Press "Enter" to skip to content

Matematika | Valószínűségszámítás » Kis-Zombori – Valószínűségszámítás feladatok, megoldással

Dolgozói körlevélben tájékoztatta a Debreceni Egyetem oktatóit, kutatóit és dolgozóit az intézmény kancellárja az energiafogyasztás mérséklését célzó beavatkozási lehetőségekről. Az intézkedések október 1-jétől a tanulmányi időszak végig december 9-ig hatályosak, és nem korlátozzák az oktatási, illetve vizsgáztatási tevékenységet.

valószínűségszámítás feladatok megoldással

Feladat az Elemi matematika kurzusról. 36. Előkészítő feladatsorok feladatok több megoldásához. 41. Előkészítő feladatsor a VI. feladathoz.

Számítsuk ki, mekkora ohmos ellenállás kell bekötnünk az L = 100 μH . az eredő feszültség és az áramerősség időfüggvényét,.

Mekkora előtét ellenállás bekapcsolásával tudunk készíteni 10 V és 30 V feszültségű méréshatárokat? Milyen értékű sönt ellenállások beiktatásával tudunk .

Számvitel alapjai: nyitástól zárásig, feladat. Számvitel feladatok. Jó esetben kapsz egy előkészített feladatsort. Rosszabb esetben üres papírok lesznek.

Valószínűségszámítás feladatok. A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 20. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK. 1. Egyszerre dobunk fel három érmét. Mi annak a valószínűsége, .

Valószínűségszámítás feladatok. Nagy-György Judit. 2006. április 3. 1. Kombinatorikai alapok. 1. Hányféleképpen állhatnak sorba egy 10 fős csoport tagjai?

A pihetartály tisztítása csak akkor szükséges, ha a kijelzőn megjelenik az üzenet. Akkor is kitisztíthatom a pihetartályt, ha nem jelenik meg üzenet a .

Gát György. Nyıregyháza. 2010. 1. Page 2. Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék .

Tehát a valószínűség fogalma: . Legyen a kísérlet az, hogy az ötös lottó sorsolásán kihúzzák az első nyerőszámot. (Az ötös lottón 90.

Valószínűségszámítás. – 115 -. 11) Egy tanulmányi verseny döntőjében 8 tanuló vett részt. Három feladatot kellett megoldaniuk. Az első feladat maximálisan .

Valószínűségszámítás. EVML e-könyvek. Miskolc 2008 . úgynevezett mintavételes feladatok esetén. 3.1 Visszatevés nélküli mintavétel.

Százalékérték számítás feladatok . (7) Egy pendrive-on található adat mennyisége 14 GB a teljes kapacitása 32 GB, hány százalék szabad.

eredményéhez tartozik egy kimenetel. Fej vagy írás. Elemi esemény – kísérlet kimenetele. F – fej. I –írás. Eseménytér – elemi események halmaza. H= .

A valószínűségszámítás, illetve a valószínűség közgazdasági interpretációja több- . A megkerülő megoldás, hogy bevezetjük a feltételes valószínűséget, de.

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. 270. 3-mal. A jegyek összege 1 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 36 osztható 3-mal, tehát annyi 3- mal osztható szám lesz, .

közül egyet vagy a második sorozat kötetei közül hármat választunk, . hallgató kiválasztására PÍCg) = — az esély, jbjuk fel ezután a sikeres.

Valószínűségszámítás gyakorlat. Prog. inf. BSc szak, harmadév. 1. alkalom, 2009. szeptember 7. Elemi leszámlálások: 1. Permutáció.

Megjegyzés: Az állítás megfordítása csak véges eseményalgebrában igaz. Amennyiben az elemi események száma végtelen, akkor a képlet nevezőjében végtelen áll .

23 нояб. 2020 г. . Bayes-tétel Legyen B1,B2. teljes eseményrendszer, melyre. P(Bn) > 0 minden n-re. Ekkor tetszőleges pozitív valószínűségű A ∈ A.

kupon van, melyek mindegyike (egymástól függetlenül) p valószínűséggel 1000 forintos, . harom 3692 232 65 11 . Egy boszorka van, három fia van.

Bayes Tétel. Ha B1, B2. Bn egy olyan teljes eseményrendszer amelyre. P(Bi ) = 0 minden i = 1, 2. n esetén, A ∈ F egy további.

1 мар. 2014 г. . (M) A kockapókerben 5 dobókockával dob a játékos. . (2; 1)! Egy bolha ugrál ezen a hat ponton a következő szabály szerint.

Matematikai statisztika I. Alapstatisztikák, Maximum-likelihood becslés . . . . . 133. 1.11.1. Rövid elméleti összefoglaló .

1 мар. 2014 г. . (M) [19] Az ötös lottón minden héten egyetlen szelvénnyel megjátsszuk az 1, 2, 3, 4 és 5 számokat. a) Mekkora annak a valószínűsége, .

Ugyanis, minden n hosszúságú sorozat egyformán . köztük és a valós számok egy részhalmaza között, és így a valószínűségi változó segítségével.

A Módusz. ○ Az adathalmaz leggyakoribb elemét Módusznak nevezzük. Ez a legáltalánosabban használható középérték, bármely változótípus.

Valószínűségszámítás. 3. Valószínűségszámítás 1. 3.1. Bevezetés 1. 3.2. Kombinatorika 1. 3.2.1. Permutációk 1. 3.2.2. Variációk 2. 3.2.3. Kombinációk 3.

fektetők bizonytalan várakozásaihoz, hanem egyszerűen a lehetséges kimenetek konzekvens súlyozásának követelményét fogalmazza meg a valószínűségszámítás.

Kombinatorika, eseményalgebra, a valószínűségszámítás axiómái és következményei, klasszikus és geometriai valószínűségi mező. Mintavételek.

13 дек. 2016 г. . A képek forrása: https://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika- . http://www.studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k_mat_kombi_ut.

2 июл. 2021 г. . kisérletek számának növekedésével a valószínűség körül ingadozik, . Helyes válasz, ha egyszerűen összeadjuk az egyes kérdések esetén a .

A feladatgyűjtemény elsősorban az egyetemeken, főiskolákon Valószínűség . a Számítógépes szimulációs és empirikus statisztikai feladatok (ezeket jelöli).

Kata, Panka, Rita, Zita, Imi és Tibi moziba mennek, jegyük egymás mellé szól. a. Hányféleképpen foglalhatnak helyet hat egymás melletti helyre?

Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás ésmatematikai statisztika, 4. kiadás, Scolar. Kiadó, Budapest 2001. Gazdasági matematika 2: Valószínűségszámítás.

Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. . Baróti-Bognárné-Fejes Tóth-Mogyoródi: Valószínűségszámítás jegyzet . Képlet az általános esetre:.

Egy páncélszekrény rejtjeles zárral van ellátva; egy tengelyen 5 forgatható korong van, amelyeken a 0, ˇˇˇ , 9 számok láthatók.

23 янв. 2018 г. . Példák: érme-, kockadobás, két kocka, izzó élettartama, fizikai mennyiségek mérése, vízállások, lottó- húzás, minőségellenőrzés, stb.

Húsvétra dobta piacra a Kinder Meglepetés új, matematikusfigurákat tartalmazó. Kinder tojásait. Átlagosan minden 4-edik tojás rejt matematikusfigurát.

8. Várható érték és szórásnégyzet. 51. 9. Binomiális eloszlás . Egy osztály létszáma 40, egy adott tantárgyból az átlaga 3,7. Jelentse.

Valószínűségszámítás II. Visszatevés nélküli mintavétel. 1. feladat. Egy biztosítótársaság felmérést készített . a) feladat kedvező kimenetelek száma: 260 .

Egy derékszögű háromszög két külső szögének aránya 5:3. Hány fokosak a háromszög belső szögei? (Katz Sándor, Bonyhád). 2. Egy versenyen hárman indultak: .

2. Gyűlés. Az erdő népe gyűlést tartott. Jelen volt Maugli, voltak ott kígyók, . Rudyard Kipling, A dzsungel könyve irodalmi Nobel-díjas szerzője a brit .

Behúzzuk egy konvex négyszög két átlóját, ezzel a négyszöget négy háromszögre . Egy négyzet minden csúcsát összekötjük az azt nem tartalmazó oldalak .

Feladatok bérszámfejtés és bérügyi szakfeladatok tantárgyhoz. A feladatok a bérügyintéző, . 27 éves, egy ovis gyermeke van. Hány nap szabadság jár.

megfelelő feladatok automatikusan frissülnek a felületen. . A hozzászóláshoz a fórumnál is használatos szövegszerkesztő ablak.

1.) Határozd meg az ered ő ellenállást. . Határozd meg az ered ő ellenállást, az . 14.Mekkora az ismeretlen ellenállás?

Összefoglalás – Esôerdôk, szavannák, . A trópusi esőerdők a éghajlati övben az mentén találhatók. . Az esőerdő állatvilága leírhatatlanul gazdag.

0,5 A erősségű áram folyik át rajta! 3.Mennyi idő alatt halad át a vezetőn 5,4 kC elektromos töltésmennyiség 4 A áramerősség mellett?

használni, ha az erő 150 N, az erő forgatónyomatéka 45 Nm? . Mekkora erő hat a hosszabb karra, ha az . Mekkora erővel lehet egyensúlyban tartani.

Határozzuk meg a Fibonacci sorozat (az 1. feladat megoldása során előálló . A sorozat 11-dik tagja már 5 jegyben megegyezik az aranymetszés értékével.

Melyik hegységben játszódik az Ábel a rengetegben? ______. 7. Olvassátok el Kányádi Sándor Tamási Áron sírjára című versének utolsó szakaszát, és írjátok.

5 апр. 2012 г. . Ábrahám Gábor: Háromszög területe. Matematika Oktatási Portál, http://matek.fazekas.hu/. – 1 / 6 -. Feladatok.

Egy vastag falú levegővel telt zárt flakont kiviszünk télen a nagy hidegbe. A lakásban a hőmérséklet 270C, kint a szabadban –100C. Kint mekkora a flakonban .

Egy szabályos sokszög belső szögeinek összege 1800º. Hány átlója van? GY5. Hány átlója van a húszszögnek? GY6. Egy háromszög egyik csúcsánál 45º-os, .

A feladat meghatározása, leírása: Mértékegység átváltás, veszteségszámítás, . 54 dkg sárgarépa kocka. 0,035 kg karfiol.

Gyakorló feladatok. 6 a) milyen hosszúak a vektorok? b) mekkora a két vektor összege? c) mekkora a két vektor különbsége? 2.5 Adott két vektor: )3;4(.

Kombinatorika feladatok. 1. Tündérországban csak 2 magánhangzót és 2 mássalhangzót használnak. A szavakban legalább 1 mássalhangzó és legalább 1 magánhangzó .

AZ ANGOL NYELV 4 ÉVFOLYAMOS HELYI TANTERVE. 1. Célok és feladatok. Az idegen nyelv oktatásának alapvető célja, összhangban a Közös európai .

Programozási gyakorlófeladatok. Készítette: Dr. Varga Imre. 1. Írj egy programot, amely egy N elemet tartalmazó tömbről megmondja, hogy a szomszédos.

Fejlesztő matematika (5–12. évf.) . Azon túl, hogy ezek a feladatok megragadják a figyel- . A gyakorlatok játékos formája erős motivációt eredményez.

Matematika | Valószínűségszámítás » Kis-Zombori – Valószínűségszámítás feladatok, megoldással

Kis-Zombori - Valószínűségszámítás feladatok, megoldással

Ezt a doksit egyelőre még senki sem értékelte. Legyél Te az első!

Új értékelés

Mit olvastak a többiek, ha ezzel végeztek?

Angol levélminták

Angol levélminták

Szociálpedagógia tételek, 2009

Szociálpedagógia tételek, 2009

Német középfokú szógyűjtemény

Német középfokú szógyűjtemény

Nissan Serena, Vanette Cargo C23 javítási kézikönyv

Nissan Serena, Vanette Cargo C23 javítási kézikönyv

Tartalmi kivonat

Heller Farkas Gazdasági és Turisztikai Szolgáltatások Főiskolája Levelező tagozat GAZDASÁGI MATEMATIKA II. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Gyakorló feladatok Összeállította: Kis Márta és Zombori Natasa Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás Kedves Hallgatók! A példatárban megjelölt feladatokon kívül az alábbi gyakorló feladatok segítik a gazdasági matematika II. vizsgára a felkészülést A feladatok témakörönkénti csoportosítása lehetővé teszi, hogy folyamatosan, a tanult anyagot követően oldják meg a példákat. Az összeállításnál a saját példáinkon kívül felhasználtuk a következő példatárak feladatait is: ƒ Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához I. BGF KVIF, Budapest, 2003 (Szerzők: Czétényi-Felber-Rejtő-Zimányi) ƒ Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához II. BGF KVIF, Budapest, 2002 (Szerzők: Czétényi-Ligeti-Lőrincz) ƒ Valószínűségszámítás Példatár,

Tatabánya, 2002. (Szerző: Nagyné Csóti Beáta) ƒ Operációkutatás Példatár, Budapest, 2002. (Szerzők: Brunner, Kis, Dr Kovács, Dr Máté) 2009. febr1 Kis Márta és Zombori Natasa Valószínűség-számítás Gyakorló feladatok Mátrixok 1. Egy bevásárló központban négy napon át felmérést végeztek, három újonnan bevezetett termék: konzerv, csokoládé, kávé forgalmáról. A fenti termékek eladott darabszámát az alábbi táblázat tartalmazza. A Konzerv Csokoládé Kávé Hétfő Kedd Szerda Csütörtök 250 180 50 70 180 120 150 210 160 110 30 140 Mártixműveletekkel számítsa ki és értelmezze a kapott eredményt! * * a. e1 − e 2 ⋅ A b. A ⋅ 1 ( ) Írja le mátrixműveletekkel és számítsa ki, hogy c. hány darabot adtak el a különbözó fajta termékekből! d. hány doboz csokoládét adtak el szerdán! 2. Egy iskolai büfé napi gyümölcs-forgalma a diákok körében a következőképpen alakult: A alsósok felsősök

gimnazisták alma 10 40 33 körte 30 20 33 mandarin 55 15 33 A gyümölcsök árat a fenti sorrendben az a = (10, 15, 20) árvektor tartalmazza. Mártixműveletekkel számítsa ki és értelmezze a kapott eredményt! * 2 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás a. 1 ⋅ A ⋅ e1 * b. e1 ⋅ A ⋅ a * c. 1 ⋅ A ⋅ a Írja le mátrixműveletekkel és számítsa ki, d. hogy fajtánként mennyi gyümölcs fogyott! e. hogy mennyit költöttek a gimnazisták körtére! * Kombinatorika 1. Egy cégnél három osztályvezető, hat csoportvezető és harminc beosztott dolgozik Hányféleképpen választhatunk ki közülük egy küldöttséget, melyben egy osztályvezető, két csoportvezető és tíz beosztott szerepel? Hányféleképpen tehetjük ezt, ha a kereskedelmi osztály vezetője és az áruforgalmi csoport vezetője mindenképpen a küldöttek között kell, hogy legyenek? 2. Hány „szót” képezhetünk az A, E, I, O, Ü magán- és B,

C, D, F mássalhangzókból úgy, hogy minden „szóban” 4 magán- és 4 mássalhangzó legyen, két magán- illetve két mássalhangzó egymás mellé ne kerüljön, és minden mássalhangzó csak egyszer szerepeljen? 3. a Hányféleképpen osztható ki 10 személy között 2 db 5000 Ft-os, 3 db 2000 Ft-os és 4 db 500 Ft-os jutalom? b. Egy önkiszolgáló étterem pultján 6 tányér leves és 9 tányér főzelék áll (Mind különböző) Hányféle lehet egy 4 fős társaság együttes fogyasztása, ha mindenki eszik levest is, főzeléket is? 4. Egy üzletlánc 10 fős reklámrészlege olyan feladatot kap, hogy a cég 3 arculatváltozásával ismertesse meg a közönséget. Hányféleképpen oszthatják ki maguk között a három munkát, ha a. egy fő legfeljebb egy arculatváltozással kapcsolatos reklámon dolgozhat, b. egy fő több arculatváltozást bemutató reklámon is kidolgozhat, c. minden arculatváltozást bemutató reklámon kétfős munkacsoport dolgozik, és egy

ember legfeljebb egy munkacsoportban lehet? 5. Öt házaspár foglal helyet egy padon Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a házastársak egymás mellett akarnak ülni, de sem két nő, sem két férfi nem ülhet egymás mellé? Eseményalgebra 1. Két helység között három távbeszélővonalon folyhat beszélgetés Jelentse „A” azt, hogy az első vonal hibás, „B” azt, hogy a második, a „C” pedig azt, hogy a harmadik. Fejezze ki A, B, C segítségével a következő eseményeket: a. csak az első vonal hibás b. az első kettő hibás, a harmadik nem c. legalább az egyik hibás d. mindhárom vonal hibás e. legalább két vonal hibás f. pontosan egy vonal hibás g. pontosan két vonal hibás h. egyik vonal sem hibás i. legfeljebb egy vonal hibás j. legfeljebb két vonal hibás 3 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás k. a második nem hibás, de az első és a harmadik közül legalább az egyik hibás 2. Egy nehéz

anyagi körülmények között élő család egy év alatt – egymástól függetlenül – 0,3 valószínűséggel kap az önkormányzattól, 0,4 valószínűséggel valamely egyházi szervezettől segélyt, és 0,1 valószínűséggel nyer egy szerencsejátékon. Vezesse be a fent megfogalmazott három eseményre rendre az A, B, illetve C jelölést! Adja meg eseményalgebrai műveletekkel a következő összetett eseményeket, majd számolja ki az események valószínűségét! a. Csak szerencsejátékon nyeréssel tesz szert kiegészítő összegre a család a fenti három pénzforrás közül. b. A fentiek közül pontosan két pénzforrás által jut plusz pénzforráshoz a család egy év alatt. 3. Egy brókercégnél egy alkalmazott háromféle részvénnyel kereskedik egy adott napon Jelentse az „A” azt, hogy az adott napon kötött üzletet az első fajta, „B” azt, hogy kötött üzletet a második fajta, „C” azt, hogy kötött üzletet a harmadik fajta

részvényre Fogalmazza meg, hogy mit jelentenek az alábbi események: a. A∪ B b. A ∪ B ∩ C c. A ∩ B ∩ C d. A ∩ B ∩ C e. A ∪ B ∩ C f. ( A ∪ B ∪ C ) ( A ∩ B ∩ C ) g. ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) h. A ∪ B ∪ C i. A ∩ B ∩ C j. A k. A ∩ B ∩ C l. ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) Formalizálja a következő eseményeket: a. az adott napon nem mindegyik fajta részvényre kötött üzletet, b. pontosan kétféle részvénnyel kereskedett az adott napon, c. volt üzletkötés az adott napon ennél az alkalmazottnál Klasszikus képlettel megoldható feladatok 1. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kitöltött totószelvény 10,11,12,13 találatos lesz? 2. Egy értekezleten tízen kérnek feketekávét A titkárnő a 10 csészébe összesen 6 darab kockacukrot tett úgy, hogy minden csészébe legfeljebb egy cukrot dobott Mi a valószínűsége annak, hogy négy

személy, aki keserűen szereti a kávét, véletlenül a négy cukor nélküli kávét választja? 3. Elhelyezünk 3 dobozba 8 tárgyat úgy, hogy az egyes tárgyakat megkülönböztethetőnek tekintjük. Mennyi a valószínűsége, hogy: a. az egyes dobozokba rendre 2,4,2 tárgy kerül; b. az egyes dobozokba rendre 0,3,5 tárgy kerül; 4 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás c. mind a 8 tárgy egy dobozba kerül? 4. Egy mozi utolsó sorában, ahol 20 szék van, 5 néző ül Tegyük fel, hogy az 5 néző minden lehetséges elhelyezkedése azonos valószínűségű. Számítsuk ki, mi annak a valószínűsége, hogy: a. az öt néző egymás mellett ül; b. az öt néző nem ül egymás mellett? 5. Egy üzletben három pénztárhoz véletlenszerűen 10 vásárló érkezik Mennyi annak a valószínűsége, hogy: a. az első pénztárhoz 4 , a második és harmadikhoz 3-3 vásárló kerül; b. az egyik pénztárhoz 4 , a másik kettőhöz pedig 3-3

vásárló kerül? Mintavétel 1. A mostani influenzajárvány mutatói szerint a lakosság 15 %-a betegedett meg Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 18 fős csoportban legfeljebb 3 influenzás beteg van? 2. Egy 20 elemű alkatrészhalmazban 8 selejtes van Visszatevés nélkül hatelemű mintát veszünk belőle Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. legalább egy selejtes lesz, b. legalább annyi selejt van, mint jó, c. legfeljebb kettő selejtes lesz? 3. Öt fiú és öt leány együtt mennek moziba Kiválasztunk közülük hat főt Mekkora a valószínűsége, hogy közöttük a. háromnál kevesebb a leány? b. ugyanannyi a fiú, mint a leány? c. egy leány sincs? 4. Egy képviselő egy napon 10 interpellációt hallgatott meg, ebből hatot elfogadott Tetszőlegesen kiválasztottunk három interpellációt a. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? b. Hány különböző olyan kiválasztás van, amelyek közül pontosan kettőt fogadott el a képviselő? c. Mennyi annak a

valószínűsége, hogy közülük legalább két interpellációt fogadott el az adott képviselő? 5. A lakosság 30%-a szenved valamilyen allergiás betegségben Munkatársaink közül tetszőlegesen kiválasztva 12 főt, mennyi annak a valószínűsége, hogy háromnál több szenved allergiás betegségben? 6. Egy gyógyszergyárban minőség-ellenőrzés során 10 kapszulát vizsgálnak meg Annak a valószínűsége, hogy egy adott kapszula nem a megfelelő mennyiséget tartalmazza a hatóanyagból: 0,05. Adja meg a következő valószínűségeket: a. a megvizsgált 10 kapszula mindegyike megfelelő mennyiséget tartalmaz a hatóanyagból, b. háromnál kevesebb kapszula van a tízben, amelyben nem megfelelő a hatóanyag menynyisége, c. a tíz kapszulának pontosan a felében lesz megfelelő a hatóanyag mennyisége 7. Egy urnában 4 piros, 1 zöld és 1 fekete golyó van Ebből húzunk három golyót visszatevés nélkül. Rendezzük a következő eseményeket csökkenő

valószínűségek szerint: 5 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás a. mindegyik golyó piros, b. kettő piros, egy más, c. van zöld vagy fekete golyó a kihúzottak között, d. van piros a kihúzottak között 8. Egy üzemben a napi nyersanyagellátás – egymástól függetlenül – 0,75 valószínűséggel zavartalan Mennyi a valószínűsége, hogy a. egy hét alatt (5 nap) pontosan háromszor zavartalan az ellátás, b. legalább háromszor akadozik az ellátás? 9. Három darab pénzérmét egyszerre feldobunk Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. legalább 1 fejet dobunk, b. pontosan 2 írást dobunk, c. több írást dobunk, mint fejet, d. nem dobunk más, csak írást vagy csak fejet? 10. Egy kiskereskedő minden 20000 Ft feletti összegben vásárló vevőjének nyereményszelvényt ad Ezekből havonta véletlenszerűen kiválasztanak négyet Az elmúlt hónapban 35en vásároltak 20000 Ft-ot meghaladó összegben Ezek között

öt ismerősöm van Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. lesz a kiválasztott négy fő között ismerősöm, b. legalább két ismerős lesz közte, c. több lesz olyan, akit nem ismerek, mint akit ismerek? 11. Egy autószalonban 100 érdeklődő közül átlagosan öten vásárolnak új autót a tapasztalatok alapján. Egy napon 20 érdeklődő kereste fel az autószalont, további információt nem tudunk Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. adtak el új autót az adott napon a szalonban, b. legfeljebb három autót adtak el az autószalonban az adott napon, c. válaszoljon az a) és b) részben megfogalmazott kérdésekre, ha feltételezzük, hogy a vevők száma Poisson eloszlást követő valószínűségi változó! Független események valószínűsége 1. Egy gyár három szerelőcsarnokában végzett statisztikai vizsgálat szerint az első szerelőcsarnokban a munkaidő 85 %-ában, a második szerelőcsarnokban a munkaidő 90 %ában, a harmadik csarnokban pedig a

munkaidő 80 %-ában zavartalan a termelés A termelés zavartalansága az egyes csarnokokban egymástól független Mennyi annak a valószínűsége, hogy a munkaidő egy adott időpontjában: a. mind a három csarnokban zavartalan a termelés, b. legalább az egyik csarnokban zavartalan a termelés, c. csak az egyik csarnokban zavartalan a termelés? 2. A harmadéves főiskolai hallgatók 40 %-a rendelkezik német nyelvből középfokú nyelvvizsgával, 10 %-ának nincsen utóvizsgája és 20 %-ának 4,00-t meghaladó az elmúlt félévi tanulmányi átlaga. A főiskola egy németországi céghez küldhet egy hallgatót féléves gyakorlatra Azok jelentkezhetnek a pályázatra, akik legalább kettőnek eleget tesznek a fenti három követelmény közül, továbbá a német nyelvvizsgával rendelkezés elengedhetetlen. Jelölje az „A” azt az eseményt, hogy egy harmadéves hallgató rendelkezik nyelvvizsgával, „B” azt, hogy nincsen utóvizsgája és „C” azt, hogy 4-nél

jobb a tanulmányi átlaga! Mennyi annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválasztva egy harmadéves hallgató a. jelentkezhet a német céghez erre a gyakorlatra, 6 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás b. pontosan egy követelménynek tesz eleget a három közül Feltételes valószínűség 1. Egy könyvkiadó két nyomdával dolgozik Az első nyomda a kiadványok ¼ részét, a maradék részt a második nyomda készíti Az első nyomdában elkészültek 5 %-a, a másodikban készültek 1 %-a szépséghibás. A raktárban a két nyomda termékei összekeveredtek Jelentse „A” esemény a következőt: egy találomra kiválasztott kiadvány szépséghibás a. Adja meg a P ( A) valószínűséget! b. Adja meg, mekkora a valószínűség, hogy egy kiadványt az első nyomdában nyomtattak, ha az nem szépséghibás! 2. Egy forgácsoló üzemben 3 esztergagép működik Az elkészült munkadarabokat a minőségellenőrzésen I, II,

illetve III osztályba sorolják B1 : I.o B2 : IIo B3 : IIIo A1 : 1.gép 500 510 415 A2 : 2.gép 440 390 275 A3 : 3.gép 320 300 190 A napi össztermékből véletlenszerűen kiválasztunk egyet. a. Írjuk fel szimbólumokkal és számoljuk ki: – mennyi a valószínűsége, hogy a 2. gép készítette a munkadarabot, feltéve, hogy első osztályú, – mennyi a valószínűsége, hogy másodosztályú a munkadarab, feltéve, hogy nem a 3. gép készítette? b. Számítsuk ki és fogalmazzuk meg szavakkal az alábbiak jelentését: P B 2 | A1 P( A3 B2 ) ( ) 3. Egy tőzsdei elemző a recessziós időszakok elemzésének a specialistája Előrejelzései az árfolyamok alakulására 80 %-ban helytállóak ilyen periódusokban Ha a gazdaság erős fellendülést mutat, akkor előrejelzései csak 60 %-ban helytállóak, míg ha a gazdaság normál állapotban van, akkor ez az arány 70 %. Tegyük fel, hogy a gazdaságot 25 %-ban receszszió, 35 %-ban erős fellendülés jellemzi, a

maradék időszak normál állapotú a. Mennyi annak a valószínűsége, hogy kiválasztva ezen elemző egy tetszőleges előrejelzését, az helytálló? b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha az elemző helytálló előrejelzései közül kiválasztunk egyet, akkor azt recessziós periódusban jósolta? 4. Egy használtautó-kereskedő többfajta megfigyelést végez az eladásait illetően Például figyeli, hogy befolyásolja-e a kocsi fényezése az eladási árat Megfigyelései a következők: az eladott autók 35 %-át megvették katalógusár felett, 25 %-át katalógusár alatt, a többiért katalógusárat adtak. A katalógusár felett megvásárolt gépkocsik 70 %-a volt metálfényezésű, a katalógusár alatt eladott 30 %-a volt metálfényezésű, míg a katalógusáron eladott autóknál ez az arány 45 %. Kiválasztunk tetszőlegesen egy eladott autót Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. metálfényezésű? b. ha metálfényezésű, akkor katalógusár

felett kelt el? 7 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás 5. Egy közúti ellenőrzés és felmérés alapján a következő adataink állnak rendelkezésre: a közlekedő járművek 40 %-a személyautó, 35 %-a teherautó, a fennmaradó rész az egyéb kategóriába sorolt. A személyautók 15 %-ában, a teherautók 20 %-ában, az egyéb kategória 35 %-ában valami műszaki hiányosság fedezhető fel Az éppen közlekedő járművet megállítva, mennyi annak a valószínűsége, hogy a. műszaki állapota kifogásolható, b. ha műszaki állapota kifogásolható, akkor teherautó, c. ha műszaki állapota tökéletes, akkor nem személyautó 6. Egy ingatlanközvetítő által 2000-ben közvetített ingatlanokat a következő szempontok alapján osztályozták: – fővárosi, vidéki; – 5 millió Ft alatt, 5 és 10 millió Ft közötti, 10 millió Ft feletti. A fővárosi ingatlanok a kereslet 60 %-át adták, melyeknek negyedrésze 5 millió Ft

alatt, harmadrésze 5 és 10 millió Ft közötti Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha a fővárosi ingatlanok közül választunk, akkor 10 millió Ft feletti az érték? Eloszlások 1. Egy kozmetikai cég három új terméket vezet be a piacra A felkeresett üzletek 80 %-a rendelt az első termékből, 40 %-a a második termékből, 20 %-a a harmadik termékből (Az egyes üzletekben az egyes termékekre vonatkozó megrendelések egymástól függetlenek.) Egy felkeresett üzletet vizsgálva, a ξ valószínűségi változó jelentse azt a számot, ahányféle terméket rendelt az üzlet a kozmetikai cég három új készítményéből! Adja meg a ξ valószínűségi változó eloszlását és várható értékét és a szórást! 2. Egy képviselő egy napon 10 interpellációt hallgatott meg, ebből hatra adott választ fogadott el Tetszőlegesen kiválasztunk egyszerre három interpellációt Legyen a valószínűségi változó a kiválasztott interpellációk között azok

száma, amelyet a képviselő nem fogadott el! a. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását és eloszlásfüggvényét! b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük legalább két interpellációt fogadott el az adott képviselő? 3. Egy üzlethálózat egy nagy vásárlási akciója során három személygépkocsi a három főnyeremény Tegyük fel, hogy a lakosság 20 %-ának van gépkocsijuk A vásárlási akció nagyon sikeres volt, mivel rengeteg nyereményszelvény érkezett be A ξ valószínűségi változó legyen azon autó nyertesek száma, akiknek már van gépkocsijuk! a. Adja meg a ξ valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! b. Adja meg az eloszlásfüggvényt! c. Mely esemény valószínűségét adja meg a F (3) függvényérték? Fogalmazza meg szavakkal is és a valószínűségi változót felhasználva formalizmussal is! 4. A Danone Túró Rudi tömege ξ-vel jelölt, normális eloszlást követő

6. A megfigyelések alapján a munkanélkülieknek átlagban fél év alatt sikerült elhelyezkedniük valahol Tegyük fel, hogy a munkanélküliségben eltöltött idő exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó! Véletlenszerűen kiválasztunk egy munkanélküli személyt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. egy éven belül el tud helyezkedni, b. egy évnél több, de 1,5 évnél kevesebb ideig lesz munkanélküli, c. a várható értéknél hosszabb ideig lesz munkanélküli? 7. Egy üzlet napi forgalma a különböző sajtkészítményekből 150 kg várható értékű, 15 kg szórású, normális eloszlást követő valószínűségi változó. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy napon a forgalom a. meghaladja a 140 kilogrammot, b. 120 kg és 180 kg közé esik, c. becsülje alulról a b részben meghatározott esemény valószínűségét, ha a valószínűségi változó eloszlása nem ismert! 8. Egy orvosi rendelő várószobájában a betegek

várakozással eltöltött ideje exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó, melynek várható értéke negyed óra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott beteg a. 15 percen belül sorra kerül, b. várakozási ideje legalább 30 perc, de legfeljebb 45 perc, c. a várható értéke kétszeresénél többet várakozik? 9. Egy szövőgép 500 szállal dolgozik Annak valószínűsége, hogy egy szál meghatározott időtartam alatt elszakad: 0,012 minden szálra Feltételezzük, hogy a szálszakadások száma Poisson- eloszlást követő valószínűségi változó. a. Az adott időtartam alatt mennyi a szálszakadások várható értéke? b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább 4, de 7-nél kevesebb szál szakad el? 10. Egy 500 oldalas könyvben 200 sajtóhiba található Feltételezhető, hogy a sajtóhibák száma Poisson eloszlást követő valószínűségi változó. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a. 10

véletlenszerűen kiválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, b. 25 véletlenszerűen kiválasztott oldalon legalább 8, de 12-nél kevesebb sajtóhiba található? Csebisev-egyenlőtlenség 1. Egy textilgyárban előállított vég szövet hosszának várható értéke 35 m, szórása 0,3 m a. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a vég hossza legalább 1 m-rel eltér a várható értéktől? b. Legalább 95 %-os valószínűséggel milyen határok közé esik a vég szövet hossza? 2. Egy strandon a nyári melegben a naponta fagyit vásárlók számának várható értéke 600, a szórása pedig 100. Legfeljebb mennyi a valószínűsége annak, hogy a naponta fagyit vásárlók száma 200 vagy annál kevesebb, illetve 1000 vagy annál több? 3. Egy tábla csokoládé átlagos tömege: 15 dkg, a szórás 15 g Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a csoki tömege a várható értéktől 2 dkg-nál nagyobb mértékben tér el? 9 Heller Farkas Főiskola

Levelező tagozat Valószínűség-számítás Nagy számok törvénye 1. Egy csillagászati megfigyelés lehetőségének valószínűsége: 0,3 a. Hányszor tegyünk kísérletet a megfigyelésre ahhoz, hogy a kapott relatív gyakoriságnak a valószínűségétől mért 0,02-nél kisebb eltérése legalább 0,9 valószínűségű legyen? b. Hányszor próbálkozzunk a megfigyeléssel akkor, ha a megfigyelés lehetőségének valószínűsége nem ismert? 2. Egy gyár tapasztalatai alapján az általa előállított gyártmányok 10 %-a hibás A minőségi ellenőrzés csak akkor találja elfogadhatónak a tételt, ha abban legfeljebb 12 % hibás. Mekkora legyen a tételben a gyártmányok darabszáma, hogy a hibás áruk relatív gyakorisága a megfelelő valószínűségtől legalább 0,95 valószínűséggel ne térjen el 0,02-nél nagyobb értékkel? 3. Egy gyárban tömegesen gyártanak írható CD-ket. Egy gép ezeket kis tartókba helyezi Annak a valószínűsége, hogy egy

tartó üresen marad, és így kerül a vásárlókhoz: p=0,03. Az elkészült tartókból 600 db-os mintát vesznek, és maghatározzák a selejt előfordulásának relatív gyakoriságát. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a relatív gyakoriságnak a selejt valószínűségétől való eltérése kisebb mint 0,04? 10 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás MEGOLDÁSOK Mátrixok (e ) − e 2 ⋅ A = e1 ⋅ A − e 2 ⋅ A = (250 180 160) − (180 120 110) = (70 60 50) A hétfői és keddi eladás közötti különbség. * b. A ⋅ 1 = (590 410 230 420) Naponkénti eladás a harom termékből. * c. 1 ⋅ A = (550 660 440 ) 1. a * 1 * * * d. e 3 ⋅ A ⋅ e 2 = (50 150 30) ⋅ (0 1 0 ) = 150 * * 2. a 1 ⋅ A ⋅ e1 = (1 1 1) ⋅ (10 40 33) = 83 Egész nap 83 db alma fogyott el. ∗ * e1 ⋅ A ⋅ a = (10 30 55) ⋅ (10 15 20 ) = 1650 b. Az alsósok 1650 Ft-ot költöttek gyümölcsre.  10 30 55    * c. (1 1 1)

⋅  40 20 15  = (83 83 103) (83 83 103) ⋅ (10 15 20 ) = 4135  33 33 33    A büfé napi összbevétele gyümölcsből.  10 33 55    ∗ d. 1 ⋅ A = (1 1 1) ⋅  40 20 15  = (83 33 103)  33 33 33    * * e. e 3 ⋅ A ⋅ e 2 ⋅ (a ⋅ e 2 ) = 33 ⋅ 15 = 495 * * ( ) Kombinatorika  3   6   30  1. a   ⋅   ⋅   = 13520256675  1   2   10   2   5   30  b.   ⋅   ⋅   = 150225075  0   1   10  2. Magánhangzóval kezdődik: 5 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅1 Mássalhangzóval kezdődik: 4 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅1⋅ 5 2 ⋅ 5 ⋅ 4!= 30000 4 10   8   5  3. a   ⋅   ⋅   = 12600  2   3  4  b. 6 ⋅ 9 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 6 = 1088640 11 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat

Valószínűség-számítás 4. a 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 b. 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 10   8   6  c.   ⋅   ⋅   = 18900  2   2  2 5. f n f n f n f n f n (5 ⋅1) ⋅ (4 ⋅1) ⋅ (3 ⋅1) ⋅ (2 ⋅1) ⋅ (1⋅1) = 5! n f n f n f n f n f (5 ⋅1) ⋅ (4 ⋅1) ⋅ (3 ⋅1) ⋅ (2 ⋅1) ⋅ (1⋅1) = 5! 2 ⋅ 5!= 240 Eseményalgebra A∩ B ∩C A∩ B ∩C A∪ B ∪C A∩ B ∩C ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) vagy 1. a csak az első vonal hibás b. az első kettő hibás, a harmadik nem c. legalább az egyik hibás d. mindhárom vonal hibás e. legalább két vonal hibás (A ∩ B ∩ C )∪ (A ∩ B ∩ C )∪ (A ∩ B ∩ C )∪ ( A ∩ B ∩ C ) f. pontosan egy vonal hibás ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) g. pontosan két vonal hibás ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) h. egyik vonal sem hibás i. legfeljebb egy vonal hibás A∩ B ∩C (

A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) A∩ B ∩C j. legfeljebb két vonal hibás k. a második nem hibás, de az első és a harmadik közül legalább az egyik hibás B ∩ ( A ∪ C) 2. a P( A) = 0,3 (( P(B ) = 0,4 ) ( P(C ) = 0,1 ) ( )) ( ) P A ∩ B ∩ C = 0,7 ⋅ 0,6 ⋅ 0,1 = 0,042 b. P A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C = 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,9 + 0,3 ⋅ 0,6 ⋅ 0,1 + 0,7 ⋅ 0,4 ⋅ 0,1 = 0,154 3. a A∪ B = A∩ B Az első kettőre nem kötnek üzletet. b. A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C c. A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C d. A ∩ B ∩ C Csak az elsőre nem kötnek üzletet. Legalább egyre nem kötnek üzletet. Egyikre sem kötnek üzletet. e. A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C f. ( A ∪ B ∪ C ) ( A ∩ B ∩ C ) Mindre kötnek üzletet. Legalább egyre kötöttek, de nem mindre. g. ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) h. A ∪ B ∪ C Legalább kettőre nem kötöttek.

Legalább az egyikre megkötik. 12 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás i. A ∩ B ∩ C Az első kettőre kötöttek, de a harmadikra nem. j. A Az elsőre nem kötöttek üzletet. k. A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∩ C Az első kettő közül legalább az egyikre nem, de a harmadikra kötnek üzletet. l. ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) Legalább kettőre nem kötnek üzletet. Formalizálja a következő eseményeket: a. az adott napon nem mindegyik fajta részvényre kötött üzletet, A∩ B ∩C b. pontosan kétféle részvénnyel kereskedett az adott napon, ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) c. volt üzletkötés az adott napon ennél az alkalmazottnál A∩ B∩C = A∪ B∪C Klasszikus képlettel megoldható feladatok 13  3 13  2   ⋅ 2   ⋅ 2 10  11  = 0,0014 p11 =  13 = 0,0002 1. p10 = 13 3 3 13  1 13  0

  ⋅ 2   ⋅ 2 12  13  p12 = = 0,000016 p13 =  13 = 0,00000063 13 3 3 2. p= 1 = 0,0048 10    4 8  6  2   ⋅   ⋅   2 4 2 3. a p =    8   = 0,0640 3  8  8  5   ⋅   ⋅   0 3 5 b. p =    8   = 0,0085 3 3 c. p = 8 = 0,00046 3 16    1 4. a p =   = 0,0010  20    5 13 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás 16    1 b. p = 1 −   = 0,0090  20    5 10   6   3    ⋅   ⋅   4 3 3 5. a p =   10    = 0,0711 3 10   6   3  3 ⋅   ⋅   ⋅   4 3 3 b. p =   10    = 0,2133 3 Mintavétel 1. 3 18  p = p 0 + p1

+ p 2 + p3 = ∑   ⋅ 0,15 k ⋅ 0,8518− k = 0,7202 k =0  k  12    6 2. a p = 1 −   = 0,9762  20    6  8  12   8  12   8  12   8  12    ⋅   +   ⋅   +   ⋅   +   ⋅   3 3 4 2 5 1 6 0 b. p = p3 + p 4 + p5 + p 6 =                 = 0,4552  20    6  8  12   8  12   8  12    ⋅   +   ⋅   +   ⋅   0 6 1 5 2 4 c. p = p 0 + p1 + p 2 =             = 0,5449  20    6  5  5  5   5    ⋅   +   ⋅   1 5 2 4 3. a p =         = 0,2619 10 

  6  5  5   ⋅   3 3 b. p =     = 0,4762 10    6 c. p = 0 10  4. a   = 120 3 14 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat  4  6 b.   ⋅   = 60  1  2  4  6  4  6   ⋅   +   ⋅   1 2 0 3 c. p = p 2 + p3 =         = 0,6667 10    3 3 12  5. 1 − ( p 0 + p1 + p 2 + p3 ) = 1 − ∑  0,3 k ⋅ 0,712− k = 0,5075 k =0  k  10  6. a p 0 =   ⋅ 0,05 0 ⋅ 0,9510 = 0,5987 0 2 10  b. p = ∑   ⋅ 0,05 k ⋅ 0,9510− k = 0,9884 k =0  k  10  c. p5 =   ⋅ 0,05 5 ⋅ 0,95 5 = 0,0001 5  4   3 7. a p a =   = 0,2 6    3  4  2   ⋅  

2 1 b. pb =     = 0,6 6    3  4   3 c. p c = 1 −   = 0,8  6    3 d. p d = 1 p d > pc > pb > p a  5 8. a p3 =   ⋅ 0,75 3 ⋅ 0,25 2 = 0,2637  3 5 5 b. p = ∑   ⋅ 0,25 k ⋅ 0,75 5− k = 0,1035 k =3  k   3 9. a p = 1 −   ⋅ 0,5 3 ⋅ 0,5 0 = 0,875  3 15 Valószínűség-számítás Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás  3 b. p =   ⋅ 0,5 2 ⋅ 051 = 0,375  2  3  3 c. p =   ⋅ 0,5 2 ⋅ 051 +   ⋅ 0,5 3 ⋅ 05 0 = 0,5  2  3  3 d. p = 2 ⋅   ⋅ 0,5 3 ⋅ 0,5 0 = 0,25  3  30   5    ⋅   4 0 10. a p = 1 −     = 0,4766  35    4  30   5   30   5    ⋅   +

  ⋅   4 0 3 1 b. p = 1 −         = 0,0889  35    4  30   5   30   5    ⋅   +   ⋅   4 0 3 1 c. p =         = 0,9110  35    4 11. a p(vásárol ) = 0,05  20  p a = 1 −   ⋅ 0,05 0 ⋅ 0,95 20 = 0,6415 0 3  20  b. pb = ∑   ⋅ 0,05 k ⋅ 0,95 20− k = 0,9842 k =0  k  c. M (ξ ) = λ = 1 pa = 1 − 10 −1 e = 0,6321 0! 1k −1 e = 0,981 k = 0 k! 3 pb = ∑ Független események valószínűsége 1. a p = 0,85 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8 = 0,612 b. p = 1 − 0,15 ⋅ 0,1 ⋅ 0,2 = 0,997 c. p = 0,85 ⋅ 0,1 ⋅ 0,2 + 0,15 ⋅ 0,9 ⋅ 0,2 + 0,15 ⋅ 0,1 ⋅ 0,8 = 0,056 2. a. P( A) = 0,4 ( P(B ) = 0,1 P(C ) = 0,2 ) P ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) = 0,4 ⋅ 0,1 ⋅ 0,2 + 0,4 ⋅ 0,9 ⋅ 0,2 + 0,4 ⋅ 0,1 ⋅ 0,8

= 0,112 ( ) b. P ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) = 0,4 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8 + 0,6 ⋅ 0,1 ⋅ 0,8 + 0,6 ⋅ 0,9 ⋅ 0,2 = 0,444 Feltételes valószínűség 1. a B1: első nyomda készíti B2: második nyomda készíti 16 Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás P( A B1 ) = 0,05 P(B1 ) = 0,25 P( A B1 ) = 0,01 P(B2 ) = 0,75 P( A) = 0,25 ⋅ 0,05 + 0,75 ⋅ 0,01 = 0,02 0,25 ⋅ 0,95 b. P B1 A = = 0,2423 1 − 0,02 ( ) 2. a P ( A2 B1 ) = ( ) P B2 A3 = ( ) 440 = 0,3492 500 + 440 + 320 510 + 390 = 0,3557 (500 + 510 + 415) + (440 + 390 + 275) b. P B2 | A1 = (440 + 275) + (320 + 190) 1225 = = 0,6397 (440 + 390 + 275) + (320 + 300 + 190) 1915 A második és harmadik gép által készített termékek között az első- és harmadosztályúak valószínűsége. 300 P (A3 B2 ) = = 0,25 510 + 390 + 300 A másodosztályú termékek között azok valószínűsége, melyet a harmadik gép készített. 3. a P(R ) = 0,25

P(E ) = 0,35 P( N ) = 0,4 P(i R ) = 0,8 P(i E ) = 0,6 P (i N ) = 0,7 P (i ) = 0,25 ⋅ 0,8 + 0,36 ⋅ 0,6 + 0,4 ⋅ 0,7 = 0,69 b. P (R i ) = 0,25 ⋅ 0,8 = 0,2899 0,69 4. a A: metálfényezésű B1: katalógusár felett gusáron P(B1 ) = 0,35 P ( A B1 ) = 0,7 P(B2 ) = 0,25 P(B3 ) = 0,4 B2: katalógusár alatt P ( A B2 ) = 0,3 P ( A B3 ) = 0,45 P ( A) = 0,35 ⋅ 0,7 + 0,25 ⋅ 0,3 + 0,4 ⋅ 0,45 = 0,5 b. P (B1 A) = 0,35 ⋅ 0,7 = 0,49 0,5 5. a A: műszaki hiányosság P(B1 ) = 0,4 P (B2 ) = 0,35 P(B3 ) = 0,25 B1: személyautó B2: teherautó P ( A B1 ) = 0,15 P (A B2 ) = 0,2 P ( A B3 ) = 0,35 P( A) = 0,4 ⋅ 0,15 + 0,35 ⋅ 0,2 + 0,25 ⋅ 0,35 = 0,2175 17 B3: egyéb B3: kataló- Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás 0,35 ⋅ 0,2 = 0,3218 0,2175 0,35 ⋅ 0,8 + 0,25 ⋅ 0,65 c. P B1 A = = 0,5655 1 − 0,2175 b. P (B2 A) = ( ) 6. A: fővárosi B1: 10 1 P(B1 A) = 4 1 P (B2 A) = 3 1

1 5 P(B3 A) = 1 −  +  = = 0,4167  4 3  12 Eloszlások 1. xk pk xk ⋅ pk 0 p 0 = 0,2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 = 0,096 0 x k2 ⋅ p k 0 1 2 3 p1 = 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 + 0,2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,8 + 0,2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,2 = 0,472 p 2 = 0,2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 + 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 0,2 + 0,8 ⋅ 0,4 ⋅ 0,8 = 0,368 p 3 = 0,8 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 = 0,064 0,472 0,736 0,192 0,472 1,472 0,576 3 ∑p k 3 ∑x =1 k 0 0 3 M (ξ ) = ∑ x k ⋅ p k = 1,4 0 ( ) D (ξ ) = M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 2,52 − 1,4 2 = 0,7483 2. a 18 ⋅ pk = 1,4 3 ∑x 0 2 k ⋅ pk = 2,52 Heller Farkas Főiskola xk 0 Levelező tagozat Valószínűség-számítás pk  4  6   ⋅    0   3  = 0,1667 10    3 1  4  6   ⋅    1   2  = 0,5 10    3 2  4  6   ⋅    2   1  = 0,3 10    3 3

1 − P(ξ = 0, ξ = 1,.ξ = 9,) = 1 − 0,0067 − 0,0337 − − 0,0363 = 0,0318 b. P(ξ < 4 , ξ >6) = P(ξ = 0,1,2,3, 7,8,.) = 1 − P(ξ = 4,5,6 ) = 1 − 0,1755 − 0,1755 − 0,1462 = 0,5028 c. P (ξ − M (ξ ) < 2 ⋅ D(ξ )) = P ξ − 5 < 2 ⋅ 5 = P( ξ − 5 < 4,47 ) = P(1 ≤ ξ ≤ 9 ) = P(ξ = 1,2.9 ) = 0,9615 ( ) 6. a M (ξ ) = 0,5 → λ = 2 p (ξ < 1) = F (1) = 1 − e −2 = 0,8647 b. p (1 < ξ < 1,5) = F (1,5) − F (1) = 1 − e −3 − 1 − e −2 = e −2 − e −3 = 0,0855 c. p(ξ >0,5) = 1 − F (0,5) = 1 − 1 − e −1 = e −1 = 0,3679 ( ) ( ) 7. a m = 150 σ = 15  140 − 150  p(ξ > 140) = 1 − p(ξ ≤ 140 ) = 1 − F (140) = 1 − Φ  = 1 − Φ (− 0,6667 ) = 1 − (1 − Φ (0,6667 )) = 15   Φ (0,6667 ) = 0,7486 b.  120 − 150   180 − 150  p(120 < ξ < 180) = F (180) − F (120) = Φ  = Φ (2) − Φ (− 2) =  − Φ 15 15     Φ (2 ) −

ε = 0,02 0,1 ⋅ 0,9 → n ≥ 4500 0,95 ≥ 1 − 0,02 2 n Legalább 4500. 3. p = 0,03 q = 0,97 ε = 0,04 n = 600 0,03 ⋅ 0,97 → P ≥1− P ≥ 0,9697 0,04 2 ⋅ 600 A valószínűség legalább 0,9697. P = 0,95 22 Valószínűség-számítás

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.