2017/2018. Matematika 9. K

Mozaik, Budapest, 2006

Sokszínű matematika 9

TartalomKombinatorika, halmazok Algebra s szmelmlet Fggvnyek.

4 12 20 37 43 52 63

Hromszgek, ngyszgek, sokszgek Egybevgsgi transzformcik Statisztika

Egyenletek, egyenltlensgek, egyenletrendszerek

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

Kombinatorika, halmazok1. Szmoljuk ssze1. 5! = 120. 2. a) 3! = 6;

b) 4! = 24; e) 7! = 5040. b) ez nem lehet; c) 2;

c) 5! = 120; d) 4 2 = 8.

4. 6894 szmjegyet (10 db 1 jegy, 90 db 2 jegy, 900 db 3 jegy, 1001 db 4 jegy). 5. Ez 1000 db szm, s minden 10-edik 1-re vgzdik, gy 100 db. A msodik helyi rtken

10 10 db, a harmadikon 100 db van. sszesen 300 db.6. a) 23 db 3-as 129-ig; 7. a) 44 = 256; 8. 6741. 9. a) Ha a testeket elmozdthatjuk, akkor kevesebb vgssal is megoldhatjuk a feladatot. Kt

b) 82 db 3-as 319-ig; c) 64;

c) 181 db 3-as 412-ig. d) 32.

egyirny vgssal elrhetjk, hogy egy 5 5 1 s kt 5 5 2 mret tglatesthez jussunk. Egyetlen vgssal meg tudjuk felezni a kt nagyobb testet (s gy t darab 5 5 1 mret tglatesthez jutunk), ha a felezend testeket a megfelel mdon trendezzk. gy 3 vgssal elrjk, amit elbb 4-gyel tettnk meg. sszesen 3 + 3 + 3 = 9 vgssal boldogulunk. Kevesebb vgs nem elg. Egy vgs utn a nagyobb test tartalmaz egy 5 5 3-as tglatestet. Ezt a rszt kvessk s az trendezseinket mindig gy vgezzk el, hogy a kvetett test ne mozduljon (ezt megtethetjk). A kvetett test mindig a nagyobbik maradk lesz. Az egyes vgs ltal rintett oldalakra adhat als becsls 5 3 2 1 mdon vltozik. Azaz valban minden irnyban legalbb hrom vgsra szksg is van. b) 4 + 5 4 + 25 4 = 124 vgsra. Mskppen: Minden vgs eggyel tbb testet ad. 125 darab kis kockhoz 124 vgs vezet el. c) 33 = 27, melynek nincs; 6 3 3 = 54, melynek 1; 3 4 3 = 36 melynek 2 s 8 olyan, melynek 3 piros lapja van. 4, 5, 6 piros lapot tartalmaz kis kocka nincs.10. a) 7 klnbz testet. 11. a) 1;

12. kos 6 prnl nyer, Zsombor 23 prnl. 13. Gabi 15-flekppen s Zsuzsi 21-flekppen. 14. Kati 16-flekppen, Dani 20-flekppen. 15. Zsfi 15-flekppen, Dorka 21-flekppen. 4

16. Tibi 20-flekppen, Pisti 16-flekppen. 17. Egyik nyer, ha a dobott szmok sszege 7-nl kisebb, a msik, ha nagyobb, s dntetlen,

ha 7.18. e: azon napok, amikor dleltt esett, u: amikor dlutn, n: amikor nem esett.

gy e + n = 12, u + n = 9, e + u = 11. Innen e = 7, n = 5, u = 4. 5 napon nem volt es. Rejtvny: 16 + 9 + 4 + 1 = 30 ngyzetet.

b) c) d) e) b) c) d) e)

3. a) igaz; 4. a) igaz;

= d; s lsd a b) rszt. d) igaz; b) e) hamis; f) hamis.

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

8. 25 1 = 31 fle sszeget, a legnagyobb 185 Ft. 9. a) igaz;

3. Halmazmveletek1. a) A =

j) A B = A B m) A \ B = p) A U = U

B = A B = A B= k) A \ B = B n) A \ B = A b) e) h) q) B U = B

c) A B = B f) A B = A i) A B = A B l) A \ B = o) A \ B = B r) A \ U = 7

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

AB = AB A B = B C = (A B) C = (A B) C = C A B C = A B C = U A B

b) A B = d) A B = A B f) A B = h) A C = U j) B C = l) (A B) C = n) (A B) C = p) b) hamis e) igaz h) igaz c) igaz f) hamis

a) hamis d) hamis g) igaz

A = B = C = b) nem szksgszeren igaz d) igaz c) igaz d) igaz c) nem szksgszeren igaz

c) nem szksgszeren igaz11. a) nem igaz

12. a) nem szksgszeren igaz b) igaz 8

13. a) 12 cm2, a srga s a kk terlet ugyanakkora, hisz a metszettel kiegsztve ugyanakkora

ngyzetet adnak. b) 4 cm2, a klnbsg 0 cm2. Rejtvny: Nincs hiba, mindkt llts lehet igaz egyszerre, mivel nem lltja, hogy kt nyelvet nem tanulhat valaki.

4. Halmazok elemszma, logikai szita1. a) 20 2. a) 45 3. a) 41

c) 8 c) 9 c) 95 d) 64

4. 51 lpcsfokot hasznlnak pontosan ketten. 5. a) 33

6. 0,8 15 = 12 tanul matematika szakkrre s kosarazni is jr. 12 / 0,3 = 40 tanul kosarazik. 7. Az els s a msodik problmt legalbb 90 + 80 100 = 70 tanul oldotta meg. A har-

madik s negyedik problmt legalbb 70 + 60 100 = 30 tanul. Mivel ennek a kt halmaznak nem lehet kzs eleme, pontosan ennyi az elemszmuk. Teht 30 tanul nyert djat.8. Barna szem s stt haj tanul legalbb 14 + 15 20 = 9 van. 50 kg-nl nehezebb s

160 cm-nl magasabb pedig 17 + 18 20 = 15. Ezen kt halmaz metszetben, azaz akik mind a ngy tulajdonsggal rendelkeznek, legalbb 15 + 9 20 = 4 tanul van.9. Mivel 2 jeles tanul, sportol lny van a 10 sportol lny kztt, a 6 nem jeles lny kzl

8-nak kellene sportolnia, ami lehetetlen.10. Akkor oldhat meg, ha egyetlen frj sem azonos magassg, illetve sly a felesgvel.

2 1 Legyen x a felesgknl magasabb frjek szma. gy x a magasabb s nehezebb, x 3 3 2 a magasabb s knnyebb s x az alacsonyabb s nehezebb frjek szma. Teht 9 2 1 2 x + x + x + 120 = 1000. 3 3 9Innen x = 720. 480 frj nehezebb s magasabb, mint a felesge.11. A =

Megfelel t halmaz: A = B = C = D = E = t darab 3 elem halmaz nem adhat meg. B = C = D = 9

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

5. Szmegyenesek, intervallumok1. a)5 4 3 0,5 0 0 0 1 1 4 3,5 4 3

1 1 1 0,5 40 4 5

4,5 4 0 2000 5000

1 0,5 0 0 1 0 3 1

e) ]3; 6]0 0 0 1 0 1 3 3

c) e) ]1; 3] g) [1; 3]5. a) ]3; 5[1 0 1 0 3 3

b) ]6; 4[ ]2; 2[ ]4; 6[ c) ]6; 3[ ]3; 1[ ]1; 3[ ]3; 6[6. a)0 3 0 4

B E = [5; 3] CF= AF= B C = [5; [10

ED= A C D = [4; [ BFC=8. a) igaz

Rejtvny: Pldul: 8 8 (8 + 8) (8 + 8 + 8).

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

Algebra s szmelmlet1. Betk hasznlata a matematikban1. a) 5-tel osztva 2 maradkot ad pozitv egsz szmok.

b) 5-tel osztva 2 maradkot ad pozitv egsz szmok. c) Racionlis szmok.2. Racionlis szmok. 3. 4m + 1; m N. 4. ; 7, 83; 14; 10, 6; 14; 21. 5. a) 3a2 4 a + 1

c) 2 abc 4 ab 2 c + 4c 2 (55)2;

b) 24 25 > (24)2; d) 36 = (32)3 < (32 33)2 = 310;

d) 316 = 43046721; h)

g) 529; c) ab2, a s b 0; g) a3b2, a s b 0. c) 32;

e) 2xy, x s y 0;4. a) 2000;

Rejtvny: b = 4, c = 3, a = 2.

3. Hatvnyozs egsz kitevre1. a)

1 ; 5 3 . 511 b , a s b 0; a4 y8 , x s y 0; x3

714 ; 33 b2 , a s b 0; a2 1 , a 0; a16

25 ; 2 1 , x 0; 8×3 a10 , a s b 0; 4 b8

g) a4 b8, a s b 0;3. a) 2 4 33 54; 4. a) 2;

h) 27 x32 y2, x s y 0. b) 29 34; b) 10; e) 4096. c) 54 28. c) 1; b) 10 7 =

1 1 > = 3 4 ; 64 81 1 1 > = 37 (3 2 4 )6 ; 225 3 224

1 1 > = 2 6 58 ; 7 10 25 10 61 2 = 18 3. 3 28 35

Rejtvny: a = 3, b = 5, c = 2, d = 0.

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

4. A szmok norml alakja1. 2 107 szemet tartalmaz. 2. 500 msodperc =

25 perc ~ 8,3 perc. 3

3. 6,25 1015 elektron. 6. A bolygk ssztmege ~ 266 900 1022 kg = 2,669 1027 kg. A Nap tmege 1990 1027 kg.

Az arny 0,134%. Rejtvny: a = 0, b = 0, c = 1, d = 5.

5. Egsz kifejezsek (polinomok)1. 0,4a2 2b;

11x4y2. c) 2a2b ab + b2. c) 5a2b + 6ab 11ab2; f ) 3x2y + 13xy + 4xy2. c) 6a3 + 3a2 21a; f ) 8×4 + 14×3 + 3×2 5x 2. c) 64a2 1;

2. a) 3y2 + 4y 3; 3. a) 3y 1;

b) 5×3 x2 x 4; b) 6×2 + 9x; e) 14x; b) 6×3 9×2 + 21x; e) 6×3 3×2 8x + 15; b) 49a2 42a + 9;

d) 6a2 + 13a 6;5. a) a2 + 4a + 4;

a2 + b2 + 2ab + 2a + 2b + 1.

6. Az egytthatk sszegt az x = 1 helyettestssel kapjuk, ami 1.

6. Nevezetes szorzatok1. a) 36a2 60ab + 25b2;

d) 49×4 + 42×2 + 9; 25 2 10 1 a + ab + b 2 ; g) 49 21 9

b) 100a2 + 40ab + 4b2; c) 64×2 + 48xy + 9y2; e) a2 18ab3 + 81b6; f ) 16a4 40a2b5 + 25b10; 49 8 21 4 3 9 6 x x y + y . h) 121 44 64

2. a) 4a2 + 16b2 + c6 + 16ab + 4ac3 + 8bc3;

b) 25×2 + 9y4 + 4 + 20x 30xy2 12y2; 4 16 c) 36 x 2 + y 2 + 16 z 4 8 xy 48 xz 2 + yz 2 ; 9 3 d)

9 2 4 2 1 3 4 a + b + ab + a b ; 16 9 49 14 21

e) 4a2 + 9b2 + 16c2 + d2 12ab + 16ac 4ad 24bc + 6bd 8cd.14

3. a) 27×3 + 27x2y + 9xy2 + y3;

b) 64a6 96a4b + 48a2b2 8b3; d) f)

x3 3 2 + x y + 6 xy 2 + 8 y3; 8 2 1 6 15 4 75 a + a b + a2 b 2 + 125b 3; 64 16 4b) 9a2 25b2; f) 64x4y2 9x2y4;

8 3 4 2 3 2 6 1 9 x x y + xy y ; 125 25 15 27 27 3 54 2 36 2 8 3 a a b+ ab b . 125 125 125 125 x2 49 ; 25 a2 121 2 b ; 4 4d) x4 36a2;

36 4 4 4 x y . 25 25

5. a) x4 + 8×3 + 12x2y 46×2 + 6xy2 + y3 + y2 + 25;

b) 5×2 4xy + 4y2; 7 13 39 d) x 3 + x 2 + x + 16; 2 2 26. a) (x 3)2 + 1;

c) 150a2b 80a2 + 2b3 + 45b2; 25 2 16 e) a + a 8. 9 3 b) (x + 6)2 + 3;7 3 c) x + ; 2 4 3 7 f ) 2 x + . 2 2 2 2

21 357 ; d) x + 2 4 7. a) a3 8; 8. a)

e) 3(x 1)2 + 5; b) b3 + 27;

800 74 4 = ; 1000 74 5

b) (100 4) (100 + 4) = 10 000 16 = 9984.

9. a) 900 1 = (30 + 1) (30 1) = 31 29;

b) 77782 22232 = (7778 + 2223) (7778 2223) = 10 001 5555 = 55 555 555. Rejtvny: 632 757 632 763 = (632 760 3) (632 760 + 3) = 632 7602 9; teht 632 757 632 763 < 632 7602.

7. A szorzatt alakts mdszerei1. a) 4x(3×2 2x + 1);

b) 2a2b(3a 4b); e) 6a5b3(3a2b + b4 + 5a5);

c) 10xy(2x 3y); f ) 10xy(2x 3y). c) (x 7) (4a b); f ) (3y + 2) (2x 1);

b) 2(a + 2) (3x + y); e) (6a b) (2x + 3y); d) (5a + 2b) (3x 2y); g) 6a2x 9xa + 2a 3 = (2a 3) (3ax + 1); h) (2a + b) (2a b) (2x + y).

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

b) (11 + 4x) 2;2 2 d) x + y x y ; 3 3

c) (3a + 7b) (3a 7b); e) (7a2 + 2b)2; g) (6a3 5b2)2;

f ) (4a2 + 1) (2a + 1) (2a 1);2 3 h) x y ; 3 72

i) (a8 + 1) (a4 + 1) (a2 + 1) (a + 1) (a 1).4. a) 5(3x 4) 2;

c) e) 2(x + 5) (x 1);5. a) (x2 + x + 1) (x2 + x + 1);

b) 3a2(a2 + 3b) 2; d) (x 7) (x + 3); f ) (x2 + 3) (3×2 + 4). b) (x2 2x + 2) (x2 + 2x + 2);

(x4 + 2×2 + 2) (x4 2×2 + 2).

Rejtvny: (113; 112); (39; 36); (25; 20); (17; 8); (15; 0).

8. Mveletek algebrai trtekkel1. a)

x2 , x s y 0; 2 y2

3(2 x 3) 3 , x ; 2x + 3 2 5 x 3 , x ; 2x + 5 2 3 3a + 1 , a 1 s b . a 1 2c)

3x 1 1 , x ; 3x + 1 3 x+5 , x 5 s x 3; x 5 9ab 2 y 2 ; 8x 2(2b + 3) ; 3b 2 3 ; 5(a b) 3x + 2 , x 0; 2×2 3x 1 , x ; 2(3x + 1) 3b)

x ( x + 4) 3( x 2 + 4) (3x 2)

5 21a , a 0; 15a2b2 + 2b + 6 , b 2 ; ( b + 2 )2

4 a2 2 a + 3 3 , a ; 2 (2 a + 3) (2 a 3) 2

3a2 51a + 98 , a 7 ; (a + 7) (a 7)2

2(9 y + 1) 1 , y ; 2 (3 y 1)2 3 (3y + 1)

4x , x 1. ( x + 1) ( x 1)3

Rejtvny: az sszeg 102.

9. Oszthatsg1. Mivel 81000, egy 1000a + b (a; b N) alak szm akkor s csak akkor oszthat 8-cal,

ha 8b.2. A 24k + 2 (k N) alak szmok 4-re vgzdnek, a 6-ra vgzd szmok pozitv egsz

kitevj hatvnyai pedig 6-ra. gy a 42619 + 258 0-ra vgzdik, teht oszthat 10-zel. Mindhrom alap ilyen alak, teht az sszeg oszthat 3-mal.

3. A 3k + 1 (k N) alak szmok pozitv egsz kitevj hatvnyainak 3-as maradka 1. 4. a) Tudjuk, hogy 15k 5k s 3k.

55 x 327 y y = 0; 5. y = 0: 35 x 3270 x = 1; 4; 7. y = 5: 35 x 3275 x = 2; 5; 8.5. 20a + 6b = 3(a + 2b) + 17a. A felttel miatt mindkt tag oszthat 17-tel, gy az sszeg is

oszthat.6. Ha p = 2, akkor p + 7 = 9, mely nem prm.

Ha p > 2, akkor pratlan, s p + 7 pros, teht nem lehet prm. Teht nincs ilyen p prmszm.7. Van, pldul p = 3. 8. a) 3 a maradk; 9. a) 5 a maradk;

b) 2 a maradk; b) 5 vagy 11 a maradk.

10. 27-nek 4 osztja, 48-nak 10 osztja, 64-nak 7 osztja, 121-nek 3 osztja, 500-nak

12 osztja, 625-nek 5 osztja van. A nem ngyzetszmoknak van pros szm osztja.11. A 48 a legkisebb ilyen szm.

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

10. Legnagyobb kzs oszt, legkisebb kzs tbbszrs19 2 b) ; ; 23 33 2. Legkzelebb 408 mter tvolsgra fordul el.1. a) 3. Ktszer, 8.30-kor s 11.00-kor. 4. Igaz. 5. 35 s 140, vagy 70 s 105. 6. a = 2 3; b = 3 5; c = 5 7. 7. [a; b] = b s (a + b; b) = a. 8. a = 9; 18; 36; 72. 9. Tudjuk, hogy 7x s 60x 1. gy a legkisebb ilyen szm a 301. 10. Bontsuk fel a-t s b-t prmtnyezs alakban. A kzs tnyezk kzl a kisebb kitevjek

az (a; b)-ben, a nagyobb kitevjek az [a; b]-ben, az azonos kitevjek mindkettben szerepelnek. A nem kzs tnyezk [a; b]-ben szerepelnek a bal oldalon. gy a illetve b tnyezi kzl mind szerepel a bal oldalon s ms tnyezk nem. Teht a kt oldal egyenl. Rejtvny: Mivel (a; b)[a; b], (a; b)a s (a; b)b, ezrt (a; b)p. Teht (a; b) = p vagy (a; b) = 1. a) Ha (a; b) = p, akkor a = k p; b = l p; (k; l) = 1; k, l Z+. gy k l p + p = k p + l p + p, (k 1) (l 1) = 1. Ez nem lehet, hisz k = l = 2 kellene legyen. b) Ha (a; b) = 1, akkor [a; b] = a b. gy a b + 1 = a + b + p, (a 1) (b 1) = p. Az egyik tnyez 1, a msik p. Legyen a = 2 s b = p + 1. Ha (a; b) = 1, akkor p nem lehet pratlan, teht p = 2. Teht a = 2, b = 3, p = 2.

11. Szmrendszerek1. a) 340568 = 3 84 + 4 83 + 5 8 + 6 = 14382;

b) 101111012 = 27 + 25 + 24 + 23 + 22 + 1 = 189; c) 223025 = 2 54 + 2 53 + 3 52 + 2 = 1577.2. Mivel 121503016 = 387613, s 13650348 = 387612, ezrt 121503016 > 13650348. 3. a) 1572 = 110001001002; 4. 342516 = 10233134 5. 4 a maradk. 6. 0 a maradk. 7. a) 2344235;

b) 1572 = 1202104;

8. 1 kg-tl 40 kg-ig brmekkora tmeget, melynek mrszma egsz.

Rejtvny: a = 3, b = 4, c = 2.

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

Fggvnyek1. A derkszg koordinta-rendszer, ponthalmazok1.y3 2 1

y4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

y4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

y4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

a maximum helye s rtke

6. Minimum helye x = 0, rtke y = 3.

6. Lineris trtfggvnyek1. a)y5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Df = R \ Rf = R \ (; 0) szig. mon. nv (0; ) szig. mon. nv max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely nincs Df = R \ Rf = R \ (; 4) szig. mon. cskken (4; ) szig. mon. cskken max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely nincs

y5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y5 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7

Df = R \ Rf = R \ (; 2) szig. mon. nv (2; ) szig. mon. nv max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely nincs Df = R \ Rf = R \ (; 3) szig. mon. cskken (3; ) szig. mon. cskken max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely nincs

y5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2

2. a) f ( x ) =y7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3

x2Df = R \ Rf = R \ (; 2) szig. mon. cskken (2; ) szig. mon. cskken max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely x = 1,5

b) g( x ) =y7 6 5 4 3 2 1 1 2

Df = R \ Rf = R+ (; 4] szig. mon. cskken [4; 5) szig. mon. nv (5; ) szig. mon. cskken max. nincs min. van, helye x = 4, rtke y = 0 fellrl nem korltos alulrl korltos zrushely x = 431

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

4 +1 x 1 x 1y6 5 4 3 2 1

4 3 2 1 1 2 3 4

Df = R \ Rf = R \ (; 1) szig. mon. nv (1; ) szig. mon. nv max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely x = 5

1 +3 x 1y8 7 6 5 4 3 2 1

Df = R \ Rf = R \ (2; 3] (; 1) szig. mon. nv (1; 0] szig. mon. nv [0; 1) szig. mon. cskken (1; ) szig. mon. cskken max. nincs loklis max. van, helye x = 0, rtke y = 2 min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos 2 zrushely x = 3 c) nemf

g1 3 2 2 3 4 5 6 7 8

7. Az egszrsz, a trtrsz s az eljelfggvny1. a)y5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4

Df = R Rf = Z mon. nv max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely van: x [2; 1) Df = R Rf = Z mon. nv max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely van: x [2; 3) Df = R Rf = Z mon. nv max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely van: x [0,5; 1) Df = R Rf = Z mon. cskken max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely van: x (0; 1] Df = R Rf = [0;1) periodikus, peridusa 0,5 egy periduson bell szig. mon. nv max. nincs min. van, helye x = 0,5k (k Z), rtke y = 0 fellrl korltos alulrl korltos zrushely van: x = 0,5k (k Z)33

y4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7

y5 4 3 2 1 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6

y5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5

y2 1 1 2 3 4 5 x

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

y9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

Df = R Rf = (; 1) mon. cskken [0; ) mon. nv max. nincs min. van, helye x [0; 1), rtke y = 0 fellrl nem korltos alulrl korltos zrushely van: x [0; 1) Df = R Rf = Z+ (; 1) mon. cskken (1; ) mon. nv max. nincs min. van, helye x (1; 1), rtke y = 0 fellrl nem korltos alulrl korltos zrushely van: x (1; 1) Df = R \ [0; 1) 1 Rf = xx = , k Z \ k (; 0) mon. cskken [1; ) mon. cskken max. van, helye x [1; 2), rtke y = 1 min. van, helye x [1; 0), rtke y = 1 fellrl korltos alulrl korltos zrushely nincs

Df = R \ Rf = Z+ (; 3) mon. nv (3; ) mon. cskken max. nincs min. van, helye x (; 2], rtke y = 0 fellrl nem korltos alulrl korltos zrushely van: x (; 2]

y1 1 1 2 3 4 5 6 7

y1 1 1 2 3 4 5 6 7

8. Tovbbi pldk fggvnyekre1. a)y3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4

Df = R \ Rf = R \ (4; 0) (; 2] szig. mon. nv [2; 1) szig. mon. cskken (1; 0] szig. mon. cskken [0; ) szig. mon. nv max. nincs loklis max. van, helye x = 2, rtke y = 4 min. nincs loklis min. van, helye: x = 0, rtke y = 0 fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely van: x = 0 Df = R \ Rf = R \ (1; 1) (; 0] szig. mon. nv [0; 1) szig. mon. cskken (1; 2] szig. mon. cskken [2; ) szig. mon. nv max. nincs loklis max. van, helye: x = 0, rtke y = 1 min. nincs loklis min. van, helye: x = 2, rtke y = 1 fellrl nem korltos alulrl nem korltos zrushely nincs Df = R \ Rf = R+ (; 0) szig. mon. nv (0; ) szig. mon. cskken max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl korltos zrushely nincs35

y5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

y5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

y5 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

Df = R \ Rf = R+ (; 2) szig. mon. nv (2; ) szig. mon. cskken max. nincs min. nincs fellrl nem korltos alulrl korltos zrushely nincs

Rejtvny:A srga A kk A zld A piros

Hromszgek, ngyszgek, sokszgek2. Nhny alapvet geometriai fogalom (emlkeztet)1.A a) b) c) d) B C D E

2. a) 4 rsz, 2 flegyenes, 2 szakasz

d) (n + 1) rsz, 2 flegyenes, (n 1) szakasz b), c) a d) alapjn3. a) 6 4. a) 2 5. a) 1

b) 10 b) 3 b) 10 b) 6BC 5m 2 dm 1 cm 6 km 2 mm CD 8m 1 dm 6 cm 7 km 2 cm

c) 21 c) 4 c) 21 c) 15AC 8m 6 dm 3 cm 11 km 13 mm BD 13 m 3 dm 7 cm 13 km

d) n + 1 d) 6 d) 45 d) 45AD 16 m 7 dm 9 cm 18 km

6. a) 1 7.AB 3m 4 dm 2 cm 5 km 11 mm

8. a) 30; 150 9. 180 = 40 + 140 10. a) a = 145; b = 105 11. 30

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

5. sszefggs a derkszg hromszg oldalai kztt1. a) 90; 150; 120; 90

c) 72; 98; 154; 108 e) 41,9; 156,5; 65,4; 138,1 c) a = 85; b = 45; b = 135; g = 130 e) a = 190 nem lehetsges3. a) 30; 60; 90; 150; 120; 90

b) 60; 135; 105; 120 d) 80; 90; 170; 100 f) 1; 92; 89; 179 d) b = 98; g = 38; a = 44; a = 136 f) a = 88; g = 155 ez nem lehetsges b) 48; 60; 72; 132; 120; 108 d) 15; 67,5; 97,5; 165; 112,5; 82,5 f) 55; 60; 65; 125; 120; 115

2. a) g = 65; a = 145; b = 100; g = 115 b) b = 67; g = 57; a = 124; g = 123

c) 27; 63; 90; 153; 117; 90 e) 35; 50; 95; 145; 130; 854. 38; 60; 82; 142; 120; 98 5. a) van 6. a) 4; 3; 2

d) nincs b) 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 d) 163; . ; 1

c) 84; 83; . ; 217. a) 4 cm; a szrszg a kisebb.

szg szerkeszthet.9. a) b 10. Tudjuk a = b.

1 x 1 2 3 0; a > 0 s b < 0; 0 >b > 2a c) 2a > b > 0; 0 > 2a > b; b > 0 s a < 0

9. Egyenletekkel megoldhat feladatok I.1. x: a kerkprtra hossza km-ben

x 3x 1 + 6 + 6 + 2 + 44 = x 3 4 4 x = 100

100 km hossz volt a kerkprtra.2. A 3 testvr letkora legyen x, y, z (x < y < z).

x + y + z = 40 y = x +3 y= z4

x = 10; y = 13; z = 17 A testvrek 10, 13 s 17 vesek.3. x: az apa kora

x + ( x 8) = 60 x = 34

34 ves az apa.4. x: a gondolt szm

2( x + 4) 8 = x x =0 (3x 1) 10 + x = 10 x + (3x 1) + 27 x=2

5. x: az egyesek helyn ll szmjegy

A szm az 52.6. x: sszesen annyi forintja volt

3 0, 8 0, 05 + x 0,15 0, 03 + x 0, 05 0, 02 = 36 400 x 0, 05 0, 91 = 36 400 x = 800 000

800 000 forintja volt sszesen. Rejtvny: e: az erdben lv fk mennyisge, f: a kivgand fenyfk mennyisge e 0, 99 f = (e f ) 0, 98 e=2f Az erd felt ki akarjk vgni.

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

10. Egyenletekkel megoldhat feladatok II.1. a: az elvgzend munka mennyisge

Az egyik munks teljestmnye Kzs teljestmnyk

a a , a msik . 24 30

a 40 = . a a 3 + 24 30 13 ra 20 perc alatt vgeznek egytt.A kzs munkhoz szksges id2. a: a kd rtartalma

a a a , a msik . s a lefoly 20 15 16 a a a + . Egyttes teljestmnyk 20 15 16 6 a 240 = = 18 + . A feltltshez szksges id a a a 13 13 + 20 15 16 Krlbell 18 ra 28 perc alatt telik meg.Az egyik csap teljestmnye3. x: a kiktk tvolsga

y: a haj sebessge llvzbeny+3= 2x 7 x y3= 5

x = 70; y = 17 70 km a kiktk tvolsga.4. x: az agr ltal megtett t

A sebessge 3 m, az agr 4m idegysgenknt. x 30 x = 3 4 x = 120 120 mtert kell megtennie.5. x: az elprologtatott vz mennyisge

10 0, 4 = (10 x ) 0, 6 10 x= 3

10 l vizet kell elprologtatni. 348

6. x: az eredeti r

x 0, 8 1, 2 = x 100 x = 2500

2500 forintba kerlt. Rejtvny: a) 3 tyk 3 nap alatt 03 tojs, 9 tyk 3 nap alatt 09 tojs, 9 tyk 9 nap alatt 27 tojs. b) 1 tyk 1 nap alatt

1 tojs, 3 5 5 tyk 1 nap alatt tojs, 3 5 tyk 6 nap alatt 10 tojs. 1 tojs, 3 1 tyk 9 nap alatt 03 tojs, 7 tyk 9 nap alatt 21 tojs.

c) 1 tyk 1 nap alatt

11. Elsfok ktismeretlenes egyenletrendszerek1. a) (1; 3) 2. a) (1; 1) 3. a) 5 ; 3

b) (4; 2) b) 24 ; 16 25 5 b) 7 ; 4 13 13 b) nincs ilyen a

c) (1; 1) c) 5 ; 1 2 c) 26 ; 1 5 5 c) a = 4

4. a) a 4 5. a) a = b s b

Rejtvny: Mindkt egyenlet egy-egy egyenest hatroz meg a koordintaskon. Ha a rtkt kicsit vltoztatjuk, akkor a hozz tartoz egyenes meredeksge kicsit vltozik, de az y tengelyen vett metszspont nem. gy a kt egyenes metszspontja, azaz az egyenletrendszer megoldsa kicsit fog vltozni. Az llts teht igaz.

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

12. Egyenletrendszerekkel megoldhat feladatok1.

18 0, 46 + 12 0, 54 = 0, 492 30 Akrhogy keverjk ket ssze, 49,2%-os oldatunk lesz. km -ban mrve h y: a villamos kvetsi ideje rban mrve Egy irnyban haladva kt tallkozs kztt a msodik villamosnak meg kell tannie a kt villamos kztti tvolsgot (x y) s az ember ltal megtett utat. Ha szembe mennek, akkor az ember ltal megtett ttal kevesebbet kell megtennie. teht 1 1 x = x y + 4 5 x = 8 km ; y = 1 h = 6 min. 5 1 1 h 10 x = x y + 4 15 15

2. x: a villamos sebessge

3. x: a tzes helyi rtken ll szmjegy

y: az egyes helyi rtken ll szmjegy10 x + y = 4(10 y + x ) + 3 x > y 10 x + y = 11( x y) + 5

x = 7; y = 1 A szm a 71.4. Legyen a =

b +g . Ekkor a nagyobb az egyik szgnl s kisebb a msiknl. Tegyk fel, 2 hogy b < a < g. gyb +g 2 a + g = 3b a + b + g = 180 a=a = 60; b = 45; g = 75

13. Lineris tbbismeretlenes egyenletrendszerek1. a) (11; 6; 8)

c) 29 ; 49 ; 73 37 37 37

2. Nemnegatv tagok sszege csak akkor 0, ha minden tag 0.

b) 35 ; 36 ; 233 26 13 52 50

3. x: vzszintes tszakasz hossza

y: emelked hossza oda fel z: lejt hossza oda fel

x y z + + =5 80 60 100 x z y 79 + + = 80 60 100 15 x + y + z = 400x = 240; y = 60; z = 100 Odafel 240 km vzszintes, 60 km emelked s 100 km lejt.4. Jtk eltt:

A: x B: y 1. jtk utn: A: x y z B: 2y 2. jtk utn: A: 2(x y z) B: 2y (x y z + 2z) = = 3y x z 3. jtk utn: A: 4(x y z) B: 2(3y x z)4 x 4 y 4 z = 100 6 y 2 x 2 z = 100 7 z x y = 100 x= 325 175 ; y= ; z = 50 2 2

C: z C: 2z C: 4z C: 4z (2x 2y 2z + 3y x z) = = 7z x y

5. a, b, c: a szakaszok hossza cm-ben

a + b = 42 b + c = 28 a + c = 20

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

Egybevgsgi transzformcik2. Tengelyes tkrzs a skban1. Szmozzuk meg a nyilakat!

Tengelyesen szimmetrikus: 14; 23; 36; 47; 89.2. PP szakasz felez merlegese.

3. a) A(1; 1); B(4; 3); C(3; 5)

b) A(1; 1); B(4; 3); C(3; 5)7 8 9

4. A(3; 3); B(3; 1); C(4; 8) 5. 1. A kr kzppontjbl krzzznk olyan nagy sugrral,

hogy kt helyen metsze az egyenest. 2. Ezen sugrral mindkt metszspontbl krzznk az egyenes msik oldaln, hogy az vek metszk egymst. 3. A kapott pont a kr tkrkpnek kzppontja, gy az adott sugrral megrajzoljuk a kr kpt.6. A kzppontok ltal meghatrozott szakasz felez merlegese a keresett egyenes. 7. Tkrzzk c egyenest b-re. Ahol a kp metszi az a egyenest ott van a keresett pont. 8. A P pont az AB egyenesre illeszkedik, hiszen a szgfelezre val tkrzs oldalegyenest

oldalegyenesbe visz.9. Mindkt cscsot tkrzzk a szgfelezre. Az egy flskban lv pontok egy-egy

oldalegyenest hatroznak meg, melyeknek a szgfelezn kell metszenik egymst. Ha a cscsok szimmetrikusak a szgfelezre, akkor a hromszg egyenl szr, s a harmadik cscs a szgfelez egyenes brmely olyan pontja lehet, amely nem illeszkedik az adott oldalra.10. Tkrzzk A-t e-re. AB e a keresett pont. 11. Mivel az eredeti cscsoknl lv szg az j alakzatban 180, az eredeti hromszg

mindhrom szgnek 60-nak kell lennie. Az eredeti hromszg teht szablyos. Rejtvny: Attl fgg, hogy a szmlap szmozsa azonos vagy ellenttes irny. (Ha azonos a szmozs irnya, akkor 6 ra mlva; ha ellenttes, akkor mindig ugyanazt az idt mutatjk.)

3. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok1. a) hamis

e) hamis k) hamis

2. Tkrzzk a harmadik cscsot a szimmetriatengelyre. 52

3. Mindkt cscsot tkrzzk a szimmetriatengelyre. 4. Tkrzzk az egyik egyenest a tengelyre. Ahol a kp metszi a msik egyenest, az a del-

toid egyik cscsa, melyet tkrzve a tengelyre, a negyedik cscsot is megkapjuk. Ha a tkrzsnl a kp egybeesik a msik egyenessel, akkor brmelyik pontja lehet a deltoid harmadik cscsa.5. A kt pont ltal meghatrozott oldalegyenes kt pontban metszi a tengelyeket. Ezek

cscspontok. Ezeket tkrzve a tengelyekre, megkapjuk a msik kt cscspontot is. Ez mindig megszerkeszthet.6. Egyik lehetsg: (1; 1); (1; 1); (1; 1); (1; 1).

2 ; 0) ; (0; 2) ; ( 2 ; 0) ; (0; 2) .

7. Mindkt tengelynek egy-egy cscsra kell illeszkednie. A tengelyekre illeszked cscsokbl

indul oldalak egymsra szimmetrikusak, azaz egyenlek. gy mindhrom oldal egyenl, taht van harmadik szimmetriatengely.

4. Kzppontos tkrzs a skban1. Szmozzuk meg a nyilakat!

Kzppontosan szimmetrikus: 15; 26; 48; 59.2. Az AB szakasz felezpontja a tkrzs kzppontja B kpe1 O1 4 O3 7 8 5 O4 9 2 O2 6 3

A lesz.3. A kzppontok ltal meghatrozott szakasz felezpontja a

tkrzs kzppontja.4. a) A(1; 1); B(4; 3); C(3; 5)

b) A(3; 1); B(2; 3); C(5; 5) c) A(5; 5); B(0; 7); C(7; 9)5. A(3; 1); B(7; 1); C(14; 0) 6. a) 2 cm oldal szablyos hatszg.

b) 2 cm oldal 12-szg, hatg csillag.

7. Tkrzzk az egyik egyenest a pontra. Ahol a kp metszi a msik egyenest, ott lesz az

egyik pont, melyet tkrzve az adott pontra, megkapjuk a msik pontot is.8. Egy hromszget kapunk, hisz az eredeti hromszg cscsainl egyms mell kerl a h-

rom bels szg, melyek sszege 180.9. Az egyik ilyen szel a kt metszspont ltal meghatrozott kzs szel. A msik szel

megszerkesztshez tkrzzk az egyik metszspontra az egyik krt. A kp s a msik kr metszspontja a kivlasztott metszsponttal meghatrozzk a keresett szelt.10. Tkrzzk az egyik szgszrat a P-re. Az a pont, ahol a kp metszi a msik szrat, a P-

vel meghatrozza a keresett egyenest. Rejtvny: Az els rmt az asztal kzppontjba tegye, majd mindig az ellenfl rmjnek ezen pontra val tkrkpre tegye az rmit.53

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

5. Kzppontosan szimmetrikus alakzatok1. a) hamis

2. A kt cscsot tkrzzk az tlk metszspontjra. 3. C(2; 5); D(4; 2) 4. Paralelogrammt, hiszen tli felezik egymst. 5. Tkrzzk O-ra a szg cscst, gy a paralelogramma msik cscst kapjuk. Ezen keresztl

hzzunk prhuzamosokat a szg szraival, melyek a paralelogramma oldalegyenesei. Ezek a szgszrakbl kimetszik a hinyz kt cscsot.6. a) 72; 108

b) 80; 100 d) p 180 180 ;q p+q p+qDj a 2

7. Hzzunk a szgfelezjvel prhuzamost C-n keresztl, gy

a kapjuk j szget. j s vltoszgek gy egyenlek. Teht 2 j egyik szra szgfelez. Mivel egy szgnek egy s csak egy szgfelezje van, a kt szgfelez prhuzamos. Ha a kt szgfelez egy egyenesbe esik, akkor a paralelogrammt kt olyan hromszgre bontjk, melyekben kt szg egyenl, azaz egyenl szrak. Teht a paralelogramma rombusz.egymst. Rejtvny: Van, pldul egyenes, sk.

8. Nem igaz, mert az tlk nem felttlenl lennnek egyenl hosszak, csak biztosan feleznk

6. A kzppontos tkrzs alkalmazsai1. a)

5 3 cm; 2 cm; cm 2 2 c) 3,6 m; 205 cm; 25 dm

7 dm; 5 dm 2 d) nem alkotnak hromszget, hiszen 12 = 7,2 + 4,8b) 3 dm; c) 21,25 cm d) 47 mm

3. Az tfog hossza a vele prhuzamos kzpvonal hossznak ktszerese, azaz 6 cm.

Vegyk fel az tfogt, s rajzoljunk vele prhuzamos egyenest 2 cm tvolsgban (kt prhuzamos egyenes). Rajzoljuk meg az tfog Thalsz-krt. Ez a prhuzamosokbl kimetszi a hromszg harmadik cscst. gy 4 db egybevg hromszget kapunk.4. a)

b) 9 dm b) 124 cm; 41 cm

c) 18,45 m c) 2x; y

6. Paralelogrammt hatroz meg.

7. Szerkesszk meg az a, b, 2sc oldal hromszget.

C A F sc B b D D F3 sc a

Tkrzzk B-t F-re. Az gy kapott pont a keresett hromszg harmadik cscsa (A).8. A felezpontokat sszekt szakasz a kt szomszdos oldal

ltal meghatrozott hromszg kzpvonala, melyrl tudjuk, hogy prhuzamos a harmadik oldallal, mely a ngyszg egyik tlja.9. A 8. feladat alapjn F1F2 AC F3F4 s F1F2 =

AC = F3 F4 . 2 Mivel az F1F2F3F4 ngyszgben kt oldal hossza egyenl s prhuzamosak, a ngyszg paralelogramma.tli, melyekrl tudjuk, hogy felezik egymst.

10. A 9. feladat alapjn a kzpvonalak egy paralelogrammaA F1

11. Ha a kzpvonalak egyenl hosszak, akkor az oldalfelez pontok ltal meghatrozott

paralelogramma tglalap, teht a ngyszg tli merlegesek egymsra.12. A krk pronknt a harmadik oldalon, a magassg talppontjban metszik egymst. gy

a szelk metszspontja a magassgpont.13. a) Az egyik oldal felezpontjra tkrzve a hromszget,

mindig kapunk egy olyan hromszget, melynek oldalai az egy cscsbl indul hromszgoldalak s a slyvonal ktszerese. Ebben a hromszg egyenltlensg alapjn a+b a+c b+c ; sb ; sa . sc 2 2 2 Ezeket sszeadva kapjuk, hogy sa + sb + sc a + b + c. b) Tkrzzk a hromszg cscsait mindhrom oldalfelez pontra. gy kapjuk ABC hromszget. 2 4 4 Ebben SA ‘ = 2sa sa = sa . Hasonlan SC ‘ = sc . 3 3 3 SAC hromszgben a hromszg egyenltlensg alapjn 4 4 sc + sa 2b. 3 3 Hasonlan kapjuk, hogy 4 4 sa + sb 2 c, 3 3 4 4 sb + sc 2a. 3 3

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

Ezeket sszeadva, kapjuk: 8 (sa + sb + sc ) 2(a + b + c). 3 Innen

3 sa + sb + sc (a + b + c). 4Ezzel az lltst belttuk.

7. Pont krli forgats a skban1. a)

5 5 +45 4 3 +90 4

3. Az AB szakasz felez merlegesnek pontjai. 4. Az egyik szakasz egyik vgpontjt sszektjk a msik szakasz egyik vgpontjval, majd

a megmaradt vgpontokat is sszektjk. Az gy kapott szakaszok felez merlegeseinek metszspontja lesz a forgats kzppontja. Kt ilyen kzppont kaphat.

5. Az AB szakasz adott szghz tartoz megfelel ltszg krvnek s a szakasz felez

merlegesnek metszspontja a forgats kzppontja. a) b)O

6. a) A(1; 1); B(3; 4); C(5; 3)

c) A(1; 1); B(4; 3); C(3; 5)7. a) (1; 1) vagy (1; 1)

b) A(1; 1); B(3; 4); C(5; 3) d) A(1; 1); B(3; 4); C(5; 3) b) (4; 3) vagy (4; 3) d) (8; 3) vagy (8; 3)

8. Forgassuk el az egyik egyenest 60-kal. Ahol a kp metszi a msik egyenest, ott lesz a h-

romszg egy msik cscsa. Ezt a pontot az elzvel ellenttes irnyban forgatva 60-kal kapjuk a harmadik cscspontot. Kt megfelel hromszget kaphatunk.9. Az tlk metszspontja krl 3-szor forgassuk el a cscspontot 90-90-kal. 10.

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

8. A pont krli forgats alkalmazsai I.1. a) 180 2. a) 90 3. a)

b) 240 360 f) 114, 6 p

5. a) Nagymutat: p m; kismutat: 5p cm.

Nagymutat: 2p m; kismutat: 10p cm. Nagymutat: 48p m; kismutat: 240p cm. Nagymutat: 672p m; kismutat: 3360p cm. Nagymutat: 4032p m; kismutat: 20160p cm. Nagymutat: 87,6p km; kismutat: 4,38p km. b) d)4p cm 2 ; 3 4p + 4 cm 3

6. a) p cm2; (4 + p) cm

p 3 3 2 m ; 59%. 4 16 p 3p 2 m ; 17%. c) A hulladk: 4 8

p 1 2 m ; 36%. 4 2 p 3 d) A hulladk: m 2 ; 4, 5%. 4 4b) A hulladk:p b) 1 % 57% 2 p d) 1 % 57% 2

9. A pont krli forgats alkalmazsai II.1. a) A forgats szge: 120; 240.

b) A forgats szge: 90; 180; 270. c) A forgats szge: 72; 144; 216; 288. d) A forgats szge: 30; 60; 90; 120; 150; 180; 210; 240; 270; 300; 330. Slypont krl forgatunk.2. a) 3 tengelyes tkrzs, az oldalfelez merlegesekre.

Kzppont krli 120, 240-os forgats. b) 2 tengelyes tkrzs, az tlkra. 2 tengelyes tkrzs, az oldalfelez merlegesekre. Kzppont krli 90, 180, 270-os forgats. Kzppontra val tkrzs.3. a) igaz

b) hamis h) hamis

4. A slypont krl forgassuk el a cscsot ktszer, 120-kal. 5. A kt csccsal szerkesztnk egy szablyos hromszget, majd az j cscs krl elforgatjuk

egyms utn 5-szr 60-kal a hromszget.

10. Prhuzamos eltols, vektorok1.B A’ D C A B’

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

4. Nem oldhat meg, ha a kt egyenes prhuzamos.

CC ‘ = BB ‘ = AA ‘ = SS ‘

b) Ugyangy.5. a) igaz 6.B v1 B” A 45 A” A’ v2

v = v1 + v27. a = e = h ; b = f ; i = j = d = c 8. A B pontot toljuk el a foly fel a folyra merleges s a foly szlessgvel egyenl

nagysg vektorral. Ahol az AB egyenes metszi a foly A felli partvonalt, ott kell plnie a hdnak.

11. Mveletek vektorokkal1. a) AC 3. a) (5; 3) 4. a) (2; 4) 5. a) v(5; 0 )

b) 2 AD b) (5; 2) b) (1; 3)

c) GB c) (7; 7) c) (6; 4)

d) DB d) (11; 1) d) (1; 2)

e) DF e) (2; 0) e) (0; 12) f) (4 + a; 3 + b) f) (p + 2; q 5)

6. AC = AB + AD; DB = AB AD

12. Alakzatok egybevgsga1. a) a =

2m alapjn oldalaik egyenlek, teht egybevgak. 3 b) Ugyanaz, mint a) mivel s = m. 3 3R c) Mivel m = R, az a) alapjn a = s gy az oldalaik egyenlek, ha a sugarak 2 3 egyenlek

2. a) A befogk az tfog

2-ed rszei, gy ha az tfogk egyenlek, akkor a befogk is. Vagy egy-egy oldalban s a rajta fekv kt szgben (45; 45) egyenlek. b) Egy-egy oldalban s a rajta fekv kt szgben (90; 45) egyenlek. c) Ugyanaz, mint a) hisz a krlrt kr sugara az tfog fele.

3. a) Kt-kt oldalban s a kzbezrt szgben egyenlek.

b) A szemkzti szg legyen a; egy-egy oldaluk s a rajta fekv kt szgk (90; 90 a) egyenl. c) Kssk ssze az tfog felezpontjt a szemkzti csccsal. Mivel ez a krrt kr sugara egyenl az tfog felvel. A kt hromszgben kapott, a sugr s a magassg ltal meghatrozott derkszg hromszgek egybevgak (kt-kt oldalban s a nagyobbikkal szemkzti szgben egyenlek). Ebbl addik, hogy ezen sugarak ltal meghatrozott kt-kt rszben, a kt eredeti derkszg hromszgnl, kt oldalban s a kzbezrt szgben egyenlek, gy egybevgak. a 4. a) Legyen a szrszg a, ekkor egy-egy oldaluk s a rajta fekv kt-kt szgk 90 2 egyenlek. b) Legyen az alap a, gy b =

a2 2 + ma , teht ha az alap s a hozz tartoz magassguk 4 egyenl, akkor a szraik is egyenlek. c) Legyen az alapon fekv szg b, a magassg kt derkszg hromszgre vgja mindkt hromszget. Ezek pronknt egybevgak, hisz egy oldaluk (magassg) s a rajta fekv kt-kt szgk (90; 90 b) egyenl. gy a kt hromszg is egybevg.

5. Ha kt szgk egyenl, akkor mindhrom szgk egyenl. Az adott oldal azonban lehet

alap vagy szr is, gy nem egyrtelm a megads, a kt hromszg nem felttlenl egybevg.6. Ha a kt szr egybevg, akkor azok csak hromszgek lehetnek. Teht a szel egyenes

egy cscson halad t s egy oldalt metsz. A kt keletkezett hromszgben, az eredetileg egymssal rintkez kt oldallal szemkzti szgek egyenlek az egybevgsg miatt. gy az eredeti hromszgben van kt egyenl szg, teht a hromszg egyenlszr.7. Legyen a kt magassg ma s mb. Az ATaC s a BTbCC Tb ma A Ta mb B

egybevg, mivel egy-egy oldaluk (ma = mb) s a rajta fekv kt szgk (90; 90 g) egyenl. Teht a = b, azaz a hromszg egyenlszr. a ma b mb = , s ma = mb, Msknt: A terletkplet alapjn b 2 teht a = b.

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

8. a) Kt tljuk egyenl;

egy oldaluk s egy szgk egyenl; egy oldal s egy tl egyenl; egy oldal s magassg egyenl. b) Kt tljuk s egy oldaluk egyenl; kt klnbz oldaluk s egy tljuk egyenl. c) Kt tljuk s egy oldaluk egyenl; kt klnbz oldaluk s egy tljuk egyenl; kt klnbz oldaluk s egy szgk egyenl. d) Magassguk, kt szruk s egy alapjuk egyenl; magassguk, kt alapjuk s egy szruk egyenl; egy alapjuk, magassguk s kt tljuk egyenl.9. Az A cscs krli 90-os forgatsnl E = C s B = G. gy EAB @ CAG.

Statisztika1. Az adatok brzolsaRejtvny: A c) vlasz a helyes, s azt is jellte a nzk tbbsge.

2. Az adatok jellemzse1. Mo = 15; Y = 22; Me = 15 2. Mo = 19; Y = 19,6; Me = 19 3. a) Y = 150 000

b) Y n = 150 000; Y ffi = 150 000 c) Men = 100 000; Meffi = 150 000 d) N hivatkozhat a mduszra, medinra. Az igazgat az tlagra.

4. Mdusszal. 5. 710 pont az sszeg. 6.

4 75 + 90 = 78 az j tlag. 5

7. sszesen 800 pontot kellett elrnie, de csak 790 pontot rt el. Mg 10 pont hinyzik. 8.

25 82 + 27 69 = 75, 25 az tlag. 25 + 2795 + 97 + 91 + 101 + x 95 + 97 + 91 + 101 +1= 5 4 x = 101101 pontos lett az tdik. b) hamis c) hamis d) igaz Mo: 5-tel n, d) igaz; Me: 5-tel n, d) igaz. b) hamis Mo: c) igaz; Me: c) igaz. c) igaz d) hamis e) hamis e) hamis

12. A b) hamis. Bori a legfiatalabb. 13. 8 kg-mal nehezebb. 14. n: a megkrdezettek szma

56n 69 = (n 1) 55 n = 1363

S O K S Z N M AT E M AT I K A 9 A K I T Z T T F E L A D AT O K E R E D M N Y E

13 ft krdeztek meg. Akkor jhet szba a legnagyobb szm, ha 11 f egy knyvet sem olvasott, 1 f olvasott 68 knyvet s 1 f a tbbi knyvet, 12 55 = 660. 660 knyv lehet a legnagyobb vlaszul adott szm.15. Smith tlaga jobb.

Rejtvny: Nem, a kzps fimagassga a medin s a nla magassabbak kzel olyan magasak, mint , de a kisebbek jval kisebbek. gy az tlagmagassg kisebb lesz, mint a medin.