TANÁRI KÉZIKÖNYV FI /1 MATEMATIKA 7. FI /1 MATEMATIKA 8. ESZTERHÁZY KÁROLY EGYETEM OKTATÁSKUTATÓ ÉS FEJLESZTŐ INTÉZET

2 A kézikönyv az Széchenyi 2020 Fejlesztési program Emberi Erőforrás Fejlesztési Operatív Programjának EFOP VEKOP számú, A köznevelés tartalmi szabályozóinak megfelelő tankönyvek, taneszközök fejlesztése és digitális tartalomfejlesztés című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Szerző Rózsahegyi Eszter Szerkesztő dr. Wintsche Gergely Olvasószerkesztő Gönye László Sorozatterv, tipográfia Takács Brigitta Tördelés Cseh Krisztina 1. kiadás, 2018 Eszterházy Károly Egyetem – Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, 2018 Raktári szám: FI /1/K Eszterházy Károly Egyetem – Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest, Rákóczi út Felelős kiadó dr. Liptai Kálmán rektor 2

3 TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETŐ. 5 I. AZ ÚJGENERÁCIÓS TANKÖNYVEK FEJLESZTÉSI CÉLJAINAK MEGVALÓSULÁSA. 6 I.1. Főbb célkitűzések, pedagógiai elvek. 6 I.1.1. A valósággal való kapcsolat megmutatása. 7 A spirális felépítésről. 8 I.1.2. A szövegértési és szövegalkotási készségek fejlesztéséről. 8 I.1.3. Változatos módszerek, eszközök és munkaformák I.1.4. Digitális kompetenciák fejlesztése I.2. A kipróbálás tanulságai, változtatások I.2.1. Változások a 7. osztályos tankönyvben és munkafüzetben I.2.2. Változások a 8. osztályos tankönyvben és munkafüzetben Idézetek tanároktól, néhány év használat után: II. A TANKÖNYV FELÉPÍTÉSE, TÉMAKÖRÖK BEMUTATÁSA II.1. A tanítás és tanulás eredményességét elősegítő eszközök és megoldások II.1.1. A tankönyvek nagy témakörei II.1.2. A tankönyvi fejezetek és leckék szerkezete és alkotóelemei II.1.3. A tankönyv feladattípusai és grafikai eszközei II.1.4. A tankönyv és a munkafüzet kapcsolata II.2. A tankönyvek nagy témakörei tankönyvenként elkülönítve II.2.1. Gondolkodási és megismerési módszerek II A hetedikes tankönyv I. Gondolkodjunk! című fejezet leckéinek áttekintése II.2.2. Számok, betűk és műveletek a 7. és 8. osztályban II A 7. osztályos tankönyv II. Racionális számok és hatványozás című fejezetének áttekintése II A 7. osztályos tankönyv IV. Oszthatóság című fejezetének áttekintése II A 8. osztályos tankönyv I. Számok és betűk című fejezetének áttekintése II.2.3. Geometria a 7. és 8. osztályban II A 7. osztályos tankönyv III. Geometriai transzformációk című fejezetének áttekintése II A 7. osztályos tankönyv VI. Geometria című fejezetének áttekintése II A 8. osztályos tankönyv II. Geometriai transzformációk című fejezetének áttekintése II A 8. osztályos tankönyv III. A Pitagorasz-tétel című fejezetének áttekintése II A 8. osztályos tankönyv VI. Felszín, térfogat című fejezetének áttekintése II.2.4. Egyenletek és egyenlőtlenségek a 7. és 8. osztályban

4 II A 7. osztályos tankönyv V. Egyenletek, egyenlőtlenségek című fejezetének áttekintése II A 8. osztályos tankönyv IV. Egyenletek, egyenlőtlenségek című fejezetének áttekintése II.2.5. Sorozatok, függvények, valószínűségek, statisztika a 7. és 8. osztályban II A 7. osztályos tankönyv VII. Függvények, statisztika című fejezetének áttekintése II A 8. osztályos tankönyv V. Függvények, valószínűségek, sorozatok című fejezetének áttekintése II.2.6. Gyakorló feladatok felvételire III. A TANKÖNYVEK EREDMÉNYES HASZNÁLATÁNAK FELTÉTELEI ÉS LEHETŐSÉGEI IV. A MUNKAFÜZETEK

5 BEVEZETŐ Ennek a tanári kézikönyvnek az I. fejezete nagyon hasonló az 5-6. osztályok számára készült tanári kézikönyvhöz. Ez a hasonlóság nem a véletlen műve. Meglepő lenne, ha az alapelveinket és a tanítással kapcsolatos nézeteinket megváltoztattuk volna felsőbb osztályba lépve. A hasonlóság azonban nem jelent tökéletes egyezést. Az 5-6. és a 7-8. osztály tankönyvei között az alábbi különbségek emelhetők ki: A 7. és 8. osztályos gyerekek az életkori sajátosságoknak megfelelően már könnyebben értenek meg absztrakt fogalmakat. Továbbra is igyekszünk a valóságból, a mindennapi tapasztalatok alapján felmerülő problémákból kiindulni, de gyakrabban kerülnek elő a matematikán belüli kérdések és absztrakt fogalmak (pl. osztó, egyenletek, végtelen, π, ). A fogalmakon túl érvelések, indoklások (bizonyítások) is előfordulnak néhány helyen (pl.: hatványozás, számtani sorozat). A 7. és a 8. osztályosoknak szóló tankönyvek kicsit komolyabb hangvételűek lettek. Van bennük játék és képregény, de minden szempontból több matematikát tartalmaznak, mint az előző kötetek. Továbbra is úgy tartjuk, hogy a tankönyvek, munkafüzetek és a hozzájuk kapcsolódó digitális segédanyagok közvetlenül a diákokhoz szólnak, de nem akarják megkerülni a tanárt, hiszen a tanár kompetenciája, hogy a rábízott gyerekeknek a matematikát az ő igényeiknek, szintjüknek megfelelően tanítsa. Ehhez próbálunk a tankönyvekkel, munkafüzetekkel és egyéb segédanyagokkal minél több segítséget és támogatást nyújtani. Ez a kézikönyv is ilyen szándékkal íródott. Megosztjuk az olvasóval a tankönyvírás közben felmerülő dilemmák és a döntés indokainak egy részét, ízelítőt adunk a kipróbáló tanárok véleményéből és javaslataiból, elmondunk néhány reflexiót a saját tanítási tapasztalatunk alapján és javaslatot adunk az adott témakör feldolgozására, esetleges továbbgondolására. 5

6 I. AZ ÚJGENERÁCIÓS TANKÖNYVEK FEJLESZTÉSI CÉLJAINAK MEGVALÓSULÁSA I.1. Főbb célkitűzések, pedagógiai elvek Az átalakuló társadalmi elvárások és a tanulás sajátosságait vizsgáló kutatások eredményei egyaránt változást sürgetnek az iskolai oktatásban. Nemcsak a konkrét tanítási-tanulási módszerek, hanem általában a tudáskép, a tanulás folyamatáról vallott elképzelések terén is. Más országokban is szokás, nálunk is érdemes 4 10 évente felülvizsgálni, modernizálni és aktualizálni a tankönyveket. Erre az útra léptünk az OFI új tankönyvcsaládjával. A könyvek alapvetően az alapóraszámú, átlagos osztályok számára készültek, ugyanakkor nem akartunk lemondani a tehetséges gyerekek felismerésének lehetőségéről sem. Éppen ezért a könyveink sok helyen tartalmaznak az átlagostól, szokványostól eltérő, alapvetően újfajta megközelítést igénylő feladatokat is. Habár az alapóraszám nem teszi lehetővé, hogy minden egyes matematikai ismeretet a gyerekek saját maguk alkossanak meg, néhány lecke felépítése során figyelembe vettük ennek lehetőségét is. Nagyon fontos szempont az, amire több helyen hivatkozni fogunk, de itt és most kiemelendő: A tankönyv és a munkafüzet egy-egy taneszköz. Arra szolgálnak, hogy segítsék a gyerekek tanulását, a pedagógusok tanítási folyamatát és a szülők otthoni támogató tevékenységét. Mindezek mellett a tankönyv nem kinyilatkoztatás és nem egy olyan könyv, melyet meg kell tanítani az első sortól az utolsóig. Természetes és kívánatos, hogy a pedagógus a tanítási folyamat során a taneszközöket az osztály képességei és a fejlesztési céljainak figyelembevételével használja. Lehetséges, hogy egyes osztályokban lefelé, és lehetséges, hogy egyes osztályokban felfelé kell differenciálni, ennek során pedig más taneszközöket (feladatgyűjtemény, internet ) is érdemes bevonni az oktatásba. A végső cél kettős kell hogy legyen: a tanulók sajátítsák el az alapvető matematikai ismereteket, és váljanak gondolkodó emberekké. A matematikai kompetencia kialakításához elengedhetetlen az olyan meghatározó bázisképességek fejlesztése, mint a matematikai gondolkodás, az elvonatkoztatás és a logikus következtetés. E kompetencia összetevőit alkotják azok a készségek is, amelyekre támaszkodva a mindennapi problémák megoldása során a matematikai ismereteket és módszereket alkalmazzuk. A matematikai kompetencia kialakulásában, hasonlóan más területekhez, az ismeretek és a készség szintű tevékenységek egyaránt fontos szerepet töltenek be. (NAT 2012) Ennek a kézikönyvnek az első fejezetében röviden áttekintjük főbb pedagógiai, matematikatanítási elveinket. Az általános nézetek ismertetésével kezdjük, majd nyomon követjük, hogyan érvényesülnek ezek az alapelvek a matematika tanítása során az egyes fejezetekben, az egyes leckékben, néhol lebontva egészen egy-egy feladat szintjéig. 6

7 I.1.1. A valósággal való kapcsolat megmutatása Egyfelől célunk a matematikai tevékenység iránti érdeklődés felkeltése a valóságból származó élmények segítségével, másfelől szeretnénk megmutatni a tanultak alkalmazhatóságát a matematikán belül, más tantárgyakban és a mindennapi életben. Sem a szakmódszertan művelői, sem a tankönyvszerzők körében nincs vita arról, hogy az iskolai matematikatanítás csak úgy lehet hatékony, ha az ismeretek közvetítése a tanulók mindennapi életéből, környezetéből vett tapasztalatokra, tárgyakkal való manipulációjára épül. Ezt a didaktikai alapelvet a tankönyvek mindegyike követi. A különbség abban van az egyes kiadványok között, hogy milyen gyorsan vagy mennyire fokozatosan jutnak el az általánosításhoz, térnek át az elvont tárgyalásra. Ha ez túl hamar történik, akkor az átélt, megértésen alapuló tanulás helyét a lemaradás veszi át, majd ezt követi a tanulástól való elfordulás. Ilyenkor természetesen kevésbé vagy alig hatékony a meglevő ismeretek mindennapi helyzetekben való felhasználásának képessége. A hiányos matematikai ismeretek akadályát jelentik a modellalkotásnak, és ezzel az alkalmazásnak is. A valóságalapú és valósághoz köthető feladatok, ahol csak lehet, a leckék alapját adják. Az egyes leckék bemutatása során ezekre általában utalni fogunk. Továbbra is fontos elem a becslés és a mérés, de fokozatosan nő a számítással meghatározott mennyiségek szerepe. A tankönyvírók, bírálók, használók és a tudomány képviselői egyetértenek abban, hogy egy matematika-tankönyvnek matematikailag korrektnek kell lennie. Ugyanakkor a matematikáról és a matematikatanulásról alkotott kép divergens volta miatt szinte mindenki mást ért a tankönyvek tartalmának matematikai korrektségén. Éppen ezért a matematikatankönyvírás alapkérdése, hogy mennyire kell a matematikai pontosságot a tankönyvekben szem előtt tartani, hogyan lehet az absztrakció és a szemléletesség életkori sajátosságoknak megfelelő arányát megtartani. Mi azt valljuk, hogy elsődlegesnek a megértést tekintjük. Mindennél fontosabb, hogy a tanulók fejében értelmes és logikus kép alakuljon ki a matematikai fogalmakról. Ha ezt a megértési folyamatot a túlzott matematikai precizitás nehezíti vagy akadályozza, akkor szinte minden esetben a megértés mellett tettük le a voksunkat. Ha egy-egy absztrakciós szinten csorba esik a matematikai szabatosságon, azt a spirális felépítés szerint tanítva korrigálhatjuk a következő szinteken. Törekedni kell arra, hogy egyszerű matematikai szakkifejezések (több, nem több, kevesebb, ugyanannyi, kisebb, nagyobb stb.) és jelölésük (=, stb.) használata a többi tantárgy keretében is helyesen történjen. A logikai és matematikai eszközök bővülésével tágabb lehetőség nyílik az önellenőrzésre és mások gondolatmenetének, érvelésének, levezetésének kritikájára. Megnőtt a hibakereséses feladatok száma. A szabatosság általunk választott mértékét természetesen bármelyik tanár felülbírálhatja, és a saját osztályának ismeretében lehet fogalmilag elvontabb, ha ez nem akadálya a megértésnek. A tanár felelőssége annak eldöntése, hogy a kerettantervben leírt matematikai tartalmat milyen pedagógiai eszközökkel tanítja, milyen módot tart a 7

8 leghatékonyabbnak. A tankönyv és a munkafüzet a létező taneszközök egyikeként nyújt ehhez segítséget az átlagos, illetve az átlagosnál kicsit jobb felkészültségű tanulókra fókuszálva. A spirális felépítésről A kerettanterv felépítése ösztönzi a tananyag spirális kezelését. A geometriai fogalmak fejlődése például a fogalomcsírától a szabatos matematikai definíciókig a látvány észlelésén és értelmezésén át az attól való elszakadáson, hosszú absztrakciós folyamaton keresztül történik. A vizuális szinten a gyerekek felismerik a formákat és tulajdonságokat, de ezeket a formákat és tulajdonságokat egységes egészként érzékelik, és képszerűen beszélnek róluk (pl. kerek, mint egy pénzérme). A leíró szinten külön tudják választani a formák egyes részleteit és tulajdonságait, és a tulajdonságok alapján azonosítják a formákat. Az alakzatokat egészként és tulajdonságaik együtteseként érzékelik. Az összefüggés-felismerő, absztrakt szinten már tulajdonságaik alapján definiálunk és osztályozunk, szükséges és elégséges feltételeket vizsgálunk. A következő szint az állítások önálló megfogalmazása és alátámasztása. A matematikai szigor szint jellemzője a formális érvelés. A spirális fogalomépítés során nemcsak egy fogalom lép magasabb szintre, hanem az ismeretek rendszere is átalakul, az egyes konkrét ismeretek más-más hangsúlyt kapnak. A felvetett kérdések alkalmat adnak számos fogalom, szabály, eljárás kezelésére, a fogalomépítésre (hozzárendelések, gyakoriság, valószínűség). A tananyag egyes elemei (formák, méretek, színek) a valóság, a hétköznapi tapasztalat talajáról indulnak, és megmutatják, hogy a matematika milyen módon és eszközökkel kezeli azokat. Az érdekes gyakorlati szituációk természetes módon kapcsolódnak a matematikai tartalomhoz. Nem célszerű siettetni a szituációtól való elszakadást, a tiszta matematikai szóhasználatot. I.1.2. A szövegértési és szövegalkotási készségek fejlesztéséről Kiemelt feladatunk volt, hogy a matematika tárgyon belül is támogassuk a szövegértési és szövegalkotási készségek fejlesztését. Nem csak Magyarországon, de más országokban is jellemző a fiatalokra az olvasási szokások változása. Ez sajnálatos módon visszahat minden tárgy tanulására. Ha a gyerekek nem értik vagy nem tudják értelmezni a magyar nyelvű szövegeket, akkor nem várható el tőlük, hogy a meg nem értett szövegbe foglalt matematikafeladatot megoldják. A PISA-mérések és a kompetenciamérések is mutatják, hogy összefüggés van az olvasási képességek és a matematikaeredmények között. A szövegértési problémának számos szintje lehetséges. Van olyan tanuló, akinek gondot okoz már egyes szavak kiolvasása, értelmezése is; a mondat értelmezése (bár el tudja olvasni és érti az egyes szavakat); a megértett szöveg matematikai fogalmak szintjére való transzformálása; a matematikai forma kezelése (számolási, szerkesztési, indoklási problémák). 8

9 és megoldása. Persze vannak olyanok is, akiknek nem okoz gondot a szöveges feladatok értelmezése Nekünk, tanároknak minden diák fejlesztésével és fejlődésével foglalkoznunk kell. Ezért építettünk be számos olyan elemet a matematika-tankönyvekbe, amelyek alkalmasak arra, hogy támogassuk a gyerekek olvasási készségének fejlesztését. Az egyik ilyen elem a fejezetek elején található történet, idegen néven storyboard, a címen a grafikákkal kapcsolatos megjegyzéseket olvashatunk (csak egy része vonatkozik a matematikatankönyvekre). Az 5-6. osztályos tankönyvben szereplő osztálykirándulási kerettörténet helyett a 7. osztályos tankönyvben matematikatörténeti érdekességekről írunk a tudománytörténet, illetve egy-egy híres matematikus egy-egy pillanatát felvillantva. Fejezetenként haladva: I. Gondolkodjunk Arisztotelész II. Racionális számok és hatványozás al Hvárizmi III. Geometriai transzformációk Euklidész IV. Oszthatóság Carl Friedrich Gauss V. Egyenletek, egyenlőtlenségek Eratoszthenész VI. Geometria Arkhimédész VII. Függvények, statisztika Galileo Galilei Szándékunk szerint ezzel több célt is elérünk. Egyrészt eleget teszünk a kerettanterv matematikatörténettel kapcsolatos előírásainak, másrészt, ha csak a gyerekek néhány százaléka elolvassa és találkozik ezekben a történetekben matematikussal, filozófussal, és ehhez a jól szórakoztam élmény társul, akkor elértük célunkat. Nem elvárás, hogy az osztályban közösen vagy házi feladatként elolvastassuk a gyerekekkel. Lehet rá utalni, de nem feladat a kép vagy a szöveg feldolgozása. Ezeknek a történeteknek az olvasási készség fejlesztésén túl érdeklődést felkeltő szerepük is van, ami talán a legfontosabb a tanulás során. 8. osztályban elhagytuk az egybefüggő sztorikat, és a gyerekek által kedvelt, képregényes formába ültettük át a bevezető történeteket. Az egyes fejezeteket most nem érdemes felsorolni, mert egységes szerkezetűek. Mindegyik sztori azt erősíti, hogy matematikai fogalmak az élet legkülönbözőbb területein előfordulnak, akár teljesen elemiek, mint a derékszög, akár egy bonyolult geometria alakzat leírásáról van szó, vagy a villamosmérnöknek egy integrál transzformáció. A klasszikus szöveges feladatok között vannak egyszerűek, kicsit összetettebbek és problémamegoldás szintű, nehezebb feladatok is, nem beszélve a máig megoldatlan Collatz-sejtésről. Az egyszerű feladatokkal az a célunk, hogy azok a tanulók is sikerélményhez juthassanak a matematikaórán, akiknek korábban nem volt ilyen élményük. Néhány egyszerű feladat önálló véleményalkotásra ösztönzi a tanulókat. Az egyszerű feladatokban kevés a 9

10 matematikai tartalom, elsősorban adatgyűjtés és elemi feldolgozás (alapműveletek végzése) a feladat. Ezeket jelöltük általában 1 wifi jellel. Az összetett feladatok elemi műveletekkel megoldhatók, az adott (új) tananyaghoz tartoznak, és nem igényelnek egy gondolatnál, egy logikai lépésnél többet. Ide soroltuk a logikailag nem nehéz, de bonyolultabb aritmetikai kifejezéseket tartalmazó feladatokat is. Ezeket jelöltük általában 2 wifi jellel. A nehezebb feladatok megoldásához a szöveg pontos megértése szükséges, általában ötletet igényelnek, és nem 1, hanem 2-3 lépésben oldhatók meg. Ezeket jelöltük általában 3 wifi jellel. A tankönyv és a munkafüzet feladatainak többsége e két utóbbi feladattípushoz tartozik. Habár a kipróbáló tanárok véleményével és javaslataival külön is foglalkozunk, álljon itt két vélemény és egy statisztikai adat a szöveges feladatokkal kapcsolatban: a hosszú, összetett szöveges feladatok nem túl motiválóak. Nagy küzdelem zajlik a szövegértéssel, és amíg az egyszerű irodalmi szöveget nem értik a tanulók, nehéz a matematikai szövegértést fejleszteni. Jó példa erre a jelenlegi ötödik osztályom, többségében szorgalmas, jó képességű tanulók. Megírtuk az első témazárót, a tanult matematikai tartalommal semmi gond nem volt, viszont a szöveges feladattal (ami alapvetően nagyon egyszerű) már nem bírtak megküzdeni, valószínűleg a hosszúsága és az összetettsége miatt. De ezt elmondhatom a többi évfolyamról is és a fizika tantárgyról is. A szöveges feladatok megoldása sokkal könnyebben ment tanév vége felé, mint eleinte. Szerintem a szövegértésük javult. Az egy év használat utáni tanári visszajelzésekben 64 tanár közül 18 emelte ki, hogy véleménye szerint sokat fejlődött a tanulók szövegértési képessége, és már el mernek olvasni hosszabb szövegeket, neki mernek állni hosszabb feladatoknak is. Ugyanakkor 6 tanár emelte ki, hogy az ő csoportjában még mindig jelentős probléma az olvasás, a szövegértés. I.1.3. Változatos módszerek, eszközök és munkaformák A tankönyvek többféle módszerrel, eszközzel, megoldási javaslattal segítik az ismeretszerzést (játékos problémafelvetés, tapasztalatszerző tevékenység, tapasztalatok összegyűjtése, szabályok megfogalmazása, vélemények ütköztetése, az érvelés és indoklás bemutatása). A történeti utalások és érdekességek színesítik az anyagot, segítik az érdeklődés felkeltését. A szövegben alkalmazott színek és grafikai elemek irányítják a figyelmet, segítenek a legfontosabb mondanivaló kiemelésében és az egyes szerkezeti elemek (példa, feladat, fejszámolás, játék, kutatómunka, páros munka) felismerésében. A könyvet és a munkafüzetet nem csupán az egységes megjelenés köti össze, hanem tartalmilag is szerves egységet alkotnak. A munkafüzet nem csupán utal a megfelelő tankönyvi helyre, hanem folytatja a tankönyvi probléma vizsgálatát. A munkafüzetben található feladatok igényesek és változatosak, közülük több nyitható, később is elővehető. A példák és feladatok többsége 10

11 mindenkinek szól, de szép számmal vannak a differenciálást segítő, a gyorsabban haladóknak szánt igényes feladatok is. Következetes jelölés tájékoztat egy-egy feladat nehézségi szintjéről, bár kevés az igazán könnyű példa. A módszerek változatosságához hozzájárul megfelelő munkaformákra vonatkozó javaslat (páros, illetve csoportmunka, kutatási feladatok stb.). A felső tagozatos tanulók számára élményszerűvé, az iskolán kívüli tevékenységükhöz közelebb állóvá válik a tananyag, ha játékok, rejtvények, tréfás kérdések tartoznak hozzá. Nagy hangsúlyt kap az eszközhasználat, a megfelelő tanulási környezet kialakítása, a kooperatív tanulási technikák alkalmazása, a tévedés és a vita lehetősége, a jó munkalégkör biztosítása. Az 5-6. osztályban domináló játékok mellett 7-8. osztályban számos önálló munkát igénylő, általában internet alapú kutatómunka található. A hetedikes könyvben 5, a nyolcadikosban 11 kutatómunkát helyeztünk el. A játék joggal tekinthető a logikus gondolkodásra nevelés és a szociális készségek fejlesztése eszközének. Sokféle játék létezik, az egészen egyszerű szórakoztató játéktól a komplex iskolai alapprogramot átszövő sakkjátékig. Mi mindegyiket játéknak tekintjük. A játékok egy része arra szolgál, hogy a mechanikus gyakorlást versenyszerű környezetbe ültetve (gamification) szórakoztatóvá tegye a tanulást. Sok tanár játszik számkirályt, bummot, egyszámjátékot vagy más számolós játékot az óra elején, hogy a gyerekek ráhangolódjanak az órára. Ehhez saját személyiségük, saját tanári és színészi teljesítményük adja a sikerhez elengedhetetlen kezdeti motivációt. A hetedik és nyolcadik osztályos tankönyvben a játékok típusa is megváltozott. A valódi játékok is megmaradtak, de zömmel logikai kihívást jelentő, gondolkodtató, stratégiaalkotó játékokat építettünk be a tankönyvekbe. Önálló leckeként jelenik meg a logikai játékok egy csokra a 7TK I/5. leckében. Ugyancsak önálló lecke a 7TK IV/9. Matematikai játékok és a 8TK V/10. Játék, de van játék a 7TK III/7., 7TK III/13. 7TK IV/10., 7TK VI/6., 8TK II/2., 8TK II/4., 8TK VI/3., 8TK VI/4. leckékben is. Ha nem merül fel, akkor érdemes rákérdezni, hogy kinek rémlik az optimális stratégia az éppen lejátszott játékban. Ki talál rokonságot valamelyik korábbi játékkal? A tankönyvben megjelenített játékok között már csak egy-kettő alapul a szerencsén, de az is kompenzálható valamelyest a helyes stratégia megválasztásával. Ha mélyebben belegondolunk amire általános iskolában sem lehetőség, sem matematikai eszköztár, sem szükség nincsen, akkor komoly stratégiákat építhetnek fel a gyerekek, lehetőségek sorát mérlegelhetik. Mint azt már korábban leírtuk, sokkal dominánsabb lett a komoly játék, azaz a logikát igénylő játékok szerepe. A kipróbáló tanárok véleménye szerint a tankönyvekben és a munkafüzetekben lévő játékok és a csoportos feladatok nagyon jól fejlesztik a gyerekek szociális képességeit, habár némelyik leírása bonyolult, nehezen érthető. Ezt igyekeztünk megváltoztatni, de azt az alapigazságot tudjuk megismételni, hogy rengeteg játék nagyon egyszerű, ha csak egyszer is kipróbálja az ember. Minden esetben hasznos, ha a tanár játszik pár játékot, utánanéz az interneten, azaz megismeri a játékokat, mielőtt az osztályban kipróbálná őket. Ekkor lesz lehetősége arra, hogy 11

12 a gyerekeknek élőszóban elmagyarázza, megmutassa, melyik az a szabály, amelyet mi csak hosszasabban tudtunk leírni. Némelyik játék olyan, mint egy népmese vagy népdal. Sokféle szabály létezik hozzá, amelyek alapvetően nagyon hasonlóak, de azért van egy kis eltérés néhány helyen. Mi csak egyféle szabályt jelenítettünk meg a tankönyvekben. Nem hiba, ha valaki másként játssza, másként ismeri. Sok játéknak van az interneten megtalálható verziója is, amelyeket nem jeleníthettünk meg a tankönyvben, de itt adunk néhány linket: Sok helyen találhatunk játékokat, illetve játékleírásokat, például a Bolyai János Matematikai Társulat elektronikus újságjában, az Érintőben is: A tanári visszajelzések alapján nem csak a tanárok, de a gyerekek is örömmel fogadták ezeket a játékokat. Természetesen nem csak azokon az órákon lehet és kell játszani a gyerekekkel, amelyeknél megjelenítettünk valamilyen játékot a tankönyvben. Ha arra alkalom adódik, ha a tananyag megkívánja, ha az osztály vagy a tanár megkívánja, vegyünk elő egy játékot! Sokszor sikeresebbek lehetünk ezzel a módszerrel, mintha megoldatnánk egy-két oldalnyi feladatot. I.1.4. Digitális kompetenciák fejlesztése Ötödik osztályban szinte mindegyik kutatómunkában, illetve önálló munkát javasló helyen megjelenik: a gyűjtőmunkához használd az internetet. Jó példa lehet, ha a tanár kezdetben kivetítőn követi a tanulók javaslatait, vagy egy-két esetben bemutatja, hogy a túl pontos keresés nem biztos, hogy jó eredményt ad; a túl tág keresés pedig túl sok találatot eredményezhet; ha angol (német, ) keresőszavakat használunk, akkor a találatok száma megsokszorozódik. Röviden összefoglalva, mintát adhat értelmes keresési eljárásokhoz, amelyek segíthetik a gyerekek későbbi otthoni munkáját. Hatodik, hetedik és nyolcadik osztályban már nem utalunk mindig arra, hogy a gyerekek hol keressenek rá a kutatómunkákban kért ismeretekre, de a gyerekek számára a keresés elsődleges terepe az internet. Semmi akadálya nincs azonban annak, hogy az osztály, illetve egyes csoportok lehetőségeinek és képességeinek ismeretében ezeket a feladatokat ne egyedül, hanem kisebb csoportokban vagy délutáni iskolai foglalkozások keretében oldják meg a tanulók. 12

13 Az egyetlen, amit mindenképpen szem előtt kell tartanunk, hogy ne hagyjuk ki ezeket a feladatokat! Ne ugorjuk át őket! Vagy ha mégis, akkor csak azért, hogy helyettesítsük ezeket a saját tanári gyakorlatunkban bevált kutatási, otthoni, prezentációs feladatokkal. Vannak olyan tanulók, akik csak a tanáraiktól tanulhatnak értelmes, intelligens és etikus internethasználatot. Legyen erre lehetőségük a matematikaóra keretében, illetve az ahhoz kapcsolódó tevékenységek közben is! Kutatómunka a 7. osztályos tankönyvben a 23., 29., 52., 157., 210. oldalon, a 8. osztályos tankönyvben a 20., 78., 114., 124., 153., 166., 170., 179., 182., 194., 204. oldalon van kitűzve. A teljesség igénye nélkül felsorolunk néhány jellemző példát. 8TK I/5. lecke (20. oldal) 8TK III/2. lecke (78. oldal) 8TK IV/5. lecke (114. oldal) 13

14 1. Végezzetek felmérést családotok, barátaitok, ismerőseitek körében, ki milyen megtakarítási formát ismer! 2. Szerezzetek információkat arról, mibe érdemes manapság befektetni részvénybe, bankba, lakásba, aranyba stb., és válasszatok ki ezek közül egyet! Írjatok róla egy rövid összefoglalót és egy reklámszöveget! Próbáljátok meggyőzni a másik csoportot arról, hogy nálatok fektesse be megtakarítását! Készítsetek egy színes, figyelemfelkeltő plakátot! Szükség esetén használjátok az internetet! Kutatómunka az új kiadásban szereplő módosított szöveggel 8TK IV/8. lecke (124. oldal) 8TK V/6. lecke (153. oldal) 8TK V/13. lecke (179. oldal) 8TK V/14. lecke (182. oldal) 14

15 8TK V/16. lecke (194. oldal) 8TK VI/3. lecke (194. oldal) Látható, hogy igyekeztünk olyan kutatómunkákat összeállítani, amelyek elvégzése során nem csak azok juthatnak sikerélményhez, akik matematikából jobb eredményt szoktak elérni. Ez egy lehetőség azok számára is, akikhez kevésbé áll közel a matematika, de szorgalmasak és érdeklődők. Ha az első egy-két alkalommal látja x vagy y (csak hogy matematikában szokásos változókat használjunk), hogy z, aki nem is olyan jó matekból, de kapott két piros pontot vagy egy ötöst, mert szépen utánanézett a kutatómunkának, akkor lehet, hogy legközelebb ő is belefog. Azaz egy kutatómunkát az óra színesítésén túl különböző képességű tanulók motivációjára, kitekintésre, továbbgondolásra stb. is fel lehet használni. Ebben elsősorban a tanári tapasztalatra hagyatkozunk. I.2. A kipróbálás tanulságai, változtatások A 7. osztályos tankönyv és munkafüzet kipróbálásában 50 tanár vett részt, a 8. évfolyam esetében pedig 26. A hivatalos kipróbálókon kívül sok felhasználó is küldött visszajelzéseket. A kipróbálók kérdőívet töltöttek ki az előzetes elvárásaikról, feltöltötték az egyes leckékre vonatkozó észrevételeiket, részt vettek személyes interjúkon, és sokan kitöltötték a felhasználás utáni, visszatekintést összegző kérdőívet is. Egy évfolyam kapcsán körülbelül cellát olvastunk el egy-egy Excel-fájlban, ahol egy mező egy tanár egy leckéhez fűzött megjegyzéseit tartalmazta. Itt is szeretnénk megköszönni a tanárok munkáját. Rengeteg hasznos dolgot olvastunk, sokat tanultunk ezekből a reakciókból. Minden szempontból hasznos, hogy számos különböző tanártól kapunk visszajelzéseket. Természetesen minden jelzett fizikai hibát javítottunk. A tananyag felépítésével kapcsolatos kéréseket is teljesítettük, amennyiben nem okoztak zavart a tankönyv általános felépítésével kapcsolatban. 15

16 Készítettünk felmérő feladatsorokat, amelyek tanárként belépve az NKP-n elérhetőek. Ezek frissítése és a feladatoknak az átdolgozott könyvekhez igazítása 2018 során fejeződik be. Voltak azonban olyan kérések, illetve javaslatok, amelyek nem voltak általánosak a kipróbáló tanárok között. Ezekben az esetekben nem volt egyértelmű, hogy mely javaslatoknak, kéréseknek feleljünk meg. Az összesnek nyilván lehetetlen, hiszen gyakran belső ellentmondások vannak az összegyűjtött véleményekben, ezért alaposan áttanulmányoztuk és megfontoltuk a változtatásokra vonatkozó igényeket. Az iskolák, az osztályok, a tanárok, a szülők különbözőek. Ami az egyik helyen beválik és működik, az a másik helyen nem. Ami az egyik tanárnak szimpatikus, az a másiknak kevésbé. Ez így is van rendjén. A tanár megy be a tanterembe, ő teremt közvetlen kapcsolatot az osztályával, neki kell felismerni és mérlegelni, hogy az ő stílusával az ő osztályában mi az, ami legjobban segíti a tanulási folyamatot. Újra kiemeljük azonban, hogy ha egy témakör a tankönyvben kifejtésre kerül, az nem azt jelenti, hogy azzal minden osztályban foglalkozni kell. A tanár ismeri a kerettantervet, az osztály lehetőségeit és képességeit. Ha úgy véli, hogy saját módszereivel eredményesebb tud lenni, és erre számos visszajelzést kap, akkor a tananyagot követve nyugodtan elhagyhat vagy hozzávehet feladatokat, érdekességeket. A tankönyv, mint tanítást segítő eszköz, igyekszik minél több diák és tanár igényeinek megfelelni, de természetes, hogy nem tudja mindenkiét száz százalékosan kielégíteni. I.2.1. Változások a 7. osztályos tankönyvben és munkafüzetben A hetedikes tankönyvet kipróbáló és értékelő 50 pedagógus számos kérdésre válaszolt az egyes leckékkel kapcsolatban, amelyeket az alábbi osztályokba soroltak: 1. A lecke funkciója alapján történő értékelés 2. A képek, ábrák, vizuális megjelenés értékelése 3. Kérdések, feladatok értékelése 4. Munkafüzet értékelése 5. Lecke átfogó értékelése A szöveges válaszok mellett a pedagógusok számokkal is értékelték a leckét. Minden lecke minden szempontból kapott egy értékelést 1 5-ig terjedő skálán (1 = legrosszabb, 5 = legjobb). Az egyes leckék átlagos értékelése 3,3 és 4,8 között változott. 4,5 feletti értékelést kaptak a következő leckék: I.2. Rendezd sorba! III.7. Középpontos és tengelyes szimmetria III.11. A trapéz területe III.12. A deltoid területe IV.1. Számelmélet A tanult ismeretek áttekintése IV.10. Arányosságról még egyszer IV.13. Szöveges feladatok VI.1. Két halmaz közötti hozzárendelések 16

17 Elsősorban a kevésbé jól értékelt leckéket írtuk át, ilyenek voltak a: II.8. Zárójelfelbontások, összetett műveletek III.15. Szerkesztések IV.15. Egyenletek megoldása V.1. Egybevágó háromszögek Fontosnak tartjuk kiemelni, hogy kaptunk értékeléseket azoktól is, akik nem voltak hivatalos kipróbálók, pusztán használói a tankönyvnek és a munkafüzetnek. Az általuk adott értékelések szignifikánsan rosszabbak voltak, körülbelül 1 egésszel. Az adatfelvétel nem adott lehetőséget a szignifikáns eltérés okainak feltárására, pusztán találgatni tudnánk. A leglényegesebb korrekciók a tankönyvben a II. és az V. fejezetet érintik. II. Racionális számok és hatványozás fejezet: az első leckéjét két részre bontottuk, az egész számokat előre vettük, ebből keletkezett az 1. lecke (Az egész számok tulajdonságainak áttekintése), a 2. leckében pedig a törtek következnek. Az V. fejezetet túl hosszúnak ítélték a tanárok, ezért ezt felosztottuk. Készítettünk egy külön fejezetet az oszthatóság témaköréből (új IV. fejezet), és az Egyenletek, egyenlőtlenségek témakör lett az új V. fejezet. Két részre osztottuk ebben a fejezetben a Számok, betűk használata című leckét is. A mérlegelv tárgyalása 7. osztályban kell, hogy megtörténjen, hiszen a hatodikos tankönyvből kivettük. Ennek következtében az V. fejezetbe bekerült egyenletmegoldási módszerek áttekintése (a 7. leckében próbálgatás és lebontogatás, a 8. leckében a mérlegelv) és az egyenletek különböző típusainak ismétlése (9. lecke: Azonosság, ellentmondás, egyenletek megoldása). Többen jelezték, hogy a szöveges feladatok túl hosszúak, magyarórára való a szövegértés. Mint azt a bevezetőben kiemeltük, nem értünk egyet ezzel az állítással. Fontos, hogy matematikai vagy egyéb szöveges feladatokból a tanulók ki tudják szűrni azokat az információkat, amelyekkel egy adott probléma megoldható. Szerencsére sokan voltak olyanok is, akiknek ezek a leckék nagyon tetszettek. A tanárok eltérő igényeit jól szemlélteti a diákok által, közvetlenül egymás után megfogalmazott két kérés: Legyen benne kevesebb hosszú és több rövid, érthető feladat. Több olyan anyagrész legyen benne, ami a felvételire készít fel. A felvételin bonyolultabban fogalmazzák meg a feladatokat, hogy te szedd ki a lényeget. Ott azt nézik, hogy mennyi a logikád, legyenek erre rávezető feladatok. Minden fejezetben igény mutatkozott egyszerűbb gyakorló feladatokra is. Ezt figyelembe véve kiegészítettük a leckéket, de megtartottuk a korábbi feladatokat is, hogy nagyobb tere nyíljon a differenciálásnak. 17

18 Összességében a tanárok úgy ítélték meg, hogy ez a könyv sokkal gazdagabb matematikai tartalomban, mint az 5. és 6. évfolyamok számára készült újgenerációs tankönyvek. Ez a tartalmi gazdagodás reményeink szerint összhangban van a tanulók absztrakciós készségének fejlődésével. I.2.2. Változások a 8. osztályos tankönyvben és munkafüzetben A nyolcadikos tankönyvet kipróbáló és értékelő 26 pedagógus számos kérdésre válaszolt az egyes leckékkel kapcsolatban. A lecke szintű értékelések mellett készült egy, a kipróbáló tanárok által adott egyéb értékelési lista is. Ezek kérdései és átlagai: A tankönyv életszerűsége, személyessége: 4,2 A tankönyv olvashatósága és érthetősége: 4,3 A tananyag szerkezete és tartalma: 4,3 A tankönyv szemléletessége: 3,7 Gondolkodtatás: 4,3 Önellenőrzés, önálló tanulás: 3,7 Most is igaz a hetedikes könyv kapcsán tett kiegészítő megjegyzés. A könyvet használók között is akadt 68 tanár, akik önkéntesen vagy megkérdezés után adtak visszajelzéseket. Az általuk adott értékelések átlaga szignifikánsan rosszabb, mint a kipróbáló tanárok értékelése. Az adatfelvétel nem adott lehetőséget a szignifikáns eltérés okainak feltárására, pusztán találgatni tudnánk. A kipróbáló tanárok kéréseinek alapján nem kellett strukturális átalakításokat végezni. Mint arra már utaltunk az általános megjegyzéseknél, növeltük a kutatómunkák és a matematikatörténeti érdekességek számát. Minden fejezet végén növeltük a feladatok számát, de csak az egyszerűbb feladatok irányába. Nem hagytunk ki logikai vagy szöveges feladatokat, hogy szélesebb körben lehessen differenciálni. Hiányolták a kipróbáló tanárok a halmazokat, ezért készítettünk egy ismétlő leckét, és több fejezetben is elhelyeztünk egy-egy halmazokhoz kapcsolódó példát. Sajnos minket sem kímélt a nyomda ördöge, sokan rótták fel nekünk, hogy hibás, hiányos feladatok vannak a munkafüzetben. Igazuk volt, a nyomdai gyártás során néhány tört, matematikai kifejezés eltűnt. Ezeket, és a többi jelzett vagy általunk észrevett sajtóhibát természetesen javítottuk. A visszajelzések alapján a piros kiemeléseket automatikusan szabálynak, definíciónak, tételnek fordították le egyes osztályokban, amiket szó szerint meg kell tanulni. Ezért csökkentettük a piros kiemelések számát. Nem cél az, hogy értelmetlenül be kelljen magolni egy-egy szabályt. Elsődlegesen a megértésre szeretnénk törekedni, hiszen a megértett bonyolult az egyszerű. Szándékosan kerültük a definíció vagy szabály kifejezést. Természetesen lehetnek olyan osztályok, ahol ezeket érdemes elmondani és összefoglalni, de általánosságban nem javasoljuk. A kiemelési rendszerben használunk zöld színt, ezzel valamilyen korábban nem szereplő fogalom magyarázatát jeleztük. 18

19 Sokan kérték számon rajtunk a felvételire való felkészítést. Van 4 ilyen feladatsor a tankönyvben, az egyértelműség kedvéért ezek címét megváltoztattuk. Most Gyakorló feladatsorok felvételire cím alatt találhatók a tankönyv végén. Újdonság a 7TK II. fejezet 7. Szöveges feladatok, illetve a 8TK IV. fejezet 8. Pénzügyi feladatok című lecke. Korábban is voltak és lesznek is a mindennapi élethez, pénzhez kapcsolódó feladatok, hiszen a pénz kézenfekvő, a gyerekek által ismert mérhető mennyiség, amely még motiváló is lehet. Az újdonságot az jelenti, hogy önálló leckében, önálló pénzügyi szakszavakkal tűzdelve jelennek meg ezek a feladatok. Teljesen jogos észrevétel volt, hogy a munkafüzetben nem mindig van elegendő hely a feladatok megoldására, főleg a szerkesztések esetén. Megnöveltük a megoldásra szánt helyet, így a munkafüzet 16 oldallal hosszabb lett. Idézetek tanároktól, néhány év használat után: Jó, hogy megismerkednek bizonyos pénzügyi, gazdasági fogalmakkal a tanulók, ugyanakkor az ezek elmagyarázására szánt időt a matematika tanításától, gyakorlásától kell elvenni. Sok hosszú szöveg van a könyvben, amit a gyerekek egy része a megfelelő szövegértés hiányában nem tud értelmezni. Ezeket együtt kell elolvasni és értelmezni, ami sok időt rabol el. A jobb csoportjaimnál látok a tantárgy iránt pozitívabb hozzáállást (bár nem hinném, hogy tankönyvfüggő), megszerettek gondolkodni, vitatkozni egy-egy feladaton. Viszont a gyenge csoportomnál egyértelmű negatív változást tapasztalok. Nekik inkább több gyakorlófeladatra lenne szükségük, kevesebb tartalommal. Különös hatással nem volt, mert örömmel láttam, hogy pontosan azokat az aggályokat küszöbölte ki sok esetben (pl. a túl tudományoskodó megfogalmazások), amelyeket én a hosszú évek alatt kifogásoltam. A tankönyv, ahogy a szerzők is kifejtették, nem tanítható kötelező módon mindenütt. Annyit veszünk ki belőle a munkánkhoz, amennyit a»gyerekanyag«és a körülmények lehetővé tesznek, hála istennek pl. a Pitagorasz-tétel nemigen változik. A feladatok aktualizálása a mai generációra befolyásolta a tanulókkal eddig felépített kapcsolatom, megmutatta, hogy a mai gyerekek érdeklődése is fenntartható a matematika irányába, ha a pedagógus is képes megújulni egy új tankönyv hatására. A szakmai szemléletnek napról napra újulni kell, hiszen minden évben új gyerekanyaggal dolgozunk, mások a társadalmi és szülői elvárások. Talán kicsit túl szigorúan próbáltam ki a kísérleti tankönyveket. Tartottam magam a tanmenetben, tankönyvben előírtakhoz. Ma már igazodok a gyerekanyaghoz, s ha kell, előveszem a régi módszereket, ötvözöm az új megközelítési móddal. Nekem nagyon sok pozitív energiát adott. Kicsit másként, mélyebben elgondolkodtam a tananyag feldolgozhatóságán, mert a megszokott taneszközök mellett kicsit elkényelmesedtem. 19

20 Köszönjük ezeket a visszajelzéseket. Kiemeljük az utolsó hármat, amely legmélyebb várakozásainkkal esik egybe. Híven tükrözi azt az ideális szemléletet, amely rugalmas, változó, fejlődő, önmagát is elemző pedagógusi hozzáállást mutat. Azt gondoljuk, hogy ha a gyermekek oktatása ilyen pedagógusok kezében van, akkor sok örömben lesz részük a matematikaórák során és általában az iskolában is. 20

21 II. A TANKÖNYV FELÉPÍTÉSE, TÉMAKÖRÖK BEMUTATÁSA II.1. A tanítás és tanulás eredményességét elősegítő eszközök és megoldások A tankönyvek játékos indítással közvetítik a matematikai megközelítés hasznosságát és szépségét, ugyanakkor azt is sugallják, hogy a siker érdekében következetes és pontos munkavégzésre van szükség (szövegértés, gondolatmenetek követése, gondolkodás, figyelem, ismeretanyag alkalmazása, elmélyítése). Folytatjuk, integráljuk az előző évek tapasztalatgyűjtő, alapozó munkáját, miközben tudatosan építjük az absztrakció szükséges lépcsőfokait. A tananyag egyes elemei a valóság, a hétköznapi tapasztalat talajáról indulnak. Az egyes szituációk érdekesek és természetes módon kapcsolódnak a matematikai tartalomhoz. A tárgyalt matematikai fogalmakat játékos tevékenységeken, gondolkodtató kérdéseken keresztül több oldalról közelítjük meg, nagy hangsúlyt fektetünk a gyakorlati alkalmazásokra. A tankönyvek és a munkafüzetek teljes terjedelmükben letölthetők és olvashatók a Nemzeti Köznevelési Portálon ( Ugyanitt további digitális tartalmak is elérhetők. II.1.1. A tankönyvek nagy témakörei A 7. osztályos tankönyv 7, a 8. osztályos 6 fejezetre bomlik. A két könyv anyagát a következő nagyobb egységek szerint csoportosítva tekintjük át. Gondolkodási és megismerési módszerek: 7TK I. Gondolkodjunk! (6 lecke) Számok, betűk és műveletek: 7TK II. Racionális számok és hatványozás (13 lecke), 7TK IV. Oszthatóság (10 lecke), 8TK I. Számok és betűk (13 lecke) Geometria: 7TK III. Geometriai transzformációk (16 lecke) és 7TK VI. Geometria (12 lecke), 8TK II. Geometriai transzformációk (8 lecke), 8TK III. A Pitagorasz-tétel (8 lecke) és 8TK VI. Felszín, térfogat (6 lecke) Egyenletek és egyenlőtlenségek: 7TK V. Egyenletek, egyenlőtlenségek (12 lecke), 8TK IV. Egyenletek, egyenlőtlenségek (9 lecke) Sorozatok, függvények, valószínűségek, statisztika: TK7 VII. Függvények, statisztika (9 lecke), TK8 V. Függvények, valószínűségek, sorozatok (16 lecke) II.1.2. A tankönyvi fejezetek és leckék szerkezete és alkotóelemei A tankönyvek alapelemei a leckék, amelyek az egyes témakörökön belül egymásra épülnek, és utalnak a korábban megtanult ismeretekre, továbbá tekintettel vannak más témakörök anyagaira is. A fejezet elején olvasható történet a témához kapcsolódó híres matematikusról mesél. A leckék elején néhány bevezető mondat segíti, hogy megismerjük a lecke céljait, feladatait. Az új ismeretek bevezetését játék, csoportokban végezhető feladatok vagy érdekes példák szolgálják. 21

22 Csoportmunka a 7TK I/2. leckében (11. oldal) A megoldott példák, kidolgozott feladatok részletes magyarázatai önálló tanulásra is alkalmassá teszik a könyvet. A példák megoldásában gyakran több meggondolás is szerepel. A fontos fogalmak, ismeretek pirossal vannak kiemelve. A 7. osztályos tankönyv IV/2. leckéjének 2. példája ( o.) A leckék különböző nehézségű feladatokkal zárulnak, amelyek az órai munkához vagy házi feladatként használhatók. A feladatok három különböző nehézségi szintnek megfelelően vannak megjelölve. Az egymásra épülő feladatok következtetések levonására, az összefüggések átlátására ösztönöznek, önálló munkavégzésre és önellenőrzésre sarkalják a tanulókat. 22

23 8TK III/5. lecke 13. és 14. feladatai (86. oldal) A fejezetek végén összefoglaló lecke található, amely bőséges feladatanyaggal segíti az ismétlést és az áttekintést. Kitérünk az ismeretek gyakorlati alkalmazhatóságára is. II.1.3. A tankönyv feladattípusai és grafikai eszközei Az egyes feladattípusok funkciója más-más bevezetőként, a lecke folytatásaként vagy éppen ismétlő, összegző feladatként. Sőt, az adott feladat funkciója attól is függ, hogy milyen munkaformában oldják meg a tanulók. A kifejezetten szövegértési feladatok a korosztálynak megfelelő szövegkörnyezetbe illeszkednek, arra ösztönzik a tanulókat, hogy a megszerzett tudást képesek legyenek valós szituációban alkalmazni. A klasszikus zárt végű feladatok mellett szerepelnek nyílt végű feladatok is, amelyeknek több lehetséges értelmezése és megoldása van. Az ilyen típusú feladatoknál nagyobb szerepet kap a tanuló felkészültsége, kreativitása, modellalkotási kompetenciája. Fontos eszközei a megértés, a pontos tudás ellenőrzésének, a gyors és közvetlen visszajelzésnek (akár digitális formában is) az Igaz-hamis eldöntendő és a feleletválasztós tesztkérdések (egy, illetve több jó válasszal). Ezen túlmenően a tesztfeladatok sajátos megoldási stratégiái (kizárásos módszer, behelyettesítéses módszer stb.) játékokban és számos élethelyzetben is hasznosak lehetnek. A tankönyvek színesek. A színeknek az esztétikai hatáson túl is konkrét szerep jut az áttekintés segítésében, a legfontosabb mondanivaló kiemelésében, a kapcsolatok jelzésében. A szövegértést és értelmezést segítik a gondos kivitelű szakábrák, diagramok, táblázatok. 7MF IV/3. lecke 1. feladat (72. oldal) 23

24 Kinek mi jut eszébe az oszthatóságról? 8TK IV/1. lecke (100. oldal) II.1.4. A tankönyv és a munkafüzet kapcsolata A munkafüzetek szerkezete pontosan követi a tankönyv felépítését. A feladatok szorosan kapcsolódnak a tankönyv azonos leckéjéhez, gyakran felhasználják a tankönyvek példáit, ábráit, így alkalmasak az órai munka kiegészítésére, délutáni tanulásra vagy házi feladatnak. 7TK III/13. lecke 3. feladata (64. oldal) A tankönyvek összes feladattípusa ( igaz-hamis, teszt stb.) megtalálható a munkafüzetekben is. Ezek a feladatok is három különböző nehézségi szintre vannak besorolva. A munkafüzetek feladatai között általában több a közvetlen gyakorlásra szánt egyszerű feladat, mint a tankönyvekben. Az egyes témakörökhöz tartozó tankönyvi feladatválasztékot a felzárkóztatásra vagy a tehetséggondozásra is lehetőséget adó feladatok egészítik ki. II.2. A tankönyvek nagy témakörei tankönyvenként elkülönítve II.2.1. Gondolkodási és megismerési módszerek A kerettanterv a Gondolkodási és megismerési módszerek témakörbe sorolja a halmazokkal, valamint a matematikai logika, a kombinatorika és a gráfok elemeivel való ismerkedést. A felső tagozaton ide tartoznak a halmazműveletek, elemek, néhány elem összes sorrendjének felsorolása, egyszerű állítások igaz vagy hamis voltának eldöntése, állítások tagadása, kombinatorikai feladatok megoldása az összes eset szisztematikus összeszámlálásával, fagráfok használata feladatmegoldások során. Ezek a módszerek nem korlátozódnak néhány 24

25 leckére, hanem átszövik az egész tananyagot. Az önálló leckék a módszerek tudatosítását szolgálják. II A hetedikes tankönyv I. Gondolkodjunk! című fejezet leckéinek áttekintése A fejezet 6 rövid, jól áttekinthető leckéből áll. A hozzájuk kapcsolódó feladatok a tankönyvben és a munkafüzetben több játékot, mindennapi témákat, érdekes tényeket tartalmaznak. 7TK I/1. Számold össze! A csoportmunkára érdemes időt szánni, hiszen az első részben többféle meggondolás vezet a megoldáshoz, és összekapcsolhatjuk a kombinatorikus gondolkodást a háromszöggeometriával. Csökkenő sorrendben felsorolhatjuk az összes felbontást, és megnézhetjük, hogy melyik hányféle sorrendben állhat elő. De úgy is gondolkodhatunk, hogy egy sorban elhelyezzük a 10 gyufaszálat, és az elválasztásra a köztük levő 9 hely közül kettőt választunk. Ezzel a módszerrel a sorrendet is figyelembe vevő megoldások számát kapjuk meg. A felbontások közül a háromszög-egyenlőtlenség segítségével választjuk ki a lehetséges háromszögek oldalhosszait. Felbontások Sorrend Háromszög nem nem nem nem elfajuló elfajuló igen igen TK I/1. lecke Csoportmunka (8. oldal) megoldása A bűvös négyzet változatos formákban kerül elő: 7TK I/1. 1. Példájában, az Érdekességben, a 7TK I/1. 6. és a 7MF I/1. 5. feladatában: 7MF I/1. lecke 5. feladat részlete (6. oldal) és megoldása 25

26 A gyakorlást a 7TK I/ és a 7MF I/1. 1., 3., 5 6., 8. feladatai segítik. A jobb felkészültségűeknek valók a 7TK I/1. 8. és a 7MF I/1. 4., 7. feladatai. 7TK I/2. Rendezd sorba! A példák, valamint a 7TK I/ és a 7MF I/ gyakorló feladataiban a szóalkotás, zászlófestés, tanterembe lépés, számsor és számpiramis készítése, költői és futóverseny kapcsán a lehetséges különböző sorba rendezések számát határozzuk meg. Az esetek megkülönböztetésére, az összes eset megtalálására figyelünk, a gondolatmenetet a történethez igazodó kifejezésekkel magyarázzuk. A munkafüzet segíti a meggondolás lépéseinek lejegyzését. 7MF I/2. lecke 3. feladat (8. oldal) és megoldása 7TK I/3. Kiválasztások A példákban gyümölcsöt, hetest, számjegyeket választunk ki. Nem számít a kiválasztás sorrendje, csak a kiválasztás ténye. A számjegyes feladatoknál segít az összeszámolásban, ha minden kiválasztásnál rögzített, például nagyság szerint növekvő sorrendbe állítjuk a kiválasztott számjegyeket. Gyakorlásra a 7TK I/ és a 7MF I/ feladatokat használhatjuk, amelyekben a betűk, számok kiválasztásán túl a mester tréfás ajánlata (olcsón, jól és gyorsan), fagylaltválaszték és sakkfigurák szerepelnek. 7TK I/4. Igazold! Cáfold! Ha. akkor. típusú állítások megfordítását, illetve tagadását kell megfogalmazni, továbbá az állítások igaz vagy hamis voltát kell eldönteni, és hamis állításnál a cáfolatot kell megfogalmazni. A 3 kidolgozott példa után a 7TK I/ és a 7MF I/ feladatok segítségével gyakorolhatunk. A matematikai tartalmon túl a köznapi és a matematikai kijelentések közötti különbségre is figyelünk. 7TK I/5. Matematikai játékok A lecke páros játékokkal foglalkozik, a tankönyvben számlétra típusú és kupakforgató játék szerepel. Már korábban is foglalkoztunk ilyen játékokkal, de most jobban figyelünk a stratégiára, ezért módosított feltételekkel is játszunk (7TK I/ feladatai). A munkafüzet 7MF I/ feladataiban a Beszorítós, az Egyszerű malom és a 4 a nyerő játékokhoz kapcsolódóan számoljuk össze a kimenetelek számát. 26

27 7TK I/6. Összefoglalás A fejezet fontosabb gondolatmeneteit gyakorolhatjuk, illetve elsajátításukat ellenőrizhetjük a 7TK I/ és a 7MF I/ feladatai segítségével. Ide tartoznak a számsorok, a betűsorok, a sorba rendezések, a kiválasztások, valamint állítások megfordítása és igazságtartalmának vizsgálata. Gyakori, hogy a tanulók el tudják mondani a megoldást, de a leíráshoz segítséget igényelnek. 7MF I/6. lecke 4. feladata (14. o.) és megoldása Gyakran még rövidítéssel is fárasztónak találják a 20 lehetséges sorrend lejegyzését (CCCLLL, CCLCLL, CCLLCL, CCLLLC, CLCCLL, CLCLCL, CLCLLC, CLLCCL, CLLCLC, CLLLCC, LCCCLL, LCCLCL, LCCLC, LCLCCL, LCLCLC, LCLLCC, LLCCCL, LLCCLC, LLCLCC, LLLCCC). De a feladat csak a lehetőségek számát kérdezi, ezért másként is eljárhatunk: A belső 5 réteg közül hármat azonos ízű krémmel kell bekenni, ez 10 lehetőség. A felső lap kétféle lehet, ezért 2ˑ10 = 20 változat készíthető. II.2.2. Számok, betűk és műveletek a 7. és 8. osztályban Folyamatosan bővülnek a számokkal, műveletekkel, algebrai kifejezésekkel kapcsolatos tapasztalatok. A NAT szerint sok és sokféle feladat vár a 7. és 8. osztályosokra: több műveletből álló műveletsor eredményének kiszámítása, zárójelek alkalmazása; a számok osztóinak, többszöröseinek felírása, közös osztók, közös többszörösök kiválasztása, oszthatósági szabályok ismerete; a racionális számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen tört és tizedestört alakban; a szám ellentettjének, abszolút értékének, reciprokának használata; négyzetre emelés, négyzetgyökvonás, hatványozás pozitív egész kitevők esetén; a százalékszámítás alapfogalmainak ismerete, a tanult összefüggések alkalmazása feladatmegoldás során; algebrai kifejezések használata (egyszerű algebrai egész kifejezések helyettesítési értéke, összevonás, többtagú kifejezés szorzása egytagúval); a szöveges feladatok összefüggéseinek felírása szimbólumok segítségével (pl. terület, kerület, felszín és térfogat számítása során); elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. 27

28 A mennyiségek mérőszáma sem feltétlenül egész, több alakban felírható. A hétköznapokban felmerülő arányossági és százalékszámítási feladatokat oldunk meg. Egyre magabiztosabban kell a kapott eredmények helyességét becslés és ellenőrzés segítségével megítélni. II A 7. osztályos tankönyv II. Racionális számok és hatványozás című fejezetének áttekintése 7TK II/1. Az egész számok tulajdonságainak áttekintése A gyerekek könnyen elfelejtik, hogy a pozitív egész számok és a 0 együtt alkotja a természetes számok N halmazát. A TK II/1. lecke az 1. és 2. Példával, 2 Csoportmunkával és Páros munkával színesítve segíti a legfontosabb szabályok ismétlését. A gyakorlást a TK II/ és a MF II/ feladatok szolgálják. 7MF II/1. lecke 8. feladata (17. o.) és megoldása 7TK II/2. A törtek A tört alakban felírt számmal amelynek értéke lehet egész vagy nem egész (vagyis törtszám) akkor bánik a diák ténylegesen számként, ha beilleszti a többi szám közé, azaz el tudja helyezni nagyság szerint, ábrázolni tudja a számegyenesen és műveleteket tud végezni vele. Az írásmódban nem célszerű kitüntetni sem a tört alakot, sem a hányados alakot. Azt is érdemes megbeszélni a diákokkal, hogy a tizedes törtek nem teszik feleslegessé a közönséges törteket. A 7TK II/2. lecke 1. és 2. példája ráirányítja a figyelmet a legfontosabb ismételni valókra (írásmód, egyszerűsítés, bővítés, összehasonlítás stb.). A gyakorlófeladatok kitérnek a negatív törtek és az abszolútértékek összehasonlítására is (a TK II/ és a MF II/ feladatai). A MF II/ és 11. feladata a jobban teljesítőknek való. A 10. feladatban kétjegyű négyzetszámok között keresünk olyat, amely 2:5 arányban bontható két egész számra, a 11. feladatban pedig a visszafelé okoskodás segít. 7TK II/3. Törtek összeadása, kivonása A TK II/3. lecke 1 3. példái felhívják a figyelmet arra, hogy a törtek összeadásánál és kivonásánál érvényesek az egész számoknál megismert műveleti tulajdonságok. A TK II/ és MF II/ feladatok a gyakorlást szolgálják. Van közöttük hagyományos Végezd el a műveletet a)-tól z)-ig típusú feladat is, de többségük változatos formában tűzi ki a sok 28

29 elvégzendő műveletet (szöveges, körszámolás, szudoku). A TK II/3. 6. feladat összetett, hiszen az ( ) típusú összegeket is ki kell számolni: 7TK II/3. lecke 6. feladata (33. o.) 7TK II/4. Törtek szorzása, osztása A 7TK II/4. lecke 1 7. példái felsorakoztatják a legfontosabb mozzanatokat (vegyes tört, emeletes tört, reciprokkal szorzás, számláló, illetve nevező szorzása vagy osztása stb.). A 7TK II/ és a MF II/ feladatai ezek gyakorlását szolgálják közvetlen számítási és szöveges feladat formájában. 7TK II/5. Törtek tizedes tört alakja A 7TK II/4. lecke 1 3. példái mutatják be a tizedes törteket a kibővített helyiérték-táblázatban, véges tizedes törtek átírását tört alakba, valamint a tört alakból tizedes tört alakba, és így megismerkedünk a végtelen szakaszos tizedes törttel. A páros munkában egy számjegyű szakaszok (3, 2, 6, illetve 8) esetén is megpróbálkozunk a tört alakba való átírással, és csoportmunkában kritériumot keresünk a végességre. A 7TK II/ és a MF II/ feladatok segítségével ezeket a fogalmakat gyakorolhatjuk. Van közöttük jobb felkészültségűeknek való is. 3 Szofi és Helén a lecke megírása közben talált két egymáshoz közeli racionális számot. Szofi úgy gondolja, hogy mindig tud olyan racionális számot mondani, ami a kettő között van, Helén viszont úgy gondolja, hogy ez nem lehetséges. Írj két egymáshoz közeli racionális számot, és próbáld ellenőrizni Szofi és Helén állítását! Melyik lánynak van igaza? Válaszodat indokold! 7TK II/5. lecke 3. feladata (40. o.) Szofi állítása igaz. Ennek belátásakor véges tizedes tört alakú racionális számokból kiindulva jó alkalom nyílik a tizedes tört bővítésének közvetlen alkalmazására: 0,23 és 0,24 esetén például 0,23=0,230 < 0,231 <. < 0,240 = 0,24. Volt olyan diák, aki a számegyenesen felrajzolt pontokra mutatva a kisebbhez hozzáadta a különbség felét (felfedezte, hogy a számtani közép a kettő között van). Nem könnyű a 7TK II/5. lecke 6. feladata sem, amelyben a 0, 4 68, a 2, 5 15 és a 616, 1 61 szakaszos tizedes törtet kell tört alakba átírni, ahol 3 jegyből áll a szakasz. Az előző feladatokban elvégzett 9-cel és 99-cel való osztások tapasztalatai alapján már kialakulhat a sejtés: 468:999, 515:999, 161:999. A kevésbé felkészülteknek a sejtés igazolása, az osztások elvégzése nehézséget okozhat. 29

30 7TK II/6. Műveletek véges tizedes törtekkel A 7TK II/6. lecke 1 7. példái bemutatják, hogy a tizedes törtekkel végzett műveletek során ugyanúgy járunk el, mint az egész számoknál, csak meg kell állapítani a tizedesjegyek számát. A Játék, a 7TK II/ és a MF II/ feladatai ötletes és változatos formában ösztönöznek a sok-sok számítás elvégzésére. Például a MF II/6. 4.a) feladatában a huszárral lépkedünk, és elvégezzük a kirótt műveleteket. A cél, hogy az eredmény 0 legyen. 0 összegű lépéssorozat Lépés A3 B1 C3 A2 C1 4,2 : ,25ˑ Számolás 4,2 1,8 1,8 0,3 2,75 ( 0,16) Részeredmény 4, ,25 1,8 0 7MF II/6. lecke 4.a) feladata (26. o.) 7TK II/7. Szöveges feladatok A 7TK II/7. lecke egyetlen nagyon összetett szöveges feladatsort tartalmaz (1 7. feladatok). Nagyon jól készíti elő a pénzügyi fogalmakat (gazdálkodás, bevétel, haszon, megtérülés, rezsi stb.), és számos valós költséget is tartalmaz (helypénz, gázszámla, törlesztőrészlet stb.). Az összes feladat egyéni megoldása hosszú időt és elég sok, ha nem is nagyon nehéz számolást igényel, ezért csoportos feldolgozást érdemes választani. Ugyanakkor ügyeljünk a csoportok összetételére! A munkafüzet ezen leckéhez kapcsolódó része egy dolgozatjavításba ágyazott, sztenderd szöveges feladatokból álló feladatsorozat (7MF II/ feladatai). A gyerekek általában szeretnek hibákat keresni más munkájában, még ha ez nem is mindig könnyű feladat. 7TK II/8. Zarójelfelbontások, összetett műveletek A műveletek sorrendjét és a sorrendet módosító zárójelek használatát tekintjük át a 7TK II/8. lecke 1 3. példáiban, és ezeket gyakoroljuk a 7TK II/ és a 7MF II/ feladataival. A 7TK II/8. 7. feladata a jobb felkészültségűeknek való. 30

31 Az a) részben egyenként végezzük az összeadást, a b) és a c) részben párosával zárójelezünk, a d) részben meg éppen a zárójelek felbontása segít. 7TK II/8. lecke 7. feladata (48. o.) 7TK II/9. Nagy számok és a hatványalak A 7TK II/9. leckében 10 hatványait és (1 billióig) azok nevét rendezzük, majd az 1 3. példákban, csoportmunkában és kutatómunkában más alapokkal is foglalkozunk. A hatvány alapja bármilyen eddig tanult szám lehet, a kitevő pedig természetes szám. Ez azt is jelenti, hogy a nullára is kitérünk alapként és kitevőként is, de rámutatunk, hogy a 0 0 értéket nem értelmezzük. A gyakorlást a 7TK II/ és a 7MF II/ feladatai segítik. 7TK II/10. A hatványozás azonosságai I. A hatványozás azonosságaival két leckében foglalkozunk. Ezeket az azonosságokat mindkét irányban érdemes gyakorolni, hogy elősegítsük a memóriából való felidézést mindkét irányban. (Felbontásra is gyakran szükség van, például egyszerűsítéseknél). A 7TK II/10. lecke 1 3. példáiban az azonos alapú hatványok szorzatát és hányadosát, valamint a hatvány hatványát tekintjük át. A 7TK II/ és a 7MF II/ feladatai a gyakorlást segítik. 7TK II/11. A hatványozás azonosságai II. A 7TK II/11. lecke 1 2. példáiban szorzat és hányados hatványát vizsgáljuk. A 7TK II/ és a 7MF II/ feladatai a gyakorlást segítik. 7TK II/12. Normálalak Tudománytörténeti bevezető, csoportmunka és a 7TK II/ példái mutatják be a normálalakot és annak hasznosságát. Gyakorlásra valók a 7TK II/ és a 7MF II/ változatos feladatai. 7TK II/13. Összefoglalás A fejezetben megismert szabályok mindegyikét felelevenítjük, és könnyű vagy közepesen nehéz feladatokon alkalmazzuk azokat (7TK II/ és 7TK II/ ) A tankönyv 24. feladata összetett, de nem túl nehéz. II A 7. osztályos tankönyv IV. Oszthatóság című fejezetének áttekintése A fejezet 10 leckéből áll, amelyek közül a 8. kiegészítő tananyag. Az oszthatóság témakör rövid idő alatt és zökkenőmentesen feldolgozható, de ha csupán ezeken az órákon, elszigetelten kerül elő, akkor a tapasztalatok szerint hamar el is felejtik a diákok, amit tanultak. Ezért fontos, hogy más témakörök feladataiban is szerepeljenek oszthatósági meggondolások. A kapcsolatok megmutatása fordítva is fontos. A TK IV/5. 6. feladatában például 108 osztópárjainak segítségével keressük a legkisebb kerületű téglalapot. 31

32 7TK IV/1. Ismétlés Az ismétlés egyszerű feladatokon keresztül történik. A tankönyv mindegyik feladathoz (7TK IV/1 1 8.) felidézi a megoldáshoz szükséges legfontosabb ismereteket (osztó, közös osztó, legnagyobb közös osztó, többszörös, közös többszörös, legkisebb közös többszörös, oszthatósági szabályok). A 7MF IV/ feladatai gyakorlásra valók, van közöttük közepesen nehéz is, például a 7TK IV/1. lecke 8. feladatában meg kell mutatni, hogy nincs olyan szám, amely számjegyeinek szorzata 77. 7TK IV/2. Prímtényezős felbontás A tankönyv természetes számok körében a prímszám, a törzsszám és a felbonthatatlan szám elnevezéseket nem különbözteti meg, az egyszerűen kezelhető pontosan két pozitív osztója van tulajdonsággal írja le. A 7TK IV/1. 2. példája bemutatja a prímtényezős felbontás két módszerét. Gyakorlásra valók a 7TK IV/ és a 7MF IV/ feladatai. 7TK IV/3. Osztó, többszörös Az oszthatóság és a törzstényezős felbontás igen hasznos és fontos fogalma az osztópár. Nem csak a gyorsabb felbontást segíti, ha osztópárokban gondolkodunk, hanem segít elkülöníteni az osztó, oszthatóság fogalmát az osztás műveletétől. A 7TK IV/3. lecke 1 3. példái, valamint a 7TK IV/ és a 7MF IV/ feladatai a gyakorlást szolgálják. A munkafüzetben a 7. feladat nehéz. 7 Írd az ábrába a 72 osztóit úgy, hogy a nyíl mindenütt egy többszörösre mutasson! A kevésbé felkészülteket támogathatjuk olyan kérdésekkel, amelyek segítenek elkezdeni a munkát, de továbbra is marad meggondolni való. Ilyen kérdések például: Melyik osztónak nincs osztója? Hová kell azt írni? Melyik osztónak nincs többszöröse az osztók között? Azt hová kell írni? 7MF IV/3. lecke 7. feladata (73. o.) és megoldása 7TK IV/4. Legnagyobb közös osztó A 7TK IV/4. lecke 1 2. példái, a 7TK IV/ és a 7MF IV/ feladatai a közös osztó, legnagyobb közös osztó megkeresésének és alkalmazásának gyakorlását szolgálják. 32

33 7MF IV/4. lecke 8. feladata (75. o.) és megoldása 7TK IV/5. Legkisebb közös többszörös A 7TK IV/5. lecke 1 2. példája, a 7TK IV/ és a 7MF IV/ feladatai a közös többszörös, legkisebb közös többszörös megkeresésének és alkalmazásának gyakorlását szolgálják. Az alkalmazásokban különböző időközönként ismétlődő jelenségek közös periódusát keressük (a 7TK IV/5. 7. és a 7MF IV/ feladatai). 7TK IV/6. Egy kis logika A 7TK IV/6. lecke 1. példájával és a Páros munkával felfrissítjük az állításokkal és megfordításukkal kapcsolatos ismereteket egy órarendről szóló kijelentések mentén, majd 6 oszthatósággal kapcsolatos állítást vizsgálunk, a hamisakat ellenpéldával cáfoljuk. A TK IV/ feladataiban az igazmondó Szorgi és a hazudós Morgi kijelentéseit vizsgáljuk. A 7MF IV/ feladataiban az összeg, a különbség, a szorzat és a hányados oszthatóságára vonatkozó állításokat vizsgálunk. 7TK IV/7. Oszthatósági szabályok Megismerjük a 3-mal, 9-cel, 2-vel, 5-tel, 4-gyel, 8-cal és 11-gyel való oszthatósági szabályokat. A 7TK IV/ , 8. és a 7MF IV/ feladatai gyakorlásra valók, a 7TK IV/7. 7. feladat nehezebb, de jó lehetőség a skatulyaelv alkalmazására. 7TK IV/8. Készítsünk magunknak oszthatósági szabályokat! (Kiegészítő tananyag) Jó felkészültségű osztályban érdemes időt szánni a szabályalkotásra, és megtapasztalni, hogy összetett számot olyan szorzótényezőkre bontunk, amelyekre már ismerünk szabályt. Ezt gyakorolhatjuk a 7TK IV/ és a 7MF IV/ feladataival. A 7TK IV/8. 6. feladata versenyzőknek való. 7TK IV/9. Matematikai játékok A TK IV/ feladataiban páros játékokhoz, a MF IV/ feladataiban a sakktáblához kapcsolódik a játék, de mindegyikben ott van az oszthatóság. A TK IV/9. 5. feladata összetett, 3 tényezős szorzatként kell megadni a megadott számokat. A 7MF IV/9. 1. feladata ugyancsak komplex, a sakktábla lefedhetőségéről szól. Az a) rész könnyű, a b) részhez elegendő meggondolni, hogy a fehér mezők száma nem egyenlő a sötét 33

34 mezőkével. A c) részben a 3-as osztási maradékokat úgy írjuk be a sarokmezőtől megfosztott sakktábla mezőire, hogy bárhová leteszünk egy 3 1-es dominót, akkor a csík mindhárom maradékból takar egyet-egyet. Ha volna lefedés, akkor mindegyik maradékból ugyanannyit takarnánk le A táblán azonban 22 darab 0-s, 21 darab 1-es és 20 darab 2-es van, tehát nem fedhető le a sarokmezőtől megfosztott sakktábla 3 1-es dominóval. 7TK IV/10. Összefoglalás A tankönyvi lecke 9 feladata tartalmaz feleletválasztós tesztet, igaz-hamis kérdéseket, számjegyes feladványokat, továbbá másként nézünk a sakktáblára, és játszhatunk vagy készíthetünk Bingo játékot. A 7MF IV/ feladatai segítik a fejezetben szereplő fogalmak gyakorlását. II A 8. osztályos tankönyv I. Számok és betűk című fejezetének áttekintése A fejezet 13 leckéből áll. A feldolgozás során kibővül a számokról és a műveletekről alkotott kép, megismerjük a négyzetgyökvonást, a hatványozást negatív kitevővel, algebrai kifejezéseket, a kiemelést és a szorzást. A sok új fogalom és szabály elmélyítése számos gyakorlást igényel. Törekedtünk rá, hogy ne puszta számításként jelenjenek meg a gyakorló feladatok a tankönyvben és a munkafüzetben. Ilyenek például a játékok, a matematikán belüli (geometriai) és a hétköznapi alkalmazások. A témakör tanulhatósága szempontjából fontos, hogy ne a rajzos vagy szöveges feladatok maradjanak ki, ha időzavarba kerülünk. 8TK I/1. Mit tudunk a halmazokról? A 8TK I/1. lecke 1 3. példái felelevenítik a halmazokról tanultakat (metszet, unió, Venndiagram). A 8TK I/ és a 8MF I/ feladatai a gyakorlást szolgálják. Az utolsó, 11. feladat azért nehezebb, mert nem tudjuk, hogy az osztály hányad része szerepelt jól, az adatokból csak annyit tudunk meg, hogy legalább 25 fős az osztály. 34

35 8TK I/2. Mit tudunk a racionális számokról? Feladatsorozatok megoldásával csoportmunkában (A-D csoportokban) ismételjük a racionális számokról tanultakat. A 8MF I/ feladataival gyakorolhatjuk a számegyenesen való ábrázolást, nagyság szerinti elhelyezést, áttérést tört alakból tizedes tört alakra, műveleti sorrendet. 8TK I/3. Racionális számok úton-útfélen Páros munkában gyakoroljuk, hogy melyik szám melyik halmazba tartozik, valamint az átváltásokat. A 8TK I/ , 11. és a 8MF I/ feladatai a gyakorlást szolgálják. A 8TK I/ , összetettebb feladataiban az időeltolódás, a zsebpénz beosztása, az eper eladása, a megtakarítás elköltése, a görkorcsolya ára ad alkalmat a racionális számokkal való számolásra. 8TK I/4. A racionális számokon túl, a négyzetgyök fogalma A 8TK I/4. lecke 1 3. példáiban bevezetjük a négyzetgyököt, megismerjük a végtelen nem szakaszos tizedes törteket és bővítjük velük a számkört. A 8TK I/ és a 8MF I/ feladatai segítségével gyakorolhatunk. 8TK I/5. Számok négyzetgyöke A 8TK I/5. leckében fejszámolás, páros munka, kutatómunka keretében megbeszéljük, hogy egy szám négyzetgyökének (legalábbis közelítő) értékéhez a négyzetszámok ismeretében, számológéppel és táblázat segítségével juthatunk. A 8TK I/ és a 8MF I/ feladatai a gyakorlásra alkalmasak. 8TK I/6. Hatványozás nemnegatív kitevő esetén A 8TK I/6. leckében páros munka és csoportmunka segítségével összefoglaljuk a hatványozással kapcsolatos szabályokat. A sakktábla mezőire rakott búzaszemek összeszámlálásával láthatjuk, hogy 2 hatványainak az értéke nagyon gyorsan növekszik. A 8TK I/ és a 8MF I/ feladatai változatos formában kínálnak gyakorlásra alkalmas feladványokat. 8TK I/7. Hatványozás egész kitevővel Jelentős lépés a hatványkitevő kiterjesztése a negatív egész számokra. A téma fontos fogalmai a szám ellentettje és reciproka, ezek felelevenítését célozza a páros munka. A negatív kitevő értelmezését, használatát mutatják be az 1 3. példák. A 8TK I/ és a 8MF I/ gyakorló feladataiban a sok-sok számolás egyhangúságát a hibakereső, a párosító, sorba rendezéses feladványok igyekeznek oldani. (Például a 8TK I/6. 8. feladatában a MEREDEK szó rakható ki.) 35

36 8TK I/8. Pozitív számok normálalakja A 8TK I/8. lecke 1 2. példáiban nyomon követhetjük, hogy a 10 negatív kitevős hatványaival a nagyon kicsi számokat is normálalakba tudjuk írni. A 8TK I/ és a 8MF I/ feladataiban az atomi részecskék méretétől a bolygók távolságáig akad gyakorolni való. 8TK I/9. Algebrai alapfogalmak A 8TK I/9. leckében csoportmunkával és az 1 2. példákban figyeljük meg a kétféle behelyettesítést, az összevonást és a szöveggel megfogalmazott műveletek algebrai leírását. A 8TK I/ és a 8MF I/ feladatai között az algebrai kifejezés szöveges értelmezése és a szöveges feltétel algebrai leírása is szerepel. A 8TK I/ feladatai összetettek. 8TK I/10. Egytagú kifejezések szorzása A 8TK I/10. leckében páros munka és az 1 3. példák mutatják be a szabályokat. A 8TK I/ gyakorló feladatai között is van páros munka (3.). A 8MF I/ feladataiban ismét megjelenik a mini sakktábla, de most algebrai kifejezések vannak a mezőkre írva. A tanulók maguk is fogalmazhatnak meg ehhez kapcsolódó feladatot. 8TK I/11. Többtagú kifejezések szorzása, kiemelés A 8TK I/11. lecke 1 3. példáiban és a csoportmunkában a téglalapok segítségével szemléltetjük a szorzás eredményét, a zárójel felbontását és a kiemelést. A 8TK I/ és a 8MF I/ feladataiban is geometriai alakzatokkal (téglalap területével, téglatest felszínével és térfogatával) szemléltetjük az algebrai kifejezéseket, illetve algebrai kifejezéshez keresünk alakzatot. 8TK I/12. Többtagú kifejezések szorzata A 8TK I/12. lecke 1 2. példáiban is a téglalapok segítségével szemléltetjük a szorzás eredményét. A 8TK I/ és a 8MF I/ feladataiban is szerepet kap a téglalap és a téglatest. Algebrai és szöveges kifejezéshez is rajzolunk alakzatot. 3 Egy e oldalú négyzet egyik oldalát 3 egységgel csökkentettük, a másik oldalát 5 egységgel növeltük. a) Szemléltesd egy ábrán a négyzet oldalhosszainak változását! b) Írd fel kétféleképpen az így nyert téglalap területét! 36

37 (e 3)(e + 5) = (e 3) e + (e 3) 5 = e 2 + 5e 3e 15 8TK I/12. lecke 3. feladata (39. o.) és megoldása 8TK I/13. Összefoglalás Csoport-, páros és egyéni munka keretében foglaljuk össze a 8TK I. fejezetében érintett soksok fogalmat, szabályt. A 8TK I/ és a 8MF I/ feladatai tartalmaznak hagyományos gyakorló számolási és szöveges feladványokat. A már megszokott feladattípusokon túl a keresztrejtvény megoldásaként megjelenik a néhány jegye is. II.2.3. Geometria a 7. és 8. osztályban A tananyag összeállításában egyrészt törekedtünk arra, hogy matematikailag minél tisztább felépítésben tárgyaljuk a geometriát, másrészt, hogy a feldolgozás szemléletes legyen, minél közelebb álljon a gyerekek élményvilágához. Az alakzatok egybevágóságának fogalma az egymás helyére mozgathatósággal kapcsolatos tapasztalatokon alapszik. Ezt a felfogást pontosítani kell, hiszen alakzatok úgy is lehetnek egybevágóak, hogy nem mozgathatók egymás helyére, mint például a jobb és bal kéz. Ennek megfelelően a transzformációkat olyan hozzárendelési szabállyal adjuk meg, ami a sík (tér) minden egyes pontjához előírja, hogyan kapjuk meg a hozzá tartozó képpontot. Így egyúttal egyértelmű szerkesztési eljárást adunk a kép előállítására abban az esetben, ha az eredeti alakzat pontokból, egyenesekből és körökből épül fel. Emellett persze megtartjuk az egymásra helyezéssel való szemléltetést is. Gyakori az olyan feladat, amelyben megmondjuk, hogy milyen eszközt szabad a megoldáshoz használni. Ezeknek fontos csokrát alkotják a szerkesztési feladatok, amelyekben adott tulajdonságú alakzatot keresünk adott alakzatok (pontok, egyenesek, körök. ) ismeretében bizonyos előre rögzített eszközök felhasználásával és alkalmazási szabályok betartásával. A szerkesztési feladat megoldása során el kell döntenünk, hogy az adott tulajdonságú célalakzat egyáltalán létezik-e. Pozitív válasz esetén ki kell dolgozni egy szerkesztési módot; meg kell vizsgálnunk, hogy a szerkesztés pontosan vagy csak közelítő módon hajtható végre. Majd ténylegesen el kell végezni a szerkesztési eljárást. A szerkesztési feladatok megoldásának vezérfonala ezért a vázlat elemzés, szerkesztés, szerkesztés leírása, 37

38 szerkesztés helyességének igazolása, megoldhatóság feltételeinek, megoldások számának vizsgálata. Ez a lista nem mechanikus követelmény, hanem a szükséges tennivalók áttekintése. Ha mereven ragaszkodunk hozzá, fennáll a veszélye, hogy a tanulók összefüggő gondolatláncát mesterkélten szétválasztjuk. Bár a technikai fejlődés a szerkesztési eszközök felsorolhatatlan tárát hozta és hozza létre, a körző és vonalzó használatára épülő, véges sok lépést megengedő euklideszi szerkesztés tudománytörténeti szempontból nagyon jelentős. (Az euklideszi szerkesztés feladatainak rendszerező vizsgálata vezetett ugyanis az első olyan bizonyításokhoz, amelyek valaminek a létezését cáfolták.) II A 7. osztályos tankönyv III. Geometriai transzformációk című fejezetének áttekintése A fejezet 16 leckéből áll, amelyek egyenletesen elosztva, változatos gyakorló feladatokkal dolgozzák fel az ide tartozó sok új ismeretet (transzformációk, szimmetria, terület, szerkesztések stb.). Megfigyelünk, mérünk, számolunk és ellenőrizzük, hogy reálisak-e az eredmények. 7TK III/1. Fontos geometriai fogalmak Csoportmunkában összeszedjük az elnevezéseket (pont, egyenes, félsík, szög, síkidom stb.), és az 1 2. példák alapján mérjük, nagyság szerint rendezzük a szögeket, osztályozzuk a síkidomokat. A 7TK III/ és a 7MF III/ feladatai gyakorlásra valók. 7TK III/2. Síkidomok, testek A leckét csoportmunka és két példa vezeti be. Osztályozzuk a háromszögeket a legnagyobb szögük alapján, a trapézokat a speciális tulajdonságuk szerint, a deltoidokat a konvexitás alapján. Számolunk szöget, kerületet, területet, felszínt és térfogatot. A 7TK III/ és a 7MF III/ feladatai többségükben gyakorlásra valók. A téglatestek és a 42 háromtényezős szorzatainak száma megegyezik. Mivel 42=2 3 7, a háromtényezős szorzatok: 1ˑ1ˑ42, 1ˑ2ˑ21, 1ˑ3ˑ14, 1ˑ6ˑ7 és 2ˑ3ˑ7. Tehát 5 különböző téglatestet lehet 42 darab egyforma kockából építeni. 7TK III/2. lecke 7. feladata (69. o.) és megoldása 38

39 7TK III/3. Geometriai transzformációk A lecke 1 2. példáiban, a 7TK III/ és a 7MF III/ feladataiban szerkesztjük a pont képét, a képpont ősét. Tükrözünk pontra, egyenesre, eltolunk, érdekes ábrákat szerkesztünk. A tükörkép ábrázolásában segít a tükör, a pontok egyértelmű azonosításához bevonjuk a koordináta-rendszert is. 5 Ábrázold az A( 2; 2), B( 2; 4), C(6; 2), D(6; 0), E(4; 6), F(0; 4) pontokat! Minden pont képét úgy kapod, hogy mindkét koordináta felének az ellentettjét veszed. Ábrázold a képpontokat is! A( 2; 2) B( 2; 4) C(6; 2) D(6; 0) E(4; 6) F(0; 4) A'(1; 1) B'(1; 2) C'( 3; 1) D'(( 3; 0) E'( 2; 3) F'(0; 2) 7MF III/3. lecke 5. feladata (50. o.) és megoldása 7TK III/4. Középpontos tükrözés A középpontos tükrözést vizsgáljuk, szabályszerűségeket keresünk a csoportmunkában, a lecke 1. és 2. példáiban, a 7TK III/4. és 1 6., valamint a 7MF III/ feladataiban. A tankönyv 8. feladatában a 9-est kell tükrözni adott (A, B és C) pontokra. A 7TK III/4. lecke 8. feladatának (75. o.) megoldása 7TK III/5. A középpontos tükrözés alkalmazása A paralelogramma tulajdonságaival gyakoroljuk a ha. akkor. típusú állítások megfordítását (1. példa), paralelogrammává egészítjük ki a trapézt (2. példa). A 7TK III/ és a MF III/ feladatai gyakorlásra valók. 39

40 7TK III/6. Szögpárok Az óra, a távvezeték, a vasúti sínek, a híd szerkezeti elemei mutatják a szögpárokat. Kell is kötni valamihez, hiszen sok új elnevezés van (párhuzamos szárú, egyállású, kiegészítő, pót, csúcs, váltó szögek). A 7TK III/ és a MF III/ feladatai gyakorlásra valók. 7TK III/7. Középpontos és tengelyes szimmetria A Játék és a mindennapi életből vett példák felidézik a szimmetria színes világát. Az 1. példa a szimmetria felfedezésére, nézőpontváltásra is buzdít, a 2. példában kitüntetjük a paralelogrammák között a téglalapot. A 7TK III/ és a MF III/ feladatai arra buzdítják a tanulókat, hogy maguk is készítsenek ilyen szép színes alakzatokat. 6 Készítsd el a középpontosan szimmetrikus ábrát úgy, hogy a nagy kör belsejében hat félkör legyen! Rajzold és színezd úgy, hogy a kép azt a hatást keltse, mintha a félkörök nem lennének átlátszóak! 7MF III/7. lecke 6. feladata (55. o.) és megoldása 7TK III/8. Paralelogramma és deltoid Az 1. és a 2. példa tanulságaként szimmetria szempontjából állítjuk párba a paralelogrammát (átlók felezőpontjára) és a deltoidot (egyik átlójára), majd speciális esetként mindkettőből megkapjuk a rombuszt. A 7TK III/ és a MF III/ változatos feladatai segítik a gyakorlást. 7TK III/9. A paralelogramma területe A területképlet elfogadását és megjegyzését is segíti, hogy többféleképpen téglalappá daraboljuk át a paralelogrammát. Az 1. példa a magasság és a nem hozzá tartozó oldal hosszai közötti egyenlőtlenségre mutat rá. Ez a tapasztalat arra is figyelmeztet, hogy a helyesen kiszámolt érték még nem biztosítja, hogy létezik ilyen tulajdonságú alakzat. A 2. és 3. példában paralelogrammaterületet számolunk képlettel, illetve átdarabolással. A mérés, a szerkesztés és a képlettel való számolás is helyet kap a 7TK III/ és a MF III/ gyakorló feladataiban. 7TK III/10. A háromszög területe Az 1. és a 2. példában összetett feladatot oldunk meg, ebben a háromszög területének kiszámítása segít. Gondolkodunk, mérünk, számolunk a 7TK III/ és a MF III/ gyakorló feladataiban is. A 7TK III/ feladatában tompaszögű háromszög területét kell méréssel és számítással meghatározni. 40

41 7TK III/11. A trapéz területe A 7TK III/11. lecke 1 2. példáiban a trapéz területét képlettel és paralelogrammává kiegészítve is meghatározzuk. A 7TK III/ és a 7MF III/ feladataiban a trapéz területének meghatározását gyakoroljuk, de néha meg is kell keresni a trapézokat. 7TK III/12. A deltoid területe A 7TK III/12. lecke jó példa arra, hogy közvetlenül felhasználjuk, amit megtudtunk. A deltoidot szimmetriatengelyével háromszögekre bontjuk, és ezek területét már meg tudjuk határozni. Az 1. példában a részháromszögek területéből határozzuk meg az átló hosszát, a 2. példában a terület ismeretében rekonstruáljuk a deltoidot. A 7TK III/ és a 7MF III/ feladatai hagyományos számítási, testépítési, lyukas mondat feladványokkal segítik a gyakorlást. A 7MF III/ feladata nehezebb, hiszen a rombusz tulajdonságai közül egyszer azt használjuk, hogy deltoid, egyszer azt, hogy paralelogramma. 7TK III/13. Középpontosan szimmetrikus alakzatok Érdekes és szép középpontosan szimmetrikus alakzatokat készítünk és vizsgálunk az 1 2. példában, és ezt gyakoroljuk a 7TK III/ és 7MF III/ feladataiban. A tankönyv 5. és a munkafüzet 3., 5. és 6. feladata is a pentominókkal foglalkozik. 7TK III/14. Sokszögek A 7TK III/14. lecke 1 2. példáiban, a 7TK III/ és a 7MF III/ feladataiban csak egyszerű sokszögekkel foglalkozunk, azok között is főleg a szabályos sokszögek szimmetriatengelyeivel. 3 Egy egyenlő szárú háromszög mindhárom szöge fokban mérve egész szám. Több ilyen háromszög felhasználásával szabályos sokszöget rakhatsz össze. Hány fokosak lehetnek a háromszög szögei? Adj meg legalább hat ilyen háromszöget! Az összes megoldást megkaphatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy az egyenlő szárú háromszög szárszöge az alapon fekvő szögek kétszeresét egészíti ki 180 -ra, tehát páros szám. Az összerakandó szabályos sokszög középpontját a csúcsokkal összekötve a kapott szög mérőszáma 360-nak 180-nál kisebb osztója. A következő táblázat ennek megfelelően sorolja fel az összes megoldást. 41

42 alapon alapon szárszög szabályos sokszög fekvő fekvő 360 páros osztója oldalszáma szög (fok) szög (fok) MF III/14. lecke 3. feladata (65. o.) és megoldásai 7TK III/15. Szerkesztések Átismételjük az euklideszi szerkesztés lépéseit. Az 1. példában háromszöget, a 2. példában trapézt szerkesztünk. A 7TK III/ és a 7MF III/ feladataiban háromszög, paralelogramma, téglalap szerkesztését gyakoroljuk. A megadott adatokat úgy választottuk, hogy elvégezhető legyen a szerkesztés. Emelt óraszámú osztályokban érdemes kitérni a megoldhatóság feltételeire is (a munkafüzet 4. feladatában például az a, b és 2sc szakaszokból lehessen háromszöget szerkeszteni). 7TK III/16. Összefoglalás A fejezet anyagának rövid átismétlése után a 7TK III/ és a 7MF III/ könnyű és közepesen nehéz feladatai segítik a gyakorlást. 20 Rajzolj egy A csúcsú hegyesszöget a két szárával, és vegyél fel a szögtartományban egy tetszőleges K pontot. Szerkeszd meg azt az ABCD paralelogrammát, amelynek két oldalegyenese a szög száraira esik és a K pont az átlóinak metszéspontja! 42

43 Az A pont K-ra vonatkozó tükörképe A’, ezért AA’ az egyik átló A’ = C). A paralelogramma oldalegyenesei is szimmetrikusak a K pontra. A szög szárainak K-ra vonatkozó tükörképe a paralelogramma oldalegyeneseire esik, és a szárakkal alkotott metszéspontok a másik átló csúcsai (M=B és N=D, vagy N=B és M=D). 7MF III/16. lecke 20. feladata (106. o.) és megoldásai II A 7. osztályos tankönyv VI. Geometria című fejezetének áttekintése A 12 leckéből álló fejezet főszereplői a háromszög nevezetes vonalai és pontjai, de összeszámoljuk a sokszögek átlóit, kiszámítjuk a kör kerületét és területét, illetve a hasáb és a henger felszínét és térfogatát is. 7TK VI/1. Egybevágó háromszögek A háromszögek egybevágóságának alapeseteit érdemes a szimbólumokon kívül szavakkal is megfogalmazni. Az 1. és a 2. példában a háromszögek egybevágóságát az alapesetekre visszavezetve látjuk be. 7TK VI/ és a 7MF VI/ feladatai gyakorlásra valók, a 7TK VI/ feladatok nehezebbek. A megfelelő ábrán kell az alapesetek szerint egybevágó háromszögeket felfedezni. 7TK VI/2. Összefüggések a háromszög oldalai, szögei között Az 1. és a 2. példában, a 7TK VI/ és a 7MF VI/ feladatai középpontjában a háromszög-egyenlőtlenség, a háromszög belső szögeinek összege, a külső szögek összege, a szögszámolás és a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög szabályok állnak. 7TK VI/3. A háromszög és a köré írt köre Csoportmunkában és az 1 2. példákban megkeressük a háromszög köré írt körét, és alkalmazzuk is egy probléma megoldására. A 7TK VI/ és a 7MF VI/ feladatai a gyakorlást segítik. 7TK VI/4. A háromszög és a beírt köre Csoportmunkában és az 1 2. példákban megkeressük a háromszög beírt körét, és alkalmazzuk is. A 7TK VI/ és a 7MF VI/ feladataiban ezt gyakoroljuk, továbbá szögszámolással látószöget határozunk meg. 43

44 4 Egy 20 cm oldalú, négyzet alakú szalvétát egy 2,5 cm-es zöld sáv határol. A négyzet narancssárga átlói által kialakított négy háromszögben egy-egy citromsárga körgyűrű látható, melyek a két átlót és a zöld sávot érintik. A körgyűrű szélessége 2,5 cm. Az elmondottak alapján szerkeszd meg a szalvéta mintáját egy 4 cm oldalú négyzetbe! 7TK VI/4. 4. feladata (176. o.) és megoldása Egy derékszögű egyenlőszárú háromszög beírt körének megszerkesztése után tengelyesen és középpontosan tükrözve is kiegészíthetjük az ábrát. A matematikai ötleteken túl pontos és türelmes munkára is szükség van. 7TK VI/5. Magasságvonalak a háromszögben A lecke 1. és 2. példájában magasságvonalat és magasságpontot szerkesztünk, és ezt gyakoroljuk a 7TK VI/ és a 7MF VI/ feladataiban. Arra is törekszünk, hogy más anyagrészeket se felejtsenek el a gyerekek. A munkafüzet 6. feladatának d) kérdése például a kombinatorikához kapcsolódik. d) Maximum hány fős lehet az a csoport, ahol előfordulhat, hogy az előző három kérdésre mindenki másféle választ adott? Két tanuló válaszát különbözőnek tekintjük, ha már legalább egy kérdésben eltér a válaszuk, és azt is feltételezzük, hogy mindenki mindhárom kérdésre válaszolt. 7MF VI/5. 6. d) kérdése (115. o.) és megoldása Feleletválasztós kérdésekről van szó, ahol a lehetséges válaszok 1, 2, x. Így legfeljebb 27 különböző válasz létezik, a csoport tehát legfeljebb 27 fős lehet. 7TK VI/6. Súlyvonalak és középvonalak a háromszögben Behúzzuk a súlyvonalakat és a középvonalakat, megállapítjuk a tulajdonságaikat. A bizonyítást későbbre halasztjuk. A 7TK VI/ és a 7MF VI/ feladataiban a súlyvonalhoz, súlyponthoz, középvonalhoz kapcsolódó változatos kérdéseket vizsgálunk. A munkafüzet 8. feladata összetett, mindenki találhat benne olyan részt, amelyet meg tud oldani 7TK VI/7. Sokszögek szögei és átlói A 7TK VI/ példáiban összeszámoljuk a sokszögek külső és belső szögeit, valamint az átlóit, és az összefüggéseket alkalmazzuk a 7TK VI/ és a MF VI/ feladataiban. A munkafüzet 4. feladata összetett, de a segítő kérdések közül néhányra mindenki tud válaszolni. 44

45 4 Egy sokszög belső szögeinek összege egy négyjegyű szám. A benne szereplő számjegyek: 0, 2, 3, 4. Hány oldala van a sokszögnek? Melyik lehet az utolsó számjegy? 180 többszöröse, 0-ra végződik Ezek szerint a szóba jöhető négyjegyű számok: (2340, 2430, 3240, 3420, 4230, 4320) Ezek közül a megfelelőek: 180 többszöröse 2340, 3240, 3420, 4320 Vagyis a megfelelő sokszögek oldalainak a száma: = 15, = 20, = 21, = 26 7TK VI/8. A kör kerülete 7MF VI/7. lecke 4. feladata (118. o.) és megoldása A 7TK VI/8. 1. és 2. példáiban a beírt és a körülírt szabályos sokszögek kerületei közé szorítjuk a kör kerületét, majd felírjuk a képletet. Fontos, hogy a a gyerekek számára ne egy furcsa görög betű legyen, hanem a kör kerületének és az átmérője hosszának a hányadosát, egy valós számot jelentsen. Ezért ne sajnáljuk az időt a -ről szóló érdekességekre. A 7TK VI/ és a MF VI/ feladataiban kiszámoljuk az egyenlítő, a sétaút vagy az óriáskerékben ülő személy által megtett út hosszát. 7TK VI/9. A kör területe Ismét a kör beírt és a köré írt szabályos sokszögeket használjuk, hogy eljussunk a kör területéhez. A 7TK VI/9. csoportmunkában, az 1. és a 2. példáiban meghatározzuk a kör és a kör részeinek területét, valamint -verseket is megismerünk. A 7TK VI/ és a MF VI/ feladataiban összetett alakzatok területét is meghatározzuk a kör részeire való visszavezetéssel. A értékének közelítő meghatározását összekötjük az adatfeldolgozással is. 7TK VI/10. A hasáb felszíne és térfogata A 7TK VI/ példáiban, valamint a 7TK VI/ és a MF VI/ feladataiban érdekes alakú és rendeltetésű hasábok felszínét és térfogatát számoljuk ki (viaszgyertya, vasúti sín), sőt a kiszorított víz térfogata segítségével egy pecsétgyűrű térfogatát is meghatározzuk. 7TK VI/11. A henger felszíne és térfogata A 7TK VI/ és 2. példáiban, valamint a 7TK VI/ és a MF VI/ feladataiban kiszámítjuk a hengerek (szemetes kuka, festőhenger, úthenger, paradicsomkonzerv stb.) felszínét és térfogatát. 7TK VI/12. Összefoglalás A lecke elején húsz pontban összefoglaljuk a fejezetben tárgyalt tudnivalók közül a legfontosabbakat (7TK VI/ o.). A 7TK VI/ és a MF VI/ feladatai között 45

46 bőven találunk gyakorlásra és elmélyülésre való feladatokat is (7TK VI/ , 33., ). A munkafüzet feladatai feleletválasztós formában vannak megfogalmazva, de a kizárásos módszer nem segít, mert előfordulhat, hogy több válasz is helyes. II A 8. osztályos tankönyv II. Geometriai transzformációk című fejezetének áttekintése Sok a tennivaló a 8 leckéből álló rövid fejezetben, hiszen ide tartoznak a vektorok, az eltolás, a pont körüli elforgatás, a középpontos hasonlóság, a hasonlóság és a szerkesztések. 8TK II/1. Egybevágósági transzformációk A Csoportmunka és az 1 2. példák segítségével átismételjük a középpontos és a tengelyes tükrözés tulajdonságait. A 8TK II/ és a MF II/ feladataiban egybevágó alakzatokat keresünk és készítünk. A 8. feladat összetett. a) A t szimmetriatengely az x tengelyt a ( 1;0), az y tengelyt a (0;1) pontban metszi. b) A középpontos tükrözés K centruma AA’, BB’, CC’ felezőpontja, a K( 1; 1) pont. 8TK II/1. lecke 8. feladata (48. o.) és megoldása 8TK II/2. Vektorok A vektorokat az 1 3. példák és a Játék segítségével az irányított szakaszok ekvivalenciaosztályaként vezetjük be (anélkül, hogy ezt direkt módon megfogalmaznánk). Két vektor összegét paralelogramma- és háromszögmódszerrel is megmutatjuk. A 8TK II/ és a 8MF II/ feladatokban egyaránt szerepelnek szabad és kötött vektorok (ez a megkülönböztetés sem cél a fogalomcsíra kialakításakor). 46

47 8TK II/3. Eltolás Újabb egybevágósági transzformációval ismerkedünk, az eltolással. Az ismerkedést az 1. és a 2. példa, valamint a sok szép eltolással kapott sorminta segíti. Gyakorlásként a 8TK II/ és a 8TK II/ feladataiban mi is készítünk ilyeneket. 1 Készíts mintát eltolással! Az eltolás vektorát megadtuk az ábrán. 8MF II/3. lecke 1. feladata (37. o.) és megoldása 8TK II/4. Forgassuk el! Újabb egybevágósággal gazdagodik az eszköztár, a pont körüli elforgatással. A Játék és a mindennapi élet forgó példái ráhangolnak a forgatásra, az 1. és a 2. példa pedig matematikailag is bevezeti a transzformációt. A 8TK II/ és a 8MF II/ feladataiban is érdekes ábrákat rajzolunk gyakorlásként, és még játszunk is. 5 A négyzetben egy titkos üzenet van elrejtve! A mellékelt ábra és a 90 -os forgatás elvezet a megfejtéshez. A titkos üzenet. Rejts el te is egy titkos üzenetet! A megoldás kulcsa egy másféle ábra legyen! 8MF II/4. 5. feladata (40. o.) és megoldása 8TK II/5. Középpontos hasonlóság A 8TK II/5. lecke 1. és 2. példája vezeti be a középpontos hasonlóságot (a síkban). A 8TK II/ és a 8MF II/ feladataival gyakorolhatjuk, tapasztalatot szerezhetünk róla. A tankönyv 9. feladata összetett, a képpontok koordinátáit kell megadni, és az eltolás is megjelenik a feladatban. 47

48 8TK II/6. Szerkesztések A 8TK II/6. lecke 1 4. példái a hasonló alakzat és az adott arányban osztó pont szerkesztését mutatják be. A 8TK II/ és a 8MF II/ feladataiban kicsinyítünk, nagyítunk, vagy éppen a négyzet, illetve a szabályos hatszög kerületét osztjuk fel egyenlő hosszúságú részekre (a tankönyv és a munkafüzet 8. feladata). 8TK II/7. Hasonlóság A 8TK II/7. lecke 1. és 2. példájában megfigyeljük a hasonlóság tulajdonságait, és megfogalmazzuk a háromszögek hasonlóságának alapeseteit. A Tudtad? részben olvashatunk az A0, A1. papírméretről. A 8TK II/ és a 8MF II/ feladatai többségükben egyszerű gyakorló feladatok, a 8TK II/ és a 8MF II/ feladatai nehezebbek. 6 Végy egy téglalap alakú papírlapot! Hozd létre félbehajtással a hosszabb középvonalát és az egyik átlóját! Hajtsd meg a félbehajtáskor kapott egyik téglalapnak azt az átlóját, amelyik a nagy téglalap belsejében metszi a nagy téglalap meghajtott átlóját! a) Készíts vázlatrajzot a hajtogatásról! b) Mutasd meg, hogy a két meghajtott átló metszéspontjából a téglalap hosszabb oldalára állított merőleges harmadolja az oldalt! Az átló által alkotott egyik (az ábrán ABC) háromszög két súlyvonala mentén hajtottuk meg a papírt, ezek az S súlypontban metszik egymást. S harmadolja a súlyvonalat, így a rajta áthaladó, a rövidebbik oldallal párhuzamos hajtás harmadolja a hosszabbik oldalt. 8MF II/7. 6. feladata (49. o.) és megoldása 8TK II/8. Összefoglalás A 8TK II/ és a 8MF II/ feladatok változatos gyakorlást tesznek lehetővé. Keressük a tengelyes tükrözés helyben maradó egyeneseit, a végtelen sok szimmetriatengellyel rendelkező alakzatokat, az elforgatás szögét, nagyítunk, kicsinyítünk, tükrözünk, elforgatunk és eltolunk (betűket és számokat ELEMELEM, abcabc = ( ) abc ). 48

49 II A 8. osztályos tankönyv III. A Pitagorasz-tétel című fejezetének áttekintése Történeti szempontból, a kiterjedt alkalmazások, valamint a geometria és a számelmélet összekapcsolása miatt fontos témakörhöz értünk. A fejezet rövid, mindössze 8 leckéből áll, de számos szállal kötődik a további matematikai tanulmányokhoz (síkbeli és térbeli számítások). 8TK III/1. Szerkesztések, mérések A 8TK III/1. leckében Csoportmunka és az 1 2. példák és az Érdekesség indítják el a mérést és a szerkesztést. A térbeli problémákat síkbeli szerkesztésre és mérésre vezetjük vissza. Tudatában vagyunk annak, hogy ilyen módon a 8TK III/ és a 8MF III/ feladataira közelítő megoldást kapunk. 8TK III/2. A Pitagorasz-tétel A 8TK III/2. lecke 1 4. példái mentén igazoljuk a tételt, megfogalmazzuk, hogy igaz a tétel megfordítása is, továbbá osztályozzuk a háromszögeket a leghosszabb oldal négyzetének a másik kettő négyzetösszegével való összehasonlítás alapján. A 8TK III/ és a 8MF III/ feladataival gyakorolhatjuk a számítást, lyukas mondat kiegészítését és az alkalmazásokat. A munkafüzet 9. feladata nehezebb, de segítséggel együtt van kitűzve. 8TK III/3. Számítások síkban A 8TK III/3. lecke 1. és a 2. példáiban kiszámoljuk a kötél belógását, az inga hosszát. A 8TK III/ és a 8MF III/ feladataival gyakorolhatjuk a Pitagorasz-tétel alkalmazásait. A munkafüzet megoldást segítő lépéseket is tartalmaz, különösen fontos ez a 8MF III/3. 6. feladatában. 8TK III/4. Számítások térben A 8TK III/4. leckében az 1. és a 2. példában a dobozba rakható leghosszabb ceruzát és a téglatestre rajzolható legrövidebb vonalat keressük. Érdekességként megismerjük a derékszögű háromszög készítését csomós módszerrel. A 8TK III/ és a 8MF III/ feladatai mind tanulságosak, de érdemes kiemelni a tankönyv 4. feladatát, amelyben azt kell megvizsgálni, hogy valami lehetséges vagy lehetetlen. 4 Egy téglatest testátlója 10 cm. Lehet-e a téglatest minden élhossza centiméterben mérve egész szám? A testátló hosszának négyzetét, a 100-at három négyzetszám összegeként akarjuk előállítani. Ha az egyik négyzetszám 36 vagy kisebb, akkor a másik kettő négyzetösszegének legalább 64- nek kell lennie, de a 36-nál kisebb négyzetszámok közül bármely kettő összege kisebb 64-nél. Így ezek között nem létezik megoldás. A további 100-nál kisebb négyzetszámok vizsgálatát a táblázat tartalmazza. 49

50 100-nál kisebb négyzetszám A másik kettő négyzetösszege A második négyzetszám A harmadik szám = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2 A fenti esetekben a harmadik élhossz négyzetére maradó értékek egyike sem négyzetszám. Az összes lehetőséget megvizsgáltuk, és arra jutottunk, hogy nem lehet a téglatest egy csúcsból induló élei mindegyikének egész szám a hossza, ha a testátló hossza 10. 8TK III/4. 4. feladata (82. o.) és megoldása 8TK III/5. Szabályos háromszög, négyzet, kocka A 8TK III/5. lecke 1 4. példáiban kiszámoljuk a szabályos háromszög magasságát, területét, a kocka testátlóját, a területhez oldalhosszat keresünk. Érdekességként átdarabolunk egymásba egy négyzetet és egy szabályos háromszöget. A 8TK III/ , és a 8MF III/5. 1., 5., 7 8. feladataival gyakorolhatunk, a 8TK III/5. 7., és a 8MF III/ , 6. feladatai nehezebbek. 14 Egy átlátszó dobókocka tetején négy piros pötty van, de az ábrán a kocka áttetszősége miatt a szemközti lap három pöttyéből a középső is látszik. Mekkora a kocka éle, ha ez a középső pötty a fentiektől pontosan 4,5 cm-re van? Ha a kocka éle a, akkor ( a 4 )2 + ( a 4 )2 + a 2 = 4,5, így 18a 2 = 16 4,5, a 2 = 4, a = 2cm. 8TK III/ feladata (86. o.) és megoldása 50

51 8TK III/6. Nevezetes derékszögű háromszögek A 8TK III/6. lecke Csoportmunkával, valamint az 1. és a 2. példával vezet el a Pitagorasz-féle háromszögekhez és a pitagoraszi számhármashoz, valamint a Hérón-féle háromszögekhez (oldalainak hossza és területük mérőszáma is egész szám). A 8TK III/ , 7 8. és a 8MF III/6. 1., 3 6. feladatai gyakorlásra valók, a 8TK III/ , 9. és a 8MF III/6. 2. feladatai nehezebbek. 2 Használd a tankönyvben található pitagoraszi számhármasokat, és add meg az ábrán látható ABC háromszög oldalhosszait úgy, hogy a BCD is Pitagorasz-féle háromszög legyen! A mintaként megadott 7, 24, 25 számhármast megtartva megfelelők például a BC = 8ˑ3 = 24, CD = 8ˑ4 = 32, BD = 8ˑ5 = 40, vagy a BC = 6ˑ4 = 24, CD = 6ˑ3 = 18, BD = 6ˑ5 = 30 számhármasok, de más pitagoraszi számhármasokkal próbálkozva hamar kitölthető a munkafüzetben található táblázat. 8MF III/6. 2. feladata (64. o.) és megoldása 8TK III/7. A kör és a derékszögű háromszög A 8TK III/7. leckében egyéni megfigyelés után bizonyítjuk a Thalész-tételt, kimondjuk a megfordítását. Az 1. és a 2. példában szerkesztéshez használjuk a Thalész-kört. A 8TK III/ és a 8MF III/ feladataival gyakorolhatunk, a 8TK III/ feladatai nehezebbek. 8TK III/8. Összefoglalás A 8TK III/ és a 8MF III/ feladataival bőségesen gyakorolhatjuk a fejezetben tanultakat, de a kihívást kedvelők is találnak kedvükre valót. II A 8. osztályos tankönyv VI. Felszín, térfogat című fejezetének áttekintése A fejezet mindössze 6 leckéből áll, de az alkalmazások szempontjából fontos ismereteket tartalmaz. Az alkalmazásokra önálló leckét is szántunk. 8TK VI/1. Mit tanultunk eddig? A 8TK VI/ és a 8MF VI/ feladataival feleleveníthetjük és gyakorolhatjuk, hogy mennyi mindent tudunk már a kockáról, a téglatestről, a hasábról, a hengerről. 51

52 11 Két henger térfogata egyenlő. Az egyik henger alapkörének a sugara kétszer akkora, mint a másik henger alapkörének. Milyen kapcsolat van a magasságaik között? Az egyik henger térfogata r 2 π M, a másiké (2r) 2 π m. A térfogatuk egyenlő, így r 2 π M = 4 r 2 π m, amiből M = 4 m. Az r sugarú henger M magassága négyszer akkora, mint a 2r sugarúé. 8TK VI/ feladata (197. o.) és megoldása 8TK VI/2. Gúlák Az egyiptomi piramisoktól a cirkuszig gúlákkal találkozunk. A 8TK VI/2. lecke 1. és 2. példájában sátortetőt és PamPyra játékot tervezünk. A 8TK VI/ és a 8MF VI/ feladataival gyakorolhatunk. A 8TK VI/2. 5. feladata a 2. példához kapcsolódó kombinatorikai feladat, a 6. feladatban adott méretű kockákba gúlákat írunk, és ezek felszínét és térfogatát kell kiszámítani. 8TK VI/3. Kúpok Kúpokkal is gyakran találkozunk. Mi a 8TK III/5. lecke 1 3. példáiban, a Játékban, a 8TK VI/ és a 8MF VI/ feladataiban forgáskúpokkal foglalkozunk (homokkupac, fagylaltos kehely, ceruza hegye stb.). 8TK VI/4. A gömb A 8TK VI/5. lecke 1 3. példáiban összehasonlítjuk a kúp, a henger és a gömb felszínét, illetve térfogatát. A 8TK VI/ és a 8MF VI/ feladataival gyakorolhatunk. 4 Nagymama focilabdatortát készített unokája születésnapjára. A torta a díszítés előtt egy 22 cm átmérőjű félgömb volt. A félgömb gömbfelületét 4 mm vastagságban borítja a marcipán. Mennyi marcipánra volt szükség a torta díszítéséhez? A félgömb térfogata díszítés előtt díszítés után π 2787,64 cm 3, ,43 π ,94 cm 3. A két térfogat különbsége adja a marcipán térfogatát: 3102, ,64 315,3 cm 3. 8TK VI/4. 4. feladata (208. o.) és megoldása 52

53 8TK VI/5. Alkalmazások A 8TK VI/5. lecke 1 3. példáiban, a 8TK VI/ és a 8MF VI/ feladataiban a tanult felszín- és térfogatszámítási ismereteket újabb alakzatok jellemzésére alkalmazzuk (fonott kosár, kémcső stb.). 8TK VI/6. Összefoglalás A 8TK VI/ és a 8MF VI/ ötletes és változatos feladataival (a Föld adatai, gúlaépítés gúlákból stb.) gyakorolhatjuk annak a sok képletnek az alkalmazását, amelyeket ebben a leckében megismertünk. II.2.4. Egyenletek és egyenlőtlenségek a 7. és 8. osztályban Tudatosabban tekintünk az egyenletekkel és az egyenlőtlenségekkel kapcsolatos régi és új módszerekre. Fontosabb lett az alaphalmaz, hiszen bővült az ismert számok köre. Egyre több betűt is tartalmazó kifejezést használunk. II A 7. osztályos tankönyv V. Egyenletek, egyenlőtlenségek című fejezetének áttekintése 12 leckéből áll a megújult fejezet. Továbblépünk a számok és a betűk használatában, és az egyenletmegoldási módszereket is bővítjük. Ebben az évben tárgyaljuk az egyenlet megoldási módszerei között a mérlegelvet. 7TK V/1. Arányosságról még egyszer A 7TK V/1. leckében a Csoportmunka és az 1 2. példa ismétli az arány és az arányos osztás fogalmát. Gyakorlásként választhatjuk a 7TK V/ és a 7MF V/ feladatait. 7TK V/2. Mi tudunk a százalékszámításról? A százalékszámítás legfontosabb fogalmait és lépéseit a 7TK V/ példáival ismételjük át. Gyakorlásra a 7TK V/ és a 7MF V/2. dolgozatjavításba ágyazott 1 6. feladatát ajánljuk. A tankönyv 10. feladata összetett. 10 A hetedik évfolyamon lévő A osztályba 6-tal több tanuló jár, mint a B osztályba. Az A osztály tanulóinak 60%-a lány, és az osztályba 12 fiú jár. a) Hányan tanulnak az A osztályban? (30) b) Hányan járnak a hetedik évfolyamra? (54) c) A B osztályban a fiúk és lányok aránya 1 : 2. Hány lány jár az évfolyamra? (34) 53

54 Osztály Fiúk Lányok A szövegből nyert információkat táblázatban rögzítjük: A = = (40%) 1,5ˑ12 = 18 (60%) B = A – 6 = 24 1/3 ˑ 24 = 8 2/3 ˑ 24 = 16 Évfolyam A + B = TK V/ feladata (137. o.) és megoldása 7TK V/3. Összetett százalékszámítási feladatok A lecke 1 2. példái valós szituációban mutatják be a számítást. A 7TK V/ és a 7MF V/ feladatai gyakorlásra valók. A munkafüzet 7. feladatában az előkészített folyamatábra segíti a megoldást. 7 Az alábbi ábra azt mutatja, hogyan alakult egy elektrotechnikai szakbolt árukészlete. Írd a hiányzó értékeket az ábrába! 7MF V/3. 7.a) feladata (89. o.) 7TK V/4. Szöveges feladatok A 7TK V/ és a 7MF V/ feladatai a pogácsától a lakásvásárláson át a fogorvosok között végzett felmérésig változatos szituációkban vetnek fel olyan kérdéseket, amelyekre százalékszámítás segítségével tudjuk megadni a választ. 54

55 7TK V/5. Számok és betűk használata I. A 7TK V/5. lecke 1. és 2. példáján, a Páros munkán, valamint a 7TK V/ és a 7MF V/ feladatain keresztül barátkozunk a betűs kifejezésekkel (helyettesítési érték, láthatatlan szorzásjel, egytagú, többtagú, összevonás). A szöveg betűs kifejezéssel való lejegyzésen kívül a betűs kifejezés értelmezését is érdemes gyakorolni. 7TK V/6. Számok és betűk használata II. A 7TK V/6. lecke 1 3. példáján, a Csoportmunkán, valamint a 7TK V/ és a 7MF V/ feladataiban az összevonást és a zárójel felbontását gyakoroljuk. A tankönyv 11. feladata összetett. 11 András minden születésnapjára annyi könyvet kapott, ahány éves volt. Készíts táblázatot, hogy hány könyve gyűlt össze az ajándékokból 1; 2; ; 13; 14, illetve a éves koráig. Az első sorba leírjuk növekvő sorrendben a számokat, a második sorba ugyanazokat a számokat csökkenő sorrendben gondosan az előzőek alá, és összeadjuk az oszlopokat a – 2 a – 1 a a a 1 a 2 a 3 a a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 Észrevesszük, hogy minden oszlopban ugyanazt az értéket kapjuk, az első és az utolsó szám összegét (a + 1)-et, és hogy az a darab oszlop összege a könyvek számának kétszerese. András a éves koráig összegyűlt könyveinek száma a(a+1) 2.Geometriai szemléltetést is adhatunk az összegzésre, például egy a és (a+1) oldalú téglalapot két olyan lépcsőre bonthatunk, amelyek területe a keresett összeg (a piros és a kék rész az ábrán). 7TK V/ feladata (146. o.) és megoldása 7TK V/7. Egyenletmegoldási módszerek: próbálgatás és lebontogatás A 7TK V/7. lecke 1. és 2. példájában, Páros munkában, valamint a 7TK V/ és a 7MF V/ feladataiban a lebontogatás, visszafelé következtetés, próbálgatás módszerével oldunk meg egyenleteket, közben az összevonást és a zárójel felbontását gyakoroljuk. 55

56 7TK V/8. Mérlegelv A 7TK V/8. lecke 1 5. példáiban, Csoportmunkában, valamint a 7TK V/ és a 7MF V/ feladataiban igazi mérleg egyensúlyát vagy az egyensúly hiányát figyeljük meg, majd egyenletet oldunk meg úgy, hogy átvisszük a mérlegelvet az egyenlőség két oldalára. A munkafüzet helyes vagy éppen helytelen sorrendben felírt lépésekkel segíti a megoldás lépéseinek tudatosítását. 7TK V/9. Azonosság, ellentmondás, egyenletek megoldása A 7TK V/9. lecke 1 5. példáiban, valamint a 7TK V/ és a 7MF V/ feladataiban a mindig egyenlő, egyenlőnek kell lennie, lehetetlen, hogy egyenlő legyen típusú gondolatok nyomába eredünk, azaz az igazsághalmazt vizsgáljuk. 7 Anna meghirdette a használt játékát, de nem jelentkezett vevő, úgyhogy 20%-ot engedett az árból. Sajnos így sem jelentkezett senki, de amikor ezt tovább csökkentette 1500 Fttal, akkor a kapott 4900 Ft-os áron már talált vevőt. Mennyiért kezdte hirdetni Anna a játékát? Visszafelé következtetünk. A végső ár 4900 Ft, = 6400 Ft volt az 1500 Ft elengedése előtt. A 6400 Ft a 20%-kal csökkentett ár, tehát az eredeti ár 80%-a. Az eredeti ár ennek 5 4 -szerese, azaz =8000 Ft. 7TK V/9. 7. feladata (156. o.) és megoldása 7TK V/10. Egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel A 7TK V/10. lecke 1 4. példáiban, a Csoportmunkában és a Kutatómunkában, valamint a 7TK V/ és a 7MF V/ feladataiban azt vizsgáljuk és gyakoroljuk, hogy a mérlegelv hogyan alkalmazható az egyenlőtlenségek megoldására. Számegyenesen ábrázoljuk a megoldáshalmazt. A munkafüzetben az egyes lépések hatását is vizsgáljuk (7MF V/ feladatok). 7TK V/11. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel A 7TK V/11. leckében csoportmunka keretében átismételjük és alkalmazzuk a szöveges feladat egyenlettel való megoldásának alapelveit (1 15. feladatok). A 7MF V/ feladataiban szöveget keresünk az egyenletekhez, testsúlyt, gondolt számot, illetve szögeket határozunk meg. 56

57 8 Három gyerek páronként mérlegre állt. Számold ki, milyen nehezek külön-külön! Az együttes tömegük duplája = 216 kg, így az együttes tömegük 108 kg, amiből az egyes tömegeket kivonással kapjuk: 7MF V/ feladata (103. o.) és megoldása 7TK V/12. Összefoglalás A 7TK V/ és a 7MF V/ feladataiban gyakorolhatjuk a százalékszámítást, a betűk használatát, az egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldását. 9 Megadtuk a háromszögek belső szögeinek arányát. Húzd alá a derékszögű háromszögeket! a) α : β : γ = 1 : 4 : 5; b) α : β : γ = 2 : 3 : 5; c) α : β : γ = 5 : 6 : 7; d) α : β : γ = 3 : 4 : 5. Ha a legnagyobb szög a másik két szög összege, akkor derékszögű háromszögről van szó. Mivel a) 1+4 =5 és b) 2+3 =5, ezekben az esetekben a legnagyobb szög 90 -os. 7MF V/ feladata (106. o.) és megoldása II A 8. osztályos tankönyv IV. Egyenletek, egyenlőtlenségek című fejezetének áttekintése A 9 leckéből álló fejezet megmutatja, hogy milyen sok területen adódnak olyan problémák, amelyek egyenletekkel, illetve egyenlőtlenségekkel oldhatók meg (számok, életkor, keverék, munkavégzés, geometria, pénzügyek stb.). 8TK IV/1. Egyenletek A 8TK IV/1. lecke 1 3. példáiban és Csoportmunkában átismételjük az egyenletmegoldás alapelveit és módszereit, a 8TK IV/ és a 8MF IV/ feladataiban pedig gyakorlunk. A tankönyv 10. feladata összetett. Gyakorolható a megoldási ötlet a részeiben. 57

58 10 Ali, Bali és Cili életkora egész szám. Hány éves Ali, Bali és Cili? Keresd meg az összes megoldást, ha a következő négy állítás közül pontosan az egyik hamis! a) Ali és Bali együtt 22 évesek. b) Bali és Cili együtt 33 évesek. c) Ali és Cili együtt 26 évesek. d) Ali, Bali és Cili együtt 39 évesek. A mérlegeléshez hasonlóan járunk el. Mindhárom életkor összegéből két életkor összegét kivonva megkapjuk a harmadikat. A megoldásokat a táblázat tartalmazza. Esetek a) b) c) d) Megoldás a) hamis b) hamis c) hamis B + C = 33 A + C = 26 A + B + C = 39 A = 6, B = 13, C = 20 A + B = 22 A + C = 26 A + B + C = 39 A = 9, B = 13, C =17 A + B = 22 B + C = 33 A + B + C = 39 A = 6, B = 16, C = 17 d) hamis A + B = 22 B + C = 33 A + C = 26 2A + 2B + 2C = 81 ellentmondás 8TK IV/ feladata (101. o.) és megoldása 8TK IV/2. Egyenlőtlenségek A 8TK IV/2. lecke Csoportmunkájában megvizsgáljuk, hogy milyen feltétellel nem változik és mikor fordul meg az egyenlőtlenség jele. Az 1 3. példákban mérlegelv segítségével oldunk meg egyenlőtlenségeket. A 8TK IV/ és a 8MF IV/ feladatai alkalmasak a gyakorlásra. A 8TK IV/ feladatai nehezebbek. 8TK IV/3. Szöveges feladatok számokról, életkorokról A 8TK IV/3. lecke 1 5. példáival és a Páros munkával meggondoljuk a számokra és az életkorra vonatkozó szöveges feladatok megoldásának lépéseit, a 8TK IV/ , és a 8MF IV/ feladataival gyakorolhatunk. A 8TK IV/3. 7. és feladatai nehezebbek. 8TK IV/4. Szöveges feladatok összekeverésről A 8TK IV/4. lecke 1 4. példáiban megfigyelhetjük a keverékes szöveges feladatok megoldásának lépéseit, a 8TK IV/ és a 8MF IV/ feladataival gyakorolhatunk. A 8TK IV/ feladata nehezebb. 58

59 10 Két hordó áll a pincében. Az egyikben 100 liter víz van, a másikban pedig 100 liter alkohol. Zsiga egy pohár vizet átmer az alkoholos hordóba. Megkeveri, majd ebből a keverékből merít át egy pohárnyit a vizes hordóba. A vizes hordóban lesz több alkohol, vagy az alkoholos hordóban lesz több víz? A végén mindkét hordóban 100 liter folyadék van. Annyi alkohol hiányzik az alkoholos hordóból, amennyi alkohol a vizes hordóba átkerült. Ennek a helyén most víz van, amit a vizes hordóból hoztunk ide. Ugyanannyi víz van az alkoholos hordóban, amennyi alkohol a vizes hordóban. 8TK IV/ feladata (113. o.) és megoldása 8TK IV/5. Szöveges feladatok mozgásról, munkáról A 8TK IV/5. lecke 1 3. példáiban, Kutatómunkában és Páros munkában gyűjtjük össze a munkavégzéses és mozgásos feladatok megoldásához szükséges ismereteket (például mértékegységeket). Ezek között sok olyan van, amit más tantárgyak keretében (is) tanultak a diákok. A 8TK IV/ és a 8MF IV/ feladataival gyakorolhatunk. A 8TK IV/ és a 8MF IV/5. 8. feladatai nehezebbek. 9 A városi sportpályának három különböző teljesítményű és márkájú fűnyíró robotja van. Az Atolosz 3 óra alatt, a Portolosz 4 óra alatt, az Aramosz 6 óra alatt nyírja le a füvet a focipályán. a) Hány perc alatt végez a fűnyírással az Atolosz és a Portolosz, ha együtt dolgoznak? b) Hány perc alatt vágja le a füvet a Portolosz és az Aramosz? c) Mennyi idő kell a három robotnak, ha egyszerre dolgoznak? Atolosz és Portolosz 1 1 = óra 4 Kb. 102 perc Portolosz és Aramosz 1 1 = 12 = ,4óra perc A három együtt = 12 9 = óra 80 perc 8TK IV/5. 9. feladata (117. o.) és megoldása 8TK IV/6. Szöveges feladatok a geometria köréből Összegyűjtjük a szükséges elemi geometriai ismereteket, és fel is használjuk azokat a 8TK IV/6. lecke 1 3. példáiban. Gyakorlásra alkalmasak a 8TK IV/ és a 8MF IV/ feladatai. A 8TK IV/ feladatai összetettek. 59

60 8 Egy derékszögű háromszög belső szögeinek aránya 1 : 2 : 3. Hány fokos szöget zár be egymással a derékszögű csúcsból induló magasságvonal és a belső szögfelező? Arányos osztással hat részre osztjuk a 180 -ot, egy rész 30. A háromszög szögei 30, 60 és 90. A rövidebbik befogóval 30 -os szöget zár be a magasságvonal, a hosszabbik befogóval 45 -os szöget zár be a szögfelező. A 90 -ból 15 marad a keresett szögre. 8TK IV/6. 8. feladata (120. o.) és megoldása A 8TK IV/6. 9. feladatából kiderül, hogy (hiányos) másodfokú egyenletet is meg tudunk oldani. 9 Egy konvex sokszögnek kétszer annyi átlója van, mint oldala. Hány oldalú a sokszög? A feladat feltétele szerint a behúzható oldalak és átlók összege az oldalszám háromszorosa. Képlettel n(n 1) TK IV/7. Vegyes feladatok 8TK IV/6. 9. feladata (120. o.) és megoldása A 8TK IV/ és a 8MF IV/ feladatai összetettek. Érdemes párban dolgozni, vagy legalábbis megbeszélni a válaszokat, hiszen matematikán kívüli üzenetük is lehet. 1 Kicsit csöpög a csap, így óránként másfél liter víz csöpög el feleslegesen. A vízdíj területenként igen változó, egy országon belül többszörös díjkülönbség is előfordulhat. Például míg Budapesten 218 Ft/m 3, addig Pécsett 425 Ft/m 3 a vízdíj. a) Mennyi víz folyik el így feleslegesen egy év alatt? b) Körülbelül mekkora lenne annak a kockának az éle, amelyikbe ez a vízmennyiség pontosan belefér? (Használj számológépet!) c) Egy gyerek átlagosan 1,5 liter vizet iszik naponta. Hány gyereknek lenne meg az egy napra szükséges ivóvize az egy hónap alatt elcsöpögő vízből? = 3n,azaz n 1 = 6, miveln 3, így n = Szisztematikus próbálkozással is megkapjuk a választ. Megnézzük, hogy mikor lesz a behúzott szakaszok száma az oldalak számának háromszorosa: 3-3; 4-6; 5-10; 6-15; 7-21; 8-28;. és tovább nem érdemes nézni, mert az átlók száma gyorsabban nő. 60

61 d) Hányszor tudnál belőle lezuhanyozni? (Nézz utána, átlagosan mennyi vizet használ el egy ember zuhanyzáskor!) e) Mennyivel fizet többet a feleslegesen elfolyt vízért egy pécsi lakos, mint egy budapesti? f) Nézz utána, mennyibe kerül nálatok 1 m 3 víz, és számold ki, hogy hasonló helyzetben mennyi pénzt pazarolnátok el! g) Nézz utána, hol a legdrágább a víz a világon! a) Évente ,5 = liter víz folyik el feleslegesen. b) liter = dm 3 = a 3, így a 23,59 dm 2,4 m élű kockába férne bele. c) Az egy hónap alatt elcsöpögő víz ,5 = 1080 liter, ami 720 gyerek napi vízszükségletét fedezné. d) A zuhanyzáshoz 60 liter víz, így 18 zuhanyzásra lenne elég ennyi víz. e) Az évi liter = 13,14 m 3 vízért Budapesten 2864,52 Ft-ot, Pécsett pedig 5584,5 Ft-ot kell fizetni, így Pécsett körülbelül 2720 Ft-tal kerül többe, mint Budapesten. f g) A vízdíjakról az interneten bőven találunk információt, például a következő címeken: 8TK IV/7. 1. feladata (121. o.) és megoldása 8TK IV/8. Pénzügyi feladatok A 8TK IV/8. lecke az 1 3. példákkal és Kutatómunkával hangol rá a témakörre. A kerettantervi megfelelésen túl az a törekvés vezetett minket, hogy mindenki találkozzon mindenféle pénzügyekhez kapcsolódó szakkifejezéssel, de az ezt körülölelő matematikai tartalom ne haladja meg a nyolcadik osztályos ismereteket. Ezt sikerrel meg is valósítottuk, hiszen százalékszámításnál többet nem igényel egyik probléma sem. Mielőtt hozzákezdünk a pénzügyi fejezet tanulásához, érdemes a gyerekek számára előzetes feladatokat adni a következő témákban: Valuta- és devizaárfolyamok megfigyelése, nyomon követése például innen: Kamatok alakulása különféle betéteknél, értékpapíroknál. A banki kamatok a kereskedelmi bankok honlapján vagy a bankfiókokban megismerhetők, míg az értékpapírok aktuális kamatai például itt megnézhetők: Kaptunk kritikát, mely szerint az arannyal és részvényekkel foglalkozó feladatok nagyon távoliak és idegenek sok gyerektől. A kritikákat meghallgatva számlákkal és rezsivel kapcsolatos feladatot is tettünk a könyvbe, és beleírtuk a hajdani világszintű magyar inflációt is. Ezek tökéletesen illeszkednek a nyolcadikos történelem tananyaghoz a korábban szereplő alaszkai feladattal együtt. Úgy véljük, hogy egy könyv akkor lehet teljes, ha a való világ 61

62 dolgaival ismerteti meg a tanulókat. Számlákkal, hitelekkel, aranykereskedelemmel és részvényekkel is. Szerencsére sok tanár nagyon örült ezeknek a feladatoknak, bár saját bevallásuk szerint nekik is utána kellett nézni némelyik fogalomnak. A 8TK IV/8. 2. példájával kapcsolatban felvetődött, hogy hogyan értelmezzük az inflációt. Az infláció matematikailag látszólag egyszerű, de hordoz buktatókat. A 2. példában 1,7 százalékos árszínvonal-növekedés szerepel, majd következik az a megállapítás, hogy egy év múlva ugyanabból a száz forintból csak 100/101, ,3 forintnyi terméket tudsz megvenni. Bár a hullámvonal szerepel a számításban, és nem az egyenlőségjel, de a gyerekek az ilyen apróságokat hajlamosak figyelmen kívül hagyni, és esetleg rögzül az a hibás gondolat, hogy ami fölfelé x százalék, az lefelé is ugyanannyi. Célszerű lenne legalább két, de inkább három tizedesig kiszámítani az eredményt, és az így kapott 98,328 már jól mutatja, hogy nem csak egyszerűen levontuk a százból az 1,7-et. Érdekes lehet mind a pedagógusok, mind a gyerekek számára az infláció számításának módja, amely itt található: A tanulók képzettsége, érdeklődése szerint érdemes differenciálni, hogy az inflációt, illetve annak számítási módját milyen mélységig szeretnénk velük tárgyalni. Számolhatjuk, hogy 100 forint mennyit érne egy év múlva, ekkor kisebb az eredmény, mint a kiindulási összeg. De azt is számolhatjuk, hogy mennyi jövőbeli pénz ér annyit, mint ma a 100 Ft, ekkor a kiindulásinál nagyobb összeg szerepel a válaszban. Százalékszámítási szempontból ez nagyon hasonló ahhoz, mintha azt számolnánk, hogy a 27%-os áfát a nettó értékhez adjuk hozzá, azaz szorzunk 1,27-dal (bruttó érték), vagy a bruttó árat osztjuk 1,27- dal, és úgy kapjuk a nettó értéket. 3 Sok ember úgy gondolja, hogy a lakásvásárlás a jó befektetés. Ha készpénzből ki tudjuk fizetni, egyszerű a dolgunk. Ha lakáshitelt kell rá felvennünk, akkor már nagyobb a kockázat. A felvett kölcsön után nemcsak a felvett összeget kell visszafizetnünk, hanem a kamatot a pénz használatának árát is meg kell fizetnünk. a) Hány forintot fizetünk vissza a banknak, ha Ft hitelt vettünk fel lakásvásárlásra, és 20 éven keresztül havi Ft a törlesztőrészlet? ( = Ft) b) Hány forintot fizetünk vissza a banknak, ha Ft hitelt vettünk fel lakásvásárlásra, és 15 éven keresztül havi Ft a törlesztőrészlet? ( = Ft) 8TK IV/8. 3. feladata (125. o.) és megoldása Ahogy azt már korábban említettük, a tankönyv 124. oldalán lévő Kutatómunkát átfogalmaztuk. A 8TK IV/ és a 8MF IV/ feladatai gyakorlásra valók. Zöld színnel 62

63 emeltük ki az új fogalmak magyarázatát. A munkafüzetben néhány klasszikus megtakarításos feladaton túl megtartottuk az ugyanolyan számítási elveket egyszerű százalékszámítás tartalmazó egyéb feladatokat. Egy-egy egyszerű számolással megoldható feladatnak fontos üzenete lehet a mindennapi élet döntéseit illetően. 8TK IV/8. 2. feladat A feladat lehetőséget biztosít egy matematikai kitérőre is. Nem csak a százalék, de az arányosság is előkerülhet az amortizáció kapcsán. Gyakori, hogy a járműveket egy meghatározott kilométer lefutása után kívánják cserélni. Például egy taxis vállalkozó forintért megvásárolja az autóját, és kilométer után szeretné lecserélni. Mennyi lesz egy év alatt az amortizációja, ha az adott évben mondjuk kilométert futott a kocsi? A megoldás kézenfekvő: / x90 000= Ezt teljesítményarányos értékcsökkenésnek nevezik. A feladat d) kérdése nem egyszerű. Az új személyautóknak nincs általánosan megszabott ára, a márkakereskedések maguk alakítják ki az áraikat. Azt érdemes keresni, hogy mely típusok ára van a legközelebb a forinthoz. Hasonlóképpen becsapós az e) feladatrész is. Hajlamosak lennénk azt gondolni, hogy az elektromos autók jobban tartják az értéküket, értékcsökkenésük kisebb, mint a hasonló kategóriájú benzineseké vagy dízeleké. Jelenleg 2018 első negyedévében ez nem így van, az elektromos autók értékcsökkenése jóval meghaladja benzines társaikét. 8TK IV/8. 4. feladat A feladathoz egyetlenegy megjegyzés kívánkozik: ha a tulajdonunkban lévő ingatlant kiadjuk, az után adót kell fizetni. A feladat ezzel nem számol, de ezt mindenképpen említeni kell. Alapesetben a kiadott ingatlanból származó bevétel 90 százaléka után kell 15 százalék személyi jövedelemadót fizetni, de ettől sokféle eltérés lehetséges. Ezek részletes ismerete nem szükséges a tanulók számára, de az adózási kötelezettség tudatosítása igen. 8TK IV/8. 5. feladat A feladat a részvény fogalmát vezeti be. Ez a tanulók számára nem biztos, hogy ismert, ezért szükség van a fogalom tisztázására. Eszerint a részvény olyan értékpapír, amely részesedést tulajdonjogot biztosít egy vállalkozásban, amely részvénytársasági formában működik, és a részvény birtokosát jogosulttá teszi arra, hogy a vállalat nyereségéből részesedjen, azaz osztalékot kapjon. A részvénynek nincs lejárati ideje, és egy nagyon speciális kivételtől eltekintve kamatozó részvény nem kamatozik. A részvénynek kétféle értéke van, a névérték és az árfolyamérték. Utóbbi a részvény pillanatnyi piaci értékét fejezi ki, az előbbi pedig a tulajdonrész nagyságát mutatja meg a részvénytársaságban. Ide kívánkozik egy megjegyzés a munkafüzet feladataihoz is. 63

64 8MF IV/8. 5. feladat A feladat megszövegezése így szól: 35 részvényt vásároltam igen kedvező áron: csak 4000 Ft volt darabja. Az első napon 12%-ot, a másodikon 8%-ot, a harmadikon 4%- ot csökkent az árfolyama. Kérdezzük meg a gyerekeket, hogy vajon biztos, hogy jókor, és valóban kedvező árfolyamon történt-e a részvényvásárlás. Jobb lett volna ugyanis a harmadik napon megvenni a részvényeket, jóval olcsóbban jutottunk volna hozzá, és az osztalékot ugyanúgy megkaptuk volna. Erre valószínűleg a gyerekek is rá fognak jönni. 8TK IV/9. Összefoglalás A 8TK IV/ feladatai és a Csoportmunka két feladatsora, valamint a 8MF IV/ feladatai között bőven találhatunk gyakorlásra alkalmas feladatokat, de a jobb felkészültségűeknek való is akad (8TK IV/9. 9., 13., 17., 19. feladatai). 17 Egy méteres négyzet alakú parkban két, egyenként 4 méter széles murvás utat építenek úgy, hogy a két út középvonala a négyzet alakú terület két átlójára illeszkedjen. a) Hány köbméter murvát rendeljenek, ha egy négyzetméterre 4 cm vastagon terítik el? b) Hány méter szegélykő kell az utak széléhez? 3 a) A park területe 900 m 2. A park lefedetlen részeiből össze lehet rakni egy ,34 m oldalhosszú négyzetet, ennek a területe 593m 2. Az út területe ( ) 307 m 2. Ennek 4 cm vastag borításhoz 307 0,04 12,28 m 3 murva szükséges. b) A négyzet egyik csúcsából a vele szomszédos csúcsig szükséges szegélykő hossza (30 4 2) ,1 m. Összesen ennek a négyszeresére, kb. 160,4 m szegélykőre lesz szükség. 8TK IV/ feladata (128. o.) és megoldása II.2.5. Sorozatok, függvények, valószínűségek, statisztika a 7. és 8. osztályban II A 7. osztályos tankönyv VII. Függvények, statisztika című fejezetének áttekintése 7TK VII/1. Két halmaz közötti hozzárendelések A 7TK VII/1. 1. példáján keresztül vezetjük be, majd a 7TK VII/ és a 7MF VII/ feladataiban alkalmazzuk. 7TK VII/2. Függvények megadási módjai A 7TK VII/2. lecke elején számos módot mutatunk be a hozzárendelési szabály megadására. A 7TK VII/ és a 7MF VII/ feladatai segítségével ezeket gyakorolhatjuk. 7TK VII/3. Olvassunk a grafikonról! 64

65 A grafikon és a grafikonról olvasás nem ismeretlen, mégis fontos megmutatni, hogy milyen sok információt hordoz egy függvény grafikonja. Ezt gyakoroljuk a 7TK VII/ és a 7MF VII/ feladataiban. 7TK VII/4. Ábrázoljunk képlet alapján! A 7TK VII/4. lecke 1. és 2. példájában olyan függvények grafikonjait ábrázoljuk, amelyek hozzárendelési szabálya képlettel van megadva. A 7TK VII/ és a 7MF VII/ feladatai gyakorlásra valók, nehezebbek a 7TK VII/4. 8. és a 7MF VII/4. 8. feladatai. 7TK VII/5. Keressünk szabályokat! A 7TK VII/ példáiban a függvény grafikonja alapján keressük a hozzárendelési szabályt képletként. A gyakorlást a TK VII/ és a 7MF VII/ feladatai segítik. 7TK VII/6. Átlag, módusz, medián Lényegében ismétlő leckéről van szó, hiszen a korábbi évfolyamokon már találkoztak a gyerekek az átlag fogalmával. Ez a lecke sikerélményhez juttathatja a gyengébben teljesítő tanulókat is, mert a módusz és a medián olyan új fogalmak, amelyeket a gyerekek általában könnyen megértenek. A 7TK VII/6. 2. példája összetett, kifejezetten felvételi feladat szintű. Megoldása sok gyerek számára szokatlan logikai következtetéseket tartalmaz. (Az összes megoldás megadását pedig nem is tűztük ki célul.) Gyakorlásra alkalmasak a 7TK VII/ és a 7MF VII/ feladatai. Az utóbbiak általában egyszerű számolást igényelnek, a tanult ismereteket kérik számon, de logikus gondolkodásra ezek esetében is szükség van. Kiegészítő kérdés lehet: A tankönyvben szerepel a lecke bevezető szövegében Judit néni osztálya, ahol jegyet osztott ki az év során. Hányadik elem a medián, mennyi az értéke? Elő lehet venni az ötödikes munkafüzet 140. oldalán lévő papírrepülő-röptető versenyt, ha ötödikben kihagyták, de már sokkal több kérdéssel lehet eljátszani: 1. Mi van, ha valakinek megfordult a levegőben a gépe? Ilyenkor szóba jöhet az irányított távolság fogalma negatív értékkel? 2. Milyen értékelése van a dobóatlétikában sportversenyeken a győztesnek? (A legnagyobb dobás nyer.) 3. Mi lenne, ha a III. csapat 2. dobása 1 méterrel kisebb lett volna? Hogyan változna az átlaguk? 4. Mi lenne, ha a III. csapat 2. dobása 2 méterrel kisebb lett volna? Hogyan változna az átlaguk? 5. Mi lenne, ha a III. csapat 2. dobása 3 méterrel kisebb lett volna? Hogyan változna az átlaguk? 6. Mennyivel kellene csökkenni a dobásaiknak, ha az átlagukat legalább 46 centivel akarjuk csökkenteni? 65

66 7. Várhatóan mi történne több kísérlet esetén? Módosulnának az eredmények? 8. Mekkora volt a dobások mediánja? 9. Mekkora volt a dobások módusza? 10. Melyik az értelmesebb, helyénvalóbb kérdés 3 dobás esetén? 11. Melyik középértéket könnyebb meghatározni 100 dobás esetén? 12. Mekkorát változnak a középértékek, ha dobunk még egyet? (Újabb adatot veszünk fel?) A kérdések sora folytatható. 7TK VII/7. Gyakoriság, relatív gyakoriság Alapvetően ezek is ismert fogalmak, a 7TK VII/7. lecke nevén nevezi a gyakoriság és a relatív gyakoriság fogalmakat. Ezzel előkészítjük a következő leckében szereplő fontos fogalom, a valószínűség bevezetését. (Sok tanár kérte is.) Miután volt már arány, százalék, kördiagram, a gyerekeknek nem szokott gondot jelenteni a relatív gyakoriság fogalma. A 7TK VII/ , valamint a 7MF VII/ feladatai gyakorlásra valók. A munkafüzet 2. feladata időigényes, de nagyon tanulságos. Érdemes lehet házi feladatnak adni a kocka elkészítését. A munkafüzet 3. feladata ismétlés, mert sok gyerek rég elfelejtette, hogy ötödikben tanult a lehetetlen és a biztos eseményekről. 7TK VII/8. Valószínűség A valószínűséget statisztikai alapon vezetjük be. Igenis érdemes elvégeztetni valamelyik kísérletet a gyerekekkel vagy a szabálytalan (laptúlsúlyos) kockával, vagy a gyufásdobozzal, hogy legalább egyszer találkozzanak olyan kísérlettel, amelyik valódi, és nem lehet gondolati úton meghatározni az egyes esetek valószínűségeit. A megadott példák bármelyike alkalmas a feladat megbeszélésére. Ezek után úgyis áttérünk arra az esetre, amely a tanulók legtöbbjét elkíséri az érettségin szereplő alapfeladatokig, azaz amikor minden elemi esemény valószínűsége ugyanakkora. Erre fogják majd alapozni a középiskolákban a kombinatorikus valószínűségeket. A 7TK VII/ és a 7MF VII/ feladatai nem túl nehezek. Ha valaki nem boldogul valamelyikkel, akkor ajánljuk neki az összes eset tervszerű felsorolását és a kedvező esetek gyakoriságának leszámlálását. Erre az anyagrészre nyolcadik osztályban még visszatérünk. 7TK VII/9. Összefoglalás Rövid, de fontos fejezetet foglalunk össze, a 7TK VII/ és a 7MF VII/ feladatai segítik ezt. 66

67 5 Julcsi hét képet töltött fel az internetes oldalára, melyeket rendre 24, 63, 58, 127, 82, 63, 96 ismerőse lájkolt. Az egyik tetszett a barátnőjének, Bertának is. a) Készíts a füzetedben oszlopdiagramot az adatok alapján! b) Mennyi a valószínűsége, hogy a 100. like a 4. képre érkezett? c) Átlagosan hány like-ot kapott egy képre? d) Határozd meg az adatok móduszát és mediánját! A 4. képre 127/513 0,2476 0,25 valószínűséggel érkezett a 100. lájk. Egy képre átlagosan 513/7 73,29 lájk érkezett. A 4. kép volt a legkedveltebb (127 lájk), ez a módusz. A gyakoriságok sorba rendezve: 24, 58, 63, 63, 82, 96, 127. Ezek mediánja 63. (A 2. és a 6. kép is 63 lájkot kapott, így ezek adják a mediánt). 7MF VII/9. 5. feladata (142. o.) és megoldása II A 8. osztályos tankönyv V. Függvények, valószínűségek, sorozatok című fejezetének áttekintése A fejezetben sok ismerős fogalom szerepel (arány, hozzárendelés, gyakoriság stb.), de új nézőpontból kezeljük azokat, így mindegyik átalakul egy kicsit. 8TK V/1. Egyenes arányosság A 8TK V/1. lecke 1 3. példái alapján megismerjük az egyenes arányosság hozzárendelési szabályát. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai szöveges és rajzos formában is segítik a gyakorlást. Kicsit összetettebb a 8MF V/1. 8. feladata, amelyben hozzárendelési szabályt keresünk a grafikonokhoz. 8TK V/2. Lineáris függvények A 8TK V/2. lecke 1 3. példáiban megfigyelhetjük az együtthatók jelentését a hozzárendelési szabályban. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai gyakorlásra valók. 67

68 8TK V/3. Lineáris függvények vizsgálata A 8TK V/3. lecke 1. példájában és az Egyéni versenyben a lineáris függvények menetét vizsgáljuk. A 8TK V/3. 1 4, 6 7. és a 8MF V/ feladatai gyakorlásra valók, a tankönyv 5. és 8. feladata összetett. 8 Egy taxitársaság díjai a következők: alapdíj: 450 Ft, viteldíj: 280 Ft/km, várakozás: 70 Ft/perc. Állapítsd meg, melyik esetben lineáris függvénye a fizetendő ár a megtett kilométerek számának! Rajzolj km Ft diagramot! a) 14 km-t teszünk meg, várakozás nélkül. b) 4 km-t teszünk meg, de közben megállunk egy helyen, ahol a taxi 6 percig vár. c) Indulásnál vár ránk a taxi 5 percet, aztán elmegyünk a 11 km-re lakó nagymamához. d) Elmegyünk a nagymamához, 5 percig vár ránk a taxi, aztán hazamegyünk. A legnehezebb feladat a grafikonok elkészítése, mivel nagy összegeket kell ábrázolni, és figyelembe kell venni az idő múlását is. a) Lineáris függvény: f(x) = 280x b) Nem lineáris függvény. c) Lineáris függvény: f(x) = 280x = 280x d) Nem lineáris függvény. 8TK V/3. 8. feladata (142. o.) és megoldása 68

69 8TK V/4. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása A 8TK V/4. lecke 1 5. példái és a Páros munka segít rendszerezni, hogy mit kell tenni grafikus megoldáskor és hogyan kell értelmezni az eredményt. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladataiban értelmezzük, hogy mit jelent, ha egy pont a grafikonon, alatta és fölötte van, keresünk ilyen pontokat. 8 Daniéknál leállt az internet és mindenképpen szerette volna megkapni az iskolai bulin rögzített videót. Nem úgy volt, hogy félúton találkozunk?! bosszankodott magában Dénes, miközben (immár két és fél órája) 20 km/h sebességgel tekert a bringáján Dani felé. Ha ma egyedül le kell tekerjem oda-vissza összesen 210 km-t, hogy odaadhassam neki ezt a pendrive-ot, tuti gutaütést kapok. Dani persze elaludt, és csak egy órája indult el. Az órája szerint 500 métert tett meg percenként. Mennyi idő múlva találkoztak? Oldd meg a feladatot grafikusan! A grafikon elkészítéséhez meggondoljuk, hogy a Dénes útját ábrázoló grafikon a (0;0) pontból indul és a (5,25;105) pontban végződik. Dani sebessége = 30 km h és 1,5 órával később indult, mint Dénes. A Dani útját ábrázoló grafikon az (1,5; 105) pontból indul és a (5;0) pontban végződik. A két grafikon (3;60) metszéspontjának koordinátáiból látszik, hogy Dénes indulása után 3 órával találkoztak. Dénes az indulás után 2,5 órával kezdett kételkedni a barátjában, azután még egy fél órát kellett tekernie a találkozásig. Számolással: Amikor Dani elindult, akkor Dénestől = 75km távolságra volt. Egymással szemben haladnak, ezt a távolságot = 1,5h alatt teszik meg. Dani indulása után 1,5 órával találkoznak. Ez Dénes kételkedése után még egy fél óra kerekezést jelent. 8TK V/4. 8. feladata (147. o.) és megoldása 8TK V/5. Fordított arányosság A 8TK V/5. leckében Egyéni és Önálló munka mellett öt példa mutatja be a fordított arányosságot szövegben, grafikonon, táblázatban és képletben. A grafikonnak nevet is adunk, ez a hiperbola. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai ezeknek a megadási módoknak a párosítására is kitérnek. 69

70 5 Párosítsd a diagramokat a leírásokkal! Készíts táblázatot a füzetedbe, és írd bele az összes értékpárt a diagram alapján! a) Három ember 8 nap alatt, két ember 12 nap alatt végez a munkával. b) Öt gyereknek 6 napra, hat gyereknek 5 napra elegendő a tábor maradék fogkrémkészlete. c) Két csap 14 óra alatt, négy csap 7 óra alatt tölti meg a medencét. d) 2 km/h sebességgel 20 óra alatt, 5 km/h sebességgel 8 óra alatt érünk Perőcsénybe. d) A c) B a) C b) D TK V/5. 5. feladata (150. o.) és megoldása 8TK V/6. Példák nem lineáris függvényekre A 8TK V/6. leckében Páros munka, Csoportmunka, Kutatómunka, valamint az 1 2. példák témája az abszolútérték-függvény és a másodfokú függvény. Megfigyeljük, hogy milyen rokonság van az egy-egy függvénycsaládhoz tartozó függvények grafikonjai között. Az újonnan megismert függvények grafikonjait használjuk egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai általában gyakorlásra való feladatok, de a tankönyv 6. és 10. feladata nehezebb. 70

71 8TK V/ feladata (155. o.) és megoldása 8TK V/7. Olvassunk a grafikonról! A 8TK V/7. lecke a mindennapi eletünkben közvetlenül alkalmazható ismeretekről szól, a grafikonok értelmezéséről (hőmérsékletingadozás, árfolyamváltozás, felvételi pontszámok stb.). A lecke 1 3. példái bemutatják, hogy hogyan értelmezhető a hőmérsékleti, az út-idő és a gyertya magasságát ábrázoló grafikon. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai változatos témájú gyakorló feladatok. 8TK V/8. Készítsünk grafikont szabály alapján! A 8TK V/8. leckében grafikonhoz a hozzárendelési szabály képletét, képlethez grafikont társítunk, grafikont készítünk, hibás képleteket javítunk az 1 4. példákban, a 8TK V/ és a 8MF V/ feladataiban. 8TK V/9. Gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag Korábban is kerestük már adatok móduszát és mediánját, számadatok átlagát. Tudjuk már, hogy mi az események gyakorisága, relatív gyakorisága. A 8TK V/9. lecke 1 2. példájában, a 8TK V/ és a 8MF V/ feladataiban átismételjük ezeket az ismereteket. A 8TK V/9. 6. feladata összetett. 8TK V/10. Játék A 8TK V/10. lecke témája a statisztika, valószínűségszámítás, valószínűségek gyakorlása egy közismert játékon, kockapókeren keresztül. Ha valaki nem ismeri a játékot, az órára való felkészülés jegyében érdemes otthon kipróbálni. A lecke célja egyfelől a gyerekek közötti együttműködés erősítése a játékélményen keresztül, másfelől az, hogy a gyerekek képesek legyenek elemi valószínűségeket felismerni, egyszerű valószínűségeket kiszámolni. 71

72 A játék leírását javítottuk, de még így is lehet olyan része a leírásnak, amely nem mindenki számára egyértelmű. Számos internetes portálon is lehet játszani, de sok sikerélményre ne számítsunk, mert azok általában könyörtelenül a legnagyobb valószínűséget ígérő dobás mellett fognak dönteni. A szerencse persze sokat segíthet. A játékhoz számos kérdést fogalmazhatunk meg. 1. Van már 4 kettesünk, és egy dobásunk van hátra. Mennyi a valószínűsége, hogy 5 kettesünk lesz? (1/6) 2. Van már 4 ötösünk, és egy dobásunk van hátra. Mennyi a valószínűsége, hogy 5 ötösünk lesz? (1/6) 3. Van már 3 kettesünk, és egy dobásunk van hátra. Mennyi a valószínűsége, hogy 5 kettesünk lesz? (1/36) 4. Van már 4 kettesünk, és két dobásunk van hátra. Mennyi a valószínűsége, hogy 5 kettesünk lesz? (1/6 + 5/6 1/6 = 11/36) 5. Van már 3 kettesünk, és két dobásunk van hátra. Mennyi a valószínűsége, hogy 5 kettesünk lesz? (1/ /6 1/6 1/6 + 25/36 1/36 = 121/1296) 6. Két dobás után 2, 2, 3, 4, 5 az eredményünk. Az egyik 2-sel dobunk újra. Mi a valószínűsége, hogy sort dobunk? (2/6 = 1/3) 7. Elsőre 2, 2, 3, 4, 5 az eredményünk. Az egyik 2-sel dobunk újra. Mi a valószínűsége, hogy sort dobunk? (1/3 + 2/3 1/3 = 5/9) 8. A második dobás után az eredményünk 1, 4, 5, 5, 6. Az egyessel dobunk újra. Mi a valószínűsége, hogy két párunk lesz? (1/3) 9. A második dobás után az eredményünk 1, 4, 5, 5, 6. Az egyessel és a négyessel dobunk újra. Mi a valószínűsége, hogy lesz két párunk? 10. (2 5/6 1/ /36 = 15/36) További kérdések is megfogalmazhatók. Vannak közvetlenül és kényelmesen áttekinthető esetek, de célszerű rámutatni, hogy már egy ilyen egyszerű feladatnál is felmerülhetnek bonyolult, nehezen megválaszolható kérdések. Lehet, hogy a szabatos válasz nem egyszerű, de megérzéseink gyakran helyesek lehetnek. 8TK V/11. Valószínűség Néhányan szóvá tették, hogy a 8MF V/ feladatában lévő háló átmásolása, kivágása, összeragasztása sok időt igényel. Megoldásként javasoljuk, hogy adják fel házi feladatnak, vagy készítsék el a geometria leckék feldolgozása során, de össze is beszélhetnek a technikatanárral stb. A valószínűség bevezetése már hetedikben megtörtént, amint a tanárok teljesen jogosan megjegyezték. A bevezetést statisztikai alapon képzeltük el. Ebben a leckében már a valószínűséghez kapcsolódó formális jelölésekkel is találkozhatnak. Igyekeztünk sok példát leírni, és sokszor hangsúlyozni, hogy az elemi események NEM feltétlenül egyenlő 72

73 valószínűségűek. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladataiban természetesen már mi is elsősorban olyan kísérleteket és eseményeket írtunk le, amelyek a klasszikus valószínűség módjára írhatók le, azaz minden elemi esemény valószínűsége egyenlő. 8TK V/12. Valószínűség-számítási feladatok A 8TK V/12. leckében már nemcsak elemi, hanem összetett, több esemény összekapcsolásával előálló események valószínűségeit is meghatározzuk. A tankönyvek összeállításakor törekedtünk arra, hogy az összeszámolásokhoz szükséges készségeket ötödik, illetve hatodik osztály óta következetesen fejlesszük (sorba rendezések, fadiagramok stb.). A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai nem nehezek, gyakorlásra alkalmasak, már közelebb állnak a klasszikus valószínűség-számítási feladatokhoz. 6 A tányéron van 3 olyan süti, aminek kicsit odakapott az alja, meg 9 hibátlan. A rájuk szórt porcukor miatt egyáltalán nem vehető észre, hogy melyik alja kozmálhatott oda. a) Mennyi a valószínűsége, hogyha véletlenszerűen választunk közülük 1-et, akkor az a süti égett lesz? b) Mennyi a valószínűsége, hogyha véletlenszerűen választunk közülük 1-et, akkor az a süti jó lesz? c) Mennyi a valószínűsége, hogyha véletlenszerűen választunk közülük 2-t, akkor mindkét süti égett lesz? d) Mennyi a valószínűsége, hogy 4 égettet választunk? Abból indulunk ki, hogy az égett sütik között nincs különbség, ekkor az egyes esetekben a valószínűségek: a) 3 8TK V/13. Keressünk összefüggéseket! 8TK V/ feladata (176. o.) és megoldása A 8TK V/13. lecke 1 3. példái és a Kutatómunka középpontjában megfigyelés, szabályfelismerés és szövegértelmezés gyakorlása áll. Közben matematikai tapasztalatokat is szerzünk. Kártyavár építése közben felfedezhetjük, hogy az első n páratlan szám összege n 2. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai gyakorlásra valók, a 8TK V/ feladat nehezebb, időigényes. 6 Gyuriék körbeültek, és a Minden harmadik kiesik játékot játszották. Elkezdtek egyesével számolni, és minden olyan ember, akinek a sorszáma osztható volt 3-mal, kiesett. Ez így ment körbe-körbe, és a végén az nyert, aki utolsónak maradt bent. Hányadik helyre üljön Gyuri, ha mindenképp nyerni akar, és a játékot a) hatan; b) heten; c) ötvenen játsszák? 12 = 1 4 b) 9 12 = 3 4 c) = 1 22 d) 0, lehetetlen, mert csak 3 égett van. 73

74 d) Hova kerül a nyerő hely, ha a játékszabály Minden negyedik kiesik -re módosul? Körbe-körbe megy a számolás. Ha egyértelmű győztes kell, akkor megmaradt 3-nál, illetve 4-nél kevesebb személynél is számolunk tovább. a) A kiesők rendre 3, 6, 4, 2, 5, ezért az 1. helyre érdemes ülni. b) A kiesők rendre 3, 6, 2, 7, 5, 1, ezért a 4. helyre érdemes ülni. c) A kiesők rendre 3, 6. 45, 48, 1, 5, 10, 14, 19, 23, 28, 32, 37, 41, 46, 50, 7, 13, 20, 26, 34, 40, 47, 4, 16, 25, 35, 44, 8, 22, 38, 2, 29, 49, 31, 17, 43, ezért a 11. helyre érdemes ülni. d) Ha hatan játszanak a kiesők 4, 2, 1, 3, 6, ezért az 5. helyre, ha heten, akkor a kiesők 4, 1, 6, 5, 7, 3, és a 2. helyre üljön az, aki nyerni szeretne. 50 játékos negyedik kiesői rendre 4, 8, 12. 48, 2, 7, 13, 18, 23, 29, 34, 39, 45, 50, 6, 14, 21, 27, 35, 42, 49. 9, 17, 26, 37, 46, 5, 19, 31, 43, 10, 25, 41, 11, 33, 3, 38, 22, 15, 30, 1, ezért a 47. helyre üljön az, aki nyerni szeretne. 8TK V/ feladata (179. o.) és megoldása 8TK V/14. Sorozatok A 8TK V/14. leckében Egyéni munka, Kutatómunka és az 1 2. példák alakzat- és számsorozatokat (pl. a lépcsőmászó és a Fibonacci-sorozat), valamint sorozatmegadási módokat mutatnak be. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai gyakorlásra valók. 6 Az alábbi ábrán a Fibonacci-spirált látod. a) Nézz utána az interneten, melyik cég használta ezt a spirált a logója elkészítéséhez! b) Keresd meg, hol jelenik meg a természetben ez az alakzat! Az Apple cég logójában szerepel a Fibonacci-spirál. A természetben megtalálható például a fenyőtobozon, a napraforgó tányérján, az ananászon, a kaktuszokon, a kagylókon, a karfiolon. 8TK V/ feladata (183. o.) és megoldása 74

75 8TK V/15. Számtani sorozat A 8TK V/15. lecke 1. példája bemutatja a számtani sorozat legfontosabb tulajdonságait. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai gyakorlásra való könnyű vagy közepesen nehéz feladatok, a tankönyv 11. feladata nehezebb. 11 Egy számtani sorozat egymást követő öt elemének az összege 175. Az egyik tagja 29. a) Melyik ez az öt elem? b) Hány megoldást találtál? A lehetséges megoldásokat úgy keressük, hogy a 29-et beírjuk a szóba jövő helyekre. Tudjuk, hogy a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 5a 3, 5a 3 = 175, a 3 = 35. Ebből látszik az is, hogy 29 nem lehet a sorozat 3. tagja. Amint a táblázat mutatja, a többi négy esetben van megoldás TK V/16. Összefoglalás 2 8TK V/ feladata (186. o.) és megoldása A lecke szövegesen is összefoglalja 8TK V. fejezetében tárgyalt fogalmak legfontosabb ismérveit. A függvények grafikonjának megrajzolásában nagyon jól használható a GeoGebra program ( ha a hozzárendelési szabály képlettel van megadva. A 8TK V/ és a 8MF V/ feladatai többségükben gyakorlásra valók. A tankönyv 19., 20., 24. és 25. feladatai nehezebbek. 20 Az osztályban kisorsolnak egy gyereket, aki az osztály papagájait eteti szeptemberben. Annak a valószínűsége, hogy lányt sorsolnak ki, 3 -e annak a 4 valószínűségnek, hogy fiút sorsolnak ki. Mekkora a lányok és a fiúk aránya az osztályban? d a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 = = nincs nincs nincs nincs nincs = =

76 Ha fiú sorsolásának az esélye x, akkor a lányé 1 x. A feltétel szerint 1 x = 3 x, amiből7x = 4, azazx = 4.A lányok és fiúk aránya tehát 3: TK V/ feladata (193. o.) és megoldása 24 Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza egy számtani sorozat három egymást követő eleme. Kerülete 56 cm-rel nagyobb, mint a hosszabb befogó. a) Mekkorák a háromszög oldalai? b) Mekkora a háromszög területe? A hosszabbik befogót a-val jelölve a háromszög kerülete felírható a d + a + a + d = a + 56 alakban. Ebből a = 28 cm, a háromszög kerülete pedig 84 cm. A Pitagorasz-tétel alapján: (28 d) = (28 + d) 2, amelyből d + d = d + d 2, azaz 28 2 = 112d, d = 7. A háromszög oldalai: 21 cm; 28 cm; 35 cm. A háromszög területe: T = = 294cm 2. 8TK V/ feladata (194. o.) és megoldása II.2.6. Gyakorló feladatok felvételire A tankönyv végén 4, egyenként 10 feladatot tartalmazó feladatsor található. Továbbtanulásra készülőknek akkor is érdemes megoldani, ha a sorozat egy-egy feladata ismerősnek tűnik. Így együtt, a tananyag kontextusából kiszakítva és időméréssel összekapcsolva jó visszajelzés a felkészültségről. De arra is alkalmas, hogy a kisiskolás módszerek hasznosságát is megmutassuk. A 2. feladatsor 8. feladatában például a szisztematikus próbálkozás segít. 8. Két testvér 40 darab cukorkán osztozkodik. Jancsi, aki két évvel idősebb Katinál, azt javasolja, hogy az általános iskolai évfolyamuk sorszámának arányában osszák szét a kupacot. (Mindketten 6 évesen kezdték az iskolát és nem ismételtek évet.) Kati inkább az éveik számát venné alapul, mert akkor jobban járna: csak 4-gyel kevesebb jutna neki, mint Jancsinak. Végül Kati javaslata alapján osztoztak. Hány cukorkával kapott így többet Kati, mint Jancsi ötlete alapján kapott volna? 76

77 Lehetőségek Kati életkora Jancsi életkora Kati javaslata szerint = 40 Kati évfolyama Jancsi évfolyama Jancsi javaslata szerint = 40 Mivel általános iskolába járnak, a táblázat az összes esetet tartalmazza. Kati a saját javaslata alapján 2-vel kapna többet, mintha Jancsi javaslatát alkalmaznák. 8TK Gyakorló feladatsorok felvételire 2. feladatsor 8. feladata (217. o.) 77

78 III. A TANKÖNYVEK EREDMÉNYES HASZNÁLATÁNAK FELTÉTELEI ÉS LEHETŐSÉGEI A tankönyvek írásakor igyekeztünk megfogalmazásokkal és konkrét utasításokkal orientálni a tanárokat, hogy véleményünk szerint hogyan lehetne a leghatékonyabban használni a taneszközöket. Ezek a megjelenő elemek azonban természetesem csak javaslatok. A tanár van döntési helyzetben, neki kell az osztály, a tankönyv és saját tudása alapján mérlegelni, hogy mi lenne a diákok számára leghasznosabb. Lehetséges, hogy egy tanár jól el tudja képzelni a saját matematikaóráit tankönyv és munkafüzet nélkül, és lehet, hogy tökéletesen meg is tudja valósítani tanítási céljait. Ugyanakkor nem pusztán egy konkrét tananyagot tanítunk, hanem az egész életen át tartó tanulásra kell felkészítenünk a diákokat. Így például meg kell tanulniuk az írott matematikai szöveg értő olvasását, feldolgozását, saját jegyzetek készítését. Még az eddig tankönyv nélkül eredményesen tanító tanárnak is hozzá kell járulnia ezeknek a kompetenciáknak a kialakításához, fejlesztéséhez. A tankönyv, a munkafüzet és a füzet tehát a mai matematikatanulás alapkellékei. Az újgenerációs tankönyvek és munkafüzetek a felfedezéshez, az anyaggyűjtéshez, a rendszerezéshez és a magyarázathoz felsorakoztatják a matematikatanításban elfogadott és gyakran használt szemléltető-, illetve munkaeszközök (körző, vonalzó, logikai készlet, szertári modellek) mellett a valóság tárgyait, változatos képi eszközöket (kiegészítendő ábrákat, optikai trükköket, táblázatokat, folyamatábrákat stb.). Az anyagot színesítik, az érdeklődés felkeltését segítik a történeti utalások és érdekességek. Természetes, hogy a matematikai tartalmakat még 7. és 8. osztályban is igyekszünk olyan, korábban már ismert valóságalapú vagy matematikai fogalmakra építeni, amelyek már korábban beépültek a gyerekek gondolkodási sémáiba, ismeretei közé. A személyes tapasztalás és a személyes élmény minden körülmények között elsődleges kell hogy legyen a tanulási folyamatban. A szöveg funkciója is változatos, a kerettantervben megfogalmazott fejlesztési feladatokat a tankönyv változatos szövegkörnyezettel, önálló cselekvésre ösztönözve, a szocializációt is segítve, sokszínűen közelíti meg. Ilyenek például: az utalások személyes tapasztalatokra; a véleményalkotásra ösztönző kérdések; a korábbi elképzelések és ismeretek újragondolására késztető, valamint a megértést ellenőrző kérdések; a feladat tartalmához illeszkedő javaslat a munkaformákra. A munkaformák közül kiemeljük a csoportmunkát, amelynek során a tanulók párban vagy kis (4 6 fős) csoportokban dolgoznak. Érdemes a munkát úgy szervezni, hogy a csoport tagjai feloszthassák egymás között a feladatokat; mindenki felelős legyen a saját munkájáért, és szükség esetén segítsenek egymásnak, ugyanakkor arra is 78

79 törekedjenek, hogy mindenki elkészüljön a feladattal, megtanulja az aktuális ismeretet. Ha heterogén csoportokkal dolgozunk, akkor ez esélyt ad a lassabban haladóknak, hogy ne maradjanak le, a jobb felkészültségűeknek pedig, hogy az adott témában mélyebb tudást szerezzenek. Tanári segítséggel eredményesebb a tanulás, hiszen a tanulók személyre szóló feladatokat és útmutatást kaphatnak az órai munka során, a házi feladatok jellege és mennyisége pedig az órán mutatott teljesítmény függvényében alakítható. Ugyanakkor a tankönyv és a munkafüzet arra is alkalmas, hogy a tanulók önállóan dolgozzanak fel egy-egy leckét. Ekkor érdemes a tankönyvi leckével kezdeni, a részletesen kidolgozott példákat megfigyelni. Ha a leckéhez tartozó tankönyvi feladatok nehéznek bizonyulnak, akkor több sikerélményt nyújthatnak a munkafüzet kapcsolódó egyszerűbb feladatai, főleg a kis lépésekre lebontott, előkészített megoldások. Általában a kutatómunkát igénylő feladatok is tetszést arattak. Alapvetően két csoportra lehet osztani az ilyen jellegű feladatokat. A teljesség igénye nélkül megadunk 3-3 példát a nyolcadikos tankönyvből. A matematikához csak lazán vagy matematikatörténeti érdekességként köthető, érdeklődésre számot tartó, internetes kereséssel könnyedén megoldható feladatok. 8TK Kutatómunka (114. o.) 8TK Kutatómunka (166. o.) 8TK Kutatómunka (182. o.) 79

80 Matematikai tartalmat és gondolkodást igénylő feladatok. 8TK Kutatómunka (78. o.) 8TK Kutatómunka (178. o.) 8TK Kutatómunka (194. o.) Ez a 194. oldalon lévő feladat kinyitja az ajtót azok előtt, akik érdeklődőek, eljátszanának egy-egy matematikai problémával. Nagyon fontosnak tartjuk, hogy a tanár saját ismeretei és az osztály szükségletei alapján színesítse az óráit hasonló kutató feladatokkal. A éves tanulók általában már megbízhatóan használják az internetet, és ezekkel a feladatokkal nemcsak a matematikai ismereteik bővülnek, hanem egyben a tudatos internethasználat felé is tereljük őket. A tankönyvekhez és a munkafüzetekhez kapcsolódó kiadványok: A tanárok számára elérhető, dolgozathoz használható feladatsor-javaslatok két nehézségi szinten. Az A B feladatsor a normál szinthez, a C D feladatsor pedig az érdeklődő tanulók szintjéhez lett tervezve. Ezek Wordben kerülnek terjesztésre, mert pusztán javaslatok. Minden tanár ötleteket meríthet belőlük, és szabadon átszerkesztheti őket ízlésének és osztályának megfelelően. Természetesen minden feladatsorhoz készítettünk megoldásokat is, de a pontozás megosztását számos helyen a pedagógusra bízzuk. Elkészítettük a tankönyvi feladatok megoldásait is. Ezek pdf formában érhetők el az interneten. 80