Csahóczi erzsébet matematika 6 megoldások

Eredeti ár: 1 999 Ft

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 6. tanításához

2 Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2008-ban elnyerte az Érdemes Tankönyvíró kitüntető címet Csatár Katalin a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2011-ben elnyerte az Érdemes Tankönyvíró kitüntető címet Illusztrálta FRIED KATALIN KATONA KATA LÉTAI MÁRTON SZALÓKI DEZSŐ Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztette ACKERMANN RITA Kapcsolódó kerettanterv EMMI Kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet AP ISBN Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné Morvai Éva Széplaki Györgyné Szeredi Éva, kiadás, 2014 A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft Celldömölk, Széchenyi u. 18. Telefon: 95/ , fax: 95/ Internet: Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 30,90 A/5 ív Tömeg: 618 g

3 Előszó Ne vágd el azt, amit kibogozhatsz! (Joubert, 19. századi filozófus) Kedves Kollégák! Könyvünket Joseph Joubert és Varga Tamás szellemében írtuk, vagyis szeretnénk, ha tanulóink gondolkozva, felfedező úton tennének szert matematikai ismereteikre. Mi, a szerzők, legalább 20 éve tanítjuk ezt a korosztályt (is). Azt tapasztaltuk, hogy a játékos felfedeztetés nagy öröm a gyerekek számára, és nincs ennél hatékonyabb módszer. Tudjuk persze, hogy a tanulásnak vannak rögös és fárasztó periódusai is. A játékokkal, a tananyagtartalom játékos feldolgozásával a gyerekek motiválása a célunk. Nagy hangsúlyt fektettünk a matematikai fogalmak szemléletes kialakítására, a tankönyv kidolgozott példái többek között ehhez kívánnak segítséget nyújtani. Feladataink egy része a legalapvetőbb fogalmak és eljárások begyakoroltatását szolgálják. A tankönyv matematikatörténeti érdekességeket is tartalmaz. Az adott témakörrel kapcsolatos internetes kutakodásra is buzdítjuk a gyerekeket. Könyvünk szerkezetéről Minden témakör 1 3 órás kis egységekből áll, amelyeket bőséges feladatanyag követ. Az egyes tanegységek kidolgozott példákon keresztül mutatják be a legfontosabb ismereteket, melyeket a példák után sárga háttérbe téve meg is fogalmaznak a szerzők. A feladatok sorszámát megkülönböztető jellel láttuk el: 1. Az új ismeretek elsajátítását, megértését igénylő alapfeladat, ezt a diákoknak meg kell tudniuk oldani ahhoz, hogy továbbhaladhassanak. 2. Az új ismeret alkalmazását, a tudás rögzítését, elmélyítését segítő feladat. 3. Többféle ismeret és képesség alkalmazását igénylő feladat. 4. Fejtörők, versenyfeladatok azoknak, akik további érdekes feladatokat szeretnének megoldani. 5. Internettel támogatott feladatok 6. A modellezhető, kivágható feladatokat jelöli ez a piktogram. A matematikát magasabb óraszámban tanuló csoportoknak írt kiegészítő tananyagokhoz tartozó feladatokat is a fent leírt szintekbe soroltuk, de más színnel jelöltük, például: 25. A fentieken kívül, ha egy-egy részfeladat nehezebb, gondolkodtatóbb a többinél, így jelöljük: 123. A tankönyvhöz feladatgyűjteményt is készítettünk, mely munkáltató jellegű feladatokat is tartalmaz. A kézikönyv szerkezetéről A kézikönyvvel, mely szerkezetében követi a tankönyvet, kollégáink munkáját szeretnénk megkönnyíteni. E kézikönyv tartalmazza a tananyag beosztását az adott tanévre, majd minden fejezet óraszámjavaslattal kezdődik. Leírjuk, hogy milyen korábbi ismeretekre építünk, és meddig kell el- 3

4 jutni az adott fejezet feldolgozása során, illetve, hogy mi fogja követni a későbbiekben ezt a témát. Megjelöltük az adott tananyaghoz kapcsolódó feladatok sorszámát, utalva arra, hogy melyek feldolgozása nélkülözhetetlen a továbbhaladáshoz. A feladatok eredményei, illetve azok megoldásai közvetlenül a példák után következnek, a nehezebb feladatoknál azok továbbfejlesztési lehetőségére, általánosítására is utalunk, remélve, hogy ezzel időt takarítunk meg az órákra való felkészüléskor. A módszertani útmutatókat és a tankönyv oldalszámait narancssárga háttérben helyeztük el. A tankönyv fejezeteit Tudáspróba zárja (megoldásuk szintén szerepel a kézikönyvben). Kiegészítő segédletek Megjelent a 6. évfolyamos matematikai felmérőfüzet, amely minden témához röpdolgozatokat (A és B csoport), valamint értékelő felmérőket tartalmaz (A és B csoport a kétféle óraszámban tanulók részére). Néhány fejezet elején TSZAM (Továbbhaladáshoz Szükséges Alapismeretek Mérése) található. Minden felmérő megoldása és pontozási útmutatója megtalálható a tanári példányban. A tankönyvhöz digitális tananyag is készült, melyet nagy örömmel használnak a gyerekek és a tanárok is. A digitális tananyag segíti a tankönyvi tananyag feldolgozását, alkalmas a tanórai munka támogatására is, és a gyerekek tanári segítség nélkül is tudják használni. A tankönyvcsaládhoz elkészült az évfolyamokra lebontott tanterv is, amely letölthető a kiadó honlapjáról: Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, azt juttassa el az Apáczai Kiadónak! Eredményes munkát kívánunk: a Szerzők 4

5 Kerettanterv Kerettanterv Bevezető A matematika-kerettanterv a Nemzeti alaptanterv (NAT) 2012 alapelvei szerint készült. A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet az alapozó szakaszban (1 6. évfolyam) a felzárkóztatásra, amely hozzájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez is. Továbbá a kerettanterv lehetőséget biztosít a tehetséggondozásra is mind a négy évfolyamon. Így jobban biztosítható a tanulók egyéni képességeinek fejlesztése. Ezért olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatás minőségét és hatékonyságát fontosnak tartják. Az óraszámok a törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak. Évfolyam Heti óraszám Éves óraszám Célok és feladatok Az általános iskola 5 8. évfolyamán a matematikaoktatás megismerteti a tanulókat az őket körülvevő világ konkrét mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, gyakorlatban alkalmazható matematikai műveltségüket, és az életkoruknak megfelelő szinten biztosítja a többi tantárgy tanulásához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás képességének folyamatos fejlesztése és a kompetenciák kialakítása. Az általános iskola 5 8. évfolyama egységes rendszert alkot, de igazodva a gyermeki gondolkodás fejlődéséhez, az életkori sajátosságokhoz két, pedagógiailag elkülöníthető periódusra tagolódik. Az alapozó szakasz utolsó két évében a tanulók gondolkodása erősen kötődik az érzékelés útján szerzett tapasztalatokhoz, ezért itt az integratív-képi gondolkodás fejlesztése a cél. A 7 8. évfolyamon elkezdődik az elvont fogalmi és elemző gondolkodás kialakítása is. Ez a tanterv a NAT 2012-ben megfogalmazott fejlesztési célokhoz és a kijelölt legfőbb kompetenciaterületekhez kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazza a fejlesztésközpontúságot szem előtt tartva. A fejlesztőmunkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kell beépíteni. Ezért alapvető fontosságú az alapozó szakaszban a tevékenységek részletes kifejtése, például a mérések, a fogalomalkotást előkészítő játékok, az alapszerkesztések és a geometriai transzformációk tulajdonságainak megtapasztalása. Ezeket egészítik ki a tananyag feldolgozásában megjelenő munkaformák: a páros, illetve csoportmunka, valamint a projektfeladatok. Természetesen az önálló feladatmegoldást, a differenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk. A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel az elektronikus eszközökre, azon belül az oktatási célú honlapokra az interneten. Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szóban és írásban; mások gondolatainak megértése, érvek és ellenérvek logikus használata a vitákban. Az általános iskola felső tagozatán egyre nagyobb szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése, a problémamegoldások mellett a felvetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése, a döntések igazolása. A tanulók legnagyobb része ebben a korban jut el a konkrét gondolkodástól az absztrahálásig. Ezért a legfontosabb cél a konstruktív gondolkodás kialakítása, amelyet a tanulók életkorának megfelelően manipulatív tevékenységek elvégeztetésével, az összefüggések önálló 5

6 Kerettanterv felfedeztetésével érhetünk el. Az önellenőrzéssel növeljük a tanulók önbizalmát, a változatos módszerekkel, a korosztálynak megfelelő játékos formákkal kis lépéseken keresztül, természetes módon hangoljuk őket a matematika tudományának befogadására. Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő matematikai modellt, azokat helyesen tudják alkalmazni. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetnünk a szövegértő, -elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is el kell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulók alkalmazni tudják más műveltségi területeken is. Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerének alkalmazását. Az általános iskolai matematikaoktatás alapvető célja, hogy a megszerzett tudás az élet minden területén, a gyakorlati problémák megoldásában is alkalmazható legyen. Fejlesztési célok 1. Tájékozódás Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban 2. Megismerés Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Az ismeretek rendszerezése Az ismerethordozók használata 3. Az ismeretek alkalmazása 4. Problémakezelés és -megoldás 5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás 6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás 7. A matematika épülésének elvei Kulcskompetenciák A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése: számlálás, számolás mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés 6

7 Kerettanterv becslés, mérés problémamegoldás, metakogníció rendszerezés, kombinativitás deduktív és induktív következtetés A tanulók értelmi képességeinek logikai készségek, problémamegoldó, helyzetfelismerő képességek folyamatos fejlesztése A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése A tanulók önellenőrzésének fejlesztése A gyors és helyes döntés képességének kialakítása A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása, megoldása A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése A kreatív gondolkodás fejlesztése A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása A tanulók a számítások, mérések előtt végezzenek becsléseket; ellenőrizzék a feladatmegoldások helyességét; a feladatok megoldása előtt készítsenek megoldási tervet; a geometriai szerkesztések elkészítése előtt készítsenek vázlatrajzot; a szöveges feladatok megoldásánál a szöveget pontosan értelmezzék, és a választ, valamint az ellenőrzést szabatosan írják le! A tanulók tudják a gondolataikat pontosan, életkoruknak megfelelően a szaknyelv használatával elmondani; a számolási készség kialakulása után használják a zsebszámológépet; szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat; tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében; ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket! A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló- és diszkussziós készségét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erre irányul a matematikaoktatásban a sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés, a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldások vizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, és a tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertani megoldás. Az utóbbi években kiemelt cél a matematikai kompetenciák megszerzése, amelyeket új módszerek bevezetésével lehet kialakítani. Ilyenek például a pár-, csoport-, illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka során ki kell alakítani a tanulók közötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni és a közösségi felelősségvállalást. A közös eredmény érdekében előtérbe kerül egymás személyének tiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatban könnyebben fejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben alakul ki az intenzív érdeklődés és a kíváncsiság, amelyek elősegítik a hatékonyabb tanulást. A tanulók matema- 7

8 Kerettanterv tikai szemléletének kialakításában nagy segítséget nyújtanak az interaktív tananyagok és az internet rendszeres használata. A matematikai kompetencia az összeadás, kivonás, szorzás, osztás és arányképzés alkalmazásának képessége a mindennapok problémáinak megoldása érdekében, a fejben és papíron végzett számítások során. A hangsúly a folyamaton és a tevékenységen, valamint a tudáson van. A matematikai kompetencia felöleli eltérő fokban a matematikai gondolkodásmód alkalmazásának képességét és az erre irányuló hajlamot (logikus és térbeli gondolkodás), valamint az ilyen jellegű megjelenítést (képletek, modellek, szerkezetek, grafikonok, táblázatok). A matematikai kompetenciához szükséges tudás magában foglalja a számok, a mértékek és szerkezetek, az alapműveletek és alapvető matematikai fogalmak és koncepciók és azon kérdések megértését, amelyekre a matematika válasszal szolgálhat. Az egyénnek rendelkeznie kell azzal a készséggel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat a mindennapok során, otthon és a munkahelyen, valamint hogy követni és értékelni tudja az érvek láncolatát. Képesnek kell lennie arra, hogy matematikai úton indokoljon, megértse a matematikai bizonyítást, és a matematika nyelvén kommunikáljon, valamint hogy megfelelő segédeszközöket is alkalmazzon. A matematika terén a pozitív hozzáállás az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok okát és azok érvényességét keressük. (Részlet a Kulcskompetenciák az élethosszig tartó tanuláshoz Európai referenciakeret anyagából) 6. évfolyam Heti óraszám: 3, éves óraszám: 108 Heti óraszám: 4, éves óraszám: 144 Témakör A témakör feldolgozására javasolt óraszám Heti 3 óra esetén Heti 4 óra esetén I. Gondolkodási módszerek 2 4 II. Számtan, algebra = = 87 III. Geometria, mérés = = 35 IV. Összefüggések, függvények, sorozatok Folyamatos Folyamatos V. Valószínűség, statisztika Folyamatos Folyamatos Négy felmérő dolgozat 8 8 A szabadon hagyott órák felhasználása: számonkérés tehetséggondozás projektfeladatok elvégzése és megbeszélése 8

9 Kerettanterv A kerettanterv beosztása heti 3 (illetve 4) órában tanuló csoportoknak Tematikai egység/ Fejlesztési cél I. Gondolkodási módszerek Órakeret heti 3 óra heti 4 óra 2óra 4óra Előzetes tudás Néhány elem sorbarendezése. A rendszerező gondolkodás alkalmazása. Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Elemek halmazok metszetébe, uniójába való elhelyezése. A relációjelek ismerete és alkalmazása. Állítások igazságtartalmának eldöntése, az állítások tagadása. A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai Ismeretek tudatos memorizálása, felidézése. A megtanulást segítő eszközök és módszerek megismerése, értelmes, interaktív használatának fejlesztése. A rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok megismerése. Valószínűségi és statisztikai szemlélet fejlesztése. A tervezés, ellenőrzés, önellenőrzés igényének kialakítása. Kommunikáció fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Elemek elrendezése, rend- A kombinatorikus gondolkodás, a célirá- Magyar nyelvtan. szerezése adott szempont(ok) szerint, fadiagram használata. Néhány elem sorba rendezése és kiválasztása. nyos figyelem kialakítása, fejlesztése. Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján. A helyes halmazszemlélet fejlesztése. A matematikai logika nyelvének tudatos Számelmélet, geometria. A részhalmaz fogalma. Két véges halmaz közös része. Két véges halmaz egyesítése. használata. Kulcsfogalmak/ Sorbarendezés, fadiagram. fogalmak Halmaz, elem, részhalmaz, egyesítés, közös rész. Logikai faktorok és relációk. 9

10 Kerettanterv Tematikai egység/ Fejlesztési cél II. Számtan, algebra Órakeret heti 3 óra heti 4 óra 64 óra 87 óra Előzetes tudás A természetes számok helyi értéke, alaki értéke, valódi értéke. A négy alapművelet elvégzése és zárójelhasználat a természetes számok körében. Negatív számok ismerete, összeadás, kivonás, természetes számmal való szorzás, osztás elvégzése. Számok abszolút értéke. Törtek kétféle értelmezése, összeadás, kivonás, természetes számmal való szorzás, osztás elvégzése. Számok helye a számegyenesen. Számszomszédok, kerekítés. A tanult számok nagyság szerinti összehasonlítása. A négy alapművelet, a relációjelek és a zárójelek helyes használata. Műveleti sorrend. A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai Biztos számfogalom kialakítása. Számolási készség fejlesztése. A műveleti sorrend használatának fejlesztése, készségszintre emelése. Megoldási terv készítése, becslés, sejtés megfogalmazása; a kapott és a becsült megoldás összevetése. Fegyelmezettség, következetesség, szabálykövető magatartás fejlesztése. Pénzügyi ismeretek alapozása. Ellenőrzés, önellenőrzés. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A négy alapművelet elvég- A számfogalom mélyítése, a számkör bőví- Történelem, földrajz. zése az egész számok körébentése. Számok ábrázolása számegyenesen. Műveleti tulajdonságok, a Egyszerű feladatok esetén a műveleti sor- helyes műveleti sorrend. rend helyes alkalmazási módjának felisme- Műveletek eredményeinek előzetes becslése, ellenőrzése, kerekítése. rése, alkalmazása. Az egyértelműség és a következetesség fontossága. Ellenőrzés és becslés. Számolási készség fejlesztése. A törtfogalom egységesítése a közönséges és a tizedes tört esetében. Törtek egyszerűsítése és bővítése. A számok reciprokának fo- Számolási készség fejlesztése. Ének-zene: a hangjegalma. A műveletekhez kapcsolódó ellenőrzés igégyek értékének és a A négy alapművelet az egényének és képességének fejlesztése. Önel- törtszámoknak a kapszek és a törtek körében. lenőrzés, önismeret fejlesztése. csolata. A 0 szerepe a szorzásban, osztásban. 10

11 Kerettanterv Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Egyszerű elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek, egyen- Önálló problémamegoldó képesség kialakítása és fejlesztése. Magyar irodalom: szövegértéslőtlenségek megoldása kö- Az egyenlő, nem egyenlő fogalmának elvetkeztetéssel, lebontogatásmélyítése. Ellenőrzés. sal. Szövegértés és a szöveg matematikai értel- A megoldások ábrázolása mezése. számegyenesen, ellenőrzés behelyettesítéssel. Arányos következtetések. A következtetési képesség fejlesztése. Földrajz: Magyarország A mindennapi életben fel- Szövegértés és a szöveg matematikai értel- térképéről méretarámerülő egyszerű arányossági mezése. nyos távolságok meg- feladatok megoldása követ- Az együtt változó mennyiségek kapcsolatáhatározásakeztetésselnak megfigyelése. Vizuális kultúra: va- Egyenes arányosság. Arányérzék fejlesztése, a valóságos viszolós tárgyak arányosan nyok becslése. kicsinyített vagy nagyított rajza. Technika: makettek. A százalék fogalmának meg- A következtetési képesség fejlesztése. Mindennapi élet: árismerése gyakorlati példá- Szövegértés és a szöveg matematikai értelleszállítás, egyszerű kon keresztül. mezése. banki fogalmak. Az alap, a százalékérték és a Az eredmény összevetése a feltételekkel, a százalékláb értelmezése. becsült eredménnyel, a valósággal. Egyszerű százalékszámítási feladatok arányos következtetéssel. Maradékos osztás. Az oszthatóság fogalma. Az osztó és a többszörös fogalmának kialakítása. Mindennapi élet: periódusok, ritmusok. Prímszám, összetett szám. Két szám közös osztóinak kiválasztása. Eratosztenész szitája, Egyszerű oszthatósági sza- A legkisebb pozitív közös többszörös meg- prímtéglák. bályok (2-vel, 3-mal, 5-tel, keresése. 9-cel, 10-zel, 100-zal). A bizonyítási igény felkeltése. Két szám közös osztói, közös többszörösei. Kulcsfogalmak/ fogalmak Elnevezések az alapműveletek körében. Közös osztó, közös többszörös. Egyenes arányosság. Százalék, százalékérték, alap, százalékláb. Negatív szám, előjel, ellentett, abszolútérték. Közönséges tört, számláló, nevező, közös nevező, reciprok, tizedes tört. Egyenlet, egyenlőtlenség. 11

12 Kerettanterv Tematikai egység/ Fejlesztési cél III. Geometria, mérés Órakeret heti 3 óra heti 4 óra 26 óra 35 óra Előzetes tudás Hosszúság és távolság mérése, mértékegységei. Négyzet, téglalap jellemzői, kerülete, területe. Kör létrehozása, felismerése, jellemzői. A test és a síkidom megkülönböztetése. Kocka, téglatest jellemzői, felszíne, térfogata. A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai Térelemek fogalmának elmélyítése környezetünk tárgyainak vizsgálata. Távolság szemléletes fogalma, meghatározása. A sík- és térszemlélet fejlesztése. Rendszerező-képesség, halmazszemlélet fejlesztése. Számolási készség fejlesztése. A szaknyelv helyes használatának fejlesztése. A geometriai jelölések pontos használata. A pontos munkavégzésre nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A tengelyes tükrözés. Szimmetrikus ábrák készítése. Technika: megfelelő A két ponttól egyenlő távol- Tükrözés körzővel, vonalzóval. eszközök segítségével ságra levő pontok. figyelmes, pontos mun- Tükrözés koordináta-rendszerben. kavégzés. Szakaszfelező merőleges. A tengelyes tükrözés tulajdonságainak is- Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztésemerete. Új fogalom a körüljárás. A transzformációs szemlélet fejlesztése. A tengelyes tükrözés tulajdonságai. Nevezetes szögek szerkesztése. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. A tengelyes szimmetria vizsgálata hajtogatással, tükörrel. Vizuális kultúra; természetismeret: tengelye- Tengelyesen szimmetrikus A szimmetria felismerése a természetben sen szimmetrikus alak- háromszögek, négyszögek és a művészetben. zatok megfigyelése, (deltoid, rombusz, húrtrapéz, vizsgálata a műalkotá- téglalap, négyzet), sokszösokbangek. A kör. Háromszögek és csoportosításuk szögeik és oldalaik szerint. Tulajdonságok megfigyelése, összehasonlítása. Halmazba sorolás. Vizuális kultúra: háromszögek a művészetben, építészetben. 12

13 Kerettanterv Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Négyszögek, speciális négyszögek: trapéz, paralelog- Az alakzatok tulajdonságainak ismerete és összehasonlításuk. Művészet: négyszögek az építészetben. ramma, deltoid, rombusz Halmazokba sorolás különféle tulajdonsá- megismerése. gok szerint. Tangram. Háromszög, négyszög, sokszög belső és külső szögeinek összege. A belső és külső szögeinek összegére vonatkozó ismeretek megszerzése tapasztalati úton. Háromszögek és speciális Szerkesztés tervezése, vázlatkészítés. Technika: megfelelő négyszögek szerkesztése. Körző és vonalzó használata. eszközök segítségével Pontos munkavégzésre törekvés. figyelmes, pontos munkavégzés. Szabályos sokszögek. Testhálók. Kerület meghatározása méréssel, számolással. Térszemlélet fejlesztése. A felszín fogalmának elmélyítése. Kulcsfogalmak/ fogalmak Szakaszfelező merőleges, szögfelező. Síkidom, sokszög, kör, test, csúcs, él, lap, szög, gömb. Kerület, terület, felszín, testek hálója, térfogat. Tengelyes tükrözés, tengelyes szimmetria. Egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög, húrtrapéz, deltoid, rombusz. Tematikai egység/ Fejlesztési cél IV. Függvények, az analízis elemei Órakeret heti 3 óra heti 4 óra folyamatos Előzetes tudás Szabályfelismerés, szabálykövetés. A szabály megfogalmazása egyszerű formában, a hiányzó elemek pótlása. Tapasztalati adatok lejegyzése, táblázatba rendezése. A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai Sorozat megadása szabállyal. A koordináta-rendszer biztonságos használata. A függvényszemlélet előkészítése. Összefüggés-felismerő képesség fejlesztése. Szabálykövetés, szabályfelismerés képességének fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Táblázat hiányzó elemeinek pótlása ismert vagy felismert szabály alapján, ábrázolásuk grafikonon. Összefüggések felismerése. Együtt változó mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése: tapasztalati függvények, sorozatok alkotása. 13

14 Kerettanterv Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Változó mennyiségek kö- Egyszerű grafikonok értelmezése. Mindennapi élet: vásárzötti kapcsolatok, ábrázolá- A megfigyelőképesség, az összefüggéslás, háztartás. suk derékszögű koordinátafelismerés gyakorlása. rendszerben. Gyakorlati példák egyenes Eligazodás a mindennapi élet egyszerű gra- Fizika: út, idő sebesség arányosságra. fikonjaiban. kapcsolata. Az egyenes arányosság grafikonja. Sorozat megadása a képzés szabályával, illetve néhány Szabálykövetés, szabályfelismerés. Mindennapi élet: szabályok, periódusok. elemével. Példák konkrét sorozatokra. Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Kulcsfogalmak/ Koordináta-rendszer, táblázat, grafikon, egyenes arányosság. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél V. Statisztika, valószínűség Órakeret heti 3 óra heti 4 óra folyamatos Előzetes tudás Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, diagram leolvasása. Valószínűségi játékok, kísérletek, megfigyelések. Biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos. A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai A statisztikai gondolkodás fejlesztése. A valószínűségi gondolkodás fejlesztése. Megfigyelőképesség, összefüggés-felismerő képesség, elemzőképesség fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Valószínűségi játékok és kísérletek dobókockák, pénzérmék segítségével. Valószínűségi és statisztikai alapfogalmak szemléleti alapon történő kialakítása. Kommunikáció és együttműködés. Valószínűségi kísérletek végrehajtása. Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. Egyszerű diagramok, értelmezése, táblázatok olvasása, készítése. Átlagszámítás néhány adat esetén (számtani közép). Kulcsfogalmak/ fogalmak 14 Tudatos és célirányos figyelem gyakorlása. Informatika: adat- Napi sajtóban, különböző kiadványokban kezelés, adatfeldol- található grafikonok, táblázatok elemzése. gozás, információmegjelenítés. Az átlag lényegének megértése. Számolási Földrajz: időjárási átla- készség fejlődése. gok. Adat, diagram, átlag.

15 Hány eset van? 1 2. óra: Hány eset van? Heti 4 órában tanuló csoportok esetén a témakör feldolgozására 2 tanórával több áll rendelkezésre. Tk.: 4 6. oldal, feladat Mire építünk? Az alsó tagozatban és az 5. évfolyamon is számtalan hasonló típusú logikai feladatot oldottak meg a tanulók. Például: hányféleképpen lehet vázába virágokat elhelyezni, sorba állítani tárgyakat, pontok koordinátáit adott halmaz elemeiből kiválasztani: :: Meddig jutunk el? Érdemes ezzel a rövid fejezettel indítani a tanévet, így az együtt gondolkodás segítségével talán könnyebben belelendülnek a gyerekek a tanulásba a nyári szünet után. Azonban a fejezet feldolgozható a tanév során folyamatosan egy-egy feladat kitűzésével is. Most megtanuljuk a független esetek összeszámlálását logikai rend szerint. Megismerkednek a gyerekek a könnyen elkészíthető, de igen munkaigényes fadiagrammal, és az esetek összeszámlálására szolgáló szorzási szabállyal. A sorbarendezési feladatok összes esetének meghatározásához egy biztos eljárás megismerése és alkalmazása szükséges feladatokon keresztül. Lényegében az n különböző elem összes permutációjának számát, az n (n 1) (n 2) . 2 1=n! fogalmát ismerik meg a gyerekek konkrét feladatok megoldása kapcsán. Érdeklődőbb osztályban érdemes a feladatok egy részét tovább is kérdezni. Hogyan folytatjuk? Minden év elején hasonló szerkezetű logikai blokkal indítunk. A következő tanévben ciklikus és ismétléses permutációra vezető feladatokat fogunk megoldani. Minden feladatnál engedjük a gyerekeket rajzolni, próbálkozni, soha ne erőltessük a logikai megoldást, de beszéljük meg azt is! Feladatok 1. Hányféle úton tud eljutni a kisegér a sajthoz, ha két falon kell átmennie? Az első falon 2, a másodikon pedig 3 olyan lyuk van, amelyen keresztül tud bújni. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az ábrán pirossal megjelölt úton fog haladni a kisegér, ha minden útvonalon azonos eséllyel megy a sajthoz? A gyerekek, akár az összes lehetséges út felrajzolásával és megszámolásával, akár logikai úton (2 3 féle eset van) hamar megoldják az ilyen típusú feladatokat. 2 3 = 6-féle úton jut el a kisegér a sajthoz, ezért 1 a valószínűsége, hogy az előre megjelölt úton megy Hencidából Boncidába 2 út vezet. Boncidából Piripócsra 3, míg Piripócsról Kukutyinba 4 út vezet. Ha mindig kelet felé haladunk, akkor hányféleképpen juthatunk el Hencidából H B P K 15

16 Hány eset van? a) Piripócsra Boncidán keresztül; 2 3=6 b) Kukutyinba Boncidán és Piripócson keresztül? 2 3 4=24 3. Az erkélyen lévő beépített virágosládák mindegyikébe egy-egy fehér, rózsaszín és piros begóniát akarunk ültetni. Hány ládát és hány palántát vásároljunk, ha mindegyik ládába más sorrendbe szeretnénk beültetni a virágokat? A fehér, a rózsaszín és a piros virágok lehetséges sorrendjét lerajzolgatják a gyerekek, vagy logikai úton megmondják, hogy = 6-féle virágosláda lesz. Ezért 6 ládát és 6 3 = 18 palántát kell venni (mindegyik színűből 6-6 darab kell). 4. Ági, Zsuzsi, Marcsi és Jutka moziba mennek. a) Hányféleképpen tudnak leülni egymás melletti székekre? = 24-féle leülési sorrendje van a négy kislánynak. b) Ha Ági és Zsuzsi mindenképpen egymás mellé szeretne ülni, akkor hányféle sorrend lehetséges? Ha két kislány egymás mellé szeretne kerülni, akkor az összes eset meghatározása egy igen rafinált ötletet igényel. Érdemes eljátszani a feladatot az órán: Ági és Zsuzsi megfogja egymás kezét ők egy egységet alkotnak, ezért csak a Marcsival és Jutkával való sorrendjüket kell meghatározni. Ez 6 lehetséges eset, de Ági ülhet Zsuzsi jobb és bal oldalán is, ezért 2 6 = 12 sorrend lesz. 5. Hányféle sorrendben lehet a borítékra felragasztani egymás mellé a) egy 20 Ft-os, egy 50 Ft-os és egy 100 Ft-os, 3 2=6 b) egy 20 Ft-os, egy 50 Ft-os, egy 100 Ft-os és egy 110 Ft-os bélyeget? 4 3 2=24 6. A mi családunkban nincs két ember, aki egyformán inná a kávét meséli Joli néni. Van, aki hidegen issza, van, aki melegen szereti; van, aki cukorral, van, aki édesítővel issza; van, aki tesz bele tejet, van, aki nem. Joli néni 80. születésnapjára összejött a család. Ha még valaki jött volna, akkor már nem ihatott volna mindenki másképpen elkészített kávét. Hányan ittak kávét a születésnapon? kávé hidegen melegen cukorral édesítővel cukorral édesítővel tejjel tej nélkül tejjel tej nélkül tejjel tej nélkül tejjel tej nélkül Kávét ezen a születésnapon éppen annyian ittak, ahány lehetséges elkészítése van a kávénak az adott feltételek szerint, hiszen ha még egy személy ivott volna kávét, az már új ízesítést nem választhatott volna. Tipikus skatulyaelvre épülő feladat. Ezt a feladatot érdemes fadiagrammal megoldani. Összesen 8-an ihatnak különböző ízesítésű kávét. Jobb képességű gyerekeknél érdemes tovább kérdezni, illetve kérdeztetni. Például: Hogyan módosul a feladat eredménye, ha a) kis és nagy adag közül is lehet választani, b) tejszínhabot kér valaki hozzá vagy nem, c) cukorral, édesítővel és cukor nélkül is lehet inni? 7. A fiúknak testnevelésórán a kötelező bemelegítés után rúdra vagy kötélre kell mászniuk, majd medicinlabdázniuk vagy súlyzózniuk kell, s csak ezután lehet labdajátékot választaniuk: kosár-, zsinórlabda vagy foci közül. Hány edzési lehetősége van egy-egy fiúnak a testnevelésórán? Az edzési lehetőségek száma: = 12 (fadiagrammal vagy logikai úton). 16

17 Hány eset van? 8. a) Hány ötjegyű számot lehet kirakni az 1, 2, 3, 4, 5 számkártyákból? Hány 5-re végződő lesz a kirakott számok között? Mi a valószínűsége annak, hogy ha véletlenszerűen kirakunk egy ötjegyű számot, akkor az éppen 5-re végződő lesz? A kirakható ötjegyű számok száma: = 120 nem érdemes fadiagrammal megoldani. Ha a szám ötre végződik, akkor csak az 1, 2, 3, 4 számkártyák összes lehetséges sorrendjét kell meghatározni, amely = 24, mert az 5-ös számkártya helyét a feladat kijelölte. A keresett valószínűség = 1 5.Az1 -öt úgy is megkaphatjuk, hogy csak 1 jó számjegy kerülhet az 5 közül az utolsó számjegy 5 helyére. b) Hány ötjegyű számot lehet kirakni a 0, 1, 2, 3, 4 számkártyákból? Az első helyre csak 0-tól különböző számkártyát tehetünk. A kirakható ötjegyű számok száma: = Hat jóbarát biciklitúrára ment. A vita elkerülése érdekében azt találták ki, hogy minden alkalommal más-más sorrendben kerekeznek. Délelőtt és délután is tekertek. a) Megvalósíthatták-e a tervüket, ha 2 hetes volt a túra? b) Hány napos lenne a túra, ha az összes lehetséges sorrendben bicikliznének? A feladat megoldása előtt feltétlenül becsüljenek a gyerekek. Írjuk fel a táblára a véleményeket: elég a 2 hét: x tanuló; nem elég a 2 hét: y tanuló! Döbbenetesen nem érzékelik a gyerekek a nagyságrendjét a sorbarendezési feladatoknak. A hat jóbarát összesen = 720-féle sorrendben biciklizhet, ami 360 napot jelent, hiszen egy napon kétszer voltak úton. Így majdnem egy éven át kerekezhetnének, természetesen a két hét nagyon rövid idő a tervük megvalósításához. (Ez 28 biciklizés, azaz legfeljebb 4 gyerek esetén lenne elegendő.) 10. Az iskolai matematikaversenyen 8 kitűzött feladat volt. Jóska végigolvasta azokat, s eldöntötte, hogy az utolsó példát hagyja utoljára, és a harmadik feladatot fogja először megoldani. Hányféle sorrendben oldhatná meg a fennmaradó hat feladatot? A nyolc feladatból kettőnek kötött a helye, ezért a fennmaradó hat feladat lehetséges sorrendjét kell meghatározni. Ez = Tanultátok már ezeket az igekötőket: be, ki, le, fel, meg, el, át, rá, ide, oda, szét, össze, vissza. Illeszd ezeket hozzá a következő igékhez: fog, ír, hív, olvas, megy! Hány szót tudsz így alkotni? Melyik igével kapod a legtöbb olyan szót, amelyet a mindennapi életben is használunk? 2-3 fős csoportokban vitassák meg a feladatot a gyerekek. Bizonyos szavaknál nem lesz teljes az egyetértés (például a szétolvas többek szerint nem értelmes magyar szó, míg mások szerint a nagyon sokszor elolvasott, és lapjaira széthulló könyvnél használjuk). Még a magyar szakos kolléga háláját is kiérdemeljük vele, ha a különböző összetételekkel mondatokat is mondanak a gyerekek. Készítsünk táblázatot! Ige Képzett szavak száma Mindennapi életben is használjuk fog (nem használjuk: ide-, szét-) ír (nem használjuk: szét-) hív (nem használjuk: rá-, szét-) olvas (nem használjuk: ide-, oda-, szét-) megy (nem használjuk: meg-, ide-) Összesen 5 13 = 65 szó képezhető, amelyből 55 használatos is. 17

18 Műveletek egész számokkal Műveletek egész számokkal 1. óra: Mit tudunk az egész számokról? 2 3. óra: Egész számok összeadása és kivonása 4 5. óra: Több tag összege, különbsége 6 7. óra: Szorzás és osztás egész számokkal 8. óra: Több egész szám szorzása, osztása óra: Műveletek sorrendje óra: Gyakorlás óra: Felmérő Heti 4 órában tanuló csoportok esetén a témakör feldolgozására 4 tanórával több áll rendelkezésre (ezek további gyakorlásra, tehetséggondozásra, projektek bemutatására, időközi számonkérésre fordíthatók). Mire építünk? A gyerekek már alsó tagozaton megismerkedtek az egész számokkal. Ötödik osztályban megtanulták az abszolút érték és az ellentett fogalmát. Megtanulták kiszámítani egész számok összegét és különbségét az adósság-vagyon modell segítségével. Egy- és kétjegyű számok körében dolgoztak. Meddig jutunk el? Nagyobb számokra is alkalmazzuk az egész számok összeadásáról és kivonásáról tanultakat. Tovább mélyítjük a kivonás és összeadás kapcsolatáról korábban szerzett ismereteket. Megtanítjuk az egész számok szorzásának és osztásának szabályait. Behelyettesítéssel meghatározzuk algebrai kifejezések előjelét. Ezt számegyenesen is ábrázoljuk. Koordináta-rendszerben ábrázolunk egyszerű algebrai kifejezésekhez tartozó ponthalmazokat. 1. óra: Mit tudunk az egész számokról? Tk.: 7 9. oldal, feladat Az óra célja: a negatív számokról szerzett ismeretek átismétlése. Mielőtt az egész számok összeadását és kivonását ismételni kezdenénk, alaposan gyakoroltassuk be a gyerekekkel az abszolút érték és az ellentett fogalmakat! Győződjünk meg róla, hogy minden gyerek könnyen és biztosan össze tud hasonlítani nagyság szerint két egész számot! Nagyon fontos, hogy természetessé váljék számukra, hogy 0-tól távolodva a negatív számok csökkennek, miközben nő az abszolút értékük. Javasolt eszközök: adósságcédulák és készpénzkorongok, számegyenes. 18

19 Műveletek egész számokkal Feladatok A fejezetben főleg egész számokkal dolgozunk, de folyamatos ismétlésként tört, illetve tizedes tört alakú számok is megjelennek. 1. Válaszolj a kérdésekre az A halmaz elemeit vizsgálva! A a) Melyik a legnagyobb szám? 13 3 b) Melyik a legnagyobb abszolút értékű szám? 13 3 c) Melyik a legkisebb szám? 12 d) Melyik a legkisebb abszolút értékű szám? e) Mennyi a legnagyobb és a legkisebb abszolút értékű szám összege? 13 3 f) Mennyi a legnagyobb és a legkisebb abszolút értékű szám különbsége? Az A halmaz elemeiről mondunk állításokat. Döntsd el, melyik igaz, melyik nem! a) A legnagyobb abszolút értékű szám a legkisebb. Hamis. b) A legnagyobb abszolút értékű szám a legnagyobb. Igaz. c) A legkisebb abszolút értékű szám a legkisebb. Hamis. d) A legkisebb abszolút értékű szám a legnagyobb. Hamis. 3. Mely számok helyét jelöltük a számegyenesen? a) b) a b c d ef g h i j k l a = 7, b = 5, c =2,d =4,e = 10, f =11 g = 40, h = 20, i = 5, j = 30, k = 60, l =75 4. Ábrázold számegyenesen a megadott számokat, majd állítsd azokat növekvő sorrendbe! a) b) c) Írj a keretek helyére a füzetedbe olyan egész számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! a) 5 =( 5) b) 5 =(+5) c) 12 =12 d) ( 3) <

20 Műveletek egész számokkal 6. Hol helyezkednek el a számegyenesen azok a számok, amelyek a) kisebbek, mint ( 2); 2 0 b) nem kisebbek, mint 5; 0 5 c) nagyobbak, mint ( 10); 10 0 d) nem kisebbek, mint ( 15), és kisebbek, mint 9? 15 9 A választ nemcsak az egészek körében keressük. Nem akarunk úgy tenni, mintha törtekről még nem tanultunk volna. Fontos és nehéz gondolat, hogy például a 2-nél kisebb számok között nincsen legnagyobb. Mindegyik üres karikával végződő intervallum esetében felvetődhet ez a probléma. 7. Ábrázold számegyenesen azokat a számokat, amelyek abszolút értéke a) nem több, mint 10; b) 4; c) 3 és 4 közé esik; d) ( 5); Nincs ilyen szám. e) minimum 3 és maximum 8; f) legfeljebb 6! Ezeknek a feladatoknak a megoldása sokkal könnyebb, ha engedjük próbálgatni a gyerekeket. Érdemes kezdetben közösen megoldani néhányat közülük. Javasoljon egy gyerek egy számot, és próbálja ki, hogy jó-e! Ha nem jó a szám, vagyis nem felel meg a feltételnek, akkor jelöljük meg feketével a helyét a számegyenesen! Ha megfelel a feltételeknek, akkor jelöljük meg pirossal a helyét! Próbálkozzanak nem egész számokkal is! Egy-egy konkrét szám kipróbálása abban segít, hogy megértsék az összetettebb feltételeket is. Ezután sokkal könnyebb lesz az összes megoldást megtalálni, és kijelölni a számegyenesen. 8. Ábrázold számegyenesen azokat a számokat, amelyek ellentettje a) kisebb, mint ( 2); b) legalább 5; 5 c) nagyobb vagy egyenlő 5-tel;