Matematika 7 osztály tankönyv megoldások csahóczi erzsébet

AP-070807 Matematika 7. NAT

Szerző(k): Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva, Tantárgy/Tanegység: Matematika, Évfolyam: 7, Kiadó: Apáczai Kiadó (Jelenleg: OFI – A könyvek egy részén az OFI és az Apáczai Kiadó logója is szerepel) A Leírás…

A Leírás alatti Kapcsolódó termékek között láthatja, hogy az Oktatási Hivatal ajánlása alapján, egyes tankönyvekhez, mely egyéb tankönyvek és munkafüzetek kapcsolódnak!

A tankönyv, vagy munkafüzet rövid ismertetője:

A szerzők, legalább 20 éve tanítják az általános iskolás korosztályt. A Matematika 5-8. tankönyvcsaládot azon tapasztalataik alapján fejlesztették, miszerint a játékos felfedeztetés nagy öröm a gyerekek számára, és nincs ennél hatékonyabb módszer. Persze, a tanulásnak vannak rögös és fárasztó periódusai is, mégis azt szeretnénk, ha tanulók gondolkozva, felfedező úton tennének szert matematikai ismereteikre. A játékokkal, a tananyagtartalom játékos feldolgozásával a gyerekek motiválása a célunk.

Oldalszám (terjedelem):	268
Méret:	A4
Borító típusa:	Puha borítós

Szállítás

Kiszállítás futárszolgálattal, utánvétes fizetés

Házhozszállítás a megadott szállításai címre futárszolgálattal, fizetés átvételkor készpénzben, vagy bankkártyával a futárnál. A visszaigazolásban szereplő státusz (Feldolgozás alatt) jelentése: A rendelés beérkezett hozzánk, feldolgozása hamarosan elkezdődik! (Munkanapokon, a 15.00 után beérkezett rendeléseket a rendelés beérkezését követő munkanapon tudjuk feldolgozni! A munkaszüneti napokon beérkezett rendelések az azt követő munkanapon kerülnek feldolgozásra!)

Átvétel Postaponton, utánvétes fizetés

Átvétel a megjelölt Postaponton (MOL, COOP, Csomagautomata, Posta), fizetés átvételkor készpénzben, vagy bankkártyával a Postaponton. A visszaigazolásban szereplő státusz (Feldolgozás alatt) jelentése: A rendelés beérkezett hozzánk, feldolgozása hamarosan elkezdődik! (Munkanapokon, a 15.00 után beérkezett rendeléseket a rendelés beérkezését követő munkanapon tudjuk feldolgozni! A munkaszüneti napokon beérkezett rendelések az azt követő munkanapon kerülnek feldolgozásra!)

Személyes átvétel Géniusz Könyváruház, fizetés átvételkor

Cím: Miskolc, Széchenyi István út 107. (H-P: 9.00-17:30, Szo: 9.00-13.00), fizetés átvételkor készpénzben, vagy bankkártyával üzletünkben. A visszaigazolásban szereplő státusz (Feldolgozás alatt) jelentése: A rendelés beérkezett hozzánk, feldolgozása hamarosan elkezdődik! (Munkanapokon, a 15.00 után beérkezett rendeléseket a rendelés beérkezését követő munkanapon tudjuk feldolgozni! A munkaszüneti napokon beérkezett rendelések az azt követő munkanapon kerülnek feldolgozásra!)

Kiszállítás futárszolgálattal, előreutalásos fizetés

Házhozszállítás a megadott szállításai címre futárszolgálattal, fizetés előreutalással (feldolgozás után küldjük az utaláshoz szükséges adatokat). A visszaigazolásban szereplő státusz (Feldolgozás alatt) jelentése: A rendelés beérkezett hozzánk, feldolgozása hamarosan elkezdődik! (Munkanapokon, a 15.00 után beérkezett rendeléseket a rendelés beérkezését követő munkanapon tudjuk feldolgozni! A munkaszüneti napokon beérkezett rendelések az azt követő munkanapon kerülnek feldolgozásra!)

Átvétel Postaponton, előreutalásos fizetés

Átvétel a megjelölt Postaponton (MOL, COOP, Csomagautomata, Posta), fizetés előreutalással (feldolgozás után küldjük az utaláshoz szükséges adatokat). A visszaigazolásban szereplő státusz (Feldolgozás alatt) jelentése: A rendelés beérkezett hozzánk, feldolgozása hamarosan elkezdődik! (Munkanapokon, a 15.00 után beérkezett rendeléseket a rendelés beérkezését követő munkanapon tudjuk feldolgozni! A munkaszüneti napokon beérkezett rendelések az azt követő munkanapon kerülnek feldolgozásra!)

Személyes átvétel Géniusz Könyváruház, előreutalásos fizetés

Cím: Miskolc, Széchenyi István út 107. (H-P: 9.00-17:30, Szo: 9.00-13.00), fizetés előreutalással (feldolgozás után küldjük az utaláshoz szükséges adatokat). A visszaigazolásban szereplő státusz (Feldolgozás alatt) jelentése: A rendelés beérkezett hozzánk, feldolgozása hamarosan elkezdődik! (Munkanapokon, a 15.00 után beérkezett rendeléseket a rendelés beérkezését követő munkanapon tudjuk feldolgozni! A munkaszüneti napokon beérkezett rendelések az azt követő munkanapon kerülnek feldolgozásra!)

Matematika 7 osztály tankönyv megoldások csahóczi erzsébet

Taneszközök

Matematika 7.

AP-070807 boritó kép

Általános információk

Tananyagfejlesztők: Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva
Műfaj: tankönyv
Iskolatípus: felső tagozat
Évfolyam: 7. évfolyam
Tantárgy: matematika
Tankönyvjegyzék: Tankönyvjegyzéken nem szereplő online tananyag
Nat: Nat 2012

Az Oktatási Hivatal által kiadott, tankönyvjegyzéken szereplő tankönyveket a Könyvtárellátónál vásárolhatják meg (www.kello.hu).

Oktatási Hivatal

1074 Budapest, Rákóczi út 70-72.
Hétfőtől péntekig 9:00 – 16:00
Tel.: (+36) 1-460-1873
Tel.: (+36) 30-500-8147
tankonyv@oh.gov.hu

Vásárlás

KELLO TANKÖNYVCENTRUM
1085 Budapest, József Krt. 63.
Tel.: (+36-1) 237-6989
kello.hu

Matematika kategória termékei

Matematika 5. Képességfejlesztő feladatgyűjtemény

Megoldások a 12506/1 Matematika tankönyvhöz

tantárgy:Matematika évfolyam:9. A tankönyvjegyzéken nem szerepel. A szerző segítséget szeretne nyújtani az önállóan tanulni akaró tanulók.

Matematika témazáró feladatlapok 9-10.

Geometria feladatok gyűjteménye II. NT-10127/II

szerzo:Dr. Soós Paula – Czapáry Endre tantárgy:Matematika évfolyam:9. A tankönyvjegyzéken szerepel.

Zrínyi 2011-A 2011. évi Zrínyi Ilona Matematikaverseny.

Egységes érettségi feladatgyűjtemény.Matemat., megoldások III. KT-0324

Szerzők:Hortobágyi – Marosvári – Nagyné – Pálmay – Pósfai – Siposs – Vancsó – Windisch évfolyam:9.-12.

Ki(s)számoló nagyoknak 6.o. – NT-80221/1

A Ki(s)számoló sorozatnak ez a kötete a 6.osztályosoknak nyújt segítséget a képletek közötti eligazodásban, az egyre bonyolultabbá váló s.

Készüljünk az érettségire matematikából – Emelt szinten

szerzők: Lukács Judit, Vancsó Ödön, Székely Péter, Bárd Ágnes, Frigyesi Miklós, Major Éva Érettségire készül? Emelt szinten? Emelt óras.

Számok világa 4. Munkafüzet NT-L 7/M

tantárgy:Matematika évfolyam:7. A tankönyvjegyzéken szerepel.

Tudásszintmérő feladatlapok MATEMATIKA 5/B.

Matematika – Fogalmak, definíciók, tételek

Könyvünk a középiskolás tananyag rendszerezett összefoglalását tartalmazza, kibővítva a főiskolák első féléves anyagával. A könyvben való.

Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika

Szerzők:Hortobágyi – Marosvári – Nagyné – Pálmay – Pósfai – Siposs – Vancsó – Windisch évfolyam:9.-12.

Matematika tankönyv 6. o. II. kötet

Szerző: Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

Matematika feladatgyüjtemény – A középiskolák 10. évfolyama számára

Matematika gyakorló és érettségire felkészítő FGY I. NT- 16125/I

MATEMATIKA 7-8. FELADATGYŰJTEMÉNY;Általános iskola 7-8 CA 0703

Szerzők:Andrási Tiborné, Czeglédy István;Czeglédy Istvánné, Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Sümegi Lászlóné, Szalontai Tibor A hetedikesekn.

Egységes érettségei feladatgyűjtemény – Matematika megoldások I.

Matematika feladatgyűjtemény II. NT-13135/II

tantárgy:Matematika évfolyam:9. A tankönyvjegyzéken szerepel.

Matematika 8.

Ki(s)számoló nagyoknak 5.o. NT-80203

sorozat:Ki(s)számoló tantárgy:Matematika évfolyam:5. A tankönyvjegyzéken nem szerepel. A Ki(s)számoló-sorozat az 1–6. osztályos tanulók .

Matematika feladatgyűjt a középiskolák 11-12. évf. számára.14311/Fgy

Az emelt szintű kiegészítő tanagyaghoz

MATEMATIKA 7. MK-5501301

A matematika tanítása nagyon fontos tanulóink képességfejlesztésében. Olyan készségek, képességek fejlődnek általa, amelyek meghatározóak.

Matematika a középiskolák 11. évfolyama számára

Matematika tankönyv 6. o. II. kötet AP-656

szerző:Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

Próbaérettségi nagykönyv – Matematika – Kétszintű érettségi

Mennyiségtan (Algebra-Geometria) a gimnáziumok IV. osztálya számára

Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából NT-81307

tantárgy:Matematika évfolyam:9. A tankönyvjegyzéken szerepel. Az Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából című példatár 4193 darab fe.

Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából. Megoldás NT-81367/I

tantárgy:Matematika évfolyam:9. A tankönyvjegyzéken nem szerepel. A 81307 raktári számú Matematikai összefoglaló feladatgyűjtemény felada.

Matematika megoldások I-III. – KT 0324 – Egységes érettségi feladatgy

Mennyiségtan a leánygimnáziumok és leányliceumok II-III,. osztálya számára

Erdélyi és nemzetközi magyar matematikai versenyek

Geometria – A középiskolák felső osztályai számára

Magánórák geometriából

Matematikai feladatgyűjtemény az ált.isk. 8. osztálya számára

Egységes érettségi feladatgyűjtemény: Matematika I.

Játsszunk matamatikát! 2.

Alapösszefüggések Matematikából – emelt szint

Matematika a gimnáziumok 11. évfolyama számára NT-16341

szerzők: Hajnal Imre – Számadó László – Békéssy Szilvia tantárgy:Matematika évfolyam:11. A tankönyvjegyzéken szerepel. Az átdolgozott tan.

MATEMATIKA 6.

Matematika-ennyit kellene tudnod

Ebben a könyvben a középiskolában oktatott teljes matematikai ismeretanyag tömör összefoglalását kívántuk közreadni.

Matematika 4. második kötet

Matematika a középiskolák 10. évfolyama számára II.

Matematika a középiskolák 9. évfolyama számára I-II.

zrínyi ilona matematikaverseny feladatai 1992-2000 7. osztály

Matematika – A matematikai osztályok számára III.kötet (10320/K)

Próbaérettségi Közép szint – Matematika Szekció – Studium Generale

Matematika 7. – Gyakorló

Középiskolai matematikai és fizikai lapok VII. évfolyam 1-10. szám (egybekötve)

Matematika – A gimnáziumok III. osztálya számára

Egyenletek I-II.

I. Megoldási módszerek II. Feladatgyűjtemény

AZ érthető matematika 12.

Matematika 5. – Általános iskola 5.

Matematika 7. – Együtthaladó

Egyedül a matek felvételin – Felkészítő feladatok, felvételi feladatsorok 1991-2001-ig

Matematika II. – dolgozók gimnáziuma

Matematika 5.

Számtan és mértan (az általános iskolák VII. osztálya számára)

Középiskolai mathematikai lapok IV. évfolyam 1-10. szám (egybekötve)

Matematika érettségi feladatsor-gyűjtemény – emelt szinten

Elérhetőségek

Cégünk

Mit kínálunk

Így vásárolhatsz

Közösségi média

Oldalaink bármely tartalmi és grafikai elemének felhasználásához a Libri-Bookline Zrt. előzetes írásbeli engedélye szükséges.
SSL tanúsítvány

070831 Matematika 7 Kk I.kotet

A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva, 2009 Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18. Tel.: 95/525-000; fax: 95/525-014 E-mail: [email protected] Internet: www.apaczai.hu Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 29,87 A/5 ív Tömeg: 566 g

TEX 2014. június 2. –20:40 (2. lap/2. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-00)

Elsz „Ne vágd el azt, amit kibogozhatsz!” (Joubert, 1754–1824, ﬁlozófus)

ELŐSZÓ Kedves Kollégák! Könyvünket Joubert szellemében írtuk, vagyis szeretnénk, ha tanulóink gondolkozva, felfedező úton jutnának el a matematikai ismeretekhez. Mi, a szerzők, legalább 20 éve tanítjuk ezt a korosztályt (is). Azt tapasztaltuk, hogy a játékos felfedeztetés nagy öröm a gyerekek számára, és nincs nála hatékonyabb módszer. Tudjuk persze, hogy a tanulásnak vannak rögös és fárasztó periódusai is. Nagy hangsúlyt fektettünk a matematikai fogalmak szemléletes kialakítására. A tankönyv szöveges része többek között ehhez kíván segítséget nyújtani. Feladataink egy része a legalapvetőbb fogalmak és eljárások begyakoroltatását szolgálja. A feladatokat játékos ötletekkel próbáltuk érdekessé tenni, s ezzel motiválni a gyerekeket az elvégzésükre.

Könyvünk szerkezetéről Minden fejezet 1–3 órás egységekből áll, amelyeket feladatanyag követ. Itt a legfontosabb feladattípusokból néhányat gyűjtöttünk össze. A kevesebb gondolkodást igénylő feladatokból legalább kettő van, amelyekből az egyiket házi feladatnak adhatjuk. A feladatsorok végén nehezebb feladatok következnek, amelyeket a gyorsabban haladó, jobb képességű osztályoknak szántunk, illetve vegyes összetételű osztályoknál a diﬀerenciálást segítik. A fejtörőket a legügyesebb gyerekeknek adhatjuk. A feladatsorokat bővíti a feladatgyűjtemény a könyv végén. A tankönyv fejezeteit tájékozódó felmérő zárja (megoldásuk a kézikönyvben).

A feladatgyűjtemény szerkezetéről A feladatgyűjtemény felépítése, címei pontosan követik a tankönyvét, feladatait nem kell – nem is lehet – végig feldolgozni. Sokaknak nem lesz szüksége a legegyszerűbb gyakorló feladatokra, másoknak pedig a nehezebb, összetettebb feladatokat nem kell megoldaniuk.

A kézikönyv szerkezetéről A kollégák munkáját szeretnénk megkönnyíteni a kézikönyvvel. A kézikönyv szerkezetében követi a tankönyv szerkezetét. Tartalmazza a tananyag beosztását az adott tanévre, majd minden fejezet óraszámjavaslattal kezdődik. Leírtuk, hogy milyen korábbi ismeretekre építünk, meddig kell eljutni az adott fejezet feldolgozása során, és mi fogja követni a későbbiekben ezt a témát. Megjelöltük az adott tananyaghoz kapcsolódó feladatok sorszámát a tankönyvből és a feladatgyűjteményből. A feladatok eredményei, illetve azok megoldásai közvetlenül a példák után következnek, a nehezebb feladatoknál azok továbbfejlesztési lehetőségére, általánosítására is utaltunk, remélve, hogy ezzel időt takarítunk meg az órákra való felkészüléskor. A módszertani útmutatókat és a tankönyv oldalszámait szürke háttérbe helyeztük el. A kézikönyv tartalmaz 4 értékelő dolgozatot (A és B csoport) megoldással és pontozással együtt.

TEX 2014. június 3. –18:39 (1. lap/3. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Elsz Kiegészítő segédletek A tankönyvcsaládhoz készült tanterv és évfolyamonként megadott tanmenet letölthető a kiadó honlapjáról: www.apaczai.hu. A Matematika felmérőfüzet 7. évfolyam (AP 070840) című kiadvány minden témához röpdolgozatokat (A és B csoport), valamint értékelő felmérőket tartalmaz (A és B csoport a kétféle óraszámban tanulók részére). Az egyes fejezeteket TSZAM (továbbhaladáshoz szükséges alapismeretek mérése) előzi meg. Minden felmérő megoldása és pontozási útmutatója megtalálható a tanári példányban. Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, azt juttassa el az Apáczai Kiadónak. Eredményes munkát kívánunk: a Szerzők

TEX 2014. június 3. –18:39 (2. lap/4. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Kerettanterv KERETTANTERV 2007. BEVEZETŐ A matematika kerettanterv az Oktatási és Kulturális Minisztérium által kiadott hivatalos Nemzeti alaptanterv (NAT) 2007. alapelvei szerint készült. A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet az alapozó szakasz (1–6. évfolyam) keretén belül az 5–6. évfolyamon a nem szakrendszerű oktatás keretében a felzárkóztatásra, amely hozzájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez. Továbbá a kerettanterv lehetőséget biztosít a tehetséggondozásra is mind a négy évfolyamon. Így jobban biztosítható a tanulók egyéni képességeinek fejlesztése. Ezért olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatás minőségét és hatékonyságát fontosnak tartják. Az óraszámok az Oktatási Törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak. Évfolyam Heti óraszám

Éves óraszám Nem szakrendszerű oktatás óraszáma

Célok és feladatok Az általános iskola 5–8. évfolyamán a matematikaoktatás megismerteti a tanulókat az őket körülvevő világ konkrét mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségüket, és az életkoruknak megfelelő szinten biztosítja a többi tantárgy tanulásához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás képességének folyamatos fejlesztése és a kompetenciák kialakítása. Az általános iskola 5–8. évfolyama egységes rendszert alkot, de – igazodva a gyermeki gondolkodás fejlődéséhez, az életkori sajátosságokhoz – két, pedagógiailag elkülöníthető periódusra tagolódik. Az alapozó szakasz utolsó két évében a tanulók gondolkodása erősen kötődik az érzékelés útján szerzett tapasztalatokhoz, ezért itt az integratív-képi gondolkodás fejlesztése a cél. A 7–8. évfolyamon elkezdődik az elvont fogalmi és elemző gondolkodás kialakítása is. Ez a tanterv a NAT 2007-ben megfogalmazott fejlesztési célokhoz és a kijelölt legfőbb kompetenciaterületekhez kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazza a fejlesztésközpontúságot szem előtt tartva. A fejlesztő munkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kell beépíteni. Ezért alapvető fontosságú, hogy az alapozó szakaszban a tevékenységek részletesen legyenek kifejtve, így például a mérések, a fogalomalkotást előkészítő játékok, az alapszerkesztések és a geometriai transzformációk tulajdonságainak megtapasztalása. Ezeket kiegészítik a tananyag feldolgozásában megjelenő munkaformák: a pár-, illetve csoportmunka, valamint a projektfeladatok. Természetesen az önálló feladatmegoldást, a diﬀerenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk. A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel az elektronikus eszközökre, azon belül az oktatási célú weblapokra az interneten. Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szóban és írásban; mások gondolatainak megértése, a vitákban érvek és ellenérvek logikus használata.

TEX 2014. június 3. –18:39 (3. lap/5. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Kerettanterv Az általános iskola felső tagozatán egyre nagyobb szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése, a problémamegoldások mellett a felvetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése, a döntések igazolása. A tanulók legnagyobb része ebben a korban jut el a konkrét gondolkodástól az absztrahálásig. Ezért a legfontosabb cél a konstruktív gondolkodás kialakítása, amelyet a tanulók életkorának megfelelően manipulatív tevékenységek elvégeztetésével, az összefüggések önálló felfedeztetésével érhetünk el. Az önellenőrzéssel növeljük a tanulók önbizalmát, a változatos módszerekkel, a korosztálynak megfelelő játékos formákkal, kis lépéseken keresztül, természetes módon hangoljuk őket a matematika tudományának befogadására. Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő matematikai modellt, azokat helyesen tudják alkalmazni. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetni a szövegértő, elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is el kell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulók alkalmazni tudják más műveltségi területeken is. Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerének alkalmazását. Az általános iskolai matematikaoktatás alapvető célja, hogy a megszerzett tudás az élet minden területén, a gyakorlati problémák megoldásában is alkalmazható legyen.

A fejlesztési célok és kompetenciák megjelenésének formái a matematika műveltségterületen 1. Tájékozódás • Tájékozódás a térben • Tájékozódás az időben • Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban 2. Megismerés • Tapasztalatszerzés • Képzelet • Emlékezés • Gondolkodás • Ismeretek rendszerezése • Ismerethordozók használata 3. Ismeretek alkalmazása 4. Problémakezelés és -megoldás 5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás 6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek • Kommunikáció • Együttműködés • Motiváltság • Önismeret, önértékelés, reﬂektálás, önszabályozás 7. A matematika épülésének elvei

TEX 2014. június 3. –18:39 (4. lap/6. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Kerettanterv Az általános iskola 5–8. évfolyamán a matematika műveltségterület feladata • A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése: – számlálás, számolás – mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés – becslés, mérés – problémamegoldás, metakogníció – rendszerezés, kombinativitás – deduktív és induktív következtetés • A tanulók értelmi képességeinek – logikai készségek, problémamegoldó, helyzetfelismerő képességek – folyamatos fejlesztése • A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése • A tanulók önellenőrzésének fejlesztése • A gyors és helyes döntés képességének kialakítása • A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása, megoldása • A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése • A kreatív gondolkodás fejlesztése • A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása • A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben

A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása A tanulók – a számítások, mérések előtt becsléseket végezzenek, – a feladatmegoldások helyességét ellenőrizzék, – a feladatok megoldása előtt megoldási tervet készítsenek, – a geometriai szerkesztések elkészítése előtt vázlatrajzot készítsenek, – a szöveges feladatok megoldásánál a szöveget pontosan értelmezzék, és a választ, valamint az ellenőrzést szabatosan írják le! A tanulók – gondolataikat pontosan, életkoruknak megfelelően a szaknyelv használatával tudják elmondani, – a számolási készség kialakulása után használják a zsebszámológépet, – szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat, – tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében, – ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket! A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló és diszkussziós készségét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erre irányul a matematikaoktatásban a sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés, a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldások vizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, és a tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertani megoldás. Kiemelt cél a matematikai kompetenciák megszerzése, amelyeket új módszerek bevezetésével lehet elősegíteni. Ilyenek például a csoport-, illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka

TEX 2014. június 3. –18:39 (5. lap/7. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Kerettanterv során ki kell alakítani a tanulók közötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni és a közösségi felelősségvállalást. A közös eredmény érdekében előtérbe kerül egymás személyének tiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatban könnyebben fejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben kialakul az intenzív érdeklődés és a kíváncsiság, ami elősegíti a hatékonyabb tanulást. „A matematikai kompetencia: az alapműveletek és arányképzés alkalmazásának képessége a mindennapok problémáinak megoldása érdekében, a fejben és papíron végzett számítások során. A hangsúly a folyamaton és a tevékenységen, valamint a tudáson van. A matematikai kompetencia felöleli – eltérő fokban – a matematikai gondolkodásmód alkalmazásának képességét és az erre irányuló hajlamot (logikus és térbeli gondolkodás), valamint az ilyen jellegű megjelenítést (képletek, modellek, szerkezetek, graﬁkonok, táblázatok). A matematikai kompetenciához szükséges tudás magában foglalja a számok, a mértékek és szerkezetek, az alapműveletek és alapvető matematikai fogalmak és koncepciók és azon kérdések megértését, amelyekre a matematika válasszal szolgálhat. Az egyénnek rendelkeznie kell azzal a készséggel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat a mindennapok során, otthon és a munkahelyen, valamint hogy követni és értékelni tudja az érvek láncolatát. Képesnek kell lennie arra, hogy matematikai úton indokoljon, megértse a matematikai bizonyítást és a matematika nyelvén kommunikáljon, valamint hogy megfelelő segédeszközöket is alkalmazzon. A matematika terén a pozitív hozzáállás az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok okát és azok érvényességét keressük.” (Kulcskompetenciák az élethosszig tartó tanuláshoz – Európai referenciakeret anyagából)

Évi óraszám a hetedik évfolyamon: 111 + 37 óra GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Pozitív motiváció kialakítása

Matematikatörténeti érdekességek a tananyaghoz kapcsolódóan

Kommunikációs készségek fejlesztése

Adathalmaz rendezése. Graﬁkonok értelmezése. A logikai szita alkalmazása. A skatulyaelv megismerése

A nyelv logikai elemeinek helyes használata

Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor”, „nem”, „van olyan”, „minden” kifejezések jelentése. Egyszerű állítások átfogalmazása, cáfolata konkrét példákban. Fogalmak, állítások logikai kapcsolata

A továbbhaladás feltételei

Gondolatok világos, érthető szóbeli és írásbeli közlése. Egyszerű állítások igazságának eldöntése

TEX 2014. június 3. –18:39 (6. lap/8. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Fejlesztési feladatok, tevékenységek

A továbbhaladás feltételei

A halmazszemlélet fejlesztése. Példák konkrét halmazokra. Sorbarendezés, kiválasztás legSzövegelemzés, lefordítás a ma- Unió, metszet, részhalmaz, kie- feljebb négy elem esetén tematika nyelvére, ellenőrzés gészítő halmaz. Szöveges feladatok megoldása A kombinatorikus gondolkodás Sorbarendezés ismétléssel, fejlesztése vagy-vagy eset vizsgálata SZÁMTAN, ALGEBRA Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Műveletek gyakorlása a racio- Műveletek a racionális számok nális számkörben. Zsebszámoló- körében gép használata

A továbbhaladás feltételei A műveleti sorrend biztos alkalmazása

A bizonyítási igény fejlesztése

A hatványozás fogalma pozitív 10 pozitív egész kitevőjű hategész kitevőre. A hatványozás ványai, 10-nél nagyobb számok azonosságai konkrét példákban. normálalakja Normálalak

A következtetési készség fejlesztése összetettebb feladatokban

Arány, aránypár, arányos osztás. Arányossági összefüggések gyakorlati esetekben. Százalékszámítási és egyszerű kamatszámítási feladatok

Az egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása konkrét feladatokban. Számolás aránypárral. Százalékos feladatok megoldása

Matematikatörténeti érdekességek megismerése

Prímtényezős felbontás. Két szám legnagyobb közös osztója, legkisebb közös többszöröse. Oszthatósági szabályok (3-mal, 9-cel, 8-cal, 125-tel, 6-tal)

Osztó, többszörös. Két szám közös osztója, közös többszöröse. Ezek alkalmazása a törtekkel végzendő műveleteknél

A ﬁzikában tanult képletek használata. A mérlegelv alkalmazása

Az algebrai egész kifejezés fogalma. Egynemű kifejezések. Algebrai egész kifejezések átalakítása, helyettesítési értékének kiszámítása. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása következtetéssel vagy mérlegelvvel

Elsőfokú egyenletek megoldása

TEX 2014. június 3. –18:39 (7. lap/9. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Fejlesztési feladatok, tevékenységek

A mindennapi élet problémáinak, összefüggéseinek leírása a matematika nyelvén

Szöveges feladatok megoldása

A továbbhaladás feltételei Egyszerűbb szöveges feladatok megoldása

ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Táblázatok, graﬁkonok készítése konkrét hozzárendelések esetén

Két halmaz elemei közötti hozzárendelés konkrét esetekben. Egyértelmű hozzárendelések ábrázolása a derékszögű koordináta-rendszerben.

A továbbhaladás feltételei Hozzárendelési utasítások végrehajtása

Lineáris függvények: elsőfokú Lineáris függvények ábrázolása és konstans függvények. Péltáblázattal vagy anélkül dák nem lineáris függvényekre: 1 x → x Számolási készség fejlesztése a Elsőfokú egyismeretlenes racionális számkörben egyenlet graﬁkus megoldása. Sorozatok vizsgálata, számtani sorozat

Sorozatok folytatása adott szabály szerint

GEOMETRIA Fejlesztési feladatok, tevékenységek

A továbbhaladás feltételei

Fejlesztés a gyakorlati mérések Mértékegységek átváltása konk- Az alapvető mértékegységek és mértékegységváltások helyes rét gyakorlati példák kapcsán biztos ismerete (szög, hosszúelvégzésében ság, terület, térfogat, idő) A transzformációs szemlélet továbbfejlesztése

Középpontos tükrözés. Középpontosan szimmetrikus alakzatok a síkban

Adott alakzat középpontosan szimmetrikus képének megszerkesztése

A paralelogramma és tulajdon- A paralelogrammára vonatkozó ságai. Szögpárok (egyállású, ismeretek. Szögfelező szerkeszváltó-, kiegészítő szögek). Sza- tése bályos sokszögek

TEX 2014. június 3. –18:39 (8. lap/10. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Fejlesztési feladatok, tevékenységek

A továbbhaladás feltételei

A háromszög belső és külső szögeinek összege. A négyszögek belső szögeinek összege

Háromszögek és konvex négyszögek belső szögeinek összege

Megoldási terv készítése. Eszté- Háromszög szerkesztése alapetikai nevelés setekben. A háromszögek egybevágósági alapesetei

Egyszerű szerkesztési feladatok elvégzése

A bizonyítási igény felkeltése

Térszemlélet fejlesztése. A valóság tárgyainak modellezése

Egyenes hasábok, forgáshenger Háromszög és négyszög alapú hálója, felszíne, térfogata egyenes hasábok valamint a forgáshenger hálójának ismerete

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Valószínűségi és statisztikai szemlélet fejlesztése

Valószínűségi kísérletek a teljes eseményrendszerben

Statisztikai adatok elemzése, értelmezése

Adatok gyűjtése, rendszerezése, adatsokaság szemléltetése, graﬁkonok készítése

A továbbhaladás feltételei

Oszlop- és kördiagramok értelmezése és készítése

TEX 2014. június 3. –18:39 (9. lap/11. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Kerettanterv 7. évfolyam tananyagbeosztása Évi óraszám: 111 + 37 Szabadon felhasználható óra: 12 I. kötet

Törd a fejed! (0 + 5 óra) Hány eset van: sorbarendezés. Logikai szita egyszerű esetekre. Skatulyaelv. Valószínűség-számítási feladatok.

Számelmélet (9 + 3 óra) Az oszthatóság fogalma. Oszthatósági szabályok. Prímszámok, összetett számok. Prímtényezős felbontás.

Számok és műveletek (13 + 4 óra) Hatványozás, térfogat-mértékegységek, normálalak. Zsebszámológép használata. A számok különböző alakjai. Műveletek törtekkel.

Sokszögek és a kör (14 + 5 óra) Háromszögek szögei, nevezetes vonalai. A háromszög területe. Belső és külső szögek összege. A speciális négyszögek kerülete, területe. Szabályos sokszögek. A kör kerülete, területe.

Középpontos tükrözés (12 + 4 óra) Középpontos tükrözés. Mozgások a síkon. A paralelogramma. A szabályos sokszögek. Az arány fogalma, arányos következtetések (7 + 4 óra) Arány, aránypár. Arányos osztás. Egyenes, fordított arányosság. Hozzárendelések, függvények, sorozatok (13 + 5 óra) Halmazok közötti hozzárendelések. Graﬁkonok és függvények. Lineáris függvény graﬁkonja. Sorozatok, számtani sorozat.

Algebra (15 + 4 óra) Képletek, kifejezések. Helyettesítési érték. Egyenlet megoldása mérlegelvvel. Szöveges feladatok. Hasábok, hengerek (8 + 3 óra) A hasábok jellemzése. A hasáb hálója, felszíne, térfogata. A forgáshenger jellemzése. A forgáshenger hálója, felszíne, térfogata.

TEX 2014. június 3. –18:39 (10. lap/12. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Taneszközjavaslatok A tanterv alkalmazható bármilyen általános iskolai tankönyvcsalád mellett, de elsősorban az Apáczai Kiadó által megjelentetett Matematika 5. – Matematika 8. tankönyvek igazodnak hozzá, melyeknek szerzői: Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva. A könyvsorozat minden tanévre két kötetből áll. A kötetek külön-külön egy félév tananyagát és a hozzájuk csatlakozó feladatgyűjteményt tartalmazzák. Ezeken kívül az egyes kötetekhez tanári kézikönyv is tartozik, mely változatos didakti-

kai ötleteket, részletes feladatmegoldásokat, tanévenként négy darab, 100 pontos értékelő felmérőt, továbbá játék- és eszközleírásokat tartalmaz. A kiadó honlapjáról minden évfolyam számára letölthető a tankönyvsorozathoz illeszkedő részletes tanmenet. Rendszeresen használható eszközök – írásvetítő, – mágnestábla, – négyzethálós tábla, – szerkesztőeszközök, – zsebszámológép, – számítógép, projektor (oktatóprogramokkal, a matematika oktatását segítő szoftverekkel, internet adta lehetőségekkel).

Témánként ajánlott eszközök Algebra

Helyiérték-táblázat Demonstrációs számegyenes Számkártyák Készpénzcédulák Adósságcédulák Hőmérőmodell Színesrúd-készlet Prímszámok táblázata Prímtéglák Pozitív egész számok 1-től 100-ig Kétkarú mérleg

Földgömb Sakktábla Vasúti menetrend Graﬁkonok fénymásolatai fólián Milliméterpapír

Síkgeometriai modellezőkészlet Egységkockák 1 dm3 -es kocka 1 literes mérőedény Mértani testek, élvázas testek, kiteríthető és összeállítható testek Térbeli építőelemek Szívószál, hurkapálca Olló, kartonpapír, ragasztó Fóliák Milliméterpapír Másolópapír

Dobókockák, dobótestek Pénzérmék Urna, számkártyák, számozott golyók Statisztikai zsebkönyv Fóliák Graﬁkonok, táblázatok mindenhonnan Galton-deszka

TEX 2014. június 3. –18:39 (11. lap/13. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-01)

Trd a fejed! Tk.: 4. oldal

TÖRD A FEJED! Ez a bevezetés a ráhangolódást, a gondolkodás felfrissítését szolgálja. A feladatok szövege, tartalma még emlékeztet a nyárra, a játékokra, a csónakázásra, a kikapcsolódásra; ugyanakkor szerepel a feladatokban az órarendi kérdés, az új tankönyvek elrendezése, az iskolai sportolás és tanulás. A feladatok megoldása nem kötődik semmilyen konkrét tananyaghoz, megoldhatók a „józan eszünk” használatával. Ez a tréning elősegíti a tanulók rugalmas gondolkodásának fejlődését, ezért semmiképp ne mondjunk le róla! Ennek a néhány órának lényegesen több haszna lesz mindnyájunk számára, mint az ún. „év eleji tájékozódó felmérőnek” arról, hogy vajon mit is felejtettek el a tanulók a nyáron az eddig tanultakból. A feladatok négy különböző csoportra oszthatók. Vannak köztük olyanok is, amelyek semmilyen „rekeszbe” nem rakhatók be, egyszerűen csak érdekesek, olyan igazi fejtörők. I. Skatulyaelv II. Logikai szita III. Vegyes kombinatorika IV. Egyszerű valószínűség-számítás V. Egyéb érdekességek Mindegyik típusnál az az alapvető igény, hogy ne fogalmazzunk meg szabályokat, ne tanítsunk képleteket! A tanulók is tapasztalják meg, hogy többre mennek az eszükkel, mint adott sémákba való behelyettesítéssel. Ezzel a rugalmasabb életvitelre, a változásokhoz való alkalmazkodásra is neveljük őket. Ha nincs ötletük, adjunk nekik segítséget ábrákkal, táblázatokkal, vagy fogalmazzuk meg a problémát kevesebb elem használatával stb.! A két kidolgozott példa is adhat támpontokat. Egyébként itt nem baj, ha valaki lemarad, hiszen az nem hátráltatja őt a matematika további tanulásában. A heti 3 órás tantervvel dolgozó osztályok számára az évi órabeosztás szerint erre a bevezetőre mindössze 4 órát fordítunk. Ezt felhasználhatjuk úgy, hogy óránként váltunk a feladatok négy különböző témája szerint, de dolgozhatunk úgy is, hogy tetszés szerint válogatunk a példákból, a tanulók kívánságait is követve. Feladatok Tk.: 4–9. oldal 1–31. feladatok I. A skatulyaelvet a legnehezebb versenyfeladatok megoldásánál is alkalmazzuk. Itt a legegyszerűbb, mindenki számára érthető formájával ismerkedünk meg. A problémakör megvilágítása érdekében mondjuk el, hogy mindig a legeslegrosszabb esetre kell gondolni, ahogyan ezt Murphy törvénykönyve is megfogalmazza: „Előbb-utóbb biztosan fellép a körülmények lehető legrosszabb elrendeződése, ezért bármely rendszert úgy kell megtervezni, hogy a körülmények lehető legrosszabb elrendeződését is kibírja.” Feladatok Tk.: 4–5. oldalon 1–5. feladatok

TEX 2014. június 3. –18:39 (1. lap/14. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-1)

Trd a fejed! Tk.: 4–5. oldal 1. Egy négylakásos társasházba az újságkihordó ﬁú egyszerre 5 különböző újságot visz: Lakáskultúrát, Fülest, Nők Lapját, Élet és Tudományt és Számítástechnikát. Mutasd meg, hogy legalább egy lakásba legalább két újságot visz! 5-féle újság van és 4 lakás. Ha mindegyik lakásba egy újságot visz a kihordó ﬁú, akkor 1 újság kimarad. Mivel minden újságot ki kell kézbesíteni a 4 lakás valamelyikébe, ezért legalább 1 lakásba legalább 2 újságot kell adni.

2. Egy zöldségbolt ládájában 20 fürt fehér, 8 fürt vörös és 12 fürt kék szőlő van. Az eladó nem néz oda, miközben szedi a zacskóba a szőlőt. Hány fürt szőlőt kell kivennie a ládából, hogy a zacskóban biztosan legyen a) 1 fürt fehér, 8 + 12 + 1 = 21 b) 1 fürt vörös, 20 + 12 + 1 = 33 c) 1 fürt kék szőlő? 20 + 8 + 1 = 29 3. A kézművesszakkörön a gyöngyfűzéshez a tanárnő minden gyereknek elkészített egy zacskó gyöngyöt, amelybe 20 piros, 16 kék, 25 sárga, 15 lila és 24 zöld színű gyöngyöt tett. Ha a zacskóba nem lehet belelátni, legalább hány gyöngyöt kell kivenni ahhoz, hogy köztük biztosan legyen a) piros vagy kék, 25 + 15 + 24 + 1 = 65 b) piros és kék, 64 + 20 + 1 = 85 c) két különböző szín, 25 + 1 = 26 d) valamelyik színből legalább három, 5 · 2 + 1 = 11 e) az összes sárga, mind a 100-at ki kell húzni f) valamelyik színből az összes? 19 + 15 + 24 + 14 + 23 + 1 = 96 4. Legalább hányan járnak abba a 7. osztályba, amelyben biztosan van két olyan gyerek, akinek ugyanannyi foga van? (Egy felnőtt embernek 32 foga van, ha már mind a négy bölcsességfoga kinőtt, egy 13 éves gyereknek tehát maximum 28 foga van. Azt is feltételezzük, hogy nincs köztük fogatlan tanuló.) Legalább 29-en járnak az osztályba. 5. Legalább hány embernek kell lenni abban a társaságban, amelyben biztosan találhatunk kettő olyat, akinek a születésnapja a) ugyanarra a betűre végződő hónapban van, végződések: 6 db r, 6 db s, legalább 3 fős a társaság. b) ugyanazzal a betűvel kezdődő hónapban van? kezdőbetűk között 9 különböző betű van, legalább 9 + 1 = 10 fős a társaság.

II. A logikai szitát bemutató feladatok előtt emlékeztessük a tanulókat arra, hogy már alsó tagozatban is rajzoltak halmazábrákat és megszámolták különböző halmazok elemeit! Foglalkoztak a halmazok közös részébe, illetve uniójába tartozó elemekkel. A logikai készlet (színes háromszögek, négyzetek, körök) éppen ilyen problémák elemzését szolgálta. Először adjunk egyszerű, a környezetünk tárgyait csak kétféle halmazba soroló, kevés elemszámú példákat! Gyakoroljuk szóban a logikai „és”, illetve „vagy” helyes használatát is!

TEX 2014. június 3. –18:39 (2. lap/15. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-1)

Trd a fejed! Tk.: 6. oldal

Feladatok Tk.: 6. oldalon 6–9. feladatok 6. A nyári táborozás egyik napján 22-en fagylaltoztak. A gyerekek egy- vagy kétgombócos fagyit vettek, 18-an csokoládét, 16an epret. Hányan vettek kétgombócos fagylaltot, ha tudjuk, hogy senki nem evett két egyforma gombócot, és mindenki csokoládé- és eperfagylalt közül választott.

A halmazábrába a csokoládé- vagy az eperfagylaltot választó gyerekek számát írjuk. Összesen 18 + 16 = 34 gombócot szolgáltak ki a cukrászdában, ami 34 − 22 = 12-vel több a gyerekek számánál. Ez azt jelenti, hogy 12-en kétgombócos fagylaltot vettek, azaz a két halmaz metszetébe 12-t írunk. Az egygombócos, csak csokoládét fogyasztók számát a 18 − 12 = 6 adja. Hasonlóan kapjuk a csak egygombócos eperfagyisok számát: 16 − 12 = 4. Így a fagylaltozó gyerekek valóban 22-en vannak, mert 6 + 12 + 4 = 22.

7. Megkérdeztük a 7. osztály minden tanulóját arról, ki szereti a tökfőzeléket, és ki a spenótot. A következő válaszokat kaptuk: 10-en a tökfőzeléket, 11-en a spenótot, 6-an mindkettőt, 13-an egyiket sem szeretik. Hányan járnak az osztályba? Az osztály létszáma 5 + 6 + 4 + 13 = 28.

8. A nyári szünetben a gyerekek a nagymamájuknál (N), vagy valamilyen közösségi táborban (T ), vagy a családdal nyaraltak (C). A halmazábrába a számok az élménybeszámolók alapján kerültek. Töltsd ki a hiányzó adatokat, ha azt is megtudtuk, hogy a nagymamánál 2-vel kevesebben, a családdal pedig 4gyel kevesebben voltak nyaralni, mint ahányan táborban! Hány tanuló volt a nagyinál, és hány a családdal? Hányan nyaraltak összesen? Táborban (T ) 11-en voltak, ezért a nagyinál (N) 9-en, tehát aki csak a nagyinál nyaralt, az 2 fő. Családdal (C) 7-en voltak, tehát aki csak a családjával nyaralt, az 1 fő. Összesen 17-en nyaraltak a felsorolt három lehetőség közül valamelyiken.

9. Egy 40-es létszámú évfolyam 75%-a sportol, a futball- vagy a kosárlabdaedzések valamelyikére jár. A sportolók 70%-a futballozik, 60%-a pedig kosárlabdázik. Hányan látogatják mindkét edzést, és hányan járnak csak az egyik, illetve csak a másik sportfoglalkozásra?

40 fő 75%-a, 30 fő sportol. A 60% + 70% = 130%. Itt 30% többlet jelentkezik, ezért ezt a két halmaz közös részénél kell ﬁgyelembe venni. Az összes sportoló, tehát 30 gyerek 30%-a jár focizni és kosarazni, ami 30 · 0,3 = 9. Mindkét edzésre 9-en járnak. Csak kosárlabdázni is 9-en, csak focizni 12-en járnak.

TEX 2014. június 3. –18:39 (3. lap/16. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-1)

Trd a fejed! Tk.: 7. oldal

III. A kombinatorikai feladatok között a „közismerteken” kívül mindenképp ﬁgyelemre méltó a dominós példa, a titkosírás, az anagramma és a kottafejes feladat. Ennél a bő választéknál mindenképp érvényesülhet a gyerekek kívánsága. Feladatok Tk.: 7–8. oldalon 10–22. feladatok 10. 3 cm-es piros, kék, sárga és zöld szívószálaink vannak, mindegyikből egy. Ezeket cérnával egymáshoz fűzzük. a) Hányféle különböző színsort tudunk készíteni? p

Elsőként bármelyiket választhatjuk a négy közül. Ez 4 eset. Másodszorra már csak három szívószál maradt, ezek bármelyikét választhatjuk. Az első választással együtt ez összesen 4 · 3 eset. Ezt a gondolatmenetet folytatjuk addig, amíg el nem fogy a szívószál. Összesen tehát 4 · 3 · 2 · 1 = 24-féle színsort készíthetünk.

b) Hányféle sor készíthető, ha ugyanezeket egy körbe fűzzük? Ha a szívószálakat körbe rakjuk, lényegtelen, hogy melyik szívószálat választjuk ki elsőként, mivel ugyanazt a körláncot kapjuk, ha egy bizonyos szívószál bárhol is van a körben, de két szomszédja nem változik. Ezért 4·3·2·1 a lehetséges különböző körláncok száma 4-szer kevesebb: = 6-féle. 4 S K Z P Pl.: P

11. Az 1, 2, 3 számokkal készítünk 3×3-as bűvös négyzeteket úgy, hogy soronként és oszloponként egyszer használjuk a számokat. Hányféleképpen tudjuk kitölteni a négyzeteket, ha a számok összege minden sorban, minden oszlopban és minden átlóban 6? (A táblázat rögzített, nem forgatható.) 1 3 2 3 2 1 2 1 3

3 1 2 1 2 3 2 3 1

2 1 3 3 2 1 1 3 2

2 3 1 1 2 3 3 1 2

12. A nyári táborban a gyerekek körjátékot játszanak. Egy nagy kört alkotnak úgy, hogy egymástól egyenlő távol állva, mindenkinek van átellenes párja. (Az átellenes párok a kör egy átmérőjének két végpontjában állnak.) Valamelyik gyerektől 1-es számmal kezdve sorban mindenki kap egy sorszámot. Hányan állnak a körben, ha a 7-es számú gyerekkel átellenben a 19-es sorszámú áll? A 7-essel szemben a 19-es áll, ezért mivel 19 − 7 = 12, és 12 · 2 = 24, a körben 24-en állnak.

13. Hányféleképpen állítható egy körbe 6 gyerek, ha azonosak az olyan körök, ahol az egyes gyerekek jobb oldali és bal oldali szomszédjai változatlanok? Ha a kört A-nál elvágjuk és „kiegyenesítjük”, akkor az A, B, C, D, E, F elemek összes sorrendjét kell összeszámolni. Ez: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720. A

TEX 2014. június 3. –18:39 (4. lap/17. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-1)

Trd a fejed! Tk.: 7. oldal Ha a gyerekek körben állnak, akkor a különböző körök

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 = = 120-féleképpen jöhetnek létre. 6 6

Egy íjászversenyen öt diák jutott a döntőbe. A 10 koncentrikus körből álló céltáblára mindenki két-két lövést adott le. A céltábla köreit 1-től 10-ig számozzák. A verseny érdekessége, hogy mind a tíz lövés beletalált valamelyik körbe, de azonos értékű körbe nem repült két nyílvessző. A körök értékének összege adja a versenyzők pontszámát. a) Hányféleképpen alakulhat az öt versenyző sorrendje, ha nincs holtverseny?

14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Az 5 versenyzőnek annyiféle különböző helyezése lehet, ahányféleképpen az A, B, C, D, E öt különböző elemet sorba tudom rendezni. Ez 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

b) Hányas értékű körbe talált Andor, Bence, Csaba, Dezső és Elek egy-egy lövése, ha – Andor 11 pontot, 11 = 7 + 4 → Andor a 7-es és a 4-es körbe – Bence 4 pontot, 4 = 1 + 3 → Bence az 1-es és a 3-as körbe – Csaba 17 pontot, 17 = 9 + 8 → Csaba a 9-es és a 8-as körbe – Dezső 7 pontot, 7 = 5 + 2 → Dezső az 5-ös és a 2-es körbe – Elek 16 pontot szerzett? 16 = 10 + 6 → Elek a 10-es és a 6-os körbe talált. Mivel 1-től 10-ig minden számot csak egyszer használhatok, a pontok összeadását Bence 4 pontjával kezdem.

15. K, R, É, O, T, A felsorolt betűk egyszeri felhasználásával készíts a) hárombetűs, b) kétbetűs betűsorokat! Hány van összesen az egyikből, illetve a másikból? Ezek között hány értelmes szó van? Három elemből álló betűsorokból 5 · 4 · 3 = 60 különböző van. Ezek közül értelmesek: KÉR, KÉT, TÉR, RÉT, ÉRT, TOR, KOR, TOK Két elemből 5 · 4 = 20 betűsor képezhető. Ezek közül értelmes magyar szó: ÉR, ÉK, OK.

16. Huygens és Wallis a XVII. század két híres matematikusa a következő szabállyal meghatározott titkosírással levelezett. Az üzenetküldő felsorolta, hogy a szövegben az egyes betűkből összesen hány darab szerepel. A küldött betűk mindegyikének felhasználásával a megfejtő felírta az összes lehetséges betűsort, amelyek közül a jelentéssel bíró szöveg jelentette az üzenet megfejtését. Ha ez nem csak egy esetben fordult elő, akkor a szövegkörnyezet döntötte el, melyik a helyes. 3 db L, 1 db A, 1 db Ő, 1 db I

Ezek alapján próbáljuk kitalálni az elrejtett szöveget!

Ha a 6 betű különböző lenne, akkor 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 különböző betűsor lenne, azonban a 3 L betű miatt ezek száma 6-szor kevesebb: 720 : 6 = 120 lesz. A titkosírás megfejtésénél nem a matematikai teljességre törekszünk, hanem a szöveg értelmének megadására, ami ebben az esetben: Ő LILLA vagy LALI LŐ.

Ugyanazokból a betűkből, a betűk más sorrendjével felírt többféle, más jelentésű szó vagy mondat az eredetinek egy-egy anagrammája. Például: Petőﬁ Sándor ⇔ Pesti főnádor vagy Arany János ⇔ Jónás nyara vagy Jókai Mór ⇔ Mai kor jó stb.

TEX 2014. június 3. –18:39 (5. lap/18. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-1)

Trd a fejed! Tk.: 8. oldal Készíts te is néhány anagrammát a neved betűiből! Biztassuk a gyerekeket, hogy ők is készítsenek titkosírást vagy anagrammát! Néhány további érdekes anagramma: Ady Endre ⇔ Nyer Edda

Bajor Gizi ⇔ Igazi bíró

Szép Ernő ⇔ Nép szőre

Tolnay Klári ⇔ Kanári tolla

József Attila ⇔ Józsa ﬁa lett

Salamon Béla ⇔ A méla sablon

17. Egy kerékpárklub belépőkártyáján három számjegyből álló kódszám szerepel. A klub vezetője a kártyák készítésekor babonából a nyolcas számjegyet nem használta. (Nehogy a kerekében „nyolcas” legyen.) Hányféle különböző kódszámú belépőkártya készült így, ha a 000-t is kódszámnak tekintjük? A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 számjegyekből 9 · 9 · 9 = 93 = 729-féle háromjegyű számsor képezhető.

18. A képes dominó készítésekor 7 különböző állatﬁgurát használtak. Minden dominón két kép van, egy dominón két egyforma állatﬁgura is lehet. a) Hány darab dominóból áll a teljes készlet? Az állatfarm dominókészlet 7-féle állatﬁgurát használ. A rajz szerint bármelyik bármelyikkel párosítható (a sorrend természetesen mindegy), és mindegyik még saját magával is szerepelhet egy dominón (ez utóbbi 7féleképpen lehetséges). Ezért a dominók száma: 7·6 + 7 = 28. 2

b) Hány olyan dominó van, amelyen nincs elefánt? A 7-féle állatﬁgurával készült dominó 28 darabból áll. Ezek között az elefántos magával, és a többi hat állattal lehet párban, összesen 7 db ilyen dominó van. Tehát 28 − 7 = 21 db dominón nem szerepel az elefánt.

19. A pöttyös dominón 0-tól 9-ig lehetnek pontok. Hány darabból áll a teljes készlet? A gondolatmenet ugyanaz, mint az előző feladatnál. Ebben a játékban 10 · 9 + 10 = 55 db dominó van. 2

20. A nyári táborban jutalomként 5 gyerek csónakázhatott. Hányféleképpen szállhattak be két csónakba, ha az egyik kétszemélyes, a másik háromszemélyes volt? a) A csónakban ülő gyerekek sorrendjét nem vesszük ﬁgyelembe, ezért ha az 5 gyerekből kettőt kiválasztunk, a másik 3 egyértelműen adódik. Így annyiféle eset van, ahányféleképpen az 5 gyerekből sorrendre való tekintet nélkül kiválaszthatunk 2-t. Ez 5·4 = 10 eset. összesen: 2 b) A csónakban ülő gyerekek sorrendjét ﬁgyelembe vesszük, vagyis számít az, hogy ki hol ül a csónakban, így (5 · 4 · 3) · (2 · 1) = (5 · 4) · (3 · 2 · 1) = 120 különböző eset lehetséges.

21. Lóci három polcra rakja fel az új matematika-, magyar-, történelem-, biológia-, angol- és ﬁzikakönyveit. Hányféleképpen rendezheti el a hatféle könyvet, ha az egy polcra kerülő könyvek más-más sorrendjét nem tekintjük különbözőnek?

TEX 2014. június 3. –18:39 (6. lap/19. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-1)

Trd a fejed! Tk.: 8. oldal Lóci az első könyvet 3 helyre teheti, a másodikat is 3 helyre, . . . , a hatodik könyvet is 3 helyre teheti. Ez 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36 -féle eset. A könyveket 36 = 729féleképpen helyezheti el Lóci a három polcra. Így persze előfordul, hogy nincs minden polcon könyv, illetve az, hogy minden könyv egy polcon van.

22. Szerezzünk zenét! Komponáljunk különböző ritmusokat!

a) Hányféle különböző ritmusképletet lehet készíteni az ábrán látható három ritmusérték segítségével, ha mindegyiket csak egyszer használhatjuk? 3 különböző ritmusértékből 3 · 2 · 1 = 6-féle különböző ritmusképlet készíthető.

b) Hányféle 3 hangból álló dallammotívum készíthető, ha az ötvonalas kottapapíron a hangjegyeket csak a vonalra, illetve azok közé helyezhetjük el, és a dallam ritmusát nem vesszük ﬁgyelembe? 11 9 10 8 6 7 5 3 4 1 2

A 3 különböző hangjegy mindegyikét 11 helyre tehetjük. Ez 113 = 1331-féle különböző dallamot jelent.

IV. Ebben a részben szereplő valószínűség-számítási feladatokat ne képletek alapján oldjuk meg, hanem a kísérletek elvégzése után soroljuk fel, hogy egy-egy kísérletnél mik a lehetséges kimenetelek és ezek közül melyek jók a feladat feltételei alapján! A „két-kockás” feladatoknál soroljuk fel, mik a feladat szövegének megfelelő elemi események. Több kísérletet végezzünk el annak érdekében, hogy megtapasztalhassák a tanulók azt például, hogy ha az összeg 3, az 2 + 1, és 1 + 2 esetekben lehetséges; de ha az összeg 2, csak az 1 + 1 esetben jöhet ki. Feladatok Tk.: 8–9. oldalon 23–28. feladatok 23. A biológiatanár az órái előtt kétféle valószínűségi játék közül az egyikkel dönti el, hogy aznap ﬁút vagy lányt fog-e feleltetni. Az első: Feldob egy érmét, ha fej lesz, akkor ﬁú felel, ha írás lesz, akkor lány. A második: Feldob egy olyan dobókockát, amelynek 3 lapja piros, 3 lapja kék. Ha piros van fölül a dobás után, akkor lány felel, ha kék van fölül, akkor ﬁú. Vizsgáld meg, igazságos-e a tanár játéka! Az első játéknál a fej, illetve az írás esélye azonos, mindkettő esélye egyaránt

3 1 = = 50%. Tehát a játék igazságos. 6 2

1 = 50%. A második játéknál a piros, illetve a kék 2

TEX 2014. június 3. –18:39 (7. lap/20. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-1)

Trd a fejed! Tk.: 8–9. oldal 24. Cicoma Gizi reggelente egy színes lapú dobókocka feldobásával dönti el, hogy milyen színű blúzban megy aznap iskolába. Mekkora a különböző színű blúzok választásának valószínűsége, ha a 6 lapú kocka 1 lapja sárga, 2 lapja kék és 3 lapja zöld? Változik-e a kék blúz felvételének esélye, ha a kockán a szomszédos két lap, vagy a szemközti két lap kék? – A kocka bármelyik lapjára azonos eséllyel eshet, tehát egy dobásnál ez

1 valószínűségű. 6

1 valószínűséggel, 6 1 2 1 kék lapot 2 · = = valószínűséggel, 6 6 3 1 3 1 zöld lapot 3 · = = valószínűséggel kapunk. 6 6 2

Ezért sárga lapot

– Mindegy, hogy melyik két lap kék, mert mindegyik lap

1 valószínűséggel kerül felülre a dobás után. 6

25. Az év eleji ültetésnél Lili és Lali ugyanarra a helyre szeretne ülni. Az osztályfőnök a vitát két különböző pénzérme (pl.: 1 db 5 Ft-os és 1 db 10 Ft-os) feldobásával dönti el. A vitázó gyerekek három különböző esemény közül választhatnak; aki nyer, azé az ülőhely. A) Mindkét pénzérmén fej van fölül a dobás után, B) mindkét pénzérmén írás van fölül a dobás után, C) a két pénzérme különböző lapjával esik a földre. Te melyiket választanád, ha nyerni akarsz? Az 5 Ft-os is és a 10 Ft-os is egymástól függetlenül, egyenlő eséllyel eshet valamelyik oldalára. Ez 2 · 2 = 4 eset. 1 Ezek közül A)-nak a fej, fej felel meg, ez 1-féleképpen lehetséges. P (A) = 4 1 B)-nek az írás, írás felel meg, ez is 1-féleképpen lehetséges: P (B) = 4 2 1 C)-nek az írás, fej, illetve a fej, írás felel meg, ez 2-féleképpen lehetséges: P (C) = = . 4 2 Vagyis C)-nek legnagyobb az esélye. Ha nyerni akarunk, ezt célszerű választani.

26. Két különböző szabályos dobókockával dobunk egyszerre. a) Egy dobás esetén elvileg hányféle „pontpár” jöhet ki? Két dobókockával dobunk, a kísérlet lehetséges kimeneteleinek száma 6 · 6 = 36.

b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege 5? kék kocka piros kocka 1 4 4 1 P (összeg 5) = = . 4 1 36 9 2 3 3 2

c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege 4? kék kocka piros kocka 3 1 1 3 P (összeg 4) = = . 36 12 3 1 2 2

d) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege 14? A dobott pontok összege 14 nem lehet, mert az összeg maximum 12 lehet. P (összeg 14) = 0.

27. Két szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Melyiknek nagyobb a valószínűsége: a dobott pontok összege 3, vagy a dobott pontok összege 11? Az összes lehetséges kimenetel száma: 62 = 36.

TEX 2014. június 3. –18:39 (8. lap/21. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (KK7-1)

Trd a fejed! Tk.: 9. oldal A dobott pontok összege 3: kék kocka piros kocka 1 2 2 1 2 1 P (összeg 3) = = . 36 18

A dobott pontok összege 11: kék kocka piros kocka 5 6 6 5 2 1 P (összeg 11) = = . 36 18

A két esemény valószínűsége egyenlő.

28. Egy szabályos dodekaéder minden lapját 1-től 12-ig terjedő számokkal megjelöljük. (A szabályos dodekaédert 12 db szabályos ötszög határolja.) Ha ezzel a „dobótesttel” egyszer dobunk, mekkora a valószínűsége annak, hogy a) 3-mal osztható számot dobunk, Jó dobás: 3, 6, 9, 12 → P (3-mal osztható) =

b) prímszámot dobunk, Jó dobás: 2, 3, 5, 7, 11 → P (prím) =

c) olyan számot dobunk, amelyben a számjegyek összege legfeljebb 3? Jó dobás: 1, 2, 3, 10, 11, 12 → P (számjegyei összege legfeljebb 3) =

A kapott valószínűség-értékeket fejezd ki százalék alakban is! ˙ ˙ A megoldások százalék alakban: a) 33,3% b) 41,6% c) 50%

V. A három utolsó feladat korábban matematikaversenyeken szerepelt. Mindkettő ügyes, leleményes gondolkodást igényel, ezért a matematika iránt fogékony tanulóknak ajánljuk. Feladatok Tk.: 9. oldalon 29–31. feladatok

29. Egy csibekeltető üzemben 60 naposcsibét négyzetes rekeszekbe helyeznek el az ábrán látható módon. Így a négyzet mindegyik oldala mentén szemmel tartható a 21 kis állat. Pár nap múlva 4 db, már életképes kiscsibét áthelyeznek más helyre, és az itt maradtakat úgy rendezik el, hogy ismét minden oldalon 21 db csibe legyen. Hányszor tudják ezt az elvételt és az átrendezést megismételni úgy, hogy a négyzetes rekesz egy-egy oldalán mindig 21 db csibe legyen? 6

A középső rekeszből vettek ki egyet-egyet, majd ugyanebből a rekeszből azonos forgásiránnyal a szomszédos sarokrekeszbe tettek át egyet-egyet: