszi- és kajszibarack, szilva, meggy, . Szilvában, meggyben és cseresznyében levéllyukacsosodás, monília és ágelhalások ellen fo-.

Az alábbiakban röviden összefoglaljuk a BKK akadálymentes szolgáltatásainak tájékoztatását. . BKK FUTÁR akadálymentes tájékoztatás. Utazástervező.

24 янв. 2008 г. . 50. 3. 2. 4. A szelepek anyagának hatása az átfolyási időre . A 37-50% -nyi gyakoriság a probléma . 25- 30 mm, de a prosztata.

Mi a csoport? Ha csapatmunkában kell dolgoznia bizonyos emberekkel, akkor létrehozhat egy csoportot, vagy csatlakozhat egy meglévőhöz.

Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

3 Tartalom. TERMÉSZETES SZÁMOK, RACIONÁLIS SZÁMOK. ALGERAI KIFEJEZÉSEK EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK. SÍKGEOMETRIA I HALMAZOK, KOMINATORIKA LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK SÍKGEOMETRIA II STATISZTIKA, VALÓSZÍNÛSÉG TÉRGEOMETRIA. 8

4 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Természetes számok, racionális számok. A racionális számok alakjai. a) = : = 0, b) = : = 0, – c) = µ : = µ0, d) 7 = = 7 : 7», e) = µ0 : 8 = µ, f) – = – = µ : 8 = µ, g) = : 0 = 0, h) = µ : 8 = µ0, 0 8. a) 0, = = 0 b) c), = = 00 0 d) e) -, = – = – f) 0 0, = = 000 8, = + 0, = + = – 0, = – = – 00 g) 9, = + 09, = + 9 0, = + 9 = + = 9 h) 87 -, 87 = – = a) b), c) – d), 9. a) igaz b) igaz c) igaz d) hamis e) igaz. a) µ ª < 0 b) 0 < ª c) ª < µ d) ª >. a) 0,7 > b) 0,9 < d) - >µ0, 7. a), ; = =, ; =, ;, növekvõ sorrend:,

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) ; = 0. G (0; ) H (µ; 0) I (0; µ) J (8; 0). A tört értéke akkor lesz a legnagyobb, ha a számkártyákból a számlálóba a lehetõ legnagyobb, a nevezõbe a lehetõ legkisebb számot rakják. A tört értéke akkor lesz a legkisebb, ha a számlálóba kerül a lehetõ legkisebb, a nevezõbe a lehetõ legnagyobb kétjegyû szám kerül. Rejtvény: Legnagyobb: : ( : : : : : 7 : 8 : 9) = 9070 Legkisebb: ( : : : : : : 7 : 8) : 9 = 0, Mûveletek racionális számokkal. a) b) µ ( µ ) = µ (µ) = µ (µ) = 9 c) d) e) Ê ˆ Ë = + -, – ( – 9) =, – =, -, = Ê ˆ Ë = – Ê + ˆ Ë = – = – = – = – = – Ê ˆ + 0 Ë = + Ê – ˆ Ë = + Ê 0 – ˆ, Ë 0 = = + 0 Ê ˆ – Á = – 0 = 0 Ë 7 = + Ê ˆ – 7 Á = + (- ) = – Ë f). a) b) c) d) – Ê ˆ + + Ë + = – Ê Ë + ˆ + = = = – 9 Ê ˆ Ë = = 0 Ê ˆ Ë = = 0 Ê ˆ Ë = , Ê Ë =- 0 ˆ = – = – = – = – = – 9

7 e) f). a) b) (- Ê ˆ ) – ( ) Ë – = – Ê Ë – ˆ – = Ê Ë – ˆ – = Ê Ë – Ê Ë – 0 0, ˆ Ê Ë, – ˆ 0 = Ê – ˆ Ë 0 Ê 0 – ˆ Ë 0 = Ê Ë0 – ˆ = – + = ( – ) ( ) ( ) + =- Ê ˆ – + Ë Ê Ë – ˆ = Ê Ë – + ˆ Ê Ë – ˆ = Ê Ë – ˆ = ˆ – 8 =- 8 = 0 0 = 00 c) d) È – – Ê ˆ Ë – Î Í Ê ˆ – Ë = Ê Ë ˆ Ê Ë – 9ˆ = Ê Ë – ˆ : 9 Ê 9ˆ Ë – = 9 Ê ˆ – : Ë Ê – Ë. a) A negyedik napon: b) A nyolcadik napon: 7ˆ 8 7 = 9 Ê 0 – ˆ Ë 0 Ê – ˆ Ë 7 = 9 0 Ê – ˆ Ë 7 = = = = = c) Látjuk, hogy négynaponta résznyi méz fogy el. 9 Folytatva a gondolatmenetet: Morgónak a. napon -ed, azaz csupor méze lesz, ez a. napon elfogy. Mivel a. napon = csupor mézet szerez, ebbõl kétszer 9 (vagyis a 7. és 8. napon) tud csupornyit enni, de a 9. napra már nem jut egy rendes adagnyi.. Egy nap alatt megépítik a vár részét (az éjszakai leomlást is beleszámítva), így a 90 nap szükséges a felépítéshez. Ê ˆ. Például: – Ë = = a) 0 A = < = b) c) 0 A = < = d) A = < = A =- >= a) Ê ˆ Ê ˆ 0 Ë -, + 0 : Ë -, + = ( 0, – ) : ( 0, , ) ( 0, ) : (-0, ) = = b) Ê ˆ Ê ˆ 0 8 Ë -, +, 0 8 : Ë -, +, = ( 0, – ) : ( 0, – – 0, ) ( 07, ):( -0, 7) = = 7

8 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) Ê – 0+ ˆ Ê Ë ˆ, : Ë, = ( 0, -):( 0, , ) ( – 0, ):( – 0, ) = d) 9. a) Ñ+ = b) Ò: = 0, c) 07, Ó – d) = 0. a) b) c) d) Ê ˆ Ê ˆ 0 Ë -, + 0 : Ë -, + = ( – ) : ( 07, – – 0, ) ( – ) : ( – 0, ) = : =. rész = km – = : = : = 0 = : Ê ˆ – Ë =- 9 = + : = + = 9 + = rész az egész út Þ km = km = km. rész + rész = rész Összes versenyzõ: Karcsi az összes versenyzõ része Tehát összesen fõ indult. Karcsi harmadikként ért célba.. a) vagy b) Rejtvény: a) pl.: = b) pl.: 9 = : = Az út hossza: vagy rész rész 70 Cél 9 Ð: = 0 Ê ˆ Ë – + Ê + ˆ Ë = km = rész rész c) pl.: Ê ˆ Ë – 0 : = 8

9 . Arányos következtetések (emlékeztetõ). a) cm a térképen a valóságban cm = 000 m = km -ször akkora távolság km = 7 km b) cm a térképen a valóságban km km km = A térképen cm lesz a távolság.. Térképen: cm Valóságban: 0 km = m = cm : = : a) Egyenes arány b) Egyenes arány c) Egyiksem d) Egyik sem e) Egyenes arány. h 00 km egyenes arányosság h 00 = 0 km 8, egyenes arányosság 8, h 0 km 8, = 00 km 00 km-t tesz meg 8, h alatt.. 70 adaghoz 0, kg hús 7 egyenes arányosság 0 adaghoz 0, kg 7 =, kg 0 egyenes arányosság 00 adaghoz, kg 0 = kg 00 adaghoz kg hús szükséges.. 0 kg-hoz 0 db doboz egyenes arányosság 0 kg-hoz 0 db = 00 db 0 kg szõlõt 00 db dobozba csomagolunk. 7. db 7 dl-es üvegbe összesen 7 = 7 dl gyümölcslét töltöttek. Ha üveg, dles, akkor 7, = db, dl-es üvegre van szükség (fordított arányosság). km 8. I. sebessége: 000 h km km II. sebessége: 000 = 00 h h Az I. repülõ h alatt 000 km-t tesz meg, akkor h alatt 000 km-t. Ezt a 000 km-t km a 00 sebességgel száguldó repülõ h alatt teszi meg, hiszen ez a repülõ h alatt h csak 00 km-t megy. 9

10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE perc alatt 0 (l) 0 egyenes arányosság 0 perc alatt 0 (l) 0 = 00 (l) perc alatt (l) 00 (l) 00 = 8 perc 8 perc alatt telik meg másik csapból. kacsához 0 kg 0 egyenes arányosság 0 kacsához 0 kg 0 = 00 kg kacsához 0 kg egyenes arányosság kacsához 0 kg = 0 kg 0 kacsa felhízlalásához 0 kg-mal több kukorica szükséges.. gyerek óra 80 db egyenes arányosság gyerek óra 80 db = db egyenes arányosság gyerek óra db = 9 db egyenes arányosság gyerek óra 9 db = 9 db egyenes arányosság gyerek óra 9 db = 88 db gyerek óra alatt 88 db szendvicset tud elkészíteni.. egér sajt nap fordított arányosság egér sajt = nap fordított arányosság egér sajt =, nap egyenes arányosság egér 0 sajt, =,8 nap egérnek 0 sajt,8 napra elegendõ.. András alázs Csaba db db 0 db összesen: 9 db szendvics osztoztak db db db András db, alázs db szendvicset adott át Csabának, aki ezért ezek arányában fizetett a fiúknak. 0 Ft : arányban osztva. 0 Ft µ 00 Ft. Csaba Andrásnak 0 Ft-ot, alázsnak 00 Ft-ot fizetett. 0

11 . x x + = x = = 7 = 7 7 7,. t = 00 a + ö ö = 0 a + 0, m m = 0 a + 0, k k = 8 a Visszafelé helyettesítésekkel: m = 0 a + 0, 8 a = a ö = 0 a + 0, a = a t = 00 a + a = a táltos aranyat ér. perc alatt melegítik fel együtt a bojlerben a vizet. Rejtvény: Nem lehet tudni, mivel a hét napjai és a között, hogy fúj-e a szél, nincs matematikai összefüggés.. Százalékszámítás (emlékeztetõ) a) 00 – = = 98 b) c) = 00-0 = 00-0 = 0 00 = 0 = 0. a) 000, = 00,-szeresére b) 0,8-szeresére c) -szorosára d),-szeresére e) -szeresére f) 0,00-szeresére. a) 00, = 70 b) = 0 c) 00 0, = 0 d) 00 0 = 0. a) 00%-ra (00%-kal nõ) b) 0%-ra (0%-kal csökken) c) 0%-ra (0%-kal nõ) d) 00%-ra (00%-kal nõ) e) 0%-ra (80%-kal csökken) f) %-ra (%-kal nõ)

12 . a),-szorosára b) 0,9-szeresére. a) 0%-kal nõtt b) %-kal nõtt SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 7. Medve: 0 0 =, %-kal nõtt a tömege Elefánt: 0 0 =,»,7%-kal (kb.) nõtt a tömege A medvebocs nõtt jobban. 8. Összesen: 000 fõ Férfi 80% Nõ 0% Átlagosan 000 fõ a férfi. 9. Döntõben szereplõ csapatok szurkolói: , = 00 db- 00 db Szervezõk: ,0 = 70 db ajnokság csapatai: , = 0 db Nemzetközi Labdarúgó Szövetség: , = 000 db Ismert személyiségek: 000 db (VIP) , = fõ hoz szendvicset az iskolába ,8 = 000 fõ. a) Elsõ változás: 000,08 = 080 Ft Második változás: 080 0,9 = 99, Ft Összesen: 99, 000 = 0,99 99,%-os most, azaz 0,%-kal csökkent az ár. b) Elsõ változás: 000 0,9 = 90 Ft Második változás: 90,07 = 99, Ft Összesen: 99, 000 = 0,99 99,%-os most az áru, azaz 0,9%-kal csökkent az ár.. Fenyõ Tölgy 0% 80% Tölgynek a negyede, azaz %-a a fenyõk száma.. 00 kg + 00 kg = 00 kg -szörösére nõ. Eredeti Új +0% 0 cm 0 cm, = cm a) K= 0 cm = 0 cm K = cm = cm 0 =, 0%-kal nõtt a kerülete b) T = 0 cm 0 cm = 00 cm T = cm cm = cm 00 =, %-kal nõtt a területe

13 . Eredeti Új Egyik oldal: 0 cm 0 cm 0,8 = 8, cm Másik oldal: 0 cm 0 cm, = cm a) K= (0 cm + 0 cm) = 0 cm K = ( cm + 8, cm) = cm 0 =,0 %-kal nõtt a kerülete b) T = 0 cm 0 cm = 00 cm T = cm 8, cm = 9, cm 9, 00 = 0,977,%-kal csökkent a területe. a) 9 versenyen indult b) kb. 0,% c),% d). helyezés ( db). helyezés ( db). helyezés ( db). helyezés ( db). helyezés ( db) 7. a) b) Eredmény Fõ % Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott 7 0. 0. c) % Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott 0%,%,%. Jeles Jó Közepes,%,%,% Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott 8. a) Jeles: 0% Jó:, % Közepes:, % Elégséges: 0% Elégtelen:, % Nem írt:, % 0%,% 7% 0%,% 7% Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem írt b) Átlag: 90 8 ª,

14 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 9. = (x + 0,7x) =,x x = cm Egyik oldal: cm (Vagy: Következtetéssel: A félkerület cm. Az egyik oldal 00%, a másik 7% Þ cm az 7% Þ akkor a 00% cm.) Másik oldal: 9 cm T = cm 9 cm = 08 cm 0. a) 0 km-en 7 (l) 00 km-en 7 (l) 0 = 70 (l) b) 0 km-en 7 (l) 0 km-en 7 (l) = 8 (l) 0% Összes üzemanyag 00% 8 (l) = 0 (l). Az eredeti ár: x. A 0% leszállítás utáni ár: 0,9 x, ekkor a haszon:,08 x. Kérdés: Mekkora a haszon x eladási árnál?,08 0,9 =, Þ 0% volt a leszállítás elõtt a haszon. =, = = 0 -nek hány %-a a? Rejtvény: A gyorshajtók reciproka 80 : = = = Æ 80% Æ 00 -et 0%-kal kell csökkenteni -része nem %-a az összes autósnak. = = 00, =, % 0. Kamatszámítás. Gazdálkodj okosan!. a) 0 000,07 = Ft b) [(0 000,07),07],07 = 0, Ft c) 0, : =,0,%-kal növekedett az összeg.. a) 0,0 = 0,kg b). nap végén

15 . év múlva ,97 = 9700 Ft év múlva ,97 = 909 Ft év múlva 909 0,97 = 9,7 Ft év múlva 97 0,97 = 88,98 Ft év múlva 88 0,97 = 887, Ft. x,0 = x» 9 08 Ft. [(x,0),0],0 = x» 7 77 Ft. a) <[(0 000,0),0],0>,0 = Ft b) 0 év múlva: Ft (Kerekített értékek.) 0 év múlva: 7 Ft 0 év múlva: 0 Ft 07 év múlva: 07 Ft 08 év múlva: 77 Ft 09 év múlva: Ft 0 év múlva: 89 Ft év múlva: 7 0 Ft év múlva: 7 98 Ft év múlva: 8 8 Ft év múlva: Ft év múlva: Ft , = 000 Ft-ot kell visszafizetni , = 000 Ft-ba fog ténylegesen kerülni a gép ,00,00 = 0 0, Ft. Ebbõl Józsi mindenképpen kifizet legalább 00 Ft-ot, így marad neki 0 00, Ft-ja. Nem érdemes erre az idõre a pénzét bankba tennie. 0. a) év múlva: 0 000,0 = 000 Ft év múlva: ( ),0 = 00 Ft év múlva: ( ),0 = 0, Ft év múlva: ( ,),0 = 90, Ft-ja lesz négy év múlva. b). év végén Ákosnak 90, Ft-ja van, miután itt már nem takarékoskodik, csak bent tartja pénzét a bankban: ,0 = 008, Ft-ja lesz. Rejtvény: 0%-ában csak a vezetõ ült az autóban. Ennek 0%-nak a 7%-ában vezette férfi. Vagyis: 0, 0,7 = 0, % Az összes személyautó %-ában utazott pontosan férfi.

16 . A hatványozás SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) = = 9 b) = = c) 7 = = d) 0 = = e) = = f) = = g) 8 = = 09 h) 000 = 000. a) kettõ a hatodikon b) három az ötödiken c) 0, nulla egész egytized a harmadikon d) (µ) mínusz négy a negyediken e) öt a hatodikon f) 7 hét a negyediken. 9 =. a) b) c) d) e) f) 807. a) = ; = ; = 8; = = < < b) = 8; = 9; (µ) = µ8; (µ) = 9 (µ) < < = (µ) c) = ; ( ) = ; ( ) = ; = < = ( ) < ( ) d) = ; Ê ˆ Ë = ; Ê ˆ Ë = ; ( ) = Ê ˆ Ë < Ê ˆ Ë < = ( ). a) 0 00 >b) 00 0 < 0 0 c) 0 00 < A = Ê ˆ = < = = Ë 9 8. = 8, (µ) = ; µ = µ; (µ) = µ µ < (µ) < (µ) < 9. a) Legkisebb: ; ; ; Legnagyobb: b) -féle c) = = = < < < = < < < = < < < < 0. a) Legkisebb: = = = = = Legnagyobb: b) >c) -féle d) 8-féle

17 . 00-ban: ben: 000 0,88 = 00 faj 00-ben: 00 0,88 = 87 faj 00-ban: 87 0,88 = 07 faj 007-ben: 07 0,88 = 998 faj 008-ban: 998 0,88 = 8 faj 009-ben: 9 0,88 = faj 00-ben: 0,88 = 0 faj. 0 perc elteltével: 0 = 0 h = 0 perc elteltével: 0 Nem lehetséges, hogy egy baktériumból osztódással óra elteltével 0 db legyen, mivel közben el is pusztul valamennyi.. a) 7%-os az éves kamat b)» 0 Ft-ot (0,7 Ft) c) 0 000,08» 89 Ft-ot. a) 0 = = = = 8 = = = 7 = 8 8 = 9 = A. hatvány 8-ra, a 0. hatvány -re, a 0. hatvány -ra, 007-dik hatvány 8-ra végzõdik. A szabályt a -es maradék adja, a kitevõ -gyel osztva mennyi maradékot ad. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. b) = = 9 = 7 = 8 = = 79 7 = 87 8 = 9 = 9 8 A. hatvány 7-re, a 0. hatvány 9-re, a 0. hatvány -re, a 007-dik hatvány 7-re végzõdik. A szabályt a kitevõk -es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. 7

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) = = = = = 0 = 09 7 = 8 8 = 9 = A. hatvány -re, a 0. hatvány -ra, a 0. hatvány -ra, a 007-dik hatvány -re végzõdik. A szabályt a kitevõk -es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. d) = = = = 9 = 777 ármely kitevõ esetén az eredmény -ra végzõdik. Rejtvény: ( ) = = ( ) = = ( ) = ( ) 7. Mûveletek azonos alapú hatványokkal. a) b) c) d) 9 e) 8 f). a) µ = µ b) µ = µ c) = d) µ = µ8 e) µ 7 = µ8 f) (µ) =. a) = 7 b) = c) 7 = 9 d) = e) 9 = 9 f) 0, = 0,000. A = ; = µ; C = ; D = µ = D < A = C. a) 7 < b) >c) 7 > µ(7 ) d) =. a) = 09 b) = c) d) 0, 0 e) 0 f) a) b) c) d) µ7 e) 0, f) 0 8

19 Rejtvény: x = Y = Z x = 8 x = Ô x = Ô A százlábúnak 8 lába nem fáj. 8. Mûveletek azonos kitevõjû hatványokkal. a) = 7 b) 0 = c) = d) = a) b) c) d) a) b) Ê ˆ Ë = Ê ˆ Ë = = Ê 7 8 ˆ 00 = Ë c) d). a) b) Ê ˆ – = Ê ˆ – Ë 7 Ë Ê ˆ 8 = Ê ˆ 78 = Ë Ë = ( ) = ( ) = = = 79 9 ( ) = ( ) = = = c) Ê 7 Ë Á ˆ = Ê Ë Á ˆ 7 9 = = 79 d) Ê Ë Á ˆ = Ê Ë Á ˆ = Ê ( ) Á Ë ˆ 0 7 = Ê Ë Á ˆ = ( ) =. a) ( ) < ( ) < b) ( ) < ( ) ( 7 ) = < ( ) = 8 9

21 7 7 b) Legkisebb: 7 = Számlálóba a lehetõ legkisebb kitevõt írjuk, a nevezõbe pedig a legnagyobbat. 7 7 Legnagyobb: 7 = A számlálóba a legnagyobb hatványkitevõt írjuk, a nevezõbe pedig a legkisebbet. c) Legkisebb: = Ô = Ö = Legnagyobb: = 7 Ô = Ö = d) Legkisebb: ( ) = Ô = Ö = Legnagyobb: ( ) = 9 Ô = Ö = Rejtvény: A legnagyobb szám: () = 9. Prímszámvadászat. A 007 összetett szám és páratlan. Páratlan számot egy páros és egy páratlan összegeként kaphatunk. Ha egy szám páros, akkor osztható kettõvel, azaz nem prím, kivéve a kettõt. Ha az egyik prímszám a lenne, akkor a másik szám a 00, ez pedig nem prím szám. Tehát nem írható fel a 007 két prímszám összegeként.. a) 0-nél kisebb prímek: ; ; ; 7 Lehetséges szorzatok -et hozzáadva: + = 7 + = 7 + = + = 7 + = 7 + = különbözõ számot kapunk. b) Az eredmények közül prímek: 7;. a) = 7 b) 70 = c) 00 = d) 7 =. a) (; ) = b) (8; 0) = 8 c) (; ) = = d) (; 0) =. a) [; 8] = = b) [8; 0] = = 0 c) [; ] = = 0 d) [; ] = =. a) ( ; ) = = [ ; ] = = 0 b) (7 ; 7 ) = 7 [7 ; 7 ] = 7 = 9 08 c) ( 7 ; 7 ) = 7 = 9 [ 7 ; 7 ] = 7 = 8 7

22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE d) ( 7; 7 ) = 7 = [ 7; 7 ] = 7 = ( ) 7. a) = = b) 0 ( ) 0 ( ) c) = = d) 00 ( ) ( ) = ( ) 7 = 7 ( 7) = ( 7) = 0 8. a) b) c) 8 + = 7 + = + = = + = = + = 0 = + = = d) + = + = + = Relatív prímek: (; 7); (7; 0); (7; 0); (; 0); (; ) 0. [; 0] = = 0 Indulástól számítva 0 perc, azaz óra múlva, reggel órakor indulnak ismét el egyszerre a buszok.. [; ] = A két hajó az indulástól számítva hónap múlva indul el ismét együtt a kikötõbõl.. [; 8] = [; 8] = [; 8] = [; 8] =. (x; ) = [x; ] = x = = 0. a) ( y ; x ) = z x = y = z = b) [ x ; y ] = z x = y = z =. ( ; x) = Legkisebb kétjegyû szám: 8 Legnagyobb kétjegyû szám:

23 Rejtvény: Legidõsebb: 7 éves Középsõ: éves Legfiatalabb: éves 0. Nagyon nagy számok. a) db százas b), 0 = 0 = E + Sz + t + 0 e c) 8,87 0 = 887 = 8 TE + 8 E + 7 sz + t + e d), 0 = = SZE + TE + E + sz + t + e. a) =, 0 b) 00 =, 0 c), =, 0 d), =, 0. a) 0 0 = 0 b), 0 =, 0 c), 0 =, 0 7 d) 0 0 = 0 e) millió =, 0 7. a) 7797 =, b) c) Egy személy rekordja:,0 0 Csapatrekord:, d),7 0 db Város Tokió Mexikóváros New York. a) 0 =, 0 b) 0 9 =, 0 0 c) 0 7 =, 0 8 d) 0 0 =, 0. a) 0 b) 0 c) 0, 0 = 0 d), 0 7. a) = 0 8 =, 0 9 b) (8 0 ) ( 0 ) = 0 Ország Elõvárosokkal Elõvárosok nélkül Japán Mexikó USA,97 0 7,9 0 7, , 0 8,89 0 8,897 0

24 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) = = 8,0 0 d) 8 0 µ 0 = = 7,9 0 e) 8. a) 0, 0 = 0, 0 7 =,0 0 8 b), 0 0 = 0 7 c) d) 9. a) 000 =, 0 b) 800 =,8 0 c) 700 =,7 0 d) = 8, 0 0. a) ( 0, 0 ) = 0 =,7 0 b) (8 0 ) = 09 0 =, c) d) Ê 000ˆ Ë 00 Ê 000ˆ Ë 0. a) km = 8 0 km =,8 0 7 km b) km = km =, km c), km =,9 0 9 =,9 0 0 km d),9 0 0 = 9, km = 9,08 0 km. magasság = M = mm T = 00 km = 0 mm V = M T alap = mm 0 mm = 0 mm = 0 8 dm = 0 8 (l). a) Fény s alatt km-t tesz meg, év alatt 9,08 0 km-t,, év alatt, 9,08 0 km = 9,7 0 km = =,97 0 km-re van ez a csillag a Földtõl. km b) v = h s =,97 0 km s, 97 0 km t = = = 0, = 7, 7 00 v km h h h Az út 7,7 0 0 h-ig tartana. = 0 = 8 0 =, 8 0 = 0 7 = 80 = ( 8 0) = 09 0 =, 09 0 = 00 = 8 0

25 Rejtvény: ember karfesztávolsága kb., m Föld egyenlítõi kerülete kb. 00,79 km =, km =, m, m/, m»,7 0 7 = fõ Megközelítõleg,7 millió ember tudná körülölelni a Földet.. Vegyes feladatok. 7 + =. a) b) c) d) 0 = 0, = 0, = 08, = 0, < < < a) b) c) d) 7 Ê 0 ˆ 7 - Ë = -, 0 Ê0 ˆ : Ë = : - = - = 9-9 = 008 Ê ˆ - - : Ë = + = + = 7 7 = = Ê 7 ˆ - - Ë = = a) Ñ = b) Ó = c) Ò = µ0, d) Ð = 0,. a) (8, (l) +, (l)) (l) = 7,7 db db csupor lesz tele, a tizennyolcadikba (l) = (l) méz kerül. Az utolsó 0 7 csupor részéig telik meg. 0

26 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) b) c) d) < < 0 = < - < >9 0, 0, < , < - >= 9 = 7. a) Ò = 8 Ó = 8 Ñ = 7 8 b) Ò =- 8 Ó =- 8 Ñ =- 8 c) Ò = Ó = Ñ = d) Ò =- Ó =- 0 Ñ = = 0 Az -ös számhoz áll a legközelebb = = = 0, 9. nap= óra alatt -ét szétosztotta. Hátra van még az -e, amihez óra szükséges. Az egész zsákot 8 óra alatt osztotta szét.

27 0. a) 79,+0,8 kj =, kj b),8+7+, kj = 0, kj c) 0,8+908 kj =,8 kj. Arányos téglalapok Y = X Æ X = Y X = Y Y = Y része. 9 arány 0 dl. dl szörphöz kell 9 dl vizet adni. dl szörp van az üvegben.. téglalap X. téglalap Y. 8 fõ nap 8 óra/nap 8 : 8 fordított arány fõ nap,8 óra/nap : fordított arány fõ nap óra/nap órát kell naponta dolgozniuk, hogy elkészüljenek.. kendermagos tyúk nap 0 dkg mag kendermagos tyúk nap 0 dkg mag kendermagos tyúk nap 0 dkg = dkg magot eszik meg. gyöngytyúk nap 0 dkg mag gyöngytyúk nap 0 dkg mag gyöngytyúk nap 0 dkg = dkg magot eszik. + + = = dkg-ot esznek meg.. Felnõtt: 000-nek 8%-a: 000 0,8 = 00 fõ Férfi: 00-nak 0%-a: 00 0, = 0 fõ 0 fõ férfi volt az elõadáson.. 0 db 00 Ft db 00 0 = 0 Ft Árleszállítás után: db 0 0,8 Ft = 8 Ft 00 8 = db-ot vehetnénk az árleszállítás után. db-bal többet. 7. 0%-os kamat évente 000 Ft vissza 0 000. = 000 Ft = 000 Ft = Ft Akkor járunk jobban, ha 0%-os kamatra bankba tesszük a pénzt, így év után Ftunk lesz, míg ha évente 000 Ft-ot kapunk vissza, csak 000 Ft-unk lesz. X Y 7

28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. a) b) c) d) nincs a kártyák között ilyen e) 7 9. Nem igaz, például. 0. Legkisebb: µ0. a) Ò = b) Ó = 9 c) Ð = d) Ô =. = = D = F. a) b) c) d) A = Ê ˆ Ë C = Ê ˆ Ë E G = Ê – Ë = Ê – Ë. a) Egy sorban, oszlopban, átlóban a hatványkitevõk összege vagy nagyobb legyen. Több megoldás lehetséges. b) Lásd a) c) A kitevõk összege 0 vagy nagyobb legyen a) b) c) Ò ˆ ˆ = < D = Ê ˆ Ë 7 = - < F = Ê ˆ - Ë = < H = Ê ˆ 8 Ë 9 = < = = = = = Ò 7 9 Ò Ò= 7. [8; ] = s múlva ugatnak egyszerre. Ò = 7. [0; 8] = 0 0 s múlva hallhatjuk újra, hogy a két csepp egyszerre csapódik be. 7. a) 7, 0 9 t = 7, 0 kg b) 8 7, 0 kg = 9,78 0 kg =,978 0 kg Ò = 8

29 . Algebrai kifejezések. Algebrai kifejezés. a) x+ b) x c) x µ x d) e) µx f). y + x a felsoroltak közül nincs megfelelõ szakasz x + y a) a megfelelõ szakasz x + y c) a megfelelõ szakasz x + y b) a megfelelõ szakasz x + y d) a megfelelõ szakasz x + y e) a megfelelõ szakasz. a) p + q b) p + pq c) p q d) (p + q). A.;.; C.; D.; E.. a) 8 s + b b) b s + 8. k µ 0,k = 0,7k Ft-ba kerül a kabát. 7. f k 0 8. a) x m b) x m µ y ü 9. k a b dl üdítõ jut egy pohárba. k – a 0. A szárak hossza. a) Kati most háromszor annyi idõs, mint amennyi Matyi volt b évvel ezelõtt. Hány évesek most? b) Kálmán most kétszer annyi idõs, mint amennyi d évvel ezelõtt Peti volt. Most hány évesek?. a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a b = b a (a b) c = a (b c) Rejtvény: x 9

30 . ehelyettesítés SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) Vegyük észre, hogy = F és C = E. a = helyettesítés esetén A = 8 = C = µ D = µ8 E = µ F = a = µ helyettesítés esetén A = = µ C = D = µ E = F = µ a =, helyettesítés esetén A =, = µ, C =, D = µ, E =, F = µ, a = helyettesítés esetén A = = – C = D = – E = F = – b) Vegyük észre, hogy A = E és C = F. b = helyettesítés esetén A = = C = D = E = F = b = µ helyettesítés esetén A = µ = C = µ D = µ E = µ F = µ b = helyettesítés esetén A = 8 = C = D = E = 8 F = b = helyettesítés esetén 9 A = = C = D = E = F =. x µ, µ µ µ0, 0 0,, xµ µ9, µ8 µ µ, µ µ0,, µ x x µ x µ 8 µ µ 7 µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ0, µ 0 µ 0

31 y 8 7 x a) x+ y =, x + y = x µ y = 0, µ = µ7, x y = b) a µb + = = – – = – 7 b µ a µ = µa + b + = µb µaµ = 0. Az a b µ algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ. Az a b µ algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke 0 µ, = – – = Az a b µ algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ. 9 ( -) – = – – = – Az a + b µ algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ. Az a + b µ algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke 0,. Az a + b µ algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ, ( – ) – = – = – = – Az aµb algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke. Az a µ b algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke 0 µ0,. Ê ˆ – Ë 0 – = = – 0

32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Az aµb algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke. a) 0 b) 7 c) 97 d) 7. A víz 00 C-on forr, ez Fahrenheit-fok, és 0 C-on fagy meg, ez Fahrenheit-fok = + = = Þ k + t 8. a) x µ µ 0, 0 0, y µ µ µ 0 b) y = x µ c) 9. a + ; a 0. µ x; (µx) ; x;. a) b) c) µ d) 0 e) 9 f) g). a ÁÑ b = (a + b) ÁÑ 0, =, ÁÑ (µ,) = µ (µ) ÁÑ = µ, ÁÑ, =,. Háromféle lehet µ, 0,. 8 ilyen szám képezhetõ. Összegük. Rejtvény: A 7 házban összesen 9 macska megevett egeret. egér megevett 0 kalászt, melyekben összesen volt 807 szem. Ezek a számok a 7 hatványai = 9 07 x

33 . Mûveleti sorrend. a) 0 Ê x ˆ + Ë – 0 b) Ê00 Ë x ˆ + -. Vonjunk ki az y számból -et! Szorozzuk meg a számot -vel! Szorozzuk meg a számot -mal! Szorozzuk meg -tal! Vonjuk ki az -bõl! Adjunk hozzá -et! Adjunk hozzá -at! Osszuk el -mal! Vonjuk ki az -bõl! x +. a) – b),8 c) Szorozzuk meg a számot -mal! Adjunk hozzá -t! Osszuk el -tel! Vonjunk ki belõle -ot!. x µ µ µ0,. µ µ, 0, x µ x µ + + x µ + µ0,7 0, 0 µ0, 0,. 0, 0, ( ( ( (. C) és E) Ê p ˆ – r. a) + b) (q µ ) + 7 c) d) Ë 9 7. a) az a szám kétszeresébõl levonunk -et b) a b-nél -mal nagyobb számot elosztjuk kettõvel c) a c-nél -mal nagyobb számot szorozzuk -tel d) a d szám felét levonjuk az -bõl e) az e számot kivonjuk az -bõl, majd a különbséget kivonjuk a -bõl 8. n db 0 forintos 0 n forint, és ugyanennyit kell fizetni 0 darab n forintos áruért. 9. a) A= C és = F b) A = C és = E és D = F c) A = D és = E és C = F s + s 7 0. a) (x + ) b) x ( + ) c) (x + ) d) + (x )

34 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény: a + a + a µaµa= a (a µa) a+ a = a vagy a a a a a= a vagy a a a a a= a. Egytagú és többtagú algebrai kifejezések. a) x+ y + z = 0, x y z = µ b) x + y + z = = + = = = x y z = 0 0 c) x + y + z = µ x y z =. a) a + bc kéttagú algebrai kifejezés b) (a + ) (b + ) egytagú algebrai kifejezés. a) b) 7 = 8 c) d) Egytagú: b); többtagú: a) c) d).. Egytagú algebrai kifejezések: ) C) D) E) G). a) ( + x) ( + y); x ( + y); (x + ) y ( + x) y ( + x + ) y (x + + y) xy b) x + y + x + + y ( + x) + y x + y + xy. a) többtagú: 0k + p b) többtagú: 7q µ p m c) egytagú: d) egytagú: 0u a) p + q b) p µ q c) p + q 7 d) (p + q) e) p q f) p – q g) p h) p q i),p + (µ)q

35 8. a) b) µ c) d) e) f) µ g) h) 7 9. a) xy; xy; µ x y; (7 µ )xy; yx b) x z; xz; 0zx; xz; µ7zx c) x; µ7x; µ x; 9x; 8x d) xyz; x yz; x (µ7)yz; zyx; µzyx 0. A) ab ) ab C) b a D) b a E) ba F) ab G) ab H) a b. a) n + t b) k + t + a c) x + y µ z. a) ; ; ; ; 9; 8 b) ; ; ; ; ; 0; ; 0 c) ; ; ; ; ; 8; ; ; d) ; ; Minden algebrai kifejezés osztható az m és n természetes számokkal is. Rejtvény: Ilyen tulajdonságú a következõ egyenlet: + = + + = +. Összevonás egynemû kifejezések. a) 0 80 b) 80 c) 80 d) 0 e) f) a) 998 b) 999 c) 00 d) (µ007). a) b) 989 c) 0 d). n (7 + ) = 7 n + n =7 n. g + t + g + m + g + m + t = 7g + m + t. a) a b) b c) c d) µd 7. a) x b) y c) z d) d 0 8. A) ) C) E) 9. a) x + x + y + y = x + 8y b) x + x + µ 7 = x µ c) xy + xy µ x µ y = xy µ x µ y d) 7x µ x + x + x µ = x +7x µ 0. C) a kakukktojás. a) a µ + a + = a + b) b µ µ b + = b + c) c c + = c – d) 0,8d µ 0,7 +,d µ 0, = d µ

36 . A) = D) C) = F) SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Ez az 998, hiszen valamely szám duplájából levonva a számot visszakapom az eredetit.. x – x – x = 7 A hónap. hetéig elköltötte a novemberi zsebpénzének a zsebpénzének 8 része. Ezek szerint marad elegendõ pénze, hogy megvegye a könyvet.. A gondolt szám tízszerese lesz egyenlõ 80-nal. Zsolti a 8-ra gondolt. részét. Megmaradt a. A kapott szám: 0c + c =c, ami biztosan osztható ; ; ; 8; ; c; c; c; 8c; c. 7. a) x +( µ x) = µ x b) µy + (µy µ ) = µy µ c) (z + ) µ z = z + d) ( µ x) + x = + x e) y µ (y + ) = µ f) z µ ( µ z) = z µ g) x + µ (µ + x) = x + h) µ (µx µ ) + x = + x i) µ(y µ ) + y µ = y + j) + (z µ ) µ ( µ z)= µ + z Rejtvény: 8 = > = 8 8 x – 7x – x 8x 8 = = x aµ b+c aµc a+b a+ bµ c a aµb+c aµb a+c aµc+b. Egytagú algebrai kifejezések szorzása, osztása. a) (, ) =9 b) q(,p) =,p q c) q(r p) = q r p. a) Négyféle téglalapot kaphatunk. b) A területe mindegyik téglalapnak azonos. c) Az a és b oldalú téglalap területe T = ab

37 . a) A terület a négyszeresére növekszik. b) A terület a hatszorosára növekszik. c) A terület változatlan marad. d) Hatod részére csökken a terület.. a) x b) x 7 c) µxy d) x. a) 0ab b) µ8ab c) 9ab d),ab. a) 7. b) (x y) = xy; ( x) y = xy; ( x) ( y) = 9xy 8. a) x b) µ0x c) x d) x 0 b 9. a) a b) µ c) µc d) µd 0. a) b) µ c) µb d) µc ab e) f) a. a) Közös tényezõ:. b) Közös tényezõ:. c) Közös tényezõik: x és az. d) Közös tényezõik: és az x.. a) x b) µ8y c) 0v d) z. a) -mal b) 0-zel c) -gyel d) µ-vel 7

38 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) A térfogata a nyolcszorosára növekszik. b) A térfogata a nyolcadrészére csökken. c) A térfogata a kétszeresére növekszik. d) A térfogata a felére csökken.. a) b) c) x ( y) 8 x y 8 8xy = = = xy (-y) ( x) ( -) y x = = xy 0, x ( x) x x x x = = = x. A) = ); D) = E) a a ac ab A) ) C) D) E) bc bc b c Rejtvény: szorosára változtatjuk vagy részére csökkentjük. ab c 7. Kéttagú algebrai kifejezés szorzása egytagúval. Kétféleképpen számolhatunk:. módszer: Egy családi csomagban + joghurt van összecsomagolva, így összesen ( + ) db-ot vásárolunk.. módszer: Összesen db banános és db epres joghurtot vásárolunk.. a) (8x + 8y) 0 takarmányt kell rendelni. b) (zx + zy) 0 = z(x + y) 0 = 0zx + 0zy takarmányt kell rendelni.. A z zacskóban zn narancsos, zm málnás és zc citromos ízû gumicukor van. Összesen: zn + zm + zc = z (n + m + c) cukor van a zacskókban.. Pontosan annyi víz fér még bele, amennyi abba az akváriumba tölthetõ, melynek alaplapja egy a és b oldalhosszúságú téglalap, és magassága m µ h cm.. a) a (b + c) Kis és nagy alakú füzetet vásárol Dorka az írószer boltban. Mindkét fajta füzetbõl a darabra van szüksége az iskolában. A nagy füzetek b Ft-ba, a kis füzetek c Ft-ba kerülnek. Hány forintot fizet? b) a (b µ c) Jázmin b darab könyvet kölcsönzött ki a könyvtárból. Ma visszavitte azokat, de kiderült, hogy csak c könyv kölcsönzési határideje nem járt le, és a többi után késedelmi díjat kell fizetnie, könyvenként a Ft-ot. Milyen összegû büntetést fog fizetni? 8

39 . a) (x + ) = x + 0 b) (µ) (x + ) = µx + (µ) = µx µ c) (y µ ) = 0y µ d) x ( µ x) = x µ x e) (µy) (y µ ) = µy µ(µy) = µy + y f) x (x µ y) = x µ xy g) y(xy + y) = xy + 8y h) xy(x + y ) = x y + xy 7. a) x + = x + b) c) x + – = – x – = – x + – ˆ Ë d) Így is lehet: x + Ê x ˆ c) – =- + Ë =- x – =- x + Ê – ˆ Ë x – Ê – ˆ d) – =- Ë =- Ê Ë Á – ˆ x x =- + x x – 8 x = + (-) x – – x – = = + (-x) 8. a) ( + x) = + x = x + b) (y + ) 7 = 7y + 7 = 7 + y 7 c) ( + b) a= a + ba = ab + a 9. T = (a + 8) b = ab + 8b T = ( + x) y = y + xy T = (b + c) = b + c Rejtvény: A szöveg utasításait követve a következõ algebrai kifejezéshez jutunk. Jelölje a születési dátumot 9xy. v. z. <[(0z + ) + v] + >+ xy = 0000z + 00v + xy +00 Ahol xy jelöli azt a kétjegyû számot, ami a születési év két utolsó számjegyébõl áll. Pl.: Ha 99. október -én születtél, akkor a végeredmény lesz. Vonjuk le ebbõl a 00-t. 09-ot kapunk. Válasszuk el ponttal egymástól a számjegyeket kettesével a következõ módon: Ez a születési dátumod angolul vagy németül, hiszen ezeken a nyelveken fordított sorrendben írjuk a napok, hónapok és évek számát. 9

40 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. Kiemelés. A) =. ) =. C) =. D)-nek nincs párja.. a) 8x + = x + = (x + ) b) x µ 0 = x µ = (x µ ) c) x + y = 7 x + 7 y = 7 (x + y) d) 9x + = x + = (x + ) e) µ x = µ x = ( µ x) f) µx µ 9 = µx µ = µ (x + ) g) h). a) A kakukktojás az x µ. A többi összeget kiemeléssel szorzattá alakítva mindegyikben közös tényezõ lesz a x µ. b) A kakukktojás a y + 0x. A többi összeget kiemeléssel szorzattá alakítva mindegyikben közös tényezõ lesz a x + y.. a) b) c) d) x + = x + = ( x + ) x – = x – = ( x – ) a + = 8b + ( b + ) ( b + ) b + = = = c – ( c – ) ( c – ) c – = = = d + d +. a) m + n alakban írható fel a két szám összege. m + n = m + n = (m + n) Az összeg egy természetes szám háromszorosa, tehát osztható -mal. b) m + n alakban írható fel a két szám összege. m + n = m + 7n = (m + 7n) Az összeg egy természetes szám hatszorosa, tehát osztható -tal. c) m µ 8n = m µ n = (m µ n) A különbség egy természetes szám hatszorosa, tehát osztható -tal. d) 0m µ n = m µ n = (m µ n) A különbség egy természetes szám tizenötszöröse, tehát osztható -tel. 0 ( a + ) ( a + ) = = ( a + ) ( d + ) ( d + ) d + = = = ( d + ) ( d + ) d +

41 . a) a + b = (a + b) b) ab + bc + ac = (ab + bc + ac) 7. A feladat utasításait követve a következõ algebrai kifejezés írja le, mi történik a gondolt számmal. Jelöje x a gondolt számot. x + + x – = x Ha a tört számlálójában elvégezzük az összevonást, egyszerûsíthetünk -mal. x + – = ( x + ) – = x + – = Eredményül azt a számot kaptuk, amire Kristóf gondolt. x 8. ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) a + b + c ( a + b + c) ( a + b+ c) = = = a + b + c a + b + c a + b + c a + b+ c = 9. A 8. feladat alapján könnyen belátható, hogy a ; és összege a három keresett szám összegének kétszeresével egyenlõ. (a + b) + (b + c) + (c + a) = a + b + c = (a + b + c) A három szám összege 9. Rejtvény: Jelölje a a bal kezedben lévõ érmék számát, akkor a maradék a jobb kezedben 9 µ a darab. A kijelölt szorzásokat elvégezve az alábbi algebrai kifejezés írja le az érmék számát. a + (9 µ a) = a + µ a = µ a Arra következtethetünk, hogy az eredmény éppen az eredetileg a bal kezedben lévõ érmék számával kevesebb -nél, vagyis -bõl az eredményt levonva kapjuk, hogy a bal kezedben mennyi érmét tartasz. 9. Vegyes feladatok. a) x + y b) x y c) x µ y d) e) (x µ y) f) + x y. c – e tábla marad a második nap után.. nap. nap x + y c µ e marad c µ e marad

42 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A d diák menetjegye oda-vissza d 0. t Ft-ba kerül 0%-os kedvezménnyel. A kedvezményes jegyre jogosult f felnõtt menetjegye oda-vissza f 0. t Ft-ba kerül. Az n fõs társaságból n µ f µ d fõ teljes árú jeggyel utazik, ezen jegyek összesen (n µ f µ d) t Ft-ba kerülnek. (d 0, t + f 0, t + (n µ f µ d) t + n h) Ft-ot fizetnek összesen.. a) 0, b) 0 c) 8, d),. a) + (x x + ) = ( + x x) + = + (x x) + ; ( + x) x + ; + x (x + ); b) ( y) µ y + = ( y µ y) + ; (y µ y + ); (y µ y) + ; y µ (y + ); c) ( z + z) + = z + ( z) + = ( z) + z + = z + ( z + ) (z + ) z + ; (z + z) + ; (z + z + ); z + (z + ). A dobott számok összegének lehetséges legkisebb értéke: + = 7 7. A dobott számok összegének lehetséges legnagyobb értéke: + = 8 È Ê ˆ Î Í Ë – È – Ê Ë – ˆ Î Í – = È Ê 0 Ë – ˆ Î Í ÈÊ 8 Ë – 0ˆ Î Í = Ê 8 ˆ = – – Ë – Ê ˆ Ë = 0 = megoldás: [a µ(b µ c)] µ [(a µb) µ c] = [a µb + c] µ [a µb µ c] = a µb + c µa+ b + c = = c = = 8. Mindegyik esetben végtelen sok megoldás van. Pl.: a) b) c) a 0,a a a 0,a a a a 0,a 0,7a d) e) a a a a a a a a 9. a) xµ + x + x + = x b) y µ + y µ + y + y + + y + = y

43 0. a) K= 8a T = a b) K = 0a T = a c) K = b + a + c T = b (b + a) + a c. a) V= a b) V = a + a = a c) V= b (b + a) a+ a c = a b + a b + a c. a) µb, mert a három másik szorzat csak együtthatójában különbözik egymástól. b) ab, mert a másik négy kifejezés többtagú algebrai kifejezés. c) xy, mert a másik négy kifejezés többtagú algebrai kifejezés. d) xy, mert a többi kifejezés együtthatója. e) (8z), mert a többi kifejezésben a z együtthatója.. a) b). a) a + a + a(a + ) b) b b b. b ( + b). a) a + + (a µ) = b) b µ (b + ) + = = a + + a µ = a µ = b µ b µ + = b + c) c + µ (c µ ) = c + µ c + = c + d + ( d + ) d) d + = d + = d + d + = d + e e – e + ( e – ) e + e – e – e) + = = = f + f – f + – ( f – ) f + – f + f) – = = = =. a) K= ( + p) + 8 vagy K = (8 + p) + T = 8 ( + p) vagy T = (8 + p) b) K = (8 µ q) + vagy K = ( µ q) + 8 T = (8 µ q) vagy T = 8 ( µ q) c) K = p + 8p T = 8p p = 8p d) K = p + 8q vagy K = 8p + q T = 8p q = p 8q = 8p q 7. a) -szeresére b) -szeresére c) -szeresére d) -szorosára 8. (s t) v = (v s) t szótagból áll a vers. Lásd József Attila Kedves Jocó! címû versét. 9. ); C); F); G); H); J); I) 0. ); D); E); F); G); I) Ê + ˆ, Ë

44 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 0. a) hamis b) igaz c) hamis f. ceruza Ft, ezért g Ft-ba g f gc : = db ceruza kerül. c c f. A három szorzótényezõt, amiket te választasz meg, rendre összeszorzom, majd a két osztóval elosztva kapok egy eredményt, jelölje ezt a szám Az elsõ öt mûvelet, amit a gondolt számmal elvégzel, helyettesíthetõ az a számmal való szorzással. Ha ezután a hatodik lépésben elosztod a gondolt számmal, újra visszakapod az elsõ öt mûvelet eredményét, azaz a-t. Miután hozzáadod a gondolt számot, könnyen következtethetek a kapott érték alapján az eredetileg gondolt számra, csak le kell vonnom az eredménybõl az a-t.. a) (0 + 7) t = 7t km-t tesznek meg együtt. Ê ˆ b) + Ë részét ássák fel együtt. 9 t

45 . Egyenletek, egyenlõtlenségek. Hogyan oldjunk meg feladatokat!. Zs + D = D Zs = D + D + + D = Zs Zs D + D = D =, kg. Zs =, + =, kg újságot gyûjtött.. nap = óra óra µ ór 0 perc = 8 óra 0 perc Ennek a fele lesz a nappal idejének hossza, vagyis 9 óra 0 perc. Mivel a nap 7 óra perckor kell, akkor 7 óra perc + 9 óra 0 perc = óra perckor nyugszik.. Menetjegy ára csak odaútra: m Helyjegy ára: h m + h = 800 m + h = 00 h m = h Tehát m + h = 00 így is írható m h h = 00 h + h = 700 Þ h = 0 Ft m = 00 Ft Helyjegy nélküli vonaton oda-vissza 00 Ft-ért utaznánk. D + V. = D = V + 0 D + V = 88 V V = 88 V + V = 8 V = 9 D = 9 Vác 9; Debrecen 9 pontot gyûjtött.. Kristóf: ( + ) = 7 Kristóf 7 éves.. Anna Zsuzsi x db x db x + x = 8 x = Zsuzsinak db, Annának db ötöse van. V D 0

46 7. Ha Csaba x percig volt pályán, akkor álint x percig. 90 = 0 perc. álint 0 percig; Csaba 0 percig játszott. 0. percben történt a csere. 8. áfonyalekvár mogyorókrém üveg ára: x Ft üveg ára: x Ft üveg ára: x Ft üveg ára: x Ft x + 9x = 00 x = 0 üveg áfonyalekvár 0 Ft, üveg mogyorókrém 90 Ft. 9. év = nap Hátralévõ napok x 00 földi nap telt el. Eltelt napok µ x x = µ x x = 0. Arany Ezüst ronz x x x + x + 0 x + x + x + x + 0 = 80 x = Arany: 90 fõ Ezüst: fõ ronz: 7 fõ. 7x µ 8 = 8 x = A gondolt szám a. születésnapján: x +. születésnapján: x + +,. születésnapján: x + +, +, µ = 7 x = 0 A. születésnapján az elõzõ évi 0 cm-nél cm-rel volt magasabb, azaz cm.. 0% = rész Róka Influenzában elpusztult 0 db = összes csirke része fi része: 80 : = 0 db. 80 összes csirke: x db maradék rész: influenza rész 0 db túlélõ rész Þ rész = 0 0 db A róka elvitt 0 db-ot. a) 0 db b) 80 db c) 0 db d) 00 db SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

47 . evétel: maradék CD eladás bevétel része rész: internet mill. dollár turné A CD eladás utáni maradék része = millió dollár. Þ Internetbõl millió dollár. Þ CD eladás: = dollar evétel: = dollar A zenekar bevétele millió dollár volt. x = µ 000 x = Nagy úr Ft-ot keres. x 0. > + x = + x = x = Júniusban átlagosan mm csapadék hullott. 7. Én most: éves 0 év múlva: = 8 éves voltam, amikor az apám éves korkülönbség: év Az apa most: + = 70 éves 0 év múlva az apa 80 éves. x 8. > + + x = 0 A színésznõ most 0 éves x = 8 x = 0 Egy margarin tömege 0 dkg. év 0. = K = K N + K = K + N = K + a) banán kiwit ér. b) Ha N = K +, de = K, akkor N = K N = K tehát egy kiwi fél narancsot ér. év része = 0 év év A színésznõ életkora 0 év 0 év 7

48 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény:. Hogyan születnek az egyenletek?. Gábor: x µ = 0 x = x = 8 alázs: (x + ) = 8 x + = 8 x = Eszter: (x + 8) µ = (x + 8) = 8 x + 8 = 8 x = 90 µ 8 = 7. a) x = x = x = b) x µ = 8 x = 8 + x = 7 c) 0, x = 9 x = 9 0, x = 8 d) x + 7 = µ7 x = µ7 µ 7 x = µ e) 9x + = 9x = µ 9x = 99 x = 99 9 x = f) 8x µ = 99 8x = x = 0 x = 0 8 x = g) x + 7 = x = µ 7 x = µ x = µ x = µ h) 8 = x + x = 8 µ x = x = x = 7 i), +,x = 9,x = 9 µ,,x =, x =,, x = j) (x + ) = 7 x + = 7 x + = 9 x = 9 µ x = x = x = 8 k) (x µ ) + = ( x – ) = – x – = x = + x = l) (x µ 7) µ = 7 ( x – 7) = 7+ x – 7 = 0 x = + 7 x = 0 x = x + x + m) – = – =- + x + = x + = 9 x = 9 µ x = 7 x – x – n) – = = + x = x = x = 7 x – x – = x = + 7x – 7x – 7x – o) + = 0 = 0 – = 8 7x µ = 8 7x µ = 7x = 8 x = 8 7 x = 9 = 90 8

49 . A versenyzõ tömege: x kg. x µ 8 = 87 Þ x = x = x = x = 8 A versenyzõ tömege 8 kg.. a) x + x + = x = µ x = x = x = b) x µ µ x = 7 x = 7 + x = 7 x = 7 x = c) x + µ x x = x + = x = µ x = x = x = d) x µ x µ + x + 8 = 9 x + = 9 x = 9 µ x = 88 x = 88 x =. Karcsi gólyalábai: x cm; Karcsi x cm magas. x + x = 0 x =, Gólyalábak hossza:, cm Karcsi magassága: 7, cm. A túra hossza rész 0 km rész = 0 km Þ rész = km Þ A túra teljes hossza: km. 7. Vidor x Tudor x Szende x Szundi x Þ x + x + x + x + x + x + = Hapci x 0x = 0 Kuka x x = Morgó Szundi db palacsintát evett. 8. Citrom Vanília x µ x x µ + x = 07 x = 8 Vanília: 8 gombóc. Citrom: gombóc. 9. Napóleon Wellington lücher x fõ x fõ 000 fõ x x = x = Napóleon serege: fõ. Wellington serege: fõ. 9

50 0. x µ = 7 x = 8 Katinka oldotta meg helyesen az egyenletet.. a) µ ( + x) = – ( + x) = – + x = x = x = µ x = µ b) [ + (x µ )] µ 0 = c) d) + (x µ ) = ( x – ) = – (x µ ) = x – = x µ = x = + x = = x x + = 8 x = x – 7 = x = 8 x = 8 x µ 7 = x = + 7. a) Pl.: Egy szám -szereséhez -t adtam, így -ot kaptam. Melyik ez a szám? x + = x = 7 b) Gondoltam egy számot, elvettem belõle -at, a különbséget elosztottam -tal és hozzáadtam -hez, így -ot kaptam. Melyik számra gondoltam? x – + = x = c) Egy számhoz hozzáadtam a -szeresét, -szorosát, -szeresét, majd kivontam az eredménybõl -t, így 8-at kaptam. Melyik ez a szám? x + x + x + x µ = 8 x = Rejtvény: pl.: x µ µ x µ x = 0 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE = x + = 8 x = x – 7 = x [ + ( x – )] = + 0 x + = x + = 8 8 x – 7 = 8 x = – 8 x ( x – ) = x + = 8 = – 8 x = = 8 x – 7 = 0

51 . Mérlegelv I.. dkg 0, kg 0, kg 0, kg 00 kg = dkg = 7 dkg zacskó cukorka + dkg = 7 dkg Mindkét oldalról vegyünk el dkg-mot. zacskó cukorka = 7 dkg zacskó cukorka = 8 dkg. a) x+ = /µ b) x + 80 = 007 /µ80 x = 9 x = 77 c) x + = /µ d) + x = /µ e) + x = 0 /µ x = µ x = x = µ f) 7 = x + /µ g) x +, =, /µ, h) 0, + x =,0 /µ0, = x x = 0,8 x = 0,8. a) xµ = 9 /+ b) x µ = 9 /+ c) x µ 8 = µ /+8 x = x = x = d) µ + x = /+ e) µ + x = 0 /+ f) 9 = x µ /+ x = 9 x = = x g) x µ, = µ /+, h) µ, + x = 0, /+, x =, x =,8. a) x = / b) 8x = 9 / 8 c) 8x = / 8 x = x = x = d) 000x = / 000 e) x = 0 / f) x = µ x = 80 x = 0 x = µ g) µx = 7 / µ h) µx = µ8 / µ x = µ8 x = + x x x x. a) = 8 / b) = / 8 c) = / 9 d) = / 8 9 x = x = x = 9 x = e) x = 8 / f) x = / g) x = µ9 / 7 x = 8 = h) µ x = / µ 7 7 x = Ê 7 ˆ – Á =- Ë x = = x =-9 =-

52 . a) x + = /µ b) x + 7 = /µ7 c) + x = /µ x = / x = / x = 0 / x = x = x = d) x µ = /+ e) x µ 0 = 0 /+0 x = / x = 0 / x = x = f) 9 µ x = 7 /µ9 g) = 0x µ /+ µx = 8 / (µ) 0 = 0x / 0 x = µ = x h) 9 = + x /µ i) 8 = µ x /µ = x / = µx / (µ) 9 = x µ = x j) x + = /µ k) x µ = /+ x SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE = / x = / x = x = fi 8 l) µ x = 0 /µ µ x = µ / µ x =- Ê ˆ Ë – = a) x = x + 8 /µx b) x = x + /µx c) x + 7 = 0x /µx x = 8 x = / 7 = 9x / 9 x = = x d) x = x + /µx e) x = x µ /µx f) + x = 7x /µx x = / x = µ / = x / x = 7 x = µ = x g) x = 9 – x /+x h) x = – x /+x i) µ x = x /+x x = 9 / x = / = x / x = x = 9 = x 8. a) x + = x + 7 /µx b) x + = x + 9 /µx c) x + 8 = x + /µx x + = 7 /µ x + = 9 /µ x + 8 = /µ8 x = / x = / x = x = x = d) x µ = x + /µx e) x + = x µ 8 /µx f) x µ = x µ /µx x µ = /+ = x µ 8 /+8 µ = x µ /+ x = 9 = x / 8 = x / = x = x

54 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Mérlegelv II.. a) x µ + x + = b) + 9x µ 0 + x = 0 9x µ = /+ x µ = 0 /+ 9x = 7 / 9 x = / x = x = = c) x + + x + x µ = x + /ö.v. d) x µ µ x + 9 = 7 µ x /ö.v. 0x µ = x + /µx 7 µ x = 7 µ x /µ7 8x µ = /+ µx = µx /+x 8x = / 8 x = 0 / x = x = 0 e) x µ µ x = x + + x µ /ö.v. µ µ x = x µ 9 /+x µ = 7x µ 9 /+9 = 7x / 7 = x f) x µ x µ 9 = x + 8 µ x + /ö.v. 0x µ 7 = µx + /+x x µ 7 = /+7 x = / x =. µ x = 8 µ x /+x = 8 µ x /µ8 µ = µx / (µ), = x. 9x µ = 8 + x /µx x µ = 8 /+ x = / x =. Egy aranyrúd tömege: x kg. Aladár Elemér Jonatán x x x + x x + x + x + x =,8 x =, kg Egy aranyrúd tömege, kg.. Széchenyi atthyány x + x x + + x = 99 x = atthyány Lajos: éves volt. Széchenyi István: 7 éves volt.

55 . n oldalas legyen a novella. n + n + 8 = 0 /µ8 n = n = oldalas x x 7. a) + = b) x – x = x + x = / x – x = /ö.v. x = 90 / x = 8 x = / x = x = c) x x x x x + + = 8 /k.n. d) + = – /k.n. 0x x x x x /ö.v. / – x + + = 8 + = x x = 8 / = /+ x = x = 0 8. x = x x =, kcal Egy zsemle energiatartalma, kcal. 9. x x = x + x + 0 = x /k.n. /ö.v. 7x x / – 7 x + 0 = x 0 = / x = 0 = 8 8-as számú házban lakom = x 8 = x /

56 0. a) (x + ) µ x = b) x + ( µ x) = c) ( µ x) + = x µ µ x = /µ x + µ x = /ö.v. 0 µ x = x µ /+x µx = / (µ) µ x = /µ 0 = x µ /+ x = µ µx = / (µ) = x / x = µ = x d) µ (x + ) = x µ /z.bontás e) 000 µ (x + ) = 000 /µ000 µ x µ = x µ /ö.v. µ(x + ) = µ000 / (µ) µ x = x µ /+x x + = 000 /µ = x µ /+ x = 998 = x / = x f) 8x µ (x µ ) = µ (x µ ) /+(x µ ) 8x = / 8 x =. 7. évfolyam száma: x fõ. Aggtelek Hortobágy Veszprém Nem szavazott x x x x + x + x + = x x = 80 fõ A hetedik évfolyam 80 fõs. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. rigi Erika Pisti Zoli kg 7 kg 9 kg kg kg. x Ft x 7x 9x (x µ ) x + 7x + 9x + (x µ ) = 8 x = 7 Ft kg dinnye 7 Ft-ba került.. a) (x + ) + x = b) x + (x µ ) = 0 x + + x = /ö.v. x + x µ = 0 /+ x + = /µ x = / x = / x = x = = c) (x µ ) = (x + ) d) 9( µ x) = (x µ ) x µ = x + /µx 9 µ 9x = x µ 8 /+9x x µ = /+ 9 = x µ 8 /+8 x = 0 7 = x / = 7 = x

57 e) (x µ ) = (x µ ) f) ( µ x) = (x µ ) x µ = x µ /µx µ 0x = x µ /+0x x µ = µ /+ = x µ /+ x = 8 / 0 = x / x = x =. a) (x + ) µ 8 = (x µ ) µ x b) ( µ x) + = x µ x + µ 8 = x µ µ x /ö.v. µ x + = x µ x µ = x µ /µx 9 µ x = x µ /+x µ = x µ /+ 9 = 7x µ /+ 9 = x = 7x / 7 = x c) µ (x µ ) = (x µ ) µ x /z.b. d) (x µ ) µ (x µ ) = x + 9 /z.b. µ x + = xµ µ x /ö.v. x µ 9 µ x + 8 = x + 9 /ö.v. µ x = x µ /+x x µ = x + 9 /µx = 8x µ /+ x µ = 9 /+ 8 = 8x / 8 x = 0 = x. Áron Gergõ x Megmaradt pénz: – 00 < x + 00 Ê x ˆ - 00 x 00 Ë = + x = 00 Áron és Gergõ 00 Ft-ot kaptak külön-külön.. rokkoli Gomba x µ x x µ, = ( µ x) rokkoli: x = 0, kg Gomba:, kg 7. Ha Levente 00 Ft-tal kevesebbet visz, akkor Sanyinak kétszer annyi pénze van, mint Leventének. Vagyis: Sanyi pénze: (x µ 00). Zsuzsi Levente Sanyi x x (x µ 00) x + x + (x µ 00) = 00 x + x µ 00 = 00 /+00 x = 000 / x = 00 Levente: 00 Ft Zsuzsi 00 Ft Sanyi 800 Ft 0 = x 7

58 8. Anglia Új-Zéland Olaszország Skócia x + Angliából felírva: ; x x x + 0 x = + / x = x /µx x = / x = 08 Új-Zéland = 09 pontot szerzett. Rejtvény: Tanár Apa x évvel ezelõtt µ x 8( µ x) µ x = ( µ x) Most 8( µ x) 8( µ x) µ x = ( µ x) /+x 8( µ x) = ( µ x) + x /µ( µ x) ( µ x) = x 0 µ x = x /+x 0 = x x = 8 7 Apa most: 8 ( – 9) = éves.. Amit nem szabad elfelejteni: az egyenlet alaphalmaza. x ÎN 0 + SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE x + x + 7 x + a) = / b) = / c) =- / x + = /µ x + 7 = /µ7 x µ = µ8 /+ x = 0 ÎN x = µ ÏN x = µ ÏN x – x – – x d) = 8 / e) = / f) =-7 / x + = /µ x µ = 0 /+ µ x = µ /µ x = / x = / µx = µ / (µ) x = ÎN x = ÏN = x ÎN 8

59 . x ÎQ x – x x a) + = /µ b) – = /+ c) + = 8 /µ x – x x =- / = / = / x µ = µ /+ x + 7 = /µ7 µ x = /µ x = µ ÎQ x = 7 / µx = / (µ) x = 7 ÏQ x = – ÎQ d) x – x – – x + = x / e) + x = – / f) – x = / x µ + 8 = x x µ + x = µ /+ µ x µ x = 0 x + = x /µx x = µ / µ 7x = 0 /µ = x / x = µ ÎQ µ7x = / (µ7) = x ÏQ x = – 7 ÎQ. x ÏQ; x > x – x x + x + a) + = / b) + = / (x µ ) + x = x + + (x + ) = 0 /z.b. 9x µ + x = /+ x + + x + = 0 /ö.v. x = 8 / x + 8 = 0 /µ8 x = 7 ÎQ x > x = / x = ÎQ x > c) x – x – x + 7 x – + = x / 0 d) – = x – 7 / (x µ ) + (x µ ) = 0x /z.b. 7(x + 7) µ (x µ ) = x µ /z.b. 0x µ + x µ = 0x /ö.v. 7x + 9 µ x + = x µ /ö.v. x µ 7 = 0x /µx x + = x µ /µx µ7 = x / = x µ /+ – 7 = x ÎQ de x >/ = x / nem megoldás. Az iskola énekkara: x fõ. Szoprán Alt Mezzo 0 x = x = x 00 0 x x + x + = x 0 = x ÎQ x > megoldás x =, nem megoldás, mivel x-szel a gyerekek számát jelöltük és ez csak pozitív egész szám lehet. = 9

61 . Mikor érdemes egyenleteket használni?. A fiúk száma -gyel több a lányokénál. Lányok: x fõ; fiúk: x + fõ. Gabinak kétszer annyi fiútestvére van, mint lánytestvére. A testvérei száma: lány fiú x µ < x + (x µ ) = x + x = Þ x + = A családban lány- és fiúgyermek van.. x µ 700 = 700 µ x x = 0 db 0 db juha van a juhásznak.. Apa Fiú x x x µ >x µ x µ = (x µ ) x = 8 Az apa éves, a fiú 8 éves. x + 07, x + 8= x 7 x = 0 0-an jelentek meg az ügyeleten, ebbõl 0-at benntartottak kivizsgáláson, hazaengedtek 9-t. 8. évf. db 7. évf.. évf.. évf. tanár db db 8 db. megoldás: Az újságok száma: x db. megvette maradt 8. o. x x 7. o. x = x x – x = x. o. x – x = x 0 x 0 0. o. x = x 0 x – x = 0 0 x 80 az iskolaújság száma.