Rettségi felkészítés (Studium Generale)

studium generale matematika érettségi témakörök szerint

Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok (20%). 1.1 Halmazok. Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, .

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK 2016/2017-es tanév. TÉMAKÖRÖK: 1. Kombinatorika. 2. Valószínűség számítás. 3. Gráfelmélet és Logika.

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK 2017/2018-as tanév . történelem: jó, Angol nyelv: jó, Matematika elégséges, Földrajz:közepes.

helyettesíti a témakörhöz tartozó tétel kimondását és bizonyítását. . TÉTEL: Pitagorasz-tétel: Ha egy háromszög derékszögű, akkor befogóinak .

ALAPMŰVELETEK. 2.2. OSZTHATÓSÁG. Osztó, többszörös, prímszám, összetett szám fogalma. Prímtényezős felbontás. A számelmélet alaptétele.

vért? • Európa országai hivatalos nyelvük alapján halmazokba sorolhatók. Műveletek: melyik or- szágban hivatalos nyelv az angol vagy a német?

10 февр. 2018 г. . h) Rákóczi-szabadságharc (elfogadható: Rákóczi-mozgalom, Rákóczi-féle felkelés, stb.) . berendezkedését, amit röviden összevethet Caesar.

14 февр. 2015 г. . M: A vizsgázó feltárja, hogy Károly Róbert az Árpád-ház kihalását követően új alapokra helyezte a gazdaságpolitikát.

3 февр. 2021 г. . Studium Generale an der Hochschule Landshut bedeutet: • interdisziplinäres Lernen in Themen, die für alle Fachbereiche relevant sind.

TÉTEL: 2 irracionális szám. BIZONYÍTÁS: A bizonyítást indirekt módon végezzük, lényege, hogy a bizonyítandó állítás tagadá-.

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 2020 . Az ő jelölésrendszerét finomította később Venn (1834–1923) angol matematikus, ez a jelö-.

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 2017 . Az ő jelölésrendszerét finomította később Venn (1834–1923) angol matematikus, ez a jelö-.

Mithras-kultusz ekkor ünnepelte a Nap születésnapját.” / Dénes Gábor /. „A római állam, mely rendkívül türelmes volt az idegen vallásokkal szemben, .

aforesaid city of Pécs, that it should forever excel in the faculty of civil and canon . [reprint: 2000] (hereafter: MVH) vol. I/1, pp. 479–480.

Háromszög középvonalai és súlyvonalai . Háromszög területének kiszámítása, ha adott két oldal és az általuk közbezárt szög. Szögftiggvények kiterjesztése .

A Bretton Woods-i rendszer múltja, jelene, jövője. JATEPress 2006. Meir Kohn: Bank és pénzügyek, pénzügyi piacok, Budapest, Osiris – Nemzetközi Bankárképző,.

22 июн. 2015 г. . Hasonló síkidomok kerületének és területének aránya, hasonló testek felszínének és térfogatának aránya és ezek alkalmazása.

Halmazok o Műveletek halmazokkal: komplementer, unió, metszet, különbség o Halmazok elemszáma o Logikai szita alkalmazása o Intervallumok.

normálvektor, normálvektoros képlet). ▫ Egyenesek metszéspontjának számítása. ▫ Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének .

9. Szövegtan. A felkészüléshez: – Mohácsy Károly: Irodalom 12. – Antalné Szabó Ágnes- Raátz Judit: Magyar nyelv és kommunikáció 9-12.

Matematika. Minimumkövetelmények 12. évfolyam. Sorozatok. ▫ Ismerje a számtani és a mértani sorozat fogalmát és használja a különböző megadási módjait.

Műveletek algebrai kifejezésekkel, nevezetes azonosságok, szorzattá alakítás d. Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek.

5. osztály matematika. Témakörök. TERMÉSZETES SZÁMOK . A tér alakzatai, a testek geometriai jellemzői. A sík alakzatai. EGÉSZ SZÁMOK. Negatív számok.

Párhuzamos egyenesek, párhuzamos szelők tétele. – Középpontos nagyítás, – kicsinyítés, – hasonlóság. – Háromszögek hasonlósága.

a sósav reakciója nátrium-hidroxid-oldattal, fémekkel (pl. vas, alumínium, cink, réz), fémoxidokkal (pl. magnézium-oxid), karbonátokkal (pl.

5) Egyenes-, és fordított arányosság fogalma. 6) Diszkrimináns fogalma. A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának fogalma. 7) Két pozitív szám számtani és .

Szóbeli vizsga időtartama 15 perc. Az ének-zene szóbeli érettségi vizsga három altételből áll. „A”, „B”, „C”. A vizsgázónak mindhárom altételből kell húznia .

1. tétel: Petőfi Sándor költészete. 2. tétel: Arany János balladái. 3. tétel: Ady Endre költészete. 4. tétel: Babits Mihály: Jónás könyve.

Életjelenségek: mozgás, táplálkozás, légzés, anyagszállítás, kiválasztás, . vizsgálatot, illetve elemzést, majd – a tétel által megkívánt módon – rögzíti .

A biológia középszintű szóbeli érettségi vizsga tematikája. Témakörök. Egészségtan: 1. Az emberi bőr felépítése és működése. A bőr egészségtana.

Jelátalakítás, kódolás. 6. Neumann elvű számítógép. 7. Bemeneti perifériák. 8. Kimeneti perifériák. 9. Háttértárak. 10. Hálózatok. 11. Operációs rendszer.

Az első ipari forradalom társadalmi és politikai következményei . A kiegyezés tartalma és értékelése. 3. A rendszerváltozás.

Étkezési szokások a családban. – Ételek, kedvenc ételek. – Étkezés iskolai menzán, éttermekben, gyorséttermekben. – Az olasz és a magyar konyha .

Spiró György: Csirkefej. XII. Színházi műfajok. 18. Rendezői és dramaturgiai szempontok; a drámai költemény. 19. Zenés és táncos színpadi műfajok, .

balladájának összehasonlítása alapján! . Feladat: Értő, elemző módon mutassa be nemzeti imádságunkat, Kölcsey Ferenc Himnuszát! (Memoriter: Himnusz).

NÉMET NYELV – ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK. 1. Persönliches, Familie. Die Person, die Familie des Prüflings. Alltag der Familie, Haushaltsarbeiten.

„A” tételek. MARKETING ÉS VEZETÉSI ISMERETEK. 1. A marketing alapjai, a marketing-mix. 2. A piac. 3. Célpiaci marketing. 4. Fogyasztói magatartás.

3 мар. 2020 г. . EMBERISMERET – ETIKA ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK 2020. I. témakör: Az erkölcsi lény. Jó és rossz fogalmának etikai értelmezése.

KÖZÉPSZINTÜ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK FRANCIA NYELVBŐL. 1. Személyes vonatkozások, család, családi kapcsolatok –. (Données personnelles, famille .

alkotás, befogadás, megszólított, címzett, olvasat, jelentés, . epikai műfajok – anekdota, elbeszélés, elbeszélő költemény, emlékirat, eposz, .

Az egyszerűbb szóképek köznyelvi és szépirodalmi szövegekben. 20. A leggyakoribb stílusrétegek jellemzőinek megismerése, felismerése, elemzése,.

Vendégfogadás: Szálláshelyek fogalma, fajtái, típusai, jellemzői. . Marketing: Az ügyviteli folyamatok és tevékenységek fajtái, dokumentumai.

Mikszáth Kálmán parasztábrázolása (Tót atyafiak; A jó palócok). – Radnóti Miklós eclogái. LÁTÁSMÓDOK. – Janus Pannonius és a humanizmus.

A felvilágosodás eszmerendszere és főbb képviselői. 16. A nemzetiszocializmus. Nemzetközi konfliktusok és együttműködés. 17. A Rákóczi-szabadságharc.

8. TEMATIKA: Az athéni demokrácia működése a Kr.e. 5. században. 9. TEMATIKA: Géza fejedelemsége és I. (Szent) István államszervező tevékenysége.

Informatika. Középszintű érettségi témakörök. 2020. 1. Információs társadalom (3 tétel). 1.1. A kommunikáció. A kommunikáció fogalma.

ANGOL KÖZÉPSZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK. Toldi Miklós Élelmiszeripari Szakgimnázium, Szakközépiskola és Kollégium. 2018. május-június. 9. Feladatsor.

Érettségi témakörök és tételek fizikából, 2010. 01. tétel: A haladó mozgások . Források: Holics László Fizika Akadémiai kiadó 2009 .

Petőfi Sándor: Az apostol c. elbeszélő költeménye. 2. Arany János balladái. 3. Ady Endre költészetének modernsége. 4. Babits Mihály: Jónás könyve c.

1.1 Információtechnológiai alapok. Témakörök. Középszintű követelmények . Ismerje a HTML5 oldalakat leíró nyelv fontosabb strukturális és formai elemeit.

Becket: Godot-ra várva. Egy szabadon választott szerző a 20. század színpadi világirodalmából. Page 2. Egy szabadon választott szerző a 20. század első .

IRODALOM. 1. témakör: Művek a magyar irodalomból I. – Kötelező szerzők. 1.1 Petőfi Sándor ars poeticai. 1.2. Arany János költészete az 50-es években.

Ciklonok, anticiklonok, időjárási frontok. 9.) Kőzetlemez szegélyek mozgástípusai. 10.) Kőzetek csoportosítása, felismerése. 11.) Hegységképződés folyamatai.

Angol szóbeli témakörök. 1. Személyes vonatkozások, család . Szóbeli érettségi témakörök magyar nyelv és irodalomból (2015). Irodalom. I. ÉLETMŰVEK.

Görbület: konvex függvény. Összeállította: Bölcsföldi Tünde (bolcsfoldi- matek.webnode.hu). ▷. A függvénygörbe alakja lehet konvex vagy konkáv.

elemzése. 16. Tolsztoj Ivan Iljics halála című kisregényének értelmezése – a halállal szembenéző ember magatartásának lehetőségei. V. Színház és dráma.

József Attila istenes versei költészetének utolsó éveiben. II. témakör: Portrék. 7. Hagyománykövetés és újítás Balassi Bálint költészetében.

28 февр. 2018 г. . L.v.Beethoven: A mormotás fiú dala. 11. L.v. Beethoven: IX. szimfónia – IV. tétel_ Örömóda (eredeti nyelven). 12. F.Schubert:Hová? – 1. rész.

L.v.Beethoven: A mormotás fiú dala. 11. L.v. Beethoven: IX. szimfónia – IV. tétel_ Örömóda (eredeti nyelven). 12. F.Schubert:Hová? – 1. rész.

A magyarországi romák története és helyzetének jellemzői napjainkban . 20. A második világháború előzményei, kitörése és jellemzői.

Érettségi felkészítés (Studium Generale)

A Studium Generale a Budapesti Corvinus Egyetem valamennyi karáról és szakáról összegyűlt hallgatói csoportosulás, melynek célja, hogy a végzős és tizenegyedikes hallgatók számára teljesen ingyenes érettségi felkészítést nyújtson.

Az SG októbertől májusig biztosít a Corvinus Egyetem falai között szombatonkénti oktatást, ahol 30-40 fős csoportokban veszik át a teljes érettségi anyagát. A Studium Generale jelenleg három szekcióban (matematika, történelem és közgazdaságtan)indít képzéseket.

A szervezet az elsősorban Budapesttől távol élő diákok számára szintén ingyenesen biztosít E-learning képzést. Fontos kiemelni, hogy az SG Országos Nyílt Próbaérettségi Napot is tart, melynek célja, hogy Budapesten kívül az ország öt egyéb pontján is felmérhessék a tudásukat a végzősök, és ha úgy ítélik meg, hogy helyenként még hiányos,ingyenesen részt vehetnek a májusi érettségi előtti intenzív Maratonokon is.

Ha eddig csak fontolgattad volna,ne aggódj, nem maradtál le semmiről, hiszen lehetőséged van az évközi jelentkezésre is.

Bővebb információért látogass el a Studium Generale hivatalos oldalára! Sikeres felkészülést kívánunk Neked!

Studium generale matek szekció megoldások

Beugró Nap – 2022

Kedves Diákok! Egyre jobban közeleg az érettségi? Úgy érzitek, hogy rátok férne még egy kis gyakorlás matematikából, történelemből vagy közgazdaságtanból? Szeretnétek az év során kipróbálni tudásotokat élethű, érettségit szimuláló helyzetekben? Ha magatokra ismertetek, akkor egy remek lehetőséget szeretnénk a figyelmetekbe ajánlani! A Studium Generale diákszervezet idén is elindítja INGYENES érettségi felkészítő oktatását matematikából, történelemből és…

Nyári Tábor 2022 – Beszámoló

Három év kihagyás után idén nyáron, július 17. és 24. között újra megrendezésre került az ingyenes intenzív érettségi felkészítő táborunk, a Nyári Tábor. A résztvevő diákok napi 2*3 óra kiscsoportos, 4-5 fős oktatáson vehettek részt. A 100 táborozó a tanulás mellett számos élménnyel is gazdagodott, köszönhetően a színes és igazán izgalmas programoknak, például táncház, vetélkedők,…

Kik vagyunk?

Mi, SG-sek a Budapesti Corvinus Egyetem minden karának minden szakáról összegyűlt hallgatói vagyunk, és közösen azért dolgozunk, hogy a végzős és tizenegyedikes középiskolásokat felkészíthessük az ő addigi legnagyobb megmérettetésükre, az érettségire .

Tesszük mindezt teljesen önkéntesen, teljesen ingyenes formában, hogy mindenkinek lehetősége nyíljon bekerülni álmai felsőoktatási intézményébe .

Akik nálunk készültek, azoknak 93%-a került be a felsőoktatásba 2021-ben.

Egy SG-s amellett, hogy éli az életét, egyetemet végez, továbbá sokunk még dolgozik is mellette és karriert épít, ideje nagy részét arra áldozza, hogy segítsen azoknak, akiknek bármilyen nehézsége lehet az érettségire való készülésben.

Szervezetünk immáron 51. éve jelen van a magyarországi felkészítő kurzusok sorában, ám egyedüli abban, hogy mi valamennyi szolgáltatásunkat teljesen ingyenesen nyújtjuk mindenkinek.

Mit csinálunk?

Az SG októbertől májusig szombatonként ingyenes szemináriumi oktatást biztosít a Corvinus falai közt, ahol az év során az egész érettségi anyagát átvesszük 30-40 fős csoportokban. Szervezetünk a vidéken élő diákközösségnek szintén ingyenes E-learning képzést biztosít.

Az SG évente megrendezi az Országos Nyílt Próbaérettségi Napját , mely alkalommal a végzősök Budapesten kívül az ország 5 pontján mérhetik fel tudásukat, és a májusi vizsga előtt még intenzív Maratonokat is tartunk a Corvinuson, szintén ingyen .

Az SG az érettségi előtt nem sokkal tartja Tavaszi Táborát , ahol 150 diák végtelen szórakozás közben és felhőtlen hangulatban, intenzíven készülhetnek még az érettségi előtti utolsó hajrában – és azon diákok, akik még korábban akarják elkezdeni a felkészülést, a végzős évük előtti iskolai szünetben részt vehetnek Nyári Táborunkban , ami után ez a kb. 100 diák már úgy kezdhet neki utolsó középiskolai évének, hogy már jóval biztosabb lábakon áll, mint a társai. És igen, mindkét táborunk a diákok számára teljesen ingyenes .

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos2 x  4 cos x  3 sin2 x

sin2 x  cos2 x  1 cos2 x  4cos x  3 1  cos2 x

4cos x  4cos x  3  0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldva a fenti egyenletet, a gyökök: cos x1,2  cos x 

4  42  4  4   3  24

1 3 vagy cos x   2 2

1 Ha cos x  , akkor 2

  k 2 3 5 x2   k 2 3

3 , akkor nincs megoldás, hiszen cos x  1 , minden x esetén. 2 (2 pont) Az egyenlet megoldása közben ekvivalens átalakításokat végeztünk, így mindkét gyöksorozat megoldása az eredeti egyenletnek. (1 pont) Összesen: 12 pont

2) Oldja meg az alábbi egyenleteket!

x  1  1  2 , ahol x valós szám és x  1

2cos2 x  4  5sin x , ahol x tetszőleges forgásszöget jelöl

A logaritmus definíciója szerint x 1  8 x  1  64 x  63 Ellenőrzés.

pont) pont) pont) pont) pont)

Matek Szekció 2005-2015 b)

cos2 x  1  sin2 x helyettesítéssel, 2  2sin2 x  5sin x  4  0 sin x  y új változóval 2y 2  5y  2  0 . 1 y1  2; y2  2 y1 nem megoldás, mert sin x  1 x 

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (2 pont) (1 pont)

1 5   k 2 vagy x    k 2 (fokban is megadható) 6 6

(1 pont) Ellenőrzés, vagy le kell írni, hogy a gyökök igazzá teszik az eredeti egyenletet, mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk. (1 pont) Összesen: 17 pont k

3) Oldja meg a következő egyenleteket: a) 9x  2  3x  3  0 b) sin2 x  2 sin x  3

Legyen 3x  a Az a 2  2a  3  0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a1  3 és a2  1

a  3x  3 esetén x  1 a  3x  1 egyenlet nem ad megoldást, mert 3 minden valós kitevőjű hatványa pozitív szám. Az x  1 kielégíti az eredeti egyenletet. b) Legyen sinx  a Az a 2  2a  3  0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a1  3 és a2  1 . a  sin x  3 nem ad megoldást, mert sin x  1 a  sin x  1 3 A sin x  1 egyenlet gyökei: x    2k  , 2 ahol k tetszőleges egész szám. Ezek az x értékek kielégítik az egyenletet. 4) Mely valós számokra teljesül a egyenlőség? Megoldás:  x1  6 5 x2  6

(1 pont) (1 pont) (1 (1 (1 (1

pont) pont) pont) pont)

pont) pont) pont) pont)

(1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont 1 intervallumon a sin x  2 (2 pont) (1 pont) (1 pont)

Matek Szekció 2005-2015 Összesen: 2 pont 5) Adja meg az összes olyan forgásszöget fokokban mérve, amelyre a 5 k x   kifejezés nem értelmezhető! Indokolja a válaszát! (3 pont) cos x Megoldás: A kifejezés nem értelmezhető, ha x  90  n  180 , n 

6) Határozza meg az alábbi egyenletek valós megoldásait! a)  log 2 x  3   log 2 x 2  6  0

 1  sin2  x    6 4 

Az egyenlet bal oldalán szereplő szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. (1 pont) Ha az első tényező 0, akkor log 2  3 (1 pont) Innen x1  23  8

Ha a második tényező 0, akkor log 2 x 2  6 1 Innen x 2  26  64

1 8 Mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet.  1  1   b) sin  x    vagy sin  x     6 2 6 2       x    2n  vagy x     2n  6 6 6 6  5  7 x   2n  vagy x    2n  6 6 6 6 4  x1   2n  ; x 2  2n  ; x 3    2n  ; x 4   2n  , n  3 3 ahonnan a pozitív tartományba csak az x 2 

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (2 pont) (2 pont) (2 pont) (4 pont) Összesen: 17 pont

7) Döntse el az alábbi két állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! (2 pont) a) Az x sin x  x   függvény periódusa 2. b) Az x

 függvény periódusa 2.

Megoldás: a) igaz b) hamis

(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont

Matek Szekció 2005-2015 8) Oldja meg a valós számok halmazán a 2  x  2

egyenletet, ha (3 pont)

Megoldás: A megoldások: 2; ; 0; ; 2.

9) Döntse el az alábbi négy állításról, hogy melyik igaz, illetve hamis! A: Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik hegyesszög 1 szinusza (1 pont) 2 1 B: Ha egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza , akkor a 2 háromszög derékszögű. (1 pont) C: A derékszögű háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense. (1 pont) D: A derékszögű háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát. (1 pont) Megoldás: A: igaz B: hamis C: igaz D: igaz

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 4 pont

10) Melyik szám nagyobb? 1 A  lg vagy B  cos 8 10

Megoldás: A nagyobb szám betűjele: B   cos 8 

11) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) b)

sin x  1  2cos x

A négyzetgyök értéke csak nemnegatív lehet: x  5 . és csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke: x  35,5

Négyzetre emelve: x 2  10x  25  2x 2  71 . (1 pont) 2 Rendezve: x  10x  96  0 (1 pont) amelynek valós gyökei a –16 és a 6. (1 pont) Az utóbbi nem felel meg az első feltételnek, ezért nem megoldása az egyenletnek Az egyenlet egyetlen megoldása a –16, hiszen ez mindkét feltételnek megfelel, s az adott feltételek mellett csak ekvivalens átalakításokat végeztünk. (1 pont)

Matek Szekció 2005-2015 b) A baloldalon a sin2 x  1  cos2 x 1  cos2 x  1  2cos x cos2 x  2cos x  0 cos x  cos x  2  0

kapjuk: (1 pont) (1 pont) (1 pont)

  k , ahol k  . (2 pont) 2 A cos x  2  0 egyenletnek nincs megoldása (mert cos x  2 nem lehetséges). (1 pont) Összesen: 12 pont  12) Határozza meg a radiánban megadott   szög nagyságát fokban! 4 (2 pont) Ha cos x  0 , akkor x 

(2 pont) x2  0 egyenlőtlenséget! 3x (7 pont) négy tizedesjegyre kerekített értékét, ha (4 pont) 2 a 2cos x  3cos x  2  0 egyenletet  ;   (6 pont)

a) Oldja meg a valós számok halmazán az b) Adja meg az x 4  3x  3x  20 . c) Oldja meg a alaphalmazon. Megoldás: a)

Ha x  3 , akkor ( 3  x  0 , ezért) x  2  0 , vagyis x  2 . (2 pont) A 3-nál kisebb számok halmazán tehát a  2;3 intervallum minden eleme megoldása az egyenlőtlenségnek. (1 pont) Ha x  3 , akkor ( 3  x  0 , ezért) x  2  0 , vagyis x  2 . (2 pont) A 3-nál nagyobb számok halmazában nincs ilyen elem, tehát a 3-nál nagyobb számok között nincs megoldása az egyenlőtlenségnek. (1 pont) A megoldáshalmaz:  2; 3 . (1 pont)

(1 pont) 5  3x  20 x (1 pont) 3 4 x  log 3 4 (1 pont) x  1, 2619 (1 pont) (A megadott egyenlet cos x-ben másodfokú,) így a megoldóképlet felhasználásával (1 pont) cos x  0,5 vagy cos x  2 . (2 pont) Ez utóbbi nem lehetséges (mert a koszinuszfüggvény értékkészlete a  1;1 intervallum).

  A megadott halmazban a megoldások:  , illetve . 3 3

(1 pont) (2 pont) Összesen: 17 pont

Matek Szekció 2005-2015 14) Adja meg azoknak a 0° és 360° közötti  amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! cos  

szögeknek a nagyságát,

(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont

15) Adja meg azoknak a 0° és 360° közötti  amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! 2 sin   2

szögeknek a nagyságát, (2 pont)

Megoldás: A számológépbe beírva 1 megoldást kapunk 1  45 Viszont van egy másik megoldás is 180  1  2 2  135

(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont

16) Oldja meg a  ;   zárt intervallumon a cos x 

Matek Szekció 2005-2015 17) a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? (4 pont) b) Oldja meg a  0;2 intervallumon a következő egyenletet! 1 cos 2 x  (6 pont) x   . 4 c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! (2 pont) I) Az f : , f  x   sin x függvény páratlan függvény. II) Az g : , g  x   cos 2x függvény értékkészlete a  2; 2 zárt intervallum. III) A h : , h  x   cos x függvény szigorúan monoton növekszik    a   ;  intervallumon.  4 4

Megoldás: (A kérdezett szöget  -val jelölve) alkalmazzuk a koszinusztételt: (1 pont) 2 2 2 7  5  8  2  5  8  cos  (1 pont) 1 Ebből cos   , (1 pont) 2 azaz (mivel egy háromszög egyik szögéről van szó)   60 (1 pont) 1 b) Ha cos x  , (1 pont) 2  akkor a megadott intervallumon x  , (1 pont) 3 5 vagy x  . (1 pont) 3 1 Ha cos x   , (1 pont) 2 2 akkor a megadott intervallumon x  , (1 pont) 3 4 vagy x  . (1 pont) 3 c) I) igaz II) hamis III) hamis (2 pont) Összesen: 12 pont 18) Adja meg a következő egyenlet  0; 2π  intervallumba eső megoldásának pontos értékét! (2 pont) sin x  1 a)

Matek Szekció 2005-2015 19) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x  1  cos x függvény értékkészletét! (2 pont) Megoldás: A függvény értékkészlete:  0; 2 